Corollarium 2.

§. 17. Deinde manifestum est, neque in secundo neque in tertio quadrante reperiri valorem ipsius \omega, quia in his quadrantibus cosinus sunt negativi, formula autem \frac{2}{e^\omega + e^{-\omega}} semper est positiva. At in quarto quadrante, ubi cosinus iterum fiunt positivi, dabitur valor non multum tres angulos rectos superans. Sit igitur \zeta signum anguli recti, sive \zeta = \frac{\pi}{2}, ac ponatur \omega = 3\zeta + \varphi, fietque \cos\omega = \text{sin.}\,\varphi, unde fieri debet \text{sin.}\,\varphi = \frac{2}{e^{3\zeta+\varphi} + e^{-3\zeta-\varphi}}; ubi facile perspicitur, angulum \varphi valde esse parvum, quia numerus e^{3\zeta}, ob 3\zeta = 4{,}71239 et e = 2{,}71828, est satis magnus, scilicet proxime = 111{,}31, pro quo scribamus n. Jam quia \text{sin}\,\varphi = \varphi, proxime, e^\varphi = 1 + \varphi et e^{-\varphi} = 1 = 1 - \varphi nostra aequatio erit \varphi = \frac{2n}{nn(1+\varphi) + 1 - \varphi}, \quad\text{sive}\quad \varphi = \frac{2n}{nn+1} \ \text{proxime}; « e^{-\varphi} = 1 = 1 - \varphi » est écrit ainsi sur le feuillet. La lettre rendue ici par \zeta est un signe bouclé en forme de \zeta, pris pour « signum anguli recti ».

(122)

sumi igitur circiter poterit \varphi = \frac{2}{n} = \frac{1}{56}; unde patet angulum \varphi vix unum gradum superare, ita ut sit \omega = 3\zeta + 1^\circ circiter

Corollarium 3.

§. 18. Progrediamur ad quintum quadrantem, et manifestum est hic iterum dari valorem tantillo minorem quam 5\zeta; defectus enim aliquot minuta prima non excedet. Porro vero sextus et septimus vacui manebunt; in octavo autem reperietur \omega = 7\zeta, tam prope ut excessus sentiri nequeat; sicque valores ulteriores erunt continuo exactius \omega = 9\zeta, \omega = 11\zeta, &c.

Corollarium 4

§. 19. Quod si ergo in primo valore exiguum discrimen unius gradus negligamus, omnes valores anguli \omega erunt 3\zeta, 5\zeta, 7\zeta, 9\zeta, 11\zeta, &c qui secundum numeros impares in infinitum progrediuntur, unde nostra virga infinitos sonos simplices edere poterit, qui sequentibus numeris exprimentur: \frac{9\zeta c\sqrt{2gb}}{2aa};\quad \frac{25\zeta c\sqrt{2gb}}{2aa};\quad \frac{49\zeta c\sqrt{2gb}}{2aa};\quad \frac{81\zeta c\sqrt{2gb}}{2aa};\quad \&c. qui ergo soni secundum numeros, 9. 25, 49, 81 &c. progrediuntur, quorum primus pro fundamentali haberi potest; proximus vero ad hunc rationem tenebit ut 25 : 9, quod intervallum complectitur unam octavam cum tritono. Unde si sonus fundamentalis fuerit b, sequens futurus erit cis, qui ergo sonus simul auditus valde ingratam dissonantiam referat. « cis » est souligné sur le feuillet.

(123)

Scholion 1.

§. 20. Quodsi igitur pro singulis istis valoribus anguli \omega formentur valores ipsius y, eorum quotcunque invicem conjuncti exhibebunt motus, quos nostra virga recipere poterit. Si hoc modo omnes infiniti valores ipsius \omega invicem conjungantur, ac pro quolibet literis C et \zeta generatim quicunque alii valores tribuantur, aequatio obtinebitur generalis, quae omnes plane motus, qui in virga locum habere possunt, in se complectetur. Haec igitur designemus, sequentem habebit formam: \begin{align} y ={}& C\text{sin}\,\Bigl(\zeta + t\,\frac{\omega\omega c\sqrt{2gb}}{aa}\Bigr)\bigl\{e^{u\omega} \mp e^{(1-u)\omega} + (1 \pm e^\omega)\text{sin.}\,u\omega + (1 \mp e^\omega)\cos.u\omega\bigr\}\\ &+ C'\text{sin}\,\Bigl(\zeta + t\,\frac{\omega'\omega'c\sqrt{2gb}}{aa}\Bigr)\bigl\{e^{u\omega'} \mp e^{(1-u)\omega'} + (1 \pm e^{\omega'})\text{sin.}\,u\omega' + (1 \mp e^{\omega'})\cos.u\omega'\bigr\}\\ &+ C''\text{sin}\,\Bigl(\zeta + t.\frac{\omega''\omega''c\sqrt{2gb}}{aa}\Bigr)\bigl\{e^{u\omega''} \mp e^{(1-u)\omega''} + (1 \pm e^{\omega''})\text{sin.}\,u\omega'' + (1 \mp e^{\omega''})\cos.u\omega''\bigr\}\\ &\&c \qquad\qquad \&c \end{align} ubi litera u denotet fractionem \frac{s}{a}, et signa superiora valeant si angulorum \omega, \omega', \omega'' &c sinus fuerint positivi, inferiora vero si fuerint negativi

Scholion 2

§. 21. Quod si sonum fundamentalem, quo est proxime \omega = 3\zeta, et qui continet motum simplicissimum, quo virga contremiscere potest, attentius consideremus, facile colligere licet, curvam, quam virga inter vibrandum induit, axem ad minimum in duobus punctis secare debeat, ita ut quasi duos nodos formet. Si enim axem la fin de « debeat » est reprise à la plume par-dessus d'autres lettres ; le « ut » de « ita ut » est de même surchargé.

