Français 9115 · lot 6 · vues 101–120 · Transcription
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
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Numérotation des feuillets. La série à l'encre des lots précédents se poursuit : 50 (vue 101), 51 (vue 103), 52 (vue 105), 53 (vue 107), 54 (vue 109), 55 (vue 111), « 55 bis » au-dessus d'un « 66 » biffé (vue 113), puis, sur les pages imprimées collées, 56 (vue 115), 57 (vue 117) et 58 (vue 119). Les feuillets numérotés 55 et 55 bis sont écrits sur l'autre face, vues 112 et 114. Les brouillons portent en outre les lettres « A » (vue 101), « B » (vue 103) et « D » (vue 107). L'imprimé est paginé 82 à 86 aux vues 116 à 120. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucune foliotation au crayon de la Bibliothèque n'a été lue, et aucun « f. » n'est donc porté ici. Les vues 102, 104, 106, 108 et 110 sont blanches (l'écriture du recto s'y voit par transparence), les vues 111 et 113 ne portent que leur numéro : elles ne sont pas transcrites.

101Le solide doué des forces d'élasticité est un système de points matériels mobiles cette ligne de tête est écrite au-dessus du premier alinéa ; le mot « élasticité » est repris à la plume. Elle est suivie, après « est », d'une lettre « A » isolée, peut-être un renvoi (la vue 95 porte « Commencement de la p. A »). Dans la marge de gauche, en regard, « N° 1 ». Le nombre 50 est à l'encre en haut à droite.

Lorsque, par l'effet d'une cause extérieure le solide a changé de forme, les points matériels qui le composent ont été déplacés : ce déplacement ne consiste pas uniquement dans le changement de leur distance mutuelle ; mais il se compose encore de l'espace qu'un point donné et ceux qui l'environnent ont parcourus d'un commun mouvement. « le » est écrit par-dessus « un » au début de la deuxième ligne.

Le solide abandonné à lui même tend à se rétablir dans sa forme naturelle ; chacun des points mobiles qui a changé de place, est alors animé par des forces proportionnelles […] à son déplacement absolu et les espaces […] parcourus doivent être mesurés par rapport à des points fixes. « des » est écrit au-dessus de « une », que la correction remplace. Sous « proportionnelles » et sous « les espaces », deux lignes ajoutées entre les lignes sont biffées d'un trait épais et ne se lisent pas ; la seconde est en outre entourée au crayon, et un petit mot « une » s'y rattache à gauche.

Si à raison de la liaison symétrie qui unit entre les positions des particules qui composent l'élément du solide, indépendamment les espaces parcourus, dans un même tems, par les divers points matériels, peuvent être considérés comme un tout fait et qu'on ait réussi à permettent de les d'exprimer, alors, la quantité et la liaison de tous ce déplacement collectif ces déplacemens : on connoîtra par conséquent il sera facile d'imprimer aussi quelles sont les simultanées forces qui agissent sur l'élément au moment où le solide abandonné à lui même tend à reprendre sa forme naturelle. passage repris en tous sens, dont l'état final n'est pas cohérent. « symétrie » est écrit au-dessus du mot biffé, « entre » au-dessus de « unit » ; « permettent de les » au-dessus de « peuvent être considérés », le verbe qui suivait restant sous la rature ; « alors, la quantité et la liaison de tous » au-dessus de « ce déplacement collectif », et « ces déplacem » dans la marge de gauche, au début de la ligne suivante ; « il sera facile d'imprimer » sous la ligne, en regard de « on connoîtra par conséquent » biffé. Le « à » devant « d'exprimer » est surchargé en « d' ». Le sens attendroit « d'exprimer » dans « il sera facile d'imprimer », mais le point sur l'i se lit sur la vue. « indépendamment » et « simultanées » sont écrits dans la marge de gauche, en regard des lignes où ils sont ici placés, sans signe de renvoi.

103La question des surfaces n'a n'avoit pas été d'abord complettement éclaircie, les expériences de Mr Chladni étoient uniquement relatives aux cas des simples plaques. Les programmes publiés par l'accademie ont exigé l'explication de ces expériences, le mot surface y est employé mais il n'y est pas défini et le sens général porte à croire, que dans la pensée des auteurs les commissaires, la question étoit bornée à l'ordre des faits dont la connoissance récente avoit alors frappé excitoit alors l'attention publique. en haut du feuillet, le nombre 51 à l'encre et, à sa droite, la lettre « B » d'un trait appuyé — la vue 95 renvoie à « Commencement de la p. A » et ouvre un alinéa par « À B. ». « n'avoit » est écrit au-dessus de « n'a » biffé, « les commissaires » au-dessus de « auteurs », « excitoit » et « alors » au-dessus des mots biffés de la dernière ligne.

