Exemple II.
Soit n = 37, on aura
\begin{array}{l}
\left(\frac{2}{n}\right) = -1,\ \left(\frac{3}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{4}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{5}{n}\right) = -1,\ \left(\frac{6}{n}\right) = -1 \\
\left(\frac{7}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{8}{n}\right) = -1,\ \left(\frac{9}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{10}{n}\right) = 1.
\end{array}
Delà
seconde prise de vue de la même page imprimée 87 que la vue 121 : même
texte, arrêté au même « Delà », et même nombre 59 à l'encre, dont le tracé,
comparé sur les deux vues, est identique trait pour trait. Le feuillet est
seulement photographié sous un autre cadrage. Le texte n'est pas transcrit
une seconde fois.
page imprimée, titre courant « MÉMOIRE » et numéro de page 88,
imprimée d'un seul côté et collée au verso du feuillet de montage qui porte
au recto la page 87 (vue 121). Le « 59 » qu'on croit lire en haut à gauche
n'est pas écrit de ce côté : c'est le nombre à l'encre du recto vu en
transparence ; l'image retournée en miroir se superpose trait pour trait au
59 de la vue 121. Le texte fantôme qui se lit à l'envers est de même celui
de la page 87.
\begin{array}{l}
S_1 = S_3 = S_4 = S_7 = S_9 = S_{10} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n} \\
S_2 = S_5 = S_6 = S_8 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n},
\end{array}
et la substitution de ces valeurs dans les équations (1) donnera
\begin{array}{l}
A_1 = 1 + \sqrt{n},\ A_2 = 10,\ A_3 = -4 + 2\sqrt{n},\ A_4 = 15 - \sqrt{n}, \\
A_5 = -5 + 3\sqrt{n},\ A_6 = 17 - \sqrt{n},\ A_7 = -8 + 2\sqrt{n}, \\
A_8 = 11 - \sqrt{n},\ A_9 = -4 + 2\sqrt{n},\ A_{10} = 11 - \sqrt{n}.
\end{array}
Le terme moyen étant A_9, il est inutile d'aller plus loin, et les
coefficients qui suivent A_9 seront égaux à ceux qui le précèdent à
intervalles égaux, de sorte qu'on aura
A_{10} = A_8 = 11 - \sqrt{n},\quad A_{11} = A_7 = -8 + 2\sqrt{n},\ \text{etc.};
et on en déduit les valeurs suivantes des fonctions Y et Z,
\begin{array}{l}
Y = 2x^{18} + x^{17} + 10x^{16} - 4x^{15} + 15x^{14} - 5x^{13} + 17x^{12} - 8x^{11} \\
\qquad + 11x^{10} - 4x^9 + 11x^8 - 8x^7 + 17x^6 - 5x^5 + 15x^4 - 4x^3 \\
\qquad + 10x^2 + x + 2 \\
Z = x^{17} + 2x^{15} - x^{14} + 3x^{13} - x^{12} + 2x^{11} - x^{10} + 2x^9 \\
\qquad - x^8 + 2x^7 - x^6 + 3x^5 - x^4 + 2x^3 + x,
\end{array}
lesquelles satisfont à l'équation 4X = Y^2 - 37Z^2.
Dans ces deux exemples les coefficients des fonctions Y et Z sont encore
plus petits que \frac{1}{2}n ; mais à compter de n = 41, on trouve des
coefficients plus grands, ce qui devient encore plus marqué, lorsque
franchissant un plus grand intervalle on prend n = 61. Voici les
résultats de ces calculs qui feront suite au tableau de l'article 512.
page imprimée, titre courant « SUR UNE QUESTION D'ANALYSE. » et
numéro de page 9 — et non 89 : à partir d'ici l'imprimé porte une autre
pagination, bien que le texte fasse suite à la page 88 de la vue 123, dont
il donne le tableau annoncé. Le nombre 60 est à l'encre en haut à droite ;
au pied de la page, la signature d'imprimeur « 2 ». Quelques taches
d'encre dans la marge et sur les mots « les » et « premier ».
Valeurs des polynomes Y et Z.
