Français 9115 · lot 7 · vues 121–140 · Transcription
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
Lecture automatique — non vérifiée

Numérotation des feuillets. La série à l'encre des lots précédents se poursuit, un nombre par feuillet de montage : 59 (vues 121 et 122, seconde prise de vue de la même page), 60 (vue 124), 61 (vue 126), 62 (vue 128), « 63. » (vue 130), 64 (vue 132), 65 (vue 134), 66 (vue 135, au côté blanc), 67 (vue 136), 68 (vue 138), 69 (vue 140). Ce que l'on croit lire en haut à gauche des vues 123, 125, 127, 129, 131 et 133 est le nombre du recto vu en transparence. Les pages imprimées portent leur propre pagination, 87, 88 puis 9 à 19, et au pied les signatures « 2 » (p. 9), « 2. » (p. 11) et « 3 » (p. 17). Aucune foliotation au crayon de la Bibliothèque n'a été lue ; aucun « f. » n'est porté. Les vues 135 et 139 sont les dos blancs de feuillets écrits et ne sont pas transcrites ; la vue 122 répète la page de la vue 121 et n'est pas transcrite une seconde fois.

121page imprimée, titre courant « SUR UNE QUESTION D'ANALYSE. » et numéro de page 87 ; le nombre 59 à l'encre en haut à droite. Le texte s'arrête au mot « Delà », au tiers inférieur de la page, dont le reste est blanc ; le texte qu'on devine en transparence est celui de la page 88, collée de l'autre côté du même feuillet de montage (vue 123), et n'est pas transcrit.

\[ \begin{array}{l} A_9 = 3 + \sqrt{-n} \\ A_{10} = -8 \\ A_{11} = -2 - 2\sqrt{-n} \\ A_{12} = 11 - \sqrt{-n} \\ A_{13} = 7 + \sqrt{-n} \\ A_{14} = -1 + \sqrt{-n} \\ A_{15} = -2. \end{array} \]

C'est une suite nécessaire de ce que l'équation \(4X = Y^2 + nZ^2\) ne doit pas changer de forme en mettant \(\frac{1}{x}\) à la place de \(x\), propriété sur laquelle nous reviendrons ci-après.

Connaissant les coefficients A qui servent à composer la fonction \[ Y + Z\sqrt{-n} = 2x^{15} + A_1 x^{14} + A_2 x^{13} + A_3 x^{12} + \text{etc.}, \] on en déduira les valeurs des polynomes Y et Z, savoir : \[ \begin{array}{l} Y = 2x^{15} + x^{14} - 7x^{13} - 11x^{12} + 2x^{11} + 8x^{10} - 3x^9 - 5x^8 \\ \qquad + 5x^7 + 3x^6 - 8x^5 - 2x^4 + 11x^3 + 7x^2 - x - 2 \\ Z = x^{14} + x^{13} - x^{12} - 2x^{11} + x^9 - x^8 - x^7 + x^6 - 2x^4 - x^3 \\ \qquad + x^2 + x. \end{array} \]

Exemple II.

Soit \(n = 37\), on aura \[ \begin{array}{l} \left(\frac{2}{n}\right) = -1,\ \left(\frac{3}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{4}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{5}{n}\right) = -1,\ \left(\frac{6}{n}\right) = -1 \\ \left(\frac{7}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{8}{n}\right) = -1,\ \left(\frac{9}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{10}{n}\right) = 1. \end{array} \]

Delà

122seconde prise de vue de la même page imprimée 87 que la vue 121 : même texte, arrêté au même « Delà », et même nombre 59 à l'encre, dont le tracé, comparé sur les deux vues, est identique trait pour trait. Le feuillet est seulement photographié sous un autre cadrage. Le texte n'est pas transcrit une seconde fois.

123page imprimée, titre courant « MÉMOIRE » et numéro de page 88, imprimée d'un seul côté et collée au verso du feuillet de montage qui porte au recto la page 87 (vue 121). Le « 59 » qu'on croit lire en haut à gauche n'est pas écrit de ce côté : c'est le nombre à l'encre du recto vu en transparence ; l'image retournée en miroir se superpose trait pour trait au 59 de la vue 121. Le texte fantôme qui se lit à l'envers est de même celui de la page 87.

\[ \begin{array}{l} S_1 = S_3 = S_4 = S_7 = S_9 = S_{10} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n} \\ S_2 = S_5 = S_6 = S_8 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n}, \end{array} \] et la substitution de ces valeurs dans les équations (1) donnera \[ \begin{array}{l} A_1 = 1 + \sqrt{n},\ A_2 = 10,\ A_3 = -4 + 2\sqrt{n},\ A_4 = 15 - \sqrt{n}, \\ A_5 = -5 + 3\sqrt{n},\ A_6 = 17 - \sqrt{n},\ A_7 = -8 + 2\sqrt{n}, \\ A_8 = 11 - \sqrt{n},\ A_9 = -4 + 2\sqrt{n},\ A_{10} = 11 - \sqrt{n}. \end{array} \]

Le terme moyen étant \(A_9\), il est inutile d'aller plus loin, et les coefficients qui suivent \(A_9\) seront égaux à ceux qui le précèdent à intervalles égaux, de sorte qu'on aura \[ A_{10} = A_8 = 11 - \sqrt{n},\quad A_{11} = A_7 = -8 + 2\sqrt{n},\ \text{etc.}; \] et on en déduit les valeurs suivantes des fonctions Y et Z, \[ \begin{array}{l} Y = 2x^{18} + x^{17} + 10x^{16} - 4x^{15} + 15x^{14} - 5x^{13} + 17x^{12} - 8x^{11} \\ \qquad + 11x^{10} - 4x^9 + 11x^8 - 8x^7 + 17x^6 - 5x^5 + 15x^4 - 4x^3 \\ \qquad + 10x^2 + x + 2 \\ Z = x^{17} + 2x^{15} - x^{14} + 3x^{13} - x^{12} + 2x^{11} - x^{10} + 2x^9 \\ \qquad - x^8 + 2x^7 - x^6 + 3x^5 - x^4 + 2x^3 + x, \end{array} \] lesquelles satisfont à l'équation \(4X = Y^2 - 37Z^2\).

