Numérotation des feuillets. Chaque feuillet écrit porte en haut à
droite un nombre à l'encre, d'une plume large et d'une écriture ronde :
147 (vue 301, et de nouveau à la vue 302, seconde prise du même feuillet),
148 (304), 149 (306), 150 (308), 151 (310), 152 (312), 153 (314), 154
(316), 155 (318), 156 (320), un par feuillet et sans lacune. Cette série
occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée
à la plume et non au crayon ; aucun « f. » n'est donc porté. Au milieu de
la tête, soulignée, sa propre pagination : 39 (301), 40 (304), 41 (306),
42 (308), 43 (310), 44 (312), 45 (314) ; rien aux vues 316 et 318 ;
« (1) » à la vue 320, où commence une autre pièce. Tous ces nombres ont
été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Les vues 303, 305, 307, 309, 311,
313, 315, 317 et 319 sont les versos blancs des feuillets qui les
précèdent et ne sont pas transcrites ; la vue 302 reprend la vue 301.
qu premières de ces équations sont semblables entr'elles et se
reduisent l'une et l'autre a y = 0 et que les deux dernières
sont identiques, ou lorsque
24 Deplus j'ai déja remarqué que si l'on pouvoit considérer tout
la lame dont les deux extremités sont libres lorsqu'elle a un nombre impair de nœuds, comme partagée
endeux autres lames moitiés moins longues qui auroient chacune une
de leurs extremités libres et l'autre appuiée. et que demême aussi
la lame dont les deux extremités sont fixées lorsqu'elle a pareillement
un nombre impair de nœuds peut être censée partagée en deux
autres lames moitié moins longues qui auroient chacune une de leurs
extremités fixées et l'autre appuiée, Cette remarque est également
independante des quatre équations d'Euler et resulte tout
simplement de la supposition y = 0 pour x = \frac{1}{2} car elle
donne pour l'un et l'autre cas (1+e^{\omega})\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega = 0
d'ou on tire \text{tang}\,\frac{1}{2}\omega = \frac{1-e^{\omega}}{1+e^{\omega}} qui est la condition delaquelle qui a été
deduite. dela considération de l'équation du mouvement de
la lame assujettie a l'action d'un stilet.
Cette maniere de considerer la lame comme partagée endeux autres
sous les conditions indiquées mène a conclure toute les circonstances
du mouvement d'une lame dont une extremité est libre et
l'autre appuiée de celles qui appartiennent au mouvement
dela lame dont les deux extrémités sont libres et demême
aussi cequi concerne le mouvement dela lame dont une extremité
est fixée et l'autre appuiée des valeurs relatives au mouvement
dela lame dont les deux extremités sont fixées. Desorte que
les six cas calculés par Euler peuvent etre reduits a 4
reellement independans les uns des autres savoir le cas I ou les deux extremités sont libres
§ 15 du memoire d'Euler le cas III ou une extremité est fixée et
l'autre libre § 30. le cas IV ou les deux extremités sont appuiées
§ 35 enfin le cas VI ou l'une et l'autre extremités sont fixées
§ 43
En tête, au milieu, « 39 » souligné, de sa main ; en haut à droite
« 147 », à l'encre, de la série des lots précédents. Le paragraphe porte
le numéro 24, dans la marge de gauche. La première ligne poursuit la
phrase qui clôt la vue 299 (« par cause que les deux ») : « les deux /
premières de ces équations » ; le « qu » biffé qui ouvre la ligne est
d'une plume plus lourde. Un mot court biffé après « lorsque » n'est pas
lu. L'addition « lorsqu'elle a un nombre impair de nœuds, » est écrite
au-dessus de la ligne, d'une plume plus fine, avec un petit signe
d'insertion après « libres » ; « independans les uns des autres » de même
au-dessus de « savoir ». « moitiés » est suivi d'un petit trait en forme
de croix, sans renvoi visible. La valeur de \text{tang}\,\frac{1}{2}\omega
est écrite \frac{1-e^{\omega}}{1+e^{\omega}}, alors que l'équation qui
précède donne -\frac{1-e^{\omega}}{1+e^{\omega}} ; la leçon du feuillet
est gardée. Après « deduite. » la ligne laisse un blanc d'environ un
tiers de sa longueur avant « dela considération » ; la phrase se lit sans
coupure. Les deux derniers renvois sont lus « § 35 » et « § 43 » : le
second chiffre de « 35 » est le même tracé à queue descendante que celui
de « § 15 » deux lignes plus haut, et ces numéros sont ceux des
problèmes des cas I, III, IV et VI dans la copie latine de ce volume
(vues 159, 175, 181, 187). La vue 302 photographie une seconde fois ce
même feuillet, cadré un peu autrement ; elle n'est pas transcrite. Le
verso est à la vue 303, blanc.
