Français 9115 · lot 21 · vues 401–420
· Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
Lecture automatique — non vérifiée
TEI P5 source — open the XML · download batch-21.fr.xml
Numérotation des feuillets. Les feuillets de ce lot sont écrits des deux côtés. En haut à droite des rectos, à l'encre, d'une plume plus large et d'une écriture plus ronde, la série courante : 197 (vue 402), 198 (404), 199 (406), 200 (408), 201 (410), 202 (412), 203 (414), 204 (416), 205 (418), 206 (420), sans lacune, à la suite du 196 de la vue 400 ; les versos n'en portent aucun. Cette série occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume, et aucune foliotation au crayon n'a été lue ; aucun « f. » n'est donc porté. En tête des pages, entre parenthèses, sa propre pagination : (4) à (10) aux vues 401 à 407, puis (9) et (10) de nouveau aux vues 408 et 409, (11) barré (412), (12) (413), (13) barré (414), (14) (415), (15) à (17) aux vues 418 à 420 ; les vues 410, 411 et 416 n'en portent pas. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. La vue 417, verso blanc du petit feuillet de la vue 416, n'est pas transcrite.
401
on a demême pour le second plan que j'ai supposé passer par le premier, le troisième et le quatrième point: \[\begin{gather*} x'=x,\quad y'=y,\quad z'=z;\qquad x''=x+dx,\quad y''=y,\quad z''=z+dz;\\ x'''=x+dx,\quad y'''=y+dy,\quad z'''=z+2dz+d \end{gather*}\] \[A' = -z\,dy + (z+dz)\,dy + (z+2dz+d^2z).0 = dz\,dy\] \[B' = -x(dz+d^2z) + (x+dx)(2dz+d^2z) - (x+dx)\,dz = dx(dz+d^2z)\] \[C' = y.0 + y.dx - (y+dy)\,dx = -\,dy\,dx\] En tête, au milieu, « (4) » ; aucun nombre en haut à droite de ce côté du feuillet. La première équation court jusqu'au bord du feuillet et s'arrête sur « \(+d\) » : la fin, que le calcul de \(A'\) donne pour \(d^2z\), est perdue au bord ou n'a pas été écrite.
Par conséquent, en se bornant au cas de ple la surface plane, et en supposant, comme l'ont fait tous les auteurs qui ont traité des mouvemens de vibrations, que les differens points de cette surface s'éloignent peu de leur situation [naturelle] pendant le mouvement, lequelle s'exécute tout entier dans la direction des \(z\), il est permis de négliger \(dz\) vis avis de \(dy\) et de \(dx\). l'element \(ds\) de la surface se réduit à \(dx\,dy\), et on trouve \[\begin{align*} A^2+B^2+C^2 &= dy^2(dz+d^2z)^2 + dz^2dx^2 + dx^2dy^2\\ &= dx^2dy^2 = ds^2\\ A'^2+B'^2+C'^2 &= dz^2dy^2 + dx^2(dz+d^2z)^2 + dy^2dx^2\\ &= dx^2dy^2 = ds^2 \end{align*}\] \[\begin{align*} &(AB'-A'B)^2+(AC'-A'C)^2+(BC'-B'C)^2\\ &= \{-dx\,dy(dz+d^2z)^2 + dz^2dx\,dy\}^2\\ &\quad + \{dy^2.dx(dz+d^2z) - dy^2dx\,dz\}^2\\ &\quad + \{dx^2dy\,dz - dx^2dy.(d^2z+dz)\}^2\\ &= dx^2dy^2\{((2dz+d^2z)\,d^2z\}^2 + \{dy.d^2z\}^2 + \{dx\,d^2z\}\\ &= ds^2(dx^2+dy^2)(d^2z)^2 \end{align*}\] \[\begin{align*} \text{sin}^2 e &= \frac{(AB'-A'B)^2+(AC'-A'C)^2+(BC'-B'C)^2}{(A^2+B^2+C^2)(A'^2+B'^2+C'^2)}\\ &= \frac{ds^2(dx^2+dy^2)(d^2z)^2}{ds^4} = \frac{(dx^2+dy^2)(d^2z)^2}{ds^2} \end{align*}\] Les carrés sont écrits, comme partout sur ces feuillets, par un 2 placé au-dessus de la lettre (\(dx\), \(d^2z\), \(e\)) ; ils sont rendus par des exposants ordinaires. Dans la troisième accolade, « \(dx^2dy.(d^2z+dz)\) » est écrit ainsi. À l'avant-dernière ligne, une parenthèse ouvrante est doublée après l'accolade, et la dernière accolade n'a pas d'exposant : le bord de la ligne touche la marge. Dans la dernière fraction, l'exposant de \(d\) dans « \((d^2z)^2\) » a la forme d'un 3 ; il est lu 2, comme partout ailleurs.
402
\[\text{sin}\,e = \frac{\sqrt{(dx^2+dy^2)}\,d^2z}{ds};\] et parceque l'angle \(e\) est fort petit \[e = \frac{\sqrt{(dx^2+dy^2)}\,d^2z}{ds}, \qquad \delta e = \frac{\sqrt{(dx^2+dy^2)}\,\delta d^2z}{ds}\] on voit aisément que la petite ligne \(\beta\) doit être égale à la distance entre le premier et le quatrième point, desorte que l'on a \[(z'''-z')^2+(y'''-y')^2+(x'''-x')^2 = (2dz+d^2z)^2+dy^2+dx^2 = dy^2+dx^2 = \beta^2\] ainsi \(\int\!\!\int E\beta\,\delta e = \int\!\!\int E\beta^2\,\delta\,\frac{d^2z}{ds}\); et pour connoître la valeur de la somme des momens, il ne s'agit plus que de déterminer celle de la force \(E\). En tête, au milieu, « (5) » ; en haut à droite « 197 », à l'encre, de la grande écriture ronde de la série courante. Le signe de variation est la lettre à haste bouclée que les passes précédentes ont rendue par \(\delta\) ; la double somme est écrite par deux s longs, rendue ici par \(\int\!\!\int\). La lettre de « la petite ligne \(\beta\) » est un \(\beta\) bas, sans longue queue.
Cette force peut être supposée proportionnelle à la somme des raisons inverses de l'un et l'autre rayons de courbure. de plus, elle doit contenir un facteur constant dépendant de la nature dela matière dela surface et de l'épaisseur dela même surface. En adoptant cette hypothèse que je crois être la plus convenable, on pourra donc prendre faire \(E = b\tau^3\{\frac{1}{(r)}+\frac{1}{(r')}\}\) équation dans laquelle \(b\) représente le facteur dépendant de la rigidité naturelle, \(\tau\) l'épaisseur, et \((r)\), \((r')\) les deux rayons de courbures dela surface. La lettre de l'épaisseur, deux fois écrite, est un jambage coiffé d'un trait tourné vers la droite, plus haut que le \(r\) des rayons, à la façon d'un \(\Gamma\) ou d'un \(\tau\) ; elle est rendue par \(\tau\) avec doute. \(b\) est souligné d'un trait. Dans « \((r')\) », le second symbole est écrit sur un autre signe, repassé.
J'ai déja dit que, pendant le mouvement, la surface vibrante s'écartoit très peu du plan des \(x\) et \(y\) de sa position naturelle. ainsi, puisqu'il ne s'agit ici que des surfaces planes, on pourra prendre [toujours supposer] cette position pour [très voisine du] le plan des \(x\) et \(y\). Il s'en suivra que \(\frac{dz}{dx}\) et \(\frac{dz}{dy}\) seront des quantités très petites dont on pourra [toujours] négliger les quarrés et les produits, et que l'on trouvera \[\frac{1}{(r)}+\frac{1}{(r')} = -\left(\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right)\] Le groupe biffé après « très peu » se lit « du plan des \(x\) et \(y\) », les lettres \(x\) et \(y\) soulignées ; la lecture de « plan » est malaisée sous la rature. Dans l'interligne au-dessus de « prendre cette position pour le plan », les ajouts sont « toujours » biffé et « supposer », puis « très » biffé et « voisine du ». Le « toujours » ajouté au-dessus de « négliger » est traversé d'un trait fin qui peut être une rature ; il est donné comme ajout. Le bas du feuillet, sous la formule, est blanc.
403
en intégrant par parties on a \[\begin{align*} \int\!\!\int E\beta^2\,\delta\frac{d^2z}{ds} &= \int E\beta^2\,\frac{d\,\delta z}{ds} - \int\!\!\int d.(E\beta^2).\frac{d\,\delta z}{ds}\\ &= \int E\beta^2\,\frac{d\,\delta z}{ds} - \int d.\frac{(E\beta^2)}{ds}.\delta z + \int\!\!\int dd.\frac{(E\beta^2)}{ds}.\delta z \end{align*}\] et comme les termes qui ne sont affectés que d'un seul signe d'intégration, appartiennent aux limites, la somme des momens des forces d'élasticité qui agissent dans toute l'étendue de la surface, se reduit en fin à \[\begin{align*} \int\!\!\int dd.\frac{(E\beta^2)}{ds}.\delta z &= \int\!\!\int dd.\left\{\frac{-\left(\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right)(dx^2+dy^2)}{dx\,dy}\right\}b\tau^3.\delta z\\ &= -\int\!\!\int b\tau^3\left\{\frac{d^4z}{dx^4}+2\frac{d^4z}{dx^2dy^2}+\frac{d^4z}{dy^4}\right\}dx\,dy.\delta z \end{align*}\] En tête, au milieu, « (6) » ; aucun nombre en haut à droite de ce côté du feuillet, qui est le verso du feuillet 197 (vue 402). Dans la dernière ligne, un 4 est écrit sous l'exposant 3 de \(\tau\), contre l'accolade ; ce qu'il marque n'est pas clair, et il n'est pas repris dans la formule. La lettre \(\tau\) est celle de l'épaisseur de la vue 402.
En se bornant à la recherche de l'équation du mouvement dela surface soumise à l'action de la seule force d'élasticité, fesant abstraction du poids de cette surface, prenant la gravité pour unité des forces accélératrices et se souvenant que le mouvement se fait tout entier suivant les \(z\), on aura \[\begin{align*} -\int\!\!\int b\tau^3\left\{\frac{d^4z}{dx^4}+2\frac{d^4z}{dx^2dy^2}+\frac{d^4z}{dy^4}\right\}dx\,dy.\delta z &= \int\!\!\int\frac{ddz}{dt^2}\,dm.\delta z\\ &= \int\!\!\int\frac{ddz}{dt^2}\,\tau.dx\,dy\,\delta z \end{align*}\] équation qui differenciée deux fois et divisée par \(\tau\,dx\,dy\,\delta z\) donnera \[b\tau^2\left\{\frac{d^4z}{dx^4}+2\frac{d^4z}{dx^2dy^2}+\frac{d^4z}{dy^4}\right\}+\frac{ddz}{dt^2} = 0\ \ldots\ (A)\] pour l'équation cherchée.
N.o 2. Lorsque le mouvement est régulier et comparable à celui du pendule simple dont la longueur est \(K\), on a, comme l'on sait, en prenant pour unité des espaces parcourus la hauteur delaquelle [dont] un corps abandonné a lui même tombe dans une seconde, \(\left(\frac{ddz}{dt^2}\right) = -\frac{z}{K}\). Le \(K\) du dénominateur est repassé d'une encre épaisse. Le bas du feuillet, sous cette ligne, est blanc.
