Français 9115 · lot 11 · vues 201–220
· Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
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Numérotation des feuillets. Trois séries, toutes à l'encre. La copie latine porte en tête de chaque page, au milieu, un nombre entre parenthèses, de (157) à (161) aux vues 201 à 206, qui semble reporter la page de l'imprimé copié : c'est une inférence. La série à l'encre des lots précédents se poursuit en haut à droite : 98 (vue 201), 99 (203, et sur sa seconde photographie, 204), 100 (206), puis, sur les feuillets français, 101 (208), 102 (210), 103 (212), 104 (214), 105 (216), 106 (218), 107 (220), un par recto écrit et sans lacune. Elle numérote enfin elle-même les feuillets de chacune de ses deux rédactions : 2 (212), 3 (214), 4 (216) en haut à gauche pour la première ; 1 (218) et 2 (220), soulignés, en haut au milieu pour la seconde. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Aucune foliotation au crayon de la Bibliothèque n'a été lue sur ces vues, et aucun « f. » n'est donc porté ici. La vue 204 photographie une seconde fois la page de la vue 203 et n'est pas transcrite ; les vues 207, 209, 211, 213, 215, 217 et 219 sont des versos blancs où ne paraît que la transparence de leur recto.
201(157)
porro \[\alpha'=0,\quad \beta'=0,\quad \gamma'=(e^{\omega}-1)(1-e^{\omega}) \text{ et } \delta'=0.\] Quia igitur omnes evanescunt praeter \(\gamma\) et \(\gamma'\), ac praeterea est \(\gamma'=-\gamma\), si ponamus \(\gamma=1\) erit \(\gamma'=-1\); pro portione \(EL\) igitur aequatione motum exprimens erit \[y=C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,u\omega\] et pro altera portione \(LF\) \[y=-C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,u\omega\] ubi est \(u=\frac{s}{a}\).
§. 51. Praeterea vero datur adhuc alia solutio ex altero factore oriunda, ex quo fit \[\text{tang.}\,\tfrac{1}{2}\omega=\frac{e^{\omega}-1}{e^{\omega}+1}=\frac{e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega}}{e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega}},\] qui valor congruit cum eo, qui supra, casu quinto, est erutus: totum enim discrimen in hoc consistit, quod hic sit \(\frac{1}{2}\omega\) quod ubi erat \(\omega\), quemadmodum rei natura postulat, quoniam hic utriusque portionis longitudo tantum est \(\frac{1}{2}a\). Hinc ergo intelligimus, utramque portionem \(EL\) et \(LF\) perinde contremiscere posse ac si utraque in \(E\) et \(F\) stylo simpliciter esset fixa, in \(L\) vero firmiter prorsus infixa. Hic autem valores pro \(\omega\) erunt \(\frac{5\pi}{2}\), \(\frac{9\pi}{2}\), \(\frac{13\pi}{2}\), \(\frac{17\pi}{2}\), \(\frac{21\pi}{2}\), &c. itaque hinc soni orientur duabus octavis altiores quam casu quinto. Hic igitur maxime notatu dignum contigit, quod ambas portiones \(EL\) et \(LF\) duplici modo contremiscere possunt, altero, qui cum casu superiore « (157) » en haut, au milieu ; le nombre 98 est à l'encre en haut à droite. Le « et » de la première ligne d'équations est traversé par la barre de son \(t\), rejetée en arrière : ce n'est pas une rature. Le radical est écrit sans barre, « \(\surd 2gb\) ». Le feuillet s'arrête sur « altero, qui cum casu superiore », dont la phrase se poursuit à la vue 202.
202(158)
quinto, altero vero, qui cum casu quinto congruit. Caeterum valores coefficientium perinde se habebunt, uti jam supra sunt evoluti, nisi quod pro hoc casu non fit \(\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega=0\)
Scholion
§. 52. Hactenus perpetuo assumsimus, virgam elasticam in statu naturali esse rectam. Nihilo vero difficilior evadit investigatio, si virga in statu naturali habuerit figuram quamcunque incurvatam. Veluti si ejus figura naturalis fuerit curva quaecunque \(EXF\), Tab III fig 9 totum discrimen huc reducitur, ut ipsam hanc lineam curvam \(EXF\) [dum ante nobis erat linea recta cum figura curvae congruens.] pro axe accipiamus. Hic scilicet sumto portione quacunque \(EX=x=s\), punctum virgae \(X\) alium motum recipere nequit, nisi in directione \(XY\), ad ipsam curvam normali. Quare si concipiamus durante motu punctum \(X\) translatum esse \(Y\), ac vocemus hance applicatam \(XY=y\), formulae differentiales, quas theoria nobis suggessit etiam hic locum habebunt, atque adeo formula \(-\frac{ddy}{ds^2}\), hic jam excessum curvaturae in \(Y\) supra curvaturam naturam in \(X\) exprimet: quo observato aequatio motum determinans manebit prorsus ut ante, sed scilicet \[\frac{1}{2g}\left(\frac{ddy}{dt^2}\right)=-bcc\left(\frac{d^4y}{ds^4}\right),\] unde etiam pro singulis motibus regularibus habebitur eadem aequatio integralis: \[y=C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t\frac{\surd 2g}{k}\Big)\Big(\alpha e^{\frac{s}{f}}+\beta e^{-\frac{s}{f}}+\gamma\,\text{sin.}\,\frac{s}{f}+\delta\cos.\frac{s}{f}\Big)\] existente \(f^4=bcck\). Quare si tota virgae longitudo \(EXF\) statuatur \(=a\), « (158) » en haut, au milieu ; cette page ne porte pas de nombre en haut à droite. Deux petits crochets à la plume dans la marge gauche, devant « coefficientium » et sous son début. Dans « non fit sin. \(\frac{1}{2}\omega=0\) », « fit » est traversé par la barre de son \(t\) rejetée en arrière et « sin. » est repassé et empâté ; ce n'est pas une rature. La phrase « dum ante nobis erat linea recta cum figura curvae congruens. » est écrite d'une plume beaucoup plus fine au-dessus de la ligne, précédée d'une croix et rappelée par une croix placée au-dessus de « accipiamus » : elle est mise à cet endroit. « sumto portione » est écrit ainsi, là où la grammaire attendrait « sumta ». Le mot lu « hance » a ses dernières lettres repassées et pourrait n'être que « hanc ». « supra curvaturam naturam » est écrit ainsi. « Scholion » est souligné. Le feuillet s'arrête sur « statuatur \(=a\), ».