On voit en effet que ses la valeur des coëfficiens et l'équation qui détermine
la valeur d'\omega dans le cas II. § 23 d'une extremité libre et l'autre appuiée sont d'accord avec les formules
relatives au cas I ou des deux extremités libres § 15 car on a dans le
cas I lorsque \text{sin}\,\omega est positif \alpha = 1, \beta = -e^{\omega} \gamma = 1+e^{\omega}. \delta = 1-e^{\omega}
A = -e^{\omega} x = 1. et l'équation delaquelle on tire la valeur de l'angle
\omega est \text{cos}\,\omega = \frac{2}{e^{\omega}+e^{-\omega}}. que j'ai déja montré etre equivallante a
\text{tang}\,\frac{1}{2}\omega = \frac{1-e^{\omega}}{1+e^{\omega}} et pour le cas II \alpha = 1 \beta = -e^{2\omega}, \gamma = 1+e^{2\omega}, \delta = 1-e^{2\omega}
enfin l'équation qui détermine la valeur de l'angle \omega est
\text{tang}\,\omega = \frac{1-e^{2\omega}}{1+e^{2\omega}}, il est clair que ces diverses quantités sont
identiques en observant que de mettre 1 au lieu \frac{1}{2} dans celles
qui concerne le cas II parceque la lame y est considérée comme
entière tandis que celle dont on détermine le mouvement d'après
la connoissance de celui dela lame dont les deux extremités
sont libres est censée etre la moitié de cette dernière.
On devroit trouver les memes rapports entre le cas V.
d'une extrémité fixée et l'autre appuiée § 39 et le cas VI.
des deux extremités fixées § 43. cependant on a dans le cas VI
les valeurs du pour le
cas V sont on a mais et on a
y = \ldots\, e^{x\omega} - e^{-x\omega} \mp \sqrt{2}\,(e^{2\omega}+e^{-2\omega})\,\text{sin}\,x\omega
tandis qu'il semble que
l'on devroit avoir
y = \ldots\ldots\, e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega} - (1+e^{2\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (1-e^{2\omega})\,\text{cos}\,x\omega
Pour se rendre raison de ce paradoxe il faut remarquer
qu'Euler suppose que l'extrémité pour laquelle x = 0 est
celle qui est appuiée, tandis que dans l'hypothese
En tête, au milieu, « 40 » souligné ; en haut à droite « 148 », à
l'encre. « la valeur » est écrit au-dessus de « ses », qui paraît biffé ;
« d'une extremité libre et l'autre appuiée » au-dessus de « cas II. § 23 »,
et « § 15 » en petit au-dessus de la fin de « libres ». Le groupe
A = -e^{\omega} x = 1, qui suit les quatre
coefficients du cas I, est tracé d'une encre très épaisse, comme repassé,
et sa lecture est douteuse lettre à lettre ; de même le groupe court,
biffé et empâté, qui ouvre la ligne après « cas VI », et celui qui suit
« sont » biffé après « cas V » (lecture impossible, un « & » peut-être).
