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2feuillet de garde, numéroté 1 ; la ligne qui suit est d'une main plus grande et plus grasse que celle du mémoire Manuscrits de mémoires imprimés

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Exposition des principes qui servent de base à la théorie des surfaces élastiques

Avertissement

Les phénomènes acoustiques dont on doit la connoissance à Mr Chladny, ont dirigé l'attention des géomètres vers la question des surfaces élastiques.

Malgré leurs travaux ; il existe encore quelqu'embarras dans le choix des principes qui doivent servir de base à toute cette théorie.

Deux hypothèses essentiellement différentes ont été proposées. L'une d'elle a pour appui un nom justement célèbre ; c'est une forte raison de se défier de celle qui m'appartient : aussi ai-je fait tous mes efforts pour y renoncer.

Je sens que j'ai besoin de m'étayer d'un jugement étranger. Il ne me reste que ce moyen de dissiper le doute qui me poursuit au milieu des recherches que j'ai entreprises. En exposant mon sentiment j'y joins mes raisons afin que le public éclairé les pèse et m'apprenne à en mieux juger.

Si je prens quelquefois le ton affirmatif c'est uniquement pour m'affranchir de l'expression fatiguante du doute. Il suffit d'avertir une fois le lecteur que bien loin de prétendre fixer son opinion je sollicite

4de sa part l'examen critique de la mienne. On me pardonnera, sans doute, de ne dissimuler ensuite aucun des avantages que je crois reconnoître dans mon hypothèse.

Aussi tôt que les premières expériences de Mr Chladny me furent connues, il me parut que l'analyse pouvoit déterminer les lois auxquelles elles sont assujetties. J'eus occasion d'apprendre d'un grand géomètre dont les premiers travaux avoient été consacrés à la théorie du son que cette question contenoit des difficultés que je n'avois pas même soupçonnées. Je cessai d'y penser.

À l'époque du séjour à Paris de Mr Chladny, la vue de ses expérience excita de nouveau ma curiosité. J'étudiai le mémoire d'Euler sur le cas linéaire, non pas certainement dans l'intention de concourir au prix, extraordinaire, que l'institut proposa alors, mais avec l'unique désir d'apprécier les difficultés dont les termes mêmes du programme me renouvelloient l'idée.

Dans le cas linéaire les forces d'élasticité sont hypposées proportionnelles à la raison inverse du rayon de courbure. L'hypothèse qui donne au lieu de la raison inverse du rayon de courbure d'une simple courbe ; la somme des raisons inverses des rayons des deux courbures principales d'une surface me frappa par son analogie et par sa simplicité.

Je présentai, au concours du mois de janvier 1814

5un mémoire qui contient : l'hypothèse que j'avais imaginée ; l'équation de la plaque vibrante ; et, à l'aide de quelques intégrales particulières, la comparaison entre les résultats de la théorie et l'expérience.

L'institut a jugé que cette comparaison étoit satisfesante. Me sera-t-il permis de faire remarquer que la question des surfaces élastiques avoit dèslors perdu une partie des difficultés mentionnées au programme

appel de note * ; la note occupe le bas des vues 5 et 6 et se lit : « p. 4 du programme. Cette différence essentielle entre les questions de mouvement, considérées sous chacun de ces points de vue, dans le simple cas linéaire, fait concevoir sur le champ qu'on doit trouver des différences de même espèce, et surtout une grande augmentation de difficultés lorsqu'on veut introduire deux dimensions dans le calcul — et plus bas p. 5 et 6. Voilà tout ce que les géomètres ont pu faire sur les problèmes des corps sonores, considérés dans le cas de deux dimensions, et en introduisant même des simplifications, qui, on ne peut se le dissimuler, changent l'état naturel des choses de manière que les résultats de l'analyse n'y peuvent point être applicables. Ces simplifications hypothétiques sont surtout inadmissibles lorsqu'il s'agit des surfaces vibrantes métalliques, ou jouissant d'une élasticité naturelle : prenant le cas le plus simple qui est celui du plan, il est manifeste qu'on ne peut pas lui appliquer la supposition d'Euler… On n'a donc pas même les équations différentielles du mouvement pour cette espèce de vibration, en envisageant leurs phénomènes tels que la nature les donne et la seule recherche de ces équations offroit aux géomètres un sujet de méditation très intéressant… »

On étoit en possession d'une hypothèse qui introduisoit deux dimensions dans le calcul. Si cette hypothèse n'étoit pas encore justifiée a priori elle n'étoit au moins appuyée sur aucune simplification qui changeat l'état naturel des choses.

