Français 9115 · lot 24 · vues 461–480 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
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Numérotation des feuillets. Chaque page porte en tête, au milieu, sa pagination : « (55) » à la vue 461, « (56) » à « (64) » aux vues 462 à 472, « (65) » à « (72) » aux vues 473 à 480, sans lacune ; les pages impaires, de (55) à (69), sont barrées d'un trait oblique, les paires non ; la page 71 (vue 479) est écrite sans parenthèses et barrée. Les feuillets sont écrits des deux côtés, et seul le côté de pagination impaire porte en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, un nombre de la série qui court dans tout le volume : 226 (vue 461), 227 (463), 229 (467), 230 (469), 231 (471), 232 (473), 233 (475), 234 (477), 235 (479) ; le fragment de la vue 465, étranger au mémoire, porte 228. Cette série numérote des feuillets et non des pages, et elle compte le fragment ; elle occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au crayon, et aucun « f. » n'est donc porté. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. La vue 466, dos blanc du fragment, n'est pas transcrite.

461

rapporteroient àla même valeur de l'angle \(\underline{\omega}\); mais elles pour pourroient présenter des figures differentes entr'elles, si on établissoit, pour chacune d'elles, des rapports differens entre les constantes \(\mathcal{A}\) et \(B\). La même chose a donc lieu ici; et parceque tel dans le cas d'un nombre impair quelque soit la valeur de l'angle \(\underline{\omega}\), le point du milieu dela simple lame satisfait toujours aux conditions des limites (V. N.o 8), les lignes que l'on peut imaginer par le milieu de chacun des côtés dela plaque quarrée, satisferont aussi aux mêmes conditions en n'ayant égard qu'à une seule des variables \(\underline{x}\) et \(y\); et cette plaque se trouvera partagée en quatre portions égales qui pourront présenter chacune des figures dependantes de rapports differens entre \(\mathcal{A}\) et \(B\).

Lorsque l'on fait attention àla manière dont M^r Chladni a formé les figures qu'il a obtenues, il semble tout naturel en effet que les differences dont il s'agit, se realisent [en eff]; [car] cet in [habile physicien] prescrit de toucher àlafois plusieurs des points de ces figures [nodales]; si s'il arrivent donc que les points de touchement appartiennent qui se trouvent dans chacune des portions separés par des lignes de limites, appartiennent à des figures differentes, la plaque sera forcée de se ployer dans ses differentes parties aux figures auxquelles peut appartenir En tête, au milieu, « (55) », barré ; en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, « 226 ». Le feuillet est petit, collé sur un onglet : le texte s'arrête au bas du feuillet, aux deux cinquièmes de la vue ; au-dessous, la feuille de montage, blanche, porte dans le coin inférieur droit deux ou trois traits obliques au crayon, qui ne sont pas un nombre. La première ligne achève une phrase commencée hors de ce lot (« … se / rapporteroient »). Le premier coefficient est la capitale cursive bouclée, distincte du \(A\) du côté de la plaque, rendue \(\mathcal{A}\) comme aux vues 439–440. « (V. N.o 8) » renvoie à un paragraphe qui n'est pas dans ce lot. Après « parceque », un mot court, lu « tel », paraît barré. La fin de « naturel » est chargée de traits et pourrait porter un « le » barré ; « en effet » est barré après lui. Après « realisent », quelques lettres fines, lues avec doute « en eff », sont écrites en petit au niveau de la ligne, suivies d'un point-virgule ; « car » est écrit au-dessus ; après « cet », un mot commencé (« in ») est barré et « habile physicien » écrit au-dessus. « nodales » est ajouté en petit en fin de ligne. « si » est barré devant « s'il », et la fin « -nt » de « arrivent » est barrée. « touchement » est souligné. « auxquelles peut appartenir » est barré en fin de feuillet ; dans « peut », une lettre suivante est aussi barrée. La phrase se poursuit à la vue suivante.

462

pour [dans] lesquelles les points de touchemens appartiennent aux lignes nodales. Dans la figure 78 qui se rapporte à la quatrième valeur de l'angle \(\underline{\omega}\), le Ce sont les parties dela figure comprise dans les quarrés \(a\,n\,m\,y\), \(g\,k\,h\,d\), qui qui lesquelles se réunitsent a l'angle \(y\) ou au point \(y\), qui conservent les mêmes lignes nodales que dans la figure que j'ai de trouvée; appartenir a la condition \(\mathcal{A} = -B\).+ [car la solution de continuité de la courbe nodale dans les points qui repondent] a ceux que j'ai marqués \(\underline{r}\) et \(\underline{x}\) ne peut être qu'accidentelle, et on en rencontre bien des exemples semblables dans d'autres cas. Mais Dans les deux autres quarrés les courbures ponctuées sont remplacées par deux lignes sinueuses. et il se trouve aussi dans ces quarrés une partie courbe \(i\,i\) que j'ai ponctuée quoiqu'elle appartienne a la fig. que j'ai décrite parcequ'elle peut en même tems être considérée comme la partie d'une troisième ligne sinueuse parallelle aux deux autres qui, si la plaque entière vibroit en présentant la même figure, continueroit son cours dans une direction parallelle aux deux premières.

