Manuscrits de Sophie Germain, Français 9115, vues 81–100

Numérotation des feuillets. La série à l'encre se poursuit sur les rectos de la mise au net — vues 81, 83, 85, 87, 89 → 40, 41, 42, 43, 44 — avec à côté, sur les trois premières, la pagination de l'auteur, impaire et biffée, dont 39 seul a pu être lu (vue 83) ; la vue 87 ne porte qu'un « 43 », non biffé. La pagination paire est en haut à gauche de chaque verso, non biffée : 38, 40, 42, 44 aux vues 82, 84, 86, 88. Les feuillets de travail portent la même série et rien d'autre : 45 (vue 91), 46 (vue 93), 47 (vue 95, avec la lettre « E »), 48 (vue 97), 49 (vue 99, au recto blanc du feuillet écrit à la vue 100). Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Ils sont à l'encre : aucune foliotation au crayon de la Bibliothèque n'a été lue sur ces vues, et aucun « f. » n'est donc porté ici. Les vues 90, 92, 94, 96, 98 et 99 sont blanches et ne sont pas transcrites.

distances moyennes et la loi de la répartition de la courbure autour d'un point choisi sur la surface.

Il faut d'abord se rappeler qu'AC est le développement des bases des deux surfaces des distances ; que ces bases sont contenues dans le plan tangent ; et que, par conséquent AC représente la position de ce plan.

Cela posé, on verra aisément que, pour toutes les figures de la surface comprises entre la forme cylindrique et celle de la surface dont les rayons de courbures principales, et, par conséquent, aussi les lignes de distances principales sont égaux et de signes contraires, les angles en q et q' ; h et h' ; demeurent les mêmes (fig. 2, 3 et 4).

La valeur de ces angles dépend, en effet, uniquement et, de l'intervalle pq, invariable, puisque, par construction, il est, dans tous les cas possibles, la quatrième partie de AC, et de la somme des deux lignes pq, gh ; qui, ainsi qu'on vient de le dire ; est également invariable.

Lorsque les deux rayons de courbures principales sont dirigés en sens opposés, la ligne brisée Bqh &c, et dès lors aussi la directrice de la surface des distances dont cette ligne est le développement, est donc indépendante du rapport entre les deux rayons de courbures ; et, par conséquent, elle est, dans tous les cas, celle qui convient à la surface cylindrique fig. 2, limite commune entre ce genre de surfaces et celles dont les rayons de courbures sont dirigés du même côté. Les différences entre ces diverses surfaces consistent seulement en ce que des parties, plus ou moins grandes de la directrice se trouvent placées au dessus du plan tangent.

On se représentera les conséquences de la transformation qui feroit passer la surface, de la forme cylindrique à celle où les rayons

de principales courbures sont égaux mais de signes contraires ; si on conçoit que la ligne AC fig. 2, se meuve parallèlement à elle-même en se rapprochant graduellement de BD fig. 3, jusqu'à ce que les deux lignes se confondent fig. 4. En effet, durant ce mouvement, la ligne pq de principale distance située au dessus du plan tangent, ligne qui étoit nulle à l'égard de la surface cylindrique, augmentera par degrés, en même tems que gh diminuera de quantités égales, jusqu'à ce qu'enfin ces deux lignes, terminées aux côtés opposés de AC, deviennent égales.

On a vu dans les N°s précédens qu'en passant de la surface sphérique à la surface cylindrique, par le nombre infini des configurations qui les séparent, la ligne brisée Bqh &c, et, par conséquent, aussi la directrice de la surface des distances, dont cette ligne est le développement, change de formes autant de fois. On a vu en même tems qu'au milieu de tous ces changemens, la surface des moyennes distances n'en subit aucun.

