Français 9115 · lot 16 · vues 301–320 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
Lecture automatique — non vérifiée

Numérotation des feuillets. Chaque feuillet écrit porte en haut à droite un nombre à l'encre, d'une plume large et d'une écriture ronde : 147 (vue 301, et de nouveau à la vue 302, seconde prise du même feuillet), 148 (304), 149 (306), 150 (308), 151 (310), 152 (312), 153 (314), 154 (316), 155 (318), 156 (320), un par feuillet et sans lacune. Cette série occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au crayon ; aucun « f. » n'est donc porté. Au milieu de la tête, soulignée, sa propre pagination : 39 (301), 40 (304), 41 (306), 42 (308), 43 (310), 44 (312), 45 (314) ; rien aux vues 316 et 318 ; « (1) » à la vue 320, où commence une autre pièce. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Les vues 303, 305, 307, 309, 311, 313, 315, 317 et 319 sont les versos blancs des feuillets qui les précèdent et ne sont pas transcrites ; la vue 302 reprend la vue 301.

301

qu premières de ces équations sont semblables entr'elles et se reduisent l'une et l'autre a \(y = 0\) et que les deux dernières sont identiques, ou lorsque […] les coëfficiens \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) et \(\alpha', \beta', \gamma', \delta'\) sont semblables entr'eux.

24 Deplus j'ai déja remarqué que si l'on pouvoit considérer tout la lame dont les deux extremités sont libres [lorsqu'elle a un nombre impair de nœuds,] comme partagée endeux autres lames moitiés moins longues qui auroient chacune une de leurs extremités libres et l'autre appuiée. et que demême aussi la lame dont les deux extremités sont fixées lorsqu'elle a pareillement un nombre impair de nœuds peut être censée partagée en deux autres lames moitié moins longues qui auroient chacune une de leurs extremités fixées et l'autre appuiée, Cette remarque est également independante des quatre équations d'Euler et resulte tout simplement de la supposition \(y = 0\) pour \(x = \frac{1}{2}\) car elle donne pour l'un et l'autre cas \((1+e^{\omega})\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega = 0\) d'ou on tire \(\text{tang}\,\frac{1}{2}\omega = \frac{1-e^{\omega}}{1+e^{\omega}}\) qui est la condition delaquelle qui a été deduite. dela considération de l'équation du mouvement de la lame assujettie a l'action d'un stilet.

Cette maniere de considerer la lame comme partagée endeux autres sous les conditions indiquées mène a conclure toute les circonstances du mouvement d'une lame dont une extremité est libre et l'autre appuiée de celles qui appartiennent au mouvement dela lame dont les deux extrémités sont libres et demême aussi cequi concerne le mouvement dela lame dont une extremité est fixée et l'autre appuiée des valeurs relatives au mouvement dela lame dont les deux extremités sont fixées. Desorte que les six cas calculés par Euler peuvent etre reduits a 4 reellement [independans les uns des autres] savoir le cas I ou les deux extremités sont libres § 15 du memoire d'Euler le cas III ou une extremité est fixée et l'autre libre § 30. le cas IV ou les deux extremités sont appuiées § 35 enfin le cas VI ou l'une et l'autre extremités sont fixées § 43 En tête, au milieu, « 39 » souligné, de sa main ; en haut à droite « 147 », à l'encre, de la série des lots précédents. Le paragraphe porte le numéro 24, dans la marge de gauche. La première ligne poursuit la phrase qui clôt la vue 299 (« par cause que les deux ») : « les deux / premières de ces équations » ; le « qu » biffé qui ouvre la ligne est d'une plume plus lourde. Un mot court biffé après « lorsque » n'est pas lu. L'addition « lorsqu'elle a un nombre impair de nœuds, » est écrite au-dessus de la ligne, d'une plume plus fine, avec un petit signe d'insertion après « libres » ; « independans les uns des autres » de même au-dessus de « savoir ». « moitiés » est suivi d'un petit trait en forme de croix, sans renvoi visible. La valeur de \(\text{tang}\,\frac{1}{2}\omega\) est écrite \(\frac{1-e^{\omega}}{1+e^{\omega}}\), alors que l'équation qui précède donne \(-\frac{1-e^{\omega}}{1+e^{\omega}}\) ; la leçon du feuillet est gardée. Après « deduite. » la ligne laisse un blanc d'environ un tiers de sa longueur avant « dela considération » ; la phrase se lit sans coupure. Les deux derniers renvois sont lus « § 35 » et « § 43 » : le second chiffre de « 35 » est le même tracé à queue descendante que celui de « § 15 » deux lignes plus haut, et ces numéros sont ceux des problèmes des cas I, III, IV et VI dans la copie latine de ce volume (vues 159, 175, 181, 187). La vue 302 photographie une seconde fois ce même feuillet, cadré un peu autrement ; elle n'est pas transcrite. Le verso est à la vue 303, blanc.

