Numérotation des feuillets. Chaque feuillet écrit porte deux nombres,
et les versos blancs n'en portent aucun : au milieu de la tête, entre
parenthèses et barré d'un trait, le numéro de page de la pièce, (2) à la
vue 322, puis (3) à (11) aux vues 324 à 340 ; en haut à droite, d'une
plume plus large et d'une écriture plus ronde, 157 à la vue 322, puis 158
à 166 aux vues 324 à 340, un par feuillet et sans lacune. Cette seconde
série, tracée à la plume, prolonge la série à l'encre relevée dans les
lots précédents de ce volume ; aucune foliotation au crayon n'a été lue,
et aucun « f. » n'est donc porté. Tous ces nombres ont été lus sur la
vue ; aucun n'est déduit. Les vues 321, 323, 325, 327, 329, 331, 333,
335, 337 et 339 sont les versos blancs des feuillets qui les précèdent et
ne sont pas transcrites ; la vue 321 porte le timbre « Bibliothèque
royale ». La pièce commence à la vue 320 (lot 16), sous le titre
« Remarques sur le mémoire d'Euler », et se poursuit au-delà de la vue
340.
fig. 7
I La première réflexion qui se présente dans l'examen de cette seconde solution, est
qu'elle sort de l'état delaquestion; car l'énoncé du problème indique assez que les
mouvemens dela lame soumise à l'action du stilet en L, doivent être compris au
nombre detous les mouvemens réguliers possibles dont la même lame est susceptible
lorsqu'elle a ses extremités appuyés; et les formules employés à trouver l'équation
finale, conforment cette remarque puisque l'auteur à recours aquatre équations
dépendantes de l'état des extremités. Cela posé, il en résulte, ce me semble,
que la condition \text{sin.}\,\omega = 0 qu'il a établi devoir toujours être remplie pour tous les
mouvemens réguliers possibles dela lame dont il s'agit (voyez cas IV §35), doit
s'accorder avec la solution du présent problème; et c'est effectivement cequ'on
trouve pour la première solution; savoir, \text{sin}\,\frac{1}{2}\omega = 0: mais lamême chose
n'a pas lieu pour la seconde; car l'équation \text{tang}\,\frac{1}{2}\omega = \frac{e^{\omega}-1}{e^{\omega}+1} ne peut
s'accorder avec la condition \text{sin.}\,\omega = 0, que dans la seule supposition \omega = 0.
Cependant le respect que l'on doit aux opinions d'Euler, me détermine a
examiner le cas général et a chercher s'il est susceptible d'une solution
dans laquelle celle qui m'a inspiré des doutes, puisse est comprise.
2. Pour cela, je reprens l'équation (§ 47 d'Euler; savoir
0 = 2(1-e^{2\omega}) - (e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega})(e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\frac{\text{sin}\,\omega}{\text{sin}\,x\omega\,\text{sin}\,(1-x)\omega}
ou
0 = 2(1-e^{2\omega})\,\text{sin}\,x\omega\,\text{sin}\,(1-x)\omega - (1-e^{2(1-x)\omega})(e^{2x\omega}-1)\,\text{sin}\,\omega
Si on veut conserver l'analogie entre le cas général et celui ou
x = \frac{1}{2}, on peut diviser cette équation par le facteur e^{2x\omega}-1, duquel on
tire, comme dans le cas cité, \omega = 0; et elle se réduit par cette division à
En tête, au milieu, « (2) » biffé d'un trait ; en haut à droite
« 157 », à l'encre. Main de mise au net, régulière, presque sans
rature. Dans la marge de gauche, en face de la troisième ligne, « fig. 7 »
(lecture de la première syllabe incertaine). Le chiffre I en tête du
premier alinéa et le 2 du second sont ses numéros de paragraphe.
« cas IV §35 » : le I n'est qu'un trait court collé au V, et le signe
de paragraphe, tracé petit, se lit aussi « s ». Le § 35 d'Euler est le
problème de son cas IV, les deux extrémités appuyées, copié en latin aux
vues 181 à 183 de ce volume. À la dernière ligne du premier paragraphe, le
mot entre « puisse » et « comprise » se lit « est » ; le sens demande
« être ». La parenthèse ouverte avant « § 47 » n'est pas fermée. La
variable x, fraction de la longueur, est tracée d'une lettre proche
d'un \lambda. Le verso (vue 323) est blanc.
2\{1 + e^{2x\omega} + e^{4x\omega} + e^{6x\omega} \ldots\ldots + e^{2(1-x)\omega}\}\,\text{sin}\,x\omega\,\text{sin}\,(1-x)\omega + (1 - e^{2(1-x)\omega})\,\text{sin.}\,\omega = 0
J'observe que, par la nature delaquestion, x est toujours égal à une fraction, et
que, dans le cas des deux extrémités appuyés, cas dont il s'agit ici, cette fraction
est partie aliquote de l'unité, ou multiple d'une telle partie.
Lorsque le numérateur est l'unité, on trouve par les formules connues, d'abord,
pour le cas où le dénominateur dela même fraction x est un nombre impair,
\text{sin.}\,\omega = \frac{1}{x}\,\text{sin.}\,x\omega - \frac{1-x^2}{x^3.2.3}\,\text{sin}^3 x\omega + \frac{(1-x^2)(1-9x^2)}{x^5.2.3.4.5}\,\text{sin}^5 x\omega\ \&c.,
et ensuite, pour le cas ou le dénominateur de cette fraction x est un nombre pair,
\text{sin.}\,\omega = \text{cos}\,x\omega\left\{\frac{1}{x}\,\text{sin}\,x\omega - \frac{1-4x^2}{x^3\,2.3}\,\text{sin}^3 x\omega + \frac{(1-4x^2)(1-16x^2)}{x^5.2.3.4.5}\,\text{sin}^5 x\omega - \&c\right\}.
