Français 12357 · vues 1–56 · Lecture modernisée · « Remarques tirées du livre de l'Harmonie universelle du P. MERSENNE, ainsy qu'il les avoit escrites, de sa main, à la marge et aux feuillets blancs devant et derrière dudit livre ». Français 12357 — lecture modernisée du volume entier
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
Lecture automatique — interprétation non vérifiée

Résumé

Ce que ce volume contient

1–56Cinquante-six vues, une page par vue. La vue 1 est le plat marbré de la reliure, la vue 2 la garde, qui ne porte que l'ancienne cote « Suppl.^t fr. 902 » et la mention d'un bibliothécaire, « Volume de 26 Feuillets 3 Août 1894 » ; la vue 56 est le verso blanc du dernier feuillet, et la vue 52 ne montre que la page précédente par transparence. Tout le reste se partage en trois ensembles.

• Vues 3 à 7 — trois feuillets de musique d'une main plus ancienne d'aspect que celle de la copie, aux s et aux e bouclés : une grande planche dépliante (vue 3), un monocorde divisé (vue 4), un clavier gradué en commas (vue 5), deux pages de musique notée à trois et quatre parties (vues 6 et 7). Aucun renvoi à une page de l'Harmonie n'y figure.
• Vues 8 à 52 — la copie des remarques, d'une seule main du XVII^e siècle, sous le titre « Remarques tirées du livre de l'harmonie universelle du P. Mersenne ainsi qu'il les avait écrites de sa main à la marge et aux feuillets blancs devant et derrière dudit livre ».
• Vues 53 à 55 — une pièce latine, de la même main mais d'une écriture plus posée : « Academia Parisiensis viros Clarissimos Galilaei familiares et amicos lyncaeos precatur\dots », quinze objections numérotées aux dialogues de Galilée, datées de Paris le 1^er juillet 1643, suivies d'un tableau des sept modes grecs d'après Doni.

La copie suit le livre. Chaque remarque s'ouvre sur son renvoi — la page, puis le lieu de la page : « au droit des lignes 23 jusqu'à 32 », « lig. 22 après ces mots (\dots) », « au droit de la figure », « sur le corollaire premier » — et la pagination repart à chaque traité du livre, que la copie nomme dans sa marge gauche sous un trait. Les sections de cette lecture suivent ces titres courants, dans l'ordre de la copie.¹ Les renvois aux pages de l'Harmonie sont donnés ici tels que la copie les écrit ; cette lecture n'a pas ouvert le livre et ne les a pas vérifiés.

La copie garde la première personne de l'auteur des remarques : « j'ai donné ma méthode », « notre version », « j'ai vu graver à Mons », « j'ai trouvé par la pompe éolipile ». Trois passages pourtant nomment Mersenne à la troisième personne : un écho « répond une octave plus haut que la voix du P. Mersenne » (v. 10) ; deux colonnes d'une table donnent les chutes « suivant les expériences du père Mersenne » (v. 11) ; et, en marge du grand carré magique (v. 45), la copie corrige trois sommes « selon le père Mersenne, mais il est faux ». Cette lecture relève ces passages sans en tirer de conclusion sur la personne qui les a écrits ; elle attribue les remarques à Mersenne parce que le titre de la copie le fait, et elle n'attribue la copie à personne.

Pourquoi les feuillets ne sont cités que par les vues de Gallica. Une série de petits chiffres fins, à l'encre, court au coin supérieur droit des rectos, de « 3 » (vue 6) à « 26 » (vue 55), un par feuillet, et finit sur le compte de vingt-six feuillets du bibliothécaire ; elle se comporte donc comme une foliotation. Mais elle est à l'encre et non au crayon, et aucune transcription ne l'a écrite comme folio en attendant qu'une personne ait regardé les feuillets. Cette lecture fait de même.²

Les feuillets de musique reliés devant la copie

3–7

La planche des vingt-sept cordes

La planche de la vue 3 donne vingt-sept longueurs de cordes en escalier, de 57600 à 28800, c'est-à-dire sur une octave. Rapportées à la plus longue, toutes sauf deux sont des rapports de l'intonation juste, produits de puissances de 2, 3 et 5 : \(55296 = 57600 \cdot \frac{24}{25}\) (le dièse chromatique), \(54000 = 57600\cdot\frac{15}{16}\), \(51840 = 57600\cdot\frac{9}{10}\), \(51200 = 57600\cdot\frac{8}{9}\), \(48000 = 57600\cdot\frac56\), \(46080 = 57600\cdot\frac45\), \(38400 = 57600\cdot\frac23\), \(34560 = 57600\cdot\frac35\), \(30720 = 57600\cdot\frac{8}{15}\), et ainsi des autres. Les deux exceptions sont les douzième et treizième cordes, lues 43500 et 43472 : aucune n'est un rapport simple, et la quarte juste, \(57600 \cdot \frac34 = 43200\), manque à l'escalier. Il est probable que l'une des deux devait être 43200 ; cette lecture ne devine pas l'autre.³

Les deux tables de la planche nomment les intervalles et leurs rapports. Celle des consonances est juste : tierces mineure \(\frac56\) et majeure \(\frac45\), quarte \(\frac34\), quinte \(\frac23\), sixtes \(\frac58\) et \(\frac35\), octave \(\frac12\) — le rapport étant celui de la corde aiguë à la grave. Celle des dissonances l'est aussi pour l'essentiel — comma \(\frac{80}{81}\), dièse \(\frac{125}{128}\), demi-tons \(\frac{24}{25}\), \(\frac{128}{135}\), \(\frac{15}{16}\), tons \(\frac{9}{10}\) et \(\frac89\), triton \(\frac{32}{45}\), fausse quinte \(\frac{45}{64}\) ; la « fausse quarte » \(\frac{75}{96}\) est \(\frac{25}{32}\), la « quinte superflue » \(\frac{48}{75}\) est \(\frac{16}{25}\) — à deux articles près. La « septième mineure » \(\frac{148}{225}\) n'est le rapport d'aucune septième : son inverse, \(1{,}52\), est à peine plus grand qu'une quinte. Et la « septième majeure » \(\frac{10}{18} = \frac59\) est en réalité la septième mineure \(\frac95\). L'escalier lui-même contient les bonnes valeurs : \(32400\) et \(32000\) (les septièmes mineures \(\frac{9}{16}\) et \(\frac59\)) et \(30720\) (la septième majeure \(\frac{8}{15}\)).⁴

Le monocorde et ses feintes

La vue 4 divise un monocorde et explique comment placer les « feintes », les touches noires, à partir des consonances. « Soustraire » et « ajouter » des raisons, sur ce feuillet, c'est les diviser et les multiplier : ainsi \(A = \frac{2}{3} : \frac{3}{4} = \frac89\), \(F = \frac34\cdot\frac34 = \frac{9}{16}\), do dièse \(= \frac45\cdot\frac89 = \frac{32}{45}\), sol dièse \(= \frac{32}{45} : \frac34 = \frac{128}{135}\), fa dièse \(= \frac{32}{45}\cdot \frac34 = \frac{8}{15}\). Les cinq calculs sont justes.⁵

Le clavier en 53 commas

La vue 5 attribue à chaque intervalle un nombre entier de « commas », l'octave en comptant 53 : dièse 3, « lima » 4, demi-ton 5, ton mineur 8, ton majeur 9, ton « excédant » 10, tierce mineure 14, tierce majeure 17, quarte 22, quinte 31, sixte mineure 36, sixte majeure 39, octave 53. C'est, en langage moderne, l'approximation des intervalles justes dans la division de l'octave en 53 parties égales : un intervalle de rapport \(r\) y vaut \(53\log_2 r\) commas, et l'on trouve \(3{,}12\) ; \(4{,}07\) ; \(4{,}93\) ; \(8{,}06\) ; \(9{,}01\) ; \(9{,}87\) ; \(13{,}94\) ; \(17{,}06\) ; \(22{,}00\) ; \(31{,}00\) ; \(35{,}94\) ; \(39{,}06\) — tous à moins d'un septième de comma de l'entier du feuillet. Les compositions que le feuillet donne sont exactes, en commas comme en rapports : le ton mineur est le dièse plus le demi-ton (\(\frac{25}{24}\cdot\frac{16}{15} = \frac{10}{9}\), \(3 + 5 = 8\)), le ton majeur la lima plus le demi-ton (\(\frac{135}{128}\cdot \frac{16}{15} = \frac98\), \(4 + 5 = 9\)), la sixte mineure deux tons majeurs, un ton excédant et un ton mineur (\(\frac{81}{64}\cdot\frac{256}{225}\cdot \frac{10}{9} = \frac85\), \(36\)), l'octave trois tons majeurs, deux mineurs et un excédant (\(\frac{729}{512}\cdot\frac{100}{81}\cdot\frac{256}{225} = 2\), \(53\)).⁶ Les vues 6 et 7 sont de la musique notée, non transcrite.

Les feuillets blancs de devant : le cercle, le carré, et Fabre

8–9Les premières remarques ne commentent pas l'Harmonie : elles étaient, dit la marge, sur les feuillets blancs placés devant le livre, et elles discutent la quadrature du cercle d'après un livre de Fabre dont elles citent les pages 73 à 97.⁷

Aires et périmètres, avec \(\pi \approx \frac{22}{7}\)

Tous les calculs de cette page prennent \(\pi = \frac{22}{7}\). Une sphère de diamètre 7 a un grand cercle de circonférence 22 et une surface totale 154 (diamètre fois circonférence, soit \(\pi d^2\)) ; le carré de même périmètre que le cercle de diamètre 7 a pour côté \(5\frac12\). Un cercle de diamètre 14 a pour aire 154, et le carré de même périmètre, de côté 11, n'a que 121 : les deux aires sont comme 14 à 11 pour un même tour de 44 pieds. Tout cela est juste.

« Pour faire un rond égal à un carré », on donne 8 au diamètre du cercle et 10 à la diagonale du carré. L'aire du carré est 50 ; celle du cercle, avec \(\frac{22}{7}\), est \(16 \cdot \frac{22}{7} = 50\frac27\), et non \(50\frac47\) comme l'écrit la copie ; l'excès du cercle est donc \(\frac{1}{176}\) de sa propre aire, et non \(\frac{1}{88}\).⁸

« Par le moyen de 70 et 99 multipliés en soi-mêmes l'on a deux nombres en raison double, à \(\frac{1}{4900}\) près. » En effet \(99^2 = 9801\) et \(2 \cdot 70^2 = 9800\) : \(\left(\frac{99}{70}\right)^2 = 2 + \frac{1}{4900}\). C'est une solution de l'équation \(x^2 - 2y^2 = 1\), qu'on appelle aujourd'hui équation de Pell-Fermat, et \(\frac{99}{70}\) est une réduite du développement de \(\sqrt2\) en fraction continue.⁹

Trois valeurs de \(\pi\)

La page oppose trois approximations. Celle de Fabre fait égale au quart de la circonférence circonscrite la droite AG menée d'un sommet A du carré au milieu G du côté opposé. Si le carré a pour côté \(a\), \(AG = \frac{\sqrt5}{2}a\), et le quart de la circonférence circonscrite est \(\frac{\pi}{2\sqrt2}a\) : la règle revient à \(\pi = \sqrt{10} \approx 3{,}1623\). La propriété annexe, que GH (joignant les milieux de deux côtés) égale le rayon AE, est exacte.

Celle du sieur Cornu fait que, le côté du carré inscrit étant 9, le quart de la circonférence est 10. Le côté inscrit vaut \(r\sqrt2\) et le quart de la circonférence \(\frac{\pi r}{2}\) : la règle revient à \(\pi = \frac{20\sqrt2}{9} \approx 3{,}142697\), trop grand de \(1{,}1\cdot10^{-4}\). La remarque ajoute que Cornu fait le quart de la circonférence « trop grand d'un peu, car le polygone circonscrit de 97 côtés est plus petit que son cercle supposé ». C'est exact, et de justesse : le périmètre du polygone régulier de 97 côtés circonscrit au cercle de diamètre 1 vaut \(97\tan\frac{\pi}{97} \approx 3{,}142692\), inférieur de cinq millionièmes à la valeur de Cornu. Un cercle ne pouvant être plus long que les polygones qui lui sont circonscrits, la valeur de Cornu est bien trop grande.

