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Datation du catalogue : 1801-1900
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Numérotation des feuillets. La série à l'encre des lots 1 et 2 atteint 21 à la vue 41, accompagnée du second nombre biffé déjà relevé. À partir de la vue 43 elle se poursuit sans interruption — vues 43, 45, 47, 49, 51 (et 53, qui est le même feuillet), 55, 57, 59 → 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 — et s'accompagne d'un second nombre, qui est la pagination de l'auteur : impair à côté du nombre à l'encre au recto (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15), pair en haut à gauche des versos (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16). Tous ces nombres ont été lus sur la vue, sauf le « 1 » de la vue 43, à peine formé. Ils sont à l'encre et non au crayon : aucune foliotation de la Bibliothèque n'a été lue sur ces vues, et aucun « f. » n'est donc porté dans cette transcription.

41ne dédaignent d'examiner une opinion qui n'est encore que la mienne.

Si par un hazard singulier j'avois rencontré juste, il seroit fâcheux qu'une semblable défaveur détournât leur attention d'une théorie, si simple, si générale, si naturelle, d'une théorie enfin qui se réduiroit à n'être que l'énoncé même de la question, et à laquelle il n'auroit manqué, pour paroître susceptible des plus belles applications, que d'être tombée en des mains plus habiles

un trait horizontal ferme la page : c'est la fin de l'« Exposition des principes qui servent de base à la théorie des surfaces élastiques », commencée à la vue 3. La phrase n'a pas de point final. La vue 42 est le verso resté blanc de ce feuillet — seule l'écriture du recto y transparaît, inversée — et n'est pas transcrite.

Observations préliminaires

43Des surfaces ont été l'objet d'un grand nombre de travaux ; et cependant, quand je cherche à préjuger quel obstacle pourroit, à la première vue, décourager ici le lecteur, je suis moins effrayée de l'espèce de sécheresse qui s'attache au sujet, que de la trop grande nouveauté de l'aspect sous lequel j'ai crû devoir l'envisager.

Je me propose, en effet, de signaler et de définir un genre de quantités dont l'existence ne paroît pas avoir été soupçonné ; et, en traitant une matière qui semble être épuisée, j'aurais recours à des distinctions inusitées. N'est-il pas à craindre que des notions singulières, en apparence, soient repoussées avant l'examen, lorsqu'elles n'ont pour appui ni l'autorité d'un nom célèbre, ni, malgré tous mes soins, le secours d'une exposition lumineuse.

Une observation préliminaire paroît toutefois propre à faire pressentir, au moins, que la considération des courbures moyennes, objet principal des recherches qui vont être exposées, n'est peut être pas tout à fait sans utilité.

Tant qu'on se borne à examiner les surfaces par rapport à elles seules, la nature des choses établit une liaison tellement intime entre l'idée de la figure et celle de la courbure que les mots qui expriment ces idées sont, dans plusieurs cas, parfaitement synonimes ; mais il n'en est plus de même lorsque la courbure entre en comparaison avec des quantités dynamiques, comme il arrive dans certaines questions. Alors la courbure est

44tacitement traitée comme une quantité du même genre ; suivant les cas, il naît de cette quantité, soit une résistance soit une force ; on peut donc accorder, d'abord, que la courbure soit susceptible d'une valeur moyenne. De plus, si on s'attache à considérer un point donné de la surface, on trouve, à la vérité, que la figure dépend de la répartition de la courbure autour de ce point ; mais il ne répugne en aucune manière d'admettre que la force née de la courbure dépende, non de la répartition, mais de la valeur moyenne de cette courbure et que, par conséquent, en ce sens, deux surfaces qui présentent à l'œil des aspects entièrement différens possèdent cependant, dans les points comparés, des quantités égales de courbures.

On conçoit peut être déjà comment, dans une question où l'évaluation des forces dépendroit de la courbure des surfaces, l'existence des courbures moyennes pourroit offrir de précieuses simplifications ; mais l'aperçu de cette espèce de convenance ne suffit pas ; il faut encore que l'existence effective de la quantité qui en est l'objet soit établie d'une manière directe.

