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<math display="block">\begin{array}{l} A_9 = 3 + \sqrt{-n} \\ A_{10} = -8 \\ A_{11} = -2 - 2\sqrt{-n} \\ A_{12} = 11 - \sqrt{-n} \\ A_{13} = 7 + \sqrt{-n} \\ A_{14} = -1 + \sqrt{-n} \\ A_{15} = -2. \end{array}</math>

C'est une suite nécessaire de ce que l'équation <math>4X = Y^2 + nZ^2</math> ne doit pas changer de forme en mettant <math>\frac{1}{x}</math> à la place de <math>x</math>, propriété sur laquelle nous reviendrons ci-après.

Connaissant les coefficients A qui servent à composer la fonction
<math display="block">Y + Z\sqrt{-n} = 2x^{15} + A_1 x^{14} + A_2 x^{13} + A_3 x^{12} + \text{etc.},</math>
on en déduira les valeurs des polynomes Y et Z, savoir :
<math display="block">\begin{array}{l} Y = 2x^{15} + x^{14} - 7x^{13} - 11x^{12} + 2x^{11} + 8x^{10} - 3x^9 - 5x^8 \\ \qquad + 5x^7 + 3x^6 - 8x^5 - 2x^4 + 11x^3 + 7x^2 - x - 2 \\ Z = x^{14} + x^{13} - x^{12} - 2x^{11} + x^9 - x^8 - x^7 + x^6 - 2x^4 - x^3 \\ \qquad + x^2 + x. \end{array}</math>

<!-- titre de la transcription : Exemple II. -->

Soit <math>n = 37</math>, on aura
<math display="block">\begin{array}{l} \left(\frac{2}{n}\right) = -1,\ \left(\frac{3}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{4}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{5}{n}\right) = -1,\ \left(\frac{6}{n}\right) = -1 \\ \left(\frac{7}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{8}{n}\right) = -1,\ \left(\frac{9}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{10}{n}\right) = 1. \end{array}</math>

Delà

122Vue 122Gallica ↗

Rien à verser : la vue ne porte que la description du feuillet, que le site garde dans l'onglet Transcription.

123Vue 123Gallica ↗WikicodeCopier

<math display="block">\begin{array}{l} S_1 = S_3 = S_4 = S_7 = S_9 = S_{10} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n} \\ S_2 = S_5 = S_6 = S_8 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n}, \end{array}</math>
et la substitution de ces valeurs dans les équations (1) donnera
<math display="block">\begin{array}{l} A_1 = 1 + \sqrt{n},\ A_2 = 10,\ A_3 = -4 + 2\sqrt{n},\ A_4 = 15 - \sqrt{n}, \\ A_5 = -5 + 3\sqrt{n},\ A_6 = 17 - \sqrt{n},\ A_7 = -8 + 2\sqrt{n}, \\ A_8 = 11 - \sqrt{n},\ A_9 = -4 + 2\sqrt{n},\ A_{10} = 11 - \sqrt{n}. \end{array}</math>

Le terme moyen étant <math>A_9</math>, il est inutile d'aller plus loin, et les coefficients qui suivent <math>A_9</math> seront égaux à ceux qui le précèdent à intervalles égaux, de sorte qu'on aura
<math display="block">A_{10} = A_8 = 11 - \sqrt{n},\quad A_{11} = A_7 = -8 + 2\sqrt{n},\ \text{etc.};</math>
et on en déduit les valeurs suivantes des fonctions Y et Z,
<math display="block">\begin{array}{l} Y = 2x^{18} + x^{17} + 10x^{16} - 4x^{15} + 15x^{14} - 5x^{13} + 17x^{12} - 8x^{11} \\ \qquad + 11x^{10} - 4x^9 + 11x^8 - 8x^7 + 17x^6 - 5x^5 + 15x^4 - 4x^3 \\ \qquad + 10x^2 + x + 2 \\ Z = x^{17} + 2x^{15} - x^{14} + 3x^{13} - x^{12} + 2x^{11} - x^{10} + 2x^9 \\ \qquad - x^8 + 2x^7 - x^6 + 3x^5 - x^4 + 2x^3 + x, \end{array}</math>
lesquelles satisfont à l'équation <math>4X = Y^2 - 37Z^2</math>.

Dans ces deux exemples les coefficients des fonctions Y et Z sont encore plus petits que <math>\frac{1}{2}n</math> ; mais à compter de <math>n = 41</math>, on trouve des coefficients plus grands, ce qui devient encore plus marqué, lorsque franchissant un plus grand intervalle on prend <math>n = 61</math>. Voici les résultats de ces calculs qui feront suite au tableau de l'article 512.