Dans « pour laquelle … x = 0 », un petit signe en forme de « t »
suivi de « ou » ou « on » précède x = 0 ; il n'est pas lu. Le dernier
mot, l'hypothese, est traversé d'un trait et peut être
biffé ; la phrase s'arrête là, au bas du feuillet. Les références
§ 23, § 15, § 39 et § 43 sont celles des problèmes des cas II, I, V et VI
dans la copie latine de ce volume. Le verso (vue 305) est blanc.
dans l'hypothese actuelle cene peut etre que pour une des
extremités dela lame entière et parconséquent pour l'extremité
fixée dela lame de longueur \frac{1}{2}a que x peut etre supposé
egal a zéro, il est clair au reste qu'il est fort indifferent
de faire l'une ou l'autre supposition.
En adoptant celle qui convient ici il faut mettre 1-x au
lieu de x dans l'expression d'y donnée par Euler elle
devient ainsi
y = \ldots\ldots\, e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega} \mp \sqrt{2}\{e^{2\omega}+e^{-2\omega}\}\,\text{sin}(1-x)\omega
= \ldots\ldots\, e^{-\omega}\{e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega} \pm \sqrt{2}\{e^{2\omega}+e^{-2\omega}\}\{\text{sin}\,\omega\,\text{cos}\,x\omega - \text{sin}\,x\omega\,\text{cos}\,\omega\}e^{\omega}\}
et en mettant pour \text{sin}\,\omega et \text{cos}\,\omega leurs valeurs
\pm\frac{(e^{\omega}-e^{-\omega})}{\sqrt{2}(e^{2\omega}+e^{-2\omega})}, \pm\frac{e^{\omega}+e^{-\omega}}{\sqrt{2}(e^{2\omega}+e^{-2\omega})} et observant que les signes superieurs
de ces valeurs et celui du terme \pm e^{\omega}\sqrt{2}\{e^{2\omega}+e^{-2\omega}\} ont lieu
en même tems on a a cause de e^{-\omega} constant
y = \ldots\ldots\, e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega} + (e^{2\omega}-1)\,\text{cos}\,x\omega - (e^{2\omega}+1)\,\text{sin}\,x\omega
et parconséquent \alpha = 1 \beta = -e^{2\omega}, \gamma = -(1+e^{2\omega}) \delta = -(1-e^{2\omega})
qui sont les valeurs que l'on auroit deduites de celles qui conviennent
au cas des deux extremités fixées.
Afin de faire sentir d'avantage combien cette déduction est fondée
on peut observer que les conditions indiquées par Euler N.o 13
pour que l'extremité d'une lame elastique vibrante soit simplement
appuiée sont y = 0 et \left(\frac{ddy}{dx^2}\right) = 0 ou \left(\frac{ddy}{dx^2}\right) = 0 et que
tant dans le cas des deux extremités libres que dans celui
des deux extremités fixées, on a lorsque \text{sin}\,\omega est positif
y = 0 pour x = \frac{1}{2} et que la valeur d'y est alors exprimée
par (1+e^{\omega})\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega = 0 d'ou resulte evidemment
\left(\frac{ddy}{dx^2}\right) = -(1+e^{\omega})\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega - (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega = 0.
En tête, au milieu, « 41 » souligné, le chiffre repassé ; en haut à
droite « 149 », à l'encre. Le feuillet s'ouvre sur « dans l'hypothese »,
les deux mots par lesquels finit la vue 304 : elle les a répétés en tête
de la page suivante, et la phrase se lit sans rupture en passant de l'un
à l'autre. Dans la seconde ligne de y, la fin
« \ldots\}e^{\omega}\} » est écrite serrée contre le bord et se lit
mal ; l'exposant de e après « a cause de » est lu -\omega, et un
petit « \omega » isolé au-dessus de « de » n'est pas rapporté. Le mot
qui ouvre la ligne « en mettant » est un signe en forme de croix, lu
et. « N.o 13 » : le N est empâté d'une tache ; le § 13 de
la copie latine (lot 8) est la première scolie où Euler énonce les conditions
aux extrémités. La seconde condition biffée est barrée d'un trait
oblique. Le verso (vue 307) est blanc.
