Numérotation des feuillets. Chaque feuillet de ce lot n'est écrit que
d'un côté : les vues paires portent le texte, les vues impaires sont le
revers blanc du même feuillet, où l'écriture transparaît à l'envers ; elles
ne sont pas transcrites. Deux séries de nombres à l'encre, une par feuillet
écrit. En haut à droite : 128 (vue 262), 129 (264), 130 (266), 131 (268),
132 (270), 133 (272), 134 (274), 135 (276), 136 (278), 137 (280), sans
lacune, à la suite de la série des lots précédents. Au milieu du haut,
souligné et souvent repassé sur un premier chiffre : 21 (262), 22 (264),
23 (266), 24 (268), 25 (270), 25 (272), 26 (274), 27 (276), 28 (278),
29 (280) ; deux vues de suite se lisent 25 et le second chiffre de ces
nombres n'est pas assuré. C'est la pagination de l'auteur, non une
foliotation. Les numéros d'alinéa 13, 14, 15, 16, 17 et 18 sont dans la
marge de gauche des vues 264, 268, 270, 274, 278 et 280. Tous ces nombres
ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Aucune foliotation au crayon de
la Bibliothèque n'a été lue sur ces vues, et aucun « f. » n'est donc porté
ici.
\Big\{\frac{2}{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}-\cos.\lambda\omega\Big\}\Big\{\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\sin(1-\lambda)\omega-\cos(1-\lambda)\omega\Big\}
+\Big\{\frac{2}{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}-\cos(1-\lambda)\omega\Big\}\Big\{\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\sin.\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\Big\}=0
de laquelle il s'agit de tirer les valeurs de l'angle \omega
Et on trouve comme dans le cas précédent qu'en fesant \lambda=\frac{1}{2} on a
pour solution de cette equation la condition
\frac{e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega}}{e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega}}\sin.\tfrac{1}{2}\omega-\cos\tfrac{1}{2}\omega=0
qui mène a conclure que la lame primitive se meut alors comme si
elle étoit separée en deux autres lames moitiés moins longues qui
auroient chacune une de leurs extremités appuiée au point
d'application du stilet et l'autre fixée.
On trouve également par le même calcul déja employé que pour le cas
précédent que les equations
\text{tang.}(1-\lambda)\omega=\frac{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}
\text{tang.}\lambda\omega=\frac{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}
ne peuvent, dans aucun autre cas que celui de \lambda=\frac{1}{2}, s'accorder
l'une et l'autre avec la condition dependante de l'état des extremités.
le feuillet est un morceau de papier plus petit, monté sur une garde : le texte n'occupe que le haut de la vue, et le bas est blanc. Le nombre 128 est à l'encre en haut à droite ; au milieu du haut, un 21 souligné. « primitive » est ajouté au-dessus de la ligne, après « la lame », et mis à sa place. Le mot biffé après « a conclure » est « que », recouvert d'une rature épaisse. Dans la phrase suivante, « le même » est biffé et « déja employé » ajouté au-dessus de « calcul » ; le « que » qui suivait « calcul » est biffé. La première ligne continue la page précédente (vue 260), qui n'est pas de ce lot.
+ quelque soit la longueur de la lame dont il s'agit et par
consequent le nombre des nœuds de vibration qui se forment pendant son
mouvement si on suppose qu'elle donne un son connu fixe la
l'étendue de la partie vibrante comprise entre celle de ses extremités qui
est appuiée d'apres l'hypothese, et le nœud de vibration le plus
voisin est sera constante car cette position est
* si on suppose qu'un son quelconque soit rendu a la fois par
plusieurs lames de differentes longueurs et soit dont une des
extremités est fixe ou libre et l'autre appuiée il se formera dans
chacune d'elles un nombre de nœud dependant de leur longueurs respectives
mais que l'étendue de la partie comprise vibrante comprise entre
celles de leurs extremités qui est appuiée et le nœud le plus voisin sera
constante.
13. Mais, si dans un cas quelconque qui est celui ou le stilet est appuié au
milieu de la lame primitive, la théorie permet de considerer cette lame
comme réellement separée en deux autres lames qui auroient une de leurs
extremités appuiées par l'effet de l'application du stilet, pour comment se
peut-il que la même supposition ne soit plus applicable a aucun autre cas ?