124Vue 124Gallica ↗WikicodeCopier

''Valeurs des polynomes'' Y ''et'' Z.
<math display="block">\begin{array}{r|l} n & \\ \hline 31 & Y = 2x^{15} + x^{14} - 7x^{13} - 11x^{12} + 2x^{11} + 8x^{10} - 3x^9 - 5x^8 \\ & \qquad + 5x^7 + 3x^6 - 8x^5 - 2x^4 + 11x^3 + 7x^2 - x - 2 \\ & Z = x^{14} + x^{13} - x^{12} - 2x^{11} + x^9 - x^8 - x^7 + x^6 - 2x^4 - x^3 + x^2 + x \\ \hline 37 & Y = 2x^{18} + x^{17} + 10x^{16} - 4x^{15} + 15x^{14} - 5x^{13} + 17x^{12} - 8x^{11} + 11x^{10} - 4x^9 \\ & \qquad + 11x^8 - 8x^7 + 17x^6 - 5x^5 + 15x^4 - 4x^3 + 10x^2 + x + 2 \\ & Z = x^{17} + 2x^{15} - x^{14} + 3x^{13} - x^{12} + 2x^{11} - x^{10} + 2x^9 \\ & \qquad - x^8 + 2x^7 - x^6 + 3x^5 - x^4 + 2x^3 + x \\ \hline 41 & Y = 2x^{20} + x^{19} + 11x^{18} + 16x^{17} + 14x^{16} + 29x^{15} + 30x^{14} \\ & \qquad + 22x^{13} + 36x^{12} + 34x^{11} + 20x^{10} + 34x^9 + 36x^8 + 22x^7 \\ & \qquad + 30x^6 + 29x^5 + 14x^4 + 16x^3 + 11x^2 + x + 2 \\ & Z = x^{19} + x^{18} + 2x^{17} + 4x^{16} + 3x^{15} + 4x^{14} + 6x^{13} + 4x^{12} + 4x^{11} \\ & \qquad + 6x^{10} + 4x^9 + 4x^8 + 6x^7 + 4x^6 + 3x^5 + 4x^4 + 2x^3 + x^2 + x \\ \hline 61 & Y = 2x^{30} + x^{29} + 16x^{28} - 7x^{27} + 32x^{26} - 20x^{25} + 63x^{24} - 33x^{23} \\ & \qquad + 72x^{22} - 54x^{21} + 89x^{20} - 62x^{19} + 88x^{18} - 89x^{17} + 95x^{16} \\ & \qquad - 81x^{15} + \text{etc.} \\ & Z = x^{29} + 3x^{27} - 2x^{26} + 6x^{25} - 3x^{24} + 9x^{23} - 6x^{22} + 10x^{21} \\ & \qquad - 7x^{20} + 12x^{19} - 10x^{18} + 11x^{17} - 11x^{16} + 13x^{15} - \text{etc.} \end{array}</math>

On voit dans ce tableau que pour le nombre 61 plusieurs des coefficients de Y sont plus grands que <math>n</math>, mais pour avoir une idée de la progression suivant laquelle les coefficients augmentent lorsque <math>n</math> est un nombre premier un peu grand, prenons par exemple <math>n = 2521</math>, nous aurons
<math display="block">\left(\frac{2}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{3}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{4}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{5}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{6}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{7}{n}\right) = 1,\ \text{etc.},</math>
ce qui donne

125Vue 125Gallica ↗WikicodeCopier

<math display="block">S_1 = S_2 = S_3 = S_4 = S_5 = S_6 = S_7 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n}.</math>
Substituant ces valeurs dans les équations (1), on en tire
<math display="block">\begin{array}{ll} A_1 = 1 + \sqrt{n} & A_5 = 84001 + 3613\sqrt{n} \\ A_2 = 631 + \sqrt{n} & A_6 = 836032 + 10312\sqrt{n} \\ A_3 = 946 + 106\sqrt{n} & A_7 = 2633212 + 69292\sqrt{n} \\ A_4 = 34231 + 211\sqrt{n} & \text{etc.} \end{array}</math>

Ainsi les premiers termes des fonctions Y et Z seront, en faisant <math>1260 = m</math>
<math display="block">\begin{array}{l} Y = 2x^m + x^{m-1} + 631x^{m-2} + 946x^{m-3} \\ \qquad + 34231x^{m-4} + 84001x^{m-5} \\ \qquad + 836032x^{m-6} + 2633212x^{m-7} + \text{etc.} \\ Z = x^{m-1} + x^{m-2} + 106x^{m-3} + 211x^{m-4} \\ \qquad + 3613x^{m-5} + 10312x^{m-6} \\ \qquad + 69292x^{m-7} + \text{etc.} \end{array}</math>

On voit avec quelle rapidité les coefficients croissent dans l'une et l'autre fonction, mais cet accroissement n'a lieu que jusqu'au terme moyen ; ensuite il fait place à un décroissement semblable, puisque les coefficients doivent être égaux à égale distance des extrêmes.

C'est en effet la loi à laquelle sont assujéties les fonctions Y et Z, puisque la substitution de <math>x^{-1}</math> à la place de <math>x</math> dans l'équation <math>4X = Y^2 - nZ^2</math>, n'y doit apporter aucun changement, après qu'on a fait disparaître le dénominateur commun. On voit par là que dans chaque fonction les coefficients des termes extrêmes ou également éloignés des extrêmes, doivent être égaux ; mais ces coefficients sont-ils précédés du même signe ou de signes différents ? c'est ce qu'il faut examiner.

126Vue 1261 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Soit 1<sup>o</sup> <math>n = 4i - 1</math> ou <math>m = \frac{1}{2}(n-1) = 2i - 1</math> : puisque la fonction Z doit rester la même, ou du moins ne faire que changer de signe, en mettant <math>x^{-1}</math> à la place de <math>x</math> et multipliant le tout par <math>x^m</math>, cette fonction ne pourra avoir que l'une des deux valeurs suivantes :
<math display="block">\begin{array}{ll} \text{I.} & Z = \left\{ \begin{array}{l} x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^i \\ + x + b_2 x^2 + b_3 x^3 \ldots + b_{i-1} x^{i-1} \end{array} \right. \\[1ex] \text{II.} & Z = \left\{ \begin{array}{l} x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^i \\ - x - b_2 x^2 - b_3 x^3 \ldots + b_{i-1} x^{i-1}. \end{array} \right. \end{array}</math>
<ref>dans la seconde ligne de la forme II, le dernier terme est bien précédé du signe <math>+</math> sur la page, là où la suite des signes appelleroit <math>-</math> ; la ligne correspondante de la forme II de Y, plus bas, porte <math>-a_{i-1}x^{i-1}</math>.</ref>

Or si la seconde valeur avait lieu, la supposition <math>x = 1</math> donnerait <math>Z = 0</math>, et comme en même temps on aurait <math>X = \frac{x^n - 1}{x - 1} = n</math>, l'équation <math>4X = Y^2 + nZ^2</math> deviendrait <math>4n = Y^2</math>, équation impossible, puisque <math>4n</math> n'est point un carré, donc la forme I a lieu nécessairement.

