222Vue 2223 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

<math display="block">\text{I.}\ \alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}+\gamma\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\delta\cos.\lambda\omega=0</math>

<math display="block">\text{II.}\ \alpha' e^{\lambda\omega}+\beta' e^{-\lambda\omega}+\gamma'\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\delta'\cos.\lambda\omega=0</math>

<math display="block">\begin{aligned} &\text{III.}\ \alpha e^{\lambda\omega}-\beta e^{-\lambda\omega}+\gamma\cos.\lambda\omega-\delta\,\text{sin.}\,\lambda\omega=\alpha' e^{\lambda\omega}-\beta' e^{-\lambda\omega}+\gamma'\cos.\lambda\omega-\delta'\,\text{sin.}\,\lambda\omega \\ &\text{ou III}\ (\alpha-\alpha')e^{\lambda\omega}-(\beta-\beta')e^{-\lambda\omega}+(\gamma-\gamma')\cos.\lambda\omega-(\delta-\delta')\,\text{sin.}\,\lambda\omega=0 \\ &\text{IV}\ (\alpha-\alpha')e^{\lambda\omega}+(\beta-\beta')e^{-\lambda\omega}-(\gamma-\gamma')\,\text{sin.}\,\lambda\omega-(\delta-\delta')\cos.\lambda\omega=0 \end{aligned}</math>

« Maintenant donc en considérant les extrémités, il en résultera « quatre équations selon que l'on fera ou <math>\lambda=0</math> ou <math>\lambda=1</math> ; car l'extrémité « <math>E</math>, pour laquelle <math>u=0</math> donne. V. <math>\alpha+\beta+\delta=0</math> et VI. <math>\alpha+\beta-\delta=0</math> et « l'autre extrémité <math>E</math>, pour laquelle <math>u=1</math> donne VII. <math>\alpha' e^{\omega}+\beta' e^{-\omega}+\gamma'\,\text{sin.}\,\omega+\delta'\cos.\omega=0</math> « et VIII. <math>\alpha' e^{\omega}+\beta' e^{-\omega}-\gamma'\,\text{sin.}\,\omega-\delta'\cos.\omega=0</math>. <ref>devant « Maintenant », après le guillemet, un « e » isolé, tracé puis laissé, sans rature. La seconde extrémité est écrite « <math>E</math> » comme la première, du même tracé à trois traits ; c'est le <math>F</math> du mémoire. Le mot « extrémité » est traversé d'un long trait horizontal, qui est la barre du <math>t</math> rejetée sur le mot et non une rature.</ref>

« Ainsi nous avons rencontré huit équations pour déterminer « les huit coefficiens <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, <math>\delta</math>, et <math>\alpha'</math>, <math>\beta'</math>, <math>\gamma'</math>, <math>\delta'</math> et il faudra « trouver de plus, une équation d'où on puisse tirer la valeur d'<math>\omega</math>.

« Nous commençons par les équations V et VI dont la comparaison « donne <math>\beta=-\alpha</math> et <math>\delta=0</math> ; ensuite les équations VII et VIII ajoutées « l'une a l'autre donnent encore <math>\alpha' e^{\omega}+\beta' e^{-\omega}=0</math>, et soustraites « l'une de l'autre elles donnent encore <math>\gamma'\,\text{sin.}\,\omega+\delta'\cos.\omega=0</math>, d'où il « résulte <math>\beta'=-\alpha' e^{2\omega}</math> et <math>\delta'=-\gamma'\,\text{tang.}\,\omega</math>. Ces valeurs substituées dans « la première et seconde équation donnent

<math display="block">\text{I.}\ \alpha(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})+\gamma\,\text{sin.}\,\lambda\omega=0 \text{ et II. } \alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})+\gamma'\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\gamma'\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega=0.</math>

« De ces équations on tire les valeurs : <math>\gamma=-\alpha(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})</math> et <math>\gamma'=-\dfrac{\alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}</math> « et par conséquent <math>\delta'=\dfrac{\alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}</math>. <ref>la valeur de <math>\gamma</math> est écrite sans dénominateur ; la ligne qui donne plus bas <math>\gamma-\gamma'</math> porte bien <math>\text{sin.}\,\lambda\omega</math> sous le même numérateur.</ref>

« en rassemblant ces valeurs pour les autres équations nous avons.

<math display="block">\begin{aligned} &\beta-\beta'=-\alpha+\alpha' e^{2\omega},\quad \gamma-\gamma'=-\frac{\alpha(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega}+\frac{\alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega} \\ &\delta-\delta'=-\frac{\alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}. \end{aligned}</math>

« on a maintenant

<math display="block">\begin{aligned} &\text{III.}\ \alpha\big\{(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})-(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\cot.\lambda\omega\big\} \\ &\qquad=\alpha'\Big\{(e^{\lambda\omega}+e^{\omega(2-\lambda)})-(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})\frac{\cos.\lambda\omega+\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}\Big\} \end{aligned}</math>

« équation qui peut être mise sous cette forme :

<math display="block">\begin{aligned} &\alpha\big\{(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})-(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\cot.\lambda\omega\big\} \\ &\qquad=\alpha'\big\{(e^{\lambda\omega}+e^{\omega(2-\lambda)})-(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})\big\}\cot(1-\lambda)\omega \end{aligned}</math>

« l'équation quatrième donne celle-ci <math>2\alpha(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})=2\alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})</math> ; <ref>dans la forme réduite, le second membre porte un « <math>-</math> » devant <math>(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})</math>, et l'accolade se ferme avant <math>\cot(1-\lambda)\omega</math>, qui reste hors de l'accolade : c'est ainsi que la ligne est écrite. Le feuillet s'arrête sur cette équation, au tiers supérieur de la page ; le reste est blanc.</ref>

