Français 9115, vues 441–460

Français 9115 · lot 23 · vues 441–460 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
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Numérotation des feuillets. Chaque page porte en tête, au milieu, entre parenthèses, sa pagination : (35) à (54) aux vues 441 à 460, sans lacune ; les pages impaires sont barrées d'un trait. Les feuillets sont écrits des deux côtés, et seul le côté de pagination impaire porte en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, un nombre de la série qui court dans tout le volume : 216 (vue 441), 217 (443), 218 (445), 219 (447), 220 (449), 221 (451), 222 (453), 223 (455), 224 (457), 225 (459). Cette série est tracée à la plume et non au crayon, et aucun « f. » n'est donc porté. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit.

441

ces lignes, il y aura \(\underline{n}^2\) intersections fictives; et on pourra être sûr que, qu [quelles] que soient les distorsions dont les figures nodales renfermées dans l'intégrale (C) puissent être susceptibles, il y aura toujours sur la surface \(\underline{n}^2\) points de repos invariables.

Je reviens à la supposition \(B = -\mathcal{A}\); mais avant d'entrer dans l'examen des differens cas qui appartiennent à chaque valeur particulière de l'angle \(\underline{\omega}\), je vais encore presenter une remarque générale qui m'aidera beaucoup dans les recherches suivantes:

Si on adoptoit pour un instant l'hypothese de l'égalité d'étendue et de courbure entre les differentes portions dela simple lame terminées par deux points de repos consécutifs (hypothese dont on n'avoit pas encore remarqué l'inexactitude) on trouveroit qu'en conservant à \(\underline{x}\) une valeur correspondante à un des points dela ligne nodale diagonale, il y auroit dans l'espace séparé de ce point par \(2, 4, 6\ldots\) lignes diag nodales fictives, deux valeurs de \(y\) qui, parcequ'elles donneroient, pour le cas \(\mathcal{A}=0\), chacune une valeur de \(\underline{z}\) égale et de même signe que celle qui appartiendroit au point pris sur la diagonale, devroient pour la présente valeur de \(\mathcal{A}\) rendre \(\underline{z}\) nulle. Il est clair que pour la valeur de \(\underline{x}\) qui appartiendroit aupoint d'origine dela diagonale, les deux valeurs de \(y\) dont il s'agit se reduiroient à une En tête, au milieu, « (35) », barré d'un trait oblique ; en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, « 216 ». La première ligne achève la phrase de la vue 440 (« si on represente par \(\underline{n}\) le nombre de / ces lignes »). Les deux « \(n\) » soulignés portent un petit 2 au-dessus : lu \(\underline{n}^2\). Après « que, », deux lettres sont barrées et « quelles » est écrit au-dessus. Le « (C) » de « l'intégrale » est écrit en exposant, au-dessus de la fin du mot. \(\mathcal{A}\) est la capitale cursive bouclée des vues 439–440, distincte de \(B\). Après « lignes », un mot commencé, « diag », est barré. « appartiendroit » est écrit sur une première forme du mot et soudé à « aupoint ». La phrase se poursuit à la vue 442.

442

seule qui conviendroit au point egalement éloigné de l'un et l'autre points [lignes] de repos fictives consécutives. Ainsi, dans le cas ou il y auroit \(2\underline{n}\) points de repos sur la simple lame, la suite des points de repos qui résulteroient dela supposition cidessus, formeroient \(\underline{n}-1\) lignes nodales diagonales paralleles à la première diagonale et \(\underline{n}-1\) lignes nodales paralleles à la seconde; et, lorsqu'il y auroit \(2\underline{n}+1\) points de repos sur la simple lame, on trouveroit demême \(\underline{n}\) lignes nodales paralleles à la diagonale et \(\underline{n}\) autres lignes nodales perpendiculaires aux premières, et qui [les] couperoient les premières aux limites dela surface.

Les mêmes résultats ne peuvent subsister dans l'hypothese déduite dela théorie d'Euler, théorie qui est entièrement confirmée par l'expérience, et à laquelle l'application aux cas que je crois pouvoir y ramener, ajoute encore un nouveau degré d'évidence. D'abord il n'est plus vrai en général que les systèmes des lignes [droites] paralleles et perpendiculaires aux diagonales, ayant leur ou plutôt les courbes nodales qui les remplacent, ayant leurs origines aux points de limites dela surface: car il est aisé de prouver qu'alors les valeurs de \(\underline{z}\) aux l' extrêmités dela simple lame, sont plus grandes que dans aucun autre point de la même lame; et il est aisé on voit que plus En tête, au milieu, « (36) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 441. La première ligne achève la phrase de la vue 441 (« se reduiroient à une / seule »). « points » est barré et « lignes » écrit au-dessus. Les fins de « fictives » et de « consécutives » sont surchargées — une première terminaison, apparemment masculine, accordée à « points », récrite après la correction en « lignes » — et la lecture n'est pas assurée. « diagonales » est barré après « nodales » ; « les » est ajouté au-dessus de « couperoient », et « les premières » barré après ce mot ; « droites » est ajouté au-dessus de « paralleles ». Dans « auroit » (« lorsqu'il y auroit »), une première terminaison est surchargée. Après « aux », un « l' » est barré. Dans la dernière ligne, « il est aisé » est barré et le mot qui suit, écrit sur un premier mot, est lu avec doute « on ». La phrase se poursuit à la vue 443.

443

la différence est grande entre la valeur de \(\underline{z}\) à l'origine de la diagonale et la plus grande valeur de \(\underline{z}\) dans l'intervalle des deux nœuds [lignes fictives de repos], où se trouvoit, dans la première hypothese, l'origine d'une ligne nodale parallelle à cette diagonale et d'une autre ligne nodale perpendiculaire à celle-ci la parallelle [même diagonale]; plus aussi l'origine de la courbe qui, dans remplace la vraie hypothese, remplace le systême de ces deux droites, doit être eloignée du bord dela surface.

N.o 11 Je viens enfin à l'examen detaillé des differens cas auxquels [aux quels] donnent lieu les diverses valeurs successives de l'angle \(\underline{\omega}\). [1.^ere valeur de l'angle \(\underline{\omega}\).] En commençant donc par [le cas] le plus simple, je suppose qu'en fesant \(B=0\), il n'y ait que deux nœuds dans le mouvement de la simple lame. Il est clair qu'alors, en partant du point de double extrêmité origine dela diagonale due à la supposition \(x=y\), on trouve dans l'espace séparé de ce point par deux lignes fictives, un autre point pour lequel la valeur de \(\underline{z}\), dans la lame, est lamême qu'à l'origine, et que ce point est la seconde extrêmité de la lame. Il doit donc y avoir, dans ce cas, une seconde ligne nodale ayant son origine à la limite de la surface; deplus cette ligne doit être droite et perpendiculaire à la Le feuillet, plus petit, est monté plus bas sur sa feuille. En tête, au milieu, « (37) », barré d'un trait oblique ; en haut à droite, à l'encre, « 217 ». La première ligne achève la phrase de la vue 442 (« on voit que plus / la différence est grande »). « nœuds » est écrit avec l'œ ouvert ; il est barré, et « lignes fictives de repos » écrit au-dessus. Devant « ; plus aussi », « celle-ci » est barré sur la ligne et, au-dessus, « la parallelle » barré puis « même diagonale » écrit à la suite ; l'article n'est pas récrit. « remplace » est barré en tête de la ligne suivante. Le « N.o 11 » est dans la marge, en tête de l'alinéa. Dans la marge de gauche, en face de « donnent », « auxquels » est barré et « aux quels » écrit au-dessus. La fin de « lieu » est surchargée ; « diverses » est barré. « 1.^ere valeur de l'angle \(\omega\). » est écrit au-dessus de la ligne, après « l'angle \(\omega\). », comme un titre ajouté ; « le cas » au-dessus de « le plus simple ». La phrase se poursuit à la vue 444.

