Numérotation des feuillets. Chaque feuillet écrit porte deux nombres,
et les dos blancs n'en portent aucun : au milieu de la tête, entre
parenthèses et barré, le numéro de page de cette mise au net, (12) à (20)
aux vues 342 à 358 ; en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus
ronde, 167 à 175 aux mêmes vues, un par feuillet et sans lacune. Cette
seconde série occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais
elle est tracée à la plume et non au crayon, et elle prolonge la série à
l'encre relevée dans les lots précédents de ce volume ; aucune
foliotation au crayon n'a été lue ici, et aucun « f. » n'est donc porté.
Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Les vues
341, 343, 345, 347, 349, 351, 353, 355, 357 et 360 sont les dos blancs
des feuillets ; la vue 359 reprend le feuillet de la vue 358 ; aucune
n'est transcrite.
en ajoutant I. \alpha e^{\lambda\omega} + \beta e^{-\lambda\omega} + \gamma\,\text{sin}\,\lambda\omega + \delta\,\text{cos}\,\lambda\omega = 0 au premier membre,
II. \alpha' e^{\lambda\omega} + \beta' e^{-\lambda\omega} + \gamma'\,\text{sin}\,\lambda\omega + \delta'\,\text{cos}\,\lambda\omega = 0 au second, et divisant par 2; il en resulte
\alpha e^{\lambda\omega} + \beta e^{-\lambda\omega} = \alpha' e^{\lambda\omega} + \beta' e^{-\lambda\omega}. cette dernière équation devient, en y mettant pour
\beta et \beta' les valeurs cidessus
\frac{\alpha e^{\lambda\omega}\{e^{-\lambda\omega} - \text{sin}\,\lambda\omega + \text{cos}\,\lambda\omega\} - \alpha e^{-\lambda\omega}\{e^{\lambda\omega} + \text{sin}\,\lambda\omega + \text{cos}\,\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega} - \text{sin}\,\lambda\omega + \text{cos}\,\lambda\omega}
= \frac{\begin{array}{c}\alpha' e^{(\lambda-1)\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega} + \text{cos}\,(1-\lambda)\omega + \text{sin}\,(1-\lambda)\omega\} \\ {} - \alpha' e^{(1-\lambda)\omega}\{e^{(\lambda-1)\omega} + \text{cos}\,(1-\lambda)\omega - \text{sin}\,(1-\lambda)\omega\}\end{array}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega} + \text{cos}\,(1-\lambda)\omega + \text{sin}\,(1-\lambda)\omega\}}
ou,
\begin{align*}
&\frac{\alpha\{(e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega})\,\text{cos}\,\lambda\omega - (e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega})\,\text{sin}\,\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega} - \text{sin}\,\lambda\omega + \text{cos}\,\lambda\omega} \\
&= \frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - (e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega} + \text{cos}\,(1-\lambda)\omega + \text{sin}\,(1-\lambda)\omega}
\end{align*}
D'ou on tire,
\begin{align*}
&\frac{\alpha e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega} + \text{cos}\,(1-\lambda)\omega + \text{sin}\,(1-\lambda)\omega\}}{\alpha'\{e^{-\lambda\omega} - \text{sin}\,\lambda\omega + \text{cos}\,\lambda\omega\}} \\
&= \frac{(e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - (e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-\lambda)\omega}{(e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega})\,\text{cos}\,\lambda\omega - (e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega})\,\text{sin}\,\lambda\omega}
\end{align*}
Il ne s'agit plus àprésent que demettre à la place du premier membre de cette équation
sa valeur déduite de l'équation III, pour conclure
\{2 + (e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}\,\text{cos}\,(1-\lambda)\omega\}\{(e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega})\,\text{sin}\,\lambda\omega - (e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega})\,\text{cos}\,\lambda\omega\}
+ \{2 + (e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega})\,\text{cos}\,\lambda\omega\}\{(e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - (e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-\lambda)\omega = 0
cette dernière équation est l'équation finale, dont il faut tirer la valeur
de l'angle \omega.
9. Il est aisé devoir que, dans le cas ou \lambda = \frac{1}{2}, l'équation finale se réduit à
2\{2 + (e^{\frac{1}{2}\omega} + e^{-\frac{1}{2}\omega})\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega\}\{(e^{\frac{1}{2}\omega} + e^{-\frac{1}{2}\omega})\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}\omega - (e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega})\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega\} = 0
et que cette équation est susceptible de deux solutions, savoir:
(e^{\frac{1}{2}\omega} + e^{-\frac{1}{2}\omega})\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}\omega - (e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega})\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega = 0 \quad\text{et}\quad 2 + (e^{\frac{1}{2}\omega} + e^{-\frac{1}{2}\omega})\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega = 0.
