Numérotation des feuillets. Chaque page de cette mise au net porte
en tête, au milieu, entre parenthèses, sa pagination : (18) à (24) aux
vues 421 à 427, (25) à la vue 429, (26) à (34) aux vues 432 à 440, sans
lacune ; (25), (27), (29), (31) et (33) sont barrés d'un trait oblique.
Les feuillets sont écrits des deux côtés, et seul le côté de pagination
impaire porte en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, un
nombre de la série qui court dans tout le volume : 207 (vue 422), 208
(424), 209 (426), 211 (429, repris à la vue 431), 212 (433), 213 (435),
214 (437), 215 (439) ; le petit feuillet de calculs de la vue 428 porte
210. Cette série numérote des feuillets et non des pages, et elle compte
le petit feuillet ; elle occupe la place de la foliotation de la
Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au crayon, et aucun
« f. » n'est donc porté. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun
n'est déduit. La vue 430 est le dos gris et blanc de la feuille qui porte
le feuillet de la vue 428 ; la vue 431 photographie une seconde fois le
feuillet de la vue 429 ; ni l'une ni l'autre n'est transcrite.
On verra plus bas que j'ai été plus heureux par rapport a
un fait du même genre qui pourroit servir de preuve à celui
dont je n'ai pû m'assurer directement; et l'on ne s'étonnera
pas de la difficulté que j'ai trouvée à faire l'experience
dont il s'agit, si on fait attention qu'a a l'influence qu'ont
les moindres circonstances physiques pour exclure une partie des
mouvemens que l'analyse montre possibles et pour les
remplacer par d'autres mouvemens pris également aunombre de ceux
que l'analyse indique possibles, mais qui n'ont lieu
pourtant qu'à l'aide de la condition physique qui
n'entre pas dans le calcul. C'est ainsi que les fourches
métalliques qui doivent etre assujetties aux mêmes conditions analytiques
que les lames droites , quoique la courbure ait pourtant un effet que j'expliquerai dans la suite, donnent des sons qui suivent la
même loi que ceux qui appartiennent à la lame appuyée
a ses deux extremités, quoi malgré que celles de la fourche soient
l'une et l'autre physiquement libres (V. traité de Chladni N.o 88
P. 115); desorte qu'il paroît que les extremités dela fourche satisfont
veritablement aux couplex d'équations \frac{dz}{dx}=0, et \frac{d^3z}{dx^3}=0;
et que l'experience refuse de presenter pour elles le
cas \frac{d^3z}{dx^3}=0 et \frac{d^2z}{dx^2}=0; qui sur la lame droite
exclut presque toujours le premier, par la facilité
que cette lame paroît avoir à se ployer aux
courbures qui appartiennent au second.
En tête, au milieu, « (18) », entre parenthèses, non barré ; aucun
nombre en haut à droite de cette vue. Écriture régulière et posée, la
main de ses mises au net, avec quelques corrections. « métalliques » est
écrit seul dans la marge de gauche, en face de « qui doivent etre
assujetties », sans signe de renvoi : il se rapporte apparemment à
« fourches ». L'addition « quoique la courbure ait pourtant un effet que
j'expliquerai dans la suite » est écrite en plus petit au-dessus de la
ligne, après « droites ». Le mot biffé devant « a l'influence » est
empâté ; lu « qu'a » avec doute. Le verbe après « fourche » est surchargé
à sa fin : on croit lire « satisfont » écrit sur « satisfait », ce
qu'appellent « les extremités » ajouté au-dessus et les « x » ajoutés à
« au » et à « couple » ; « au couple » devient ainsi « aux couples ».
Dans \frac{d^3z}{dx^3} de la première équation, le x du dénominateur
est tracé comme un « 1 ». « le premier » est écrit sur un autre mot,
peut-être « l'autre », et n'est pas sûr. Les deux dernières lignes et
demie, de « par la facilité » à « au second », sont barrées d'un trait
horizontal ; le point final est resté après « second ».
Quoiqu'il en soit de la possibilité d'obtenir les figures et les
sons resultant des extremités assujetties aux conditions \frac{d^3z}{dx^3}=0 \frac{dz}{dx}=0,
il est impossible de ne pas admettre les points qui y satisfont
au nombre des limites analytiques des lames vibrantes; et rien
ne seroit plus aisé que d'obtenir, presque sans calcul, les valeurs
de \underline{z} et de l'angle \omega qui conviendroient aux quatre cas
que la considération de pareils points ajouteroit aux six
autres cas examinés par Euler. C'est à regret, et pour ne pas
m'écarter trop du sujet que j'ai a traiter, que j'abandonne
cette recherche; mais je ne puis me dispenser de considerer
aumoins les six cas dont Euler adonné l'analyse.
Je prends donc d'abord l'équation P. 120 dumémoire d'Euler.
En n'écrivant pas le coëfficient relatif au tems, en changeant y en
z, elle devient z = \ldots\, e^{u\omega} \mp e^{(1-u)\omega} + (1\pm e^{\omega})\,\text{sin}.u\omega + (1\mp e^{\omega})\,\text{cos}.u\omega.
Cette équation appartient au cas où les extrêmités satisfont
aux conditions \frac{d^2z}{dx^2}=0 et \frac{d^3z}{dx^3}=0; Elle présente elle même deux
cas, suivant selon qu'il y a un nombre pair ou un nombre
impair de points de repos. Le premier se rapporte aux
signes inferieurs, et les signes superieurs conviennent au second.
Je vais commencer par prouver prouverai d'abord que, lorsque l'on a
z = \ldots\, e^{u\omega} + e^{(1-u)\omega} + (1\,\ill{}\,e^{\omega})\,\text{sin}\,u\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega, aucun point
de repos ne peut être consideré comme point d'appui
En tête, au milieu, « (19) » ; en haut à droite, à l'encre, « 207 ».
