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Datation du catalogue : 1801-1900
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Numérotation des feuillets. La série à l'encre des lots précédents se poursuit sans interruption sur les rectos — vues 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79 → 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39. À côté de chacun de ces nombres, de la même encre, la pagination de l'auteur, impaire et biffée : 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35. La pagination paire est portée, non biffée, en haut à gauche de chaque verso : 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Ils sont à l'encre : aucune foliotation au crayon de la Bibliothèque n'a été lue sur ces vues, et aucun « f. » n'est donc porté dans cette transcription.

61contenues dans les différens plans normaux ; tandis que la position des plans de courbures principales est unique, toute autre position du plan normal est équivalente à une seconde position du même plan.

L'angle compris entre les deux positions équivalentes du plan normal est évidemment égal à \(\frac{\pi}{2} - 2\varphi'\), différence entre les deux valeurs assignées à l'angle \(\varphi\).

Un arrangement analogue se manifeste par rapport à la distribution de la chaleur dans l'anneau ; car toute température comprise entre les températures extrèmes appartient à la fois à deux points différens de l'anneau, et celle-ci ne convient qu'à un seul.

Cette proposition ne peut, à la vérité, être, comme les précédentes, extraite textuellement du livre cité ; mais elle résulte des formules qui y sont données.

La position des deux points dont la température est semblable sera représentée comme il suit : \(\varphi\) étant l'arc compris entre un de ces points, choisi arbitrairement, et celui auquel appartient la température la plus élevée ; \(\varphi'\) l'arc entre le même point choisi et le point dont la température est en même tems la température moyenne de l'anneau, on aura \(\varphi = \frac{\pi}{2} + \varphi'\) ; et, à l'égard du point dont la température est égale à celle du point choisi, \(\varphi = \frac{3\pi}{2} - \varphi'\).

L'arc compris entre les deux points dont la température est semblable sera donc \(\pi - 2\varphi'\).

Si on a présente à la pensée la différence que nous avons

62signalée relativement aux distances angulaires qui, dans les lois que nous comparons, séparent les quantités extrèmes ; on verra une analogie sensible résulter des rapprochemens suivans.

D'une part, il existe, en général, quatre, et, pour un cas particulier, deux courbes semblables : de l'autre, en général deux, et, pour un cas particulier, un seul point de l'anneau, jouissent d'une même température :

La distance angulaire qui sépare soit les courbes semblables, soit les points d'égale température, est exprimée par la différence entre la distance angulaire qui sépare les valeurs extrèmes, et l'arc […] compris entre le lieu des valeurs moyennes et la courbe ou le point choisi.

Une conséquence immédiate de cette dernière proposition nous ramène à ce qu'on sait déjà touchant les sphères qui ont leur centre sur la normale à la surface.

Il est évident, en effet, que, les courbures principales n'étant contenues que dans un seul des plans normaux, les sphères décrites de chacun de leur rayon ne couperont pas la surface ; tandis que, par une conséquence inverse, les sphères décrites des rayons compris entre ces deux limites couperont au contraire la même surface.

Parmi les sphères qui coupent la surface, il convient de distinguer celle dont les quatre quadrans sont situés alternativement au dedans et au dehors de la surface. Le rayon de cette sphère appartient en même tems à la courbe contenue dans le plan normal qui fait l'angle de \(45^{\circ}\) avec ceux des courbures principales, et la proposition 2^ème nous apprend que la courbure contenue dans le plan

63dont il s'agit est moyenne entre celles-ci. La courbure des grands cercles de notre sphère est donc moyenne entre les courbures principales de la surface.

Nous savons aussi que les deux plans normaux qui contiennent les courbures moyennes partagent le contour du point donné en quatre parties, dont l'état est pareil, mais alternativement de signes opposés ; et il est clair d'ailleurs que ces plans coupent la sphère en même tems que la surface. L'intersection de la sphère et de la surface partage donc aussi le contour du point donné en quatre parties, dont l'état est pareil, mais de signes opposés ; et la situation de ces parties, les unes intérieures, les autres extérieures à la sphère, rend sensible cette répartition de la courbure autour du point donné.