La première est relative au cas où le stilet est consideré comme simplement
appuyé aumilieu de la lame dont les extremités sont libres; et elle montre que
les deux moitiés de cette lame doivent alors vibrer comme deux lames séparés
de longueur \frac{1}{2}a qui auroient chacune une de leurs extremités libre, et l'autre
appuyé; car la condition \frac{e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega}}{e^{\frac{1}{2}\omega} + e^{-\frac{1}{2}\omega}} = \text{tang}\,\tfrac{1}{2}\omega est celle qui convient au
mouvement d'une telle lame. Cette solution s'accorde au reste avec l'équation
dépendante de l'état des extremités dela lame primitive,
En tête, au milieu, « (12) » entre parenthèses, barré d'un trait
horizontal ; en haut à droite « 167 », à l'encre, d'une écriture plus ronde.
Le texte fait suite à la vue 340 (« (11) », « 166 »), qui n'est pas de ce
lot : les équations I, II, III et les valeurs de \beta et \beta'
« cidessus » y sont. La lettre écrite ici \lambda est un petit signe
crochu, proche d'un « A » ou d'un « r », que le passage sur la copie
d'Euler a déjà rendu par \lambda ; \alpha est tracé comme un « u » et
\gamma comme un « v ». Dans l'égalité qui suit « ou, », l'accolade du
dénominateur de droite n'est pas refermée ; dans les deux lignes de
l'équation finale, une parenthèse puis une accolade fermantes manquent sur
le feuillet ; on les laisse manquer. Au premier membre de la première
égalité, le second terme porte \alpha et non \alpha', comme on lit.
« séparés » et « appuyé » sont ainsi accordés sur le feuillet. Le
paragraphe porte le numéro 9, écrit dans la ligne.
car on a (Voye. M. d'Euler, cas I § 5) \text{cos}\,\omega = \frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega} + 1}, d'où l'on tire, en prenant \text{sin}\,\omega
positif comme il convient ici, 2\,\text{cos}^2\,\tfrac{1}{2}\omega = \frac{(e^{\omega} + 1)^2}{e^{2\omega} + 1}, 2\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}\omega\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega = \frac{e^{2\omega} - 1}{e^{2\omega} + 1}, \text{tang}\,\tfrac{1}{2}\omega = \frac{e^{\omega} - 1}{e^{\omega} + 1},
qui est précisément la condition résultante de la première solution.
À l'égard de la seconde solution, elle donne \frac{2}{e^{\frac{1}{2}\omega} + e^{-\frac{1}{2}\omega}} = -\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega: ainsi
elle meneroit à conclure que la lame primitive peut encore être considerée
comme separée en deux autres lames de longueur \frac{1}{2}a qui auroient chacune
une de leurs extremités fixée au point d'application du stilet et l'autre libre.
mais la condition \frac{2}{e^{\frac{1}{2}\omega} + e^{-\frac{1}{2}\omega}} = -\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega ne peut s'accorder avec l'équation
\text{cos}\,\omega = \frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega} + 1} dépendante de l'état des extremités, que dans la seule
supposition \omega = 0. Il faut donc rejetter cette seconde solution, comme j'ai montré
qu'il falloit le faire pour celle qui lui est analogue dans le cas examiné par
Euler
10 Jusqu'ici il existe la plus grande analogie entre le cas où les deux
extremités sont appuyés et celui ou les deux extremités sont libres; car, de
part et d'autre, la supposition \lambda = \frac{1}{2}, donne des solutions semblables,
quant a la considération de l'effet de l'application du stilet: mais
malheureusement un examen plus approfondi du cas présent, fait appercevoir
de grandes différences. En effet, dans le cas des extremités appuyés, la
première solution relative à la supposition \lambda = \frac{1}{2} n'est qu'un cas particulier
dela solution générale, dans laquelle \lambda peut être une fraction quelconque
aliquote de l'unité; desorte que, quelque soit celle que l'on adopte, la lame
primitive peut toujours être considerée comme separée en deux autres lames
des longueurs \lambda a et (1-\lambda)a, qui auroient, l'une et l'autre, leurs deux extremités
appuyés; et cette conclusion résulte de ceque les équations \text{sin}\,\lambda\omega = 0 et
\text{sin}\,(1-\lambda)\omega, ont lieu en meme tems pour de telles valeurs de \lambda, et de ceque
ces valeurs sont les seules pour lesquelles le mouvement dela lame soit
possible,
En tête, au milieu, « (13) » barré d'un trait ; en haut à droite
« 168 », à l'encre. « car » est écrit un peu au-dessus de la ligne, en
tête ; « que l'on » est ajouté au-dessus de la ligne, entre « celle » et
« adopte ». La référence lit « Voye. », peut-être pour « Voyez » ; le
nom est tracé avec l'E qui ressemble à un L, comme ailleurs dans ce
volume. Le « m » de « examen » porte un trait suscrit. « et
\text{sin}\,(1-\lambda)\omega » est écrit sans « = 0 ». « appuyés »,
« séparée », « considerée » sont accordés ainsi sur le feuillet. Le
paragraphe porte le numéro 10, dans la ligne. La page s'achève sur
« possible, » au quart inférieur du feuillet.