Dans ces deux exemples les coefficients des fonctions Y et Z sont encore plus petits que \(\frac{1}{2}n\) ; mais à compter de \(n = 41\), on trouve des coefficients plus grands, ce qui devient encore plus marqué, lorsque franchissant un plus grand intervalle on prend \(n = 61\). Voici les résultats de ces calculs qui feront suite au tableau de l'article 512.

124page imprimée, titre courant « SUR UNE QUESTION D'ANALYSE. » et numéro de page 9 — et non 89 : à partir d'ici l'imprimé porte une autre pagination, bien que le texte fasse suite à la page 88 de la vue 123, dont il donne le tableau annoncé. Le nombre 60 est à l'encre en haut à droite ; au pied de la page, la signature d'imprimeur « 2 ». Quelques taches d'encre dans la marge et sur les mots « les » et « premier ».

Valeurs des polynomes Y et Z. \[ \begin{array}{r|l} n & \\ \hline 31 & Y = 2x^{15} + x^{14} - 7x^{13} - 11x^{12} + 2x^{11} + 8x^{10} - 3x^9 - 5x^8 \\ & \qquad + 5x^7 + 3x^6 - 8x^5 - 2x^4 + 11x^3 + 7x^2 - x - 2 \\ & Z = x^{14} + x^{13} - x^{12} - 2x^{11} + x^9 - x^8 - x^7 + x^6 - 2x^4 - x^3 + x^2 + x \\ \hline 37 & Y = 2x^{18} + x^{17} + 10x^{16} - 4x^{15} + 15x^{14} - 5x^{13} + 17x^{12} - 8x^{11} + 11x^{10} - 4x^9 \\ & \qquad + 11x^8 - 8x^7 + 17x^6 - 5x^5 + 15x^4 - 4x^3 + 10x^2 + x + 2 \\ & Z = x^{17} + 2x^{15} - x^{14} + 3x^{13} - x^{12} + 2x^{11} - x^{10} + 2x^9 \\ & \qquad - x^8 + 2x^7 - x^6 + 3x^5 - x^4 + 2x^3 + x \\ \hline 41 & Y = 2x^{20} + x^{19} + 11x^{18} + 16x^{17} + 14x^{16} + 29x^{15} + 30x^{14} \\ & \qquad + 22x^{13} + 36x^{12} + 34x^{11} + 20x^{10} + 34x^9 + 36x^8 + 22x^7 \\ & \qquad + 30x^6 + 29x^5 + 14x^4 + 16x^3 + 11x^2 + x + 2 \\ & Z = x^{19} + x^{18} + 2x^{17} + 4x^{16} + 3x^{15} + 4x^{14} + 6x^{13} + 4x^{12} + 4x^{11} \\ & \qquad + 6x^{10} + 4x^9 + 4x^8 + 6x^7 + 4x^6 + 3x^5 + 4x^4 + 2x^3 + x^2 + x \\ \hline 61 & Y = 2x^{30} + x^{29} + 16x^{28} - 7x^{27} + 32x^{26} - 20x^{25} + 63x^{24} - 33x^{23} \\ & \qquad + 72x^{22} - 54x^{21} + 89x^{20} - 62x^{19} + 88x^{18} - 89x^{17} + 95x^{16} \\ & \qquad - 81x^{15} + \text{etc.} \\ & Z = x^{29} + 3x^{27} - 2x^{26} + 6x^{25} - 3x^{24} + 9x^{23} - 6x^{22} + 10x^{21} \\ & \qquad - 7x^{20} + 12x^{19} - 10x^{18} + 11x^{17} - 11x^{16} + 13x^{15} - \text{etc.} \end{array} \]

On voit dans ce tableau que pour le nombre 61 plusieurs des coefficients de Y sont plus grands que \(n\), mais pour avoir une idée de la progression suivant laquelle les coefficients augmentent lorsque \(n\) est un nombre premier un peu grand, prenons par exemple \(n = 2521\), nous aurons \[ \left(\frac{2}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{3}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{4}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{5}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{6}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{7}{n}\right) = 1,\ \text{etc.}, \] ce qui donne

125page imprimée, titre courant « MÉMOIRE » et numéro de page 10, collée au verso du feuillet de montage dont le recto porte la page 9 (vue 124). Le « 60 » à rebours en haut à gauche est le nombre du recto vu en transparence. Taches d'encre dans la marge de gauche.

\[ S_1 = S_2 = S_3 = S_4 = S_5 = S_6 = S_7 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n}. \] Substituant ces valeurs dans les équations (1), on en tire \[ \begin{array}{ll} A_1 = 1 + \sqrt{n} & A_5 = 84001 + 3613\sqrt{n} \\ A_2 = 631 + \sqrt{n} & A_6 = 836032 + 10312\sqrt{n} \\ A_3 = 946 + 106\sqrt{n} & A_7 = 2633212 + 69292\sqrt{n} \\ A_4 = 34231 + 211\sqrt{n} & \text{etc.} \end{array} \]

Ainsi les premiers termes des fonctions Y et Z seront, en faisant \(1260 = m\) \[ \begin{array}{l} Y = 2x^m + x^{m-1} + 631x^{m-2} + 946x^{m-3} \\ \qquad + 34231x^{m-4} + 84001x^{m-5} \\ \qquad + 836032x^{m-6} + 2633212x^{m-7} + \text{etc.} \\ Z = x^{m-1} + x^{m-2} + 106x^{m-3} + 211x^{m-4} \\ \qquad + 3613x^{m-5} + 10312x^{m-6} \\ \qquad + 69292x^{m-7} + \text{etc.} \end{array} \]

On voit avec quelle rapidité les coefficients croissent dans l'une et l'autre fonction, mais cet accroissement n'a lieu que jusqu'au terme moyen ; ensuite il fait place à un décroissement semblable, puisque les coefficients doivent être égaux à égale distance des extrêmes.

