Français 9115 · lot 18 · vues 341–360 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
Lecture automatique — non vérifiée

Numérotation des feuillets. Chaque feuillet écrit porte deux nombres, et les dos blancs n'en portent aucun : au milieu de la tête, entre parenthèses et barré, le numéro de page de cette mise au net, (12) à (20) aux vues 342 à 358 ; en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, 167 à 175 aux mêmes vues, un par feuillet et sans lacune. Cette seconde série occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au crayon, et elle prolonge la série à l'encre relevée dans les lots précédents de ce volume ; aucune foliotation au crayon n'a été lue ici, et aucun « f. » n'est donc porté. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Les vues 341, 343, 345, 347, 349, 351, 353, 355, 357 et 360 sont les dos blancs des feuillets ; la vue 359 reprend le feuillet de la vue 358 ; aucune n'est transcrite.

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en ajoutant I. \(\alpha e^{\lambda\omega} + \beta e^{-\lambda\omega} + \gamma\,\text{sin}\,\lambda\omega + \delta\,\text{cos}\,\lambda\omega = 0\) au premier membre,

II. \(\alpha' e^{\lambda\omega} + \beta' e^{-\lambda\omega} + \gamma'\,\text{sin}\,\lambda\omega + \delta'\,\text{cos}\,\lambda\omega = 0\) au second, et divisant par 2; il en resulte \(\alpha e^{\lambda\omega} + \beta e^{-\lambda\omega} = \alpha' e^{\lambda\omega} + \beta' e^{-\lambda\omega}\). cette dernière équation devient, en y mettant pour \(\beta\) et \(\beta'\) les valeurs cidessus \[ \frac{\alpha e^{\lambda\omega}\{e^{-\lambda\omega} - \text{sin}\,\lambda\omega + \text{cos}\,\lambda\omega\} - \alpha e^{-\lambda\omega}\{e^{\lambda\omega} + \text{sin}\,\lambda\omega + \text{cos}\,\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega} - \text{sin}\,\lambda\omega + \text{cos}\,\lambda\omega} \] \[ = \frac{\begin{array}{c}\alpha' e^{(\lambda-1)\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega} + \text{cos}\,(1-\lambda)\omega + \text{sin}\,(1-\lambda)\omega\} \\ {} - \alpha' e^{(1-\lambda)\omega}\{e^{(\lambda-1)\omega} + \text{cos}\,(1-\lambda)\omega - \text{sin}\,(1-\lambda)\omega\}\end{array}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega} + \text{cos}\,(1-\lambda)\omega + \text{sin}\,(1-\lambda)\omega\}} \] ou, \[\begin{align*} &\frac{\alpha\{(e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega})\,\text{cos}\,\lambda\omega - (e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega})\,\text{sin}\,\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega} - \text{sin}\,\lambda\omega + \text{cos}\,\lambda\omega} \\ &= \frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - (e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega} + \text{cos}\,(1-\lambda)\omega + \text{sin}\,(1-\lambda)\omega} \end{align*}\] D'ou on tire, \[\begin{align*} &\frac{\alpha e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega} + \text{cos}\,(1-\lambda)\omega + \text{sin}\,(1-\lambda)\omega\}}{\alpha'\{e^{-\lambda\omega} - \text{sin}\,\lambda\omega + \text{cos}\,\lambda\omega\}} \\ &= \frac{(e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - (e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-\lambda)\omega}{(e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega})\,\text{cos}\,\lambda\omega - (e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega})\,\text{sin}\,\lambda\omega} \end{align*}\]

Il ne s'agit plus àprésent que demettre à la place du premier membre de cette équation sa valeur déduite de l'équation III, pour conclure \[ \{2 + (e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}\,\text{cos}\,(1-\lambda)\omega\}\{(e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega})\,\text{sin}\,\lambda\omega - (e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega})\,\text{cos}\,\lambda\omega\} \] \[ + \{2 + (e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega})\,\text{cos}\,\lambda\omega\}\{(e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - (e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-\lambda)\omega = 0 \] cette dernière équation est l'équation finale, dont il faut tirer la valeur de l'angle \(\omega\).