Voici ce me semble comment on peut se rendre compte de cette
singularité : pour que quelque tout porte a croire que * je suppose
qu'une lame, dont une extremité est appuiée et l'autre libre ou
fixe, d'une longueur quelconque *, rende un son donné en se divisant en
un certain nombre plusieurs de parties au moyen d'un nombre impair
de nœud ou de plusieurs nœuds il semble que l'on peut
concevoir que les parties intermédiaires soient supprimées pour
laisser subsister que deux separées par un seul nœud, sans que la nature du
son soit changé deux parties les plus voisines du milieu de la lame soit
supprimées et les portions restantes continues contigues, puis
encore les deux portions prises de même dans la nouvelle lame ou
quatre dans la première, et ensuite &c.
&c. jusqu'a ce qu'il n'en reste plus que deux separés par un
seul nœud et que par ces opérations successives le son ne sera pas altéré,
car si on vouloit que a chaque quelle le son fut changé, il devroit
l'être a chacune des opérations successives et comme rien ne limite leur
nombre parceque l'on peut concevoir le nombre des nœuds de la lame primitive
infiniment grand, il faudroit supposer que les sons que peuvent rendre
des portions de lame les portions parties de la lame
situées a ses extremités sont suivant l'étendue des lames
auxquelles elles appartiennent infiniment differens entr'eux et
ce résultat est contraire a tout ce que l'on sait
le nombre 129 est à l'encre en haut à droite ; au milieu du haut, un 22 souligné, dont le second chiffre est repassé. Le « 13 » qui ouvre la page est dans la marge de gauche, comme un numéro d'alinéa. Les deux notes marginales sont de la main de l'auteur, dans la marge de gauche, et appelées par un « + » et un « * » placés dans le texte ; la première est en outre annulée par un grand trait oblique qui la traverse de haut en bas. « dont une extremité est appuiée \ldots l'autre libre ou fixe » est ajouté au-dessus de la ligne, et mis à sa place ; le signe qui sépare les deux membres est un trait épais, lu « et » avec doute. « plusieurs » est ajouté au-dessus de « un certain nombre » biffé, « nombre impair de » au-dessus de la ligne, « fixe » au-dessus de « connu » dans la note marginale, « sera » au-dessus de « est », « que » au-dessus de la ligne dans la seconde note. Le signe qui ferme « et ensuite » et celui qui ouvre la ligne suivante ont la même forme, une boucle suivie d'un point, lue « &c. » avec doute. La page se termine sans point ; la phrase se poursuit à la vue 266.
sur la théorie des corps sonores ; il faut donc conclure que quelque soit
l'étendue de deux lames dont une des extremités est libre ou fixe et l'autre
appuiée, les parties comprises entre l'extremité appuiée, qui est la seule a
considerer ici, et le premier nœud, sont égals entr'elles lorsque les lames
dont il s'agit rendent le même son.
Cela posé, si on considere la lame élastique comme separée en deux parties
par l'application du stilet simplement appuié, il faudra que les deux
part portions comprises de part et d'autre entre ce point d'appui
supposé et le premier nœud soient égals entr'elles, car elles
appartiendroient dans cette hypothese a deux lames dont une extremité seroit
libre ou fixe et l'autre appuiée et qui doivent par la nature de la question
rendre le même son. il ne reste donc plus pour eclaircir la difficulté dont
il s'agit, qu'a prouver qu'excepté le cas ou il y a un nœud au milieu de la
longueur de la lame il n'y a aucun point de repos tel que les ordonnées
prises a distance egales de part et d'autre de ce point soient egals
entr'elles et que par conséquent les distances comprises entre le point
d'application du stilet considéré comme simple appui, et le premier nœud
pris a droite et a gauche de ce point ne peuvent etre egals que dans le seul
cas ou le stilet est ap supposé appliqué au milieu de la
longueur de la lame dont on cherche a déterminer la maniere de vibrer.
le nombre 130 est à l'encre en haut à droite ; au milieu du haut, un 23 souligné. La première ligne continue la vue 264. L'orthographe de l'autographe est conservée : « égals » et « egals » pour égales, mais « egales » à « a distance egales de part et d'autre ». Le bas du feuillet est blanc sous « vibrer. ».