\begin{array}{r|l}
n & \\ \hline
31 & Y = 2x^{15} + x^{14} - 7x^{13} - 11x^{12} + 2x^{11} + 8x^{10} - 3x^9 - 5x^8 \\
& \qquad + 5x^7 + 3x^6 - 8x^5 - 2x^4 + 11x^3 + 7x^2 - x - 2 \\
& Z = x^{14} + x^{13} - x^{12} - 2x^{11} + x^9 - x^8 - x^7 + x^6 - 2x^4 - x^3 + x^2 + x \\ \hline
37 & Y = 2x^{18} + x^{17} + 10x^{16} - 4x^{15} + 15x^{14} - 5x^{13} + 17x^{12} - 8x^{11} + 11x^{10} - 4x^9 \\
& \qquad + 11x^8 - 8x^7 + 17x^6 - 5x^5 + 15x^4 - 4x^3 + 10x^2 + x + 2 \\
& Z = x^{17} + 2x^{15} - x^{14} + 3x^{13} - x^{12} + 2x^{11} - x^{10} + 2x^9 \\
& \qquad - x^8 + 2x^7 - x^6 + 3x^5 - x^4 + 2x^3 + x \\ \hline
41 & Y = 2x^{20} + x^{19} + 11x^{18} + 16x^{17} + 14x^{16} + 29x^{15} + 30x^{14} \\
& \qquad + 22x^{13} + 36x^{12} + 34x^{11} + 20x^{10} + 34x^9 + 36x^8 + 22x^7 \\
& \qquad + 30x^6 + 29x^5 + 14x^4 + 16x^3 + 11x^2 + x + 2 \\
& Z = x^{19} + x^{18} + 2x^{17} + 4x^{16} + 3x^{15} + 4x^{14} + 6x^{13} + 4x^{12} + 4x^{11} \\
& \qquad + 6x^{10} + 4x^9 + 4x^8 + 6x^7 + 4x^6 + 3x^5 + 4x^4 + 2x^3 + x^2 + x \\ \hline
61 & Y = 2x^{30} + x^{29} + 16x^{28} - 7x^{27} + 32x^{26} - 20x^{25} + 63x^{24} - 33x^{23} \\
& \qquad + 72x^{22} - 54x^{21} + 89x^{20} - 62x^{19} + 88x^{18} - 89x^{17} + 95x^{16} \\
& \qquad - 81x^{15} + \text{etc.} \\
& Z = x^{29} + 3x^{27} - 2x^{26} + 6x^{25} - 3x^{24} + 9x^{23} - 6x^{22} + 10x^{21} \\
& \qquad - 7x^{20} + 12x^{19} - 10x^{18} + 11x^{17} - 11x^{16} + 13x^{15} - \text{etc.}
\end{array}
On voit dans ce tableau que pour le nombre 61 plusieurs des coefficients
de Y sont plus grands que n, mais pour avoir une idée de la progression
suivant laquelle les coefficients augmentent lorsque n est un nombre
premier un peu grand, prenons par exemple n = 2521, nous aurons
\left(\frac{2}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{3}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{4}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{5}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{6}{n}\right) = 1,\ \left(\frac{7}{n}\right) = 1,\ \text{etc.},
ce qui donne
page imprimée, titre courant « MÉMOIRE » et numéro de page 10, collée
au verso du feuillet de montage dont le recto porte la page 9 (vue 124). Le
« 60 » à rebours en haut à gauche est le nombre du recto vu en transparence.
Taches d'encre dans la marge de gauche.
S_1 = S_2 = S_3 = S_4 = S_5 = S_6 = S_7 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n}.
Substituant ces valeurs dans les équations (1), on en tire
\begin{array}{ll}
A_1 = 1 + \sqrt{n} & A_5 = 84001 + 3613\sqrt{n} \\
A_2 = 631 + \sqrt{n} & A_6 = 836032 + 10312\sqrt{n} \\
A_3 = 946 + 106\sqrt{n} & A_7 = 2633212 + 69292\sqrt{n} \\
A_4 = 34231 + 211\sqrt{n} & \text{etc.}
\end{array}
Ainsi les premiers termes des fonctions Y et Z seront, en faisant
1260 = m
\begin{array}{l}
Y = 2x^m + x^{m-1} + 631x^{m-2} + 946x^{m-3} \\
\qquad + 34231x^{m-4} + 84001x^{m-5} \\
\qquad + 836032x^{m-6} + 2633212x^{m-7} + \text{etc.} \\
Z = x^{m-1} + x^{m-2} + 106x^{m-3} + 211x^{m-4} \\
\qquad + 3613x^{m-5} + 10312x^{m-6} \\
\qquad + 69292x^{m-7} + \text{etc.}
\end{array}
On voit avec quelle rapidité les coefficients croissent dans l'une et
l'autre fonction, mais cet accroissement n'a lieu que jusqu'au terme
moyen ; ensuite il fait place à un décroissement semblable, puisque les
coefficients doivent être égaux à égale distance des extrêmes.
C'est en effet la loi à laquelle sont assujéties les fonctions Y et Z,
puisque la substitution de x^{-1} à la place de x dans l'équation
4X = Y^2 - nZ^2, n'y doit apporter aucun changement, après qu'on a fait
disparaître le dénominateur commun. On voit par là que dans chaque fonction
les coefficients des termes extrêmes ou également éloignés des extrêmes,
doivent être égaux ; mais ces coefficients sont-ils précédés du même signe
ou de signes différents ? c'est ce qu'il faut examiner.
page imprimée, titre courant « SUR UNE QUESTION D'ANALYSE. » et
numéro de page 11 ; le nombre 61 à l'encre en haut à droite ; au pied de la
page, la marque « 2. ».
Soit 1o n = 4i - 1 ou m = \frac{1}{2}(n-1) = 2i - 1 :
puisque la fonction Z doit rester la même, ou du moins ne faire que
changer de signe, en mettant x^{-1} à la place de x et multipliant le
tout par x^m, cette fonction ne pourra avoir que l'une des deux valeurs
suivantes :
\begin{array}{ll}
\text{I.} & Z = \left\{ \begin{array}{l}
x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^i \\
+ x + b_2 x^2 + b_3 x^3 \ldots + b_{i-1} x^{i-1}
\end{array} \right. \\[1ex]
\text{II.} & Z = \left\{ \begin{array}{l}
x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^i \\
- x - b_2 x^2 - b_3 x^3 \ldots + b_{i-1} x^{i-1}.
\end{array} \right.