203(159)
omnes casus, quos supra pertractavimus etiam hic sine ulla mutatione locum habebunt, et ista virga omnes illos sonos edere poterit, quos supra assignavimus, prouti scilicet virgae termini fuerint liberi, vel simpliciter fixi, vel etiam firmiter infixi; ita ut pro talibus virgis naturaliter incurvatis nulla nova investigatione sit opus. Interim tamen hinc ii casus sunt excipiendi, quibus virga ita est incurvata, ut figuram in se redeuntem referat, quando quidem similis casus in virgis naturaliter rectis locum habere nequit, quamobrem istum casum coronidis loco hic subjungamus.
Evolutio casus quo virga elastica in statu naturali figuram in se redeuntem habet, sive de sonis annulorum elasticorum
§. 53. Sit igitur figura virgae elasticae circulus \(AXBC\), sive alia Tab. III fig 10 quaecunque curva in se rediens, cujus tota peripheria sit \(=a\), crassities vero et elasticitas virgae maneant eadem ut ante stabilitae; tum vero pro motibus regularibus, quos haec virga recipere potest, sit k longitudo penduli simplicis isochroni, unde formetur quantitas \(f=\sqrt[4]{bcck}\); tum pro quacunque portione indefinita \(AX=s\) sit \(Y\) punctum, in quod praesenti tempore \(=t\) punctum \(X\) sit translatum, et jam vidimus, aequationem integralem in genere fore, \[y=C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t\frac{\surd 2g}{k}\Big)\Big(\alpha e^{\frac{s}{f}}+\beta e^{-\frac{s}{f}}+\gamma\,\text{sin.}\,\frac{s}{f}+\delta\cos.\frac{s}{f}\Big).\] « (159) » en haut, au milieu ; le nombre 99 est à l'encre en haut à droite. Entre « virga » et « omnes », un trait vertical à la plume, comme aux vues 182 et suivantes. « quamobrem » a son \(o\) repassé et empâté ; « coronidis » est empâté de même. Le titre est écrit sur trois lignes, « Evolutio casus » souligné et la dernière ligne soulignée d'un long trait. Le radical de \(f\) est écrit sans barre, surmonté d'un petit chiffre lu « 4 » : il est rendu \(\sqrt[4]{bcck}\), et le \(k\) final est une capitale barrée. Les deux chiffres qui suivent « fig » en marge sont empâtés ; la lecture « 10 » suit la suite des figures de la planche, la vue 202 citant « fig 9 ». Le \(A\) de « \(AX=s\) » est surchargé d'une tache. Le feuillet s'arrête sur cette équation ; la suite est à la vue 205. Cette page est photographiée une seconde fois à la vue 204.
205(160)
Sicque totum negotium jam huc perductum, ut coefficientibus \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) debiti valores assignentur, ubi res longe aliter se habere deprehenditur ac supra, quoniam hic neque termini liberi, neque simpliciter fixi, neque firmiter infixi occurrunt.