La troisième est citée d'un « Denis \dots, conseiller du Roi au bailliage de Paris » : la circonférence contient le diamètre « trois fois et \(\frac{112}{113}\) d'une septième partie ». Or \(3 + \frac{112}{113}\cdot\frac17 = 3 + \frac{16}{113} = \frac{355}{113} \approx 3{,}1415929\), la valeur qu'on attribue aujourd'hui à Adriaan Metius, exacte à \(3\cdot10^{-7}\) près.¹⁰

Enfin, pour l'aire du cercle : « multiplier le diamètre par soi-même, puis par 11, et diviser par 14 » est juste (\(\frac{\pi}{4} \approx \frac{11}{14}\)) ; mais « la moitié du diamètre par la circonférence » donne le double de l'aire. Il faut la moitié du diamètre par la moitié de la circonférence, \(\frac{d}{2}\cdot\frac{C}{2} = \pi r^2\).

Cercles additionnés, anneaux, triangle

La construction de Guillaume Cambray pour faire un cercle égal à deux cercles donnés, et la soustraction d'un cercle d'un autre qui laisse un anneau (« armille ») égal à un cercle, ne sont que le théorème de Pythagore appliqué aux rayons : \(\pi R^2 = \pi r_1^2 + \pi r_2^2\) si et seulement si \(R^2 = r_1^2 + r_2^2\). La remarque le dit elle-même, avec humeur : « ce qu'étant connu aux enfants par les éléments d'Euclide, je vois que Fabre n'était ni géomètre ni philosophe. » Les rapports de la page 95 de Fabre sont justes avec \(\frac{22}{7}\) : le cercle inscrit dans un carré est au carré comme \(\frac{\pi}{4} = \frac{11}{14}\), le carré inscrit dans un cercle est au cercle comme \(\frac{2}{\pi} = \frac{7}{11}\).

La réduction d'un carré en triangle équilatéral (p. 93 de Fabre) n'est pas exacte. Pour un carré de côté \(a\), le triangle équilatéral de même aire a pour demi-côté \(a/\sqrt[4]{3} \approx 0{,}7598\,a\). La construction prend pour demi-côté la distance CE, E étant sur le quart de cercle BEC. Si E est le milieu de l'arc, \(CE = 2a\sin 22{,}5^\circ \approx 0{,}7654\,a\), et le triangle dépasse le carré d'environ \(1{,}5\,\%\) ; si E est, comme le dit à la lettre la note marginale, à la distance « moitié de BC », c'est-à-dire la demi-diagonale \(a/\sqrt2\), le triangle ne vaut que \(\frac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}87\) du carré.¹¹ La règle de la page 97 — l'aire du triangle équilatéral est le carré du côté multiplié par 13 et divisé par 30, sa hauteur le côté multiplié par 13 et divisé par 15 — revient à \(\sqrt3 \approx \frac{26}{15} = 1{,}7333\) au lieu de \(1{,}7321\). Pour le côté 8 elle donne \(27\frac{11}{15}\) et \(6\frac{14}{15}\), justes dans cette approximation ; les valeurs vraies sont \(27{,}71\) et \(6{,}93\).

Le carré de 3,74586

La deuxième page blanche porte le carré de \(3{,}74586\) posé chiffre à chiffre : une ligne pour les carrés des chiffres (\(9\), \(49\), \(16\), \(25\), \(64\), \(36\)), une pour les doubles produits de chaque chiffre avec le précédent (\(42\), \(56\), \(40\), \(80\), \(96\)), une avec l'avant-précédent (\(24\), \(70\), \(64\), \(60\)), et ainsi de suite jusqu'au double produit du premier et du dernier (\(36\)). C'est le développement \[ \Bigl(\sum_i d_i\,10^{-i}\Bigr)^2 = \sum_i d_i^2\,10^{-2i} + 2\sum_{i<j} d_i d_j\,10^{-i-j}, \] rangé par écart \(j - i\). Toutes les lignes sont justes et le total, \(14{,}0314671396\), est bien le carré de \(3{,}74586\).

La « seconde observation » et le livre de la nature des sons

9–11Les remarques sur la « seconde observation, qui est après la table des matières » reprennent la théorie de la consonance par la coïncidence des vibrations. Deux cordes à la quarte (\(4 : 3\)) ne s'unissent qu'une fois sur quatre battements de l'aiguë, dont trois restent « désunis » ; à la quinte (\(3 : 2\)), deux sur trois. Si l'on superpose trois cordes formant une octave divisée par une quarte en bas, leurs fréquences sont comme \(3 : 4 : 6\) et toutes trois ne s'unissent qu'au sixième battement de l'aiguë ; si la quinte est en bas, elles sont comme \(2 : 3 : 4\) et s'unissent au quatrième. La remarque est exacte.

Au livre de la nature des sons, trois nombres reviennent. Le son parcourt 1380 pieds, soit 230 toises, par seconde, et le coup de canon tiré de l'Arsenal s'entend aux Minimes de Vincennes en 20 secondes, « qu'on voie s'il y a 4600 toises » : l'arithmétique est juste (\(230 \cdot 20 = 4600\)), la valeur ne l'est pas. La vitesse du son dans l'air est d'environ \(340\) mètres par seconde, soit à peu près \(1050\) pieds de roi.¹² L'air est « 1700 fois plus léger que l'eau », contre les 400 de Galilée ; ailleurs le volume dira 1300, 1356, 1380, et Descartes 145. La valeur vraie, au niveau de la mer et à température ordinaire, est d'un peu plus de 800. Enfin, « les cercles de l'air sont 1380 fois plus vites que ceux de l'eau » (p. 67) confond le rapport des densités avec celui des vitesses : le son va plus de quatre fois plus vite dans l'eau que dans l'air.

Le reste de ces pages — les échos des Tuileries et du jardin de Descartes, la lumière comme mouvement de la matière subtile, les renvois à la Dioptrique et aux Météores, à Hérigone, à la « lettre de M. Deschamps sur cette réfraction » — n'appelle pas de calcul.

Le livre du mouvement des corps

11–16

Un corps qui tombe vers le centre d'une Terre qui tourne

La plus longue remarque du volume commente la page 94 du livre. Qu'un corps pesant tombe d'un point A de l'équateur vers le centre E de la Terre pendant que la Terre tourne de son mouvement journalier. Galilée, dans son Dialogue, avait avancé que le corps décrirait un demi-cercle ; la remarque soutient qu'il décrit une spirale, et en donne deux propriétés.

Les hypothèses sont celles du feuillet : le rayon EK qui porte le corps tourne uniformément avec la Terre, et la distance tombée le long de ce rayon suit la loi de Galilée, proportionnelle au carré du temps, jusqu'au centre. Si \(R\) est le rayon, \(\Theta\) l'angle dont la Terre tourne pendant toute la chute et \(\theta\) l'angle déjà parcouru, la distance tombée est \(R(\theta/\Theta)^2\) et la courbe a pour équation polaire \[ r(\theta) = R\left(1 - \frac{\theta^2}{\Theta^2}\right), \qquad 0 \le \theta \le \Theta . \] La première propriété du feuillet — « EK est à K21 en raison doublée de la circonférence AKC à la circonférence AK » — est exactement cette loi : \(R : (R - r) = (\Theta : \theta)^2\).¹³

La seconde est que l'aire comprise entre la spirale et le rayon EA est au secteur AKCE « comme 8 à 15 ». Elle est juste : \[ \frac12\int_0^\Theta r(\theta)^2\,d\theta = \frac{R^2\Theta}{2}\int_0^1 (1-u^2)^2\,du = \frac{R^2\Theta}{2}\left(1 - \frac23 + \frac15\right) = \frac{8}{15}\cdot\frac{R^2\Theta}{2}. \] Le feuillet, qui n'a pas le calcul intégral, la démontre comme Archimède démontrait l'aire de sa spirale. On divise l'arc en \(n\) parties égales (\(n = 16\) dans la figure) ; sur chaque partie, la spirale est prise entre un secteur circulaire inscrit et un secteur circonscrit, de rayons \(R(1 - k^2/n^2)\) et \(R(1 - (k-1)^2/n^2)\). Les secteurs étant semblables, leurs aires sont comme les carrés de leurs rayons, et tout revient à comparer, en prenant \(R = n^2\), \[ \sum_{k=1}^{n}(n^2 - k^2)^2 \quad\text{et}\quad \sum_{k=0}^{n-1}(n^2 - k^2)^2 \qquad\text{à}\qquad \frac{8}{15}\,n \cdot (n^2)^2 . \] C'est le « lemme » dont la remarque dit que « toute la difficulté consiste à le prouver », et qu'elle se contente de vérifier pour \(n = 16\) dans une table de marge. La table est entièrement juste : les nombres \(255, 252, 247, \dots, 31\) sont \(256 - k^2\), leurs carrés \(65025, 63504, \dots, 961\) ; la somme des quinze carrés est \(526472\), et \(592008\) avec le carré \(65536\) de \(256\) ; le carré \(65536\) pris seize fois est \(1048576\) ; et les produits croisés \(592008 \cdot 15 = 8880120 > 8388608 = 1048576 \cdot 8\) et \(526472 \cdot 15 = 7897080 < 8388608\) établissent que la somme circonscrite est au-dessus et la somme inscrite au-dessous de \(\frac{8}{15}\).¹⁴

Le lemme est vrai pour tout \(n\), et voici ce qui manque au feuillet pour le démontrer. On a, en développant et en sommant les puissances, \[ \sum_{k=1}^{n}(n^2-k^2)^2 = n^5 - 2n^2\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n}k^4 = \frac{8n^5}{15} - \frac{n^4}{2} - \frac{n}{30}, \] qui est strictement inférieur à \(\frac{8}{15}n^5\) ; et la somme circonscrite vaut la même expression augmentée de \(n^4\) (le terme \(k = 0\)), soit \(\frac{8n^5}{15} + \frac{n^4}{2} - \frac{n}{30}\), strictement supérieure. Les deux sommes, divisées par \(n^5\), diffèrent de \(\frac1n\) et encadrent \(\frac{8}{15}\) : c'est la double inégalité qui fait marcher l'exhaustion, et la remarque avait raison de dire qu'on trouverait le lemme « véritable en en cherchant la démonstration ». Elle avait raison aussi d'ajouter que la démonstration reste la même si l'angle \(\Theta\) dépasse un demi-cercle, ou fait plusieurs tours : rien dans le calcul ne dépend de \(\Theta\). Et si le corps part d'un parallèle et non de l'équateur, la courbe est tracée sur un cône de sommet le centre de la Terre ; le cône se développe sur un plan sans changer les aires, la courbe développée est une spirale de la même loi, et le rapport \(\frac{8}{15}\) demeure.¹⁵

Il faut dire enfin que le modèle est celui du feuillet et non celui de la mécanique. Dans la mécanique de Newton, à l'intérieur d'une Terre homogène la pesanteur est proportionnelle à la distance au centre et non constante ; un corps lâché à l'équateur avec la vitesse de rotation du sol décrit, dans un repère fixe, une ellipse centrée au centre de la Terre, passe à quelque 375 km du centre sans l'atteindre, et y arrive au bout d'environ 21 minutes, non de plusieurs heures.¹⁶ La spirale des \(\frac{8}{15}\) est donc un théorème exact sur une hypothèse fausse.

La courbe n'est pas un cercle

Une seconde démonstration, en algèbre (vue 13), établit que la courbe ne peut être le demi-cercle de Galilée. Soit A le centre de la Terre, \(AC = b\) le rayon, et le cercle de diamètre AC que Galilée proposait. Si le corps est en K sur ce cercle quand la Terre a tourné de l'angle CAH, et en I quand elle a tourné du double, CAD, la loi de chute veut que la chute ID soit quadruple de la chute HK. Le feuillet pose \(AK = e\), calcule \(ID = \dfrac{b^2 - e^2}{\frac12 b}\) et \(HK = b - e\), et montre que \(ID = 4HK\) équivaudrait à \(2be = b^2 + e^2\), c'est-à-dire à \((b - e)^2 = 0\), ce qui n'est pas. En notation moderne : si l'angle KAC est \(\varphi\), \(e = b\cos\varphi\) et \(AI = b\cos2\varphi\), d'où \[ \frac{ID}{HK} = \frac{b(1-\cos2\varphi)}{b(1-\cos\varphi)} = 2(1+\cos\varphi) = \frac{2(b+e)}{b}, \] qui est toujours compris strictement entre 2 et 4 et n'atteint 4 qu'à la limite \(e = b\). Le calcul du feuillet est juste, et sa conclusion aussi : le cercle ne satisfait la loi de chute en aucun point.¹⁷

La suite montre davantage : pour tout rapport \(\lambda\) compris entre 2 et 4, il existe un point K et un seul tel que \(ID : HK = \lambda\), à savoir celui où \(AK = e = (\frac{\lambda}{2} - 1)b\). Le feuillet l'écrit avec \(\lambda = s : \frac12 b\), et trouve \(e = s - b\) : c'est la même chose. Il conclut que la courbe de chute est une droite sous le pôle, une spirale plane sous l'équateur et, ailleurs, une spirale tracée sur un cône isocèle de sommet le centre de la Terre — ce qui est juste dans le modèle.

