Français 9115 · lot 19 · vues 361–380 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
Lecture automatique — non vérifiée

Numérotation des feuillets. Chaque feuillet écrit porte deux nombres à l'encre, et les versos blancs n'en portent aucun : au milieu de la tête, entre parenthèses et barré d'un trait, sa pagination de cette mise au net, (21) à la vue 361 puis (22) à (30) aux vues 363 à 379 ; en haut à droite, d'une plume plus large et d'une écriture plus ronde, 176 à la vue 361 puis 177 à 185 aux vues 363 à 379, un par feuillet et sans lacune. Cette seconde série occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume, comme dans les lots précédents de ce volume ; aucun « f. » n'est donc porté. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Les vues 362, 364, 366, 368, 370, 372, 374, 376, 378 et 380 sont les versos blancs des feuillets qui les précèdent et ne sont pas transcrites.

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17. On voit que, dans le cas où l'état des extremités est semblable, les équations finales sont composées de deux termes, dont l'un est le produit dela quantité qui devroit être égalée a zéro si la partie dela lame de longueur \(xa\) se mouvoit comme une lame entière et separée dont une extremité seroit appuyée par l'effet de l'application du stilet et dont l'autre resteroit libre fixée ou appuiée suivant les cas; par la quantité qui devroit être égalée a zéro si la partie de longueur \(a(1-x)\) se mouvoit comme une lame entière et separée qui auroit une de ses extremités fixée par l'effet de l'application du stilet et l'autre libre fixée ou appuiée suivant les cas; et que le second terme est composé d'une manière semblable puisqu'il ne differe du premier que par le changement de \(xa\) en \((1-x)a\) et vice versâ. En tête, au milieu, « (21) » entre parenthèses, barré d'un trait horizontal ; en haut à droite « 176 », à l'encre, d'une plume large. Le paragraphe porte le numéro 17, écrit dans la ligne. « et vice versâ » est souligné. C'est une mise au net : écriture régulière, presque sans rature. Le feuillet est collé sur un onglet ; l'estampille de la Bibliothèque impériale est apposée dans la marge de gauche, en bas.

On peut encore observer que, même dans le cas où l'état des extremités est different, il existe une grande analogie entre l'équation finale et celles des cas précédens. en effet, si on choisit l'exemple d'une extremité fixée et l'autre appuyée § precedent, on voit que, si on suppose le stilet simplement appuyé, l'une des quantités \(\text{sin}\,x\omega\) . \(\text{tang}\,(1-x)\omega - \frac{e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega}}{e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega}}\) est celle qui doit être égalée à zéro pour avoir le mouvement d'une lame separée de longueur \(xa\) dont une des extremités est appuiée par l'effet de l'application du stilet et [dont] l'autre est également appuyée en vertu de l'hypothèse, tandis que la seconde des mêmes quantités est celle qui doit être égalée a zéro pour avoir le mouvement d'une lame separée de longueur \((1-x)a\) dont une des extremités est appuiée par l'effet de l'application du stilet et dont l'autre est fixée en vertu de l'hypothèse; Et demême, si on considère le stilet comme fixé, l'une des quantités \(\text{tang}\,x\omega - \frac{e^{x\omega} - e^{-x\omega}}{e^{x\omega} + e^{-x\omega}}\) \(\text{cos}\,(1-x)\omega - \frac{2}{e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega}}\) sera celle qui doit être égalée à zéro pour avoir la condition du mouvement d'une lame separée de longueur \(xa\) Le signe lu « § » devant « precedent » ressemble à un D pointé ; la lecture est offerte d'après le sens. Après « tang », l'argument \((1-x)\omega\) est écrit sur un autre tracé et empâté ; il se lit sous la tache. Le point entre \(\text{sin}\,x\omega\) et \(\text{tang}\,(1-x)\omega\) sépare les deux « quantités » dont parle la phrase (« l'une des quantités… la seconde des mêmes quantités ») ; de même, plus bas, rien ne sépare sur le feuillet \(\text{tang}\,x\omega - \dots\) de \(\text{cos}\,(1-x)\omega - \dots\), écrit en tête de la ligne suivante. « dont » est ajouté au-dessus de la ligne. La phrase se poursuit au feuillet suivant (vue 363).

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dont une des extremités seroit fixée en vertu de l'application du stilet et dont l'autre seroit appuyée par l'hypothese relative aux extremités dela lame primitive, tandis que la seconde des mêmes quantités seroit celle qui devroit être egalée a zéro pour obtenir la condition du mouvement d'une lame separée de longueur \((1-x)a\) dont une des extremités seroit fixée par l'effet de l'application du stilet et l'autre pareillement fixée en conséquence de l'hypothese. En tête, au milieu, « (22) » entre parenthèses, barré d'un trait horizontal ; en haut à droite « 177 », à l'encre. Une petite tache d'encre, en forme de C, au-dessus de « condition », n'est pas un mot.