C'est en effet la loi à laquelle sont assujéties les fonctions Y et Z, puisque la substitution de \(x^{-1}\) à la place de \(x\) dans l'équation \(4X = Y^2 - nZ^2\), n'y doit apporter aucun changement, après qu'on a fait disparaître le dénominateur commun. On voit par là que dans chaque fonction les coefficients des termes extrêmes ou également éloignés des extrêmes, doivent être égaux ; mais ces coefficients sont-ils précédés du même signe ou de signes différents ? c'est ce qu'il faut examiner.

126page imprimée, titre courant « SUR UNE QUESTION D'ANALYSE. » et numéro de page 11 ; le nombre 61 à l'encre en haut à droite ; au pied de la page, la marque « 2. ».

Soit 1^o \(n = 4i - 1\) ou \(m = \frac{1}{2}(n-1) = 2i - 1\) : puisque la fonction Z doit rester la même, ou du moins ne faire que changer de signe, en mettant \(x^{-1}\) à la place de \(x\) et multipliant le tout par \(x^m\), cette fonction ne pourra avoir que l'une des deux valeurs suivantes : \[ \begin{array}{ll} \text{I.} & Z = \left\{ \begin{array}{l} x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^i \\ + x + b_2 x^2 + b_3 x^3 \ldots + b_{i-1} x^{i-1} \end{array} \right. \\[1ex] \text{II.} & Z = \left\{ \begin{array}{l} x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^i \\ - x - b_2 x^2 - b_3 x^3 \ldots + b_{i-1} x^{i-1}. \end{array} \right. \end{array} \] dans la seconde ligne de la forme II, le dernier terme est bien précédé du signe \(+\) sur la page, là où la suite des signes appelleroit \(-\) ; la ligne correspondante de la forme II de Y, plus bas, porte \(-a_{i-1}x^{i-1}\).

Or si la seconde valeur avait lieu, la supposition \(x = 1\) donnerait \(Z = 0\), et comme en même temps on aurait \(X = \frac{x^n - 1}{x - 1} = n\), l'équation \(4X = Y^2 + nZ^2\) deviendrait \(4n = Y^2\), équation impossible, puisque \(4n\) n'est point un carré, donc la forme I a lieu nécessairement.

Cela posé cette forme I de la fonction Z doit être combinée avec l'une des deux formes que pourrait avoir la fonction Y, lesquelles sont \[ \begin{array}{ll} \text{I.} & Y = \left\{ \begin{array}{l} 2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^i \\ + 2 + x + a_2 x^2 + a_3 x^3 \ldots + a_{i-1} x^{i-1} \end{array} \right. \\[1ex] \text{II.} & Y = \left\{ \begin{array}{l} 2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^i \\ - 2 - x - a_2 x^2 - a_3 x^3 \ldots - a_{i-1} x^{i-1}. \end{array} \right. \end{array} \]

Or si la forme I avait lieu, la supposition \(x = -1\) donnerait \(Y = 0\), et comme alors on aurait \(X = 1\), l'équation \(4X = Y^2 + nZ^2\) deviendrait \(4 = nZ^2\), équation impossible ; donc la forme II de Y est celle qui a lieu nécessairement.

Donc lorsqu'on a \(n = 4i - 1\), les fonctions Y et Z qui satisfont à l'équation \(4X = Y^2 + nZ^2\) ont nécessairement la

127page imprimée, titre courant « MÉMOIRE » et numéro de page 12, collée au verso du feuillet dont le recto porte la page 11 (vue 126). Le « 61 » à rebours en haut à gauche est le nombre du recto vu en transparence.

forme ici déterminée \[ \begin{array}{l} Y = \left\{ \begin{array}{l} 2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^i \\ - 2 - x - a_2 x^2 - a_3 x^3 \ldots - a_{i-1} x^{i-1} \end{array} \right. \\[1ex] Z = \left\{ \begin{array}{l} x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^i \\ + x + b_2 x^2 + b_3 x^3 \ldots + b_{i-1} x^{i-1}. \end{array} \right. \end{array} \]

Le tableau que nous avons donné de ces fonctions pour quelques-unes des plus simples valeurs de \(n\) s'accorde avec ce résultat, mais il était nécessaire de démontrer l'existence de cette propriété indépendamment de toute induction.

Soit 2^o \(n = 4i + 1\) ou \(m = 2i\), nous allons faire voir que la valeur de Z ne peut être que de la forme \[ Z = \left\{ \begin{array}{l} x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^{i+1} + b_i x^i \\ + x + b_2 x^2 + b_3 x^3 \ldots + b_{i-1} x^{i-1} \end{array} \right. \] qui ne changera pas en mettant \(x^{-1}\) à la place de \(x\) et multipliant le tout par \(x^m\). Car si après le terme moyen \(b_i x^i\) tous les signes changeaient, en sorte qu'on eût \[ Z = \left\{ \begin{array}{l} x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^{i+1} + b_i x^i \\ - x - b_2 x^2 - b_3 x^3 \ldots - b_{i-1} x^{i-1}, \end{array} \right. \] la substitution de \(x^{-1}\) au lieu de \(x\), donnerait, après avoir multiplié le tout par \(-x^m\), \[ Z = \left\{ \begin{array}{l} x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b^{i-1} x^{i+1} - b_i x^i \\ - x + b_2 x^2 - b_3 x^3 \ldots - b_{i-1} x^{i-1}, \end{array} \right. \] dans cette dernière valeur, l'imprimé porte \(b^{i-1}\), l'indice placé en exposant, et \(+b_2x^2\) à la seconde ligne, entre \(-x\) et \(-b_3x^3\) : l'un et l'autre sont transcrits tels qu'on les lit sur la page. valeur qui ne pourrait être égale à la précédente qu'en supposant \(b_i = 0\). Mais alors la supposition \(x = 1\) donnerait \(Z = 0\) et l'équation \(4X = Y^2 + nZ^2\) deviendrait \(4n = Y^2\), équation

128page imprimée, titre courant « SUR UNE QUESTION D'ANALYSE. » et numéro de page 13 ; le nombre 62 à l'encre en haut à droite.

impossible. Donc la forme que nous avons donnée à la valeur de Z est la seule admissible.