14. Pour demontrer cette proposition il faut se rappeller que pour un point
quelconque L situé aux distances \lambda a et (1-\lambda)a des
extremités de la lame, la valeur de l'ordonnée y est en mettant les valeurs
convenables de \alpha, \beta, \gamma et \delta, tant pour le cas
des extremités fixes que pour le cas celui des extremités libres
C\sin\Big(\zeta+\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\Big\{e^{\lambda\omega}\pm e^{(1-\lambda)\omega}\ \ill{}\ \{(1\mp e^{\omega})\sin\lambda\omega+(1\pm e^{\omega})\cos\lambda\omega\}\Big\}
les signes superieurs étant pris, lorsque les extremités sont libres
pour le cas ou lorsqu'il y a un nombre impair de nœud, et
lorsque les extremités sont fixes pour le cas ou il y a un nombre impair et
les signes inferieurs pour les cas contraires.
cela posé si on veut que le stilet soit appuié au point L on aura pour ce
point y=0 c'est adire
e^{\lambda\omega}\pm e^{(1-\lambda)\omega}+(1\mp e^{\omega})\sin\lambda\omega+(1\pm e^{\omega})\cos\lambda\omega=0
et les ordonnées des points situés a droite et a gauche du point L a la
distance \lambda'a de ce point seront
\ldots\ \{e^{(\lambda-\lambda')\omega}\pm e^{(1-\lambda+\lambda')\omega}+(1\mp e^{\omega})\sin(\lambda-\lambda')\omega+(1\pm e^{\omega})\cos(\lambda-\lambda')\}=y
\ldots\ \{e^{(\lambda+\lambda')\omega}\pm e^{(1-\lambda-\lambda')\omega}+(1\mp e^{\omega})\sin(\lambda+\lambda')\omega+(1\pm e^{\omega})\cos(\lambda+\lambda')\}=-y
les ordonnées sont de signes contraires parceque il est clair que si l'une
est située au dessus de l'axe l'autre doit etre au dessous de la même ligne :
leur somme est donc zéro si elles sont egales entr'elles et on doit avoir
\begin{align*}
0={}& \{e^{\lambda\omega}\pm e^{(1-\lambda)\omega}\}\{e^{\lambda'\omega}+e^{-\lambda'\omega}\}+(1\mp e^{\omega}).2\sin\lambda\omega\,\uncertain{\cos}\lambda'\omega \\
&+(1\pm e^{\omega}).2\cos\lambda\omega\cos\lambda'\omega
\end{align*}
et a cause de e^{\lambda\omega}\mp e^{(1-\lambda)\omega}=-\{(1\mp e^{\omega})\sin\lambda\omega+(1\pm e^{\omega})\cos\lambda\omega\}
cette condition devient
\{e^{\lambda\omega}\mp e^{(1-\lambda)\omega}\}\{e^{\lambda'\omega}+e^{-\lambda'\omega}-2\cos\lambda'\omega\}=0
et comme lorsque les extremités sont supposées fixes la seule difference est
entre les valeurs des coëfficiens \alpha, \beta, \gamma et \delta
comparés a celles qui sont relatives a l'hypothese des extremités libres
le nombre 131 est à l'encre en haut à droite ; au milieu du haut, un 24 souligné. Le « 14 » qui ouvre la page est dans la marge de gauche, comme le « 13 » de la vue 264. « le cas » est ajouté au-dessus de la ligne devant « celui des extremités libres », et « lors » au-dessus de « le cas ou » biffé. Dans la première formule, le signe qui sépare e^{(1-\lambda)\omega} de l'accolade suivante est noyé sous une rature épaisse et n'est pas lu ; à la formule suivante, la même place porte un « + ». Les doubles signes sont écrits en deux étages, un trait sous ou sur la croix ; ils sont transcrits \pm et \mp comme ils se lisent. Les lignes de points qui ouvrent deux des formules sont de la main de l'auteur et marquent le facteur laissé de côté, comme aux vues 186 et 189 du lot 10. Dans la grande formule, « \cos » devant \lambda'\omega est empâté par une surcharge. Le feuillet s'arrête sur « libres » ; la phrase se poursuit à la vue 270.