18. Cependant, malgré des analogies si remarquables, les équations finales ne fournissent qu'un petit nombre de conséquences qui se réduisent aux suivantes:

Pour le cas où les extremités sont l'une et l'autre appuyées, l'équation finale montre que, si il y a un point d'appui aux distances \(xa\) et \((1-x)a\) des extremités, on aura \(\text{sin}\,x\omega = 0\), et qu'il se formera encore des points de repos à des distances \(2xa\) et \((1-2x)a\), \(3xa\) et \((1-3x)a\) &c. des mêmes extremités, parceque la condition \(\text{sin}\,xa = 0\) entraine les suivantes \(\text{sin}\,2x\omega = 0\) \(\text{sin}\,3x\omega = 0\) &c; desorte que, pour une valeur quelconque de \(x\), on pourra toujours considérer la lame primitive comme separée en deux autres lames qui auroient également leurs deux extremités appuiées. Et, pour les cas des deux extremités libres ou fixées, le seul resultat générale des équations finales est que, si il existe un nœud de vibration à la distance \(ax\) d'une des extremités, il se formera un autre nœud à la même distance \(ax\) de l'autre extremité, parceque ces équations sont fonctions homogenes des quantités \(x\) et \(x-1\). mais on déduit, à la verité, des mêmes équations que les lames dont il s'agit peuvent etre considérées comme deux lames separées, la demoitiés moins longues, lorsque \(x = \frac{1}{2}\). Le paragraphe porte le numéro 18, écrit dans la ligne. « \(\text{sin}\,xa = 0\) » est écrit ainsi, avec \(a\) au lieu de \(\omega\), deux lignes après « \(\text{sin}\,x\omega = 0\) » ; la leçon du feuillet est gardée. Le dernier chiffre de « \(x-1\) » est empâté. Le mot biffé devant « demoitiés » est court et surchargé ; « la » est la lecture la plus probable, non sûre. C'est la mise au net de la matière du § 18 du brouillon (voir la vue 283, au lot 15, dont la première phrase reprend presque mot pour mot la fin de l'alinéa sur les extrémités appuyées).

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19. Il me semble que l'on peut parvenir à tous ces resultats, sans avoir recours aux équations finales, et en se bornant à la seule considération des extremités et à la supposition \(y = 0\) dans les points où la courbe doit couper l'axe ou ligne de repos. En tête, au milieu, « (23) » entre parenthèses, barré d'un trait horizontal ; en haut à droite « 178 », à l'encre. Le paragraphe porte le numéro 19, écrit dans la ligne. La phrase d'ouverture est la mise au net de celle qui ouvre le § 19 du brouillon, à la vue 283 (lot 15).

En effet, pour le cas des deux extremités appuyées, on déduit des valeurs données, Memoire d'Euler § 35, que l'ordonnée est en général exprimée par l'équation \(y = \dots\ \text{sin}\,x\omega\); desorte que, si par une cause quelconque la courbe coupe l'axe dans le point qui répond à une certaine valeur de \(x\), cequi arrive pour les nœuds de vibration, on aura \(\text{sin}\,x\omega = 0\), d'où on déduira également \(\text{sin}\,2x\omega = 0\) &c., et parconséquent aussi que la lame peut etre considerée comme autant de lames separées des longueurs \(xa\), ou comme deux lames egalement separées des longueurs \(xa\) \((1-x)\omega\) dont les deux extremités seroient appuyées; car il est visible qu'à cause de \(\text{sin}\,\omega = 0\); \(\text{sin}\,x\omega = 0\) entraine \(\text{sin}\,(1-x)\omega = 0\). « \(y = \dots\ \text{sin}\,x\omega\) » : les points sont sur le feuillet et tiennent la place d'un facteur omis. « qui », après « le point », est écrit sur un autre mot et empâté. « \((1-x)\omega\) », à la fin de l'alinéa, est bien écrit avec \(\omega\) là où le sens attend \((1-x)a\) ; la leçon du feuillet est gardée. Dans « que la lame », l'article est surchargé.

A l'egard du cas où les extremités sont libres, lorsque la courbe coupe l'axe, pour une valeur quelconque de \(x\), on a l'équation \[ e^{x\omega} \pm e^{(1-x)\omega} + (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0 \] (Voyez M. d'Euler § 21); et, en prenant d'abord les signes inferieurs qui conviennent au cas où \(\text{sin}\,\omega\) est positif, qui est celui où il y a un nombre impair de nœuds, on trouve, en faisant \(x = \frac{1}{2}\), \((1 + e^{\omega})\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega + (1 - e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega = 0\) ou \(\text{tang}\,\frac{1}{2}\omega = \frac{e^{\omega} - 1}{e^{\omega} + 1}\), qui est la condition du mouvement d'une lame de longueur \(\frac{1}{2}a\), dont une extremité est appuyée et l'autre libre, et delaquelle il resulte parconséquent que la lame dont il s'agit peut etre considérée comme partagée en deux autres lames moitiée moins longues, comme on l'a vu cidessus Le signe \(\pm\) qui suit \(e^{x\omega}\) est repassé et empâté. Le dernier chiffre du renvoi « § 21 » est empâté ; il est offert avec doute. « M. » est écrit ainsi, abrégé. Le feuillet s'arrête après « cidessus », sans ponctuation, sur le dernier tiers de la page laissé blanc.