9. Il est aisé devoir que, dans le cas ou \(\lambda = \frac{1}{2}\), l'équation finale se réduit à \[ 2\{2 + (e^{\frac{1}{2}\omega} + e^{-\frac{1}{2}\omega})\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega\}\{(e^{\frac{1}{2}\omega} + e^{-\frac{1}{2}\omega})\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}\omega - (e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega})\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega\} = 0 \] et que cette équation est susceptible de deux solutions, savoir: \[ (e^{\frac{1}{2}\omega} + e^{-\frac{1}{2}\omega})\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}\omega - (e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega})\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega = 0 \quad\text{et}\quad 2 + (e^{\frac{1}{2}\omega} + e^{-\frac{1}{2}\omega})\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega = 0. \] La première est relative au cas où le stilet est consideré comme simplement appuyé aumilieu de la lame dont les extremités sont libres; et elle montre que les deux moitiés de cette lame doivent alors vibrer comme deux lames séparés de longueur \(\frac{1}{2}a\) qui auroient chacune une de leurs extremités libre, et l'autre appuyé; car la condition \(\frac{e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega}}{e^{\frac{1}{2}\omega} + e^{-\frac{1}{2}\omega}} = \text{tang}\,\tfrac{1}{2}\omega\) est celle qui convient au mouvement d'une telle lame. Cette solution s'accorde au reste avec l'équation dépendante de l'état des extremités dela lame primitive, En tête, au milieu, « (12) » entre parenthèses, barré d'un trait horizontal ; en haut à droite « 167 », à l'encre, d'une écriture plus ronde. Le texte fait suite à la vue 340 (« (11) », « 166 »), qui n'est pas de ce lot : les équations I, II, III et les valeurs de \(\beta\) et \(\beta'\) « cidessus » y sont. La lettre écrite ici \(\lambda\) est un petit signe crochu, proche d'un « A » ou d'un « r », que le passage sur la copie d'Euler a déjà rendu par \(\lambda\) ; \(\alpha\) est tracé comme un « u » et \(\gamma\) comme un « v ». Dans l'égalité qui suit « ou, », l'accolade du dénominateur de droite n'est pas refermée ; dans les deux lignes de l'équation finale, une parenthèse puis une accolade fermantes manquent sur le feuillet ; on les laisse manquer. Au premier membre de la première égalité, le second terme porte \(\alpha\) et non \(\alpha'\), comme on lit. « séparés » et « appuyé » sont ainsi accordés sur le feuillet. Le paragraphe porte le numéro 9, écrit dans la ligne.

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car on a (Voye. M. d'Euler, cas I § 5) \(\text{cos}\,\omega = \frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega} + 1}\), d'où l'on tire, en prenant \(\text{sin}\,\omega\) positif comme il convient ici, \(2\,\text{cos}^2\,\tfrac{1}{2}\omega = \frac{(e^{\omega} + 1)^2}{e^{2\omega} + 1}\), \(2\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}\omega\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega = \frac{e^{2\omega} - 1}{e^{2\omega} + 1}\), \(\text{tang}\,\tfrac{1}{2}\omega = \frac{e^{\omega} - 1}{e^{\omega} + 1}\), qui est précisément la condition résultante de la première solution.

À l'égard de la seconde solution, elle donne \(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}\omega} + e^{-\frac{1}{2}\omega}} = -\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega\): ainsi elle meneroit à conclure que la lame primitive peut encore être considerée comme separée en deux autres lames de longueur \(\frac{1}{2}a\) qui auroient chacune une de leurs extremités fixée au point d'application du stilet et l'autre libre. mais la condition \(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}\omega} + e^{-\frac{1}{2}\omega}} = -\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega\) ne peut s'accorder avec l'équation \(\text{cos}\,\omega = \frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega} + 1}\) dépendante de l'état des extremités, que dans la seule supposition \(\omega = 0\). Il faut donc rejetter cette seconde solution, comme j'ai montré qu'il falloit le faire pour celle qui lui est analogue dans le cas examiné par Euler