Or, si la considération de la courbure des surfaces peut se mêler à d'autres sujets, elle ne cesse pourtant pas d'être essentiellement du domaine de la géométrie. L'existence des courbures moyennes doit donc être établie d'une manière géométrique.

sur cette page plusieurs mots du dernier paragraphe — « elle ne cesse », « essentiellement », « géométrie » — sont repassés d'une encre plus grasse, sans rature : c'est une reprise du trait et non une correction.

45On a peu ajouté à ce qu'Euler nous a appris touchant la courbure des surfaces. Je prendrai pour point de départ le point où ce grand géomètre s'est arrêté : et, en m'aidant de ses travaux, j'essayerai de pousser plus loin mes propres recherches.

Après avoir fait choix d'un des points de la surface, on peut passer de ce point à un point voisin dans une infinité de directions. Il y a bien là autant de courbures différentes ; mais, quelque soit la diversité des configurations, la répartition de la courbure autour du point choisi offre un arrangement symétrique.

Les propriétés des courbures principales ont été examinées avec beaucoup de soin ; celles des courbures moyennes n'ont même pas été remarquées. Le but de ce mémoire sera de les faire connoître et d'en déduire la loi suivant laquelle la courbure est répartie autour d'un des points de la surface.

Le lecteur verra sans doute avec quelque surprise une loi qu'il pourroit être tenté de regarder comme illusoire être, pour ainsi dire, calquée sur une autre loi qui doit lui être déjà familière, celle de la distribution de la chaleur dans l'anneau.

Cette analogie inattendue n'est cependant pas purement fortuite : on s'en rendra raison en observant que, de part et d'autre, l'emploi des quantités moyennes se trouve uni à la considération d'un espace circulaire.

Un préjugé favorable à la notion des moyennes courbures paroît devoir naître d'un tel rapprochement ;

46pourroit-on penser, en effet, que des remarques fantastiques vinssent se ranger, d'elles mêmes, dans un ordre que l'on sait appartenir ailleurs à des vérités démontrées ?

Je suivrai dans tous ses détails la comparaison qui vient d'être indiquée. Elle offrira aux géomètres l'occasion de se familiariser avec un genre de quantités demeuré jusqu'à présent étranger à leurs recherches ; et, peut-être, à la faveur d'une marche en quelque sorte parallèle, obtiendrai-je pour mes propres travaux une foible partie de l'attention qui ne fut jamais refusée à l'auteur dont j'aurai tenté de suivre les traces.

La notion des courbures moyennes dérive de la comparaison entre la courbure de la surface et celle de la sphère. Une construction imaginée dans la vue de rendre cette comparaison sensible conduit aux propositions suivantes :

La courbure de la sphère est en raison directe de la surface convexe d'un petit cylindre à base circulaire compris entre le plan tangent au point choisi et celui qui couperoit la sphère suivant le cercle qui sert de base au cylindre :

Lorsque les rayons de courbures principales sont dirigés du même côté, la courbure de la surface est en raison directe de la surface convexe d'un segment cylindrique à base d'ellipse, appuyé sur le plan tangent au point choisi, et terminé, à l'autre extrémité, par une courbe rentrante à double courbure, composée de quatre parties symétriques et tracée, sur la surface, autour du point de tangence.

La surface convexe du segment cylindrique et celle

47du petit cylindre qui appartient à la sphère de courbure moyenne sont d'une étendue égale : et, par conséquent, la courbure de la surface est en raison directe de la surface convexe de ce cylindre.

On verra dans la suite qu'une proposition analogue, mais un peu plus compliquée, est applicable au cas où les deux rayons de courbures principales de la surface ne sont pas dirigés du même côté.

Suivant cette manière d'envisager les choses, la figure et la quantité de courbure qui appartiennent à la surface obtiennent des représentations séparées ; car, tandis que la première détermine la figure du segment cylindrique, la seconde, a pour mesure l'étendue de la superficie courbée du même segment, étendue qui, ainsi qu'on vient de le dire, est égale à celle de la petite surface cylindrique donnée par la sphère de courbure moyenne.