L'ignorance la moins excusable, même chez un simple amateur, m'avoit, à la vérité, empêchée de déduire, d'une manière régulière mon équation de l'hypothèse qui lui sert de base. Une pareille faute ne permettoit sans doute pas à la classe d'accorder une aprobation

6entière à mon mémoire ; mais elle ne pouvoit détruire aux yeux des géomètres la relation qui existe entre l'hypothèse et l'équation. Enfin personne ne contestoit que l'équation différentielle que j'attribuois au mouvement des plaques vibrantes n'appartînt réellement à ce genre de vibrations en envisageant leurs phénomènes tels que la nature les donne. La difficulté sembloit être réduite, ou à traiter mon hypothèse conformément aux règles du calcul, ou à imaginer une autre hypothèse qui conduisit également à l'équation que j'avois donnée. On pouvoit encore désirer que l'hypothèse choisie fut justifiée a priori.

Au mois d'août 1814, un membre de la classe lut un mémoire sur les surfaces élastiques. L'auteur adopte une hypothèse nouvelle. Il la traite avec le talent qui caractérise tous ses ouvrages ; et, en se bornant au cas des surfaces naturellement planes, il parvient à l'équation générale de ce genre de surfaces.

Il paroît reconnoître que l'on arriveroit à la même équation en employant la somme des raisons inverses

7des deux rayons de courbures principales.

Cette identité de résultat sembleroit devoir me garantir l'exactitude de la théorie que j'ai cherché à établir ; mais malheureusement il reste encore entre la doctrine de ce savant auteur et la mienne, des différences essentielles qui ne peuvent manquer de jetter le doute dans mon esprit.

Dans le mémoire que j'ai envoyé pour le concours du mois de janvier 1816, j'ai essayé de justifier a priori l'hypothèse que j'avois déja proposée, et j'ai taché de montrer comment cette hypothèse pouvoit conduire à l'équation d'une surface élastique de figure quelconque.

L'académie, en accordant le prix à ce mémoire, a pourtant mis une certaine restriction à son approbation.

Sans avoir jamais bien compris le sens de cette restriction, j'ai dû penser que je n'avois pas encore réussi à fixer le point de vue général de toute cette théorie.

D'ailleurs le mémoire sur les surfaces élastiques n'a été publié que depuis l'époque dont je parle, l'auteur n'y fait aucune mension de mon dernier travail. J'ai lieu de croire qu'il n'adoptoit pas mon sentiment, et l'opinion d'un si habile géomètre est devenue pour moi un nouveau motif de défiance.

J'ai longtems attendu qu'en publiant, comme il l'avoit fait esperer, la suite de ses recherches, ce savant auteur me donnat lieu de reconnoître la source de mon erreur.

J'entreprens à regret la discussion à laquelle je vais me livrer, elle suppose de ma part un abandon

8d'amour propre que le désir de dissiper mes doutes peut seul expliquer.

Afin de mettre le lecteur à même de prononcer, je me propose d'examiner et de comparer, sous trois points de vue différens les deux hypothèses proposées.

D'abord a priori. Cet examen sera précédé de quelques reflexions générales sur la nature des hypothèses mathématiques.

En me bornant ensuite au cas des plaques vibrantes j'exposerai les conclusions analytiques auxquelles conduisent l'une et l'autre hypothèses.

Enfin, je comparerai les résultats du calcul aux phénomènes observés.