est que les deux dernieres savoir \gamma et \delta sont prises avec un
signe contraire il en resulte seulement que l'on a
e^{\lambda\omega}\pm e^{(1-\lambda)\omega}-\{(1\mp e^{\omega})\sin\lambda\omega+(1\pm e^{\omega})\cos\lambda\omega\}=0
\ldots\ \{e^{(\lambda-\lambda')\omega}\pm e^{(1-\lambda+\lambda')\omega}-\{(1\mp e^{\omega})\sin(\lambda-\lambda')\omega+(1\pm e^{\omega})\cos(\lambda-\lambda')\omega\}=y
\{e^{(\lambda+\lambda')\omega}\pm e^{(1-\lambda-\lambda')\omega}-\{(1\mp e^{\omega})\sin(\lambda+\lambda')\omega+(1\pm e^{\omega})\cos(\lambda+\lambda')\omega\}=-y
au lieu des valeurs précédantes ce qui n'empêche pas de conclure
\{e^{\lambda\omega}\mp e^{(1-\lambda)\omega}\}\{e^{\lambda'\omega}+e^{-\lambda'\omega}-2\cos\lambda'\omega\}=0
On voit aisément qu'en supposant \lambda=\frac{1}{2} cette condition est
toujours remplie car il faut alors prendre le signe superieur dans le
facteur e^{\lambda\omega}\mp e^{(1-\lambda)\omega} puisque dans ce cas il y a
necessairement un nombre impair de nœuds et il est clair que
e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{(1-\frac{1}{2})\omega}=0 ; mais on voit en même tems
que cette valeur de \lambda est la seule pour laquelle ce facteur puisse
etre egalé a zéro et que dans tout autre cas on mené a conclure
e^{\lambda'\omega}+e^{-\lambda'\omega}=2\cos\lambda'\omega resultat absurde pour tout
une valeur quelconque de \lambda' differente de zéro.
Ainsi il est prouvé a plus forte raison qu'un nœud ne peut jamais etre
placé a distance egals des nœuds les plus voisins pris a droite et a gauche
car il faudroit que les ordonnées fussent de ces derniers nœuds
fussent égals a zéro, et par conséquent aussi leur somme, ce que l'on vient
de demontrer être impossible pour un nœud situé dans un lieu quelconque
different du milieu d'une lame dont les extremités sont supposées libres ou
fixes +
15. * Au contraire lorsqu'il s'agit d'une lame dont les deux extremités
sont simplement appuiées si on veut que le stilet soit appuié de
maniere en un point L pris a distance \lambda a d'une des extremités et
qu'il existe deux autres nœuds aux distances (\lambda-\lambda')a et
(\lambda+\lambda')a de la même extremité de sorte que que le nœud
le nombre 132 est à l'encre en haut à droite ; au milieu du haut, un nombre souligné dont les deux chiffres sont repassés l'un sur l'autre, lu 25. Le « 15 » qui ouvre le dernier alinéa est dans la marge de gauche. Dans la deuxième formule, le signe qui précède l'accolade et celui qui précède y sont deux taches épaisses recouvrant ce qui est écrit ; ils sont rendus « - » et « = » d'après la troisième formule, qui est la même à un signe près, et le sinus porte au milieu une surcharge. Le « + » qui ferme l'alinéa 14 et le « * » qui ouvre l'alinéa 15 sont les signes de renvoi des deux notes marginales de la vue 264. Le feuillet s'arrête sur un mot biffé ; la phrase se poursuit à la vue 272.
* Je ne crois pas que l'on ait encore fait cette remarque de l'inégalité
entre des parties comprises entre deux nœuds de vibration ;
car Mr Chladni se contente de dire qu'un en partant de la lame dont
les deux extremités sont libres qu'une partie comprise entre deux nœuds est a
peu près double d'une partie située a une extremité ce qui semble
supposer que est a peu près moitié moins longue qu'une partie
comprise entre deux nœuds, ce qui semble supposer que toutes les parties
soumises a cette derniere condition sont de la même longueur.
V. traité d'acoustique pag 4 §§ 71
Cependant Mr Ricati dans le memoire que j'ai déja cité, ouvrage dans lequel
il a entrepris developper l'analyse du cas des deux extremités libres, en
suivant la methode d'Euler, et où il a calculé avec plus de soins les valeurs
qui entrent dans les formules donne pour la quantité que
j'ai jusqu'a été designée ici par \omega des valeurs qui comparés
entr'elles menent a conclure que pour le cas des deux extremités libres une
partie située a l'extremité est moins grande que la moitié de la partie
comprise entre les deux nœuds placés les plus voisins de cette
extremité, que la partie comprise entre le second nœud et le troisieme est
plus grande que celle qui est située entre le premier et le second, que de
même encore la partie qui se trouveroit comprise entre le troisieme
et le quatrieme est plus grande que toutes les précédantes et toute
qu'en général une partie comprise entre deux nœuds est d'autant plus longue
qu'elle est plus éloignée de l'extremité et plus voisine du milieu de la
lame. et que cependant les differences sont beaucoup plus grandes entre les
parties qui sont pres des extremités qu'entre celles qui s'en eloignent
d'avantage
2. Mais Mr Ricati se contente de donner les valeurs dont j'ai parlé sans en
conclure l'inegalité des parties dont il s'agit. V. §§ XXX p.