À l'aide de ces remarques, il sera facile de concevoir comment, dans les questions où il s'agit d'apprécier la force qui dépend de la courbure d'une surface, on trouve que cette force ne dépend que de la courbure moyenne.

Si on admet, en effet, que chacun des points de la surface du petit cylindre représente des parties égales de cette même force, on sera mené à dire que la force totale est proportionnelle à l'étendue de la surface entière de ce petit cylindre.

Ainsi la notion fondamentale des courbures moyennes, à laquelle on avoit d'abord été conduit par l'examen de questions empruntées à la mécanique, fournira, revêtue ensuite des formes géométriques qui lui conviennent, l'explication des relations dont le premier aperçu a rendu l'existence de ce genre de quantités

les deux dernières lignes de la page sont écrites très petit, au ras du bord inférieur, et la phrase s'arrête là, sans son dernier mot ; un double trait horizontal la suit. La page 6 recommence par un titre, et le mémoire ne reprend pas cette phrase.

Mémoire sur la courbure des surfaces

48N° 1 Si, par rapport aux surfaces, on avoit besoin de connoître la mesure de la courbure, on trouveroit peu de secours dans les écrits des géomètres qui se sont occupés des diverses questions dont se compose la géométrie descriptive ; et l'on seroit forcé de recourir à des travaux plus anciens.

Le mémoire d'Euler intitulé : Recherches sur la courbure des surfaces (M. de Berlin 1760 p. 119) contient, en effet, tout ce que l'on sait d'important à cet égard ; et, en lisant avec attention ce beau mémoire, on apperçoit bientôt que l'illustre auteur y a déposé le germe des recherches qui peuvent faire disparoître les difficultés qu'il a pris soin de signaler.

Dans la vue de fixer le point de départ on reproduira ici les premiers passages de ce mémoire.

En voici le début :

« Pour connoître la courbure des lignes courbes, la détermination du rayon osculateur en fournit la plus juste mesure, en nous présentant pour chaque point de la courbe un cercle, dont la courbure est précisément la même. Mais, quand on demande la courbure d'une surface, la question est fort équivoque, et point du tout susceptible d'une réponse absolue, comme dans le cas précédent. Il n'y a que les surfaces sphériques dont on puisse mesurer la courbure, attendu que la courbure d'une sphère est la même que celle de ses grands cercles et que son rayon en peut être regardé comme la juste mesure. Mais pour les autres surfaces, on n'en sauroit même comparer la courbure avec celle

d'une sphère, comme on peut toujours comparer la courbure d'une ligne courbe avec celle d'un cercle ; la raison en est évidente puisque, dans chaque point d'une surface, il peut y avoir une infinité de courbures différentes… »

Plus bas (p. 120) on lit le passage suivant

« Mais, pour le sujet présent, il suffit de ne considérer de toutes ces infinies sections que celles qui sont perpendiculaires à la surface, dont le nombre est pourtant encore infini…, et l'assemblage de tous ces rayons (ceux des courbes produites par les sections normales) nous donnera la juste mesure de la courbure de la surface au point donné ».

Lorsque je proposai de représenter la courbure d'une surface par la somme des raisons inverses des deux rayons de ses courbures principales, l'objection indiquée d'avance dans le premier des passages qu'on vient de lire fut reproduite ; et les opposans parurent croire que, parmi le nombre infini des courbes contenues dans les différens plans menés par un des points de la surface, le choix des courbures principales étoit arbitraire.