Maintenant cette valeur de Z doit être combinée avec l'une ou l'autre de ces deux valeurs de Y \[ \begin{array}{ll} \text{I.} & Y = \left\{ \begin{array}{l} 2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^{i+1} + a_i x^i \\ + 2 + x + a_2 x^2 + a_3 x^3 \ldots + a_{i-1} x^{i-1} \end{array} \right. \\[1ex] \text{II.} & Y = \left\{ \begin{array}{l} 2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^{i+1} + a_i x^i \\ - 2 - x - a_2 x^2 - a_3 x^3 \ldots - a_{i-1} x^{i-1}. \end{array} \right. \end{array} \]

Or si la seconde forme avait lieu, il faudrait qu'elle ne changeât pas, ou qu'elle changeât seulement de signe, en mettant \(x^{-1}\) à la place de \(x\) et multipliant tout par \(x^m\), ce qui exigerait qu'on eût \(a_i = 0\). Mais cette condition ne peut être remplie, puisqu'on sait qu'aucune des puissances de \(x\) ne peut manquer dans le polynome Y ; d'ailleurs si le coefficient \(a_i\) était zéro, la supposition \(x = 1\) dans la seconde forme donnerait \(Y = 0\), et alors l'équation \(4X = Y^2 - nZ^2\) deviendrait \(4n = -nZ^2\) équation impossible ; donc par cette double raison la première forme de Y est la seule admissible ; donc dans le cas de \(n = 4i + 1\) les fonctions Y et Z qui satisfont à l'équation \(4X = Y^2 - nZ^2\) seront toujours des formes suivantes : \[ \begin{array}{l} Y = \left\{ \begin{array}{l} 2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^{i+1} + a_i x^i \\ + 2 + x + a_2 x^2 + a_3 x^3 \ldots + a_{i-1} x^{i-1} \end{array} \right. \\[1ex] Z = \left\{ \begin{array}{l} x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^{i+1} + b_i x^i \\ + x + b_2 x^2 + b_3 x^3 \ldots + b_{i-1} x^{i-1}, \end{array} \right. \end{array} \] résultat qui s'accorde avec tous les exemples compris dans notre tableau. à la page précédente (vue 127), le même cas \(n = 4i + 1\) est rapporté à l'équation \(4X = Y^2 + nZ^2\) ; celle-ci écrit \(4X = Y^2 - nZ^2\). Les deux signes sont ceux de l'imprimé.

La méthode que nous avons donnée pour calculer les va-

129page imprimée, titre courant « MÉMOIRE » et numéro de page 14, collée au verso du feuillet dont le recto porte la page 13 (vue 128). Le « 62 » à rebours en haut à gauche est le nombre du recto vu en transparence.

leurs des fonctions Y et Z, ne laisse rien à désirer quand il s'agit de l'appliquer à une valeur particulière du nombre premier \(n\) ; mais pour parvenir à quelques résultats généraux, il sera bon de considérer la valeur de \(n\) sous une forme indéterminée qui la rende applicable à une infinité de nombres premiers. Et parce que les formules relatives aux nombres premiers \(4i - 1\), se déduisent aisément des formules relatives aux nombres premiers \(4i + 1\), nous allons nous occuper exclusivement de ceux-ci.

Observons d'abord que la forme \(4i + 1\) se divise en quatre autres, savoir : \[ 24\lambda + 1,\quad 24\lambda + 5,\quad 24\lambda + 13,\quad 24\lambda + 17, \] ce qui offre quatre cas à considérer.

Premier cas \(n = 24\lambda + 1\).

Alors on aura \(\left(\frac{2}{n}\right) = 1\), \(\left(\frac{3}{n}\right) = \left(\frac{n}{3}\right) = 1\), \(\left(\frac{4}{n}\right)\) ou en général \(\left(\frac{c^2}{n}\right) = 1\). Nous nous arrêterons là, parce que pour aller plus loin, il faudrait connaître le reste que donne \(\lambda\) divisé par 5, ce qui exigerait une nouvelle subdivision. Au moyen de ces valeurs de \(\left(\frac{4}{n}\right)\), on trouvera \[ S_1 = S_2 = S_3 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n}; \] ensuite par les équations (1), on aura \[ \begin{array}{l} A_1 = 1 + \sqrt{n} \\ A_2 = 1 + 6\lambda + \sqrt{n} \\ A_3 = 1 + 9\lambda + (1 + \lambda)\sqrt{n} \\ A_4 = 1 + 11\lambda + 3\lambda^2 + (1 + 2\lambda)\sqrt{n}. \end{array} \]

130page imprimée, titre courant « SUR UNE QUESTION D'ANALYSE. » et numéro de page 15 ; le nombre « 63. » à l'encre en haut à droite.

Second cas \(n = 24\lambda + 5\).

Alors on aura \(\left(\frac{2}{n}\right) = -1\), \(\left(\frac{3}{n}\right) = \left(\frac{5}{3}\right) = -1\), \(\left(\frac{4}{n}\right) = 1\) ; ce qui donne \[ S_1 = S_4 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n},\quad S_2 = S_3 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n}, \] et par l'application des équations (1), on aura \[ \begin{array}{l} A_1 = 1 + \sqrt{n} \\ A_2 = 2 + 6\lambda \\ A_3 = -3\lambda + \lambda\sqrt{n} \\ A_4 = -2\lambda + 3\lambda^2 - \lambda\sqrt{n}. \end{array} \]

Troisième cas, \(n = 24\lambda + 13\).

