Numérotation des feuillets. Chaque feuillet écrit porte deux nombres,
tous deux semble-t-il à l'encre, et les versos blancs n'en portent aucun :
au milieu de la tête, souligné, de sa main, 30 (vue 283) puis 31 à 38 aux
vues 285 à 299 ; en haut à droite, d'une plume plus large et d'une écriture
plus ronde, 138 (vue 283) puis 139 à 146 aux vues 285 à 299, un par
feuillet et sans lacune. Cette seconde série occupe la place de la
foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au
crayon gris, et elle prolonge la série à l'encre relevée dans les lots
précédents de ce volume ; aucune foliotation au crayon n'a été lue ici, et
aucun « f. » n'est donc porté. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ;
aucun n'est déduit. La vue 281 reprend le feuillet de la vue 280, béquet
relevé ; les vues 284, 286, 288, 290, 292, 294, 296, 298 et 300 sont les
versos blancs des feuillets qui les précèdent et ne sont pas transcrites.
autre valeur de x que x, considérer la lame primitive
comme séparée en deux autres lames divisée au point
d'application du stilet et que parconséquent
De sorte qu'il semble que ces formules indiquent
des conclusions qui ne sont pourtant pas admissibles que
pour le cas ou
Cette vue photographie une seconde fois le feuillet de la vue 280,
le grand béquet rabattu vers le haut : on y lit les six lignes du bas de
la page, que le béquet cachait, et rien d'autre. Le haut du feuillet est
couvert par le béquet, dont le texte se lit à l'envers par transparence
et se rétablit en retournant la vue ; c'est le texte qui se lit à
l'endroit à la vue 280, et il n'est pas repris ici. Dans la marge de
gauche apparaissent les trois dernières lignes d'une longue note
marginale du même feuillet, elle aussi entière à la vue 280 ; elle n'est
pas reprise non plus. Tout le passage transcrit est barré d'une grande
croix à la plume ; un long trait horizontal passe en outre sur
« admissibles » et sur « le cas ou ». Le caractère biffé après « que »,
à la première ligne, est pris dans la croix et pourrait être un chiffre.
Aucun nombre n'est lisible en tête de cette vue.
de sorte que pour une valeur quelconque de x on peut la toujours,
dans ce cas des extrémités appuiés, considérer la lame primitive
comme séparé en deux autres lames qui auroient egalement
leurs deux extrémités appuiés.
mais ensuite
Et Pour les cas ou les extremités sont l'une et l'autre
libres ou fixés, on l'a vu que parceque, comme la lame primitive
ne peut être cassé partagée en deux autres que pour la
seule valeur x=\frac{1}{2}. mais la seule chose que montrent les équations du §.16 et que pour une valeur quelconque de
x ces équations montrent, que si il y a un point d'appui
a la distance ax d'une des extremités, il se formera un
autre nœud a la même distance ax de l'autre extremité, car ces
équations sont fonctions homogènes des quantités ax et a-ax.
19 Je crois que l'on peut établir parvenir a toutes ces résultats conséquences sans avoir
recours a cette la méthode dont il s'agit ici et parconséquent sans employer la
considération des équations citées
En effet en se bornant a la seule considération de
l'état des extrémités de
que je suppose d'abord l'une et l'autre appuiés
l'ordonnée pour on déduit des valeurs donnés par les cas et
que l'ordonnée pour une valeur quelconque de x est
exprimée par l'équation y = \dots \; \text{sin}\,x\omega de sorte que si par
une cause quelconque la courbe coupe l'axe dans le point
dont y est l'ordonnée, ce qui arrive pour les nœuds,
on aura \text{sin}\,x\omega = 0. D'où on déduira egalement \text{sin}\,2x\omega = \&c.
