Français 9115 · lot 8 · vues 141–160 · Transcription
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
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Numérotation des feuillets. La série à l'encre des lots précédents se poursuit en haut à droite des feuillets : 70 (vue 142), 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79 aux vues 144, 146, 148, 150, 152, 154, 156, 158, 160. Les vues impaires de 145 à 159 ne portent pas de nombre à l'encre. La copie latine porte en outre, en tête de chaque vue de 144 à 160, un nombre entre parenthèses, de (103) à (119), qui semble reporter la page de l'imprimé copié : c'est une inférence. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Les feuilles de support portent, au même endroit sur chacune, trois petits traits obliques au crayon qui ne forment pas un chiffre : aucune foliotation de la Bibliothèque n'a été lue sur ces vues, et aucun « f. » n'est donc porté ici. Les vues 141 et 143, versos blancs des petits feuillets des vues 140 et 142, ne sont pas transcrites.

142Gauss courbure des surfaces

1 . . . « tous les points la situation dans l'espace est déterminée par trois coordonnées, soit par les distances à trois plans fixes perpendiculaires entre eux. On décrit un cercle de rayon 1 autour d'un centre arbitraire, la direction d'une ligne sera représentée par le point de la sphère auquel aboutit le rayon qui est parallèle à cette ligne. Si les trois ordonnées ont leur origine au centre de la sphère elles seront les rayons séparés par des quarts de cercle ou quadrans leur direction sera représentée par (1) (x) (2) y (3) z.

2. « la situation d'un plan peut être représentée par le plus grand cercle formé par l'intersection de la sphère et d'un plan qui lui seroit parallèle petit feuillet monté sur une feuille de support, écrit à l'encre ; le nombre 70 est en haut à droite. Le titre est souligné d'un trait ; le premier mot, lu « Gauss », est d'une écriture plus lâche. Chaque ligne du texte, depuis « tous les points », commence par des guillemets : c'est une citation, que les guillemets initiaux signalent seuls ; ils ne sont pas répétés ici. Les mots « tous les points » sont barrés, et un guillemet est rouvert après eux. Au deuxième alinéa, « qui » est écrit au-dessus de « soit », sans que ce mot soit clairement biffé ; « cercle », à la huitième ligne, est écrit sur un autre mot. Les chiffres « 1 » et « 2 » sont dans la marge de gauche. Le feuillet s'arrête sur « parallèle », sans ponctuation ; son verso, vue 143, est blanc.

144

Acta academiæ scientiarum imperialis Petropolitanæ pro anno 1779 Pars prior

(103)

Investigatio motuum quibus laminæ et virgæ elasticæ contremiscunt auctore L. Eulero

Quanquam hoc argumentum jam pridem tam ab Illustriss. D. Bernoulli, quam a me fusius est pertractatum: tamen quia illo tempore neque principia, unde hujusmodi motus determinari oportet, satis erant exculta, neque ea analyseos pars, quæ circa functiones binarum variabilium versatur, satis explorata; actum agere non videbor, si nunc idem argumentum accuratius investigavero. Praeterea vero etiam tot diversa motuum genera in hujusmodi corporibus locum habere possunt, quæ accuratiorem enucleationem postulant; quamobrem hic operam dabo, ut universam hujus rei disquisitionem ex primis principiis deducam, et clarius, quam quidem ante est factum, proponam. Imprimis autem omnia diversa motuum genera, quæ quidem occurrere possunt, dilucide sum expositurus. Quo igitur omnia fiant magis perspicua, duo præmittam lemmata quorum altero statum æquilibrii, altero vero motus virgarum utcunque elasticarum et a potentiis quibuscunque que sollicitatarum definietur; copie, de la même main que les feuillets français, d'un mémoire latin dont le feuillet donne lui-même le recueil, l'année, le titre et l'auteur. Le titre du recueil est souligné d'un trait court. Le nombre 71 est à l'encre en haut à droite ; « (103) », entre parenthèses et d'une écriture plus petite, est au-dessus du titre du mémoire, et semble reporter la page de l'imprimé copié — c'est une inférence. Le mot lu « Illustriss. » est une abréviation dont l'initiale ressemble à un « M ». Entre « quibuscunque » et « que » se tient un trait vertical appuyé, que la lecture ne résout pas.

145(104)

ubi quidem tam virgam quam potentias perpetuo in eodem plano sitas esse esse assumo. Demonstrationem autem horum lemmatum non addo, quoniam eam alio loco jam dedi, atque adeo etiam a eos casus, quibus motus non fit in eodem plano, accommodavi.

Lemma 1

§ 1. Si virgæ utcunque elasticæ \(EYF\) in singulis elementis potentiæ quæcunque fuerint applicatæ, statum æquilibrii definire Tab. II fig. 3

Solutio.

Referatur virga ad axem fixum \(OV\), et pro ejus puncto quocunque \(Y\) statuantur coordinatae orthogonales \(OX = x\) \(XY = y\), portio autem virgae \(EY = s\), ut sit \(ds^2 = dx^2 + dy^2\); tum vero elementi \(Yy = ds\) sit massa \(= Sds\), ac in eodem loco elasticitas absoluta \(= V\), ista ut, posito radio osculi \(= r\), vis, seu potius momentum elasticitatis sit \(\frac{V}{r}\); hincque, loco \(r\) substituta formula differentiali, istud momentum erit \[ = \frac{V(dy\,ddx - dx\,ddy)}{ds^3}, \] ubi scilicet nullum differentiale pro constanti est assumtum. Deinde omnes potentiae, quibus hoc elementum \(Yy\) sollicitatur, resolvantur secundum directiones coordinatarum, ac ponatur vis inde secundum directionem \(YP\) resultans \(= Pds\) et secundum directionem \(YQ = Qds\): quibus positis pro statu aequilibrii requiritur, ut sit « (104) » est en haut, au milieu. Les mots « tam » et « esse », en fin de première ligne, sont barrés d'un trait. « Lemma 1 » et « Solutio » sont soulignés. L'indication « Tab. II fig. 3 » est dans la marge de gauche, en regard de l'énoncé du § 1 ; aucune figure n'accompagne la copie. Le mot « ista » est barré et porte un petit « + » en exposant, qui renvoie à l'addition portée dans la marge de gauche et précédée du même signe, placée ici à l'endroit du renvoi. Le mot lu « a » devant « eos casus » est d'une seule lettre sur la vue.

