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contenues dans les différens plans normaux ; tandis que la position des plans de courbures principales est unique, toute autre position du plan normal est équivalente à une seconde position du même plan.
L'angle compris entre les deux positions équivalentes du plan normal est
évidemment égal à
Un arrangement analogue se manifeste par rapport à la distribution de la chaleur dans l'anneau ; car toute température comprise entre les températures extrèmes appartient à la fois à deux points différens de l'anneau, et celle-ci ne convient qu'à un seul.
Cette proposition ne peut, à la vérité, être, comme les précédentes, extraite textuellement du livre cité ; mais elle résulte des formules qui y sont données.
La position des deux points dont la température est semblable sera
représentée comme il suit :
L'arc compris entre les deux points dont la température est semblable sera
donc
Si on a présente à la pensée la différence que nous avons
signalée relativement aux distances angulaires qui, dans les lois que nous comparons, séparent les quantités extrèmes ; on verra une analogie sensible résulter des rapprochemens suivans.
D'une part, il existe, en général, quatre, et, pour un cas particulier, deux courbes semblables : de l'autre, en général deux, et, pour un cas particulier, un seul point de l'anneau, jouissent d'une même température :
La distance angulaire qui sépare soit les courbes semblables, soit les
points d'égale température, est exprimée par la différence entre la distance
angulaire qui sépare les valeurs extrèmes, et l'arc
Une conséquence immédiate de cette dernière proposition nous ramène à ce qu'on sait déjà touchant les sphères qui ont leur centre sur la normale à la surface.
Il est évident, en effet, que, les courbures principales n'étant contenues que dans un seul des plans normaux, les sphères décrites de chacun de leur rayon ne couperont pas la surface ; tandis que, par une conséquence inverse, les sphères décrites des rayons compris entre ces deux limites couperont au contraire la même surface.
Parmi les sphères qui coupent la surface, il convient de distinguer celle
dont les quatre quadrans sont situés alternativement au dedans et au dehors
de la surface. Le rayon de cette sphère appartient en même tems à la courbe
contenue dans le plan normal qui fait l'angle de ème nous apprend que
la courbure contenue dans le plan
dont il s'agit est moyenne entre celles-ci. La courbure des grands cercles de notre sphère est donc moyenne entre les courbures principales de la surface.
Nous savons aussi que les deux plans normaux qui contiennent les courbures moyennes partagent le contour du point donné en quatre parties, dont l'état est pareil, mais alternativement de signes opposés ; et il est clair d'ailleurs que ces plans coupent la sphère en même tems que la surface. L'intersection de la sphère et de la surface partage donc aussi le contour du point donné en quatre parties, dont l'état est pareil, mais de signes opposés ; et la situation de ces parties, les unes intérieures, les autres extérieures à la sphère, rend sensible cette répartition de la courbure autour du point donné.
L'analogie que nous avons fait remarquer entre deux lois applicables à des sujets entièrement dissemblables n'étonnera point, ne sait-on pas, en effet, que, si les notions caractéristiques de chacun des objets de nos connoissances sont en nombre infini, l'ordre nécessaire entre les diverses parties de ces objets ne sauroit présenter la même variété ? Habitués à reconnoître, de quelque côté que nous jetions les yeux, qu'un petit nombre de lois, parmi lesquelles les plus simples sont aussi celles dont l'application a lieu le plus souvent, se partagent l'immense domaine de la réalité, il nous seroit également impossible de concevoir un ordre d'idées ou de faits qui puisse se
soustraire à la nécessité d'un ordre déterminé et de comprendre comment un ordre marqué au sceau de la simplicité, s'associeroit au développement d'une idée erronnée.
L'existence des quantités moyennes, surtout, se fait sentir dans une multitude de considérations de natures différentes ; elle forme le lien entre l'uniformité et la variété. Si le phénomène qui en présente l'exemple se développe autour d'un point pris pour centre, la représentation des valeurs diverses observées à la fois offrira, en quelque sorte, par la substitution de l'espace au tems, une construction de la périodicité.
Après avoir cherché à étayer la considération des moyennes courbures sur une analogie que des rapports faciles à saisir auroient pû faire prévoir, nous ne craindrons plus de traiter isolément une question dont l'existence, ainsi établie d'avance, ne doit laisser aucun doute dans l'esprit du lecteur.
N° 4 Commençons, ici, avant d'entrer en matière par remonter jusqu'aux notions les plus communes touchant la courbure.
D'abord à l'égard des courbes linéaires.