Cela posé cette forme I de la fonction Z doit être combinée avec l'une des deux formes que pourrait avoir la fonction Y, lesquelles sont
<math display="block">\begin{array}{ll} \text{I.} & Y = \left\{ \begin{array}{l} 2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^i \\ + 2 + x + a_2 x^2 + a_3 x^3 \ldots + a_{i-1} x^{i-1} \end{array} \right. \\[1ex] \text{II.} & Y = \left\{ \begin{array}{l} 2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^i \\ - 2 - x - a_2 x^2 - a_3 x^3 \ldots - a_{i-1} x^{i-1}. \end{array} \right. \end{array}</math>

Or si la forme I avait lieu, la supposition <math>x = -1</math> donnerait <math>Y = 0</math>, et comme alors on aurait <math>X = 1</math>, l'équation <math>4X = Y^2 + nZ^2</math> deviendrait <math>4 = nZ^2</math>, équation impossible ; donc la forme II de Y est celle qui a lieu nécessairement.

Donc lorsqu'on a <math>n = 4i - 1</math>, les fonctions Y et Z qui satisfont à l'équation <math>4X = Y^2 + nZ^2</math> ont nécessairement la

127Vue 1271 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

forme ici déterminée
<math display="block">\begin{array}{l} Y = \left\{ \begin{array}{l} 2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^i \\ - 2 - x - a_2 x^2 - a_3 x^3 \ldots - a_{i-1} x^{i-1} \end{array} \right. \\[1ex] Z = \left\{ \begin{array}{l} x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^i \\ + x + b_2 x^2 + b_3 x^3 \ldots + b_{i-1} x^{i-1}. \end{array} \right. \end{array}</math>

Le tableau que nous avons donné de ces fonctions pour quelques-unes des plus simples valeurs de <math>n</math> s'accorde avec ce résultat, mais il était nécessaire de démontrer l'existence de cette propriété indépendamment de toute induction.

Soit 2<sup>o</sup> <math>n = 4i + 1</math> ou <math>m = 2i</math>, nous allons faire voir que la valeur de Z ne peut être que de la forme
<math display="block">Z = \left\{ \begin{array}{l} x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^{i+1} + b_i x^i \\ + x + b_2 x^2 + b_3 x^3 \ldots + b_{i-1} x^{i-1} \end{array} \right.</math>
qui ne changera pas en mettant <math>x^{-1}</math> à la place de <math>x</math> et multipliant le tout par <math>x^m</math>. Car si après le terme moyen <math>b_i x^i</math> tous les signes changeaient, en sorte qu'on eût
<math display="block">Z = \left\{ \begin{array}{l} x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^{i+1} + b_i x^i \\ - x - b_2 x^2 - b_3 x^3 \ldots - b_{i-1} x^{i-1}, \end{array} \right.</math>
la substitution de <math>x^{-1}</math> au lieu de <math>x</math>, donnerait, après avoir multiplié le tout par <math>-x^m</math>,
<math display="block">Z = \left\{ \begin{array}{l} x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b^{i-1} x^{i+1} - b_i x^i \\ - x + b_2 x^2 - b_3 x^3 \ldots - b_{i-1} x^{i-1}, \end{array} \right.</math>
<ref>dans cette dernière valeur, l'imprimé porte <math>b^{i-1}</math>, l'indice placé en exposant, et <math>+b_2x^2</math> à la seconde ligne, entre <math>-x</math> et <math>-b_3x^3</math> : l'un et l'autre sont transcrits tels qu'on les lit sur la page.</ref> valeur qui ne pourrait être égale à la précédente qu'en supposant <math>b_i = 0</math>. Mais alors la supposition <math>x = 1</math> donnerait <math>Z = 0</math> et l'équation <math>4X = Y^2 + nZ^2</math> deviendrait <math>4n = Y^2</math>, équation

128Vue 1281 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

impossible. Donc la forme que nous avons donnée à la valeur de Z est la seule admissible.

Maintenant cette valeur de Z doit être combinée avec l'une ou l'autre de ces deux valeurs de Y
<math display="block">\begin{array}{ll} \text{I.} & Y = \left\{ \begin{array}{l} 2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^{i+1} + a_i x^i \\ + 2 + x + a_2 x^2 + a_3 x^3 \ldots + a_{i-1} x^{i-1} \end{array} \right. \\[1ex] \text{II.} & Y = \left\{ \begin{array}{l} 2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^{i+1} + a_i x^i \\ - 2 - x - a_2 x^2 - a_3 x^3 \ldots - a_{i-1} x^{i-1}. \end{array} \right. \end{array}</math>

