Solution
Je reprends les équations
\text{I.}\quad \alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}+\gamma\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\delta\cos.\lambda\omega=0
\text{II.}\quad \alpha' e^{\lambda\omega}+\beta' e^{-\lambda\omega}+\gamma'\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\delta'\cos.\lambda\omega=0
\text{III.}\quad \alpha e^{\lambda\omega}-\beta e^{-\lambda\omega}+\gamma\cos.\lambda\omega-\delta\,\text{sin.}\,\lambda\omega=\alpha' e^{\lambda\omega}-\beta' e^{-\lambda\omega}+\gamma'\cos.\lambda\omega-\delta'\,\text{sin.}\,\lambda\omega
\text{IV.}\quad (\alpha-\alpha')e^{\lambda\omega}+(\beta-\beta')e^{-\lambda\omega}-(\gamma-\gamma')\,\text{sin.}\,\lambda\omega-(\delta-\delta')\cos.\lambda\omega=0
Donnés par Euler dans l'analyse du même problème relatif au cas ou les
extremités de la lame sont tout l'une et l'autre appuiées par ce qu'il est
clair que ces équations sont egalement applicables au cas present puisqu'elles
sont independantes de l'état des extremités.
Maintenant donc, en considerant l'état des extremités (Voyez cas 1er
No 5 du memoire cité) il en resultera quatre équations) et
faisant successivement \lambda=0 et \lambda=1, savoir
\text{V.}\quad \alpha-\beta=\gamma, \qquad \text{VI.}\quad \alpha+\beta=\delta
\text{VII.}\quad \alpha' e^{\omega}+\beta' e^{-\omega}-\gamma'\,\text{sin.}\,\omega-\delta'\cos.\omega=0 \quad\text{et}\quad \text{VIII.}\quad \alpha' e^{\omega}-\beta' e^{-\omega}-\gamma'\cos.\omega+\delta'\,\text{sin.}\,\omega=0
ainsi on
Pour cela je commence par multiplier l'equation VII par \text{sin.}\,\omega
et l'equation VIII par \cos.\omega puis je les ajoute l'une a l'autre ce qui
donne
\alpha' e^{\omega}(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)+\beta' e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega-\cos.\omega)=\gamma'
je multiplie en suite l'equation VII par \cos.\omega et l'equation VIII par
\text{sin.}\,\omega ce qui donne en les retranchant l'une de l'autre
\alpha' e^{\omega}(\cos.\omega-\text{sin.}\,\omega)+\beta' e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)=\delta'
En substituant les presentes valeurs de \gamma' et \delta' dans l'equation
En tête, au milieu et souligné, le nombre 13 ; en haut à droite, à
l'encre, le nombre 120. Le chiffre 8 est seul dans la marge de gauche, devant
« Si » ; un signe court, peut-être un chiffre, le suit. « Problème » et
« Solution » sont soulignés. Dans « ainsi on … comme dans le cas », un ou deux
mots sont biffés et repassés et ne sont pas lus ; le sens demanderait « on a ».
« huit » et, plus haut, « tous » sont repassés à la plume. Dans « parvient de
même », un pâté couvre le début de « de même ». Le \gamma isolé des
équations V et VII est tracé en boucle renversée, différente du \gamma qui
précède « sin. » dans les équations I à IV. Le feuillet, plus petit que la
garde, est monté sur un onglet ; une tache d'encre est au bas de la marge.
Le texte s'arrête sur « dans l'equation » ; la suite est à la vue 248.