J'ai dit plus haut que, pour la quatrième valeur de l'angle \(\omega\), lorsque la figure nodale étoit composée de lignes sinueuses, chacune de ces lignes devoit presenter deux flexions \(+\frac{1}{2}\). On doit donc avoir pa dans les portions de lignes sinueuses qui appartiennent a deux des quarts de la plaque quarrée une flexion \(+\frac{1}{4}\) l'on voit en effet, en se rapellant qu'une flexion est En tête, au milieu, « (56) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 461. Le feuillet, petit, ne couvre que les deux tiers supérieurs de la vue ; au-dessous, la feuille de montage. La première ligne continue la phrase de la vue 461 (« aux figures / … lesquelles ») : « pour » est barré et un mot court, lu avec doute « dans », est écrit au-dessus. « touchemens », « flexions », « flexion » sont soulignés. « figure 78 » renvoie, semble-t-il, aux figures de Chladni ; les lettres \(a\,n\,m\,y\), \(g\,k\,h\,d\), \(i\,i\) désignent des points d'une figure qui n'est pas sur ce feuillet. Devant « Ce sont », un « le » est barré, et le C, très grand, est écrit par-dessus. Au-dessus de « qui », un « qui » plus petit est barré ; « lesquelles » est barré en fin de ligne ; à la ligne suivante, « se » est barré, la fin de « réunit » est surchargée et barrée (lue avec doute « -sent »), « a l'angle y » est barré, et « au » est écrit sur un « ou » barré. L'addition « car la solution de continuité … qui repondent » est écrite au-dessus de la ligne « appartenir a la condition », précédée d'une croix, et elle est placée ici au point où la même croix l'appelle, après « \(-B\). » ; elle se poursuit dans la marge de gauche (« a ceux que j'ai marqués … dans d'autres cas. »), donnée ici comme note marginale. Dans la marge, les deux lettres soulignées sont lues avec doute \(r\) et \(x\). « que j'ai trouvée ; / appartenir a la condition » est gardé tel qu'il est écrit, point-virgule compris. « Mais » est barré et le D de « Dans » repassé ; « et » est barré devant « il se trouve ». Au début de la dernière ligne, « l'on voit en effet » est barré. La phrase se poursuit à la vue suivante.

463

composée, d'après m^r Chlad la définition de M^r Chladni d'une distance d'un éloignement et d'un raprochement de la ligne droite qu'il suppose c'est adire, comme je l'ai déjà remarqué de deux sinuosités l'une superieure et l'autre inferieure ala ligne fictives, [on voit en effet] que les lignes dont il s'agit ici, presentent chacune une flexion complette formée des sinuosités entre la troisième et la quatrième, et entre la quatrième et la cinquième lignes fictives, et d'un quart de flexion pris entre la cinquième ligne fictive et le bord de la plaque.

Al'égard de la fig. 85, il est visible que la moitié superieure est entièrement conforme à celle que j'ai décrite pour ce cas dans la supposition \(\mathcal{A} = -B\); et que [dans] la moitié inferieure presente dans laquelle les lignes nodales ponctuées qui conviendroient àla même supposition, sont remplacées par des lignes sinueuses qui, conformément àla théorie, presentent 3 flexions complettes, et passent parconséquent chacune par les six points de repos invariables situés sur la ligne fictive qui lui sert d'axe. [la distance entre les points \(c\) et \(s\) ne peut être sensible parceque le point \(c\) appartenant àla fois a deux lignes nodales, la poussière se tasse autour de lui]

Quoique je regarde comme suffisamment prouvé que les lignes qui par lesquelles ont peut concevoir la plaque quarrée[, dans le cas de l'intégrale (C),] partagée en quatre portions égales, sont, des limites analytiques parfaitement equivalentes à des extrêmités effectives, j'ai desiré confirmer encore le ce résultat, en le soumettant àl'experience. Pour cela, après avoir formé sur une plaque quarrée la fig 64 de M^r Chladni, laquelle En tête, au milieu, « (57) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 227 ». Le feuillet est collé bas sur sa feuille de montage : le premier tiers de la vue est blanc. La première ligne achève la phrase de la vue 462 (« qu'une flexion est / composée »). « m^r Chlad » est barré avant « la définition » ; « d'une distance » est barré en tête de la deuxième ligne. « on voit en effet » est écrit au-dessus de « fictive », dont le « s » final est barré ; de même aux « lignes fictives » plus bas. Devant « flexion », souligné, « une » est surchargé. Le premier mot de l'alinéa « Al'égard » a son initiale empâtée ; le numéro de la figure se lit 85, peut-être 89. « dans » est écrit au-dessus de « la moitié » ; à la ligne suivante, « presente » et « dans laquelle » sont barrés, et le mot qui suit « les » est surchargé (lu « lignes »). L'addition « la distance entre les points c et s … autour de lui » est écrite en petit entre la fin de l'alinéa et « Quoique », sans signe d'appel ; les lettres \(c\) et \(s\) renvoient à la figure, qui n'est pas sur le feuillet. « dans le cas de l'intégrale (C), » est écrit au-dessus de « la plaque quarrée ». « ce » est écrit sur « le » devant « résultat ». Le numéro de la figure de Chladni se lit 64, le 4 tracé comme un « h ». La phrase se poursuit à la vue suivante.

464

appartient ala première valeur de l'angle \(\underline{\omega}\), et est composée comme on sait de deux lignes diagonales nodales, j'ai fait le couper la partie \(B\,C\,D\,E\), c'est adire le quart de la plaque, en fesant pourtant reserver l'espace \(\underline{c}\) auquel les doigts avoient été appliqués, pour former la fig 64 sur la plaque entière.