Dans le mémoire envoyé à l'académie, pour le concours de 1816, je pris la somme des raisons inverses des rayons de courbures qui résultent de toutes les intersections que produisent les différentes positions du plan mené par le point donné. Or, soit que la formule qui exprime la courbure, elle Cette somme se réduit d'abord à celle qui résulteroit des seules sections normales, et cette dernière donne la somme des raisons inverses des rayons des courbures principales, répétée un nombre infini de fois ; je conclus enfin que la somme totale n'étoit autre chose que le résultat d'opérations équivalentes dont une seule exprimeroit la mesure de la courbure ; opération qui, suivant cette manière d'envisager les choses, a dû être répétée un nombre infini de fois.

ces sections obliques, renferme le cosinus de l'inclinaison. En prenant par rapport à chacune des positions du plan normal la somme de toutes les sections obliques

la phrase biffée porte deux couches : « Cette somme se réduit… » est la première, et au dessus, dans l'interligne, une reprise qui commence par un mot lu ici « Or, soit » sans certitude ; l'une et l'autre sont barrées. Un signe « + » est porté au dessus de « la somme » ; le même signe reparaît sur le béquet de la vue 52, dont le texte pourrait être le remplacement prévu pour ce passage — la vue seule ne permet pas de l'affirmer. La note marginale est écrite verticalement dans la marge de gauche, en regard de ces lignes.

50Un pareil raisonnement étoit conforme à l'indication donnée par Euler ; car on vient de voir que cet habile géomètre pensoit, sans qu'il ait pourtant témoigné l'avoir vérifiée, qu'on pouvoit mettre à l'écart les sections obliques et que la somme des sections normales conduiroit à connoître « la juste mesure de la courbure de la surface au point donné ». Il étoit d'ailleurs évident que l'idée de l'infini, étrangère à une semblable mesure, y avoit été introduite par la multiplicité des opérations ; multiplicité à laquelle avoit donné lieu la forme du raisonnement, et non la nature de la question.

Quoiqu'il en soit du mérite de cette démonstration, elle fut formellement désapprouvée ; et, la légitimité de l'hypothèse ne cessant pas d'être contestée, il parut nécessaire d'examiner de nouveau quelle est, par rapport aux surfaces, l'expression de la courbure.

En faisant usage des formules d'Euler, il est facile de voir que, si on substitue, aux plans qui contiennent les principales courbures de la surface, deux autres plans normaux, perpendiculaires entr'eux, la somme des raisons inverses des rayons de courbures des courbes contenues dans ces deux plans, est égale à celle des raisons inverses des […] rayons de courbures principales.

Cette observation devoit se présenter la première ; aussi fut-elle employée dans la démonstration qui vient d'être rappelée.

De nouvelles réflexions sur le même sujet firent naître les remarques suivantes :

Si, parmi les systèmes de deux plans normaux perpendiculaires entr'eux, on choisit ceux qui font d'angle de \(45^{\circ}\) avec les plans qui contiennent les

une tache d'encre couvre entièrement un mot avant « rayons de courbures principales » ; elle n'a pas été devinée. Un béquet dépasse au bas de la vue, dont l'écriture transparaît à l'envers : c'est celui que la vue 52 montre de face.

51courbures principales, un même rayon appartient aux courbes formées par les intersections de chacun des plans choisis.

Les quatre quadrans de la sphère décrite de ce rayon sont situés alternativement, au dehors et au dedans de la surface :

Enfin […], par une suite de la manière dont la courbure est distribuée autour d'un point pris sur la surface, il s'établit une compensation parfaite entre les courbures plus grandes et moindres que celle de la sphère ; ensorte que, si on prend, dans un ordre facile à déterminer, un nombre donné des raisons inverses qui mesurent ces courbures, leur somme sera égale à la raison inverse du rayon de courbure de cette sphère, multipliée par le nombre donné.

Les conséquences principales de ces observations suffisent certainement pour établir la notion des courbures moyennes, et elles ont été déjà publiées, néanmoins, les explications données jusqu'à présent, mêlées, […], avec d'autres recherches qui peuvent détourner l'attention, sont […]

Pour mettre le lecteur à même de se former une idée complète de ce genre de quantités, il convient de le montrer que la question des courbures moyennes est indépendante des applications qu'on en peut faire. On se propose ici de prendre cette question pour l'objet d'un travail spécial, et de lui donner tous les développemens dont elle est susceptible.