304

On voit en effet que ses [la valeur des] coëfficiens et l'équation qui détermine la valeur d'\(\omega\) dans le cas II. § 23 [d'une extremité libre et l'autre appuiée] sont d'accord avec les formules relatives au cas I ou des deux extremités libres [§ 15] car on a dans le cas I lorsque \(\text{sin}\,\omega\) est positif \(\alpha = 1\), \(\beta = -e^{\omega}\) \(\gamma = 1+e^{\omega}\). \(\delta = 1-e^{\omega}\) \(A = -e^{\omega}\) \(x = 1\). et l'équation delaquelle on tire la valeur de l'angle \(\omega\) est \(\text{cos}\,\omega = \frac{2}{e^{\omega}+e^{-\omega}}\). que j'ai déja montré etre equivallante a \(\text{tang}\,\frac{1}{2}\omega = \frac{1-e^{\omega}}{1+e^{\omega}}\) et pour le cas II \(\alpha = 1\) \(\beta = -e^{2\omega}\), \(\gamma = 1+e^{2\omega}\), \(\delta = 1-e^{2\omega}\) enfin l'équation qui détermine la valeur de l'angle \(\omega\) est \(\text{tang}\,\omega = \frac{1-e^{2\omega}}{1+e^{2\omega}}\), il est clair que ces diverses quantités sont identiques en observant que de mettre 1 au lieu \(\frac{1}{2}\) dans celles qui concerne le cas II parceque la lame y est considérée comme entière tandis que celle dont on détermine le mouvement d'après la connoissance de celui dela lame dont les deux extremités sont libres est censée etre la moitié de cette dernière.

On devroit trouver les memes rapports entre le cas V. d'une extrémité fixée et l'autre appuiée § 39 et le cas VI. des deux extremités fixées § 43. cependant on a dans le cas VI […] lorsque \(\text{sin}\,\omega\) est positif \(\alpha = 1\), \(\beta = -e^{\omega}\), \(\gamma = -(1+e^{\omega})\), \(\delta = -(1-e^{\omega})\) \(\text{cos}\,\omega = \frac{2}{e^{\omega}+e^{-\omega}}\) ou \(\text{tang}\,\frac{1}{2}\omega = \frac{1-e^{\omega}}{1+e^{\omega}}\), tandis que les valeurs du [pour le] cas V sont [on a] […] alaverité \(\text{tang}\,\omega = \frac{1-e^{2\omega}}{1+e^{2\omega}}\) mais que les coëfficiens \(\alpha = 1\), \(\beta = -1\), \(\gamma = \sqrt{2}\,(e^{2\omega}+e^{-2\omega})\) et \(\delta = 0\) n'ont aucun rapport apparans avec ceux du cas précédant, mais et on a \[ y = \ldots\, e^{x\omega} - e^{-x\omega} \mp \sqrt{2}\,(e^{2\omega}+e^{-2\omega})\,\text{sin}\,x\omega \] tandis qu'il semble que l'on devroit avoir \[ y = \ldots\ldots\, e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega} - (1+e^{2\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (1-e^{2\omega})\,\text{cos}\,x\omega \] Pour se rendre raison de ce paradoxe il faut remarquer qu'Euler suppose que l'extrémité pour laquelle […] \(x = 0\) est celle qui est appuiée, tandis que dans l'hypothese En tête, au milieu, « 40 » souligné ; en haut à droite « 148 », à l'encre. « la valeur » est écrit au-dessus de « ses », qui paraît biffé ; « d'une extremité libre et l'autre appuiée » au-dessus de « cas II. § 23 », et « § 15 » en petit au-dessus de la fin de « libres ». Le groupe \(A = -e^{\omega}\) \(x = 1\), qui suit les quatre coefficients du cas I, est tracé d'une encre très épaisse, comme repassé, et sa lecture est douteuse lettre à lettre ; de même le groupe court, biffé et empâté, qui ouvre la ligne après « cas VI », et celui qui suit « sont » biffé après « cas V » (lecture impossible, un « & » peut-être). Dans « pour laquelle … \(x = 0\) », un petit signe en forme de « t » suivi de « ou » ou « on » précède \(x = 0\) ; il n'est pas lu. Le dernier mot, l'hypothese, est traversé d'un trait et peut être biffé ; la phrase s'arrête là, au bas du feuillet. Les références § 23, § 15, § 39 et § 43 sont celles des problèmes des cas II, I, V et VI dans la copie latine de ce volume. Le verso (vue 305) est blanc.