(124)

nusquam secaret, dum singula ejus puncta ab axe recedunt, eodem motu continuo ulterius recedere deberent, quia virga a nullis plane viribus coercetur; quod inde etiam perspicuum est quod hoc casu centrum gravitatis virgae immotum esse debeat. Si porro virga in motu suo unicum nodum formaret, circa quem quasi gyraretur, motum semel conceptum gyratorium perpetuo conservare deberet. Hinc igitur patet, virgam inter vibrandum ejusmodi formam eLOMf esse habituram, Tab. II. fig. 6. quae situm naturalem, seu axem EF in duobus punctis L, M secat. Hoc idem vero etiam nostra formula declarat: quia enim angulus \omega hic subito tres angulos rectos superat, anguli u\omega, sive \frac{\omega s}{a}, dum quantitas s usque ad a augetur, angulos referenda 0 usque ad 3\zeta continuo ascendentes, quorum sinus et cosinus interea bis contraria signa recipiunt, unde duobus casibus contingere potest, ut applicata y evanescat. Eodem modo intelligere licet, pro secundo ipsius \omega valore = 5\zeta curvam virgae tres nodos habere debere, pro sequente, \omega = 7\zeta, quatuor, et ita porro. Singuli autem isti nodi sive intersectiones cum axe EF pro quovis valore ipsius \omega ex hac aequatione elici poterunt: e^{u\omega} \mp e^{(1-u)\omega} + (1 \pm e^\omega)\text{sin.}\,\omega u + (1 \mp e^\omega)\cos.\omega u = 0 quippe ex qua valores literae u = \frac{s}{a} ipsos nodos declarabunt. Scilicet literae u, incipiendo a 0, continuo majores tribuantur valores usque ad 1, et casus notentur, quibus ista formula evanescit; si enim quispiam valor jam evadat valde parvus per regulam approximationis « nusquam », au début de la page, est écrit par-dessus un autre mot ; « plane », « patet », « aequatione » et « poterunt » portent des lettres reprises à la plume. « Tab. II. fig. 6. » est dans la marge de gauche, en regard de la ligne qui nomme la figure eLOMf ; aucune planche n'est sur ces vues.

(125)

veri ejus valores facile deteguntur.

Scholion 3

§. 22. Quo haec clarius perspiciantur, casum primum, quo \omega = 3\zeta circiter, ideoque ejus sinus negativus, accuratius perpendamus. Erit igitur, primo factore, constante seu a tempore pendente, omisso: y = \cdots\ e^{u\omega} + e^{\omega(1-u)} + (1 - e^\omega)\text{sin}\,u\omega + (1 + e^\omega)\cos u\omega, cujus valores pro tribus casibus u = 0, u = 1, u = \frac{1}{2} definiamus, ut applicatas non solum pro utroque termino E et F, sed etiam pro puncto medio O, scilicet Ee, Ff, et Oo, obtineamus. Primo igitur, posito u = 0 erit Ee = 2(1 + e^\omega); posito autem u = 1, prodit applicata Ff = e^\omega + 1 + (1 - e^\omega)\text{sin}\,\omega + (1 + e^\omega)\cos.\omega, qui valor, ob \text{sin.}\,\omega = -1 et \cos\omega = \frac{2}{e^\omega + e^{-\omega}}, abit in hunc: Ff = 2(1 + e^\omega), sicque hae duae applicatae Ee et Ff inter se erunt aequales; at pro puncto medio O, ubi fit u = \frac{1}{2}, hincque \text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega = \text{sin.}\,\frac{3}{2}\zeta = \frac{1}{\sqrt{2}} et \cos\frac{\omega}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}, erit applicata Oo = e^{\frac{\omega}{2}} + e^{\frac{\omega}{2}} + \frac{(1 - e^\omega)}{\sqrt{2}} - \frac{(1 + e^\omega)}{\sqrt{2}} = 2e^{\frac{\omega}{2}} - \sqrt{2}.e^\omega, qui valor, ob e^\omega = 111 et e^{\frac{\omega}{2}} = 10\frac{1}{2}, abit in 21 - 111.\sqrt{2}; unde patet, hanc applicatam esse negativam, prorsus uti figura refert. Possumus etiam simili modo positionem tangentium pro his locis exhibere ex formula \Bigl(\frac{dy}{ds}\Bigr) = \cdots\ e^{u\omega} - e^{\omega(1-u)} + (1 - e^\omega)\cos.u\omega - (1 + e^\omega)\text{sin.}\,u\omega, quae formula, posito u = 0, pro termino E praebet: \Bigl(\frac{dy}{ds}\Bigr) = 1 - e^\omega + 1 - e^\omega = 2(1 - e^\omega) = -2(e^\omega - 1); (voyez p. 126 après 128) « O » est souligné. La mention entre parenthèses, en français, est écrite à la fin de la dernière ligne, d'une plume plus fine ; le dernier chiffre de « 128 » a la même forme que le 6 de « 126 » et n'est pas sûr. La page qui suit dans la reliure (vue 167) porte « (128) » et continue le cas II ; la suite du présent calcul, « tum vero, posito u = 1 », est à la page « (126) », vue 168.

(128)

ideoque \frac{\alpha}{\beta}e^{2\omega} = -1, unde fit \frac{\alpha}{\beta} = -e^{-2\omega}. Posteriore vero casu colligitur \frac{\alpha}{\beta} = \frac{-e^{-\omega}\sqrt{2}(e^{2\omega} + e^{-2\omega}) + 2e^{-\omega}}{e^\omega\sqrt{2}(e^{2\omega} + e^{-2\omega}) - 2e^\omega} = \frac{-1}{e^{2\omega}} = -e^{-\omega}. Utroque ergo casu, sive sinus et cosinus anguli \omega sint ambo positivi, sive ambo negativi, pro fractione \frac{\alpha}{\beta} idem valor obtinetur. Quare si ponatur \alpha = 1, erit \beta = -e^{2\omega}, hincque \gamma = 1 + e^{2\omega} et \delta = 1 - e^{2\omega}; quibus valoribus inventis aequatio pro motu virgae, si iterum loco \frac{s}{a} scribamus u, erit haec y = C\text{sin}\,\Bigl(\zeta + t\sqrt{\frac{2g}{k}}\Bigr)\bigl\{e^{u\omega} - e^{\omega(2-u)} + (1 + e^{2\omega})\text{sin.}\,u\omega + (1 - e^\omega)\cos.u\omega\bigr\}. au dernier membre de la fraction, « -e^{-\omega} », et au dernier terme de l'équation, « (1 - e^\omega) », l'exposant est écrit sans le 2 que portent les lignes précédentes (-e^{-2\omega}, \delta = 1 - e^{2\omega}) ; transcrit tel quel.