L'équation qu'il s'agit de résoudre, se réduit donc à l'une ou l'autre des formes
suivantes
2\{1 + e^{2x\omega} + e^{4x\omega} + e^{6x\omega} \ldots + e^{2(1-x)\omega}\}\,\text{sin}\,x\omega\,\text{sin}\,(1-x)\omega
+ (1-e^{2(1-x)\omega})\left\{\frac{1}{x} - \frac{1-x^2}{x^3.2.3}\,\text{sin}^2 x\omega + \frac{(1-x^2)(1-9x^2)}{x^5.2.3.4.5}\,\text{sin.}^4 x\omega - \&c\right\}\text{sin}\,x\omega = 0
2\{1 + e^{2x\omega} + e^{4x\omega} + e^{6x\omega} \ldots + e^{2(1-x)\omega}\}\,\text{sin.}\,x\omega\,\text{sin.}\,(1-x)\omega
+ (1-e^{2(1-x)\omega})\,\text{cos}\,x\omega\left\{\frac{1}{x} - \frac{1-4x^2}{x^3.2.3}\,\text{sin}^2 x\omega + \frac{(1-4x^2)(1-16x^2)}{x^5.2.3.4.5}\,\text{sin}^4 x\omega\right\}\text{sin}\,x\omega = 0
ainsi, dans l'un et l'autre cas, \text{sin}\,x\omega est un des facteurs de cette équation; et, en
égalant ce facteur à zéro, on a une solution qui se rapporte au cas IV et de
laquelle il résulte, comme dans la supposition x = \frac{1}{2}, \omega = \frac{i\pi}{x}, i étant un nombre
entier quelconque. on en conclut encore, comme dans cette supposition, que la
lame se partage alors en \frac{1}{x} parties de longueur xa, et que ces différentes
parties font leurs vibrations de la même manière que si elles étoient autant de
lames séparées et de pareille longueur, qui auroient leurs extrémités appuyés, tant
dans le point où est placé le stilet, que dans les autres points de repos que
l'on pourroit nommer sympatiques. Enfin il en résulte aussi que les sons
simples que les parties fractionnaires dela lame peuvent donner, sont exprimés
par les nombres suivans: \frac{\pi c\sqrt{2gb}}{xxaa}; \frac{4\pi c\sqrt{2gb}}{xxaa}; 9\frac{\pi c\sqrt{2gb}}{xxaa}; \frac{16\pi c\sqrt{2gb}}{xxaa}; &c.
Il est clair que la condition \text{sin.}\,\omega =0, qui, par la nature dela question, doit avoir lieu
en même tems que celle qui résulte dela solution de l'équation du problème,
En tête, au milieu, « (3) » biffé ; en haut à droite « 158 », à
l'encre. La page s'ouvre sur l'équation qui achève la phrase de la vue
322 (« elle se réduit par cette division à »). Dans la première des deux
« formes suivantes », le premier facteur est écrit sans « cos », dans la
seconde avec « \text{cos}\,x\omega » : c'est la différence des deux
développements de \text{sin.}\,\omega qui précèdent ; la seconde forme
n'a pas de « &c » dans son accolade. Le \pi est tracé comme deux « r »
liés. Après « la condition \text{sin.}\,\omega », à l'avant-dernière
ligne, un petit signe en indice, qui ressemble à une croix, tient
apparemment lieu de « =0 » ; lecture incertaine. « cas IV » : le I est un trait court collé au V, comme à la vue
322. « dénominateur » est
écrit deux fois avec un « n » repassé. Le verso (vue 325) est blanc.
est satisfaite ici, puisqu'elle résulte dela supposition \text{sin}\,x\omega = 0.
3. Cela posé, on peut encore suivre, dans la détermination des coëfficiens
\alpha, \beta, \gamma, \delta et \alpha', \beta', \gamma', \delta', l'analogie entre le cas général et celui qu'Euler a calculé;
car on trouve delamême maniere
\alpha = e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega};\quad \beta = e^{(2-x)\omega} - e^{x\omega};\quad \gamma = \frac{(e^{(2-x)\omega} - e^{x\omega})(e^{x\omega} - e^{-x\omega})}{\text{sin}\,x\omega};\quad \delta = 0
\alpha' = e^{x\omega} - e^{-x\omega};\quad \beta' = -e^{2\omega}(e^{x\omega} - e^{-x\omega});
\gamma' = \frac{(e^{(2-x)\omega} - e^{x\omega})(e^{x\omega} - e^{-x\omega})}{\text{sin.}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\,\text{tang.}\,\omega};
\delta' = \frac{(e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega})(e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{tang}\,\omega}{\text{sin.}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\,\text{tang.}\,\omega};
et, à cause de \text{cos.}\,\omega = 1 d'ou il résulte \text{sin.}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\,\text{tang}\,\omega = -\,\text{sin}\,(1-x)\omega, on peut écrire
\gamma' = -\frac{(e^{(2-x)\omega} - e^{x\omega})(e^{x\omega} - e^{-x\omega})}{\text{sin}\,(1-x)\omega}\qquad \delta' = \frac{(e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega})(e^{x\omega} - e^{-x\omega})}{\text{sin}\,(1-x)\omega}.