Dans le mémoire publié en 1814 par un des membres de l'accademie il ne s'agit aussi que des seules surfaces planes.

C'est dans le mémoire couronné qui fut présenté en 1815 qu'on trouve les premiers essais sur la théorie des surfaces courbes ; à raison de sa plus grande simplicité on avoit choisi traité le cas des surfaces cylindriques. En 1821 j'ai publié un mémoire

Dans mes recherches sur la théorie des surfaces publiées en 1821 je suis revenue sur j'ai encore choisi le même exemple j'ai cherché à généraliser l'hypothèse que j'avois proposé à l'occasion des surfaces planes. Guidée par l'analogie j'ai clairement exprimé la condition relative à la direction du mouvement condition qui renferme le caractère propre de la question. « j'ai encore choisi », suivi d'une croix de renvoi, est écrit au-dessus de « je suis revenue sur » biffé. « j'ai cherché à généraliser l'hypothèse » et, sous cette ligne, « que j'avois proposé à l'occasion des surfaces planes » sont ajoutés entre les lignes, cette dernière addition entourée d'un trait qui la rattache à « l'hypothèse » ; ils sont ici mis à la suite. Un signe semblable à un « 3 » termine la ligne après « l'hypothèse ». Le trait qui court sous « 1821 » et sous « le même exemple » appartient à cet encadrement et n'est pas lu comme une rature.

J'avoue pourtant que je ne comprenois pas alors cette question aussi nettement que je la conçois aujourd'hui et je reconnoîtrai avec une véritable satisfaction combien les […] variété des expériences relatives d'autre direction de mouvemens de Mr Savart […] par leur opposition m'a aidé à développer les conséquences des principes que j'avois déjà fixé. « relatives » (biffé, d'une encre plus pâle), « d'autre direction de mouvemens » et « par leur opposition » sont écrits au-dessus de la ligne qui porte « de Mr Savart » ; le mot biffé après « Savart » est effacé par un trait épais.

105La discussion établie entre deux auteurs qui s'occupent de qui s'est à l'occasion de ce genre de questions me donne lieu de penser que qu'encore aujourd'hui le caractère de la surface n'a pas été remarqué ; n'est pas généralement elle m'engage connue. si on y avoit réfléchi l'objection qu'il ne s'agissoit que d'une surface dont l'épaisseur est infiniment petite n'auroit pas été proposée à l'auteur du mémoire publié en 1814 et ce savant géomètre ne l'auroit pas accepté. Je crois utile d'[…] sur ce que j'ai dit ailleurs. d'insister sur ce qu'elle Je vais essayer d'en donner une idée complette. le nombre 52 est à l'encre en haut à droite. Le haut du feuillet porte deux états superposés, qui ne se laissent pas démêler sûrement. L'état premier, écrit sur les lignes et biffé ligne à ligne, puis barré d'une grande croix sur ses trois dernières lignes, est donné d'abord ; entre les lignes, plus serrés, viennent « qui s'est à l'occasion de » au-dessus de « entre deux auteurs… », « qu'encore aujourd'hui » au-dessus de « que le caractère », « n'est pas généralement ; elle m'engage » (ces deux derniers mots biffés) au-dessus de « n'a pas été remarqué », puis « connue. Je crois utile d’… » sous cette ligne, le dernier mot illisible ; « sur ce que j'ai dit ailleurs. d'insister sur ce qu'elle » et « Je vais essayer d'en donner une idée complette » dans les intervalles suivants. L'ordre adopté ici est celui des lignes du feuillet ; « qui s'est » n'est pas suivi du participe qu'on attendroit.

L'expression surface admise par une sorte de prévision longtems avant qu'on en ait déterminé le véritable sens, désigne un solide qu'on peut regarder comme formé par la superposition d'un nombre infini de couches dont qu'une l'épaisseur infiniment petite rapproche le plus possible de l'idée mathématique de la surface. « qu'une » est écrit au-dessus de « dont » biffé ; « l'épaisseur » n'est pas corrigé.