444

première diagonale, c'est adire de même figure et demême direction que dans la première hypothese: car quelque [quelle que] soit celle des valeurs de l'angle \(\underline{\omega}\), qui en permette l'existence [dela seconde diagonale], elle [cette ligne] traversera, dans ces differentes parties, des intervalles égaux à ceux que traversent les portions correspondantes dela première diagonale qu'elle rencontre à angle droit au centre dela plaque.

Ces deux diagonales nodales sont les seules lignes de repos qui restent les mêmes en passant de la première hypothese à celle qui rend compte des phénomènes. Dans le cas présent, elles composent, à elles seules, la figure nodale; et il est clair que chacune d'elles rencontre deux intersections fictives. Cette figure passe donc, comme le veut la théorie, par les \(\underline{n}^2 = 4\) points invariables de repos.

2.^eme valeur de l'angle \(\omega\). Il y a dans ce cas trois points de repos dans la simple lame et parconséquent \(\underline{n}^2 = 9\) points invariables de repos dans les figures [fictives] nodales qui resultent ici dela même de cette valeur de l'angle \(\omega\). Afin de simplifier l'examen du cas présent et de ceux qui vont suivre je representerai par \(f(x)\) et \(f(y)\) les deux fonctions séparées de \(\underline{x}\) et \(\underline{y}\) qui entrent dans la valeur de \(\underline{z}\) donnée par l'équation (C); et pour suivre la formation des lignes de repos qui se multiplient à mesure que l'angle \(\underline{\omega}\) augmente, je serai forcé d'avoir recours à l'emploi des figures.

Je conserverai, pour chaque valeur de l'angle \(\omega\). les N.o que M.r Chladni a placés a coté des figures appartenantes et quoique j'ai […] dans ces fig. des lignes que M.r Chladni n'a pas suivi, je leur conserverai les mêmes chiffres par lesquels elles sont numerotées dans [son] ouvrage. de M.r Chladni. En tête, au milieu, « (38) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 443. La première ligne achève la phrase de la vue 443 (« perpendiculaire à la / première diagonale »). « quelque » est barré et « quelle que » écrit au-dessus ; le long trait qui traverse « celle des » est un trait de liaison, non une rature. « dela seconde diagonale » est ajouté au-dessus de « l'existence » ; « elle » est barré et « cette ligne » écrit au-dessus. « 2.^eme » est écrit en exposant en tête de la ligne, devant « valeur de l'angle \(\omega\) », qui fait titre comme à la vue 443. Les quatre lignes qui suivent sont barrées d'un trait horizontal chacune ; « fictives » y est écrit au-dessus de « nodales », et « ici dela même », souligné, en tête de la dernière ligne barrée, sous « résultent ». Le pied de la page porte un passage entièrement biffé de traits ondulés, en deux rédactions enchevêtrées : la première commence dans la marge de gauche (« Je conserverai, pour chaque / valeur de l'angle \(\omega\). les / N.o que M.r Chladni a placés a coté des figures ») ; la seconde court dans le corps de la page (« et quoique … dans son ouvrage ») et se termine, au-dessous, par « de M.r Chladni. » barré. L'ordre donné ici est celui de l'œil ; il n'est pas assuré. Le mot qui suit « j'ai » est barré et ne se lit pas ; « dont » est écrit au-dessus de « que » ; « appartenantes » et « suivi » sont lus avec doute. « son », d'une encre plus pâle au bout de la ligne, n'est pas barré ; « ouvrage. » commence par un trait en croix. Les vues 445 et 448 portent des figures de plaques carrées.

445

En haut de la page, au-dessus du texte, une figure : un carré, les angles marqués \(a\) en haut à gauche, \(c\) en bas à gauche, \(d\) en bas à droite (l'angle en haut à droite ne porte pas de lettre lisible) ; la diagonale \(ad\) tracée d'un trait plein ; des lignes ponctuées, deux verticales et deux horizontales, parallèles aux côtés, et d'autres en tirets plus fins près des bords ; une grande courbe fermée, repassée plusieurs fois, qui entoure le centre en s'allongeant le long de l'autre diagonale et coupe les lignes ponctuées ; de petites lettres, \(e\) sur la diagonale près de \(a\) et près de \(d\), \(e\), \(o\), \(t\) (lecture incertaine) le long du haut de la courbe, \(i\) près de l'angle en haut à droite.

N.^ta j'ai refait cette fig parceque j'avois laissé entre la première ligne ponctuée et le bord dela surface la moitié de l'intervalle entre deux lignes fictives cequi ne doit pas être.

J'indiquerai toujours par des lignes ponctuées les lignes nnodales qui se formeroient sur la plaque quarrée dans les suppositions successives \(f(x)=0\), \(f(y)=0\) [\(\mathcal{A}=0\), \(B=0\)]; par \(\underline{i}\), les points de repos invariables résultans des intersections de ces lignes. Et Je supposerai tracée prendrai [le point] \(\underline{a}\) pour l'origine, [la ligne] \(\underline{ab}\) pour l'axe des \(\underline{x}\), [la ligne] \(\underline{ac}\) pour celui des \(y\). Et je supposerai tracée la diagonale qui indépendamment des valeurs particulières de l'angle \(\underline{\omega}\) resulte toujours de la supposition \(y = x\) [lorsque \(\mathcal{A} = -B\)]; et je désignerai chaque figure par le chiffre que porte son analogue dans l'ouvrage de M.r Chladni. Cela posé, pour décrire, dans le cas présent, le reste de la figure nodale; [(V pl. jointe a ce M. fig. 67 c)], à partir de l'origine je passe audelà de la seconde ligne nodale [fictive] parallelle à \(\underline{ab}\); et je cherche dans l'intervalle compris entre la seconde et la troisième lignes nodales [fictives, à quel point répond] quelle est la plus grande valeur de \(f(y)\). ce point \(\underline{e}\) sera l'origine d'une ligne de repos, pour lequel les valeurs de \(f(x)\) et \(f(y)\) seront les mêmes que pour le point \(\underline{e}\) dela diagonale; et il est clair que le [même] point \(\underline{e}\) sera d'autant plus près dela En tête, au milieu, « (39) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 218 ». La première ligne du texte ne suit pas la dernière de la vue 444, qui s'achève sur une phrase complète (« l'emploi des figures. ») et un passage biffé ; la page s'ouvre sur la figure. La note marginale est écrite à droite de la figure, ouverte par un signe en forme de dièse suivi de « ta » en exposant, lu « N.^ta » comme à la vue 334 ; le verbe, « refait », n'est pas assuré. Le « n » qui précède « nodales » est barré et le mot repassé. Au-dessus de « \(f(x)=0\), \(f(y)=0\) », barrés, est écrit « \(\mathcal{A}=0\), \(B=0\) » ; \(\mathcal{A}\) est la capitale cursive bouclée des vues 439–441. « Et » est barré en fin de ligne, puis « supposerai tracée » en tête de la suivante ; « le point » est écrit au-dessus de « \(a\) », « la ligne » au-dessus de « \(ab\) » et de « \(ac\) ». « lorsque \(\mathcal{A}=-B\) » est ajouté au-dessus de « \(y = x\) ». La ligne « chaque figure … de M.r Chladni » est serrée entre deux lignes, d'une écriture plus petite, comme une addition. Le renvoi « (V pl. jointe a ce M. fig. 67 c) » est écrit au-dessus de « nodale ; » ; « ce M. » est surchargé d'une tache, et la lettre après « 67 » n'est pas assurée. « fictive » est ajouté au-dessus de « parallelle ». Devant « la plus grande », « nodales » et « quelle est » sont barrés, et « fictives, à quel point répond » écrit au-dessus, avec une tache sur la fin de « répond ». « même » est ajouté au-dessus de « point ». Les deux points sont désignés par la même lettre \(e\), soulignée. La phrase se poursuit à la vue 446.