Les spirales de tout degré, et une table sans titre

La remarque sur la page 98 pose le problème général : si la chute est proportionnelle à une puissance quelconque du temps, trouver le rapport de l'aire de la spirale au cercle. « La première hélice est d'Archimède, et la seconde celle de Galilée pour les graves ; les autres ne tombent point en la pratique de la physique. » La réponse est simple. Si la distance tombée est \(R(\theta/\Theta)^n\), l'aire est au secteur comme \[ \int_0^1 (1-u^n)^2\,du = 1 - \frac{2}{n+1} + \frac{1}{2n+1} = \frac{2n^2}{(n+1)(2n+1)} . \] Pour \(n = 1, 2, \dots, 8\) ce rapport vaut \(\frac13\), \(\frac{8}{15}\), \(\frac{9}{14}\), \(\frac{32}{45}\), \(\frac{25}{33}\), \(\frac{72}{91}\), \(\frac{49}{60}\), \(\frac{128}{153}\). Or la marge gauche de la même page porte, sans titre et sans renvoi, une petite table de deux colonnes : \(3 \mid 1\) ; \(15 \mid 8\) ; \(14 \mid 9\) ; \(45 \mid 32\) ; \(33 \mid 25\) ; \(91 \mid 72\) ; \(60 \mid 49\) ; \(153 \mid 128\). Ce sont, dénominateur puis numérateur et réduits au plus bas terme, exactement ces huit rapports. La table est la solution du problème de la page 98 pour les huit premiers degrés ; le premier est le tiers qu'Archimède avait trouvé pour sa spirale, le second les \(\frac{8}{15}\) de la page 94.¹⁸

La loi des nombres impairs

La remarque sur la page 100 explique d'où viennent les tables de chute. Si le mobile parcourt AB dans la première minute, la vitesse acquise en B lui ferait parcourir \(2AB\) dans une minute égale ; la pesanteur ajoutant encore AB, il parcourt \(3AB\) dans la deuxième minute. En C, parvenu en deux minutes à \(AC = 4AB\), sa vitesse lui ferait faire \(2AC = 8AB\) en deux minutes, soit \(4AB\) par minute, et la pesanteur en ajoute un : \(5AB\). En D, \(9AB\) en trois minutes, \(6AB\) par minute, plus un : \(7AB\). Les espaces parcourus en temps égaux croissent comme les nombres impairs \(1\), \(3\), \(5\), \(7\), et la marge dessine l'échelle. Le raisonnement est juste : il repose sur la propriété, établie par Galilée, que la vitesse acquise en un temps \(t\) ferait parcourir d'un mouvement uniforme le double de l'espace tombé pendant ce temps ; c'est la relation \(d(t) = \frac12 g t^2\), dont les accroissements sont \(d(k) - d(k-1) = (2k-1)\,d(1)\).

Les remarques voisines disent que la cycloïde « enferme un espace triple du cercle qui la décrit » (vrai : l'aire sous une arche est \(3\pi r^2\)), que la courbe de la page 120 n'est pas une demi-ellipse mais cette cycloïde, et, à la page 101, que si les graves descendent par le mouvement de la matière subtile « le fondement précédent ne sert pas ».¹⁹

La résistance des milieux

Les remarques des pages 129 à 131 examinent la règle de Galilée selon laquelle un milieu retranche à la vitesse d'un corps la fraction de son poids qu'il lui ôte : l'eau ôterait le quart de la vitesse d'une pierre quatre fois plus pesante qu'elle, et le douzième de celle du plomb. Mille brasses faites en 24 secondes dans le vide le seraient, dit la remarque, en 30 secondes par la pierre et en 26 par le plomb. Ces deux nombres allongent le temps du quart et du douzième (\(24 + 6\), \(24 + 2\)) ; si c'est la vitesse qui est réduite dans ces proportions, les temps sont \(32\) et \(26\frac{2}{11}\) secondes.²⁰ La remarque de la page 131 — les graves n'augmentent pas indéfiniment leur vitesse, mais approchent d'une limite « suivant les approchements des asymptotes » — énonce ce qu'on appelle aujourd'hui la vitesse limite ; elle est juste, et c'est la résistance de l'air, qui croît avec la vitesse, qui en est la cause. Les rapports donnés pour la moelle de sureau et le plomb varient d'une remarque à l'autre (360 dans le livre, 193 page 129, \(128\frac23\) page 142).

La remarque sur la page 135 corrige la longueur du pendule qui bat la seconde : le sieur Decousu dit deux pieds dix pouces, la copie répond que « trois pieds suffiront ». La longueur vraie, pour un pendule dont chaque oscillation simple dure une seconde, est de \(0{,}994\) m, soit trois pieds et huit lignes et demie : la copie est plus près du vrai que Decousu.

Les pendules composés

Les remarques des pages 136 et suivantes comparent au « filet isochrone » — la longueur du pendule simple qui bat en même temps — toutes sortes de corps suspendus : bâton, triangles, cercle, sphère, parabole, cycloïde. La théorie moderne de ces pendules est celle du pendule pesant : un corps de masse \(m\), de moment d'inertie \(I\) par rapport à l'axe de suspension, dont le centre de gravité est à la distance \(d\) de l'axe, oscille comme un pendule simple de longueur \(\ell = I/(md)\). Elle permet de vérifier plusieurs articles.

Le bâton suspendu par un bout a une longueur égale aux \(\frac32\) du filet isochrone : la copie dit « en raison sesquialtère proxime », et c'est exactement \(\frac32\) (\(\ell = \frac23 L\)). La variante qu'elle rapporte du P. Fabri, « comme l'aire du demi-cercle au carré de son rayon », soit \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\), est fausse.²¹

Pour une plaque triangulaire isocèle de hauteur \(h\) et d'angle au sommet \(\alpha\), oscillant dans son plan, on trouve \(\ell = \frac34 h + \frac{h}{4}\tan^2\frac{\alpha}{2}\) si elle est suspendue par la pointe, et \(\ell = \dfrac{h}{2\cos^2(\alpha/2)}\) si elle est suspendue par le milieu de la base. Rapportées à la hauteur, ces valeurs se comparent à celles de la copie ainsi : \[ \begin{array}{r|cc|cc} \alpha & \text{pointe, théorie} & \text{pointe, copie} & \text{base, théorie} & \text{base, copie} \\ \hline 20^\circ & 1 : 0{,}76 & \text{presque } 4:3 & 1 : 0{,}52 & 3 : 2 \\ 60^\circ & 6 : 5 & 6 : 5 & 3 : 2 & 3 : 2 \\ 90^\circ & 1 : 1 & 1 : 1 & 1 : 1 & 1 : 1 \\ 110^\circ & 1 : 1{,}26 & 2 : 3 & 1 : 1{,}52 & 8 : 15 \\ 120^\circ & 2 : 3 & \text{« quasi de même »} & 1 : 2 & \text{« quasi de même »} \\ 135^\circ & 1 : 2{,}21 & 2 : 5 & 1 : 3{,}41 & 1 : 4 \\ 150^\circ & 1 : 4{,}23 & 1 : 4 & 1 : 7{,}46 & 1 : 12 \\ 170^\circ & 1 : 33{,}4 & 1 : 31 & 1 : 65{,}8 & 1 : 36 \end{array} \] L'accord est exact pour le triangle de \(60^\circ\) par la pointe (\(6 : 5\)) et par la base (\(3 : 2\)), et pour le triangle rectangle, « égal au filet » des deux façons ; il est bon, pour la pointe, jusqu'à \(90^\circ\) et à \(150^\circ\). Pour les triangles obtus suspendus par la base, les valeurs de la copie s'écartent de la théorie, et le « \(2 : 3\) » donné pour \(110^\circ\) par la pointe est la valeur exacte de \(120^\circ\).²²

Parmi les autres corps : la circonférence (un anneau) suspendue par un point est « égale » au filet, et c'est juste, \(\ell\) étant le diamètre ; le cercle plein suspendu par un point de son bord a un diamètre qui est au filet comme \(4 : 3\) et non « comme 7 à 5 » ; la sphère suspendue par un point de sa surface est au filet comme \(10 : 7 \approx 1{,}43\), et la copie dit « comme \(1\frac49\) à un » (\(1{,}44\)), ce qui est bon. Le demi-cercle, par le convexe ou par la base, donne en théorie \(1 : 1{,}13\) et \(1 : 1{,}18\) du rayon au filet ; la copie dit « comme 5 à 6 » pour les deux. Les autres articles (quart de cercle, cône, demi-sphère, parabole, roulette, « parabole seconde de Torricelli ») ne disent pas assez comment le corps est suspendu pour être vérifiés.

Le troisième livre du mouvement : cordes, poids, rupture, projectiles

16–19

L'ellipse et le triangle

La remarque sur la page 157 compare deux familles de triangles de même base AB. Si le sommet décrit l'ellipse de foyers A et B, tous les triangles ont le même périmètre, et le triangle isocèle a la plus grande aire. Si le sommet décrit une parallèle à AB, tous ont la même aire, et le triangle isocèle a le plus petit périmètre. Les deux énoncés sont justes et duaux ; mais la copie conclut que « tant entre parallèles que dans l'ellipse, le triangle isopleure est le plus petit in ambitu », ce qui est faux pour l'ellipse, où les périmètres sont égaux.²³

La corde qui revient, et la loi de la tension

La remarque sur la page 160 découpe le retour d'une corde tendue en 88 parties de temps : \(8\), \(20\), \(28\), \(32\) espaces dans les quatre temps successifs, dont la somme fait bien 88. C'est un modèle, non une démonstration.

La table de marge de la vue 18 donne les poids qui, tendant huit cordes égales, leur font sonner les huit degrés de l'octave, de 6 livres pour l'ut grave à 24 pour l'ut aigu. La loi est que la fréquence est proportionnelle à la racine carrée de la tension : le poids est donc \(6 \cdot f^2\) si \(f\) est le rapport de fréquence à l'ut grave. Avec les rapports de l'intonation juste, on trouve \(16\frac23\) pour la (\(f = \frac53\)), \(13\frac12\) pour sol, \(10\frac23\) pour fa, \(7\frac{33}{81}\) pour ré si l'on prend le ton mineur \(\frac{10}{9}\) — ce que fait la table — et 24 pour l'ut aigu : ces valeurs de la table sont justes. Deux ne le sont pas : pour mi (\(f = \frac54\)), \(6 \cdot \frac{25}{16} = 9\frac38\) et non \(9\frac18\) ; pour si (\(f = \frac{15}{8}\)), \(6\cdot \frac{225}{64} = 21\frac{3}{32}\) et non \(21\frac{3}{16}\).

La remarque sur la page 189 justifie par un raisonnement sur des triangles que la corde à l'octave doit être tendue quatre fois plus. La conclusion est juste, et c'est ce qu'on appelle aujourd'hui l'une des lois de Mersenne : la fréquence fondamentale d'une corde de longueur \(L\), de masse linéique \(\mu\), tendue par la force \(T\), est \(f = \frac{1}{2L}\sqrt{T/\mu}\), de sorte que doubler \(f\) demande de quadrupler \(T\). Le raisonnement de la copie, qui égale entre les deux cordes le produit de la force par le temps, n'est pas une démonstration.²⁴

Un nombre « qui semble faux » et qui est juste

La remarque sur la page 193 rapporte la règle de Galilée : la résistance des cylindres à la rupture est en raison triplée des diamètres, de sorte qu'un bâton deux fois plus mince est huit fois plus aisé à rompre. Puis elle calcule : une corde de laiton de \(\frac16\) de ligne de diamètre rompant sous 18 livres, une colonne d'un pied de diamètre romprait « seulement avec 13436928 » — et la marge ajoute : « ce nombre me semble faux ».