Si on multiplie donc les premiers coëfficiens par \text{sin}\,x\omega, et les seconds par \text{sin}\,(1-x)\omega,
cequi revient au même puisque ces deux sinus sont l'un et l'autre égaux
a zéro, on aura, comme dans le cas ou x = \frac{1}{2},
\alpha = 0,\quad \beta = 0,\quad \gamma = -(e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega})(e^{x\omega} - e^{-x\omega}),\quad \delta = 0
\alpha' = 0,\quad \beta' = 0,\quad \gamma' = (e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega})(e^{x\omega} - e^{-x\omega}),\quad \delta' = 0
parconséquent \gamma = -\gamma'; et on peut faire également ici \gamma = 1 \gamma' = -1
Ainsi, en prenant pour exemple le cas représenté par la fig. 7, et
supposant le stilet placé en L, l'équation qui déterminera le mouvement
de la partie EL, sera y = c\,\text{sin}\,(\zeta + t.\frac{\omega\omega c\sqrt{2gb}}{aa})\,\text{sin}\,x\omega; et, pour la partie
L^{\text{vi}}E', en tout semblable à la partie LL', on aura y = -c\,\text{sin}\,(\zeta + t.\frac{\omega\omega c\sqrt{2gb}}{aa})\,\text{sin}\,x\omega;
il est clair que le mouvement dela partie L'L'' est déterminé demême
par l'équation y = c\,\text{sin}\,(\zeta + t.\frac{\omega\omega c\sqrt{2gb}}{aa})\,\text{sin}\,x\omega, celui de la partie L''L''' par
l'équation y = -c\,\text{sin}\,(\zeta + t.\frac{\omega\omega c\sqrt{2gb}}{aa})\,\text{sin}\,x\omega; et ainsi de suite, en adoptant
le signe + pour les parties dela courbe qui sont situés audessus
de l'axe, et le signe - pour celles qui sont placés au dessous
du même axe, ou ligne de repos.
En tête, au milieu, « (4) » biffé ; en haut à droite « 159 », à
l'encre. Le premier mot, « est satisfaite », achève la phrase laissée
ouverte au bas de la vue 324. Le mot « cas », dans « le cas général »,
est repassé et empâté, non biffé ; la dernière lettre de « calculé » est
de même surchargée. Au signe d'égalité de la première valeur de
\gamma' s'ajoute un petit point en dessous, à droite, qui n'a pas été lu
comme un signe. Dans la seconde série de valeurs, après « \gamma = »,
un trait noir épais et empâté tient la place d'un signe moins, comme le
demande « \gamma = -\gamma' » à la ligne suivante ; il est donné comme
tel. L'exposant de L dans « L^{\text{vi}}E' » est d'une lecture
incertaine. Dans les quatre équations de y, le dernier facteur est
écrit « sin » suivi de la même lettre que la fraction x et de
\omega ; il est transcrit ainsi. Le verso (vue 327) est blanc.
4. Je reviens à présent à l'équation du problème: elle a pour second facteur
2\{1 + e^{2x\omega} + e^{4x\omega} + e^{6x\omega} \ldots + e^{2(1-x)\omega}\}\,\text{sin}\,(1-x)\omega
+ (1-e^{2(1-x)\omega})\left\{\frac{1}{x} - \frac{1-x^2}{2.3.x^3}\,\text{sin.}^2 x\omega + \frac{(1-x^2)(1-9x^2)}{2.3.4.5.x^5}\,\text{sin}^4 x\omega - \&c\right\}
ou
2\{1 + e^{2x\omega} + e^{4x\omega} + e^{6x\omega} \ldots + e^{2(1-x)\omega}\}\,\text{sin}\,(1-x)\omega
+ (1-e^{2(1-x)\omega})\left\{\frac{1}{x} - \frac{1-4x^2}{2.3.x^3}\,\text{sin.}^2 x\omega + \frac{(1-4x^2)(1-16x^2)}{2.3.4.5.x^5}\,\text{sin}^4 x\omega - \&c\right\}\text{cos}\,x\omega
suivant que le dénominateur de la fraction x est impair ou pair.
D'après les valeurs de \text{sin.}\,\omega rapportés cidessus N.o 2, et en admettant que la
condition \text{sin.}\,\omega = 0 doive s'accorder avec toutes les solutions de ce problème, on voit
qu'il faut nécessairement que \text{sin.}\,x\omega = 0, ou que ce soit le second facteur de \text{sin.}\,\omega
savoir: \frac{1}{x} - \frac{1-x^2}{2.3.x^3}\,\text{sin.}^2 x\omega + \&c. ou \left\{\frac{1}{x} - \frac{1-4x^2}{2.3.x^3}\,\text{sin.}^2 x\omega + \&c.\right\}\text{cos}\,x\omega suivant les cas, qui soit
egal a zéro. mais, si on adaptoit cette dernière supposition, le second facteur
de l'équation du problème se réduiroit, dans tous les cas, à 2\{1 + e^{2x\omega} + e^{4x\omega} \ldots + e^{2(1-x)\omega}\}\,\text{sin}\,(1-x)\omega
quantité qui ne peut être egalé a zéro, qu'en fesant \text{sin}\,(1-x)\omega = 0. ainsi, a cause
de \text{sin.}\,\omega = 0, on seroit ramené àla condition \text{sin.}\,x\omega = 0. En adoptant donc cette
dernière hypothèse, le second facteur dont il s'agit, se trouve réduit à (1-e^{2(1-x)\omega})\frac{1}{x};
et il est visible que cette quantité ne peut être egalé à zéro, que dans la
seule supposition \omega = 0. J'ai déjà fait cette remarque pour le cas ou x = \frac{1}{2}: mais
je vais prouver, deplus, que, dans le cas général, non seulement non seulement
le second facteur de l'équation du problème ne peut être egalé a zéro que
dans l'hypothèse \omega = 0 qui se rapporte au cas du repos dela lame, lorsqu'on a
égard a la condition \text{sin}\,\omega = 0, mais encore qu'indépendamment de cette condition,
il se trouve plusieurs valeurs de x, pour lesquelles l'équation qu'il s'agit de
résoudre, n'est susceptible d'aucune solution qui puisse se rapporter au cas V,
c'est-à-dire qui puisse mener a considérer les deux portions dela lame
séparés par le stilet comme fixés a ce point et appuyés a leur autre
extrémité, comme Euler le suppose dans sa seconde solution.
