« Maintenant donc en considérant les extrémités, il en résultera « quatre
équations selon que l'on fera ou \lambda=0 ou \lambda=1 ; car l'extrémité
« E, pour laquelle u=0 donne. V. \alpha+\beta+\delta=0 et VI.
\alpha+\beta-\delta=0 et « l'autre extrémité E, pour laquelle u=1 donne
VII. \alpha' e^{\omega}+\beta' e^{-\omega}+\gamma'\,\text{sin.}\,\omega+\delta'\cos.\omega=0
« et VIII. \alpha' e^{\omega}+\beta' e^{-\omega}-\gamma'\,\text{sin.}\,\omega-\delta'\cos.\omega=0.
devant « Maintenant », après le guillemet, un « e » isolé, tracé puis
laissé, sans rature. La seconde extrémité est écrite « E » comme la
première, du même tracé à trois traits ; c'est le F du mémoire. Le mot
« extrémité » est traversé d'un long trait horizontal, qui est la barre du
t rejetée sur le mot et non une rature.
« Ainsi nous avons rencontré huit équations pour déterminer « les huit
coefficiens \alpha, \beta, \gamma, \delta, et \alpha', \beta',
\gamma', \delta' et il faudra « trouver de plus, une équation d'où on
puisse tirer la valeur d'\omega.
« en rassemblant ces valeurs pour les autres équations nous avons.
« Développement du cas « dans lequel la lame
E F est appuiée non seulement a ses extrémités
E et
F, mais « encor dans le milieu de dela longueur
le titre tient trois lignes, chacune ouverte d'un guillemet ; un trait
horizontal le sépare de la suite. « de dela longueur » est écrit ainsi, avec
« de » puis son « dela » en un mot.
« §. 48. Parceque dans ce cas \lambda=\frac{1}{2}, l'équation finale prend
cette forme :
0=2-2e^{2\omega}-(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})\frac{\text{sin.}\,\omega}{\text{sin.}^2\frac{1}{2}\omega}
« qui peut être réduite a celle ci :
« laquelle a manifestement deux facteurs l'un
\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega et l'autre «
(1+e^{\omega})\,\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega-(e^{\omega}-1)\cos.\frac{1}{2}\omega,
qui égalés a zéro donnent chacun une « solution : nous les examinerons donc
chacun en particulier.
« §. 49. Nous prenons pour le premier cas
\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega=0, et on aura par conséquent «
\frac{1}{2}\omega=i\pi, i représentant un nombre entier quelconque, ce
qui comprend déjà « une quantité innombrable de mouvemens réguliers ; il est
clair que « ce cas est parfaitement semblable au cas quatrième que nous «
avons developpé plus haut [ce cas est celui ou les deux extrémités « sont
appuiées], si ce n'est qu'on a ici \frac{1}{2}\omega a la place d'\omega
« dans l'endroit cité, et cela parceque l'une et l'autre parties « dela
longueur sont seulement la moitié de a.
le chiffre du paragraphe est brouillé par une reprise à la plume ; il
est lu 49 avec doute. Les crochets droits sont de la main du feuillet. Le
feuillet s'arrête ici, un peu au-dessous du milieu de la page.
au milieu du haut de la page, le nombre 5, souligné ; le nombre 110 est
à l'encre en haut à droite. Guillemet ouvrant en tête de chaque ligne. Le
verso, vue 227, est blanc.