146(105) \[ \int dy \int Pds - \int dx \int Qds = V\left(\frac{dy\,ddx - dx\,ddy}{ds^3}\right). \] Praeterea vero tensio, qua elementum \(Yy\) secundum tangentem antrorsum versus \(E\) tenditur, erit, \(-\left(\frac{dx}{ds}\right)\int Pds - \left(\frac{dy}{ds}\right)\int Qds\).

Scholion.

§. 2. Hic assumsimus virgam in statu naturali in directum esse extensam, ita ut in hoc statu radius osculi ubique sit infinitus. Sin autem virga naturaliter jam fuerit incurvata, et pro ejus puncto \(Y\) radius osculi ponatur \(= \varsigma\), tum, quia vis elasticitatis eatenus tantum se exerit quatenus ista curvatura in statu naturali sive augetur sive diminuitur, pro statu æquilibrii habebitur ista aequatio: \(\int dy \int Pds - \int dx \int Qds = V\left(\frac{dy\,ddx - dx\,ddy}{ds^3}\right) - \frac{V}{\varsigma}\).

Caeterum quia formulae integrales \(\int Pds\) et \(\int Qds\) denotant summam omnium virium elementarium, portioni virgae \(EY = s\) applicatarum, manifestum est, si virga in ipso termino \(E\) a viribus finitis sollicitetur, eas simul in his formulis integralibus comprehendi debere.

Lemma 2

§. 3 Si eadem virga elastica, quam descripsimus quomodocunque super eodem plano fuerit projecta ejus motum investigare, hoc est, ejus situm et figuram ad quodvis tempus definire.

Solutio

Maneant omnes denominationes, ut modo sunt constitutae, atque elapso tempore \(= t\) « (105) » en haut, au milieu ; le nombre 72 est à l'encre en haut à droite. Dans la première formule, le \(x\) de « \(\int dx\) » est empâté d'une tache d'encre. Un trait vertical se tient dans la marge devant « Praeterea ». Le rayon osculateur de la verge naturellement courbe est noté d'une lettre grecque bouclée, rendue ici \(\varsigma\) ; la même lettre revient aux vues suivantes. Dans les deux formules du feuillet, la parenthèse ouverte après \(V\) embrasse la fraction entière. « Scholion », « Lemma 2 » et « Solutio » sont soulignés. La ligne s'arrête sur « tempore = t », que la vue 147 poursuit.

147(106)

(perpetuo in minutis secundis exprimendo) teneat virga figuram in tabula repraesentatam, ita ut portioni \(EY = s\) respondeant coordinatae \(OX = x\) et \(XY = y\), quae, quia cum tempore continuo variantur, hic tanquam functiones duarum variabilium \(s\) et \(t\) spectari debent. Hinc igitur colligantur formulae \(\left(\frac{ddx}{dt^2}\right)\) et \(\left(\frac{ddy}{dt^2}\right)\) quibus uncinulis \((\;)\) indicatur, in utraque differentiatione solum tempus \(t\) variabile esse assumtum, arcum vero \(s\) pro constante esse habitum. Hinc jam ex viribus elementaribus, virgae in singulis punctis applicatis, formentur sequentes valores: \[ P' = P - \frac{S}{2g}\left(\frac{ddx}{dt^2}\right) \quad\text{et}\quad Q' = Q - \frac{S}{2g}\left(\frac{ddy}{dt^2}\right), \] ubi \(g\) denotat altitudinem lapsus gravium in uno minuto secundo: atque ex his status virgae pro hoc tempore isthac exprimetur aequatione: \[ \int dy \int P'ds - \int dx \int Q'ds = V\left(\frac{dy\,ddx - dx\,ddy}{ds^3}\right) - \frac{V}{\varsigma}, \] si quidem virga in statu naturali jam ita fuerit incurvata, ut ejus puncto \(Y\) conveniat radius osculi \(\varsigma\); unde si virga fuerit naturaliter recta, ob \(\varsigma = \infty\) terminus postremus \(\frac{V}{\varsigma}\) omitti poterit. Denique, quod ad tensionem in singulis punctis attinet, erit simili modo quo supra tensio in \(Y\) versus \(E\) vergens \[ -\left(\frac{dx}{ds}\right)\int P'ds - \left(\frac{dy}{ds}\right)\int Q'ds. \] his igitur formulis, siquidem eas evolvere licuerit, totus virgae motus determinabitur.

Problema 1

§. 4 Si virgae datae longitudinis \(EF\), naturaliter recta et ubique tam Tab. II fig. 4 « (106) » en haut, au milieu. Un trait vertical sépare « minutis » de « secundis » à la première ligne. Le \(O\) de « \(OX = x\) » est empâté d'une tache. « colligantur » est souligné sur le feuillet. Dans la première intégrale de l'équation, le \(P'\) est écrit sur une lettre reprise. Le dénominateur lu « \(2g\) » est écrit d'un chiffre bouclé. « Problema 1 » est souligné ; l'indication « Tab. II fig. 4 » est dans la marge de gauche, en regard du § 4.

148(107)

aequaliter crassa quam aequaliter elastica, utcunque contremiscat, aequationem invenire, qua omnes motus, qui in virga locum habere possunt continentur

Solutio.