La lettre soulignée est z ; l'angle est \omega, tracé comme ailleurs
dans ce volume. La variable des exposants et des arcs est écrite « u » ;
elle est gardée telle quelle. « sin » est écrit avec un s long, suivi
d'un point à la première équation et non à la seconde. Le mot devant
« changeant » est empâté, peut-être corrigé : lu « en » avec doute.
L'initiale de « Elle présente » est repassée. Le signe du second
crochet de la seconde équation est effacé sous une tache d'encre ; les
deux autres signes y sont « + », là où la première équation porte
« \mp » et « \mp ». « suivant » est barré d'un trait épais,
« selon » écrit au-dessus. « vais commencer par prouver » est barré d'un
trait horizontal, « prouverai d'abord » écrit au-dessus. La phrase se
poursuit à la vue suivante.
au sens d'Euler, ni même comme extrêmité analytique. En
effet, pour qu'un tel point satisfît aux conditions des
limites, il faudroit que l'un ou l'autre des couples d'équations
z=0, et \frac{dz}{dx}; z=0 et \frac{ddz}{dx^2}=0 lui convint. or le premier
indique caractorise le point fixe; et, suivant la remarque
d'Euler P. 157 N.o 47 de son memoire, toute communication de
mouvement est impossible entre les deux portions separés
par un tel point. A l'égard du second couple, il se
reduit aux deux equations
e^{u\omega} + e^{(1-u)\omega} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}.u\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega = 0
e^{u\omega} + e^{(1-u)\omega} - \{(1-e^{\omega})\,\text{sin}.u\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega\} = 0
desquelles on tire celles ci: e^{u\omega} + e^{(1-u)\omega} = 0, (1-e^{\omega})\,\text{sin}\,u\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega = 0
dont la première est visiblement impossible et dont la seconde
ne peut s'accorder, dans aucun cas, avec l'équation qui,
dans l'analyse d'Euler, sert à déterminer l'angle \omega.
Cependant Néanmoins, dans la manière de vibrer dont je m'occupe
en ce moment, un des points delalame satisfait aux
conditions des limites et peut parconséquent etre consideré
comme une extrêmité analytique. c'est le point de Ce
point est situé au milieu delalame; car des conditions
\frac{dz}{dx}=0 et \frac{d^3z}{dx^3}=0 qui se réduisent aux deux équations
e^{u\omega} - e^{(1-u)\omega} + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega + (1+e^{\omega})\,\text{sin}\,u\omega = 0
e^{u\omega} - e^{(1-u)\omega} - \{(1-e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega + (1+e^{\omega})\,\text{sin}\,u\omega\} = 0 \qquad \text{ou}
e^{u\omega} - e^{(1-u)\omega} = 0,\quad (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega + (1-e^{\omega})\,\text{sin}\,u\omega = 0
l'une devient
identique par la supposition u=\frac{1}{2} tandis que l'autre est
précisément l'équation qui sert à déterminer l'angle \omega.
En tête, au milieu, « (20) » ; aucun nombre en haut à droite. La
phrase continue celle de la vue 422 (« aucun point de repos ne peut être
consideré comme point d'appui / au sens d'Euler »). « aux » est écrit
sur un autre mot ; « couples » sur « couple ». Dans le premier couple
d'équations, « \frac{dz}{dx} » est écrit sans « =0 ». « indique »
est barré, « caractorise » écrit à la suite sur la ligne. « P. 157 »
est barré et « N.o 47 » écrit au-dessus ; la lecture « 157 » n'est pas
sûre, le dernier chiffre étant pris dans la biffure. L'initiale de « A
l'égard » est repassée. Dans la dernière paire d'équations, le second
crochet est écrit « (1-e^{\omega}) » devant \text{sin}\,u\omega, là où
les deux équations dont elle est tirée portent « (1+e^{\omega}) » ; le
feuillet est suivi. Le « ou » est écrit à droite, au bout de la seconde
équation. Une tache d'encre sous cette équation. « Néanmoins, » est
écrit au-dessus de « Cependant », barré.
On doit conclure delà que lorsqu'il y a un nombre pair de points
de repos sur la lame élastique dont les extrêmités sont libres en
vertu des équations \frac{d^2z}{dx^2}=0 et \frac{d^3z}{dx^3}=0; elle vibre comme deux
lames séparés de moitié moins longues qui auroient chacune
une de leurs extrêmités assujettie aux mêmes conditions que celles
delalame entière, tandis que leur autre extrêmité seroit libre
en vertu des conditions \frac{dz}{dx}=0 et \frac{d^3z}{dx^3}=0.
Lorsqu'il y a un nombre impair de points de repos, la
valeur de \underline{z} est donnée par l'équation
z = \ldots\, e^{u\omega} - e^{(1-u)\omega} + (1+e^{\omega})\,\text{sin}.u\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega
et d'après ceque j'ai dit pour le cas précédent, on voit
qu'un point de repos ne peut être point d'appui au
sens d'Euler que lorsqu'il satisfait aux deux conditions
\left.\begin{array}{l} e^{u\omega} - e^{(1-u)\omega} + (1+e^{\omega})\,\text{sin}.u\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega = 0 \\ e^{u\omega} - e^{(1-u)\omega} - \{(1+e^{\omega})\,\text{sin}.u\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega\} = 0 \end{array}\right\} \text{ ou }
\begin{array}{l} e^{u\omega} - e^{(1-u)\omega} = 0 \\ (1+e^{\omega})\,\text{sin}.u\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega = 0 \end{array}
c'est adire que lorsque u = \frac{1}{2}.