Au contraire, dans le cas présent des deux extremités libres, les équations
\frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega = 0 \quad\text{et}\quad \frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega - \text{cos}\,\lambda\omega = 0
ne peuvent avoir lieu en même tems, lorsqu'on a égard à la condition qui résulte de l'état
des extremités dela lame primitive, que dans le seul cas où \lambda = \frac{1}{2}. ces équations
peuvent etre mises sous la forme \text{tang}\,(1-\lambda)\omega = \frac{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}, \text{tang}\,\lambda\omega = \frac{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}
qui montre qu'elles ne sont autre chose que les conditions du mouvement de
deux lames des longueurs \lambda a et (1-\lambda)a, dont une des extremités seroit appuyée, et
l'autre libre. Ainsi on est forcé de conclure que le cas où le stilet est appuyé
au milieu dela lame dont les deux extremités sont libres, est le seul où cette
lame puisse etre consideré comme separé en deux autres lames, qui auroient
chacune une de leurs extremités appuyée au point d'application du stilet, et
l'autre libre.
11 Maintenant je vais prouver qu'en effet les deux quantités \frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega
et \frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega - \text{cos}\,\lambda\omega, ne peuvent être supposées en même tems égales à zéro.
pour cela j'emploie les transformations suivantes, dans lesquelles les valeurs tirées de l'équation
\frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega - \text{cos}\,\lambda\omega = 0 sont introduites dans celle ci \frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega = 0
\frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega
= \frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\{\text{sin}\,\omega\,\text{cos}\,\lambda\omega - \text{sin}\,\lambda\omega\,\text{cos}\,\omega\} - \{\text{cos}\,\omega\,\text{cos}\,\lambda\omega + \text{sin}\,\omega\,\text{sin}\,\lambda\omega\}
\begin{align*}
&= \frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\Bigl\{\frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\cdot\text{sin}\,\lambda\omega\,\text{sin}\,\omega - \text{sin}\,\lambda\omega\,\text{cos}\,\omega\Bigr\} \\
&- \Bigl\{\frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega\,\text{cos}\,\omega + \text{sin}\,\omega\,\text{sin}\,\lambda\omega\Bigr\} = 0
\end{align*}
et encore, en multipliant par (e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega})(e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}),
\begin{align*}
0 = \text{sin}\,\lambda\omega\,\bigl\{&(e^{\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega} + e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{-\omega})\,\text{sin}\,\omega - (e^{\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega} - e^{(1-2\lambda)\omega} - e^{-\omega})\,\text{cos}\,\omega \\
&- (e^{\omega} - e^{(2\lambda-1)\omega} + e^{(1-2\lambda)\omega} - e^{-\omega})\,\text{cos}\,\omega - (e^{\omega} - e^{(2\lambda-1)\omega} - e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{-\omega})\,\text{sin}\,\omega\bigr\}
\end{align*}
= 2\,\text{sin}\,\lambda\omega\,\{(e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega})\,\text{sin}\,\omega - (e^{\omega} - e^{-\omega})\,\text{cos}\,\omega\}
Elles montrent que, si les équations dont il s'agit pouvoient etres satisfaites, il faudroit
En tête, au milieu, un nombre entre parenthèses, barré et
surchargé, qui paraît être « (14) » ; en haut à droite « 169 », à
l'encre. Le texte suit la vue 344 sans lacune. Le paragraphe 11 porte son
numéro dans la marge, dans la ligne. « peuvent », dans « ne peuvent être
supposées », est récrit sur un mot plus court ; un petit signe à trois
points se lit au-dessus de « j'emploie », sans renvoi visible. Dans la
première égalité, le signe « - » du premier dénominateur est repassé et
empâté. Le dernier facteur de la grande accolade est écrit sur deux
lignes, la seconde alignée à droite sous la première. « etres » pour
« être », « consideré comme separé » : ainsi sur le feuillet. La page
s'arrête sur « il faudroit » ; la suite est à la vue 348.