§. 54. Est vero ipsa indoles, qua figura virgae in se rediens assumitur facilem viam nobis aperit hos coefficientes determinandi. Consideremus enim ipsum punctum \(A\), ubi est \(s=0\), quod ita accipi potest, ut ibi fiat etiam \(y=0\). Pro hoc ergo puncto, omisso factore partim constante partim a tempore pendente, fieri debet \(0=\alpha+\beta+\delta\). Jam statuamus \(s=a\), et quia iterum in idem punctum \(A\) incidimus ponendo brevitatis gratia \(\frac{a}{f}=\omega\), fieri oportet \[0=\alpha e^{\omega}+\beta e^{-\omega}+\gamma\,\text{sin.}\,\omega+\delta\cos\omega,\] atque idem evenire debet, si ponamus \(s=2a\) sive \(3a\) sive \(4a\) &c unde nascentur sequentes aequationes: \[0=\alpha e^{2\omega}+\beta e^{-2\omega}+\gamma\,\text{sin.}\,2\omega+\delta\cos.2\omega,\] \[0=\alpha e^{3\omega}+\beta e^{-3\omega}+\gamma\,\text{sin.}\,3\omega+\delta\cos 3\omega,\] \[\&c \qquad \&c.\] quibus omnibus simul satisfieri nequit, nisi sit \(\alpha=0\), \(\beta=0\), et \(\delta=0\); tum vero necesse est, ut simul fiat \[\text{sin.}\,\omega=0,\quad \text{sin.}\,2\omega=0,\quad \text{sin.}\,3\omega=0 \ \&c.\] quod in genere evenit, sumendo \(\omega=i\pi\), denotante \(i\) numerum « (160) » en haut, au milieu ; le « 6 » est repassé et empâté. Cette page ne porte pas de nombre en haut à droite. Entre « res » et « longe », un trait vertical à la plume. Les deux « &c » sous les deux dernières équations sont écrits l'un sous \(\beta e^{-3\omega}\), l'autre sous \(\delta\cos 3\omega\) ; ils sont rendus sur une ligne. Le feuillet s'arrête sur « denotante \(i\) numerum ».
206(161)
integrum quemcunque; unde ut supra oritur sonus \(=\frac{ii\pi c\surd 2gb}{aa}\), ita ut soni simplices progrediantur in hac progressione. \[\frac{\pi c\surd 2gb}{aa},\ \frac{4\pi c\surd 2gb}{aa},\ \frac{9\pi c\surd 2gb}{aa},\ \frac{16\pi c\surd 2gb}{aa}\ \&c.\]
§. 55. Sonus igitur principalis, quem talis virga edere potest, continetur in formula \(\frac{\pi c\surd 2gb}{aa}\); aliqui vero progrediuntur, qui cum soni simplices secundum numeros quadratos \(4, 9, 16, 25\), progrediuntur, qui cum mox nimis fiant alti quam ut exaudiri queant, praeter sonum fundamentalem plerumque alius non sentietur, nisi dupla octava, quo ipso harmonia gratissima […] [percipietur]. Tales igitur annuli elastici prae chordis musicis hac insigni proprietate sunt praediti, ut sonos multo puriores reddant, id quod etiam in integris discis et catinis campaniformibus evenire debere videtur, cujusmodi corpora inter instrumenta musica jam sunt recepta, quorumque soni singulari suavitate sensum auditus afficere feruntur. Caeterum manente eadem elasticitate hi soni tenent rationem reciprocam duplicatam totius perimetri \(a\), prorsus uti jam supra circa virgas rectas observavimus
fin. « (161) » en haut, au milieu ; le nombre 100 est à l'encre en haut à droite. « progrediuntur, qui cum » est biffé d'un long trait. Le mot biffé avant « percipietur » est couvert d'une rature épaisse : on y devine « pro… » au début et « …etur » à la fin, mais il n'est pas lu ; « percipietur » est écrit au-dessus, sans signe d'insertion, et mis à sa place. La copie s'arrête ici : après « observavimus », le mot français « fin. » est écrit au milieu de la page, suivi d'un grand paraphe. Le bas du feuillet est blanc.
208
Remarques sur la lame elastique} le feuillet ne porte que ce titre, écrit en grand au haut de la page, et le nombre 101 à l'encre en haut à droite ; tout le reste est blanc. « elastique » est écrit sans accent sur l'\(e\) initial, le point de l'\(i\) étant reporté sur les lettres qui précèdent. C'est un feuillet de titre pour ce qui suit ; son verso, vue 209, est blanc.
210
Remarque sur le mémoire d'Euler: Investigatio motuum quibus lamina et virga elastica contremiscunt, in. act. Acad. pétrop ann. 1779 P.I p. 103 et seq.
Après avoir examiné les mouvemens possibles dela lame vibrante en ayant seulement egard a l'état des extremités qui peuvent etre fixées, simplement appuiées ou libres, d'ou il resulte six cas essentiellement differens; l'auteur suppose que la même lame puisse en outre etre appuiée dans un ou plusieurs points differens des extremités demanière a ceque la communication entre ses differentes parties ne soit pas interrompue. Puis il ajoute que le developpement detous ces cas demanderoit des recherches infinies [et] qu'il suffit d'examiner un d'entr'eux pour faire comprendre comment le calcul peut leur etre appliqué.
Le cas qu'il choisit est le plus simple de tous savoir celui savoir celui ou la lame elastique est non seulement, simplement appuiée a l'une et l'autre de ses extremités mais encore soumise a l'action d'un stilet dans un point quelconque different des extremités il se propose (No 47) de trouver tous les mouvemens de vibration dont une telle lame peut etre agitée.
