381Vue 3812 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

est fixée et l'autre appuyée, des valeurs relatives au mouvement dela lame dont les deux extremités sont fixées; desorte que les six cas calculés par Euler peuvent etre réduits à quatre, réellement independans les uns des autres, savoir: le cas I où les deux extremités sont libres, § 15 du mémoire d'Euler; le cas III où une extremité est fixée, et l'autre libre, § 30; le cas IV où les deux extremités sont appuyées, § 35; enfin le cas VI où l'une et l'autre extremités sont fixées, § 43. On voit en effet que la valeur des coëfficiens et l'équation qui détermine la valeur d'<math>\omega</math> dans le cas II d'une extremité libre et l'autre appuiée § 23, sont d'accord avec les formules relatives au cas des deux extremités libres § 15; car on a dans le cas I, lorsque sin.<math>\omega</math> est positif, <math>\alpha = 1</math>, <math>\beta = -e^{\omega}</math> <math>\gamma = 1 + e^{\omega}</math> <math>\delta = 1 - e^{\omega}</math>; et l'équation delaquelle on tire la valeur de l'angle <math>\omega</math> est <math>\text{cos}\,\omega = \frac{2}{e^{\omega} + e^{-\omega}}</math> que j'ai déja montré etre alors equivalante à <math>\text{tang}\,\frac{1}{2}\omega = \frac{1 - e^{\omega}}{1 + e^{\omega}}</math>. on a demême, pour le cas II, <math>\alpha = 1</math>, <math>\beta = -e^{2\omega}</math> <math>\gamma = 1 + e^{2\omega}</math>. <math>\delta = 1 - e^{2\omega}</math>; et léquation qui détermine la valeur de l'angle <math>\omega</math>, est <math>\text{tang}\,\omega = \frac{1 - e^{2\omega}}{1 + e^{2\omega}}</math>. il est clair que la seule différence entre les formules tirées du cas I et celles qui appartiennent au cas II, est que l'on a <math>\frac{1}{2}\omega</math> dans les premieres, au lieu de <math>\omega</math> dans les secondes; cequi doit etre en effet, puisque, dans le cas II, il s'agit d'une lame entière, et que, dans le cas I, la lame dont une extremité est libre et l'autre appuyée, est considerée comme lamoitiée d'une autre lame dont les deux extremités sont libres.<ref>Les chiffres romains sont lus tels qu'ils sont écrits : « dans le cas II, il s'agit d'une lame entière » et « dans le cas I, la lame dont une extremité est libre et l'autre appuyée ». Les lignes précédentes du même feuillet appellent au contraire cas I celui des deux extrémités libres (§ 15) et cas II celui d'une extrémité libre et l'autre appuyée (§ 23) ; les deux chiffres paraissent intervertis dans cette phrase. Ils sont gardés.</ref>

On devroit trouver les mêmes rapports entre le cas V d'une extremité fixée et l'autre appuiée, § 39, et le cas VI des deux extremités fixées, § 43; cependant on a dans le cas VI, lorsque sin.<math>\omega</math> est positif, <math>\alpha = 1</math>. <math>\beta = -e^{\omega}</math> <math>\gamma = -(1 + e^{\omega})</math>, <math>\delta = -(1 - e^{\omega})</math> et <math>\text{cos}\,\omega = \frac{2}{e^{\omega} + e^{-\omega}}</math> ou <math>\text{tang}\,\frac{1}{2}\omega = \frac{1 - e^{\omega}}{1 + e^{\omega}}</math>, tandis que, quoiqu'on ait àlaverité, pour le cas VI, <math>\text{tang}\,\omega = \frac{1 - e^{2\omega}}{1 + e^{2\omega}}</math>, les coëfficiens, savoir <math>\alpha = 1</math> <math>\beta = -1</math>, <math>\gamma = \pm\sqrt{2}\,(e^{2\omega} + e^{-2\omega})</math> ne semblent avoir aucun rapport avec ceux du cas precedant; et il résulte <ref>Le premier « cas VI » de ce paragraphe (« on a dans le cas VI, lorsque sin.<math>\omega</math> est positif ») est écrit ainsi, là où le sens attend le cas V ; les deux sont lus « VI ». Le radical de la dernière formule est suivi d'un signe lu « 2 » avec doute. Le feuillet s'arrête sur « il résulte » ; la suite est au feuillet suivant (vue 383). Le verso (vue 382) est blanc.</ref>