Quicunque autem valores pro angulo \omega ex aequatione \operatorname{tang}\omega = \frac{e^\omega - e^{-\omega}}{e^\omega + e^{-\omega}} eruentur, ex singulis habetur f = \frac{a}{\omega}, \ \text{hincque}\ f^4 = \frac{a^4}{\omega^4} = bcck, \ \text{unde fit} k = \frac{a^4}{bcc\omega^4} \ \text{et}\ \sqrt{\frac{2g}{k}} = \frac{\omega\omega c\sqrt{2gb}}{aa}, hincque porro ut ante tempus unius oscillationis erit: \pi\sqrt{\frac{k}{2g}} = \frac{\pi aa}{\omega\omega c\sqrt{2gb}}, et sonus a virga elastica editus = \frac{\omega\omega c\sqrt{2gb}}{\pi aa}. Totum ergo negotium huc est reductum, ut ex aequatione \operatorname{tang}.\omega = \frac{e^\omega - e^{-\omega}}{e^\omega + e^{-\omega}} omnes valores anguli \omega eruantur; ubi quidem statim liquet, valorem \omega = 0 satisfacere, unde autem nullus motus sequitur; quare pro reliquis valoribus singulos quadrantes percurramus. Pro primo igitur quadrante per series habebimus:

(126)

tum vero, posito u = 1, pro termino F erit \Bigl(\frac{dy}{ds}\Bigr) = e^\omega - 1 + (1 - e^\omega)\cos.\omega - (1 + e^\omega)\text{sin.}\,\omega, qui valor, ob \cos.\omega = -1 et \text{sin.}\,\omega = \frac{2}{e^\omega} rejecto termino e^{-\omega}, ut pote minimo, reducitur ad \bigl(\frac{dy}{ds}\bigr) = 2(e^\omega - 1); unde patet angulos EeL et FfM esse inter se aequales. Pro puncto autem medio O, ubi u = \frac{1}{2}, prodit \Bigl(\frac{dy}{ds}\Bigr) = (1 - e^\omega)\cos\tfrac{1}{2}\omega - (1 + e^\omega)\text{sin.}\,\tfrac{1}{2}\omega = -\sqrt{2}, qui valor, si calculus accuratius institueretur, prodiret = 0, ita ut tangens in puncto o axi sit parallela. Simili prorsus modo etiam sequentes casus, ubi \omega = 5\zeta vel 7\zeta vel 9\zeta expendere licebit. dans la première formule, le \omega de « \cos.\omega » est repris à la plume.

Evolutio casus II quo alter terminus liber relinquitur, alter vero, circa stylum mobilis figitur

Problema

§. 23. Si virga elastica in termino E fuerit libera, in altero vero F stylo affixa, circa quem tamen libere moveri possit, investigare omnes vibrationes regulares, quibus ea contremiscere potest.

Solutio

Quia ergo pro termino E, ubi s = 0, ut ante est \bigl(\frac{ddy}{ds^2}\bigr) = 0 et \bigl(\frac{d^3y}{ds^3}\bigr) = 0, erit etiam ut ante \alpha + \beta - \delta = 0 et \alpha - \beta - \gamma = 0, unde fit \gamma = \alpha - \beta et \delta = \alpha + \beta. Pro altero termino simpliciter fixo, ubi s = a, posito

(127)

iterum \frac{a}{f} = \omega, primo debet esse y = 0, tum vero etiam \bigl(\frac{ddy}{ds^2}\bigr) = 0. Prior conditio dat \alpha e^\omega + \beta e^{-\omega} + \gamma\text{sin.}\,\omega + \delta\cos.\omega = 0 posterior vero \alpha e^\omega + \beta e^{-\omega} - \gamma\text{sin.}\,\omega - \delta\cos.\omega = 0 quae aequationes, loco \gamma et \delta substitutis valoribus, abeunt in sequentes: \alpha(e^\omega + \text{sin.}\,\omega + \cos.\omega) + \beta(e^{-\omega} - \text{sin.}\,\omega + \cos.\omega) = 0 \quad\text{et} \alpha(e^\omega - \text{sin.}\,\omega - \cos.\omega) + \beta(e^{-\omega} + \text{sin.}\,\omega - \cos.\omega) = 0; unde geminus valor oritur \frac{\alpha}{\beta} = -\frac{(e^{-\omega} - \text{sin}\,\omega + \cos.\omega)}{e^\omega + \text{sin}\,\omega + \cos.\omega} = -\frac{(e^{-\omega} + \text{sin.}\,\omega - \cos.\omega)}{e^\omega - \text{sin.}\,\omega - \cos.\omega}. Ponatur iterum \text{sin.}\,\omega + \cos.\omega = p et \text{sin}\,\omega - \cos.\omega = q, ut sit \frac{-e^{-\omega} + q}{e^\omega + p} = \frac{-e^{-\omega} - q}{e^\omega \uncertain{+} p}, unde colligitur haec aequatio: -1 + pe^{-\omega} + qe^\omega - pq = -1 - qe^\omega - pe^{-\omega} - pq sive pe^{-\omega} + qe^\omega = 0, unde concluditur \operatorname{tang}.\omega = \frac{e^\omega - e^{-\omega}}{e^\omega + e^{-\omega}} quocirca habebimus, vel \text{sin}\,\omega = \frac{e^\omega - e^{-\omega}}{\sqrt{2}(e^{2\omega} + e^{-2\omega})} \quad\text{et}\quad \cos.\omega = \frac{e^\omega + e^{-\omega}}{\sqrt{2}(e^{2\omega} + e^{-2\omega})}, \ \text{vel} \text{sin.}\,\omega = \frac{-e^\omega + e^{-\omega}}{\sqrt{2}(e^{2\omega} + e^{-2\omega})} \quad\text{et}\quad \cos.\omega = \frac{-e^\omega - e^{-\omega}}{\sqrt{2}(e^{2\omega} + e^{-2\omega})}. ex prioribus valoribus colligitur \frac{\alpha}{\beta} = \frac{-e^{-\omega}\sqrt{2}(e^{2\omega} + e^{-2\omega}) - 2e^{-\omega}}{e^\omega\sqrt{2}(e^{2\omega} + e^{-2\omega}) + 2e^\omega} au second dénominateur de la proportion, le signe devant p ressemble à un « + », comme au premier, alors que la ligne précédente donne e^\omega - \text{sin.}\,\omega - \cos.\omega. Le radical des valeurs de \text{sin.}\,\omega et \cos.\omega est transcrit \sqrt{2}(\ldots) : on ne voit pas sur la vue s'il couvre la parenthèse.