14
Dans l'équation II elle devient
\text{II}\quad \alpha' e^{\lambda\omega}+\beta' e^{-\lambda\omega}+\{\alpha' e^{\omega}(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)+\beta' e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega-\cos.\omega)\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega
+\{\alpha' e^{\omega}(\cos.\omega-\text{sin.}\,\omega)+\beta' e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)\}\cos.\lambda\omega=0
ou
\alpha'\{e^{\lambda\omega}+e^{\omega}(\text{sin.}\,\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\text{sin.}\,\lambda\omega\cos.\omega+\cos.\lambda\omega\cos.\omega-\text{sin.}\,\omega\cos.\lambda\omega)\}
+\beta'\{e^{-\lambda\omega}+e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\text{sin.}\,\omega\cos.\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\cos.\omega)\}=0
ou enfin
\alpha'\{e^{\lambda\omega}+e^{\omega}(\cos.(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega)\}+\beta'\{e^{-\lambda\omega}+e^{-\omega}(\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega)\}=0
D'ou on tire
\beta'=-\frac{\alpha' e^{\omega}\{e^{(\lambda-1)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
par consequent
\gamma'=\alpha' e^{\omega}(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)+\beta' e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega-\cos.\omega)
=\frac{\alpha'(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
-\frac{\alpha'(\text{sin.}\,\omega-\cos.\omega)\{e^{(\lambda-1)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
=\frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega+(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos.\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
+\frac{\left\{\begin{array}{l} \text{sin.}\,\omega\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,\omega\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega+\cos.\omega\cos.(1-\lambda)\omega+\cos.\omega\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega \\ -\text{sin.}\,\omega\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,\omega\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega+\cos.\omega\cos.(1-\lambda)\omega-\cos.\omega\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega \end{array}\right\}\alpha'}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
ou enfin
\gamma'=\frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega+(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos.\omega+2\cos.\lambda\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
on trouve de même
\delta'=\alpha' e^{\omega}(\cos.\omega-\text{sin.}\,\omega)+\beta' e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)
=\frac{\alpha'(\cos.\omega-\text{sin.}\,\omega)\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
-\frac{\alpha'(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)\{e^{(\lambda-1)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
=\frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\cos.\omega-(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
+\frac{\alpha'\{(\cos.\omega-\text{sin.}\,\omega)(\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega)-(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)(\cos.(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega)\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
En tête, au milieu et souligné, le nombre 14 ; en haut à droite, à l'encre,
le nombre 121. Le feuillet ne porte que des calculs, sans autre prose que les
liaisons « ou », « ou enfin », « par consequent », « on trouve de même ». Dans
« ou enfin » qui précède la valeur définitive de \gamma', le mot « ou » est
traversé d'un trait. Les deux longues lignes réunies par une accolade sont
écrites l'une sous l'autre, l'accolade ouvrante et l'accolade fermante
embrassant les deux, et le facteur \alpha' est porté après l'accolade
fermante ; elles sont ici rendues par un tableau à deux lignes. Le feuillet,
plus petit que la garde, est monté sur un onglet ; il s'arrête sur cette
dernière fraction, et le calcul se poursuit à la vue 250.
15
enfin
\delta'=\frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\cos.\omega-(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega-2\,\text{sin.}\,\lambda\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
Je prends ensuite les valeurs de \gamma et \delta données par les équations
V et VI pour les substituer dans l'equation
\text{I.}\quad \alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}+\gamma\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\delta\cos.\lambda\omega=0
elle devient par là
\alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}+(\alpha-\beta)\,\text{sin.}\,\lambda\omega+(\alpha+\beta)\cos.\lambda\omega=0
ou
\alpha\{e^{\lambda\omega}+\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\}+\beta\{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\}=0
D'ou on tire
\beta=-\frac{\alpha\{e^{\lambda\omega}+\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}
et par consequent
\gamma=\alpha-\beta
=\frac{\alpha\{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega+e^{\lambda\omega}+\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}
=\frac{\alpha\{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}+2\cos.\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}
\delta=\alpha+\beta
=\frac{\alpha\{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega-e^{\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}
=-\frac{\alpha\{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}+2\,\text{sin.}\,\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}
Il faut a present substituer les valeurs que l'on vient de trouver pour
\alpha, \beta, \gamma, \delta et \alpha', \beta', \gamma',
\delta' dans l'équation
\text{III}\quad \alpha e^{\lambda\omega}-\beta e^{-\lambda\omega}+\gamma\cos.\lambda\omega-\delta\,\text{sin.}\,\lambda\omega=\alpha' e^{\lambda\omega}-\beta' e^{-\lambda\omega}+\gamma'\cos.\lambda\omega-\delta'\,\text{sin.}\,\lambda\omega
par cette substitution le premier membre devient:
\frac{\alpha\{1-e^{\lambda\omega}(\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega)\}+\alpha\{1+e^{-\lambda\omega}(\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega)\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}
+\frac{\alpha\{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}+2\cos.\lambda\omega\}\cos.\lambda\omega+\alpha\{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}+2\,\text{sin.}\,\lambda\omega\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}
=\frac{\alpha\{\uncertain{4}-(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\,\text{sin.}\,\lambda\omega+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega+(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\,\text{sin.}\,\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}
=\frac{2\alpha\{2+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}
En faisant les substitutions dont il s'agit dans le second membre dela même
equation, il prend la forme.
