Manuscrits de Sophie Germain, Français 9115, vues 21–40

Les deux séries de numéros à l'encre relevées au lot 1 se poursuivent sans interruption : vues 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39 → 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, accompagnés chacun d'un second nombre biffé → 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37 ; vues 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40 → 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38. Ces numéros ne sont pas au crayon : aucune foliotation de la Bibliothèque n'a été lue sur ces vues, et aucun « f. » n'est donc porté dans cette transcription.

composé, tendent à se replacer dans la situation qu'une cause extérieure leur a fait perdre.

L'autre suppose une tendance des molécules des corps à se repousser mutuellement. Celle-ci ne permet donc pas d'attribuer de forces propres à chaque point considéré isolement.

La première, générale comme la définition même des forces d'élasticité, conduit au terme -\left( \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} - \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} \right) \right) \delta\left( \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} - \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} \right) \right) et ce terme s'applique, comme on devoit s'y attendre, à toutes les figures naturelles possibles de la surface.

La seconde ne semble devoir s'appliquer qu'aux seuls cas où les quantités \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} - \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} \right) et \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho'}, sont nulles en même tems.

En effet les forces répulsives ne tendent qu'à diminuer la différence \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho'} ; l'action des forces répulsives ne peut donc être épuisée que quand la différence \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho'} devient nulle. Les forces d'élasticité ne tendent qu'à diminuer la différence \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} - \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} \right) ; l'action des forces d'élasticité ne peut donc être épuisée que quand la différence \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} - \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} \right) devient nulle, c'est-à-dire quand la surface a repris sa figure naturelle. S'il arrivoit que l'équation \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} - \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} \right) = 0 n'entraînat pas la condition \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho'} = 0, les forces répulsives continueroient d'agir lorsque les forces d'élasticité auroient épuisées leur action. Les deux hypothèses ne pourroient donc plus s'appliquer à la même nature de surface. Ainsi, celle qui admet les forces répulsives sera bornée au seul cas où, la surface considerée dans son état naturel, aura, en chaque point, les rayons principaux de courbure

égaux et dirigés du même côté.

La condition d'une même limite pour les différences \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} - \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} \right) et \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho'}, ne suffit pas pour que les deux hypothèses soient équivalentes. Si on réfléchit sur leur nature on verra qu'une différence essentielle les distingue.

L'une veut que la force élastique soit propre a chaque point matériel qui compose la surface. L'autre suppose que chacun des mêmes points ne doit la force dont il est doué qu'a l'action qu'il exerce sur les points adjacens et à celle à laquelle il est soumis de la part des mêmes points.

Les deux hypothèses ne peuvent donc être équivalentes que dans les cas où les tendances répulsives sont combinées de manière que leur effet sur chaque point matériel puisse être considéré isolément et comme ne dépendant plus que de ~~son~~ déplacement de ce point.

S'il s'agit, par exemple, d'une simple lame droite, le choix de l'hypothèse sera parfaitement indifférent. « de l'hypothèse » est ajouté dans l'interligne, au-dessus de « le choix sera » Pour nous en convaincre, imaginons trois points matériels A, B, C disposés en ligne droite et supposons que chacun de ces points exerce sur les points adjacens une égale action. La force avec laquelle le point B sera repoussé par le point A sera détruite par la force avec laquelle le même point B sera repoussé par le point C. Le point B ne sera donc plus animé que par la somme des forces avec lesquelles il repoussera les points adjacens A et C. Le point A sera animé par la force avec laquelle il repoussera le

des trois points se trouvera soumis a la même action que s'ils étoient animés de forces propres uniquement dépendantes de leur déplacement et, quelle que soit l'étendue de la lame élastique elle sera en équilibre lorsque tous ses points matériels seront placés a distances égales les uns des autres, c'est-à-dire lorsqu'elle aura repris sa figure naturelle.

Aussi les différences \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} - \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} \right) et \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho'}, ont-elles, alors, non seulement la même limite, mais encore la même valeur savoir \frac{1}{\rho}.