On doit donc conclure que, lorsqu'il y a un nombre impair
de points de repos sur la lame élastique dont les extrêmités
sont libres au sens d'Euler, elle vibre comme deux lames
séparés, de moitié moins longues, qui auroient chacune
une de leurs extrêmités libres, tandis que leur autre extrêmité
seroit appuyée. Et en effet la condition \frac{e^{\omega}-1}{e^{\omega}+1} = \text{tang}\,\frac{1}{2}\omega,
qui resulte pour ce cas, de l'équation \frac{2}{e^{\omega}+e^{-\omega}} = \text{cos}\,\omega, laquelle
sert a déterminer l'angle \omega lorsque les deux extrêmités sont
En tête, au milieu, « (21) » ; en haut à droite, à l'encre, « 208 ».
Le dernier mot de la première ligne, « points », et le premier de la
seconde, « de repos », sont écrits sur d'autres mots, empâtés ; ce
qu'ils recouvrent ne se lit pas. « ceque » en un mot.
L'accolade qui réunit les
deux premières équations et le « ou » qui les relie aux deux suivantes
sont d'elle. La phrase se poursuit à la vue suivante.
libres, n'est autre chose, en mettant \underline{\omega} aulieu de \frac{1}{2}\omega, que
l'équation qui détermine le même angle \underline{\omega} dans le second
cas examiné par Euler, c'est adire lorsqu'une extrêmité
est libre et l'autre appuyée. Il en est demême de
l'expression de \underline{z}, desorte qu'il est visible que ce grand
géomètre auroit pû se dispenser de calculer àpart
le cas dont il s'agit, puisque ce cas est expressement
contenu dans le premier
Dans le troisième cas d'Euler qui est celui d'une
extrêmité fixe et l'autre libre, on peut s'assurer,
en employant des raisonnemens semblables à ceux
dont j'ai fait usage pour le premier cas, que de
quelque manière que la lame se meuve, il ne
peut exister aucun autre point qui satisfasse aux
conditions des limites que les extrêmités reelles et
physiques de cette lame. Ainsi elle ne peut jamais
etre considerée y comme separée en plusieurs
autres lames vibrant separément
Le quatrième cas d'Euler est celui des deux
extrêmités appuyés. Il est fort remarquable
en ce que, suivant la remarque l'observation de
cet illustre auteur, la lame se ploye alors
aux mêmes courbures que la corde tendue
En tête, au milieu, « (22) » ; aucun nombre en haut à droite.
La première ligne achève la phrase de la vue 424 (« lorsque les deux
extrêmités sont / libres »). Le point manque après « le premier ». Le
mot biffé après « considerée » est une seule lettre, lue « y ». Après
« suivant », « la » est repassé et le mot qui suit est annulé par des
boucles serrées ; « remarque » est une lecture du sens plus que de la
lettre. Le point manque aussi après « separément ». La phrase se poursuit
à la vue suivante.
Aussi est-il visible que, dans ce cas, tous les points de repos
sont de véritables limites, puisqu'ils satisfont tous aux conditions
z=0 et \frac{ddz}{dx^2}=0, et que, de plus, si s'il y a, par exemple
n-1 points de repos, on aura outre les n+1 points d'extrêmités
resultans des conditions z=0 et \frac{ddz}{dx^2}=0 \underline{n} autres limites
analytiques assujetties aux conditions \frac{dz}{dx}=0 et \frac{d^3z}{dx^3}=0; desorte
que 2n+1 exprimera le nombre des points qui pourront,
dans ce cas, etre considerés comme de veritables limites
des parties qu'ils separent.
Les deux derniers cas savoir, ceux d'une extrêmité fixe, l'autre
appuyée, et des deux extrêmités fixes, ont entr'eux le même
rapport que celui que j'ai remarqué entre les deux premiers
cas; et Euler auroit encore pû se dispenser de calculer
à part le veme qui se trouve compris dans le vieme.
A la vérité, la valeur de \underline{z} qui appartient au veme
se présente sous une autre forme que celle qui seroit
déduite du vieme; mais cette différence vient uniquement
de ceque c'est l'extrêmité x=0 qu'Euler suppose
appuyée dans l'analyse de son veme cas, tandis que
dans le vieme ce ne peut jamais etre que le point
x=\frac{1}{2}a qui soit censé appuyé. Au reste, dans ce
vieme cas, on trouve, comme dans le premier, qu'il
ne peut jamais y avoir qu'une seule extrêmité
En tête, au milieu, « (23) » ; en haut à droite, à l'encre, « 209 ».
L'initiale de « Aussi » est repassée. « tous » est ajouté au-dessus de la
ligne, avec un signe d'insertion, après « satisfont ». « si » est barré
devant « s'il ». « outre » est écrit au-dessus de « les ». Le mot après
« points » est écrit sur un autre et se lit mal ; « d'extrêmités » est
offert avec doute. Le n de « \underline{n} autres limites » est
souligné. Les ordinaux « veme » et
« vieme » sont en chiffres romains minuscules, la
terminaison en exposant. La phrase se poursuit à la vue suivante.
purement analytique, laquelle est toujours aumilieu de
la lame, et que lorsqu'il y a un nombre impair de points
de repos, cette extrêmité est appuyée en vertu des
conditions z=0 et \frac{ddz}{dx^2}=0, tandis que, lorsqu'il y a un
nombre pair de pareils points, l'extrêmité analytique
est libre en vertu des conditions \frac{dz}{dx}=0 et \frac{d^3z}{dx^3}=0.