(129)

\text{sin}\,\omega\,(e^\omega + e^{-\omega}) = 2\omega\Bigl(1 + \frac{1}{3}\omega\omega - \frac{1}{30}\omega^4\Bigr) \quad\text{et} \cos.\omega\,(e^\omega - e^{-\omega}) = 2\omega\Bigl(1 - \frac{1}{3}\omega\omega - \frac{1}{30}\omega^4\Bigr); unde patet, priorem formulam per totum primum quadrantem majorem esse quam posteriorem, ita ut in hoc quadrante nullus reperiatur valor pro angulo \omega. In secundo autem quadrante, ubi omnes tangentes sunt negativi, nullus iterum dari potest, neque etiam in quarto, sexto, octavo et omnibus paribus. Reliquos quadrantes in corollariis percurramus. « unde » et « esse », en tête de deux lignes, sont d'une écriture plus petite ; le « In » de « In secundo » est écrit sur une autre lettre.

Corollarium 1.

§. 24. Consideremus igitur tertium quadrantem, ubi cum sit \omega majus quam \pi, formula \frac{e^\omega - e^{-\omega}}{e^\omega + e^{-\omega}} parum ab unitate deficiet, unde angulus \omega aliquando minor erit quam \pi + 45^\circ. Hinc sumto iterum \zeta pro signo anguli recti statuamus \omega = \pi + \frac{1}{2}\zeta - \varphi, eritque \operatorname{tang}\omega = \operatorname{tang}\bigl(\tfrac{1}{2}\zeta - \varphi\bigr) = \frac{1 - \operatorname{tang}\varphi}{1 + \operatorname{tang}.\varphi}. Cum igitur sit \frac{1 - \operatorname{tang}\varphi}{1 + \operatorname{tang}\varphi} = \frac{e^\omega - e^{-\omega}}{e^\omega + e^{-\omega}} = \frac{1 - e^{-2\omega}}{1 + e^{-2\omega}}, hinc, manifesto est \operatorname{tang}\varphi = e^{-2\omega} = \frac{1}{e^{2\pi + \zeta - 2\varphi}}, in quo exponente angulum exiguum \varphi negligere licet, ita ut subducto calculo reperiatur \operatorname{tang}\varphi = \frac{1}{2576}; sicque angulus \varphi vix unum minutum superat, in quod tuto negligi potest ita ut primus valor sit \omega = \pi + \frac{1}{2}\zeta = 225^\circ, cujus tam sinus quam cosinus est = -\frac{1}{\sqrt{2}}.

(130)

Corollarium 2

§. 25. Pergamus igitur ad quartum quadrantem, ubi angulus \omega multo minus discrepabit a 2\pi + 45^\circ. Hic autem tam sinus quam cosinus erit = +\frac{1}{\sqrt{2}}. Simili modo ex septimo quadrante nanciscimur \omega = 3\pi + \frac{1}{2}\zeta, tam sinu quam cosinu existente = -\frac{1}{\sqrt{2}}; nonus vero quadrans suppeditat \omega = 4\pi + \frac{1}{2}\zeta; undecimus \omega = 5\pi + \frac{1}{2}\zeta, et ita porro. « quartum » est bien ce que porte le feuillet ; l'angle voisin de 2\pi + 45^\circ appartient au cinquième quadrant.

Corollarium 3.

§. 26. Cum igitur sit \zeta = \frac{\pi}{4}, omnes valores pro angulo \omega hactenus inventi sequenti modo progrediuntur: 1^{\text{dus}}\ \omega = \frac{5\pi}{4};\quad 2^{\text{dus}}\ \omega = \frac{9\pi}{4};\quad 3^{\text{dus}}\ \omega = \frac{13\pi}{4};\quad 4^{\text{dus}}\ \omega = \frac{17\pi}{4};\ \&c. unde omnes soni simplices, quos ista virga edere potest, sequentibus numeris exprimentur: \frac{25\pi c\sqrt{2gb}}{16aa};\quad \frac{81\pi c\sqrt{2gb}}{16aa};\quad \frac{169\pi c\sqrt{2gb}}{16aa};\quad \frac{289\pi c\sqrt{2gb}}{16aa}; quorum primus fundamentalis censetur; unde si secundus simul exaudiatur, erit primus ad secundum ut 25 ad 81 hoc est ut 1 : 3\frac{6}{25}, seu proxime ut 1 : 3\frac{1}{4}. Ergo si sonus fundamentalis fuerit C, sequens erit gis, quem tamen sonum uno commate superabit, sicque harmonia parum grata existet « \zeta = \frac{\pi}{4} » est écrit ainsi, alors que \zeta désigne depuis le § 16 l'angle droit, \frac{\pi}{2}.

Corollarium 4

§. 27. Cum hic sonus fundamentalis, seu gravissimus, quem virga

(131)

haec edere potest sit = \frac{25\pi c\sqrt{2gb}}{16aa}, casu autem primo, quo uterque terminus erat liber, sonus fundamentalis repertus fuerit \frac{9\zeta c\sqrt{2gb}}{2aa} = \frac{9\pi c\sqrt{2gb}}{4aa}, ille se habebit ad hunc ut 25 : 36, ita ut casu primo eadem virga sonum edat fere una quinta acutiorem. Scilicet si sonus casu primo editus fuerit g, tum sonus secundo casu editus erit gravior cis, quod intervallum a musicis falsa quinta appellatur. Hic igitur utique notari meretur, quod si virga utrinque libera edat sonum g tum eadem virga altero termino simpliciter fixa subito editura sit sonum graviorem cis, id quod experientia facile comprobari potest « cis » est souligné les deux fois ; « g » ne l'est pas sur le feuillet et n'est mis en italique ici que comme nom de note. Le « r » de « graviorem » est repris à la plume.

