Manuscrits de Sophie Germain, Français 9115, vues 181–200

Numérotation des feuillets. La copie latine porte en tête de chaque page, au milieu, un nombre entre parenthèses, de (140) à (156), qui semble reporter la page de l'imprimé copié : c'est une inférence ; à la vue 189, le dernier chiffre de « (14…) » est sous une tache d'encre et n'est pas lu. La série à l'encre des lots précédents se poursuit en haut à droite des pages de numéro impair : 90 (vue 182), 91 (184), 92 (186), 93 (188), 94 (190), 95 (193), 96 (195), 97 (199). Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Aucune foliotation au crayon de la Bibliothèque n'a été lue sur ces vues, et aucun « f. » n'est donc porté ici. Les vues 191, 196 et 197 photographient une seconde fois les pages des vues 190, 194 et 195 et ne sont pas transcrites.

(140)

Evolutio casus IV. quo virgae uterque terminus simpliciter stylo est fixus.

Problema

§. 35. Si virgae elasticae tam terminus E quam F simpliciter fuerit fixus, investigare omnes motus, quibus ea contremiscere potest.

Solutio.

Posito igitur tam s=0 quam s=a, utroque casu fieri oportet et y=0 et \left(\frac{ddy}{ds^2}\right)=0; ex priore casu hae deducuntur aequationes: 1^{\circ})\ \alpha+\beta+\delta=0, \quad\text{et}\quad 2^{\circ})\ \alpha+\beta-\delta=0, ex quibus statim colligitur \alpha+\beta=0 \text{ et } \delta=0 \text{ ideoque } \beta=-\alpha. Alter vero casus, quo s=a, ponendo \frac{a}{f}=\omega, has suppeditat aequationes: 3^{\circ})\ \alpha e^{\omega}+\beta e^{-\omega}+\gamma \text{sin.}\,\omega+\delta\cos.\omega=0 4^{\circ})\ \alpha e^{\omega}+\beta e^{-\omega}-\gamma \sin \omega-\delta\cos.\omega=0, quae superioribus valoribus substitutis, reducuntur ad has: \alpha(e^{\omega}\uncertain{+}e^{-\omega})+\gamma\text{sin.}\,\omega=0 \text{ et } \alpha(e^{\omega}-e^{-\omega})-\gamma\text{sin.}\,\omega=0, le signe entre e^{\omega} et e^{-\omega}, dans la première de ces deux équations, a la forme d'un « + » ; la substitution \beta=-\alpha donne un « − », et la somme qui suit est écrite avec « − ». Laissé tel que lu. quarum summa praebet 2\alpha(e^{\omega}-e^{-\omega})=0 \text{ ideoque } \alpha=0, differentia vero dat 2\gamma\text{sin.}\,\omega=0, unde si sumeremus \gamma=0, tota « (140) » en haut, au milieu. « Evolutio casus » est souligné, et la seconde ligne du titre l'est d'un bout à l'autre ; « Problema » et « Solutio » sont soulignés. Le feuillet s'arrête sur « tota », dont la phrase se poursuit à la vue 182.

(141)

virga in quiete esset mansura; necesse igitur est ut sit \sin \omega=0. Hinc ergo statim innotescunt omnes valores pro angulo \omega, quippe qui sunt: 0=\omega,\ \omega=\pi,\ \omega=2\pi,\ \omega=3\pi,\ \omega=4\pi\ \&c. quorum primus locum habet in statu quietis, secundus autem sonum fundamentalem hoc casu exhibet, ex quo, ut in praecedentibus casibus, oriuntur sequentes soni: \frac{\pi c\sqrt{2gb}}{aa},\ \frac{4\pi c\sqrt{2gb}}{aa},\ \frac{9\pi c\sqrt{2gb}}{aa},\ \frac{16\pi c\sqrt{2gb}}{aa}\ \&c. qui igitur soni secundum numeros quadratos 1, 4, 9, 16 ascendunt, ita ut, si fundamentalis fuerit C, isti soni constituant hanc seriem: C, \bar{c}, \bar{\bar{d}}, \bar{\bar{\bar{c}}}, \bar{\bar{\bar{\bar{\text{gis}}}}}, \bar{\bar{\bar{\bar{\bar{d}}}}} &c. quod si ergo omnes istos motus generaliter conjungamus, formula generalis, omnes plane motus, quos virga nostra recipere potest complectens, erit \begin{align*} y ={}& C\sin \Big(\zeta+t\frac{\pi\pi c\sqrt{2gb}}{aa}\Big)\text{sin.}\,\pi u + C'\sin \Big(\zeta'+t\frac{4\pi\pi c\sqrt{2gb}}{aa}\Big)\text{sin.}\,2\pi u \\ &+ C''\sin \Big(\zeta''+t\frac{9\pi\pi c\sqrt{2gb}}{aa}\Big)\text{sin.}\,3\pi u + C'''\sin \Big(\zeta'''+t\frac{16\pi\pi c\sqrt{2gb}}{aa}\Big)\sin 4.\pi u \\ &+ \&c. \end{align*} ubi scribamus u loco \frac{s}{a}. notes de musique : les barres au-dessus des lettres sont au nombre de une (c), deux (d), trois (c), quatre (gis) et cinq (d), telles qu'on les compte sur la vue ; « gis » est de plus souligné. Entre « igitur » et « est », un trait vertical à la plume. Dans les sons, le numérateur porte un seul \pi ; dans la formule générale, deux. « &c. » est écrit deux fois à la fin de la formule, à la suite du dernier terme et à la ligne.

Corollarium 1.