Or si la seconde forme avait lieu, il faudrait qu'elle ne changeât pas, ou qu'elle changeât seulement de signe, en mettant <math>x^{-1}</math> à la place de <math>x</math> et multipliant tout par <math>x^m</math>, ce qui exigerait qu'on eût <math>a_i = 0</math>. Mais cette condition ne peut être remplie, puisqu'on sait qu'aucune des puissances de <math>x</math> ne peut manquer dans le polynome Y ; d'ailleurs si le coefficient <math>a_i</math> était zéro, la supposition <math>x = 1</math> dans la seconde forme donnerait <math>Y = 0</math>, et alors l'équation <math>4X = Y^2 - nZ^2</math> deviendrait <math>4n = -nZ^2</math> équation impossible ; donc par cette double raison la première forme de Y est la seule admissible ; donc dans le cas de <math>n = 4i + 1</math> les fonctions Y et Z qui satisfont à l'équation <math>4X = Y^2 - nZ^2</math> seront toujours des formes suivantes :
<math display="block">\begin{array}{l} Y = \left\{ \begin{array}{l} 2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^{i+1} + a_i x^i \\ + 2 + x + a_2 x^2 + a_3 x^3 \ldots + a_{i-1} x^{i-1} \end{array} \right. \\[1ex] Z = \left\{ \begin{array}{l} x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^{i+1} + b_i x^i \\ + x + b_2 x^2 + b_3 x^3 \ldots + b_{i-1} x^{i-1}, \end{array} \right. \end{array}</math>
résultat qui s'accorde avec tous les exemples compris dans notre tableau. <ref>à la page précédente (vue 127), le même cas <math>n = 4i + 1</math> est rapporté à l'équation <math>4X = Y^2 + nZ^2</math> ; celle-ci écrit <math>4X = Y^2 - nZ^2</math>. Les deux signes sont ceux de l'imprimé.</ref>

La méthode que nous avons donnée pour calculer les va-

129Vue 129Gallica ↗WikicodeCopier

leurs des fonctions Y et Z, ne laisse rien à désirer quand il s'agit de l'appliquer à une valeur particulière du nombre premier <math>n</math> ; mais pour parvenir à quelques résultats généraux, il sera bon de considérer la valeur de <math>n</math> sous une forme indéterminée qui la rende applicable à une infinité de nombres premiers. Et parce que les formules relatives aux nombres premiers <math>4i - 1</math>, se déduisent aisément des formules relatives aux nombres premiers <math>4i + 1</math>, nous allons nous occuper exclusivement de ceux-ci.

Observons d'abord que la forme <math>4i + 1</math> se divise en quatre autres, savoir :
<math display="block">24\lambda + 1,\quad 24\lambda + 5,\quad 24\lambda + 13,\quad 24\lambda + 17,</math>
ce qui offre quatre cas à considérer.

''Premier cas'' <math>n = 24\lambda + 1</math>.

Alors on aura <math>\left(\frac{2}{n}\right) = 1</math>, <math>\left(\frac{3}{n}\right) = \left(\frac{n}{3}\right) = 1</math>, <math>\left(\frac{4}{n}\right)</math> ou en général <math>\left(\frac{c^2}{n}\right) = 1</math>. Nous nous arrêterons là, parce que pour aller plus loin, il faudrait connaître le reste que donne <math>\lambda</math> divisé par 5, ce qui exigerait une nouvelle subdivision. Au moyen de ces valeurs de <math>\left(\frac{4}{n}\right)</math>, on trouvera
<math display="block">S_1 = S_2 = S_3 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n};</math>
ensuite par les équations (1), on aura
<math display="block">\begin{array}{l} A_1 = 1 + \sqrt{n} \\ A_2 = 1 + 6\lambda + \sqrt{n} \\ A_3 = 1 + 9\lambda + (1 + \lambda)\sqrt{n} \\ A_4 = 1 + 11\lambda + 3\lambda^2 + (1 + 2\lambda)\sqrt{n}. \end{array}</math>

130Vue 130Gallica ↗WikicodeCopier

''Second cas'' <math>n = 24\lambda + 5</math>.

Alors on aura <math>\left(\frac{2}{n}\right) = -1</math>, <math>\left(\frac{3}{n}\right) = \left(\frac{5}{3}\right) = -1</math>, <math>\left(\frac{4}{n}\right) = 1</math> ; ce qui donne
<math display="block">S_1 = S_4 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n},\quad S_2 = S_3 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n},</math>
et par l'application des équations (1), on aura
<math display="block">\begin{array}{l} A_1 = 1 + \sqrt{n} \\ A_2 = 2 + 6\lambda \\ A_3 = -3\lambda + \lambda\sqrt{n} \\ A_4 = -2\lambda + 3\lambda^2 - \lambda\sqrt{n}. \end{array}</math>

''Troisième cas'', <math>n = 24\lambda + 13</math>.

Alors on aura <math>\left(\frac{2}{n}\right) = -1</math>, <math>\left(\frac{3}{n}\right) = 1</math>, <math>\left(\frac{4}{n}\right) = 1</math>, ensuite
<math display="block">S_1 = S_3 = S_4 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n},\quad S_2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n},</math>
et par l'application des équations (1) on trouve
<math display="block">\begin{array}{l} A_1 = 1 + \sqrt{n} \\ A_2 = 4 + 6\lambda \\ A_3 = -1 - 3\lambda + (1 + \lambda)\sqrt{n} \\ A_4 = 4 + 8\lambda + 3\lambda^2 - \lambda\sqrt{n}. \end{array}</math>

''Quatrième cas'', <math>n = 24\lambda + 17</math>.