446

limite de la surface, que \(f(x\) la valeur de \(f(y)\) sera plus grande; pour les points suivans \(e'\) dela diagonale on trouvera dans l'intervalle des seconde et troisième lignes fictives, et de part et d'autre du point \(e\), des points \(e'\) pour lesquels \(f(y)\) et \(f(x)\) auront les mêmes valeurs que pour le point \(e'\) de la diagonale; et la suite des points qui auront la même relation avec les points suivans de la diagonale, formera une ligne courbe \(ie'e'i\) qui passera par deux des points invariables de repos. Audelà [En deça] d'un de ces points et en deça dela seconde ligne fictive, la courbe nodale se trouvera dans un seul et même intervalle avec la ligne nodale diagonale qu'elle traversera sous une ligne presque droite, parceque les valeurs successives de \(f(y)\) prises pour les points de la diagonale et pour les points correspondans dela ligne nodale, ne peuvent que differer beaucoup entr'elles à cause qu'elles appartiennent [appartenant] l'une et l'autre à une seule et même branche de la courbe à laquelle se plieroit la simple lame; desorte même que ces valeurs seroient égales, si la courbure des deux portions d'une partie de la simple lame, comprise entre deux nœuds, étoit symétrique par rapport au point pour lequel qui répond à la plus grande valeur de \(f(y)\) En tête, au milieu, « (40) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 445. La première ligne achève la phrase de la vue 445 (« d'autant plus près dela / limite de la surface »). Après « que », un « \(f(x\) » commencé est barré. « pour les points suivans \(e'\) dela diagonale » est barré d'un trait ondulé. Les lettres des points sont petites et accentuées d'un trait : lues \(e'\) ; la courbe est désignée par quatre lettres, lues « \(ie'e'i\) », sans assurance sur les accents. « Audelà » est barré et « En deça » écrit au-dessus ; plus loin « en deça » est barré. « que » est barré devant « differer » ; « à cause qu'elles appartiennent » est barré et « appartenant » écrit au-dessus. « nœuds » est écrit avec l'œ ouvert. « pour lequel » est barré en fin de ligne. La page s'arrête aux deux tiers, sur « \(f(y)\) », sans point ; la vue 447 s'ouvre sur une phrase nouvelle, « Cette remarque est generale ».

447

Cette remarque est generale: ainsi je me contenterai dela rappeller dans les cas semblables qui se rencontreront en examinant les figures relatives aux valeurs suivantes de l'angle \(\underline{\omega}\).

Je reviens à la description dela courbe nodale; après avoir coupé la première ligne fictive parallelle à \(\underline{ab}\) dans un des points \(\underline{i}\), cette courbe s'éloignera dela ligne fictive, en se rapprochant dela limite [dela surface] jusqu'au point \(\underline{e''}\) pour lequel \(f(x)\) aura la plus grande valeur que cette même fonction puisse atteindre dans l'intervalle entre la seconde et la troisième lignes fictives, pour [car] ce point \(e''\) devra avoir […] \(f(x)\) et \(f(y)\) devront avoir les mêmes valeurs que pour le point correspondant dela diagonale.

Il est inutile d'achever la description dela figure; car [puisqu'] à cause de la symetrie de ses parties, on retomberoit dans les mêmes raisonnemens que j'ai exposés plus haut. On voit aureste que l'ensemble de la ligne nodale diagonale et de la courbe courbe rentrante qui forment la figure nodale, passe, comme le veut la théorie par les \(\underline{n}^2 = 9\) points de repos invariables de repos

3.^eme valeur de l'angle \(\omega\). Pour décrire la figure qui convient a ce cas, [(V. la pl. […] fig 72 a)], à partir de l'origine je passe audelà dela seconde ligne fictive parallelle à \(\underline{ab}\), Le feuillet, plus petit, est monté plus bas sur sa feuille. En tête, au milieu, « (41) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 219 ». La page ne continue pas la phrase de la vue 446, qui s'arrête sans point sur « la plus grande valeur de \(f(y)\) » : elle s'ouvre sur une phrase nouvelle, « Cette remarque est generale ». « dela surface » est ajouté au-dessus de « limite » ; « pour » est barré et « car » écrit au-dessus. Après « \(e''\) », « devra avoir » est barré, puis un petit signe en croix qui n'est pas lu. Devant « à cause », « car » est barré et « puisqu' » écrit au-dessus ; « mêmes » est barré en tête de la ligne suivante, et le premier « courbe », surchargé, l'est aussi. Après « points », « de repos » est barré. La ligne des \(\underline{n}^2 = 9\) points n'a pas de point final. « 3.^eme » est écrit en exposant devant « valeur de l'angle \(\omega\) », qui fait titre comme aux vues 443 et 444. Le renvoi entre parenthèses est écrit au-dessus de « a ce cas » ; après « pl. », un groupe surchargé, peut-être un numéro de planche, ne se lit pas. La phrase se poursuit à la vue 448.

448

En haut de la page, une figure : un carré aux angles marqués \(a\) en haut à gauche, \(c\) en haut à droite, \(b\) en bas à gauche, \(d\) en bas à droite ; la diagonale \(ad\) d'un trait fort et la diagonale \(bc\) d'un trait fin ; quatre lignes verticales et quatre horizontales en tirets, parallèles aux côtés, dont les croisements portent seize petits \(i\) ; une courbe fermée d'un trait fort, en forme de carré aux angles arrondis posé sur la pointe, qui passe par les \(i\) voisins du milieu des côtés ; un \(e\) sur la diagonale près de \(a\) et un \(e\) au sommet de la courbe, en haut. C'est, d'après le texte, la figure de la troisième valeur de l'angle \(\omega\).

jusqu'au point \(\underline{e}\) qui donne la plus grande valeur de \(f(y)\) comprise entre la seconde et la troisième lignes fictives; par les raisons exposées dans le cas precedent, ce point sera l'origine d'une ligne de repos; et de part et d'autre de cette origine se trouveront des suites de points de repos qui formeront les deux branches d'une courbe qui joindra deux points invariables de repos. Demême encore audelà de celui de ces points qui se raproche de l'origine, la ligne nodale se trouvera comprise dans un seul et même intervalle avec la première ligne nodale diagonale qu'elle coupera, en formant dans cet intervalle une ligne presque droite. La courbe nodale se raprochant toujours de la ligne \(\underline{ab}\), elle passera par un troisième point de repos invariable. audelà de ce point elle n'atteindra pas tout afait la plus grande valeur de \(f(y)\); mais elle arrivera à son sommet, et changera par conséquent de direction En tête, à gauche au-dessus de la figure, « (42) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 447. La première ligne du texte achève la phrase de la vue 447 (« je passe audelà dela seconde ligne fictive parallelle à \(ab\), / jusqu'au point \(e\) »). Le « D » de « Demême » est repassé. La page se termine sur « direction », suivi d'un trait qui peut être un point ; la phrase se poursuit à la vue 449 (« de direction / lorsqu'elle sera parvenue »).