N° 2 Quand on remonte aux formules d'Euler, on voit que, si \(f\) et \(g\) sont le plus grand et le moindre rayons

« Enfin » est suivi d'un chiffre abrégé — 3 ou 5 — que la vue ne permet pas de trancher, et aucune énumération antérieure n'est visible sur la page ; il n'a pas été deviné. « distribuée autour » est ajouté dans la marge de gauche, à la hauteur de la ligne où il s'insère. Deux amas de mots biffés et récrits l'un sur l'autre, l'un après « mêlées », l'autre à la fin de la même phrase, n'ont pas été lus.

52chaque valeur du cosinus est écrite avec des signes opposés, cette somme disparoît donc et, par conséquent il ne reste plus, dans la somme générale, que les seules valeurs dues aux sections normales. Il est ensuite facile de voir que cette dernière somme est composée de celle des raisons inverses

cette vue ne montre qu'un béquet, posé seul sur un fond blanc : une bande de papier portant six lignes, dont la dernière est biffée, et un signe « + » au dessus de « celle ». Le même béquet dépasse, vu de dos et inversé, au bas de la vue 50. Le signe « + » et le sujet du passage — la disparition des sections obliques dans la somme générale — le rapprochent du passage biffé de la vue 49 ; la vue ne dit pas où il devoit être collé.

53seconde photographie de la page transcrite à la vue 51 : même feuillet, même numéro à l'encre 26, même pagination 9, mêmes ratures et même ajout marginal. Elle n'est pas transcrite une seconde fois.

54osculateurs, et \(r\) le rayon osculateur qui appartient à la courbe due à la section […] plan normal fesant l'angle \(\varphi\) avec celui de plus grande courbure, on aura \[ r = \frac{2fg}{f + g - (f-g)\cos 2\varphi} . \] De même aussi, \(r'\) étant le rayon osculateur dû à la section par le plan normal qui fait l'angle \(\varphi + \frac{\pi}{2}\) avec celui de plus grande courbure, on aura \[ r' = \frac{2fg}{f + g - (f-g)\cos (2\varphi + \pi)} = \frac{2fg}{f + g + (f-g)\cos 2\varphi} . \] Ces formules donnent : \[\begin{align*} \frac{1}{r} &= \frac{f + g - (f-g)\cos 2\varphi}{2fg}\\ &= \frac{(f+g)\{\cos^{2}\varphi + \sin^{2}\varphi\} - (f-g)(\cos^{2}\varphi - \sin^{2}\varphi)}{2fg}\\ &= \frac{f\sin^{2}\varphi + g\cos^{2}\varphi}{fg} ; \end{align*}\] \[\begin{align*} \frac{1}{r'} &= \frac{f + g + (f-g)\cos 2\varphi}{2fg} = \frac{f\cos^{2}\varphi + g\sin^{2}\varphi}{fg} . \end{align*}\] En considérant les diverses sections normales d'où naissent autant de courbures différentes, la forme de la valeur des raisons \(\frac{1}{r}\) et \(\frac{1}{r'}\), dues à deux sections normales perpendiculaires entr'elles, conduit aisément à reconnoître quelle est la loi de la distribution de la courbure autour d'un point donné de la surface ; mais, avant d'aller plus loin, il convient de prévenir une objection qui se présente assez naturellement.

Il s'agit de la courbure des surfaces, et pourtant, dans les recherches qui vont suivre immédiatement, les seules formules employées appartiennent à la courbure linéaire. À la vérité, on sent que ces deux genres de courbures ont entr'elles une liaison nécessaire ; mais la nature de cette liaison demeure indéterminée.

un ou deux mots biffés et récrits l'un sur l'autre précèdent « plan normal » à la deuxième ligne ; ils n'ont pas été lus. Les deux dernières chaînes d'égalités sont disposées côte à côte sur le feuillet, celle de \(1/r\) à gauche et celle de \(1/r'\) à droite ; elles sont mises l'une sous l'autre ici. Dans la première, le numérateur \(2fg\) a été écrit seul puis biffé avant que la fraction ne soit récrite ; une tache d'encre couvre le chiffre 1 de \(1/r\) sans le rendre douteux.