Dans la suite du même No notre auteur parvient a l'équation suivante: \[0=2-2e^{2\omega}-(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\frac{\text{sin.}\,\omega}{\text{sin}\,\lambda\omega\,\text{sin}(1-\lambda)\omega}\] il remarque que la question est réduite a tirer de cette équation les valeurs de l'angle \(\omega\). mais il ajoute qu'il n'ose entreprendre ce travail acause de la complication des formules et qu'il suffit d'avoir montré dans ce lieu par quelle methode on peut traiter ces difficiles questions.
Cependant après avoir etabli que les suppositions \(\lambda=0\) et \(\lambda=1\) menent a conclure deson équation finale cidessus, \(0=2(1-e^{2\omega})\) d'ou il suit \(1=e^{2\omega}\) et parconséquent \(\omega=0\) qui est la valeur qui convient aurepos; il ajoute, que le cas ou \(\lambda=\frac{1}{2}\) mérite d'être developpée.
C'est cequ'il effectue No 48 et il trouve que son équation finale prend alors la forme suivante: \[0=2-2e^{2\omega}-(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})\frac{\text{sin}\,\omega}{\text{sin.}^2\frac{1}{2}\omega}\] qui peut être réduite a celle ci: \(0=2(1-e^{2\omega})\,\text{sin}^2\frac{1}{2}\omega-(1-e^{\omega})(e^{\omega}-1)\,\text{sin}\,\omega\), laquelle devient après ladivision par le facteur commun \(1-e^{\omega}\), \(0=2(1+e^{\omega})\,\text{sin}^2\frac{1}{2}\omega-(e^{\omega}-1)\,\text{sin.}\,\omega\) il met ensuite dans cette dernière équation pour \(\text{sin}\,\omega\) sa valeur \(2\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega\cos\frac{1}{2}\omega\) et elle devient après avoir été divisée par 2, \(0=(1+e^{\omega})\,\text{sin}^2\frac{1}{2}\omega-(e^{\omega}-1)\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega\cos\frac{1}{2}\omega\) laquelle a manifestement deux facteurs l'un \(\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega\) et l'autre \((1+e^{\omega})\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega-(e^{\omega}-1)\cos\frac{1}{2}\omega\) qui l'un et l'autre egalés a zéro donne une solution. L'auteur examine chacune de ces solutions enparticulier
Il prend d'abord (N. 49) \(\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega=0\) il en conclut \(\frac{1}{2}\omega=i\pi\) en designant par \(i\) un nombre entier quelconque et il observe que ce cas est parfaitement semblable au cas quatrieme qui est celui ou les deux extremités dela lame vibrante sont simplement appuiées (2d No 35), si ce n'est que l'on a ici \(\frac{1}{2}\omega\) a la place de \(\omega\) dans l'endroit cité, et cela parceque l'une et l'autre parties de la longueur sont seulement \(\frac{1}{2}a\).
Il conclut que l'une et l'autre « moitiés » font leurs vibrations delamême manière que si elles avoient le nombre 102 est à l'encre en haut à droite ; cette page ne porte pas de nombre entre parenthèses, la copie latine s'étant arrêtée à la vue 206. En haut à gauche, un signe à l'encre, noyé dans une tache triangulaire et suivi du même trait oblique qui accompagne les chiffres 2, 3 et 4 des vues 212, 214 et 216 : c'est la place du premier nombre de la série, mais le chiffre lui-même n'est pas lu. Le titre est souligné d'un bout à l'autre, les mots latins soulignés en outre chacun séparément, et un double filet le sépare du texte. « et » est ajouté d'une plume plus fine au-dessus de la ligne, entre « infinies » et « qu'il ». Un petit signe à la plume dans la marge gauche, en regard de la seconde équation. Dans la référence lue « (2d No 35) », les deux premiers signes sont un chiffre 2 suivi d'une lettre bouclée qui n'est pas assurée. Le mot « moitiés » est entouré sur le feuillet de deux petites virgules hautes, rendues ici par des guillemets. L'orthographe est la sienne : « mouvemens », « differens », « appuiées », « demanière », « detous », « demanderoit », « acause », « parconséquent », « aurepos », « cidessus », « parceque », « delamême », « dela », « deson », « enparticulier », « ladivision », « cequ'il ». Le feuillet s'arrête sur « que si elles avoient » ; la suite est à la vue 212.
212
leurs extremités appuiées au point ou est le stilet d'ou il resulte que les sons simples que l'une et l'autre portions peuvent donner sont exprimés par les nombres suivans: \[\frac{4\pi c\surd 2gb}{aa};\ \frac{16\pi c\surd 2gb}{aa};\ \frac{36\pi c\surd 2gb}{aa};\ \frac{64\pi c\surd 2gb}{aa};\] et sont parconséquent les doubles octaves audessus, de ceux qui ont lieu dans le cas IV. cequi est naturel puisque dans le cas present les longueurs sont seulement la moitié de celles du cas IV.