Si les principes que je soumets en ce moment au jugement des géomètres, leur semblent en effet devoir servir de base à la théorie des surfaces élastiques, jespere être dans la suite en état de publier et l'équation générale de ce genre de surfaces et une comparaison détaillée de la théorie avec l'expérience non seulement dans le cas des surfaces planes, où le travail de Mr Chladny m'a déja aidée d'une manière si puissante, mais encore dans d'autres cas où je me trouve réduite à mes seules observations.

Je puis annoncer dès à présent que le signe du terme qui représente la courbure naturelle, est contraire à celui que j'avois adopté, en suivant l'indication d'Euler (de sono campanorum) dans mon mémoire pour 1816, ensorte que les différences de son observées sur des plaques, avant

9et après leur courbure, différences que j'ai trouvées plus sensibles en employant de plus grandes courbures, loin d'être contraires à la théorie que je cherchois à établir, comme je l'avois dit N° 15 de ce mémoire, y sont entièrement conformes.

De la nature des hypothèses mathématiques

On doit distinguer deux genres d'hypothèses. Les unes ne sont autre chose que l'énoncé même de l'état de la question. L'art de les employer se réduit a celui de les faire entrer dans le calcul. Elles sont accompagnées de l'évidence et la transmettent à toutes les conséquences que l'on peut en tirer.

Les autres résultent d'une manière plus ou moins arbitraire d'envisager la question. Elles sont assujetties au besoin de l'analyse, il ne s'agit plus d'une simple traduction du langage ordinaire dans la langue des calculs, il s'agit d'un choix a faire entre les divers points de vues dont la question est susceptible et le but de ce choix est de rendre l'analyse applicable.

Il résulte de la nature de pareilles hypothèses que leurs conséquences ont besoin d'être confirmées par la comparaison avec des données prises ailleurs.

Avant cette comparaison, non seulement on ne sauroit affirmer qu'elles contiennent tout ce qui est de la

10question, mais encore on ne peut pas être sûr qu'elles n'ayent rien introduit d'étranger ou même de contraire à l'état de la question.

Les mathématiques pures n'admettent que le premier genre d'hypothèses ; aussi l'équation y est-elle considérée comme une définition complette de l'état de choses auquel elle s'applique, et n'attend-elle aucune confirmation de la comparaison à l'observation. le dernier mot est écrit sur un grattage

C'est ainsi, par exemple, que les faits usuels qui résultent de l'emploi du cercle dans les arts ne sauroient rien ajouter à l'évidence des conséquences qu'on tire de l'équation de cette courbe.

Les mathématiques mixtes sont souvent obligés d'employer des hypothèses arbitraires, mais les efforts des géomètres tendent à les en affranchir.

Lorsqu'une théorie physicomathématique est déduite des conditions auxquelles la question est évidemment assujettie elle tire de cette origine un genre de certitude qui ne sauroit appartenir aux théories fondées sur des hypothèses arbitraires. On est en état d'affirmer, avant la comparaison avec l'expérience que les phénomènes suivront les lois données par le calcul. Il est possible, à la vérité que les conditions qui sont entrées dans l'analyse ne soient pas les seules auxquelles la question soit physiquement assujettie ; si l'expérience révèle

11l'existence d'anomalies étrangères aux erreurs inévitables, il restera à complettir la théorie en y introduisant les conditions qui avoient été omises. La comparaison avec l'expérience ne sert pas dans ce cas à vérifier si les suppositions admises appartiennent réellement à la question, mais si elles la contiennent toute entière.

Les géomètres mettent une telle importance à obtenir le genre de certitude dont je parle, que même lorsqu'une théorie fondée sur quelque supposition arbitraire a reçu la sanction de l'expérience, ils croient rendre service à la science en prouvant que la théorie n'avoit pas besoin du secours d'une telle hypothèse. C'est ainsi que Mr Biot a prouvé que la théorie des surfaces tendues est indépendante de la supposition à l'aide de laquelle Euler l'avoit d'abord établie.