\end{array}
dans la seconde ligne de la forme II, le dernier terme est bien
précédé du signe + sur la page, là où la suite des signes appelleroit
- ; la ligne correspondante de la forme II de Y, plus bas, porte
-a_{i-1}x^{i-1}.
Or si la seconde valeur avait lieu, la supposition x = 1 donnerait
Z = 0, et comme en même temps on aurait X = \frac{x^n - 1}{x - 1} = n,
l'équation 4X = Y^2 + nZ^2 deviendrait 4n = Y^2, équation impossible,
puisque 4n n'est point un carré, donc la forme I a lieu nécessairement.
Cela posé cette forme I de la fonction Z doit être combinée avec l'une des
deux formes que pourrait avoir la fonction Y, lesquelles sont
\begin{array}{ll}
\text{I.} & Y = \left\{ \begin{array}{l}
2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^i \\
+ 2 + x + a_2 x^2 + a_3 x^3 \ldots + a_{i-1} x^{i-1}
\end{array} \right. \\[1ex]
\text{II.} & Y = \left\{ \begin{array}{l}
2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^i \\
- 2 - x - a_2 x^2 - a_3 x^3 \ldots - a_{i-1} x^{i-1}.
\end{array} \right.
\end{array}
Or si la forme I avait lieu, la supposition x = -1 donnerait Y = 0, et
comme alors on aurait X = 1, l'équation 4X = Y^2 + nZ^2 deviendrait
4 = nZ^2, équation impossible ; donc la forme II de Y est celle qui a
lieu nécessairement.
Donc lorsqu'on a n = 4i - 1, les fonctions Y et Z qui satisfont à
l'équation 4X = Y^2 + nZ^2 ont nécessairement la
page imprimée, titre courant « MÉMOIRE » et numéro de page 12, collée
au verso du feuillet dont le recto porte la page 11 (vue 126). Le « 61 » à
rebours en haut à gauche est le nombre du recto vu en transparence.
forme ici déterminée
\begin{array}{l}
Y = \left\{ \begin{array}{l}
2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^i \\
- 2 - x - a_2 x^2 - a_3 x^3 \ldots - a_{i-1} x^{i-1}
\end{array} \right. \\[1ex]
Z = \left\{ \begin{array}{l}
x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^i \\
+ x + b_2 x^2 + b_3 x^3 \ldots + b_{i-1} x^{i-1}.
\end{array} \right.
\end{array}
Le tableau que nous avons donné de ces fonctions pour quelques-unes des
plus simples valeurs de n s'accorde avec ce résultat, mais il était
nécessaire de démontrer l'existence de cette propriété indépendamment de
toute induction.
Soit 2o n = 4i + 1 ou m = 2i, nous allons faire voir
que la valeur de Z ne peut être que de la forme
Z = \left\{ \begin{array}{l}
x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^{i+1} + b_i x^i \\
+ x + b_2 x^2 + b_3 x^3 \ldots + b_{i-1} x^{i-1}
\end{array} \right.
qui ne changera pas en mettant x^{-1} à la place de x et multipliant
le tout par x^m. Car si après le terme moyen b_i x^i tous les signes
changeaient, en sorte qu'on eût
Z = \left\{ \begin{array}{l}
x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^{i+1} + b_i x^i \\
- x - b_2 x^2 - b_3 x^3 \ldots - b_{i-1} x^{i-1},
\end{array} \right.
la substitution de x^{-1} au lieu de x, donnerait, après avoir
multiplié le tout par -x^m,
Z = \left\{ \begin{array}{l}
x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b^{i-1} x^{i+1} - b_i x^i \\
- x + b_2 x^2 - b_3 x^3 \ldots - b_{i-1} x^{i-1},
\end{array} \right.
dans cette dernière valeur, l'imprimé porte b^{i-1}, l'indice
placé en exposant, et +b_2x^2 à la seconde ligne, entre -x et
-b_3x^3 : l'un et l'autre sont transcrits tels qu'on les lit sur la
page.
valeur qui ne pourrait être égale à la précédente qu'en supposant
b_i = 0. Mais alors la supposition x = 1 donnerait Z = 0 et
l'équation 4X = Y^2 + nZ^2 deviendrait 4n = Y^2, équation
page imprimée, titre courant « SUR UNE QUESTION D'ANALYSE. » et
numéro de page 13 ; le nombre 62 à l'encre en haut à droite.
impossible. Donc la forme que nous avons donnée à la valeur de Z est la
seule admissible.
Maintenant cette valeur de Z doit être combinée avec l'une ou l'autre de
ces deux valeurs de Y
\begin{array}{ll}
\text{I.} & Y = \left\{ \begin{array}{l}
2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^{i+1} + a_i x^i \\
+ 2 + x + a_2 x^2 + a_3 x^3 \ldots + a_{i-1} x^{i-1}
\end{array} \right. \\[1ex]
\text{II.} & Y = \left\{ \begin{array}{l}
2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^{i+1} + a_i x^i \\
- 2 - x - a_2 x^2 - a_3 x^3 \ldots - a_{i-1} x^{i-1}.
\end{array} \right.