Il résulte de ce qu'on vient de dire que le contraire arrive quand on passe de la surface cylindrique à celle dont les rayons de courbures principales sont égaux, mais de signes contraires. La directrice de la surface des distances conserve la même forme ; mais une partie de cette courbe passe de l'autre côté du plan tangent, et, par conséquent, la surface des distances moyennes diminue graduellement, jusqu'à ce qu'elle s'anéantisse, lorsque les lignes de distances terminées à une des faces du plan tangent sont égales aux lignes de distances terminées à l'autre face du même plan.

Il nous reste à montrer que, malgré les différences

qu'entraîne le changement de direction d'un des rayons de courbures principales, la loi de la distribution de la courbure autour d'un des points de la surface ne souffre aucune altération ; et ainsi il en est encore vrai, à l'égard des surfaces dont les rayons de principales courbures sont dirigés en sens contraires :

que la somme des lignes de distances contenues dans deux plans normaux perpendiculaires entr'eux est indépendante du choix de ces plans :

que la ligne de distance contenue dans le plan normal qui fait l'angle de 45^\circ avec ceux des courbures principales est moyenne entre les lignes de distances principales :

Enfin qu'en embrassant le contour entier du point donné, il y a, en général, quatre directions du plan normal pour lesquelles les lignes de distances sont égales, et que le nombre de ces directions se réduit à deux à l'égard des lignes de distances principales.

Ces diverses propositions ayant été établies dans le cas où les deux rayons de principales courbures sont dirigés dans le même sens, il suffit, pour les étendre au cas présent, d'observer que, l'augmentation des lignes de distances situées au dessus de AC étant considérée, à raison du signe, comme une diminution, les diverses lignes des distances dont la comparaison a servi à démontrer, dans le cas de la surface cylindrique, les propositions dont il s'agit, éprouvent à la fois des diminutions proportionnelles ; en sorte que, leur grandeur relative ne changeant pas, les mêmes propositions appuyées sur des raisonnemens semblables demeurent dans leur entier.

En parlant de la surface cylindrique, on a déjà remarqué que, deux points, seulement, du développement de la directrice des surfaces des distances savoir q et q', tombant sur AC, une des courbures principales est nulle. Quand les deux rayons de courbures principales sont de signes opposés, quatre points du développement de la directrice, savoir v et t ; v' et t' tombant sur AC, ni l'une ni l'autre des courbures principales ne sont nulles ; mais, comme, à l'égard des surfaces cylindriques, la sphère dont le rayon est infini est au nombre de celles qui ont leur centre sur la normale au point donné

Dans le cas où les deux rayons de courbures principales sont égaux et de signes contraires, les points en v et u ; v' et u' se confondent avec ceux en n, n' ; et n'', n''' lesquels partagent BD en quatre parties égales. La sphère dont le rayon est infini est donc alors celle de moyenne courbure, et cette sphère se confond avec le plan tangent. les quatre points sont nommés v, t, v', t' au premier alinéa et v, u, v', u' au second : les deux lectures ont été faites sur la vue et ne sont pas harmonisées ici. Le premier n est écrit sur une lettre reprise à la plume.

N° 9 Si la considération des courbures moyennes mérite quelque attention c'est surtout à cause du jour qu'elle doit répandre sur les questions où la courbure des surface joue le rôle d'une quantité dynamique. Peut-être même seroit-il impossible de se rendre un compte satisfaisant d'une question de ce genre ; embrassée dans toute sa généralité, si on ne connoissoit ni la loi de la répartition de la courbure autour d'un point donné, ni l'existence des courbures moyennes qui se lie à celle de cette loi.

Supposons que les forces qui agissent sur un des points de la surface sont proportionnelles à sa courbure. On sait que, quelles que soient le nombre et la direction des forces qui agissant sur un point, elles peuvent être séparées en « qui agissant sur un point » est bien ce que porte le feuillet.

deux parties qui agiront suivant deux plans perpendiculaires entr'eux menés par ce point : on sait encore que la position des plans choisis est arbitraire.