L'idée qui se présente la première est de comparer la courbe à sa tangente ; ainsi, après avoir fait choix de deux lignes droites d'égale longueur, si on en forme les arcs de deux cercles différens, et qu'on mène leurs tangentes à un des points d'extrémité de ces arcs, on jugera que celui des deux dont la seconde extrémité
s'éloigne le plus de la tangente est aussi celui qui a le plus de courbure.
La distance entre l'extrémité d'un arc et la tangente menée à l'autre extrémité du même arc est mesurée par une perpendiculaire à la tangente.
Nous nommerons dorénavant cette perpendiculaire ligne de distance.
La considération des lignes de distances devant être, dans la suite,
d'une grande utilité, nous nous arrêterons un instant à examiner leur
expression.
Il est évident que la ligne de distance est égale au sinus verse de
l'angle correspondant ; car cette ligne est parallèle au rayon mené au point
de tangence, et elle est comprise entre la tangente et le sinus.
Cela posé,
On sait que la courbure du cercle est en raison inverse de son rayon ; en
prenant donc, pour fixer les idées,
Soient lignes de distances relatives aux arcs le plus
courbe et le moins courbe,
on aura, conformément à ce qu'on vient de dire,
si une courbe se confond avec son cercle osculateur, ce n'est que dans
l'étendue d'un arc infiniment petit, et nous ne nous occupons ici des
lignes de distances que pour en faire l'application aux courbes.
Prenant donc
Les lignes de distances sont donc en raison inverse des rayons de
courbures, et, par conséquent, on peut dire également de la courbure
linéaire, ou, qu'elle est en raison inverse des rayons de courbures, ou,
qu'elle est en raison directe des lignes de distances.
Lorsqu'on se borne à la considération des courbes, cette dernière manière de s'exprimer seroit, sans doute, à la fois bizarre et surabondante : mais nous verrons tout à l'heure qu'elle présente de grands avantages quand on cherche à se former une idée complète de la courbure des surfaces.
N° 5 Si nous jugeons qu'une ligne est courbe lorsque nous la voyons s'écarter de la direction d'une droite qui la touche, l'idée de la courbure des surfaces nous est également suggérée par l'observation de la distance
qui sépare le plan tangent des points de la surface voisins du plan de tangence.
Pour toute autre surface que celle de la sphère, cette distance n'est pas uniforme.
La question des courbures moyennes peut être énoncée en ces termes :
trouver l'expression de la distance moyenne entre le plan tangent et
les points de la surface qui environnent le point de tangence.
Occupons nous d'abord des seules surfaces dont les rayons de principales courbures sont dirigés du même côté.
On a vû plus haut que la courbure d'une simple courbe est proportionnelle à
une ligne droite, la ligne de distance ; nous allons montrer que la
courbure des surfaces est proportionnelle à une surface engendrée par une
ligne de distance qui change à chaque instant de grandeur et de
position.
Il s'agit présentement de décrire la courbe qui doit diriger le mouvement de la génératrice.
Après avoir mené par le point choisi le plan normal à la surface, on donnera successivement à ce plan toutes les positions dont il est susceptible. Sur chacune des courbes produites par les diverses intersections du plan normal et de la surface on prendra des arcs infiniment petits, assujettis à cette condition que, s'ils étoient étendus en lignes droites, ils donneroient tous des longueurs égales. La courbe qui joint les extrémités de ces arcs sera la directrice que nous avons cherchée.
Cette courbe est à double courbure.
Si on conçoit le plan tangent à la surface dans le point donné et la
perpendiculaire à ce plan qui tombe sur un des points de la directrice il
est clair que cette ligne ne sera autre que la ligne de distance
contenue dans celui des plans normaux qui coupe la directrice dans le point
choisi.
La ligne de distance, en changeant à chaque instant de grandeur, et
en parcourant successivement tous les points de la courbe qui dirige son
mouvement, sans cesser d'être perpendiculaire au plan tangent, engendrera
une surface que les plans de moyennes courbures, c'est-à-dire ceux qui font
l'angle de
Il est clair que la surface dont nous nous occupons est composée des
lignes de distances, en nombre infini, qui appartiennent aux courbes,
également en nombre infini, formées par l'intersection des différens plans
normaux qui passent par le point donné de la surface, point par rapport
auquel on veut connoître l'expression de la courbure. La surface composée
des lignes de distances sera nommée, par cette raison, surface
des distances.
On a vu, N° 4, que la courbure d'une simple ligne courbe est proportionnelle
à la ligne de distance de l'arc
la courbure de la surface est proportionnelle à la surface des
distances décrite autour de ce point.