383Vue 3832 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

delà que l'on a <math>y = \ldots\, e^{x\omega} - e^{-x\omega} \mp \sqrt{2}\,(e^{2\omega} + e^{-2\omega})\,\text{sin}\,x\omega</math>, aulieu qu'il semble que l'on devroit avoir <math>y = \ldots\, e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega} - (1 + e^{2\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (1 - e^{2\omega})\,\text{cos}\,x\omega</math>.

Pour éclaircir cette difficulté, il faut observer que, dans l'analyse du cas V, Euler suppose que l'extremité, pour laquelle <math>\underline{s}</math> ou <math>x = 0</math>, est celle qui est appuyée, tandis que, dans l'hypothese qui se rapporte au cas VI, ce ne peut être que pour une des extremités dela lame entière et parconséquent pour l'extremité fixée de la lame de longueur <math>\frac{1}{2}a</math> que <math>x</math> peut être supposé égal a zéro. et comme il est fort indifferent d'adopter l'une ou l'autre de ces suppositions, on peut choisir celle qui convient ici. Pour la transporter dans l'expression d'<math>y</math>, il faut mettre 1 [?]<math>\,- x</math> au lieu [de <math>x</math>] {{Rature|1=on}} trouve ainsi
<math display="block">y = \ldots\, e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega} \mp \sqrt{2}\,(e^{2\omega} + e^{-2\omega})\,\text{sin}\,(1-x)\omega</math>

<math display="block">= \ldots\, e^{-\omega}\{e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega} \pm \sqrt{2}\,(e^{2\omega} + e^{-2\omega})(\text{sin}\,\omega\,\text{cos.}\,x\omega - \text{sin}\,x\omega\,\text{cos.}\,\omega)\,e^{\omega}\}</math>

<math display="block">= \ldots\, e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega} - (1 + e^{2\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (1 - e^{2\omega})\,\text{cos}\,x\omega</math>
en mettant pour sin.<math>\omega</math> et cos.<math>\omega</math> leurs valeurs <math>\pm\frac{e^{\omega} - e^{-\omega}}{\sqrt{2}\,(e^{2\omega} + e^{-2\omega})}</math> <math>\pm\frac{e^{\omega} - e^{-\omega}}{\sqrt{2}\,(e^{2\omega} + e^{-2\omega})}</math> (M. d'Euler § 39), on parvient àla derniere forme de cette valeur qui est conforme à celle que le rapport entre les cas V et VI fesait presumer.<ref>Le chiffre qui précède « <math>-x</math> » est couvert d'une tache d'encre, un chiffre écrit sur un autre ; « 1 » est proposé par le sens. « de <math>x</math> » est écrit au-dessus de la ligne, et « on » de « on trouve » paraît recouvert par un signe « : ». Les deux fractions données pour sin.<math>\omega</math> et cos.<math>\omega</math> ont, sur le feuillet, le même numérateur <math>e^{\omega} - e^{-\omega}</math> ; il est gardé tel quel. Après « fesait », quelques lettres très pâles, apparemment effacées, ne se lisent pas.</ref>

On peut encore s'assurer que l'on est autorisé à considerer les lames dont les deux extremités sont libres ou fixées, comme separés en deux autres moitiées moins longues, dont une des extremités est appuiée dans le même point qui appartient en même tems aumilieu des premieres lames, en observant que les conditions indiquées par Euler, § 13 [?], pour que l'extremité d'une lame vibrante soit simplement appuyée, sont <math>y = 0</math> et <math>\left(\frac{ddy}{ds^2}\right) = 0</math>, et que lorsque sin.<math>\omega</math> est positif, qui est le cas d'un nombre impair de nœuds, la supposition <math>x = \frac{1}{2}</math> donne, pour les lames dont il s'agit, <math>y = (1 + e^{\omega})\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega + (1 - e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega = 0</math>; d'ou il résulte <math>\left(\frac{ddy}{ds^2}\right) = -(1 + e^{\omega})\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega - (1 - e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega = 0</math>. <ref>« une des extremités » : « des » et le début d'« extremités » sont récrits sur une première leçon, à l'encre plus noire. Le second chiffre du paragraphe d'Euler, « § 13 », a la queue descendante qui fait hésiter entre 3 et 9. La fin de la dernière formule, « <math>e^{\omega})</math> cos », est empâtée d'encre et lue avec doute ; « <math>x</math> » dans les exposants est la lettre écrite dans « <math>s</math> ou <math>x = 0</math> ». La ligne est la dernière du feuillet ; la suite est à la vue 385. Le verso (vue 384) est blanc.</ref>