Tab. III. fig. 1. §. 36. Quando ergo virga sonum edit fundamentalem, eandem recipiet curvaturam quam chordae simpliciter vibrantes, quippe quae erit linea sinuum, qualem figura prima refert. Pro sono autem simplice secundo, quo \omega=2\pi, figura chordae erit (fig. 2), habens unum nodum in medio O. Pro sequentibus autem sonis simplicibus numerus nodorum semper unitate augetur. « (141) » en haut, au milieu ; le nombre 90 est à l'encre en haut à droite. « Corollarium 1. » est souligné.

(142)

§. 37. Quod si sonos fundamentales omnium horum quatuor casuum, quos hactenus tractavimus, inter se comparemus, jam vidimus, si ~~sonus~~ sonus primi casus exprimatur per gis, pro secundo casu eum fore d, &c pro tertio C, qui soni his numeris exprimuntur: \frac{9}{4}, \frac{25}{16}, \frac{9}{25}. Hinc cum praesenti casu quarto sonus fundamentalis exprimatur unitate, sonus erit fis; seriem igitur hoc modo referamus: \text{I.}\ \begin{array}{c}\frac{9}{4}\\ \text{gis}\end{array}.\quad \text{II.}\ \begin{array}{c}\frac{25}{16}\\ d\end{array}:\quad \text{III.}\ \begin{array}{c}\frac{9}{25}\\ C\end{array}.\quad \text{IV}\ \begin{array}{c}1.\\ \text{fis}\end{array}

Scholion

§. 38. Hic igitur casus, quo uterque virgae terminus simpliciter est fixus, prae reliquis hac insigni gaudet praerogativa, quod omnes valores anguli \omega accurate sine ullo errore definire liceat, propterea quod formulae exponentiales, quae hanc determinationem turbabant et non parum irregularem reddebant, penitus ex calculo evanuerunt; unde soni hoc casu editi multo magis ad harmoniam sunt ~~accomodati~~ accommodati, et quidem adhuc magis quam in chordis simplicibus usu venit. Cum enim soni ab eadem chorda editi secundum numeros 1, 2, 3, 4 &c. progrediantur, fere semper plures horum sonorum simul audiuntur, inter quos etiam non parum dissoni occurrere possunt. Verum quia a nostra virga alii soni edi non possunt, nisi qui numeris 1, 4, 9, 16, 25 exprimuntur, praeter fundamentalem potissimum exaudietur ejus dupla octava les noms de notes sont soulignés sur le feuillet (gis, C, fis) ; le « C » du tableau l'est aussi. Entre « praeter » et « fundamentalem », un trait vertical à la plume, comme à la vue 182. « (142) » en haut, au milieu. « Scholion » est souligné. Le feuillet s'arrête sur « octava », la phrase se poursuit à la vue 184.

(143)

harmoniam nihil turbans, postea vero sequetur sonus numerus 9 respondens, qui, cum fundamentalem ultra fere tres octavas superet, ob nimium acumen vix unquam audietur, ita ut tantum dupla octava simul cum fundamentali tinniat. Talis igitur virga sonos multo puriores reddere est censenda quam chordae simplices, unde etiam soni hoc modo editi in musica peculiarem suavitatem habere debebunt. « sequetur » est écrit en deux morceaux séparés par un blanc, et la lettre du milieu n'est pas nette ; la fin de « numerus » a la forme de « -us » ; « fere » a une première lettre sans hampe, qui ressemble à un « t ».

Evolutio casus V quo virgae elasticae terminus simpliciter est fixus, alter vero quasi muro firmiter infixus

Problema.

§. 39. Si virgae elasticae terminus E fuerit simpliciter fixus, alter vero F prorsus infixus, investigare omnes motus, quibus ea contremiscere potest.

Solutio.

Quia terminus E, ubi fit s=0, simpliciter est fixus, habebimus statim, uti in casu praecedente, \beta=-\alpha et \delta=0; pro altero autem termino, ubi s=a, erit tam y=0 quam \left(\frac{dy}{ds}\right)=0, unde posito \frac{a}{f}=\omega oriuntur hae duae aequationes: \alpha e^{\omega}+\beta e^{-\omega}+\gamma\text{sin.}\,\omega+\delta\cos.\omega=0, \alpha e^{\omega}-\beta e^{-\omega}+\gamma\cos.\omega-\delta\text{sin.}\,\omega=0, quae, substitutis praecedentibus valoribus, abeunt in has: \alpha(e^{\omega}-e^{-\omega})+\gamma\sin \omega=0 \quad\text{et} \alpha(e^{\omega}+e^{-\omega})+\gamma\cos.\omega=0. une tache d'encre devant « fixus », à la première ligne du §. 39. « (143) » en haut, au milieu ; le nombre 91 est à l'encre en haut à droite. Les deux lignes du titre sont soulignées chacune d'un trait, « Problema » et « Solutio » aussi.

(144)