A l'égard des surfaces naturellement planes le choix de l'hypothèse cesse d'être indifferent. Cependans aucun des points intérieurs d'une telle surface se trouve animé par des forces qui ont des sphères d'activité égales entre elles, ces forces tendent donc a produire le même effet que si elles étoient réunis a leurs centres respectifs, ou, ce qui revient au même, que si elles étoient propres a chacun des points intérieurs de la surface. « Cependans aucun… se trouve animé » : la négation attendue (« n'est animé ») manque sur le feuillet ; la phrase est transcrite telle quelle

L'ensemble de ces points doit se trouver en équilibre par rapport aux forces répulsives lorsqu'ils seront tous placés à distance égales les uns des autres ; c'est-à-dire lorsque la surface aura repris sa figure naturelle.

Suivant la remarque de l'habile géomètre dont j'ai plusieurs fois cité le mémoire, lorsqu'on a seulement égard aux termes qui après les intégrations

par parties, restent sous le double signe on a identiquement \delta \iint \frac{k\, dx\, dy}{\rho\rho'} = \iint \delta\!\left( \frac{k}{\rho\rho'} \right) dx\, dy = 0 . Puisque c'est par le terme \iint \delta\!\left( \frac{4k}{\rho\rho'} \right) dx\, dy que les deux hypothèses diffèrent, il s'en suit que si le choix de l'hypothèse est indifferent a l'égard des mêmes points, le résultat de l'une et l'autre hypothèses devienne pour eux identique. la valeur du coefficient est lue « 4k » à la seconde intégrale et « k » à la première ; les deux lectures sont celles du feuillet

Il n'en est pas de même pour les points d'extrémités. L'équation à laquelle ils doivent satisfaire depend du choix de l'hypothèse et, en général, les conditions auxquelles on peut concevoir que ces points sont assujettis ne peuvent s'appliquer à la fois aux équations données par l'une et l'autre hypothèses.

Il est facile d'en voir la raison. Supposons, par exemple, que la plaque élastique soit terminée par une ligne droite ; pour que les points matériels situés sur cette ligne soient, par rapport aux forces répulsives, dans le même cas que les points intérieurs, il faut que la ligne d'extrémité se meuve parallèlement à elle même, afin que les actions hémisphériques exercés par chacun des points qui la composent

sur les points adjacens, ajoutés aux actions également hémisphériques que les points adjacens exercent sur les mêmes points d'extrémités, donne pour chacun une action sphérique qui, comme pour les points intérieurs, puisse être censée réunie à leurs centres et devienne ainsi équivalente aux forces propres que l'autre hypothèse attribue à tous les points matériels de la surface. « pour chacun » est ajouté dans l'interligne, au-dessus de « donne une action »

N° 7 L'auteur du mémoire sur les surfaces élastiques a borné ses recherches au cas des surfaces naturellement plane. Cet habile géomètre n'a pas dissimulé les difficultés que l'on rencontreroit dans l'application de son hypothèse si on vouloit déterminer les conditions auxquelles les points d'extrémités peuvent être assujettis ; car on lit le passage suivant p. 202 N° 14 de son memoire :

« Si le point m est, au contraire, situé sur le contour de la surface, ou qu'il en soit très peu éloigné, la sphère d'activité de la force répulsive, autour de ce point, ne sera plus complète, c'est-à-dire, qu'une portion de son étendue ne renfermera pas de points de la surface. Alors les intégrales relatives à u et \varphi devront être prises dans d'autres limites ; mais pour trouver l'équation différentielle de la surface élastique en équilibre, il suffit de considérer les points intérieurs, situés à une distance quelconque de son contour ; et l'on n'a besoin d'examiner ce qui arrive aux points extrêmes, que pour déterminer les forces particulières que l'on doit appliquer aux limites de la surface pour la tenir en équilibre ; détermination très délicate, sur laquelle je me propose de revenir par la suite mais dont il ne sera pas question dans ce mémoire. »

Si l'auteur se fut occupé de la détermination dont il parle ici, j'aurois été à même de comparer l'une et l'autre théories sous des rapports où elles ne peuvent manquer de différer essentiellement.

Réduite à mes seules lumières, j'avouerai que l'hypothèse des forces répulsives me semble devoir mener, sauf le cas dont j'ai parlé N° 6, à considérer la surface plane comme fesant partie d'une sphère dont le rayon seroit infini, c'est-à-dire comme infinie elle même.

Il me semble en effet que ce n'est que quand les points doués de forces répulsives appartiennent à une surface sphérique, que l'on peut toujours regarder l'effort de chacun de ces points pour reprendre sa situation naturelle comme égale a l'effort des mêmes points pour se mettre dans la situation où les forces répulsives se font équilibre ; condition qui me paroît nécessaire pour que les deux hypothèses soient, généralement parlant, équivalentes.