« L'une et l'autre moitiés font leurs vibrations, de la même manière « que si
elles avoient leurs extrémités appuiées au point ou est le stilet « c'est
pourquoi les sons simples que l'une et l'autre portions « peuvent donner sont
exprimés par les nombres suivans:
\frac{4\pi c\surd 2gb}{aa};\ \frac{16\pi c\surd 2gb}{aa};\ \frac{36\pi c\surd 2gb}{aa};\ \frac{64\pi c\surd 2gb}{aa};
« et sont par conséquent les doubles octaves audessus de ceux qui ont « lieu
dans le cas quatrième, la raison en est que dans ce cas « les longueurs sont
seulement lamoitié de celles de l'autre cas
« §. 50. Ainsi dans ce cas les coëfficiens \alpha, \beta, \gamma,
\delta et \alpha', \beta', \gamma', \delta' seront « déterminés
dela manière suivante :
\begin{align*}
&\alpha=e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega};\quad \beta=e^{\frac{3}{2}\omega}-e^{\frac{1}{2}\omega};\quad \gamma=-\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})}{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega};\quad \delta=0 \\
&\alpha'=e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega};\quad \beta'=-e^{2\omega}(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega});\quad \gamma'=-\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})}{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega-\cos.\frac{1}{2}\omega\,\text{tang.}\,\omega}; \\
&\delta'=\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega-\cos.\frac{1}{2}\omega\,\text{tang.}\,\omega}
\end{align*}
« or,
\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega-\cos.\frac{1}{2}\omega\,\text{tang.}\,\omega=\dfrac{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega\cos.\omega-\cos.\frac{1}{2}\omega\,\text{sin.}\,\omega}{\cos.\omega}=-\dfrac{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega}{\cos.\omega},
a cause de « \omega=2i\pi, on a \cos.\omega=1 et
\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega=0. Si nous multiplions donc tous ces «
coëfficiens par \text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega nous aurons \alpha=0,
\beta=0, \gamma=-(1-e^{\omega})(e^{\omega}-1), \delta=0 ; « enfin
\alpha'=0, \beta'=0, \gamma'=(e^{\omega}-1)(1-e^{\omega}) et
\delta'=0.
« Ainsi parceque tous ces coëfficiens s'évanouissent, excepté \gamma et
\gamma' « et que de plus \gamma=-\gamma' si nous faisons \gamma=1 nous
aurons \gamma'=-1 ; « ainsi pour la portion E L l'équation qui exprime le
mouvement « sera
y=C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,u\omega
et pour la portion L F
y=-C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,u\omega
dans lesquelles s=\frac{u}{a},
devant la seconde équation, trois petits traits en ligne comme des
points de conduite, à la place du facteur laissé de côté. La lettre posée
devant le signe d'égalité, à « dans lesquelles », a la forme d'un long
« s » ; le rapport lui-même est écrit \frac{u}{a}. Laissé tel que lu.
« §. 51. Mais outre cette solution on en tire une autre de l'autre facteur «
duquel il résulte
\text{tang.}\,\tfrac{1}{2}\omega=\frac{e^{\omega}-1}{1+e^{\omega}}=\frac{e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega}}{e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega}}
« valeur qui est lamême que celle que nous avons trouvé cidessus cas V. «
[ce cas est celui ou une extrémité est fixée et l'autre appuiée] « la seule
différence consiste en ce qu'on a ici \frac{1}{2}\omega au lieu de
\omega, ce qui est naturel « puisque l'une et l'autre portions dela
longueur sont seulement lamoitié « de a.
« Nous concevons presentement que l'une et l'autre portions E L « et L F
puisse se mouvoir en même tems et que les deux extrémités « E et F étant
simplement appuiées, le point L soit fixe. Les « valeurs d'\omega seront
alors \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{13\pi}{2}, &c. et par
conséquent le son sera « de deux octaves plus élevé que dans le cas V. Il est
digne de remarque « que les deux portions E L et L F peuvent vibrer de
deux manières,
les mots « outre » et « cette », au §. 51, sont traversés d'un long
trait horizontal qui est la barre du t rejetée, non une rature. Les
crochets droits sont de la main du feuillet. « élevé » est tracé comme
« ébré », sans hampe à la deuxième lettre. Le feuillet s'arrête sur
« manières, », un peu au-dessous du milieu de la page.
au milieu du haut de la page, le nombre 6, souligné ; le nombre 111 est
à l'encre en haut à droite. La citation s'achève à la troisième ligne, sur un
guillemet fermant ; à partir de là le feuillet porte le texte de la main
elle-même, sans guillemets. Le verso, vue 229, est blanc.
« L'une qui se rapporte au cas IV et l'autre au cas V. Au reste les « valeurs
des coëfficiens sont les mêmes que celles que nous avons trouvées « plus
haut, si ce n'est que pour ce cas on n'a pas
\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega=0 ».
I. La première réflexion qui se présente ici est que cette seconde solution
sort de l'état de la question car l'énoncé du problème indique assez que les
mouvemens dela lame soumise a l'action du stilet en L doivent être compris
au nombre de tous les mouvemens possibles dont la même lame est susceptible
lorsqu'elle a des extrémités appuiées et les formules employées a trouver
l'équation deffinitive alaquelle il s'agit de satisfaire confirment cette
remarque ; puisque l'auteur y employe a recours a y quatre
équations dépendantes de l'état des extrémités.
la page s'ouvre sur un « I. » isolé devant la première ligne, de la
même encre, comme les lettres de série des autres brouillons. « a recours a »
est écrit au-dessus de la ligne, par-dessus les mots biffés.