\end{array}
Or si la seconde forme avait lieu, il faudrait qu'elle ne changeât pas, ou
qu'elle changeât seulement de signe, en mettant x^{-1} à la place de x
et multipliant tout par x^m, ce qui exigerait qu'on eût a_i = 0. Mais
cette condition ne peut être remplie, puisqu'on sait qu'aucune des
puissances de x ne peut manquer dans le polynome Y ; d'ailleurs si le
coefficient a_i était zéro, la supposition x = 1 dans la seconde forme
donnerait Y = 0, et alors l'équation 4X = Y^2 - nZ^2 deviendrait
4n = -nZ^2 équation impossible ; donc par cette double raison la première
forme de Y est la seule admissible ; donc dans le cas de n = 4i + 1 les
fonctions Y et Z qui satisfont à l'équation 4X = Y^2 - nZ^2 seront
toujours des formes suivantes :
\begin{array}{l}
Y = \left\{ \begin{array}{l}
2x^m + x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + a_3 x^{m-3} \ldots + a_{i-1} x^{i+1} + a_i x^i \\
+ 2 + x + a_2 x^2 + a_3 x^3 \ldots + a_{i-1} x^{i-1}
\end{array} \right. \\[1ex]
Z = \left\{ \begin{array}{l}
x^{m-1} + b_2 x^{m-2} + b_3 x^{m-3} \ldots + b_{i-1} x^{i+1} + b_i x^i \\
+ x + b_2 x^2 + b_3 x^3 \ldots + b_{i-1} x^{i-1},
\end{array} \right.
\end{array}
résultat qui s'accorde avec tous les exemples compris dans notre tableau.
à la page précédente (vue 127), le même cas n = 4i + 1 est
rapporté à l'équation 4X = Y^2 + nZ^2 ; celle-ci écrit 4X = Y^2 - nZ^2.
Les deux signes sont ceux de l'imprimé.
La méthode que nous avons donnée pour calculer les va-
page imprimée, titre courant « MÉMOIRE » et numéro de page 14, collée
au verso du feuillet dont le recto porte la page 13 (vue 128). Le « 62 » à
rebours en haut à gauche est le nombre du recto vu en transparence.
leurs des fonctions Y et Z, ne laisse rien à désirer quand il s'agit de
l'appliquer à une valeur particulière du nombre premier n ; mais pour
parvenir à quelques résultats généraux, il sera bon de considérer la
valeur de n sous une forme indéterminée qui la rende applicable à une
infinité de nombres premiers. Et parce que les formules relatives aux
nombres premiers 4i - 1, se déduisent aisément des formules relatives
aux nombres premiers 4i + 1, nous allons nous occuper exclusivement de
ceux-ci.
Observons d'abord que la forme 4i + 1 se divise en quatre autres,
savoir :
24\lambda + 1,\quad 24\lambda + 5,\quad 24\lambda + 13,\quad 24\lambda + 17,
ce qui offre quatre cas à considérer.
Premier cas n = 24\lambda + 1.
Alors on aura \left(\frac{2}{n}\right) = 1,
\left(\frac{3}{n}\right) = \left(\frac{n}{3}\right) = 1,
\left(\frac{4}{n}\right) ou en général \left(\frac{c^2}{n}\right) = 1.
Nous nous arrêterons là, parce que pour aller plus loin, il faudrait
connaître le reste que donne \lambda divisé par 5, ce qui exigerait une
nouvelle subdivision. Au moyen de ces valeurs de
\left(\frac{4}{n}\right), on trouvera
S_1 = S_2 = S_3 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n};
ensuite par les équations (1), on aura
\begin{array}{l}
A_1 = 1 + \sqrt{n} \\
A_2 = 1 + 6\lambda + \sqrt{n} \\
A_3 = 1 + 9\lambda + (1 + \lambda)\sqrt{n} \\
A_4 = 1 + 11\lambda + 3\lambda^2 + (1 + 2\lambda)\sqrt{n}.
\end{array}
page imprimée, titre courant « SUR UNE QUESTION D'ANALYSE. » et
numéro de page 15 ; le nombre « 63. » à l'encre en haut à droite.
Second cas n = 24\lambda + 5.
Alors on aura \left(\frac{2}{n}\right) = -1,
\left(\frac{3}{n}\right) = \left(\frac{5}{3}\right) = -1,
\left(\frac{4}{n}\right) = 1 ; ce qui donne
S_1 = S_4 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n},\quad S_2 = S_3 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n},
et par l'application des équations (1), on aura
\begin{array}{l}
A_1 = 1 + \sqrt{n} \\
A_2 = 2 + 6\lambda \\
A_3 = -3\lambda + \lambda\sqrt{n} \\
A_4 = -2\lambda + 3\lambda^2 - \lambda\sqrt{n}.
\end{array}
Troisième cas, n = 24\lambda + 13.
Alors on aura \left(\frac{2}{n}\right) = -1, \left(\frac{3}{n}\right) = 1,
\left(\frac{4}{n}\right) = 1, ensuite
S_1 = S_3 = S_4 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n},\quad S_2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n},
et par l'application des équations (1) on trouve
\begin{array}{l}
A_1 = 1 + \sqrt{n} \\
A_2 = 4 + 6\lambda \\
A_3 = -1 - 3\lambda + (1 + \lambda)\sqrt{n} \\
A_4 = 4 + 8\lambda + 3\lambda^2 - \lambda\sqrt{n}.
\end{array}
Quatrième cas, n = 24\lambda + 17.