306

dans l'hypothese actuelle cene peut etre que pour une des extremités dela lame entière et parconséquent pour l'extremité fixée dela lame de longueur \(\frac{1}{2}a\) que \(x\) peut etre supposé egal a zéro, il est clair au reste qu'il est fort indifferent de faire l'une ou l'autre supposition.

En adoptant celle qui convient ici il faut mettre \(1-x\) au lieu de \(x\) dans l'expression d'\(y\) donnée par Euler elle devient ainsi \[ y = \ldots\ldots\, e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega} \mp \sqrt{2}\{e^{2\omega}+e^{-2\omega}\}\,\text{sin}(1-x)\omega \] \[ = \ldots\ldots\, e^{-\omega}\{e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega} \pm \sqrt{2}\{e^{2\omega}+e^{-2\omega}\}\{\text{sin}\,\omega\,\text{cos}\,x\omega - \text{sin}\,x\omega\,\text{cos}\,\omega\}e^{\omega}\} \] et en mettant pour \(\text{sin}\,\omega\) et \(\text{cos}\,\omega\) leurs valeurs \(\pm\frac{(e^{\omega}-e^{-\omega})}{\sqrt{2}(e^{2\omega}+e^{-2\omega})}\), \(\pm\frac{e^{\omega}+e^{-\omega}}{\sqrt{2}(e^{2\omega}+e^{-2\omega})}\) et observant que les signes superieurs de ces valeurs et celui du terme \(\pm e^{\omega}\sqrt{2}\{e^{2\omega}+e^{-2\omega}\}\) ont lieu en même tems on a a cause de \(e^{-\omega}\) constant \[ y = \ldots\ldots\, e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega} + (e^{2\omega}-1)\,\text{cos}\,x\omega - (e^{2\omega}+1)\,\text{sin}\,x\omega \] et parconséquent \(\alpha = 1\) \(\beta = -e^{2\omega}\), \(\gamma = -(1+e^{2\omega})\) \(\delta = -(1-e^{2\omega})\) qui sont les valeurs que l'on auroit deduites de celles qui conviennent au cas des deux extremités fixées.