Alors on aura <math>\left(\frac{2}{n}\right) = 1</math>, <math>\left(\frac{3}{n}\right) = -1</math>, <math>\left(\frac{4}{n}\right) = 1</math> ; de là
<math display="block">S_1 = S_2 = S_4 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n},\quad S_3 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n},</math>

131Vue 131Gallica ↗WikicodeCopier

et en vertu des équations (1) ;
<math display="block">\begin{array}{l} A_1 = 1 + \sqrt{n} \\ A_2 = 5 + 6\lambda + \sqrt{n} \\ A_3 = 7 + 9\lambda + (1 + \lambda)\sqrt{n} \\ A_4 = 4 + 7\lambda + 3\lambda^2 + (2 + 2\lambda)\sqrt{n}. \end{array}</math>

Ces formules pour les nombres premiers <math>4i + 1</math>, considérés sous les quatre formes <math>24\lambda + 1</math>, <math>+5</math>, <math>+13</math>, <math>+17</math>, dont ils sont susceptibles, s'appliquent aux nombres premiers <math>4i - 1</math>, considérés également sous leurs quatre formes <math>24\lambda - 1</math>, <math>-5</math>, <math>-13</math>, <math>-17</math>. Il suffit pour cela de changer le signe de <math>\lambda</math> dans les formules précédentes et en même temps le signe de <math>n</math> dans l'équation <math>4X = Y^2 - nZ^2</math> relative aux nombres premiers <math>4i + 1</math> ; on aura ainsi les valeurs de A qui satisfont à l'équation <math>4X = Y^2 + nZ^2</math> relative aux nombres premiers <math>4i - 1</math> ; nous les avons réunies dans le tableau suivant :
<math display="block">\begin{array}{c|c|c|c|c} n & A_1 & A_2 & A_3 & A_4 \\ \hline 24\lambda - 1 & 1 + \sqrt{-n} & 1 - 6\lambda + \sqrt{-n} & 1 - 9\lambda + (1 - \lambda)\sqrt{-n} & 1 -\! 11\lambda +\! 3\lambda^2 +\! (1 -\! 2\lambda)\sqrt{-n} \\ 24\lambda - 5 & 1 + \sqrt{-n} & 2 - 6\lambda & 3\lambda - \lambda\sqrt{-n} & 2\lambda + 3\lambda^2 + \lambda\sqrt{-n} \\ 24\lambda - 13 & 1 + \sqrt{-n} & 4 - 6\lambda & -1 + 3\lambda + (1 - \lambda)\sqrt{-n} & 4 - 8\lambda + 3\lambda^2 + \lambda\sqrt{-n} \\ 24\lambda - 17 & 1 + \sqrt{-n} & 5 - 6\lambda + \sqrt{-n} & 7 - 9\lambda + (1 - \lambda)\sqrt{-n} & 4 -\! 7\lambda +\! 3\lambda^2 +\! (2 -\! 2\lambda)\sqrt{-n} \end{array}</math>

Ainsi on voit que pour tout nombre premier <math>n = 24\lambda - 1</math>, les premiers termes des valeurs de Y et de Z seront
<math display="block">\begin{array}{l} Y = 2x^m + x^{m-1} + (1 - 6\lambda)x^{m-2} + (1 - 9\lambda)x^{m-3} + (1 - 11\lambda + 3\lambda^2)x^{m-4} + \text{etc.} \\ Z = x^{m-1} + x^{m-2} + (1 - \lambda)x^{m-3} + (1 - 2\lambda)x^{m-4} + \text{etc.} \end{array}</math>

132Vue 1321 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Et dans cette formule on remarquera que les quatre premiers coefficients de Y, savoir 2, 1, <math>1 - 6\lambda</math>, <math>1 - 9\lambda</math>, sont toujours moindres que <math>\frac{1}{2}n</math>, mais le coefficient suivant <math>1 - 11\lambda + 3\lambda^2</math>, qui est de l'ordre <math>3\lambda^2</math> ou <math>\frac{n^2}{192}</math>, devient bientôt plus grand que <math>n</math> ; ainsi faisant <math>\lambda = 13</math> ou <math>n = 311</math>, on a <math>1 - 11\lambda + 3\lambda^2 = 365</math>.

Ces deux premiers tableaux pour les nombres premiers <math>4i + 1</math> et <math>4i - 1</math>, ne s'étendent pas au-delà de <math>A_4</math> qui donne les coefficients de <math>x^{m-4}</math> dans Y et Z ; pour aller plus loin, il faut subdiviser chacune des valeurs <math>n = 24\lambda + 1</math>, 5, 13, 17, en quatre autres par la substitution des cinq valeurs <math>\lambda = 5\mu</math>, <math>5\mu + 1</math>, <math>5\mu + 2</math>, <math>5\mu + 3</math>, <math>5\mu + 4</math>, dont une doit être rejetée, comme ne donnant pas pour <math>n</math> des nombres premiers ; voici ces subdivisions :
<math display="block">\begin{array}{c|l} \textit{Valeur principale de } n. & \textit{Ses quatre sous-divisions.} \\ \hline 24\lambda + 1 & 120\mu + 1,\ 120\mu + 49,\ 120\mu + 73,\ 120\mu + 97 \\ 24\lambda + 5 & 120\mu + 29,\ 120\mu + 53,\ 120\mu + 77,\ 120\mu + 101 \\ 24\lambda + 13 & 120\mu + 13,\ 120\mu + 37,\ 120\mu + 61,\ 120\mu + 109 \\ 24\lambda + 17 & 120\mu + 17,\ 120\mu + 41,\ 120\mu + 89,\ 120\mu + 113 \end{array}</math>