5 Pour cela, je reprens l'équation finale
En tête, au milieu, « (5) » biffé ; en haut à droite « 160 », à
l'encre. Un trait vertical fin traverse la première grande formule sans
en toucher la lecture. Dans « N.o 2 », le N est surchargé et empâté ; le
renvoi est à son paragraphe 2 (vues 322–324), où sont données les
valeurs de \text{sin.}\,\omega. « adaptoit » est écrit ainsi. Le « non
seulement » répété à la fin d'une ligne est biffé. Le chiffre après « au
cas » est un V dont le premier jambage est empâté, qui ressemble à un
4 ; il répond au « cas V » nettement écrit de la vue 330, où revient la
même idée (le stilet regardé comme un point fixe, l'autre extrémité
appuyée).
Le « r » d'« Euler » est surchargé. La page s'arrête sur « l'équation
finale », au tiers inférieur du feuillet, le reste restant blanc ; la
suite est à la vue 330. Le verso (vue 329) est blanc.
0 = 2(1-e^{2\omega}) - (e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega})(e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\frac{\text{sin.}\,\omega}{\text{sin}\,x\omega\,\text{sin}\,(1-x)\omega}
et je la transforme comme il suit
0 = \frac{2(e^{\omega} - e^{-\omega})}{(e^{(x-1)\omega} - e^{(1-x)\omega})(e^{x\omega} - e^{-x\omega})}\,.\,\text{sin}\,x\omega\,\text{sin}\,(1-x)\omega - \text{sin}\,\omega
0 = \frac{\begin{array}{c}(e^{(x-1)\omega} + e^{(1-x)\omega})(e^{x\omega} - e^{-x\omega}) \\ + (e^{x\omega} + e^{-x\omega})(e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\end{array}}{(e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})(e^{x\omega} - e^{-x\omega})}\,\text{sin.}\,x\omega\,\text{sin.}\,(1-x)\omega
- \{\text{sin}\,x\omega\,\text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}
0 = \frac{e^{(x-1)\omega} + e^{(1-x)\omega}}{e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega}}\,\text{sin.}\,x\omega\,\text{sin.}\,(1-x)\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega
+ \frac{e^{x\omega} + e^{-x\omega}}{e^{x\omega} - e^{-x\omega}}\,\text{sin}\,x\omega\,\text{sin}\,(1-x)\omega - \text{sin}\,(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega
et enfin
0 = \text{sin}\,x\omega\left\{\frac{e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega}}{e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega}}\,\text{sin.}\,(1-x)\omega - \text{cos.}\,(1-x)\omega\right\}
+ \text{sin}\,(1-x)\omega\left\{\frac{e^{x\omega} + e^{-x\omega}}{e^{x\omega} - e^{-x\omega}}\,\text{sin.}\,x\omega - \text{cos.}\,x\omega\right\}
si on pouvoit considérer le stilet placé en L comme fixé, il faudroit que
les deux conditions \frac{e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega}}{e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega}}\,\text{sin}\,(1-x)\omega = \text{cos}\,(1-x)\omega et \frac{e^{x\omega} + e^{-x\omega}}{e^{x\omega} - e^{-x\omega}}\,\text{sin}\,x\omega = \text{cos.}\,x\omega
ou \text{tang.}\,(1-x)\omega = \frac{e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega}}{e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega}} et \text{tang.}\,x\omega = \frac{e^{x\omega} - e^{-x\omega}}{e^{x\omega} + e^{-x\omega}} eussent lieu
en même tems; et on auroit alors une solution qui pourroit être rapportée
au cas V: mais on verra aisément que, dans la plupart des cas, ces deux
conditions ne peuvent exister àlafois pour aucune autre supposition que celle \omega = 0.
En effet, il faut au moins que les deux portions dela lame rendent le
mêmeson; car cette supposition est fondamentale. Or, si l'équation
\text{tang}\,x\omega = \frac{e^{x\omega} - e^{-x\omega}}{e^{x\omega} + e^{-x\omega}} a lieu pour la portion EL de longueur xa, les sons
simples que cette portion pourra rendre seront exprimés par les nombres
suivans: \frac{25\pi c\sqrt{2gb}}{16xxaa}; \frac{81\pi c\sqrt{2gb}}{16xxaa}; \frac{169\pi c\sqrt{2gb}}{16xxaa}; \frac{289\pi c\sqrt{2gb}}{16xxaa}; &c. (Voyez Memoire d'Euler § 40);
et, en supposant en même tems que l'autre équation \text{tang}\,(1-x)\omega = \frac{e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega}}{e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega}}
ait pareillement lieu pour la portion LF de longueur (1-x)a, les sons simples
que cette portion pourra rendre, seront exprimés par les nombres
\frac{25\pi c\sqrt{2gb}}{16(1-x)^2 aa};\quad \frac{81\pi c\sqrt{2gb}}{16(1-x)^2 aa};\quad \frac{169\pi c\sqrt{2gb}}{16(1-x)^2 aa};\quad \frac{289\pi c\sqrt{2gb}}{16(1-x)^2 aa},\ \&c.
et il est clair, en fesant pour plus desimplicité x = \frac{1}{x'} et parconséquent (1-x)^2 = \frac{(1-x')^2}{x'x'},
qu'aucun nombre de la première suite ne pourra être égal aux nombre quelconques
dela seconde, lorsque x'-1, sera un nombre pair ou un nombre impair delaforme 4n+3.