L'auteur etablit ensuite No 50 que les coëfficiens \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) et \(\alpha'\), \(\beta'\), \(\gamma'\), \(\delta'\) seront déterminés pour le cas present dela manière suivante: \[\alpha=e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega};\quad \beta=e^{\frac{3}{2}\omega}-e^{\frac{1}{2}\omega},\quad \gamma=-\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})}{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega};\quad \delta=0\] \[\alpha'=e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega};\quad \beta'=-e^{2\omega}(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega});\quad \gamma'=-\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})}{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega-\cos\frac{1}{2}\omega\,\text{tang}\,\omega}\] \[\text{et}\quad \delta'=\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})\,\text{tang}\,\omega}{\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega-\cos\frac{1}{2}\omega\,\text{tang}\,\omega}\] et il conclut acause de \(\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega-\cos\frac{1}{2}\omega\,\text{tang}\,\omega=\frac{\text{sin}\frac{1}{2}\omega\cos\omega-\cos\frac{1}{2}\omega\,\text{sin}\,\omega}{\cos\omega}=-\frac{\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega}{\cos.\omega}\) et de \(\omega=2i\pi\) d'ou il resulte \(\cos\omega=1\), et \(\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega=0\); que si on multiplie tous ces coëfficiens par \(\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega\) ils deviendront \[\alpha=0,\ \beta=0,\ \gamma=-(1-e^{\omega})(e^{\omega}-1),\ \delta=0 \text{ et } \alpha'=0,\ \beta'=0,\ \gamma'=(e^{\omega}-1)(1-e^{\omega}),\ \delta'=0.\]
On voit en effet qu'il est permis de multiplier tous ces coëfficiens par \(\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega\) ou par tel autre facteur que l'on voudra puisque les valeurs d'\(\alpha\) et \(\alpha'\) desquelles resultent celles des autres coëfficiens sont conclues dela fraction \(\frac{\alpha}{\alpha'}=\frac{e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\). (Voyez No 47)
Le No 51 est consacré a l'examen de la solution qui resulte de l'autre facteur duquel on tire \(\text{tang}\,\frac{1}{2}\omega=\frac{e^{\omega}-1}{1+e^{\omega}}=\frac{e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega}}{e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega}}\) l'auteur observe que cette valeur est lamême que celle qu'il a trouvé pour le cas V ou une extremité est appuiée et l'autre fixée et que la seule difference consiste enceque l'on a ici \(\frac{1}{2}\omega\) au lieu de \(\omega\), cequi est naturel puisque l'une et l'autre portions dela longueur sont seulement \(\frac{1}{2}a\). Il conçoit que les deux moitiés dela lame puissent se mouvoir en même tems et qu'ayant chacune une deleurs extrèmités appuiées la seconde se trouve fixée par le stilet consideré non plus comme simple point d'appui mais comme un obstacle fixe. Il trouve que les valeurs de l'angle \(\omega\) doivent être \(\frac{5\pi}{2}\), \(\frac{9\pi}{2}\), \(\frac{13\pi}{2}\) &c. et que le ton est parconséquent de deux octaves plus élevé que dans le cas V.
Il ajoute enfin qu'il est digne de remarque que les deux moitiés dela lame puissent vibrer de deux manières, l'une qui se rapporte au cas IV et l'autre qui appartient au cas V.
Il me semble étonnant qu'Euler ait pû croire que cette seconde solution satisfait a laquestion puisque son hypothèse est générale, dont alavérité il n'examine qu'un seul cas et: qu'independamment de l'état des extrèmités la lame puisse pu etre appuiée dans un ou plusieurs points de manière a ceque la communication entre ses differens points ne soit pas interrompue. et que la supposition d'un point fixe aumilieu de l'étendue dela même lame équivaut a sa séparation en deux moitiés entièrement independantes.
D'ailleurs on verra bientôt que pour toute autre valeur de \(\lambda\) que \(\frac{1}{2}\) il ne se trouve point defacteur de l'équation finale d'ou on puisse conclure une solution dela le nombre 103 est à l'encre en haut à droite ; en haut à gauche, un chiffre 2, de sa main, qui paraît numéroter les feuillets de la Remarque. « enfin », dans « Il ajoute enfin », est repassé sur une première forme empâtée. Le passage « qu'independamment de l'état des extrèmités … ne soit pas interrompue » est souligné d'un bout à l'autre. Entre « la lame puisse » et « etre appuiée », un mot court de deux ou trois lettres, lu « pu », qui ne fait pas sens ; il n'est pas biffé. Les longs traits horizontaux qui traversent « extremité est », « toute autre » et d'autres mots sont les barres des \(t\) rejetées en arrière, non des ratures. Dans \(\beta'\), elle écrit \(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega}\) là où la vue 200 écrivait deux fois le même exposant. Le feuillet s'arrête sur « une solution dela » ; la suite est à la vue 214.
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question relative au cas V. tandis qu'au contraire la solution qui serapporte au cas IV est générale et independante de la valeur de \(\lambda\) pourvu toutefois que \(\lambda\) soit une partie aliquote de l'unité.