449

lorsqu'elle sera parvenue a une valeur de \(f(y)\) égale à la plus grande valeur que la même fonction puisse recevoir entre la seconde et la troisième lignes fictives; et à partir de ce point, elle ira joindre diagonalement et par une ligne peu differente de la droite, un nouveau point invariable de repos. Mais à cause de la symetrie dela figure, il est inutile de suivre plus loin sa description; il suffira d'indiquer la formation de la seconde ligne nodale diagonale: à partir de l'origine \(\underline{a}\), je passe audelà de la quatrième ligne fictive parallelle à \(\underline{ab}\) jusqu'au point \(\underline{c}\) qui donne une valeur de \(f(y)\) égale à celle dela même fonction au point \(\underline{a}\). Ce point sera donc l'origine d'une ligne nodale; et parceque pour chaque point de la même ligne les valeurs de \(f(y)\) seront toujours égales aux valeurs correspondantes de la même fonction pour la première diagonale, cette ligne sera necessairement la seconde diagonale dont j'ai déja prouvé l'existence au moyen de l'analyse.

En joignant le systême des deux diagonales à la courbe nodale rentrante dont j'ai indiqué la formation, on voit que la figure nodale passe, comme le veut la théorie, par les \(\underline{n}^2 = 16\) points invariables de repos.

4.^eme valeur de l'angle \(\omega\). Pour décrire la figure qui convient a ce cas, [(V. la pl. jointe au M. fig. 78)] à partir de l'origine \(\underline{a}\) je passe audelà de la seconde ligne fictive parallelle à \(\underline{ab}\) jusqu'au point \(\underline{e}\) auquel appartient la plus grande valeur de \(f(y)\) comprise entre la seconde et la troisième ligne ponctuée [fictive]. Ce point En tête, au milieu, « (43) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 220 ». La première ligne achève la phrase de la vue 448 (« et changera par conséquent de direction / lorsqu'elle sera parvenue ») ; le « l » initial est repassé d'un trait épais. Après « fictives; », un « et » est barré sous l'« à » repassé ; l'« A » de « à partir » est aussi repassé à la ligne « à partir de l'origine \(a\) ». « 4.^eme » est écrit en exposant devant « valeur de l'angle \(\omega\) », qui fait titre. Le renvoi entre parenthèses est écrit au-dessus de « a ce cas », d'une écriture très fine : après « pl. », un mot et une abréviation à lettre haute sont lus avec doute « jointe au M. », comme à la vue 445 ; le dernier chiffre de « 78 » est surchargé. « ponctuée » est barré et « fictive » écrit au-dessus. La phrase se poursuit à la vue 450.

450

En haut de la page, deux figures côte à côte. À gauche, un carré aux angles marqués \(a\) en haut à gauche, \(c\) en haut à droite, \(b\) en bas à gauche, \(d\) en bas à droite ; la diagonale \(ad\) ; des lignes horizontales et verticales en tirets, aux croisements desquelles sont de petits \(i\) ; plusieurs courbes sinueuses, et le long d'elles des lettres lues \(e\), \(e'\), \(e''\), \(e'''\) ; une tache d'encre près de l'angle \(d\). À droite, un carré plus grand, aux lignes en tirets, avec une diagonale, une courbe sur la gauche et un trait vertical plein près du côté droit, entièrement couvert de longs traits obliques parallèles : une figure annulée.

sera le sommet d'une ligne courbe nodale qui joindra deux points de repos invariables. audela En deça de celui de ces points qui appartient à la seconde ligne fictive, la courbe nodale se trouvera dans un seul et même intervalle avec la diagonale qu'elle coupera parconséquent, en formant, une ligne peu differente de la droite dans cette portion de son cours, une ligne peu differente d'une droite. Elle en sortant de cet interva en deça [A la limite] de cet intervalle, elle coupera la première ligne fictive et [en un point \(\underline{i}\),] s'éloignera ensuite de cette ligne en se rapprochant du bord dela plaque jusqu'au point pour lequel \(f(x)\) aura la plus grande valeur que puisse atteindre la même fonction entre la seconde et la troisième lignes fictives. Audelà de ce point, la courbe nodale changera de direction et se rapprochera de la première ligne fictive qu'elle coupera une seconde fois dans un point \(\underline{i}\). A partir de ce point, la courbe nodale s'avancera dans l'intervalle entre la première et la seconde lignes fictives parallelles à \(\underline{ab}\) jusqu'à ce qu'elle ait atteint En tête, au milieu, « (44) », non barré, le 4 formé comme un « b » ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 449. La première ligne achève la phrase de la vue 449 (« Ce point / sera le sommet »). Le premier mot barré après « invariables. » est lu « audela ». Après « en formant, », « une ligne peu differente de la droite » est barré sur deux lignes. « Elle en sortant de cet interva » est barré, « en deça » aussi, et « A la limite » est écrit au-dessus, l'« A » repassé sur le « en » ; « de cet intervalle » reste. « et » est barré devant « s'éloignera » et « en un point \(i\), » écrit au-dessus. Le verbe « s'avancera » est surchargé et n'est pas assuré. Le texte occupe les deux tiers de la page sous les figures ; la phrase se poursuit à la vue 451.

451

la plus grande valeur que \(f(y)\) puisse recevoir entre la troisième et la quatrième lignes fictives; ou, cequi est la même chose, entre la seconde et la troisième des mêmes lignes. Elle tournera sa convexité vers la quatrième ligne fictive parallelle à \(\underline{ac}\); et à partir du point rapprochera ensuite de la première ligne fictive qu'elle coupera auquel appartient la plus grande valeur de \(f(y)\), elle se rapprochera de encore dans un nouveau point de repos invariable de repos. la troisième qu'elle coupera encore dans un second point invariable de repos.

Afin de saisir plus aisément la formation cause des sinuosités [distorsions] des lignes nodales, on peut observer qu'en général il y a trois relations possibles entre la valeur de \(f(y)\) dans l'intervalle où l'on considère la courbe nodale, et celle [valeur] de la même fonction dans l'intervalle où se trouve la partie correspondante dela diagonale nodale. En effet on peut supposer que la première valeur de \(f(y)\) soit [est] \(<\), \(=\), ou \(>\) que la seconde. [ensuite que,] et comme pour les points dela diagonale \(f(y)=f(x)\); [et que pour les differens] et les points de la courbe nodale, ont les valeurs de \(f(x)\) sont les mêmes que pour ceux qui leur correspondent dans la diagonale. desorte [On voit donc] que les relations dont il s'agit existent exactement [également] entre les valeurs de \(f(y)\) et celles de \(f(x)\) qui appartiennent à la portion que l'on considère dans la courbe nodale. Cela posé, on voit aisément que si la plus grande valeur de \(f(y)\) dans l'intervalle où l'on examine le cours de la courbe nodale est \(<\) [que] la plus grande valeur de \(f(x)\) dans le même intervalle, la ligne [courbe] nodale En tête, au milieu, « (45) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 221 ». La première ligne achève la phrase de la vue 450 (« jusqu'à ce qu'elle ait atteint / la plus grande valeur »). Le haut de la page est une récriture ligne par ligne : deux lignes barrées d'un trait horizontal (« rapprochera ensuite … qu'elle coupera » et « encore dans un nouveau point … de repos. ») alternent avec les lignes gardées, qui se lisent à la suite ; devant « ligne fictive parallelle à \(ac\) », un mot surchargé et barré est lu « quatrième ». « formation » est barré ; « sinuosités » barré et « distorsions » écrit au-dessus ; « celle » barré et « valeur » au-dessus ; « soit » barré et « est » au-dessus. « ensuite que, » est écrit dans la marge de gauche devant « et comme », barré ; « et que pour les differens », dans la marge aussi, remplace « et les », barré, au-dessus duquel est encore écrit « pour » ; « ont » est barré devant « les valeurs ». « desorte » est barré et « On voit donc » écrit au-dessus ; le mot barré devant « entre », lu « exactement », est remplacé par « également ». Le « si » de « si la » est repassé ; « que » est ajouté au-dessus de « \(<\) la » ; « ligne » est barré et « courbe » écrit au-dessus. Dans le dernier \(f(x)\), le \(x\) est écrit sur un \(y\). La phrase se poursuit à la vue 452.