Je ne me dissimule pas que le point de vue sous lequel j'ai envisagé la question est entièrement neuf ; et c'est pour moi un grand sujet de défiance.

Dans le cas linéaire, les géomètres ont eu recours à la considération de l'angle de contingence, et ils ont présentés de grandes difficultés à exprimer, pour la surface, un nombre infini de flexions qui s'exécuteroient à la fois dans tous les sens. On peut regarder l'hypothèse qui admet la somme des raisons inverses des deux rayons de principales courbures, comme introduisant les angles de contingences des deux courbures respectives ; mais je vais plus loin et je ne regarde les variations de courbures que comme le resultat de la variation de position de chacun des points matériels dont se compose la surface. Je crois me conformer en cela a la définition des forces d'élasticité ; car le corps élastique ne peut tendre à reprendre sa forme et son étendue naturelles qu'autant que les points materiels qui le composent tendront eux mêmes à reprendre leur position naturelle. Cette idée est fondamentale ; elle réduit la question à ses élemens les plus simples, je supplie les géomètres de lui accorder quelqu'attention.

N° 8 Suivant la remarque du savant auteur du Mémoire sur les surfaces élastiques (voyez N° 23 p. 221) la plaque élastique en état d'équilibre est parmi toutes les surfaces de même étendue, celle dans laquelle l'intégrale \iint \left( \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} \right)^{2} k\, dx\, dy est un maximum ou un minimum.

Si j'ai reussi à prouver que le terme dû aux forces d'élasticité est pour chaque point de la surface -\left( \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} - \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} \right) \right) \delta\left\{ \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} - \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} \right) \right\} ; la même remarque s'étendra a la surface élastique de figure quelconque, et on pourra affirmer que cette surface est, parmi toutes les surfaces de même étendue, celle pour laquelle l'intégrale \iint \left\{ \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} - \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} \right) \right\}^{2} k\, dx\, dy est un maximum ou un minimum.

J'espere être, par la suite, en état de démontrer que ce théorème conduit en effet a l'équation de la surface élastique de figure quelconque

Dans les §§ suivans je ne m'occuperai plus que du seul cas des plaques vibrantes

Conclusions analytiques déduites de l'une et l'autre hypothèses

N° 9 Mon hypothèse conduit au terme -\left\{ \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} - \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} \right) \right\} \delta\left\{ \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} + \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} \right) \right\} en negligeant les quantités du second ordre, ce terme se réduit ici, à cause de \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} = 0, à -\left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right). à la seconde accolade la vue porte un signe + devant \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R'} \right), là où la vue 28 écrit deux fois - dans le même terme

On a en intégrant par parties \begin{align*} &\iint \left\{ \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \right\} dx\, dy \\ &\quad = \int \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\frac{dz}{dx} . dy - \int \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right\}}{dx} \delta z\, dy \\ &\qquad + \int \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\frac{dz}{dy} . dx - \int \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right\}}{dy} \delta z\, dx \\ &\qquad + \iint \left\{ \frac{d^{4}z}{dx^{4}} + 2\frac{d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}} + \frac{d^{4}z}{dy^{4}} \right\} \delta z\, dx\, dy . \end{align*}

N° 10 L'hypothèse des forces répulsives conduit au terme -\left\{ \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho'} \right\} \delta\left\{ \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho'} \right\} en négligeant les quantités du second ordre, ce terme se réduit ici à \begin{gather*} -\left\{ \sqrt{ \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right)^{2} - 4\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} . \frac{d^{2}z}{dy^{2}} - \left( \frac{d^{2}z}{dx\,dy} \right)^{2} \right\} } \right\} \\ \delta\left\{ \sqrt{ \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right)^{2} - 4\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} . \frac{d^{2}z}{dy^{2}} - \left( \frac{d^{2}z}{dx\,dy} \right)^{2} \right\} } \right\} \\ = -\left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \\ - 2\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} \delta\frac{d^{2}z}{dy^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \delta\frac{d^{2}z}{dx^{2}} - 2\frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta\frac{d^{2}z}{dx\,dy} \right\} . \end{gather*} le coefficient de l'accolade est lu -2 ; la différentiation du radical donnerait +2, mais le feuillet porte le signe négatif, ici comme à la vue 30