En tête, au milieu et souligné, le nombre 15 ; en haut à droite, à
l'encre, le nombre 122. Le premier terme entre accolades de l'avant-dernière
fraction est un chiffre repassé : la ligne suivante,
2\alpha\{2+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega\},
demande 4, et c'est ce que les traits donnent le plus vraisemblablement ; la
lecture est signalée comme douteuse. Le feuillet, plus petit que la garde, est
monté sur un onglet ; il s'arrête sur « il prend la forme. », la suite étant à
la vue 252.
16
\frac{\alpha' e^{(\lambda-1)\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}+\alpha' e^{(1-\lambda)\omega}\{e^{(\lambda-1)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
+\frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega+(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos.\omega+2\cos.\lambda\omega\}\cos.\lambda\omega}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
-\frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\cos.\omega-(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega-2\,\text{sin.}\,\lambda\omega\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
=\frac{\alpha'\{\uncertain{4}+(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos.(1-\lambda)\omega-(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
+\frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})[\cos.\lambda\omega\cos.\omega+\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}\,\omega]+(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})[\text{sin.}\,\omega\cos.\lambda\omega-\cos.\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega]\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
=\frac{2\alpha'[2+(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos.(1-\lambda)\omega]}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
Ainsi l'équation III se reduit en derniere analyse à
\frac{\alpha\{2+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}=\frac{\alpha'\{2+(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos.(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
et par consequent
\frac{\alpha e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{\alpha'\{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\}}=\frac{2+(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos.(1-\lambda)\omega}{2+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega}
Il faut encore avoir recours a l'équation IV. que l'on peut mettre dans
laquelle on peut faire passer tous les termes négatifs de cette equation
dans le second membre ce qui donne
\alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}-\gamma\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\delta\cos.\lambda\omega=\alpha' e^{\lambda\omega}+\beta' e^{-\lambda\omega}-\gamma'\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\delta'\cos.\lambda\omega
D'ou il resulte en ajoutant
\text{I.}\quad \alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}+\gamma\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\delta\cos.\lambda\omega=0
au premier membre et
\text{II.}\quad \alpha' e^{\lambda\omega}+\beta' e^{-\lambda\omega}+\gamma'\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\delta'\cos.\lambda\omega=0
au second et divisant par 2.
\alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}=\alpha' e^{\lambda\omega}+\beta' e^{-\lambda\omega}
cette dernière équation devient en y mettant pour \beta et \beta' les
valeurs cidessus
\frac{\alpha e^{\lambda\omega}\{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\}-\alpha e^{-\lambda\omega}\{e^{\lambda\omega}+\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}
=\frac{\alpha' e^{(\lambda-1)\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}-\alpha' e^{(1-\lambda)\omega}\{e^{(\lambda-1)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
ou
\frac{\alpha\{(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega-(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\,\text{sin.}\,\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}
=\frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega-(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\cos.(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}
En tête, au milieu et souligné, le nombre 16 ; en haut à droite, à
l'encre, le nombre 123. Le premier terme entre accolades de la quatrième
fraction est le même chiffre repassé qu'à la vue 250 ; la réduction qui suit
demande 4, et la lecture est signalée comme douteuse. Le signe qui ouvre la
troisième fraction est un pâté épais, lu « - ». Le feuillet, plus petit que
la garde, est monté sur un onglet ; il s'arrête sur cette dernière égalité,
qui se poursuit à la vue 254.