55La difficulté qui vient d'être signalée ne doit cependant pas arrêter le lecteur : elle résulte uniquement de la manière dont on envisage les questions ; et peut-être seroit-il embarrassant de l'éviter, lorsqu'on se propose d'exclure, comme on a crû devoir le faire, d'abord, toute considération inusitée.

Dans la suite de ce mémoire, lorsque moins de réserve paroîtra nécessaire, il sera démontré qu'il existe la plus grande analogie entre la manière dont on mesure la courbure linéaire et celle qui peut servir à mesurer la courbure moyenne des surfaces.

N° 3 La loi suivant laquelle la courbure est distribuée entre les différentes intersections produites par les plans normaux menés par un des points de la surface, est renfermée dans un petit nombre de propositions ; et, comme on l'a déjà dit ces propositions, comparées à celles qui s'appliquent à la distribution de la chaleur dans l'anneau, offrent une analogie remarquable. Mais on saisiroit mal les ressemblances annoncées si, avant tout, nous ne fesions remarquer que les deux lois présentent cependant une entière différence, par rapport à l'intervalle qui sépare les points où existent les propriétés extrêmes ; ainsi, d'une part, lorsqu'il s'agit de la courbure, la distance angulaire entre la plus grande et la moindre, contenues dans des plans perpendiculaires entr'eux, a pour mesure un quart de circonférence : tandis que, de l'autre, par rapport à l'anneau, la plus et la moins élevée des températures appartiennent à deux points séparés par une demi circonférence. Il est facile de prévoir les conséquences de

56cette différence ; nous aurons soin d'en faire mention, et on pourra se convaincre qu'elles ne dérangent en rien la comparaison que nous avons en vue.

Nous commencerons par énoncer et démontrer sommairement chacune des propositions dont se compose la loi de la distribution de la courbure. Mettant ensuite sous les yeux du lecteur la proposition correspondante empruntée à la théorie de la chaleur, nous chercherons dans l'imitation d'un modèle si parfait, en même tems qu'une nouvelle expression de notre proposition, la preuve certaine de l'analogie qui doit servir de recommandation à nos propres recherches.

1^re prop. Quelle que soit d'ailleurs la position de deux plans normaux perpendiculaires entr'eux menés par un point donné de la surface, la somme des courbures contenues dans ces deux plans sera toujours la même : par conséquent, cette somme sera égale à celle des courbures principales.

Le raisonnement suivant suffit pour établir la vérité de cette proposition :

La courbure linéaire est exprimée par la raison inverse du rayon osculateur ; \(r\) et \(r'\) étant les rayons osculateurs des courbes contenues dans deux plans normaux perpendiculaires entr'eux, les formules \(\frac{1}{r} = \frac{f\sin^{2}\varphi + g\cos^{2}\varphi}{fg}\), \(\frac{1}{r'} = \frac{f\cos^{2}\varphi + g\sin^{2}\varphi}{fg}\), données N° 2, conduisent à l'équation \(\frac{1}{r} + \frac{1}{r'} = \frac{1}{f} + \frac{1}{g}\).

Cette équation est indépendante de la valeur de l'angle \(\varphi\) ; elle est donc indépendante de la position du système des plans choisis.

En n'écrivant ni les formules ni les développemens qui s'y rapportent, voici, à l'égard de l'anneau, la proposition correspondante : (V. Théorie de la chaleur par Mr Fourier […] IV N° 247 p. 277-27[…]

la dernière ligne de la page court jusqu'au bord du feuillet et s'y perd : ni l'abréviation qui précède « IV », ni les derniers chiffres de la pagination n'ont été lus. La vue 58 cite le même livre « (p. 278-279) ».

« Si, dans cet état, (celui qui s'établit au bout d'un certain tems) on choisit deux points de l'anneau, situés aux deux extrémités d'un même diamètre… la demi somme des températures des points opposés sera une quantité… qui seroit encore la même si on avoit choisi deux points situés aux extrémités d'un autre diamètre ».