Appliquant notre méthode à ces différents cas, on trouvera pour chacun d'eux l'expression générale du coefficient <math>A_5</math> et celle de <math>A_6</math>, l'une renfermant des termes affectés de <math>\mu^2</math> et <math>\mu^2\sqrt{n}</math>, l'autre des termes affectés de <math>\mu^2\sqrt{n}</math> et <math>\mu^3</math> ; on en conclura que le coefficient de <math>x^{m-6}</math> dans Y, étant de l'ordre <math>\mu</math> deviendra bientôt plus grand que <math>n^2</math>, ce qui manifeste l'augmentation progressive des coefficients de Y. On voit en même temps que le nombre et la complication des formules augmen- <ref>« de l'ordre <math>\mu</math> » : la lettre, en fin de ligne, ne porte aucun exposant lisible sur la vue.</ref>

133Vue 133Gallica ↗WikicodeCopier

tent rapidement avec la valeur de <math>n</math>, ce qui les rend peu propres à la solution des cas particuliers. C'est pourquoi il suffira de développer ici les formules relatives à l'une de nos subdivisions ; nous choisirons pour cet effet la valeur <math>n = 120\mu + 61</math>.

On trouve alors, comme dans le cas de <math>n = 24\lambda + 13</math> dont cette subdivision fait partie
<math display="block">S_1 = S_3 = S_4 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n},\quad S_2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n}.</math>
On aura de plus <math>\left(\frac{5}{n}\right) = \left(\frac{61}{5}\right) = 1</math>, <math>\left(\frac{6}{n}\right) = 1</math>, ce qui donne <math>S_5 = S_1</math> et <math>S_6 = S_2</math>.

Cela posé dans le cas principal <math>n = 24\lambda + 13</math>, on a trouvé les valeurs de <math>A_1</math>, <math>A_2</math>, <math>A_3</math>, <math>A_4</math>, dans lesquelles il faudra substituer la valeur <math>\lambda = 5\mu + 2</math>, ce qui donnera, pour la division <math>n = 120\mu + 61</math>, les valeurs
<math display="block">\begin{array}{l} A_1 = 1 + \sqrt{n} \\ A_2 = 16 + 30\mu \\ A_3 = -7 - 15\mu + (3 + 5\mu)\sqrt{n} \\ A_4 = 32 + 100\mu + 75\mu^2 - (2 + 5\mu)\sqrt{n}. \end{array}</math>

Au moyen de ces valeurs on trouvera par les équations (1) :
<math display="block">\begin{array}{l} A_5 = -20 - \frac{195}{2}\mu - \frac{225}{2}\mu^2 + \left(6 + \frac{29}{2}\mu + \frac{15}{2}\mu^2\right)\sqrt{n} \\ A_6 = 63 + 246\mu + 280\mu^2 + 75\mu^3 - (3 + 14\mu + 15\mu^2)\sqrt{n}, \end{array}</math>
Et l'on voit que le terme <math>75\mu^3</math> qui fait partie de <math>A_6</math> deviendra plus grand que <math>n^2</math> si on a <math>n > \frac{(120)^3}{75}</math> ou <math>n > 23040</math>.

Pour aller plus loin, c'est-à-dire pour trouver les valeurs

134Vue 1341 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

de <math>A_7</math> et <math>A_8</math>, il faudrait au lieu de <math>\mu</math> substituer l'une des six valeurs <math>7\nu</math>, <math>7\nu + 1</math>, <math>7\nu + 3</math>, <math>7\nu + 4</math>, <math>7\nu + 5</math>, <math>7\nu + 6</math>, c'est-à-dire il faudrait subdiviser la forme <math>n = 120\mu + 61</math> en six autres
<math display="block">n = 840\nu + 61,\ 181,\ 421,\ 541,\ 661,\ 781 ;</math>
alors <math>A_7</math> contiendrait un terme de l'ordre <math>\mu^3\sqrt{n}</math>, et <math>A_8</math> un terme de l'ordre <math>\mu^4</math>. Il est inutile d'entrer dans de plus grands détails ; nous déduirons seulement des valeurs précédentes de <math>A_1</math>, <math>A_2 \ldots A_6</math> celles des fonctions Y et Z développées jusqu'à la puissance <math>x^{m-6}</math> ; elles donnent pour le nombre premier <math>n = 120\mu + 61</math>,
<math display="block">\begin{array}{l} Y = 2x^m + x^{m-1} + (16 + 30\mu)x^{m-2} - (7 + 15\mu)x^{m-3} \\ \qquad + (32 + 100\mu + 75\mu^2)x^{m-4} - \left(20 + \frac{195}{2}\mu + \frac{225}{2}\mu^2\right)x^{m-5} \\ \qquad + (63 + 246\mu + 280\mu^2 + 75\mu^3)x^{m-6} - \text{etc.} \\ Z = x^{m-1} + (3 + 5\mu)x^{m-3} - (2 + 5\mu)x^{m-4} \\ \qquad + \left(6 + \frac{29}{2}\mu + \frac{15}{2}\mu^2\right)x^{m-5} - (3 + 14\mu + 15\mu^2)x^{m-6} \\ \qquad - \text{etc.} \end{array}</math>

On en déduirait pour le cas de <math>n = 120\mu - 61</math>, les formules suivantes qui satisfont à l'équation <math>4X = Y^2 + nZ^2</math>,
<math display="block">\begin{array}{l} Y = 2x^m + x^{m-1} + (16 - 30\mu)x^{m-2} - (7 - 15\mu)x^{m-3} \\ \qquad + (32 - 100\mu + 75\mu^2)x^{m-4} - \left(20 - \frac{195}{2}\mu + \frac{225}{2}\mu^2\right)x^{m-5} \\ \qquad + (63 - 246\mu + 280\mu^2 - 75\mu^3)x^{m-6} - \text{etc.} \\ Z = x^{m-1} + (3 - 5\mu)x^{m-3} - (2 - 5\mu)x^{m-4} \\ \qquad + \left(6 - \frac{29}{2}\mu + \frac{15}{2}\mu^2\right)x^{m-5} - (3 - 14\mu + 15\mu^2)x^{m-6} - \text{etc.} \end{array}</math>
Dans les deux cas on a fait <math>m = \frac{1}{2}(n - 1)</math>. <ref>un filet imprimé ferme la page et, avec elle, le mémoire : le reste de la page est blanc.</ref>

136Vue 1362 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

''Idées à vérifier.''