Étendu à la surface entière il donne l'intégrale double -\iint \left\{ \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) - 2\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} \delta\frac{d^{2}z}{dy^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \delta\frac{d^{2}z}{dx^{2}} - 2\frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta\frac{d^{2}z}{dx\,dy} \right\} \right\} dx\, dy en intégrant par parties on trouve :

\begin{align*} &\iint \left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} \delta\frac{d^{2}z}{dy^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \delta\frac{d^{2}z}{dx^{2}} - 2\frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta\frac{d^{2}z}{dx\,dy} \right\} dx\, dy \\ &\quad = \int \frac{d^{2}z}{dx^{2}} \delta\frac{dz}{dy} . dx - \int \frac{d^{3}z}{dx^{2}dy} \delta z\, dx + \iint \frac{d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}} \delta z . dx\, dy \\ &\qquad + \int \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \delta\frac{dz}{dx} . dy - \int \frac{d^{3}z}{dy^{2}dx} \delta z . dy + \iint \frac{d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}} \delta z . dx\, dy \\ &\qquad - 2\left\{ -\int \frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta\frac{dz}{dx} . dx - \int \frac{d^{3}z}{dy^{2}dx} . \int \delta\ill{}\, dy + \iint \frac{d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}} \delta z\, dx\, dy \right\} + \frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta z . \end{align*} dans la dernière accolade un terme est biffé puis récrit par-dessus, et ni la couche biffée ni la correction ne se laissent lire : la vue porte « \int \delta », un mot rayé, puis « dy », avec « dy » repris au-dessous. Le terme « +\,\frac{d^{2}z}{dx\,dy}\delta z » est ajouté sur une ligne propre, sous l'accolade

On a par conséquent en ayant égard à la valeur de \iint \left\{ \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \right\} dx\, dy donnée N° précédent et en effaçant ce qui se détruit : \begin{align*} &\iint \left\{ \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) - 2\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} \delta\frac{d^{2}z}{dy^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \delta\frac{d^{2}z}{dx^{2}} - 2\frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta\frac{d^{2}z}{dx\,dy} \right\} \right\} dx\, dy \\ &\quad = \int \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\frac{dz}{dx} . dy - \int \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right\}}{dx} \delta z\, dy \\ &\qquad + \int \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\frac{dz}{dy} . dx - \int \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right\}}{dy} \delta z\, dx \\ &\qquad - 2\left\{ \int \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \delta\frac{dz}{dx} . dy \ill{} \int \frac{d^{3}z}{dy^{2}dx} \delta z\, dy \right\} \\ &\qquad - 2\left\{ \int \frac{d^{2}z}{dx^{2}} \delta\frac{dz}{dy} . dx \struck{- \int \frac{d^{3}z}{dx^{2}dy} \delta\frac{dz}{dx} . dx} \struck{- \int \frac{d^{3}z}{dx^{2}dy} \delta z\, dx} \right\} \\ &\qquad + 4\left\{ \frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta z - \int \frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta\frac{dz}{dx} dx - \int \frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta\frac{dz}{dy} dy \right\} \\ &\qquad + \iint \left\{ \frac{d^{4}z}{dx^{4}} + 2\frac{d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}} + \frac{d^{4}z}{dy^{4}} \right\} \delta z\, dx\, dy . \end{align*} ces deux dernières accolades sont les plus retouchées du lot : le signe qui joint les deux intégrales de la première est couvert d'un pâté d'encre et n'a pas été lu ; dans la seconde, deux groupes sont rayés, et la lecture de la couche annulée reste douteuse ; le 2 de « -2 » est repassé à l'encre

N° 11 Conformement à ce qui a été dit N° 6, les termes qui restent sous le double signe, c'est-à-dire ceux qui se rapportent aux points intérieurs sont indépendans du choix de l'une ou l'autre hypothèses.

Si on multiplie la somme de ces termes par le coefficient constant n^{2} proportionnel à l'épaisseur et a l'élasticité naturelle de la surface, et que l'on ajoute le terme

\frac{d^{2}z}{dt^{2}} dû aux forces accélératrices, on aura, en ayant égard au signe \frac{d^{2}z}{dt^{2}} + n^{2}\left( \frac{d^{4}z}{dx^{4}} + 2\frac{d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}} + \frac{d^{4}z}{dy^{4}} \right) = 0 pour l'équation de la plaque élastique vibrante.