452

changera de direction, avant d'avoir atteint le point auquel appartient la plus grande valeur de \(f(x)\), qui est le point point qui se trouve au centre [vers le milieu] de l'intervalle forme limité par les quatre lignes [les deux lignes fictives consécutives parallelles a l'axe des \(y\)] fictives, consécutives chacune a sa parallelle: Cette ligne tournera donc sa concavité vers une des de ces lignes parallelles à l'axe des \(y\). Si la plus grande valeur de \(f(y)\) est égale à la plus grande valeur de \(f(x)\) dans le même intervalle, la courbe nodale sera se dirigera diagonalement vers le point \(\underline{i}\) opposé a celui […] par formée du systême de quatre branches qui se couperont lequel elle a passé en entrant dans l'intervalle. au centre de l'intervalle formée du systême de quatre branches qui se couperont vers le centre de l'intervalle. Enfin, si la plus grande valeur de \(f(x)\) est \(>\) que celle de \(f(y)\), la courbe nodale tournera sa concavité vers une des lignes fictives parallelle à l'axe des \(x\).

Je reviens à la description de la figure nodale. Après avoir coupé la première [troisième] ligne fictive [parallelle à \(\underline{ac}\)] dans le un quatrième des points \(\underline{i}\), qui lui appartiennent la courbe nodale s'approchera du bord dela surface [tour[…] se trouvera dans un même intervalle avec] la diagonale qu'elle traversera par une ligne presque droite, jusqu'à ce qu'elle atteigne la valeur de \(f(y)\) égale à la plus grande valeur de la même fonction dans l'intervalle entre la quatrième et la cinquième, ou cequi revient au même entre la première et la seconde ligne fictive. à partir de ce point elle se rapprochera encore dela première ligne fictive qu'elle coupera dans Le feuillet, plus petit, est monté bas sur sa feuille. En tête, au milieu, « (46) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 451. La première ligne achève la phrase de la vue 451 (« la courbe nodale / changera de direction »). « atteint » est traversé d'un trait qui peut être de liaison. Après « qui », « est le » est barré, puis « point » en tête de la ligne suivante ; « au centre » est barré et « vers le milieu » écrit au-dessus ; « forme » est laissé en fin de ligne devant « limité ». « les quatre lignes » est barré et « les deux lignes fictives consécutives parallelles a l'axe des \(y\) » écrit au-dessus, sur deux lignes ; « consécutives chacune a sa parallelle » est barré. Après « la courbe nodale », un mot commençant par « se » est surchargé et noirci ; « sera » est offert avec doute. Les quatre lignes qui suivent sont barrées une à une ; elles mêlent deux rédactions, et un mot surchargé après « celui » ne se lit pas. La fin de la phrase est dans la marge de gauche (« formée du systême … de l'intervalle. »). Plus bas, « première » est barré et « troisième » écrit au-dessus ; « parallelle à \(ac\) » est ajouté au-dessus de « fictive » ; « le » est barré et « un » écrit après ; « quatrième » et « qui lui appartiennent » sont barrés. « s'approchera du bord dela surface » est barré, et au-dessus sont écrits un mot court, lu « tour » suivi d'une lettre non lue, puis « se trouvera dans un même intervalle avec ». Les six dernières lignes de la page sont barrées d'un trait fin continu ; la vue 453 commence une phrase nouvelle.

453

En sortant de cet intervalle, la courbe nodale passera par un point \(\underline{i}\) et se trouvera dans l'intervalle entre la première [et la seconde] lignes fictives parallelles à \(\underline{ac}\). Dans cet intervalle, la plus grande valeur de \(f(y)\) sera \(>\) que la plus grande valeur de \(f(x)\). ainsi, d'après ceque j'ai dit plus haut, il est clair que la courbe nodale changera de direction et se dirigera [prolongera] parallellement à l'axe des \(\underline{x}\). Elle sortira de l'intervalle où je la considère àprésent pour rentrer dans celui où se trouve le point \(\underline{e}\) de départ. On voit donc que cette partie dela figure nodale sera une courbe rentrante. A partir du point \(\underline{a}\), je passerai audelà dela quatrième ligne fictive parallelle à \(\underline{ab}\) jusqu'à un second point \(\underline{e}\) qui sera le sommet d'une nouvelle courbe nodale, et auquel appartiendra parconséquent la plus grande valeur de \(f(y)\) entre la première et la seconde lignes fictives parallelles à \(\underline{ab}\). La courbe, après avoir passé par un point \(\underline{i}\), passera [se trouvera] dans l'intervalle entre la troisième et la quatrième lignes fictives; et la portion renfermée dans cet intervalle, sera semblable a celle qui, dans le même intervalle, appartient à la première courbe nodale. En sortant de cet intervalle, la courbe se passera dans celui entre [qui est formé par] la quatrième et la cinquième lignes fictives, parceque cette courbe doit toujours être separée par un nombre pair de lignes fictives, des points dela diagonale auxquels elle correspond; et elle sera dirigée parallellement à l'axe des \(y\), parceque dans cet intervalle, la plus grande valeur de \(f(y)\) est \(<\) que la plus grande valeur de \(f(x)\). Après avoir passé par un Le feuillet est monté sur sa feuille. En tête, au milieu, « (47) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 222 ». La page s'ouvre sur une phrase nouvelle, les dernières lignes de la vue 452 étant barrées. « et la seconde » est ajouté au-dessus de « première » ; « dirigera » est barré et « prolongera » écrit au-dessus ; « passera » est barré et « se trouvera » écrit au-dessus ; « se » est barré devant « passera » ; « entre » est barré et « qui est formé par » écrit au-dessus. Dans « Dans cet intervalle », le « cet » est surchargé. « parallelles à \(ab\) », à la fin de la phrase sur le second point \(e\), est souligné. Les signes « \(>\) que » et « \(<\) que » sont dans la phrase. Le texte s'arrête aux quatre cinquièmes de la page, au milieu d'une phrase ; la suite est à la vue 454.

454

point \(\underline{i}\), la courbe nodale se trouve entre la cinquième ligne fictive parallelle a \(\underline{ab}\) et le bord dela plaque. il est clair qu'alors la plus grande valeur de \(f(y)\) est \(>\) que celle de \(f(x)\), desorte que la courbe doit se diriger parallellement à l'axe des \(\underline{x}\) pour rentrer dans l'intervalle où se trouve le point \(\underline{e}\) de départ.