Tous les points situés sur la perpendiculaire à un plan tangent donné parcourent durant le mouvement des espaces égaux la distance entre ces points ne change pas par l'effet du mouvement et aucun d'eux n'est tant porté vers les tranches voisines. Tous ces conditions qui resultoit toutes de la direction attribuée au mouvement qui entraîne l'invariabilité de la figure qu'affectent les différentes couches qui composent et l'épaisseur qui et de la du solide ne seroient pas semblables ne seroit pas semblable […] la même pour toute les couches et elles cette figure ne seroit pas non plus indépendante […] ces deux fois tout de l'épaisseur. Or l'expérience atteste que dans les cas de vibrations qui appartiennent aucun genre aux surface les figures nodales observées sont semblables sur sur les faces opposées sont semblables et que l'épaisseur n'influe pas sur le déplacement des points de la surface. les formation de ces figures. sans doute il ne faut pas confondre Peut-être est il inutile de remarquer que les figures qu'affectent la surface « par l'effet du mouvement » est écrit au-dessus de « pas et aucun d'eux » ; « qui entraîne l'invariabilité de la figure », précédé d'une croix de renvoi et d'un « et qui entre » biffé, est porté en trois lignes serrées au bout de la ligne « attribuée au mouvement » ; « l'épaisseur » est écrit une première fois au-dessus de « qui composent » ; « cette figure » au-dessus de « elles » biffé, « non plus » au-dessus de « pas indépendante », et, sous ce mot, « ces deux fois » suivi d'un mot biffé, dont la place dans la phrase n'est pas claire. « Or » est ajouté au-dessus de « L'expérience », « observées » au-dessus de « sont semblables sur », « les formation de ces figures » (le premier mot biffé) au-dessus de « le déplacement » et sous la ligne. Le début de la ligne « l'épaisseur qui » est couvert de taches d'encre. Les sept lignes de la note marginale sont écrites dans la marge de gauche, en regard des cinq dernières lignes du feuillet ; les trois premières sont biffées.

107pour la première fois et en effet mon hypothèse étoit tout à fait étrangère à la considération de l'élément du solide elle exprimoit uniquement la courbure qu'une cause extérieure avoit imprimée à l'élément de la surface plane ; cependant une simple opération de calcul a suffi pour en tirer une équation qui dont personne ne conteste l'exactitude. en haut à droite, le nombre 53 à l'encre ; à la fin de la première ligne, après « hypothèse », la lettre « D » d'un trait appuyé, comme le « B » de la vue 103. Le feuillet commence au milieu d'une phrase.

Si dans le cas des surfaces, à par rapport aux surfaces dont la simple plaque est un offre un cas particulier, le solide ne pouvoit être légitimement regardé comme formé par la superposition d'un nombre infini de couches d'une épaisseur infiniment petite, assujetties à suivre dans leur mouvement toutes les circonstances du mouvement de la couche superficielle. Comment, sans qu'il ait rien été statué par rapport sur la dépendance du mouvement entre les déplacement des points qui composent cette ces couches et celui des autres points du solide l'équation formée par la considération de la surface seule, seroit elle devenue, à l'aide d'une simple multiplication par un coefficient dépendant de l'épaisseur, l'expression du mouvement des changemens survenus dans l'élément d'un solide. « sur » est écrit au-dessus de « par rapport » biffé. Sous ce paragraphe, un long trait horizontal à la plume.

J'ai beaucoup insisté sur ce point parce qu'il est fondamental Cette notion est fondamentale en l'adoptant nous nous bornerons à exprimer le déplacement des points qui appartiennent à la surface et nous arriverons facilement à ensuite à l'équation générale du solide

109terminé par deux faces parallèles d'une courbure quelconque sous la réserve expresse que les mouvemens de tous les points d'un tel solide s'exécutent dans des directions perpendiculaires aux plans tangens à la surface qui le recouvre. le nombre 54 est à l'encre en haut à droite. Le feuillet commence au milieu d'une phrase.

La question relative à l'épaisseur sera traitée à part On verra plus tard comment le cas d'une épaisseur qui ne seroit pas la même alors dans toutes les tranches du solide, pourvu que le mouvement ne la fasse pas varier toutefois qu'elle demeura invariable par l'effet du mouvement, peut être ramené au cas d'une ou à l'égalité l'épaisseur uniforme. j'ai traité cette question dans un […] mémoire présenté depuis longtems à l'accademie dont on a […] « plus tard » est écrit au-dessus de « verra comment », « alors » au-dessus de « pas la », « toutefois qu'elle demeura invariable par » et « l'effet du mouvement » au-dessus et au-dessous de « que le mouvement ne la fasse », « un » puis « ou à l'égalité » au-dessus de « au cas d'une », un petit « et » au-dessus de « uniforme » ; « j'ai traité », écrit une seconde fois au-dessus de la ligne, est biffé comme la première. L'état final de la phrase n'est pas arrêté sur le feuillet. Les deux dernières lignes sont biffées d'un trait épais.

quant à présent nous admettrons supposerons l'épaisseur l'égalité cette uniformité d'épaisseur cette égalité « supposerons » et « l'égalité » sont écrits au-dessus de la ligne, « d'épaisseur » (biffé) et « cette égalité » au-dessous.