Cela posé, il en résulte, ce me semble, que la condition
\text{sin.}\,\omega=0, qu'il a établi avoir lieu être remplie pour tous les mouvemens possibles dela lame
dont il s'agit, doit s'accorder avec la solution du present problème ; et
c'est effectivement ce que l'on trouve pour la première solution savoir
\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega=0, mais la même chose n'a pas lieu pour la
seconde solution qu'il admet, car l'équation
\text{tang.}\,\frac{1}{2}\omega=\frac{e^{\omega}-1}{e^{\omega}+1} ne peut
s'accorder avec la condition \text{sin.}\,\omega=0 que dans la supposition
\omega=0
( cas IV §. 35 &c.)
« être remplie » est écrit au-dessus de « avoir lieu » biffé ; le mot
biffé après « établi » est noyé sous la rature et n'est pas lu. Sous la même
ligne, à droite, un court renvoi entre parenthèses : on y lit « cas IV §.
35 », précédé d'une lettre qui n'est pas décidée et suivi d'un signe lu
« &c. » avec doute.
Cependant le respect dû au l'opinion d'Euler m'a engagé a
examiner le cas general \times afin de savoir si il étoit
susceptible d'une solution dans laquelle celle qui m'avoit inspiré des doutes
peut être comprise En cherchant donc a résoudre son équation
0=2(1-e^{2\omega})-(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\frac{\text{sin.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega}
pour une valeur quelconque de \lambda, j'ai voulu m'assurer de l'existence
du facteur
\text{tang.}\,\lambda\omega=\frac{e^{2\lambda\omega}-1}{e^{2\lambda\omega}+1},
pour les valeurs de \lambda differentes \frac{1}{2}.
« l'opinion » est écrit au-dessus des mots biffés qui suivent « dû » ;
sous la rature on distingue « au » et un mot qui n'est pas lu. « donc » est
ajouté au-dessus de la ligne, après « cherchant ». La croix qui suit « le cas
general » appelle la note portée dans la marge de gauche, en trois lignes,
qui commence elle-même par la même croix ; elle est mise ici à sa place.
Le feuillet s'arrête sur « \frac{1}{2}. » ; le reste de la page est
blanc.
au milieu du haut de la page, le nombre 7, souligné ; le nombre 112 est
à l'encre en haut à droite. « Pour cela » est écrit seul au-dessus de la
première ligne, un peu à gauche. Le verso, vue 231, est blanc.
Pour cela
2. Je reprend donc l'équation
0=2(1-e^{2\omega})-(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\frac{\text{sin.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega}
ou
0=2(1-e^{2\omega})\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega-(1-e^{2(1-\lambda)\omega})(e^{2\lambda\omega}-1)\,\text{sin.}\,\omega
à la fin de la première de ces deux équations, un « =0 » pâle, à demi
effacé, après la fraction ; la ligne commence déjà par « 0= ». Le mot
« donc », après « reprend », est traversé d'un trait épais et court.
Si on veut conserver la plus parfaite analogie entre le cas général et celui
ou \lambda=\frac{1}{2}, on peut diviser cette équation par le facteur
e^{2\lambda\omega}-1, duquel on tireroit, comme dans le cas cité
\omega=0. L'équation elle se réduit par cette division a
\begin{align*}
&2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}\ldots+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\
&\qquad -(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\,\text{sin.}\,\omega=0
\end{align*}
J'observe que par la nature de laquestion, \lambda est toujours egal aune
fraction et que dans le cas des deux extrémités appuiées, cas dont il s'agit
ici, cette fraction est partie aliquote de l'unité ou multiple d'une telle
fraction partie.
« multiple d'une telle fraction partie. » est ajouté au-dessous de la
ligne, en petits caractères, et « fraction » y est biffé.
On trouve par les formules connues, pour le cas ou le dénominateur de la
fraction \lambda est un nombre impair et supposant le numerateur egal a
l'unité,
\text{sin.}\,\omega=\frac{1}{\lambda}\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\frac{1-\lambda^2}{\lambda^3.2.3}\,\text{sin.}^3\lambda\omega+\frac{(1-\lambda^2)(1-9\lambda^2)}{\lambda^5.\,2.3.4.5}\,\text{sin.}^5\lambda\omega-\text{\&c.}
et pour celui ou le dénominateur dela même fraction \lambda est un nombre
pair
\text{sin.}\,\omega=\cos.\lambda\omega\Big\{\frac{1}{\lambda}\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\frac{1-4\lambda^2}{\lambda^3.2.3}\,\text{sin.}^3\lambda\omega+\frac{(1-4\lambda^2)(1-16\lambda^2)}{\lambda^5.\,2.3.4.5}\,\text{sin.}^5\lambda\omega\ \text{\&c}\Big\}
« ou » est écrit au-dessus de « et supposant » ; un long trait
horizontal court sur « et supposant le numerateur », qui peut être la barre
du t rejetée et n'est pas donné pour une rature.