Nous pouvons dire aussi : si parmi les courbes qui passent par le point donné, on en choisit deux comprises, l'une dans un premier plan normal, l'autre dans un second plan normal, perpendiculaire au premier, la demi somme des courbures sera une quantité \(\frac{1}{f} + \frac{1}{g}\), qui seroit encore la même si on avoit choisi les courbes comprises dans deux autres plans normaux perpendiculaires entr'eux.

Ainsi, de part et d'autre, l'intervalle qui sépare les quantités extrêmes, est le même que celui qui sépare des quantités différentes, quand celles-ci satisfont à cette condition : que leur somme soit égale à celle des mêmes quantités extrêmes.

2^ème prop. La courbure contenue dans le plan normal qui fait l'angle de \(45^{\circ}\) avec ceux qui contiennent la plus grande et la moindre courbure est moyenne entre les courbures principales de la surface.

Cette proposition résulte des formules dont nous avons déjà fait usage. En effet, \(r\) étant le rayon osculateur de la courbe contenue dans le plan normal qui fait l'angle \(\varphi\) avec celui de plus grande courbure, on a \(\frac{1}{r} = \frac{f\sin^{2}\varphi + g\cos^{2}\varphi}{fg}\) : quand \(\varphi = 45^{\circ}\), cette formule donne \(\frac{1}{r} = \frac{f+g}{2fg} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{f} + \frac{1}{g}\right)\) : la courbure exprimée par \(\frac{1}{r}\) est donc alors moyenne entre les courbures principales, représentées par \(\frac{1}{f}\) et \(\frac{1}{g}\).

la quantité appelée « demi somme » est écrite \(\frac{1}{f} + \frac{1}{g}\) sur le feuillet, sans le facteur \(\frac{1}{2}\) que la suite de la page emploie ; la lecture est sûre et n'a pas été corrigée.

58Il est, au reste, évident que, dans le cas dont nous parlons, les courbes contenues dans les deux plans normaux perpendiculaires entr'eux sont semblables ; et, s'il étoit besoin de le démontrer, on diroit que la formule \(\frac{1}{r'} = \frac{f\cos^{2}\varphi + g\sin^{2}\varphi}{fg} = \frac{f+g}{2fg}\), relative à la position du second des plans normaux dont il s'agit, conduiroit en effet aussi à conclure que la valeur de \(\frac{1}{r'}\) est moyenne entre celles de \(\frac{1}{f}\) et de \(\frac{1}{g}\).

En rapprochant les passages que séparent des développemens propres à l'ouvrage, on peut extraire du livre déjà cité (p. 278-279), le texte suivant, qui, par rapport à la distribution de la chaleur dans l'anneau, renferme les conséquences de la proposition analogue à celle qui nous occupe.

« Si on cherche d'abord le point de l'anneau pour lequel on a la condition… (condition qui est remplie à l'égard du point qui sépare en deux parties égales l'arc de 180 compris entre les points auxquels appartiennent les températures extrêmes), on voit que la température de ce point est à chaque instant la température moyenne de l'anneau : il en est de même du point diamétralement opposé :… ces deux points divisent la circonférence de l'anneau en deux parties dont l'état est pareil, mais de signe opposé : chaque point de l'une de ces parties a une température qui excède la température moyenne, et la quantité de cet excès est proportionnelle au sinus… chaque point de l'autre partie a une température moindre que la température moyenne et la différence est la même que l'excès dans le point opposé ».

la parenthèse « (condition qui est remplie…) » est de Germain et non de Fourier : elle est écrite sans guillemet, au milieu de la citation.

59Par rapport à la courbure :

Si on cherche d'abord la position du plan qui donne lieu à la condition \(\frac{1}{r} = \frac{f+g}{2fg}\) (condition qui est remplie à l'égard de la courbe contenue dans le plan qui sépare en deux parties égales l'angle de 90, compris entre les plans des courbures extrêmes ou principales de la surface,) on démontrera que la courbure contenue dans ce plan est égale à la courbure moyenne de la surface : il en est de même de la courbure contenue dans le plan normal perpendiculaire au premier. Ces deux plans, prolongés en deça et au delà du point donné, divisent le contour de ce point en quatre régions dont l'état est pareil mais alternativement de signe opposé. Chaque courbe située dans l'une de ces parties a une courbure qui excède la courbure moyenne, et la quantité de cet excès est proportionnelle à \(\frac{1}{r} - \frac{f+g}{2fg}\).