L'analogie que nous avons fait remarquer entre deux lois applicables à des sujets entièrement dissemblables n'étonnera point, ne sait-on pas, en effet, que, si les notions caractéristiques de chacun des objets de nos connoissances sont en nombre infini, l'ordre nécessaire entre les diverses parties de ces objets ne sauroit présenter la même variété ? Habitués à reconnoître, de quelque côté que nous jetions les yeux, qu'un petit nombre de lois, parmi lesquelles les plus simples sont aussi celles dont l'application a lieu le plus souvent, se partagent l'immense domaine de la réalité, il nous seroit également impossible de concevoir un ordre d'idées ou de faits qui puisse se

64soustraire à la nécessité d'un ordre déterminé et de comprendre comment un ordre marqué au sceau de la simplicité, s'associeroit au développement d'une idée erronnée.

L'existence des quantités moyennes, surtout, se fait sentir dans une multitude de considérations de natures différentes ; elle forme le lien entre l'uniformité et la variété. Si le phénomène qui en présente l'exemple se développe autour d'un point pris pour centre, la représentation des valeurs diverses observées à la fois offrira, en quelque sorte, par la substitution de l'espace au tems, une construction de la périodicité.

Après avoir cherché à étayer la considération des moyennes courbures sur une analogie que des rapports faciles à saisir auroient pû faire prévoir, nous ne craindrons plus de traiter isolément une question dont l'existence, ainsi établie d'avance, ne doit laisser aucun doute dans l'esprit du lecteur.

N° 4 Commençons, ici, avant d'entrer en matière par remonter jusqu'aux notions les plus communes touchant la courbure.

D'abord à l'égard des courbes linéaires.

L'idée qui se présente la première est de comparer la courbe à sa tangente ; ainsi, après avoir fait choix de deux lignes droites d'égale longueur, si on en forme les arcs de deux cercles différens, et qu'on mène leurs tangentes à un des points d'extrémité de ces arcs, on jugera que celui des deux dont la seconde extrémité

65s'éloigne le plus de la tangente est aussi celui qui a le plus de courbure.

La distance entre l'extrémité d'un arc et la tangente menée à l'autre extrémité du même arc est mesurée par une perpendiculaire à la tangente.

Nous nommerons dorénavant cette perpendiculaire ligne de distance.

La considération des lignes de distances devant être, dans la suite, d'une grande utilité, nous nous arrêterons un instant à examiner leur expression.

Il est évident que la ligne de distance est égale au sinus verse de l'angle correspondant ; car cette ligne est parallèle au rayon mené au point de tangence, et elle est comprise entre la tangente et le sinus.

Cela posé, \(\rho\) étant l'élément des rayons, \(\varphi\) celui des arcs, \(m\) et \(n\) des nombres tels que les rayons des cercles auxquels appartiennent les arcs dont nous comparons la courbure soient \(\rho m\) et \(\rho n\), ces arcs eux mêmes seront \(\varphi n\) et \(\varphi m\).

On sait que la courbure du cercle est en raison inverse de son rayon ; en prenant donc, pour fixer les idées, \(m > n\), il est certain que le plus grand rayon \(m\rho\) et l'arc le moins courbe \(n\varphi\) appartiendront à un même cercle. Par la même raison, le plus petit rayon \(n\rho\) et l'arc le plus courbe \(m\rho\) appartiennent aussi au même cercle.

la vue porte bien \(m\rho\) pour le dernier de ces quatre symboles, là où la définition qui précède — les arcs sont \(\varphi n\) et \(\varphi m\) — demande \(m\varphi\). Le \(\rho\) et le \(\varphi\) sont ici deux tracés nettement distincts, et rien n'a été corrigé. Une petite croix est portée sous la ligne après \(n\varphi\), sans renvoi lisible ailleurs sur le feuillet.