224Vue 2243 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

« et on déduit de cette dernière <math>\dfrac{\alpha}{\alpha'}=\dfrac{e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}</math> « d'où on conclut qu'il est permis de prendre <math>\alpha=e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)}</math>, et <math>\alpha'=e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}</math> « valeurs qu'il faut substituer maintenant dans la troisième équation ; « cette substitution donne après les réductions convenables

<math display="block">\begin{aligned} &0=2-2e^{2\omega}-(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})(\cot.\lambda\omega+\cot.(1-\lambda)\omega) \quad\text{ou} \\ &0=2-2e^{2\omega}-(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\frac{\text{sin.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega} \end{aligned}</math>

« ainsi la question est réduite de cette équation les valeurs de l'angle « <math>\omega</math>, je n'ose entreprendre ce travail a cause de la complication des « formules, il suffit d'avoir montré dans ce lieu par quelle méthode « on peut traiter ces difficiles questions … mais le « cas ou <math>\lambda=\frac{1}{2}</math> mérite d'être développé. <ref>« la question est réduite de cette équation les valeurs de l'angle <math>\omega</math> » : la ligne est écrite ainsi, sans le verbe qui vaudrait « à tirer de ». Après « questions », neuf points de suite tiennent la place de ce qui n'est pas traduit.</ref>

<!-- titre de la transcription : « Développement du cas « dans lequel la lame <math>E</math> <math>F</math> est appuiée non seulement a ses extrémités <math>E</math> et <math>F</math>, mais « encor dans le milieu de dela longueur -->

« §. 48. Parceque dans ce cas <math>\lambda=\frac{1}{2}</math>, l'équation finale prend cette forme :
<math display="block">0=2-2e^{2\omega}-(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})\frac{\text{sin.}\,\omega}{\text{sin.}^2\frac{1}{2}\omega}</math>
« qui peut être réduite a celle ci : {{Rature|1={{Illisible}}}}
<math display="block">0=2(1+e^{\omega})\,\text{sin.}^2\tfrac{1}{2}\omega-(e^{\omega}-1)\,\text{sin.}\,\omega,</math>
« en écrivant <math>2\,\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega\cos.\frac{1}{2}\omega</math> au lieu de <math>\text{sin.}\,\omega</math> « cette équation se change en celle-ci
<math display="block">0=(1+e^{\omega})\,\text{sin.}^2\tfrac{1}{2}\omega-(e^{\omega}-1)\,\text{sin.}\,\tfrac{1}{2}\omega\cos.\tfrac{1}{2}\omega</math>
<ref>entre « réduite a celle ci : » et l'équation qui suit, une formule est entièrement biffée d'un zigzag épais ; on n'y distingue plus que des exposants <math>2\omega</math>, <math>\frac{1}{2}\omega</math> et <math>\frac{3}{2}\omega</math>, et elle n'est pas lue. Le facteur écrit ici est <math>2(1+e^{\omega})</math>, l'exposant est bien <math>\omega</math>.</ref>

« laquelle a manifestement deux facteurs l'un <math>\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega</math> et l'autre « <math>(1+e^{\omega})\,\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega-(e^{\omega}-1)\cos.\frac{1}{2}\omega</math>, qui égalés a zéro donnent chacun une « solution : nous les examinerons donc chacun en particulier.

« §. 49 [?]. Nous prenons pour le premier cas <math>\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega=0</math>, et on aura par conséquent « <math>\frac{1}{2}\omega=i\pi</math>, <math>i</math> représentant un nombre entier quelconque, ce qui comprend déjà « une quantité innombrable de mouvemens réguliers ; il est clair que « ce cas est parfaitement semblable au cas quatrième que nous « avons developpé plus haut [ce cas est celui ou les deux extrémités « sont appuiées], si ce n'est qu'on a ici <math>\frac{1}{2}\omega</math> a la place d'<math>\omega</math> « dans l'endroit cité, et cela parceque l'une et l'autre parties « dela longueur sont seulement la moitié de <math>a</math>. <ref>le chiffre du paragraphe est brouillé par une reprise à la plume ; il est lu 49 avec doute. Les crochets droits sont de la main du feuillet. Le feuillet s'arrête ici, un peu au-dessous du milieu de la page.</ref>

226Vue 2262 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

« L'une et l'autre moitiés font leurs vibrations, de la même manière « que si elles avoient leurs extrémités appuiées au point ou est le stilet « c'est pourquoi les sons simples que l'une et l'autre portions « peuvent donner sont exprimés par les nombres suivans:

<math display="block">\frac{4\pi c\surd 2gb}{aa};\ \frac{16\pi c\surd 2gb}{aa};\ \frac{36\pi c\surd 2gb}{aa};\ \frac{64\pi c\surd 2gb}{aa};</math>

« et sont par conséquent les doubles octaves audessus de ceux qui ont « lieu dans le cas quatrième, la raison en est que dans ce cas « les longueurs sont seulement lamoitié de celles de l'autre cas

« §. 50. Ainsi dans ce cas les coëfficiens <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, <math>\delta</math> et <math>\alpha'</math>, <math>\beta'</math>, <math>\gamma'</math>, <math>\delta'</math> seront « déterminés dela manière suivante :

<math display="block">\begin{aligned} &\alpha=e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega};\quad \beta=e^{\frac{3}{2}\omega}-e^{\frac{1}{2}\omega};\quad \gamma=-\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})}{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega};\quad \delta=0 \\ &\alpha'=e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega};\quad \beta'=-e^{2\omega}(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega});\quad \gamma'=-\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})}{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega-\cos.\frac{1}{2}\omega\,\text{tang.}\,\omega}; \\ &\delta'=\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega-\cos.\frac{1}{2}\omega\,\text{tang.}\,\omega} \end{aligned}</math>