Chaque courbe située dans une des régions contiguës à la première a une courbure moindre que la courbure moyenne et la différence est la même que l'excès dans la partie voisine.

L'analogie se fait remarquer ici en ce que le lieu, soit du point, soit de la courbe, qui est en possession de la valeur moyenne, occupe le milieu de la distance angulaire qui sépare ou les points, ou les courbes, auxquelles appartiennent les valeurs extrêmes. L'analogie est encore sensible sensible relativement à l'état des points ou des courbes répartis dans les deux, ou dans les quatre parties que l'on compare ; car, de part et d'autre, cet état offre des rapports semblables. On voit aussi que le nombre de ces parties dépend, dans les lois que nous […] de l'intervalle qui sépare les valeurs extrêmes.

le mot lu « régions », deux fois, est écrit d'un trait rapide et repassé ; la lecture reste douteuse. À l'avant-dernière ligne, deux ou trois mots biffés et couverts d'encre après « dans les lois que nous » n'ont pas été lus.

60Pour connoître la répartition de la courbure autour d'un des points de la surface, il suffit sans doute d'examiner la moitié du contour de ce point. On trouve cependant quelqu'avantage à considérer, comme on l'a fait dans ce qui précède, le contour entier : alors, le point donné étant l'origine des différentes courbes, nous dirons qu'un plan normal prolongé en deça et au delà du point donné contient deux courbes semblables.

Cela posé, voici la proposition dont il s'agit présentement :

3^ème prop. Il existe, en général, autour du point donné, quatre directions suivant lesquelles les courbes contenues dans les plans normaux sont semblables. À l'égard des courbures principales, chacune est contenue dans un seul plan, et, par conséquent, le nombre des courbes semblables se réduit à deux.

Une remarque fort simple suffit à la démonstration de cette proposition :

En vertu des formules connues, on a \[\begin{align*} \sin (45^{\circ} + \varphi') &= \tfrac{1}{2}(\cos.\varphi' + \sin.\varphi')\\ \sin \left(\tfrac{\pi}{2} + 45^{\circ} - \varphi'\right) &= \tfrac{1}{2}(\cos.\varphi' + \sin.\varphi')\\ \cos (45^{\circ} + \varphi') &= \tfrac{1}{2}(\cos.\varphi' - \sin.\varphi')\\ \cos \left(\tfrac{\pi}{2} + 45^{\circ} - \varphi'\right) &= \tfrac{1}{2}(\cos.\varphi' - \sin.\varphi') \end{align*}\] Deux valeurs différentes de \(\varphi\), savoir \(\varphi = 45^{\circ} + \varphi'\), \(\varphi = \frac{\pi}{2} + 45^{\circ} - \varphi'\), donnent donc également \[\begin{align*} \frac{1}{r} &= \frac{f\sin^{2}\varphi + g\cos^{2}\varphi}{fg}\\ &= \frac{f(\cos.\varphi' + \sin.\varphi')^{2} + g(\cos.\varphi' - \sin.\varphi')^{2}}{2fg}\\ &= \frac{f + g + (f-g)\sin. 2\varphi'}{2fg} . \end{align*}\] En prenant \(\varphi' = 45\), les deux valeurs de \(\varphi\) se réduisent à une seule, et le second membre de l'équation \(\frac{1}{r} = \frac{f + g + (f-g)\sin. 2\varphi'}{2fg}\) devient \(\frac{1}{f}\). Ainsi, à l'égard de la détermination des courbes

les quatre identités sont écrites avec le facteur \(\frac{1}{2}\) ; le calcul qui les suit immédiatement les emploie comme si ce facteur étoit \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Aucun radical n'est visible sur la vue, et rien n'a été corrigé ici. La vue 60 s'arrête au milieu de la phrase ; le texte se poursuit à la vue 61, hors de ce lot.