10 Jusqu'ici il existe la plus grande analogie entre le cas où les deux extremités sont appuyés et celui ou les deux extremités sont libres; car, de part et d'autre, la supposition \(\lambda = \frac{1}{2}\), donne des solutions semblables, quant a la considération de l'effet de l'application du stilet: mais malheureusement un examen plus approfondi du cas présent, fait appercevoir de grandes différences. En effet, dans le cas des extremités appuyés, la première solution relative à la supposition \(\lambda = \frac{1}{2}\) n'est qu'un cas particulier dela solution générale, dans laquelle \(\lambda\) peut être une fraction quelconque aliquote de l'unité; desorte que, quelque soit celle que l'on adopte, la lame primitive peut toujours être considerée comme separée en deux autres lames des longueurs \(\lambda a\) et \((1-\lambda)a\), qui auroient, l'une et l'autre, leurs deux extremités appuyés; et cette conclusion résulte de ceque les équations \(\text{sin}\,\lambda\omega = 0\) et \(\text{sin}\,(1-\lambda)\omega\), ont lieu en meme tems pour de telles valeurs de \(\lambda\), et de ceque ces valeurs sont les seules pour lesquelles le mouvement dela lame soit possible, En tête, au milieu, « (13) » barré d'un trait ; en haut à droite « 168 », à l'encre. « car » est écrit un peu au-dessus de la ligne, en tête ; « que l'on » est ajouté au-dessus de la ligne, entre « celle » et « adopte ». La référence lit « Voye. », peut-être pour « Voyez » ; le nom est tracé avec l'E qui ressemble à un L, comme ailleurs dans ce volume. Le « m » de « examen » porte un trait suscrit. « et \(\text{sin}\,(1-\lambda)\omega\) » est écrit sans « \(= 0\) ». « appuyés », « séparée », « considerée » sont accordés ainsi sur le feuillet. Le paragraphe porte le numéro 10, dans la ligne. La page s'achève sur « possible, » au quart inférieur du feuillet.

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Au contraire, dans le cas présent des deux extremités libres, les équations \[ \frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega = 0 \quad\text{et}\quad \frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega - \text{cos}\,\lambda\omega = 0 \] ne peuvent avoir lieu en même tems, lorsqu'on a égard à la condition qui résulte de l'état des extremités dela lame primitive, que dans le seul cas où \(\lambda = \frac{1}{2}\). ces équations peuvent etre mises sous la forme \(\text{tang}\,(1-\lambda)\omega = \frac{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}\), \(\text{tang}\,\lambda\omega = \frac{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}\) qui montre qu'elles ne sont autre chose que les conditions du mouvement de deux lames des longueurs \(\lambda a\) et \((1-\lambda)a\), dont une des extremités seroit appuyée, et l'autre libre. Ainsi on est forcé de conclure que le cas où le stilet est appuyé au milieu dela lame dont les deux extremités sont libres, est le seul où cette lame puisse etre consideré comme separé en deux autres lames, qui auroient chacune une de leurs extremités appuyée au point d'application du stilet, et l'autre libre.

11 Maintenant je vais prouver qu'en effet les deux quantités \(\frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega\) et \(\frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega - \text{cos}\,\lambda\omega\), ne peuvent être supposées en même tems égales à zéro. pour cela j'emploie les transformations suivantes, dans lesquelles les valeurs tirées de l'équation \(\frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega - \text{cos}\,\lambda\omega = 0\) sont introduites dans celle ci \(\frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega = 0\) \[ \frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega \] \[ = \frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\{\text{sin}\,\omega\,\text{cos}\,\lambda\omega - \text{sin}\,\lambda\omega\,\text{cos}\,\omega\} - \{\text{cos}\,\omega\,\text{cos}\,\lambda\omega + \text{sin}\,\omega\,\text{sin}\,\lambda\omega\} \] \[\begin{align*} &= \frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\Bigl\{\frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\cdot\text{sin}\,\lambda\omega\,\text{sin}\,\omega - \text{sin}\,\lambda\omega\,\text{cos}\,\omega\Bigr\} \\ &- \Bigl\{\frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega\,\text{cos}\,\omega + \text{sin}\,\omega\,\text{sin}\,\lambda\omega\Bigr\} = 0 \end{align*}\] et encore, en multipliant par \((e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega})(e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega})\), \[\begin{align*} 0 = \text{sin}\,\lambda\omega\,\bigl\{&(e^{\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega} + e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{-\omega})\,\text{sin}\,\omega - (e^{\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega} - e^{(1-2\lambda)\omega} - e^{-\omega})\,\text{cos}\,\omega \\ &- (e^{\omega} - e^{(2\lambda-1)\omega} + e^{(1-2\lambda)\omega} - e^{-\omega})\,\text{cos}\,\omega - (e^{\omega} - e^{(2\lambda-1)\omega} - e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{-\omega})\,\text{sin}\,\omega\bigr\} \end{align*}\] \[ = 2\,\text{sin}\,\lambda\omega\,\{(e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega})\,\text{sin}\,\omega - (e^{\omega} - e^{-\omega})\,\text{cos}\,\omega\} \] Elles montrent que, si les équations dont il s'agit pouvoient etres satisfaites, il faudroit En tête, au milieu, un nombre entre parenthèses, barré et surchargé, qui paraît être « (14) » ; en haut à droite « 169 », à l'encre. Le texte suit la vue 344 sans lacune. Le paragraphe 11 porte son numéro dans la marge, dans la ligne. « peuvent », dans « ne peuvent être supposées », est récrit sur un mot plus court ; un petit signe à trois points se lit au-dessus de « j'emploie », sans renvoi visible. Dans la première égalité, le signe « \(-\) » du premier dénominateur est repassé et empâté. Le dernier facteur de la grande accolade est écrit sur deux lignes, la seconde alignée à droite sous la première. « etres » pour « être », « consideré comme separé » : ainsi sur le feuillet. La page s'arrête sur « il faudroit » ; la suite est à la vue 348.