On voit que cette seconde courbe nodale est beaucoup plus resserrée que la première, puisqu'elle [ne] passe que par 4 points \(\underline{i}\), tandis que la première passe par par six des mêmes points.

Je ne m'arrêterai pas plus longtems à la description de la présente figure nodale, parceque la seconde partie dela même figure est tou entièrement semblable à la première; et c'est ce qui a toujours lieu quelque [quelle que] soit la valeur de l'angle \(\underline{\omega}\); mais [et même] si cette valeur donne lieu à un nombre pair de lignes fictives, la figure nodale est composée de quatre parties egales et semblables [entr'elles], desorte qu'il suffit alors de décrire le quart dela figure.

Il est clair que l'ensemble des quatre courbes rentrantes et dela diagonale qui forme la figure nodale complette, passe comme le veut la théorie par les \(\underline{n}^2 = 25\) points de repos invariables.

5.^eme valeur de l'angle \(\underline{\omega}\). A partir du point \(\underline{a}\) je passe En tête, au milieu, « (48) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 453. La première ligne achève la phrase de la vue 453 (« Après avoir passé par un / point \(i\) »). « ne » est écrit au-dessus de « passe » ; le mot qui suit est noirci, et « que » est offert avec doute. « par » est écrit deux fois devant « six », le premier barré. « tou » est barré devant « entièrement » ; le « et » qui ouvre la ligne suivante est barré ; « quelque » est barré et « quelle que » écrit au-dessus ; « mais » est barré et « et même » écrit au-dessus ; « entr'elles » est ajouté au-dessus de « desorte ». « 5.^eme » est écrit en exposant devant « valeur de l'angle \(\omega\) », qui fait titre. Le texte s'arrête aux trois quarts de la page, au milieu de la phrase, qui se poursuit à la vue 455 (« je passe / comme à l'ordinaire audelà »).

455

comme à l'ordinaire audelà dela seconde ligne fictive parallelle à \(\underline{ab}\) jusqu'au point \(\underline{e}\) auquel appartient la plus grande valeur de \(f(y)\) dans cette intervalles; et parceque cette valeur est \(<\) que celle de \(f(x)\), la portion dela courbe qui y est comprise, est dirigée parallellement à l'axe des \(y\). En sortant de cet intervalle, la courbe traverse d'un côté le celui où elle rencontre la diagonale qu'elle coupe, par une ligne presque droite. Ensuite après avoir passé [par un point \(i\), elle se trouve] en deça dela première ligne fictive; et comme alors la plus grande valeur de \(f(y)\) est \(>\) que celle de \(f(x)\), la courbe se dirige parallellement à l'axe des \(\underline{x}\). Elle reste ensuite dans l'intervalle entre la première et la seconde lignes fictives; et elle se dirige parallellement à l'axe des \(y\), parceque la plus grande valeur de \(f(y)\) est \(<\) que celle de \(f(x)\). Après avoir encore passé par un nouveau point \(i\), la courbe se trouve une seconde fois dans un même intervalle avec la diagonale qu'elle coupe par une ligne presque droite. En sortant de cet intervalle elle se trouve entre la troisième et la quatrième lignes fictives, et elle se dirige parallellement à l'axe des \(y\) pour rentrer dans l'intervalle où est situé le point de départ.

D'après la remarque que j'ai faite dans le cas précédent, il est inutile de pousser plus loin la description de la figure nodale; et il est clair qu'elle doit être formée de quatre courbes rentrantes semblables à celle la première. On voit que l'ensemble de ces quatre courbes et des deux diagonales nodales qui forme la figure nodale complette En tête, au milieu, « (49) », barré d'un trait horizontal ; en haut à droite, à l'encre, « 223 ». La première ligne achève la phrase de la vue 454 (« 5.^eme valeur de l'angle \(\omega\). A partir du point \(a\) je passe / comme à l'ordinaire audelà »). « intervalle » est écrit « cette intervalle », avec une lettre finale barrée. Les signes « \(<\) » et « \(>\) » sont écrits tels quels dans la phrase (« est \(<\) que celle de \(f(x)\) »). « d'un côté le » est barré devant « celui » ; « Ensuite » est barré en fin de ligne ; « par un point \(i\), elle se trouve » est ajouté au-dessus de « en deça » ; « et » est barré devant « comme » ; « celle » est barré devant « la première ». La page se termine sur « complette », sans point ; la phrase se poursuit à la vue 456 (« complette / passe comme le veut la théorie »).

456

passe comme le veut la théorie par les \(\underline{n}^2 = 36\) points de repos invariables.

Les cas suivans n'ayant pas été soumis à l'experience, je ne m'y arreterai pas; mais il est aisé de voir que l'on parviendroit à décrire très exactement les figures qui leur conviendroient, si on prenoit la peine de calculer et de comparer [entr'elles] les differentes valeurs de \(f(x)\) et \(f(y)\) qui appartiennent, dans chaque cas, aux points renfermés dans les differens intervalles des lignes fictives, valeurs qui ne sont autre chose que celles de \(\underline{z}\) pour la lame dont les extrêmités sont libres au sens d'Euler.

Il est clair, aureste, que chacune de ces figures, excepté [pourtant] celle qui se rapporte à la troisième valeur de l'angle \(\omega\), contiendra une courbe nodale rentrante, dont [assujettie aux conditions suivantes]: le sommet de cette courbe sera dans l'intervalle de la [entre les] seconde et troisième lignes fictives; que la portion dela courbe qui sera dans cet intervalle se dirigera [et la courbe se dirigera dans cet intervalle] parallellement à l'axe des \(y\) parceque la plus grande valeur de \(f(y)\) est [alors] \(<\) que celle de \(f(x)\); que elle courbe [la même courbe] traversera diagonalement l'intervalle dans lequel elle rencontrera la diagonale parceque dans cet intervalle la plus grande valeur de \(f(y) =\) celle de \(f(x)\); qu'ensuite elle se prolongera dans une direction parallelle à l'axe des \(x\) parceque la plus grande valeur de \(f(y)\) est [sera] \(>\) que celle de \(f(x)\) qu'ensuite dans l'intervalle entre la seconde et première et la seconde lignes fictives, elle [la courbe dans cette ligne] se dirigera parallellement à l'axe des \(y\) par les raisons pareilles; et qu'elle traversera une seconde fois, dans une direction diagonale, [un] l'intervalle où elle rencontrera la diagonale Le feuillet, plus petit, est monté bas sur sa feuille. En tête, au milieu, « (50) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 455. La première ligne achève la phrase de la vue 455 (« qui forme la figure nodale complette / passe comme le veut la théorie »). « de calculer » est barré ; « entr'elles » est ajouté au-dessus de « comparer ». « pourtant » est écrit dans la marge de gauche devant « celle qui ». « , dont » est barré et « assujettie aux conditions suivantes » écrit au-dessus, d'une écriture fine ; le « L » de « le sommet » est une capitale repassée. « de cette courbe » est barré, en partie dans la marge ; « de la » barré et « entre les » écrit au-dessus. La ligne « que la portion dela courbe qui sera dans cet intervalle se dirigera » est barrée, et « et la courbe se dirigera dans cet intervalle » est écrit au-dessus, le « elle » de « et elle » barré et « courbe » écrit dessus. « alors » est ajouté au-dessus de « \(<\) » ; « que elle courbe » est barré et « la même courbe » écrit au-dessus ; « traversera » est barré, sans que la phrase soit refaite. « qu'ensuite » est barré deux fois ; « est » est barré et « sera » écrit au-dessus ; « seconde et » est barré avant « première ». « elle » est barré et « la courbe dans cette ligne » écrit au-dessus, lecture que le sens ne rend pas sûre pour « ligne ». « par les raisons pareilles », « et » et « qu » sont barrés ; « l' » est barré devant « intervalle » et « un » écrit au-dessus. La phrase se poursuit à la vue 457 (« la diagonale / nodale; »).