503. *
le nombre 133 est à l'encre en haut à droite ; au milieu du haut, un nombre souligné dont le second chiffre est repassé, lu 25, précédé à gauche, en petits caractères, d'une mention lue « 2.eme » avec doute. La lettre capitale suivie d'un point qui précède « traité d'acoustique » est tracée d'une seule boucle : elle est lue « V. » (voyez) d'après le « V. » de la dernière ligne, mais la forme n'est pas la même. « et que » est ajouté au-dessus de la ligne devant « cependant », « les » au-dessus de la ligne devant « parties soumises », « deux » au-dessus de la ligne dans « des deux extremités libres ». Les deux dernières lignes sont d'une écriture beaucoup plus fine, ajoutées au bas du feuillet ; dans leur renvoi, trois croix épaisses tiennent la place du numéro des paragraphes, et le nombre de la page, lu 503, a un chiffre du milieu qui peut être un zéro ou un o. Le « * » qui ouvre la page et celui qui ferme la dernière ligne sont des signes de renvoi.
point d'appui du stilet equivalent à un nœud soit placé a distance egale de
deux autres nœuds situés a droite et a gauche ces differentes conditions
seront exprimées par les équations
\sin\lambda\omega=0, \qquad \sin(\lambda-\lambda')=0
\sin(\lambda+\lambda')=0
et on conclut trouve en ajoutant les deux dernieres
2\sin\lambda\cos\lambda'\omega=0 qui est evidenment satisfaite pour
toute valeur convenable a \omega et independam independamment
de la valeur de \lambda' en vertu de la premiere de ces équations.
On voit donc a present par quelle raison le cas des deux extremités appuiées
est le seul pour lequel on puisse avoir une solution générale de des
équations trouvées en suivant la methode d'Euler
\times Dans les problemes ou il s'agit de déterminer
l'effet de l'application d'un stilet \times
16. On voit peut remarquer. qu' \times il existe la plus
grande analogie entre les équations qui determinent servant a
trouver dans les
differens cas relatifs a l'état des extremités et aussi entre les facteurs de
ces équations et les conditions par lesquelles l'angle \omega est determiné
dans lorsque l'on a simplement egard a l'état des extremités, sans
supposer l'application du stilet dans aucun point de l'étendue des
lames dont on veut déterminer le mouvement
Afin que l'on puisse saisir plus aisement les rapports entre ces differentes
quantités equations je vais les ray écrire ici en y
joignant celle que j'ai également calculés pour le cas ou le stilet
le nombre 134 est à l'encre en haut à droite ; au milieu du haut, un 26 souligné. Le « 16 » de l'alinéa est dans la marge de gauche, en gros chiffres empâtés. La note marginale est de la main de l'auteur et appelée par une croix placée dans le texte après « qu' ». « trouve en ajoutant » est écrit au-dessus de « conclut » biffé ; « peut remarquer. » au-dessus de « voit » biffé ; « servant a trouver » et les mots biffés qui le suivent, au-dessus de « determinent » biffé, et ces mots biffés ne sont pas lus ; « pour » au-dessus de « dans » biffé ; « je vais les ray écrire ici » au-dessus de la ligne, entre « equations » et « en y joignant », et mis à sa place, « ray » y étant biffé. Le feuillet s'arrête sur « le stilet » ; la phrase se poursuit à la vue 276.
et supposé appliqué dans un point quelconque de l'étendue d'une lame
elastique vibrante dont une extrémité seroit fixée et l'autre simplement
appuiée.