404
ainsi l'équation de la surface élastique vibrante se réduit alors à \[Kb\tau^2\left\{\frac{d^4z}{dx^4}+2\frac{d^4z}{dx^2dy^2}+\frac{d^4z}{dy^4}\right\} = z\ \ldots\ (B)\] Elle peut s'abaisser au second degré; et, en fesant \(Kb\tau^2 = h^4\) elle fournit les deux équations \[h^2\left\{\frac{d^2z}{dx^2}+\frac{d^2z}{dy^2}\right\} = z, \qquad h^2\left\{\frac{d^2z}{dy^2}+\frac{d^2z}{dx^2}\right\} = -z\] En tête, au milieu, « (7) » ; en haut à droite « 198 », à l'encre, de la série courante. La lettre posée égale à \(Kb\tau^2\) est un \(h\) ; dans les deux équations qui suivent, elle est tracée comme un b barré à la haste, et c'est la même lettre. Le signe moins du second membre de la seconde équation est serré contre \(z\), peut-être ajouté.
dont la dernière est, comme l'on voit, l'équation des mouvemens réguliers des surfaces tendues. on peut cette équation n'a point d'intégrale générale en termes finis; ainsi tout cequ'on peut espérer, est de trouver les intégrales particulières de l'une et l'autre équations du second degré. Et En joignant les deux intégrales correspondantes, on auroit, pour l'équation dela surfaces elastiques, une intégrale particulière delamême étendue que celle que […] [dont jouit] l'integrales composantes quix appartient à l'équation dela surfaces tendues comporte pour ce genre de surface. Elle supprime les pluriels de cette phrase en barrant d'une petite croix chaque s final (« correspondantes », « surfaces », « elastiques », « integrales », « composantes », « quix » pour « qui », « tendues ») ; ces croix sont données comme ratures. Au-dessus de « que » barré, suivi d'une lettre barrée d'une croix qui n'a pas été lue, elle écrit « dont jouit » ; la fin de la phrase, « comporte pour ce genre de surface », est barrée d'un trait continu, et la lecture de « ce genre » sous la rature est malaisée. « appartient » est écrit au singulier sur la ligne.
Il est clair que l'intégrale del'équation dela surface tendue employée seule, peut egalement convenir à l'équation dela surface élastique. On peut conclure delà que, quel que [quelle que] soit la figure que puisse prendre une surface tendue renfermée dans des limites donnés, la même figure peut appartenir également à une surface elastique renfermé dans les mêmes limites. Le bas du feuillet, sous cette ligne, est blanc.
405
§. 2. Intégration del'équation differentielle dela surface elastique vibrante.
N.o 3. La condition N.o 2 \(\left(\frac{ddz}{dt^2}\right) = -\frac{z}{K}\) donnée §.1 N.o 2. fournit l'équation \(z = \Pi\,\text{sin.}\{t.\sqrt{\tfrac{1}{K}}+\zeta\}\) dans laquelle \(\Pi\) et \(\zeta\) représentent des [une] constantes et \(\Pi\) une fonction de \(x\) \(y\) et constantes. C'est la nature de cette fonction que déterminent les differentes intégrales particulières de l'équation dela surface elastique (B). Il est clair que cette équation qui n'est qu'une transformation [suite] de l'équation (A), doit fournir pour \(z\) des valeurs qui contiendront toutes le facteur \(\text{sin}(t.\sqrt{\tfrac{1}{K}}+\zeta)\) relatif au tems. Ainsi je me dispenserai, dans la suite, d'écrire ce facteur qui devra toujours etre sousentendu dans chaque valeur de \(z\). En tête, au milieu, « (8) » ; aucun nombre en haut à droite de ce côté du feuillet, verso du feuillet 198 (vue 404). Le titre du § 2 est souligné au milieu d'un trait court. Au-dessus de « condition », un petit groupe barré se lit peut-être « N.o 2 ». La lettre de la fonction est un grand \(\Pi\) aux jambages hauts, rendu par \(\Pi\). Les fins de mots barrées de « représentent », « des constantes », « déterminent » sont barrées d'une croix ou d'un trait, comme à la vue 404.
Pour trouver les intégrales de l'équation (B), [il est permis] on peut davoir recours à differentes conditions que l'on peut imaginer entre les variables \(z\), \(x\) et \(y\).
Je supposerai d'abord que que l'équation \(\frac{ddz}{dx\,dy} = 0\) soit remplie [satisfaite], c'est adire que \(z\) se compose de la somme de deux fonctions séparées des variables \(x\) et \(y\). on pourra prendre alors \[z = \ldots\left\{\begin{array}{l} \mathcal{A}\left\{a\,e^{\frac{\omega x}{A}}+b\,e^{-\frac{\omega x}{A}}+c\,\text{sin.}\frac{\omega x}{A}+d\,\text{cos.}\frac{\omega x}{A}\right\}\\[1ex] +B\left\{a\,e^{\frac{\omega y}{A}}+b\,e^{-\frac{\omega y}{A}}+c\,\text{sin.}\frac{\omega y}{A}+d\,\text{cos.}\frac{\omega y}{A}\right\} \end{array}\right\}\ \ldots\ (C)\] les sons simples qui se rapportent aux cette manières de vibrer renfermées dans cette intégrale, seront exprimés par la formule \(\sqrt{\tfrac{1}{K}}.\frac{1}{\pi} = \frac{\omega\omega\tau\sqrt{b}}{\pi.AA}\) \(\pi\) représentant, Le mot barré sous « satisfaite » se lit « remplie » avec doute. « \(z = \ldots\) » : les points sont sur la page, pour le facteur du temps sousentendu. Le coefficient de la première ligne est une majuscule cursive bouclée, distincte du \(A\) des dénominateurs et du \(B\) de la seconde ligne ; elle est rendue par \(\mathcal{A}\), la lecture restant douteuse (la lettre a aussi la forme d'un B cursif). Dans la formule des sons, « \(\sqrt{\frac{1}{K}}.\frac{1}{\pi}\) » est écrit au-dessus du signe \(=\), en premier membre. La phrase se poursuit à la vue 406.
406
comme à l'ordinaire, la demie circonference.
Dans l'équation précédente, je n'ai écrit que le premier terme dela valeur de \(z\), et j'en userai demême pour [toutes] les valeurs de \(z\) que je donnerai par lasuite [car] le but de mes recherches étant la détermination des differentes figures nodales et des sons qui leur correspondent, je n'ai pas à traiter de la coexistence des sons qui empêcheroit la formation de ces figures et qui ne présente d'ailleurs pour les surfaces élastiques aucune difficulté de plus que pour les differens corps sonores dont les géomètres se sont occupés jusqu'à présent. En tête, au milieu, « (9) » ; en haut à droite « 199 », à l'encre, de la série courante. La première ligne achève la phrase de la vue 405 (« \(\pi\) représentant, comme à l'ordinaire, la demie circonference »). « lasuite » est chargé et en partie repassé, sous l'ajout « car » écrit au-dessus ; le mot n'est pas nettement barré.
N.o 4. On peut encore supposer qu'il existe une periodicité dans les valeurs des coordonnées \(x\) et \(y\), c'est-adire que ces variables augmentées l'une et l'autre d'une quantité constante, mais qui peut etre differente pour chacune d'elles, redonnent les mêmes valeurs de \(z\). Cette condition peut etre exprimée par l'équation \(\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) = \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\frac{n^2}{m^2}\) dela forme de celle aux cordes vibrantes. Il en résultera \[z = \ldots\ \mathcal{A}\,\text{sin.}\frac{(\pi.nx)}{A}\ \text{sin}\frac{(\pi.my)}{A}\ \ldots\ldots\ (D)\] et les sons simples qui sont [se rapportent aux manières de vibrer] renfermées dans cette integrale seront exprimés par la formule \(\sqrt{\tfrac{1}{K}}.\frac{1}{\pi} = \frac{\pi.(m^2+n^2)\tau\sqrt{b}}{A^2}\).
La supposition de \(\mathcal{A}\) constant n'est pas la seule qui puisse satisfaire à la condition \(\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) = \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\frac{n^2}{m^2}\) On peut encore faire « cordes » est écrit sur un autre mot, d'une encre plus épaisse. Le second dénominateur de (D) est un \(A\) traversé d'un trait oblique, qui peut être un accent (\(A'\)) ou une rature. Le coefficient \(\mathcal{A}\) de (D) et de la phrase qui suit est la même majuscule cursive bouclée qu'en tête de (C) à la vue 405. Dans la condition, l'exposant de \(n\) est écrit au-dessus de la lettre. La page s'arrête sur « On peut encore faire », le bas du feuillet blanc ; la suite est à la vue 407.
407
\[\begin{align*} z = \ldots\ \text{sin}\,\pi.\frac{nx}{A}.\ \text{sin.}\,\pi.\frac{my}{A}\Bigl(\,&a'\Bigl\{\text{cos.}\,\pi.\frac{nx}{A} + \frac{\Pi+3}{2.3}\,\text{cos.}^3\pi.\frac{nx}{A}\\ &\qquad + \frac{(\Pi+3)(\Pi+3.5)}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5\pi\frac{nx}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+b'\Bigl\{\frac{2}{\Pi} + \text{cos}^2\pi.\frac{nx}{A} + \frac{\Pi+8}{3.4}\,\text{cos}^4\pi.\frac{nx}{A}\\ &\qquad + \frac{(\Pi+8)(\Pi+3.8)}{3.4.5.6}\,\text{cos}^6\pi.\frac{nx}{A} + \&c\Bigr\}\\ \times\ &A'\Bigl\{\text{cos}\,\pi.\frac{my}{A} + \frac{\Pi+3}{2.3}\,\text{cos}^3\pi.\frac{my}{A}\\ &\qquad + \frac{(\Pi+3)(\Pi+3.5)}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5\pi.\frac{my}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+B'\Bigl\{\frac{2}{\Pi} + \text{cos}^2\pi.\frac{my}{A} + \frac{\Pi+8}{3.4}\,\text{cos}^4\pi.\frac{my}{A}\\ &\qquad + \frac{(\Pi+8)(\Pi+3.8)}{3.4.5.6}\,\text{cos}^6\pi\frac{nx}{A}\Bigr\}\Bigr)\ \ldots\ (E) \end{align*}\] En tête, au milieu, « (10) » ; aucun nombre en haut à droite de ce côté du feuillet, verso du feuillet 199 (vue 406). La formule (E) est écrite sur toute la largeur, en quatre lignes réunies par de grandes accolades, « (E) » et une ligne de points à gauche ; sa disposition est simplifiée ici. Le même signe, un \(\pi\) aux jambages hauts, sert pour la demi-circonférence dans les arguments des sinus et cosinus et pour une quantité qui entre dans les coefficients (« \(\Pi+3\) », « \(\frac{2}{\Pi}\) », et « \(\Pi-1\) » dans la formule des sons) ; il est rendu par \(\pi\) dans le premier emploi et par \(\Pi\) dans le second, la distinction étant du transcripteur et non de la page. Le point entre deux chiffres est son signe de produit : « \(3.5\) » et « \(3.8\) » valent 15 et 24. Le dernier terme de la ligne en \(B'\) porte « \(\frac{nx}{A}\) » là où les autres termes de la ligne portent « \(\frac{my}{A}\) », et n'a pas de « &c » ; c'est la page. Dans les lignes en \(y\), le dénominateur \(A\) est plusieurs fois traversé d'un trait (comme à la vue 406).
et les sons simples qui correspondent aux manières de vibrer qui sont renfermées dans cette intégrale, seront exprimés par la formule \(\sqrt{\tfrac{1}{K}}.\frac{1}{\pi} = \frac{\pi.(\Pi-1)(m^2+n^2)\tau\sqrt{b}}{A^2}\).