367

Si on reprend l'équation \((1 + e^{\omega})\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega + (1 - e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega = 0\), qui resulte d'ailleurs des conditions \(\text{cos}.\,\omega = \frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega} + 1}\) et \(\text{sin}.\,\omega = \frac{e^{2\omega} - 1}{e^{2\omega} + 1}\) qui conviennent au cas present, [(Voy. M. d'Euler §§ 15)] parcequ'en effet, lorsqu'il y a un nombre impair de nœuds, il y en a nécessairement un aumilieu de la courbe, et si l'on multiplie cette équation par \(2\,\text{cos}\,\frac{(1-2x)\omega}{2}\), on aura \[ 2\left\{(1 + e^{\omega})\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}\omega + (1 - e^{\omega})\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega\right\}\text{cos}\,\frac{(1-2x)\omega}{2} \] \[ = (1 + e^{\omega})\{\text{sin}.\,x\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\} + (1 - e^{\omega})\{\text{cos}\,x\omega + \text{cos}\,(1-x)\omega\} = 0 \] et on trouvera, en retranchant l'équation generale de cette derniere, \[ (1 + e^{\omega})\{\text{sin}\,x\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\} + (1 - e^{\omega})\{\text{cos}\,x\omega + \text{cos}\,(1-x)\omega\} \] \[ - \{e^{x\omega} - e^{(1-x)\omega} + (1 + e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 - e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega\} \] \[ = e^{(1-x)\omega} - e^{x\omega} + (1 + e^{\omega})\,\text{sin}\,(1-x)\omega + (1 - e^{\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega = 0, \] d'où on conclut que l'ordonnée est encore zéro lorsque l'on change \(x\) et \(1-x\), et vice versâ; et parconséquent que, si il y a un nœud à la distance \(ax\) d'une des extremités, il y en aura necessairement un autre à la même distance de l'autre extremité. En tête, au milieu, un nombre entre parenthèses, barré de deux traits horizontaux ; sous les traits on lit « (24) », le second chiffre avec doute ; en haut à droite « 179 », à l'encre. Le renvoi « (Voy. M. d'Euler §§ 15) » est écrit au-dessus de la ligne, au-dessus de « present, parcequ'en effet », et souligné d'un long trait ; les deux signes lus « §§ » ressemblent à deux « s ». « et vice versâ » est souligné. Le mot lu « nœud » est empâté par une tache.

Demême aussi, pour le cas où il y a un nombre pair de nœuds, on a l'équation \((e^{\omega} + 1)\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega - (1 - e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega = 0\) qui resulte des conditions \(\text{cos}.\,\omega = \frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega} + 1}\) \(\text{sin}.\,\omega = -\frac{e^{2\omega} - 1}{e^{2\omega} + 1}\); et on trouve, en la multipliant par \(2\,\text{sin}\,\frac{(1-2x)\omega}{2}\), \[ 2\left\{(e^{\omega} + 1)\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}\omega - (1 - e^{\omega})\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega\right\}\text{sin}\,\frac{(1-2x)\omega}{2} \] \[ = (e^{\omega} + 1)\{\text{cos}\,x\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\} + (1 - e^{\omega})\{\text{sin}.\,x\omega - \text{sin}\,(1-x)\omega\} = 0, \] et cette équation retranchée de l'équation générale propre à ce cas, savoir de \[ e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1 - e^{\omega})\,\text{sin}.\,x\omega + (1 + e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0, \] donne \[ e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1 - e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 + e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega \] \[ - \{(e^{\omega} + 1)[\text{cos}\,x\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega] + (1 - e^{\omega})[\text{sin}.\,x\omega - \text{sin}\,(1-x)\omega]\} \] \[ = e^{(1-x)\omega} + e^{x\omega} + (1 - e^{\omega})\,\text{sin}\,(1-x)\omega + (1 + e^{\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega = 0; \] d'où on tire, comme cidessus, la condition que \(x\) et \((1-x\) peuvent etre changés l'un en l'autre, sans que l'ordonnée cesse d'être egale a zéro Dans la seconde équation de l'alinéa, le signe entre \(\text{sin}.\,x\omega\) et \(\text{sin}\,(1-x)\omega\) est une tache d'encre allongée ; c'est un « \(-\) » repassé, comme le montre la même accolade recopiée deux lignes plus bas, où il est net. Dans l'équation générale et dans la ligne qui la reprend, « \(\text{cos}\,x\omega\) » est écrit sur un autre tracé et empâté, aux deux endroits de la même manière. « \((1-x\) » est écrit sans la parenthèse fermante.