Ensuite pour les extremités libres on a (Voyez ces premier)
lorsque la courbe coupe l'axe pour une valeur quelconque de x
e^{x\omega} \pm e^{(1-x)\omega} + (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0
et en adoptant d'abord les signes inférieurs qui ont lieu lorsque
\text{sin}\,\omega est positif, qui est le cas ou il y a un nombre
impair on a d'abord en faisant x=\frac{1}{2}
En tête, au milieu, « 30 » souligné, et en haut à droite « 138 », tous
deux à l'encre ; le second d'une plume plus large. Le paragraphe
« Je crois… » est précédé d'un « 19 » empâté, écrit dans la ligne : les
paragraphes de ces feuillets sont numérotés. Deux groupes biffés n'ont
pas été lus : après « on l'a vu », trois mots dont le dernier se termine
par « -ait » ; et, à la ligne « l'état des extrémités », deux groupes,
le second suivi de « de ». Le « y = \dots » laisse en blanc le facteur
de tête, comme ailleurs dans ces papiers. Les longs traits horizontaux
qui passent sur « extremités » et « sont » sont ses traits de liaison et
ne sont pas donnés pour des ratures. Le verso de ce feuillet (vue 284)
est blanc.
(1+e^{\omega})\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega = 0 \quad\text{ou}\quad \text{tang}\,\tfrac{1}{2}\omega = \frac{e^{\omega}-1}{e^{\omega}+1}
équation qui résulte des conditions \text{cos}\,\omega = \frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega}+1} et \text{sin}\,\omega = \frac{e^{2\omega}-1}{e^{2\omega}+1}
comme on l'a déjà vu
reprenant ensuite l'équation générale
e^{x\omega} - e^{(1-x)\omega} + (1+e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0
on voit que l'on peut y ajouter, sans qu'elle cesse d'être
et la retranchant de (1+e^{\omega})\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega = 0 multipliée par 2\,\text{cos}\,\frac{(1-2x)\omega}{2}
c'est a dire de 2\{(1+e^{\omega})\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega\}\,\text{cos}\,\frac{(1-2x)\omega}{2}
= (1+e^{\omega})\{\text{sin}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega\} + (1-e^{\omega})\{\text{cos}\,x\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} = 0
on trouve
e^{(1-x)\omega} - e^{x\omega} + (1+e^{\omega})\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{sin}\,x\omega - \text{sin}\,x\omega\}
+ (1-e^{\omega})\{\text{cos}(1-x)\omega + \text{cos}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}
= e^{(1-x)\omega} - e^{x\omega} + (1+e^{\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega = 0
Ainsi l'ordonnée est encore zéro lorsque l'on change x en
x-1.
Demême aussi pour le cas ou il y a un nombre pair
de nœuds, si on ajoutée retranche de l'équation
e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0
cette autre équation (e^{\omega}+1)\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega - (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega = 0 tirée des
conditions \text{cos}\,\omega = \frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega}+1}, \text{sin}\,\omega = -\frac{e^{2\omega}-1}{e^{2\omega}+1}, après l'avoir multipliée
par 2\,\text{sin}\,\frac{(1-2x)\omega}{2}; ce qui donne
\{(e^{\omega}+1).2\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}\omega - (1-e^{\omega}).2\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega\}\,\text{sin}\,\frac{(1-2x)\omega}{2}
= (e^{\omega}+1)(\text{cos}\,x\omega - \text{cos}(1-x)\omega) \ill{} (1-e^{\omega})(\text{sin}(1-x)\omega - \text{sin}\,x\omega)
on trouve
e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1-e^{\omega})\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{sin}\,x\omega + \text{sin}\,x\omega\}
- (1+e^{\omega})\{\text{cos}\,x\omega - \text{cos}(1-x)\omega - \text{cos}\,x\omega\}
= e^{(1-x)\omega} + e^{x\omega} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega = 0
c'est a dire que l'ordonnée est egalement zéro lorsque l'on change
x en 1-x.
Les résultats sont parfaitement semblables pour les cas ou
les deux extrémités sont fixés, car la seule différence
En tête, au milieu, « 31 » souligné ; en haut à droite « 139 », à
l'encre. « lorsque l'on change x en x-1 » est écrit ainsi sur le
feuillet ; la même conclusion est écrite « en 1-x » quinze lignes plus
bas, et le calcul donne 1-x : la leçon est laissée telle quelle. Le
signe qui joint les deux produits de l'avant-dernier groupe est sous un
gros pâté et n'est pas lu. Un pâté couvre aussi le « 1 » de
« \text{cos}(1-x)\omega » à la troisième équation avant la fin, et le
« 1 » de « (1-e^{\omega}) » dans « cette autre équation ». « si on
retranche de l'équation » porte trois états superposés : « ajoutée »
biffé au-dessus de la ligne, « retranche » biffé sur la ligne et repris
« tranche de » au-dessous, un « a » au-dessus de « de ». Le verso
(vue 286) est blanc.