Mais si on fait \[\begin{align*} z = \ldots\ \text{sin.}\,\pi.\frac{mx}{A}\ \text{sin}\,\pi.\frac{my}{A}\Bigl(\,&a'\Bigl\{\text{cos}\,\pi\frac{mx}{A} + \frac{(\Pi'+3)}{2.3}\,\text{cos}^3\pi.\frac{mx}{A}\\ &\qquad + \frac{((\Pi'+3)((\Pi'+3.5)}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5\pi.\frac{mx}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+b'\Bigl\{\frac{2}{\Pi'} + \text{cos}^2\pi.\frac{mx}{A} + \frac{(\Pi'+8)}{3.4}\,\text{cos}^4\pi.\frac{mx}{A}\\ &\qquad + \frac{((\Pi'+8)((\Pi'+3.8)}{3.4.5.6}\,\text{cos}^6\pi\frac{mx}{A}\Bigr\}\\ \times\ &A'\Bigl\{\text{cos.}\,\pi.\frac{my}{A} + \frac{\Pi'+3}{2.3.}\,\text{cos}^3\pi.\frac{my}{A}\\ &\qquad + \frac{(\Pi'+3)(\Pi'+3.5)}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5\pi.\frac{mx}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+B'\Bigl\{\frac{2}{\Pi'} + \text{cos}^2\pi.\frac{mx}{A} + \frac{(\Pi'+8)}{3.4}\,\text{cos.}^4\pi.\frac{mx}{A}\\ &\qquad + \frac{(\Pi'+8)(\Pi'+3.8)}{3.4.5.6}\,\text{cos}^6\pi\frac{mx}{A}\ \struck{+\&c}\Bigr\}\Bigr)\ \ldots\ (F) \end{align*}\] Dans les deux premières lignes de (F), chaque \(\Pi\) des coefficients est suivi d'un petit groupe barré de croix (« \(-\) » et deux lettres, qui n'ont pas été lues) au-dessus duquel est posé l'accent ; dans les deux dernières lignes, l'accent est simplement ajouté au-dessus de \(\Pi\). La correction fait donc partout lire \(\Pi'\), qui est donné ici. Les parenthèses doublées « \(((\Pi'+3)\) » sont celles de la page. Au dénominateur de \(\frac{2}{\Pi'}\) de la deuxième ligne, et sous « \(\text{cos}^2\pi.\frac{mx}{A}\) », le trait et le \(A\) sont repassés d'une encre épaisse. Dans les lignes en \(y\), plusieurs arguments portent \(mx\) où l'on attend \(my\) ; c'est la page. « \(+\&c\) » est barré à la fin de la dernière ligne.
Les sons simples seront exprimés par la formule \(\sqrt{\tfrac{1}{K}}.\frac{1}{\pi} = \frac{\pi.m^2(\Pi+\Pi'-2)\tau\sqrt{b}}{A^2}\) et au lieu dela condition \(\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) = \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\frac{n^2}{m^2}\) on aura celle ci: \[\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) = \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\frac{\Pi'\,\ill\,-1}{\Pi'-1}\] Dans la formule des sons, une lettre noircie d'encre précède « \(\Pi+\Pi'-2\) » dans la parenthèse. Au numérateur de la dernière condition, après \(\Pi'\), un groupe est barré (un signe et une lettre surmontée d'un petit x) ; il n'a pas été lu, et ce que la correction laisse au numérateur n'est pas sûr.
N.o 5. En prenant \(z = z'z''\), la surface sera encore periodique dans le sens des \(x\) et dans celui des \(y\) lorsque l'on aura la condition \(\left(\frac{ddz'}{dx^2}\right) = \left(\frac{ddz'}{dy^2}\right)\frac{n^2}{m^2}\); et alors les differentes valeurs de \(z''\) détermineront la nature des periodes. L'accent du premier facteur de « \(z'z''\) » est petit et serré contre la lettre. Le bas du feuillet est blanc.
408
Mais si on fait \[\begin{align*} z = \ldots\ \text{sin.}\frac{(\pi.mx)}{A}\ \text{sin}\frac{(\pi.my)}{A}\Bigl(\,&a'\Bigl\{\text{cos.}\frac{(\pi.mx)}{A} + \frac{\Pi+3}{2.3}\,\text{cos.}^3\frac{(\pi.mx)}{A}\\ &\qquad + \frac{(\Pi+3)(\Pi+3.5)}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5\frac{(\pi.mx)}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+b'\Bigl\{\frac{2}{\Pi} + \text{cos}^2\frac{(\pi.mx)}{A} + \frac{\Pi+8}{3.4}\,\text{cos}^4\frac{(\pi.mx)}{A}\\ &\qquad + \frac{(\Pi+8)(\Pi+3.8)}{3.4.5.6}\,\text{cos.}^6\frac{(\pi.mx)}{A} + \&c\Bigr\}\\ \times\ &A'\Bigl\{\text{cos.}\frac{(\pi.my)}{A} + \frac{\Pi'+3}{2.3}\,\text{cos.}^3\frac{(\pi.my)}{A}\\ &\qquad + \frac{(\Pi'+3)(\Pi'+3.5)}{2.3.4.5}\,\text{cos.}^5\frac{(\pi.my)}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+B'\Bigl\{\frac{2}{\Pi'} + \text{cos}^2\frac{(\pi.my)}{A} + \frac{\Pi'+8}{3.4}\,\text{cos.}^4\frac{(\pi.my)}{A}\\ &\qquad + \frac{(\Pi'+8)(\Pi'+3.8)}{3.4.5.6}\,\text{cos.}^6\frac{(\pi.my)}{A} + \&c\Bigr\}\Bigr)\ \ldots\ (F') \end{align*}\] En tête, vers la droite, « (9) » ; en haut à droite « 200 », à l'encre, de la série courante. Ce feuillet est une mise au net de la seconde moitié de la page (10) de la vue 407 : la même formule, les accents de \(\Pi'\) écrits d'emblée dans les lignes en \(y\), les arguments mis entre parenthèses, et la formule étiquetée « (F') ». Le chiffre de la tête se lit nettement 9, bien que la page (9) soit déjà à la vue 406 ; il est relevé tel quel. Sur la notation \(\pi\) et \(\Pi\), et sur le point de produit, voir la note de la vue 407.
Les sons simples seront exprimés par la formule \(\sqrt{\tfrac{1}{K}}.\frac{1}{\pi} = \frac{\pi.m^2(\Pi+\Pi'-2)\tau\sqrt{b}}{A^2}\) et au lieu de la condition \(\frac{ddz}{dx^2} = \frac{n^2}{m^2}\frac{ddz}{dy^2}\) on aura celle ci: \(\frac{ddz}{dx^2} = \frac{\Pi-1}{\Pi'-1}.\frac{ddz}{dy^2}\).
N.o 5. En prenant \(z = z'z''\), la surface sera encore périodique dans le sens des \(x\) et dans celui des \(y\) lorsque l'on aura la condition \(\frac{ddz'}{dx^2} = \frac{n^2}{m^2}.\frac{ddz'}{dy^2}\); et alors les differentes valeurs de \(z''\) détermineront la nature des périodes. Ainsi lorsque l'on fera \(z' = \text{sin}\frac{(\pi.xm)}{A}\ \text{sin}\frac{(\pi ym)}{A}\), on pourra prendre \[\begin{align*} z = \ldots\ \text{sin}\frac{(\pi mx)}{A}\ \text{sin}\frac{(\pi my)}{A}\Bigl[\\ &a'\Bigl\{\text{cos}\frac{(\pi mx)}{A} + \frac{\Pi+3}{2.3}\,\text{cos}^3\frac{(\pi mx)}{A} + \ldots\ldots\\ &\quad \frac{(\Pi+3)(\Pi+3.5)\ldots(\Pi+4n^2-1)}{2.3.4.5\ldots 2n+1}\,\text{cos}^{2n+1}\frac{(\pi mx)}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+b'\Bigl\{\frac{2}{\Pi} + \text{cos}^2\frac{(\pi mx)}{A} + \frac{\Pi+8}{3.4}\,\text{cos}^4\frac{(\pi mx)}{A} + \ldots\ldots\\ &\quad \frac{(\Pi+8)(\Pi+3.8)\ldots(\Pi+(2n-1)^2-1)}{3.4.5.6\ldots 2n}\,\text{cos}^{2n}\frac{(\pi mx)}{A} + \&c\Bigr\}\\ \times\ &A'\Bigl\{\text{cos}\frac{(\pi my)}{A} + \frac{\Pi'+3}{2.3}\,\text{cos}^3\frac{(\pi my)}{A} + \ldots\ldots\\ &\quad \frac{(\Pi'+3)(\Pi'+3.5)\ldots(\Pi'+4n^2-1)}{2.3.4.5\ldots 2n+1}\,\text{cos}^{2n+1}\frac{(\pi my)}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+B'\Bigl\{\frac{2}{\Pi'} + \text{cos}^2\frac{(\pi my)}{A} + \frac{\Pi'+8}{3.4}\,\text{cos}^4\frac{(\pi my)}{A} + \ldots\ldots\\ &\quad \frac{(\Pi'+8)(\Pi'+3.8)\ldots(\Pi'+(2n-1)^2-1)}{3.4.5.6\ldots 2n}\,\text{cos}^{2n}\frac{(\pi my)}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+a''\Bigl\{\text{cos}\frac{(\pi mx)}{A} + \frac{\Pi''+3}{2.3}\,\text{cos}^3\frac{(\pi mx)}{A} + \ldots\ldots\\ &\quad \frac{(\Pi''+3)(\Pi''+3.5)\ldots(\Pi''+4n^2-1)}{2.3.4.5\ldots 2n+1}\,\text{cos}^{2n+1}\frac{(\pi mx)}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+b''\Bigl\{\frac{2}{\Pi''} + \text{cos}^2\frac{(\pi mx)}{A} + \frac{\Pi''+8}{3.4}\,\text{cos}^4\frac{(\pi mx)}{A} + \ldots\ldots\\ &\quad \frac{(\Pi''+8)(\Pi''+3.8)\ldots(\Pi''+(2n-1)^2-1)}{3.4.5.6\ldots 2n}\,\text{cos}^{2n}\frac{(\pi mx)}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+A''\Bigl\{\text{cos}\frac{(\pi my)}{A} + \frac{\Pi''+3}{2.3}\,\text{cos}^3\frac{(\pi my)}{A} + \ldots\ldots\\ &\quad \frac{(\Pi''+3)(\Pi''+3.5)\ldots(\Pi''+4n^2-1)}{2.3.4.5\ldots 2n+1}\,\text{cos}^{2n+1}\frac{(\pi my)}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+B''\Bigl\{\frac{2}{\Pi''} + \text{cos}^2\frac{(\pi my)}{A} + \frac{\Pi''+8}{3.4}\,\text{cos}^4\frac{(\pi my)}{A} + \ldots\ldots\\ &\quad \frac{(\Pi''+8)(\Pi''+3.8)\ldots(\Pi''+(2n-1)^2-1)}{3.4.5.6\ldots 2n}\,\text{cos}^{2n}\frac{(\pi my)}{A} + \&c\Bigr\}\\ &\Bigr]\ \ldots\ (G) \end{align*}\] pourvu que \(\Pi\), \(\Pi'\) et \(\Pi''\) ayent entre elles la relation exprimée par l'équation \(\Pi+\Pi' = \Pi''\),
Les sons simples seront comme dans les cas compris dans l'intégrale (F), La formule (G) occupe huit lignes réunies par un grand crochet, avec « (G) » et une ligne de points à gauche ; sa disposition est simplifiée ici. Chaque ligne donne les deux ou trois premiers termes, une ligne de points, puis le terme général. L'exposant de « \(4n^2\) » et celui de « \((2n-1)^2\) » sont écrits au-dessus de la parenthèse ou de la lettre. Le second accent de \(\Pi''\) dans « \(\Pi+\Pi' = \Pi''\) » est repassé d'une encre épaisse sur une autre lettre. La phrase finale s'arrête sur une virgule au bas du feuillet ; la suite est à la vue 409.