Soient \(D\) et \(d\) les lignes de distances relatives aux arcs le plus courbe et le moins courbe,

66on aura, conformément à ce qu'on vient de dire, \[\begin{align*} D &= n\rho \sin.\text{vers.}(\varphi m)\\ &= n\rho\,(1 - \cos(\varphi m))\\ &= n\rho \cdot 2\sin^{2}\tfrac{1}{2}(\varphi m) , \end{align*}\] \[\begin{align*} d &= m\rho\,(1 - \cos(\varphi m))\\ &= m\rho \cdot 2\sin^{2}\tfrac{1}{2}(\varphi m) ; \end{align*}\]

les deux colonnes sont écrites côte à côte sur le feuillet. L'argument des deux dernières lignes est bien \((\varphi m)\) sur la vue, là où la définition de la page précédente — le rayon \(m\rho\) va avec l'arc \(n\varphi\) — demande \((\varphi n)\) ; le développement qui suit, \(d = \frac{1}{2}m.n^{2}\rho.\varphi^{2}\), le confirme. Rien n'a été corrigé ici.

si une courbe se confond avec son cercle osculateur, ce n'est que dans l'étendue d'un arc infiniment petit, et nous ne nous occupons ici des lignes de distances que pour en faire l'application aux courbes. Prenant donc \(\varphi m\) et \(\varphi n\) infiniment petits, nous trouverons \[\begin{align*} D &= \tfrac{1}{2}\,n.m^{2}\rho.\varphi^{2}\\ &= \frac{1}{n\rho}\cdot\tfrac{1}{2}m^{2}n^{2}\rho^{2}\varphi^{2} , \end{align*}\] \[\begin{align*} d &= \tfrac{1}{2}\,m.n^{2}\rho.\varphi^{2}\\ &= \frac{1}{m\rho}\cdot\tfrac{1}{2}m^{2}n^{2}\rho^{2}\varphi^{2} : \end{align*}\]

Les lignes de distances sont donc en raison inverse des rayons de courbures, et, par conséquent, on peut dire également de la courbure linéaire, ou, qu'elle est en raison inverse des rayons de courbures, ou, qu'elle est en raison directe des lignes de distances.

Lorsqu'on se borne à la considération des courbes, cette dernière manière de s'exprimer seroit, sans doute, à la fois bizarre et surabondante : mais nous verrons tout à l'heure qu'elle présente de grands avantages quand on cherche à se former une idée complète de la courbure des surfaces.

N° 5 Si nous jugeons qu'une ligne est courbe lorsque nous la voyons s'écarter de la direction d'une droite qui la touche, l'idée de la courbure des surfaces nous est également suggérée par l'observation de la distance

67qui sépare le plan tangent des points de la surface voisins du plan de tangence.

Pour toute autre surface que celle de la sphère, cette distance n'est pas uniforme.

La question des courbures moyennes peut être énoncée en ces termes : trouver l'expression de la distance moyenne entre le plan tangent et les points de la surface qui environnent le point de tangence.

un astérisque au crayon est porté dans la marge de gauche à la hauteur de cette phrase, et un second à la fin de la phrase même ; sous celui de la marge, un mot au crayon, […]. Le crayon n'est pas de la main de l'auteur.

Occupons nous d'abord des seules surfaces dont les rayons de principales courbures sont dirigés du même côté.

On a vû plus haut que la courbure d'une simple courbe est proportionnelle à une ligne droite, la ligne de distance ; nous allons montrer que la courbure des surfaces est proportionnelle à une surface engendrée par une ligne de distance qui change à chaque instant de grandeur et de position.

Il s'agit présentement de décrire la courbe qui doit diriger le mouvement de la génératrice.

Après avoir mené par le point choisi le plan normal à la surface, on donnera successivement à ce plan toutes les positions dont il est susceptible. Sur chacune des courbes produites par les diverses intersections du plan normal et de la surface on prendra des arcs infiniment petits, assujettis à cette condition que, s'ils étoient étendus en lignes droites, ils donneroient tous des longueurs égales. La courbe qui joint les extrémités de ces arcs sera la directrice que nous avons cherchée.

« assujettis » est écrit par-dessus un premier mot que la surcharge rend illisible.

68Cette courbe est à double courbure.

Si on conçoit le plan tangent à la surface dans le point donné et la perpendiculaire à ce plan qui tombe sur un des points de la directrice il est clair que cette ligne ne sera autre que la ligne de distance contenue dans celui des plans normaux qui coupe la directrice dans le point choisi.

La ligne de distance, en changeant à chaque instant de grandeur, et en parcourant successivement tous les points de la courbe qui dirige son mouvement, sans cesser d'être perpendiculaire au plan tangent, engendrera une surface que les plans de moyennes courbures, c'est-à-dire ceux qui font l'angle de \(45^{\circ}\) avec les plans de principales courbures, diviseront en quatre parties.