Alors on aura \left(\frac{2}{n}\right) = 1, \left(\frac{3}{n}\right) = -1,
\left(\frac{4}{n}\right) = 1 ; de là
S_1 = S_2 = S_4 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n},\quad S_3 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n},
page imprimée, titre courant « MÉMOIRE » et numéro de page 16, collée
au verso du feuillet dont le recto porte la page 15 (vue 130). Le « 63. »
à rebours en haut à gauche est le nombre du recto vu en transparence.
et en vertu des équations (1) ;
\begin{array}{l}
A_1 = 1 + \sqrt{n} \\
A_2 = 5 + 6\lambda + \sqrt{n} \\
A_3 = 7 + 9\lambda + (1 + \lambda)\sqrt{n} \\
A_4 = 4 + 7\lambda + 3\lambda^2 + (2 + 2\lambda)\sqrt{n}.
\end{array}
Ces formules pour les nombres premiers 4i + 1, considérés sous les quatre
formes 24\lambda + 1, +5, +13, +17, dont ils sont susceptibles,
s'appliquent aux nombres premiers 4i - 1, considérés également sous leurs
quatre formes 24\lambda - 1, -5, -13, -17. Il suffit pour cela de
changer le signe de \lambda dans les formules précédentes et en même temps
le signe de n dans l'équation 4X = Y^2 - nZ^2 relative aux nombres
premiers 4i + 1 ; on aura ainsi les valeurs de A qui satisfont à
l'équation 4X = Y^2 + nZ^2 relative aux nombres premiers 4i - 1 ; nous
les avons réunies dans le tableau suivant :
\begin{array}{c|c|c|c|c}
n & A_1 & A_2 & A_3 & A_4 \\ \hline
24\lambda - 1 & 1 + \sqrt{-n} & 1 - 6\lambda + \sqrt{-n} & 1 - 9\lambda + (1 - \lambda)\sqrt{-n} & 1 -\! 11\lambda +\! 3\lambda^2 +\! (1 -\! 2\lambda)\sqrt{-n} \\
24\lambda - 5 & 1 + \sqrt{-n} & 2 - 6\lambda & 3\lambda - \lambda\sqrt{-n} & 2\lambda + 3\lambda^2 + \lambda\sqrt{-n} \\
24\lambda - 13 & 1 + \sqrt{-n} & 4 - 6\lambda & -1 + 3\lambda + (1 - \lambda)\sqrt{-n} & 4 - 8\lambda + 3\lambda^2 + \lambda\sqrt{-n} \\
24\lambda - 17 & 1 + \sqrt{-n} & 5 - 6\lambda + \sqrt{-n} & 7 - 9\lambda + (1 - \lambda)\sqrt{-n} & 4 -\! 7\lambda +\! 3\lambda^2 +\! (2 -\! 2\lambda)\sqrt{-n}
\end{array}
Ainsi on voit que pour tout nombre premier n = 24\lambda - 1, les premiers
termes des valeurs de Y et de Z seront
\begin{array}{l}
Y = 2x^m + x^{m-1} + (1 - 6\lambda)x^{m-2} + (1 - 9\lambda)x^{m-3} + (1 - 11\lambda + 3\lambda^2)x^{m-4} + \text{etc.} \\
Z = x^{m-1} + x^{m-2} + (1 - \lambda)x^{m-3} + (1 - 2\lambda)x^{m-4} + \text{etc.}
\end{array}
page imprimée, titre courant « SUR UNE QUESTION D'ANALYSE. » et
numéro de page 17 ; le nombre 64 à l'encre en haut à droite ; au pied de la
page, la signature d'imprimeur « 3 ».
Et dans cette formule on remarquera que les quatre premiers coefficients de
Y, savoir 2, 1, 1 - 6\lambda, 1 - 9\lambda, sont toujours moindres que
\frac{1}{2}n, mais le coefficient suivant 1 - 11\lambda + 3\lambda^2, qui
est de l'ordre 3\lambda^2 ou \frac{n^2}{192}, devient bientôt plus grand
que n ; ainsi faisant \lambda = 13 ou n = 311, on a
1 - 11\lambda + 3\lambda^2 = 365.
Ces deux premiers tableaux pour les nombres premiers 4i + 1 et 4i - 1,
ne s'étendent pas au-delà de A_4 qui donne les coefficients de x^{m-4}
dans Y et Z ; pour aller plus loin, il faut subdiviser chacune des valeurs
n = 24\lambda + 1, 5, 13, 17, en quatre autres par la substitution des
cinq valeurs \lambda = 5\mu, 5\mu + 1, 5\mu + 2, 5\mu + 3, 5\mu + 4,
dont une doit être rejetée, comme ne donnant pas pour n des nombres
premiers ; voici ces subdivisions :
\begin{array}{c|l}
\textit{Valeur principale de } n. & \textit{Ses quatre sous-divisions.} \\ \hline
24\lambda + 1 & 120\mu + 1,\ 120\mu + 49,\ 120\mu + 73,\ 120\mu + 97 \\
24\lambda + 5 & 120\mu + 29,\ 120\mu + 53,\ 120\mu + 77,\ 120\mu + 101 \\
24\lambda + 13 & 120\mu + 13,\ 120\mu + 37,\ 120\mu + 61,\ 120\mu + 109 \\
24\lambda + 17 & 120\mu + 17,\ 120\mu + 41,\ 120\mu + 89,\ 120\mu + 113
\end{array}
Appliquant notre méthode à ces différents cas, on trouvera pour chacun d'eux
l'expression générale du coefficient A_5 et celle de A_6, l'une
renfermant des termes affectés de \mu^2 et \mu^2\sqrt{n}, l'autre des
termes affectés de \mu^2\sqrt{n} et \mu^3 ; on en conclura que le
coefficient de x^{m-6} dans Y, étant de l'ordre \mu deviendra bientôt
plus grand que n^2, ce qui manifeste l'augmentation progressive des
coefficients de Y. On voit en même temps que le nombre et la complication
des formules augmen-
« de l'ordre \mu » : la lettre, en fin de ligne, ne porte aucun
exposant lisible sur la vue.