Referat igitur \(EF\) virgam nostram in statu naturali constitutam, cujus longitudo sit \(EF = a\), ejusque crassities \(= cc\), ita ut ejus volumen sit \(acc\); ac per talia volumina tam massas quam vires sollicitantes exprimamus, ita ut si dicamus quampiam vim esse \(= b^3\) ea tanta sit intelligenda, quantum foret pondus ejusdem materiae, ex qua virga constat, sub volumine \(b^3\) contentum. Hinc si in virga capiatur portio \(EX = x = s\), quandoquidem in vibrationibus minimis arcus \(s\) perpetuo abscissae \(x\) aequari potest, elementi \(Xx = ds\) massula erit \(cc\,ds\), ita ut, quod supra vocavimus \(S\), hic nobis sit \(cc\). Tempore autem elapso \(t\), ob tremorem conceptum transierit punctum \(X\) in \(Y\), posito \(XY = y\). et quia vibrationes quam minimae statuantur, ista applicata \(y\) prae abscissa \(EX = x\), sive arcu \(s\), quasi evanescit; neque idem punctum \(x\) alium motum habere nequit, nisi in directione applicatae \(XY\); unde motus secundum directionem \(x\) erit nullus, ideoque \(\frac{ddx}{dt^2} = 0\); atque hinc ob \(ddx = 0\), radius osculi erit \[ \frac{ds^3}{-dx\,ddy} = -\frac{ds^2}{ddy}; \] praeterea vero erit \(\varsigma = \infty\). Quod autem ad elasticitatem absolutam attinet, ea pro similibus virgis recte quadrato crassitiei reputatur proportionalis, ita ut sit \(V\) at \(c^4\), unde statuabimus \(V = bc^4\) ubi \(b\) denotat quantitatem ab indole « (107) » en haut, au milieu ; le nombre 73 est à l'encre en haut à droite. Un trait vertical se tient entre « elastica » et « utcunque ». « Solutio » est souligné. Dans la formule du rayon osculateur, l'exposant de \(ds\) au numérateur est écrit très haut au-dessus de la lettre, et lu 3. Entre \(V\) et \(c^4\), à l'avant-dernière ligne, le feuillet porte deux lettres, lues « at ». Deux taches d'encre sont dans la marge de gauche, en regard de « praeterea ».

149(108)

materiae virgae pendentem, et quia \(\frac{V}{r}\) momentum virium exhibet, vis autem nobis per volumen denotatur, formula \(\frac{V}{r}\) quatuor dimensiones lineares complecti debet; unde patet, literam b certam longitudinem referre.

Quia porro virgam a nullis viribus elementaribus urgeri statuimus, erit tam \(P = 0\) quam \(Q = 0\). interim tamen, si sumamus virgam in termino \(E\) duas sustinere vires, alteram in directione \(EE = E\), alteram in directione \(EF = E\), alteram vero in directione \(Ef = E\), fieri debebit \[ \int Pds = E \quad\text{et}\quad \int Qds = F. \] Cum igitur ob \(S = cc\) poni oporteat \[ P' = P - \frac{cc}{2g}\left(\frac{ddx}{dt^2}\right) = F, \quad \text{ob}\ \left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = 0, \] sit \(\int P'ds = E\); tum vero erit \[ Q' = Q - \frac{cc}{2g}\left(\frac{ddy}{dt^2}\right), \ \text{hincque porro} \] \[ \int Q'ds = F - \frac{cc}{2g}\int ds \left(\frac{ddy}{dt^2}\right). \] His igitur valoribus substitutis aequatio pro motu virgae induet hanc formam: \[ Ey - Fx + \frac{cc}{2g}\int dx \int ds \left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = -\frac{bc^4\,ddy}{ds^2}. \] Pro tensione autem, qua punctum \(Y\) versus \(E\) tenditur, habebimus \(-E - \left(\frac{dy}{ds}\right)\int Q'ds\), ubi, quia \(\frac{dy}{ds}\) quasi evanescit, tensio simpliciter erit \(-E\), unde casu quo \(E = 0\) tensio ubique etiam erit nulla.

Differentiemus igitur aequationem pro motu inventam, sumto solo elemento \(ds = dx\) constante, fietque \[ E\,dy - F\,dx + \frac{cc}{2g}\,dx \int ds \left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = -\frac{bc^4\,d^3y}{ds^2}. \] et per \(ds\) dividendo \[ \frac{E\,dy}{ds} - F + \frac{cc}{2g}\int ds \left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = -\frac{bc^4\,d^3y}{ds^3}; \] « (108) » en haut, au milieu. Un trait vertical se tient entre « virium » et « exhibet » ; la lettre b de « literam b » est soulignée. La phrase sur les forces du terme \(E\) porte trois membres « alteram » pour « duas vires », avec les directions lues \(EE\), \(EF\) et \(Ef\), chacune « \(= E\) » : les lettres ont été lues sur la vue et ne sont pas corrigées. Dans la valeur de \(P'\), le membre après le second signe d'égalité est lu \(F\), et la parenthèse qui suit « ob » est lue \(ddy\) ; la tête de ces lettres est serrée contre la ligne précédente. Dans « E dy − F dx », la seconde majuscule se distingue mal d'un \(E\). La terminaison de « elemento » est écrite sur une autre, reprise à la plume. La dernière formule finit par un point-virgule, tracé sous la ligne.

150(109)

haec aequatio denuo differentiata ac per \(ds\) divisa praebebit istam: \[ E\frac{ddy}{ds^2} + \frac{cc}{2g}\left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = -\frac{bc^4\,d^4y}{ds^4}, \] quae, quo discrimen inter binas variabiles \(s\) et \(t\) clarius ob oculos ponatur, more solito ita repraesentetur: \(E\left(\frac{ddy}{ds^2}\right) + \frac{cc}{2g}\left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = -bc^4\left(\frac{d^4y}{ds^4}\right)\).