Alors on aura \(\left(\frac{2}{n}\right) = -1\), \(\left(\frac{3}{n}\right) = 1\), \(\left(\frac{4}{n}\right) = 1\), ensuite \[ S_1 = S_3 = S_4 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n},\quad S_2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n}, \] et par l'application des équations (1) on trouve \[ \begin{array}{l} A_1 = 1 + \sqrt{n} \\ A_2 = 4 + 6\lambda \\ A_3 = -1 - 3\lambda + (1 + \lambda)\sqrt{n} \\ A_4 = 4 + 8\lambda + 3\lambda^2 - \lambda\sqrt{n}. \end{array} \]

Quatrième cas, \(n = 24\lambda + 17\).

Alors on aura \(\left(\frac{2}{n}\right) = 1\), \(\left(\frac{3}{n}\right) = -1\), \(\left(\frac{4}{n}\right) = 1\) ; de là \[ S_1 = S_2 = S_4 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n},\quad S_3 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n}, \]

131page imprimée, titre courant « MÉMOIRE » et numéro de page 16, collée au verso du feuillet dont le recto porte la page 15 (vue 130). Le « 63. » à rebours en haut à gauche est le nombre du recto vu en transparence.

et en vertu des équations (1) ; \[ \begin{array}{l} A_1 = 1 + \sqrt{n} \\ A_2 = 5 + 6\lambda + \sqrt{n} \\ A_3 = 7 + 9\lambda + (1 + \lambda)\sqrt{n} \\ A_4 = 4 + 7\lambda + 3\lambda^2 + (2 + 2\lambda)\sqrt{n}. \end{array} \]

Ces formules pour les nombres premiers \(4i + 1\), considérés sous les quatre formes \(24\lambda + 1\), \(+5\), \(+13\), \(+17\), dont ils sont susceptibles, s'appliquent aux nombres premiers \(4i - 1\), considérés également sous leurs quatre formes \(24\lambda - 1\), \(-5\), \(-13\), \(-17\). Il suffit pour cela de changer le signe de \(\lambda\) dans les formules précédentes et en même temps le signe de \(n\) dans l'équation \(4X = Y^2 - nZ^2\) relative aux nombres premiers \(4i + 1\) ; on aura ainsi les valeurs de A qui satisfont à l'équation \(4X = Y^2 + nZ^2\) relative aux nombres premiers \(4i - 1\) ; nous les avons réunies dans le tableau suivant : \[ \begin{array}{c|c|c|c|c} n & A_1 & A_2 & A_3 & A_4 \\ \hline 24\lambda - 1 & 1 + \sqrt{-n} & 1 - 6\lambda + \sqrt{-n} & 1 - 9\lambda + (1 - \lambda)\sqrt{-n} & 1 -\! 11\lambda +\! 3\lambda^2 +\! (1 -\! 2\lambda)\sqrt{-n} \\ 24\lambda - 5 & 1 + \sqrt{-n} & 2 - 6\lambda & 3\lambda - \lambda\sqrt{-n} & 2\lambda + 3\lambda^2 + \lambda\sqrt{-n} \\ 24\lambda - 13 & 1 + \sqrt{-n} & 4 - 6\lambda & -1 + 3\lambda + (1 - \lambda)\sqrt{-n} & 4 - 8\lambda + 3\lambda^2 + \lambda\sqrt{-n} \\ 24\lambda - 17 & 1 + \sqrt{-n} & 5 - 6\lambda + \sqrt{-n} & 7 - 9\lambda + (1 - \lambda)\sqrt{-n} & 4 -\! 7\lambda +\! 3\lambda^2 +\! (2 -\! 2\lambda)\sqrt{-n} \end{array} \]

Ainsi on voit que pour tout nombre premier \(n = 24\lambda - 1\), les premiers termes des valeurs de Y et de Z seront \[ \begin{array}{l} Y = 2x^m + x^{m-1} + (1 - 6\lambda)x^{m-2} + (1 - 9\lambda)x^{m-3} + (1 - 11\lambda + 3\lambda^2)x^{m-4} + \text{etc.} \\ Z = x^{m-1} + x^{m-2} + (1 - \lambda)x^{m-3} + (1 - 2\lambda)x^{m-4} + \text{etc.} \end{array} \]

132page imprimée, titre courant « SUR UNE QUESTION D'ANALYSE. » et numéro de page 17 ; le nombre 64 à l'encre en haut à droite ; au pied de la page, la signature d'imprimeur « 3 ».

Et dans cette formule on remarquera que les quatre premiers coefficients de Y, savoir 2, 1, \(1 - 6\lambda\), \(1 - 9\lambda\), sont toujours moindres que \(\frac{1}{2}n\), mais le coefficient suivant \(1 - 11\lambda + 3\lambda^2\), qui est de l'ordre \(3\lambda^2\) ou \(\frac{n^2}{192}\), devient bientôt plus grand que \(n\) ; ainsi faisant \(\lambda = 13\) ou \(n = 311\), on a \(1 - 11\lambda + 3\lambda^2 = 365\).