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que l'un ou l'autre des facteurs \(\text{sin}\,\lambda\omega\) et \((e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{(2\lambda-1)})\,\text{sin}\,\omega - (e^{\omega} - e^{-\omega})\,\text{cos}\,\omega\) fut égal à zéro; mais, à moins de faire \(\lambda\) ou \(\omega = 0\), \(\text{sin}\,\lambda\omega\) ne peut etre supposé ici égal à zéro, parceque l'équation \(\text{sin}\,\lambda\omega = 0\) appartient au mouvement d'une lame de longueur \(\lambda a\) dont les deux extremités sont appuyés, et qu'il s'agit présentement d'une lame de même longueur, dont une seule extrémité est censé appuyée, et l'autre libre. ainsi il ne reste à examiner que l'équation \((e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega})\,\text{sin}\,\omega - (e^{\omega} - e^{-\omega})\,\text{cos}\,\omega = 0\) ou \(\text{tang}\,\omega = \frac{e^{\omega} - e^{-\omega}}{e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega}}\); et la comparaison dela valeur de \(\text{tang}\,\omega\), tirée des équations \(\text{cos}\,\omega = \frac{2}{e^{\omega} + e^{-\omega}}\) \(\text{sin}\,\omega = \pm\frac{e^{\omega} - e^{-\omega}}{e^{\omega} + e^{-\omega}}\) relatives à la considération de l'état des extremités dela lame primitive, donne \(\text{tang}\,\omega = \pm\frac{e^{\omega} - e^{-\omega}}{2} = \frac{e^{\omega} - e^{-\omega}}{e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega}}\) ou \(2 = \pm(e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega})\). il est clair que le cas relatif au signe \(-\) doit être rejetté, parceque 2 et \(e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega}\) sont essentiellement des quantités positives; et on voit encore avec facilité que \(e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega}\) est toujours \(>\) que 2, excepté pour le cas \(\omega = 0\) qui appartient au repos, et pour lavaleur de \(\lambda\), \(\lambda = \frac{1}{2}\).

12. On obtient des résultats semblables pour le cas où les extrémités dela lame, aulieu d'être libres, sont l'une et l'autre fixées; car, si on suppose qu'une telle lame soit soumise à l'action d'un stilet dans un point quelconque de sa longueur, on parvient au moyen de calculs que je supprime ici, à cause de leur parfaite analogie avec les précédens, à l'équation finale \[ \Bigl\{\frac{2}{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}} - \text{cos}\,\lambda\omega\Bigr\}\Bigl\{\frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\cdot\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega\Bigr\} \] \[ + \Bigl\{\frac{2}{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}} - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega\Bigr\}\Bigl\{\frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega - \text{cos}\,\lambda\omega\Bigr\} = 0 \] delaquelle on tire les valeurs de l'angle \(\omega\). Et on trouve, comme dans le cas précédent qu'en fesant \(\lambda = \frac{1}{2}\), on a pour solution de cette équation la condition \(\frac{e^{\frac{1}{2}\omega} + e^{-\frac{1}{2}\omega}}{e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega}}\cdot\text{sin}\,\tfrac{1}{2}\omega - \text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega = 0\), qui mène à conclure que En tête, au milieu, « (15) » barré d'un trait ; en haut à droite « 170 », à l'encre. Le texte suit la vue 346 sans lacune. Au premier facteur de la première ligne, le second exposant est écrit \((2\lambda-1)\), sans \(\omega\) ; on le laisse ainsi. « supposé », « appuyés », « censé appuyée » : ainsi sur le feuillet. Deux petits traits obliques se lisent au-dessus de « le cas », avant « précédent », sans renvoi visible. Le paragraphe 12 porte son numéro dans la ligne. La page s'arrête sur « qui mène à conclure que » ; la suite est à la vue 350.