Corollarium. I

§. 5 Quod si ergo virga a nullis plane viribus externis extendatur, ita ut sit \(E = 0\), aequatio motum virgae determinans erit \[ \frac{cc}{2g}\left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = -bc^4\left(\frac{d^4y}{ds^4}\right), \ \text{sive} \] \[ \frac{1}{2g}\left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = -bc^2\left(\frac{d^4y}{ds^4}\right), \] ita ut totum negotium huc sit reductum, quemadmodum ista aequatio differentialis quarti gradus integrari queat; ubi quidem in limine confiteri cogimur, ejus integrale nullo adhuc modo inveniri potuisse, ita ut contenti esse debeamus in solutiones particulares inquirere.

Corollarium. II

§. 6. Sin autem accedat vis litera \(E\) indicata, ejus duo casus perpendendi occurrunt: prouti virga ab ea vel extenditur vel comprimitur. Talis enim virga quatenus est rigida, etiam vires sustinere potest, quae ipsam comprimere conantur, cujusmodi vires eo majores esse possunt quo major fuerit elasticitas; si enim esset perfecte flexilis, nulla plane vis comprimens admitti posset, unde pro quovis elasticitatis gradu indagandum erit, quantam vim comprimentem sustinere valeat, antequam incurvetur « (109) » en haut, au milieu ; le nombre 74 est à l'encre en haut à droite. Un trait vertical se tient dans la marge devant « haec ». « Corollarium. I » et « Corollarium. II » sont soulignés. Dans la seconde forme de l'équation du § 5, le coefficient est lu \(bc^2\), là où la première porte \(bc^4\). Le mot lu « prouti » est écrit avec deux \(t\) apparents. Un petit signe à l'encre est dans la marge de gauche, en regard de « possunt ».

151(110)

quam quidem quaestionem jam olim solutam dedi, ubi vires, quas columnae sustentare valeant, sum perscrutatus. Quod autem ad alteram vim extendentem attinet, ab ea virga, quasi esset chorda perfecte flexilis, extendi poterit. Concipiatur scilicet ejus termino \(E\) filum seu chorda alligata, quae per foraminulum \(O\) fulcri immobilis \(mn\) traducta circa trochleam \(T\) certum pondus \(P\) habeat appensum. Hoc igitur modo virga non solum ob propriam elasticitatem, sed etiam ob pondus tendens \(P\) motum tremulum concipiet, unde sonum edet mixtum seu medium quendam inter sonum virgae elasticae proprium et sonum chordæ tensae. tab. II fig. 5

Corollarium III

§. 7 Ponamus igitur hujusmodi vim tendentem esse \(= cch\), et quia in plagam contrariam dirigitur, erit \(E = -cch\), unde pro isto motu habebimus sequentem aequationem: \[ -h\left(\frac{ddy}{ds^2}\right) + \frac{1}{2g}\left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = -bcc\left(\frac{d^4y}{ds^4}\right), \] quae ergo aequatio, si fuerit \(b = 0\), quo casu elasticitas evanescit, motum chordae perfecte flexilis exprimet; erit enim \[ \frac{1}{2g}\left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = h\left(\frac{ddy}{ds^2}\right) \] quemadmodum contra si \(h = 0\), orietur sonus virgae elasticae proprius, fietque \(\frac{1}{2g}\left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = -bcc\left(\frac{d^4y}{ds^4}\right)\) et si casus ex utroque fuerit mixtus, habebimus \(\frac{1}{2g}\left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = h\left(\frac{ddy}{ds^2}\right) - bcc\left(\frac{d^4y}{ds^4}\right)\) « (110) » en haut, au milieu. L'indication « tab. II fig. 5 » est dans la marge de gauche, en regard de « flexilis, extendi poterit » ; la lettre \(O\) de « foraminulum O » et les lettres \(mn\) sont soulignées. Un trait d'encre est dans la marge, en regard de la première ligne. « Corollarium III » est souligné. Les dernières formules sont écrites dans la ligne, à droite du texte, sans ponctuation finale.

152(111)

Scholion

§. 8. Quoniam igitur vires secundum ipsam virgae directionem agentes, quibus ea vel extenderetur vel comprimeretur, ad aequationem finalem magis complicatam perducunt, eas in hac tractatione penitus removeamus, et nostras investigationes ad eos tantum motus restringamus, quos virga, sive a nullis viribus sollicitata, sive a talibus tantum, quae in virgae directionem normaliter agunt, quas supra litera \(F\) designavimus, recipere potest. Ipsam vero virgam hic perpetuo naturaliter rectam et per totam longitudinem ubique aequaliter crassam et aequaliter elasticam statuamus, easdem denominationes retinentes quae hactenus sunt descriptae. At quia aequatio finalis per duplicem differentiationem est orta, etiam praecedentes aequationes, quae ad eam deduxerunt considerasse juvabit, quae sunt: \[ \text{I.} \quad -Fx + \frac{cc}{2g}\int dx \int ds \left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = -bc^4\left(\frac{ddy}{ds^2}\right) \] \[ \text{II.} \quad -F + \frac{cc}{2g}\int dx \left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = -bc^4\left(\frac{d^3y}{ds^3}\right) \] \[ \text{III.} \quad \frac{cc}{2g}\left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = -bc^4\left(\frac{d^4y}{ds^4}\right), \ \text{sive} \] \[ \frac{1}{2g}\left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = -bcc\left(\frac{d^4y}{ds^4}\right) \] ubi in priores adhuc vis \(F\), qua virga normaliter urgeri potest, ingreditur, cujus ratio erit habenda, quando virga non omnino est libera, sed in uno pluribusve punctis quasi ope styli est fixa, circa quem tamen sit mobilis; unde statim intelligitur, virgam infinitis modis per tales stylos affigi posse, quibus ejus motus diversimode temperetur; quos diversos casus in sequentibus accuratius evolvemus. « (111) » en haut, au milieu, et au-dessous « Scholion », souligné, précédé d'un petit trait vertical ; le nombre 75 est à l'encre en haut à droite. Les trois équations sont numérotées I, II, III dans la ligne, en chiffres romains.