385Vue 3851 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

On seroit porté par l'analogie à croire que, dans le cas des deux extremités libres, lorsqu'il n'y a pas de nœud au milieu dela courbe, les deux moitiés dela lame primitive pourroient etre également considerés comme des lames entieres soumises aux mêmes conditions: mais les valeurs des ordonnés ne s'accomodent point à cette hypothese; et on en voit la raison dans l'observation que j'ai faites, § 14 [?], delaquelle il resulte que la moitié dela partie vibrante comprise entre les deux nœuds les plus voisins du milieu de la lame primitive, ne peut être égale aux parties comprises entre les nœuds les plus voisins des extremités de cette lame et les mêmes extremités

25. Les vibrations qui font l'objet du mémoire d'Euler et des remarques précedentes, sont celles que M<sup>r</sup> Chladni nomme vibrations transversales: mais les vibrations des plaques elastiques libres, dans le cas où il ya des lignes nodales suivant differentes directions, vibrations dont la théorie semble devoir être beaucoup plus compliquée, presentent cependant une singularité remarquable; c'est que, tandis que pour les vibrations transversales [?] dela lame elastique on ne peut, suivant cequ'on vient devoir, supposer [?] que la lame entiere dont les extremités sont libres, soit formé dela reunion de deux lames moitiées moins longues soumises aux mêmes conditions, il ya aucontraire plusieurs cas où les plaques carrées élastiques vibrantes libres de tous côtés peuvent êtres considerées comme composées de quatre autres lames soumises aux mêmes conditions (voyez le traité d'Acoustique de M<sup>r</sup> Chladni § 110 [?]). en comparant les différentes figures qui présentent entre elles le rapport dont il s'agit, on voit que les figures composées<sup>+</sup> sont celles dans lesquelles il n'y a pas de lignes nodales qui coupent diamétralement la surface en deux parties égals; et on sent aisement que cela doit être en effet, puisque, pour qu'une partie contigue [?] puisse équivaloir à une extremité ou [''en marge :'' + Les seules figures composées dont il soit question ici sont celles qui sont décomposables en quatre fig. simples. et il est clair que la même chose n'est pas vraie pour celles qui contiennent un nombre impair de fig. simples car alors il ya des lignes nodales diametrales] <ref>Le numéro 25 est écrit en tête de l'alinéa, dans la ligne ; le 5 a la forme d'un S. Le numéro du paragraphe renvoyé, « § 14 », est lu avec doute (le 4 ressemble à un h). « transversales » est écrit d'une manière où l'on croit lire « transvertales » ; « supposer » est récrit sur un premier mot, les lettres du milieu repassées. La note marginale est de sa main, d'une plume plus fine, dans la marge gauche en face des six dernières lignes ; elle est appelée par une croix après « composées » et commence elle-même par une croix double ; sa dernière ligne court au pied du feuillet sur toute sa largeur et s'arrête sur « diametrales » au bord du papier. Le texte principal s'arrête sur « à une extremité ou » ; la suite est à la vue 387. Le verso (vue 386) est blanc.</ref>