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la lame primitive peut se mouvoir, comme si elle étoit séparée en deux autres lames demoitié moins longues, qui auroient, chacune, une de leurs extremités appuyée au point d'application du stilet, et l'autre fixée. On trouve encore, par le calcul déja employé pour le cas précédent que les équations \(\text{tang}\,(1-\lambda)\omega = \frac{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}\), \(\text{tang}\,\lambda\omega = \frac{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}\) ne peuvent se concilier avec la condition dépendante de l'état des extremités pour aucune autre valeur de \(\lambda\) que \(\lambda = \frac{1}{2}\).

Il semble d'abord étonnant que, dans le cas où \(\lambda = \frac{1}{2}\), la lame dont les deux extremités sont fixés ou libres, puisse etre consideré comme reellement separée en deux autres lames, qui auroient une de leurs extremités appuyée au point d'application du stilet tandis que la même supposition n'est plus applicable à aucun autre cas

Voici comment on peut se rendre compte de cette singularité: si plusieurs lames dont les deux extremités sont libres ou fixées, rendent le même son, et sont pourtant de longueurs différentes, le nombre des nœuds de vibration relatif à chacune d'elles sera différent; mais l'étendue des parties vibrantes comprises entre les extremités et le nœud le plus voisin de chacune d'elles, restera lemême; et il en sera demême, si les lames supposées ont une seule de leurs extremités libre ou fixée, et l'autre appuiée. Cela posé, si on considère la lame élastique vibrante dont les deux extremités sont libres ou fixées, comme separée en deux parties réellement indépendantes l'une de l'autre, et l'une et l'autre appuyés au point d'application du stilet, il faudra il faudra que les deux parties vibrantes comprises entre ce point et les nœuds de vibrations les plus voisins prises audelà et endeçà de ce point, soient egales entr'elles; car elles appartiendront dans cette hypothèse à deux lames de longueurs différentes, dont une des extremités sera libre ou fixée et l'autre appuyée. En tête, au milieu, « (16) » barré d'un trait ; en haut à droite « 171 », à l'encre. Le texte suit la vue 348 sans lacune. « du stilet » est ajouté au-dessus de la ligne, après « d'application » ; « il faudra », écrit au bout d'une ligne, y est barré et récrit en tête de la suivante. Une tache d'encre précède « le même son ». Le mot rendu « nœuds » est écrit avec une ligature qui se lit presque « naud ». « fixés », « consideré », « appuyés », « appuiée » : ainsi sur le feuillet. La page s'achève sur « l'autre appuyée. », au bas du feuillet.

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et qui, par la nature dela question, doivent rendre le même son, il ne reste donc plus, pour éclaircir la difficulté, qu'à prouver qu'excepté le cas où il y a un nœud au milieu dela longueur dela lame, il n'y a aucun point de repos tel que les ordonnées prises à distances egales de part et d'autre de ce point, soient égales entr'elles, et que parconséquent les parties vibrantes comprises entre le point d'applica-tion du stilet consideré comme simple point d'appui et les nœuds le plus voisins pris audelà et endeçà de ce point, ne peuvent être égales entr'elles que dans le seul cas où le stilet est supposé appliqué au milieu dela lame dont il s'agit.

14. Pour démontrer cette proposition en s'occupant d'abord du cas où les deux extremités dela lame, il faut se rappeller sont libres, il faut se rappeller que, pour un point quelconque L situé aux distances \(a\lambda\) et \((1-\lambda)a\) des extremités dela lame, la supposition \(y = 0\) qui résulte de ceque le stilet est appuyé dans ce point, donne l'équation \(e^{\lambda\omega} \pm e^{(1-\lambda)\omega} + (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,\lambda\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,\lambda\omega = 0\) (V. M. d'Euler § 21). on voit aisément que les ordonnées des points situés àdroite et àladistance \(\lambda' a\) du point L, seront \[ \ldots\ldots\{e^{(\lambda-\lambda')\omega} \pm e^{(1-\lambda+\lambda')\omega} + (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,(\lambda-\lambda')\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,(\lambda-\lambda')\omega\} = y \] \[ \ldots\ldots\{e^{(\lambda+\lambda')\omega} \pm e^{(1-\lambda-\lambda')\omega} + (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,(\lambda+\lambda')\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,(\lambda+\lambda')\omega\} = -y \] ces ordonnées sont de signes contraires, parceque, si l'une est située au dessus de l'axe, l'autre doit l'être au dessous du même axe. si elles sont égales entr'elles, leur somme sera donc nulle, et on aura \[ 0 = \{e^{\lambda\omega} \pm e^{(1-\lambda)\omega}\}\{e^{\lambda'\omega} + e^{-\lambda'\omega}\} + (1 \mp e^{\omega}).\,2\,\text{sin}\,\lambda\omega\,\text{cos}\,\lambda'\omega + (1 \pm e^{\omega})\,2\,\text{cos}\,\lambda\omega\,\text{cos}\,\lambda'\omega \] et, à cause de \(e^{\lambda\omega} \mp e^{(1-\lambda)\omega} = -\{(1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,\lambda\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,\lambda\omega\}\), cette condition se réduira à \(\{e^{\lambda\omega} \mp e^{(1-\lambda)\omega}\}\{e^{\lambda'\omega} + e^{-\lambda'\omega} - 2\,\text{cos}\,\lambda'\omega\} = 0\).