C'est en effet cette équation qui avoit été calculée d'après mon hypothèse et qui se trouve dans la pièce que j'ai envoyée pour le concours de janvier 1814.

A l'égard des termes qui se rapportent aux extremités calculés suivant l'une et l'autre hypothèses, ils ne peuvent, en général, être regardés comme équivalens. Cependans si on vouloit que la surface plane fut infinie, on auroit x et y pareillement infinis et par conséquent dx = 0, dy = 0 ; les termes qui se rapportent aux extremités disparoîtroient d'eux mêmes et, comme je l'ait dit N° 7, le choix de l'hypothèse seroit parfaitement indifferent.

Dans tout autre cas il me reste a examiner commens la différence entre les mêmes termes s'accomode avec l'experience.

Comparaison entre les resultats du calcul et les phénomènes observés

N° 12 Mon but actuel n'etant pas de traiter la théorie des surfaces élastiques, mais seulement de mettre le lecteur à même d'apréciér les differentes hypothèses employés à la recherche de l'équation

de ce genre de surfaces ; je n'indiquerai parmi les phénomènes qui ont été expliqués dans les mémoires que j'ai présentés a l'accademie, que ceux qui ont un rapport direct avec le choix de l'hypothèse.

J'éviterai le plus possible de citer les faits particuliers, et d'entrer dans le détail de leur explication.

L'approbation de l'institut est une garantie suffisante de l'accord entre l'experience et la théorie déduite de mon hypothèse. Je partirai donc de cet accord comme d'un point convenu ; et, en bornant les exemples à un petit nombre, je tacherai de faire apréciér la différence des resultats obtenus du calcul, suivant que l'on employe l'une ou l'autre hypothèses proposées.

N° 13 En suivant mon hypothèse nous avons trouvé, N° 9, que les termes relatifs aux limites sont : \begin{align*} &\int \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\frac{dz}{dx} . dy - \int \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right\}}{dx} \delta z\, dy \\ &\quad + \int \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\frac{dz}{dy} . dx - \int \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right\}}{dy} \delta z\, dx \end{align*}

L'hypothèse des forces répulsives nous a donné, N° 10, aussi pour les limites les termes suivans : \begin{align*} &\int \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\frac{dz}{dx} . dy - \int \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right\}}{dx} \delta z\, dy \\ &\quad + \int \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\frac{dz}{dy} . dx - \int \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right\}}{dy} \delta z\, dx \end{align*}

\begin{align*} &-2\left\{ \int \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \delta\frac{dz}{dx} . dy + \int \frac{d^{3}z}{dy^{2}dx} \delta z\, dy \right\} \\ &\quad - 2\left\{ \int \frac{d^{2}z}{dx^{2}} \delta\frac{dz}{dy} . dx - 2\int \frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta\frac{dz}{dx} . dx - \int \frac{d^{3}z}{dx^{2}dy} \delta z\, dx \right\} \end{align*} ou, en effaçant ce qui se détruit et mettant au lieu de \int \frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta\frac{dz}{dx} dx sa valeur \frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta z - \int \frac{d^{3}z}{dx^{2}dy} \delta z\, dx : \begin{align*} &2\frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta z + \int \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} - \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\frac{dz}{dx} . dy - \int \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} \ill{} \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right\}}{dx} \delta z\, dy \\ &\quad - 4\int \frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta\frac{dz}{dx}\, dx + \int \left( \frac{d^{2}z}{dy^{2}} - \frac{d^{2}z}{dx^{2}} \right) \delta\frac{dz}{dy} . dx - \int \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \ill{} \frac{d^{2}z}{dx^{2}} \right\}}{dy} \delta z\, dx \\ &\quad - 4\int \frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta\frac{dz}{dy}\, dy \end{align*} aux deux accolades différentiées le signe qui joint les deux dérivées secondes est couvert d'un pâté d'encre et n'a pas été lu ; les parenthèses qui précèdent, où le même couple paraît, portent un signe -

Supposons qu'il s'agisse d'une plaque parallélogramme et que x, par exemple, soit constant pour tous les points qui appartiennent à la ligne d'extrémité ; suivant mon hypothèse l'équation \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\frac{dz}{dx} - \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right\}}{dx} \delta z = 0 . aura lieu pour tous ces points. On pourra y satisfaire en supposant à la fois ou, \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} = 0 et \delta z = 0 ; ou, \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right\}}{dx} = 0 et \delta\frac{dz}{dx} = 0.