« or, <math>\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega-\cos.\frac{1}{2}\omega\,\text{tang.}\,\omega=\dfrac{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega\cos.\omega-\cos.\frac{1}{2}\omega\,\text{sin.}\,\omega}{\cos.\omega}=-\dfrac{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega}{\cos.\omega}</math>, a cause de « <math>\omega=2i\pi</math>, on a <math>\cos.\omega=1</math> et <math>\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega=0</math>. Si nous multiplions donc tous ces « coëfficiens par <math>\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega</math> nous aurons <math>\alpha=0</math>, <math>\beta=0</math>, <math>\gamma=-(1-e^{\omega})(e^{\omega}-1)</math>, <math>\delta=0</math> ; « enfin <math>\alpha'=0</math>, <math>\beta'=0</math>, <math>\gamma'=(e^{\omega}-1)(1-e^{\omega})</math> et <math>\delta'=0</math>.

« Ainsi parceque tous ces coëfficiens s'évanouissent, excepté <math>\gamma</math> et <math>\gamma'</math> « et que de plus <math>\gamma=-\gamma'</math> si nous faisons <math>\gamma=1</math> nous aurons <math>\gamma'=-1</math> ; « ainsi pour la portion <math>E L</math> l'équation qui exprime le mouvement « sera
<math display="block">y=C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,u\omega</math>
et pour la portion <math>L F</math>
<math display="block">y=-C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,u\omega</math>
dans lesquelles <math>s=\frac{u}{a}</math>, <ref>devant la seconde équation, trois petits traits en ligne comme des points de conduite, à la place du facteur laissé de côté. La lettre posée devant le signe d'égalité, à « dans lesquelles », a la forme d'un long « s » ; le rapport lui-même est écrit <math>\frac{u}{a}</math>. Laissé tel que lu.</ref>

« §. 51. Mais outre cette solution on en tire une autre de l'autre facteur « duquel il résulte
<math display="block">\text{tang.}\,\tfrac{1}{2}\omega=\frac{e^{\omega}-1}{1+e^{\omega}}=\frac{e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega}}{e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega}}</math>
« valeur qui est lamême que celle que nous avons trouvé cidessus cas V. « [ce cas est celui ou une extrémité est fixée et l'autre appuiée] « la seule différence consiste en ce qu'on a ici <math>\frac{1}{2}\omega</math> au lieu de <math>\omega</math>, ce qui est naturel « puisque l'une et l'autre portions dela longueur sont seulement lamoitié « de <math>a</math>.

« Nous concevons presentement que l'une et l'autre portions <math>E L</math> « et <math>L F</math> puisse se mouvoir en même tems et que les deux extrémités « <math>E</math> et <math>F</math> étant simplement appuiées, le point <math>L</math> soit fixe. Les « valeurs d'<math>\omega</math> seront alors <math>\frac{5\pi}{2}</math>, <math>\frac{9\pi}{2}</math>, <math>\frac{13\pi}{2}</math>, &c. et par conséquent le son sera « de deux octaves plus élevé que dans le cas V. Il est digne de remarque « que les deux portions <math>E L</math> et <math>L F</math> peuvent vibrer de deux manières, <ref>les mots « outre » et « cette », au §. 51, sont traversés d'un long trait horizontal qui est la barre du <math>t</math> rejetée, non une rature. Les crochets droits sont de la main du feuillet. « élevé » est tracé comme « ébré », sans hampe à la deuxième lettre. Le feuillet s'arrête sur « manières, », un peu au-dessous du milieu de la page.</ref>

228Vue 2283 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

« L'une qui se rapporte au cas IV et l'autre au cas V. Au reste les « valeurs des coëfficiens sont les mêmes que celles que nous avons trouvées « plus haut, si ce n'est que pour ce cas on n'a pas <math>\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega=0</math> ».

I. La première réflexion qui se présente ici est que cette seconde solution sort de l'état de la question car l'énoncé du problème indique assez que les mouvemens dela lame soumise a l'action du stilet en <math>L</math> doivent être compris au nombre de tous les mouvemens possibles dont la même lame est susceptible lorsqu'elle a des extrémités appuiées et les formules employées a trouver l'équation deffinitive alaquelle il s'agit de satisfaire confirment cette remarque ; puisque l'auteur {{Rature|1=y employe}} a recours a {{Rature|1=y}} quatre équations dépendantes de l'état des extrémités. <ref>la page s'ouvre sur un « I. » isolé devant la première ligne, de la même encre, comme les lettres de série des autres brouillons. « a recours a » est écrit au-dessus de la ligne, par-dessus les mots biffés.</ref>

Cela posé, il en résulte, ce me semble, que la condition <math>\text{sin.}\,\omega=0</math>, qu'il a établi {{Rature|1={{Illisible}}}} devoir toujours {{Rature|1=avoir lieu}} être remplie pour tous les mouvemens possibles dela lame dont il s'agit, doit s'accorder avec la solution du present problème ; et c'est effectivement ce que l'on trouve pour la première solution savoir <math>\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega=0</math>, mais la même chose n'a pas lieu pour la seconde solution qu'il admet, car l'équation <math>\text{tang.}\,\frac{1}{2}\omega=\frac{e^{\omega}-1}{e^{\omega}+1}</math> ne peut s'accorder avec la condition <math>\text{sin.}\,\omega=0</math> que dans la supposition <math>\omega=0</math> [''en marge :'' ({{Illisible}} cas IV §. 35 &c. [?])] <ref>« être remplie » est écrit au-dessus de « avoir lieu » biffé ; le mot biffé après « établi » est noyé sous la rature et n'est pas lu. Sous la même ligne, à droite, un court renvoi entre parenthèses : on y lit « cas IV §. 35 », précédé d'une lettre qui n'est pas décidée et suivi d'un signe lu « &c. » avec doute.</ref>