et Après avoir établi que qu'à l'égard des surfaces les mouvement des points du solide seront déterminé lorsqu'on connoîtra ceux des points qui appartiennent à la couche superficielle de ce solide celui de la surface nous allons chercherons qu'elles sont les espaces parcourus par les points qui environnent un point donné de tangence. il nous reste à montrer qu'à raison de la direction attribuée au mouvement que les espaces parcourus durant le mouvement, par les points qui environnent un point donné de la surface peuvent être commodément mesurés par le changement […], des distances être survenues les mêmes points et le plan tangent au point donné. « qu'à l'égard » est écrit au-dessus de « que », « des surfaces » au-dessus de « déterminé » ; « ceux des points qui appartiennent à la couche superficielle de ce solide » occupe l'intervalle au-dessous de la ligne ; « qui le recouvre », le deuxième mot biffé, est écrit au-dessus de « les espaces parcourus » dans le passage biffé. « qu'à raison de la direction » est ajouté au bout de la ligne et « attribuée au mouvement » au-dessous, en regard de « que les espaces », sans que « que » soit biffé. Le mot biffé dans la marge, devant « des distances », ne se lit pas ; « survenues », biffé, est écrit au-dessus de « être ».

La considération de la courbure moyenne qui pour le dire en passant seroit applicable à tous les cas où la courbure est un des élémens admis dans les formules et ici est ici d'une très grande importance de grand secours. les N°s suivans seront consacrés à démontrer son existence et à développer ses propriétés « en » est ajouté en tête de la ligne « passant ». La note marginale est écrite dans la marge de gauche, en six lignes, en regard de ce dernier alinéa.

112Le cas dont je me suis spécialement occupée Nous nous occuperons uniquement du cas où tous offre ces conditions on supposé que les points d'un solide, dont l'épaisseur est fort petite et dont les faces présentent une courbure quelconque, se meuvent dans des directions perpendiculaires aux divers points plans tangens. Le […] choix d'un de ces plans il résulte de la direction attribuée au mouvement que tous les points situés sur la perpendiculaire prolongée jusqu'à la face opposée du solide, parcourent, d'un commun mouvement, des espaces égaux ; en sorte et que si l'épaisseur par conséquent étoit divisée en un nombre quelconque de couches parallèles aux faces du solide la courbure de chacune d'elles seroit semblable à celle des faces mêmes feuillet écrit sur la face qui ne porte pas de numéro ; l'autre face, vue 111, ne porte que le nombre 55 à l'encre, et l'écriture de celle-ci la traverse. « Le cas dont je me suis spécialement occupée » est écrit au-dessus de la ligne biffée, « offre ces conditions on supposé que » au-dessous. « plans » est écrit au crayon au-dessus de « points » biffé ; « étoit » est d'une encre plus pâle, dans la marge, et « par conséquent » est au-dessus de « si l'épaisseur ». Le mot devant « choix » ne se lit pas. Après « mêmes », un signe de renvoi en forme de boucle croisée, dont l'appel n'a pas été trouvé sur le feuillet.

Si on se borne à considérer les simples mouvemens qui d'une amplitude fort qui s'exécutent dans les vibrations, le cas dont il s'agit […] avec celui des surfaces élastiques vibrantes et que ce n'est que cette dénomination […] que je et cette dénomination est d'autant plus convenable qu'elle semble destinée à rappeler que l'épaisseur peut alors être regardé comme formé d'une infinité de par la superposition […] surface d'une épaisseur infiniment petite « simples » est écrit au-dessus de « mouvemens », « il s'agit » au-dessus de « dont » biffé et du mot biffé qui le suit, « élastiques vibrantes » au-dessus de « et que ce n'est que cette ». Tout le reste de l'alinéa, six lignes et leurs additions interlinéaires, est biffé ligne à ligne ; au-dessus de « surface », un mot biffé ne se lit pas. Dans la marge de gauche, en regard de « plus convenable », « ont montré » est écrit d'une encre pâle ou au crayon, sans renvoi.

L'identité des figures nodales qu'on observe sur les faces opposées est une suite nécessaire de l'identité de leur courbure et confirmée […] ingénieuses les ingénieuses expériences de Mr Savart lui en donne lieu de remarquer qu'elle est qu'elle est en effet le caractère signe distinctif de ce cas genre cas de vibrations « confirmée » est écrit d'une encre pâle entre les lignes, au-dessus de « et » ; « ingénieuses » est biffé une première fois entre les lignes. La dernière ligne est biffée d'un trait qui la traverse, et sa lecture est incertaine ; la note marginale, écrite en six lignes dans la marge de gauche en regard des cinq dernières lignes, avec « en effet » d'une encre pâle, prend la suite de la phrase. Le bas du feuillet est blanc.