À l'égard du cas où les deux extremités sont supposées fixées, la seule différence entre les valeurs des coëfficiens \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) et \(\delta\) comparées à celles qui sont relatives à l'hypothèse des extremités libres, est que les deux En tête, au milieu, « (17) », barré de deux traits croisés ; en haut à droite « 172 », à l'encre. Le texte suit la vue 350 sans lacune. Le paragraphe est numéroté 14, dans la ligne : aucun numéro 13 ne se lit entre le 12 de la vue 348 et celui-ci. « égales », au bout de la quatrième ligne, est surchargé et empâté. « il faut se rappeller » est barré dans la ligne et récrit après « sont libres ». Dans la référence à Euler, le chiffre qui suit le 2 se confond avec la parenthèse fermante : « § 21 » ou « § 2 ». L'accent de \(\lambda'\) est tracé comme un accent aigu sur la lettre. Dans les deux dernières égalités, le signe entre \(e^{\lambda\omega}\) et \(e^{(1-\lambda)\omega}\) est nettement \(\mp\), alors que l'équation de départ porte \(\pm\) ; on garde les signes du feuillet. Les quatre coefficients sont écrits « u, \(\beta\), v et \(\delta\) ». La page s'arrête sur « est que les deux » ; la suite est à la vue 354.

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dernieres sont prises avec des signes contraires; et il en résulte seulement que l'on a \[ e^{\lambda\omega} \pm e^{(1-\lambda)\omega} - \{(1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,\lambda\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,\lambda\omega\} = 0 \] \[ \ldots\ldots\{e^{(\lambda-\lambda')\omega} \pm e^{(1-\lambda+\lambda')\omega} - [(1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,(\lambda-\lambda')\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,(\lambda-\lambda')\omega]\} = y \] \[ \ldots\ldots\{e^{(\lambda+\lambda')\omega} \pm e^{(1-\lambda-\lambda')\omega} - [(1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,(\lambda+\lambda')\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,(\lambda+\lambda')\omega]\} = -y \] aulieu des valeurs précédentes; cequi n'empêche pas de conclure \[ \{e^{\lambda\omega} \mp e^{(1-\lambda)\omega}\}\{e^{\lambda'\omega} + e^{-\lambda'\omega} - 2\,\text{cos}\,\lambda'\omega\} = 0 \] et, pour satisfaire à cette condition, il faut que l'un ou l'autre des facteurs \(e^{\lambda\omega} \mp e^{(1-\lambda)\omega}\). et \(e^{\lambda'\omega} + e^{-\lambda'\omega} - 2\,\text{cos}\,\lambda'\omega\) puisse être égal à zéro: mais on voit aisément que l'équation \(e^{\lambda'\omega} + e^{-\lambda'\omega} = 2\,\text{cos}\,\lambda'\omega\) ne peut être admise pour aucune valeur de \(\lambda'\) différente de zéro; ainsi il ne reste à examiner que l'équation \(e^{\lambda\omega} = \pm e^{-\lambda\omega}\); et il est évident que la seule valeur de \(\lambda\) qui convienne, est \(\lambda = \frac{1}{2}\) qui répond au cas où il faut prendre le signe supérieur c'est adire à celui où il y a un nombre impair de nœuds de vibrations, et parconséquent où il en existe un placé au milieu dela lame.