457

nodale; et qu'elle changera encore une fois de direction avant de rentrer dans les divers intervalles des lignes fictives valeurs qui restent autre chose dans l'intervalle où se trouve son sommet, desorte que que celles de \(\underline{z}\) pour la lame dont les extrêmités sont libres […]

un seul […] Cette courbe passera par 12 des points de repos invariables. Dans le cas [lorsqu'il s'agit] dela 3.^eme valeur de \(\omega\) (on voir fig. 72 a) que la courbe

rentrante passe par 8 des mêmes points \(i\) parceque dans ce cas seulement elle [rencontre] traverse quatre fois les deux diagonales nodales.

N.o 12 Indépendamment des figures qui viennent d'être décrites, il peut en exister plusieurs autres qui soient comprises dans la même intégrale (C) et appartiennent aux mêmes valeurs de l'angle \(\underline{\omega}\); il suffit pour cela [les expliquer] de changer le rapport entre les constantes \(\mathcal{A}\) et \(B\) qui multiplient \(f(x)\) et \(f(y)\) dans la valeur de \(z\). On voit en effet que, pour tout autre rapport que celui exprimé par l'équation \(\mathcal{A} = -B\), il ne peut y avoir de ligne nodale diagonale, et [et] que tout la figure que et la situation des autres lignes nodales que l'on a trouvées dans cette supposition, doivent changer en même tems qu'elle, et [On voit aussi] que les points invariables de repos sont étant les seuls qui soient communs à toutes les figures nodales qui se rapportent a une même valeur de l'angle \(\underline{\omega}\), et que ces figures pourront [peuvent] être composées de lignes sinueuses auxquelles les lignes fictives servoient [serviront] d'axes, et qui couperont [ces mêmes] lignes dans les ces points invariables de repos.

Si on nomme avec M.r Chladni (V. N.o 109 de son traité d'acoustique) flexion « toute la déviation d'une ligne nodale vers un côté, consistant « dans un éloignement et un rapprochement dela ligne droite laquelle « on peut s'imaginer comme forme originaire » (cette droite est [véritablement] celle que je nomme mais M.r Chladni par la définition qu'il donne de la flexion paroit la placer tirer par les points les plus hauts ou les plus bas dela ligne sinueuse tandis qu'elle doit passer par les points moyens et servir d'axe a cette courbe) ligne fictive). on trouvera qu'il doit y avoir une flexion pour la première valeur de l'angle \(\underline{\omega}\), une flexion \(+\frac{1}{2}\) pour la En tête, au milieu, « (51) », barré d'un trait horizontal ; en haut à droite, à l'encre, « 224 ». Le premier mot, « nodale; », achève la phrase de la vue 456 (« rencontrera la diagonale / nodale; »), dont la suite est reprise et barrée ici. Les quatre premières lignes sont très reprises : « et qu » est barré devant « 'elle changera » ; la deuxième et la quatrième lignes sont barrées d'un trait horizontal (la fin de la quatrième, après « libres », ne se lit pas), « desorte que » au bout de la troisième aussi ; deux grands traits obliques en croix traversent en outre les lignes deux à quatre, sans que « dans l'intervalle où se trouve son sommet, » soit barré d'un trait propre. À la cinquième ligne, « un seul » et un mot noirci qui le suit sont barrés ; après « par », deux signes surchargés sont lus avec doute « 12 ». « Dans le cas » est barré, et les mots écrits au-dessus sont lus avec doute « lorsqu'il s'agit » ; la phrase ainsi corrigée n'est pas raccordée à ce qui précède ; la phrase se poursuit dans la marge de gauche (« rentrante passe par 8 des mêmes points \(i\) … nodales »), où « traverse quatre fois » est barré et « rencontre » écrit au-dessus. Dans la parenthèse, « on » est barré et « voir », sur un mot surchargé, n'est pas sûr. Le « N.o 12 » est dans la marge, en tête de l'alinéa, à la suite du « N.o 11 » de la vue 443. « les expliquer » est écrit au-dessus de « cela », barré ; un second « et » au-dessus du premier, barré ; « On voit aussi » au-dessus de « , et », barré ; « peuvent » au-dessus de « pourront » ; « serviront » au-dessus d'un premier mot barré, lu « servoient » ; « mêmes » au-dessus de « ces lignes ». La citation de Chladni porte les guillemets en tête de chaque ligne, et « flexion » est souligné ; « véritablement » est écrit au-dessus de « celle », sur un mot surchargé, et sous « que je nomme » quelques mots très fins, peut- être « la ligne sinueuse », ne sont pas rattachés au texte. La remarque « mais M.r Chladni … a cette courbe) » est écrite dans l'interligne, sous « que je nomme », puis continue dans la marge de gauche ; elle est donnée ici comme note marginale, à l'endroit où elle commence ; « la placer » y est barré et « tirer » est offert avec doute. La page se termine sur « pour la » ; la vue 458 continue.

458

seconde, 2 flexions pour la troisième, 2 flexions \(+\frac{1}{2}\) pour la quatrième et enfin 3 flexions pour la 5.^eme valeur du même angle \(\underline{\omega}\); car dans le premier [cas] il y a 2 points de repos invariables sur la ligne fictive, dans le second il existe 3 points semblables, dans le troisième il y en a 4, dans le quatrième, cinq enfin dans le cinquième cas il y a six [de ces] points de pareil nature et l'addition d'un point de repos invariable donne une demi flexion, parceque la sinuosité terminée par deux points consécutifs ne forme, suivant M.r Chladni qu'une demi flexion excepté pour la 1.^ere valeur de l'angle \(\underline{\omega}\). Il est aisé de voir maintenant combien cette la théorie est que j'ai exposée est conforme à l'expérience. En effet la fig 64 de M.r Chladni est précisément celle que j'ai trouvée pour la première valeur de l'angle \(\underline{\omega}\) dans la supposition \(\mathcal{A} = -B\). La fig. 65. montre qui appartient à la même valeur de l'angle \(\omega\) [(pour cette ce cas et les suiv. voyez la table p. 150 de Chladni, dans laquelle il indique les sons qui répondent a chaque fig.)] montre une seule flexion avec cette particularité que les deux lignes infléchies auxquelles les deux lignes fictives servent d'axe, se rejoignent très près du bord dela plaque pour former une courbe rentrante. Il est clair que c'est du rapport entre \(\mathcal{A}\) et \(B\) que dependent l'élévation de chaque sinuosité au dessus des lignes fictives, desorte que cette ligne même est une limite tandis que la courbe rentrante est l'autre limite de l'écartement de la ligne nodale de sa situation primitive. En tête, au milieu, « (52) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 457. La première ligne achève la phrase de la vue 457 (« une flexion \(+\frac{1}{2}\) pour la / seconde »). « flexion(s) » est souligné chaque fois. « cas » est ajouté au-dessus de « premier » ; « cinq » est barré devant « enfin » ; « de ces » est écrit au-dessus de « six », et « de pareil nature » barré. La ligne « de repos invariable donne une demi flexion, parceque la sinuosité terminée » est serrée entre deux lignes, d'une écriture plus petite, et la phrase continue dans la marge de gauche (« par deux points consécutifs … l'angle \(\omega\). ») ; la note est placée ici à l'endroit où la phrase y passe. Devant « théorie », « cette » est barré et « la » écrit dessus ; après, « est » est barré et « que j'ai exposée », d'une écriture très fine au bout de la ligne, n'est pas assuré. « montre » est barré après « fig. 65. » ; le renvoi à la table de Chladni est écrit au-dessus de la ligne suivante, sur deux lignes très fines, et « cette » y est barré devant « cas ». Le \(\mathcal{A}\) de « entre \(\mathcal{A}\) et \(B\) » est surchargé. La fin de « dependent » est barrée. Le texte s'arrête au tiers inférieur de la page ; le reste est blanc.