409
c'est-a-dire que l'on aura toujours \(\sqrt{\tfrac{1}{K}}.\frac{1}{\pi} = \frac{\pi.m^2(\Pi+\Pi'-2)}{A^2}\).
Lorsque l'on prendra \(z' = \text{sin}\frac{(\pi nx)}{A}\ \text{sin.}\frac{(\pi.my)}{A}\), on pourra faire \[\begin{align*} z = \ldots\ \text{sin}\frac{(\pi.nx)}{A}\ \text{sin}\frac{(\pi.my)}{A}\Bigl\{\,&a'\Bigl\{\text{cos}\frac{(\pi nx)}{A} + \frac{(2-m^2+3}{2.3}\,\text{cos}^3\frac{(\pi nx)}{A}\\ &\qquad + \frac{((2-m^2+3)((2-m^2+15)}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5\frac{(\pi nx)}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+b'\Bigl\{\frac{2}{2-m^2} + \text{cos}^2\frac{(\pi nx)}{A} + \frac{(2-m^2+8}{3.4}\,\text{cos}^4\frac{(\pi nx)}{A}\\ &\qquad + \frac{((2-m^2+8)((2-m^2+24)}{3.4.5.6}\,\text{cos}\ \ldots\Bigr\}\\ &+A'\Bigl\{\text{cos}\frac{(\pi my)}{A} + \frac{(2-n^2+3}{2.3}\,\text{cos}^3\frac{(\pi.my)}{A}\\ &\qquad + \frac{((2-n^2+3)((2-n^2+15)}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5\frac{(\pi my)}{A}\ \ldots\Bigr\}\\ &+B'\Bigl\{\frac{2}{2-n^2} + \text{cos}^2\frac{(\pi my)}{A} + \frac{(2-n^2+8}{3.4}\,\text{cos}^4\frac{(\pi my)}{A}\\ &\qquad + \frac{((2-n^2+8)((2-n^2+24)}{3.4.5.6}\ \ldots\Bigr\}\ \ldots\ (H) \end{align*}\] En tête, au milieu, « (10) » ; aucun nombre en haut à droite de ce côté du feuillet, verso du feuillet 200 (vue 408). Le chiffre de la tête répète celui de la vue 407 ; il est relevé tel quel. La première ligne achève la phrase de la vue 408 (« Les sons simples seront comme dans les cas compris dans l'intégrale (F), c'est-a-dire… »). Dans (H), les coefficients s'écrivent « \((2-m^2+3\) » avec la parenthèse ouverte et non fermée, l'exposant 2 posé au-dessus de \(m\) ; le premier chiffre de ces groupes est chargé d'encre dans plusieurs termes et se lit 2 sans certitude. « \(15\) » et « \(24\) » sont écrits en chiffres, là où les formules des vues 407 et 408 écrivent « \(3.5\) » et « \(3.8\) ». Les termes de droite des lignes en \(b'\), \(A'\) et \(B'\) sont coupés par le bord du feuillet ou restent inachevés ; les points marquent ce qui manque. Un long trait vertical, sans doute accidentel, traverse les quatre lignes de la formule.
Les sons simples qui appartiennent aux manières de vibrer renfermées dans cette dernière intégrale, seront exprimés par la formule \(\sqrt{\tfrac{1}{K}}.\frac{1}{\pi} = \frac{\pi.m^2n^2\tau\sqrt{b}}{A^2}\).
N.o 6. En prenant encore \(z = z'z''\), et fesant \(z' = \text{sin}(t.\sqrt{\tfrac{1}{K}}+\zeta)\,\text{sin}\frac{(\pi nx)}{A}\), on aura toujours une équation de la forme de celle aux cordes vibrantes savoir \(\frac{ddz'}{dt^2} = \frac{K}{n^2}.\frac{ddz'}{dx^2}\). Elle indique que la surface sera périodique dans le sens des \(x\). On pourra faire \[\begin{align*} z = \ldots\ \text{sin}\frac{(\pi nx)}{A}\Bigl\{\,&a'\Bigl\{\text{cos.}\frac{(\pi.nx)}{A} + \frac{2-m^2+3}{2.3}\,\text{cos}^3\frac{(\pi nx)}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+ b'\Bigl\{\frac{2}{2-m^2} + \text{cos}^2\frac{(\pi nx)}{A} + \frac{2-m^2+8}{3.4}\,\text{cos}^4\frac{(\pi nx)}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+\ \mathfrak{A}\,\text{sin.}\frac{(\pi\,\uncertain{may})}{A}\Bigr\}\ \ldots\ldots\ (I) \end{align*}\] Dans (I), un trait épais barre le signe qui précède « \(2-m^2\) » dans les deux coefficients (une parenthèse ouvrante, semble-t-il). Le coefficient de la dernière ligne est une majuscule gothique ou très ornée, rendue par \(\mathfrak{A}\) ; l'argument de son sinus se lit « \(\pi\,may\) » avec doute, la lettre du milieu pouvant être une autre lettre écrite sur \(m\).
mais cette surface ne jouira pas de la même propriété dans le sens des \(y\), puisque cette dernière variable n'entre pas dans l'équation aux cordes vibrantes. Les sons simples seront exprimés par la formule \(\sqrt{\tfrac{1}{K}}.\frac{1}{\pi} = \struck{\frac{\pi m^2n^2\tau\sqrt{b}}{A^2}}\) \(= \pi.n^2(m^2+1)\), La première valeur, qui répète celle de (H), est barrée ; la seconde, « \(= \pi.n^2(m^2+1)\) », est écrite au-dessous, en plus petit, sans le facteur \(\frac{\tau\sqrt{b}}{A^2}\).
Les differentes intégrales que je viens de donner, conviennent toutes, exc[epté] la première, à l'équation differentielle des surfaces tendues; et c'est [à] quoi elles doivent leur simplicité, car si on vouloit avoir les intégra[les] qui n'appartiennent qu'à l'équation differentielle des surfaces élastiq[ues] on trouveroit non seulement les termes contenans \(e^{\pm\sqrt{-1}.\omega}\) mais encore d'autres termes ou entreroient de la même manière, les exponentielles \(e^{\pm\omega}\); et alors l'angle \(\omega\) ne pourroit être déterminé que par des calculs d'aproximation; desorte que non seulement les intégrales Les fins de ligne « exc », « intégra », « élastiq » passent sous le bord droit du feuillet, et « à » manque devant « quoi » au début de la ligne suivante ; ce que le sens rend certain est ajouté entre crochets. L'exposant de « \(e^{\pm\sqrt{-1}.\omega}\) » est écrit petit au-dessus de la ligne. La phrase se poursuit au feuillet suivant.
410
Feuillet de calculs, sans une ligne de prose, écrit en travers : la vue le montre couché, et le « 201 » à l'encre de la série courante se lit en le redressant, en haut à droite du feuillet ainsi tourné ; aucune pagination de sa main. L'écriture est plus rapide que celle des pages (5) à (10), avec des surcharges. Les formules sont données dans l'ordre de la page, de haut en bas ; leur disposition sur plusieurs lignes, en accolades et crochets, est simplifiée. Même notation qu'aux vues 407 à 409 (\(\pi\) dans les arguments, \(\Pi\), \(\Pi'\) dans les coefficients).
\[\begin{align*} z = \text{sin}(\zeta + t\sqrt{\tfrac{1}{K}})\ \text{sin}.\pi.\frac{xm}{A}\ \text{sin}.\pi.\frac{yn}{A}\Bigl[\\ &a'\Bigl\{\text{cos}.\pi.\frac{mx}{A} + \frac{(\Pi-\Pi')+3}{2.3}\,\text{cos}^3\pi.\frac{mx}{A}\\ &\qquad + \frac{((\Pi-\Pi')+3)((\Pi-\Pi')+3.5)}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5\pi.\frac{mx}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+ b'\Bigl\{\frac{2}{\Pi-\Pi'} + \text{cos}^2\pi\frac{mx}{A} + \frac{(\Pi-\Pi')+8}{3.4}\,\text{cos}^4\pi\frac{mx}{A}\\ &\qquad + \frac{((\Pi-\Pi')+8)((\Pi-\Pi')+3.8)}{3.4.5.6}\,\text{cos}^6\pi\frac{mx}{A} + \&c\Bigr\}\\ \times\ &A'\Bigl\{\text{cos}.\pi.\frac{ny}{A} + \frac{\Pi'+3}{2.3}.\text{cos}^3\pi.\frac{ny}{A}\\ &\qquad + \frac{(\Pi'+3)(\Pi'+3.5)}{2.3.4.5}.\text{cos}^5\pi\frac{ny}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+ B'\Bigl\{\frac{2}{\Pi'} + \text{cos}^2\frac{ny}{A} + \frac{\Pi'+8}{3.4}\,\text{cos}^4\frac{ny}{A}\\ &\qquad + \frac{(\Pi'+8)(\Pi'+3.8)}{3.4.5.6}\,\text{cos}^6\pi\frac{ny}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+a\Bigl\{\text{cos}\,\pi\frac{\sqrt{m^2+n^2}\,x}{A} + \frac{\Pi+3}{2.3}\,\text{cos}^3\pi\frac{\sqrt{m^2+n^2}\,x}{A}\\ &\qquad + \frac{(\Pi+3)(\Pi+3.5)}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5\pi.\frac{\sqrt{m^2+n^2}}{A}x + \&c\Bigr\}\\ &+ b\Bigl\{\text{cos}^2\pi\frac{\sqrt{m^2+n^2}\,x}{A} + \frac{\Pi+8}{3.4}\,\text{cos}^4\pi.\frac{\sqrt{m^2+n^2}}{A}x\\ &\qquad + \frac{(\Pi+8)(\Pi+3.8)}{3.4.5.6}\,\text{cos}^6\ldots\Bigr\}\\ &+A\Bigl\{\text{cos}\,\pi\sqrt{m^2+n^2}.\frac{y}{A} + \frac{\Pi+3}{2.3}.\text{cos}^3\pi\sqrt{m^2+n^2}.\frac{y}{A}\\ &\qquad + \frac{(\Pi+3)(\Pi+3.5)}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5\pi\sqrt{m^2+n^2}\frac{y}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+ B\Bigl\{\text{cos}^2\pi.\sqrt{m^2+n^2}.\frac{y}{A} + \frac{\Pi+8}{3.4}\,\text{cos}^4\pi\sqrt{m^2+n^2}\frac{y}{A}\\ &\qquad + \frac{(\Pi+3)(\Pi+3.4)}{3.4.5.6}\,\text{cos}^6\pi\sqrt{m^2+n^2}\frac{y}{A}\ldots\Bigr\}\\ &+\ \mathfrak{A}\Bigl(\frac{b+B}{\Pi}\Bigr) \end{align*}\] Au bout de la ligne en \(b'\), sous le dernier terme, « \(+\&c\) » est écrit à part. Dans la ligne en \(b\), « \(\frac{\Pi+8}{3.4}\) » a le 8 écrit sur un autre chiffre. Dans le dernier terme de la ligne en \(B\), la page porte « \((\Pi+3)(\Pi+3.4)\) » là où les autres lignes en \(b\) portent « \((\Pi+8)(\Pi+3.8)\) » ; c'est la page. Les fins des lignes en \(b\) et en \(B\) sont coupées au bord droit. Le coefficient de la dernière ligne est la majuscule ornée de la vue 409, rendue par \(\mathfrak{A}\).