J'ai de nouveau replacé les doigts en \(\underline{c}\), et j'ai continué a tirer le son d'appliquer l'archet en \(F\) comme je l'avois fait sur la plaque entière. Le son est resté le même que sur la plaque complette, et la figure est demeurée aussi nette que sur cette même plaque. seulement de sorte que l'on peut concevoir la figure + m. Les lignes pleines terminent la partie de la plaque que j'ai conservée et les ligne et la figure nodale qui s'y est formée; tandis que les lignes ponctuées indiquent le contour de la partie enlevée et la figure nodale qui s'y seroit formée si elle eut continué a faire partie dela plaque vibrante (Voyez ci-joint fig. A)

La première valeur de l'angle \(\underline{\omega}\) est aunombre des cas où les points de milieu sont libres en vertu des conditions \(\frac{dz}{dx}=0\) et \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\). On voit donc que l'existence des extrêmités soumises à de pareilles conditions que je n'avois pû constater par des experiences directes sur la simple lame (V. § 3 N.o 8) reçoit ici une entière confirmation.

L'intégrale (C) dont je viens d'examiner les conséquences, ne peut s'appliquer dans toute sa généralité qu'aux seules surfaces rectangulaires En tête, au milieu, « (58) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 463, collé bas sur sa feuille de montage comme lui. La première ligne achève la phrase de la vue 463 (« la fig 64 de M^r Chladni, laquelle / appartient »). Après « comme », deux mots courts et serrés sont lus avec doute « on sait ». « le » est barré devant « couper ». « 64 », après « fig », est serré contre « sur » ; le 4 est tracé comme un « h », comme à la vue 463. « \(c\) » est souligné. Au début de la ligne « d'appliquer l'archet », « a tirer le son » est barré. « seulement de sorte / que l'on peut concevoir la figure » est barré sur deux lignes ; au-dessus de la fin, une croix et quelques lettres, lues avec doute « m. », semblent un signe d'appel sans texte correspondant sur ce feuillet. Après « conservée », une petite marque en forme de \(\neq\) sous la ligne ; « les » est surchargé en « la » et « ligne » est barré. Le renvoi « fig. A » (lu aussi « fig. 1 ») vise une figure jointe qui n'est pas sur ce feuillet. Le renvoi « (V. § 3 N.o 8) » est lu sur un signe de paragraphe tracé comme un 8 bouclé ; il renvoie à un paragraphe qui n'est pas dans ce lot. La phrase se poursuit à la vue suivante.

465

[…]ment je proposerai d'abord a l'examen des g les deux théorèmes suivants.

La courbure d'une surface a pour mesure la somme des raisons inverses des deux principaux rayons de courbure.

L'irrégularité dela courbure d'une surface a pour mesure la difference des raisons inverses de ses deux rayons principaux de courbure Un fragment isolé, d'un autre sujet que les feuillets qui l'entourent : la mesure de la courbure des surfaces. C'est un morceau de feuillet déchiré en haut, collé sur une feuille de montage, écrit d'une écriture plus grande et plus appuyée, sans rature ; il ne porte pas de pagination. En haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, « 228 », à la suite du 227 de la vue 463 : la série numérote ce fragment comme un feuillet. La déchirure du haut emporte une ligne entière, dont il ne reste que le bas de quelques lettres, et le début de la première ligne conservée, dont on lit seulement la fin d'un mot, « -ment » (le reste, sur la lèvre de la déchirure, paraît barré). Le dernier mot de cette ligne s'arrête sur « g », sans suite visible sur le fragment ; rien n'est complété. « suivants » : la fin du mot est surchargée. La dernière ligne finit sans point ; le reste du fragment est blanc. La vue 466 en montre le dos, blanc, où ne paraît que l'écriture de cette face vue par transparence ; elle n'est pas transcrite.

467

car ces surfaces sont en effet les seules pour les points d'extrêmités desquelles une des variables puisse [toujours] être regardée comme constante, desorte que les conditions \(\frac{dz}{dx}=0\) et \(d.\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}=0\)[, par exemple,], qui conviennent ala plaque soient parfaitement equivalentes à celles-ci: \(\frac{dz}{dx}=0\) et \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\) qui appartiennent a la simple lame.

Cependant il peut exister sur la plaque quarrée qui se meut dont les mouvemens sont compris dans l'intégrale (C), d'autres lignes de limites que celles qui passent par le milieu de cette plaque et sont parconséquent parallelles aux axes des \(\underline{x}\) ou \(\underline{y}\).

Les diagonales nodales, par exemple, jouissent de cette propriété; car elles remplissent les conditions \(z=0\) et \(\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}=0\)

Ainsi s'il [Si donc il] s'agit des cas où les valeurs de l'angle \(\underline{\omega}\) donnent un nombre pair de nœuds sur la simple lame, on peut conclure que les mouvemens d'une surface triangulaire isocèle dont les deux côtés adjacens àl'angle droit seroient appuyés au sens d'Euler et l'hypothénuse libre au sens du même géomètre, seront compris, pour les mêmes valeurs de \(\underline{\omega}\) et pour les mêmes rapports entre \(\mathcal{A}\) et \(B\), dans les équations qui conviendront, aux cas semblables pour la plaque quarrée.

Demême aussi que On peut conclure demême que les mouvemens d'une surface triangulaire isocèle rectangle dont l'hypothénuse seroit appuyée, un des côtés adjacens al'angle droit libre en vertu des conditions \(\frac{dz}{dx}=0\) et \(\frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dx}=0\) et l'autre côté En tête, au milieu, « (59) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 229 ». Le feuillet est collé bas sur sa feuille de montage, comme ceux des vues 461 et 463 : le premier tiers de la vue est blanc. La première ligne achève la phrase de la vue 464 (« qu'aux seules surfaces rectangulaires / car ces surfaces… ») : la pagination de Sophie Germain passe de (58) à (59) par-dessus le fragment de la vue 465. « toujours » est écrit au-dessus de « puisse être » ; « , par exemple, » au-dessus de la fin de la première formule. Dans cette formule, le \(d\) devant l'accolade n'a pas de dénominateur ; à la dernière ligne, la même condition est écrite avec « \(dx\) » sous un trait de fraction : les deux sont gardées telles qu'elles sont écrites. « qui se meut » est barré après « quarrée ». « \(x\) », « \(y\) », \(\omega\) sont soulignés. « nœuds » est écrit « nauds », l'œ ouvert, comme aux vues 350–356. « Ainsi s'il » est barré et « Si donc il » écrit au-dessus. Le « n » de « nodales » est repassé. Après « au sens d' », le nom, dont l'E est tracé comme un L, est lu « Euler », comme aux vues 419–420. « aux cas semblables pour » et « Demême aussi que » sont barrés. La phrase se poursuit à la vue suivante.