D'après les remarques précédentes, il est maintenant
hors de doute que les points de repos des lames
élastiques ne doivent pas etre assimilés aux nœuds
de vibrations des cordes tendues; mais il est étonnant
que, quoique la vraie théorie du mouvement de
ces lames ait été donnée depuis longtems par
Euler, que le cas des extrêmités libres ait été
le sujet d'un excellent memoire de Giordano
Ricati (Delle vibrazioni de cilindri T. 1 des M. dela
Société italienne) dans lequel cet auteur a calculé
avec beaucoup d'exactitude les differentes valeurs
de l'angle x\omega, et qu'en dernier lieu Mr
Chladni ait confirmé par l'experience les
résultats dela théorie qu'il reconnoit pour
entièrement satisfesante; il est étonnant que ni l'un ni l'autre
de ces savans auteurs ne se soient apperçu
que les intervalles qui separent les points
de repos sont inégaux entr'eux. il
En tête, au milieu, « (24) » ; aucun nombre en haut à droite. La
première ligne achève la phrase de la vue 426 (« qu'une seule
extrêmité / purement analytique »). « il est étonnant » est barré en
fin de ligne, et « que » au début de la suivante ; la même tournure,
« il est étonnant que », est ajoutée plus bas au-dessus de la ligne,
après « satisfesante », avec un signe d'insertion, où la phrase la
demande. La lettre devant \omega dans « l'angle x\omega » est lue x.
« Ricati », « de cilindri » : ainsi. Le dernier mot, « il », est
traversé d'un trait qui semble le biffer ; le feuillet suivant de la
même suite (vue 429, page (25)) s'ouvre sur « En effet », qui ne
continue pas « il ».
f^2 = dx^2 + \left(\frac{dz}{dx}\right)^2 dx^2
g^2 = dx^2 + \left\{\left(\frac{dz}{dx}\right)dx + \left(\frac{d^2z}{dx^2}\right)dx^2\right\}^2
h^2 = 4dx^2 + \left\{2\left(\frac{dz}{dx}\right)dx + \left(\frac{d^2z}{dx^2}\right)dx^2\right\}^2
f^2 + g^2 - h^2 = -2dx^2 - \uncertain{2}\,dx^2\left(\frac{dz}{dx}\right)\left(\frac{d^2z}{dx^2}\right)dx
(f^2 + g^2 - h^2) = 4dx^4 + 8dx^5\left(\frac{dz}{dx}\right)^2\left(\frac{d^2z}{dx^2}\right)
\qquad + 4dx^6\left(\frac{dz}{dx}\right)^4\left(\frac{d^2z}{dx^2}\right)^2
4f^2g^2 = 4dx^4
{}^{d}\iint\left(\frac{d^2z}{dx^2} + \frac{d^2z}{dy^2}\right)\delta\frac{d^2z}{dx^2}\,dx\,dy
= \int\ill{}\left(\frac{d^2z}{dx^2} + \frac{d^2z}{dx^2}\right)\delta\frac{dz}{dx}\,dy - \iint\frac{d\left(\frac{d^2z}{dx^2} + \frac{d^2z}{dy^2}\right)}{dx}\,\delta\frac{dz}{dx}\cdot dy
\iint\frac{\left(\frac{d^2z}{dx^2} + \frac{d^2z}{dy^2}\right)\delta\ill{}}{dx}
Petit feuillet d'un autre papier, plus court et plus étroit que les
feuillets qui l'entourent, monté sur onglet, le bord gauche arraché ; en
haut à droite, à l'encre, « 210 ». Au bas, le cachet « Bibliothèque
impériale MSS ». Des calculs sans un mot, d'une plume plus fine et d'une
écriture plus petite que la mise au net des vues 421–427 ; ils ne
continuent pas la phrase de la vue 427. Les accolades sont d'elle ; les
parenthèses droites de plusieurs facteurs sont à peine formées. Le
coefficient du second terme de f^2+g^2-h^2 est un chiffre bouclé,
lu 2 avec doute, suivi d'une tache d'encre. Le carré de
(f^2+g^2-h^2) n'est pas écrit au premier membre, bien que le second en
soit le carré ; et les exposants 2 et 4 de \left(\frac{dz}{dx}\right)
aux deux derniers termes sont ceux du feuillet. Le « d » isolé devant la
première intégrale double est écrit plus haut que la ligne. Le signe
qui ouvre la deuxième ligne est un \int suivi d'un trait appuyé
illisible, peut-être un second \int ou un \delta repassé. Dans la
parenthèse de cette ligne, le second terme est écrit
\frac{d^2z}{dx^2}, là où la première ligne porte \frac{d^2z}{dy^2}.
Le \delta est le « d » à hampe bouclée de ses calculs de variation.
Sous le second terme, « \int\frac{dz}{dx}\cdot dy » est récrit à
part, précédé d'un signe d'intégrale. La dernière expression est écrite
en partie sur le cachet ; le signe qui suit le \delta du numérateur ne
se lit pas.
En effet Giordano Ricati n'auroit eu qu'à comparer entr'elles
les valeurs qu'il a calculés pour remarquer qu'une partie comprise entre l'extrêmité
et le point de repos le plus voisin doit etre moins grande
que la moitié de l'espace compris entre le même nœud et
le suivant, que la partie comprise entre le second
nœud et le troisième doit etre moins grande que celle
qui est limitée par les deux premiers nœuds, et ainsi
de suite; desorte qu'en général une partie comprise
entre deux nœuds doit etre dautant plus étendue qu'elle
est plus éloignée de l'extrêmité et plus voisine du milieu
delalame quoique pourtant les differences soient
beaucoup plus grandes entre les parties qui sont près
des extrêmités qu'entre celles qui s'en éloignent davantage.
On ne peut douter que Mr Chladni n'eut
remarqué aussi les mêmes differences, si s'il eut employé
des lames suffisamment longues; car je me suis
assuré que l'experience les confirme
Euler lui même n'a sans doute pas fait la remarque
dont je viens de parler; car en voulant donner N.o 47
de son memoire un exemple des effets de l'application
d'un stilet dans un point quelconque d'une lame
dont les extrêmités seroient libres, fixés ou appuyés, il
En tête, au milieu, « (25) », barré d'un trait oblique ; en haut à
droite, à l'encre, « 211 ». Dans la marge de gauche, le cachet
« Bibliothèque impériale MSS ». « pour remarquer » est écrit au-dessus
de la ligne, entre « calculés » et « qu'une ». La fin de « confirme »
est surchargée et barrée ; les lettres biffées ne se lisent pas. La
phrase se poursuit à la vue suivante. La vue 431 photographie une
seconde fois ce même feuillet ; la vue 430 est le dos, blanc, de la
feuille grise sur laquelle est monté le petit feuillet de la vue 428.