La surface des distances est le segment d'une surface cylindrique
ayant pour base l'ellipse la courbe rentrante que les positions
successives de la génératrice tracent sur le plan tangent ; ce segment est
terminé à l'autre extrémité par la directrice : sa forme cette
courbe dépend de la figure de la surface à laquelle appartient la
surface des distances.
surface des distances
peut toujours être regardée comme un cercle parfait. En effet il est évident
que la plus grande différence qu'on puisse imaginer entre les deux diamètres
de cette courbe correspond au cas des surfaces cylindriques ; mais alors en
adoptant les suppositions et les dénominations de N° 1, l'un de ces
diamètres devient a l'autre
Les plans de courbures moyennes contiennent évidemment les lignes de
distances moyennes ; ils coupent à la fois la surface des distances,
qu'ils partagent en quatre parties symétriques ; la surface donnée, et la
sphère de moyenne courbure, défini N° 2 [Dont les quatre quadrans sont
alternativement situés au dedans et au dehors de cette dernière surface.
On a vû N° 3, 3ème prop., que la courbure des grands cercles de
la sphère dont nous parlons, est moyenne entre les courbures principales de
la surface donnée.
Nous allons démontrer présentement que la courbure de la sphère elle même
est égale à la courbure moyenne de la surface donnée. Cette sphère sera
nommée dorénavant sphère de moyenne courbure de la surface]
N° 6 Lorsque la surface est sphérique, la courbure autour de chacun de ses points
est uniforme ; et, par conséquent, dans un rayon donné, les points
environnans le point de tangence sont tous également distans de ce point.
décrit, sur la sphère de moyenne courbure, un cercle dont le rayon soit le
sinus de l'arc, ou, à cause de sa petitesse, l'arc même, à l'extrémité
duquel appartient la ligne de distance ; ce cercle sera la directrice
du mouvement de la même ligne de distance, qui, sans changer de
grandeur et sans cesser d'être perpendiculaire au plan tangent, engendrera
la surface à laquelle la courbure de la sphère est proportionnelle. Cette
surface sera celle des distances moyennes.
La surface des distances moyennes est cylindrique ; elle a pour base
le cercle que les positions successives de la génératrice tracent sur le
plan tangent : elle est terminée, à l'autre extrémité, par la directrice.
Si, pour deux surfaces données, de figures différentes, la somme des
courbures principales, et, par conséquent aussi, le rayon de la sphère de
moyenne courbure, sont les mêmes, la surface des distances moyennes
sera aussi la même.
Ainsi, tandis que la surface des distances dépend à la fois et de la
courbure moyenne et de la figure de la surface donnée, la considération de
la surface des distances moyennes, isolant l'idée de la figure de
celle de la distance au plan tangent, offre une représentation séparée
de la des deux affections qui ont toujours été confondues ;
savoir, la figure et la quantité de courbure qu'une surface possède dans
chacun de ses points.
La justesse de ce raisonnement exige que les deux
surfaces des distances, quoique différentes par leur forme, ayent
pourtant la même étendue, puisque de cette étendue dépend évidemment, la
quantité de courbure, ou, en d'autres termes, la somme des distances entre
le plan tangent et les points de la surface qui environnent le point de
tangence.
Pour établir l'égalité d'étendue entre les deux surfaces des
distances, il suffiroit peut être de faire remarquer qu'il existe entre
les lignes de distances les mêmes relations qu'entre les raisons
inverses des rayons de courbures.
que auxquelles ces
lignes sont proportionnelles ».
[Ainsi on a vu, N° 2, que la somme des raisons inverses des rayons de courbures contenues dans deux plans normaux perpendiculaires entr'eux est une quantité indépendante du choix de ces plans ; et, plus loin, que la raison inverse du rayon contenu dans le plan de courbure moyenne, est elle même moyenne entre les deux premières.]
On dira donc, aussi, que la somme des lignes de distances contenues
dans deux plans normaux perpendiculaires entr'eux est indépendante du choix
de ces plans, et que la ligne de distance moyenne, c'est-à-dire la
génératrice de la surface des distances moyennes est elle même
moyenne entre les deux premières lignes des distances.
Cela posé, quand on prend, sur l'une et l'autre des surfaces des
distances, un nombre de positions, convenablement
choisies, des génératrices, la somme de ces lignes est égale de part et d'autres. Si le nombre des positions de la génératrice est infini, ces positions épuiseront l'étendue de la surface. On en peut conclure que l'étendue elle même est égale de part et d'autre.