Le rapport des diamètres est \(144 : \frac16 = 864\), un pied valant 144 lignes. Or \(18 \cdot 864^2 = 13\,436\,928\) exactement : le nombre suit la loi des carrés des diamètres, c'est-à-dire des aires des sections, et non celle des cubes, qui donnerait \(18 \cdot 864^3 = 11\,609\,505\,792\). C'est la loi des carrés qui est la bonne ici. La règle des cubes de Galilée vaut pour une poutre rompue par flexion ; une corde qui casse sous un poids suspendu est rompue par traction, et sa résistance est proportionnelle à l'aire de sa section. Le nombre est juste pour le problème posé ; c'est la phrase qui le précède qui ne s'y applique pas.

Chute et projectiles

La remarque sur la page 197 corrige le livre : à la fin du quatrième pied de chute, le mobile n'a que deux degrés de vitesse, puisque la vitesse croît comme la racine de l'espace (\(\sqrt4 = 2\)), et cette vitesse, gardée uniforme, lui ferait parcourir huit pieds dans le temps qu'il en a mis à tomber de quatre. C'est juste. La remarque sur la page 222 dit qu'une flèche qui met 12 secondes à monter et autant à descendre ne monte que de 288 toises : c'est la hauteur \(12 \cdot 12^2 = 1728\) pieds, avec la valeur de 12 pieds pour la chute de la première seconde que le volume emploie partout. La valeur vraie de cette chute, sans air, est de \(4{,}9\) m, un peu plus de 15 pieds. Une remarque ajoute que d'autres expériences montrent la flèche plus prompte à monter qu'à descendre — trois secondes contre cinq — ce qui est l'effet de la résistance de l'air et contredit la symétrie supposée par le livre. La remarque sur la page 173 (quatre fois plus de force pour envoyer les missiles deux fois plus loin) est juste dans le vide, où la portée est proportionnelle au carré de la vitesse initiale.

Le livre de la voix

19–19Trois remarques. Les huit poids « en progression triple » sont \(1\), \(3\), \(9\), \(27\), \(81\), \(243\), \(729\), \(2187\), les puissances \(3^0\) à \(3^7\). Une remarque de métaphysique, sur la page 80, conteste que ce qui est indépendant doive avoir toute perfection infinie. Enfin, à la ligne 38 de la même page : « M. de Villiers a observé l'année 1638 qu'au crâne d'un sourd et muet, des trois osselets qui se trouvent en l'oreille, l'incus, le malleolus et le stapes, le premier manquait en chaque oreille. » C'est l'une des dates écrites dans le volume.²⁵

Le livre des chants : permutations et combinaisons

19–24

Les mots de vingt-trois lettres

La remarque sur la page 107 renvoie au « problème arithmétique » de Guldin : combien de mots peut-on faire avec les 23 lettres de l'alphabet, aucune lettre n'étant répétée dans un mot, et combien de lettres tous ces mots contiennent-ils. Le nombre de mots de \(k\) lettres est \(23!/(23-k)!\) ; le nombre total de mots est \[ W = \sum_{k=1}^{23}\frac{23!}{(23-k)!} = \lfloor e \cdot 23! \rfloor - 1 = 70\,273\,067\,330\,330\,098\,091\,155, \] et le nombre total de lettres \(L = \sum_k k\cdot\frac{23!}{(23-k)!} = 1\,546\,007\,481\,267\,262\,158\,005\,433\). La copie donne pour les lettres \(1546007491267202147905433\) et pour les mots \(702730673303300980911155\). Le premier nombre a le bon ordre de grandeur et les huit premiers chiffres justes, mais diffère au milieu ; le second a un chiffre de trop — un « 1 » de plus avant la fin — alors que la copie dit elle-même que son premier chiffre « vaut septante sextillions », c'est-à-dire que le nombre a 23 chiffres, comme \(W\).²⁶

La remarque sur la page 110 dit que le 64^e nombre de la table du livre a 90 chiffres. Si ce nombre est \(64!\), c'est juste : \(64!\) a 90 chiffres. Mais il commence par 126, et non par les « 221 » que la remarque donne pour son « premier ternaire » ; sans la table du livre, cette lecture ne peut trancher.

Ranger toutes les permutations

La remarque sur la page 111 donne la règle pour écrire toutes les permutations de DIEU sans en oublier ni en répéter : on garde la première lettre et l'on permute les trois autres, en gardant à son tour la première de celles-ci, et ainsi de suite ; puis on met la deuxième lettre en tête, et l'on recommence. C'est l'énumération dans l'ordre lexicographique, et elle démontre en même temps la récurrence \(n! = n \cdot (n-1)!\) : \(2 \cdot 3 = 6\), \(6 \cdot 4 = 24\), \(24 \cdot 5 = 120\), \(120 \cdot 6 = 720\), \(720 \cdot 7 = 5040\). Tout est juste.²⁷

Les chants de huit notes

La remarque sur la page 113 retire des chants de l'octave ceux qui contiennent une septième majeure ou une sixte. Il y a \(8! = 40320\) chants de huit notes différentes.²⁸ Ceux où ut et si sont voisins se comptent en collant ut et si en une seule note : \(7! = 5040\), doublé pour les deux ordres, \(10080\) ; de même pour ut et la ; en tout \(20160\). Mais ceux où ut est voisin à la fois de si et de la ont été comptés deux fois : on colle « si ut la » ou « la ut si » en une note, \(2 \cdot 6! = 1440\), et l'on retire. Il reste \(18720\) chants qui contiennent l'un ou l'autre intervalle, et donc \(40320 - 18720 = 21600\) qui n'en contiennent aucun. C'est exactement le principe d'inclusion et d'exclusion, correctement appliqué.

Le piquet

La remarque sur la page 131 distingue deux sortes de « combinaisons ». Quand toutes les choses sont différentes, comme les douze cartes d'une main prises dans les 36 du jeu de piquet, le nombre de mains ordonnées est \(36 \cdot 35 \cdots 25 = 599\,555\,620\,984\,320\,000\), et le nombre de mains, l'ordre ne changeant pas le jeu, est ce produit divisé par \(12! = 479\,001\,600\), soit \(\binom{36}{12} = 1\,251\,677\,700\). Les deux nombres sont justes.²⁹ Quand les choses peuvent être semblables, comme douze cartes prises dans douze jeux, il faut multiplier \(36 \cdot 37 \cdots 47\) et diviser par \(12!\) : c'est le nombre des combinaisons avec répétition, \(\binom{47}{12} = 52\,251\,400\,851\). De même, cent fruits choisis dans six paniers donnent \(6 \cdot 7 \cdots 105 / 100! = \binom{105}{100} = \binom{105}{5} = 96\,560\,646\) choix.³⁰

Les « puissances triangulaires »

Ce que la copie appelle la \(k\)-ième « puissance triangulaire » de la « racine » \(r\) est le nombre figuré \(\binom{r+k-1}{k}\) : la deuxième est le nombre triangulaire, la troisième le tétraédrique, et chacune est la somme des \(r\) premières de la précédente. La règle de calcul qu'elle donne — multiplier \(r, r+1, \dots, r+k-1\) et diviser par \(k!\) — est exacte, et l'exemple aussi : la sixième puissance triangulaire de 5 est \(5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 / 720 = 210 = \binom{10}{6}\), et l'astuce qui évite la division (retirer \(1, 2, \dots, 6\) des facteurs, il reste \(7 \cdot 3 \cdot 10\)) est juste.

Mais la copie écrit que les douze cartes sans ordre sont « la 12^e puissance triangulaire de 36, qui est à la fin de ladite table, à savoir 1251677700 ». Le nombre est juste, le nom ne l'est pas. Dans sa propre définition, la 12^e puissance triangulaire de 36 est \(\binom{47}{12}\), le nombre des mains avec répétition ; et \(1251677700 = \binom{36}{12}\) est la 12^e puissance triangulaire de 25 — précisément le dernier nombre d'une table qui, dit la copie, va « jusqu'à la 12^e puissance de 25 ».

La « combinaison générale » de cent choses de six sortes, l'ordre compris, est \(6^{100}\), et la copie a raison de dire qu'on ne peut en tirer le nombre sans ordre par une seule division : sur l'exemple de quatre choses, les types abcd, aabc, aaab, aabb, aaaa se permutent en \(24\), \(12\), \(4\), \(6\), \(1\) façons, de somme 47, nombre premier, et chaque type demande son propre diviseur.

Une correction qui corrige mal

La remarque sur la page 139 reprend un calcul du livre : il faut multiplier « 484, qui est le troisième nombre de la table », par 15, ce qui donne 7260 ; « 10648 », le quatrième nombre de la cinquième colonne, par 16 ; et « le nombre cinquième, 234276 », par 15, « dont il viendra 3514140, et non 3513840, comme il y a dans le texte qui est fautif ». Les produits sont justes. Mais \(484 = 22^2\) et \(10648 = 22^3\), et le nombre suivant de la colonne doit être \(22^4 = 234256\) ; or \(234256 \cdot 15 = 3513840\), le nombre même du texte imprimé. Si la colonne est bien celle des puissances de 22, c'est le livre qui avait raison, et la correction porte sur un 234276 fautif.³¹

Petits corollaires

La somme des nombres de 1 à \(n\) est donnée par la règle de Gauss avant la lettre : \(\frac{n}{2}(n+1)\) si \(n\) est pair (\(7 \cdot 15 = 105\) pour 14), \(n \cdot \frac{n+1}{2}\) s'il est impair (\(5 \cdot 3 = 15\), \(15 \cdot 8 = 120\)). Deux choses prises dans dix, avec répétition et ordre, font \(10^2 = 100\) variétés ; trois dans neuf, \(9^3 = 729\). Le produit de 36 par 35, divisé par 2, donne \(\binom{36}{2} = 630\). Tout est juste.

Les chants à quatre parties

La remarque sur la proposition 20 compte \(2\,520\,473\,760\,000\) chants à quatre parties. Ce nombre est \(1260^4\), et il faut, à un chant par seconde, un peu moins de 80 000 ans pour les chanter tous, soit 800 siècles : l'affirmation qu'« il faudrait plus de cent mille siècles » ne suit pas, non plus que le nombre de 45 048 300 chants en cent ans, qui ne correspond pas à un chant par seconde (un siècle compte environ \(3{,}16 \cdot 10^9\) secondes). Pour quatre notes permutées dans chaque partie, les duos sont \(24^2 = 576\), ce que dit la copie ; les trios \(24^3 = 13824\) et les quatuors \(24^4 = 331776\), et non 13729 et 319376.³²

Les carrés magiques

La même page 110 annonce que le nombre des manières de varier un carré magique en le gardant magique est plus grand encore, et donne pour le carré de 22 un produit de trois nombres de 34, 32 et 33 chiffres, pour le carré de 14 le nombre 33710564646400. La copie redonne les mêmes nombres sur les feuillets de la fin (vue 46), et les deux lectures ne s'accordent pas : les deuxième et troisième facteurs y ont un zéro final de moins, et le nombre du carré de 14 y est lu 3371056466400, suivi d'un chiffre taché. Cette lecture ne sait pas reconstituer ces dénombrements et ne les vérifie pas.³³

Les livres des consonances

24–28

Diviser l'octave et la quarte en trois raisons superparticulières

Une raison superparticulière est un rapport de la forme \(\frac{n+1}{n}\). L'octave, dit la remarque sur la page 55, ne se divise en trois raisons superparticulières « qu'en cinq sortes », et la marge les donne : \(\frac32\cdot\frac54\cdot\frac{16}{15}\), \(\frac32\cdot\frac65\cdot\frac{10}{9}\), \(\frac32\cdot\frac76\cdot\frac87\), \(\frac43\cdot\frac43\cdot\frac98\), \(\frac43\cdot\frac54\cdot\frac65\). C'est exact et complet : l'équation \(\bigl(1+\frac1a\bigr)\bigl(1+\frac1b\bigr)\bigl(1+\frac1c\bigr) = 2\) avec \(a \le b \le c\) entiers force \(a \le 3\) (sinon le produit est au plus \((\frac54)^3 < 2\)), puis borne \(b\), puis détermine \(c\), et une énumération complète donne ces cinq solutions et elles seules.