153(112)

Problema

§. 9. Cum virga nostra infinitis modis contremiscere queat, eos casus in genere investigare, quibus ejus motus vibratorius evadet regularis, seu minimis oscillationibus penduli cujuspiam simplicis conformis

Solutio.

Ponamus igitur longitudinem istius penduli simplicis \(= k\), atque ut motus virgae pari modo peragatur, necesse est ut sit \(\frac{1}{2g}\left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = -\frac{y}{k}\): in qua aequatione cum solum tempus \(t\) pro variabili habeatur, longitudo vero s ut constans spectetur, per duplicem integrationem pervenitur ad istam formulam generalem: \[ y = \mathfrak{M}\,\text{sin.}\left(\zeta + t\frac{\sqrt{2g}}{k}\right), \] ubi quantitas \(\mathfrak{M}\) non solum est constans, sed etiam functionem quamcunque ipsius s designare potest. Cum igitur per aequationem finalem sit \[ \frac{1}{2g}\left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = -bcc\left(\frac{d^4y}{ds^4}\right), \] erit etiam \(bcc\left(\frac{d^4y}{ds^4}\right) = \frac{y}{k}\): in qua equatione sola quantitas s pro variabili assumitur, cujus ergo integrale investigari oportet. Quod quo facilius fieri possit ponamus brevitatis gratia \(bcck = f^4\), et remotis clausulis jam sit \(y = \frac{f^4\,d^4y}{ds^4}\), cui satisfieri posse evidens est hujusmodi valore: \(y = e^{\lambda s}\). Quia enim hinc fit \[ \frac{dy}{ds} = \lambda e^{\lambda s}, \quad \frac{ddy}{ds^2} = \lambda\lambda e^{\lambda s}, \quad \frac{d^3y}{ds^3} = \lambda^3 e^{\lambda s}, \quad \frac{d^4y}{ds^4} = \lambda^4 e^{\lambda s}, \] his substitutis prodit ista aequalitas: \(1 = \lambda^4 f^4\) sive \(\lambda^4 = \frac{1}{f^4}\) « (112) » en haut, au milieu. « Problema » et « Solutio » sont soulignés ; les lettres s de « longitudo vero s », « ipsius s » et « sola quantitas s » sont soulignées sur le feuillet, et rendues ici en italique. Le coefficient de la formule générale est une majuscule calligraphiée, proche d'un « M » ouvert, rendue \(\mathfrak{M}\) ; la lettre de l'exposant, rendue \(\lambda\), est une petite lettre à jambage croisé. Dans \(t\frac{\sqrt{2g}}{k}\), le radical ne couvre que \(2g\), et \(k\) est écrit sous la barre. « remotis clausulis » est lu sur un mot serré. Le nombre 1 de « \(1 = \lambda^4 f^4\) » et la fin de la dernière ligne touchent le bord inférieur du feuillet.

154(113)

unde sequentes quatuor valores pro litera \(\lambda\) elicientur, scilicet: \[ 1^\circ.\ \lambda = \frac{1}{f}; \quad 2^\circ.\ \lambda = -\frac{1}{f}; \quad 3^\circ.\ \lambda = \frac{\sqrt{-1}}{f}; \quad 4^\circ.\ \lambda = -\frac{\sqrt{-1}}{f}; \] quibus valoribus inventis constat, eos etiam utcunque combinatos satisfacere, ita ut statuere queamus \[ y = \alpha e^{\frac{s}{f}} + \beta e^{-\frac{s}{f}} + \gamma e^{\frac{s\sqrt{-1}}{f}} + \delta e^{-\frac{s\sqrt{-1}}{f}}; \] quae forma, cum quatuor contineat constantes arbitrarias, utique continet integrale completum nostrae aequationis. Notum autem est bina posteriora membra imaginaria reduci ad sinum et cosinum anguli realis \(\frac{s}{f}\). Hinc igitur multiplicando per communem factorem \(N\), qui, ob tempus t constans assumtum, pro functione temporis quacunque haberi potest, habebimus \[ y = N\left(\alpha e^{\frac{s}{f}} + \beta e^{-\frac{s}{f}} + \gamma\,\text{sin.}\frac{s}{f} + \delta\cos.\frac{s}{f}\right); \] qui ergo valor ante invento \(y = \mathfrak{M}\,\text{sin.}\left(\zeta + t\frac{\sqrt{2g}}{k}\right)\) aequalis reddi debet, id quod facillime praestabitur statuendo: \[ N = C\,\text{sin}\left(\zeta + t\frac{\sqrt{2g}}{k}\right) \ \text{et} \] \[ \mathfrak{M} = C\left(\alpha e^{\frac{s}{f}} + \beta e^{-\frac{s}{f}} + \gamma\,\text{sin.}\frac{s}{f} + \delta\cos\frac{s}{f}\right), \] sic enim uterque valor reducetur ad istam aequationem: \[ y = C\,\text{sin}\left(\zeta + t\frac{\sqrt{2g}}{k}\right)\left(\alpha e^{\frac{s}{f}} + \beta e^{-\frac{s}{f}} + \gamma\,\text{sin.}\frac{s}{f} + \delta\cos.\frac{s}{f}\right); \] ubi jam literae \(C, \alpha, \beta, \gamma, \delta\) cum angulo \(\zeta\) denotant veras quantitates constantes pro arbitrio accipiendas; quomodocunque autem accipiantur motus virgae semper erit comparatus, ut congruat oscillationibus penduli « (113) » en haut, au milieu ; le nombre 76 est à l'encre en haut à droite. Les lettres grecques sont d'une main peu appuyée : \(\alpha\) ressemble à un « u » et \(\gamma\) à un « v » ou à un \(\vartheta\) ; la lecture les tient pour les mêmes lettres d'un bout à l'autre. La lettre t de « tempus t » est soulignée. La majuscule du second membre de l'égalité « \(\mathfrak{M} = C(\dots)\) » est de la même forme que le coefficient de la formule générale de la vue 153.