387Vue 3871 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

coté libre, il faut qu'elle soit également libre et parconséquent en mouvement; par exemple la figure 63 [?] de l'ouvrage de M<sup>r</sup> Chladni qui est la plus simple parmi celles qui presentent des lignes nodales en differens sens, répetée quatre fois, forme, suivant la remarque de l'auteur, la fig. 68 a, figure àlaquelle j'ai ajouté des lignes ponctuées pour marquer les limites des figures composantes. on peut encore s'assurer, au moyen de lignes également ponctuées, que la même figure 63 [?], répeté neuf fois, donne la fig. 75, et la fig 82 lorsqu'elle est prise seize fois. Ainsi, dans certains cas au moins, si on suppose une surface vibrante élastique carré, dont la superficie soit exprimé par <math>aamm</math>, que l'on divise ce carré en <math>mm</math>, autres carrés de grandeur <math>aa</math>, et que l'on applique un stilet au point convenable, et sous les conditions propres à faire naitre dans un des quatre carrés d'étendue <math>aa</math> placés aux angles de la surface vibrante, une certaine figure nodale; cette même figure sera répeté dans les <math>mm-1</math>, autres carrés qui composent la surface entière; d'ou il résulte que le mouvement de ces carrés élementaires est semblable dans chacun d'eux; et parconséquent/ que, si on suppose deux plans perpendiculaires entr'eux, et l'un et l'autre perpendiculaires au plan horizontal, qui est en même tems celui de la surface elastique en repos, les courbes formés par les intersections de ces plans supposés encore perpendiculaires aux côtés de cette même surface elastique carrée, couperont le plan horizontal dans des points dont les coordonnés seront <math>\alpha</math>, <math>\alpha + a</math>, <math>\alpha + 2a</math> &c. et <math>\alpha'</math>, <math>\alpha' + a</math>, <math>2\alpha' + 2a</math> &c., <math>\alpha</math> et <math>\alpha'</math> étant dependans dela nature de la figure nodale formé dans le carré de superficie <math>aa</math>, et deplus que ces courbes seront symetriques autour des points dont il s'agit.

Cette propriété [que] les plaques carrées élastiques vibrantes libres de tous coté ont de pouvoir etre considerées comme décomposées en un certain nombre de plaques <ref>Les numéros des figures renvoient à l'ouvrage de Chladni ; le premier, lu « 63 » deux fois, a un second chiffre qui peut être un 3 ou un 9 à queue courte. Les figures qu'elle dessine elle-même sont aux vues 391 et 396. « <math>mm-1</math> » est suivi d'une virgule sur le feuillet. Dans la suite des coordonnées, le troisième terme de la seconde est écrit « <math>2\alpha' + 2a</math> », là où la première suite fait attendre <math>\alpha' + 2a</math> ; il est gardé. Dans la dernière phrase, « que » est écrit au-dessus de la ligne, « les » est récrit à l'encre plus noire sur un premier mot (apparemment « des »), et « ont » sur un autre (apparemment « est ») : la phrase a d'abord été « Cette propriété des plaques … est de pouvoir… ». Le feuillet s'arrête sur « de plaques » ; la suite est à la vue 389. Le verso (vue 388) est blanc.</ref>

389Vue 3891 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

de même forme soumises aux mêmes conditions, propriété dont M<sup>r</sup> Chladni donne plusieurs exemples pour le cas ou <math>m = 2</math>, conduit donc à conclure qu'il existe dans certains cas de grandes analogies entre les vibrations des plaques elastiques carrées et celles des surfaces tendues demême figure: mais on peut voir, par la comparaison du § 24 du mémoire de M<sup>r</sup> Biot, inséré dans le tome 4 des memoires de l'institut, que, dans cedernier genre de surfaces, <math>\alpha</math> et <math>\alpha'</math> sont zéro; cequi doit etre en effet, puisqu'alors les lignes de repos sont necessairement placées aux limites des surfaces composantes. on voit encore que, pour les figures composées de la fig. 63 [?], <math>\alpha = \alpha' = \frac{1}{2}a</math>

La théorie complette des vibrations dela plaque carrée, comprendroit quinze [?] cas differens, si on avoit égard à l'etat des côtés qui pourroient êtres appuyés, libres ou fixés: mais il arriveroit sans doute, comme pour les vibrations transversales [?] dela lame elastique, que ces cas auroient entr'eux des relations qui permettroient de n'en calculer que quelques uns; par exemple, le cas où une figure régulière formée par les lignes nodales dans une plaque carrée dont tous les côtés sont libres, présente deux lignes diametrales qui se coupent au centre de cette figure, pourrait peut-etre être ramené à celui dequatre plaques quarrées réunies dont chacune auroit deux de ses côtés libres et les deux autres appuyés.