Cependant le respect dû {{Rature|1=au {{Illisible}}}} l'opinion d'Euler m'a engagé a examiner le cas general [''en marge :'' <math>\times</math> afin de savoir si il étoit susceptible d'une solution dans laquelle celle qui m'avoit inspiré des doutes peut être comprise] En cherchant donc a résoudre son équation
<math display="block">0=2(1-e^{2\omega})-(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\frac{\text{sin.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega}</math>
pour une valeur quelconque de <math>\lambda</math>, j'ai voulu m'assurer de l'existence du facteur <math>\text{tang.}\,\lambda\omega=\frac{e^{2\lambda\omega}-1}{e^{2\lambda\omega}+1}</math>, pour les valeurs de <math>\lambda</math> differentes <math>\frac{1}{2}</math>. <ref>« l'opinion » est écrit au-dessus des mots biffés qui suivent « dû » ; sous la rature on distingue « au » et un mot qui n'est pas lu. « donc » est ajouté au-dessus de la ligne, après « cherchant ». La croix qui suit « le cas general » appelle la note portée dans la marge de gauche, en trois lignes, qui commence elle-même par la même croix ; elle est mise ici à sa place. Le feuillet s'arrête sur « <math>\frac{1}{2}</math>. » ; le reste de la page est blanc.</ref>

230Vue 2304 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Pour cela

2. Je reprend {{Rature|1=donc}} l'équation
<math display="block">0=2(1-e^{2\omega})-(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\frac{\text{sin.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega}</math>
ou
<math display="block">0=2(1-e^{2\omega})\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega-(1-e^{2(1-\lambda)\omega})(e^{2\lambda\omega}-1)\,\text{sin.}\,\omega</math>
<ref>à la fin de la première de ces deux équations, un « <math>=0</math> » pâle, à demi effacé, après la fraction ; la ligne commence déjà par « <math>0=</math> ». Le mot « donc », après « reprend », est traversé d'un trait épais et court.</ref>

Si on veut conserver la plus parfaite analogie entre le cas général et celui ou <math>\lambda=\frac{1}{2}</math>, on peut diviser cette équation par le facteur <math>e^{2\lambda\omega}-1</math>, duquel on tireroit, comme dans le cas cité <math>\omega=0</math>. L'équation elle se réduit par cette division a
<math display="block">\begin{aligned} &2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}\ldots+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\ &\qquad -(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\,\text{sin.}\,\omega=0 \end{aligned}</math>

J'observe que par la nature de laquestion, <math>\lambda</math> est toujours egal aune fraction et que dans le cas des deux extrémités appuiées, cas dont il s'agit ici, cette fraction est partie aliquote de l'unité ou multiple d'une telle {{Rature|1=fraction}} partie. <ref>« multiple d'une telle fraction partie. » est ajouté au-dessous de la ligne, en petits caractères, et « fraction » y est biffé.</ref>

On trouve par les formules connues, pour le cas ou le dénominateur de la fraction <math>\lambda</math> est un nombre impair et supposant le numerateur egal a l'unité,
<math display="block">\text{sin.}\,\omega=\frac{1}{\lambda}\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\frac{1-\lambda^2}{\lambda^3.2.3}\,\text{sin.}^3\lambda\omega+\frac{(1-\lambda^2)(1-9\lambda^2)}{\lambda^5.\,2.3.4.5}\,\text{sin.}^5\lambda\omega-\&\text{c.}</math>
et pour celui ou le dénominateur dela même fraction <math>\lambda</math> est un nombre pair
<math display="block">\text{sin.}\,\omega=\cos.\lambda\omega\Big\{\frac{1}{\lambda}\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\frac{1-4\lambda^2}{\lambda^3.2.3}\,\text{sin.}^3\lambda\omega+\frac{(1-4\lambda^2)(1-16\lambda^2)}{\lambda^5.\,2.3.4.5}\,\text{sin.}^5\lambda\omega\ \&\text{c}\Big\}</math>
<ref>« ou » est écrit au-dessus de « et supposant » ; un long trait horizontal court sur « et supposant le numerateur », qui peut être la barre du <math>t</math> rejetée et n'est pas donné pour une rature.</ref>

L'équation qu'il s'agit de resoudre se réduit donc a l'une ou l'autre des formes suivantes
<math display="block">\begin{aligned} &2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}\ldots+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\ &\quad -(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\Big\{\frac{1}{\lambda}-\frac{1-\lambda^2}{\lambda^3.2.3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\frac{(1-\lambda^2)(1-9\lambda^2)}{\lambda^5.\,2.3.4.5}\,\text{sin.}^4\lambda\omega-\&\text{c.}\Big\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega=0 \end{aligned}</math>

<math display="block">\begin{aligned} &2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\ &\quad -(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\cos.\lambda\omega\Big\{\frac{1}{\lambda}-\frac{1-4\lambda^2}{\lambda^3.2.3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\frac{(1-4\lambda^2)(1-16\lambda^2)}{\lambda^5.\,2.3.4.5}\,\text{sin.}^4\lambda\omega\Big\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega=0 \end{aligned}</math>