Desorte que l'on est plainement autorisé a considérer lemilieu de
ces lames comme la jonction des extremités appuiées de deux autres
lames, il resulte dela que les ordonnées de ces dernières lames
devant rester les mêmes soit que l'on consi les considere comme
nettement separées, ou que l'on les regarde comme fesant
partie dela lame primitive les coëfficiens qui entrent
dans l'expression de ces ordonnées sont également invariables
et qu'il suffit parconséquent de calculer ceux qui conviennent
au mouvement dela lame primitive pour avoir ceux
qui appartiennent a celui des lames dans lesquelles elle
peut etre censée divisée.
J'ai déja remarqué que la lame elastique dont les deux extremités
sont appuiées peut aussi etre censée partagée en deux ou plusieurs
autres lames elastiques de longueur longueurs fractionnaires soumises
aux mêmes conditions, On seroit porté par analogie a croire que
dans le cas des deux extremités libres lorsqu'il n'y a pas de nœuds
au milieu les deux moitiés de la lame primitive peuvent
egalement etres considerées comme des lames entières soumises aux
mêmes conditions, mais les valeurs des ordonnées ne s'accomodent point
de cette hypothèse et on en voit la raison dans l'observation
que j'ai faits delaquelle il resulte que lamoitié dela
partie comprise entre les deux nœuds les plus voisins du milieu de
la lame primitive ne peut etre egale aux parties comprises entre
les nœuds les plus voisins des extremités de cette lame et les mêmes
extremités
En tête, au milieu, « 42 » souligné ; en haut à droite « 150 », à
l'encre. Après « que j'ai faits » la ligne laisse un blanc d'un tiers
environ avant « delaquelle », comme pour un renvoi à remplir ; il n'est
pas rendu ici. Le texte s'arrête sur « extremités », sans point ;
le bas du feuillet est blanc. Le verso
(vue 309) est blanc.
Les vibrations qui font l'objet du mémoire d'Euler et
des reflexions remarques précedantes sont celles que Mr Chladni
nomme vibrations transversales dela lame; Mais les vibrations des
plaques elastiques dont les libres dans le cas ou il y a des lignes
nodales en differens suivant differentes directions, dont la théorie
semble devoir etre beaucoup plus compliquée presente cependant
une singularité remarquable c'est que tandis que pour les
vibrations transversales dela lame elastique dont les extremités
sont libres, on ne peut composer une lame de deux moitiés
soumises aux mêmes conditions, il y a au contraire plusieurs
cas ou les lames plaques carrées vibrantes en differens sens a la
fois, et libres de tous cotés, peuvent cependant etre formées
de quatre autres lames soumises aux mêmes conditions voyez
traité d'Acoustique par Chladni §§ 110, en comparant les
differentes figures qui presentent entr'elles le rapport dont
il s'agit on voit que les figures composées sont celles
ou il n'y a pas de lignes nodales qui coupent la surface
en deux parties egales de mi diamétralement la surface
en deux parties égales, et on sent aisement que cela doit
etre en effet puisque pour qu'une partie continue puisse
equivaloir a une extremité ou coté libre il faut qu'elle
soit egalement libre c'est adire en mouvement; et parconséquent
en mouvement: par exemple, la fig. 63 qui est la plus simple
parmi celles qui presentent des lignes nodales en differens sens,
repetée quatre fois forme la fig 64. a et l'analogie porte
porte a croire montre que la même figure 63 repetée 9 fois donneroit
la figure 75 et que cette même fig 63 prise huit 16 fois, formeroit la fig. 82, quoique mais cependant Mr
Chladni ne dit pas avoir obtenu ces deux dernieres figures par
le rapprochement de 9 et 16 plaques portant la fig. 63
En tête, au milieu, « 43 » souligné ; en haut à droite « 151 », à
l'encre. Le renvoi à Chladni est lu « §§ 110 ». Dans « la fig. 63 qui
est la plus simple », une tache couvre la fin de « fig » ; le chiffre 63
est net. « 64. a » est écrit ainsi. Les additions « montre », « que cette
même fig 63 » et « 16 fois, formeroit » sont au-dessus de la ligne, sans
signe d'insertion ; « huit » est biffé d'un trait épais. Au-dessus de
« mais » biffé, « quoique » est écrit puis biffé à son tour. Les deux
dernières lignes et la fin de la précédente, depuis « mais cependant »,
sont barrées ligne à ligne ; la phrase reste ainsi sans fin au bas du
feuillet. Le verso est à la vue 311.