établit une équation entre les valeurs de \frac{dz}{dx} qui conviennent
aux deux branches séparées par l'application qu'il suppose;
or, cette équation qui doit
qui laisse subsister la communication du mouvement
entre les deux portions delalame, doit toujours
se borner à déterminer une des manières de
vibrer dont elle est susceptible à l'exclusion
des autres, qu'un pareil obstacle peut etre placé
dans un point de repos quelconque, et qu'il arrive
même toujours, lorsque les extrêmités sont libres
ou fixes, que ce n'est pas dans un véritable
point d'appui au sens d'Euler qu'il convient
de serrer la lame pour obtenir les
differens sons dont elle est susceptible.
En tête, au milieu, « (26) » ; aucun nombre en haut à droite. La
première ligne achève la phrase de la vue 429 (« il / établit une
équation »), par-dessus la vue 430, blanche, et la vue 431, qui répète la
vue 429. Le mot barré après « qui », à la troisième ligne, est court et
noirci ; il ne se lit pas. « doit » est barré en fin de ligne après
« obstacle ». À la dernière ligne, « elle est » est repassé d'une encre
plus épaisse. L'initiale de « dans un point de repos » est tachée.
D'après ceque je viens de dire, on voit que rien n'est plus vague
que la signification des mots libre et appuyé appliqués aux
differens points de la lame élastique; car après avoir
N.o 9 Je passe enfin à l'examen des conditions auxquelles sont
assujettis les points du contour des plaques élastiques vibrantes.
Si dans la formule N.o 1 résultante de la differentiation par
parties, on prend les termes qui ne sont affectés que d'un
seul signe d'intégration, que l'on y mette pour E. sa
valeur, et que l'on divise par \uncertain{\beta}^2 et par les facteurs
dépendans de l'épaisseur et dela nature de la matière,
quantités qui dont aucune ne peut etre supposée nulle,
on trouvera que les conditions des limites se reduisent aux
deux équations S\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}\delta.\frac{dz}{dx\,dy} = 0, S\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx\,dy}\,\delta z = 0.
Afin de démêler plus aisément ceque signifient ces équations,
j'examinerai les conséquences que l'on peut en tirer dans les
hypothèses les plus simples. Je supposerai donc d'abord que
la surface vibrante soit rectangulaire, que le plan de cette
surface en repos soit pris pour celui des \underline{x} et y afin que
l'origine soit en un des points de repos dela même surface
En tête, au milieu, « (27) », barré d'un trait oblique comme
« (25) » à la vue 429 ; en haut à droite, à l'encre, « 212 ». « libre »
et « appuyé » sont soulignés. Le mot barré devant « remarqué » est un
seul signe empâté. Le point manque après « au sens d'Euler ». « N.o 9 »
est écrit en tête de l'alinéa, en retrait, au-dessus de la ligne : un
numéro de paragraphe, le premier de ce lot ; « N.o 1 », dans la ligne,
renvoie à une formule d'une page qui n'est pas dans ce lot. La lettre
après « pour » est une capitale suivie d'un point, lue « E » avec doute ;
la lettre grecque sous le carré, lue \beta, n'est pas sûre non plus.
Le signe « S » qui ouvre les deux équations est son signe de somme
intégrale, gardé tel quel. Dans la première, « dx\,dy » est écrit sous
la barre de \frac{dz}{\ }, là où la vue 428 écrit
\delta\frac{dz}{dx}\,dy. Le texte se poursuit à la vue suivante.
enfin que chacun des côtés soit parallelle à un des axes des \underline{x} et y.
cela posé, la suite des points qui servent de limites aux
valeurs de \underline{x}, c'est-à-dire ceux qui appartiennent aux côtés
parallelles à l'axe des y. devront satisfaire aux conditions
S\frac{1}{dy}\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}\delta\left(\frac{dz}{dx}\right) = 0, \quad S\frac{1}{dy}\,\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx}.\delta z = 0,
en vertu de l'un ou l'autre des quatre couples d'équations:
z=0 \text{ et } \left(\frac{dz}{dx}\right)=0; \quad z=0 \text{ et } \left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right) = 0;
\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx} = 0 \text{ et } \left(\frac{dz}{dx}\right)=0; \quad \frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx} = 0 \text{ et } \left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right) = 0
l'analogie est frapante entre ceque l'on trouve ici et
cequi a lieu pour les extrêmités de la simple lame.
On voit en effet que les deux derniers groupes couples ne peuvent
appartenir qu'aux points libres du contour, tandis que
les deux premiers conviennent aux points de repos du
même contour. cependant on ne peut plus regarder
le point auquel appartiendroient les conditions z=0 et \left(\frac{dz}{dx}\right)=0
comme fixe parcequ'elles ne suffisent pas pour que le
plan tangent tombe dans le plan des \underline{x} et y et qu'il
faudroit encore pour cela que l'on eut \left(\frac{dz}{dy}\right)=0.