Dans le mémoire envoyé pour le concours de janvier 1814 j'ai expliqué un grand nombre de figures et de sons correspondans, à l'aide de l'intégrale ~~z = \ldots\, \sin\frac{my\pi}{A} \sin~~ z = \ldots\, \sin\frac{my\pi}{A} \sin . \frac{nx\pi}{A} . m et n étant des nombres entiers il est évident qu'aux extrémités c'est-à-dire lorsque x = A ou x = 0 on a \sin\frac{nx\pi}{A} = 0 et par conséquent aussi \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} = 0 et z = 0.

Lorsque x = \frac{A}{2} on a \cos\left( \frac{n x \pi}{A} \right) = \cos . n . \frac{\pi}{2} = 0 et par conséquent aussi \frac{dz}{dx} = 0 et \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right\}}{dx} = 0.

La surface est partagée par des lignes d'extrèmités qui se croissent à angles droits. Celles qui satisfont aux conditions z = 0 et \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} = 0 sont les lignes nodales de la surface. Celles qui satisfont aux conditions \frac{dz}{dx} = 0 et \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right\}}{dx} = 0 se meuvent sans cesser d'être parallèles à leur position naturelle ; c'est ce qu'il est aisé de sentir en remarquant que, la position initiale de la plaque étant supposée horisontale, \frac{dz}{dx} exprime la tangente de l'angle que la ligne d'extrémité fait avec l'horison. Ces dernières lignes sont appellées libres par analogie aux points d'extrémités libres dont Euler s'est occupé dans son mémoire sur la lame.

Les lignes dont je viens de parler peuvent être situées dans l'intérieure de la plaque : leur nombre dépend des valeurs de m et de n. Elles jouissent de cette propriété que si la plaque est coupée suivant ces lignes, les parties separées donnent le même son que la plaque entière et présentent des figures nodales dont la réunion reproduit la figure nodale observée sur la plaque avant sa division.

N° 13 En conservant les suppositions précédentes, si on adopte l'hypothèse des forces répulsives l'équation le numéro 13 est employé deux fois : la vue 32 ouvre déjà un « N° 13 », consacré à l'hypothèse de l'auteur ; celui-ci, consacré à l'hypothèse des forces répulsives, porte le même numéro sur le feuillet \begin{gather*} 2\frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta z + \int \left( \frac{d^{2}z}{dx^{2}} - \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right) \delta\frac{dz}{dx}\, dy - \int \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} \ill{} \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right\}}{dx} \delta z . dy = 0 \\ - 4\int \frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta\frac{dz}{dy}\, dy \end{gather*} le « =0 » est porté à la fin de la première ligne, le dernier terme étant renvoyé au-dessous ; le signe entre les deux dérivées secondes de l'accolade différentiée est couvert d'un pâté d'encre devra avoir lieu pour tous les points qui appartiennent à la ligne d'extrémité ; ~~et en effet~~ les conditions \delta z = 0 et \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} = 0 se réduisant ici à \sin\left( \frac{n x \pi}{A} \right) = 0 entraîneront la condition \frac{d^{2}z}{dx^{2}} - \frac{d^{2}z}{dy^{2}} = 0. ~~De même aussi~~ mais elles ne feront pas disparoître le terme 4\int \frac{d^{2}z}{dx\,dy} \delta\frac{dz}{dy}\, dy. « mais elles ne feront pas disparoître le terme… » est écrit dans l'interligne et au-dessus de la ligne suivante, en remplacement de « De même aussi », rayé

Les conditions \delta\frac{dz}{dx} = 0, \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right\}}{dx} = 0 se réduisant a \cos\left( \frac{n x \pi}{A} \right) = 0 entraîneront les conditions \frac{d\left\{ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} + 3\frac{d^{2}z}{dy^{2}} \right\}}{dx} = 0 et \frac{d^{2}z}{dx\,dy} = 0.