ex priore fit \frac{\alpha}{\gamma}=\frac{-\sin \omega}{e^{\omega}-e^{-\omega}}, \text{ ex altero vero } \frac{\alpha}{\gamma}=\frac{-\cos\omega}{e^{\omega}+e^{-\omega}}; ex quibus porro colligitur \text{tang.}\,\omega=\frac{e^{\omega}-e^{-\omega}}{e^{\omega}+e^{-\omega}}, quae formula plane convenit cum ea, quam casu secundo invenimus, eritque idcirco, ut ibi, vel \text{sin.}\,\omega=\frac{e^{\omega}-e^{-\omega}}{\surd 2(e^{2\omega}+e^{-2\omega})} \text{ et } \cos.\omega=\frac{e^{\omega}+e^{-\omega}}{\surd 2(e^{2\omega}+e^{-2\omega})}, \text{ vel} \text{sin.}\,\omega=\frac{-e^{\omega}+e^{-\omega}}{\surd 2(e^{2\omega}+e^{-2\omega})} \text{ et } \cos.\omega=\frac{-e^{\omega}-e^{-\omega}}{\surd 2(e^{2\omega}+e^{-2\omega})}. Ex prioribus valoribus elicitur \frac{\alpha}{\gamma}=\frac{-1}{\surd 2(e^{2\omega}+e^{-2\omega})}, ex alteris autem valoribus fit \frac{\alpha}{\gamma}=\frac{+1}{\surd 2(e^{2\omega}+e^{-2\omega})}; unde his binis casibus conjungendis habebimus \alpha=1, \beta=-1, ~~\gamma=\surd 2(~~ \gamma=\mp\surd 2(e^{2\omega}+e^{-2\omega}) et \delta=0; ubi ut hactenus signorum ambiguorum superius valet, si anguli \omega tam sinus quam cosinus fuerint positivi, inferius autem si ambo fuerint negativi, unde pro quovis valore \omega habebitur y=C\sin \Big(\zeta+t\frac{\surd 2g}{k}\Big)\big\{e^{u\omega}-e^{-u\omega}\mp\surd 2(e^{2\omega}+e^{-2\omega})\text{sin.}\,u\omega\big\}; praeterea vero ut hactenus erit \frac{\surd 2g}{k}=\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}, tempus unius oscillationis =\frac{\pi aa}{\omega\omega c\surd 2gb} et sonus editus =\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{\pi aa}.

Corollarium 1.

§. 40. Quia aequatio resolvenda: \text{tang.}\,\omega=\frac{e^{\omega}-e^{-\omega}}{e^{\omega}+e^{-\omega}} prorsus convenit cum ea, quam casu secundo jam resolvimus « (144) » en haut, au milieu. Le radical est écrit sans barre, « \surd 2(e^{2\omega}+e^{-2\omega}) », et il est transcrit ainsi. Le « \gamma=\surd 2( » biffé en fin de ligne est barré d'un trait, le \gamma d'une croix. Le double signe de \gamma et de la formule de y est un « − » posé sur un « + ». « Corollarium 1. » est souligné. Le feuillet s'arrête sur « resolvimus ».

(145)

omnes valores anguli \omega erunt, ut ibi, sequentes: \omega=\frac{5\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4},\ \frac{13\pi}{4},\ \frac{17\pi}{4},\ \&c. unde etiam omnes soni simplices, quos haec virga edere potest, sequentibus numeris exprimuntur: \frac{25\pi c\surd 2gb}{16aa};\ \frac{81\pi c\surd 2gb}{16aa};\ \frac{169.\pi c\surd 2gb}{16aa};\ \frac{289\pi c\surd 2gb}{16aa};\ \&c. quorum primus etiam pro fundamentali habetur, et secundum superiorem determinationem respondet clavi d (vide §. 32)

Corollarium 2.

§. 41. Quanquam autem hic casus eosdem plane sonos simplices producit, quos casu secundo invenimus, tamen ipsa virga maxime diversas recipit figuras. Ita pro sono fundamentali, ubi \omega=\frac{5\pi}{4}, ideoque tam sinus quam cosinus sunt negativi, scilicet \sin \omega=\cos\omega =-\frac{1}{\surd 2}, omisso coefficiente erit y=\text{- - -}\ e^{u\omega}-e^{-u\omega}+\surd 2(e^{2\omega}+e^{-2\omega})\sin u\omega, qui valor pro utroque termino u=0 et u=1 fit =0. entre « y= » et « e^{u\omega} », trois petits traits en ligne, comme des points de conduite ; ils sont reproduits tels quels. Pro reliqua figura cognoscenda, quia supra jam vidimus esse e^{2\omega}=e^{\frac{5}{2}\pi}=2576, erit \surd 2(e^{2\omega}+e^{-2\omega})=72 proxime. Tribuamus igitur literae u sequentes valores: \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, et pro singulis sequentes valores ipsius y prodibunt:

Tab. III fig. 3

I.Sit u=\frac{1}{5}, erit u\omega=\frac{\pi}{4}=45^{\circ} et y=1,7974+\frac{72}{\surd 2}=56 proxime; II.Sit u=\frac{2}{5} erit u\omega=\frac{\pi}{2}=90^{\circ} et y=4,6085+72=76 proxime; III.Si u=\frac{3}{5} erit u\omega=\frac{3\pi}{4}=135^{\circ} et y=10,46+\frac{72}{\surd 2}=61 proxime;

à la ligne I, la somme 1,7974+\frac{72}{\surd 2} vaut à peu près 52,7 et non 56 ; le chiffre lu est « 56 », et il est laissé tel. Le « 3 » de \frac{3}{5} (ligne III) est tracé d'une boucle qui le rapproche d'un « 9 ». « (145) » en haut, au milieu ; le nombre 92 est à l'encre en haut à droite. « Corollarium 2. » est souligné, et la lettre u de « literae u ». Le feuillet s'arrête après la ligne III ; la suite de la table est à la vue 187.

(146)

IV.Sit u=\frac{4}{5}, erit u\omega=\pi=180^{\circ} et y=23,10+0=23 proxime.