En tête, au milieu, « (6) » biffé ; en haut à droite « 161 », à
l'encre. La page s'ouvre sur « l'équation finale » annoncée au bas de la
vue 328, qui est celle du § 47 d'Euler déjà écrite à la vue 322. Dans
les deux dénominateurs de la troisième et de la quatrième équation, les
exposants sont surchargés : « (1-x)\omega » et « (x-1)\omega » sont
écrits sur l'ordre inverse ; la leçon finale est donnée. Dans la
deuxième équation, le dénominateur garde l'ordre
e^{(x-1)\omega} - e^{(1-x)\omega}. L'extrémité de la lame opposée à E
est ici appelée F (« la portion LF »), la lettre étant nettement formée.
Le verso (vue 331) est blanc.
6. J'ai voulu entrer dans tous ces détails, àfin d'être autorisée a conclure qu'Euler
a été induit en erreur, lorsqu'il a cru pouvoir admettre sa seconde solution
dans laquelle il suppose seulement que les deux portions EL, LE' puissent se mouvoir
en même tems; et c'est pourquoi j'ai fait voir que cette condition même ne peut
pas être remplie pour toutes les valeurs possibles de x. D'ailleurs, quelque
répugnance que l'on puisse avoir à devier de l'opinion d'Euler, on est pourtant
forcé de convenir que, sans sortir du sujet de ce mémoire, il a luimême varié
de sentiment. En effet, quoique, dans sa methodus inveniendi curvas &c,
il ait suivi, pour l'analyse du cas où les deux extrémités de la lame élastique
vibrante sont libres, une méthode qui ne diffère pas essentiellement de celle qu'il
a depuis adopté dans son mémoire de 1779, il s'est pourtant décidé, dans son
premier travail, à rejetter toutes les solutions qui donnent lieu à un nombre
impair de nœuds. la raison qu'il en aporte, est qu'il existeroit alors un
mouvement giratoire dela lame autour du nœud placé aumilieu de cette même lame
(V. methodus &c. P. 298 § 83); et, au contraire, il a admis dans son mémoire les solutions qu'il
avoit d'abord rejettés, et a simplement employé la considération du mouvement
giratoire, à prouver que, dans le mouvement le plus simple de la lame élastique
vibrante dont les deux extrémités sont libres, la courbe doit couper l'axe en deux
points (V. Memoire § 21).
7. Je reviens encore à la première solution d'Euler. on voit qu'elle est générale,
et qu'elle montre comment il s'établit un nombre de nœuds dépendant dela
valeur de x; car, puisqu'on a y = 0 par la supposition \text{sin}\,x\omega = 0, on aura
encore y = 0, pour les points qui correspondent aux sinus multiples tels que
\text{sin.}\,2x\omega \text{sin.}\,3x\omega, &c.: d'où il résulte que le mouvement dela lame est lemême,
soit qu'on place le stilet soit placé a l'un ou l'autre de ces points, pourvu toutefois
qu'en désignant par \text{sin}\,nx\omega un des sinus de cette suite, n ne soit pas facteur du
dénominateur de la fraction x; car alors la supposition \text{sin}\,nx\omega = 0, n'entraîneroit pas nécessairement \text{sin}\,x\omega = 0.
En tête, au milieu, « (7) » biffé ; en haut à droite « 162 », à
l'encre. « methodus inveniendi curvas &c » est souligné sur le
feuillet. Plusieurs mots sont surchargés sans être biffés : « tems »,
« pas » en tête de ligne, « D'ailleurs », « l'opinion ». Dans « soit
qu'on place le stilet », « qu'on » est écrit sur une autre leçon et
« le » est ajouté au-dessus de la ligne ; « soit placé », qui suivait
« stilet », est biffé. La dernière ligne est serrée contre le bord et
son dernier « =0 » est à peine formé. Le reste du feuillet est blanc.
Le verso (vue 333) est blanc.
Il résulte encore de cette solution que tout mouvement régulier, et parconséquent
tout son mesurable, est impossible à obtenir de la lame dont les deux extrémités
sont appuyés, lorsque le stilet est placé à tout autre point qu'à une division
aliquote de la longueur de la même lame. on voit en effet qu'excepté
ce cas, les conditions \text{sin.}\,\omega = 0 et \text{sin.}\,x\omega = 0 n'ont pas lieu en même tems,
et que l'équation finale du problème n'a plus \text{sin}\,x\omega pour facteur.
Ces observations établissent les plus grands rapports entre les circonstances
du mouvement d'une telle lame et celles qui ont lieu pour la corde vibrante:
mais malheureusement ce cas des deux extrémités appuyés est le seul où de
semblables analogies se fassent remarquer
Je me propose apresent d'appliquer la methode d'Euler au cas où le stilet
est placé dans un point quelconque de la longueur d'une lame élastique
vibrante dont les deux extrémités sont libres. L'importance de ce cas^{\times} m'engage
àdevelopper ici les calculs qui y sont relatifs.