155(114)

simplicis, cujus longitudo est \(= k\), unde tempus cujusque vibrationis erit \(= \pi\sqrt{\frac{k}{2g}}\), expressum in minutis secundis, hincque porro numerus vibrationum uno minuto secundo editarum erit \(= \frac{\sqrt{2g}}{\pi\sqrt{k}}\), qui numerus etiam pro mensura soni, quem chorda edet, haberi solet.

Corollarium 1

§. 10. formulae illae exponentiales, perinde ac sinus et cosinus, commode per series infinitas exhiberi possunt, quae ita se habebunt: \[ y = C\,\text{sin.}\left(\zeta + t\frac{\sqrt{2g}}{k}\right) \left\{ \begin{array}{l} \alpha(1 + \frac{s}{f} + \frac{ss}{1.2ff} + \frac{s^3}{1.2.3f^3} + \frac{s^4}{1.2.3.4f^4} + \&c. \\[4pt] +\beta(1 - \frac{s}{f} + \frac{ss}{1.2ff} - \frac{s^3}{1.2.3.f^3} + \frac{s^4}{1.2.3.4f^4} - \&c. \\[4pt] +\gamma(\phantom{1 +{}} \frac{s}{f} \qquad\qquad - \frac{s^3}{1.2.3} \qquad\qquad + \&c \\[4pt] +\delta(1 \qquad\quad - \frac{s^2}{1.2.ff} \qquad\qquad + \frac{s^4}{1.2.3.4.f^4} \end{array} \right. \] Hinc igitur, si brevitatis gratia ponamus \[ y = C\,\text{sin.}\left(\zeta + t\frac{\sqrt{2g}}{k}\right)S, \ \text{erit per seriem infinitam} \] \[ S = (\alpha + \beta + \delta)1 + (\alpha - \beta + \gamma)\frac{s}{f} + (\alpha + \beta - \delta)\frac{ss}{1.2ff} \] \[ + (\alpha - \beta - \gamma)\frac{s^3}{1.2.3.f^3} + (\alpha + \beta + \delta)\frac{s^4}{1.2.3.4f^4} + (\alpha - \beta + \gamma)\frac{s^5}{1.2.3.4.5f^5} + \&c. \] Hae igitur series eo magis convergent, quo major fuerit quantitas f prae arcu s; ubi recordemur esse \(f = \sqrt[4]{bcck}\), ita ut simul longitudinem penduli simplicis k in se complectatur.

Corollarium. 2.

§ 11 Invento valore ipsius \(y\), ejus quoque valores per differentiationem « (114) » en haut, au milieu. Les quatre séries sont réunies par une grande accolade ; les parenthèses ouvertes après \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) ne sont pas refermées, et les termes sont disposés en colonnes, que la transcription imite. Au terme en \(s^3\) de la ligne de \(\gamma\), le dénominateur est écrit « 1.2.3 » sans \(f^3\) ; la ligne de \(\delta\) ne porte pas de « &c ». Les signes finals, rendus « &c. », ont une forme bouclée proche de \(\infty\). Les lettres f, s et k de la dernière phrase sont soulignées sur le feuillet. « Corollarium 1 » et « Corollarium. 2. » sont soulignés.

156(115)

eruti assignari possunt: reperietur autem \[ \left(\frac{dy}{ds}\right) = \frac{C}{f}.\,\text{sin.}\left(\zeta + t\frac{\sqrt{2g}}{k}\right)\left(\alpha e^{\frac{s}{f}} - \beta e^{-\frac{s}{f}} + \gamma\cos.\frac{s}{f} - \delta\,\text{sin.}\frac{s}{f}\right) \] \[ \left(\frac{ddy}{ds^2}\right) = \frac{C}{ff}.\,\text{sin.}\left(\zeta + t\frac{\sqrt{2g}}{k}\right)\left(\alpha e^{\frac{s}{f}} + \beta e^{-\frac{s}{f}} - \gamma\,\text{sin.}\frac{s}{f} - \delta\cos.\frac{s}{f}\right) \] \[ \left(\frac{d^3y}{ds^3}\right) = \frac{C}{f^3}.\,\text{sin}\left(\zeta + t\frac{\sqrt{2g}}{k}\right)\left(\alpha e^{\frac{s}{f}} - \beta e^{-\frac{s}{f}} - \gamma\cos.\frac{s}{f} + \delta\,\text{sin.}\frac{s}{f}\right) \] \[ \left(\frac{d^4y}{ds^4}\right) = \frac{C}{f^4}.\,\text{sin.}\left(\zeta + t\frac{\sqrt{2g}}{k}\right)\left(\alpha e^{\frac{s}{f}} + \beta e^{-\frac{s}{f}} + \gamma\,\text{sin.}\frac{s}{f} + \delta\cos.\frac{s}{f}\right) \]

Corollarium. 3.