Scholion. 1

§. 28. Inventis igitur omnibus valoribus anguli \omega, quos designemus per \omega', \omega'', \omega''', \omega'''' &c. omnes motus irregulares, quos nostra virga edere potest, per combinationem generalissimam formularum ex his valoribus natarum in sequenti expressione continebuntur: \begin{align} y ={}& C\text{sin}\,\Bigl(\zeta + t\,\frac{\omega\omega c\sqrt{2gb}}{aa}\Bigr)\bigl\{e^{u\omega} - e^{\omega(2-u)} + (1 + e^{2\omega})\text{sin.}\,u\omega + (1 - e^{2\omega})\cos.u\omega\bigr\}\\ &+ C'\text{sin}\,\Bigl(\zeta' + t\,\frac{\omega'\omega'c\sqrt{2gb}}{aa}\Bigr)\bigl\{e^{u\omega'} - e^{\omega'(2-u)} + (1 + e^{2\omega'})\text{sin.}\,u\omega' + (1 - e^{2\omega''})\cos.u\omega'\bigr\}\\ &+ C''\text{sin}\,\Bigl(\zeta'' + t\,\frac{\omega''\omega''c\sqrt{2gb}}{aa}\Bigr)\bigl\{e^{u\omega''} - e^{\omega''(2-u)} + (1 + e^{2\omega''})\text{sin.}\,u\omega'' + (1 - e^{2\omega''})\cos.u\omega''\bigr\} \end{align} à la deuxième ligne, l'exposant du dernier terme porte \omega'' là où les autres termes de la ligne portent \omega' ; transcrit tel quel. À la première ligne, « cos » est écrit par-dessus un autre mot.

Scholion 2.

§. 29. Examinemus etiam figuram, quam virga induet dum sonum

(132)

principalem purum reddit. Hunc in finem evolvamus expressionem pro applicata y inventam, neglecto iterum factore constante seu a tempore pendente, atque habebimus y = 1(e^{u\omega} + \text{sin.}\,u\omega + \cos.u\omega) - e^{2\omega}(e^{-u\omega} - \text{sin.}\,u\omega + \cos.u\omega), ubi jam vidimus, ob \omega = \frac{5\pi}{4} esse e^{2\omega} = 2576; tum vero loco u sumamus successive sequentes valores: u = 0, u = \frac{1}{5}, u = \frac{2}{5}, u = \frac{3}{5}, u = \frac{4}{5}, u = 1, ubi pro postremo casu jam novimus esse y = 0.

I. Sit igitur u = 0, sive s = 0, eritque y = 2 - 2e^{2\omega} = -5150, quae ergo est applicata pro termino E.

II. Sit u = \frac{1}{5} sive s = \frac{1}{5}a, erit y = (e^{\frac{1}{5}\omega} + \text{sin.}\,\tfrac{1}{5}\omega + \cos.\tfrac{1}{5}\omega) - e^{2\omega}(e^{-\frac{1}{5}\omega} - \text{sin.}\,\tfrac{1}{5}\omega + \cos.\tfrac{1}{5}\omega). Hic autem ob \omega = \frac{5\pi}{4} erit \tfrac{1}{5}\omega = \frac{\pi}{4} = 45^\circ \ \text{et}\ e^{\frac{1}{5}\omega} = 2{,}1933 \ \text{et}\quad e^{-\frac{1}{5}\omega} = 0{,}4559, hincque fiet y = 3{,}6075 - 2576.0{,}4559 = -1171.

III. Sit u = \frac{2}{5} seu s = \frac{2}{5}a erit y = (e^{\frac{2\omega}{5}} + \text{sin.}\,\tfrac{2}{5}\omega + \cos.\tfrac{2}{5}\omega) - e^{2\omega}(e^{-\frac{2\omega}{5}} - \text{sin.}\,\tfrac{2}{5}\omega + \cos.\tfrac{2}{5}\omega). Jam ob \omega = \frac{5\pi}{4}, erit \frac{2}{5}\omega = \frac{1}{2}\pi = 90^\circ et e^{\frac{2\omega}{5}} = 4{,}8104 \ \text{et}\ e^{-\frac{2\omega}{5}} = 0{,}20791 « (132) » en haut, au milieu ; pas de nombre à l'encre. « principalem purum reddit » achève la phrase de la vue 172, « dum sonum ». « Hunc in finem » est suivi d'un trait vertical ; « cos » du premier membre de la formule III est surchargé. Dans « Jam ob \omega », un trait vertical sépare « ob » de \omega. Dans cette main le chiffre 3 a la forme d'un 9 : « \frac{3}{5} », « 2,1933 » et « 3,6075 » sont lus ainsi d'après le calcul qu'ils servent, la forme seule donnant « \frac{9}{5} », « 2,1999 » et « 9,6075 ».

(133)

hincque colligitur: y = 5{,}8104 + 2576.0{,}7921 = 0{,}2079. le résultat est écrit « 0,2079 », que le produit 2576 \times 0{,}7921 ne donne pas ; transcrit tel quel.

IV. Sit nunc u = \frac{3}{5}, s = \frac{3}{5}a, eritque y = (e^{\frac{3}{5}\omega} + \text{sin.}\tfrac{3}{5}\omega + \cos.\tfrac{3}{5}\omega) - e^{2\omega}(e^{-\frac{3}{5}\omega} - \text{sin.}\tfrac{3}{5}\omega + \cos.\tfrac{3}{5}\omega), ubi est \tfrac{3}{5}\omega = \tfrac{3}{4}\pi = 135^\circ, \ \text{ideoque} e^{\frac{3}{5}\omega} = 10{,}550 \ \text{et}\ e^{-\frac{3}{5}\omega} = 0{,}0948, \ \text{hincque erit} \struck{y = 10{,}550 \ \text{et}\ e^{-\frac{3}{5}\omega} = \ldots} y = 10{,}550 + 2576.1{,}3194 = 3387.