que l'un ou l'autre des facteurs \text{sin}\,\lambda\omega et (e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{(2\lambda-1)})\,\text{sin}\,\omega - (e^{\omega} - e^{-\omega})\,\text{cos}\,\omega fut égal
à zéro; mais, à moins de faire \lambda ou \omega = 0, \text{sin}\,\lambda\omega ne peut etre supposé ici égal à zéro,
parceque l'équation \text{sin}\,\lambda\omega = 0 appartient au mouvement d'une lame de longueur \lambda a
dont les deux extremités sont appuyés, et qu'il s'agit présentement d'une lame de
même longueur, dont une seule extrémité est censé appuyée, et l'autre libre.
ainsi il ne reste à examiner que l'équation (e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega})\,\text{sin}\,\omega - (e^{\omega} - e^{-\omega})\,\text{cos}\,\omega = 0
ou \text{tang}\,\omega = \frac{e^{\omega} - e^{-\omega}}{e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega}}; et la comparaison dela valeur de \text{tang}\,\omega, tirée
des équations \text{cos}\,\omega = \frac{2}{e^{\omega} + e^{-\omega}} \text{sin}\,\omega = \pm\frac{e^{\omega} - e^{-\omega}}{e^{\omega} + e^{-\omega}} relatives à la considération de l'état
des extremités dela lame primitive, donne \text{tang}\,\omega = \pm\frac{e^{\omega} - e^{-\omega}}{2} = \frac{e^{\omega} - e^{-\omega}}{e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega}}
ou 2 = \pm(e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega}). il est clair que le cas relatif au signe - doit être
rejetté, parceque 2 et e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega} sont essentiellement des quantités positives; et
on voit encore avec facilité que e^{(1-2\lambda)\omega} + e^{(2\lambda-1)\omega} est toujours > que 2,
excepté pour le cas \omega = 0 qui appartient au repos, et pour lavaleur de \lambda, \lambda = \frac{1}{2}.
12. On obtient des résultats semblables pour le cas où les extrémités dela lame,
aulieu d'être libres, sont l'une et l'autre fixées; car, si on suppose qu'une
telle lame soit soumise à l'action d'un stilet dans un point quelconque de
sa longueur, on parvient au moyen de calculs que je supprime ici, à cause
de leur parfaite analogie avec les précédens, à l'équation finale
\Bigl\{\frac{2}{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}} - \text{cos}\,\lambda\omega\Bigr\}\Bigl\{\frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\cdot\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega\Bigr\}
+ \Bigl\{\frac{2}{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}} - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega\Bigr\}\Bigl\{\frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega - \text{cos}\,\lambda\omega\Bigr\} = 0
delaquelle on tire les valeurs de l'angle \omega. Et on trouve, comme dans
le cas précédent qu'en fesant \lambda = \frac{1}{2}, on a pour solution de cette équation
la condition \frac{e^{\frac{1}{2}\omega} + e^{-\frac{1}{2}\omega}}{e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega}}\cdot\text{sin}\,\tfrac{1}{2}\omega - \text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega = 0, qui mène à conclure que
En tête, au milieu, « (15) » barré d'un trait ; en haut à droite
« 170 », à l'encre. Le texte suit la vue 346 sans lacune. Au premier
facteur de la première ligne, le second exposant est écrit (2\lambda-1),
sans \omega ; on le laisse ainsi. « supposé », « appuyés », « censé
appuyée » : ainsi sur le feuillet. Deux petits traits obliques se lisent
au-dessus de « le cas », avant « précédent », sans renvoi visible. Le
paragraphe 12 porte son numéro dans la ligne. La page s'arrête sur « qui
mène à conclure que » ; la suite est à la vue 350.
la lame primitive peut se mouvoir, comme si elle étoit séparée en deux
autres lames demoitié moins longues, qui auroient, chacune, une de leurs
extremités appuyée au point d'application du stilet, et l'autre fixée.
On trouve encore, par le calcul déja employé pour le cas précédent que
les équations \text{tang}\,(1-\lambda)\omega = \frac{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}, \text{tang}\,\lambda\omega = \frac{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}} ne peuvent
se concilier avec la condition dépendante de l'état des extremités pour
aucune autre valeur de \lambda que \lambda = \frac{1}{2}.