On voit demême que la suite des points qui servent
de limites aux valeurs de y, c'est adire ceux qui appartiennent
aux côtés parallelles à l'axe des \underline{x} doivent satisfaire
aux conditions S\frac{1}{dx}\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}\delta.\left(\frac{dz}{dy}\right) = 0, S\frac{1}{dx}\,\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dy}\,\delta z = 0.
en vertu de l'un ou l'autre des quatre couples d'équations:
En tête, au milieu, « (28) », non barré ; aucun nombre en haut à
droite. La première ligne continue la phrase de la vue 433. « des » est
ajouté au-dessus de la ligne après « axes », avec un signe d'insertion. « groupes » est barré,
« couples » écrit au-dessus. Le verbe après « auquel » est surchargé à
sa fin : « appartiendroient » est offert avec doute. Les initiales de
« comme » et de « On voit demême » sont empâtées. Le second couple de la
page s'arrête sur les deux-points ; les quatre couples pour y sont à la
vue suivante.
z=0 \text{ et } \left(\frac{dz}{dy}\right)=0; \quad z=0 \text{ et } \left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right) = 0; \quad \frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dy} = 0
\text{et } \left(\frac{dz}{dy}\right)=0; \quad \frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dy} = 0 \text{ et } \left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right) = 0.
Puisqu'il s'agit ici des surfaces rectangulaires, on voit que
les points situés aux quatre angles sont assujettis à quatre
conditions: x car ils appartiennent également aux côtés parallelles
à l'axe des \underline{x} et aux côtés parallelles à l'axe des y.
je les nommerai points de double limite tout point
qui remplira àla fois les conditions des limites des valeurs
de \underline{x} et celles des valeurs de y. Ainsi les équations
z=0 et \left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right) = 0 qui forment le caractère analogue
à celui qu'Euler attribue aux points d'appui, ne pourront
appartenir qu'aux points de doubles limites. si dans un
point On aura encore un point de double limite, si on
peut satisfaire àla fois aux deux couples d'équations
z=0 et \left(\frac{dz}{dx}\right)=0; z=0 et \left(\frac{dz}{dy}\right), et le plan tangent a
ce point tombera dans le plan de \underline{x} et y.
au contraire le plan tangent sera seulement parallelle au
même plan des \underline{x} et y lorsque les conditions du
point de double limite seront les deux couples d'équations
\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dy} = 0 \text{ et } \left(\frac{dz}{dy}\right) = 0; \quad \frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx} = 0 \text{ et } \left(\frac{dz}{dx}\right) = 0.
Il est clair que tout point qui satisfera aux conditions
des limites, appartiendra à une ligne de limite analytique:
mais deplus on peut observer que si une pareille ligne
En tête, au milieu, « (29) », barré d'un trait oblique ; en haut à
droite, à l'encre, « 213 ». Les deux premières lignes sont les quatre
couples d'équations annoncés à la fin de la vue 434, pour les côtés
parallèles à l'axe des x. Une petite croix, barrée, précède « car »
après « conditions: » ; aucun renvoi ne lui répond sur la page.
« les » est biffé après « je ». « double limite », « doubles limites »
sont soulignés. « si dans un point » est barré à la fin d'une ligne et
au début de la suivante ; l'initiale de « On » est repassée. Dans le
second couple, « \left(\frac{dz}{dy}\right) » est écrit sans « =0 ».
La phrase se poursuit à la vue suivante.
de limite satisfait, par exemple, aux conditions
S\frac{1}{dy}\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}\delta\left(\frac{dz}{dx}\right) = 0, \quad S\frac{1}{dy}\,\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx}.\delta z = 0
et que pour un ou plusieurs de ses points on
ait dy=0; il faudra que les quatre conditions
\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right) = 0, \quad \left(\frac{dz}{dx}\right) = 0, \quad \frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx} = 0, \text{ et } z=0.
soient remplis àla fois pour les mêmes points:
ce qui donnera le caractere des points d'origine;
desorte que l'on pourra prendre indifferemment
sur les plaques rectangulaires tout point qui
satisfera à ces quatre conditions pour l'origine
des coordonnées dela surface.
Lorsque l'on veut appliquer les conditions des limites
à d'autres figures que les rectangles, il doit etre souvent
plus commode de les transformer suivant les cas;
par exemple, si on veut considérer une plaque ronde,
on peut prendre x = r\,\text{cos}\,\varphi, y = r\,\text{sin}\,\varphi; et on trouvera,
en désignant par z' et z'' les valeurs de \underline{z} qui
conviendroient à chacune des équations du second degré
auxquelles peut s'abaisser celle de la surface élastique
et observant qu'aux limites le rayon r étant constant
on peut r=a faire r=a:
z = z' + z''. \quad \left(\frac{dz}{dx}\right) = -\frac{\text{sin}\,\varphi}{a}\left\{\left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) + \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right)\right\}, \quad \left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right) = \ldots\{z' - z''\}
\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx} = \ldots\,\frac{\text{sin}\,\varphi}{a}\left\{\left(\frac{dz''}{d\varphi}\right) - \left(\frac{dz'}{d\varphi}\right)\right\}
En tête, au milieu, « (30) », non barré ; aucun nombre en haut à
droite. La première ligne continue la phrase de la vue 435 (« si une
pareille ligne / de limite satisfait »). Après « ait dy=0 », un signe
entre virgule et point-virgule. « d'origine » est souligné. « sin » est
écrit avec un s long, « cos » et « sin » suivis d'un point à la
deuxième formule. Le groupe barré après « on peut » est court et pris
dans une croix ; on croit y lire « r=a », que la suite récrit. Les
points de suspension, « =\ldots », sont d'elle : elle laisse en blanc
le facteur qui précède l'accolade, comme sur la copie d'Euler. La
page s'arrête sur la dernière équation ; elle ne porte pas de mot de
réclame.