Je dois craindre de me faire illusion en pensant, que mon hypothèse, étrangère à toute idée arbitraire, peut être regardée comme la définition complette de l'état de la question des surfaces élastiques et que l'autre hypothèse n'est applicable a la même question que dans les seuls cas où elle est équivalente a la mienne. Les §§ suivans seront consacrés au développement de cette opinion. Je l'abandonnerai sans regret si les géomètres ne dédaignant pas de l'examiner trouvent qu'elle est mal fondée.

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Examen a priori, de la nature des deux hypothèses proposées comme devant servir de bases à la théorie des surfaces élastiques

N° 1 Afin d'éviter les objections qui pourroient tomber sur la définition même du mot élasticité j'adopterai celle de d'Alembert (encyclopédie méthodique art. élasticité)

« Élasticité ou force élastique en mécanique, propriété ou puissance des corps naturels au moyen delaquelle ils se rétablissent dans la figure et l'étendue que quelque cause extérieure leur avoit fait perdre »

Les raisonnemens suivans nous mèneront à l'hypothèse qui doit renfermer la mesure des forces d'élasticité.

Il résulte de la définition que les forces d'élasticité tendent à détruire la différence qui existe entre la figure et l'étendue naturelles des corps doués de ces forces et celles que les mêmes corps ont été contraints de prendre par l'action d'une cause extérieure.

Les forces d'élasticité dont un corps quelconque est doué ont donc pour mesure la différence qui existe entre la figure et l'étendue naturelles de ce corps et celles qu'une cause extérieure l'a forcé de prendre.

Si nous représentons par \(N\) la figure et l'étendue naturelles du corps élastique et par \(E\) la figure et l'étendue qu'une force extérieure l'a forcé de prendre, l'action des forces d'élasticité sera proportionnelle à la différence \(E-N\). Cette action tend à diminuer la différence \(E-N\), le terme dû aux forces d'élasticité sera donc \[ -(E-N)\,\delta(E-N). \]

13N° 2 Imaginons à présent une surface également épaisse dans toute son étendue, dont tous les points soient animés par des forces répulsives égales entr'elles, et agissant dans une sphère d'activité d'un rayon donné. L'action de telles forces tendra à placer chaque molécule à distance égale des molécules voisines et cette distance aura le rayon donné pour mesure.

La grandeur du rayon donné sera la limite de la force d'expansibilité d'une telle surface. Quelques soit quelle que la grandeur du rayon, les forces supposées tendront à rendre la figure de la surface régulière.

Si la grandeur du rayon est insensible, la force d'expansibilité sera également insensible ; l'effet de l'action des forces répulsives se réduira à détruire l'irrégularité de la surface, et sera par conséquent proportionnel à cette irrégularité. Si nous représentons par \(I\) l'irrégularité dont il s'agit, le terme dû à l'action des forces répulsives sera donc \(-I\,\delta I\).

N° 3. Pour déterminer la valeur analytique des termes \(-(N-E)\,\delta(N-E)\) et \(-I\,\delta I\) il est nécessaire de connoître l'expression générale de la courbure des surfaces. l'ordre des lettres est inversé par rapport au N° 1, où le même terme est écrit \(-(E-N)\,\delta(E-N)\)

Je partirai de l'état de cette question posée par Euler dans son mémoire intitulé Recherches sur la courbure des surfaces M. de Berlin 1760 p. 119

« Pour connoître la courbure des lignes courbes » dit cet illustre géomètre, « la détermination du rayon

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osculateur en fournit la plus juste mesure, en nous présentant pour chaque point de la courbe un cercle, dont la courbure est précisément la même. Mais, quand on demande la courbure d'une surface, la question est fort équivoque, et point du tout susceptible d'une réponse absolue, comme dans le cas précédent. Il n'y a que les surfaces sphériques dont on puisse mesurer la courbure, attendu que la courbure d'une sphère est la même que celles de ses grands cercles, et que son rayon peut en être regardé comme la juste mesure. Mais pour les autres surfaces on n'en sauroit même comparer la courbure avec celle d'une sphère comme on peut toujours comparer la courbure d'une ligne courbe avec celle d'un cercle ; la raison en est évidente puisque, dans chaque point d'une surface, il peut y avoir une infinité de courbures différentes… « Donc la question sur la courbure des surfaces n'est pas susceptible d'une réponse simple, mais elle exige à la fois une infinité de déterminations : car, puisqu'on peut tracer par chaque point d'une surface une infinité de directions, il faut connoître la courbure selon chacune, avant qu'on puisse se former une juste idée de la courbure de la surface. Or, par chaque point d'une surface, on peut faire passer une infinité de sections, et cela non seulement par rapport à toutes les directions sur la surface même, mais aussi par rapport a leur inclinaison différente sur la surface… »