Il est clair que la surface dont nous nous occupons est composée des lignes de distances, en nombre infini, qui appartiennent aux courbes, également en nombre infini, formées par l'intersection des différens plans normaux qui passent par le point donné de la surface, point par rapport auquel on veut connoître l'expression de la courbure. La surface composée des lignes de distances sera nommée, par cette raison, surface des distances.

On a vu, N° 4, que la courbure d'une simple ligne courbe est proportionnelle à la ligne de distance de l'arc […] cercle osculateur, en nous laissant conduire ici par l'analogie, nous dirons que, dans le point donné,

après « de l'arc », un mot d'environ six lettres est biffé et recouvert : il n'a pas été lu.

69la courbure de la surface est proportionnelle à la surface des distances décrite autour de ce point.

La surface des distances est le segment d'une surface cylindrique ayant pour base l'ellipse la courbe rentrante que les positions successives de la génératrice tracent sur le plan tangent ; ce segment est terminé à l'autre extrémité par la directrice : sa forme cette courbe dépend de la figure de la surface à laquelle appartient la surface des distances.

avant d'aller plus loin il est bon de faire remarquer que la petite courbe rentrante qui sert de base à la surface des distances peut toujours être regardée comme un cercle parfait. En effet il est évident que la plus grande différence qu'on puisse imaginer entre les deux diamètres de cette courbe correspond au cas des surfaces cylindriques ; mais alors en adoptant les suppositions et les dénominations de N° 1, l'un de ces diamètres devient a l'autre […]

cette addition est de la main de l'auteur : elle commence entre les lignes, au-dessus de « remarquer que la petite courbe rentrante », et se poursuit de haut en bas dans la marge de gauche. Ses deux dernières lignes, serrées au bas de la marge, n'ont pas été lues.

Les plans de courbures moyennes contiennent évidemment les lignes de distances moyennes ; ils coupent à la fois la surface des distances, qu'ils partagent en quatre parties symétriques ; la surface donnée, et la sphère de moyenne courbure, défini N° 2 [Dont les quatre quadrans sont alternativement situés au dedans et au dehors de cette dernière surface.

On a vû N° 3, 3^ème prop., que la courbure des grands cercles de la sphère dont nous parlons, est moyenne entre les courbures principales de la surface donnée.

Nous allons démontrer présentement que la courbure de la sphère elle même est égale à la courbure moyenne de la surface donnée. Cette sphère sera nommée dorénavant sphère de moyenne courbure de la surface]

« de moyenne courbure, défini N° 2 » est ajouté entre les lignes. Le crochet ouvrant est porté devant « Dont », le crochet fermant après « surface » : l'auteur a encadré tout ce passage.

N° 6 Lorsque la surface est sphérique, la courbure autour de chacun de ses points est uniforme ; et, par conséquent, dans un rayon donné, les points environnans le point de tangence sont tous également distans de ce point.

70décrit, sur la sphère de moyenne courbure, un cercle dont le rayon soit le sinus de l'arc, ou, à cause de sa petitesse, l'arc même, à l'extrémité duquel appartient la ligne de distance ; ce cercle sera la directrice du mouvement de la même ligne de distance, qui, sans changer de grandeur et sans cesser d'être perpendiculaire au plan tangent, engendrera la surface à laquelle la courbure de la sphère est proportionnelle. Cette surface sera celle des distances moyennes.

« à l'extrémité » est ajouté entre les lignes, au-dessus de « duquel ».

La surface des distances moyennes est cylindrique ; elle a pour base le cercle que les positions successives de la génératrice tracent sur le plan tangent : elle est terminée, à l'autre extrémité, par la directrice.

Si, pour deux surfaces données, de figures différentes, la somme des courbures principales, et, par conséquent aussi, le rayon de la sphère de moyenne courbure, sont les mêmes, la surface des distances moyennes sera aussi la même.

Ainsi, tandis que la surface des distances dépend à la fois et de la courbure moyenne et de la figure de la surface donnée, la considération de la surface des distances moyennes, isolant l'idée de la figure de celle de la distance au plan tangent, offre une représentation séparée de la des deux affections qui ont toujours été confondues ; savoir, la figure et la quantité de courbure qu'une surface possède dans chacun de ses points.