114\[ \frac{1}{R} - \frac{1}{R} = \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r'}\right) \sin a \sin (a + 2A) \qquad (1) \] \[ \frac{1}{R} - \frac{1}{R'} = \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r'}\right) \sin a \sin (2A - a) \qquad (2) \] \[ \frac{1}{R} + \frac{1}{R''} - \frac{2}{R'} = \left(\frac{1}{r} \quad \frac{1}{r'}\right) \sin^2 a \; 2 \cos 2A \qquad (3) \] feuillet écrit sur la face qui ne porte pas de numéro, d'une plume plus fine et d'une encre plus pâle que les feuillets précédents, sauf les trois équations du haut, repassées à l'encre noire et empâtées. L'autre face, vue 113, porte en haut à droite « 55 bis » et, au-dessous, un « 66 » biffé ; l'écriture de celle-ci la traverse. Les accents des \(R\) ne sont pas sûrs : l'encre a bavé sur le second dénominateur de l'équation (1), dont on ne lit que le \(R\), et le signe qui sépare \(\frac{1}{r}\) de \(\frac{1}{r'}\) dans l'équation (3) est couvert d'une tache, et laissé en blanc ici. Le second facteur de l'équation (1) est écrit par-dessus une première rédaction ; celui de l'équation (2) est surchargé et se lit « \(\sin (2A - a)\) » avec doute.

si \(\frac{1}{r} = \frac{1}{r'}\), c'est à dire si la surface est une sphère, si \(a = 0\) ou \(180\). si \(A = 45\) c'est à dire si deux sections font le même angle à droite et à gauche du plan de moyenne courbure avec ce plan le second membre de l'équation (3) est nul. Nous concluerons de là que la somme des rayon de courbure des deux sections est égale à la somme des rayons de courbure principale « c'est à dire si la surface est une sphère » est écrit au-dessus de la ligne ; « \(A\) » est écrit sur une lettre reprise, et le « 1 » de « 180 » sur un autre chiffre. « Nous concluerons de là que la somme des rayon de courbure des deux sections est égale à la somme des rayons de courbure principale » est bien ce que porte le feuillet : ce que l'équation (3) établit porte sur les courbures, non sur les rayons.

Se rayon dont la section dont dont le rayon est \(R\) est plus près de la section de ces deux lignes sont barrées d'un grand trait oblique ; « rayon » et « la section dont » y sont en outre biffés d'un trait. En regard, en marge à droite, deux petits traits.

D'après l'hypothèse les sections \(R'\), \(R\) et \(R\) font les angle \(A - a\), \(A\) et \(A + a\) avec la section de plus grande courbure, en comparant les seconds membres des deux équations (1) et (2) on voit que la différence \(\frac{1}{R} - \frac{1}{R'}\) et par conséquent la diminution de courbure entre les section \((A - a)\) et \(A\) est plus petite que celle qui a lieu entre les section \(A\) et \(a + A\) également distantes entr'elles que le sont les premières. c'est à dire que la courbure si on part de \(45^\circ\), l'augmentation de la courbure sera d'autant plus rapide pour un même angle entre deux plans consécutifs, que le système de ces deux plans fera un angle plus petit avec celui de plus grande courbure. « les sections \(R'\), \(R\) et \(R\) » : les accents du second et du troisième \(R\) ne se lisent pas ; « les » est écrit sur un autre mot. Le « \(A + a\) » de la première ligne est écrit sur un signe repris.

Les deux parties de la courbe qui marque les différences De courbure entre les différentes sections normales d'un même élément sont, symétriques autour de l'ordonnée de moyenne courbure une de ces parties, celle entre la section de plus grande courbure et la section de \(45^\circ\), est convexe du côté de l'a diamètre qui tient la place du plan tangent l'autre est concave vers le même diamètre. La courbure diminuera donc d'autant plus pour un même angle entre deux sections consécutives que l'on s'approchera davantage de l'ang la section de moyenne courbure « qui » est écrit sur une lettre reprise ; « la » devant « section », à la quatrième ligne, est d'une encre plus pâle. Le reste du feuillet est blanc.

Pièce imprimée : mémoire de Legendre sur la détermination des fonctions Y et Z

115feuillet imprimé, collé sur un feuillet de montage : première page du mémoire. Le nombre 56 est à l'encre en haut à droite du feuillet ; un timbre rond de la « Bibliothèque impériale » est apposé à côté du nom de l'auteur. La page ne porte pas de numéro imprimé ; au pied, « T. XI. » à gauche et la signature « 11 » au milieu.