Pour se rendre raison dela difficulté qui semble résulter de l'impossibilité d'admettre comme solution dela question la condition [valeur] \(\text{tang}\,\frac{1}{2}\omega=\frac{e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega}}{e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega}}\) qui dans le cas particulier ou \(\lambda=\frac{1}{2}\) satisfait cependant a l'équation finale, je crois qu'il suffit de remarquer que la condition dela communication entre les differens points dela lame ne passe pas dans le calcul, d'ou il resulte que l'équation finale peut avoir des solutions qui soient independantes de cette condition et qu'il faut rejetter si on veut y avoir egard pour ne conserver quecelles qui sont compatibles avec elle. Il semble en effet d'ailleurs que l'examen de l'effet des points d'appuis appliqués dans des lieux differens des extremités ne doive jamais donner d'autres resultats que ceux qui sont déja contenus dans la solution générale qui renferme tous les mouvemens possibles dela lame pour un etat donné des extremités, car cet effet est consideré comme purement exclutif et puisqu'il est évident qu'il ne peut faire naître des mouvemens inconciliables avec l'état des extrèmités il se borne a déterminer quelques uns des mouvemens possibles déja connus en rendant les autres impossibles; cela posé il faut que toute solution dela question soit conciliable avec la solution générale relative a l'état des extremités et on voit que dans le cas present qui est celui des deux extremités appuiées l'angle \(\omega\) est déterminé par l'équation \(\text{sin.}\,\omega=0\). cette équation est d'accord avec celle que fournit l'équation finale pour le cas qui se rapporte au cas V savoir \(\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega=0\) d'ou resulte \(2\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega\cos\frac{1}{2}\omega=\text{sin}\,\omega=0\) mais il n'en est pas demême dela valeur \(\text{tang}\,\frac{1}{2}\omega=\frac{e^{\omega}-1}{e^{\omega}+1}\) d'ou on tire \(\frac{1}{\cos^2\frac{1}{2}\omega}=\frac{2(e^{2\omega}+1)}{(e^{\omega}+1)^2}\) \(\cos^2\frac{1}{2}\omega=\frac{(e^{\omega}+1)^2}{2(e^{2\omega}+1)}\) \(1-\cos^2\frac{1}{2}\omega=\frac{(e^{\omega}-1)^2}{2(e^{2\omega}+1)}\) \(\text{sin}\,\omega=\uncertain{2}\frac{(e^{2\omega}-1)}{2(e^{2\omega}+1)}\) car on est mené a conclure \(0=\frac{e^{2\omega}-1}{2(e^{2\omega}+1)}\) ou \(e^{2\omega}=1\), \(\omega=0\). c'est adire que l'on tombe sur lavaleur qui rend le mouvement impossible puisqu'elle convient au repos absolu delalame.
Au reste on verra dans la suite que si on seproposé d'examiner l'effet de l'action d'un stilet appliqué a un point different des extremités en supposant les mêmes extrèmités l'une et l'autre libres et ensuite l'une et l'autre fixées on parvient toujours a une équation finale qui dans le cas ou \(\lambda=\frac{1}{2}\) donne deux solutions l'une relative au cas ou la lame seroit consideré comme separée en deux lames moitiés moins longues dont une des extremités seroit libre, si les deux le nombre 104 est à l'encre en haut à droite ; en haut à gauche, le chiffre 3, de sa main. « valeur » est écrit au-dessus de « condition » biffé. « en effet » est biffé d'un trait épais, « d'ailleurs » le suit sur la ligne. « naître » est repassé sur une première forme et traversé par la barre de son \(t\) : il n'est pas biffé. « exclutif » est écrit ainsi. Les cinq formules données ici comme notes marginales sont écrites dans la marge de droite du feuillet, en regard des lignes où elles sont placées ; la dernière porte, entre le signe d'égalité et la fraction, un signe empâté lu « 2 » — avec ce facteur le calcul se referme, et c'est la seule raison de le lire ainsi. Le feuillet s'arrête sur « si les deux » ; la suite est à la vue 216.
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extremités dela lame primitive ont été supposées libres, fixe si les mêmes extremités ont été supposées fixes, tandis que la seconde extremité seroit appuiée aupoint du milieu ou le stilet est appliqué, et l'autre solution relative au cas ou tout restant demême que dans l'autre la premiere solution l'extremité que l'on vient de supposer appuiée au point ou le stilet est appliqué seroit fixée au même point. Et quelemême que dans le cas calculé par Euler, qui est celui ou les extremités dela lame primitive sont l'une et l'autre appuiées, la premiere solution est la seule qui s'accorde avec la valeur generale de l'angle \(\omega\), tandis que la seconde mene a conclure \(\omega=0\) et n'appartient pas parconséquent a laquestion dans laquelle on seproposé de déterminer les mouvemens possibles de la lame soumise aux conditions donnees, puisqu'elle exige que lamême lame reste en repos.
Enfin si il etoit necessaire d'ajouter une nouvelle preuve a l'impossibilité de considerer la seconde solution d'Euler comme appartenant a laquestion il suffiroit d'observer qu'excepté le cas \(\lambda=\frac{1}{2}\), les deux portions dela lame separées par un appui fixe ne peuvent rendre lemême ton, comme il est aisé de s'en assurer par la consideration des differens nombres qui leur conviennent, tandis que toute cette analyse est fondée sur la supposition que les deux portions enquestion se meuvent dans lemême tems et donnent parconséquent des sons pareils
Je reprens apresent l'équation finale \(0=2-2e^{2\omega}-(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\frac{\text{sin}\,\omega}{\text{sin}\,\lambda\omega\,\text{sin}(1-\lambda)\omega}\) donné par Euler de de laquelle il s'agit de tirer les valeurs de l'angle \(\omega\), et je me propose de prouver que quelque soit la valeur de \(\lambda\) pourvu toutefois que cette quantité soit fraction exacte de l'unité, l'équation finale est toujours susceptible d'une solution qui se rapporte au cas quatrieme.