La justesse de ce raisonnement exige que les deux

71surfaces des distances, quoique différentes par leur forme, ayent pourtant la même étendue, puisque de cette étendue dépend évidemment, la quantité de courbure, ou, en d'autres termes, la somme des distances entre le plan tangent et les points de la surface qui environnent le point de tangence.

Pour établir l'égalité d'étendue entre les deux surfaces des distances, il suffiroit peut être de faire remarquer qu'il existe entre les lignes de distances les mêmes relations qu'entre les raisons inverses des rayons de courbures.

au-dessus de « les raisons inverses des rayons de courbures », l'auteur a ajouté entre les lignes : « courbures que auxquelles ces lignes sont proportionnelles ».

[Ainsi on a vu, N° 2, que la somme des raisons inverses des rayons de courbures contenues dans deux plans normaux perpendiculaires entr'eux est une quantité indépendante du choix de ces plans ; et, plus loin, que la raison inverse du rayon contenu dans le plan de courbure moyenne, est elle même moyenne entre les deux premières.]

On dira donc, aussi, que la somme des lignes de distances contenues dans deux plans normaux perpendiculaires entr'eux est indépendante du choix de ces plans, et que la ligne de distance moyenne, c'est-à-dire la génératrice de la surface des distances moyennes est elle même moyenne entre les deux premières lignes des distances.

une addition de l'auteur court sur deux interlignes, de « est elle même moyenne entre les » à « On dira donc » : « conformément […] la loi de distribution de la courbure exposée […] N° 2 et 3 ». Le mot porté en exposant au-dessus de « de la loi » n'a pas été lu, non plus que l'abréviation de deux ou trois signes qui précède « N° 2 et 3 ». Le crochet ouvrant est devant « Ainsi », le fermant après « premières ».

Cela posé, quand on prend, sur l'une et l'autre des surfaces des distances, un nombre de positions, convenablement

72choisies, des génératrices, la somme de ces lignes est égale de part et d'autres. Si le nombre des positions de la génératrice est infini, ces positions épuiseront l'étendue de la surface. On en peut conclure que l'étendue elle même est égale de part et d'autre.

L'égalité d'étendue entre les deux surfaces des distances étant, ici, d'une grande importance, nous allons essayer de la rendre sensible ; et, pour cela, nous aurons recours à la considération du développement de ces surfaces.

On a vu, N° 5, que les plans de courbures moyennes coupent à la fois : la surface donnée ; la surface des distances, qu'ils partagent en quatre parties symétriques ; et la sphère de courbure moyenne. Les mêmes plans coupent donc aussi la surface des distances moyennes, qu'ils partagent en quatre parties égales ; et, par conséquent il y a intersection, en même tems, entre les deux surfaces des distances.

[…]

après « N° 5 », une note de l'auteur, entourée d'un trait : trois mots dont le dernier est un numéro précédé de « N° ». Elle n'a pas été lue.

Nous avons dit plus haut que la courbe rentrante qui sert de base à la surface des distances peut être regardée comme un cercle parfait.

« rentrante », « comme un » et « cercle parfait » sont portés dans la marge de gauche, en trois endroits, en regard des lignes où ils s'insèrent. C'est la même correction que celle de la vue 69.

Cela posé, soit ABDC le développement de la surface des distances moyennes ; nous supposerons que le développement de l'ellipse qui sert de base au segment cylindrique dont se compose la surface des distances se confond avec AC, développement du cercle qui sert de base à la l'une et à l'autre des surfaces des distances. [surface, cylindrique, des distances moyennes ; supposition d'autant plus admissible que, ces deux périphéries, de même ordre que leurs rayons, étant elles mêmes

ce passage est retravaillé. « l'une et à » est ajouté au-dessus de « à la » ; « des distances » est biffé et noyé d'encre ; un « sera le » est porté entre les lignes au-dessus de « dont se compose » ; le crochet ouvrant est devant « surface, cylindrique ». L'ordre dans lequel l'auteur voulait que ces corrections se lisent n'est pas établi : les lignes sont données ici dans l'ordre où elles courent sur le feuillet.