ainsi dans l'un et l'autre cas <math>\text{sin.}\,\lambda\omega</math> est un des facteurs de cette équation et en egalant ce facteur a zéro on a une solution {{Rature|1={{Illisible}}}} qui se rapporte au cas IV et delaquelle il résulte <math>\omega=\frac{i\pi}{\lambda}</math>, <math>i</math> étant, comme dans le cas <math>\lambda=\frac{1}{2}</math>, {{Rature|1=examiné [?] {{Illisible}}}}, un nombre entier quelconque. on en conclut {{Rature|1=de même}} comme dans ce dernier cas, en observant que la lame se partage alors en <math>\frac{1}{\lambda}</math> parties de lalongueur {{Rature|1=<math>\lambda a</math>}}, que ces differentes parties font leurs vibrations dela même manières que si elles étoient autant delames differentes et de pareille longueur ayant leurs extremités appuiées tant dans le point ou est placé le stilet que dans les autres points de repos, que l'on pourroit nommer sympatiques, <ref>« ou » est ajouté au-dessus de « le cas <math>\lambda=\frac{1}{2}</math> » ; les deux ou trois mots biffés qui suivent ne se laissent pas lire sous la rature, le premier ressemble à « examiné ». « comme dans ce dernier cas » est écrit au-dessus de « de même » biffé. Le feuillet s'arrête sur « sympatiques, » ; le bas de la page est blanc.</ref>

232Vue 2322 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

est satisfaite ici puisqu'elle résulte dela supposition <math>\text{sin.}\,\lambda\omega=0</math>.

2 Cela posé, on peut encore suivre, dans la détermination des coëfficiens <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, <math>\delta</math> et <math>\alpha'</math>, <math>\beta'</math>, <math>\gamma'</math>, <math>\delta'</math>, l'analogie entre le cas général et celui qu'Euler a calculé car on trouve dela même manière
<math display="block">\begin{aligned} &\alpha=e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega};\quad \beta=e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega};\quad \gamma=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega};\quad \delta=0 \\ &\alpha'=e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega};\quad \beta'=-e^{2\omega}(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega});\quad \gamma'=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}; \\ &\delta'=\frac{(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega} \end{aligned}</math>

et a cause de <math>\text{tang.}\,\omega=0</math> on peut écrire
<math display="block">\gamma'=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega};\qquad \delta'=\frac{0}{\text{sin.}\,\lambda\omega}</math>
si on multiplie donc tous ces coëfficiens par <math>\text{sin.}\,\lambda\omega</math> on aura comme dans le cas ou <math>\lambda=\frac{1}{2}</math>

{{Rature|1=<math>\alpha=0</math>, <math>\beta=0</math>, <math>\gamma=</math>}}

a cause de <math>\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega=-\dfrac{\text{sin.}(1-\lambda)\omega}{\cos.\omega}</math> on peut écrire en observant que d'où il résulte <ref>la ligne courte « <math>\alpha=0</math>, <math>\beta=0</math>, <math>\gamma=</math> » est biffée d'un trait épais. Dans la ligne qui commence par « a cause de », un trait horizontal fin court sur toute la longueur ; il n'est pas donné pour une rature, la ligne suivante reprenant la même phrase. « d'où il résulte » est écrit au-dessous de cette ligne, en petits caractères, entre « de » et « <math>\text{sin.}\,\lambda\omega</math> ».</ref>

<math>+</math> a cause de <math>\cos.\omega=1\,\text{[?]}</math> et de <math>\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega=-\text{sin.}(1-\lambda)\omega</math> on peut écrire
<math display="block">\gamma'=-\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}(1-\lambda)\omega};\qquad \delta'=\frac{(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}(1-\lambda)\omega}</math>
si on multiplie donc les coëfficiens <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, <math>\delta</math> par <math>\text{sin.}\,\lambda\omega</math> et les coëfficiens <math>\alpha'</math>, <math>\beta'</math>, <math>\gamma'</math>, <math>\delta'</math> par <math>\text{sin.}(1-\lambda)\omega</math> ce qui revient au même puisque ces deux sinus sont l'un et l'autre egaux a zero on aura comme dans le cas ou <math>\lambda=\frac{1}{2}</math> <ref>la ligne s'ouvre sur une croix ou un « + ». Le chiffre qui suit « <math>\cos.\omega=</math> » est une tache d'encre pleine, d'un seul trait épaissi ; le calcul qui suit demande 1, et c'est la lecture offerte, avec doute. « donc » est ajouté au-dessus de « si on multiplie ». Le feuillet s'arrête sur « <math>\lambda=\frac{1}{2}</math> » ; les quatre cinquièmes inférieurs de la page sont blancs.</ref>

234Vue 2342 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

et par conséquent que les sons simples que les parties fractionnaires dela lame peuvent donner sont exprimés par les nombres suivans:
<math display="block">\frac{\pi c\surd 2gb}{\lambda\lambda aa};\ \frac{4\pi c\surd 2gb}{\lambda\lambda aa};\ \frac{9\pi c\surd 2gb}{\lambda\lambda aa};\ \frac{16\pi c\surd 2gb}{\lambda\lambda aa};\ \&\text{c.}</math>

Il est clair que la condition <math>\text{sin.}\,\omega=0</math>, qui par la nature dela question doit avoir lieu en même tems que celle qui résulte dela solution de l'équation du problème, est satisfaite ici puisqu'elle résulte de la supposition <math>\text{sin.}\,\lambda\omega</math>. <ref>la phrase s'arrête sur « <math>\text{sin.}\,\lambda\omega</math> » sans le « <math>=0</math> » que porte la même phrase à la vue 232.</ref>