Je ne crois pas que l'on ait encore fait cette remarque de l'inégalité des parties comprises entre deux nœuds de vibrations dans les lames élastiques dont les deux extremités sont libres ou fixées; car M^r Chladni se contente de dire, en parlant dela lame dont les deux extremités sont libres, qu'une partie située à une extremité est àpeuprès moitié moins longue qu'une partie comprise entre deux nœuds (V. traité d'acoustique P. 94 § 71); cequi semble supposer que toutes les parties soumises à cette dernière condition sont entr'elles d'égale longueur. Cependant M^r Giordano Ricati, dans son memoire Delle vibrazioni de' cilindri inséré dans le premier volume des mémoires dela société italienne, donne pour l'angle qui a été désigné ici par \(\lambda\omega\), des valeurs qui peuvent servir à confirmer la remarque dont il s'agit pour le cas des extremités libres, seul cas qu'il ait traité (Voyez. § XXX P 503) En tête, au milieu, « (18) » barré d'un trait ; en haut à droite « 173 », à l'encre. Le texte suit la vue 352 sans lacune. Dans « que l'équation \(e^{\lambda\omega} = \pm e^{-\lambda\omega}\) », l'exposant de droite est court et serré et se lit \(-\lambda\omega\) ; le raisonnement attendrait \((1-\lambda)\omega\) : on garde ce qu'on lit. Dans la référence à Chladni, le nombre de la page se lit « g4 » ou « 94 », la première figure ayant une queue descendante ; le brouillon de ce passage, à la vue 272, a été lu « pag 4 §§ 71 ». Dans le renvoi final, trois petites croix tiennent la place du numéro de paragraphe, comme au brouillon de la vue 272. Le titre italien est écrit en caractères plus gros que le reste de la ligne ; il est rendu en italique. Le nom est écrit « Ricati ». Le feuillet s'achève sur ce renvoi, au bas de la page.

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En effet, on voit, en comparant ces valeurs, qu'une partie située à l'extrémité, est moins grande que la moitié dela partie comprise entre les deux nœuds les plus voisins de cette extrémité; que la partie comprise entre le second nœud et le troisième, est plus grande que celle qui est située entre le premier et le second; que pareillement encore la partie comprise entre deux nœuds le troisième et le quatrième nœud, est plus grande que toutes les précédentes; desorte qu'en général une partie comprise entre deux nœuds, est d'autant plus étendue qu'elle est plus éloignée de l'extrémité et plus voisine du milieu dela lame, quoique pourtant les différences soient beaucoup plus grandes entre les parties qui sont près des extrémités, qu'entre celles qui s'en éloignent d'avantage. Mais M^r Ricati s'est contenté de donner les valeurs dont il est question, sans les comparer entr'elles, et sans conclure parconséquent l'inégalité des parties vibrantes comprises entre deux nœuds.

15. Au contraire, lorsqu'il s'agit d'une lame élastique vibrante dont les deux extremités sont simplement appuyés, les parties vibrantes comprises entre deux nœuds sont égals entr'elles; car si, après avoir supposé que le point d'application du stilet équivalant à un point d'appui soit placé à la distance \(\lambda a\) d'une des extremités, on veut qu'il existe deux autres nœuds aux distances \((\lambda-\lambda')a\) et \((\lambda+\lambda')a\) de la même extrémité et parconséquent situés l'un et l'autre à la distance \(\lambda' a\) du point d'application du stilet et de part et d'autre de ce même point; ces différentes conditions seront exprimées par les équations \(\text{sin}\,\lambda\omega = 0\) \(\text{sin}\,(\lambda-\lambda')\omega = 0\), \(\text{sin}\,(\lambda+\lambda')\omega = 0\); et, en ajoutant les deux dernières ensemble, on trouvera la condition \(2\,\text{sin}\,\lambda\omega\,\text{cos}\,\lambda'\omega = 0\) condition qui est évidemment remplie en vertu dela première et indépendamment de la valeur de \(\lambda'\). Ainsi on voit àprésent par quelle raison le cas des deux extremités appuyés est le seul pour lequel on puisse avoir une solution générale de l'équation finale trouvée par la méthode d'Euler. En tête, au milieu, « (19) » barré ; en haut à droite « 174 », à l'encre. Le texte suit la vue 354 sans lacune. « moins » est écrit plus petit, en retrait à gauche, au début de la deuxième ligne ; « pareillement » est d'une écriture plus fine, dans la ligne, peut-être sur un mot gratté ; « deux nœuds » est barré après « entre ». Plusieurs mots sont surchargés sans que la lecture en soit changée (« l'extrémité » à la première ligne, « des » devant « parties vibrantes »). Des taches d'encre marquent la page près de « point » et de « première ». Le paragraphe 15 porte son numéro dans la ligne. « égals », « appuyés » : ainsi sur le feuillet. La page s'achève sur « la méthode d'Euler. », au bas du feuillet.