\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dy} = \ldots\,\frac{\text{cos}\,\varphi}{a}\left\{\left(\frac{dz''}{d\varphi}\right) - \left(\frac{dz'}{d\varphi}\right)\right\}
Ainsi les conditions auxquelles sont assujettis les points qui servent
de limites aux valeurs de \underline{x} seront
S\frac{1}{dy}\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}\delta\left(\frac{dz}{dx}\right) = \struck{\ldots}\,S\frac{1}{d\varphi}(z'-z'')\,\frac{\text{tang}\,\varphi}{a}\,\delta\left\{\left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) + \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right)\right\} = 0
S\frac{1}{dy}\,\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx}.\delta z = \ldots - S\frac{1}{d\varphi}\,\frac{\text{tang}\,\varphi}{a}\left\{\left(\frac{dz''}{d\varphi}\right) - \left(\frac{dz'}{d\varphi}\right)\right\}\delta(z'+z'') = 0.
Les mêmes substitutions donneront pour les conditions auxquelles
sont assujettis les points qui servent de limite aux valeurs de y
S\frac{1}{dx}\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}\delta\left(\frac{dz}{dy}\right) = \ldots\,S\frac{1}{d\varphi}(z'-z'')\,\frac{\text{cot}.\varphi}{a}\,\delta\left\{\left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) + \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right)\right\} = 0
S\frac{1}{dx}\,\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dy}.\delta z = \ldots\,S\frac{1}{d\varphi}\struck{(z'-z'')}\,\frac{\text{cot}.\varphi}{a}\left\{\left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) - \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right)\right\}\delta(z'+z'') = 0.
Les premières seront donc remplies par la supposition
\text{tang}\,\varphi = 0, et les secondes par la supposition équivalente
\text{cot}.\varphi = 0., c'est adire que ces points seront aux extrêmités
des axes des \underline{x} et des y, et parconséquent à angles droits
les uns des autres: c'est ceque l'on auroit pû conclure immediatement
dela figure de cette plaque, laquelle ne permet jamais pas
qu'un seul et même point remplisse àla fois les deux
systemes de conditions qui caractérisent ceque j'ai nommé
point de double limite
Pour tout autre point du contour que ceux dont je viens
de parler, les conditions des limites se reduisent à
S(z'-z'')\,\delta\left\{\left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) + \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right)\right\} = 0 \qquad S\left\{\left(\frac{dz''}{d\varphi}\right) - \left(\frac{dz'}{d\varphi}\right)\right\}\delta(z'+z'') = 0,
et on peut y satisfaire par l'un ou l'autre des couples
En tête, au milieu, « (31) », barré ; en haut à droite, à l'encre,
« 214 ». La première équation continue la liste de la vue 436. Dans la
première des quatre équations suivantes, un petit groupe après « = »
est biffé, apparemment les points de suspension qu'elle écrit
ailleurs ; dans la dernière, « (z'-z'') » est biffé devant
\frac{\text{cot}.\varphi}{a}. Le second terme de cette dernière est
écrit \left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) - \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right),
dans l'ordre inverse de celui de la deuxième ; le feuillet est suivi.
« immed » est coupé au bord droit sans point d'abréviation ; la fin du
mot, « iatement », est ajoutée ici entre crochets éditoriaux. « laquelle »
et « jamais » sont barrés d'un trait ; la phrase reste sans relatif. Le
point manque après « double limite », souligné. La phrase se poursuit à
la vue suivante.
d'équations z'-z''=0 et z'+z''=0; z'-z''=0 et \left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) - \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right) = 0;
z'+z''=0 et \left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) + \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right) = 0; \left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) - \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right) = 0 et \left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) + \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right) = 0.
Je ne m'étendrai pas davantage sur ce sujet: mais je
ne puis m'empêcher d'observer que la considération
des conditions auxquelles les points du contour doivent
satisfaire, est dela plus grande importance pour déterminer
le choix des intégrales particulières qui peuvent convenir
dans chaque cas, et qu'elle fournit aussi le moyen
de renfermer dans les mêmes formules l'analyse de
divers cas qui sembleroient, au premier coup d'œil, devoir
etre calculés à part. En effet, d'après ceque j'ai dit
plus haut, on voit que la suite des points qui satisfont
aux conditions des extrêmités limites, forment sur la surface, des
lignes de limites analytiques, et que l'on peut
parconséquent concevoir ces surfaces comme reellement séparées
en autant de surfaces partielles dont les points de
contour peuvent etre dans un état different de ceux
de la plaque entière, sans que pour cela l'équation qui
convient au mouvement de cette plaque entière,
cesse d'être applicable aux portions dans lesquelles
elle est analytiquement separée.
En tête, au milieu, « (32) », non barré ; aucun nombre en haut à
droite. Les deux premières lignes achèvent la phrase de la vue 437
(« par l'un ou l'autre des couples / d'équations »). Après « des », un
mot commencé, lu « extrêmités », est surchargé par « limites » ; une
tache d'encre au-dessous. « pour cela » est écrit au-dessus de la ligne,
après « sans que ». Le texte s'arrête ici, aux deux tiers de la page,
sur un point : la fin d'une section. Le feuillet suivant (vue 439) ouvre
une section nouvelle.
§. 4. Comparaison dela théorie à l'experience; cas des plaques quarrées
N.o 10. En prenant d'abord la valeur de \underline{z} donnée par l'équation
(C) N.o 3, et y introduisant les coëfficiens déterminés par Euler (P. 118 et suiv.
de son m.) pour le cas des extrêmités libres, en vertu des conditions
\frac{ddz}{dx^2}=0 et \frac{d^3z}{dx^3}=0 ou \frac{ddz}{dy^2}=0 et \frac{d^3z}{dy^3}=0, on trouvera
la formule
z = \ldots\left\{\mathcal{A}\left\{e^{\frac{\omega x}{A}} \pm e^{\frac{(A-x)\omega}{A}} + (1\mp e^{\omega})\,\text{sin}.\frac{\omega x}{A} + (1\pm e^{\omega})\,\text{cos}.\frac{\omega x}{A}\right\}\right.