L'équation qu'il s'agit de resoudre se réduit donc a l'une ou l'autre des
formes suivantes
\begin{align*}
&2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}\ldots+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\
&\quad -(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\Big\{\frac{1}{\lambda}-\frac{1-\lambda^2}{\lambda^3.2.3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\frac{(1-\lambda^2)(1-9\lambda^2)}{\lambda^5.\,2.3.4.5}\,\text{sin.}^4\lambda\omega-\text{\&c.}\Big\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega=0
\end{align*}
\begin{align*}
&2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\
&\quad -(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\cos.\lambda\omega\Big\{\frac{1}{\lambda}-\frac{1-4\lambda^2}{\lambda^3.2.3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\frac{(1-4\lambda^2)(1-16\lambda^2)}{\lambda^5.\,2.3.4.5}\,\text{sin.}^4\lambda\omega\Big\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega=0
\end{align*}
ainsi dans l'un et l'autre cas \text{sin.}\,\lambda\omega est un des
facteurs de cette équation et en egalant ce facteur a zéro on a une solution
examiné , un nombre entier
quelconque. on en conclut de même comme dans ce dernier cas, en
observant que la lame se partage alors en \frac{1}{\lambda} parties de
lalongueur \lambda a, que ces differentes parties font leurs
vibrations dela même manières que si elles étoient autant delames
differentes et de pareille longueur ayant leurs extremités appuiées tant dans
le point ou est placé le stilet que dans les autres points de repos, que l'on
pourroit nommer sympatiques,
« ou » est ajouté au-dessus de « le cas \lambda=\frac{1}{2} » ; les
deux ou trois mots biffés qui suivent ne se laissent pas lire sous la rature,
le premier ressemble à « examiné ». « comme dans ce dernier cas » est écrit
au-dessus de « de même » biffé. Le feuillet s'arrête sur « sympatiques, » ;
le bas de la page est blanc.
feuillet plus grand que les précédents, monté sur onglet ; le nombre
113 est à l'encre en haut à droite, et cette page ne porte pas de nombre au
milieu du haut, à la différence des vues 222 à 230 et 234 à 240. Le texte
n'occupe que le cinquième supérieur de la page ; tout le reste est blanc. Sa
première ligne ne fait pas suite à la dernière de la vue 230. Le verso, vue
233, est blanc.
est satisfaite ici puisqu'elle résulte dela supposition
\text{sin.}\,\lambda\omega=0.
2 Cela posé, on peut encore suivre, dans la détermination des coëfficiens
\alpha, \beta, \gamma, \delta et \alpha', \beta', \gamma',
\delta', l'analogie entre le cas général et celui qu'Euler a calculé car on
trouve dela même manière
\begin{align*}
&\alpha=e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega};\quad \beta=e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega};\quad \gamma=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega};\quad \delta=0 \\
&\alpha'=e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega};\quad \beta'=-e^{2\omega}(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega});\quad \gamma'=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}; \\
&\delta'=\frac{(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}
\end{align*}
et a cause de \text{tang.}\,\omega=0 on peut écrire
\gamma'=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega};\qquad \delta'=\frac{0}{\text{sin.}\,\lambda\omega}
si on multiplie donc tous ces coëfficiens par \text{sin.}\,\lambda\omega on
aura comme dans le cas ou \lambda=\frac{1}{2}
\alpha=0, \beta=0, \gamma=
a cause de
\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega=-\dfrac{\text{sin.}(1-\lambda)\omega}{\cos.\omega}
on peut écrire en observant que d'où il résulte
la ligne courte « \alpha=0, \beta=0, \gamma= » est biffée d'un
trait épais. Dans la ligne qui commence par « a cause de », un trait
horizontal fin court sur toute la longueur ; il n'est pas donné pour une
rature, la ligne suivante reprenant la même phrase. « d'où il résulte » est
écrit au-dessous de cette ligne, en petits caractères, entre « de » et
« \text{sin.}\,\lambda\omega ».