Mais si cette conjecture etoit sanctionnée par l'expérience on seroit
Il me semble que l'on peut conclure de cette analogie qu'il y a aumoins
quelques cas ou la fonction qui en supposant la plaque carrée
on peut supposer, que les coordonnées dela surface vibrante sont symétriques
autour des
Il me semble que l'on peut en inferer que Ainsi dans certains cas au moins
si on suppose une surface plaque vibrante elastique quarrée dont la superficie
soit exprimée par aamm et que l'on applique un stilet divise ce
quarré en mm quarrés degrandeurs aa et que l'on applique un stilet
au point convenable et sous les conditions propres a faire naitre dans
un des 4, quarrés placés aux angles dela plaque d'etendue aa une certaine figure nodale cette même
figure sera repetée dans les mm-1 autres carrés qui composent la plaque
entière desorte que dans l'exemple dont il s' c'est adire d'ou il resulte que le mouvement parconséquent de ces quarrés elementaires est uniforme semblable dans chacun d'eux et parconséquent que si on
suppose un deux plans perpendiculaires entr'eux et l'un et l'autre perpendiculaires au plan a l'horizontal qui est enmême tems celui
de la figure initiale no dela plaque en repos, les courbes formées par les l'intersection
de ces plans, supposés encore perpendiculaires aux cotés de cette même plaque quarrée et de la surface vibrante couperont le plan horiz
horizontal dans des points dont les abscisses seront coordonnées
seront \alpha, \alpha+a, \alpha+2a elemen formée dans le plus quarré elementaire, et que ces
courbes seront symétriques autour des points dont il s'agit.
Cette propriété que Mr Chladni etablit par rapport a pour
des plaques quarrées elastiques vibrantes libres de tous cotés de pouvoir etre considerées comme
differentes figures nodales dans le cas ou m=2 d'etre exactement décom-
decomposées en un certain nombre de plaques de même forme soumises aux mêmes
posable en quatre figures plaques chargées de figures semblables
conditions, propriétés que Mr Chladni
établit dans plusieurs cas pour m=2, et que je viens demontrer pour dans le cas de la fig 63. pour m=3 et m=4
pour Mr Chladni etablit pour differentes figures nodales dans
et que le cas ou m=2, conduit donc a fin conclure qu'il
existe dans certains cas degrandes analogies entre les vibrations
des plaques elastiques quarrées et celle des surfaces tendues demême
figure. car on peut voir par la comparaison du § 26 du mémoire de Mr Biot dans le mémoire de Mr Biot
inseré dans le tome 4 des memoires de l'institut mémoire
dans lequel l'auteur détermine donne l'équation des surfaces
il n'est question que de ce genre de surface
vibrantes tendues, que dans ce cas \alpha et \alpha' sont zero zero ce qui doit etre en effet parceque
dans aucune ces surfaces nécessairement
les lignes de repos sont placées aux extremités des surfaces composantes
qui peuvent etres considerées comme vibrant separement.