La quarte, dit la remarque sur la page 142, « se peut diviser 27 fois en trois raisons superparticulières, bien que Bryennios n'en tienne que 15 possibles », et la copie dresse la table des 27 divisions. Chacune des 27 est juste : le produit de ses trois raisons vaut \(\frac43\). Mais la même énumération complète, faite sur \(\bigl(1+\frac1a\bigr)\bigl(1+\frac1b\bigr)\bigl(1+\frac1c\bigr) = \frac43\), ne donne que 26 divisions distinctes, et la table les contient toutes : les divisions 14 et 24 de la table, \(\frac{16}{15}\cdot\frac76\cdot\frac{15}{14}\) et \(\frac76\cdot\frac{15}{14}\cdot\frac{16}{15}\), sont la même, écrite dans un autre ordre. La quarte se divise en 26 manières et non en 27.³⁴

Tempérament et intonation juste

La remarque sur la page 58 avertit qu'une proposition du livre n'est vraie que « des vrais intervalles » et non du tempérament des instruments : sur un instrument à tons égaux, trois quintes font exactement une treizième majeure et trois tierces majeures font l'octave, « ce qui ne peut arriver en la vraie théorie ». C'est exact : trois quintes justes font \(\frac{27}{8}\), qui dépasse la treizième majeure juste \(\frac{10}{3}\) d'un comma syntonique \(\frac{81}{80}\), et trois tierces majeures justes font \(\frac{125}{64}\), qui manque l'octave d'un dièse \(\frac{128}{125}\) ; dans le tempérament égal, \(7 \cdot 3 = 21 = 12 + 9\) et \(4 \cdot 3 = 12\) demi-tons.

La remarque suivante somme des séries géométriques : les moitiés successives de la moitié d'une corde font la moitié entière, \(\frac14 + \frac18 + \dots = \frac12\) ; les tiers successifs d'un tiers font la moitié, \(\frac13 + \frac19 + \dots = \frac12\) ; tous les quarts font \(\frac13\) et tous les dixièmes \(\frac19\). C'est \(\sum_{k \ge 1} q^k = \frac{q}{1-q}\), correctement appliquée.

Les remarques des pages 71 à 76 reprennent la théorie des coïncidences : à la quarte, trois battements de l'aiguë sur quatre sont désunis, à la quinte deux sur trois, à l'octave un sur deux ; à la tierce majeure un seul sur cinq s'unit. La remarque sur la page 91 donne les moindres termes des trois médiétés, arithmétique \(3, 2, 1\), géométrique \(4, 2, 1\), harmonique \(6, 4, 3\) : tous justes (\(4 = \frac{2\cdot 6\cdot 3}{6 + 3}\)). La règle de trois de la table 57 (page 109) est juste : \(25 \cdot \frac89 = 22\frac29\), et \(4\cdot\frac{64}{81} = 3\frac{13}{81} = \bigl(1\frac79\bigr)^2\).

Les tables de Jean Le Fèvre

La remarque sur la page 146 recopie les nombres dont Jean Le Fèvre se servait, d'après Gafurius, pour les six voix. La table A donne les longueurs de la gamme pythagoricienne, \(27, 24, 21\frac13, 20\frac14, 18, 16\) (ut, ré, mi, fa, sol, la), leurs carrés \(729, 576, 455\frac19, 410\frac{1}{16}, 324, 256\) et leurs cubes \(19683, 13824, 9709\frac{1}{27}, 8303\frac{49}{64}, 5832, 4096\) : tout est exact. La table C donne une autre gamme pythagoricienne, de \(10\frac18\) à 4, et les carrés de ses termes ; tout y est exact aussi, le carré de \(5\frac{1}{16}\) étant \(25\frac58 + \frac{1}{256}\).³⁵

La table B est d'une autre nature que ne le dit le texte : ses poids, de 4608 à 10368 grains, ne sont pas les cubes des longueurs mais leur sont proportionnels, l'octave doublant le poids (\(4608 \to 9216\)). Les degrés diatoniques y sont justes, et leurs conversions en onces, gros et grains aussi (une once valant 576 grains) ; trois des degrés chromatiques sont faux : \(5184 \cdot \frac{256}{243} = 5461\frac13\) et non \(5461\frac18\), \(6912 \cdot \frac{256}{243} = 7281\frac79\) et non \(7281\frac19\), \(6144 \cdot \frac{256}{243} = 6472\frac{56}{81}\), écrit 6472. Le total annoncé, « \(86681\frac{17}{27}\) grains, ou 9 livres 6 onces 3 gros 65 grains et \(\frac{17}{27}\) », est cohérent dans ses unités ; il n'est pas la somme des quinze poids de la table (\(106757\frac{19}{24}\)), mais, à un grain près, celle des treize premiers, d'un la à l'autre.

La remarque sur la page 151 ajoute que, selon l'ancien système d'Arezzo et de Pythagore, la tierce majeure est \(\frac{81}{64}\) et la mineure \(\frac{32}{27}\), ce qui est juste, et la « septième majeure » \(\frac{27}{16}\), ce qui ne l'est pas : \(\frac{27}{16}\) est la sixte majeure pythagoricienne ; la septième majeure est \(\frac{243}{128}\).

Les remarques des pages 154 à 315 portent sur les modes, les espèces d'octave et les « cadences » d'après Doni et le sieur Vincent ; elles ne comportent pas de calcul, sinon que douze modes se réduisent à sept espèces, selon la place des deux demi-tons dans l'octave, ce qui est juste.

Les livres des instruments

28–37

Cordes

La remarque sur la page 3 du livre des instruments reprend les recettes des cordes de boyau déjà lues sur les feuillets de devant, et répond à la croyance qu'une corde de loup ne s'accorde jamais avec une corde de mouton : il suffit de les tendre pour qu'elles fassent le même nombre de vibrations en même temps, « et partant elles feront l'unisson ». C'est la bonne réponse. La remarque sur la page 5 énonce que des cylindres de même volume ont des surfaces latérales « en raison sous-doublée de leurs hauteurs » : c'est exact, car pour un volume \(V\) fixé, \(2\pi r h = 2\sqrt{\pi V h}\).³⁶

Le système de vingt-quatre quarts de ton

La marge de la vue 29 donne un « système de 24 quarts de tons ou de 25 cordes, où tout est égal » : les longueurs de 25 cordes, de 100000 à 50000, et une seconde colonne de 200 à 100. C'est la division de l'octave en 24 parties égales, la corde de rang \(k\) valant \(100000 \cdot 2^{-(k-1)/24}\). Les valeurs de la copie sont justes à quelques unités près, avec des écarts plus grands aux rangs 14 (\(68709\) pour \(68698\)) et 22 (\(54513\) pour \(54525\)). La seconde colonne est la première divisée par 500, arrondie à des fractions simples ; une seule de ses valeurs est grossièrement fausse, celle du rang 13, \(143\frac34\) au lieu de \(141{,}42\), c'est-à-dire \(100\sqrt2\).³⁷

La remarque sur la page 54 rapporte une construction de M. de Fortemaison pour placer les touches du luth, et conclut qu'elle ne peut être juste parce que ses douze longueurs ne sont pas « continuellement proportionnelles ». C'est le bon critère : des touches justes pour douze demi-tons égaux placent les longueurs vibrantes en progression géométrique de raison \(2^{-1/12}\). La remarque sur la page 68 renvoie à Descartes pour la construction des deux moyennes proportionnelles par une parabole et un cercle ; celle sur la page 225, sur la section en moyenne et extrême raison, rappelle justement qu'en retranchant le petit segment du grand on retrouve la même section, et que douze sections successives ne donnent pas douze demi-tons : le rapport de la section, \(\frac{1+\sqrt5}{2}\), n'a rien de commun avec \(2^{1/12}\).

L'or et le laiton

La remarque sur la page 151 soutient contre Galilée que si une corde d'or sonne plus bas qu'une corde de laiton de même longueur, grosseur et tension, c'est « parce qu'elle est plus molle, et non parce qu'elle est plus pesante », et celle sur la page 152 que les deux cordes font le triton et non la quinte. Sur les deux points, c'est Galilée qui a raison. Par la loi de la corde, \(f = \frac{1}{2L}\sqrt{T/\mu}\), des cordes de même longueur, de même section et de même tension ont des fréquences en raison inverse de la racine de leurs densités ; l'or (\(19{,}3\)) et le laiton (\(8{,}4\) à \(8{,}7\)) donnent un rapport de \(1{,}49\) à \(1{,}52\), c'est-à-dire la quinte, \(1{,}5\). Le triton, \(\sqrt2\), demanderait un rapport de densités de 2.

Les bois de Faber, et les flûtes

La table de Faber (page 176) est juste dans sa construction : sa deuxième colonne, \(162, 182\frac14, 192, 216, 243, 256, 288, 324\), est une gamme pythagoricienne ; la première en donne des racines approchées ; la troisième est une autre gamme pythagoricienne, de 9 à 18 ; la quatrième n'est pas faite des carrés de la troisième, comme le dit le texte, mais de ces carrés divisés par 18. La « racine imaginable » de \(\frac98\) que Faber prend pour \(\frac{18}{17}\) est approchée : \(17^2\) vaut 289 et non 288, et \(\bigl(\frac{18}{17}\bigr)^2 = \frac{324}{289}\) est plus petit que \(\frac98\) de \(\frac{1}{289}\) de sa valeur.³⁸

La remarque qui suit compare des flûtes de même longueur et de même tour, l'une ronde, l'autre carrée, l'autre triangulaire. Avec un tour de 22 et \(\pi = \frac{22}{7}\), le cercle a pour aire \(38\frac12\), le carré \(30\frac14\), et leurs aires sont comme 154 à 121, soit 14 à 11 : juste. Le triangle a pour côté \(7\frac13\) et pour aire, par la règle des \(\frac{13}{30}\) déjà vue, \(23\frac{41}{135}\) ; l'aire vraie est \(23{,}29\). Le cercle est au triangle comme \(1{,}65\) ; la copie dit « comme 77 à 46 » (\(1{,}67\)), ce qui revient à arrondir l'aire du triangle à 23, et elle écrit le rapport dans le mauvais sens (« sa capacité sera à celle du cercle »).

La trompette

La remarque sur la page 250 constate que les sons de la trompette « suivent l'ordre naturel des nombres 1, 2, 3, 4 », puis « sautent de 6 à 8 ». C'est la série harmonique ; le septième harmonique existe, mais il est faux par rapport à la gamme, et les trompettistes l'évitent, ce qui explique le saut.

La cloche

La copie donne la construction complète du profil d'une cloche (vues 33 à 35), avec un dessin sur un feuillet volant (vue 34), une table des longueurs et une table des volumes. Les volumes sont cohérents : les solides des tranches moins leurs vides donnent bien \(49677\), \(113443\) et \(45594\) lignes cubes, les deux vides du bas font \(193176\), et le total des métaux et des filets est \(233550\), comme l'écrit la copie.

La remarque sur la page 19 calcule ensuite les angles de la construction, et la marge note : « ces angles sont faux ». Trois le sont, par des fautes de chiffres, les autres sont justes. Dans le triangle rectangle EOB, de côtés \(OB = 35\) et \(OE = 115\) (ou d'hypoténuse \(EB = 120\)), l'angle en B vaut \(73^\circ 4'\) et non \(75^\circ 3'\) ; l'angle en E, \(16^\circ 56'\) (la copie : \(16^\circ 57'\)), en est le complément, et la somme \(75^\circ 3' + 16^\circ 57' = 92^\circ\) trahit la faute. Les angles à la base du triangle isocèle RBI, \(53^\circ 28'\), et l'angle IXP, \(36^\circ 32'\), sont justes, et ils sont calculés à partir de \(73^\circ\) et non de \(75^\circ\). Dans le triangle isocèle PBR, de côtés 75 et de base 50, l'angle au sommet vaut \(2\arcsin\frac13 = 38^\circ 57'\) et non \(38^\circ 36'\), les angles à la base \(70^\circ 32'\) et non \(72^\circ 32'\) ; l'angle PBI, \(73^\circ 4' - 38^\circ 57' = 34^\circ 7'\), est juste.³⁹

Le poids du métal : quatre pouces cubes font \(4 \cdot 1728 = 6912\) lignes cubes ; ils pèsent 13053 grains, que la copie dit « 22 onces et 21 grains » — il manque 5 gros, car \(13053 = 22 \cdot 576 + 5 \cdot 72 + 21\). Une livre de ce métal occupe donc \(6912 \cdot 9216 / 13053 \approx 4880\) lignes cubes, et \(52\frac45\) livres en occupent \(4880 \cdot 52\frac45 = 257664\) : juste. Le volume d'eau déplacé dans le vase cylindrique de 13 pouces 9 lignes \(\frac13\) de diamètre (\(165\frac13\) lignes), l'eau montant de 12 lignes, est \(\pi \cdot (82\frac23)^2 \cdot 12 \approx 257\,630\) lignes cubes (\(257\,730\) avec \(\frac{22}{7}\)). Le nombre que la transcription lit, 197941, ne peut être juste, et la marge dit en effet qu'« il y a quelque autre erreur en ce calcul » ; l'écart avec 257664 est de quelques dizaines de lignes, non des 123 que dit la copie.