Je vais encore ajouter une reflexion sur la valeur du mot ''appuyé'' employé dans l'exposition de la théorie des lames vibrantes: il paroit qu'il s'applique à un état fixe et déterminé, de façon à etre entierement equivallent aux nœuds de vibrations. on conçoit en effet que, si la vibration étoit plus gênée par un point d'appui artificiel qu'elle ne l'est par les autres nœuds, le mouvement ne pourroit pas se transmettre àtravers cepoint; cequi doit pourtant avoir lieu, puisque l'on fait abstraction dela largeur dela lame: mais lorsqu'il s'agit des plaques vibrantes, je ne sais si on peut affirmer la même chose; car alors le mouvement pourroit etre transmis par les points adjacens; et l'irregularité de certaines figures observées par M<sup>r</sup> Chladni me porte à croire qu'il ya des cas où le mouvement est plus gêné dans une premiere moitié dela plaque que dans la <ref>Le chiffre du tome des mémoires de l'Institut et celui du § 24 ont la même forme, un 4 tracé comme un h. « deux », dans « chacune auroit deux de ses côtés », est écrit sur un premier mot et empâté. « appuyé » est souligné. « quinze » est écrit « quize » en apparence, le n à peine formé. Les derniers mots, depuis « dans une premiere », sont serrés en deux lignes d'une écriture plus petite contre le bord droit du feuillet, et s'arrêtent sur « dans la » ; la suite est à la vue 391 ou plus loin, voir la note de cette vue. Le verso (vue 390) est blanc.</ref>

391Vue 391Gallica ↗

Rien à verser : la vue ne porte que la description du feuillet, que le site garde dans l'onglet Transcription.

392Vue 3921 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

<math display="block">e^{x\omega} \pm e^{\omega - x\omega} + (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0</math>
soit
<math display="block">e^{\frac{1}{2}x\omega} \pm e^{\omega - \frac{1}{2}x\omega} + (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}x\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}x\omega = 0</math>

<math display="block">2\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}x\omega\,(e^{\frac{1}{2}x\omega} \pm e^{\omega - \frac{1}{2}x\omega}) = e^{x\omega} \pm e^{\omega - x\omega} + 1 \pm e^{\omega}</math>

<math display="block">= (e^{x\omega} + 1)(1 \pm e^{\omega - x\omega})</math>

<math display="block">2\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}x\omega = (e^{\frac{1}{2}x\omega} + e^{-\frac{1}{2}x\omega}).</math>
resultat absurde, on voit que l'on y est parvenu en retranchant la seconde équation multipliée par <math>2\,\text{cos}\,\frac{1}{2}x\omega</math> dela premiere il faut donc que l'équation <math>e^{\frac{1}{2}x\omega} \pm</math> &c [?] elle même soit inadmissible or cette <ref>Le feuillet s'arrête sur « or cette », au premier tiers de sa hauteur ; le reste est blanc. Le signe lu « &c » après l'exponentielle de l'avant-dernière ligne est une boucle suivie d'un trait, lue avec doute. « resultat » commence par une minuscule. Dans la deuxième équation, le second exposant est lu <math>\omega - \frac{1}{2}x\omega</math>, comme dans la troisième.</ref>

394Vue 3941 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

si l'ordonnée qui repond a <math>\frac{1}{2}x</math> etoit laplus grande et que la tangente a cepoint fut parrallele a l'axe c'est adire si <math>\left(\frac{dy}{dx}\right)</math> etoit egal a zéro il en resulteroit l'équation
<math display="block">e^{\frac{1}{2}x\omega} \mp e^{(1-\frac{1}{2}x)\omega} + (1 \mp e^{\omega})\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}x\omega - (1 \pm e^{\omega})\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}x\omega = 0</math>
ou
<math display="block">(e^{\frac{x}{2}\omega} \mp e^{(1-\frac{1}{2}x)\omega})\,2\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}x\omega + (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \pm e^{\omega})(\text{cos}\,x\omega - 1) = 0</math>