on voit encore que pour les figures composées dela fig 63 \alpha et \alpha' = \frac{1}{2}a
En tête, au milieu, « 44 » souligné ; en haut à droite « 152 », à
l'encre. Brouillon très corrigé. La première ligne est barrée seule ; les
quatre suivantes (« Il me semble… autour des ») sont traversées chacune
d'un long trait qui court d'un bout à l'autre et sont données comme
biffées. Les additions sont écrites entre les lignes d'une plume plus
fine, sans signe d'insertion ; elles sont placées ici avant les mots
qu'elles surmontent, et l'ordre de lecture de certaines, dans les lignes
« d'ou il resulte… parconséquent » et « Cette propriété… conduit donc », est
celui que suggère le sens, non un ordre marqué sur la page. Dans ce
dernier passage, deux rédactions se superposent : la première,
« Cette propriété que Mr Chladni etablit par rapport a
differentes figures nodales dans le cas ou m=2 d'etre exactement
décomposable en quatre plaques chargées de figures… », est biffée en
partie seulement ; la seconde s'écrit dans l'interligne et se poursuit
dans la marge de gauche (« établit dans plusieurs cas pour m=2… pour
m=3 et m=4 »), en face des lignes qu'elle complète. De même la note
de marge « qui peuvent etres considerées comme vibrant separement. »
achève la dernière ligne du feuillet (« des surfaces composantes ») ; la
ligne qui la suit dans la marge, d'une plume plus fine, est une
remarque à part. Dans la marge de gauche encore, en face de « formée dans
le quarré elementaire », un petit dessin : un carré partagé en
quatre par deux lignes médianes, traversé d'une diagonale, avec un petit
arc dans le carré du haut à gauche. La
ligne des coordonnées porte après \alpha+2a un groupe biffé, et la
ligne suivante s'ouvre sur une suite de termes biffés d'un trait épais,
non lus ; « &c. » après \alpha'+2a est lu avec doute (« de. »).
« mm-1 » : un trait et une virgule suivent « mm », lus comme -1 avec
doute. « § 26 » : le signe § est empâté et le 6 a la forme d'un « b »,
comme ailleurs dans ce volume. La mention de Biot et du « tome 4 des
memoires de l'institut » est de sa main ; le passage n'a pas été vérifié
contre ce mémoire. Dans la dernière note de marge, le dénominateur de
\frac{1}{2}a est petit et serré et se lit mal. Le verso est à la vue 313.
La théorie complette dela plaque elastique vibrante quarrée si on avoit
egard a l'etat des cotés qui pourroient etre appuiés comprendroit
quinze cas differens, si on avoit égard a l'etat des cotés qui pourroient
etre appuiés libres ou fixés, mais il arriveroit sans doute comme pour les
vibrations transversales delalame elastique que ces cas auroient entr'eux
des relations qui permettroient de n'en calculler que quelques uns, par exemple
le cas ou une figure reguliere de trois formée par les lignes nodales dans
une plaque quarrée dont tous les cotés sont libres presente deux ligne
diametrales qui se coupent aucentre de cette figure pourroit peut etre
etre considéré comme produit par la reunion dequatre plaques
quarrées degrandeurs convenables qui auroient chacune deux deleurs
cotés libres et les deux autres appuiés.
r Chladni
en presente un grand nombre dans lesquelles il n'y a aucun
rapport apparent entre une première moitié et la seconde.
je crois que l'on peut penser que dans ce dernier genre de figures
le point d'appui qui appartient a une des ligne nodale
gêne plus ou moins le mouvement qu'il ne l'est dans les autres lignes
derepos; il me semble en effet que ce n'est pas assez des effets
si le mouvement étoit egalement libre dans toute l'étendue dela
plaque il ne devroit se former que des figures régulières.