\[\frac{dz}{dx} = -\pi\frac{m}{A}\,\text{cos}.\pi\frac{mx}{A}\{\ldots\ldots\] \[\begin{align*} -\pi\frac{m}{A}\,\text{sin}\,\pi\frac{mx}{A}\Bigl[\,&a'\Bigl\{\struck{\text{sin}}\,\pi.\frac{mx}{A} + \frac{3((\Pi-\Pi')+3)}{2.3}\,\text{sin}\,\pi.\frac{mx}{A}\,\text{cos}^2\pi\frac{mx}{A}\\ &\qquad + \frac{5((\Pi-\Pi')+3)((\Pi-\Pi')+3.5))}{2.3.4.5.}\,\text{cos}^5\pi\frac{mx}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+ b'\Bigl\{\frac{2\,\struck{\text{sin}}}{\struck{\Pi-\Pi'}}.\pi.\frac{mx}{A}\,\text{cos}.\pi.\frac{mx}{A} + \frac{4((\Pi-\Pi')+8)}{3.4}.\text{sin}.\pi.\frac{mx}{A}\,\text{cos}^3\pi.\frac{mx}{A}\\ &\qquad + \frac{6((\Pi-\Pi')+8)((\Pi-\Pi')+3.8)}{3.4.5.6.}\,\text{sin}\,\pi\frac{mx}{A}\,\text{cos}^5\pi\frac{mx}{A}\Bigr\}\\ &\struck{\times\Bigl[A'\Bigl\{\text{sin}.\pi\frac{ny}{A} + \frac{3((\Pi-\Pi')+3)}{2.3}\,\text{sin}\,\pi\frac{ny}{A}\,\text{cos}^2\pi\frac{ny}{A}}\\ &\qquad \struck{+ \frac{5((\Pi-\Pi')+3)((\Pi-\Pi')+3.5))}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5\pi\frac{ny}{A} + \&c\Bigr\}}\\ &\qquad \struck{+ B'\Bigl\{2\,\text{sin}\,\pi\frac{ny}{A}\,\text{cos}\,\pi\frac{ny}{A} + \frac{4((\Pi-\Pi')+8)}{3.4}\,\text{sin}\,\pi.\frac{ny}{A}\,\text{cos}^3\pi\frac{ny}{A}\Bigr\}}\\ &+\,a\,\pi\frac{\sqrt{(m^2+n^2)}}{A}, \end{align*}\] La première ligne, « \(\frac{dz}{dx} = \ldots\{\ldots\ldots\) », est laissée en suspens, suivie de points. Dans la ligne en \(a'\), « sin » est écrit sur un autre mot, surchargé ; dans la ligne en \(b'\), le numérateur « sin » et le dénominateur sont noircis d'encre, et sont donnés comme ratures. La ligne en \(A'\), \(B'\), tout entière, est barrée d'un trait ondulé ; sous son deuxième terme est écrit « \(4n\) » (lu « \(un\) » peut-être), avec un trait brisé au-dessous. Le « \(+\) » isolé qui suit à droite, sous la ligne barrée, n'est suivi de rien. Les parenthèses doublées ou non fermées sont celles de la page.
\[\begin{align*} z &= \text{sin}\frac{xm}{A}\ \text{sin}\frac{ym}{A}\left\{\text{cos}\sqrt{(m^2+n^2)}\frac{x}{A} + \text{cos}\sqrt{(m^2+n^2)}\frac{y}{A}\right\}\\ \frac{dz}{dx} &= \frac{m}{A}\,\text{cos}\frac{xm}{A}\ \text{sin}\frac{ym}{A}\left\{\text{cos}\sqrt{m^2+n^2}\frac{x}{A} + \text{cos}\sqrt{m^2+n^2}\frac{y}{A}\right\}\\ &\quad - \frac{\sqrt{m^2+n^2}}{A}\,\text{sin}\frac{xm}{A}\ \struck{\text{cos}}\frac{ym}{A}\left\{\text{sin}\sqrt{(m^2+n^2)}\frac{x}{A}\right\}\\ \frac{ddz}{dx^2} &= -\frac{m^2}{A^2}\,\text{sin}\frac{ym}{A}.\text{sin}\frac{xm}{A}\left\{\text{cos}\sqrt{m^2+n^2}\frac{x}{A} + \text{cos}\sqrt{m^2+n^2}\frac{y}{A}\right\}\\ &\quad - \frac{m^2+n^2}{A}\,\text{sin}\frac{ym}{A}\ \text{sin}\frac{xm}{A}\left\{\struck{\text{cos}}\sqrt{(m^2+n^2)}\frac{x}{A}\right. \end{align*}\] Ces quatre formules, en bas à droite du feuillet, sont d'une écriture plus fine. Les dénominateurs \(A\) de plusieurs fractions sont barrés d'un trait oblique, comme aux vues précédentes. Dans la troisième ligne, le premier facteur « sin » est écrit sur un autre mot, et le second, lu « cos », est surchargé, ce qui est donné comme rature ; de même le « cos » de la dernière ligne, noirci. La dernière ligne s'arrête au bord inférieur du feuillet, l'accolade non fermée. Le signe de la deuxième ligne est un « \(=\) » dont le premier trait est plus épais, lu peut-être « \(=-\) ».
411
Suite des calculs du feuillet 201 (vue 410), au verso, écrits cette fois dans le sens de la page ; ni nombre en haut à droite ni pagination. On y écrit \(\text{cos}\,nx\), \(\text{sin}\,my\) sans \(\pi\) ni \(A\). Plusieurs signes de tête de ligne sont noircis d'encre (un « \(-\) » repassé sur un autre signe) ; ils sont donnés comme on les lit. La disposition en accolades est simplifiée.
\[\begin{align*} \frac{dz}{dx} = \ill.\,\text{cos}.nx\ \text{sin}\,my\Bigl\{\,&a'\Bigl\{\text{cos}\,nx + \frac{(\Pi-\Pi')+3}{2.3}\,\text{cos}^3nx\\ &\qquad + \frac{((\Pi-\Pi')+3)((\Pi-\Pi')+3.5)}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5nx + \&c\Bigr\}\\ &+b'\Bigl\{\frac{2}{\Pi-\Pi'} + \text{cos}^2nx + \&c\Bigr\}\\ -\,n\,\text{sin}\,nx\ \text{sin}\,my\Bigl\{\,&a'\Bigl\{\text{sin}\,nx + \frac{[(\Pi-\Pi')+3]\,3}{2.3}\,\text{cos}^2nx\,\text{sin}\,nx\\ &\qquad + \frac{[((\Pi-\Pi')+3)((\Pi-\Pi')+3.5)]\,5}{2.3.4.5}\,\text{cos}^4nx\,\text{sin}.nx + \&c\Bigr\}\\ &+b'\Bigl\{2\,\text{sin}\,nx\,\text{cos}\,nx + \frac{[(\Pi-\Pi')+8]\,4}{3.4}\,\text{sin}\,nx\,\text{cos}^3nx\\ &\qquad + \frac{[(\Pi-\Pi')+8][(\Pi-\Pi')+3.8]\,6}{3.4.5.6}\,\text{cos}^5nx\,\text{sin}\,nx + \&c \end{align*}\] Le facteur qui suit « \(\frac{dz}{dx} =\) » est une lettre noircie, peut-être \(n\) écrit sur un autre signe ; il n'a pas été lu. Le signe qui ouvre la troisième ligne est un gros trait noirci, lu « \(-\) ». Le premier chiffre du dénominateur « \(3.4.5.6\) » est écrit sur un autre.
\[\begin{align*} \frac{ddz}{dx^2} = -\,n^2\,\text{sin}\,nx\ \text{sin}.my\Bigl\{\,&a'\Bigl\{\text{cos}\,nx + \frac{(\Pi-\Pi')+3}{2.3}\,\text{cos}^3nx\\ &\qquad + \frac{((\Pi-\Pi')+3)((\Pi-\Pi')+3.5)}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5nx + \&c\Bigr\}\\ &+b'\Bigl\{\frac{2}{\Pi-\Pi'}\ \struck{+}\ \text{cos}^2nx + \frac{(\Pi-\Pi')+8}{3.4}\,\text{cos}^4nx + \&c.\Bigr\}\\ -\,\struck{2}n^2\,\text{sin}\,nx\ \text{sin}\,my\Bigl\{\,&a'\Bigl\{\text{cos}\,nx + \frac{[.(\Pi-\Pi')+3]\,3}{2.3}.\text{cos}^3nx\\ &\qquad \struck{+}\ \frac{[((\Pi-\Pi')+3)((\Pi-\Pi')+3.5)]\,5}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5nx + \&c\\ &\qquad - [(\Pi-\Pi')+3]\,\text{cos}\,nx\,\text{sin}^2nx\\ &\qquad - \frac{((\Pi-\Pi')+3)((\Pi-\Pi')+3.5)}{2.3}\,\text{cos}^3nx\,\text{sin}^2 - \&c.\Bigr\}\\ &+b'\Bigl\{2(\text{cos}^2nx - \text{sin}^2nx) + \frac{[(\Pi-\Pi')+8]}{3.4}.4\,\text{cos}^4nx\\ &\qquad + \frac{[(\Pi-\Pi')+8][(\Pi-\Pi')+3.8]}{3.4.5.6}\,6\,\text{cos}^6nx + \&c.\\ &\qquad \struck{+}\,[(\Pi-\Pi')+8]\,\text{sin}^2nx\,\text{cos}^2nx\\ &\qquad - \frac{[(\Pi-\Pi')+8][(\Pi-\Pi')+3.8]}{3.4.}\,\text{sin}^2nx\,\text{cos}^4nx - \&c \end{align*}\] Après « \(\frac{2}{\Pi-\Pi'}\) », à la deuxième accolade, un « \(+\) » est noirci ; de même le « \(+\) » devant le terme en \(\text{cos}^5nx\) de la ligne suivante et celui qui ouvre la dernière ligne. Le 2 devant « \(n^2\) », au début du second bloc, est écrit sur un autre caractère et barré ; il reparaît, net, au bloc suivant. Le dernier facteur de la ligne en \(\text{cos}^3nx\,\text{sin}^2\) est coupé au bord droit.