468

adjacent au même angle libre en vertu des conditions \(\frac{dz}{dy}=0\) et \(\frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dy}=0\) et \(\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}=0\), seront compris également dans les équations qui appartiennent, pour les differens cas respectifs, au mouvement de la plaque quarrée; Et demême [Il faut conclure] encore [que les mouvemens] qu' d'une pareille surface triangulaire dont l'hypothénuse et un des côtés adjacent a l'angle droit seroient libres au sens d'Euler et l'autre appuyé, seroient aussi compris dans les équations qui déterminent les mouvemens dela plaque quarrée. Il faudra seulement observer, pour transporter à ces differens triangles l'analyse qui appartient ala plaque quarrée, [avoir soin] de changer, dans les coëfficiens, \(\underline{\omega}\) en \(\frac{1}{2}\omega\) &c. suivant qu'il s'agit d'un triangle dont les côtés sont le rapport qui existe entre le côté du triangle que l'on considère et celui dela plaque entière, c'est J'ai déjà fait une remarque semblable en parlant de la simple lame et des rapports qui existent entre les differens cas qu'Euler a calculés a part.

Je ne m'arreterai pas à appuyer et à developper les observations que je viens de faire [présenter] j'ai voulu seulement les indiquer pour […] [afin de donner] d' [un] exemple de l'avantage[u] parti que l'on peut tirer dela considération des points et des lignes de limites pour déterminer, au moyen d'équations déjà connues le mouvement de surfaces qui, au premier aperçu, ne sembloit [pas] devoir y être compris. En tête, au milieu, « (60) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 467. Au-dessus du feuillet, sur la feuille de montage, paraît à l'envers, par transparence, le fragment de la vue 465 (« 228 »). La première ligne achève la phrase de la vue 467 (« et l'autre côté / adjacent »). Au début de la formule, « \(\frac{dz}{dy}=0\) et » est barré de traits épais. Après « quarrée ; », « Et demême » est barré ; « Il faut conclure » est écrit au-dessus, et « que les mouvemens » au-dessus de « encore » ; le « qu' » devant « d'une » est barré. « observer » est barré en tête de ligne, et « avoir soin » écrit au-dessus de la ligne suivante, après « quarrée, ». « ces » est écrit sur « les » devant « differens triangles ». « qu'il s'agit d'un triangle / dont les côtés sont » est barré sur deux lignes ; « c'est » est barré devant « J'ai ». Le nom d'Euler a son E tracé comme un L. Dans le dernier alinéa, écrit un peu en retrait : « faire » est barré et « présenter » écrit au-dessus ; « pour » et le mot suivant sont barrés en fin de ligne, et « afin de donner » écrit au-dessus ; en tête de la ligne suivante, « d' » est barré et « un » écrit au-dessus ; « du » est formé sur « de l' », et le mot barré qui suit est lu avec doute « avantage » ; « pas » est écrit au-dessus de « devoir ». Le texte s'arrête ici, au milieu de la page, sur un point : la fin d'une section. Le reste du feuillet est blanc.

469

Je ne puis terminer cet article sans rendre homage [hommage] à l'étonnante sagacité de M^r Chladni qui, sans avoir connu la théorie ni parconséquent l'étendue de l'intégrale (C), s'est pourtant décidé à regarder les figures, en apparence si bizarres, qui y sont comprises, comme parfaitement équivalentes à de simples lignes droites parallelles entre elles: j'avoue même que j'avois d'abord envisagé le rapport que l'habile physicien indique entre les figures dont il s'agit comme une simple classification fondée uniquement sur la possibilité d'obtenir successivement plusieurs de ces figures, sans que le son varie. J'étois alors bien loin de prévoir qu'un simple changement de rapport entre des constantes, pût rendre compte dela variété des figures, tandis que la constance de la valeur de l'angle \(\underline{\omega}\) dans celles de ces figures que M^r Chladni avoit jugées equivalentes, expliqueroit naturellement l'uniformité des sons qu'il avoit observés.

N.o 13 Surfaces périodiques. Je passe à présent à l'application des intégrales données N.o 4 et 5. Leur forme générale est exprimée par la formule \(z = \ldots\ldots\,\text{sin}\left(\pi.\frac{nx}{A}\right)\text{sin}\left(\pi.\frac{my}{A}\right)\); et cette formule montre que, si en l'appliquant à une surface quarrée, on prend l'origine à un des angles de la surface, lamême surface sera appuyée dans tous les points de son contour; car aux extrêmités, c'est-adire, lorsque \(x=A\) et \(x=0\) ou \(y=A\) et \(y=0\) l'on aura une des quatre conditions \(x=A\), \(x=0\), \(y=A\), \(y=0\) En tête, au milieu, « (61) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 230 ». Le feuillet couvre les deux tiers supérieurs de la vue ; au-dessous, la feuille de montage. Un paragraphe nouveau ouvre la page ; la page (60), vue 468, s'était arrêtée sur un point au milieu du feuillet. Devant « à l'étonnante », un mot barré, lu avec doute « homage », est récrit au-dessus « hommage ». Le numéro du paragraphe se lit « N.o 13 », le 3 à queue courte ; les N.o 11 et 12 ne sont pas dans ce lot. « Surfaces périodiques » est souligné. « N.o 4 et 5 » : le 4 est tracé comme un « h ». Dans la formule, les points de suspension sont les siens, pour un facteur laissé en blanc ; « sin » est écrit avec le s long. Une croix sous la ligne, entre « c'est-adire, » et « lorsque », ne renvoie à rien de visible. « \(x=A\) et \(x=0\) ou \(y=A\) et \(y=0\) » est barré, et les quatre conditions sont récrites à la ligne suivante, séparées par des virgules. La phrase se poursuit à la vue suivante.