L'égalité d'étendue entre les deux surfaces des distances étant, ici,
d'une grande importance, nous allons essayer de la rendre sensible ; et,
pour cela, nous aurons recours à la considération du développement de ces
surfaces.
On a vu, N° 5, que les plans de courbures moyennes coupent à la fois : la
surface donnée ; la surface des distances, qu'ils partagent en quatre
parties symétriques ; et la sphère de courbure moyenne. Les mêmes plans
coupent donc aussi la surface des distances moyennes, qu'ils
partagent en quatre parties égales ; et, par conséquent il y a
intersection, en même tems, entre les deux surfaces des distances.
Nous avons dit plus haut que la courbe rentrante qui sert de base à la
surface des distances peut être regardée comme un cercle parfait.
Cela posé, soit ABDC le développement de la surface des distances
moyennes ; nous supposerons que le développement de l'ellipse qui sert de
base au segment cylindrique dont se compose la surface des distances
se confond avec AC, développement du cercle qui sert de base à la
l'une et à l'autre des surfaces des distances.
[surface, cylindrique, des distances moyennes ; supposition
d'autant plus admissible que, ces deux périphéries, de même ordre que leurs
rayons, étant elles mêmes
infiniment petites, leur différence est tout à fait négligeable]
Le parallélogramme
Nous établirons d'abord que la figure surface des distances.
On sait déjà que surfaces des distances qu'ils partagent en quatre parties symétriques
par rapport à l'une, égales par rapport à l'autre ; par construction, les
lignes surface des distances moyennes en quatre parties égales,
ces lignes sont donc le développement des quatre intersections des deux
surfaces des distances.
Si on conçoit que l'une des lignes d'intersection devienne mobile, lignes de moyennes et de moindres distances de moindres et de plus grandes
distances
plan la ligne brisée
Il s'agit à démontrer que les valeurs successives de la ligne mobile qui
trace sur le plan la figure surface des distances sont égales, et se succèdent dans le même
ordre.
Ces valeurs sont égales, puisque, de part et d'autre, elles reçoivent
successivement toutes celles qui sont comprises entre les mêmes limites,
savoir, les lignes de moindre et de plus grande distance. Elles se
succèdent de part et d'autre dans le même ordre, car les parties aliquotes
du développement, surface des distances,
correspondent évidemment aux mêmes parties aliquotes de cette base, ensorte
que, par exemple, les deux positions de la ligne mobile que sépareroit un
intervalle égal au quart de lignes de distances contenues dans deux plans normaux
perpendiculaires entr'eux.
La ligne brisée surface des distances ; et, par conséquent, la figure
Il reste à prouver qu'il y a égalité d'étendue entre le parallélogramme
des distances. Cette égalité résulte de celle entre les triangles
semblables,
N° 7 La considération du développement des surfaces, des distances
et des distances moyennes, nous ouvre une voie nouvelle pour arriver
à la démonstration des propositions qui ont été traitées N° 3. Sans nous
astreindre à l'ordre dans lequel elles ont été présentées d'abord, nous
reproduirons ici ces diverses propositions.
2ème prop. La courbure contenue dans le plan normal qui
fait l'angle de 45^{\circ} avec ceux de plus grande et de moindre courbure
est moyenne entre les courbures principales de la surface.
Conformément à ce qu'on a vû plus haut, la première de ces courbure est
proportionnelle à la ligne de moyenne distance lignes
de plus grande et de moindre distance. Pour justifier la
présente proposition, il suffit donc d'établir que
Menons
3ème prop. Il existe, en général, autour du point donné
quatre directions suivant lesquelles les courbes contenues
dans chacun des plans normaux sont semblables. À l'égard des courbures
principales, le nombre des courbes semblables se réduit à deux.
En d'autres termes, il existe, en général, quatre lignes de distances
égales entr'elles ; mais les distances principales sont au nombre de deux.
Il est clair, en effet, que les deux parallèles à lignes de
distances principales seront donc au nombre de deux seulement.
1re prop. Quelle que soit d'ailleurs la position de deux
plans normaux perpendiculaires entr'eux, la somme des courbures contenues
dans ces deux plans est une quantité constante ; cette somme est, par
conséquent, égale à celle des courbures principales de la surface.
Ou, en adaptant les expressions dont l'équivalence a été démontrée.