+ a cause de \cos.\omega=\uncertain{1} et de
\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega=-\text{sin.}(1-\lambda)\omega
on peut écrire
\gamma'=-\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}(1-\lambda)\omega};\qquad \delta'=\frac{(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}(1-\lambda)\omega}
si on multiplie donc les coëfficiens \alpha, \beta, \gamma, \delta
par \text{sin.}\,\lambda\omega et les coëfficiens \alpha', \beta',
\gamma', \delta' par \text{sin.}(1-\lambda)\omega ce qui revient au
même puisque ces deux sinus sont l'un et l'autre egaux a zero on aura comme
dans le cas ou \lambda=\frac{1}{2}
la ligne s'ouvre sur une croix ou un « + ». Le chiffre qui suit
« \cos.\omega= » est une tache d'encre pleine, d'un seul trait épaissi ; le
calcul qui suit demande 1, et c'est la lecture offerte, avec doute. « donc »
est ajouté au-dessus de « si on multiplie ». Le feuillet s'arrête sur
« \lambda=\frac{1}{2} » ; les quatre cinquièmes inférieurs de la page sont
blancs.
au milieu du haut de la page, le nombre 8, souligné ; le nombre 114 est
à l'encre en haut à droite. La page reprend, en les développant, les deux
premiers alinéas du feuillet de la vue 232, qui en est une première mise au
net restée sans numéro de page. Le verso, vue 235, est blanc.
et par conséquent que les sons simples que les parties fractionnaires dela
lame peuvent donner sont exprimés par les nombres suivans:
\frac{\pi c\surd 2gb}{\lambda\lambda aa};\ \frac{4\pi c\surd 2gb}{\lambda\lambda aa};\ \frac{9\pi c\surd 2gb}{\lambda\lambda aa};\ \frac{16\pi c\surd 2gb}{\lambda\lambda aa};\ \text{\&c.}
Il est clair que la condition \text{sin.}\,\omega=0, qui par la nature dela
question doit avoir lieu en même tems que celle qui résulte dela solution de
l'équation du problème, est satisfaite ici puisqu'elle résulte de la
supposition \text{sin.}\,\lambda\omega.
la phrase s'arrête sur « \text{sin.}\,\lambda\omega » sans le
« =0 » que porte la même phrase à la vue 232.
2 Cela posé, on peut suivre encore l'analogie entre le cas général et celui
qu'Euler a calculé dans la détermination des coëfficiens \alpha, \beta,
\gamma \delta et \alpha', \beta', \gamma', \delta' car on trouve
dela même manière
\begin{align*}
&\alpha=e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega};\quad \beta=e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega};\quad \gamma=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega};\quad \delta=0 \\
&\alpha'=e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega};\quad \beta'=-e^{2\omega}(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega});\quad \gamma'=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}; \\
&\delta'=\frac{(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}.
\end{align*}
et on peut écrire, a cause de \text{tang.}\,\omega=0,
\gamma'=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega},\qquad \text{et}\ \delta'=\frac{(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega}
si on multiplie donc tous ces coëfficiens par \text{sin.}\,\lambda\omega,
on aura comme dans le cas ou \lambda=\frac{1}{2}
\begin{align*}
&\alpha=0,\ \beta=0,\ \gamma=-(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}),\ \delta=0 \\
&\alpha'=0,\ \beta'=0,\ \gamma'=(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}),\ \delta'=0
\end{align*}
et par conséquent \gamma=-\gamma', on peut faire également ici
\gamma=1\qquad \gamma'=-1
Ainsi + en prenant pour exemple le cas representé par la fig. 7
et supposant le stilet placé en L l'équation qui détermine le mouvement
dela partie E L sera
y=C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,\lambda\omega,
et pour la partie L E' en tout semblable a la partie L L'
on aura
y=-C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,\lambda\omega
il est clair que le mouvement dela partie L' L'' est déterminé de même par
l'équation
y=C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,\lambda\omega,
celui de la partie L'' L''' par l'équation
y=-C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,\lambda\omega
et ainsi de suite en adoptant le signe + pour les parties dela courbe qui
sont situées audessus de l'axe et le signe - pour celles qui sont placées
audessous du même axe ou ligne de repos.
la croix qui suit « Ainsi » appelle la note portée dans la marge de
gauche, en deux lignes, qui s'ouvre elle-même sur la même croix ; elle est
mise ici à sa place. Dans « la partie L E' », la seconde lettre est tracée comme le E
de « E L » de la ligne précédente, avec un accent, et deux petits traits
sont ajoutés au-dessus des deux lettres ; le reste de la page nomme les
parties L L', L' L'', L'' L''', mais la vue 240 écrit bien « L E' »
pour la portion qui va du stilet à l'autre bout. Laissé tel que lu. Le
feuillet s'arrête sur « ligne de repos. » ; le bas de la page est blanc.
au milieu du haut de la page, le nombre 9, souligné ; le nombre 115 est
à l'encre en haut à droite. Le verso, vue 237, est blanc.