Afin de faire sentir d'avantage combien cette déduction est fondée on peut observer que les conditions indiquées par Euler N.o 13 pour que l'extremité d'une lame elastique vibrante soit simplement appuiée sont \(y = 0\) et \(\left(\frac{ddy}{dx^2}\right) = 0\) ou \(\left(\frac{ddy}{dx^2}\right) = 0\) et que tant dans le cas des deux extremités libres que dans celui des deux extremités fixées, on a lorsque \(\text{sin}\,\omega\) est positif \(y = 0\) pour \(x = \frac{1}{2}\) et que la valeur d'\(y\) est alors exprimée par \((1+e^{\omega})\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega = 0\) d'ou resulte evidemment \[ \left(\frac{ddy}{dx^2}\right) = -(1+e^{\omega})\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega - (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega = 0. \] En tête, au milieu, « 41 » souligné, le chiffre repassé ; en haut à droite « 149 », à l'encre. Le feuillet s'ouvre sur « dans l'hypothese », les deux mots par lesquels finit la vue 304 : elle les a répétés en tête de la page suivante, et la phrase se lit sans rupture en passant de l'un à l'autre. Dans la seconde ligne de \(y\), la fin « \(\ldots\}e^{\omega}\}\) » est écrite serrée contre le bord et se lit mal ; l'exposant de \(e\) après « a cause de » est lu \(-\omega\), et un petit « \(\omega\) » isolé au-dessus de « de » n'est pas rapporté. Le mot qui ouvre la ligne « en mettant » est un signe en forme de croix, lu et. « N.o 13 » : le N est empâté d'une tache ; le § 13 de la copie latine (lot 8) est la première scolie où Euler énonce les conditions aux extrémités. La seconde condition biffée est barrée d'un trait oblique. Le verso (vue 307) est blanc.

308

Desorte que l'on est plainement autorisé a considérer lemilieu de ces lames comme la jonction des extremités appuiées de deux autres lames, il resulte dela que les ordonnées de ces dernières lames devant rester les mêmes soit que l'on consi les considere comme nettement separées, ou que l'on les regarde comme fesant partie dela lame primitive les coëfficiens qui entrent dans l'expression de ces ordonnées sont également invariables et qu'il suffit parconséquent de calculer ceux qui conviennent au mouvement dela lame primitive pour avoir ceux qui appartiennent a celui des lames dans lesquelles elle peut etre censée divisée.

J'ai déja remarqué que la lame elastique dont les deux extremités sont appuiées peut aussi etre censée partagée en deux ou plusieurs autres lames elastiques de longueur longueurs fractionnaires soumises aux mêmes conditions, On seroit porté par analogie a croire que dans le cas des deux extremités libres lorsqu'il n'y a pas de nœuds au milieu les deux moitiés de la lame primitive peuvent egalement etres considerées comme des lames entières soumises aux mêmes conditions, mais les valeurs des ordonnées ne s'accomodent point de cette hypothèse et on en voit la raison dans l'observation que j'ai faits delaquelle il resulte que lamoitié dela partie comprise entre les deux nœuds les plus voisins du milieu de la lame primitive ne peut etre egale aux parties comprises entre les nœuds les plus voisins des extremités de cette lame et les mêmes extremités En tête, au milieu, « 42 » souligné ; en haut à droite « 150 », à l'encre. Après « que j'ai faits » la ligne laisse un blanc d'un tiers environ avant « delaquelle », comme pour un renvoi à remplir ; il n'est pas rendu ici. Le texte s'arrête sur « extremités », sans point ; le bas du feuillet est blanc. Le verso (vue 309) est blanc.

310

Les vibrations qui font l'objet du mémoire d'Euler et des reflexions remarques précedantes sont celles que Mr Chladni nomme vibrations transversales dela lame; Mais les vibrations des plaques elastiques dont les libres dans le cas ou il y a des lignes nodales en differens suivant differentes directions, dont la théorie semble devoir etre beaucoup plus compliquée presente cependant une singularité remarquable c'est que tandis que pour les vibrations transversales dela lame elastique dont les extremités sont libres, on ne peut composer une lame de deux moitiés soumises aux mêmes conditions, il y a au contraire plusieurs cas ou les lames plaques carrées vibrantes en differens sens a la fois, et libres de tous cotés, peuvent cependant etre formées de quatre autres lames soumises aux mêmes conditions voyez traité d'Acoustique par Chladni §§ 110, en comparant les differentes figures qui presentent entr'elles le rapport dont il s'agit on voit que les figures composées sont celles ou il n'y a pas de lignes nodales qui coupent la surface en deux parties egales de mi diamétralement la surface en deux parties égales, et on sent aisement que cela doit etre en effet puisque pour qu'une partie continue puisse equivaloir a une extremité ou coté libre il faut qu'elle soit egalement libre c'est adire en mouvement; et parconséquent en mouvement: par exemple, la fig. 63 qui est la plus simple parmi celles qui presentent des lignes nodales en differens sens, repetée quatre fois forme la fig 64. a et l'analogie porte porte a croire [montre] que la même figure 63 repetée 9 fois donneroit la figure 75 et [que cette même fig 63] prise huit [16 fois, formeroit] la fig. 82, [quoique] mais cependant Mr Chladni ne dit pas avoir obtenu ces deux dernieres figures par le rapprochement de 9 et 16 plaques portant la fig. 63 En tête, au milieu, « 43 » souligné ; en haut à droite « 151 », à l'encre. Le renvoi à Chladni est lu « §§ 110 ». Dans « la fig. 63 qui est la plus simple », une tache couvre la fin de « fig » ; le chiffre 63 est net. « 64. a » est écrit ainsi. Les additions « montre », « que cette même fig 63 » et « 16 fois, formeroit » sont au-dessus de la ligne, sans signe d'insertion ; « huit » est biffé d'un trait épais. Au-dessus de « mais » biffé, « quoique » est écrit puis biffé à son tour. Les deux dernières lignes et la fin de la précédente, depuis « mais cependant », sont barrées ligne à ligne ; la phrase reste ainsi sans fin au bas du feuillet. Le verso est à la vue 311.