§. 12. Quod si autem tantum tempus t variabile accipiamus, ipsum motum cognoscemus, quo singulae virgae ciebuntur; namque celeritas, qua virgae punctum \(X\) in directione \(XY\) movetur, est \(\left(\frac{dy}{dt}\right)\), quae ergo per valorem inventum erit \[ \left(\frac{dy}{dt}\right) = \frac{C\sqrt{2g}}{\sqrt{k}}\cos\left(\zeta + t\frac{\sqrt{2g}}{k}\right)\left(\alpha e^{\frac{s}{f}} + \beta e^{-\frac{s}{f}} + \gamma\,\text{sin.}\frac{s}{f} + \delta\cos.\frac{s}{f}\right) \] et quia incrementum celeritatis, per elementum temporis dt divisum, praebet accelerationem, erit ea \[ \left(\frac{ddy}{dt^2}\right) = -\frac{2Cg}{k}\,\text{sin}\left(\zeta + t\frac{\sqrt{2g}}{k}\right)\left(\alpha e^{\frac{s}{f}} + \beta e^{-\frac{s}{f}} + \gamma\,\text{sin.}\frac{s}{f} + \delta\cos.\frac{s}{f}\right); \] ex quibus formulis perspicitur, quomodo omnibus conditionibus praescriptis satisfiat.

Scholion I

§. 13 Quanquam igitur hic tantum motus vibratorios regulares contemplamur: tamen ob ingentem quantitatum constantium arbitrariarum numerum infinita varietas locum habere potest, prouti istae constantes aliter atque aliter determinantur. In hoc autem negotio imprimis « (115) » en haut, au milieu, le premier chiffre mal formé ; le nombre 77 est à l'encre en haut à droite. Un trait vertical se tient entre « reperietur » et « autem ». Les lettres t de « tempus t » et dt de « temporis dt » sont soulignées. La fin de « perspicitur » et une lettre de « determinantur » sont empâtées d'une tache. « Corollarium. 3. » et « Scholion I » sont soulignés.

157(116)

ad statum virgae est respiciendum, utrum ea perfecte sit libera et nullis plane viribus coerceatur, an vero alicubi sit fixa vel ope unius pluriumve stylorum. Statim enim ac virgae status fuerit definitus, etiam constantium \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) ratio non solum perfecte determinatur, sed etiam obtinebitur aequatio, ex qua valorem quantitatis f determinare licebit, hincque igitur ipsa penduli simplicis longitudo \(k\) elicietur. Praecipue autem in hoc negotio ad totam virgae longitudinem \(EF = a\), cujus hactenus nulla ratio est habita, respici oportet. Quod si autem nullas alias vires \(F\) admittamus, nisi quae virgae in utroque termino sint applicatae, status utriusque termini triplex occurrere potest, quos igitur casus hic evolvere conveniet; ubi quod de termino \(E\) definiemus simul pro altero \(F\) intelligi debet.

I. Primus igitur casus esto, quo virgae terminus \(E\) plane est liber et a nulla vi coercetur; tum igitur posito \(s = 0\), tribus aequationibus supra (§. 8) memoratis satisfieri oportet, unde, quia vis \(F = 0\) et utrumque integrale \[ \int ds \left(\frac{ddy}{dt^2}\right) \quad\text{et}\quad \int ds \int ds \left(\frac{ddy}{dt^2}\right) \] perpetuo ita accipi supponitur, ut evanescat posito \(s = 0\), ex prima pro termino \(E\), ubi \(s = 0\), oportet esse \(\left(\frac{ddy}{ds^2}\right) = 0\); ex secunda autem equatione nascitur ista conditio: \(\left(\frac{d^3y}{ds^3}\right) = 0\), ita ut hic duas determinationes portabit.

II. Secundus casus esto, quo virgae terminus \(E\) ope styli ita figitur, ut circa eum libere moveri possit: quo ergo casu vis quaedam \(F\) stilum retinens « (116) » en haut, au milieu. Le trait qui prolonge « unius » jusqu'au bout de la ligne est un trait de remplissage. Dans « quia vis F = 0 », la majuscule se distingue mal d'un \(E\) ; elle est lue \(F\), comme la force normale du § 8. Dans les deux intégrales, le dénominateur est écrit serré et se lit mal : \(dt^2\) est la lecture la plus probable. Dans la seconde condition, la lettre du numérateur de \(\frac{d^3y}{ds^3}\) ressemble à un « s ». Le dernier mot de l'avant-dernier alinéa, lu « portabit », touche le bord droit du feuillet et finit par un point. Le chiffre du « II » est repris à la plume sur un « I ».

158(117)

aderit. Primum igitur, quia terminus \(E\) in suo loco fixus detinetur, posito \(s = 0\), hoc casu fieri debet \(y = 0\); praeterea vero prima memoratarum aequationum suppeditat hanc conditionem: \(\left(\frac{ddy}{ds^2}\right) = 0\); secunda aequatio determinabit ipsam vim \[ F = +bc^4\left(\frac{d^3y}{ds^3}\right); \] quam autem nosse parum nobis refert; quia in motum vibratorium non influit; sicque iste casus etiam duas continet determinationes, scilicet: \[ y = 0 \quad\text{et}\quad \left(\frac{ddy}{ds^2}\right) = 0; \] hunc igitur vocemus simpliciter fixum.

III. Tertius casus esto, quo terminus virgae \(E\) ita muro quasi est infixus, ut hoc loco non moveri sed tantum incurvari queat. Hoc igitur casu manifestum est, posito \(s = 0\) non solum fieri debere \(y = 0\), sed etiam \(\left(\frac{dy}{ds}\right) = 0\), quia in hoc termino tangens in ipsum axem incidere debeat; hunc autem casum vocemus infixum.