Quelle que soit d'ailleurs la position de deux lignes de distances,
si, dans le développement de la surface des distances, l'intervalle qui
sépare ces lignes est égal à
celui qui sépare les lignes de principales distances, leur somme sera
la même ; et, par conséquent, cette somme sera égale à celle des lignes de
principales distances ; proposition de toute évidence ; car si on conçoit
que le système des lignes de principales distances se meut en
parcourant tous les points de
La manière dont nous envisageons présentement la loi de la distribution de la courbure autour d'un des points de la surface écarte entièrement l'objection tirée de l'emploi exclusif, dans la question de la courbure des surfaces, de formules propres à la courbure linéaire, objection signalée N° 2.
Ici, au contraire, la manière dont on obtient la mesure des deux genres de
courbures est entièrement fondée sur la nature différente de chacune d'elles.
En effet, si, quand on dit de la courbure linéaire, qu'elle est
proportionnelle à la ligne de distance on compare tacitement la
courbe à sa tangente ; lorsqu'on dit de la courbure d'une surface qu'elle
est proportionnelle à la surface des distances, on compare également
la surface à son plan tangent.
On voit encore par là comment il arrive que l'idée de la quantité de
courbure qui, dans le cas linéaire, est inséparable de celle de la figure ;
doivent en être distinguée à l'égard des surfaces ; car, la
ligne de distance étant déterminée de grandeur et de position, elle
doit rester la même tant que
la courbure ne change pas, et elle ne peut convenir, par conséquent qu'à une
seule courbe. mais l'étendue de la surface des distances peut être
déterminée sans que la forme de cette surface soit fixée ; ensorte que des
figures différentes de la surface donnée ; accompagneront pourtant la même
surface des distances moyennes.
Le double développement de la surface des distances moyennes et de
celle des distances, représenté fig 1 et 2, va nous servir à suivre
des yeux le nombre infini des changemens de forme que peut subir la
surface des distances, et, par conséquent aussi la figure de la
surface donnée ; sans que la surface des distances moyennes, c'est à
dire la quantité de courbure en éprouve aucun.
Lorsque la surface donnée est sphérique, on a surface des
distances se confond avec celle des distances moyennes ; ce qui doit
être, en effet, puisque la surface donnée elle même se confond avec la
sphère de moyenne courbure.
surface des distances moyennes,
et les angles en surfaces des distances, que
la valeur de ligne de distance sera nulle. Nous savons que, si on
trouve deux, et non pas quatre lignes de distances égales entr'elles,
elles appartiennent à une des courbures principales de la surface. la
surface donnée à laquelle conviendront les développemens représentés fig. 2
aura donc une de ses courbures principales nulle.
On voit donc qu'entre les figures sphériques et cylindrique de la
surface donnée, il existe un nombre infini de figures qui peuvent être
attribuées à cette surface, sans qu'il en résulte le moindre changement
relatif à la quantité de la courbure, quantité représentée ici par le
développement de la surface des distances moyennes. C'est en effet ce
qui doit être ; car si la figure de la surface donnée dépend de la
différence entre les courbures principales, la courbure moyenne ne dépend,
au contraire, que de la somme des mêmes courbures principales.
Il est évident que la considération des surfaces des distances et
celle de leurs divers développemens donnent à la
comparaison entre la courbure de la surface donnée et celle d'une certaine sphère ; nous dirons donc que, s'il est certain dans le sens du passage d'Euler rapporté N° 1, qu'on ne sauroit « même comparer la courbure des surfaces avec celle d'une sphère », il ne l'est pas moins, dans le sens qui a été expliqué, que l'idée complètte de la manière dont la courbure est distribuée autour du point donné, aussi bien que la connoissance de la distance moyenne entre les points de la surface qui environnent le point de tangence, et le plan tangent, résulte de la comparaison de la courbure de la surface à celle de sa sphère de moyenne courbure.
N° 8 La surface sphérique, d'une part, et de l'autre, la surface dont les rayons de principales courbures sont égaux, mais de signes opposés, comprennent entr'elles toutes les figures possibles de la surface courbe.
Dans ce qui précède, on s'est uniquement occupé du cas où les deux rayons de
courbures principales sont dirigés du même côté ; et, pour plus de
simplicité, on a supposé que, quel que soit le changement des figures, la
somme des courbures principales, représentée ici par celle des lignes
de principales distances, est toujours la même.
Après avoir également supposé, à l'égard des surfaces dont les rayons de
principales courbures sont dirigés dans des sens opposés, que, abstraction
faite du signe, la somme des lignes de principales distances demeure
toujours la même, nous examinerons ce que deviennent alors, et la
surface des