Voici donc d'abord les équations qui déterminent la valeur de l'angle
\omega dans les differens cas ou on a seulement égard a l'état des
extremités :
- Pour les deux extremités libres. cas 1.
er No 9 (memoire d'Euler) \ldots \cos\omega=\frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega}+1}
- Pour une extremité libre et l'autre appuiée. cas 2.
eme No 23 \ldots \text{tang}\,\omega=\frac{e^{2\omega}-1}{e^{2\omega}+1}
- Pour une extremité libre et l'autre fixée. cas 3.
eme No 30 \ldots \cos\omega=-\frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega}+1}
- Pour les deux extremités appuiées. cas 4.
eme No 35 \ldots \sin\omega=0
- Pour une extremité appuiée et l'autre fixée cas 5.
eme No 39 \ldots \text{tang}\,\omega=\frac{e^{2\omega}-1}{e^{2\omega}+1}
- Pour les deux extremités fixées cas 6.
eme No 43 \ldots \cos\omega=\frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega}+1}
On peut voit déja remarquer qu'il existe les plus grands
analogies rapports, entre l'effet de la fixation et de l'entiere
liberté d'une extremité car on voit que l'on peut changer ces conditions
l'une en l'autre sans que l'équation qui détermine la valeur de l'angle
\omega change de forme.
Apresent, les équations qui déterminent la valeur de l'angle \omega,
lorsque l'on a egard a l'application du stilet a un point quelconque de
l'étendue de la lame elastique vibrante sont pour le cas des deux extremités
appuiées :
\sin\lambda\omega\Big\{\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\sin(1-\lambda)\omega-\cos(1-\lambda)\omega\Big\}+\sin(1-\lambda)\omega\Big\{\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\sin\lambda\omega-\cos\lambda\omega\Big\}=0
Pour les deux extremités libres
\begin{align*}
&\Big\{\frac{2}{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}+\cos\lambda\omega\Big\}\Big\{\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\sin(1-\lambda)\omega-\cos(1-\lambda)\omega\Big\} \\
&+\Big\{\frac{2}{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}+\cos(1-\lambda)\omega\Big\}\Big\{\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\sin\lambda\omega-\cos\lambda\omega\Big\}=0
\end{align*}
Pour les deux extremités fixées
\begin{align*}
&\Big\{\frac{2}{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}-\cos\lambda\omega\Big\}\Big\{\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\sin(1-\lambda)\omega-\cos(1-\lambda)\omega\Big\} \\
&+\Big\{\frac{2}{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}-\cos(1-\lambda)\omega\Big\}\Big\{\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\sin\lambda\omega-\cos\lambda\omega\Big\}=0.
\end{align*}
le nombre 135 est à l'encre en haut à droite ; au milieu du haut, un 27 souligné. « d'abord » est ajouté au-dessus de la ligne après « Voici donc », « appuiées » au-dessus de la ligne à la fin de « pour le cas des deux extremités », « voit » au-dessus de « peut » biffé et « rapports » au-dessus de « analogies » biffé. Les six renvois sont à la suite des lignes, séparés du membre de droite par une ligne de points de conduite ; ils sont donnés ici en liste. Les numéros d'ordre des cas sont écrits d'une main où le 3 se ferme comme un 9 et le 6 s'ouvre comme un b ; ils se lisent 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les numéros de paragraphe 9, 23, 30, 35, 39, 43. La dernière formule de la page est celle qui ouvre la vue 262.
En employant les équations resultantes de l'état des extremités et les
combinant avec les quatre equations données par la condition de
l'application du stilet voyez § 47 et suiv. du memoire d'Euler
j'ai encore trouvé pour une extremité fixée et l'autre libre
\begin{align*}
&\Big\{\text{tang}\,\lambda\omega-\frac{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}\Big\}\Big\{\text{tang}(1-\lambda)\omega-\frac{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}\Big\} \\
&=2\,\text{tang}\,\lambda\omega\frac{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}\Big\{1-\frac{2}{(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos(1-\lambda)\omega}\Big\}
\end{align*}
17. Il est aisé de remarquer que dans le cas ou est semblable, ces équations sont composées de deux
termes dont l'un est le produit de la quantité qui devroit etre egalé a
zero, si la portion de la lame de longueur \lambda a, se mouvoit comme une
lame entière et separée de même longueur, et dont une extremité seroit
appuiée au point d'application du stilet ; tandis que l'autre seroit
resteroit dans l'état déterminé pour les extremités de la lame entière ; par
la quantité qui devroit etre egalé a zéro si la portion de longueur
a(1-\lambda), se mouvoit comme une lame pareillement separée et dont une
extremité seroit fixée au point d'application du stilet tandis que l'autre
resteroit dans l'état déterminé pour les extremités de la lame entière
et que l'autre terme est pareillement composé des mêmes quantités en
changeant \lambda a en (1-\lambda)a et vice versa.