Les verres

La remarque sur la page 33 conteste Kircher, selon qui un verre à moitié plein sonnerait l'octave au-dessous du verre vide. La copie a raison de douter : la hauteur d'un verre frotté baisse quand on le remplit, mais bien moins que d'une octave à mi-hauteur, l'eau ne chargeant que la partie basse de la paroi.

L'utilité de l'harmonie

37–40

Le poids de l'air

Descartes a trouvé que l'air est à l'eau comme 1 à 145, avec une fiole soufflée à la lampe qui pesait \(78\frac12\) grains froide et 78 chauffée, et qui, refroidie, aspira \(72\frac12\) grains d'eau : \(\frac12 : 72\frac12 = 1 : 145\). L'arithmétique est juste, et la méthode aussi : le demi-grain perdu est le poids de l'air chassé par la chaleur, et l'eau aspirée en mesure le volume. C'est la pesée qui ne peut l'être : l'eau étant en réalité un peu plus de 800 fois plus dense que l'air, la fiole n'aurait dû perdre qu'un douzième de grain environ, et une fiole chaude se pèse mal. Les autres valeurs du volume, 400 (Galilée), 1300, \(1356\frac14\), 1380, 1700, se répartissent autour de ce nombre ; celle de Galilée est trop faible du double.

Miroirs ardents et lunettes

La remarque sur la page 28 démontre qu'on ne peut faire « de miroirs qui brûlent jusqu'à l'infini » : les rayons venus de chaque point du soleil ne sont pas parallèles entre eux, et le faisceau s'élargit comme le diamètre apparent du soleil. C'est juste : l'image du soleil au foyer d'un miroir de distance focale \(f\) a un diamètre d'environ \(f/107\), et la chaleur qu'on concentre diminue quand \(f\) grandit. La lunette à deux paraboles de même foyer, la petite renvoyant les rayons de la grande « quasi parallèles », est un télescope à réflexion afocal ; avec des ouvertures de 8 pouces et d'un demi-pouce, la lumière reçue est multipliée par \((8 : \frac12)^2 = 256\), comme le dit la copie.⁴⁰

Les ellipses rationnelles

La remarque sur la page 31 annonce un problème de nombres : le grand diamètre d'une ellipse étant donné, trouver des ellipses dont toutes les lignes — la perpendiculaire EF élevée au foyer, la distance AF du sommet au foyer, le petit diamètre — soient rationnelles, avec la distance des foyers plus grande que le petit diamètre et l'aire de l'ellipse plus grande que celle du cercle décrit sur la distance des foyers ; et elle donne, « pour 12 ellipses et non plus », le nombre 434788275897787529.

Si \(a\), \(b\), \(c\) sont le demi-grand axe, le demi-petit axe et la demi-distance des foyers, on a \(a^2 = b^2 + c^2\), \(AF = a - c\) et \(EF = b^2/a\) : rendre ces lignes rationnelles, c'est demander un triangle rectangle en nombres d'hypoténuse \(a\). Les deux conditions s'écrivent \(c > b\) et \(ab > c^2\) ; en posant \(b = a\sin\beta\), elles reviennent à \(\sin\beta < \frac{\sqrt2}{2}\) et \(\sin\beta > \frac{\sqrt5 - 1}{2}\), soit \(38{,}2^\circ < \beta < 45^\circ\). Le problème est donc bien posé, et c'est un problème de représentations d'un carré en somme de deux carrés. Mais le nombre tel que la transcription le lit se factorise en \(1051 \cdot 5987 \cdot 69098059417\), dont les deux premiers facteurs sont de la forme \(4k+3\) : il n'est hypoténuse que d'un seul triangle rectangle en nombres entiers, qui ne satisfait d'ailleurs pas aux deux conditions, et ne peut servir à douze ellipses. Cette lecture ne peut dire si l'écart vient de la lecture du nombre, de la copie, ou d'un énoncé plus fin que celui qu'elle en tire.⁴¹

Portées

Galilée démontre que la portée à \(45^\circ\) est 10000 quand celle d'un degré est 349 : c'est \(1/\sin 2^\circ = 28{,}65\), juste dans le vide. La copie répond que dans l'air la portée à \(45^\circ\) n'est guère que triple de celle d'un degré, et que la balle, qui fait plus d'effet de près que de loin, ne garde pas une vitesse horizontale égale. Les deux sont vrais, chacun dans son milieu. La remarque sur la page 42 porte une date : « le dernier jour de mai 1636, sur la foire à Saint-Cloud », en tête de trois mesures de portées d'arquebuse.⁴² La remarque sur la page 61 réfute l'argument d'une balance dont un poids pend au bout d'un bras, par la même raison que la réfutation de Beaugrand lue plus loin : un poids suspendu tire suivant son fil, et l'on ne peut composer son effet comme s'il était attaché au bras.

Les nouvelles observations physiques et mathématiques

40–44

L'écoulement de l'eau

« J'ai premièrement trouvé que les vitesses de la sortie de l'eau par un même trou sont en raison sous-doublée des hauteurs des tuyaux » : un tuyau de 4 pieds débite deux fois plus vite qu'un tuyau d'un pied, un tuyau de 16 pieds quatre fois, pourvu qu'on les tienne pleins. C'est la loi qu'on appelle aujourd'hui de Torricelli, \(v = \sqrt{2gh}\).⁴³ Les mesures qui suivent se vérifient en partie. Un jet horizontal sortant à 6 pouces du sol d'un tuyau de 4 pieds doit porter, sans pertes, à \(2\sqrt{48 \cdot 6} \approx 34\) pouces : la copie mesure trois pieds, ce qui est remarquablement juste. Le jet à \(45^\circ\) devrait porter à environ 8 pieds, la copie en mesure 6 ; le jet vertical devrait remonter à 4 pieds, la copie en mesure un peu plus de 3, « quasi un quart » de moins : ce sont les pertes.

Le calcul de la vue 41 est juste dans son principe : pour que l'eau jaillisse 60 fois plus vite, il faut un tuyau \(60^2 = 3600\) fois plus haut, soit \(12 \cdot 3600 = 43200\) pieds. La copie écrit « en raison doublée de 1 à 60, ou de 12 à 720 », où 720 est \(12 \cdot 60\) et non le terme de la raison doublée, qui est 43200.

La chute dans l'eau, et une date

« Enfin le 4^e juin 1638 j'ai trouvé que le plomb est à la vessie comme 1890 à 1 » (vue 41) : c'est la deuxième date d'expérience du volume. La remarque voisine rapporte « l'expérience contre Galilée » : l'eau pesant douze fois moins que le plomb, la règle de Galilée voudrait que le plomb tombe dans l'eau en deux secondes presque autant que dans l'air, et il ne tombe que de 12 pieds. Avec la chute de 12 pieds dans la première seconde, qui en fait 48 en deux, la règle donne \(48 \cdot \frac{11}{12} = 44\) pieds ; la copie écrit 42, et la pièce latine de la fin, qui reprend le même argument, dit bien 12 contre 11.⁴⁴ La règle de Galilée est en effet fausse dans l'eau : elle ne tient compte que de la poussée, et c'est la résistance du fluide, croissante avec la vitesse, qui limite très vite la chute.

La remarque sur la page 10 décrit la parabole comme composée d'un mouvement horizontal uniforme et d'une montée qui repasse, en sens inverse, par tous les degrés de vitesse de la descente : c'est juste dans le vide. Puis la copie ajoute : « Il faut corriger tout ceci, puisque les flèches convainquent que la descente est plus longue à se faire que la montée. » C'est juste dans l'air.

Contre la géostatique de Beaugrand

La remarque sur la page 17 réfute en cinq points une balance dont les bras seraient dirigés vers le centre de la Terre, et d'où son auteur tirait que les poids changent de pesanteur avec leur distance au centre. Le deuxième point est le plus fort, et il est juste : le principe d'Archimède et de Pappus sur le centre de gravité de deux poids, qui partage la droite de leurs centres en raison inverse des poids, n'est vrai que si les poids tirent suivant des lignes parallèles ; pour des forces qui concourent au centre de la Terre, il n'y a pas en général de centre de gravité fixe, et l'auteur qui suppose le contraire « ne prouve rien ». Le quatrième point relève une pétition de principe exactement : pour prouver que la distance change la pesanteur, l'auteur suppose le centre de gravité placé comme si elle ne la changeait pas.⁴⁵

La neuvième observation : le tempérament égal

La grande table de la vue 43 compare, pour la tierce mineure, la tierce majeure, la quarte, la quinte et les deux sixtes, quatre valeurs justes ou approchées sur une corde de 100000 parties — la « parfaite », une « approchante », une « imparfaite », une « du tout éloignée » — à celle de « l'accord de Gallé », obtenue « par moyennes proportionnelles », c'est-à-dire le tempérament égal à douze demi-tons. Voici les valeurs, recalculées : \[ \begin{array}{l|c|c|c|c|c} & \text{parfaite} & \text{approchante} & \text{imparfaite} & \text{éloignée} & \text{tempérament égal} \\ \hline \text{tierce mineure} & \frac56 = 83333 & \frac{1024}{1215} = 84280 & \frac{27}{32} = 84375 & \frac{64}{75} = 85333 & 2^{-3/12} = 84090 \\ \text{tierce majeure} & \frac45 = 80000 & \frac{405}{512} = 79102 & \frac{64}{81} = 79012 & \frac{25}{32} = 78125 & 2^{-4/12} = 79370 \\ \text{quarte} & \frac34 = 75000 & \frac{512}{675} = 75852 & \frac{20}{27} = 74074 & & 2^{-5/12} = 74915 \\ \text{quinte} & \frac23 = 66667 & \frac{675}{1024} = 65918 & \frac{27}{40} = 67500 & & 2^{-7/12} = 66742 \\ \text{sixte mineure} & \frac58 = 62500 & \frac{256}{405} = 63210 & \frac{81}{128} = 63281 & \frac{16}{25} = 64000 & 2^{-8/12} = 62996 \\ \text{sixte majeure} & \frac35 = 60000 & \frac{1215}{2048} = 59326 & \frac{16}{27} = 59259 & \frac{75}{128} = 58594 & 2^{-9/12} = 59460 \end{array} \] Toutes les valeurs de la copie sont justes, à trois exceptions près : \(\frac{75}{128}\) vaut 58594 et non 58994 ; \(\frac{81}{128}\) vaut \(63281\frac14\), écrit 63282 ; et la dernière ligne, intitulée « Sexta minor » comme la précédente, est celle de la sixte majeure. Les « différences avec la parfaite » ne sont pas des différences de longueurs mais des écarts relatifs, en cent millièmes : 1123 est l'écart de \(\frac{2048}{2025}\), 1235 celui du comma syntonique \(\frac{81}{80}\), 2344 celui du dièse \(\frac{128}{125}\) ; et pour le tempérament égal, 113 pour les quintes et les quartes, 789 pour les tierces majeures et les sixtes mineures, 900 pour les tierces mineures et les sixtes majeures. Tous sont justes.