entre ce cas et le précédant est qu'on a ici
e^{x\omega} \pm e^{(1-x)\omega} - \{(1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega\} = 0
au lieu de
e^{x\omega} \pm e^{(1-x)\omega} + (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0
que les équations finales semblent présenter indiquer
des conclusions qui ne sont pourtant pas admissibles, puisqu'elles sont
inconcilliables avec les hypothèses subsistantes sur l'état des extrèmités
et après avoir prouvé que le petit nombre de conséquences
applicables que l'on peut tirer de ces équations peuvent etres
atteintes d'une manière independantes des mêmes équations
par des considérations fort simples et independantes des mêmes equations
20 Après avoir remarqué * que le petit nombre de conclusions
qui peuvent, ayant egard a l'état des extremités, être
tirée des équations trouvées par la methode d'Euler
peuvent etre déduits avec beaucoup plus de simplicité
de l'expression de l'ordonnée convenable a chaque
cas et supposée égale a zéro dans le point
ou il y a un nœud; soit que ce nœud soit l'effet
immédiat de l'application d'un stilet soit
qu'il se forme par une autre cause, il étoit
naturel d'examiner les hypothèses la methode qui a servi a les trouver sur lesquelles
cette méthode est appuiée au moyen de laquelle elles ont été trouvées
On peut voir No 47 dans le quinzième du memoire que l'auteur que d'Euler, après avoir admis que
le stilet soit simplement appuié de manière a ce que le
le mouvement puisse se communiquer de l'une a l'autre
des deux parties qu'il sépare suppose cependant que
l'action de ce stilet interrompe la continuité de la
courbe de sorte que les deux portions suivant cette supposition de cette cette courbe
seroient exprimés par des équations qui différent seroient seulement
par les valeurs des coefficiens \beta, \gamma etc, et que c'est d'après cette
hypothese qu'il a établi les équations I II III
IV
Indépendamment sans avoir recours au de tout calcul, il peut d'abord paroitre
étonnant qu'Euler admette qu'elle qu'Euler suppose que les deux portions séparés par l'application du stilet n'appartiennent plus a une seule et même courbe + l'application du
stilet produisant un simple point d'appui, puisse
que le mouvement dont il s'agit etant du nombre des mouvement
reguliers de la lame puisque le seul effet de l'application du stilet est
de déterminer la formation d'un certain nombre de nœuds c'est a dire
de donner lieu a un des mouvement réguliers déterminés réguliers dont il s'agit ici en question dans
En tête, au milieu, « 32 » souligné ; en haut à droite « 140 », à
l'encre. Le paragraphe est numéroté « 20 » dans la ligne. Le feuillet
porte deux notes de sa main dans la marge de gauche, données ici avant
et après la ligne qu'elles accompagnent : la première répond à
l'astérisque de « Après avoir remarqué * », la seconde à la croix « + »
de l'addition sur Euler ; la seconde est barrée d'un long trait
oblique. Les chiffres romains « I II III IV » qui closent le paragraphe
sont les numéros des équations d'Euler, écrits d'une plume plus large.
« No 47 » renvoie au paragraphe 47 du mémoire d'Euler,
celui qui est copié aux vues 192 et suivantes. Ce feuillet est repris
de part en part : les mots donnés en addition sont écrits au-dessus ou
au-dessous de la ligne, sans signe d'insertion. Plusieurs longs traits
horizontaux passent sur des mots qui font sens et ne sont pas donnés
pour des ratures. Le verso (vue 288) est blanc.
l'examen des six cas relatifs a a l'exclusion des autres
l'état des extremités, et les mouvement dont il s'agit se fesant sans
interruption dans les courbes auxquelles ils donnent lieu, Euler suppose
pourtant que les deux portions séparés par le stilet n'appartienne plus
a une seule et même courbe.