\times N.ta Les vibrations transversales des plaques élastiques carrées y sont comprises, puisque la largeur n'influe pas (V. traité d'acoustique de Chladni)
Problème
8. Si une lame élastique, libre à l'une et à l'autre de ses extrémités,
est soumise à l'action d'un stilet dans un point quelconque de sa longueur:
trouver tous les mouvemens de vibration dont elle est susceptible?
Solution
Je reprens les équations
\begin{align*}
&\text{I} && \alpha e^{x\omega} + \beta e^{-x\omega} + \gamma\,\text{sin.}\,x\omega + \delta\,\text{cos.}\,x\omega = 0\\
&\text{II.} && \alpha' e^{x\omega} + \beta' e^{-x\omega} + \gamma'\,\text{sin.}\,x\omega + \delta'\,\text{cos}\,x\omega = 0\\
&\text{III} && \alpha e^{x\omega} - \beta e^{-x\omega} + \gamma\,\text{cos}\,x\omega - \delta\,\text{sin}\,x\omega = \alpha' e^{x\omega} - \beta' e^{-x\omega} + \gamma'\,\text{cos}\,x\omega - \delta'\,\text{sin.}\,x\omega\\
&\text{IV} && (\alpha-\alpha')e^{x\omega} + (\beta-\beta')e^{-x\omega} - (\gamma-\gamma')\,\text{sin}\,x\omega - (\delta-\delta')\,\text{cos}\,x\omega = 0
\end{align*}
données par Euler dans l'analyse du problème semblable relatif au cas où les
extrémités dela lame sont l'une et l'autre appuyés (voyez §47), parcequ'il est clair que ces équations
sont également applicables au cas présent, puisqu'elles sont indépendantes de l'état des
extrémités.
En tête, au milieu, « (8) » biffé ; en haut à droite « 163 », à
l'encre. Le premier alinéa achève le paragraphe 7 de la vue 332. La note
marginale, appelée par une croix après « ce cas », est écrite dans la
marge de gauche, encadrée d'un trait, et commence par « N.ta » (nota) ;
le mot « traité » y est surchargé. « Problème » et « Solution » sont
centrés et soulignés sur le feuillet. « (voyez §47) » est ajouté
au-dessus de la ligne, après « appuyés » ; le § 47 d'Euler, la lame
fixée en un point intermédiaire L, est copié en latin à partir de la vue
192. Le verso (vue 335) est blanc.
Maintenant donc, en fesant successivement x = 0 et x = 1, il résultera quatre équations
de la considération des extrémités savoir: (V. Memoire d'Euler § 19)
\text{V.}\ \alpha - \beta = \gamma,\qquad \text{VI}\ \alpha + \beta = \delta
\text{VII}\ \alpha' e^{\omega} + \beta' e^{-\omega} - \gamma'\,\text{sin.}\,\omega - \delta'\,\text{cos}\,\omega = 0 \quad\text{et}\quad \text{VIII}\ \alpha' e^{\omega} - \beta' e^{-\omega} - \gamma'\,\text{cos.}\,\omega + \delta'\,\text{sin.}\,\omega = 0
ainsi on aura, comme dans le cas des extrémités appuyés, huit équations pour
déterminer les huit coëfficiens \alpha, \beta, \gamma, \delta et \alpha', \beta', \gamma', \delta'; et l'on parviendra demême
à une équation finale, de laquelle on pourra tirer la valeur d'\omega.
Pour cela, je commence par multiplier l'équation VII par \text{sin.}\,\omega, et l'équation VIII
par \text{cos.}\,\omega; puis je les ajoute l'une a l'autre, cequi donne
\alpha' e^{\omega}(\text{sin.}\,\omega + \text{cos.}\,\omega) + \beta' e^{-\omega}(\text{sin}\,\omega - \text{cos.}\,\omega) = \gamma'
je multiplie ensuite l'équation VII par \text{cos.}\,\omega, et l'équation VIII par \text{sin.}\,\omega; cequi donne,
en les retranchant l'une de l'autre,
\alpha' e^{\omega}(\text{cos.}\,\omega - \text{sin.}\,\omega) + \beta' e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega + \text{cos.}\,\omega) = \delta'
En substituant les présentes valeurs de \gamma' et \delta' dans l'équation II, elle devient
\text{II.}\ \alpha' e^{x\omega} + \beta' e^{-x\omega} + \{\alpha' e^{\omega}(\text{sin.}\,\omega + \text{cos.}\,\omega) + \beta' e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega - \text{cos.}\,\omega)\}\,\text{sin.}\,x\omega
+ \{\alpha' e^{\omega}(\text{cos.}\,\omega - \text{sin.}\,\omega) + \beta' e^{-\omega}(\text{sin}\,\omega + \text{cos.}\,\omega)\}\,\text{cos}\,x\omega = 0
ou
\alpha'\{e^{x\omega} + e^{\omega}(\text{sin.}\,\omega\,\text{sin.}\,x\omega + \text{cos.}\,\omega\,\text{sin.}\,x\omega + \text{cos.}\,\omega\,\text{cos.}\,x\omega - \text{sin.}\,\omega\,\text{cos}\,x\omega)\}
+ \beta'\{e^{-x\omega} + e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega\,\text{sin.}\,x\omega - \text{cos.}\,\omega\,\text{sin.}\,x\omega + \text{sin.}\,\omega\,\text{cos.}\,x\omega + \text{cos.}\,\omega\,\text{cos}\,x\omega)\} = 0
ou enfin
\alpha'\{e^{x\omega} + e^{\omega}(\text{cos}\,(1-x)\omega - \text{sin}\,(1-x)\omega)\} + \beta'\{e^{-x\omega} + e^{-\omega}(\text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega)\} = 0
d'où on tire
\beta' = -\frac{\alpha' e^{\omega}\{e^{(x-1)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega - \text{sin}\,(1-x)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}
parconséquent
\gamma' = \alpha' e^{\omega}(\text{sin.}\,\omega + \text{cos.}\,\omega) + \beta' e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega - \text{cos.}\,\omega)