V. Sit nunc u = \frac{4}{5}, seu s = \frac{4}{5}\omega, ac fiet y = (e^{\frac{4}{5}\omega} + \text{sin.}\tfrac{4}{5}\omega + \cos.\tfrac{4}{5}\omega) - e^{2\omega}(e^{-\frac{4}{5}\omega} - \text{sin.}\tfrac{4}{5}\omega + \cos.\tfrac{4}{5}\omega) et ob \tfrac{3}{5}\omega = \pi = 180^\circ\ e^{\frac{4}{5}\omega} = 23{,}140 \ \text{et}\ e^{-\frac{4}{5}\omega} = 0{,}0432 erit y = 22{,}140 + 2576.0{,}9568 = 2487. Talis igitur forma quam virga inter vibrandum recipiet in tabula (fig. 7) exhibebitur exhibetur, ubi neminem offendat magnitudo applicatarum, quippe quae per numerum quempiam praegrandem divisae sunt intelligendae. Haec ergo curva non nisi unicum habet nodum in puncto O, unde satis concludere licet, sequentem curvam, quae ex valore \omega = \frac{9\pi}{2} nascitur, habituram esse duos nodos, sequentem tres, et ita porro. Tab. II. fig. 7 « (133) » en haut, au milieu ; le nombre 86 est à l'encre en haut à droite. La ligne biffée sous « hincque erit » est barrée d'un trait continu et son dernier membre ne se lit pas sous la rature ; elle reprend la ligne précédente. Au V, « s = \frac{4}{5}\omega » et « \frac{3}{5}\omega = \pi » sont écrits ainsi, là où le calcul demande \frac{4}{5}a et \frac{4}{5}\omega. Dans cette main le 3 est un petit chiffre sans hampe, le 9 a une longue queue : « 3387 », « 23,140 » et « 0,0432 » sont lus d'après cette distinction. « \omega = \frac{9\pi}{2} » est écrit ainsi, alors que le § 26 (vue 171) donne pour second valeur \frac{9\pi}{4}. « Tab. II. fig. 7 » est dans la marge de droite, en regard de « recipiet ».

(134)

Evolutio casus III. quo alter terminus liber, alter vero muro firmiter infixus statuitur

Problema

§. 30. Si virga elastica in termino E fuerit libera, in altero autem termino F quasi muro infixa, investigare omnes vibrationes regulares, quibus ea contremiscere potest.

Solutio.

Conditio ad terminum E pertinens statim nobis praebet ut ante \gamma = \alpha - \beta et \delta = \alpha + \beta; tum vero, posito s = a factoque \frac{a}{f} = \omega, debet esse tam y = 0, quam \bigl(\frac{dy}{ds}\bigr) = 0; unde istas deducimus aequationes: \alpha e^\omega + \beta e^{-\omega} + \gamma\,\text{sin.}\,\omega + \delta\cos.\omega = 0 \quad\text{et} \alpha e^\omega - \beta e^{-\omega} + \gamma\cos.\omega - \delta\,\text{sin.}\,\omega = 0, in quibus si loco \gamma et \delta valores inventi substituantur, prodibunt sequentes: \alpha(e^\omega + \text{sin.}\,\omega + \cos.\omega) + \beta(e^{-\omega} - \text{sin.}\,\omega + \cos.\omega) = 0 \quad\text{et} \alpha(e^\omega + \cos.\omega - \text{sin.}\,\omega) - \beta(e^{-\omega} + \cos.\omega + \text{sin.}\,\omega) = 0, hincque duplici modo elicitur \frac{\alpha}{\beta} = \frac{-e^{-\omega} + \text{sin.}\,\omega - \cos.\omega}{e^\omega + \text{sin.}\,\omega + \cos.\omega} = \frac{e^{-\omega} + \cos.\omega + \text{sin.}\,\omega}{e^\omega + \cos.\omega - \text{sin.}\,\omega}. Ponatur iterum, uti hactenus fecimus, \text{sin.}\,\omega + \cos\omega = p et \text{sin.}\,\omega - \cos.\omega = q, ut habeamus \frac{-e^{-\omega} + q}{e^\omega + p} = \frac{e^{-\omega} + p}{e^\omega - q}, « (134) » en haut, au milieu ; pas de nombre à l'encre. « Evolutio casus III. » et « Problema » sont soulignés, et un trait sépare le titre du problème ; « Solutio. » est souligné. « terminus » est écrit « terminos ». Dans la quatrième équation, le signe devant \beta est un « - » très appuyé, peut-être écrit sur un « + » ; dans la première, un point est porté entre « + » et \gamma. Au début de la dernière ligne de texte, « sin. » est écrit par-dessus un autre mot.

(135)