470

les deux équations \(z=0\) et \(\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}=0\) seront satisfaites

J'ai déjà dit que le mot appuyé ne devoit être pris que dans un sens analytique et comme equivalent aux deux conditions \(z=0\) et \(\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}=0\). Ainsi je l'emploirai dorénavant sans revenir davantage sur sa signification; et je nommerai lignes d'appuis la suite des points qui satisferont aux conditions qui en fixent la valeur de ce mot.

Cela posé, une periode complette[, tant dans le sens des \(x\) que dans celui des \(y\),] sera comprise entre quatre lignes d'appui: ainsi, en prenant toujours l'origine à un des angles de la plaque[, lorsque l'on aura \(m=n=1\),] la courbure de cette surface sera composée d'une seule periode lorsque l'on aura \(m=n=1\); mais, [dans un grand nombre de cas,] cette période sera partagée en quatre quarts de périodes par deux lignes de limites analytiques qui se couperont a angle droit au centre de la surface, et satisferont aux conditions \(\frac{dz}{dx}=0\) et \(\frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dx}=0\) ou \(\frac{dz}{dy}\) et \(\frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dy}=\) qui pourroient également appartenir aux extrêmités libres.

Il suit delà que l'équation qui, [dans les cas dont j'ai parlé,] sous des conditions données appartient àla surface quarrée dont les quatre côtés sont appuyés, appartiendroit également, et sous les mêmes conditions, à une surface quarrée dont les quatre côtés seroient libres. En effet les deux cas ne different que par la disposition des portions de periodes dans lesquelles se trouvent les points de contour dela surface; desorte que, par exemple, lorsqu'il s'agit d'une seule période, la position des quatre En tête, au milieu, « (62) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 469. La première ligne achève la phrase de la vue 469 (« l'on aura une des quatre conditions … / les deux équations … seront satisfaites ») ; elle finit sans point. « appuyé » est souligné. Dans « lignes d'appuis », souligné, le « s » final des deux mots est barré. « en » est barré devant « fixent ». « tant dans le sens des x que dans celui des y » est écrit au-dessus de « complette, sera » ; « , lorsque l'on aura \(m=n=1\), » au-dessus de « angles de la plaque », et la même condition est barrée à la ligne suivante ; « dans un grand nombre de cas, » est écrit au-dessus de « mais, cette ». Dans la dernière ligne de formules, « \(\frac{dz}{dy}\) » est écrit sans « \(=0\) », et la seconde condition finit sur « = » au bord du feuillet, sans le zéro : l'une et l'autre sont gardées ainsi. « dans les cas dont j'ai parlé, » est écrit au-dessus de « sous des conditions données », barré. La phrase se poursuit à la vue suivante.

471

quarts de périodes, dans un des cas, est exactement le renversement dela disposition qui a lieu dans l'autre; et qu'en supposant ces quatre portions de périodes isolés, elles doivent être rapprochés par leurs côtés libres, pour former la surface dont les quatre côtés sont appuyés; et par leurs côtés appuyés, pour former la surface dont les quatre côtés sont libres. J'ai déjà remarqué un rapport semblable à celui que je viens d'indiquer, entre la corde tendue et la flûte ouverte aux deux bouts (V N.o 7).

Après avoir présenté l'observation précédente qui s'applique a toutes les formules périodiques je vais examiner en particulier les conséquences de l'intégrale ([…]).

L'équation générale \(z = \ldots\ldots\,\text{sin}.\left(\pi.\frac{nx}{A}\right)\text{sin}\left(\pi.\frac{my}{A}\right)\) montre encore qu'il y aura toujours sur la plaque quarrée àla quelle elle sera appliquée, \(\underline{n}\) lignes nodales parallelles à l'axe des \(\underline{y}\), c'est adire à un des côtés de la plaque, et \(\underline{m}\) lignes nodales parallelles à l'axe des \(\underline{x}\), et parconséquent à l'autre côté de la plaque.+ Elle montre aussi que ces lignes seront toujours a égales distances celles de ces lignes qui seront parallelles entre elles, se trouveront toujours à égale distance, les unes des autres; que cette distance sera double de celle entre la dernière des mêmes lignes et le côté libre auquel elle est [sera] parallelle; que chaque intervalle de deux lignes nodales parallelles est [sera] partagé par une ligne de limite analytique qui satisfera à l'un ou l'autre des couples d'équations \(\frac{dz}{dx}=0\) et \(d.\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}=0\) En tête, au milieu, « (63) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 231 ». Le feuillet est collé bas sur sa feuille de montage : le premier tiers de la vue est blanc. La première ligne achève la phrase de la vue 470 (« la position des quatre / quarts de période »). Dans « périodes », aux deux premières lignes, le « s » final est barré d'une petite croix. « (V N.o 7) » renvoie à un paragraphe qui n'est pas dans ce lot. Les trois lignes données ici en struck sont barrées lettre par lettre de petites croix, comme aux vues 314, 404 et 405 ; les mots en sont lus sous les croix, plusieurs avec doute, et l'étiquette de l'intégrale, entre parenthèses à la fin, ne se lit pas. Dans les deux formules, « sin » est écrit avec le s long, et les points de suspension sont les siens. « \(n\) », « \(y\) », « \(m\) », « \(x\) » sont soulignés. Une croix suit « de la plaque. » ; elle n'appelle rien de visible sur ce feuillet. « ces lignes seront / toujours a égales distances » est barré sur deux lignes ; « est » est barré deux fois et « sera » écrit au-dessus. La fin de « satisfera » est surchargée et barrée. Dans la dernière formule, « et » est écrit au-dessus du signe, entre les deux équations. La phrase se poursuit à la vue suivante.