459

La figure 67. appartient à la seconde valeur de l'angle \(\underline{\omega}\), dans la supposition \(B=0\). La fig. 67 c est très exactement celle que j'ai décrite pour la même valeur de \(\underline{\omega}\) dans la supposition \(\mathcal{A} = -B\); et la fig. 67 b qui appartient encore à la même valeur de l'angle \(\underline{\omega}\), montre une flexion \(+\frac{1}{2}\) autour de la position de chacune des lignes qui sont droites dans la figure primitive fig. 67.

La fig. 72 a est celle que j'ai décrite pour la troisième valeur de l'angle \(\underline{\omega}\), la fig. 72 b qui appartient à la même valeur de l'angle \(\underline{\omega}\) montre 2 flexions autour de chacune des lignes fictives, c'est-à-dire autour des lignes qui seroient droites dans la supposition \(B=0\) la fig. 73 a qui appartient aussi à la même valeur de l'angle \(\underline{\omega}\) montre egalement 2 flexions: mais il arrive ici, comme dans la fig. 65, que les lignes sinueuses se rejoignent. (je ne sais pourquoi M.r Chladni a changé le chiffre de cette fig. et de la suivante ce qui peut faire croire que les mêmes […]) Enfin la fig 73 b que appartient encore a la 3.^eme valeur de l'angle \(\underline{\omega}\), montre aussi 2 flexions. On voit qu'il peut exister un très grand nombre de figures differentes pour chaque valeur de l'angle \(\underline{\omega}\): mais l'experience n'en a montré jusqu'ici qu'une petite partie; et souvent même les plus simples manquent dans la plus part des cas, c'est ainsi que la fig. 78 qui appartient et celle que j'ai trouvé à la quatrième par ex la figure primitive, par exemple, ne se realise que dans valeur de l'angle \(\underline{\omega}\), est la seule que l'experience donne un seul [de ces] cas, fig. 6 savoir pour la 2.^eme valeur de l'angle \(\omega\) pour ce cas, desorte que les lignes nodales droites dependantes (V. fig 67 de Chladni) de la seule supposition \(B=0\). ne se montrent ni pour le cas dont il s'agit ni pour la plus part des autres. En tête, au milieu, « (53) », barré d'un trait horizontal ; en haut à droite, à l'encre, « 225 ». La page s'ouvre sur un alinéa nouveau ; la vue 458 s'achevait sur « primitive. ». Les numéros de figures sont ceux de l'ouvrage de Chladni, comme annoncé à la vue 445 (« je désignerai chaque figure par le chiffre que porte son analogue dans l'ouvrage de M.r Chladni ») : 64, 65, 67, 67 b, 67 c, 72 a, 72 b, 73 a, 73 b. Dans « fig. 72 b », le 2 est surchargé sur un autre chiffre. La note entre parenthèses, écrite en trois lignes très fines au bout de la ligne de « se rejoignent », est barrée ligne à ligne ; sa troisième ligne est lue avec doute et sa fin ne se lit pas. Dans la marge de droite, en face, quelques lettres verticales, peut-être « V. fig. », ne sont pas lues. Le bas de la page est une suite de rédactions barrées, enchevêtrées ; ce qui n'est pas barré se lit : « et même les plus simples manquent dans la plus part des cas, la figure primitive, par exemple, ne se realise que dans un seul de ces cas, savoir pour la 2.^eme valeur de l'angle \(\omega\) (V. fig 67 de Chladni). » L'ordre des passages barrés donné ici est celui des lignes ; « fig. 78 » et « dependantes » ne sont pas assurés ; « et celle que j'ai trouvé » (au-dessus de « appartient ») et « dont il s'agit » (au-dessus de « le cas ») sont des additions elles-mêmes barrées. Un point final est posé après la dernière ligne barrée. La page s'arrête aux quatre cinquièmes ; la vue 460 ouvre un alinéa nouveau.

460

A l'égard des figures 78 et 85 qui se rapportent aux 4.^eme et 5.^eme valeurs de l'angle \(\underline{\omega}\), On voit que j'ai marqué une partie des lignes nodales que j'ai trouvées devoir composer les figures nodales, par des lignes pleines tandis que les autres sont indiquées par des lignes ponctuées et qu'une portion de ces lignes ponctuées est traversée par des lignes pleines qui rejoignent les lignes pleines des la figures que j'ai décrites et [qui] composent avec elles des figures nodales semblables a celles que M.r Chladni a trouvées et qu'il a numérotées par des mêmes chiffres.

Au premier coup d'œil, on seroit tenté de croire que, dans les cas dont il s'agit ici, la théorie et l'experience ne sont pas d'accord: mais un instant de reflexion suffit pour les concilier. En effet, si on adopte la théorie que j'ai se rapelle ceque j'ai cherché a établir § 3, on verra que toutes ligne qui satisfait aux conditions des limites, pouvant être considérée comme une veritable extrêmité analytique, les parties qu'elles séparent peuvent vibrer comme si elles étoient reellement isolées; pourvu toutefois que le son de l'une soit le même que celui de l'autre; car sans cette condition, le mouvement qui dans la plaque entière se communique d'une partie a l'autre, deviendroit impossible. Or, si les portions dela plaques étoient isolées, elles rendroient toujours le même son lorsque leurs mouvemens se Le feuillet, plus petit, est monté bas sur sa feuille. En tête, au milieu, « (54) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 459, numéroté 225. La page s'ouvre sur un alinéa nouveau, la vue 459 s'achevant sur un point. Les figures 78 et 85 sont celles de Chladni. Dans « trouvées », la fin est barrée ; « et qu'une » est barré devant « portion », et « est traversée » après « ces lignes ponctuées », de sorte que la phrase se lit sans verbe, telle qu'elle est laissée. « la » est barré après « des » ; « qui » est ajouté au-dessus de « composent ». Un cadre fin, tracé au crayon, entoure une partie du premier alinéa. « la théorie que j'ai » paraît barré d'un trait long ; la lecture « si on adopte se rapelle » est celle de la page, sans le « et » ou le « qu'on » que le sens attend. Devant « 3 », un signe haut et étroit est lu comme le § de son écriture ; « § 3 » renverrait au paragraphe des « propriétés analytiques des differens points », mais ce n'est pas assuré. L'« s » de « toutes » est barré, de même que celui de « plaques ». « isolées » s'accorde avec « parties ». La page s'arrête aux quatre cinquièmes, au milieu de la phrase, sur « mouvemens se » ; la vue 461, hors de ce lot, commence par « rapporteroient à la même valeur de l'angle \(\omega\) ».