cujus aequationis resolutio praebet 2 + (p - q)(e^\omega + e^{-\omega}) + pp + qq = 0, unde ob pp + qq = 2 \quad\text{et}\quad p - q = 2\cos.\omega \ \text{reperitur} \cos.\omega = \frac{-2}{e^\omega + e^{-\omega}}, unde patet cosinum anguli \omega semper fore negativum, ideoque angulum \omega in quadrantibus secundo et tertio, item sexto et septimo, item decimo et undecimo, &c. quaeri debere. Ex cognito autem cosinu \omega concluditur vel \text{sin.}\,\omega = \frac{e^\omega - e^{-\omega}}{e^\omega + e^{-\omega}} \quad\text{vel}\quad \text{sin.}\,\omega = \frac{-e^\omega + e^{-\omega}}{e^\omega + e^{-\omega}}, quos duos casus sollicite a se invicem distingui oportet. At ex priore casu colligitur: \frac{\alpha}{\beta} = \frac{1 - e^{-2\omega} + e^\omega - e^{-\omega}}{-1 + e^{2\omega} + e^\omega - e^{-\omega}} = \frac{1}{e^\omega}; ex altero autem valore ipsius \text{sin.}\,\omega colligitur \frac{\alpha}{\beta} = -\frac{1}{e^\omega}. Rite igitur his casibus combinandis impetrabimus sequentes valores: \alpha = 1, \quad \beta = \pm e^\omega, \quad \gamma = 1 \mp e^\omega \ \text{et}\ \delta = 1 \pm e^\omega, quibus substitutis aequatio pro hoc motu simplici erit y = C\,\text{sin}\Bigl(\zeta + t\frac{\sqrt{2g}}{k}\Bigr).\bigl\{e^{u\omega} \pm e^{\omega(1-u)} + (1 \mp e^\omega)\,\text{sin.}\,u\omega + (1 \pm e^\omega)\cos.u\omega\bigr\} ubi, ut hactenus, denotat u fractionem \frac{s}{a}, denique erit ut ante f = \frac{a}{\omega}, \quad k = \frac{a^4}{bc\omega^4}, \quad \sqrt{\frac{2g}{k}} = \frac{\omega\omega\sqrt{2gb}}{aa}, « (135) » en haut, au milieu ; le nombre 87 est à l'encre en haut à droite. Le second « sin. » des deux valeurs du sinus est écrit par-dessus un mot empâté. Le dénominateur de k est lu « bc\omega^4 » et le numérateur de la dernière fraction « \omega\omega\sqrt{2gb} », sans le c que portent ces formules aux vues 161 et 167 ; le numérateur de « \sqrt{\frac{2g}{k}} » sous le radical n'est pas sûr. « fractionem » est écrit sur un autre mot.

(136)

tempus unius oscillationis = \frac{\pi aa}{\omega\omega c\sqrt{2gb}} et sonus editus = \frac{\omega\omega c\sqrt{2gb}}{\pi aa}. Valores anguli \omega in corollariis investigabimus.

Corollarium I.

§. 31. Pro secundo quadrante ponamus \omega = \zeta + \varphi, ubi \zeta iterum est character anguli recti, eritque \cos\omega = -\text{sin.}\,\varphi, ita ut esse debeat \text{sin.}\,\varphi = \frac{2}{e^\omega + e^{-\omega}} = \frac{2}{e^{\zeta + \varphi} + e^{-\zeta - \varphi}}, unde fieri debet e^{\zeta + \varphi}\,\text{sin.}\,\varphi + e^{-\zeta - \varphi}\,\text{sin.}\,\varphi = 2 est vero per series e^{\zeta + \varphi} = e^\zeta\bigl(1 + \varphi + \tfrac{1}{2}\varphi\varphi + \tfrac{1}{6}\varphi^3\bigr) \quad\text{et} e^{-\zeta - \varphi} = e^{-\zeta}\bigl(1 - \varphi + \tfrac{1}{2}\varphi\varphi - \tfrac{1}{6}\varphi^3\bigr); quare cum sit \text{sin.}\,\varphi = \varphi - \frac{1}{6}\varphi^3, erit e^\zeta\bigl(\varphi + \varphi\varphi + \tfrac{1}{3}\varphi^3\bigr) + e^{-\zeta}\bigl(\varphi - \varphi\varphi + \tfrac{1}{3}\varphi^3\bigr) = 2. Hinc si altiores ipsius \varphi potestates negligantur, erit \varphi = \frac{2}{e^\zeta + e^{-\zeta}}; \ \text{ubi notetur esse} e^\zeta = e^{\frac{1}{2}\pi} = 4{,}8104 \ \text{et}\ e^{-\zeta} = 0{,}2079, ita ut sit \text{sin}\,\varphi = \frac{2}{5{,}0183} = \frac{1}{2{,}5091}, \ \text{hinc}\ \varphi = 23^\circ, 29'. Cum igitur sit \varphi = 0{,}3985, admittamus etiam potestatem \varphi\varphi, ejusque loco scribamus 0{,}3985^2, quo facto erit \varphi = \frac{2}{e^\zeta 1{,}3985 + e^{-\zeta}0{,}6015} = \frac{2}{6{,}8524} = \frac{1}{3{,}4262}, « (136) » en haut, au milieu ; pas de nombre à l'encre. « Corollarium I. » est souligné, ainsi que la lettre de l'angle droit dans « ubi \zeta iterum ». Les nombres où entre le chiffre 3 (« 0,3985 », « 1,3985 », « 3,4262 », « 23° ») sont lus d'après la distinction du 3 et du 9 dite en tête du fichier.

(137)

unde fit \varphi = 16^\circ, 58'. Hic autem angulus adhuc minor prodiret, si etiam cubi \varphi^3 rationem haberemus: interim tamen haec methodus nimis est incerta, ut tantum vero proxime angulum \varphi elicere queamus, unde aliam methodum ingredi convenit.

Corollarium 2.

§. 32. Quando angulus \varphi, jam propemodum est cognitus, convertatur is in minuta secunda, quorum numerus sit n; hinc quaeratur idem arcus \varphi in partibus radii, et cum sit \pi = 180^\circ = 648000'', fiat ut 648000 : \pi, ita n'' ad arcum, qui sit = m, eritque m = \frac{n\pi}{648000}, hincque lm = ln - 5{,}3144251, sive lm = ln + 4{,}6855749; tum igitur erit \varphi = m, et esse oportet \text{sin}\,\varphi = \frac{2}{e^{\zeta + m} + e^{-\zeta - m}}. Hinc jam pro libitu sumatur aliquis valor pro \varphi, multum a veritate abludens, verbi gratia \varphi = 12^\circ, eritque n = 43200'', unde reperitur m = 0{,}20944. Cum ergo sit \zeta = \frac{\pi}{2} = 1{,}57079, \ \text{erit}\ \zeta + m = 1{,}78023, \ \text{hinc} le^{\zeta + m} = 1{,}78023 \times 0{,}43429 = 0{,}77314, sicque erit e^{\zeta + m} = 5{,}9312 \ \text{et}\ e^{-\zeta - m} = 0{,}1686; quocirca deberet esse \text{sin}.\,12^\circ = \frac{2}{6{,}0998} = \frac{1}{3{,}0499}; est vero l\,\text{sin}.\,12^\circ = 9{,}31788 \ \text{et}\ l.\frac{1}{3{,}0499} = 9{,}51572, qui posterior logarithmus quia nimis est magnus, signum est angulum \varphi « (137) » en haut, au milieu ; le nombre 88 est à l'encre en haut à droite. « Corollarium 2. » est souligné, ainsi que « n » et le « \pi » de la proportion. Dans « l\,\text{sin}.\,12^\circ », le « 12 » est repris à la plume. « l » note le logarithme. Les nombres où entre le chiffre 3 sont lus d'après la distinction du 3 et du 9 dite en tête du fichier ; tous se vérifient par le calcul qu'ils servent. La page s'arrête sur « angulum \varphi ».