2 Cela posé, on peut suivre encore l'analogie entre le cas général et celui qu'Euler a calculé dans la détermination des coëfficiens <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math> <math>\delta</math> et <math>\alpha'</math>, <math>\beta'</math>, <math>\gamma'</math>, <math>\delta'</math> car on trouve dela même manière
<math display="block">\begin{aligned} &\alpha=e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega};\quad \beta=e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega};\quad \gamma=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega};\quad \delta=0 \\ &\alpha'=e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega};\quad \beta'=-e^{2\omega}(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega});\quad \gamma'=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}; \\ &\delta'=\frac{(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}. \end{aligned}</math>
et on peut écrire, a cause de <math>\text{tang.}\,\omega=0</math>,
<math display="block">\gamma'=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega},\qquad \text{et}\ \delta'=\frac{(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega}</math>
si on multiplie donc tous ces coëfficiens par <math>\text{sin.}\,\lambda\omega</math>, on aura comme dans le cas ou <math>\lambda=\frac{1}{2}</math>
<math display="block">\begin{aligned} &\alpha=0,\ \beta=0,\ \gamma=-(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}),\ \delta=0 \\ &\alpha'=0,\ \beta'=0,\ \gamma'=(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}),\ \delta'=0 \end{aligned}</math>
et par conséquent <math>\gamma=-\gamma'</math>, on peut faire également ici
<math display="block">\gamma=1\qquad \gamma'=-1</math>

Ainsi [''en marge :'' <math>+</math> en prenant pour exemple le cas representé par la fig. 7] et supposant le stilet placé en <math>L</math> l'équation qui détermine le mouvement dela partie <math>E L</math> sera
<math display="block">y=C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,\lambda\omega,</math>
et pour la partie <math>L E'</math> en tout semblable a la partie <math>L L'</math> on aura
<math display="block">y=-C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,\lambda\omega</math>
il est clair que le mouvement dela partie <math>L' L''</math> est déterminé de même par l'équation
<math display="block">y=C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,\lambda\omega,</math>
celui de la partie <math>L'' L'''</math> par l'équation
<math display="block">y=-C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,\lambda\omega</math>
et ainsi de suite en adoptant le signe <math>+</math> pour les parties dela courbe qui sont situées audessus de l'axe et le signe <math>-</math> pour celles qui sont placées audessous du même axe ou ligne de repos. <ref>la croix qui suit « Ainsi » appelle la note portée dans la marge de gauche, en deux lignes, qui s'ouvre elle-même sur la même croix ; elle est mise ici à sa place. Dans « la partie <math>L E'</math> », la seconde lettre est tracée comme le <math>E</math> de « <math>E L</math> » de la ligne précédente, avec un accent, et deux petits traits sont ajoutés au-dessus des deux lettres ; le reste de la page nomme les parties <math>L L'</math>, <math>L' L''</math>, <math>L'' L'''</math>, mais la vue 240 écrit bien « <math>L E'</math> » pour la portion qui va du stilet à l'autre bout. Laissé tel que lu. Le feuillet s'arrête sur « ligne de repos. » ; le bas de la page est blanc.</ref>

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4. Je reprend apresent l'équation du problème, elle a pour second facteur
<math display="block">\begin{aligned} &2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}\ldots+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\ &\quad -(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\Big\{\frac{2\,\text{[?]}}{\lambda}-\frac{1-\lambda^2}{2.3.\lambda^3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\frac{(1-\lambda^2)(1-9\lambda^2)}{2.3.4.5.\,\lambda^5}\,\text{sin.}^4\lambda\omega-\&\text{c.}\Big\} \end{aligned}</math>
ou
<math display="block">\begin{aligned} &2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}\ldots+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\ &\quad -(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\Big\{\frac{1}{\lambda}-\frac{1-4\lambda^2}{2.3.\lambda^3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\frac{(1-4\lambda^2)(1-16\lambda^2)}{2.3.4.5.\,\lambda^5}\,\text{sin.}^4\lambda\omega\Big\}\cos.\lambda\omega \end{aligned}</math>
suivant que le dénominateur de la fraction <math>\lambda</math> est impair ou pair. <ref>le numérateur de la première fraction de la première accolade est un petit chiffre à boucle, lu 2 avec doute ; le même terme, à la vue 230 et dans la seconde accolade ci-dessus, est écrit <math>\frac{1}{\lambda}</math>. Une tache d'encre est posée au milieu de la ligne à points de la seconde série.</ref>

[''en marge :'' D'après les valeurs de <math>\text{sin.}\,\omega</math> rapportées §. 2 –] En admettant que la condition <math>\text{sin.}\,\omega=0</math> doivent s'accorder avec toutes les solutions du problème on voit qu'il faut necessairement que <math>\text{sin.}\,\lambda\omega=0</math> ou que les facteurs
<math display="block">\frac{1}{\lambda}-\frac{1-\lambda^2}{2.3.\lambda^3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\&\text{c.},\qquad \Big\{\frac{1}{\lambda}-\frac{1-4\lambda^2}{2.3.\lambda^3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\&\text{c}\Big\}\cos.\lambda\omega</math>
suivant les cas, soient egaux a zéro. je suppose d'abord <math>\text{sin.}\,\lambda\omega=0</math>, le facteur dont il s'agit se réduit a <math>\frac{1}{\lambda}(1-e^{2(1-\lambda)\omega})</math> car <math>\text{sin.}(1-\lambda)\omega=\text{sin.}\,\omega\cos.\lambda\omega-\cos.\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega=-\text{sin.}\,\lambda\omega=0</math>, et il est clair que <math>\frac{1}{\lambda}(1-e^{2(1-\lambda)\omega})</math> ne peut être supposé égal a zéro que dans la seule supposition <math>\omega=0</math>, mais si on adopte cette dernière hypothèse le second facteur de l'équation du problème se réduit a
<math display="block">2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}\ \&\text{c}+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega</math>
{{Rature|1=qui}} et il ne peut être par conséquent egale a zéro que dans la supposition <math>\text{sin.}(1-\lambda)\omega=0</math> supposition qui a cause de <math>\text{sin.}\,\omega=0</math> donne <math>\text{sin.}\,\lambda\omega=0</math>, ainsi il necessairement admettre cette dernière. <ref>« et il » est écrit au-dessus de « qui » biffé, et « par conséquent » au-dessus de la ligne entre « être » et « egale ». Dans la série qui suit « se réduit a », une tache couvre un signe entre <math>e^{6\lambda\omega}</math> et <math>e^{2(1-\lambda)\omega}</math> ; ce qui en dépasse se lit « &c ». Un long trait horizontal court sur « ainsi il necessairement admettre cette dernière » ; il a la forme de la barre du <math>t</math> rejetée et non d'une rature, et la phrase, incomplète comme elle est écrite, est laissée.</ref>