<math display="block">1 \pm e^{\omega} - (e^{\frac{1}{2}x\omega} \mp e^{(1-\frac{1}{2}x)\omega})\,2\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}x\omega = (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega</math>
on a d'ailleurs
<math display="block">e^{x\omega} \pm e^{\omega - x\omega} + (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0</math>
ainsi on auroit
<math display="block">1 + e^{x\omega} \pm e^{\omega} \pm e^{\omega - x\omega} = 2\,(e^{\frac{1}{2}x\omega} \mp e^{(1-\frac{1}{2}x)\omega})\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}x\omega</math>

<math display="block">(1 + e^{x\omega})(1 \pm e^{(1-x)\omega}) = 2\,(e^{\frac{1}{2}x\omega} \mp e^{(1-\frac{1}{2}x)\omega})\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}x\omega</math>
<ref>La première ligne commence par une minuscule, « si ». Dans la deuxième équation, le premier exposant est écrit <math>\frac{x}{2}\omega</math> et non <math>\frac{1}{2}x\omega</math>. Le second exposant de la dernière ligne est empâté. Le feuillet s'arrête là, aux deux tiers de sa hauteur ; le reste est blanc. Le revers (vue 395) est blanc : on y voit par transparence, à l'envers, les calculs de ce feuillet et le cachet.</ref>

396Vue 396Gallica ↗

Rien à verser : la vue ne porte que la description du feuillet, que le site garde dans l'onglet Transcription.

398Vue 3981 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Mémoire sur {{Rature|1=cette}} la question proposée par la premiere classe de l'institut « Donner la théorie mathématique des vibrations des « surfaces élastiques et la comparer à l'experience ».

<blockquote>Sed longe maximum progressibus scientiarum, et novis pensis ac provinciis in isdem suscipiendis, obstaculum deprehenditur, in desperatione hominum et suppositione impossibilitis. ''Baco, novum organum'', lib. 1 n.<sup>o</sup> XCII. tome 1 p. 298. edit in f<sup>o</sup> lond [?]{{Illisible}}</blockquote>

Si on vouloit [examiner] {{Rature|1=embrasser}} d'abord {{Rature|1=cette}} laquestion dans toute sa généralité, on tomberoit dans des calculs extrèmement compliqués; mais en se bornant à considerer le mouvement des surfaces planes dans le cas où il est regulier et comparable à celui d'un pendule simple, on parvient aisément à une équation [differentielle dont les intégrales particulieres sont facilement applicables]{{Rature|1=fort simple}}. J'ose esperer que, malgré les simplifications que, {{Rature|1=conformement}} [d'après] [a cette remarque,] j'ai cru pouvoir introduire dans mes formules, la classe trouvera la théorie que {{Rature|1=j'ai}} je {{Rature|1=l'honneur de}} soumets a son jugement, aussi générale que le demande l'état de la question, car, d'une part, les experiences de M<sup>r</sup> Chladni sont toutes comprises dans le cas des mouvemens réguliers, les seuls en effet qui appartiennent à l'acoustique<sup>+</sup>; [+ {{Rature|1=en tant qu'elle s'occupe des lois relatives au son}}] {{Rature|1=de l'autre, cet habile physicien n'a fait qu'un [?] petit nombre d'essais sur le son des surfaces courbes; et d'ailleurs les géomètres sentiront aisément que}} [et de l'autre] les simplifications auxquelles {{Rature|1=donne lieu}} la supposition de <math>\underline{z}</math> très petit [+ donne lieu] {{Rature|1=pourroient}} [peuvent aisément] se transporter aux [petit nombre de mouvemens que cet habile physicien a observé dans] {{Rature|1=surfaces d'une courbure quelconque en substituant {{Illisible}}}} les surfaces courbes car, comme je le dirai dans la suite, ces {{Rature|1=différentielles {{Illisible}} les différentielles}} mouvemens se trouvent compris dans une équation fort {{Rature|1=de la courbe {{Illisible}}}} simple qui convient à plusieurs genres de corps sonores et dans laquelle {{Rature|1=desorte que les valeurs de}} <math>\underline{z}</math> exprime{{Rature|1=roient {{Illisible}}}}, comme dans le cas du plan, la quantité dont chaque point des mêmes surfaces s'élev{{Rature|1=oit}} pendant leur mouvement audessus de {{Rature|1=leur}} sa situation naturelle. [''en marge :'' puisqu'eux seuls presentent des lois {{Rature|1=qu'elle {{Illisible}} appréciables}} déterminables;] <ref>L'ordre des corrections est celui que la page suggère ; il est offert, non assuré. (1) Une première addition interlinéaire, précédée d'une croix, « en tant qu'elle s'occupe des lois relatives au son », est barrée ; la note marginale, sans signe de renvoi, écrite en face de ces lignes, paraît la remplacer : « puisqu'eux seuls presentent des lois déterminables », « déterminables » étant écrit sous « qu'elle … appréciables » barrés, un pâté entre les deux mots. (2) La phrase barrée « de l'autre, cet habile physicien … » tient une ligne et demie ; « et de l'autre » est récrit au-dessus de la fin de la ligne suivante. (3) « donne lieu », barré en tête de ligne, est récrit dans l'interligne après « très petit », précédé d'une croix, suivi de « peuvent aisément » qui remplace « pourroient », barré. (4) « petit nombre de mouvemens que cet habile physicien a observé dans » est écrit au-dessus de « surfaces d'une courbure quelconque en substituant … », barré d'un trait épais. (5) Trois lignes barrées d'un trait épais alternent avec les lignes gardées, qui ont été écrites entre elles ; on n'y lit que « différentielles » au début et à la fin de la première, et « de la courbe » au début de la deuxième ; la troisième commence par « desorte que les valeurs de ». La lettre soulignée, deux fois, est lue <math>z</math> ; elle ressemble à un 2. « s'élevoit » a sa terminaison barrée. Au pied du feuillet, des calculs à l'envers transparaissent : ce sont les formules du bas de la page (2), écrite au revers de ce feuillet et photographiée à la vue 399, où le texte continue.</ref>