Il semble d'abord étonnant que, dans le cas où \lambda = \frac{1}{2}, la lame dont les deux
extremités sont fixés ou libres, puisse etre consideré comme reellement separée
en deux autres lames, qui auroient une de leurs extremités appuyée au point
d'application du stilet tandis que la même supposition n'est plus applicable à aucun autre
cas
Voici comment on peut se rendre compte de cette singularité: si plusieurs lames
dont les deux extremités sont libres ou fixées, rendent le même son, et sont pourtant
de longueurs différentes, le nombre des nœuds de vibration relatif à chacune d'elles
sera différent; mais l'étendue des parties vibrantes comprises entre les extremités et le nœud
le plus voisin de chacune d'elles, restera lemême; et il en sera demême, si les lames
supposées ont une seule de leurs extremités libre ou fixée, et l'autre appuiée.
Cela posé, si on considère la lame élastique vibrante dont les deux extremités
sont libres ou fixées, comme separée en deux parties réellement indépendantes l'une
de l'autre, et l'une et l'autre appuyés au point d'application du stilet, il faudra
il faudra que les deux parties vibrantes comprises entre ce point et les nœuds de
vibrations les plus voisins prises audelà et endeçà de ce point, soient egales
entr'elles; car elles appartiendront dans cette hypothèse à deux lames de
longueurs différentes, dont une des extremités sera libre ou fixée et l'autre appuyée.
En tête, au milieu, « (16) » barré d'un trait ; en haut à droite
« 171 », à l'encre. Le texte suit la vue 348 sans lacune. « du stilet »
est ajouté au-dessus de la ligne, après « d'application » ; « il
faudra », écrit au bout d'une ligne, y est barré et récrit en tête de la
suivante. Une tache d'encre précède « le même son ». Le mot rendu
« nœuds » est écrit avec une ligature qui se lit presque « naud ».
« fixés », « consideré », « appuyés », « appuiée » : ainsi sur le
feuillet. La page s'achève sur « l'autre appuyée. », au bas du
feuillet.
et qui, par la nature dela question, doivent rendre le même son, il ne reste
donc plus, pour éclaircir la difficulté, qu'à prouver qu'excepté le cas où il y a
un nœud au milieu dela longueur dela lame, il n'y a aucun point de repos tel
que les ordonnées prises à distances egales de part et d'autre de ce point, soient égales
entr'elles, et que parconséquent les parties vibrantes comprises entre le point d'applica-tion
du stilet consideré comme simple point d'appui et les nœuds le plus voisins
pris audelà et endeçà de ce point, ne peuvent être égales entr'elles que dans le
seul cas où le stilet est supposé appliqué au milieu dela lame dont il s'agit.
14. Pour démontrer cette proposition en s'occupant d'abord du cas où les deux
extremités dela lame, il faut se rappeller sont libres, il faut se rappeller que,
pour un point quelconque L situé aux distances a\lambda et (1-\lambda)a des extremités dela lame,
la supposition y = 0 qui résulte de ceque le stilet est appuyé dans ce point,
donne l'équation e^{\lambda\omega} \pm e^{(1-\lambda)\omega} + (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,\lambda\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,\lambda\omega = 0 (V. M. d'Euler § 21).
on voit aisément que les ordonnées des points situés àdroite et àladistance \lambda' a du
point L, seront
\ldots\ldots\{e^{(\lambda-\lambda')\omega} \pm e^{(1-\lambda+\lambda')\omega} + (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,(\lambda-\lambda')\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,(\lambda-\lambda')\omega\} = y
\ldots\ldots\{e^{(\lambda+\lambda')\omega} \pm e^{(1-\lambda-\lambda')\omega} + (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,(\lambda+\lambda')\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,(\lambda+\lambda')\omega\} = -y
ces ordonnées sont de signes contraires, parceque, si l'une est située au dessus
de l'axe, l'autre doit l'être au dessous du même axe. si elles sont égales entr'elles,
leur somme sera donc nulle, et on aura
0 = \{e^{\lambda\omega} \pm e^{(1-\lambda)\omega}\}\{e^{\lambda'\omega} + e^{-\lambda'\omega}\} + (1 \mp e^{\omega}).\,2\,\text{sin}\,\lambda\omega\,\text{cos}\,\lambda'\omega + (1 \pm e^{\omega})\,2\,\text{cos}\,\lambda\omega\,\text{cos}\,\lambda'\omega
et, à cause de e^{\lambda\omega} \mp e^{(1-\lambda)\omega} = -\{(1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,\lambda\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,\lambda\omega\},
cette condition se réduira à \{e^{\lambda\omega} \mp e^{(1-\lambda)\omega}\}\{e^{\lambda'\omega} + e^{-\lambda'\omega} - 2\,\text{cos}\,\lambda'\omega\} = 0.