Ista figura repraesentatur per figuram tertiam;

Scholion

§. 42. Ut jam omnes plane motus ex inventis simplicibus concinne repraesentemus, pro formula irrationali \surd 2(e^{2\omega}+e^{-2\omega}) scribamus characterem \Omega, cui pro variis valoribus \omega, \omega', \omega'', \omega''' &c. ~~tribu~~ tribuamus valores \Omega, \Omega', \Omega'', \Omega''' &c et scribendo, ut hactenus, u loco \frac{s}{a}, aequatio generalis erit: \begin{align*} y ={}& C\,\text{sin.}\Big(\zeta+\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}t\Big)(e^{\omega}-e^{-\omega}\mp\Omega\,\text{sin.}\,u\omega) \\ &+ C'\,\text{sin.}\Big(\zeta'+\frac{\omega'\omega'c\surd 2gb}{aa}t\Big)(e^{\omega'}-e^{-\omega'}\mp\Omega'\,\text{sin.}\,u\omega') \\ &+ C''\,\text{sin.}\Big(\zeta''+\frac{\omega''\omega''c\surd 2gb}{aa}\Big)(e^{\omega''}-e^{-\omega''}\mp\Omega''\sin u\omega'') \\ &+ C'''\,\text{sin.}\Big(\zeta'''+\frac{\omega'''\omega'''c\surd 2gb}{aa}\Big)(e^{\omega'''}-e^{-\omega'''}\mp\Omega'''\,\text{sin.}\,u\omega''') \end{align*} ubi signum superius valet pro angulis \omega, \omega', \omega'' &c. quorum sinus et cosinus sunt positivi, inferius autem ubi sunt negativi.

Evolutio casus VI. quo virgae elasticae uterque terminus firmiter quasi muro est infixus

Problema

§. 43 Si virgae elasticae uterque terminus firmiter fuerit infixus, investigare motus, quibus ea contremiscere potest

Solutio

Hoc igitur casu pro utroque termino debet esse tam y=0 quam \left(\frac{dy}{ds}\right)=0; « (146) » en haut, au milieu. La formule générale est transcrite telle qu'elle est écrite : les exposants des exponentielles ne portent pas le facteur u que porte le sinus ; le t suit la fraction dans les deux premières lignes et manque dans les deux dernières ; la formule n'est pas close par « &c ». Le « tribu » biffé est au début de la ligne. « Scholion », « Evolutio casus VI. », la seconde ligne du titre, « Problema » et « Solutio » sont soulignés. Le feuillet s'arrête sur « =0; » ; le bas de la page est blanc.

(147)

pro priore termino ergo habebimus has aequationes: \alpha+\beta+\delta=0 \text{ et } \alpha-\beta+\gamma=0, unde consequimur \delta=-\alpha-\beta et \gamma=-\alpha+\beta; posterior vero, quo s=a et \frac{a}{f}=\omega, praebet \alpha e^{\omega}+\beta e^{-\omega}+\gamma\,\text{sin.}\,\omega+\delta\cos.\omega=0 \text{ et} \alpha e^{\omega}-\beta e^{-\omega}+\gamma\cos.\omega-\delta\,\text{sin.}\,\omega=0; ubi si priores valores substituantur, oriuntur hae equationes: \alpha(e^{\omega}-\text{sin.}\,\omega-\cos.\omega)+\beta(e^{-\omega}+\text{sin.}\,\omega-\cos.\omega)=0 \text{ et} \alpha(e^{\omega}-\cos.\omega+\text{sin.}\,\omega)-\beta(e^{-\omega}-\cos\omega-\text{sin.}\,\omega)=0; unde duplici modo colligitur \frac{\alpha}{\beta}=\frac{-e^{-\omega}-\sin\omega+\cos\omega}{e^{\omega}-\sin\omega-\cos.\omega}=\frac{e^{-\omega}-\text{sin.}\,\omega-\cos.\omega}{e^{\omega}+\text{sin.}\,\omega-\cos.\omega}, qui valores cum prorsus conveniat cum iis, quos casu primo sumus nacti, inde etiam sequitur fore \cos.\omega=\frac{2}{e^{\omega}+e^{-\omega}}; sicque etiam omnes valores anguli \omega iidem erunt, qui primo casu jam sunt exhibiti scilicet \omega=\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} &c. unde etiam ista virga eosdem edet sonos, qui erant: \frac{9\pi c\surd 2gb}{4aa};\ \frac{25\pi c\surd 2gb}{4aa};\ \frac{49\pi c\surd 2gb}{4aa};\ \frac{81\pi c\surd 2gb}{4aa};\ \&c. ~~Praete~~ Praeterea vero etiam erit \text{sin.}\,\omega=\pm\frac{(e^{\omega}-e^{-\omega})}{e^{\omega}+e^{-\omega}}, ubi signum superius valet pro casibus ubi sinus est positivus, inferius si negativus; unde porro obtinemus \alpha=1, \beta=\mp e^{\omega}, hincque porro \gamma=-(1\pm e^{\omega}) et \delta=-(1\mp e^{\omega}). Aequatio igitur pro motu a casu primo in eo tantum differt, quod hic coefficientes \gamma et \delta contraria « (147) » en haut, au milieu ; le nombre 93 est à l'encre en haut à droite. Entre « habebimus » et « has », un trait vertical à la plume. Le mot biffé au début de l'avant-dernier alinéa est un « Praete » inachevé, repris aussitôt en « Praeterea ». Entre les deux valeurs de \gamma et de \delta, le mot de liaison est réduit à un signe serré qui ressemble à un « + » ; il est lu « et » avec doute. Le « a » de « a casu » est ajouté au-dessus de la ligne avec un signe d'insertion ; il est mis à sa place. Trois taches d'encre au milieu de la ligne « signum superius valet pro casibus ». Le feuillet s'arrête sur « contraria ».