312

Mais si cette conjecture etoit sanctionnée par l'expérience on seroit Il me semble que l'on peut conclure de cette analogie qu'il y a aumoins quelques cas ou la fonction qui en supposant la plaque carrée on peut supposer, que les coordonnées dela surface vibrante sont symétriques autour des

Il me semble que l'on peut en inferer que [Ainsi] dans certains cas au moins si on suppose une surface [plaque] vibrante elastique quarrée dont la superficie soit exprimée par \(aamm\) et que l'on applique un stilet divise ce quarré en \(mm\) quarrés degrandeurs \(aa\) et que l'on applique un stilet au point convenable et sous les conditions propres a faire naitre dans un des 4, quarrés [placés aux angles dela plaque] d'etendue \(aa\) une certaine figure nodale cette même figure sera repetée dans les \(mm-1\) autres carrés qui composent la plaque entière desorte que dans l'exemple dont il s' c'est adire [d'ou il resulte que le mouvement parconséquent de ces quarrés elementaires est uniforme semblable dans chacun d'eux et parconséquent] que si on suppose un [deux] plans perpendiculaires [entr'eux et l'un et l'autre perpendiculaires au plan] a l'horizontal qui est enmême tems [celui] [de] la figure initiale [no] dela plaque [en repos], les courbes formées par [les] l'intersection de ces plans, [supposés encore perpendiculaires aux cotés de cette même plaque quarrée] et de la surface vibrante couperont le plan horiz horizontal dans des points dont les abscisses seront coordonnées seront \(\alpha\), \(\alpha+a\), \(\alpha+2a\) […] et \(\alpha'\), \(\alpha'+a\), \(\alpha'+2a\) &c. […] [\(\alpha\) et \(\alpha'\) etant] dependant dela nature dela figure elemen formée dans le plus quarré elementaire, et que ces courbes seront symétriques autour des points dont il s'agit.