Ainsi, dans les cas qui se rapportent à l'intégrale z = \ldots\, \sin\left( \frac{m y \pi}{A} \right) \sin\left( \frac{n x \pi}{A} \right), ~~cas dans lesquels la ligne de repos ne satisfait plus aux conditions~~ des extrémités ; mais pour celle qui se meut parallèlement à sa situation initiale, les équations d'extrémités données par l'une et l'autre hypothèses sont satisfaites par les mêmes conditions ; et, comme je l'ai annoncé N° 6, ~~le choix de l'hypothèse est indifférent parce~~ qu'elles deviennent alors entièrement équivalentes ~~et ne sont plus que deux manières différentes d'envisager un seul et même objet~~. tout ce passage est remanié en deux couches, avec des mots rayés et des corrections dans l'interligne ; la lecture de la couche annulée est donnée pour ce qu'elle vaut, et le texte retenu est celui qui subsiste

N° 14 L'intégrale linéaire z = \ldots\, \left( A\left( a\, e^{\frac{\omega x}{A}} + b\, e^{-\frac{\omega x}{A}} + c \sin\frac{x\omega}{A} + d \cos\frac{x\omega}{A} \right) + B\left( a\, e^{\frac{\omega y}{A}} + b\, e^{-\frac{\omega y}{A}} + c \sin\frac{y\omega}{A} + d \cos\frac{y\omega}{A} \right) \right)

m'a servi à expliquer comment, le son restant le même, les figures nodales les plus bizares et les plus variées remplaçent souvent, sur la plaque quarrée les simples lignes droites dont la théorie indique la formation.

Le son et le nombre des lignes droites nodales dependent de la valeur de \omega. Si on fait successivement A = 0 et B = 0, la figure nodale sera composée des lignes droites tracées parallèlement à l'une ou l'autre des lignes d'extremités. L'intersection des lignes nodales formées dans l'une et l'autre suppositions A = 0, B = 0 détermine sur la surface des points de repos invariables.

A chaque valeur relative de A et de B correspond une nouvelle figure nodale, les points invariables appartiennent à chacune d'elles ; elles affectent d'ailleurs les formes les plus variées. Tantôt elles sont composées de simples lignes sinueuses en même nombre que les lignes droites qu'elles remplacent ; tantôt elles offrent des lignes diagonales des courbes rentrantes &c. Quelquefois même la figure nodale qui se forme sur une moitié de la plaque appartient à des valeurs differentes de A et B que celle qui se montre sur l'autre moitié. Cette variété si étonnante au premier coup d'œil reçoit cependant une explication satisfesante.

Les lignes nodales passent évidemment par tous les

points que satisfont à l'equation z = 0, ou, ce qui est la même chose à l'équation : A\left\{ a\, e^{\frac{\omega x}{A}} + b\, e^{-\frac{\omega x}{A}} + c \sin . \frac{\omega x}{A} + d \cos . \frac{\omega x}{A} \right\} + B\left\{ a\, e^{\frac{\omega y}{A}} + b\, e^{-\frac{\omega y}{A}} + c \sin . \frac{\omega y}{A} + d \cos . \frac{\omega y}{A} \right\} = 0 . Pour les points invariables la condition z = 0 est satisfaite en vertu des deux équations : \begin{gather*} a\, e^{\frac{\omega x}{A}} + b\, e^{-\frac{\omega x}{A}} + c \sin . \frac{\omega x}{A} + d \cos . \frac{\omega x}{A} = 0 \\ a\, e^{\frac{\omega y}{A}} + b\, e^{-\frac{\omega y}{A}} + c \sin . \frac{\omega y}{A} + d \cos . \frac{\omega y}{A} = 0 \end{gather*}

Dans tout autre cas les valeurs de a\, e^{\frac{\omega x}{A}} + e^{-\frac{\omega x}{A}} + \&c, a\, e^{\frac{\omega y}{A}} + e^{-\frac{\omega y}{A}} + \&c, et par conséquent aussi celle de x et y, qui satisfont a la condition z \ill{} 0, dépendent nécessairement de la valeur relative des constantes A et B. le signe entre z et 0 est couvert d'un pâté d'encre et n'a pas été lu ; la même condition est écrite « z = 0 » quelques lignes plus haut

Si on adopte mon hypothèse la séparation des variables x et y qui présente notre ~~équation~~ intégrale comme une généralisation de celle qui convient au cas linéaire n'a rien qui doive étonner ; car quelque soit la forme a laquelle la surface ait été ployée par l'action d'une cause extérieure, elle tend a reprendre la forme qu'elle affectoit avant l'action supposée.