On demande si dans la surface pesante et également épaisse l'équation d'équilibre des différentes courbes produites par les sections normales n'est pas celle d'autant de chaînettes différentes ?

On remarque d'abord, <math>R</math> étant le rayon de la sphère de moyenne courbure que l'équation d'équilibre de la surface est <math>ge + T.\frac{2}{R} = 0</math> ; on demande si la courbe produite par la section normale qui fait l'angle de <math>45^\circ</math> avec les sections principales courbures changeroit de forme dans le cas où retranchant le reste de la surface elle demeureroit isolée. Pour que cette courbe conserve [?] en effet la forme qui lui appartient lorsqu'elle fait partie de la surface il faut que le retranchement supposé diminue la tension <math>T</math> dans le rapport d'un à 2. <ref>« avec les sections principales courbures » : la ligne porte ces mots, sans « de » ; le « s » de « sections » et celui de « courbures » sont des queues de fin de mot, lues selon le sens. Le mot rendu par « conserve » est tracé serré et ne se laisse pas lire lettre à lettre. Dans le titre, « à vé » est souligné.</ref>

Soit <math>A</math>——<math>C</math>——<math>B</math>, <math>ASB</math> cette courbe dont les points d'appuis sont <math>S</math> et <math>A</math>, <math>B</math>, lorsqu'elle est isolée ; lorsqu'elle fait partie de la surface dont le contour est appuyé en <math>B</math> <math>B''</math> <math>B''</math>, il est évident que la force de l'appui <math>B</math> est augmentée par celle des appuis <math>B'</math> <math>B''</math> <math>B'''</math> &c. Si on suppose que l'appui <math>B</math> est proportionnel à <math>BC</math> et que l'appui <math>B'</math> augmente la force de l'appui <math>B</math> d'une quantité proportionnelle à la petite ligne <math>b'B'</math>. Il est clair qu'en menant les petites lignes <math>B''b''</math>, <math>B'''b'''</math> &c. Cela [?] épuiseroit la ligne <math>CB</math> et on concluroit que, la force du premier appui étant proportionnelle à cette ligne, elle se trouveroit en effet doublée. Mais cette manière d'envisager les choses est loin d'être satisfesante en effet les forces <math>B'</math> <math>B''</math> <math>B'''</math> &c semblent devoir être proportionnelles aux lignes <math>Cb'</math> <math>Cb''</math> <math>Cb'''</math> &c. qui sont les cosinus des angles <math>CB'B</math>, <math>CB''B</math>, <math>CB'''B</math>, plutôt qu'à leur complémens [?] <math>b'B</math> &c et je n'ai pas trouvé la manière de détruire cette objection

''(Retournez)'' <ref>figure à la plume, dans la ligne, entre « Soit » et « <math>ASB</math> cette courbe » : une droite horizontale <math>A</math>——<math>C</math>——<math>B</math> ; au-dessous, une courbe qui part de <math>A</math>, descend jusqu'à un point bas marqué <math>S</math> et remonte à <math>B</math> ; de <math>C</math> partent trois droites montant vers des points <math>B'</math>, <math>B''</math>, <math>B'''</math> situés au-dessus de la droite, près de <math>B</math>, d'où tombent sur elle trois perpendiculaires aux pieds marqués <math>b'</math>, <math>b''</math>, <math>b'''</math>. Les accents des lettres sont petits et serrés sur la figure. À la ligne « en <math>B</math> <math>B''</math> <math>B''</math> », les accents sont lus tels qu'ils paraissent, deux traits sur chacune des deux dernières lettres ; la figure porte <math>B'</math>, <math>B''</math>, <math>B'''</math>. « Cela [?] » est repassé d'un trait épais qui le rend douteux. « (Retournez) », souligné, est au pied de la page : la suite est au verso, vue 137.</ref>

137Vue 1372 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Mais voisi une autre manière d'envisager les choses

Supposons une surface également pesante dans tous ses points et appuyée dans tous les points de son contour sur un chassis circulaire. La force d'appui ou de tension <math>T</math> qui soutient la surface pesante peut être décomposée suivant deux plans normaux entr'eux et à la surface, et comme dans les suppositions présentes tout est égal par rapport à ces deux plans, les deux portions de forces qui agissent dans chacun d'eux sont aussi égales entr'elles.