Cette propriété que Mr Chladni etablit par rapport a pour [des plaques quarrées elastiques vibrantes libres de tous cotés de pouvoir etre considerées comme] differentes figures nodales dans le cas ou m=2 d'etre exactement décom- [decomposées en un certain nombre de plaques de même forme soumises aux mêmes] posable en quatre figures plaques chargées de figures semblables [conditions, propriétés que Mr Chladni] établit dans plusieurs cas pour \(m=2\), et que je viens demontrer […] [avoir] encore lieu pour [dans] le cas de la fig 63. pour \(m=3\) et \(m=4\) pour Mr Chladni etablit pour differentes figures nodales dans [et que] le cas ou \(m=2\), conduit donc a fin conclure qu'il existe dans certains cas degrandes analogies entre les vibrations des plaques elastiques quarrées et celle des surfaces tendues demême figure. [car] on peut voir [par la comparaison du § 26 du mémoire de Mr Biot] dans le mémoire de Mr Biot […] inseré dans le tome 4 des memoires de l'institut mémoire dans lequel l'auteur détermine donne l'équation des surfaces [il n'est question que de ce genre de surface] vibrantes tendues, que dans ce cas \(\alpha\) et \(\alpha'\) sont zero [zero ce qui doit etre en effet] parceque [dans aucune ces surfaces nécessairement] les lignes de repos sont placées aux extremités des surfaces composantes qui peuvent etres considerées comme vibrant separement. on voit encore que pour les figures composées dela fig 63 \(\alpha\) et \(\alpha' = \frac{1}{2}a\) En tête, au milieu, « 44 » souligné ; en haut à droite « 152 », à l'encre. Brouillon très corrigé. La première ligne est barrée seule ; les quatre suivantes (« Il me semble… autour des ») sont traversées chacune d'un long trait qui court d'un bout à l'autre et sont données comme biffées. Les additions sont écrites entre les lignes d'une plume plus fine, sans signe d'insertion ; elles sont placées ici avant les mots qu'elles surmontent, et l'ordre de lecture de certaines, dans les lignes « d'ou il resulte… parconséquent » et « Cette propriété… conduit donc », est celui que suggère le sens, non un ordre marqué sur la page. Dans ce dernier passage, deux rédactions se superposent : la première, « Cette propriété que Mr Chladni etablit par rapport a differentes figures nodales dans le cas ou m=2 d'etre exactement décomposable en quatre plaques chargées de figures… », est biffée en partie seulement ; la seconde s'écrit dans l'interligne et se poursuit dans la marge de gauche (« établit dans plusieurs cas pour \(m=2\)… pour \(m=3\) et \(m=4\) »), en face des lignes qu'elle complète. De même la note de marge « qui peuvent etres considerées comme vibrant separement. » achève la dernière ligne du feuillet (« des surfaces composantes ») ; la ligne qui la suit dans la marge, d'une plume plus fine, est une remarque à part. Dans la marge de gauche encore, en face de « formée dans le quarré elementaire », un petit dessin : un carré partagé en quatre par deux lignes médianes, traversé d'une diagonale, avec un petit arc dans le carré du haut à gauche. La ligne des coordonnées porte après \(\alpha+2a\) un groupe biffé, et la ligne suivante s'ouvre sur une suite de termes biffés d'un trait épais, non lus ; « &c. » après \(\alpha'+2a\) est lu avec doute (« de. »). « \(mm-1\) » : un trait et une virgule suivent « mm », lus comme \(-1\) avec doute. « § 26 » : le signe § est empâté et le 6 a la forme d'un « b », comme ailleurs dans ce volume. La mention de Biot et du « tome 4 des memoires de l'institut » est de sa main ; le passage n'a pas été vérifié contre ce mémoire. Dans la dernière note de marge, le dénominateur de \(\frac{1}{2}a\) est petit et serré et se lit mal. Le verso est à la vue 313.

314

La théorie complette dela plaque elastique vibrante quarrée si on avoit egard a l'etat des cotés qui pourroient etre appuiés comprendroit quinze cas differens, si on avoit égard a l'etat des cotés qui pourroient etre appuiés libres ou fixés, mais il arriveroit sans doute comme pour les vibrations transversales delalame elastique que ces cas auroient entr'eux des relations qui permettroient de n'en calculler que quelques uns, par exemple le cas ou une figure reguliere de trois formée par les lignes nodales dans une plaque quarrée dont tous les cotés sont libres presente deux ligne diametrales qui se coupent aucentre de cette figure pourroit peut etre etre considéré comme produit par la reunion dequatre plaques quarrées degrandeurs convenables qui auroient chacune deux deleurs cotés libres et les deux autres appuiés.

[…] Entre les figures regulieres l'ouvrage de Mr Chladni en presente un grand nombre dans lesquelles il n'y a aucun rapport apparent entre une première moitié et la seconde. je crois que l'on peut penser que dans ce dernier genre de figures le point d'appui qui appartient a une des ligne nodale gêne plus ou moins le mouvement qu'il ne l'est dans les autres lignes derepos; il me semble en effet que ce n'est pas assez des effets si le mouvement étoit egalement libre dans toute l'étendue dela plaque il ne devroit se former que des figures régulières.