Cette équation \(0=2-2e^{2\omega}-(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\frac{\text{sin}\,\omega}{\text{sin}\,\lambda\omega\,\text{sin}(1-\lambda)\omega}\) peut être transformée comme il suit: \[0=2(e^{-\omega}-e^{\omega})-(e^{(\lambda-1)\omega}-e^{(1-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\frac{\text{sin}\,\omega}{\text{sin}\,\lambda\omega\,\text{sin}(1-\lambda)\omega}\] \[0=\frac{2(e^{\omega}-e^{-\omega})}{(e^{(\lambda-1)\omega}-e^{(1-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}\cdot \text{sin}\,\lambda\omega\,\text{sin}(1-\lambda)\omega \ +\ \text{sin}\,\omega\] \[\begin{align*} 0={}& \frac{(e^{(\lambda-1)\omega}+e^{(1-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})}{(e^{(\lambda-1)\omega}-e^{(1-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}\,\text{sin}\,\lambda\omega\,\text{sin}(1-\lambda)\omega \\ &+ \text{sin}\,\lambda\omega\cos(1-\lambda)\omega + \text{sin}(1-\lambda)\omega\cos\lambda\omega \end{align*}\] \[\begin{align*} 0={}& \frac{e^{(\lambda-1)\omega}+e^{(1-\lambda)\omega}}{e^{(\lambda-1)\omega}-e^{(1-\lambda)\omega}}\cdot\text{sin}\,\lambda\omega\,\text{sin}(1-\lambda)\omega - \frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega\,\text{sin}(1-\lambda)\omega \\ &+ \text{sin}(1-\lambda)\omega\cos\lambda\omega + \text{sin}\,\lambda\omega\cos(1-\lambda)\omega \end{align*}\] enfin \[\begin{align*} 0={}& \text{sin}\,\lambda\omega\Big\{\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin}(1-\lambda)\omega-\cos(1-\lambda)\omega\Big\} \\ &+ \text{sin}(1-\lambda)\omega\Big\{\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega-\cos\lambda\omega\Big\} \end{align*}\] sous cette forme on voit aisément que l'équation finale est fonction homogène de \(\lambda\) et \(1-\lambda\) le nombre 105 est à l'encre en haut à droite ; en haut à gauche, le chiffre 4, de sa main. Le mot biffé avant « la premiere solution » est « l'autre » ; celui biffé après « Euler » est « de », aussitôt repris. « Et quelemême » est écrit d'un seul trait, là où le sens demande « Et que de même » ; laissé tel quel. « seproposé », « donnees », « lamême », « lemême », « enquestion », « laquestion », « apresent » sont écrits ainsi. Le mot « enfin » est placé dans la marge gauche, en regard de la dernière équation. Le feuillet s'arrête sur « de \(\lambda\) et \(1-\lambda\) » ; le bas de la page est blanc et la suite est à la vue 218.
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Remarques sur le memoire d'Euler: Investigatio motuum quibus laminæ et virgæ elasticæ contremiscunt, in act. Acad. Petrop. pro anno 1779 P.I p. 103 seq.