73infiniment petites, leur différence est tout à fait négligeable]

Le parallélogramme \(ABDC\) sera divisé en quatre parties égales au moyen des trois lignes, \(mn\), \(m'n'\) et \(m''n''\) parallèles aux côtés \(AB\) et \(CD\) : on divisera encore en deux parties égales les intervalles \(Am\), \(mm'\), \(m'm''\) et \(m''C\) ; des points de division on portera, toujours parallèlement aux côtés \(AB\) et \(CD\), les lignes \(pq\), \(p'q'\) de moindres, et \(gh\), \(g'h'\) de plus grandes distances, disposées alternativement : enfin on joindra par des droites les points \(B\) et \(q\) ; \(q\) et \(h\) ; \(h\) et \(q'\).

« fig. 1 » est porté entre les lignes au-dessus de « sera divisé ». Aucune figure n'est dessinée sur les feuillets de ce lot.

Nous établirons d'abord que la figure \(ACDh'q'hqB\) n'est autre que le développement de la surface des distances.

On sait déjà que \(AC\) est le développement de la base de cette surface, et que les plans de distances moyennes coupent à la fois les deux surfaces des distances qu'ils partagent en quatre parties symétriques par rapport à l'une, égales par rapport à l'autre ; par construction, les lignes \(mn\), \(m'n'\), \(m''n''\) et \(AB = CD\) partagent le développement \(ABDC\) de la surface des distances moyennes en quatre parties égales, ces lignes sont donc le développement des quatre intersections des deux surfaces des distances.

Si on conçoit que l'une des lignes d'intersection devienne mobile, \(AB\), par exemple, parcoure tous les points de \(AC\) sans cesser de lui être perpendiculaire, et acquière en même tems les différentes valeurs comprises entre celles des lignes de moyennes et de moindres distances \(AB\) et \(pq\), puis, entre les lignes de moindres et de plus grandes distances \(pq\) et \(gh\) &c, la seconde des extrémités de la ligne mobile tracera sur le

74plan la ligne brisée \(Bqhq'h'D\).

Il s'agit à démontrer que les valeurs successives de la ligne mobile qui trace sur le plan la figure \(ACDh'q'hqB\) et celles de la génératrice de la surface des distances sont égales, et se succèdent dans le même ordre.

« à démontrer » est bien ce que porte la vue, là où l'usage demande « de démontrer ». Rien n'a été corrigé.

Ces valeurs sont égales, puisque, de part et d'autre, elles reçoivent successivement toutes celles qui sont comprises entre les mêmes limites, savoir, les lignes de moindre et de plus grande distance. Elles se succèdent de part et d'autre dans le même ordre, car les parties aliquotes du développement, \(AC\), de la base de la surface des distances, correspondent évidemment aux mêmes parties aliquotes de cette base, ensorte que, par exemple, les deux positions de la ligne mobile que sépareroit un intervalle égal au quart de \(AC\), seroient les développemens des lignes de distances contenues dans deux plans normaux perpendiculaires entr'eux.

La ligne brisée \(Bqhq'h'D\) qui sert de limite aux diverses grandeurs de la ligne mobile parallèle à \(AB\) est donc le développement de la directrice de la surface des distances ; et, par conséquent, la figure \(ACDh'q'hqB\) est en effet celui de cette surface elle même.

Il reste à prouver qu'il y a égalité d'étendue entre le parallélogramme \(ABCD\) et la figure \(ACDh'q'hqB\) ; c'est-à-dire entre les développemens des deux surfaces

le parallélogramme est ici nommé \(ABCD\), et \(ABDC\) à la vue 73 et plus bas ; les deux graphies sont celles des vues.

75des distances. Cette égalité résulte de celle entre les triangles semblables, \(Bqn\), \(nhn'\), &c ; et celle-ci est tellement évidente qu'il seroit inutile de nous arrêter à la démontrer.

N° 7 La considération du développement des surfaces, des distances et des distances moyennes, nous ouvre une voie nouvelle pour arriver à la démonstration des propositions qui ont été traitées N° 3. Sans nous astreindre à l'ordre dans lequel elles ont été présentées d'abord, nous reproduirons ici ces diverses propositions.

2^ème prop. La courbure contenue dans le plan normal qui fait l'angle de \(45^{\circ}\) avec ceux de plus grande et de moindre courbure est moyenne entre les courbures principales de la surface.