4. Je reprend apresent l'équation du problème, elle a pour second facteur
\begin{align*}
&2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}\ldots+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\
&\quad -(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\Big\{\frac{\uncertain{2}}{\lambda}-\frac{1-\lambda^2}{2.3.\lambda^3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\frac{(1-\lambda^2)(1-9\lambda^2)}{2.3.4.5.\,\lambda^5}\,\text{sin.}^4\lambda\omega-\text{\&c.}\Big\}
\end{align*}
ou
\begin{align*}
&2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}\ldots+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\
&\quad -(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\Big\{\frac{1}{\lambda}-\frac{1-4\lambda^2}{2.3.\lambda^3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\frac{(1-4\lambda^2)(1-16\lambda^2)}{2.3.4.5.\,\lambda^5}\,\text{sin.}^4\lambda\omega\Big\}\cos.\lambda\omega
\end{align*}
suivant que le dénominateur de la fraction \lambda est impair ou pair.
le numérateur de la première fraction de la première accolade est un
petit chiffre à boucle, lu 2 avec doute ; le même terme, à la vue 230 et dans
la seconde accolade ci-dessus, est écrit \frac{1}{\lambda}. Une tache
d'encre est posée au milieu de la ligne à points de la seconde série.
D'après les valeurs de \text{sin.}\,\omega rapportées §. 2 –
En admettant que la condition \text{sin.}\,\omega=0 doivent s'accorder avec
toutes les solutions du problème on voit qu'il faut necessairement que
\text{sin.}\,\lambda\omega=0 ou que les facteurs
\frac{1}{\lambda}-\frac{1-\lambda^2}{2.3.\lambda^3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\text{\&c.},\qquad \Big\{\frac{1}{\lambda}-\frac{1-4\lambda^2}{2.3.\lambda^3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\text{\&c}\Big\}\cos.\lambda\omega
suivant les cas, soient egaux a zéro. je suppose d'abord
\text{sin.}\,\lambda\omega=0, le facteur dont il s'agit se réduit a
\frac{1}{\lambda}(1-e^{2(1-\lambda)\omega}) car
\text{sin.}(1-\lambda)\omega=\text{sin.}\,\omega\cos.\lambda\omega-\cos.\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega=-\text{sin.}\,\lambda\omega=0,
et il est clair que \frac{1}{\lambda}(1-e^{2(1-\lambda)\omega}) ne peut
être supposé égal a zéro que dans la seule supposition \omega=0, mais si on
adopte cette dernière hypothèse le second facteur de l'équation du problème
se réduit a
2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}\ \text{\&c}+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega
qui et il ne peut être par conséquent egale a zéro que dans la
supposition \text{sin.}(1-\lambda)\omega=0 supposition qui a cause de
\text{sin.}\,\omega=0 donne \text{sin.}\,\lambda\omega=0, ainsi il
necessairement admettre cette dernière.
« et il » est écrit au-dessus de « qui » biffé, et « par conséquent »
au-dessus de la ligne entre « être » et « egale ». Dans la série qui suit
« se réduit a », une tache couvre un signe entre e^{6\lambda\omega} et
e^{2(1-\lambda)\omega} ; ce qui en dépasse se lit « &c ». Un long trait
horizontal court sur « ainsi il necessairement admettre cette dernière » ; il
a la forme de la barre du t rejetée et non d'une rature, et la phrase,
incomplète comme elle est écrite, est laissée.