= \frac{\begin{array}{c}\alpha'(\text{sin.}\,\omega + \text{cos.}\,\omega)\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\} \\ - \alpha'(\text{sin.}\,\omega - \text{cos.}\,\omega)\{e^{(x-1)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega - \text{sin}\,(1-x)\omega\}\end{array}}{e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}
= \frac{\alpha'\{(e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega + (e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{cos.}\,\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos.}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}
+ \frac{\begin{array}{c}\alpha'\{\text{sin.}\,\omega\,\text{cos.}\,(1-x)\omega + \text{sin.}\,\omega\,\text{sin.}\,(1-x)\omega + \text{cos.}\,\omega\,\text{cos}\,(1-x)\omega + \text{cos.}\,\omega\,\text{sin}\,(1-x)\omega \\ - \text{sin.}\,\omega\,\text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin.}\,\omega\,\text{sin}\,(1-x)\omega + \text{cos}\,\omega\,\text{cos}\,(1-x)\omega - \ill{}\}\end{array}}{e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}
En tête, au milieu, « (9) » biffé ; en haut à droite « 164 », à
l'encre. Le paragraphe continue la solution du problème posé à la vue
334. Le numéro du paragraphe d'Euler cité à la deuxième ligne se lit
« 19 », le second chiffre à longue queue. Les équations V et VI sont
écrites sur une même ligne, VII et VIII sur la suivante. Dans la
première grande équation de \gamma', l'exposant (1-x)\omega du
premier crochet est surchargé. Le dernier terme de la dernière ligne,
serré contre le bord droit du feuillet, est un groupe empâté suivi de ce
qui semble « sin », et n'est pas lu ; le développement demanderait
\text{cos}\,\omega\,\text{sin}\,(1-x)\omega. La page s'arrête sur ce
calcul ; la suite est à la vue 338. Le verso (vue 337) est blanc.
enfin
\gamma' = \frac{\alpha'\{(e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega + (e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{cos.}\,\omega + 2\,\text{cos.}\,x\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}
on trouve demême
\delta' = \alpha' e^{\omega}(\text{cos.}\,\omega - \text{sin.}\,\omega) + \beta' e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega + \text{cos.}\,\omega)
= \frac{\begin{array}{c}\alpha'(\text{cos.}\,\omega - \text{sin.}\,\omega)\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin.}\,(1-x)\omega\} \\ - \alpha'(\text{sin.}\,\omega + \text{cos.}\,\omega)\{e^{(x-1)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega - \text{sin}\,(1-x)\omega\}\end{array}}{e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}
= \frac{\alpha'\{(e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos.}\,\omega - (e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}
+ \frac{\begin{array}{c}\alpha'\{(\text{cos.}\,\omega - \text{sin.}\,\omega)(\text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega) \\ - (\text{sin}\,\omega + \text{cos}\,\omega)(\text{cos}\,(1-x)\omega - \text{sin}\,(1-x)\omega)\}\end{array}}{e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}
enfin
\delta' = \frac{\alpha'\{(e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos.}\,\omega - (e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega - 2\,\text{sin.}\,x\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin.}\,(1-x)\omega\}}
Je prens ensuite les valeurs de \gamma et \delta données par les équations V et VI pour les
substituer dans l'équation I. \alpha e^{x\omega} + \beta e^{-x\omega} + \gamma\,\text{sin}\,x\omega + \delta\,\text{cos.}\,x\omega = 0: elle devient par là
\alpha e^{x\omega} + \beta e^{-x\omega} + (\alpha - \beta)\,\text{sin.}\,x\omega + (\alpha + \beta)\,\text{cos.}\,x\omega = 0
ou … …
\alpha\{e^{x\omega} + \text{sin.}\,x\omega + \text{cos.}\,x\omega\} + \beta\{e^{-x\omega} - \text{sin.}\,x\omega + \text{cos.}\,x\omega\} = 0
d'où on tire
\beta = -\frac{\alpha\{e^{x\omega} + \text{sin.}\,x\omega + \text{cos.}\,x\omega\}}{e^{-x\omega} - \text{sin.}\,x\omega + \text{cos.}\,x\omega}
et parconséquent
\gamma = \alpha - \beta = \frac{\alpha\{e^{-x\omega} - \text{sin.}\,x\omega + \text{cos.}\,x\omega + e^{x\omega} + \text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\}}{e^{-x\omega} - \text{sin.}\,x\omega + \text{cos.}\,x\omega}
= \frac{\alpha\{e^{x\omega} + e^{-x\omega} + 2\,\text{cos.}\,x\omega\}}{e^{-x\omega} - \text{sin.}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega}
\delta = \alpha + \beta = \frac{\alpha\{e^{-x\omega} - \text{sin.}\,x\omega + \text{cos.}\,x\omega - e^{x\omega} - \text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}}{e^{-x\omega} - \text{sin.}\,x\omega + \text{cos.}\,x\omega}
= -\frac{\alpha\{e^{x\omega} - e^{-x\omega} + 2\,\text{sin}\,x\omega\}}{e^{-x\omega} - \text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega}
Il faut àprésent substituer les valeurs que l'on vient de trouver pour les coëfficiens
\beta, \gamma, \delta et \beta', \gamma', \delta' dans l'équation
\text{III.}\ \alpha e^{x\omega} - \beta e^{-x\omega} + \gamma\,\text{cos.}\,x\omega - \delta\,\text{sin.}\,x\omega = \alpha' e^{x\omega} - \beta' e^{-x\omega} + \gamma'\,\text{cos.}\,x\omega - \delta'\,\text{sin.}\,x\omega.