Le paragraphe qui suit tire de là que, dans le tempérament égal, la tierce majeure est plus près de la juste que la mineure, et il le vérifie en commas : l'octave valant 53 commas, le ton égal vaut \(8\frac56\), le demi-ton \(4\frac{5}{12}\), la tierce mineure égale \(13\frac14\) au lieu de 14, trop basse de \(\frac34\) de comma, la tierce majeure \(17\frac23\) au lieu de 17, trop haute de \(\frac23\) : la mineure s'écarte davantage, de \(\frac{1}{12}\) de comma. C'est exact, et conforme à la table (\(900 > 789\)) : en cents, \(-15{,}6\) contre \(+13{,}7\). La copie en conclut que les facteurs d'orgues, qui jugent le contraire, ont l'oreille « pervertie par accoutumance ».⁴⁶

La roulette

La remarque sur la page 25 annonce qu'on a trouvé l'aire de la roulette pour tout rapport entre la circonférence du cercle roulant et le chemin qu'il fait, ses tangentes, ses centres de gravité, et que le solide qu'elle engendre en tournant sur sa base est au cylindre de même hauteur « comme 8 à 5 ». Le rapport est juste, lu dans l'autre sens : le solide engendré par une arche de cycloïde tournant autour de sa base vaut \(5\pi^2 r^3\), le cylindre circonscrit \(8\pi^2 r^3\) ; le cylindre est au solide comme 8 à 5.⁴⁷

Les nombres amiables

La remarque sur la page 26, en latin, donne une règle « ex Cartesio » : si \(x\) est une puissance de 2 telle que \(3x - 1\), \(6x - 1\) et \(18x^2 - 1\) soient premiers, les nombres \(2x(18x^2 - 1)\) et \(2x(3x-1)(6x-1)\) sont amiables — chacun est la somme des parties aliquotes de l'autre. La règle est exacte ; c'est celle qu'on nomme aujourd'hui règle de Thābit ibn Qurra. Pour \(x = 2\), 8 et 64 elle donne, avec les premiers \(5, 11, 71\) ; \(23, 47, 1151\) ; \(191, 383, 73727\), les trois paires de la copie, \(220\) et \(284\), \(17296\) et \(18416\), \(9363584\) et \(9437056\), et cette lecture a vérifié que chacune est amiable.⁴⁸ Mais la phrase finale, « et l'on en peut trouver une infinité d'autres de la même manière », n'est pas démontrée, et elle est fausse autant qu'on le sache : on ne connaît aucune autre valeur de \(x\) pour laquelle les trois nombres soient premiers.

Les nombres multiparfaits

La treizième observation dresse des listes. Dans la langue de la copie, un nombre dont les parties aliquotes font « le double » est un nombre dont la somme des diviseurs propres est double de lui, c'est-à-dire, en notant \(\sigma(n)\) la somme de tous ses diviseurs, \(\sigma(n) = 3n\). Les six nombres donnés — \(120\), \(672\), \(523776\), \(459818240\), \(1476304896\), \(51001180160\) — sont bien tels, et ce sont exactement les six nombres de cette sorte connus aujourd'hui. Que ce soient les seuls, comme l'affirme la copie (« il n'y en a dans tous les nombres que les 6 qui suivent »), est une question ouverte.⁴⁹

Les neuf nombres dont les parties aliquotes font « le triple » (\(\sigma(n) = 4n\)) — \(30240\), \(32760\), \(23569920\), \(45532800\), \(142990848\), \(1379454720\), \(43861478400\), \(66433720320\), \(403031236608\) — le sont tous ; mais la liste n'est pas complète dans son intervalle, car \(2178540\) et \(153003540480\) le sont aussi. La règle qui passe de \(459818240\) à \(1379454720\) en multipliant par 3 est juste, et c'est le cas particulier d'un lemme que le cadre de la même page énonce en général : si \(\sigma(n) = kn\) avec \(k\) premier ne divisant pas \(n\), alors \(\sigma(kn) = (k+1)\,kn\), puisque \(\sigma\) est multiplicative et \(\sigma(k) = k + 1\). Ainsi un « sextuple » non divisible par 7, multiplié par 7, donne un « septuple ».⁵⁰

Des nombres dont les parties font « le quadruple » (\(\sigma(n) = 5n\)), la copie donne \(14182439040\) et \(30823866178560\), qui le sont, et \(508666803200\), qui ne l'est pas tel que la transcription le lit ; \(518666803200\), qui n'en diffère que par un chiffre, l'est.⁵¹ Le cadre donne enfin un produit de vingt et un facteurs, \(2^{31}\), \(13\), \(17\), \(31\), \(41\), \(43\), \(61\), \(83\), \(163\), \(257\), \(307\), \(331\), \(467\), \(613\), \(1093\), \(11^3\), \(7^4\), \(2801\), \(65537\), \(547^2\) et « 594323 », qui ferait un « quadruple » ; tel qu'il est lu, il n'en est pas un (\(\sigma/n \approx 3{,}33\)). Mais si l'on remplace 594323 par \(1594323 = 3^{13}\), le produit \(P\) vérifie exactement \(\sigma(P) = 5P\), et, n'étant pas divisible par 5, il donne \(\sigma(5P) = 6 \cdot 5P\), le « quintuple » que le cadre annonce. Le premier chiffre du dernier facteur manque, sur la page ou dans la lecture.⁵²

Les feuillets blancs de la fin

45–52Sous la rubrique « Au papier blanc après tous les livres de l'harmonie », huit pages de nombres, sans renvoi au livre sauf une fois.

Les carrés magiques emboîtés

Un carré magique d'ordre \(n\) est une disposition des nombres \(1\) à \(n^2\) en carré telle que chaque rangée, chaque colonne et chaque diagonale ait la même somme, qui est alors \(\frac{n(n^2+1)}{2}\). Le carré de 22 de la vue 45 a pour somme \(22 \cdot 485 / 2 = 5335\). Il contient, emboîtés au centre, des carrés de 16, 12 et 10 qui sont eux-mêmes magiques : ce sont des carrés « à enceintes », qu'on peut dépouiller de leurs bordures en gardant la propriété. Tel que la transcription le lit, toutes ses colonnes et ses deux diagonales font 5335 ; les carrés de 12 (rangées et colonnes 6 à 17, de coins 241, 242, 243, 244) et de 10 (rangées 7 à 16, de coins 33, 46, 452, 439) sont exactement magiques, de sommes 2910 et 2425 ; seules les rangées 18 et 19 font 5338 et 5332. La copie a tracé deux traits entre les cases 433 et 430 de ces rangées ; les échanger corrige les rangées, mais dérange alors les colonnes 18 et 19 de trois unités. Un autre chiffre du bloc est donc probablement mal lu ou mal copié.⁵³

Les notes de marge sont les plus intéressantes. « Chaque rang de 16 contient 2056 selon le Père Mersenne, mais il est faux, car il contient 3880 » ; de même 870 et 2910 pour le carré de 12, 505 et 2425 pour celui de 10. Les deux nombres de chaque paire sont justes, de deux objets différents. \(2056 = \frac{16 \cdot 257}{2}\), \(870 = \frac{12 \cdot 145}{2}\) et \(505 = \frac{10 \cdot 101}{2}\) sont les sommes magiques de carrés d'ordre 16, 12 et 10 faits des nombres \(1\) à \(n^2\) ; \(3880\), \(2910\) et \(2425\) sont celles des carrés intérieurs du carré de 22, qui sont faits de nombres pris entre 1 et 484, et dont la somme est \(k \cdot \frac{485}{2}\). La correction de la copie est juste pour le carré qu'elle a sous les yeux.

Les carrés de 9 et de 8 « pour les planètes » sont magiques (sommes 369 et 260), et à enceintes eux aussi : le carré de 9 contient des carrés magiques de 7, 5 et 3 (sommes 287, 205, 123), attribués à Vénus, Mars et Saturne, le carré de 8 des carrés de 6 et 4 (sommes 195 et 130), pour le Soleil et Jupiter. Les deux carrés de 4 des vues 45 et 46 sont magiques. Que le carré de 4 se varie « en 880 façons » sans compter les huit retournements, et que le carré de 3 ne se fasse que d'une, est exact : il y a 880 carrés magiques d'ordre 4 à rotation et symétrie près, et un seul d'ordre 3. Que « toutes ses dispositions différentes » soient \(16! = 20922789888000\) est juste aussi. La vue 46 ajoute que, parmi les 880, « il y en a 16 seulement » qui ont aux quatre coins quatre nombres consécutifs, et que chacune se voit en 8 manières, soit 128 : cette lecture a compté les carrés magiques d'ordre 4 et trouve bien 128 carrés, 16 à la symétrie près. Mais l'exemple que donne la copie, « comme est 4, 5, 6, 7 », est impossible : les quatre coins d'un carré magique d'ordre 4 font toujours 34, et quatre nombres consécutifs de somme 34 ne peuvent être que 7, 8, 9, 10.⁵⁴

Deux nombres dont on demande s'ils sont premiers

« Arithmeticis proponitur numerus 2027651281, dicant intra 4 dies num sit numerus primus, aut compositus, quod si facere nequeant, nos intra horae spatium certis regulis, et catholicis dabimus. »⁵⁵ Il est composé : \(2027651281 = 44021 \cdot 46061\). La factorisation se trouve en une heure, en effet, par la méthode qui porte aujourd'hui le nom de Fermat : on cherche un carré \(x^2\) tel que \(x^2 - N\) soit un carré, en partant de \(\lceil\sqrt N\,\rceil = 45030\) ; au douzième essai, \(45041^2 - 2027651281 = 1020^2\), et \(N = (45041 - 1020)(45041 + 1020)\).⁵⁶

Le second est sur la vue 50 : « viam communem non reperies, an 1073602561 sit primus necne nisi per omnes primos usque ad 8191 diviseris ». Il ne l'est pas, et 8191 en est justement le plus petit diviseur : \(1073602561 = 8191 \cdot 131071 = (2^{13} - 1)(2^{17} - 1)\), produit de deux nombres premiers de Mersenne. Diviser jusqu'à 8191 trouve donc le facteur ; mais pour prouver qu'un nombre de cette taille est premier, il faudrait diviser jusqu'à sa racine, 32766.⁵⁷

La même page juge d'autres nombres : « 1373 est premier, et non 1369, carré de 37, ni 1371 » — juste, \(1371 = 3 \cdot 457\). Mais « 6679 n'est pas premier, il se divise par 23 et 29 » est faux : \(23 \cdot 29 = 667\), et 6679 est premier.

Compter les parties aliquotes

Les « parties aliquotes » d'un nombre sont ses diviseurs autres que lui-même ; leur nombre est \(\tau(n) - 1\), où \(\tau(n)\) compte tous les diviseurs, et si \(n = p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}\), alors \(\tau(n) = (e_1+1)\cdots(e_r+1)\). C'est exactement la première règle de la vue 46 : pour 108, produit du carré 4 et du cube 27, on prend les exposants 2 et 3, on ajoute un à chacun, \(3 \cdot 4 = 12\), et l'on ôte un : 11 parties aliquotes. La « seconde méthode » — \(2 \cdot 3 + 2 + 3 = 11\) — est l'identité \((a+1)(b+1) - 1 = ab + a + b\) et ne vaut que pour deux facteurs. Les exemples de la copie sont justes : 20 et 12 et 45 en ont 5, 360 en a 23, 400 en a 14, 5000 en a 19, 12000 en a 47, 888 en a 15, 666 en a 11, 6000 en a 39, et 5040 en a 59.