(138)

majorem accipi debere. Medium hos duos valores praebet \varphi = 15^\circ = \frac{\pi}{12}, unde statim colligitur m = 0{,}26180, \ \text{hinc}\ \zeta + m = 1{,}83259 \ \text{et} le^{\zeta + m} = 1{,}83256.0{,}43429 = 0{,}79405, \ \text{ergo} e^{\zeta + m} = 6{,}22980 \ \text{et}\ e^{-\zeta - m} = 0{,}16067, consequenter \text{sin}.\,15^\circ = \frac{2}{6{,}38447} = \frac{1}{3{,}19223}; \ \text{est vero} l.\,\text{sin}.\,15^\circ = 9{,}412996 \ \text{et}\ l\frac{1}{3{,}19223} = 495905. Si ergo pro \text{sin}\,\varphi, medium inter hos valores accipiamus, reperietur \varphi = 16^\circ.33. Quia igitur superius medium erat nimis parvum, etiam hoc erit aliquantillo nimis parvum, unde satis tuto concludimus fore \varphi = 16^\circ.45', id quod pro nostro instituto sufficit, eritque ergo \omega = \zeta + 16^\circ.45' = 106^\circ.45'. sive erit proxime \omega = \frac{3}{5}\pi, ita ut sonus hinc oriendus prodeat = \frac{9\pi c\sqrt{2gb}}{25aa}, qui est fundamentalis pro hoc casu, et se habet ad fundamentalem casus primi ut \frac{9}{25} ad \frac{9}{4}, hoc est ut 4 ad 25 ut 1 ad 6\frac{1}{4}, ita ut iste sonus sit fere duabus octavis cum semisse gravior quam primo casu; unde si sonus iste fuerit C, sonus primi casus fit gis, sonus autem secundi casus d. Hunc autem motum figura octava repraesentat. Tab. II fig. 8

Corollarium 3.

§. 33. In tertio quadrante reperiemus secundum sonum, ponendo \omega = 3\zeta - \varphi, unde fit « (138) » en haut, au milieu ; pas de nombre à l'encre. Un trait vertical sépare « hos » de « duos ». Le premier facteur du produit est écrit « 1,83256 », une ligne après « 1,83259 » ; le second logarithme est écrit « 495905 », sans caractéristique. Les nombres où entre le chiffre 3 sont lus d'après la distinction du 3 et du 9 dite en tête du fichier : « \frac{3}{5}\pi » (108^\circ) et « 9π » au numérateur du son s'accordent avec le calcul. « gis » et « d » sont soulignés, ainsi que « Corollarium 3. » ; « Tab. II fig. 8 » est dans la marge de gauche, en regard des deux lignes qui nomment les sons. Dans « repraesentat », « ae » est repris à la plume.

(139) \text{sin}.\,\varphi = \frac{2}{e^{3\zeta - \varphi} + e^{-3\zeta + \varphi}}, et quia angulus \varphi negligi potest, hinc sequitur, uti supra §. 17, angulum \varphi vix unum gradum superare, ita ut pro nostro instituto, penitus negligi queat. Sequentes vero valores ipsius \omega erunt 5\zeta, 7\zeta, 9\zeta &c. ita ut soni ex omnibus his valoribus oriundi sint: \frac{9\pi c\sqrt{2gb}}{4aa}, \quad \frac{25\pi c\sqrt{2gb}}{4aa}, \quad \frac{49\pi c\sqrt{2gb}}{4aa}, \quad \frac{81\pi c\sqrt{2gb}}{4aa}\ \&c. unde patet, post sonum fundamentalem sequentes omnes prorsus convenire cum iis, quos eadem virga casu primo edebat.

Scholion

§. 34. Quodsi jam omnes valores anguli \omega designentur per \omega, \omega', \omega'', \omega''' &c. et loco \frac{s}{a} scribamus u, aequatio generalis, omnes plane sonos seu motus mixtos complectens, erit \begin{align} y ={}& C\,\text{sin}\Bigl(\zeta + t\,\frac{\omega\omega c\sqrt{2gb}}{aa}\Bigr)\bigl\{e^{u\omega} \pm e^{\omega(1-u)} + (1 \mp e^\omega)\,\text{sin.}\,u\omega + (1 \pm e^\omega)\cos.u\omega\bigr\}\\ &+ C'\,\text{sin}\Bigl(\zeta' + t\,\frac{\omega'\omega'c\sqrt{2gb}}{aa}\Bigr)\bigl\{e^{u\omega'} \pm e^{\omega'(1-u)} + (1 \mp e^{\omega'})\,\text{sin.}\,u\omega' + (1 \pm e^{\omega'})\cos u\omega'\bigr\}\\ &+ C''\,\text{sin}\Bigl(\zeta'' + t\,\frac{\omega''\omega''c\sqrt{2gb}}{aa}\Bigr)\bigl\{e^{u\omega''} \pm e^{\omega''(1-u)} + (1 \mp e^{\omega''})\,\text{sin.}\,u\omega'' + (1 \pm e^{\omega''})\cos.u\omega''\bigr\}\\ &\&c. \qquad \&c. \qquad \&c. \end{align} ubi signorum ambiguorum superiora valent pro iis angulis \omega, \omega', \omega'', quorum sinus sunt positivi, inferiora autem pro negativis. « (139) » en haut, au milieu ; le nombre 89 est à l'encre en haut à droite. Un trait vertical précède « et quia ». « Scholion » est souligné, et suivi d'un trait ; « u » est souligné. Le « s » final de « positivis » est repris à la plume. La page s'arrête sur « negativis », au bas du lot.