Les résultats sont parfaitement semblables pour le cas où les deux extremités sont fixés; car la seule différence entre ce cas et le precedent, est qu'on a ici \[ e^{x\omega} \pm e^{(1-x)\omega} - \{(1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}.\,x\omega\} = 0 \] au lieu de \[ e^{x\omega} \pm e^{(1-x)\omega} + (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}.\,x\omega\} \] « résultats » est surchargé : les premières lettres sont écrites sur un autre mot. « au lieu de » est écrit dans la marge de gauche, en face de la seconde formule. Celle-ci se ferme sur une accolade sans accolade ouvrante, et le feuillet s'arrête là, sans ponctuation ; le feuillet suivant (vue 369) ouvre un nouveau paragraphe, numéroté 20.

369

20. Après avoir remarqué que les équations finales semblent indiquer des conclusions qui ne sont pourtant pas admissibles puisqu'elles sont inconcilliables avec les hypothèses subsistantes sur l'état des extremités, et après avoir prouvé que celles des conséquences de ces équations qui sont applicables, peuvent être atteintes par des considérations fort simples et independantes des mêmes équations, il étoit naturel d'examiner la méthode au moyen delaquelle elles ont été trouvées. En tête, au milieu, « (25) » entre parenthèses, barré d'un trait léger ; en haut à droite « 180 », à l'encre. Le paragraphe porte le numéro 20, écrit dans la ligne. Dans « inconcilliables », les lettres du milieu sont repassées. C'est la mise au net du § 20 du brouillon (vue 287, lot 15).

On peut voir dans le § 47 […] du mémoire d'Euler, que l'auteur, après avoir admis que le stilet soit simplement appuyé de manière à cequé le mouvement puisse se communiquer de l'une à l'autre des deux parties qu'il sépare, suppose cependant que l'action de ce stilet interromp la continuité de la courbe, desorte que, suivant cette supposition, les deux portions de cette courbe seroient exprimées par des équations qui differeroient seulement par les valeurs des coëfficiens \(\alpha\ \beta\ \gamma\) et \(\delta\), et que c'est, d'après cette hypothèse, qu'il a établi les équations I II III et IV Entre « § 47 » et « du mémoire », trois mots courts sont biffés d'un trait épais qui les rend illisibles. Le \(\gamma\) est tracé comme un « v ». Les chiffres romains des équations sont tracés gras.

Sans avoir recours au calcul, il peut d'abord paroître étonnant qu'Euler suppose que les deux portions séparées par l'application du stilet, n'appartiennent plus a une seule et même courbe; car le seul effet de cette application est de déterminer la formation d'un certain nombre de nœuds, et parconséquent de donner lieu à de certains mouvemens reguliers compris au nombre de ceux qui ont été traités dans l'examen des six cas relatifs à l'état des extremités; Or les mouvemens dont il s'agit s'exécutent suivant une courbe continue: ces reflexions mènent donc à conclure que les coëfficiens \(\alpha', \beta', \gamma', \delta'\) sont égaux chacun à son correspondant parmi les coëfficiens \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\). Cependant je n'ose admettre une opinion si contraire à celle d'Euler, sans la soumettre a un examen plus approfondi. c'est pourquoi je me propose de démontrer la proposition suivante que je crois egalement facile à « portions » est souligné. « stilet », dans « l'application du stilet », est écrit sur un autre mot. La phrase se poursuit au feuillet suivant (vue 371). C'est la mise au net de la fin du brouillon de la vue 289 (lot 15).

371

démontrer pour les cas où l'état des extremités n'est pas le même pour chacune d'elles. En tête, au milieu, « (26) » entre parenthèses, barré d'un trait horizontal ; en haut à droite « 181 », à l'encre. Cette première ligne achève la phrase commencée au bas de la vue 369.

21 Toutes les fois que la condition de l'application d'un stilet simplement appuyé dans un point quelconque de l'étendue d'une lame elastique vibrante, laisse subsister une hypothèse déterminée et semblable sur l'état de l'une et l'autre des extremités de la même lame, les coëfficiens \(\alpha, \beta, \gamma\ \delta\) et \(\alpha', \beta', \gamma'\ \delta'\) qui entrent dans l'expression des ordonnées des deux parties de la courbe séparées par ce point d'appui, sont égaux chacun à son correspondant. Le paragraphe porte le numéro 21. L'énoncé de la proposition, de « Toutes les fois » à « correspondant », est écrit d'une écriture plus droite, plus ronde et plus détachée que le reste du feuillet, comme pour le mettre en valeur ; la suite (« Je vais commencer ») revient à la main courante. Rien sur le feuillet ne dit s'il s'agit d'une autre main ; la passe n'en décide pas.