Tant qu'on ne distingue pas l'idée de la courbure de celle de la figure des surfaces, une telle séparation et l'équivalence d'un nombre infini de positions différentes des plans choisis doivent paroître inconcevables. Comment imaginer, en effet, que la figure d'une surface, séparée en deux parties, se réduise à deux courbes linéaires, et que ces courbes puissent être remplacées par une infinité d'autres courbes de figures entièrement différentes.

La notion des courbures moyennes et la loi de la distribution de la courbure, telle qu'elle a été expliquée ; satisfont, au contraire à toutes les conditions qu'exigent les principes de la mécanique.

Si les forces qui agissent sur un des points de la surface sont proportionnelles à la courbure, elles sont réparties dans tout le contour de ce point ; car la courbure elle même est distribuée dans le contour entier. Le nombre de ces forces est infini ; d'elles chacune infiniment petites, et elle est proportionnelle à la ligne de distance contenue dans le plan ~~dela~~ sa direction. « chacune » est écrit au-dessus de la ligne, sur un mot biffé d'un trait épais et illisible ; le « s » de « petites », le mot « et » et le mot « dela » sont biffés de la même encre. La phrase se lit donc sur le feuillet : « Le nombre de ces forces est infini ; d'elles chacune infiniment petite, elle est proportionnelle à la ligne de distance contenue dans le plan sa direction ».

L'action exercée doit être indépendante de la manière dont les forces qui l'exercent sont réparties autour du point donné ; quelles que soient les différences, cette action sera donc toujours égale à celle qui seroit due à une répartition uniforme des mêmes forces.

Nous avons vû aussi que la courbure moyenne de la surface est indépendante de la forme de la surface des distances,

surface qui représente, dans le cas présent, la distribution des forces dues à la courbure : l'action exercée est proportionnelle à la surface des distances moyennes ; cette action seroit donc encore la même si le point donné appartenoit, non plus à la surface que l'on considère, mais à la sphère de moyenne courbure de cette surface ; c'est à dire, si la distribution des forces autour du point donné étoit uniforme.

Les forces dues à la courbure, aussi bien que tout autre genre de forces qui agiroient sur un point donné, peuvent être décomposées suivant deux plans perpendiculaires entr'eux dont la position, d'ailleurs arbitraire, est assujettie à passer par le point donné. Dans le cas présent, les résultantes des forces qui agissent sur le point donné de la surface, seront proportionnelles aux lignes de distances contenues dans les plans choisis ; et nous avons démontré que la somme de ces deux lignes ne dépend pas non plus de la position du système des plans qui les contiennent.

Il est bon de faire observer que les lignes de distances sont ici, proportionnelles à des quantités finies ; tandis que, dans ce qui précède, elles sont regardées comme proportionnelles à des quantités infiniment petites, savoir à chacune des forces qui agissent sur le point donné. Ces suppositions ne sont pas contradictoires ; mais elles résultent de deux points de vues différens d'un même objet. L'un est conforme au principe général de la composition des forces : l'autre, tout spécial, s'attache à chacune des forces qui agissent autour du point donné de la surface ; et, parce que le nombre de ces forces est infini, leur ensemble se trouve représenté par la surface des distances moyennes. le bord droit du feuillet passe sous le montage : les dernières lettres de plusieurs lignes sont cachées, « agissent » et « contradictoires » entre autres, dont le début seul se lit sur la vue.

L'emploi de la composition des forces mène à des formules commodes ; mais, quand on cherche à se représenter l'action des forces dues à la courbure, la considération des surfaces des distances convient mieux.