Je suppose donc \text{sin.}\,\lambda\omega=0 ; et le facteur dont
il s'agit se réduit alors a
\frac{1}{\lambda}(1-e^{2(1-\lambda)\omega}) quantité qui ne peut être
egalée a zéro que dans la seule supposition \omega=0. J'ai déjà fait cette
remarque pur le cas ou \lambda=\frac{1}{2} mais je vais prouver deplus
\times lorsqu'on a egard a la condition \text{sin.}\,\omega=0
que dans le cas général, nonseulement \times le second facteur de
l'équation du probleme ne peut être egalé a zéro que dans l'hypothèse
\omega=0, qui se rapporte au cas du repos de la lame, mais
lorsqu'on a egard a la condition \text{sin.}\,\omega=0
« pur » est écrit ainsi pour « pour ». La croix qui suit
« nonseulement » appelle la note portée dans la marge de gauche, sur une
ligne, qui s'ouvre elle-même sur la même croix ; elle est mise ici à sa
place, et la dernière ligne du feuillet la répète mot pour mot. « cas du »
est ajouté au-dessus de la ligne, entre « au » et « repos ». Le feuillet
s'arrête sur « \text{sin.}\,\omega=0 » ; le bas de la page est blanc.
au milieu du haut de la page, le nombre 10, souligné ; le nombre 116 est
à l'encre en haut à droite. Le verso, vue 239, est blanc.
mais encore que sans avoir egard qu'il y a des cas ou
qu'independamment de cette condition \text{sin.}\,\omega=0 l'équation
qu'il s'agit de resoudre n'est susceptible d'aucune solution qui puisse se
rapporter a cas V c'est adire qui puisse mener a considerer les deux
portions dela lame separées par le stilet comme fixées a ce point et
appuiées a leur autre extremité \times
\times comme Euler le suppose dans sa seconde solution.
« qu'il y a des cas ou » est écrit au-dessus des mots biffés. Après
« a cas », le V est suivi d'un petit signe empâté qui n'est pas lu. La
croix qui ferme la phrase appelle la note portée dans la marge de gauche, en
deux lignes, qui s'ouvre elle-même sur la même croix ; elle est mise ici à
sa place.
5 Pour cela je reprend l'équation finale
0=2(1-e^{2\omega})-(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\frac{\text{sin.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega}
et je la transforme comme il suit :
\begin{align*}
0&=\frac{2(e^{\omega}-e^{-\omega})}{(e^{(\lambda-1)\omega}-e^{(1-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}\cdot \text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,\omega \\
0&=\frac{(e^{(\lambda-1)\omega}+e^{(1-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})}{(e^{(\lambda-1)\omega}-e^{(1-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\
&\qquad -\big\{\text{sin.}\,\lambda\omega\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}(1-\lambda)\omega\cos.\lambda\omega\big\} \\
0&=\frac{e^{(\lambda-1)\omega}+e^{(1-\lambda)\omega}}{e^{(\lambda-1)\omega}-e^{(1-\lambda)\omega}}\cdot\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega-\cos.(1-\lambda)\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega \\
&\qquad +\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega-\text{sin.}(1-\lambda)\omega\cos.\lambda\omega
\end{align*}
et enfin
\begin{align*}
0&=\text{sin.}\,\lambda\omega\Big\{\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega-\cos.(1-\lambda)\omega\Big\} \\
&\qquad +\text{sin.}(1-\lambda)\omega\Big\{\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\Big\}
\end{align*}
le chiffre qui ouvre l'alinéa est la cinquième des marques de la
main ; il est tracé comme un S et lu 5. Les deux signes « - » posés
après \text{sin.}(1-\lambda)\omega à la première transformation et devant
l'accolade à la seconde sont d'un trait très épais, presque une tache ; ils
sont rendus par un moins ordinaire.
si on pouvoit considerer le stilet placé en L comme fixé il faudroit
donc que les deux conditions
\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega=\cos.(1-\lambda)\omega, \quad\text{et}\quad \frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega=\struck{\uncertain{\text{cos.}}}\lambda\omega
ou
\text{tang.}(1-\lambda)\omega=\frac{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}} \quad\text{et}\quad \text{tang.}\,\lambda\omega=\frac{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}
eussent lieu en même tems, seroit au même
tems pourroit être rapportée au cas V. mais on voit aisément que ces deux
conditions nepeuvent avoir exister a la fois dans certains cas —
pour aucune autre supposition que celle \omega=0.
dans la seconde des deux conditions, le mot biffé devant
\lambda\omega est noyé sous la rature ; le calcul demande « cos. », et
c'est la lecture offerte, avec doute. Les autres ratures de cet alinéa ne se
laissent pas lire.