Je vais commencer par prouver qu'en général il suffit que l'un de ces coëfficiens soit égal à son correspondant, pour que la même égalité ait lieu entre tous les autres, desorte que, si on a, par exemple, \(\alpha = \alpha'\), il en resultera nécessairement \(\beta = \beta'\) \(\gamma = \gamma'\) &c.

Je suppose donc \(\alpha = \alpha'\); il resulte alors de l'équation \(\alpha e^{x\omega} + \beta e^{-x\omega} = \alpha' e^{x\omega} + \beta' e^{-x\omega}\) §. 8 que \(\beta = \beta'\). dans cette hypothèse, les équations III et IV se reduisent à \[ \text{III}.\ (\gamma - \gamma')\,\text{cos}\,x\omega - (\delta - \delta')\,\text{sin}.\,x\omega = 0 \qquad \text{IV}.\ (\gamma - \gamma')\,\text{sin}.\,x\omega + (\delta - \delta')\,\text{cos}.\,x\omega = 0 \] on tire de la première multipliée par \(\text{cos}\,x\omega\) et ajoutée à la seconde multipliée elle même par \(\text{sin}\,x\omega\), \((\gamma - \gamma')(\text{sin}^2 x\omega + \text{cos}^2 x\omega) = 0\) c'est adire \(\gamma = \gamma'\); on a alors \[ \text{III}.\ (\delta - \delta')\,\text{sin}\,x\omega = 0 \qquad \text{IV}.\ (\delta - \delta')\,\text{cos}.\,x\omega = 0, \] et parconséquent \(\delta = \delta'\). « §. 8 », en tête de ligne, renvoie à l'équation qui précède ; le signe du paragraphe est tracé comme un I bouclé. Les mots « par \(\text{sin}\,x\omega\) » débordent dans la marge de gauche. Le \(\gamma\) est tracé comme un « v » et les chiffres romains sont tracés gras, comme au feuillet précédent.

Ainsi il ne s'agit plus que de prouver qu'en effet la condition \(\alpha = \alpha'\) est nécessaire. je choisis d'abord le cas où les deux extremités sont supposées libres; on a alors \[ \frac{\alpha e^{-\omega}\{e^{(1-x)\omega} + \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}}{\alpha'\{e^{-x\omega} - \text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\}} = \] […] (Voyez § 8) \[ = \frac{(e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}\,(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega}{(e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega - (e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{sin}.\,x\omega} \] il suffit donc de montrer que l'équation \[ \{e^{-x\omega} + e^{-\omega}(\text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega)\}\{(e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega\} \] \[ = \{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}.\,x\omega - e^{-x\omega}\}\{(e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}\,(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega\} \] Après le premier signe \(=\), une fraction entière est biffée lettre par lettre et n'est pas lue ; on devine seulement qu'elle commence au numérateur et au dénominateur par un « 2 » et qu'elle contient \(e^{(1-x)\omega}\) en haut et \(e^{x\omega}\), \(e^{-x\omega}\) en bas. Le renvoi « (Voyez § 8) » est écrit à sa droite, non biffé. La seconde fraction est écrite en dessous, précédée de \(=\). Le feuillet s'arrête sur la seconde ligne de l'équation ; la phrase se poursuit au feuillet suivant (vue 373).

373

a lieu d'elle même sous les conditions indiquées. En tête, au milieu, « (27) » entre parenthèses, barré d'un trait horizontal ; en haut à droite « 182 », à l'encre. La première ligne achève la phrase du bas de la vue 371 (« il suffit donc de montrer que l'équation … a lieu d'elle même »). Le feuillet est presque tout entier occupé par le calcul, disposé ligne à ligne ; la disposition des lignes est gardée.