MÉMOIRE

SUR

La détermination des fonctions Y et Z qui satisfont à l'équation \(4(x^n - 1) = (x - 1)(Y^2 \pm nZ^2)\), n étant un nombre premier \(4i \mp 1\).

PAR M. LEGENDRE.

Lu à l'Académie, le 11 octobre 1830.

Dans les articles 511 et 512 de ma Théorie des nombres, troisième édition, j'ai donné des règles fort simples pour calculer les coefficients de la fonction Y qui satisfait à l'équation \(4X = Y^2 \pm nZ^2\), où l'on désigne par \(n\) le nombre premier \(4i \mp 1\) et par X le quotient de \(x^n - 1\) divisé par \(x - 1\). Ces règles sont fondées sur la supposition que les coefficients des différents termes de la fonction Y sont moindres que \(\frac{1}{2}n\), en les prenant avec le signe convenable ; cette propriété a lieu en effet pour toutes les valeurs de \(n\) comprises dans le tableau de l'art. 512, et elle se vérifierait également pour quelques-unes des valeurs suivantes, mais elle cesse d'avoir lieu pour des valeurs plus grandes et il arrive au contraire que les coefficients de \(x\) dans la fonction Y, loin d'être plus

116p. 82 imprimée, verso du feuillet précédent, au titre courant « MÉMOIRE ». Le signe à l'encre en haut à gauche est le « 56 » de la vue 115 vu par transparence.

petits que \(\frac{1}{2}n\), deviennent progressivement plus grands que \(n\), à mesure que \(n\) augmente, même plus grands que \(n^2\), \(n^3\), etc. Les règles dont nous parlons ne font donc plus connaître les vrais coefficients de Y, mais seulement les restes de ces coefficients divisés par \(n\), ce qui peut être utile pour vérifier les valeurs calculées par d'autres méthodes, et il en résulte toujours, conformément à ce qui a été dit dans l'article 511, que le polynome Y, dont les premiers termes sont \(2x^m + x^{m-1} + \frac{3 \mp n}{4}x^{m-2} + \text{etc.}\) contient nécessairement tous ses termes au nombre de \(m + 1\) sans qu'aucun d'eux puisse devenir nul, ce qui n'a pas toujours lieu pour le polynome Z du degré \(m - 1\), qui peut être complet ou incomplet suivant les différents cas. Voici maintenant une méthode sûre et exacte pour déterminer, dans tous les cas, les polynomes Y et Z qui satisfont à l'équation \(4X = Y^2 \pm nZ^2\).

Soit d'abord \(n = 4i + 1\) ou \(m = 2i\), valeur qui répond à l'équation \(4X = Y^2 - nZ^2\), si on fait en général \[ Y + Z\sqrt{n} = 2x^m + A_1 x^{m-1} + A_2 x^{m-2} + A_3 x^{m-3} + \text{etc.} \] la forme connue des polynomes Y et Z étant \[ \begin{array}{l} Y = 2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} + \text{etc.} \\ Z = \phantom{2x^m + {}} x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} + \text{etc.}, \end{array} \] on aura les relations suivantes entre les coefficients \(A\), \(a\), \(b\) : \[ A_1 = 1 + \sqrt{n}, \quad A_2 = a_2 + b_2\sqrt{n}, \quad A_3 = a_3 + b_3\sqrt{n}, \] et en général \(A_k = a_k + b_k\sqrt{n}\) ; ainsi pour avoir les valeurs des fonctions Y et Z, il suffira de connaître celles des coefficients \(A_2\), \(A_3\), etc.

117p. 83 imprimée, au titre courant « SUR UNE QUESTION D'ANALYSE. », sur un second feuillet collé sur son propre feuillet de montage. Le nombre 57 est à l'encre en haut à droite ; au pied, la signature « 11. ».

Soit \(g\) l'une des racines primitives du nombre premier \(n\) : si l'on désigne par \(\alpha\) l'un des termes de la suite \[ 1,\ g^2,\ g^4,\ g^6 \ldots\ldots g^{n-3}, \qquad (1) \] et par \(\beta\) l'un des termes de la suite \[ g,\ g^3,\ g^5,\ g^7 \ldots\ldots g^{n-2}, \] on sait que ces deux suites de nombres, diminués des multiples de \(n\) qu'ils peuvent contenir, donnent par leur réunion la suite des nombres naturels \(1, 2, 3 \ldots\ldots n - 1\) ; on sait de plus que \(r\) étant l'une quelconque des racines imaginaires de l'équation \(r^n - 1 = 0\), le produit de tous les facteurs \(x - r^\alpha\), sera égal à l'un des deux polynomes \(\frac{1}{2}(Y + Z\sqrt{n})\), \(\frac{1}{2}(Y - Z\sqrt{n})\), et le produit de tous les facteurs \(x - r^\beta\) sera égal à l'autre polynome ; d'ailleurs comme le signe de \(\sqrt{n}\) peut être pris à volonté, on pourra supposer généralement \[ \begin{array}{l} (x - r)(x - r^{g^2})(x - r^{g^4}) \ldots (x - r^{g^{n-3}}) \\ \quad = x^m + \frac{1}{2}A_1 x^{m-1} + \frac{1}{2}A_2 x^{m-2} + \frac{1}{2}A_3 x^{m-3} + \text{etc.} \end{array} \]