Que ce soit que dans l'espece dont il s'agit ici il puisse exister
Cette supposition qui me semble devoir convenir ici parceque lorsmême qu'on
admettroit que le mouvement seroit plus gêné dans le point d'appui que
dans les autres points qui enforment les lignes nodales sont censés
sont censés equivallant a aux points d'appui, la communication entre
les differentes parties dela plaque vibrante ne seroit pas pour cela
interrompue puisqu'independamment de ce point d'appui pris les parties
vibrantes endeça et audela, communiquent se touchent par les cotés
qui leurs servent delimites. On voit assez que dans lorsqu'il est question
des vibrations transversales dela lame, on ne peut supposer que le
point d'appui interrompe la communication du mouvement soit interrompue
le point d'appui sans admettre qu'elle soit entièrement detruite
que je crois que pour ce genre car on fait toujours abstraction dela largeur de ces lames, ainsi pour ce genre de vibration je crois que l'on peut toujours regarder le point d'appui comme equivallant
En tête, au milieu, « 45 » souligné ; en haut à droite « 153 », à
l'encre. À la première ligne, « plaque », « elastique », « vibrante » et
« quarrée » portent chacun à la fin une petite croix, qui paraît biffer un
« s » du pluriel ; le singulier est donné. Le mot biffé qui ouvre le
second paragraphe, devant « Entre », n'est pas lu. La ligne « Que ce soit
que… exister » est barrée d'une suite de hachures obliques. Après
« delimites. » un signe « + » renvoie à la note de la marge de gauche ;
cette note (sa première ligne barrée d'un trait, le reste de hachures
obliques) et les quatre dernières lignes du texte, depuis « On voit
assez », sont annulées ensemble par une même série de hachures ; le mot
qui ouvre la dernière ligne n'est pas lu. Le bas du feuillet est abîmé
et replié. Le verso est à la vue 315.
si on vouloit avoir la théorie complette des plaques quarrées
elastiques vibrantes en ayant égard a l'état des cotés qui
peuvent etres appuiés fixés ou libres on auroit 15 cas
differens suivans qu'un ou plusieurs de ces cotés seroient
dans l'un ou l'autre des trois etats dont que
l'on distingue mais il arriveroit sans doute comme
dans la théorie des lames elastiques vibrantes
que ces etats cas auroient entr'eux des relations
qui permettroient de dans r Chladni
afait connoître ne sont qu'une petite partie
se trouve encore augmenté par la remarque
d'une manière effrayante lorsque l'on remarque
qu'il parle dans plusieurs experiences de degrés
differens de pression necessaire pour la formation
de telle ou telle figure car on voit alors
que les etats distingués par euler n'ont pas
dans la fixité que et on peut la
supposer croître par une une échelle composée
d'un nombre infini de degré dont la limite
est la fixité+ le nombre de variations possibles
seroit encore augmenté si on vouloit tenir compte
des position et pression et vivacité du mouvement
de l'archet que circonstances qui contribuent tous
a differencier les experiences
+ on concoit en effet que dans la vibration des plaque la fixité du stilet ne s'op doit plus empecher la communication du mouvement ex entre les portions de la placées de part et d'autre de cet obstacle puisqu'il y a continuité dans les points qui restent libres pendant son action
Pas de numéro en tête ; en haut à droite, décalé vers la gauche,
« 154 », à l'encre. Ce feuillet reprend, dans une autre rédaction, le
début de la vue 314 (« La théorie complette dela plaque elastique
vibrante quarrée… quinze cas differens ») et le poursuit autrement ;
rien sur le feuillet ne dit laquelle des deux est la première. Le texte
est écrit en lignes plus courtes, la marge de gauche portant une note
longue, appelée par le « + » qui suit « la fixité » ; elle est donnée
ici après le texte. « de dans » est écrit ainsi, là où le sens demande
« de n'en » ; après « dans », un signe court biffé n'est pas lu, non plus
que le mot court biffé après « la fixité que ». « euler » est écrit sans
majuscule. Les sept dernières lignes, depuis « le nombre de variations »,
sont barrées ligne à ligne. Le verso (vue 317) est blanc.