Conformément à ce qu'on a vû plus haut, la première de ces courbure est proportionnelle à la ligne de moyenne distance \(mn\), fig 1, et les courbures principales sont également proportionnelles aux lignes \(gh\), \(pq\), de plus grande et de moindre distance. Pour justifier la présente proposition, il suffit donc d'établir que \(mn\) est moyenne entre \(gh\) et \(pq\).

Menons \(qt\) égale et parallèle à \(pq\) ; on a, par construction \(pm = mq\) ; d'où résulte \(qs = st\) ; les triangles semblables \(qsn\), \(qtb\) ; donneront donc \(ht = 2sn\) ; et on aura, par conséquent, \[ pq = mn - sn, \quad gh = mn + sn, \quad pq + gh = 2mn . \]

les points \(s\), \(t\) et \(b\) ne sont introduits nulle part ailleurs dans le lot, et aucune figure ne l'accompagne ; « \(qtb\) » et « \(ht\) » sont bien ce que porte la vue, le \(b\) et le \(h\) y étant deux tracés distincts.

3^ème prop. Il existe, en général, autour du point donné quatre directions suivant lesquelles les courbes contenues

76dans chacun des plans normaux sont semblables. À l'égard des courbures principales, le nombre des courbes semblables se réduit à deux.

En d'autres termes, il existe, en général, quatre lignes de distances égales entr'elles ; mais les distances principales sont au nombre de deux.

Il est clair, en effet, que les deux parallèles à \(pq\), terminées d'une part à \(AC\) de l'autre à la ligne brisée \(Bqn\), et les deux parallèles à \(p'q'\) comprises entre les mêmes limites, si elles sont menées à égale distance de \(pq\) pour les uns, et de \(p'q'\) pour les autres, seront égales ; il y a donc quatre pareilles lignes ; mais, si la distance entre \(pq\) et ses parallèles, et de même entre \(p'q'\) et ses parallèles, est nulle ; elles se confondront avec \(pq\) pour les uns, avec \(p'q'\) pour les autres ; les lignes de distances principales seront donc au nombre de deux seulement.

1^re prop. Quelle que soit d'ailleurs la position de deux plans normaux perpendiculaires entr'eux, la somme des courbures contenues dans ces deux plans est une quantité constante ; cette somme est, par conséquent, égale à celle des courbures principales de la surface.

Ou, en adaptant les expressions dont l'équivalence a été démontrée.

Quelle que soit d'ailleurs la position de deux lignes de distances, si, dans le développement de la surface des distances, l'intervalle qui sépare ces lignes est égal à

77celui qui sépare les lignes de principales distances, leur somme sera la même ; et, par conséquent, cette somme sera égale à celle des lignes de principales distances ; proposition de toute évidence ; car si on conçoit que le système des lignes de principales distances se meut en parcourant tous les points de \(AC\) et, par conséquent, aussi tous ceux de \(Bqnh\) &c, il est visible que dans une quelconque des positions de ce système, l'accroissement obtenu par une des lignes qui le composent sera égal à la diminution que l'autre aura éprouvée.

La manière dont nous envisageons présentement la loi de la distribution de la courbure autour d'un des points de la surface écarte entièrement l'objection tirée de l'emploi exclusif, dans la question de la courbure des surfaces, de formules propres à la courbure linéaire, objection signalée N° 2.

ce paragraphe est marqué d'un long trait courbe dans la marge de gauche.

Ici, au contraire, la manière dont on obtient la mesure des deux genres de courbures est entièrement fondée sur la nature différente de chacune d'elles. En effet, si, quand on dit de la courbure linéaire, qu'elle est proportionnelle à la ligne de distance on compare tacitement la courbe à sa tangente ; lorsqu'on dit de la courbure d'une surface qu'elle est proportionnelle à la surface des distances, on compare également la surface à son plan tangent.

On voit encore par là comment il arrive que l'idée de la quantité de courbure qui, dans le cas linéaire, est inséparable de celle de la figure ; doivent en être distinguée à l'égard des surfaces ; car, la ligne de distance étant déterminée de grandeur et de position, elle doit rester la même tant que

« doivent » est biffé sur sa fin ; « et distincte » est ajouté entre les lignes au-dessus de « en être ».

78la courbure ne change pas, et elle ne peut convenir, par conséquent qu'à une seule courbe. mais l'étendue de la surface des distances peut être déterminée sans que la forme de cette surface soit fixée ; ensorte que des figures différentes de la surface donnée ; accompagneront pourtant la même surface des distances moyennes.