On a par le développement \[ (e^{(x-1)\omega} + e^{-(x+1)\omega})\{\text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega\} \] \[ - (e^{(x-1)\omega} - e^{-(x+1)\omega})\{\text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\} \] \[ + e^{-x\omega}\{(e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}\,(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega\} \] \[ = (e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\{\text{sin}\,(1-x)\omega\,\text{sin}.\,x\omega - \text{sin}\,(1-x)\omega\,\text{cos}.\,x\omega\} \] \[ - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\{\text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\} \] \[ - e^{-x\omega}\{(e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{sin}.\,x\omega - (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{cos}.\,x\omega\} \] ou \[ e^{(x-1)\omega}\{\text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\,\text{sin}.\,x\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{cos}.\,x\omega - \text{sin}\,(1-x)\omega\,\text{cos}.\,x\omega\} \] \[ + e^{-(1+x)\omega}\{\text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{sin}.\,x\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\,\text{sin}.\,x\omega + \text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{cos}.\,x\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\} \] \[ + e^{-x\omega}\{(e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}\,(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega \] \[ + (e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{sin}.\,x\omega - (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{cos}.\,x\omega\} \] \[ = e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}.\,(1-x)\omega\,\text{sin}.\,x\omega - \text{sin}\,(1-x)\omega\,\text{cos}.\,x\omega + \text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\} \] \[ + e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega\,\text{sin}.\,x\omega - \text{sin}\,(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{sin}.\,x\omega + \text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\} \] en effaçant ce qui se détruit, et multipliant par \(e^{x\omega}\) cette équation devient \[ e^{-\omega}\{\text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{sin}.\,x\omega + \text{sin}.\,(1-x)\omega\,\text{sin}.\,x\omega + \text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{cos}.\,x\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\} \] \[ + (e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}\,(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega \] \[ + (e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega \] \[ = e^{\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega\,\text{sin}.\,x\omega - \text{sin}\,(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,(1-x)\omega\,\text{cos}.\,x\omega\} \] qui peut etre mise sous la forme \[ e^{-\omega}\{\text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}\{\text{cos}.\,x\omega + \text{sin}\,x\omega\} \] \[ + e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\} + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega + \text{cos}\,(1-x)\omega\} \] \[ + e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} + e^{-x\omega}\{\text{sin}.\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\} \] \[ = e^{\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}.\,x\omega\} \] je suppose d'abord \(\text{sin}.\,\omega\) positif, on a pour ce cas \[ \left.\begin{array}{l} e^{x\omega} - e^{(1-x)\omega} + (1 + e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 - e^{\omega})\,\text{cos}.\,x\omega = 0 \\ e^{(1-x)\omega} - e^{x\omega} + (1 + e^{\omega})\,\text{sin}\,(1-x)\omega + (1 - e^{\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega = 0 \end{array}\right\} \] (voyez § 19)

et on tire du produit de ces équations multipliée par \(e^{-\omega}\) \[ e^{-\omega}\{\text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,(1-x)\omega\}\{\text{cos}\,x\omega + \text{sin}\,x\omega\} = e^{\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} \] \[ + 2 - e^{(1-2x)\omega} - e^{(2x-1)\omega} + e^{x\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\} \] \[ - e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\} + e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} - e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} \] Le renvoi « (voyez § 19) » est écrit à droite de l'accolade qui réunit les deux équations. Au bas du feuillet, le dernier signe \(-\), devant \(e^{x\omega}\), est empâté. Le calcul se poursuit au feuillet suivant (vue 375).

375

on trouve ainsi, en retranchant cette équation de l'équation precedente, \[ 2 - e^{(1-2x)\omega} - e^{(2x-1)\omega} + e^{x\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\} \] \[ - e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\} + e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} - e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} \] \[ + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega + \text{cos}\,(1-x)\omega\} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\} \] \[ + e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\} + e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} \] \[ = 2 - e^{(1-2x)\omega} - e^{(2x-1)\omega} + e^{x\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\} + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega + \text{cos}\,(1-x)\omega\} \] \[ + e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\} \] \[ = e^{-x\omega}\{e^{x\omega} - e^{(1-x)\omega} + (1 + e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 - e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega\} \] \[ + e^{(x-1)\omega}\{e^{(1-x)\omega} - e^{x\omega} + (1 + e^{\omega})\,\text{sin}\,(1-x)\omega + (1 - e^{\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega\} \] quantité qui est nécessairement égale à zéro, puisqu'elle est la somme des deux valeurs d'\(y = 0\) qui répondent a \(x\) et \(x-1\), multipliées l'une par \(e^{-x\omega}\), et l'autre par \(e^{(x-1)\omega}\). En tête, au milieu, « (28) » entre parenthèses, barré d'un trait horizontal ; en haut à droite « 183 », à l'encre. La première ligne enchaîne sur le calcul du bas de la vue 373 (« cette équation » est celle qu'on vient d'y tirer du produit des deux équations). Le « 2 » qui ouvre la troisième ligne de calcul est tracé gras, comme un \(x\).

Il faut maintenant prouver la même chose pour le cas où \(\text{sin}.\,\omega\) est négatif. les deux équations relatives a ce cas sont \[ \left.\begin{array}{l} e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1 - e^{\omega})\,\text{sin}.\,x\omega + (1 + e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0 \\ e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1 - e^{\omega})\,\text{sin}\,(1-x)\omega + (1 + e^{\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega = 0 \end{array}\right\} \] § 19