donner lieu a la discontinuité dela courbe. en effet
on a vu dans l'examen des six cas relatifs a l'état des
extremités, que l'on parvient a des équations qui déterminent
les valeurs convenables de l'angle \omega et que ces differentes
valeurs sont relatifs aux differens mouvemens reguliers dont
les lames auxquelles elles s'appliquent sont susceptibles
mais le mouvement modifié par l'application du
stilet simplement appuié est encore d'après l'hypothèse,
No 47, un mouvement regulier des mêmes lames, il
doit donc etre compris au nombre de ceux
qui sont déterminés par les conditions données
dans l'examen des six cas cités et qui n'admettent
pas de discontinuité dans la courbe a laquelle ils
donnent lieu. On est ainsi menée a conclure que les coefficiens
\alpha', \beta', \gamma' et \delta' sont égaux chacun a son corrispondant parmi les
coefficiens \alpha, \beta, \gamma, et \delta. +
+ car le seul effet de cette application est de déterminer la
formation d'un certain nombre de nœuds et parconséquent de donner lieu
a de certains mouvemens reguliers compris au nombre de ceux qui ont été
traités dans l'examen des six cas relatifs a l'état des extremités
a l'exclus et les mouvemens dont il s'agit s'éxécutent
suivant une courbe continue. et ces réflexions mènent donc
cependant je
Cependant Ce résultat Je n'ose admettre ce resultat contraire a
l'opinion d'Euler. sur une hypothèse qui par laquelle il semble avoir
ou devoir ouvrir la carrière a l'examen d'une foule de
cas dont il donne l'examen d'un seul comme un
exemple qui doit guider un exemple comme pour guider
dans des recherches semblables, sans le soumettre
a un examen plus approfondi.
c'est pourquoi je me propose de démontrer
la proposition suivante :
Cependant je n'ose admettre une opinion si contraire a celle
d'Euler sans la soumettre a un examen plus approfondi c'est pourquoi je
me propose de demontrer la proposition suivante
En tête, au milieu, « 33 » souligné ; en haut à droite « 141 », à
l'encre. Le corps de la page est barré d'une grande croix à la plume, et
la première note marginale d'un long trait oblique ; les mots biffés au
trait bref sont seuls donnés ici comme ratures. La troisième note
marginale reprend, presque mot pour mot, les trois dernières lignes du
corps : elle en est la mise au net. Les lettres grecques sont celles
d'Euler : le \gamma est tracé comme un « v », ainsi que l'a déjà noté
une passe antérieure sur la copie latine de ce volume.
« No 47 » renvoie encore au paragraphe 47 du mémoire
d'Euler. Le bas du feuillet est blanc ; le verso (vue 290) l'est aussi.
21 Toutes les fois que la condition de l'application d'un stilet
simplement appuié dans un point quelconque de l'étendue
d'une lame elastique vibrante: laisse subsister une
hypothese quelconque déterminée sur l'état des extrimités de la
meme lame. les coëfficiens \alpha, \beta, \gamma, \delta et \alpha', \beta', \gamma', \delta' qui
entrent dans l'éxpression des ordonnées des deux parties
de la courbe séparées par ce point d'appui sont égaux
chacun a son corrspondant
Je vais commencer par prouver qu'en général il suffit que l'un de ces coëfficiens
soit égal a son correspondant pour que la même égalité ait
lieu entre tous les autres. De sorte que si on a \alpha = \alpha' il
en resultera nécessairement \beta = \beta', \gamma' = \gamma, &c.
Je suppose donc \alpha = \alpha', il resulte alors de l'équation et on a III (\delta-\delta')\,\text{sin}\,x\omega = 0 et IV (\delta-\delta')\,\text{cos}\,x\omega = 0 et
parséquent \delta = \delta'
Il ne s'agit donc plus que de prouver qu'en effet la
condition \alpha = \alpha' est necessaire, je choisis d'abord le cas
ou les deux extremités sont supposées libres.
On a alors l'équation
\frac{\alpha[(e^{x\omega}+e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega}-e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega]}{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega - e^{x\omega}}
= \frac{\alpha'[(e^{(1-x)\omega}+e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega}-e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega]}{e^{-x\omega}+e^{-\omega}(\text{cos}(1-x)\omega + \text{sin}(1-x)\omega)}
ainsi il suffit de pro montrer que l'équation
\{e^{-x\omega}+e^{-\omega}(\text{cos}(1-x)\omega+\text{sin}(1-x)\omega)\}\{(e^{x\omega}+e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega}-e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega\}
= \{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega - e^{-x\omega}\}\{(e^{(1-x)\omega}+e^{(x-1)})\,\text{sin}(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega}-e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega\}
que l'équa a lieu d'ellemême sous les conditions indiqués.