Deux sont faux. 15000 n'a pas « 80 parties moins une » mais 39 : \(15000 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^4\), et \(\tau = 4 \cdot 2 \cdot 5 = 40\) ; la copie donne au facteur 3 un exposant 3. Et la règle inverse — trouver le moindre nombre qui a un nombre donné de parties aliquotes — est fausse sur l'exemple même de la copie. Pour 11 parties, il faut \(\tau(n) = 12\) ; la copie décompose \(12 = 3 \cdot 4\), prend un carré et un cube, et trouve \(9 \cdot 8 = 72\). Mais 12 se décompose aussi en \(2 \cdot 2 \cdot 3\), ce qui donne \(2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60\), plus petit, et 60 a bien 11 parties aliquotes.⁵⁸

Sommer les parties aliquotes

La quatrième règle (vues 47 et 48) calcule la somme des parties aliquotes par la multiplicativité de \(\sigma\) : on décompose le nombre en puissances de premiers, on prend pour chacune la somme de ses diviseurs, on multiplie, et l'on ôte le nombre. La règle est juste et la plupart des exemples aussi : 12 donne 16, 20 donne 22, 5040 donne 14304 (\(31 \cdot 13 \cdot 8 \cdot 6 = 19344\)), 12000 donne 27312, 5000 donne 6715, 888 donne 1392, 6000 donne 13344. Deux sont faux. Pour 666, le produit \(3 \cdot 38 \cdot 13\) vaut 1482 et non 1282, et la somme des parties est 816 et non 697. Pour 560400, la somme est 1238592, et non 1374480 — ni pour 500400, l'autre lecture du chiffre douteux.⁵⁹

La troisième règle est l'inverse : trouver un nombre dont la somme des parties est donnée. Si \(s - 1\) est un nombre premier \(p\), le carré \(p^2\) a pour parties \(1\) et \(p\) et convient ; si \(s - 1 = p + q\) avec \(p\) et \(q\) premiers distincts, \(pq\) convient. Les exemples sont justes : 121 pour 12, qui est bien le seul ; 529 pour 24, le seul aussi ; 95 pour 25. Mais 95 n'est pas le seul pour 25 : 119 et 143 conviennent aussi, puisque \(24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13\).

Les triplets en proportion continue

« Le moindre nombre de ceux qui contiennent vingt-quatre fois, et non plus, trois nombres proportionnels, est 24843, et non 753571, qui les contient aussi. » Le sens est donné par l'exemple : 91 « contient » les quatre triplets \(1, 9, 81\) ; \(25, 30, 36\) ; \(13, 26, 52\) ; \(7, 21, 63\), qui sont en progression géométrique et ont chacun pour somme 91. Écrire \(N = a + b + c\) avec \(b^2 = ac\), c'est écrire \(N = d(x^2 + xy + y^2)\) avec \(a = dy^2\), \(b = dxy\), \(c = dx^2\) et \(x, y\) premiers entre eux, et les nombres premiers qui entrent dans \(x^2 + xy + y^2\) sont 3 et ceux de la forme \(6k+1\) — d'où la condition de la copie que les premiers « doivent être 6 plus un ». Cette lecture a compté ces triplets pour tous les nombres jusqu'à 800000, en écartant le triplet trivial \(a = b = c\). Les affirmations de la copie sont exactes : 91 en a 4 et c'est le moindre ; \(24843 = 3 \cdot 7^2 \cdot 13^2\) en a 24 et c'est le moindre ; \(753571 = 7^3 \cdot 13^3\) en a 24 aussi. Seule la note de marge se trompe, qui donne 49 pour le moindre nombre à deux triplets : 21 en a deux, \(1 + 4 + 16\) et \(3 + 6 + 12\).⁶⁰

Critères de divisibilité

Un nombre qui finit par 0 ou 5 est divisible par 5 ; un nombre dont la somme des chiffres, les 9 ôtés, laisse 3, 6 ou 9 est divisible par 3 ; s'il ne reste rien, par 9. Exemple juste : les chiffres de \(75512713527351\) font 54, et le nombre est divisible par 9.

Sommes de puissances, en latin

La page latine de la vue 50 et la suivante donnent des règles justes. Le triangulaire d'un nombre impair est ce nombre multiplié par son milieu (\(T_7 = 7 \cdot 4 = 28\)), d'un nombre pair sa moitié multipliée par le suivant (\(T_6 = 3 \cdot 7 = 21\)). La somme des \(n\) premiers triangulaires est \(n\) multiplié par le tiers du triangulaire suivant : \(\sum_{k \le n} T_k = \frac{n\,T_{n+1}}{3} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\), soit 35 pour \(n = 5\). La somme des \(n\) premiers cubes est le carré du \(n\)-ième triangulaire : \(465^2 = 216225\) pour \(n = 30\), et \(10^2 = 100\) pour \(n = 4\). La somme des \(n\) premiers carrés est le double de \(n\) fois le tiers du triangulaire suivant, moins le triangulaire de \(n\) : \(2 \cdot \frac{n\,T_{n+1}}{3} - T_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\), soit 30 pour \(n = 4\) et 9455 pour \(n = 30\). Tout est exact.

Les quatre premiers « problèmes des pierres » — des pierres posées le long d'un chemin, qu'on rapporte une à une au point de départ — sont justes aussi. Vingt pierres à un pas l'une de l'autre demandent \(20 \cdot 21 = 420\) pas ; cent pierres aux intervalles \(1, 2, 3, \dots\) demandent \(2 \cdot \frac{100 \cdot 101 \cdot 102}{6} = 343400\) pas ; douze pierres aux intervalles \(1, 2, 4, \dots\) sont aux distances \(2^k - 1\), dont la somme est \(2^{13} - 2 - 12 = 8178\), soit 16356 pas ; cinq pierres aux intervalles \(1\), \(3\), \(9\), \(27\), \(81\) sont aux distances \(1\), \(4\), \(13\), \(40\), \(121\), de somme 179, soit 358 pas. Le cinquième problème est trop incertain dans sa lettre pour être vérifié.⁶¹

Différences de puissances

La différence de deux cubes consécutifs est un nombre hexagonal centré : \((n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1 = 6T_n + 1\) ; ainsi \(64 - 27 = 6 \cdot 6 + 1 = 37\). Pour les quatrièmes puissances, la copie ajoute au cube du moindre nombre la « colonne » de l'hexagone central du plus grand : \(4^4 - 3^4 = 4 \cdot 37 + 27 = 175\), ce qui est l'identité \(n^4 - (n-1)^4 = n\bigl(n^3 - (n-1)^3\bigr) + (n-1)^3\). Pour les cinquièmes, la règle est plus curieuse et exacte : on double le triangulaire du moindre nombre \(m\), on prend le triangulaire de ce double, et l'on écrit un 1 à la suite. Pour \(m = 3\), \(T_3 = 6\), \(T_{12} = 78\), et l'on a 781, qui est \(4^5 - 3^5\). En général \(10\,T_{m(m+1)} + 1 = 5m^4 + 10m^3 + 10m^2 + 5m + 1 = (m+1)^5 - m^5\).⁶²

Les dés

Trois dés donnent \(6^3 = 216\) coups, et les points de 3 à 10 s'obtiennent de \(1\), \(3\), \(6\), \(10\), \(15\), \(21\), \(25\), \(27\) façons — symétriquement de 18 à 11 — dont la somme 108 est la moitié de 216 : tout est exact. Les six premiers nombres sont bien les triangulaires ; les deux suivants, 25 et 27, ne le sont plus, et la copie les donne sans règle.

Pour deux dés, la copie se trompe. Le texte dit « 62 façons » et « 31 jeux différents » ; il y en a 36 et 21. Le petit feuillet volant de la vue 49 montre d'où vient la faute : le copiste a d'abord écrit, pour chaque point de 2 à 12, toutes les décompositions en deux nombres, y compris celles où entre un nombre plus grand que six, puis il a biffé celles-ci ; et il compte deux fois chaque coup double (« 1 1, 1 1 »). La table de la marge (vue 51), faite après la correction, trouve ainsi 42 coups, soit \(36 + 6\), et 21 jeux sans ordre, ce dernier nombre juste.

L'Académie parisienne aux amis de Galilée

53–55La dernière pièce du volume est d'un autre genre : un texte latin suivi, intitulé « L'Académie parisienne prie les très illustres hommes, familiers et amis de Galilée, Lyncéens, de répondre aux notes suivantes sur les livres des dialogues ». Quinze objections numérotées renvoient aux pages des dialogues, de la page 2 à la page 288 ; la fin explique que « ce sont les choses que les Parisiens avaient écrites à Galilée lui-même quand il vivait encore », que sa mort a prévenu l'envoi, et prie ses amis — Toscans, Romains, Bolonais, Génois — d'envoyer leurs réponses à « l'éminent géomètre génois D. Santini », qui les fera parvenir. La pièce est datée : « Lutetiae Calendis Julii anni 1643 », à Paris, le 1^er juillet 1643. Elle ne porte pas de nom.⁶³

Les objections sont de physique, et le temps a donné raison tantôt à l'Académie, tantôt à Galilée. Elle a raison contre lui quand elle attribue à la pression de l'air, et non à la force du vide, l'adhérence de deux plaques polies et la limite des pompes aspirantes (objection 2) ; quand elle nie que les petits cercles de la roue d'Aristote laissent des « petits espaces vides » et dit qu'ils vont seulement plus lentement (objection 5) — le petit cercle roule et glisse à la fois ; quand elle doute que toutes les oscillations d'un même pendule soient de durée égale (objection 11) — elles ne le sont que pour les petites amplitudes ; et quand elle oppose l'expérience à la règle qui fait retrancher à la vitesse d'un corps la fraction de son poids que lui ôte le milieu (objection 15), la règle ignorant la résistance du fluide. Elle a tort quand elle nie que les corps pèsent dans le vide (objection 8) ; quand elle attribue la voix plus grave des cordes d'or à leur mollesse et non à leur poids (objection 9), comme on l'a vu plus haut ; et quand elle tire de l'expérience de l'arquebuse une objection contre la composition des mouvements (objection 14) : une balle tirée horizontalement tombe bel et bien de quelque 15 pieds en une seconde, et si elle touche le but, c'est que la ligne de mire et l'axe du canon ne sont pas parallèles. Le rapport de 28 à 1 entre les portées à \(45^\circ\) et à \(1^\circ\), qu'elle récuse au nom de l'expérience, est juste dans le vide et faux dans l'air, comme l'avait déjà dit la copie.⁶⁴

La pièce finit par deux demandes précises : le poids et la grandeur des fioles avec lesquelles Galilée avait pesé l'air, « afin que nous imitions au plus près ses observations », et le traité de la force de percussion auquel il avait tant travaillé.

Sous la date, un tableau occupe la moitié de la page : les sept modes des Grecs, de l'hypodorien au mixolydien, dessinés comme sept échelles en escalier, avec une légende en français : si l'on commence les six autres modes à la mèse de l'hypodorien, on entend « les sept tons et les sept modes des anciens, tous diversifiés et chacun en son lieu propre, selon M. Doni ».

Ce que ces feuillets ne disent pas

1–56Il faut finir par les limites, parce que le titre du volume et la nature de la copie invitent à en dire plus que les feuillets.

Ce n'est pas l'exemplaire annoté de Mersenne. C'est une copie de ses notes, dans une main qui n'est pas la sienne et qui ne se nomme pas. Cette lecture ne sait rien de l'exemplaire copié, ni s'il existe encore.

L'attribution est celle du titre. Les remarques sont de Mersenne parce que la copie le dit ; trois passages le nomment à la troisième personne, dont un qui le corrige, et cette lecture ne sait pas qui les a écrits. Les trois feuillets de musique de devant sont d'une autre main, ne renvoient pas au livre, et rien ne les rattache aux remarques. La pièce latine de 1643 est de la main de la copie ; elle parle au nom de l'« Académie parisienne » et n'a pas d'auteur nommé.

Les renvois au livre n'ont pas été vérifiés. Toutes les pages de l'Harmonie sont citées comme la copie les donne ; c'est pourquoi deux des corrections discutées ici — celle de la page 139, et le nombre de la page 110 — restent suspendues à une lecture du livre.

Aucune date n'est donnée à la copie. Les seules dates sont celles que les feuillets écrivent : 1563 pour la « triple musique » de Le Fèvre, 1484 pour Gafurius d'après Faber, le dernier jour de mai 1636 (l'année douteuse), 1638 pour l'observation de M. de Villiers, le 4 juin 1638, avril 1640 pour la lettre de Fermat, le 1^er juillet 1643. Plusieurs remarques citent des livres que la copie nomme — « l'hydraulique pneumatique », « les réflexions physicomathématiques », « les nouvelles pensées de Galilée » que « j'ai mis en français » — et qui répondent, par leurs titres, à des ouvrages de Mersenne postérieurs à l'Harmonie ; si c'est bien d'eux qu'il s'agit, les notes ont été écrites pendant plusieurs années après la parution du livre. C'est une inférence de cette lecture, non une date.

Un manuscrit est cité et n'est pas ici. « Le gros volume manuscrit entier de cette matière », où se trouve la combinaison des huit notes de l'octave (vues 20 et 24), n'est pas nommé autrement et n'est pas dans ce volume.