\[\begin{align*} -\,2n^2\,\text{sin}\,nx\ \text{sin}\,my\Bigl\{\,&a'\Bigl\{\text{cos}\,nx + \frac{[(\Pi-\Pi')+3]}{2.3}\,3\,\text{cos}^3nx\\ &\qquad + \frac{[((\Pi-\Pi')+3)((\Pi-\Pi')+3.5)].5}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5nx + \&c\\ &+b'\Bigl\{2\,\text{cos}^2nx + \frac{[(\Pi-\Pi')+8]}{3.4}\,4\,\text{cos}^4nx\\ &\qquad + \frac{[(\Pi-\Pi')+8][(\Pi-\Pi')+3.8]}{3.4.5.6}\,6.\text{cos}^6nx + \&c\Bigr\} \end{align*}\] \[\begin{align*} = n^2\,\text{sin}\,nx\ \text{sin}.my\Bigl\{\,&a'\Bigl\{((\Pi-\Pi')-1)\,\text{cos}\,nx\\ &\qquad + \frac{((\Pi-\Pi')+3)}{2.3}\,[(\Pi-\Pi')+3.5-1-9-6]\,\text{cos}^3nx\\ &\qquad + \frac{((\Pi-\Pi')+3)((\Pi-\Pi')+3.5)}{2.3.4.5}\\ &\qquad\quad \times[(\Pi-\Pi')+7.5-1-25-10]\,\text{cos}^5nx + \&c.\Bigr\}\\ &+b'\Bigl\{\frac{2}{\Pi-\Pi'}\ \struck{+}\ 2 + ((\Pi-\Pi')+8)\ \struck{-}\ 4-4-1)\,\text{cos}^2nx\\ &\qquad + \frac{((\Pi-\Pi')+8)}{3.4.}\,((\Pi-\Pi')+3.8\ \struck{+}\ 4\ \struck{+}\ 12\ \struck{+}\ 8-1)\,\text{cos}^4nx + \&c \end{align*}\] Dans la dernière égalité, le signe qui suit l'accolade, devant \(a'\), est une grosse tache d'encre, et un autre trait épais tombe après « \(\text{cos}\,nx\) » ; ils ne sont pas repris. Les signes entre les nombres de la ligne en \(b'\) (« \(\frac{2}{\Pi-\Pi'}\ +\ 2\) », « \(-\ 4-4-1\) ») et de la dernière ligne (« \(+4+12+8-1\) ») sont des « \(+\) » noircis ou changés en « \(-\) » ; les « \(+\) » sont donnés comme ratures, et le sens de chaque correction n'est pas sûr. « \(+7.5\) » : le 7 est repassé sur un autre chiffre. Le bas du feuillet est blanc.
412
ainsi, lorsque l'on fera \(z' = \ldots\text{sin}\,\pi.\frac{xm}{A}\ \text{sin}\,\pi.\frac{ym}{A}\), on pourra prendre \[\begin{align*} z = \ldots\ \text{sin}\,\pi.\frac{xm}{A}\ \text{sin}\,\pi.\frac{ym}{A}\Bigl(\\ &a'\Bigl\{\text{cos}.\pi.\frac{mx}{A} + \frac{\Pi+3}{2.3}\,\text{cos}^3\pi.\frac{mx}{A} + \ldots\ldots\\ &\quad + \frac{(\Pi+3)(\Pi+3.5)\ldots(\Pi+4n^2-1)}{2.3.4.5\ldots 2n+1}\,\text{cos}^{2n+1}\pi.\frac{mx}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+b'\Bigl\{\frac{2}{\Pi} + \text{cos}^2\pi.\frac{mx}{A} + \frac{\Pi+8}{3.4}\,\text{cos}^4\pi.\frac{mx}{A}\ldots\\ &\quad + \frac{(\Pi+8)(\Pi+3.8)\ldots(\Pi+(2n-1)^2-1)}{3.4.5.6\ldots 2n}\,\text{cos}^{2n}\pi.\frac{mx}{A} + \&c\Bigr\}\\ \times\ &A'\Bigl\{\text{cos}.\pi.\frac{my}{A} + \frac{\Pi'+3}{2.3}\,\text{cos}^3\pi.\frac{my}{A} + \ldots\\ &\quad + \frac{(\Pi'+3)(\Pi'+3.5)\ldots(\Pi'+4n^2-1)}{2.3.4.5\ldots 2n+1}\,\text{cos}^{2n+1}\pi.\frac{my}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+B'\Bigl\{\frac{2}{\Pi'} + \text{cos}^2\pi.\frac{my}{A} + \frac{\Pi'+8}{3.4}.\text{cos}^4\pi.\frac{my}{A}\ \struck{\ldots}\\ &\quad + \frac{(\Pi'+8)(\Pi'+3.8)\ldots(\Pi'+(2n-1)^2-1)}{3.4.5.6\ldots 2n}\,\text{cos}^{2n}\pi.\frac{my}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+a''\Bigl\{\text{cos}\,\pi.\frac{mx}{A} + \frac{\Pi''+3}{2.3}\,\text{cos}^3\pi.\frac{mx}{A} + \ldots\\ &\quad + \frac{(\Pi''+3)(\Pi''+3.5)\ldots(\Pi''+4n^2-1)}{2.3.4.5\ldots 2n+1}.\text{cos}^{2n+1}\pi.\frac{mx}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+b''\Bigl\{\frac{2}{\Pi''} + \text{cos}^2\pi.\frac{mx}{A} + \frac{\Pi''+8}{3.4}.\text{cos}^4\pi.\frac{mx}{A} + \ldots\\ &\quad + \frac{(\Pi''+8)(\Pi''+3.8)\ldots(\Pi''+(2n-1)^2-1)}{2.3.4.5\ldots 2n}\,\text{cos}^{2n}\pi.\frac{mx}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+A''\Bigl\{\text{cos}\,\pi.\frac{my}{A} + \frac{\Pi''+3}{2.3}\,\text{cos}^3\pi.\frac{my}{A} + \ldots\\ &\quad + \frac{(\Pi''+3)(\Pi''+3.5)\ldots(\Pi''+4n^2-1)}{2.3.4.5\ldots 2n+1}\,\text{cos}^{2n+1}\pi.\frac{my}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+B''\Bigl\{\frac{2}{\Pi''} + \text{cos}^2\pi.\frac{my}{A} + \frac{\Pi''+8}{3.4}\,\text{cos}^4\pi.\frac{my}{A} + \ldots\\ &\quad + \frac{(\Pi''+8)(\Pi''+3.8)\ldots(\Pi''+(2n-1)^2-1)}{2.3.4.5\ldots 2n}\,\text{cos}^{2n}\pi.\frac{my}{A} + \&c\Bigr\}\\ &\Bigr)\ \ldots\ (G) \end{align*}\] En tête, vers le milieu, « (11) », le chiffre barré d'un trait ; en haut à droite « 202 », à l'encre, de la série courante. Ce feuillet est une nouvelle mise au net de la fin de la page (9) de la vue 408 et du début de la page (10) de la vue 409 : la même formule (G), écrite « \(\pi.\frac{mx}{A}\) » sans parenthèses, puis la même phrase et le début de (H). Deux différences avec la vue 408 : les dénominateurs des lignes en \(b''\) et \(B''\) se lisent « \(2.3.4.5\ldots 2n\) » et non « \(3.4.5.6\ldots 2n\) » ; après le troisième terme de la ligne en \(B'\), une ligne de points est noircie. Au-dessus du « (11) », en haut à gauche du chiffre 202, une figure pâle entre parenthèses, « (12) » peut-être, est sans doute celle du verso vue par transparence. Disposition de la formule simplifiée, comme aux vues 407 et 408.
pourvu que \(\Pi\) \(\Pi'\) et \(\Pi''\) aient [ayent] entre elles la relation exprimée par l'équation \(\Pi+\Pi' = \struck{\ill}\,\Pi''\).
Les sons simples seront comme dans les valeurs cas compris dans l'intégrale (F), c'est adire que l'on aura toujours \(\sqrt{\tfrac{1}{K}}.\frac{1}{\pi} = \frac{\pi.m^2(\Pi+\Pi'-2)}{A^2}\).
Et lorsque [l'on] prendra \(z' = \text{sin}.\pi.\frac{nx}{A}\ \text{sin}.\pi.\frac{my}{A}\), on pourra faire \[\begin{align*} z = \ldots\ \text{sin}.\pi.\frac{xn}{A}\ \text{sin}.\pi.\frac{ym}{A}\Bigl(\,&a'\Bigl\{\text{cos}.\pi.\frac{nx}{A} + \frac{2-m^2+3}{2.3}\,\text{cos}^3\pi.\frac{nx}{A}\\ &\qquad + \frac{(2-m^2+3)(2-m^2+15)}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5\pi.\frac{nx}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+b'\Bigl\{\frac{2}{2-m^2} + \text{cos}^2\pi.\frac{nx}{A} + \frac{2-m^2+8}{3.4}\,\text{cos}^4\pi.\frac{nx}{A}\\ &\qquad + \frac{(2-m^2+8)(2-m^2+24)}{3.4.5.6}\,\text{cos}^6\pi.\frac{nx}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+A'\Bigl\{\text{cos}\,\pi.\frac{my}{A} + \frac{2-n^2+3}{2.3}.\text{cos}^3\pi.\frac{my}{A}\\ &\qquad + \frac{(2-n^2+3)(2-n^2+15)}{2.3.4.5.}\,\text{cos}^5\pi.\frac{my}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+B'\Bigl\{\frac{2}{2-n^2} + \text{cos}^2\pi.\frac{my}{A} + \frac{2-n^2+8}{3.4}\,\text{cos}^4\pi.\frac{my}{A}\\ &\qquad + \frac{(2-n^2+8)(2-n^2+\uncertain{24})}{3.4.5.6}\,\text{cos}^6\pi.\frac{my}{A} + \&c\Bigr\}\Bigr)\ \ldots\ (H) \end{align*}\] « ayent » est écrit au-dessus d'un mot barré, lu « aient » avec doute. Après « \(\Pi+\Pi' =\) », un groupe (un 2 et une lettre, semble-t-il) est noyé sous une rature en boucle, et « \(\Pi''\) » est écrit au-dessus ; ce que la rature couvre n'est pas lu. « valeurs » est barré devant « cas ». « Et » est barré en tête de la phrase et « l'on » ajouté au-dessus de « prendra ». Dans (H), les constantes « \(+3\) », « \(+8\) », « \(+15\) », « \(+24\) » sont presque toutes repassées d'une encre épaisse sur d'autres chiffres, et le premier chiffre du dénominateur de « \(\frac{2}{2-m^2}\) » est surchargé ; une grosse tache d'encre couvre la fin du numérateur du dernier terme de la ligne en \(B'\), lu « \(+24\) » d'après les lignes voisines. Les textes de la vue 409 écrivent ces coefficients avec une parenthèse ouverte, « \((2-m^2+3\) ». La formule occupe le bas du feuillet, qui s'arrête là.