472

\(\frac{dz}{dy}=0\) \(\frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dy}=0\); et enfin que tout point pour lequel on aura àlafois \(\text{sin}\left(\pi.\frac{nx}{A}\right)=0\) et \(\text{sin}\left(\pi.\frac{my}{A}\right)=0\), c'est adire tout point d'intersection des lignes nodales droites qui terminent les periodes, pourra être pris pour origine, puisque, conformement à cequej'ai dit N.o 9, il satisfait aux quatre conditions \(z=0\), \(\frac{dz}{dx}=0\), \(\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}=0\) et \(\frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dx}=0\).

Après avoir exposé les conséquences générales dela périodicité des surfaces, je vais examiner en particulier celles qui resultent de l'intégrale (D). N.o 4

On voit d'abord que les surfaces quarrées dont les mouvemens seront compris dans cette intégrale, ne pourront présenter d'autres lignes nodales que celle celles qui terminent les périodes; car aucune autre supposition que \(\text{sin}\left(\pi.\frac{nx}{A}\right)=0\) ou \(\text{sin}\left(\pi.\frac{my}{A}\right)=0\) ne pourra alors rendre \(z=0\).

Parmis les cas observés par M^r Chladni, ce sont ceux auxquels appartiennent les figures 63, 66a, 68a, 71a, 74a, 75a, 80a, 81a et 82 (V. T. d'acoustique) qui sont renfermés dans l'équation (D).

Pour la figure 63; \(m=n=1\)., et, conformément à l'experience, il ne doit [donc] y avoir+ que deux lignes nodales parallelles: +, conformément à l'experience, En tête, au milieu, « (64) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 471. La première ligne achève la phrase de la vue 471 (« à l'un ou l'autre des couples d'équations … / \(\frac{dz}{dy}=0\) … ») ; entre les deux équations du second couple, aucun « et » n'est écrit. « sin » est écrit avec le s long. « N.o 9 » renvoie au paragraphe sur les plaques, à la vue 433 (lot 22). L'étiquette de l'intégrale, deux fois, est une capitale empâtée entre parenthèses, lue « D » : c'est l'intégrale \(z = \mathcal{A}\,\text{sin}\frac{\pi nx}{A}\,\text{sin}\frac{\pi my}{A}\) du N.o 4 (vue 406, lot 21), et le numéro qui suit « N.o », surchargé, se lit 4. « celle » est barré et récrit « celles ». Le « s » de « Parmis » est barré ; « ce » est écrit sur un mot plus court. Les numéros de figures sont ceux du traité d'acoustique de Chladni (« V. T. d'acoustique »). À la dernière phrase, « et, conformément à l'experience, » est barré sur la ligne, et la même incise est récrite dans la marge de gauche, appelée par une croix après « y avoir » ; « donc » est écrit au-dessus de « doit ». La phrase se poursuit à la vue suivante.

473

l'une à l'axe des \(\underline{x}\), l'autre à celui des \(\underline{y}\); et ces lignes doivent se couper au centre dela surface dans un point d'origine. qui est dont cette être le […] Le son est parconséquent [le son doit être] proportionnel au nombre \(m^2+n^2=2\) (V. N.o 4).

Pour la figure 66a \(m=2\), \(n=1\); et conformement a l'experience il ne doit [donc] y avoir deux lignes nodales parallelles à l'axe des \(\underline{x}\) et une seule parallelle à l'axe des \(\underline{y}\). Parconséquent le son doit être proportionnel au nombre \(m^2+n^2=5\).

Pour la figure 74a \(m=4\), \(n=1\); conformement à l'experience il doit donc y avoir 4 lignes nodales parallelles à l'axe des \(x\) et une seule parallelle à l'axe des \(\underline{y}\). Le son doit être proportionnel au nombre \(m^2+n^2=17\).

Les trois valeurs précédentes de \(\underline{n}\) étant 1, elles appartiennent a un cas des vibrations que M^r Chladni a cru devoir distinguer, et qu'il a même proposé sous le nom de vibrations tournantes, comme pouvant aider à déterminer le reste des mouvemens dont les plaques élastiques sont susceptibles (V. T. d'acoustique N.o 84 \(\ldots\) 87 et N.o 98)

D'après la théorie, il est clair que les vibrations tournantes ne diffèrent des autres vibrations des plaques comprises En tête, au milieu, « (65) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 232 ». Le feuillet couvre les deux tiers supérieurs de la vue. La première ligne achève la phrase de la vue 472 (« deux lignes nodales parallelles: / l'une à l'axe des x »). Après « celui des y », le point-virgule est surchargé par « et ». La troisième ligne est barrée entière ; seuls « qui est dont » et « être le » s'y lisent, le reste avec doute ou pas du tout. « Le son est » et « parconséquent » sont barrés, et « le son doit être » écrit au-dessus. « (V. N.o 4) » renvoie à un paragraphe qui n'est pas dans ce lot. « et » est barré devant « conformement », « ne » devant « doit » ; « donc » est écrit au-dessus de « doit y avoir ». « Parconséquent » est barré en tête de ligne. Le 4 de « 74a », « \(m=4\) », « 4 lignes » et « N.o 84 » est tracé comme un « h ». « vibrations tournantes » est souligné les deux fois. Les points de suspension de « N.o 84 \(\ldots\) 87 » sont les siens. La phrase se poursuit à la vue suivante.