À l'égard du cas où les deux extremités sont supposées fixées, la seule
différence entre les valeurs des coëfficiens \alpha, \beta, \gamma et \delta comparées à celles
qui sont relatives à l'hypothèse des extremités libres, est que les deux
En tête, au milieu, « (17) », barré de deux traits croisés ; en
haut à droite « 172 », à l'encre. Le texte suit la vue 350 sans lacune.
Le paragraphe est numéroté 14, dans la ligne : aucun numéro 13 ne se lit
entre le 12 de la vue 348 et celui-ci. « égales », au bout de la
quatrième ligne, est surchargé et empâté. « il faut se rappeller » est
barré dans la ligne et récrit après « sont libres ». Dans la référence à
Euler, le chiffre qui suit le 2 se confond avec la parenthèse fermante :
« § 21 » ou « § 2 ». L'accent de \lambda' est tracé comme un accent
aigu sur la lettre. Dans les deux dernières égalités, le signe entre
e^{\lambda\omega} et e^{(1-\lambda)\omega} est nettement \mp, alors
que l'équation de départ porte \pm ; on garde les signes du feuillet.
Les quatre coefficients sont écrits « u, \beta, v et \delta ». La
page s'arrête sur « est que les deux » ; la suite est à la vue 354.
dernieres sont prises avec des signes contraires; et il en résulte seulement que l'on a
e^{\lambda\omega} \pm e^{(1-\lambda)\omega} - \{(1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,\lambda\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,\lambda\omega\} = 0
\ldots\ldots\{e^{(\lambda-\lambda')\omega} \pm e^{(1-\lambda+\lambda')\omega} - [(1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,(\lambda-\lambda')\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,(\lambda-\lambda')\omega]\} = y
\ldots\ldots\{e^{(\lambda+\lambda')\omega} \pm e^{(1-\lambda-\lambda')\omega} - [(1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,(\lambda+\lambda')\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,(\lambda+\lambda')\omega]\} = -y
aulieu des valeurs précédentes; cequi n'empêche pas de conclure
\{e^{\lambda\omega} \mp e^{(1-\lambda)\omega}\}\{e^{\lambda'\omega} + e^{-\lambda'\omega} - 2\,\text{cos}\,\lambda'\omega\} = 0
et, pour satisfaire à cette condition, il faut que l'un ou l'autre des facteurs
e^{\lambda\omega} \mp e^{(1-\lambda)\omega}. et e^{\lambda'\omega} + e^{-\lambda'\omega} - 2\,\text{cos}\,\lambda'\omega puisse être égal à zéro: mais on voit aisément
que l'équation e^{\lambda'\omega} + e^{-\lambda'\omega} = 2\,\text{cos}\,\lambda'\omega ne peut être admise pour aucune valeur
de \lambda' différente de zéro; ainsi il ne reste à examiner que l'équation e^{\lambda\omega} = \pm e^{-\lambda\omega};
et il est évident que la seule valeur de \lambda qui convienne, est \lambda = \frac{1}{2} qui répond
au cas où il faut prendre le signe supérieur c'est adire à celui où il y a un
nombre impair de nœuds de vibrations, et parconséquent où il en existe un placé
au milieu dela lame.