[…]. Euler avoit déja traité les questions qui font l'objet de ce memoire dans sa methodus inveniendi curvas maximi minimique gaudentes, imprimée en 1744. En reprenant cette matière dans le mémoire dont il s'agit ici il a exposé dans un ordre plus méthodique les recherches qui s'appliquent aux six cas qu'il distingue par rapport a l'état des extremités dela lame elastique vibrante. mais on ne remarque aucun changement essentiel dans sa méthode et les resultats sont les mêmes de part et d'autre. L'addition la plus importante qu'il ait faite a son premier travail concerne l'examen de l'effet d'un point d'appui placé dans un lieu quelconque de l'étendue dela lame different des extremités. Je vais rapporter ici cette partie de son mémoire en y joignant les problèmes relatifs aux cas qu'il a négligé de traiter. et les reflexions que l'étude l'examen plus aprofondi de cette matière m'a fait naitre Voici comment s'exprime l'auteur p. 151
« nous n'avons encore examiné que les cas ou les extremités sont libres, « appuiées, ou fixés, mais on peut supposer que la lame est appuiée « dans un ou plusieurs points differens des extremités de manière que « la communication du mouvement entre ses differentes parties ne soit « pas interrompue. mais le developpement de tous ces cas demanderoit « des recherches infinies. C'est pourquoi il suffit d'examiner un seul « pour faire comprendre comment le calcul peut leur etre « appliqué
« Probleme
« 47 Si la lame elastique est non seulement simplement appuiée a l'une « et l'autre de ses extremités \(E\). et \(F\)., mais encore soumise a l'action « d'un stilet dans un point quelconque \(L\), de son etendue ; trouver « tous les mouvemens de vibration dont cette lame peut être agitée
« Solution
« En continuant de prendre la longueur totale de la lame « \(EF=a\) et faisant la portion \(EL=\lambda a\), desorte que \(\lambda\) puisse « representer une fraction quelconque moindre que l'unité. Il est « évident d'abord que si la lame est fermement fixée au point « \(L\). la communication entre les deux portions est le nombre 106 est à l'encre en haut à droite ; en haut, au milieu, un petit trait souligné, apparemment le chiffre 1 : ce feuillet ouvre une seconde rédaction des Remarques, dont la vue 210 donne la première. Le titre est souligné, ses mots latins soulignés en outre chacun, et un double filet le sépare du texte. Le premier mot du texte, une abréviation de deux lettres suivie d'un point, est couvert d'une rature en tire-bouchon et n'est pas lu. L'addition marginale, dans la marge de gauche, est précédée d'une croix et porte une seconde croix en exposant après « que » ; aucun signe d'insertion n'a été trouvé dans la ligne, et elle est placée ici d'après le sens. Les chiffres qui suivent « l'auteur », en petit, se lisent « 151 » ou « 131 », le chiffre du milieu n'étant pas assuré. À partir de « nous n'avons », chaque ligne de la citation s'ouvre d'un guillemet répété, à la manière du temps, comme aux vues 138 et 142 ; ces guillemets sont conservés à leur place dans le texte suivi. « Probleme » et « Solution » sont soulignés. Le feuillet s'arrête sur « entre les deux portions est » ; la suite est à la vue 220.
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« entierement interrompue, desorte que le mouvement imprimé « a l'une des deux ne pourra jamais être communiqué a l'autre « Mais si le stilet est simplement appuié au point \(L\), desorte « que la lame puisse tourner autour de ce point, ni l'un ni l'autre « de ses portions ne peut recevoir de mouvement, sans qu'il se « communique d'une manière quelconque a la lame entière. « Cependant l'action de ce stilet interromp la continuité dela « courbe entre les deux portions, desorte que la portion \(EmL\) « est exprimée par une autre equation que la portion \(LnF\); « desorte que suivant les principes que nous avons trouvé pour « les mouvemens réguliers, qui sont conformes au pendul simple « \(=k\), le premier facteur \(c\,\text{sin}\big(\zeta+t\surd\frac{g}{k}\big)\) doit necessairement « demeurer lemême pour l'une et l'autre portions, parceque « les vibrations de ces portions doivent s'exécuter et se terminer « dans le même tems et delamême manière. Les autres « facteurs peuvent être differens en raison des coëfficiens « \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\). En omettant donc le premier facteur et fesant, « comme jusqu'a présent \(\frac{a}{f}=\omega\) et \(\frac{s}{a}=u\), nous aurons pour « la portion \(EL\) \[y=\ldots\ \alpha e^{u\omega}+\beta e^{-u\omega}+\gamma\,\text{sin}\,u\omega+\delta\cos u\omega\] « et pour la portion \(LF\), \[y=\ldots\ \alpha' e^{u\omega}+\beta' e^{-u\omega}+\gamma'\,\text{sin}\,u\omega+\delta'\cos u\omega\] « dont les coëfficiens peuvent differer des premiers d'une manière « quelconque, on doit observer seulement, que pour le point \(L\), dans lequel « \(u=\lambda\) l'une et l'autre formules doivent donner les mêmes valeurs tant « pour \(\left(\frac{dy}{ds}\right)\) que pour \(\left(\frac{ddy}{ds^2}\right)\), parceque les angles que l'une et « l'autre portions font avec l'axe en \(L\), doivent necessairement etre egaux ; et aussi dans ce point ce point \(L\) les rayons « osculateurs de l'une et l'autre portions ne peuvent etre « differens. Cela posé, puisque dans ce point \(L\), pour lequel « \(u=\lambda\), l'une et l'autre appliquées y doivent s'évanouir, « nous aurons les quatre équations suivantes. le nombre 107 est à l'encre en haut à droite ; en haut, au milieu, le chiffre 2 souligné, qui poursuit la numérotation ouverte à la vue 218. Chaque ligne de la citation s'ouvre d'un guillemet répété, conservé ici à sa place dans le texte suivi ; la ligne qui commence par « etre egaux » est la seule qui n'en porte pas. Les deux formules de \(y\), écrites en ligne sur le feuillet à la suite de « la portion \(EL\) » et de « la portion \(LF\) », sont mises ici hors ligne. Dans la formule du premier facteur, le radical est écrit sans barre au-dessus de \(\frac{g}{k}\). Les points de conduite après « \(y=\) » marquent le facteur omis, comme aux vues 186, 189 et 193. Devant l'\(\alpha'\) de la seconde formule, deux ou trois signes sont repassés et empâtés. « dans ce point ce point \(L\) » est écrit ainsi, sans rature. Le feuillet s'arrête sur « les quatre équations suivantes. » ; la suite est à la vue 221, hors de ce lot.