Que ce soit que dans l'espece dont il s'agit ici il puisse exister

Cette supposition qui me semble devoir convenir ici parceque lorsmême qu'on admettroit que le mouvement seroit plus gêné dans le point d'appui que dans les autres points qui enforment les lignes nodales sont censés sont censés equivallant a aux points d'appui, la communication entre les differentes parties dela plaque vibrante ne seroit pas pour cela interrompue puisqu'independamment de ce point d'appui pris les parties vibrantes endeça et audela, communiquent se touchent par les cotés qui leurs servent delimites. On voit assez que dans lorsqu'il est question des vibrations transversales dela lame, on ne peut supposer que le point d'appui interrompe la communication du mouvement soit interrompue […] le point d'appui sans admettre qu'elle soit entièrement detruite que je crois que pour ce genre car on fait toujours abstraction dela largeur de ces lames, ainsi pour ce genre de vibration je crois que l'on peut toujours regarder le point d'appui comme equivallant En tête, au milieu, « 45 » souligné ; en haut à droite « 153 », à l'encre. À la première ligne, « plaque », « elastique », « vibrante » et « quarrée » portent chacun à la fin une petite croix, qui paraît biffer un « s » du pluriel ; le singulier est donné. Le mot biffé qui ouvre le second paragraphe, devant « Entre », n'est pas lu. La ligne « Que ce soit que… exister » est barrée d'une suite de hachures obliques. Après « delimites. » un signe « + » renvoie à la note de la marge de gauche ; cette note (sa première ligne barrée d'un trait, le reste de hachures obliques) et les quatre dernières lignes du texte, depuis « On voit assez », sont annulées ensemble par une même série de hachures ; le mot qui ouvre la dernière ligne n'est pas lu. Le bas du feuillet est abîmé et replié. Le verso est à la vue 315.

316

si on vouloit avoir la théorie complette des plaques quarrées elastiques vibrantes en ayant égard a l'état des cotés qui peuvent etres appuiés fixés ou libres on auroit 15 cas differens suivans qu'un ou plusieurs de ces cotés seroient dans l'un ou l'autre des trois etats dont que l'on distingue mais il arriveroit sans doute comme dans la théorie des lames elastiques vibrantes que ces etats [cas] auroient entr'eux des relations qui permettroient de dans […] calculler que quelquesuns Cette immensité de cas dont ceux que Mr Chladni afait connoître ne sont qu'une petite partie se trouve encore augmenté par la remarque d'une manière effrayante lorsque l'on remarque qu'il parle dans plusieurs experiences de degrés differens de pression necessaire pour la formation de telle ou telle figure car on voit alors que les etats distingués par euler n'ont pas dans la fixité que […] qu'il leur suppose dans la théorie car une pression foible differe peu de l'état de liberté et on peut la supposer croître par une une échelle composée d'un nombre infini de degré dont la limite est la fixité+ le nombre de variations possibles seroit encore augmenté si on vouloit tenir compte des position et pression et vivacité du mouvement de l'archet que circonstances qui contribuent tous a differencier les experiences + on concoit en effet que dans la vibration des plaque la fixité du stilet ne s'op doit plus empecher la communication du mouvement ex entre les portions de la placées de part et d'autre de cet obstacle puisqu'il y a continuité dans les points qui restent libres pendant son action Pas de numéro en tête ; en haut à droite, décalé vers la gauche, « 154 », à l'encre. Ce feuillet reprend, dans une autre rédaction, le début de la vue 314 (« La théorie complette dela plaque elastique vibrante quarrée… quinze cas differens ») et le poursuit autrement ; rien sur le feuillet ne dit laquelle des deux est la première. Le texte est écrit en lignes plus courtes, la marge de gauche portant une note longue, appelée par le « + » qui suit « la fixité » ; elle est donnée ici après le texte. « de dans » est écrit ainsi, là où le sens demande « de n'en » ; après « dans », un signe court biffé n'est pas lu, non plus que le mot court biffé après « la fixité que ». « euler » est écrit sans majuscule. Les sept dernières lignes, depuis « le nombre de variations », sont barrées ligne à ligne. Le verso (vue 317) est blanc.