En tête, au milieu, « 34 » souligné ; en haut à droite « 142 », à
l'encre. Le paragraphe porte le numéro 21, écrit dans la ligne et
empâté. « parséquent » est écrit ainsi, contraction de « par
conséquent », qu'elle écrit ailleurs « parconséquent ». Le \gamma est
tracé comme un « v ». Le dénominateur de la première fraction porte
« e^{x\omega} » sans signe à l'exposant, alors que le même facteur est
écrit « e^{-x\omega} » quatre lignes plus bas ; les deux leçons sont
laissées telles. Dans le second membre de la dernière équation, un
« e^{(x-1)} » est écrit sans \omega à l'exposant, à la différence
des trois autres. Deux groupes courts biffés, l'un après « de
l'équation », l'autre après le second membre de l'équation en \alpha
et \beta, ne sont pas lus. Le verso (vue 292) est blanc.
On a par le developpement:
(e^{(x-1)\omega} + e^{-(x+1)\omega})\{\text{cos}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega\} - (e^{(x-1)\omega} - e^{-(x+1)\omega})\{\text{cos}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}
+ e^{-x\omega}\{(e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega\}
= (e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\{\text{sin}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega - \text{sin}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\} - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\{\text{cos}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega - \text{cos}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}
- e^{-x\omega}\{(e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega\}
ou
e^{(x-1)\omega}\{\text{cos}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega - \text{cos}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega - \text{sin}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}
+ e^{-(1+x)\omega}\{\text{cos}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{cos}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}
+ e^{-x\omega}\{(e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega + (e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega\}
= e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega - \text{sin}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega + \text{cos}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega - \text{cos}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}
+ e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega - \text{sin}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega - \text{cos}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{cos}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}
en effaceant ce qui se détruit et multipliant par e^{-x\omega} cette
équation devient :
e^{-\omega}\{\text{cos}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{cos}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}
+ (e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega + (e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega
= e^{\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega - \text{sin}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega - \text{cos}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{cos}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}
et elle peut etre mise sous la forme
e^{-\omega}\{\text{cos}(1-x)\omega \ill{} \text{sin}(1-x)\omega\}\{\text{cos}\,x\omega + \text{sin}\,x\omega\}
+ e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\}
= e^{\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}
je suppose d'abord \text{sin}\,\omega positif, on a pour ce cas
e^{x\omega} - e^{(1-x)\omega} + (1+e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0 \quad \text{d'ou il resulte}
e^{(1-x)\omega} - e^{x\omega} + (1+e^{\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega = 0
et parconséquent
\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} = \{e^{x\omega} - e^{(1-x)\omega} + e^{\omega}(\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega)\}\{e^{(1-x)\omega} - e^{x\omega} + e^{\omega}(\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega)\}
= e^{\omega} - e^{2(1-x)\omega} - e^{2x\omega} + e^{\omega} + e^{\omega}\{e^{x\omega}(\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega) - e^{(1-x)\omega}(\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega)\}
+ e^{\omega}\{e^{(1-x)\omega}(\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega) - e^{x\omega}(\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega)\}
+ e^{2\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}
en mettant cette valeur dans l'equation cidessus elle devient:
En tête, au milieu, « 35 » souligné ; en haut à droite « 143 », à
l'encre. La page est tout entière de calcul : aucun paragraphe numéroté.
Dans « elle peut etre mise sous la forme », le signe qui joint
« \text{cos}(1-x)\omega » et « \text{sin}(1-x)\omega » est sous un
gros pâté et n'est pas lu. La ligne qui suit ce premier facteur est
d'abord écrite comme la ligne correspondante plus haut, puis biffée de
traits en croix et récrite au-dessous sous la forme des quatre
exponentielles : c'est cette seconde rédaction qui est donnée ici. Le
feuillet s'arrête sur « elle devient: » ; la suite est à la vue 295. Le
verso (vue 294) est blanc.