Mais si on veut au contraire que l'elasticité soit due à des forces répulsives, comment concevoir l'application d'une pareille intégrale ? Les forces repulsives n'agissent elles pas sur tous les points situés dans leur sphère d'activité, comment donc ces forces deviendroient-elles ici linéaires et n'agiroient-elles plus que dans des directions dont les fils croisés imaginés par Euler a l'occasion des surfaces tendues, donneroient une juste idée ?

N° 15 J'ajouterai encore quelques observations relatives à un phénomène que j'ai déja fait connoître (M. pour janvier 1814)

Si on applique un corps mou à un des bords d'une plaque élastique en observant de distribuer également la masse sur tous les points de la ligne d'application, et qu'on fasse vibrer ensuite la plaque ainsi chargée ; on obtiendra la même figure et le même son que si la même plaque étoit riellement prolongée d'une quantité égale en poids au corps ajouté. Il arrive delà que, plus on augmente ce poids, plus aussi la ligne voisine de l'extrèmité chargée s'en trouve rapprochée.

Je suis parvenue, comme je l'ai dit dans le mémoire déja cité, à obtenir un son juste, d'une plaque assez chargée pour que l'intervalle entre deux lignes nodales intérieures fut dix fois plus grand que la partie de la même plaque comprise entre l'extrèmité chargée et la ligne nodale la plus voisine.

La manière de vibrer qui est l'objet de cette experience appartient à l'intégrale z = \ldots\, \sin\left( \frac{m y \pi}{A} \right) \sin\left( \frac{n x \pi}{A} \right) ; les lignes nodales sont toutes alors des lignes d'extrèmités analytiques, entorte, que si la plaque étoit riellement séparée en autant de parties, et qu'on parvient à leur imprimer le même ébranlement que lorsqu'elles sont reunies ; le son que chacune d'elles rendroient

seroit le même qu'avant leur séparation. On a donc le singulier phénomène d'une partie dix fois moins grande qu'une autre dont le son correspondant est pourtant le même.

J'ai eu depuis occasion d'observer le même fait sur des surfaces courbes. J'ai toujours trouvé que le poids de la cire collante que j'appliquois à une des extrèmités de la surface, fesoit varier la figure et le son, des mêmes quantités que si cette surface étoit riellement prolongée dans le sens de la dimension chargée, d'une étendue égale en poids, à la cire ajoutée.

L'influence de la substitution se réduit à rendre le son moins intense et les lignes nodales plus larges. Ces deux effets doivent être attribués a la résistance qu'une substance tenace oppose naturellement à la vibration de la surface. Ils ne peuvent manquer d'avoir lieu à la fois ; car lorsque le son est très intense les lignes nodales sont fort nettes parceque le mouvement des parties voisines devant alors sensible. la phrase reste inachevée sur le feuillet : rien ne suit « devant alors » avant le mot « sensible », porté seul à la ligne

A l'aide de mon hypothèse, le phénomène dont je viens de parler recoit une explication fort naturelle. Une surface d'une grandeur déterminée, lorsqu'elle se prête à une vibration donnée, est susceptible de rendre un certain son et de présenter une figure nodale correspondante. Aucun des points matériels qui la composent est alors doué d'une force propre

en vertu de laquelle il tend à reprendre sa position naturelle. Si durant le mouvement une portion de la surface élastique est remplacée par une matière inerte, chacun des points élastiques conservés garde la même tendance à reprendre sa position naturelle, et la surface continue de se mouvoir comme auparavant. Les mouvemens alternatifs sont à la vérité plus foibles, non seulemens parceque la matière inerte n'y participe pas, mais encore parceque sa presence gène la vibration

Si on veut, au contraire, que l'élasticité soit due aux forces répulsives, comment concevoir qu'il ne s'opere aucun changement essentiel lorsque des points matériels auxquels de pareilles forces ne sauroient être attribuées remplacent, par leur poids, les points qui sont doués de ces forces ?

Il s'est élevé plus d'une fois entre les géometres des discussions relatives aux principes métaphysiques admis dans le calcul. Souvent alors, le lecteur, qui négligeoit d'examiner les raisons apportés de part et d'autre, avoit à balancer l'autorité de deux noms célèbres.

Un pareil prestige n'est pas de mon côté, et loin delà, il est contre moi ; je n'ai donc pas à craindre que, si je me trompe, on admette mon erreur sans examen. J'ai bien plûtôt a craindre que les géometres justement avares de leur tems

la vue 40 s'arrête au milieu de la phrase ; le texte se poursuit à la vue 41, hors de ce lot