Et, en effet, les surfaces des distances sont terminées, d'une part au plan tangent et de l'autre à la surface donnée, sur laquelle elles s'appuyent dans tous les points de leurs directrices. Si on conçoit que ces surfaces, devenues solides, continuent d'être interposées entre la surface donnée et son plan tangent, elles pourront être regardées comme l'obstacle qui empêche les points des directrices, c'est-à-dire, les points qui environnent celui de tangence, de s'approcher de ce plan. Les différens points dont se composent les surfaces des distances, ainsi interposées, étant doués de forces égales, l'étendue de ces surfaces représentera fidèlement les forces dues à la distance entre les directrices et le plan tangent, c'est à dire, qu'elle représentera l'action des forces nées de la courbure de la surface donnée.

Il existe, comme on l'a vu, les plus grands rapports entre le principe de la composition des forces et la question des courbures moyennes ; et il suffit même d'avoir à considérer des forces dues à la courbure d'une surface pour être conduit à ~~distinguer~~ ne pas confondre la figure, avec la courbure envisagée comme donnant naissance à une quantité dynamique. « ne pas confondre » est écrit au-dessus de « distinguer » biffé ; « avec » est écrit par-dessus un mot que la surcharge rend illisible.

La considération des courbures moyennes est nécessairement applicable à toutes les questions où la courbure des surfaces joue le rôle d'une puissance ; mais, le but que nous nous sommes proposé n'étant pas de traiter ces questions ; nous nous bornerons donc, à l'égard des applications, à un petit nombre de remarques. « n'étant » est écrit sur un mot repris à la plume, illisible sous la correction.

L'équation des surfaces élastiques ayant été l'occasion des recherches qu'on vient de lire, il est à propos de faire observer d'abord, que, pour justifier l'hypothèse qui a servi à trouver, la première fois,

l'équation de ces surfaces, il suffiroit de répéter les diverses propositions qui ont été démontrées, en y joignant la désignation de ce genre de surfaces.

La simplicité de description et le petit nombre des figures différentes de la surface qui peuvent convenir à la construction des voûtes ont sans doute masqué aux yeux des géomètres qui se sont occupés de cette matière, la nécessité de savoir exprimer, d'une manière générale, les résistances nées de la courbure des surfaces.

La notion des courbures moyennes ne sauroit cependant demeurer étrangère à de telles recherches. Supposons, par exemple, qu'on veuille comparer les voûtes en dômes aux voûtes en berceaux ; ne sera-t-il pas de la plus grande utilité de savoir aussi comparer les deux genres de courbures employés

Nous terminerons ces réflexions en présentant l'exemple de deux surfaces de figures différentes qui possèdent, en même tems qu'une étendue égale, la même courbure moyenne dans tous leurs points.

Les deux surfaces dont nous voulons parler sont celles du cylindre circonscrit et la quatrième partie de la surface sphérique décrite du rayon double de celui de la sphère inscrite. Ces deux surfaces sont d'une étendue égale ; puisque le cylindre et la sphère inscrite sont égaux en surface, et que celle des sphères est en raison du quarré de leurs rayons. De plus, ces mêmes surfaces ont dans tous leurs points la même courbure moyenne ; car, d'après ce qui précède, la sphère dont le rayon est double de celui de la base de la surface cylindrique, n'est autre chose que la sphère de moyenne courbure de cette surface la fin de cette ligne passe sous le montage, comme à la vue 86 : de « employés » les dernières lettres sont cachées, et la ponctuation qui fermoit l'interrogation n'est pas lue. « de moyenne courbure », à la dernière ligne du feuillet, est souligné deux fois.

planche des figures du mémoire, à l'encre, sans une ligne de texte ; le nombre 44 est en haut à droite. Quatre figures y sont tracées l'une sous l'autre et numérotées « fig. 1 » à « fig. 4 » dans la marge de droite. Chacune est un parallélogramme ABDC — A et C aux extrémités de la ligne supérieure, B et D de l'inférieure — que traverse une ligne brisée en dents, avec les perpendiculaires ponctuées ou pleines qui joignent les deux lignes. La ligne supérieure porte, de A vers C : p, m, q, m', p', m'', q' ; l'inférieure, de B vers D : h, n, h', n''. Les sommets de la brisée sont nommés q, q' en haut et h, h' en bas, et la figure 1 porte en outre q et t joints par une ligne ponctuée. La figure 3 ajoute sur la ligne supérieure les points v, u et v', u' de part et d'autre de p et de p', et la figure 4 ramène A sur B et C sur D, les deux lignes du parallélogramme étant alors confondues. Ce sont les figures que le mémoire appelle depuis la vue 73 ; aucune n'est légendée autrement que par son numéro.