page imprimée, titre courant « MÉMOIRE » et numéro de page 18, collée
au verso du feuillet dont le recto porte la page 17 (vue 132). Le « 64 » à
rebours en haut à gauche est le nombre du recto vu en transparence.
tent rapidement avec la valeur de n, ce qui les rend peu propres à la
solution des cas particuliers. C'est pourquoi il suffira de développer ici
les formules relatives à l'une de nos subdivisions ; nous choisirons pour
cet effet la valeur n = 120\mu + 61.
On trouve alors, comme dans le cas de n = 24\lambda + 13 dont cette
subdivision fait partie
S_1 = S_3 = S_4 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{n},\quad S_2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{n}.
On aura de plus \left(\frac{5}{n}\right) = \left(\frac{61}{5}\right) = 1,
\left(\frac{6}{n}\right) = 1, ce qui donne S_5 = S_1 et S_6 = S_2.
Cela posé dans le cas principal n = 24\lambda + 13, on a trouvé les
valeurs de A_1, A_2, A_3, A_4, dans lesquelles il faudra substituer
la valeur \lambda = 5\mu + 2, ce qui donnera, pour la division
n = 120\mu + 61, les valeurs
\begin{array}{l}
A_1 = 1 + \sqrt{n} \\
A_2 = 16 + 30\mu \\
A_3 = -7 - 15\mu + (3 + 5\mu)\sqrt{n} \\
A_4 = 32 + 100\mu + 75\mu^2 - (2 + 5\mu)\sqrt{n}.
\end{array}
Au moyen de ces valeurs on trouvera par les équations (1) :
\begin{array}{l}
A_5 = -20 - \frac{195}{2}\mu - \frac{225}{2}\mu^2 + \left(6 + \frac{29}{2}\mu + \frac{15}{2}\mu^2\right)\sqrt{n} \\
A_6 = 63 + 246\mu + 280\mu^2 + 75\mu^3 - (3 + 14\mu + 15\mu^2)\sqrt{n},
\end{array}
Et l'on voit que le terme 75\mu^3 qui fait partie de A_6 deviendra plus
grand que n^2 si on a n > \frac{(120)^3}{75} ou n > 23040.
Pour aller plus loin, c'est-à-dire pour trouver les valeurs
page imprimée, titre courant « SUR UNE QUESTION D'ANALYSE. » et
numéro de page 19 ; le nombre 65 à l'encre en haut à droite. Les traits
pâles au-dessus de ce nombre sont le « 66 » écrit de l'autre côté du
feuillet (vue 135), vu en transparence.
de A_7 et A_8, il faudrait au lieu de \mu substituer l'une des six
valeurs 7\nu, 7\nu + 1, 7\nu + 3, 7\nu + 4, 7\nu + 5, 7\nu + 6,
c'est-à-dire il faudrait subdiviser la forme n = 120\mu + 61 en six autres
n = 840\nu + 61,\ 181,\ 421,\ 541,\ 661,\ 781 ;
alors A_7 contiendrait un terme de l'ordre \mu^3\sqrt{n}, et A_8 un
terme de l'ordre \mu^4. Il est inutile d'entrer dans de plus grands
détails ; nous déduirons seulement des valeurs précédentes de
A_1, A_2 \ldots A_6 celles des fonctions Y et Z développées jusqu'à la
puissance x^{m-6} ; elles donnent pour le nombre premier n = 120\mu + 61,
\begin{array}{l}
Y = 2x^m + x^{m-1} + (16 + 30\mu)x^{m-2} - (7 + 15\mu)x^{m-3} \\
\qquad + (32 + 100\mu + 75\mu^2)x^{m-4} - \left(20 + \frac{195}{2}\mu + \frac{225}{2}\mu^2\right)x^{m-5} \\
\qquad + (63 + 246\mu + 280\mu^2 + 75\mu^3)x^{m-6} - \text{etc.} \\
Z = x^{m-1} + (3 + 5\mu)x^{m-3} - (2 + 5\mu)x^{m-4} \\
\qquad + \left(6 + \frac{29}{2}\mu + \frac{15}{2}\mu^2\right)x^{m-5} - (3 + 14\mu + 15\mu^2)x^{m-6} \\
\qquad - \text{etc.}
\end{array}
On en déduirait pour le cas de n = 120\mu - 61, les formules suivantes
qui satisfont à l'équation 4X = Y^2 + nZ^2,
\begin{array}{l}
Y = 2x^m + x^{m-1} + (16 - 30\mu)x^{m-2} - (7 - 15\mu)x^{m-3} \\
\qquad + (32 - 100\mu + 75\mu^2)x^{m-4} - \left(20 - \frac{195}{2}\mu + \frac{225}{2}\mu^2\right)x^{m-5} \\
\qquad + (63 - 246\mu + 280\mu^2 - 75\mu^3)x^{m-6} - \text{etc.} \\
Z = x^{m-1} + (3 - 5\mu)x^{m-3} - (2 - 5\mu)x^{m-4} \\
\qquad + \left(6 - \frac{29}{2}\mu + \frac{15}{2}\mu^2\right)x^{m-5} - (3 - 14\mu + 15\mu^2)x^{m-6} - \text{etc.}
\end{array}
Dans les deux cas on a fait m = \frac{1}{2}(n - 1).