Memoire presenté et examiné
sur la lame
Feuillet de titre, qui ne porte que ces deux lignes, au tiers
supérieur de la page, la seconde soulignée d'un long trait ; en haut à
droite « 155 », à l'encre. Le papier est d'un ton plus sombre que celui
des feuillets qui précèdent. La fin de « examiné » est écrite sur d'autres
lettres, repassée d'une encre plus épaisse ; la lecture est offerte avec
doute. Rien d'autre sur le feuillet ; le verso (vue 319) est blanc.
Remarques sur le mémoire d'Euler: Investigatio motuum quibus laminæ e virgæ elasticæ contremiscunt. in act acad Petrop ann. 1779 P 1 p. 103 et seq
Après avoir examiné les mouvemens reguliers possibles dela lame elastique vibrante,
en ayant seulement égard à l'état des extremités qui peuvent etre fixées, simplement
appuyées ou libres, cequi donne lieu à six cas essentiellement differens, l'auteur suppose
que la même lame puisse en outre etre appuyée dans un ou plusieurs points differens
des extremités, de façon cequ que la communication entre ces differentes parties nesoit pas
interrompue; et comme le developpement de tous les cas demanderoit des recherches
infinis, il se contente d'examiner un d'entr'eux, dans l'intention de faire comprendre
comment le calcul peut leur etre appliqué. celui qu'il choisit qui est le plus
simple de tous, est le cas où la lame soumise à l'action du stilet, est appuyée
a l'une et l'autre de ses extremités. il se propose, § 47, de trouver tous les
mouvemens de vibration dont une telle lame peut etre agitée.
Dans la suite du même §, l'auteur parvient à l'équation suivante
0 = 2 - 2e^{2\omega} - (e^{x\omega} - e^{\omega(2-x)})(e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\frac{\text{sin}\,\omega}{\text{sin}\,x\omega\;\text{sin}(1-x)\omega}.
il remarque que la question est réduite
à tirer de cette équation les valeurs de l'angle \omega: mais il ajoute qu'il n'ose
entreprendre cetravail à cause de la complication des formules, et qu'il suffit
d'avoir montré dans celieu par qu'elle méthode on peut traiter ces difficiles
questions. Cependant, après avoir établi que les suppositions x = 0 et x = 1 menent à
conclure \omega = 0, qui est la valeur qui convient au repos dela lame, il observe que
le cas où x = \frac{1}{2} merite d'être développé. L'équation finale se partage dans ce cas endeux
facteurs qui, egalés séparement a zéro, donnent lieu à deux solutions analisées
§ 49 et 50 pour la première, § 51 pour la seconde; et l'auteur termine en remarquant
qu'il est digne d'attention que les deux moitiés dela lame puissent vibrer dedeux
manières, l'une qui se rapporte au cas IV, et l'autre qui appartient au cas V.
En tête, au milieu, « (1) » souligné ; en haut à droite « 156 », à
l'encre. Une pièce nouvelle commence ici, en belle copie, d'une écriture
régulière et presque sans rature : le titre sur deux lignes, souligné d'un court trait au milieu, puis un
exposé à la troisième personne (« l'auteur ») du problème du § 47
d'Euler, la lame appuyée aux deux bouts et soumise au stilet. « e virgæ »
est écrit ainsi pour « et virgæ » ; « P 1 » pour la première partie du
volume. « p. 103 » est la page par laquelle s'ouvre aussi la copie latine
de ce volume (vue 144). L'équation est écrite dans la ligne, suivie d'un
point et de « il remarque… » ; elle est détachée ici. Les renvois
« § 49 et 50 » et « § 51 » sont lus sur la page, le 4 tracé comme ailleurs
à la façon d'un « b ». Le texte occupe les deux tiers du feuillet et
s'arrête sur « au cas V. », le bas étant blanc. Un cachet de la Bibliothèque royale se devine, très pâle, à droite de la
page : c'est celui du verso, vu par transparence. Le verso (vue 321,
hors de ce lot) est blanc à la vignette, hors ce cachet.