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16. On peut remarquer qu'il existe la plus grande analogie entre les diverses équations finales relatives aux différens cas où on suppose le stilet appliqué dans un point quelconque de la longueur des lames élastiques vibrantes dont les extremités sont appuyées libres ou fixées, et aussi entre les facteurs de ces équations et les conditions par lesquelles l'angle \(\omega\) est déterminé lorsqu'on a simplement égard à l'état des extremités des mêmes lames. afin que l'on puisse saisir plus facilement ces rapports, je vais écrire ici ces différentes équations, en y joignant encore l'équation finale que j'ai trouvée pour le cas où le stilet est censé appliqué à la lame dont une des extremités est fixée et l'autre appuyée

équation finale pour le cas des deux extremités appuyées: § 5 \[\begin{align*} &\text{sin}\,\lambda\omega\,\Bigl\{\frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega \\ &+ \text{sin}\,(1-\lambda)\omega\,\Bigl\{\frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega - \text{cos}\,\lambda\omega\Bigr\} = 0 \end{align*}\] ……………………………… libres § 8 \[\begin{align*} &\Bigl\{\frac{2}{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}} + \text{cos}\,\lambda\omega\Bigr\}\Bigl\{\frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega\Bigr\} \\ &+ \Bigl\{\frac{2}{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}} + \text{cos}\,(1-\lambda)\omega\Bigr\}\Bigl\{\frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega - \text{cos}\,\lambda\omega\Bigr\} = 0 \end{align*}\] ……………………………… fixées § 12 \[\begin{align*} &\Bigl\{\frac{2}{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}} - \text{cos}\,\lambda\omega\Bigr\}\Bigl\{\frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega\Bigr\} \\ &+ \Bigl\{\frac{2}{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}} - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega\Bigr\}\Bigl\{\frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega - \text{cos}\,\lambda\omega\Bigr\} = 0 \end{align*}\] ………… d'une extremité fixée et l'autre appuyée \[\begin{align*} &\Bigl\{\text{tang}\,\lambda\omega - \frac{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}\Bigr\}\Bigl\{\text{tang}\,(1-\lambda)\omega - \frac{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}\Bigr\} \\ &= 2\,\text{tang}\,\lambda\omega\,\frac{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}\Bigl\{1 - \frac{2}{(e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-\lambda)\omega}\Bigr\} \end{align*}\]

Les équations qui déterminent les valeurs de l'angle \(\omega\) lorsqu'on a simplement égard à l'état des extremités, sont extraites du mémoire d'Euler; elles sont:

Pour le cas des deux extremités libres §. 5 …… \(\text{cos}\,\omega = \frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega} + 1}\)

…… d'une extremité libre et l'autre appuyée §. 23 … \(\text{tang}\,\omega = \frac{e^{2\omega} - 1}{e^{2\omega} + 1}\)

…… d'une extremité libre et l'autre fixée § 30 … \(\text{cos}\,\omega = -\frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega} + 1}\)

……………… appuyées § 35 ……… \(\text{sin}\,\omega = 0\)

…… d'une extremité appuyée et l'autre fixée §. 39 … \(\text{tang}\,\omega = \frac{e^{2\omega} - 1}{e^{2\omega} + 1}\)

……………… fixées § 43 …… \(\text{cos}\,\omega = \frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega} + 1}\) En tête, au milieu, « (20) » barré ; en haut à droite « 175 », à l'encre, le 5 tracé en boucle comme un S. Le paragraphe 16 porte son numéro dans la ligne, le 1 réduit à un point épais. Le texte suit la vue 356. Les renvois « § 5 », « § 8 », « § 12 » qui suivent les équations finales désignent, semble-t-il, ses propres paragraphes : l'équation finale des extrémités fixées est celle du § 12 (vue 348), et celle des extrémités libres est établie juste avant le § 9 (vue 342). Les renvois de la liste finale, « extraites du mémoire d'Euler », sont ceux des paragraphes d'Euler. Dans ces nombres, le 3 est tracé comme un 9 à queue courte et le 9 a une longue queue : on lit 23, 30, 35, 39, 43, suivant ce que le passage sur la copie d'Euler a établi pour cette forme du 3. Le premier renvoi se lit « §. 5 », comme « cas I § 5 » à la vue 344 ; la liste correspondante du brouillon, à la vue 276, a été lue « N^o 9 ». Dans la première équation finale, l'accolade ouverte après \(\text{sin}\,\lambda\omega\) n'est pas refermée avant « \(+\) ». Dans la dernière équation finale, le signe entre les deux exponentielles du dernier dénominateur est surchargé ; le « 1 » de \(\text{cos}\,(1-\lambda)\omega\) y est empâté. La vue 359 reproduit ce même feuillet, photographié une seconde fois : même texte, mêmes taches, même « 175 » ; elle n'est pas transcrite.