(14)

signa sunt nacti; sicque, si \omega, \omega', \omega'', \omega''' denotent omnes valores ipsius \omega, aequatio generalis, omnes motus virgae complectens, erit: \begin{align*} y ={}& C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\big\{e^{u\omega}\mp e^{\omega(1-u)}-(1\pm e^{\omega})\,\text{sin.}\,u\omega-(1\mp e^{\omega})\cos.u\omega\big\} \\ &+ C'\,\text{sin.}\Big(\zeta'+t.\frac{\omega'\omega'c\surd 2gb}{aa}\Big)\big\{e^{u\omega'}\mp e^{\omega'(1-u)}-(1\pm e^{\omega'})\,\text{sin.}\,u\omega'-(1\mp e^{\omega'})\cos.u\omega'\big\} \\ &+ C''\,\text{sin.}\Big(\zeta''+t.\frac{\omega''\omega''c\surd 2gb}{aa}\Big)\big\{e^{u\omega''}\mp e^{\omega''(1-u)}-(1\pm e^{\omega''})\,\text{sin.}\,u\omega''-(1\mp e^{\omega''})\cos.u\omega''\big\} \\ &\&c.\quad \&c \quad \&c. \end{align*}

Corollarium I.

§. 44. Quanquam autem omnes motus cum casu primo perfecte conveniunt: tamen figura, quam virga inter vibrandum recipit, toto coelo est diversa. Ad quod ~~ostendam~~ ostendendum evoluamus figuram pro sono fundamentali, ubi est \omega=\frac{3\pi}{2}, cujus sinus cum sit negativus, signa valebunt inferiora, eritque omisso coefficiente y=\ldots\ e^{u\omega}+e^{\omega(1-u)}-(1-e^{\omega})\,\text{sin.}\,u\omega-(1+e^{\omega})\cos.u\omega, ubi est e^{\omega}=111. Nunc autem ipsi \omega tribuamus duos valores \frac{1}{3} et \frac{2}{3}, ac reperiemus:

Tab. III fig. 4

I.Si u=\frac{1}{3}, u\omega=\frac{\pi}{2}=90^{\circ} et e^{u\omega}=4,8104 et e^{-u\omega}=0,2079 hincque y=4,8104+\uncertain{23,0769}+110=\uncertain{138}. IISi u=\frac{2}{3}, u\omega=\pi=180^{\circ} et e^{u\omega}=23,140 et e^{\omega(1-u)}=4,810, hincque y=23,140+4,810+112=140. Si autem duo valores, si calculum accuratius instituissemus, prodiissent aequales. Curva igitur,

« (14… ) » en haut, au milieu : le dernier chiffre est noyé sous une tache d'encre dont ne dépasse qu'une boucle, et n'est pas lu. La page n'a pas de nombre en haut à droite. Entre « nacti; » et « sicque », un trait vertical à la plume. Dans la formule de y du Corollaire, une ligne de points suit le signe d'égalité, comme à la vue 186. « ipsi ω tribuamus » : la lettre est écrite comme l'\omega de la page, bien que les valeurs \frac{1}{3} et \frac{2}{3} soient ensuite données à u. À la ligne I, les chiffres de la somme sont surchargés : le premier « 4 » est repris sur un autre chiffre, et le second terme, lu « 23,0769 », est écrit sur une première écriture qui le rend douteux ; le total, lu « 138 », a un deuxième chiffre dont la boucle le rapproche d'un « 9 ». « Corollarium I. » est souligné. Le feuillet s'arrête sur « Curva igitur, ».

(149)

quam virga hoc casu induit, habebit figuram ErsF, fig. 4 repraesentatam. Pro sequentibus autem sonis simplicibus vel unus nodus, vel duo, vel tres successive ingredientur

Corollarium 2

§. 45. Ope formularum, quas pro singulis his casibus eruimus, non solum omnes soni, quos eadem virga elastica, diversimode constituta, edere valet; inter se comparari possunt, sed etiam soni diversarum virgarum, quae tum longitudine quam crassitie inter se discrepant, dijudicari possunt, dummodo crassities in omnibus fuerit similis: veluti si virgae fuerint cylindricae, quo casu crassities cujusque circulo repraesentatur; si enim talium virgarum diameter crassitiei fuerit =c, longitudo =a, tum sub similibus circumstantiis soni erunt ut \frac{c}{aa}, hoc est directe ut diameter crassitiei et reciproce ut quadratum longitudinis, ita ut quo crassior fuerit virga pro eadem longitudine, sonus edatur tanto acutior; contra vero quo longior fuerit virga pro eadem crassitie, eo gravior sonus sit proditurus, idque in ratione duplicata « crassitie inter se discrepant, dijudicari possunt, dummodo » est écrit au-dessus de la ligne, entre un « + » placé après « quam » et un astérisque placé sous « crassities », avec une croix en tête ; l'addition est mise à sa place.

Scholion

§. 46. Hic scilicet assumsimus, in diversis virgis crassitiem similem figuram habere, veluti circularem, quippe quo casu virgae sunt cylindricae et versus omnes plagas aequaliter inflexioni resistunt. Verum etiam nostrae formulae ad ejusmodi virgas applicari possunt quarum crassities alia quacunque figura exhibebant. Ad quod ostendendum consideremus ejusmodi virgam, cujus sectiones transversales ad longitudinem normaliter « (149) » en haut, au milieu ; le nombre 94 est à l'encre en haut à droite. Entre « sequentibus » et « autem », un trait vertical à la plume. « Corollarium 2 » et « Scholion » sont soulignés. Le feuillet s'arrête sur « normaliter ».