Je ne crois pas que l'on ait encore fait cette remarque de l'inégalité des parties
comprises entre deux nœuds de vibrations dans les lames élastiques dont les deux extremités
sont libres ou fixées; car Mr Chladni se contente de dire, en parlant dela lame
dont les deux extremités sont libres, qu'une partie située à une extremité est
àpeuprès moitié moins longue qu'une partie comprise entre deux nœuds (V. traité d'acoustique
P. 94 § 71); cequi semble supposer que toutes les parties soumises à cette dernière
condition sont entr'elles d'égale longueur. Cependant Mr Giordano Ricati, dans
son memoire Delle vibrazioni de' cilindri inséré dans le premier
volume des mémoires dela société italienne, donne pour l'angle qui a été
désigné ici par \lambda\omega, des valeurs qui peuvent servir à confirmer la remarque
dont il s'agit pour le cas des extremités libres, seul cas qu'il ait traité
(Voyez. § XXX P 503)
En tête, au milieu, « (18) » barré d'un trait ; en haut à droite
« 173 », à l'encre. Le texte suit la vue 352 sans lacune. Dans « que
l'équation e^{\lambda\omega} = \pm e^{-\lambda\omega} », l'exposant de
droite est court et serré et se lit -\lambda\omega ; le raisonnement
attendrait (1-\lambda)\omega : on garde ce qu'on lit. Dans la
référence à Chladni, le nombre de la page se lit « g4 » ou « 94 », la
première figure ayant une queue descendante ; le brouillon de ce passage,
à la vue 272, a été lu « pag 4 §§ 71 ». Dans le renvoi final, trois
petites croix tiennent la place du numéro de paragraphe, comme au
brouillon de la vue 272. Le titre italien est écrit en caractères plus
gros que le reste de la ligne ; il est rendu en italique. Le nom est
écrit « Ricati ». Le feuillet s'achève sur ce renvoi, au bas de la
page.
En effet, on voit, en comparant ces valeurs, qu'une partie située à l'extrémité, est
moins grande que la moitié dela partie comprise entre les deux nœuds les plus
voisins de cette extrémité; que la partie comprise entre le second nœud et le
troisième, est plus grande que celle qui est située entre le premier et le second;
que pareillement encore la partie comprise entre deux nœuds le troisième et le
quatrième nœud, est plus grande que toutes les précédentes; desorte qu'en général
une partie comprise entre deux nœuds, est d'autant plus étendue qu'elle est
plus éloignée de l'extrémité et plus voisine du milieu dela lame, quoique
pourtant les différences soient beaucoup plus grandes entre les parties qui
sont près des extrémités, qu'entre celles qui s'en éloignent d'avantage.
Mais Mr Ricati s'est contenté de donner les valeurs dont il est question,
sans les comparer entr'elles, et sans conclure parconséquent l'inégalité des
parties vibrantes comprises entre deux nœuds.
15. Au contraire, lorsqu'il s'agit d'une lame élastique vibrante dont
les deux extremités sont simplement appuyés, les parties vibrantes comprises
entre deux nœuds sont égals entr'elles; car si, après avoir supposé que
le point d'application du stilet équivalant à un point d'appui soit
placé à la distance \lambda a d'une des extremités, on veut qu'il existe
deux autres nœuds aux distances (\lambda-\lambda')a et (\lambda+\lambda')a de la même extrémité
et parconséquent situés l'un et l'autre à la distance \lambda' a du point d'application
du stilet et de part et d'autre de ce même point; ces différentes conditions
seront exprimées par les équations \text{sin}\,\lambda\omega = 0 \text{sin}\,(\lambda-\lambda')\omega = 0, \text{sin}\,(\lambda+\lambda')\omega = 0;
et, en ajoutant les deux dernières ensemble, on trouvera la condition 2\,\text{sin}\,\lambda\omega\,\text{cos}\,\lambda'\omega = 0
condition qui est évidemment remplie en vertu dela première et indépendamment
de la valeur de \lambda'. Ainsi on voit àprésent par quelle raison le cas des
deux extremités appuyés est le seul pour lequel on puisse avoir une solution
générale de l'équation finale trouvée par la méthode d'Euler.
En tête, au milieu, « (19) » barré ; en haut à droite « 174 », à
l'encre. Le texte suit la vue 354 sans lacune. « moins » est écrit plus
petit, en retrait à gauche, au début de la deuxième ligne ; « pareillement »
est d'une écriture plus fine, dans la ligne, peut-être sur un mot gratté ;
« deux nœuds » est barré après « entre ». Plusieurs mots sont surchargés
sans que la lecture en soit changée (« l'extrémité » à la première ligne,
« des » devant « parties vibrantes »). Des taches d'encre marquent la
page près de « point » et de « première ». Le paragraphe 15 porte son
numéro dans la ligne. « égals », « appuyés » : ainsi sur le feuillet. La
page s'achève sur « la méthode d'Euler. », au bas du feuillet.