15Conformément à l'indication d'Euler, je considérerai l'ensemble des courbes qui résulteroient de la section d'un plan passant par le point donné d'une surface, et la coupant successivement non seulement dans toutes les directions, mais encore dans chacune de ces directions, sous toutes les inclinaisons possibles.

La courbure d'une ligne courbe est exprimée par la raison inverse de son rayon de courbure ; je chercherai donc la somme des raisons inverses des rayons de courbures de toutes les lignes courbes produites par les différentes sections de la surface.

Soient \(\rho_p\) le rayon de courbure de la courbe produite par une section perpendiculaire à la surface ; \(R\) et \(R'\) les rayons de courbures de celles des courbes qui ayant une tangente commune avec la première sont produites par les sections inclinées de \(\theta\) et \(\pi-\theta\) degrés ; on aura \[\begin{gather*} \frac{1}{R} = \frac{\cos\theta}{\rho_p}, \qquad \frac{1}{R'} = \frac{\cos(\pi-\theta)}{\rho_p}, \\ \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} = \frac{\cos\theta + \cos(\pi-\theta)}{\rho_p} = 0 . \end{gather*}\]

Par conséquent la somme des raisons inverses des rayons de courbures de toutes les courbes produites par les sections inclinées sera nulle ; et nous n'aurons plus à nous occuper que des seules sections perpendiculaires à la surface.

Si \(\rho_p\) et \(\rho'_p\) sont les rayons de courbures des courbes produites par deux sections perpendiculaires entr'elles \(\rho\) et \(\rho'\) les rayons de courbures principales de la surface, \(A\) l'angle que le plan qui contient la courbe dont le rayon est \(\rho_p\) fait avec le plan qui contient la courbe dont le rayon est \(\rho\), nous aurons, en vertu des relations

16connues \[\begin{align*} \frac{1}{\rho_p} &= \frac{1}{\rho}\sin^2 A + \frac{1}{\rho'}\cos^2 A \\ \frac{1}{\rho'_p} &= \frac{1}{\rho}\sin^2\!\left(\frac{\pi}{2}+A\right) + \frac{1}{\rho'}\cos^2\!\left(\frac{\pi}{2}+A\right) = \frac{1}{\rho}\cos^2 A + \frac{1}{\rho'}\sin^2 A \end{align*}\] et enfin \(\dfrac{1}{\rho_p} + \dfrac{1}{\rho'_p} = \dfrac{1}{\rho} + \dfrac{1}{\rho'}\), théorème également connu.

Il en résulte que la somme des raisons inverses des rayons de courbures de toutes les lignes courbes produites par les différentes sections de la surface, se réduit à la somme des raisons inverses des deux rayons de principales courbures de la même surface prise une infinité de fois. On sentira aisément que l'idée de l'infini est étrangère à la question, et ne se présente ici qu'a raison de la répétition d'une seule et même mesure qui est en effet celle de la courbure de la surface.