Appelons \(S_1\) la somme des racines \(r^\alpha\), \(S_2\) la somme de leurs carrés \(r^{2\alpha}\), \(S_3\) la somme de leurs cubes \(r^{3\alpha}\), etc. ; ces sommes étant supposées connues, on pourra déterminer les coefficients \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), etc., au moyen des équations suivantes :

(1) La suite des valeurs de \(\alpha\) est aussi représentée dans un autre ordre, par celle des carrés \(1, 4, 9, 16 \ldots m^2\), diminués des multiples de \(n\) qu'ils peuvent contenir. note infrapaginale de l'imprimé, sous un filet ; son appel est le « (1) » placé à droite de la première suite.

118p. 84 imprimée, au titre courant « MÉMOIRE », verso du feuillet précédent ; le signe à l'encre en haut à gauche est le « 57 » de la vue 117 vu par transparence.

\[ (1) \qquad \begin{array}{l} -\frac{1}{2}A_1 = S_1 \\ -2.\frac{1}{2}A_2 = S_2 + S_1.\frac{1}{2}A_1 \\ -3.\frac{1}{2}A_3 = S_3 + S_2.\frac{1}{2}A_1 + S_1.\frac{1}{2}A_2 \\ -4.\frac{1}{2}A_4 = S_4 + S_3.\frac{1}{2}A_1 + S_2.\frac{1}{2}A_2 + S_1.\frac{1}{2}A_3 \\ -5.\frac{1}{2}A_5 = S_5 + S_4.\frac{1}{2}A_1 + S_3.\frac{1}{2}A_2 + S_2.\frac{1}{2}A_3 + S_1.\frac{1}{2}A_4 \\ \text{etc.} \end{array} \]

A l'égard de la somme désignée en général par \(S_k\), elle ne peut avoir que l'une des deux valeurs \(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n}\), \(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n}\).

On peut supposer \(S_1 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n}\), et alors on aura \[ S_k = -\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\sqrt{n}, \text{ si } k \text{ appartient à la série des nombres } \alpha ; \] et \[ S_k = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\sqrt{n}, \text{ si } k \text{ appartient à la série des nombres } \beta . \]

Dans le premier cas, le nombre \(k\) serait un résidu quadratique de \(n\), et on aurait, suivant la notation ordinaire, \(\left(\frac{k}{n}\right) = 1\) ; dans le second cas, le nombre \(k\) serait un non-résidu et on aurait \(\left(\frac{k}{n}\right) = -1\) ; donc dans tous les cas on aura, au moyen du symbole \(\left(\frac{k}{n}\right)\), \[ (2) \qquad S_k = -\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\sqrt{n}.\left(\frac{k}{n}\right). \]

Étant donnés \(n\) et \(k\), on pourra toujours déterminer a priori celle des deux valeurs \(+1\) et \(-1\) qui convient au symbole \(\left(\frac{k}{n}\right)\). Ainsi on connaîtra successivement toutes les sommes \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\), etc., ce qui permettra de déterminer les coefficients \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), par le moyen des équations (1). Ensuite la fonction \(2x^m + A_1 x^{m-1} + A_2 x^{m-2} + A_3 x^{m-3} + \text{etc.}\) prendra la forme le bas de la page imprimée est blanc : le texte reprend à la p. 85.