Ces deux premiers tableaux pour les nombres premiers \(4i + 1\) et \(4i - 1\), ne s'étendent pas au-delà de \(A_4\) qui donne les coefficients de \(x^{m-4}\) dans Y et Z ; pour aller plus loin, il faut subdiviser chacune des valeurs \(n = 24\lambda + 1\), 5, 13, 17, en quatre autres par la substitution des cinq valeurs \(\lambda = 5\mu\), \(5\mu + 1\), \(5\mu + 2\), \(5\mu + 3\), \(5\mu + 4\), dont une doit être rejetée, comme ne donnant pas pour \(n\) des nombres premiers ; voici ces subdivisions : \[ \begin{array}{c|l} \textit{Valeur principale de } n. & \textit{Ses quatre sous-divisions.} \\ \hline 24\lambda + 1 & 120\mu + 1,\ 120\mu + 49,\ 120\mu + 73,\ 120\mu + 97 \\ 24\lambda + 5 & 120\mu + 29,\ 120\mu + 53,\ 120\mu + 77,\ 120\mu + 101 \\ 24\lambda + 13 & 120\mu + 13,\ 120\mu + 37,\ 120\mu + 61,\ 120\mu + 109 \\ 24\lambda + 17 & 120\mu + 17,\ 120\mu + 41,\ 120\mu + 89,\ 120\mu + 113 \end{array} \]

Appliquant notre méthode à ces différents cas, on trouvera pour chacun d'eux l'expression générale du coefficient \(A_5\) et celle de \(A_6\), l'une renfermant des termes affectés de \(\mu^2\) et \(\mu^2\sqrt{n}\), l'autre des termes affectés de \(\mu^2\sqrt{n}\) et \(\mu^3\) ; on en conclura que le coefficient de \(x^{m-6}\) dans Y, étant de l'ordre \(\mu\) deviendra bientôt plus grand que \(n^2\), ce qui manifeste l'augmentation progressive des coefficients de Y. On voit en même temps que le nombre et la complication des formules augmen- « de l'ordre \(\mu\) » : la lettre, en fin de ligne, ne porte aucun exposant lisible sur la vue.

133page imprimée, titre courant « MÉMOIRE » et numéro de page 18, collée au verso du feuillet dont le recto porte la page 17 (vue 132). Le « 64 » à rebours en haut à gauche est le nombre du recto vu en transparence.

tent rapidement avec la valeur de \(n\), ce qui les rend peu propres à la solution des cas particuliers. C'est pourquoi il suffira de développer ici les formules relatives à l'une de nos subdivisions ; nous choisirons pour cet effet la valeur \(n = 120\mu + 61\).

On trouve alors, comme dans le cas de \(n = 24\lambda + 13\) dont cette subdivision fait partie \[ S_1 = S_3 = S_4 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n},\quad S_2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n}. \] On aura de plus \(\left(\frac{5}{n}\right) = \left(\frac{61}{5}\right) = 1\), \(\left(\frac{6}{n}\right) = 1\), ce qui donne \(S_5 = S_1\) et \(S_6 = S_2\).

Cela posé dans le cas principal \(n = 24\lambda + 13\), on a trouvé les valeurs de \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(A_4\), dans lesquelles il faudra substituer la valeur \(\lambda = 5\mu + 2\), ce qui donnera, pour la division \(n = 120\mu + 61\), les valeurs \[ \begin{array}{l} A_1 = 1 + \sqrt{n} \\ A_2 = 16 + 30\mu \\ A_3 = -7 - 15\mu + (3 + 5\mu)\sqrt{n} \\ A_4 = 32 + 100\mu + 75\mu^2 - (2 + 5\mu)\sqrt{n}. \end{array} \]

Au moyen de ces valeurs on trouvera par les équations (1) : \[ \begin{array}{l} A_5 = -20 - \frac{195}{2}\mu - \frac{225}{2}\mu^2 + \left(6 + \frac{29}{2}\mu + \frac{15}{2}\mu^2\right)\sqrt{n} \\ A_6 = 63 + 246\mu + 280\mu^2 + 75\mu^3 - (3 + 14\mu + 15\mu^2)\sqrt{n}, \end{array} \] Et l'on voit que le terme \(75\mu^3\) qui fait partie de \(A_6\) deviendra plus grand que \(n^2\) si on a \(n > \frac{(120)^3}{75}\) ou \(n > 23040\).

Pour aller plus loin, c'est-à-dire pour trouver les valeurs

134page imprimée, titre courant « SUR UNE QUESTION D'ANALYSE. » et numéro de page 19 ; le nombre 65 à l'encre en haut à droite. Les traits pâles au-dessus de ce nombre sont le « 66 » écrit de l'autre côté du feuillet (vue 135), vu en transparence.

de \(A_7\) et \(A_8\), il faudrait au lieu de \(\mu\) substituer l'une des six valeurs \(7\nu\), \(7\nu + 1\), \(7\nu + 3\), \(7\nu + 4\), \(7\nu + 5\), \(7\nu + 6\), c'est-à-dire il faudrait subdiviser la forme \(n = 120\mu + 61\) en six autres \[ n = 840\nu + 61,\ 181,\ 421,\ 541,\ 661,\ 781 ; \] alors \(A_7\) contiendrait un terme de l'ordre \(\mu^3\sqrt{n}\), et \(A_8\) un terme de l'ordre \(\mu^4\). Il est inutile d'entrer dans de plus grands détails ; nous déduirons seulement des valeurs précédentes de \(A_1\), \(A_2 \ldots A_6\) celles des fonctions Y et Z développées jusqu'à la puissance \(x^{m-6}\) ; elles donnent pour le nombre premier \(n = 120\mu + 61\), \[ \begin{array}{l} Y = 2x^m + x^{m-1} + (16 + 30\mu)x^{m-2} - (7 + 15\mu)x^{m-3} \\ \qquad + (32 + 100\mu + 75\mu^2)x^{m-4} - \left(20 + \frac{195}{2}\mu + \frac{225}{2}\mu^2\right)x^{m-5} \\ \qquad + (63 + 246\mu + 280\mu^2 + 75\mu^3)x^{m-6} - \text{etc.} \\ Z = x^{m-1} + (3 + 5\mu)x^{m-3} - (2 + 5\mu)x^{m-4} \\ \qquad + \left(6 + \frac{29}{2}\mu + \frac{15}{2}\mu^2\right)x^{m-5} - (3 + 14\mu + 15\mu^2)x^{m-6} \\ \qquad - \text{etc.} \end{array} \]