« accompagneront » est écrit entre les lignes au-dessus d'un mot biffé et recouvert d'encre, qui n'a pas été lu. Un mot au crayon, entre parenthèses, est porté dans la marge de gauche à la hauteur de cette phrase : il n'a pas été lu non plus, et le crayon n'est pas de la main de l'auteur.

Le double développement de la surface des distances moyennes et de celle des distances, représenté fig 1 et 2, va nous servir à suivre des yeux le nombre infini des changemens de forme que peut subir la surface des distances, et, par conséquent aussi la figure de la surface donnée ; sans que la surface des distances moyennes, c'est à dire la quantité de courbure en éprouve aucun.

Lorsque la surface donnée est sphérique, on a \(pq = gh = mn\) ; par conséquent les angles en \(q\) et \(q'\) disparaissent, et la surface des distances se confond avec celle des distances moyennes ; ce qui doit être, en effet, puisque la surface donnée elle même se confond avec la sphère de moyenne courbure.

\(x\) étant une grandeur linéaire comprise entre les limites zéro et \(mn\), on peut prendre \(pq = mn - x\), \(gh = mn + x\). à chacune des valeurs particulières de \(x\) correspondra une figure déterminée de la surface donnée. Les angles en \(h\) et \(h'\) s'éloigneront d'autant plus de \(BD\), développement de la directrice de la surface des distances moyennes,

79et les angles en \(q\) et \(q'\) s'approcheront d'autant plus de \(AC\), développement commun des bases des deux surfaces des distances, que la valeur de \(x\) sera plus grande. Quand la grandeur de \(x\) aura atteint sa limite \(mn\), les angles en \(q\) et \(q'\) auront leur sommet sur \(AC\) ; ce qui nous avertit qu'il y aura, alors, deux directions du plan normal pour lesquelles la ligne de distance sera nulle. Nous savons que, si on trouve deux, et non pas quatre lignes de distances égales entr'elles, elles appartiennent à une des courbures principales de la surface. la surface donnée à laquelle conviendront les développemens représentés fig. 2 aura donc une de ses courbures principales nulle.

On voit donc qu'entre les figures sphériques et cylindrique de la surface donnée, il existe un nombre infini de figures qui peuvent être attribuées à cette surface, sans qu'il en résulte le moindre changement relatif à la quantité de la courbure, quantité représentée ici par le développement de la surface des distances moyennes. C'est en effet ce qui doit être ; car si la figure de la surface donnée dépend de la différence entre les courbures principales, la courbure moyenne ne dépend, au contraire, que de la somme des mêmes courbures principales.

Il est évident que la considération des surfaces des distances et celle de leurs divers développemens donnent à la

80comparaison entre la courbure de la surface donnée et celle d'une certaine sphère ; nous dirons donc que, s'il est certain dans le sens du passage d'Euler rapporté N° 1, qu'on ne sauroit « même comparer la courbure des surfaces avec celle d'une sphère », il ne l'est pas moins, dans le sens qui a été expliqué, que l'idée complètte de la manière dont la courbure est distribuée autour du point donné, aussi bien que la connoissance de la distance moyenne entre les points de la surface qui environnent le point de tangence, et le plan tangent, résulte de la comparaison de la courbure de la surface à celle de sa sphère de moyenne courbure.

N° 8 La surface sphérique, d'une part, et de l'autre, la surface dont les rayons de principales courbures sont égaux, mais de signes opposés, comprennent entr'elles toutes les figures possibles de la surface courbe.

Dans ce qui précède, on s'est uniquement occupé du cas où les deux rayons de courbures principales sont dirigés du même côté ; et, pour plus de simplicité, on a supposé que, quel que soit le changement des figures, la somme des courbures principales, représentée ici par celle des lignes de principales distances, est toujours la même.

Après avoir également supposé, à l'égard des surfaces dont les rayons de principales courbures sont dirigés dans des sens opposés, que, abstraction faite du signe, la somme des lignes de principales distances demeure toujours la même, nous examinerons ce que deviennent alors, et la surface des

la vue 80 s'arrête au milieu de la phrase ; le texte se poursuit à la vue 81, hors de ce lot.