(150)

Tab. III fig. 5 factae sint parallelogramma rectangula ABCD, in quibus ergo duplex potissimum inflexio locum habere potest, quarum altera fit secundum axem AB, quando scilicet linea AC et BD circa hunc axem inflectuntur; altera autem inflexio principalis fieri potest circa axem AC. Illo casu litera nostra c, quae superioribus formulis inest, aequabitur lateri AC, posteriore vero casu lateri AB, utroque vero casu alterum latus plane non in computum venitur. Litera enim b pendet, uti jam supra notavimus, ab elasticitate absoluta materiae, ex qua virgae sunt fabricatae. Ita si virga cujus longitudo est =a, incurvetur, circa axem AB, sonus editus erit cum \frac{AC}{aa}; et si virga incurvetur circa axem AC sonus editus erit ut \frac{AB}{aa}, si scilicet reliquae circumstantiae fuerint pares. At si sectio virgae transversalis fuerit parest. Circulus, diametro AB descriptus (fig. 6) tum pro formulis nostris erit c=\frac{3}{4}AB; ubi perinde est circa quemnam axem fiat incurvatio. Hic quidem alios casus non sumus contemplati, nisi in quibus ambo virgae termini vel sunt liberi, vel simpliciter fixi, vel firmiter infixi. Fieri autem potest ut eadem virga insuper in uno vel pluribus locis mediis simpliciter figatur, quandoquidem hoc pacto communicatio inter motus diversarum partium non tolleretur; sed omnium hujusmodi casuum evolutio requireret tractationem infinitam. Ut autem ratio calculum ad hujusmodi casum applicandi, intelligatur, sufficiet unum talem casum hic subjunxisse

Problema} « (150) » en haut, au milieu. Entre « duplex » et « potissimum », un trait vertical à la plume, au début de la ligne. Les lettres c et b sont soulignées. Le « et » de « et si virga incurvetur » est repris à la plume. Après « fuerit », une tache d'encre couvre une ou deux lettres, et le mot qui suit, lu « parest » avec doute, ne fait pas sens ; il est suivi d'un point, et « Circulus » commence la ligne suivante par une majuscule. « Problema » est souligné, en bas du feuillet, sans texte à la suite.

(151)

fig. 7. §. 47. Si virga elastica non solum in utroque termino E et F fuerit simpliciter fixa, sed etiam in puncto quocunque medio L ope styli figatur, investigare omnes motus quibus ista virga contremiscere potest.

Solutio

Maneat virgae tota longitudo EF=a, ac vocetur portio EL=\lambda a, ita ut \lambda denotare possit fractionem quamcunque unitate minorem. Ac primo quidem patet, si virga in puncto L firmiter esset infixa, omnem plane communicationem inter ambas portiones EL et FL tolli, ita ut utriusque motus a motu alterius neutiquam perturbetur. Verum si in puncto L tantum stylo figatur, circa quem virga gyrari possit, tum neutra pars motum recipere potest, quin cum altera is certo modo communicetur. Interim tamen hoc stilo continuitas curvae per ambas portiones interrumpitur, ita, ut portio EmL alia aequatione exprimatur atque altera portio LnF: scilicet dum hic etiam principio tantum motus regulares investigamus, qui conformes sunt pendulo simplici =k, pro motu utriusque portionis primus factor C\sin(\zeta+t\frac{\surd g}{k}) necessario idem manere debet, quoniam ambae portiones suas vibrationes eodem tempore similique modo peragere debent. Alteri autem factores diversi esse poterunt ratione coefficientium \alpha, \beta, \gamma, \delta. Omisso igitur primo factore ut hactenus faciamus \frac{a}{f}=\omega et \frac{s}{a}=u; tum vero pro portione EL statuamus y=\ldots\ \alpha e^{u\omega}+\beta e^{-u\omega}+\gamma\sin u\omega+\delta\cos.u\omega pro altera portione LF statuamus y=\ldots\ \alpha' e^{u\omega}+\beta' e^{-u\omega}+\gamma'\sin u\omega+\delta'\cos.u\omega qui coefficientes a prioribus utcunque discrepare possunt, dummodo observetur, « (151) » en haut, au milieu ; le nombre 95 est à l'encre en haut à droite. En marge de la première ligne, « fig. 7. », le « 7 » repris à la plume sur un autre chiffre. Une tache d'encre sur « stylo », dont la fin est noyée. « possit » est repris à la plume. Le mot lu « poterunt » est écrit par-dessus une première forme qui se termine en « -erat » ou « -erant ». Dans le second y, « cos » est empâté par une surcharge. Un trait vertical après « potest. », à la fin de l'énoncé. « Solutio » est souligné. Le feuillet s'arrête sur « observetur, ».

(152)