17
D'ou on tire
\frac{\alpha e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{\alpha'\{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\}}
=\frac{(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega-(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\cos.(1-\lambda)\omega}{(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega-(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\,\text{sin.}\,\lambda\omega}
Il ne s'agit plus a present que de comparer ce resultat avec celui de
l'équation III pour conclure
\{2+(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos.(1-\lambda)\omega\}\{(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\,\text{sin.}\,\lambda\omega-(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega\}
+\{2+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega\}\{(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega-(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\cos.(1-\lambda)\omega\}=0
cette équation est celle dont il faut tirer la valeur de l'angle \lambda\omega.
Il est aisé de voir que dans le cas ou \lambda=\frac{1}{2} elle se reduit a
2\{2+(e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega})\cos.\tfrac{1}{2}\omega\}\{(e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega})\,\text{sin.}\,\tfrac{1}{2}\omega-(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})\cos.\tfrac{1}{2}\omega\}=0
et que cette équation est susceptible de deux solutions savoir.
(e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega})\,\text{sin.}\,\tfrac{1}{2}\omega-(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})\cos.\tfrac{1}{2}\omega=0 \quad\text{et}\quad 2+(e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega})\cos.\tfrac{1}{2}\omega=0.
La premiere est relative au cas ou le stilet est simplement consideré
comme simplement appuié au point du milieu dela lame dont les extremités sont
libres et elle montre que les deux moitiés de cette lame doivent vibrer comme
deux lames séparées de longueur \frac{1}{2}a qui auroient chacune une de
leurs extremités libre et l'autre appuié, car la condition
\dfrac{e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega}}{e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega}}=\text{tang.}\,\tfrac{1}{2}\omega.
est celle qui convient au mouvement d'une telle lame
de longueur \frac{1}{2}a
cette solution s'accorde au reste avec l'équation dependante de l'état des
extremités dela lame primitivee; car on a (V. cas. 1er)
\cos.\omega=\dfrac{2e^{\omega}}{e^{2\omega}+1} D'ou on tire en prenant
\text{sin.}\,\omega positif comme il convient ici,
\text{sin.}\,\omega=\dfrac{e^{2\omega}-1}{e^{2\omega}+1} ainsi on a
\cos.\omega=2\cos.^2\tfrac{1}{2}\omega-1=\dfrac{2e^{\omega}}{e^{2\omega}+1}
2\cos.^2\tfrac{1}{2}\omega=\frac{(e^{\omega}+1)^2}{e^{2\omega}+1}
et
2\,\text{sin.}\,\tfrac{1}{2}\omega\cos.\tfrac{1}{2}\omega=\frac{e^{2\omega}-1}{e^{2\omega}+1}
\text{tang.}\,\tfrac{1}{2}\omega=\frac{e^{\omega}-1}{e^{\omega}+1}
qui est precisement la condition resultante de la premiere solution.
Le haut du feuillet est déchiré et taché : du nombre porté au milieu, en
tête, il ne subsiste que le bas des chiffres, lus avec doute « 17 » ; le
soulignement est entier. En haut à droite, à l'encre et intact, le nombre 124.
Dans la seconde fraction de la première égalité, le signe entre
e^{\lambda\omega} et e^{-\lambda\omega} et le mot « cos. » qui suit sont
empâtés. Après « le stilet est », un mot est biffé, lu « simplement », le même
mot revenant à la ligne suivante. « telle » est ajouté au-dessus de la ligne,
et « de longueur \frac{1}{2}a » biffé après « lame ». « primitivee » est
écrit ainsi. La référence entre parenthèses est lue « V. cas.