Moyennes courbures le feuillet ne porte que ce titre, tracé d'une grande écriture au milieu de la page et souligné ; le nombre 45 est à l'encre en haut à droite. Le verso, vue 92, est blanc.

Prenons la voûte en dôme formée par la révolution d'une demie courbe quelconque. Les élémens compris entre deux plans parallèles aux pieds de la voûte formeront une zone où la courbure sera partout semblable. Les rayons de moyenne courbure de tous ces élémens seront en même tems ceux des élémens d'une surface conique circulaire dont le rayon de la base sera égal à la moitié du rayon de moyenne courbure. Aussi on formera ainsi diverses portions de surfaces cylindriques dont la courbure sera la même que celle des diverses zones de la surface de révolution.

Si on prenoit de A à B ~~de A à B~~ tous les rayons d'une ~~1re~~ zone et de A' à B' ceux d'une autre zone et ainsi de suite en avançant vers C, ceux des diverses zones se succéderoient de A à C, si par les extrémités de ces rayons pris comme ordonnées on feroit passer une ligne droite cheminant de A en C elle s'appuyeroit sur toutes les valeurs égales de A en B de A' en B' de &c engendreroit une surface cylindrique dont les élémens auroient aussi la même courbure moyenne que ceux de la surface feuillet de travail, d'une écriture rapide et fort corrigée, et déchiré : tout le bas du feuillet manque, la déchirure emportant la suite du texte, dont les dernières lignes se serrent dans le coin qui subsiste. Les couples de lettres sont écrits sur deux segments tracés à la plume, A——B au-dessus et A'——B' au-dessous ; une grande accolade verticale, tracée d'un seul trait, embrasse « ainsi de suite en avançant » et la ligne suivante. Un « &c » et le mot qui le suit sont biffés d'une croix.

N°

L'équation des surfaces étant définie il ~~nous est à chercher~~ supposerons qu'une cause extérieure ait changé la forme du suivant ce qui a été établi nous dirons que la ~~surface~~ question des surface consiste à exprimer quels sont les espaces parcourus par les points d'un solide ~~qui dans le changement de forme que le solide~~ qui, dans le changement de forme qu'il a subi ce solide a subi, ~~ont été mus dans des directions perpendiculaires aux plans~~

Commencement de la p. A

~~Reprenons la~~ ~~afin de mieux apprécier les parties simplificatrices qui caractérise le cas des surfaces nous allons rappeler les principes généraux qui conviennent à ce genre de questions~~

Revenons maintenant présentement à la question générale

À B. Par rapport au point de tangence l'espace parcouru est immédiatement mesuré par le changement de position du plan tangent qui, durant le mouvement a été transporté parallèlement à lui-même sans cesser de toucher la surface. On vient de dire que les points situés dans la profondeur du solide subissent des déplacemens égaux à ceux des points extérieurs cette circonstance permet de substituer la considération de l'élément de la surface à celui du solide et il ne nous reste donc plus à déterminer que les espaces parcourus par les points feuillet de travail, écrit d'une plume rapide et repris partout. En haut à droite la lettre « E » suivie d'un signe empâté, et le nombre 47. Une grande croix couvre les six premières lignes, qui sont en outre biffées ligne à ligne ; les trois mots qui suivent « N° » ne se laissent pas lire sous la rature. Les mots « à celui du solide », « ne », « donc plus » et « que » sont ajoutés entre les lignes de la dernière phrase, et sont ici mis à leur place ; « généraux » est de même ajouté au-dessus de la ligne dans le membre biffé. « Commencement de la p. A » est une indication de l'auteur à elle-même, portée seule sur sa ligne.