2 - e^{(1-2x)\omega} - e^{(2x-1)\omega} + e^{x\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} - e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}
+ e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} - e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}
+ e^{\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}
+ e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\}
= e^{\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}
et en effaceant ce qui se détruit
2 - e^{(1-2x)\omega} - e^{(2x-1)\omega} + e^{x\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\}
+ e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\} = 0
en reprenant l'équation
e^{x\omega} - e^{(1-x)\omega} + (1+e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0
et la divisant par e^{x\omega} elle donne
1 - e^{(1-2x)\omega} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\} + e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} = 0
demême on tiré de l'équation
e^{(1-x)\omega} - e^{x\omega} + (1+e^{\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega = 0
en la divisant par e^{(1-x)\omega}
1 - e^{(2x-1)\omega} + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{x\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} = 0
Enfin de l'addition de ces deux équations il resulte
2 - e^{(2x-1)\omega} - e^{(2x-1)\omega} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\} + e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}
+ e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{x\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} = 0
ainsi l'équation est demontrée pour le cas ou \text{sin}\,\omega est positif
je suppose apresent \text{sin}\,\omega negatif on aura
e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0
e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega = 0
(\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega)(\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega)
= e^{2\omega}(\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega)(\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega) - \{e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega}\}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}e^{\omega}
+ 2e^{\omega} + \struck{\ill{}} + e^{2x\omega} + e^{2(1-x)\omega}
mettant donc cette valeur dans l'équation
e^{-\omega}\{\text{cos}(1-x)\omega + \text{sin}(1-x)\omega\}\{\text{cos}\,x\omega + \text{sin}\,x\omega\}
\ill{} e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}
= e^{\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}
elle devient :
En tête, au milieu, « 36 » souligné ; en haut à droite « 144 », à
l'encre, dans un angle noirci par l'ombre du feuillet. Le premier terme
de l'équation qui suit « Enfin de l'addition de ces deux équations » est
écrit « -e^{(2x-1)\omega} - e^{(2x-1)\omega} », le même exposant deux
fois, là où les deux équations additionnées donnent
« -e^{(1-2x)\omega} - e^{(2x-1)\omega} » ; la leçon du feuillet est
gardée. De même, à l'avant-dernier groupe de la page, le dernier terme
est écrit « e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} »
alors que le même terme porte « +\,\text{cos}\,x\omega » plus haut. Un
groupe biffé et repassé après « +2e^{\omega} » n'est pas lu ; un gros
pâté couvre le signe qui ouvre la deuxième ligne du dernier groupe.
« demême » est lu avec doute : le mot est traversé d'un trait et son
milieu est empâté. Le verso (vue 296) est blanc.
e^{\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} + 2 + e^{(2x-1)\omega} + e^{(1-2x)\omega}
- e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} - e^{x\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} - e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} - e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}
+ e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\} + e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\}
= e^{\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}
et en effaceant ce qui se détruit
2 + e^{(2x-1)\omega} + e^{(1-2x)\omega} + e^{-x\omega}\{(1-e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega\}
+ e^{(x-1)\omega}\{(1-e^{\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega\} = 0
On voit que comme dans le cas précédant cette équation
est la somme des deux équations
e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0
e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega = 0
dont la première est multipliée par e^{-x\omega} et la seconde
par e^{(1-x)\omega}.
22 Lorsque les équations sont l'une et l'autre appuiées
fixées il est également vrai que les deux séries de coëfficiens
\alpha, \beta, \gamma, \delta et \alpha', \beta', \gamma', \delta' sont égales entr'elles
En effet on a pour ce dernier cas
\frac{\alpha}{\alpha'} = \frac{(e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega}{(e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega} \cdot \frac{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega + e^{-x\omega}}{e^{-\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} - e^{-x\omega}}
au lieu de appuiées fixées
e^{x\omega} \mp e^{(1-x)\omega} - \{(1 \pm e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \mp e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega\} = 0
au lieu de
e^{x\omega} \mp e^{(1-x)\omega} + (1 \pm e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \mp e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0
pour les extremités libres, il y a compensation entre les changemens
de signes et on parvient ici comme dans le cas précedant a
conclure \alpha = \alpha'.