Il est facile à présent de trouver l'expression analytique du terme \(-(E-N)\,\delta(E-N)\). Car en nommant \(R\) et \(R'\) les rayons de courbures principales de la figure naturelle de la surface, \(\rho\) et \(\rho'\) les rayons de courbures principales de la figure que l'action d'une cause extérieure l'a forcé de prendre, figure qu'on pourroit appeller élastique, parceque ce n'est que lorsque la surface s'y est pliée qu'elle est douée de forces intérieures qui lui soient propres ; on aura par ce qui précède \(N = \frac{1}{R} + \frac{1}{R'}\), \(E = \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'}\), et par conséquent \[ -(E-N)\,\delta(E-N) = -\left\{ \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} - \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} \right) \right\} \delta\left\{ \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} - \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} \right) \right\} . \]

N° 4 La valeur analytique du terme \(-I\,\delta I\) dépend de l'irrégularité de la surface, et la question de l'irrégularité d'une surface semble encore plus compliquée que celle

17de la courbure. Je crois cependant que l'on peut également obtenir la mesure de ce genre de quantité.

En considérant toujours la totalité des courbes qui passant par le point donné sont formées par les diverses sections de la surface, on connoîtra l'irrégularité de la surface, si on connoît la différence de courbure de toutes ces courbes comparées chacune à celle qui est produite par la section perpendiculaire.

Par la raison donnée N° 3 on peut exclure les courbes formées par les sections obliques. En effet la somme des courbures produites par toutes les inclinaisons possibles du plan passant dans une direction donnée, étant nulle, la différence entre ces premières courbures et celles également produites par toutes les inclinaisons possibles du plan passant dans la direction perpendiculaire, sera nécessairement nulle.

Nous n'aurons donc encore à nous occuper que des seules sections normales.

En faisant comme à l'ordinaire \(r = \frac{d^2 z}{dx^2}\), \(s = \frac{d^2 z}{dx\,dy}\), \(t = \frac{d^2 z}{dy^2}\) et retenant les dénominations du N° précédent suivant lesquelles \(\rho_p\) et \(\rho'_p\) sont les rayons de courbures des courbes produites par deux sections perpendiculaires entr'elles \(\rho\), \(\rho'\) les rayons de principales courbures de la surface, et \(A\) l'angle que le plan qui contient la courbe dont le rayon est \(\rho_p\) fait avec le plan qui contient la courbe dont le rayon est \(\rho\), nous aurons a l'aide des formules connues : \[\begin{align*} \rho_p &= \frac{\sin^2 A + \cos^2 A} {r\cos^2 A + 2s\sin A\cos A + t\sin^2 A} \\ \rho'_p &= \frac{\sin^2 A + \cos^2 A} {r\sin^2 A - 2s\sin A\cos A + t\cos^2 A} \end{align*}\]

18et par conséquent \[\begin{align*} \frac{1}{\rho_p} - \frac{1}{\rho'_p} &= (r-t)\{\cos^2 A - \sin^2 A\} + 4s\sin A\cos A \\ &= (r-t)\cos 2A + 2s\sin 2A . \end{align*}\]

Soient, à présent, \(\rho_q\) et \(\rho'_q\) les rayons de courbures de deux courbes produites par deux sections perpendiculaires entr'elles et \(\frac{\pi}{2} - A\), l'angle que le plan qui contient la courbe dont le rayon est \(\rho_q\) fait avec le plan qui contient la courbe dont le rayon est \(\rho\), nous aurons également \[\begin{align*} \frac{1}{\rho_q} - \frac{1}{\rho'_q} &= (r-t)\cos(\pi-2A) + 2s\sin(\pi-2A) \\ &= -(r-t)\cos 2A + 2s\sin 2A . \end{align*}\]

La somme des deux différences \(\frac{1}{\rho_p} - \frac{1}{\rho'_p}\), \(\frac{1}{\rho_q} - \frac{1}{\rho'_q}\) se réduira donc à \(4s\sin 2A\).

Si les plans de plus grande et plus petite courbure coïncident avec les plans des \(xz\), \(yz\) on a, comme on sait, \(s=0\) : ainsi la somme des deux différences deviendra nulle, et la somme des différences de courbures de toutes les courbes formées par les diverses sections de la surface, prises en comparant chaque courbure a celle de la courbe produite par la section perpendiculaire se réduira enfin à la différence des deux courbures principales de la surface.