On en déduirait pour le cas de \(n = 120\mu - 61\), les formules suivantes qui satisfont à l'équation \(4X = Y^2 + nZ^2\), \[ \begin{array}{l} Y = 2x^m + x^{m-1} + (16 - 30\mu)x^{m-2} - (7 - 15\mu)x^{m-3} \\ \qquad + (32 - 100\mu + 75\mu^2)x^{m-4} - \left(20 - \frac{195}{2}\mu + \frac{225}{2}\mu^2\right)x^{m-5} \\ \qquad + (63 - 246\mu + 280\mu^2 - 75\mu^3)x^{m-6} - \text{etc.} \\ Z = x^{m-1} + (3 - 5\mu)x^{m-3} - (2 - 5\mu)x^{m-4} \\ \qquad + \left(6 - \frac{29}{2}\mu + \frac{15}{2}\mu^2\right)x^{m-5} - (3 - 14\mu + 15\mu^2)x^{m-6} - \text{etc.} \end{array} \] Dans les deux cas on a fait \(m = \frac{1}{2}(n - 1)\). un filet imprimé ferme la page et, avec elle, le mémoire : le reste de la page est blanc.

136feuillet de la main de l'auteur, à l'encre, d'une écriture courante mais lisible, collé sur le feuillet de montage ; le nombre 67 à l'encre en haut à droite, avec un crochet tracé au-dessous. Le cachet rond « Bibliothèque impériale, MSS. » est apposé au milieu de la page, sous la figure.

Idées à vérifier.

On demande si dans la surface pesante et également épaisse l'équation d'équilibre des différentes courbes produites par les sections normales n'est pas celle d'autant de chaînettes différentes ?

On remarque d'abord, \(R\) étant le rayon de la sphère de moyenne courbure que l'équation d'équilibre de la surface est \(ge + T.\frac{2}{R} = 0\) ; on demande si la courbe produite par la section normale qui fait l'angle de \(45^\circ\) avec les sections principales courbures changeroit de forme dans le cas où retranchant le reste de la surface elle demeureroit isolée. Pour que cette courbe conserve en effet la forme qui lui appartient lorsqu'elle fait partie de la surface il faut que le retranchement supposé diminue la tension \(T\) dans le rapport d'un à 2. « avec les sections principales courbures » : la ligne porte ces mots, sans « de » ; le « s » de « sections » et celui de « courbures » sont des queues de fin de mot, lues selon le sens. Le mot rendu par « conserve » est tracé serré et ne se laisse pas lire lettre à lettre. Dans le titre, « à vé » est souligné.

Soit \(A\)——\(C\)——\(B\), \(ASB\) cette courbe dont les points d'appuis sont \(S\) et \(A\), \(B\), lorsqu'elle est isolée ; lorsqu'elle fait partie de la surface dont le contour est appuyé en \(B\) \(B''\) \(B''\), il est évident que la force de l'appui \(B\) est augmentée par celle des appuis \(B'\) \(B''\) \(B'''\) &c. Si on suppose que l'appui \(B\) est proportionnel à \(BC\) et que l'appui \(B'\) augmente la force de l'appui \(B\) d'une quantité proportionnelle à la petite ligne \(b'B'\). Il est clair qu'en menant les petites lignes \(B''b''\), \(B'''b'''\) &c. Cela épuiseroit la ligne \(CB\) et on concluroit que, la force du premier appui étant proportionnelle à cette ligne, elle se trouveroit en effet doublée. Mais cette manière d'envisager les choses est loin d'être satisfesante en effet les forces \(B'\) \(B''\) \(B'''\) &c semblent devoir être proportionnelles aux lignes \(Cb'\) \(Cb''\) \(Cb'''\) &c. qui sont les cosinus des angles \(CB'B\), \(CB''B\), \(CB'''B\), plutôt qu'à leur complémens \(b'B\) &c et je n'ai pas trouvé la manière de détruire cette objection

(Retournez) figure à la plume, dans la ligne, entre « Soit » et « \(ASB\) cette courbe » : une droite horizontale \(A\)——\(C\)——\(B\) ; au-dessous, une courbe qui part de \(A\), descend jusqu'à un point bas marqué \(S\) et remonte à \(B\) ; de \(C\) partent trois droites montant vers des points \(B'\), \(B''\), \(B'''\) situés au-dessus de la droite, près de \(B\), d'où tombent sur elle trois perpendiculaires aux pieds marqués \(b'\), \(b''\), \(b'''\). Les accents des lettres sont petits et serrés sur la figure. À la ligne « en \(B\) \(B''\) \(B''\) », les accents sont lus tels qu'ils paraissent, deux traits sur chacune des deux dernières lettres ; la figure porte \(B'\), \(B''\), \(B'''\). « Cela » est repassé d'un trait épais qui le rend douteux. « (Retournez) », souligné, est au pied de la page : la suite est au verso, vue 137.

137verso du feuillet de la vue 136, de la même main et de la même encre ; la page fait suite au « (Retournez) » du recto. Aucun nombre n'y est écrit.

Mais voisi une autre manière d'envisager les choses

Supposons une surface également pesante dans tous ses points et appuyée dans tous les points de son contour sur un chassis circulaire. La force d'appui ou de tension \(T\) qui soutient la surface pesante peut être décomposée suivant deux plans normaux entr'eux et à la surface, et comme dans les suppositions présentes tout est égal par rapport à ces deux plans, les deux portions de forces qui agissent dans chacun d'eux sont aussi égales entr'elles.