L'élément est soutenu par ces deux parties de forces et on a l'équation <math>ge + T.\frac{2}{R}</math>, <math>g</math> est la pesanteur soit <math>g'</math> la pesanteur dans une simple ligne courbe, la pesanteur aura une partie constante <math>g''</math>. Soit la pesanteur dans la courbe <math>2g''</math> dans une surface elle sera <math>4g''</math> on aura donc en faisant <math>T = 2T'</math>, <math>4g''e + 2T'.\frac{2}{R} = 0</math> et par conséquent {{Rature|1=dans}} <math>g''e + T'\frac{1}{R} = 0</math> pour l'équation de la courbe produite par une section normale. Il résulteroit delà que cette courbe est une chaînette. <ref>la lettre qui suit <math>g</math> et <math>g''</math> dans les équations est un <math>e</math> nettement formé, ici et à la vue 136 ; l'équation « <math>ge + T.\frac{2}{R}</math> » est écrite sans « <math>= 0</math> ». Le « <math>4g''</math> » de la fin de phrase est repassé à la plume, et dans « <math>4g''e</math> » les accents de <math>g</math> sont serrés au point qu'on n'en distingue pas sûrement deux.</ref>

Mais si à présent {{Rature|1=les [?]}} forces des appuis augmente dans certains points du contour et diminue dans les autres nous pourrons admettre que ces forces, qui luttent contre la pesanteur élèvent les points d'appuis qui se trouvent compris dans une des sections normales ; il y en aura une pour laquelle cette élévation [?] sera la plus grande ; dans d'autre il y aura abbaissement et l'abbaissement le plus grand <ref>le mot biffé avant « forces » est couvert d'une croix. Le mot rendu par « élévation » est tracé en abrégé et se lit plutôt « ébration » : la lecture est donnée d'après le sens. La page s'arrête sur « le plus grand », sans ponctuation, au tiers inférieur du feuillet.</ref>

138Vue 1381 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Dans la vue d'étendre les conséquences qu'on peut tirer de l'existence de la sphère de moyenne courbure j'ai cherché de tout côté ce qui concerne la chaînette à cause de son rapport avec la voûte qui se soutient d'elle même, je n'ai trouvé que dans l'histoire des mathématiques l'encyclopédie et le mémoire de M poisson sur la surface élastique.

Je trouve dans un article de d'alembert « si une courbe est pressée « en chaque point, par une puissance qui soit perpendiculaire « à la courbe, pour qu'il y ait équilibre, il faut que cette puissance « soit en raison inverse des rayon de courbure de cette courbe ».

Je voyois que ce principe s'appliqueroit également à une surface en substituant la somme des {{Rature|1=rayons}} raisons inverses des rayons de courbures principales en sorte qu'on pourroit énoncer ainsi la proposition générale

« ''Si une surface est pressée en chaque point par'' « ''une puissance qui soit perpendiculaire à sa'' {{Rature|1=''surface''}} courbure « ''pour qu'il y ait équilibre, il faut que cette puissance'' « ''soit en'' {{Rature|1=''raison''}} ''inverse double raison inverse du rayon'' « ''de courbure de la sphère de moyenne courbure de la surface.''

ou ce qui est plus clair

''Si une surface est pressée en chaque point par une puissance qui soit perpendiculaire à'' l'élément de ''sa courbure, pour qu'il y ait équilibre il faut que la moitié de cette puissance soit en raison inverse du rayon de sa sphère de moyenne courbure''. <ref>les guillemets ouvrants sont répétés en tête de chaque ligne de la citation de d'Alembert et de l'énoncé général, à la manière du temps ; ils sont conservés à leur place. L'énoncé général est souligné ligne à ligne et embrassé à gauche par un long trait vertical ; « courbure » est écrit au-dessus de la fin de ligne, au-dessus de « surface » biffé. Dans « soit en raison inverse double raison inverse », seul « raison » porte un trait qui le traverse ; « inverse », qui le suit, n'est que souligné comme le reste de la ligne, et n'est donc pas donné pour biffé. Le second énoncé est souligné aussi ; « l'élément de » y est ajouté au-dessus de la ligne, entre « à » et « sa », et un trait passe sur la fin de « élément », qui peut être un simple trait de liaison.</ref>

140Vue 1401 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Voila ce qui doit être examiné.

L'élément <math>dxdy\sqrt{1 + p^2 + q^2}</math> de la surface est, {{Rature|1=je crois [?]}} celui du plan tangent, si le plan tangent se confond dans tous ses points avec celui des <math>x</math> <math>y</math> l'élément se réduit à <math>dxdy</math> : <math>\frac{1}{\sqrt{1 + p^2 + q^2}}</math> est le cosinus de l'angle que le plan tangent fait avec celui des <math>x</math>, <math>y</math> ; <math>dxdy</math> est la projection sur le plan des <math>x</math>, <math>y</math> de l'élément <math>dxdy\sqrt{1 + p^2 + q^2}</math>. La projection de cet élément est son produit par le cosinus de l'angle qu'il fait avec le plan de <math>x</math> <math>y</math>, il est donc <math>dxdy.\sqrt{1 + p^2 + q^2}.\frac{1}{\sqrt{1 + p^2 + q^2}} = dxdy</math>. comme nous l'avons dit

A présent voila ce qu'il faudrait savoir expliquer si on prend la variation de <math>\sqrt{1 + p^2 + q^2}</math> on a <math>\frac{p\delta p + q\delta q}{\sqrt{1 + p^2 + q^2}}</math> et en intégrant par partie <math>\frac{2}{R}\delta z</math> ainsi la variation <ref>le mot biffé après « est, » est couvert d'un trait épais ; « je crois » est proposé sous la rature avec doute. Dans « <math>\sqrt{1 + p^2 + q^2}</math> » les exposants sont parfois écrits comme une barre sur la lettre (« <math>\bar p</math> ») ; ils sont donnés comme carrés partout, ainsi que la ligne les écrit en clair ailleurs. Le « <math>= dxdy</math> » final est porté à droite, sur la ligne de « l'avons dit », et repassé. La page s'arrête sur « ainsi la variation », sans suite.</ref>