399Vue 3991 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

§ 1. Recherche de l'équation différentielle dela surface élastique vibrante

N.<sup>o</sup> 1. Pour trouver cette équation, il faut d'abord déterminer quelle doit être la somme des momens des forces d'elasticité qui agissent dans toute l'étendue dela surface. Pour cela, je prends quatre points sur cette surface; j'imagine deux plans, l'un passant par le premier, le second et le quatrième de ces points, l'autre passant par le premier, le troisième et le quatrième des mêmes points; je nomme <math>\underline{e}</math> l'angle extérieur formé par un de ces plans et le prolongement de l'autre; je represente par <math>\underline{\beta}</math> la petite ligne d'intersection des deux plans et par <math>E</math> la force qui agit suivant <math>\beta</math> en s'opposant à l'inflexion de la surface et en tendant par conséquent à diminuer l'angle <math>\underline{e}</math>. {{Rature|1=d'où il suit}} [Ainsi je trouve] que la somme des momens est exprimée par <math>\int\!\!\int E\beta\,de</math>; et {{Rature|1=qu'}} il ne s'agit plus, pour avoir sa valeur, que de connoître celles de <math>de</math>, <math>\underline{\beta}</math> et <math>\underline{E}</math>.

Je commence par la recherche dela valeur de <math>e</math>. On sait qu'en représentant par <math>\underline{C}</math> l'ordonnée verticale d'un plan à son origine, par <math>A</math> et <math>B</math> les tangentes des angles que les traces du plan dont il s'agit sur les plans coordonnés verticaux font avec l'horizon, et par <math>C'</math>, <math>A'</math> et <math>B'</math> les quantités analogues relatives à un second plan, le cosinus de l'angle que ces deux plans forment entr'eux, est exprimé par <math>\frac{AA' + BB' + CC'}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\,.\,\sqrt{A'^2 + B'^2 + C'^2}}</math>. On a donc ici
<math display="block">\text{cos}\,(\pi - e) = -\,\text{cos}\,e = \frac{AA' + B'B' + CC'}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\,.\,\sqrt{A'^2 + B'^2 + C'^2}}</math>
d'où on tire <ref>Le titre du paragraphe est souligné d'un trait sur toute sa longueur ; son numéro, en tête, est écrit avec le même signe § que dans les pages précédentes. « d'où il suit » est barré et « Ainsi je trouve » écrit au-dessus ; « qu' », après « et », est barré d'un trait épais. La lettre de la « petite ligne d'intersection » est tracée comme le <math>\beta</math> des coefficients d'Euler aux vues 381–383, une boucle montante sur la ligne ; elle est rendue <math>\beta</math>. Dans la seconde fraction, le deuxième terme du numérateur est écrit « <math>B'B'</math> », au lieu de <math>BB'</math> de la première ; il est gardé. Un pâté d'encre au début de la ligne « quatrième des mêmes points ». La page s'arrête sur « d'où on tire » ; la suite est à la vue 400.</ref>