474

dans l'intégrale (D) qu'en ceque elles ne sont composées les surfaces auxquelles elles appartiennent n'ont qu'une seule periode dans le sens des \(x\), période qui pour les plaques dont les extrêmités [côtés] sont libres, est composée de deux demies periodes reunies dans la ligne de repos parallelle à l'axe des \(\underline{y}\). Cette difference n'est pas analytiquement importante; cependant j'aurai occasion[ de remarquer], en traitant dela comparaison entre les sons d indiqués par la théorie et les sons donnés par l'experience, que le cas des vibrations tournantes présente une singularité digne d'attention.

Pour la fig. 68.a \(m=2\) \(n=2\); Conformement à l'experience il doit donc y avoir 2 lignes nodales parallelles à l'axe des \(\underline{x}\), et deux lignes nodales parallelles à l'axe des \(\underline{y}\). Le son doit être proportionnel au nombre \(m^2+n^2=8\).

Pour la fig. 71 a \(m=2\), \(n=3\); Conformement àl'expérience il doit y avoir 2 lignes nodales parallelles à l'axe des \(\underline{x}\) et 3 lignes nodales parallelles à l'axe des \(\underline{y}\) Le son doit être proportionnel aunombre \(m^2+n^2=13\).

Pour la fig. 75a \(m=3\) \(n=3\). Conformement à l'expérience, il doit donc y avoir 3 lignes nodales parallelles à chacun des axes \(\underline{x}\) et \(\underline{y}\). Le son doit être proportionnel au nombre \(m^2+n^2=18\) En tête, au milieu, « (66) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 473. La première ligne achève la phrase de la vue 473 (« ne diffèrent des autres vibrations comprises / dans l'intégrale (D) »). L'étiquette de l'intégrale est la même capitale empâtée qu'à la vue 472, lue « D ». « elles ne sont » et « composées » sont barrés d'un même trait. « extrêmités » est barré et « côtés » écrit au-dessus. « de remarquer, » est écrit au-dessus de « occasion, en » ; après « les sons », une lettre commencée est barrée. « vibrations tournantes » est souligné. Les numéros de figures sont ceux du traité de Chladni ; dans « 68.a », « 71 a », « 75a », les chiffres sont nets. Dans « \(m=3\) \(n=3\) », le 3 est à queue courte. Le texte s'arrête ici, au bas du feuillet, sans point ; la page suivante (vue 475) reprend sur un alinéa nouveau.

475

Pour la fig. 80a \(m=3\), \(n=4\). Conformement àl'experience, il doit donc y avoir 3 lignes nodales parallelles à l'axe des \(\underline{x}\), et quatre ligne nodales parallelles à l'axe des \(\underline{y}\). Le son doit être proportionnel au nombre \(m^2+n^2=25\).

Pour la fig. 81a. \(m=2\) \(n=5\). Conformement à l'experience, il doit donc y avoir 2 lignes nodales parallelles à l'axe des \(\underline{x}\), et 5 lignes nodales parallelles à l'axe des \(\underline{y}\). Le son doit être proportionnel au nombre \(m^2+n^2=29\).

Enfin pour la fig. 82. \(m=4\). \(n=4\). Conformement àl'experience, il doit donc y avoir 4 lignes nodales parallelles à chacun des axes \(\underline{x}\) et \(\underline{y}\). Le son doit être proportionnel au nombre \(m^2+n^2=32\).

Je vais m'occuper àprésent des valeurs de \(\underline{z}\) qui donnent lieu à l'existence de figures nodales plus compliquées que celles qui sont renfermés dans appartiennent ala formule (D)

N.o 14 Les intégrales (E) et (F) N.o 4 contiennent, outre le facteur dépendant dela periodicité, un autre facteur, sous forme de série; duquel lequel détermine la figure nodale comprise dans chaque periode ou parties de periode. Dans ce facteur, les constantes \(a'\), \(b'\), \(A'\) et \(B'\) sont independantes entr'elles, desorte que, pourvu qu'on ne fasse pas àlafois \(a'=0\), \(b'=0\) ou \(A'=0\), \(B'=0\), suppositions qui donneroient \(z=0\)., on peut imaginer entre ces constantes telle relation qu'il plaira de supposer. Il est clair que la figure nodale comprise dans chaque En tête, au milieu, « (67) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 233 ». Le feuillet est collé bas sur sa feuille de montage : le premier tiers de la vue est blanc. La page commence sur un alinéa nouveau, à la suite de la série de figures de la vue 474. Dans « 80a », le 8 est surchargé. « ligne nodales » : le « s » manque, ou n'a pas été tracé. Dans la dernière égalité, \(m^2+n^2=32\), l'exposant de \(m\) est à peine formé. « renfermés dans » est barré. L'étiquette de la formule est la capitale empâtée des vues 472 et 474, lue « D ». Le paragraphe est numéroté « N.o 14 », à la suite du N.o 13 de la vue 469 ; le 4 est tracé comme un « h », comme dans « N.o 4 » à la même ligne. « duquel », lu avec doute, est surchargé par « lequel ». Le « s » de « parties » est barré. Dans « donneroient », la fin est surchargée. Après « ces constantes », un mot surchargé plusieurs fois se lit avec doute « telle ». \(A'\) et \(B'\) sont des capitales droites, distinctes de la capitale cursive de la vue 461. La phrase se poursuit à la vue suivante.