pro puncto L, ubi fit u=\lambda, ex utraque formula eosdem valores tam pro \left(\frac{dy}{ds}\right) quam pro \left(\frac{ddy}{ds^2}\right) prodire debere, quandoquidem anguli, quos utraque portio in L cum axe facit, necessario aequales esse debent; neque vero etiam radius osculi in hoc puncto L utrinque diversus esse potest. His observatis pro hoc puncto L, ubi fit u=\lambda, quia utraque applicata y evanescere debet, habebimus sequentes quatuor aequationes: \begin{align*} &\text{I.}\ \alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}+\gamma\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\delta\cos.\lambda\omega=0 \\ &\text{II.}\ \alpha' e^{\lambda\omega}+\beta' e^{-\lambda\omega}+\gamma'\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\delta'\cos.\lambda\omega=0 \\ &\text{III.}\ \alpha e^{\lambda\omega}-\beta e^{-\lambda\omega}+\gamma\cos.\lambda\omega-\delta\,\text{sin.}\,\lambda\omega=\alpha' e^{\lambda\omega}-\beta' e^{-\lambda\omega}+\gamma'\cos\lambda\omega-\delta'\,\text{sin.}\,\lambda\omega. \\ &\text{III.}\ (\alpha-\alpha')e^{\lambda\omega}-(\beta-\beta')e^{-\lambda\omega}+(\gamma-\gamma')\cos.\lambda\omega-(\delta-\delta')\,\text{sin.}\,\lambda\omega=0 \\ &\text{IV.}\ (\alpha-\alpha')e^{\lambda\omega}+(\beta-\beta')e^{-\lambda\omega}-(\gamma-\gamma')\,\text{sin.}\,\lambda\omega-(\delta-\delta')\cos.\lambda\omega=0 \end{align*} Nunc igitur ad utrumque quoque terminum spectamus, unde etiam quatuor resultabunt aequationes, prouti fuerit vel \lambda=0 vel \lambda=1; terminus scilicet E, ubi u=0, praebet: \text{V.}\ \alpha+\beta+\delta=0 \quad\text{et}\quad \text{VI.}\ \alpha+\beta-\delta=0, terminus autem F, ubi u=1, dat. \text{VII.}\ \alpha' e^{\omega}+\beta' e^{-\omega}+\gamma'\,\text{sin.}\,\omega+\delta'\cos.\omega=0 \quad\text{et} \text{VIII.}\ \alpha' e^{\omega}+\beta' e^{-\omega}-\gamma'\,\text{sin.}\,\omega-\delta'\cos.\omega=0. Nacti scilicet sumus octo aequationes pro definiendis octo coefficientibus, \alpha, \beta, \gamma, \delta et \alpha', \beta', \gamma', \delta'; ac tum supererit adhuc aequatio, unde angulum \omega definiri oportebit. Incipiamus ab aequatione V et VI, ex quibus statim colligitur \beta=-\alpha et \delta=0; deinde VII et VIII, invicem additae dant \alpha' e^{\omega}+\beta' e^{-\omega}=0 subtractae vero dant « (152) » en haut, au milieu. Entre « utraque » et « portio », un trait vertical à la plume. Une tache sur « puncto » dans « pro hoc puncto ». Deux équations portent le numéro « III » : la première égale les deux dérivées, la seconde en fait passer les termes du même côté ; les numéros sont transcrits tels qu'ils sont écrits, et la seconde équation est laissée sans être confrontée à la première. Dans « prouti fuerit vel \lambda=0 », le premier « vel » est empâté par une surcharge ; les valeurs 0 et 1 sont données à \lambda sur le feuillet, bien que la suite parle de u. « additae » est écrit sur une première forme, empâtée. Le feuillet s'arrête sur « dant ». Cette page est photographiée une seconde fois à la vue 196.

(153)

\gamma'\sin\omega+\delta'\cos\omega=0, \text{ unde fit} \beta'=-\alpha' e^{2\omega} \text{ et } \delta'=-\gamma'\,\text{tang.}\,\omega. Hi valores in primo et secundo substituti praebent \text{I.}\ \alpha(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})+\gamma\,\text{sin.}\,\lambda\omega=0 \text{ et} \text{II.}\ \alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})+\gamma'\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\gamma'\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega=0, ex quibus aequationibus reperiuntur valores: \gamma=-\frac{\alpha(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega} \text{ et } \gamma'=-\frac{\alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega} unde fit \delta'=\frac{\alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})\,\text{tang.}\,\omega}{\sin\lambda\omega-\cos\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}. Ex his valoribus nunc pro reliquis aequationibus colligimus: \beta-\beta'=-\alpha+\alpha' e^{2\omega} et \gamma-\gamma'=-\frac{\alpha(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega}+\frac{\alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega} \text{ et} \delta-\delta'=-\frac{\alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega} Nunc autem fit \begin{align*} &\text{III.}\ \alpha\big((e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})-(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\cot.\lambda\omega\big) \\ &\qquad=\alpha'\Big((e^{\lambda\omega}+e^{\omega(2-\lambda)})-(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})\frac{(\cos.\lambda\omega+\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega)}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}\Big) \end{align*} Quae aequatio contrahitur in sequentem formam: \begin{align*} &\alpha\big((e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})-(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\cot.\lambda\omega\big) \\ &\qquad=\alpha'\big((e^{\lambda\omega}+e^{\omega(2-\lambda)})+(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})\cdot\cot(1-\lambda)\omega\big). \end{align*} quarta vero aequatio praebet istam: 2\alpha(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})=2\alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)}); « (153) » en haut, au milieu ; le nombre 96 est à l'encre en haut à droite. Deux petits traits en marge gauche, en regard de « Hi valores » et de « et \gamma-\gamma' », sans texte. Dans l'égalité III, la parenthèse fermante du membre de droite est écrite à l'intérieur du numérateur de la fraction ; elle est rendue à la fin de l'expression. Le bas du feuillet est blanc sous la dernière équation. Cette page est photographiée une seconde fois à la vue 197.

(154)

ex hac postrema deducitur \frac{\alpha}{\alpha'}=\frac{e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}, unde capere licebit \alpha=e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)} \text{ et } \alpha'=e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}, quos valores jam in tertia aequatione substitui oportet: unde facta reductione prodibit 0=2-2e^{2\omega}-(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})(\cot.\lambda\omega+\cot(1-\lambda)\omega) sive 0=2-2e^{2\omega}-(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\frac{\text{sin.}\,\omega}{\sin\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega}. Sicque totum negotium huc est perductum, ut ex ista aequatione valores anguli \omega eliciantur, quem quidem laborem, ob formulas tantopere complicatas, suscipere non ausim, si quidem hoc loco sufficiat methodum tradidisse, qua hujusmodi quaestiones arduae sint tractandae. Caeterum patet; si fuerit \lambda=0, ut portio EL fiat infinite parva, nullum motum communem inter ambas partes existere posse, id quod etiam calculus ostendit, quippe qui praebet 0=2(1-e^{2\omega}), unde sequitur e^{2\omega}=1, ideoque \omega=0, quo valore status quietis innuitur, quod idem eveniet, si statuatur \lambda=1, tum enim terminus F erit quasi muro infixus. At casus, quo \lambda=\frac{1}{2}, singularem evolutionem meretur. « (154) » en haut, au milieu. Le mot lu « ausim » a une lettre médiane haute qui ressemble à un « t ». Sous « aequatione », « sequitur » et « ideoque », de petits chevrons tracés à la plume, sans addition au-dessus. Le bas du feuillet est blanc.