318

Memoire presenté et examiné sur la lame

Feuillet de titre, qui ne porte que ces deux lignes, au tiers supérieur de la page, la seconde soulignée d'un long trait ; en haut à droite « 155 », à l'encre. Le papier est d'un ton plus sombre que celui des feuillets qui précèdent. La fin de « examiné » est écrite sur d'autres lettres, repassée d'une encre plus épaisse ; la lecture est offerte avec doute. Rien d'autre sur le feuillet ; le verso (vue 319) est blanc.

320

Remarques sur le mémoire d'Euler: Investigatio motuum quibus laminæ e virgæ elasticæ contremiscunt. in act acad Petrop ann. 1779 P 1 p. 103 et seq

Après avoir examiné les mouvemens reguliers possibles dela lame elastique vibrante, en ayant seulement égard à l'état des extremités qui peuvent etre fixées, simplement appuyées ou libres, cequi donne lieu à six cas essentiellement differens, l'auteur suppose que la même lame puisse en outre etre appuyée dans un ou plusieurs points differens des extremités, de façon cequ que la communication entre ces differentes parties nesoit pas interrompue; et comme le developpement de tous les cas demanderoit des recherches infinis, il se contente d'examiner un d'entr'eux, dans l'intention de faire comprendre comment le calcul peut leur etre appliqué. celui qu'il choisit qui est le plus simple de tous, est le cas où la lame soumise à l'action du stilet, est appuyée a l'une et l'autre de ses extremités. il se propose, § 47, de trouver tous les mouvemens de vibration dont une telle lame peut etre agitée.

Dans la suite du même §, l'auteur parvient à l'équation suivante \[ 0 = 2 - 2e^{2\omega} - (e^{x\omega} - e^{\omega(2-x)})(e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\frac{\text{sin}\,\omega}{\text{sin}\,x\omega\;\text{sin}(1-x)\omega}. \] il remarque que la question est réduite à tirer de cette équation les valeurs de l'angle \(\omega\): mais il ajoute qu'il n'ose entreprendre cetravail à cause de la complication des formules, et qu'il suffit d'avoir montré dans celieu par qu'elle méthode on peut traiter ces difficiles questions. Cependant, après avoir établi que les suppositions \(x = 0\) et \(x = 1\) menent à conclure \(\omega = 0\), qui est la valeur qui convient au repos dela lame, il observe que le cas où \(x = \frac{1}{2}\) merite d'être développé. L'équation finale se partage [dans ce cas] endeux facteurs qui, egalés séparement a zéro, donnent lieu à deux solutions analisées § 49 et 50 pour la première, § 51 pour la seconde; et l'auteur termine en remarquant qu'il est digne d'attention que les deux moitiés dela lame puissent vibrer dedeux manières, l'une qui se rapporte au cas IV, et l'autre qui appartient au cas V. En tête, au milieu, « (1) » souligné ; en haut à droite « 156 », à l'encre. Une pièce nouvelle commence ici, en belle copie, d'une écriture régulière et presque sans rature : le titre sur deux lignes, souligné d'un court trait au milieu, puis un exposé à la troisième personne (« l'auteur ») du problème du § 47 d'Euler, la lame appuyée aux deux bouts et soumise au stilet. « e virgæ » est écrit ainsi pour « et virgæ » ; « P 1 » pour la première partie du volume. « p. 103 » est la page par laquelle s'ouvre aussi la copie latine de ce volume (vue 144). L'équation est écrite dans la ligne, suivie d'un point et de « il remarque… » ; elle est détachée ici. Les renvois « § 49 et 50 » et « § 51 » sont lus sur la page, le 4 tracé comme ailleurs à la façon d'un « b ». Le texte occupe les deux tiers du feuillet et s'arrête sur « au cas V. », le bas étant blanc. Un cachet de la Bibliothèque royale se devine, très pâle, à droite de la page : c'est celui du verso, vu par transparence. Le verso (vue 321, hors de ce lot) est blanc à la vignette, hors ce cachet.