un filet imprimé ferme la page et, avec elle, le mémoire : le reste
de la page est blanc.
feuillet de la main de l'auteur, à l'encre, d'une écriture courante mais
lisible, collé sur le feuillet de montage ; le nombre 67 à l'encre en haut à
droite, avec un crochet tracé au-dessous. Le cachet rond « Bibliothèque
impériale, MSS. » est apposé au milieu de la page, sous la figure.
Idées à vérifier.
On demande si dans la surface pesante et également épaisse l'équation
d'équilibre des différentes courbes produites par les sections normales
n'est pas celle d'autant de chaînettes différentes ?
On remarque d'abord, R étant le rayon de la sphère de moyenne courbure que
l'équation d'équilibre de la surface est ge + T.\frac{2}{R} = 0 ; on demande
si la courbe produite par la section normale qui fait l'angle de 45^\circ
avec les sections principales courbures changeroit de forme dans le cas où
retranchant le reste de la surface elle demeureroit isolée. Pour que cette
courbe conserve en effet la forme qui lui appartient lorsqu'elle
fait partie de la surface il faut que le retranchement supposé diminue la
tension T dans le rapport d'un à 2.
« avec les sections principales courbures » : la ligne porte ces mots,
sans « de » ; le « s » de « sections » et celui de « courbures » sont des
queues de fin de mot, lues selon le sens. Le mot rendu par « conserve »
est tracé serré et ne se laisse pas lire lettre à lettre. Dans le titre,
« à vé » est souligné.
Soit A——C——B, ASB cette courbe dont les points d'appuis sont S et
A, B, lorsqu'elle est isolée ; lorsqu'elle fait partie de la surface dont
le contour est appuyé en B B'' B'', il est évident que la force de
l'appui B est augmentée par celle des appuis B' B'' B''' &c. Si on
suppose que l'appui B est proportionnel à BC et que l'appui B' augmente
la force de l'appui B d'une quantité proportionnelle à la petite ligne
b'B'. Il est clair qu'en menant les petites lignes B''b'', B'''b''' &c.
Cela épuiseroit la ligne CB et on concluroit que, la force du
premier appui étant proportionnelle à cette ligne, elle se trouveroit en
effet doublée. Mais cette manière d'envisager les choses est loin d'être
satisfesante en effet les forces B' B'' B''' &c semblent devoir être
proportionnelles aux lignes Cb' Cb'' Cb''' &c. qui sont les cosinus des
angles CB'B, CB''B, CB'''B, plutôt qu'à leur complémens
b'B &c et je n'ai pas trouvé la manière de détruire cette objection
(Retournez)
figure à la plume, dans la ligne, entre « Soit » et « ASB cette
courbe » : une droite horizontale A——C——B ; au-dessous, une courbe
qui part de A, descend jusqu'à un point bas marqué S et remonte à B ;
de C partent trois droites montant vers des points B', B'', B'''
situés au-dessus de la droite, près de B, d'où tombent sur elle trois
perpendiculaires aux pieds marqués b', b'', b'''. Les accents des
lettres sont petits et serrés sur la figure. À la ligne « en B B''
B'' », les accents sont lus tels qu'ils paraissent, deux traits sur
chacune des deux dernières lettres ; la figure porte B', B'', B'''.
« Cela » est repassé d'un trait épais qui le rend douteux.
« (Retournez) », souligné, est au pied de la page : la suite est au verso,
vue 137.
verso du feuillet de la vue 136, de la même main et de la même encre ;
la page fait suite au « (Retournez) » du recto. Aucun nombre n'y est écrit.
Mais voisi une autre manière d'envisager les choses
Supposons une surface également pesante dans tous ses points et appuyée
dans tous les points de son contour sur un chassis circulaire. La force
d'appui ou de tension T qui soutient la surface pesante peut être
décomposée suivant deux plans normaux entr'eux et à la surface, et comme
dans les suppositions présentes tout est égal par rapport à ces deux plans,
les deux portions de forces qui agissent dans chacun d'eux sont aussi égales
entr'elles.
L'élément est soutenu par ces deux parties de forces et on a l'équation
ge + T.\frac{2}{R}, g est la pesanteur soit g' la pesanteur dans une
simple ligne courbe, la pesanteur aura une partie constante g''. Soit la
pesanteur dans la courbe 2g'' dans une surface elle sera 4g'' on aura
donc en faisant T = 2T', 4g''e + 2T'.\frac{2}{R} = 0 et par conséquent
dans g''e + T'\frac{1}{R} = 0 pour l'équation de la courbe produite
par une section normale. Il résulteroit delà que cette courbe est une
chaînette.
la lettre qui suit g et g'' dans les équations est un e nettement
formé, ici et à la vue 136 ; l'équation « ge + T.\frac{2}{R} » est écrite
sans « = 0 ». Le « 4g'' » de la fin de phrase est repassé à la plume, et
dans « 4g''e » les accents de g sont serrés au point qu'on n'en
distingue pas sûrement deux.