400Vue 4001 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

<math display="block">\text{sin}\,e^2 = \frac{(A^2 + B^2 + C^2)(A'^2 + B'^2 + C'^2) - (AA' + BB' + CC')^2}{(A^2 + B^2 + C^2)(A'^2 + B'^2 + C'^2)}</math>

<math display="block">= \frac{(AB' - A'B)^2 + (AC' - A'C)^2 + (BC' - B'C)^2}{(A^2 + B^2 + C^2)(A'^2 + B'^2 + C'^2)}</math>
On a encore par les formules connues
<math display="block">A = z'(y'' - y''') + z''(y''' - y') + z'''(y' - y'')</math>

<math display="block">B = x'(z'' - z''') + x''(z''' - z') + x'''(z' - z'')</math>

<math display="block">C = y'(x'' - x''') + y''(x''' - x') + y'''(x' - x'')</math>
équations dans lesquelles <math>x', y', z'</math>; <math>x'', y'', z''</math>; <math>x''', y''', z'''</math>, sont les coordonnés des trois points par lesquels le plan est supposé passer. Pour déterminer les valeurs de ces coordonnés dans le cas présent, rien n'empêche de supposer qu'en passant d'un point pris sur la surface à un autre point infiniment voisin du premier, une des coordonné soit regardée comme constante, tandis que les deux autres seront supposés variables. Ainsi on pourra prendre <math>x, y, z</math>; pour les coordonnés du premier point <math>\ldots\ldots\ldots\;\; x,\ y + dy,\ z + dz</math>; pour les coordonnés du second point <math>\ldots\;\; y,\ x + dx,\ z + dz</math>; pour les coordonnés du troisième point, enfin <math>x + dx,\ y + dy,\ z + 2dz + d^2z</math> pour les coordonnés du quatrième point

J'ai supposé que le premier plan passoit par le premier, le second et le quatrième point. On a donc pour ce plan
<math display="block">x' = x,\quad y' = y,\quad z' = z;\quad x'' = x,\quad y'' = y + dy,\quad z'' = z + dz;\quad x''' = x + dx,</math>

<math display="block">y''' = y + dy,\quad z''' = z + 2dz + d^2z</math>

<math display="block">A = z'(y'' - y''') + z''(y''' - y') + z'''(y' - y'') = z\,.\,0 + (z + dz)\,dy - (z + 2dz + d^2z)\,dy</math>

<math display="block">= -(dz + d^2z)\,dy</math>

<math display="block">B = x'(z'' - z''') + x''(z''' - z') + x'''(z' - z'') = x(-dz - d^2z) + x(2dz + d^2z) - (x + dx)\,dz = -dz\,dx</math>

<math display="block">C = y'(x'' - x''') + y''(x''' - x') + y'''(x' - x'') = -y\,dx + (y + dy)\,dx + (y + dy) \times 0 = dx\,dy</math>
<ref>Le dernier terme de la première formule est lu <math>(BC' - B'C)^2</math> ; les accents y sont mal placés, tous deux au-dessus du C, et la lecture est offerte avec doute. Les lignes de points après « premier point » et « second point » sont d'elle ; elles alignent les coordonnées en colonne. <math>d^2z</math> est écrit <math>d</math> puis <math>z</math> surmonté d'un 2. Dans la ligne de <math>A</math>, le <math>y'</math> du dernier facteur est récrit et empâté ; dans celle de <math>B</math>, le premier <math>x</math> après le signe égal est empâté. La page est pleine ; la suite est à la vue 401, hors de ce lot.</ref>