En tête, au milieu, « 37 » souligné ; en haut à droite « 145 », à
l'encre, dans un angle noirci. Le paragraphe porte le numéro 22, écrit
dans la ligne. À son premier mot elle écrit « Lorsque les équations sont
l'une et l'autre fixées » là où le sens demande « les extremités » ; la
leçon du feuillet est gardée. De même, « la seconde par
e^{(1-x)\omega} » est écrit ainsi, alors que la réduction qui précède
multiplie par e^{(x-1)\omega}. Un mot court biffé après le premier
« au lieu de » n'est pas lu. Les deux grandes expressions de
\frac{\alpha}{\alpha'} sont écrites sur le feuillet comme un produit
de deux fractions écrites côte à côte, séparées d'un point ; elles sont
données ici avec un point de multiplication. Le verso (vue 298) est
blanc.
23 A l'egard du cas ou l'une et l'autre extrémités sont appuiées
Euler trouve \frac{\alpha}{\alpha'} = \frac{e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega}}{e^{x\omega} - e^{-x\omega}} et il est clair que l'équation
ne mène pas a conclure \alpha = \alpha', car rien n'engage a conclure faire
e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega} = e^{x\omega} - e^{-x\omega}, mais il faut remarquer qu'ici tout
les coëfficiens a l'exception de \delta, tout en vertu nuls, en
vertu de l'état des extremités, de sorte que \frac{\alpha}{\alpha'} est essentielle-
ment une quantité indéterminée et que parconséquent on
ne peut rien conclure de l'équation \frac{\alpha}{\alpha'} = \frac{e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega}}{e^{x\omega} - e^{-x\omega}},
On voit en effet qu'après avoir trouvé pour la première solution
qui comme je l'ai déjà remarqué est la seule qui s'accorde avec
l'état des extremités, et dans la supposition x = \frac{1}{2}
\alpha = e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{\frac{3}{2}\omega};\quad \beta = e^{\frac{3}{2}\omega} - e^{\frac{1}{2}\omega};\quad \gamma = -\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{\frac{3}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega})}{\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega};\quad \delta = 0.
\alpha' = e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega},\quad \beta' = -e^{2\omega}(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega});\quad \gamma' = -\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{\frac{3}{2}\omega})}{\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega - \text{cos}\,\frac{1}{2}\omega\,\text{tang.}\,\omega};\quad \delta' = \frac{(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{\frac{3}{2}\omega})\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega - \text{cos}\,\frac{1}{2}\omega\,\text{tang.}\,\omega}
il multiplie ensuite tous ces coëfficiens par \text{sin}\,\frac{1}{2}\omega afin de les réduire
a leur véritable valeur, c'est a dire, a celle qui convient a l'état
dela question; ce qui lui donne:
\alpha = \alpha' = 0,\quad \beta = \beta' = 0,\quad \gamma' = -\gamma \quad\text{et}\quad \delta = \delta' = 0,
conformement a ce que j'ai trouvé devoir avoir lieu toutes
les fois que l'on aiégard a l'état des extremités, on a seulement
\delta = -\delta' au lieu de \delta = \delta' parcequ'on atribue le changement
de signe au coëfficient \delta au lieu de le considerer comme
appartenant a l'ordonnée y qui est prise de l'autre côté de
l'axe.
On voit donc que tout ce qu'on peut savoir sur l'effet d'un
point d'appui placé dans un lieu point quelconque de l'étendue
dela lame est resulte dela supposition y = 0 dans ce
point combiné avec les conditions dependantes de l'état
des extrèmités et que l'appareille des quatre équations
trouvées par Euler est au moins inutile puisqu'après delong
de calculs ont atteint aucun resultat nouveau et que deplus
ce qui doit necessairement avoir lieu par cause que les deux
En tête, au milieu, « 38 » souligné, le chiffre repassé et empâté ;
en haut à droite « 146 », à l'encre. Le paragraphe porte le numéro 23.
Les huit coefficients cités sont, au signe et à la disposition près, ceux
du § 50 du mémoire d'Euler, qu'elle a copiés en latin à la vue 200 de ce
même volume. « aiégard » est écrit en un mot, pour « a égard » ;
« l'appareille » pour « l'appareil » ; « tout » pour « tous ». Le \gamma
est tracé comme un « v ». Le feuillet s'arrête sur « les deux » ; la
suite n'est pas dans ce lot. Le verso (vue 300) est blanc.