En effet il faut aumoins que les deux portions de la lame rendent le même
son, car cette supposition est fondamentale
Or, si l'équation
\text{tang.}\,\lambda\omega=\frac{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}
a lieu pour la portion E L de longueur \lambda a les sons simples que
cette portion
au milieu du haut de la page, le nombre 11, souligné ; le nombre 117
est à l'encre en haut à droite. Une déchirure ancienne traverse le feuillet
en oblique, du haut du second alinéa au bas du troisième, sans emporter de
texte. Le verso, vue 241, n'appartient pas à ce lot.
pourra rendre seront exprimés par les nombres suivans:
\frac{25\pi c\surd 2gb}{16\lambda\lambda aa};\ \frac{81\pi c\surd 2gb}{16\lambda\lambda aa};\ \frac{169\pi c\surd 2gb}{16\lambda\lambda aa};\ \frac{289\pi c\surd 2gb}{16\lambda\lambda aa};\ \text{\&c.}
(voyez memoire d'Euler cas V)
et en supposant en même tems que l'autre équation
\text{tang.}(1-\lambda)\omega=\frac{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}
ait pareillement lieu pour la portion L E' de longueur (1-\lambda)a, les
sons simples que cette portion pourra rendre seront exprimés par les
nombres:
\frac{25\pi c\surd 2gb}{16(1-\lambda)^2aa};\ \frac{81\pi c\surd 2gb}{16(1-\lambda)^2aa};\ \frac{169\pi c\surd 2gb}{16(1-\lambda)^2aa};\ \text{\&c.}
Je vais montrer a present que dans aucun autre cas que \lambda=\frac{1}{2}
qu'il n'est pas généralement vrai que certains nombres un nombre de
la première suite ne peut être egal a celui qui puissent egaux a des
nombres appartenans lui correspond dans la seconde en ayant
egard au nombre des nœuds que doit contenir la plus longue portion
L E
l'alinéa est repris trois fois. « pas » est écrit dans la marge de
gauche ; « généralement vrai que certains nombres » est ajouté au-dessus de
la ligne, « puissent egaux a des nombres appartenans » au-dessous ; les mots
biffés sont donnés à leur place. La phrase ainsi recomposée reste
inachevée.
soit pour plus de clarté \lambda=\frac{1}{\lambda'}
(1-\lambda)^2=\frac{(\ill{}\lambda')^2}{\lambda'\lambda'} on voit
d'abord alors facilement qu'aucun nombre de la première suite ne
peut être egal a un nombre quelconque dela seconde lorsque
\lambda'-\uncertain{1} est un nombre pairement pair ou un nombre impair
dela forme 4n+3 ainsi il ne reste donc a examiner que les cas ou
\lambda'-1 est dela forme 4n+\uncertain{1}, la plus petite valeur de
\lambda' après 2 est 6 soit donc \lambda'-1=5, le plus petit nombre que
l'on puisse prendre dans la seconde suite est
\frac{(25)^2(6)^2\pi c\surd 2gb}{16.5^2.aa} ce nombre est en effet egal au
premier de la première suite savoir a
\frac{25(6)^2\pi c\surd 2gb}{16.aa}
mais le nombre 25=4.6+1 supposé dans les
portions L F
« alors » et « facilement » sont écrits au-dessus de « d'abord »
biffé, les premières lettres de « facilement » repassées. Dans
(1-\lambda)^2, le début du numérateur est noyé sous une tache : le calcul
demanderait \lambda'-1, et rien n'est lu. Le chiffre après
« \lambda'- » et celui qui ferme « 4n+ » sont des taches pleines d'un
seul trait ; ils sont lus 1 avec doute, la suite du raisonnement les
appelant. La ligne biffée qui suit n'est lue qu'en partie.
6 J'ai voulu entrer dans tous ces details afin d'être autorisée a conclure
qu'Euler a été induit en erreur lorsqu'il a cru pouvoir admettre sa seconde
solution dans laquelle il réduit a supposer seulement que les deux
portions E L, L F puissent se mouvoir en même tems sans exiger
qu'il soit souvenir que la première
hypothese est que le mouvement imprimé a car cette
dernière j'ai on
voit que cette dernière condition même ne peut pas avoir lieu être
remplie pour toutes les valeurs de \lambda.
« seulement » est ajouté au-dessus de « supposer » ; « sans exiger »
au-dessus de la ligne biffée qui suit ; « j'ai voire » au-dessus de
« on voit » biffé ; « être remplie » au-dessus de « avoir lieu » biffé. Les
deux lignes biffées de cet alinéa ne se laissent pas lire d'un bout à
l'autre. Le feuillet s'arrête sur « de \lambda. » ; le bas de la page est
blanc, et le lot s'arrête ici.