L'élément est soutenu par ces deux parties de forces et on a l'équation \(ge + T.\frac{2}{R}\), \(g\) est la pesanteur soit \(g'\) la pesanteur dans une simple ligne courbe, la pesanteur aura une partie constante \(g''\). Soit la pesanteur dans la courbe \(2g''\) dans une surface elle sera \(4g''\) on aura donc en faisant \(T = 2T'\), \(4g''e + 2T'.\frac{2}{R} = 0\) et par conséquent dans \(g''e + T'\frac{1}{R} = 0\) pour l'équation de la courbe produite par une section normale. Il résulteroit delà que cette courbe est une chaînette. la lettre qui suit \(g\) et \(g''\) dans les équations est un \(e\) nettement formé, ici et à la vue 136 ; l'équation « \(ge + T.\frac{2}{R}\) » est écrite sans « \(= 0\) ». Le « \(4g''\) » de la fin de phrase est repassé à la plume, et dans « \(4g''e\) » les accents de \(g\) sont serrés au point qu'on n'en distingue pas sûrement deux.

Mais si à présent les forces des appuis augmente dans certains points du contour et diminue dans les autres nous pourrons admettre que ces forces, qui luttent contre la pesanteur élèvent les points d'appuis qui se trouvent compris dans une des sections normales ; il y en aura une pour laquelle cette élévation sera la plus grande ; dans d'autre il y aura abbaissement et l'abbaissement le plus grand le mot biffé avant « forces » est couvert d'une croix. Le mot rendu par « élévation » est tracé en abrégé et se lit plutôt « ébration » : la lecture est donnée d'après le sens. La page s'arrête sur « le plus grand », sans ponctuation, au tiers inférieur du feuillet.

138nouveau feuillet de la même main, collé sur le feuillet de montage ; le nombre 68 en haut à droite, d'un trait fin et pâle. Le texte n'occupe que la moitié supérieure de la page ; au-dessous, une tache ronde et rien d'autre.

Dans la vue d'étendre les conséquences qu'on peut tirer de l'existence de la sphère de moyenne courbure j'ai cherché de tout côté ce qui concerne la chaînette à cause de son rapport avec la voûte qui se soutient d'elle même, je n'ai trouvé que dans l'histoire des mathématiques l'encyclopédie et le mémoire de M poisson sur la surface élastique.

Je trouve dans un article de d'alembert « si une courbe est pressée « en chaque point, par une puissance qui soit perpendiculaire « à la courbe, pour qu'il y ait équilibre, il faut que cette puissance « soit en raison inverse des rayon de courbure de cette courbe ».

Je voyois que ce principe s'appliqueroit également à une surface en substituant la somme des rayons raisons inverses des rayons de courbures principales en sorte qu'on pourroit énoncer ainsi la proposition générale

« Si une surface est pressée en chaque point par « une puissance qui soit perpendiculaire à sa surface courbure « pour qu'il y ait équilibre, il faut que cette puissance « soit en raison inverse double raison inverse du rayon « de courbure de la sphère de moyenne courbure de la surface.

ou ce qui est plus clair

Si une surface est pressée en chaque point par une puissance qui soit perpendiculaire à l'élément de sa courbure, pour qu'il y ait équilibre il faut que la moitié de cette puissance soit en raison inverse du rayon de sa sphère de moyenne courbure. les guillemets ouvrants sont répétés en tête de chaque ligne de la citation de d'Alembert et de l'énoncé général, à la manière du temps ; ils sont conservés à leur place. L'énoncé général est souligné ligne à ligne et embrassé à gauche par un long trait vertical ; « courbure » est écrit au-dessus de la fin de ligne, au-dessus de « surface » biffé. Dans « soit en raison inverse double raison inverse », seul « raison » porte un trait qui le traverse ; « inverse », qui le suit, n'est que souligné comme le reste de la ligne, et n'est donc pas donné pour biffé. Le second énoncé est souligné aussi ; « l'élément de » y est ajouté au-dessus de la ligne, entre « à » et « sa », et un trait passe sur la fin de « élément », qui peut être un simple trait de liaison.

140feuillet de la même main, collé sur le feuillet de montage ; le nombre 69 en haut à droite, du même trait fin et pâle que le 68 de la vue 138. Le texte s'arrête aux deux tiers de la page.

Voila ce qui doit être examiné.

L'élément \(dxdy\sqrt{1 + p^2 + q^2}\) de la surface est, je crois celui du plan tangent, si le plan tangent se confond dans tous ses points avec celui des \(x\) \(y\) l'élément se réduit à \(dxdy\) : \(\frac{1}{\sqrt{1 + p^2 + q^2}}\) est le cosinus de l'angle que le plan tangent fait avec celui des \(x\), \(y\) ; \(dxdy\) est la projection sur le plan des \(x\), \(y\) de l'élément \(dxdy\sqrt{1 + p^2 + q^2}\). La projection de cet élément est son produit par le cosinus de l'angle qu'il fait avec le plan de \(x\) \(y\), il est donc \(dxdy.\sqrt{1 + p^2 + q^2}.\frac{1}{\sqrt{1 + p^2 + q^2}} = dxdy\). comme nous l'avons dit

A présent voila ce qu'il faudrait savoir expliquer si on prend la variation de \(\sqrt{1 + p^2 + q^2}\) on a \(\frac{p\delta p + q\delta q}{\sqrt{1 + p^2 + q^2}}\) et en intégrant par partie \(\frac{2}{R}\delta z\) ainsi la variation le mot biffé après « est, » est couvert d'un trait épais ; « je crois » est proposé sous la rature avec doute. Dans « \(\sqrt{1 + p^2 + q^2}\) » les exposants sont parfois écrits comme une barre sur la lettre (« \(\bar p\) ») ; ils sont donnés comme carrés partout, ainsi que la ligne les écrit en clair ailleurs. Le « \(= dxdy\) » final est porté à droite, sur la ligne de « l'avons dit », et repassé. La page s'arrête sur « ainsi la variation », sans suite.