Il est peut être inutile de remarquer que la figure nodale qui manifeste la suite des points qui demeurent en repos pendant le mouvement un symptôme irrécusable de la figure complette l'invariabilité de l'épaisseur substituer

la considération de l'élément d'un solide celle de l'élément de la ~~surface~~ superficie qui le recouvre et il suffit de déterminer le déplacement des points superficiels pour connoître celui des points situés dans la profondeur du solide ~~cette~~ ces conclusion résulte évidemment de l'uniformité en même tems des espaces parcourus, par les points qui composent les couches intérieures du solide, et cette uniformité elle même résulte de l'invariabilité de l'épaisseur dans le cas des surfaces donc l'épaisseur ~~qui ne peut influer sur~~ la figure qu'affectent les faces du solide ~~elle~~ influe uniquement sur la vitesse du mouvement, ~~les différences~~ l'élasticité naturelle influe ~~aussi~~ uniquement sur cette ~~même~~ vitesse ~~et par conséquent~~ il suffit alors de multiplier l'équation trouvée pour la surface par le coefficient constant ~~qui~~ composé des deux facteurs qui expriment l'influence de l'épaisseur et celle de l'élasticité naturelle pour étendre l'équation qui a été formée sans qu'on ait rien statué sur à l'égard de ces deux qualités du solide à ce même solide considéré dans la réalité de son existence physique.

Si cette manière d'envisager la question pouvoit encore laisser quelque doute dans l'esprit du lecteur j'ajouterois qu'il seroit et tout à fait impossible de concevoir de se rendre compte de la manière dont l'équation des plaques élastiques a été trouvée feuillet de travail, numéroté 48 dans la marge de droite, repris de bout en bout : mots biffés, remplacemens entre les lignes, une addition dans la marge de gauche. Les quatre lignes du haut sont écrites après coup, d'une plume très fine et très serrée, dans l'espace laissé libre au-dessus du premier alinéa ; elles ne se laissent lire qu'en partie, et ce qui manque y est marqué comme partout ailleurs. Un grand crochet embrasse, à gauche, les six lignes qui vont de « il suffit alors de multiplier » à « l'élasticité naturelle » ; les mots « alors », « superficie », « surface », « en même tems », « uniquement » et « de concevoir » sont ajoutés au-dessus de la ligne, et sont ici mis à leur place. Le chiffre « 1 » est porté dans la marge de gauche en regard de « j'ajouterois ».

sur la surface qui environnent le point de tangence ~~et qui~~ par rapport à chacun Il est évident que les espaces parcourus seront connus si on sait à la fois qu'il est, dans l'état de repos, la distance d'un point voisin au plan tangent, quel déplacement le plan tangent a subi pendant le mouvement et enfin durant le mouvement et par rapport à chacun de ces points

On sait déjà quel a été le changement de position du plan tangent il est donc évident que les espaces parcourus par les points qui environnent le point de tangence seront connus si on sait à la fois par rapport à chacun de ces points quel est sa distance au plan tangent, dans l'état naturel de la surface et ~~quelle est elle~~ et après qu'une cause extérieure l'a forcée de changer de forme.

Les distances dont nous parlons sont liées entr'elles par une loi facile à reconnaître cette loi constitue la notion des courbures moyennes nous allons l'expliquer

feuillet de travail. Le premier alinéa est barré d'un grand trait diagonal, outre les ratures ligne à ligne ; « parcourus » et « par rapport à chacun de ces points » sont ajoutés au-dessus des lignes. La dernière ligne, sous « nous allons l'expliquer », est réduite à un mot et à des taches d'encre, et n'est pas lue. Le recto de ce feuillet, vue 99, ne porte que le nombre 49.