\left. + B\left\{e^{\frac{\omega y}{A}} \pm e^{\frac{(A-y)\omega}{A}} + (1\mp e^{\omega})\,\text{sin}.\frac{\omega y}{A} + (1\pm e^{\omega})\,\text{cos}.\frac{\omega y}{A}\right\}\right.
dans laquelle les signes superieurs appartiennent au cas où il y a
un nombre pair de points de repos sur la simple lame, et où les signes
inferieurs conviennent à celui où il y a un nombre impair de pareils
points sur la même lame.
Dans l'un et l'autre cas il est visible qu'en fesant \mathcal{A} ou
B=0, il devra y avoir autant de lignes nodales droites sur la plaque
quarrée qu'il y auroit
Il est faut àprésent distinguer le cas des signes superieurs
de celui des signes inferieurs. Pour cela, en suppfesant d'abord
\mathcal{A} = -B. j'écris
\left.\begin{array}{l} z = \ldots\,\mathcal{A}\left\{e^{\frac{\omega x}{A}} + e^{\frac{(A-x)\omega}{A}} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}.\frac{\omega x}{A} + (1+e^{\omega})\,\text{cos}.\frac{\omega x}{A}\right\} \\ \qquad - \left\{e^{\frac{\omega y}{A}} + e^{\frac{(A-y)\omega}{A}} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}.\frac{\omega y}{A} + (1+e^{\omega})\,\text{cos}.\frac{\omega y}{A}\right\} \end{array}\right\}\ldots(C')
On voit que le plan des \underline{x} et y sera alors celui dela plaque en
repos; car \underline{z} sera nulle toutes les fois que \underline{x} égalera y; cequi
déterminera une première ligne nodale diagonale sur la surface
quarrée; \underline{z} sera également nulle toutes les fois que
En tête, au milieu, « (33) », barré ; en haut à droite, à l'encre,
« 215 ». Une section nouvelle commence : le titre, souligné d'un court
trait au milieu de la ligne suivante, ouvre le « §. 4 » — lu sur un
signe de paragraphe tracé comme « S. », suivi d'un point — et le
paragraphe est numéroté « N.o 10 », à la suite du « N.o 9 » de la
vue 433. Dans le titre, après le point-virgule, un mot est barré de
boucles serrées et ne se lit pas ; « dans le cas des » est écrit
au-dessus, puis « cas » est barré et « des » récrit au-dessus de la
ligne. « (C) N.o 3 » renvoie à une équation d'un paragraphe qui n'est pas
dans ce lot ; « P. 118 et suiv. de son m. » à la page du mémoire d'Euler.
Le premier coefficient est une capitale cursive bouclée, distincte du A
des dénominateurs ; elle est rendue \mathcal{A}, et le second
coefficient B. Dans la première formule, au dernier terme, un B
empâté est écrit sur « (1 » ; on lit « (1\pm e^{\omega}) », comme à la
ligne suivante. « où » est ajouté au-dessus de « les signes » ; « de
lignes » au-dessus de « nodales ». Après « auroit », quelques lettres
sont noircies et ne se lisent pas. « est » et le mot qui le suit, devant
« faut », sont barrés ; le second ne se lit pas. Devant « d'abord »,
« supp » est barré et la fin du mot récrite dessus ; « fesant » est
offert avec doute. Dans (C'), le facteur \mathcal{A} n'est pas répété
devant la seconde accolade ; l'étiquette « (C') » est écrite à droite de
la grande accolade. La phrase se poursuit à la vue 440.
l'équation y = A - x aura lieu. car à cause dela condition
\text{tang}\,\frac{1}{2}\omega = \frac{1-e^{\omega}}{1+e^{\omega}} qui appartient à ce cas, l'équation (C') se
réduit à
z = \ldots\,\mathcal{A}\left\{(1-e^{\omega})\,2\,\text{cos}.\frac{\omega}{2}\,\text{sin}\frac{(A-2x)\omega}{2A} - (1+e^{\omega})\,2\,\text{sin}.\frac{\omega}{2}\,\text{sin}\frac{(A-2x)\omega}{2A}\right\} = 0.
Il y aura donc une seconde ligne nodale diagonale sur
la plaque quarrée, lorsque la valeur de l'angle \underline{\omega}
indiquera un nombre pair de points de repos sur
la simple lame.
En continuant de faire \mathcal{A} = -B mais prenant les signes
inferieurs qui conviennent au cas d'un nombre impair
de points de repos dans la simple lame, on trouve
qu'il n'y a alors qu'une ligne nodale diagonale, savoir celle
qui est formée de la suite des points pour lesquels x = y.
Les lignes nodales diagonales ne sont pas les seules
lignes nodales qui doivent exister sur les plaques
quarrées dont les mouvemens sont appartiennent
à l'intégrale (C) dans la supposition \mathcal{A} = -B;
et il est visible que leur nombre et leur disposition
dependent des valeurs de l'angle \underline{\omega}.
En général, quelque soit le rapport entre les
valeurs de \mathcal{A} et de B, on voit, à la simple
inspection de l'équation (C), que la figure
nodale doit passer par tous les points
d'intersection des lignes nodales qui conviendroient
aux suppositions successives \mathcal{A} = 0, B = 0; desorte
que, si on represente par \underline{n} le nombre de
En tête, au milieu, « (34) », non barré ; aucun nombre en haut à
droite. La première ligne achève la phrase de la vue 439 (« toutes les
fois que / l'équation y = A - x aura lieu »). Dans
\frac{1-e^{\omega}}{1+e^{\omega}}, le e du numérateur est à peine
formé. Le renvoi « (C') » de la deuxième ligne a son accent ; ceux de
« l'intégrale (C) » et de « l'équation (C) », plus bas, n'en ont pas, et
sont gardés ainsi. L'initiale de « Il y aura » et celle de « En
général » sont repassées. « sont » est barré devant « appartiennent ».
La phrase se poursuit au-delà de ce lot, à la vue 441.