et on tire de leur produit multiplié par \(e^{-\omega}\) \[ e^{-\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega + \text{cos}\,(1-x)\omega\}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\} = e^{\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} \] \[ + 2 + e^{(2x-1)\omega} + e^{(1-2x)\omega} \] \[ - (e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega})\{\text{sin}\,(1-x)\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} \] puis en retranchant cette équation de celle qu'il faut démontrer, on trouve \[ 2 + e^{(2x-1)\omega} + e^{(1-2x)\omega} - (e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega})\{\text{sin}\,(1-x)\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega + \text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} \] \[ + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega + \text{cos}\,(1-x)\omega\} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\} \] \[ + e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\} + e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} \] \[ = 2 + e^{(2x-1)\omega} + e^{(1-2x)\omega} - e^{x\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega - \text{cos}\,(1-x)\omega\} + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega + \text{cos}\,(1-x)\omega\} \] \[ - e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\} \] \[ = e^{-x\omega}\{e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1 - e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 + e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega\} \] \[ + e^{(x-1)\omega}\{e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1 - e^{\omega})\,\text{sin}\,(1-x)\omega + (1 + e^{\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega\} \] quantité qui par les raisons déduites cidessus, est nécessairement égale a zéro. Le renvoi « § 19 » est écrit à droite de l'accolade, sans parenthèses. Les deux équations du cas où \(\text{sin}\,\omega\) est négatif commencent l'une et l'autre par « \(e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega}\) », qui est symétrique. Dans la première ligne du produit, le signe à l'intérieur de la première accolade est petit et empâté ; il se lit « \(+\) ». Le feuillet s'arrête sur « égale a zéro. » ; le quart inférieur de la page reste blanc.

377

22. Lorsque les extremités sont l'une et l'autre fixées, il est également vrai que les deux series des coëfficiens \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) et \(\alpha', \beta', \gamma', \delta'\) sont égales entr'elles. en effet, je me suis assurée que l'on a, pour cedernier cas, \[ \frac{\alpha}{\alpha'} = \frac{\{(e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}\,(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega\}}{(e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega} \] \[ \cdot \frac{\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}.\,x\omega + e^{-x\omega}\}}{e^{-\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega + \text{cos}\,(1-x)\omega\} - e^{-x\omega}} \] au lieu de \[ \frac{\alpha}{\alpha'} = \frac{\{(e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}\,(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}\,(1-x)\omega\}}{(e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega} \] \[ \cdot \frac{\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega - e^{-x\omega}\}}{e^{-\omega}\{\text{sin}\,(1-x)\omega + \text{cos}\,(1-x)\omega\} + e^{-x\omega}} \] que j'ai montré avoir lieu pour le cas des extremités libres. il est aisé de voir que la seule différence qui existe entre ces deux équations, consiste dans le changement de signe de la quantité \(e^{-x\omega}\); et, comme on a, pour le cas des extremités fixées, \(e^{x\omega} \mp e^{(1-x)\omega} - \{(1 \pm e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \mp e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega\} = 0\), au lieu de \(\dots\) \(e^{x\omega} \mp e^{(1-x)\omega} + (1 \pm e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \mp e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0\) pour celui des extremités libres, il y a compensation entre les changemens de signes; et on parvient ici, comme dans le cas precedent, à conclure \(\alpha = \alpha'\). En tête, au milieu, « (29) » entre parenthèses, barré d'un trait horizontal ; en haut à droite « 184 », à l'encre, le dernier chiffre repassé. Le paragraphe porte le numéro 22. Chaque valeur de \(\frac{\alpha}{\alpha'}\) est écrite, comme à la vue 371, en deux fractions côte à côte sans signe entre elles ; le point de multiplication est de la transcription. « au lieu de » est suivi, sur le feuillet, d'une ligne de points qui aligne la seconde équation sous la première. C'est la mise au net du § 22 du brouillon (vue 297, lot 15).