Mais si à présent les forces des appuis augmente dans
certains points du contour et diminue dans les autres nous pourrons admettre
que ces forces, qui luttent contre la pesanteur élèvent les points d'appuis
qui se trouvent compris dans une des sections normales ; il y en aura une
pour laquelle cette élévation sera la plus grande ; dans d'autre
il y aura abbaissement et l'abbaissement le plus grand
le mot biffé avant « forces » est couvert d'une croix. Le mot rendu par
« élévation » est tracé en abrégé et se lit plutôt « ébration » : la
lecture est donnée d'après le sens. La page s'arrête sur « le plus grand »,
sans ponctuation, au tiers inférieur du feuillet.
nouveau feuillet de la même main, collé sur le feuillet de montage ; le
nombre 68 en haut à droite, d'un trait fin et pâle. Le texte n'occupe que la
moitié supérieure de la page ; au-dessous, une tache ronde et rien d'autre.
Dans la vue d'étendre les conséquences qu'on peut tirer de l'existence de la
sphère de moyenne courbure j'ai cherché de tout côté ce qui concerne la
chaînette à cause de son rapport avec la voûte qui se soutient d'elle même,
je n'ai trouvé que dans l'histoire des mathématiques l'encyclopédie et le
mémoire de M poisson sur la surface élastique.
Je trouve dans un article de d'alembert « si une courbe est pressée « en
chaque point, par une puissance qui soit perpendiculaire « à la courbe, pour
qu'il y ait équilibre, il faut que cette puissance « soit en raison inverse
des rayon de courbure de cette courbe ».
Je voyois que ce principe s'appliqueroit également à une surface en
substituant la somme des rayons raisons inverses des rayons de
courbures principales en sorte qu'on pourroit énoncer ainsi la proposition
générale
« Si une surface est pressée en chaque point par « une puissance
qui soit perpendiculaire à sa surfacepour
qu'il y ait équilibre, il faut que cette puissance « soit en
raisoninverse double raison inverse du rayon « de
courbure de la sphère de moyenne courbure de la surface.
ou ce qui est plus clair
Si une surface est pressée en chaque point par une puissance qui soit
perpendiculaire à l'élément de sa courbure, pour qu'il y ait équilibre
il faut que la moitié de cette puissance soit en raison inverse du rayon de sa
sphère de moyenne courbure.
les guillemets ouvrants sont répétés en tête de chaque ligne de la
citation de d'Alembert et de l'énoncé général, à la manière du temps ; ils
sont conservés à leur place. L'énoncé général est souligné ligne à ligne et
embrassé à gauche par un long trait vertical ; « courbure » est écrit
au-dessus de la fin de ligne, au-dessus de « surface » biffé. Dans « soit en
raison inverse double raison inverse », seul « raison » porte un trait qui le
traverse ; « inverse », qui le suit, n'est que souligné comme le reste de la
ligne, et n'est donc pas donné pour biffé. Le second énoncé est souligné
aussi ; « l'élément de » y est ajouté au-dessus de la ligne, entre « à » et
« sa », et un trait passe sur la fin de « élément », qui peut être un simple
trait de liaison.
feuillet de la même main, collé sur le feuillet de montage ; le nombre
69 en haut à droite, du même trait fin et pâle que le 68 de la vue 138. Le
texte s'arrête aux deux tiers de la page.
Voila ce qui doit être examiné.
L'élément dxdy\sqrt{1 + p^2 + q^2} de la surface est, je
crois celui du plan tangent, si le plan tangent se confond dans tous ses
points avec celui des x y l'élément se réduit à dxdy :
\frac{1}{\sqrt{1 + p^2 + q^2}} est le cosinus de l'angle que le plan
tangent fait avec celui des x, y ; dxdy est la projection sur le plan
des x, y de l'élément dxdy\sqrt{1 + p^2 + q^2}. La projection de cet
élément est son produit par le cosinus de l'angle qu'il fait avec le plan de
x y, il est donc
dxdy.\sqrt{1 + p^2 + q^2}.\frac{1}{\sqrt{1 + p^2 + q^2}} = dxdy. comme nous
l'avons dit
A présent voila ce qu'il faudrait savoir expliquer si on prend la variation
de \sqrt{1 + p^2 + q^2} on a \frac{p\delta p + q\delta q}{\sqrt{1 + p^2 +
q^2}} et en intégrant par partie \frac{2}{R}\delta z ainsi la variation
le mot biffé après « est, » est couvert d'un trait épais ; « je
crois » est proposé sous la rature avec doute. Dans « \sqrt{1 + p^2 + q^2} »
les exposants sont parfois écrits comme une barre sur la lettre
(« \bar p ») ; ils sont donnés comme carrés partout, ainsi que la ligne
les écrit en clair ailleurs. Le « = dxdy » final est porté à droite, sur
la ligne de « l'avons dit », et repassé. La page s'arrête sur « ainsi la
variation », sans suite.