On peut encore observer que même dans le cas ou l'état des extremités n'est
plus semblable il existe encore une grande analogie entre l'équation
qui y est relative et celle des cas precedans car si on considere le stilet
comme simplement appuié on a a la fois \text{tang}\,\lambda\omega=0
ou l'une des équations
\sin\lambda\omega=0 \quad\text{et}\quad \text{tang}(1-\lambda)\omega=\frac{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}
le nombre 136 est à l'encre en haut à droite ; au milieu du haut, un 28 souligné, dont le second chiffre est empâté. Le « 17 » de l'alinéa est dans la marge de gauche. Le renvoi « voyez § 47 et suiv. du memoire d'Euler » est écrit en petits caractères à la suite de la ligne, dans la marge de droite ; il désigne le Problema de la vue 193 du lot 10. Le mot biffé après « dans le cas ou » est recouvert d'une rature épaisse et n'est pas lu. « équations » est ajouté au-dessus de la ligne à la fin de « ou l'une des ». La ligne biffée « a la fois tang \lambda\omega=0 » est barrée d'un long trait horizontal.
l'une de ces équations est la condition du mouvement d'une lame de
longueur \lambda a dont les une des extremités seroit
appuiée au point d'application du stilet et dont l'autre seroit également
appuiée en vertu de la supp l'état des extremités de la lame
primitive, l'autre est la condition du mouvement d'une lame de longueur
(1-\lambda)a, dont une des extremités seroit appuiée au point d'application
du stilet et dont l'autre seroit fixée en vertu de l'état des extremités de
la lame primitive
et de même si on considere le stilet comme fixé l'une des équations
\text{tang}\,\lambda=\frac{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}},\qquad
\cos(1-\lambda)\omega=\frac{2}{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}
et la condition d'un mouvement d'une lame de longueur \lambda a dont une
des extremités seroit fixée au point d'application du stilet et dont l'autre
seroit appuiée en vertu de l'état des extremités de la lame primitive tandis
que l'autre est la condition du mouvement d'une lame de longueur
(1-\lambda)a dont les deux extremités seroient fixées.
la methode qui conduit a tous ces resultats est loin d'être aussi
utile qu'on auroit pû d'abord l'esperer, car elle semble indiquer des
conclusions qui ne sont pourtant pas applicables et les seules
conséquences admissibles que l'on puisse en déduire des
équations tout dedu sont d'abord
18. Cependant malgré des analogies si remarquables cette méthode ne mene a
aucun resultat applicable puisque, comme je l'ai montré ci dessus §.
9 excepté pour le cas ou les deux extremités sont appuiées il
n'y a pas de solution générale de ces equations et que par conséquent on ne
peut, jamais pour aucun pour le cas ou les extremités sont appuiées de
montrer q si il y a un point d'appui aux distances \lambda a et
(1-\lambda)a des extremités de la lame on devra avoir \sin\lambda\omega=0,
et qu'alors il se formera des points de repos a des distances 2\lambda a et
(1-2\lambda)a, 3\lambda a et (1-3\lambda)a &c. des mêmes extremités
parceque la condition est \sin\lambda\omega= entraine les
suivantes \sin 2\lambda\omega=0, \sin 3\lambda\omega=0 &c.
le nombre 137 est à l'encre en haut à droite ; au milieu du haut, un 29 souligné, dont le second chiffre est repassé. Le « 18 » de l'alinéa est dans la marge de gauche, en gros chiffres empâtés. « dont » est ajouté au-dessus de la ligne après « du stilet et ». Dans la première des deux équations de la seconde partie, la tangente est écrite « tang. \lambda » sans \omega, alors que les autres termes portent \lambda\omega ; la lecture est laissée telle. La note marginale de gauche reprend l'alinéa 18 ; ses deux dernières lignes sont surchargées et le mot qui précède « sont d'abord » n'est pas assuré. Un long trait de plume oblique, épaissi de taches, traverse l'alinéa 18 depuis « cette méthode » jusqu'à « on ne peut » ; il n'est pas dit ici s'il annule le passage. Après « de montrer q », le feuillet porte un petit manque de papier et la fin du mot n'est pas lue. La page se termine sur « &c. » ; la suite est à la vue 281, hors de ce lot.