Cum igitur hi singuli casus binas determinationes involvant, si etiam ad alterum terminum \(F\) respiciamus, pro quo habebimus \(x = s = a\), quicunque casus in utroque locum habeant, semper inde quatuor oriuntur determinationes, quibus non solum constantes illae \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) definientur, sed insuper aequatio resultabit, ex qua ipsam quantitatem f, hincque pendulum simplex \(k\) assignare licebit

Scholion 2

§. 14. Cum igitur pro utroque termino \(E\) et \(F\) terni casus locum habere queant, hinc omnino sex casus diversi nascuntur, quos ordine evolvi conveniet, siquidem hoc argumentum in omni extensione pertractare voluerimus; hos igitur sex casus sequenti modo designabimus: « (117) » en haut, au milieu ; le nombre 78 est à l'encre en haut à droite. « prima memoratarum » est écrit « primat memoratarum », le \(t\) barrant la jonction. Le chiffre « sex », deux fois, est écrit d'une initiale proche d'un « 2 ». « Scholion 2 » est souligné. Le feuillet s'arrête sur les deux points, et la liste annoncée commence à la vue 159.

159(118)

Plures quidem casus videntur occurrere, veluti si \(E\) esset fixus et \(F\) liber; sed quia ambos terminos inter se permutare licet, hic casus in illis memoratis sex jam continetur. His igitur positis sex nobis supersunt problemata, quae breviter pertractabimus.

Evolutio casus I quo virgae elasticae uterque terminus prorsus est liber

Problema

§. 15 Si virga elastica a nullis plane viribus sollicitetur et plano horizontali politissimo libere incumbat, investigare omnes vibrationes regulares, quibus ea contremiscere possit.

Solutio

Quoniam uterque terminus \(E\) et \(F\) liber assumitur, pro utroque erit tam \(\left(\frac{ddy}{ds^2}\right) = 0\) quam \(\left(\frac{d^3y}{ds^3}\right) = 0\), hinc ergo pro termino \(E\) posito \(s = 0\) nascuntur hae duae aequationes: \[ \text{I.}\ \alpha + \beta - \delta = 0; \qquad \text{II.}\ \alpha - \beta - \gamma = 0 \] pro altero termino \(F\) erit \(s = a\), et posito brevitatis gratia \(\frac{a}{f} = \omega\) istae oriuntur aequatio « (118) » en haut, au milieu. Les six cas sont écrits en tableau, les chiffres romains dans la marge, chaque ligne reliée à la colonne de droite par des tirets ; les tirets de début de ligne tiennent lieu de « terminus ». Les deux lignes du titre « Evolutio casus I / quo virgae elasticae uterque terminus prorsus est liber » sont centrées, la seconde soulignée d'un bout à l'autre ; « Problema » et « Solutio » sont soulignés. Dans la seconde condition, la lettre du numérateur de \(\frac{d^3y}{ds^3}\) ressemble de nouveau à un « s » (voir la vue 157). Un trait vertical suit « hae duae aequationes: ». Le dernier mot, « aequatio », arrive au bord droit du feuillet, qui en cache la fin ; la phrase se poursuit à la vue 160.

160(119) \[ \text{III.}\ \alpha e^{\omega} + \beta e^{-\omega} - \gamma\,\text{sin.}\,\omega - \delta\cos.\omega = 0; \] \[ \text{IV.}\ \alpha e^{\omega} - \beta e^{-\omega} - \gamma\cos.\omega + \delta\,\text{sin.}\,\omega = 0. \] Jam ex duabus prioribus colligitur \(\delta = \alpha + \beta\) et \(\gamma = \alpha - \beta\), qui valores in duabus posterioribus substituti praebent: \[ \text{III.}\ \alpha(e^{\omega} - \text{sin.}\,\omega - \cos.\omega) + \beta(e^{-\omega} + \text{sin.}\,\omega - \cos.\omega) = 0; \] \[ \text{IV.}\ \alpha(e^{\omega} + \text{sin.}\,\omega - \cos.\omega) - \beta(e^{-\omega} - \text{sin.}\,\omega - \cos.\omega) = 0; \] unde duplici modo concluditur: \[ \frac{\alpha}{\beta} = \frac{-e^{-\omega} - \text{sin.}\,\omega + \cos.\omega}{e^{\omega} - \text{sin.}\,\omega - \cos.\omega} = \frac{e^{-\omega} - \text{sin.}\,\omega - \cos.\omega}{e^{\omega} + \text{sin.}\,\omega - \cos.\omega}. \] Statuamus hic brevitatis gratia \(\text{sin.}\,\omega + \cos.\omega = p\) et \(\text{sin.}\,\omega - \cos\omega = q\), ut habeamus \[ \frac{-e^{-\omega} - q}{e^{\omega} - p} = \frac{e^{-\omega} - p}{e^{\omega} + q}; \] unde deducitur haec aequatio: \[ -1 - qq - qe^{\omega} - qe^{-\omega} = 1 + pp - pe^{\omega} - pe^{-\omega}, \ \text{sive} \] \[ 2 + pp + qq + (p - q)e^{\omega} + (p - q)e^{-\omega} = 0. \] Cum igitur sit \[ pp + qq = 2 \quad\text{et}\quad p - q = -2\cos\omega, \ \text{erit} \] \[ 2 - \cos\omega(e^{\omega} + e^{-\omega}) = 0 \ \text{hincque} \] \[ \cos\omega = \frac{2}{e^{\omega} + e^{-\omega}}; \] quocirca totum negotium huc est reductum, ut ex ista aequatione valores literae \(\omega\) elicitur, ubi quidem statim apparet, valorem \(\omega = 0\) satisfacere; quia autem hinc oritur \(f = \infty\), hincque etiam \(k\) infinitum, hoc casu virga nullum plane motum concipiet, sed in quiete perseverabit. Pro reliquis autem valoribus, quotcunque fuerint inventi, habebimus « (119) » en haut, au milieu ; le nombre 79 est à l'encre en haut à droite. Les signes des équations sont transcrits tels qu'ils ont été lus, en particulier « \(p - q = -2\cos\omega\) » et les deux « \((p - q)\) » de l'équation qui précède, sans être confrontés au calcul. Le feuillet s'arrête sur « habebimus ».