En tête, au milieu, « (10) » biffé ; en haut à droite « 165 », à
l'encre. La page reprend le calcul de \gamma' laissé au bas de la vue
336. Le « sin » du premier crochet de la deuxième expression de
\delta' est surchargé, comme « pour » à l'avant-dernière ligne. Après
« ou », à la ligne qui suit l'équation I transformée, une ligne de points
mène à l'équation ; elle est rendue par des points de suspension. La
page s'arrête sur l'équation III, sans conclure ; la suite n'est pas
dans ce lot (voir la vue 340). Le verso (vue 339) est blanc.
par cette substitution le premier membre devient:
\frac{\begin{array}{c}\alpha\{1 - e^{x\omega}(\text{sin.}\,x\omega - \text{cos.}\,x\omega)\} + \alpha\{1 + e^{-x\omega}(\text{sin.}\,x\omega + \text{cos.}\,x\omega)\} \\ + \alpha\{e^{x\omega} + e^{-x\omega} + 2\,\text{cos}\,x\omega\}\,\text{cos}\,x\omega + \alpha\{e^{x\omega} - e^{-x\omega} + 2\,\text{sin.}\,x\omega\}\,\text{sin.}\,x\omega\end{array}}{e^{-x\omega} - \text{sin.}\,x\omega + \text{cos.}\,x\omega}
= \frac{\begin{array}{c}\alpha\{4 - (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{sin.}\,x\omega + (e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{cos.}\,x\omega \\ + (e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{cos.}\,x\omega + (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{sin.}\,x\omega\}\end{array}}{e^{-x\omega} - \text{sin.}\,x\omega + \text{cos.}\,x\omega}
= \frac{2\alpha\{2 + (e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega\}}{e^{-x\omega} - \text{sin}\,x\omega + \text{cos.}\,x\omega}
et le second membre de la même équation
\frac{\begin{array}{c}\alpha' e^{(x-1)\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\} \\ + \alpha' e^{(1-x)\omega}\{e^{(x-1)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega - \text{sin}\,(1-x)\omega\}\end{array}}{e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}
+ \frac{\alpha'\{(e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega + (e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{cos.}\,\omega + 2\,\text{cos}\,x\omega\}\,\text{cos.}\,x\omega}{e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}
- \frac{\alpha'\{(e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos.}\,\omega - (e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega - 2\,\text{sin.}\,x\omega\}\,\text{sin.}\,x\omega}{e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}
= \frac{\alpha'\{4 + (e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}\,(1-x)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}
+ \frac{\begin{array}{c}\alpha'\{(e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})[\text{cos.}\,x\omega\,\text{cos.}\,\omega + \text{sin.}\,x\omega\,\text{sin.}\,\omega) \\ + (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})(\text{sin.}\,\omega\,\text{cos.}\,x\omega - \text{cos.}\,\omega\,\text{sin.}\,x\omega)\}\end{array}}{e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}
= \frac{2\alpha'\{2 + (e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}
Ainsi l'équation III se réduit, en dernière analyse, à
\frac{\alpha\{2 + (e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega\}}{e^{-x\omega} - \text{sin.}\,x\omega + \text{cos.}\,x\omega} = \frac{\alpha'\{2 + (e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}
ou à
\frac{\alpha e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}{\alpha'\{e^{-x\omega} - \text{sin.}\,x\omega + \text{cos.}\,x\omega\}} = \frac{2 + (e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega}{2 + (e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{cos.}\,x\omega}
Il faut encore avoir recours à l'équation IV, que l'on peut écrire comme il suit:
\alpha e^{x\omega} + \beta e^{-x\omega} - \gamma\,\text{sin.}\,x\omega - \delta\,\text{cos.}\,x\omega = \alpha' e^{x\omega} + \beta' e^{-x\omega} - \gamma'\,\text{sin.}\,x\omega - \delta'\,\text{cos}\,x\omega
En tête, au milieu, « (11) » biffé ; en haut à droite « 166 », à
l'encre. La page poursuit la substitution annoncée au bas de la vue 338.
Le « 4 » par lequel s'ouvrent les deux accolades « \alpha\{4 - \ldots »
et « \alpha'\{4 + \ldots » est tracé sur un autre chiffre ; le « sin »
du dénominateur de la première fraction est surchargé. Le crochet ouvert
« [ » devant « \text{cos.}\,x\omega\,\text{cos.}\,\omega » est fermé par
une parenthèse ; la leçon est gardée. « l'équation IV » : le I est un
trait court collé au V. Le feuillet s'arrête sur l'équation IV réécrite,
au bas de la page ; la suite n'est pas dans ce lot. Le verso (vue 341)
est blanc, avec le texte de la vue 340 visible par transparence.