23. A l'égard du cas où l'une et l'autre extremités sont appuyées, Euler trouve (Voyez § 47 […] de son memoire) \(\frac{\alpha}{\alpha'} = \frac{e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega}}{e^{x\omega} - e^{-x\omega}}\); et il est clair que cette équation ne mène pas à conclure \(\alpha = \alpha'\): mais il faut remarquer qu'ici tous les coëfficiens, a l'exception de \(\underline{\gamma}\), sont nuls en vertu de l'état des extremités; desorte que \(\frac{\alpha}{\alpha'}\) est essentiellement une quantité indéterminée; et que parconséquent on ne peut rien conclure de l'équation \(\frac{\alpha}{\alpha'} = \frac{e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega}}{e^{x\omega} - e^{-x\omega}}\): c'est sans doute cette circonstance qui a empêché l'auteur de s'appercevoir de l'identité entre les deux series de coëfficiens. Cependant, après avoir trouvé, dans la supposition \(x = \frac{1}{2}\) § 48, \[ \alpha = e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{\frac{3}{2}\omega};\quad \beta = e^{\frac{3}{2}\omega} - e^{\frac{1}{2}\omega}\quad \gamma = \frac{(e^{\frac{3}{2}\omega} - e^{\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega})}{\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega},\quad \delta = 0 \] \[ \alpha' = e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega}\quad \beta' = -e^{2\omega}(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega}),\quad \gamma' = \frac{(e^{\frac{3}{2}\omega} - e^{\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega})}{\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega - \text{cos}\,\frac{1}{2}\omega\,\text{tang}.\,\omega} \] \[ \quad \delta' = \frac{(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{\frac{3}{2}\omega})\,\text{tang}.\,\omega}{\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega - \text{cos}\,\frac{1}{2}\omega\,\text{tang}.\,\omega} \] Le paragraphe porte le numéro 23. Après « § 47 », un mot court est biffé d'un trait épais et n'est pas lu. La lettre soulignée après « a l'exception de » est tracée comme son \(\gamma\), un « v » bouclé ; le brouillon correspondant (vue 299, lot 15) avait été lu \(\delta\) au même endroit, et le relevé des coefficients qui suit, où \(\delta = 0\), s'accorde avec \(\gamma\). Dans « § 48 », le 4 est écrit sur un autre chiffre. Les exposants lus \(\frac{3}{2}\) ont un 3 à longue queue qui ressemble à un 9, comme dans la copie d'Euler. Au début de la barre de fraction de \(\gamma\), un gros empâtement allongé ; il n'est pas lu comme un signe \(-\), le numérateur commençant ici par \(e^{\frac{3}{2}\omega}\). Le \(\gamma\) est partout tracé comme un « v ». Le feuillet s'arrête sur ces huit valeurs ; la phrase (« après avoir trouvé… ») se poursuit au feuillet suivant (vue 379). C'est la mise au net du § 23 du brouillon (vue 299).

379

il multiplie tous ces coëfficiens par \(\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega\); cequi lui donne \[ \alpha = \alpha' = 0\quad \beta = \beta' = 0\quad \gamma = -\gamma'.\ \text{et}\ \delta = \delta' = 0 \] conformement à cequé j'ai dit devoir avoir lieu toutes les fois que l'on a égard à l'état des extremités. on peut observer seulement que le changement de signe est attribué au coëfficient \(\underline{\gamma'}\), au lieu d'être considéré comme appartenant à l'ordonnée dans l'expression delaquelle il doit entrer, ordonnée qui est prise de l'autre côté de l'axe. En tête, au milieu, « (30) » entre parenthèses, barré d'un trait horizontal ; en haut à droite « 185 », à l'encre, le 5 à longue queue descendante. La première ligne achève la phrase du bas de la vue 377 (« après avoir trouvé … »). « cequé » est écrit ainsi. Les mots lus « ordonnée qui » sont écrits sur d'autres lettres et empâtés ; la lecture est offerte d'après le sens. Une tache d'encre ronde couvre la fin de « l'axe ». Le brouillon (vue 299, lot 15) avait ici \(\delta = -\delta'\) ; la mise au net écrit \(\gamma = -\gamma'\) et nomme \(\gamma'\), souligné, comme le coefficient auquel Euler attribue le changement de signe.

On voit donc que l'examen de l'effet de l'application d'un stilet dans un point quelconque de la longueur d'une lame elastique vibrante, ne donne rien de plus que la supposition \(y = 0\) dans cemême point combiné avec les conditions dependantes de l'état des extremités. aussi les deux premières des équations I II III IV, employées à la solution des problems de ce genre, se reduisent-elles […] les deux premieres à l'expression d'\(y\) egalée à zéro, et les deux dernières à des équations identiques, lorsque l'on admet \(\alpha = \alpha'\) \(\beta = \beta'\) &c. « dependantes » est surchargé : les lettres du milieu sont écrites sur d'autres. Le groupe biffé devant « à l'expression » est barré lettre par lettre ; on croit y lire, après un premier mot illisible, « les deux premieres ». « problems » est écrit ainsi. Les chiffres romains des équations sont tracés gras.

24. J'ai déjà remarqué que, dans le cas où il y a un nombre impair de nœuds, la lame dont les deux extrémités sont libres, peut être considérée comme partagée en deux lames séparées moitié moins longues qui auroient une de leurs extrémités libre et l'autre appuiée; et que demême aussi la lame dont les deux extrémités sont fixées peut être considerée dans lemême cas comme partagée en deux lames séparées moitié moins longues qui auroient une de leurs extrémités fixée et l'autre appuiée. Cette remarque autorise à conclure toutes les circonstances du mouvement d'une lame dont une extrémité est libre et l'autre appuiée, de celles qui appartiennent au mouvement dela lame dont les deux extrémités sont libres, et demême encore cequi concerne le mouvement dela lame dont une extrémité Le paragraphe porte le numéro 24, écrit dans la ligne ; c'est le premier numéro de paragraphe qui dépasse la dernière page du brouillon (vue 299, § 23). Le feuillet s'arrête sur « dont une extrémité » ; la suite n'est pas dans ce lot.