Je suppose donc <math>\text{sin.}\,\lambda\omega=0</math> ; {{Rature|1=et}} le facteur dont il s'agit se réduit alors a <math>\frac{1}{\lambda}(1-e^{2(1-\lambda)\omega})</math> quantité qui ne peut être egalée a zéro que dans la seule supposition <math>\omega=0</math>. J'ai déjà fait cette remarque pur le cas ou <math>\lambda=\frac{1}{2}</math> mais je vais prouver deplus [''en marge :'' <math>\times</math> lorsqu'on a egard a la condition <math>\text{sin.}\,\omega=0</math>] que dans le cas général, nonseulement <math>\times</math> le second facteur de l'équation du probleme ne peut être egalé a zéro que dans l'hypothèse <math>\omega=0</math>, qui se rapporte au cas du repos de la lame, {{Rature|1=mais}} lorsqu'on a egard a la condition <math>\text{sin.}\,\omega=0</math> <ref>« pur » est écrit ainsi pour « pour ». La croix qui suit « nonseulement » appelle la note portée dans la marge de gauche, sur une ligne, qui s'ouvre elle-même sur la même croix ; elle est mise ici à sa place, et la dernière ligne du feuillet la répète mot pour mot. « cas du » est ajouté au-dessus de la ligne, entre « au » et « repos ». Le feuillet s'arrête sur « <math>\text{sin.}\,\omega=0</math> » ; le bas de la page est blanc.</ref>

238Vue 2384 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

mais encore {{Rature|1=que sans avoir egard}} qu'il y a des cas ou qu'independamment de cette condition <math>\text{sin.}\,\omega=0</math> l'équation qu'il s'agit de resoudre n'est susceptible d'aucune solution qui puisse se rapporter a cas <math>V</math> c'est adire qui puisse mener a considerer les deux portions dela lame separées par le stilet comme fixées a ce point et appuiées a leur autre extremité <math>\times</math> [''en marge :'' <math>\times</math> comme Euler le suppose {{Rature|1=dans}} sa seconde solution.] <ref>« qu'il y a des cas ou » est écrit au-dessus des mots biffés. Après « a cas », le <math>V</math> est suivi d'un petit signe empâté qui n'est pas lu. La croix qui ferme la phrase appelle la note portée dans la marge de gauche, en deux lignes, qui s'ouvre elle-même sur la même croix ; elle est mise ici à sa place.</ref>

5 Pour cela je reprend l'équation finale
<math display="block">0=2(1-e^{2\omega})-(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\frac{\text{sin.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega}</math>
et je la transforme comme il suit :
<math display="block">\begin{aligned} 0&=\frac{2(e^{\omega}-e^{-\omega})}{(e^{(\lambda-1)\omega}-e^{(1-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}\cdot \text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,\omega \\ 0&=\frac{(e^{(\lambda-1)\omega}+e^{(1-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})}{(e^{(\lambda-1)\omega}-e^{(1-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\ &\qquad -\big\{\text{sin.}\,\lambda\omega\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}(1-\lambda)\omega\cos.\lambda\omega\big\} \\ 0&=\frac{e^{(\lambda-1)\omega}+e^{(1-\lambda)\omega}}{e^{(\lambda-1)\omega}-e^{(1-\lambda)\omega}}\cdot\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega-\cos.(1-\lambda)\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega \\ &\qquad +\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega-\text{sin.}(1-\lambda)\omega\cos.\lambda\omega \end{aligned}</math>
et enfin
<math display="block">\begin{aligned} 0&=\text{sin.}\,\lambda\omega\Big\{\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega-\cos.(1-\lambda)\omega\Big\} \\ &\qquad +\text{sin.}(1-\lambda)\omega\Big\{\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\Big\} \end{aligned}</math>
<ref>le chiffre qui ouvre l'alinéa est la cinquième des marques de la main ; il est tracé comme un <math>S</math> et lu 5. Les deux signes « <math>-</math> » posés après <math>\text{sin.}(1-\lambda)\omega</math> à la première transformation et devant l'accolade à la seconde sont d'un trait très épais, presque une tache ; ils sont rendus par un moins ordinaire.</ref>

si on pouvoit considerer le stilet placé en <math>L</math> comme fixé il faudroit {{Rature|1=donc [?]}} que les deux conditions
<math display="block">\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega=\cos.(1-\lambda)\omega, \quad\text{et}\quad \frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega=\cancel{\text{cos.}\,\text{[?]}}\lambda\omega</math>
ou
<math display="block">\text{tang.}(1-\lambda)\omega=\frac{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}} \quad\text{et}\quad \text{tang.}\,\lambda\omega=\frac{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}</math>
eussent lieu en même tems, {{Rature|1={{Illisible}}}} on auroit alors {{Rature|1={{Illisible}}}} une solution de l'équation qui {{Rature|1=seroit [?] {{Illisible}} au même tems}} pourroit être rapportée au cas V. mais on voit aisément que ces deux conditions nepeuvent {{Rature|1=avoir}} exister a la fois dans certains cas — {{Rature|1=pour [?]}} aucune autre supposition que celle <math>\omega=0</math>. <ref>dans la seconde des deux conditions, le mot biffé devant <math>\lambda\omega</math> est noyé sous la rature ; le calcul demande « cos. », et c'est la lecture offerte, avec doute. Les autres ratures de cet alinéa ne se laissent pas lire.</ref>