413
Les sons simples qui correspondent aux manières de vibrer renfermées dans cette dernière intégrale, seront exprimés par la formule \(\sqrt{\tfrac{1}{K}}.\frac{1}{\pi} = \frac{\pi.m^2n^2\tau\sqrt{b}}{A^2}\). En tête, au milieu, « (12) » ; aucun nombre en haut à droite de ce côté du feuillet, verso du feuillet 202 (vue 412). À côté du « (12) », un « (11) » pâle et retourné est celui du recto, vu par transparence. Cette page est une nouvelle mise au net de la seconde moitié de la page (10) de la vue 409, avec quelques différences notées plus bas. Le « \(\tau\) » de l'épaisseur est tracé ici nettement comme un \(\Gamma\).
N.o 6 En prenant encore \(z = z'z''\), et fesant \(z' = \text{sin}(t.\sqrt{\tfrac{1}{K}}+\zeta)\ \text{sin}\,\pi.\frac{nx}{A}\), on aura encore toujours une équation dela forme de celle aux cordes vibrantes savoir \(\left(\frac{ddz'}{dt^2}\right) = \left(\frac{ddz'}{dx^2}\right)\frac{K}{n^2}\). Elle indique que la surface sera periodique dans le sens de \(x\). On pourra faire \[\begin{align*} z = \ldots\ \text{sin}.\pi.\frac{nx}{A}\Bigl\{\,&a'\Bigl\{\text{cos}.\pi.\frac{nx}{A} + \frac{2-m^2+3}{2.3.}\,\text{cos}^3\pi.\frac{nx}{A}\\ &\qquad + \frac{(2-m^2+3)(2-m^2+15)}{2.3.4.5}\,\text{cos}^5\pi.\frac{nx}{A} + \&c\Bigr\}\\ &b'\Bigl\{\frac{2}{-m^2+2} + \text{cos}^2\pi.\frac{nx}{A} + \frac{2-m^2+8}{3.4}\,\text{cos}^4\pi.\frac{nx}{A} + \&c\Bigr\}\\ &+\ \mathfrak{A}\,\text{sin}.\pi.\frac{\uncertain{mn}.y}{A}\ \ldots\ldots\ (I) \end{align*}\] L'étiquette « (I) » est écrite sur une autre lettre, noircie. Les constantes « \(+3\) », « \(+8\) » et « \(+15\) » sont repassées sur d'autres chiffres, comme à la vue 412. L'argument du dernier sinus se lit « \(\pi.mn.y\) » avec doute (à la vue 409, « \(\pi\,may\) ») ; la majuscule ornée est la même.
Les diff mais cette [surface] ne jouira pas dela même propriété dans le sens des \(y\) puisque cette dernière variable n'entre pas dans l'équation aux cordes vibrantes. Les sons simples seront exprimés par la formule \(\sqrt{\tfrac{1}{K}}.\frac{1}{\pi} = \frac{\pi m^2n^2\tau\sqrt{b}}{A^2}\) « Les diff » est barré en tête de la phrase, qui reprend « mais cette… » ; « surface » est ajouté au-dessus de « ne jouira », écrit sur un autre mot. La ligne sur les sons simples est serrée, d'une écriture plus petite, entre deux lignes ; le dénominateur « \(A^2\) » y est surchargé. La vue 409 barrait cette même valeur pour écrire « \(= \pi.n^2(m^2+1)\) » ; ici elle est gardée.
Les differentes intégrales que je viens de donner, conviennent toutes, excepté la première, à l'équation differentielle des surfaces tendues; et c'est a quoi elles doivent leur simplicité. car si on vouloit avoir les intégrales qui n'appartiennent qu'à l'équation differentielle des surfaces élastiques, on faudroit avoir [on trouveroit] nonseulement les termes contenant \(e^{\pm\sqrt{-1}.\omega}\), mais sur encore des termes où entreroient, de la même manière, les […] [exponentielles] quantités \(e^{\pm\omega}\); et alors l'angle \(\omega\) ne pourroit être déterminé que par des calculs d'aproximation; desorte que non seulement les Au-dessus de deux mots barrés au début de la ligne (le premier lu « faudroit » avec doute, le second « avoir »), elle écrit « on trouveroit » ; « on » est barré en fin de ligne précédente. Le « les » barré devant « termes » est noyé d'encre. Le mot barré sous « exponentielles », ajouté au-dessus de la ligne, semble une première graphie du même mot, trop raturée pour être lue ; « quantités » est gardé sur la ligne. Le mot barré après « mais » est court et n'est lu qu'avec doute. La page s'arrête sur « les », suivi d'un trait qui appelle la suite.
414
intégrales seroient beaucoup plus compliquées que les précédentes; mais encore elles seroient d'une application moins facile que celles-ci. Avant de m'occuper dela comparaison entre les résultats de la théorie et celle del'experience, je vais présenter quelques remarques que je crois importantes. En tête, vers le milieu, « (13) », le chiffre barré d'un trait, comme le « (11) » de la vue 412 ; en haut à droite « 203 », à l'encre, de la série courante. La première ligne achève la phrase laissée sur « les » au bas de la vue 413 (« desorte que non seulement les intégrales seroient… »). « et celle » est barré, « de » étant rattaché à « l'experience ». Un trait vertical court, dans la marge de droite, face à « remarques », n'appelle aucune note.
§. 3. Observations sur les propriétés analytiques des differens points des corps sonores
N.o 7. Indépendamment des conditions auxquelles doivent satisfaire tous les points renfermés dans l'étendue des intégrales, il en existe d'autres auxquelles les limites de ces intégrales sont assujetties, et qui parconséquent appartiennent à tous [à] les points du contour des corps sonores, à l'exclusion des autres points des mêmes corps. Il suit delà qu'aucun point ou ligne ne pourront dans aucun cas [jamais] être considérés comme limite d'une partie vibrante, si s'ils ne satisfont aux conditions analytiques qui distinguent les points du contour des autres points du corps sonore; et qu'au contraire il suffira toujours qu'un point ou ligne satisfassent a ces mêmes conditions, pour qu'il soit permis de les considérer comme limites analytiques des parties vibrantes qu'ils séparent. Le titre du § 3 est souligné au milieu d'un trait court ; son dernier mot, « sonores », est serré contre la marge. Dans « appartiennent à tous les », « à tous » est surchargé plutôt que barré : un « à » est écrit sur « tous », et la lecture de la correction reste douteuse. « jamais » est écrit au-dessus de « dans aucun cas », dont « aucun cas » seul est nettement barré ; « dans » n'est peut-être pas annulé. « si » est écrit sur un autre mot devant « s'ils ».
Lorsqu'il s'agit dela corde vibrante, on sait depuis longtems que tous [les] points de repos peuvent [peut] être considérés comme [de veritables] limites du corps sonore: mais ces points ne sont pas les seuls qui satisfassent aux conditions des extrémités, et il est aisé de voir que tous les points dans lesquels la tangente est parallèle à l'axe Correction malaisée à suivre : « les » est ajouté au-dessus de « tous », le « s » de « points » semble repassé, et « peuvent » est corrigé à la main en un mot plus court, lu « peut » avec doute ; « de veritables » est ajouté au-dessus de « limites ». Le texte s'arrête sur « à l'axe », au bas du feuillet, dont le dernier tiers est un carton de montage blanc. La phrase se poursuit en tête de la vue 415.
415
c'est-a-dire tous les points situés au milieu des ventres de vibration, jouissent dela même propriété. En effet, d'après les suppositions admises dans la théorie du son, on peut conclure de la formule P 332 de la 1ere édition de la Mec. Analy. que les conditions des limites se réduisent à l'équation \(R.\frac{dz}{dx}.\delta z = 0\). àlaquelle on peut également satisfaire par l'une ou l'autre des équations \(z = 0\), \(\frac{dz}{dx} = 0\). A la verité il y a une impossibilité physique à vérifier ce résultat pour la corde tendue; mais il reçoit une parfaite confirmation dans la théorie des instrumens à vent; car on peut voir dans le second volume des mémoires de Turin que M.r Dela Grange a conclu l'équation \(\frac{dz}{dx} = 0\) dela nécessité que l'élasticité de l'air dans le tuyau soit la même à l'extrémité ouverte que celle de l'atmosphere. Ainsi, tandis que les extrémités dela corde tendue fournissent une manière desatisfaire àla condition \(R.\frac{dz}{dx}.\delta z = 0\), l'autre est donné par les extrémités dela flûte ouverte aux deux bouts. desorte qu'en prenant de part et d'autre le cas le plus simple, l'un est exactement le renversement de l'autre; car lorsque la corde vibre dans toute son étendue en ne formant qu'une seule période, il existe trois points d'extrémités de limites savoir: les deux points d'extrémités effectives lesquels pour lesquels on a \(z = 0\) et le point de milieu pour lequel \(\frac{dz}{dx} = 0\), tandis que pour la manière En tête, au milieu, « (14) », le 4 écrit sur un autre chiffre ; aucun nombre en haut à droite de ce côté du feuillet, verso du feuillet 203 (vue 414). La première ligne achève la phrase de la vue 414 (« tous les points dans lesquels la tangente est parallèle à l'axe c'est-a-dire tous les points situés au milieu des ventres… »). « P 332 » est écrit ainsi, le P majuscule pour « page » ; « Mec. Analy. » est l'abréviation de la page, pour la Mécanique analytique. Le signe de variation, dans « \(R.\frac{dz}{dx}.\delta z\) », est la lettre bouclée rendue par \(\delta\) ; la première fois il est écrit sur un autre signe. « Dela Grange » est écrit en deux mots, coupé en fin de ligne. Devant « limites », « d'extrémités » est barré, suivi d'une ou deux lettres barrées et noircies ; « lesquels » est barré avant « pour lesquels ». Le texte s'arrête sur « la manière » au bas du feuillet, le dernier tiers de la vue étant le carton de montage. La suite est à la vue 418, le petit feuillet de la vue 416 (et son verso blanc, vue 417) s'intercalant entre les deux.