1er » ; la première lettre est tracée d'un seul jet et reste
douteuse. Le feuillet, plus petit que la garde, est monté sur un onglet ; il
s'arrête sur « solution. », la suite étant à la vue 256.
18
équation solution elle donne
\dfrac{2}{e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega}}=-\cos.\tfrac{1}{2}\omega
ainsi elle meneroit a conclure que la lame peut encore être consideré comme
séparé en deux autres lames de longueur \frac{1}{2}a qui auroient chacune
une de leurs extremités fixée au point d'application du stilet et l'autre
libre, mais la condition
\dfrac{2}{e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega}}=-\cos.\tfrac{1}{2}\omega
ne peut s'accorder avec l'équation
\cos.\omega=\dfrac{2e^{\omega}}{e^{2\omega}+1} dependante de l'état des
extremités que dans la seule supposition \omega=0. Il faut donc rejetter
cette seconde solution, comme il me semble necessaire dele faire dans le cas
examiné par Euler
10
Jusqu'ici, il existe la plus grande analogie entre le cas ou les deux
extremités sont appuiées et celui que je viens de développer où les deux
extremités sont libres car de part et d'autre la supposition
\lambda=\frac{1}{2} donne des solutions semblables quant a la consideration
de point d'appui l'effet de l'application du stilet mais
malheureusement un examen plus aprofondi du cas present fait apercevoir de
grandes differences.
En effet dans le cas des extremités appuiées la solu premiere
solution relative a la supposition \lambda=\frac{1}{2} n'est qu'un cas
particulier dela solution generale dans laquelle \lambda peut
avoir toutes toutes les valeurs être une fraction quelconque
aliquote de l'unité desorte que quelque soit celle adoptée la lame primitivee
peut toujours être consideré comme separé en deux lames des longueurs
\lambda a et (1-\lambda)a dont qui auroient l'une et l'autre
leurs deux extremités appuiées, et cette conclusion resulte de ce que
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Au contraire dans le cas present des deux extremités libres les
équations
\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega-\cos.(1-\lambda)\omega=0 \quad\text{et}
\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega=0.
ne peuvent avoir lieu en même tems; lorsqu'on a égard a la condition qui
resulte de l'état des extremités de la lame primitivee, que dans le seul cas
ou \lambda=\frac{1}{2} ces équations peuvent être mises sous la forme
\text{tang.}\,(1-\lambda)\omega=\frac{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}, \qquad \text{tang.}\,\lambda\omega=\frac{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}
qui montre quelles ne sont autrechose que les conditions du mouvement de deux
lames des longueurs \lambda a et (1-\lambda)a dont une des extremités
seroit appuié et l'autre libre.
Ainsi ont on est forcé de conclure que le cas ou le stilet est appuié
au milieu de la lame dont les deux extremités sont libres est le seul ou cette
lame puisse être consideré comme separé en deux autres lames qui auroient
chacune une de leurs extremités appuiees au point d'application du stilet et
l'autre libre.
11
Je vais maintenant démontrer qu'en effet les deux quantités
\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega-\cos.(1-\lambda)\omega \quad\text{et}\quad \frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega
ne peuvent être supposées en même tems égales a zéro.