En effet il faut aumoins que les deux portions de la lame rendent le même son, car cette supposition est fondamentale

Or, si l'équation <math>\text{tang.}\,\lambda\omega=\frac{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}</math> a lieu pour la portion <math>E L</math> de longueur <math>\lambda a</math> les sons simples que cette portion {{Rature|1={{Illisible}}}} <ref>le feuillet s'arrête sur ce mot biffé, qui n'est pas lu ; le bas de la page est blanc.</ref>

240Vue 2403 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

pourra rendre seront exprimés par les nombres suivans:
<math display="block">\frac{25\pi c\surd 2gb}{16\lambda\lambda aa};\ \frac{81\pi c\surd 2gb}{16\lambda\lambda aa};\ \frac{169\pi c\surd 2gb}{16\lambda\lambda aa};\ \frac{289\pi c\surd 2gb}{16\lambda\lambda aa};\ \&\text{c.}</math>
(voyez memoire d'Euler cas V)

et en supposant en même tems que l'autre équation <math>\text{tang.}(1-\lambda)\omega=\frac{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}</math> ait pareillement lieu pour la portion <math>L E'</math> de longueur <math>(1-\lambda)a</math>, les sons simples que cette portion pourra rendre seront exprimés par les nombres:
<math display="block">\frac{25\pi c\surd 2gb}{16(1-\lambda)^2aa};\ \frac{81\pi c\surd 2gb}{16(1-\lambda)^2aa};\ \frac{169\pi c\surd 2gb}{16(1-\lambda)^2aa};\ \&\text{c.}</math>

Je vais montrer a present {{Rature|1=que dans aucun autre cas que <math>\lambda=\frac{1}{2}</math>}} qu'il n'est pas généralement vrai que certains nombres {{Rature|1=un nombre}} de la première suite {{Rature|1=ne peut être egal a celui qui}} puissent egaux a des nombres appartenans {{Rature|1=lui correspond}} dans la seconde {{Rature|1=en ayant egard au nombre}} {{Rature|1=des nœuds que doit contenir la plus longue portion <math>L E</math>}} <ref>l'alinéa est repris trois fois. « pas » est écrit dans la marge de gauche ; « généralement vrai que certains nombres » est ajouté au-dessus de la ligne, « puissent egaux a des nombres appartenans » au-dessous ; les mots biffés sont donnés à leur place. La phrase ainsi recomposée reste inachevée.</ref>

soit pour plus de clarté <math>\lambda=\frac{1}{\lambda'}</math> <math>(1-\lambda)^2=\frac{(\text{[illisible]}\lambda')^2}{\lambda'\lambda'}</math> on voit {{Rature|1=d'abord}} alors facilement qu'aucun nombre de la première suite ne peut être egal a un nombre quelconque dela seconde lorsque <math>\lambda'-1\,\text{[?]}</math> est un nombre pairement pair ou un nombre impair dela forme <math>4n+3</math> ainsi il ne reste {{Rature|1=donc a examiner}} que les cas ou <math>\lambda'-1</math> est dela forme <math>4n+1\,\text{[?]}</math>, la plus petite valeur de <math>\lambda'</math> après 2 est 6 soit donc <math>\lambda'-1=5</math>, le plus petit nombre que l'on puisse prendre dans la seconde suite est <math>\frac{(25)^2(6)^2\pi c\surd 2gb}{16.5^2.aa}</math> ce nombre est en effet egal au premier de la première suite savoir a <math>\frac{25(6)^2\pi c\surd 2gb}{16.aa}</math> {{Rature|1=mais le nombre <math>25=4.6+1</math> supposé [?] {{Illisible}} dans les portions}} {{Rature|1=<math>L F</math>}} <ref>« alors » et « facilement » sont écrits au-dessus de « d'abord » biffé, les premières lettres de « facilement » repassées. Dans <math>(1-\lambda)^2</math>, le début du numérateur est noyé sous une tache : le calcul demanderait <math>\lambda'-1</math>, et rien n'est lu. Le chiffre après « <math>\lambda'-</math> » et celui qui ferme « <math>4n+</math> » sont des taches pleines d'un seul trait ; ils sont lus 1 avec doute, la suite du raisonnement les appelant. La ligne biffée qui suit n'est lue qu'en partie.</ref>

6 J'ai voulu entrer dans tous ces details afin d'être autorisée a conclure qu'Euler a été induit en erreur lorsqu'il a cru pouvoir admettre sa seconde solution dans laquelle il {{Rature|1=réduit}} a supposer seulement que les deux portions <math>E L</math>, <math>L F</math> puissent se mouvoir en même tems sans exiger {{Rature|1=qu'il soit [?] {{Illisible}} souvenir [?] que la première hypothese est que}} {{Rature|1=le mouvement imprimé a}} car {{Rature|1=cette dernière [?]}} j'ai {{Rature|1={{Illisible}}}} voire [?] {{Rature|1=on}} voit que cette dernière condition même ne peut pas {{Rature|1=avoir lieu}} être remplie pour toutes les valeurs de <math>\lambda</math>. <ref>« seulement » est ajouté au-dessus de « supposer » ; « sans exiger » au-dessus de la ligne biffée qui suit ; « j'ai {{Illisible}} voire » au-dessus de « on voit » biffé ; « être remplie » au-dessus de « avoir lieu » biffé. Les deux lignes biffées de cet alinéa ne se laissent pas lire d'un bout à l'autre. Le feuillet s'arrête sur « de <math>\lambda</math>. » ; le bas de la page est blanc, et le lot s'arrête ici.</ref>