(155)

Evolutio casus, quo virga elastica EF non solum in utroque termino E et F, sed etiam in ejus medio L stylo est fixa

Tab. III fig. 8 §. 48. Cum igitur hoc casu sit \lambda=\frac{1}{2}, aequatio finalis hanc induet formam: 0=2-2e^{2\omega}-(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})\frac{\sin\omega}{\text{sin.}^2\frac{1}{2}\omega}, quae reducitur ad hanc: 0=2(1-e^{2\omega})\,\text{sin.}^2\tfrac{1}{2}\omega-(1-e^{\omega})(e^{\omega}-1)\,\text{sin.}\,\omega, quae per factorem communem 1-e^{\omega} divisa, (quippe ex quo oriuntur e^{\omega}=1, hinc \omega=0) pro statu quietis producit hanc aequationem: 0=2(1+e^{\uncertain{2\omega}})\sin^2\tfrac{1}{2}\omega-(e^{\omega}-1)\,\text{sin.}\,\omega, quae, si loco \text{sin.}\,\omega scribamus 2\,\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega\cos.\frac{1}{2}\omega, abit in hanc: 0=(1+e^{\omega})\sin^2\tfrac{1}{2}\omega-(e^{\omega}-1)\sin\tfrac{1}{2}\omega\cos.\tfrac{1}{2}\omega, quae manifesto duos habet factores, alterum \text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega, alterum vero (1+e^{\omega})\sin\tfrac{1}{2}\omega-(e^{\omega}-1)\cos\tfrac{1}{2}\omega, quorum uterque nihilo aequatus praebet solutionem: ambas igitur seorsim perpendamus.

§. 49. Pro priore igitur casu statuamus \sin\frac{1}{2}\omega=0, eritque in genere \frac{1}{2}\omega=i\pi, denotante i numerum integrum quemcunque; ita ut hic jam innumerabiles motus regulares contineantur; ac manifestum est hunc casum prorsus convenire cum casu quarto supra evoluto, nisi « (155) » en haut, au milieu ; le nombre 97 est à l'encre en haut à droite. Le titre « Evolutio casus, » est souligné, et la dernière ligne du titre d'un long trait ; il ne porte pas de numéro. L'exposant du premier e dans la troisième équation est surchargé et empâté : « 2\omega » est la lecture la plus probable de ce qui est visible. Un petit signe isolé, en forme de « o », dans la marge devant la deuxième équation. Une tache d'encre sous « denotante ». Le feuillet s'arrête sur « nisi ».

(156)

quod hic sit \frac{1}{2}\omega quod ibi erat \omega; scilicet hic pro utraque portione longitudo tantum est \frac{1}{2}a. Utraque igitur semissis eodem modo suas vibrationes peragit, ac si seorsim existeret et in utroque termino stylo simpliciter esset fixa; quamobrem omnes soni simplices, quos utraque portio edere potest, sequentibus numeris exprimentur \frac{4\pi c\surd 2gb}{aa};\ \frac{16\pi c\surd 2gb}{aa};\ \frac{36\pi c\surd 2gb}{aa};\ \frac{64\pi c\surd 2gb}{aa}; qui ergo omnes duplici octava altiores sunt quam casu IV; cujus discriminis ratio in hoc est sita, quod longitudo hoc casu tantum semissis est illius.

§. 50. Hoc igitur casu coefficientes \alpha, \beta, \gamma, \delta. et \alpha', \beta', \gamma', \delta', sequenti modo determinabuntur: \alpha=e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega};\quad \beta=e^{\frac{3}{2}\omega}-e^{\frac{1}{2}\omega};\quad \gamma=-\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})}{\sin\frac{1}{2}\omega};\quad \delta=0 \alpha'=e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega};\quad \beta'=-e^{2\omega}(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{1}{2}\omega});\quad \gamma'=-\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})}{\sin\frac{1}{2}\omega-\cos\frac{1}{2}\omega\,\text{tang.}\,\omega} \text{ et} \delta'=\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})\,\text{tang.}\,\omega}{\sin\frac{1}{2}\omega-\cos\frac{1}{2}\omega\,\text{tang.}\,\omega}. Est vero \sin\tfrac{1}{2}\omega-\cos\tfrac{1}{2}\omega\,\text{tang.}\,\omega=\frac{\sin\frac{1}{2}\omega\cos.\omega-\cos.\frac{1}{2}\omega\,\text{sin.}\,\omega}{\cos.\omega}=-\frac{\sin\frac{1}{2}\omega}{\cos.\omega} ubi, quia est \omega=2i\pi, erit \cos.\omega=1, at \text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega=0 Multiplicemus igitur omnes hos coefficientes per \sin\frac{1}{2}\omega eritque \alpha=0,\quad \beta=0,\quad \gamma=-(1-e^{\omega})(e^{\omega}-1) \quad\text{et}\quad \delta=0; « (156) » en haut, au milieu. Le chiffre du numérateur des exposants \frac{3}{2} a une boucle fermée qui le rapproche d'un « 9 », comme le « 3 » de la vue 186 ; il est lu « 3 », valeur qu'il a à la vue 199. Dans \beta', les deux exposants de la parenthèse sont écrits \frac{1}{2}\omega tous les deux, et ils sont laissés tels. Les nombres des sons, « 36 » et « 64 », sont écrits d'un « 6 » à boucle ouverte qui ressemble à un « b ». Devant « sin. \frac{1}{2}\omega = 0 », un mot court est biffé d'une rature épaisse et n'est pas lu. Le « l » de « longitudo », à la ligne « quod longitudo hoc », est repris à la plume. Le feuillet s'arrête sur « \delta=0; » ; la suite est à la vue 201.