En effet, si on excepte les deux cas de \(A = 45°\) et \(A = 0\), les plans qui contiennent les courbes dont les rayons sont \(\rho_p\) et \(\rho'_p\) ne peuvent jamais se confondre avec les plans qui contiennent les courbes dont les rayons sont \(\rho_q\) et \(\rho'_q\).

19Lorsque \(A = 45\) ; \(\frac{\pi}{2} - A = A\) et, à cause de \(s=0\) on a \[ \rho_p - \rho'_p = (r-t)\cos 2A = 0 . \] Ainsi \(\rho - \rho'\) est la seule différence qui ne disparoisse pas ; elle pourra donc être considérée comme la mesure de l'irrégularité de la surface. Cela posé, on aura \[ -I\,\delta I = -(\rho-\rho')\,\delta(\rho-\rho') . \] appel de note * après la première formule ; la note occupe le bas de la vue et se lit : « Je crois avoir prouvé N° 3 que la courbure d'une surface a pour mesure la somme des raisons inverses des deux rayons de courbures des courbes produites par deux quelconques des sections normales perpendiculaires entr'elles. À cause de \(\frac{1}{\rho_p} = \frac{1}{\rho'_p}\), \(2\cdot\frac{1}{\rho}\) sera donc aussi la mesure de la même courbure ; c'est-à-dire que : quelque soit [en marge : quelle] la courbure d'une surface elle aura pour mesure la courbure de la sphère dont le rayon est égal au rayon de la courbe formée par la section normale qui fait un angle de 45° avec les plans de plus grande et de moindre courbures de la même surface. Ce théorème m'a paru d'autant plus remarquable qu'il est appuyé sur les principes qui ont porté Euler a penser (voyez le passage cité N° 3) qu'on ne sauroit même comparer la courbure d'une surface avec celle d'une sphère. »

N° 5. L'hypothèse qui fait le sujet des N°s 2 et 4 me paroît être entièrement semblable a celle qu'a adopté le savant auteur du mémoire sur les surfaces élastiques.

En effet on lit (M. de l'Institut 1812. seconde partie p 192 §§ 11 N° 8 de ce mémoire)

… « Or quelque soit la cause de cette qualité de la matière (l'élasticité) elle consiste en une tendance des molécules des corps à se repousser mutuellement, et l'on peut l'attribuer à une force répulsive qui s'exerce entre ces points, suivant une certaine fonction de leurs distances. Il est naturel

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de penser que cette force, ainsi que toutes les autres action moléculaires, n'est sensible que pour des distances imperceptibles ; nous admettrons donc cette hypothèse, et nous supposerons, en conséquence, que la fonction des distances qui représente la force élastique, n'a de valeur que pour des valeurs extrêmement petites de la variable qui exprime les distances, et qu'elle devient nulle aussitôt que cette variable devient sensible. D'ailleurs cette action répulsive étant censée venir de tous les points matériels qui composent la surface, il s'en suit que pour des distances égales, la force répulsive entre deux points devra être proportionnelle au produit des épaisseurs de la surface qui leur correspondent ; mais par une raison que l'on verra bientôt nous nous bornerons à considérer les surfaces également épaisses dans toute leur étendue. »

On peut voir N°s 12 et suivans par quelle savante analyse l'auteur, après avoir pris pour plans des coordonnées ceux des principales courbures de la surface parvient à introduire la différence \(\frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho'}\), dans ses formules.

C'est a l'aide de la même position des plans coordonnés que nous sommes arrivés à conclure, N° 4, que l'action des forces d'élasticité sur un des points de la surface est exprimée, dans la présente hypothèse, par le terme \[ -\left( \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho'} \right) \delta\left( \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho'} \right) . \] au N° 4 le même terme est donné sous la forme \(-(\rho-\rho')\,\delta(\rho-\rho')\), sans les raisons inverses

N° 6 Arrêtons nous un instant à l'examen de la nature des deux hypothèses proposées.

L'une admet simplement que le corps élastique, et par conséquent aussi chacun des points matériels dont il est

la vue 20 s'arrête au milieu de la phrase ; le texte se poursuit à la vue 21, hors de ce lot