16. On peut remarquer qu'il existe la plus grande analogie entre les diverses
équations finales relatives aux différens cas où on suppose le stilet appliqué
dans un point quelconque de la longueur des lames élastiques vibrantes dont
les extremités sont appuyées libres ou fixées, et aussi entre les facteurs de
ces équations et les conditions par lesquelles l'angle \omega est déterminé
lorsqu'on a simplement égard à l'état des extremités des mêmes lames.
afin que l'on puisse saisir plus facilement ces rapports, je vais écrire ici
ces différentes équations, en y joignant encore l'équation finale que j'ai trouvée
pour le cas où le stilet est censé appliqué à la lame dont une des extremités
est fixée et l'autre appuyée
équation finale pour le cas des deux extremités appuyées: § 5
\begin{align*}
&\text{sin}\,\lambda\omega\,\Bigl\{\frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega \\
&+ \text{sin}\,(1-\lambda)\omega\,\Bigl\{\frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega - \text{cos}\,\lambda\omega\Bigr\} = 0
\end{align*}
……………………………… libres § 8
\begin{align*}
&\Bigl\{\frac{2}{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}} + \text{cos}\,\lambda\omega\Bigr\}\Bigl\{\frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega\Bigr\} \\
&+ \Bigl\{\frac{2}{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}} + \text{cos}\,(1-\lambda)\omega\Bigr\}\Bigl\{\frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega - \text{cos}\,\lambda\omega\Bigr\} = 0
\end{align*}
……………………………… fixées § 12
\begin{align*}
&\Bigl\{\frac{2}{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}} - \text{cos}\,\lambda\omega\Bigr\}\Bigl\{\frac{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin}\,(1-\lambda)\omega - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega\Bigr\} \\
&+ \Bigl\{\frac{2}{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}} - \text{cos}\,(1-\lambda)\omega\Bigr\}\Bigl\{\frac{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin}\,\lambda\omega - \text{cos}\,\lambda\omega\Bigr\} = 0
\end{align*}
………… d'une extremité fixée et l'autre appuyée
\begin{align*}
&\Bigl\{\text{tang}\,\lambda\omega - \frac{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}\Bigr\}\Bigl\{\text{tang}\,(1-\lambda)\omega - \frac{e^{(1-\lambda)\omega} - e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega}}\Bigr\} \\
&= 2\,\text{tang}\,\lambda\omega\,\frac{e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega} + e^{-\lambda\omega}}\Bigl\{1 - \frac{2}{(e^{(1-\lambda)\omega} + e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-\lambda)\omega}\Bigr\}
\end{align*}
Les équations qui déterminent les valeurs de l'angle \omega lorsqu'on a simplement
égard à l'état des extremités, sont extraites du mémoire d'Euler; elles sont:
Pour le cas des deux extremités libres §. 5 …… \text{cos}\,\omega = \frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega} + 1}
…… d'une extremité libre et l'autre appuyée §. 23 … \text{tang}\,\omega = \frac{e^{2\omega} - 1}{e^{2\omega} + 1}
…… d'une extremité libre et l'autre fixée § 30 … \text{cos}\,\omega = -\frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega} + 1}
……………… appuyées § 35 ……… \text{sin}\,\omega = 0
…… d'une extremité appuyée et l'autre fixée §. 39 … \text{tang}\,\omega = \frac{e^{2\omega} - 1}{e^{2\omega} + 1}
……………… fixées § 43 …… \text{cos}\,\omega = \frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega} + 1}
En tête, au milieu, « (20) » barré ; en haut à droite « 175 », à
l'encre, le 5 tracé en boucle comme un S. Le paragraphe 16 porte son
numéro dans la ligne, le 1 réduit à un point épais. Le texte suit la vue
356. Les renvois « § 5 », « § 8 », « § 12 » qui
suivent les équations finales désignent, semble-t-il, ses propres
paragraphes : l'équation finale des extrémités fixées est celle du § 12
(vue 348), et celle des extrémités libres est établie juste avant le § 9
(vue 342). Les renvois de la liste finale, « extraites du mémoire
d'Euler », sont ceux des paragraphes d'Euler. Dans ces nombres, le 3 est
tracé comme un 9 à queue courte et le 9 a une longue queue : on lit 23,
30, 35, 39, 43, suivant ce que le passage sur la copie d'Euler a établi
pour cette forme du 3. Le premier renvoi se lit « §. 5 », comme « cas I
§ 5 » à la vue 344 ; la liste correspondante du brouillon, à la vue 276,
a été lue « No 9 ». Dans la
première équation finale, l'accolade ouverte après
\text{sin}\,\lambda\omega n'est pas refermée avant « + ». Dans la
dernière équation finale, le signe entre les deux exponentielles du
dernier dénominateur est surchargé ; le « 1 » de
\text{cos}\,(1-\lambda)\omega y est empâté. La vue 359 reproduit ce
même feuillet, photographié une seconde fois : même texte, mêmes taches,
même « 175 » ; elle n'est pas transcrite.