c'est ceque montrent les transformations suivantes dans lesquelles on
introduit les valeurs tirées de la seconde dans la premiere des
avant equations
\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega-\cos.(1-\lambda)\omega
=\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\{\text{sin.}\,\omega\cos.\lambda\omega-\text{sin.}\,\lambda\omega\cos.\omega\}-\{\cos.\omega\cos.\lambda\omega+\text{sin.}\,\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega\}
=\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\left\{\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}\,\omega-\text{sin.}\,\lambda\omega\cos.\omega\right\}
-\left\{\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\cos.\omega+\text{sin.}\,\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega\right\}=0
et en multipliant par
(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})
0=\text{sin.}\,\lambda\omega\{(e^{\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega}+e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{-\omega})\,\text{sin.}\,\omega-(e^{\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega}-e^{(1-2\lambda)\omega}-e^{-\omega})\cos.\omega
-(e^{\omega}-e^{(2\lambda-1)\omega}+e^{(1-2\lambda)\omega}-e^{-\omega})\uncertain{\cos.\omega}-(e^{\omega}-e^{(2\lambda-1)\omega}-e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{-\omega})\,\text{sin.}\,\omega\}
20
0=2\,\text{sin.}\,\lambda\omega\{(e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega-(e^{\omega}-e^{-\omega})\cos.\omega\}
car amoins de faire \lambda ou \omega=0, \text{sin.}\,\lambda\omega ne
peut être supposé ici egal a zéro puisque cette hypothèse
supposition meneroit a conclure que la portion de longueur \lambda a a
ses deux extremités appuiée; contre l'hypothèse
Ainsi il faudroit que l'autre facteur
(e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega-(e^{\omega}-e^{-\omega})\cos.\omega
fut egal a zero D'ou on concluroit
\text{tang.}\,\omega=\frac{e^{\omega}-e^{-\omega}}{e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega}}
mais la consideration de l'état des extremités dela lame primitivee donne
\cos.\omega=\dfrac{2}{e^{\omega}+e^{-\omega}},
\text{sin.}\,\omega=\pm\dfrac{e^{\omega}-e^{-\omega}}{e^{\omega}+e^{-\omega}}
et par consequent
\text{tang.}\,\omega=\pm\dfrac{e^{\omega}-e^{-\omega}}{2} on
seroit donc mené a ce resultat
*
trouveroit donc en egalant les deux valeurs de \text{tang.}\,\omega
\pm\frac{e^{\omega}-e^{-\omega}}{2}=\frac{e^{\omega}-e^{-\omega}}{e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega}} \quad\text{ou}\quad \pm(e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega})=2
le signe superieur repond a la valeur positive de \text{sin.}\,\omega
c'est adire au cas ou il y a un nombre impair de nœud au contraire le signe
négatif repond a celui ou il y en a un nombre impair.
On voit d'abord que e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega} etant une
quantité essentiellement positive l'équation
-(e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega})=2 ne peut subsister dans
aucun cas et a l'egard de celle ci
e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega}=2 on voit qu'amoins de faire
\omega=0, ceque exclut tout espece de mouvement, elle ne peut être
satisfaite pour aucune valeur de \lambda differente de \frac{1}{2}
12
On obtient des resultats semblables pour le cas ou les extremités de la lame
aulieu d'être libres sont fixées car si on suppose qu'une telle lame soit
soumise a l'action d'un stilet dans un point quelconque de son etendue on
parvient, au moyen de calculs que je suprime ici a cause de leur parfaite
analogie avec les précédans, a l'équation.
Deux nombres soulignés en tête : sur le feuillet lui-même, au milieu, un
nombre dont le second chiffre est tracé comme un \omega et qui est lu, avec
doute, 20 ; au-dessus du bord supérieur du feuillet, donc sur le montage et
non sur cette page, un autre nombre souligné qui se lit 21. En haut à droite,
à l'encre et sur le feuillet, le nombre 127. « supposition » est ajouté
au-dessus de « hypothèse », biffé. Le « roit » de « concluroit » est couvert
d'un pâté. Devant « trouveroit », dans la marge, un petit signe en étoile qui
rattache la phrase à « on », resté au bout de la ligne précédente. La phrase
« au contraire le signe négatif repond a celui ou il y en a un nombre impair »
répète « impair » : le leçon est celle du feuillet, et le raisonnement
demanderait « pair ». Le feuillet, plus petit que la garde, est monté sur un
onglet ; il s'arrête sur « a l'équation. », et la suite est au-delà de ce lot.