119p. 85 imprimée, au titre courant « SUR UNE QUESTION D'ANALYSE. », sur un troisième feuillet collé sur son feuillet de montage. Le nombre 58 est à l'encre en haut à droite.

\[ \begin{array}{l} 2x^m + (1 + \sqrt{n})x^{m-1} + (a_2 + b_2\sqrt{n})x^{m-2} \\ \qquad + (a_3 + b_3\sqrt{n})x^{m-3} + \text{etc.} \end{array} \] d'où l'on tire les valeurs séparées des fonctions Y et Z, savoir : \[ \begin{array}{l} Y = 2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} + \text{etc.} \\ Z = \phantom{2x^m + {}} x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} + \text{etc.} \end{array} \]

Telle est la méthode par laquelle on trouvera les fonctions Y et Z qui satisfont à l'équation \(4X = Y^2 - nZ^2\), lorsque le nombre premier \(n\) est de la forme \(4i + 1\) ; elle servira également à résoudre l'équation \(4X = Y^2 + nZ^2\), lorsque le nombre premier \(n\) est de la forme \(4i - 1\). Il suffira pour cela de mettre \(-n\) à la place de \(n\) dans la valeur de \(S_1\), c'est-à-dire, de prendre \(S_1 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{-n}\) ; on déterminera ensuite généralement \(S_k\) au moyen de la formule \(S_k = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{-n}.\left(\frac{k}{n}\right)\) en y substituant la valeur particulière de \(\left(\frac{k}{n}\right)\) qu'on peut toujours trouver a priori. Alors connaissant par les équations (1) les valeurs des coefficients \(A\), \(A_2\), \(A_3\), etc. qui seront tous de la forme \(a + b\sqrt{-n}\), on en déduira comme ci-dessus la valeur de la fonction \(2x^m + A_1 x^{m-1} + A_2 x^{m-2} + \text{etc.}\), et ensuite celles des fonctions Y et Z. « \(A\), \(A_2\), \(A_3\) » : l'indice du premier \(A\) manque dans l'imprimé.

Exemple I.

Pour continuer le tableau de l'art. 512, prenons \(n = 31\). Comme les diverses valeurs de \(S_k\) ne peuvent être que P et Q, savoir \(P = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n}\), \(Q = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n}\), ayant déja fait \(S_1 = P\), nous déterminerons les sommes suivantes \(S_2\), \(S_3\), \(S_4\), etc. au moyen des symboles \(\left(\frac{2}{n}\right)\), \(\left(\frac{3}{n}\right)\), \(\left(\frac{4}{n}\right)\), \(\left(\frac{5}{n}\right)\), etc. le bas de la page imprimée est blanc. Pour \(n = 31\), de la forme \(4i - 1\), la règle qui précède demanderoit \(\sqrt{-n}\) ; l'imprimé écrit ici \(\sqrt{n}\), et c'est ce qui est transcrit.

120p. 86 imprimée, au titre courant « MÉMOIRE », verso du feuillet précédent ; le signe à l'encre en haut à gauche est le « 58 » de la vue 119 vu par transparence.

Or on trouve par les principes connus \[ \begin{array}{l} \left(\frac{2}{31}\right) = 1,\ \left(\frac{3}{31}\right) = -\left(\frac{31}{3}\right) = -1,\ \left(\frac{4}{31}\right) \text{ ou en général } \left(\frac{c^2}{31}\right) = 1, \\ \quad \left(\frac{5}{31}\right) = \left(\frac{31}{5}\right) = 1,\ \left(\frac{6}{31}\right) = \left(\frac{2}{31}\right).\left(\frac{3}{31}\right) = -1,\ \left(\frac{7}{31}\right) = -\left(\frac{31}{7}\right) \\ \quad = -\left(\frac{3}{7}\right) = \left(\frac{7}{3}\right) = 1,\ \left(\frac{8}{31}\right) = \left(\frac{2c^2}{31}\right) = \left(\frac{2}{31}\right) = 1,\ \left(\frac{9}{31}\right) = 1, \\ \quad \left(\frac{10}{31}\right) = \left(\frac{2}{31}\right).\left(\frac{5}{31}\right) = 1, \text{ etc.}, \end{array} \] on a donc \[ \begin{array}{l} S_1 = S_2 = S_4 = S_5 = S_7 = S_8 = S_9 = S_{10} = P \\ S_3 = S_6 = Q. \end{array} \]

Ensuite par l'application des équations (1) on trouvera \[ \begin{array}{l} A_1 = 1 + \sqrt{-n} \\ A_2 = -7 + \sqrt{-n} \\ A_3 = -11 - \sqrt{-n} \\ A_4 = 2 - 2\sqrt{-n} \\ A_5 = 8 \\ A_6 = -3 + \sqrt{-n} \\ A_7 = -5 - \sqrt{-n} \\ A_8 = 5 - \sqrt{-n}. \end{array} \]

Arrivé aux termes moyens \(A_7\) et \(A_8\) on peut se dispenser d'aller plus loin, car il est facile de voir qu'on doit changer simplement le signe de la partie réelle dans les coefficients précédents à compter de \(A_7\), ce qui donnera le bas de la page imprimée est blanc ; la suite de l'exemple est sur la vue 121, hors de ce lot.