416
Il regne dans tous le passage relatif aux effets de l'application dela cire une erreur qui m'a d'abord inquiété lorsqu'on a voulu aprecier le son dela plaque chargée en supposant le poids de cette dernière a celui dela plaque non chargée comme \(N\) a \(n\) on a pris le son proportionnel au nombre \(\frac{N^2+n^2}{n^2}\) parconséquent ce son seroit \(>\) aigu que \(\frac{2n^2}{n^2}\) qui est celui dela plaque non chargée le contraire doit avoir lieu et le premier son est proportionnel au nombre \(\frac{N^2+n^2}{N^2}\) tandis que \(\frac{N^2+n^2}{n^2}\) exprimeroit le son d'une plaque de \(N\) grandeur dont on auroit retranchée \((N-n)\) La difference que j'ai exprimé par \(\frac{N^2+n^2}{2n^2}\) doit l'être par \(\frac{2N^2}{N^2+n^2}\) qui heureusement ne different pas sensiblement l'un de l'autre. Une pièce nouvelle, sur un petit feuillet déchiré, collé sur un carton de montage : en haut à droite « 204 », à l'encre, de la série courante ; aucune pagination de sa main. L'écriture est d'une plume plus fine et d'une encre plus pâle, rapide, sans rature. Le texte occupe d'abord toute la largeur du feuillet, puis, à partir de « exprimeroit le », une colonne étroite sur la droite d'un prolongement du papier ; c'est une note isolée sur une expérience de plaque chargée de cire, sans lien visible avec les pages (4) à (14) qui précèdent, et qui ne reprend pas la phrase laissée sur « la manière » à la vue 415. « \(>\) aigu » est écrit ainsi, le signe tenant lieu de « plus ». « le son » est écrit sur un autre mot, noirci ; « a » pour « à » deux fois (« a celui », « comme \(N\) a \(n\) »). Le « \(2\) » de « \(\frac{2n^2}{n^2}\) » et de « \(\frac{N^2+n^2}{2n^2}\) » est tracé à la façon d'un \(\mathcal{B}\), comme ailleurs dans ce volume.
418
de vibrer la plus simple dont soit susceptible une flûte ouverte aux deux bouts, les extrémités effectives satisfont à la condition \(\frac{dz}{dx} = 0\), et le point de milieu auquel se reunissent les deux demi periodes, remplit la condition \(z = 0\). En tête, à gauche du milieu, « (15) » ; en haut à droite « 205 », à l'encre, de la série courante. La première ligne achève la phrase laissée au bas de la vue 415 (« tandis que pour la manière de vibrer la plus simple… ») : le petit feuillet de la vue 416, avec son verso blanc (vue 417), est intercalé entre les pages (14) et (15).
Quelque chose de semblable a lieu pour les surfaces tendues; et c'est cequ'on peut voir aisement en introduisant les simplifications admises dans les formules données par M.r Biot P. 87 deson memoire t. 4. del'institut, les simplifications admises dans la théorie du son: car les conditions des extrémités se réduisent alors à \(\int E.dx.\frac{dz}{dy}.\delta z = 0\) et \(\int E.dy.\frac{dz}{dx}\,\delta z = 0\). et [Or,] dans le cas des surfaces rectangulaires, un des côtés peut toujours etre supposé parallèle à l'axe des \(x\) ou a celui des \(y\); desorte qu'une des conditions cidessus est nécessairement toujours satisfaite par l'une des deux suppositions \(dx = 0\), \(dy = 0\), tandis que l'autre doit l'être par l'une des conditions \(z = 0\), ou \(\frac{dz}{dy}\); \(z = 0\) ou \(\frac{dz}{dx} = 0\). l'équation \(z = 0\) appartient aux extrémités effectives ou aux lignes de repos dont Mr Biot a demontré l'existence; et les equations \(\frac{dz}{dy} = 0\) \(\frac{dz}{dx} = 0\) montrent qu'il n'est pas toujours nécessaire de faire \(E = 0\), pour satisfaire aux conditions des limites dans des points qui ne sont pas supposés fixes. « les simplifications admises » est barré au début d'une ligne, puis récrit une ligne plus bas, après la référence. « P. 87 » : le P majuscule pour « page » ; « t. 4. » pour le tome 4 des mémoires de l'Institut. Les deux intégrales sont écrites par un s long, rendu par \(\int\) ; le signe de variation est la lettre bouclée rendue par \(\delta\). « Or, » est écrit au-dessus de « et », barré. Dans « nécessairement », les premières lettres sont écrites sur d'autres, noircies ; la lecture est sûre par le sens. « ou \(\frac{dz}{dy}\) » est écrit sans « \(= 0\) ».
On voit donc que, quelque soit le corps sonore que l'on considère, les points ou les lignes de repos ne sont pas les seuls points ou lignes qui satisfassent aux conditions des extrémités, et qui soient parconséquent de veritables « points » est barré devant « ou lignes ». Le texte s'arrête sur « de veritables » au bas du feuillet ; la suite est à la vue 419.
419
limites analytiques des parties vibrantes qu'ils séparent. En tête, à gauche du milieu, « (16) » ; aucun nombre en haut à droite de ce côté du feuillet, verso du feuillet 205 (vue 418). La première ligne achève la phrase de la vue 418 (« …et qui soient parconséquent de veritables limites analytiques… »).
On voit d'ailleurs que, tant qu'il ne s'agit que des surfaces tendues, il est toujours permis de considerer, les cordes ainsi que l'indique le programme publié par la classe, les nappes vibrantes comme analogues aux ondes des cordes de Sauveur, et les courbes d'équilibre ou de repos comme correspondant aux nœuds ou points de repos des mêmes cordes, car [puisque] de part et d'autre l'équation \(z = 0\) suffit pour remplir les conditions des extrémités. Il n'en est pas demême pour les lames et les surfaces élastiques; car il existe dans leurs mouvemens deux genres differens de points ou lignes de repos; les uns qui, parcequ'ils satisfont aux conditions des extrémités, sont delamême nature que ceux qui se forment sur les cordes et les surfaces tendues, les autres qui, par la raison contraire, séparent des espaces qui, s s'ils étoient isolés, ne pourroient, dans aucun cas, se ployer aux courbures qu'ils prennent comme parties integrantes du corps vibrant ni parconséquent rendre le même son que lui. Les mots donnés en italique sont soulignés sur la page : « nappes vibrantes », « ondes », « d'équilibre ou de repos », « points de repos ». Après « considerer, », deux mots sont barrés, le second lu « cordes » avec doute. « puisque » est écrit au-dessus de « car », barré. « son », dans « le même son », est écrit sur un autre mot, noirci. « la classe » : la Classe des sciences de l'Institut.
Quoique la remarque que je viens d'exposer n'ait pas encore été faite, elle se présente naturellement en examinant la théorie qu'Euler a donnée pour la lame élastique Acta academiæ \(\ldots\) Petropolitanæ pro anno 1779. Pars prior: c'est cequi je vais établir dans le N.o suivant. Le nom d'Euler est tracé ici comme « Lobr » : c'est son E initial en forme de L, déjà relevé aux vues 210 à 218, et la fin du nom, très cursive ; la lecture « Euler » est assurée par la référence qui suit. « Acta academiæ » est souligné, suivi d'une ligne de points soulignée et de « Petropolitanæ », souligné, dont les lettres du milieu sont malaisées ; « pro anno 1779. Pars prior » est d'une écriture plus petite. « cequi » est écrit ainsi pour « ce que ». Le bas du feuillet est occupé par le carton de montage, sur lequel se lisent à l'envers, par transparence, quelques mots du petit feuillet de la vue 416 (« doit l'être par », « \(2N^2\) », « qui heureusement »).
420
N.o 8. Pour y parvenir, en adoptant les simplifications admises par Euler, je prens les conditions des extremités données par M.r Dela Grange P. 197 dela nouvelle éd. de sa mec. Elles se réduisent dans cette hypothèse aux deux équations \(K.\frac{d^3z}{dx^3}.\delta z = 0\) et \(K\frac{d^2z}{dx^2}.\delta\frac{dz}{dx} = 0\). je remarque que l'on doit avoir pour y satisfaire l'un ou l'autre des quatre couples suivans d'équations. \(z = 0\) et \(\frac{dz}{dx} = 0\); \(z = 0\) et \(\frac{d^2z}{dx^2} = 0\); \(\frac{d^3z}{dx^3} = 0\) et \(\frac{dz}{dx} = 0\); \(\frac{d^3z}{dx^3} = 0\) et \(\frac{d^2z}{dx^2} = 0\). et je conclus déja que la condition \(z = 0\) ne suffit pas pour que le point auquel elle appartient puisse être considéré comme une veritable limite. En tête, à gauche du milieu, « (17) » ; en haut à droite « 206 », à l'encre, de la série courante. Ce N.o 8 est celui qu'annonce la fin de la vue 419 (« c'est cequi je vais établir dans le N.o suivant »). Le nom d'Euler, en fin de première ligne, est écrit d'une encre épaisse, sur un autre mot semble-t-il ; la lecture est celle du sens. Le numéro de page de Lagrange est chargé d'encre : 197 avec doute, le 9 pouvant être un autre chiffre. « mec. » : la Mécanique analytique ; « la nouvelle éd. » s'oppose à la « 1ere édition » citée à la vue 415. La lettre devant les fractions des deux équations est un \(K\), lu avec doute pour la seconde. Le signe de variation est la lettre bouclée rendue par \(\delta\). Dans les exposants de \(d^3z\), \(d^2z\), le chiffre est posé au-dessus du \(d\).
On peut voir P. 116 du mémoire cité qu'Euler n'a examiné que trois de ces couples, l'un \(z = 0\) et \(\frac{dz}{dx}\); qu'il attribue aux extrémités fixées, l'autre \(z = 0\) et \(\frac{d^2z}{dx^2}\); qu'il regarde comme qui appartient aux extrémités appuyées, et le troisième \(\frac{d^3z}{dx^3} = 0\) et \(\frac{d^2z}{dx^2} = 0\) qu'il regarde comme formant le caractère des extrémités libres; cependant il est clair que les extrémités seroient également libres lorsqu'elles appartiendroient au quatrième couple \(\frac{d^3z}{dx^3} = 0\) et \(\frac{dz}{dx} = 0\). A la verité, lorsque l'on fait vibrer une lame physiquement libre à ses extrémités, on obtient bien plus aisément les figures et les sons qui se rapportent aux conditions \(\frac{d^3z}{dx^3} = 0\) et \(\frac{d^2z}{dx^2} = 0\) que ceux qui conviennent aux conditions \(\frac{d^3z}{dx^3} = 0\) et \(\frac{dz}{dx} = 0\). Cependant je crois être parvenue à obtenir ces derniers. mais la lame qui se prêtoit plus aisément que les autres à cette manière de vibrer, s'est brisée trop tôt pour que je pusse mesurer constater et mesurer ce résultat. « P. 116 du mémoire cité » : le mémoire d'Euler nommé à la vue 419 (Acta Petrop. 1779, pars prior). Le nom est tracé comme à la vue 419, E en forme de L. « examiné » est écrit sur un autre mot, noirci au début. « \(\frac{dz}{dx}\) » et « \(\frac{d^2z}{dx^2}\) », dans l'énumération, sont écrits sans « \(= 0\) ». « il regarde comme » est barré et remplacé, sur la ligne suivante, par « qui appartient ». Le mot barré après « pusse » est noirci ; il est lu « mesurer » avec doute, le même mot revenant après « constater et ». « parvenue » est au féminin sur la page. Le bas du feuillet est blanc ; la suite n'est pas dans ce lot.