476

période, dépendra dela relation établie entre les constantes \(a'\), \(b'\), \(A'\) et \(B'\): mais les sons seront aucontraire indépendans de cette relation. Ainsi on voit qu'ici, comme dans les cas renfermés dans l'intégrale (C), plusieurs figures différentes peuvent rendre un seul et même son.

Pour les cas qui appartiennent à l'intégrale (E), le son est proportionnel au nombre \((\Pi-1)(m^2+n^2)\) (V. N.o 4). ainsi, en prenant \(\Pi=1-p^2\), et observant que, en general dans les formules qui expriment les sons, tant dans la présente intégrale (E) que dans les suivantes, \((\Pi-1)\) vient [vient] de \(\sqrt{(\Pi-1)}^2\), et qu'on [et] [parconséquent] peut changer le signe de \((\Pi-1)\) [ce nombre] on voit qu'en prenant \(\Pi=1-p^2\), le son devient proportionnel au nombre \(p^2(m^2+n^2)\) et qui ce nombre est dela même forme que celui auquel [qui exprime] les sons qui appartenant aux manières de vibrer renfermés dans l'intégrale (D)

Demême, pour les cas qui appartiennent à l'intégrale (F), le nombre \(m^2(\Pi+\Pi'-2)\) auquel le son est proportionnel, devient[,] en prenant \(\Pi=1-p^2\), \(\Pi'=1-q^2\) et changeant les signes, \(m^2(p^2+q^2)\), en prenant \(\Pi=1-p^2\), \(\Pi'=1-q^2\) et changeant les signes. On voit donc que le son est alors proportionnel à un nombre de même forme que celui pour les cas renfermés dans l'intégrale (D) En tête, au milieu, « (68) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 475. La première ligne achève la phrase de la vue 475 (« la figure nodale comprise dans chaque / période, dépendra »). La lettre des formules des sons est un grand \(\Pi\) aux jambages hauts, rendu \(\Pi\) et \(\Pi'\) comme au lot 21 (vues 407–413), où l'intégrale (E) donne le son proportionnel à « \(\Pi-1\) » ; elle se distingue du \(\pi\) des sinus des vues 469–472. « (V. N.o 4) » : le 4 est tracé comme un « h ». « prenant \(\Pi=1-p^2\), et » est barré ; après « que », « , en general » est barré. Après « \((\Pi-1)\) », un mot est surchargé et barré, et « vient » est écrit au-dessus. Devant « peut », « et qu'on » est barré, et « et » puis « parconséquent » sont écrits au-dessus. « \((\Pi-1)\) » est barré après « le signe de », et « ce nombre » écrit au-dessus. « et » et « ce nombre » sont barrés dans la ligne « au nombre \(p^2(m^2+n^2)\) … » ; « auquel » est barré et « qui exprime » écrit au-dessus ; « qui » est barré devant « appartenant », dont la fin est surchargée. L'étiquette de l'intégrale, deux fois à la fin des alinéas, est la capitale empâtée des vues 472–475, lue « D ». Devant « devient », un signe d'insertion en forme de virgule est écrit sous la ligne. « en prenant … changeant / les signes, » est barré sur deux lignes et récrit après « \(m^2(p^2+q^2)\) ». Devant « pour les cas », un mot court, lu avec doute « celui », est barré. Le texte s'arrête ici, au bas du feuillet, sans point ; la page suivante reprend sur un alinéa nouveau.

477

Si dans l'intégrale (E) on fait \(\Pi=1-p^2\), et que l'on prenne fasse ala fois \(b'=0\) et \(B'=0\), ou \(a'=0\) et \(A'=0\)[, suivant que \(p\) est pair ou impair], nonseulement les sons appartenans aux manières devibrer renfermés dans cette intégrale seront exprimés par les mêmes nombres que dans [lorsqu'il s'agit de] l'intégrale (D), mais encore ces deux formules deviendront identiques. équivalentes. identiques

En effet [si dans] le facteur \(\text{sin}.\left(\frac{\pi nx}{A}\right)\left\{\text{cos}\left(\frac{\pi nx}{A}\right) + \frac{4-p^2}{2.3}\text{cos}^3\left(\frac{\pi nx}{A}\right) + \frac{(4-p^2)(16-p^2)}{2.3.4.5}\text{cos}^5\left(\frac{\pi nx}{A}\right)\right.\) \(\left. + \&c\right\}\) on change sin. en cos. et vice versa c'est adire, si on [l'on] met \(\underline{\frac{1}{2}A-x}\) àla place de \(\underline{x}\), on trouvera, après avoir multiplié par la constante \(p\), que le facteur, soit même facteur ne sera autre chose que l'expression de \(\text{sin}\left(\pi.\frac{n.px}{A}\right)\) donnée par la formule P. 143 des leçons sur le calcul des fonctions [éd.] in.8 an 1806.

et demême si dans le facteur \(\text{sin}\left(\frac{\pi nx}{A}\right)\left\{\frac{2}{1-p^2} + \text{cos}^2\left(\frac{\pi nx}{A}\right) + \frac{9-p^2}{3.4}\text{cos}^4\left(\frac{\pi nx}{A}\right) + \&c\right\}\) on change \(x\) en \(\underline{\frac{1}{2}A-x}\) et que l'on multiplie par la constante \(\frac{1-p^2}{2}\) on trouvera qu'il n'est autre chose que l'expression de \(\text{cos}\left(\pi.\frac{npx}{A}\right)\) donnée P. 143 des leçons.

On aura donc alors \(z = \ldots\ldots\,\text{sin}.\left(\pi.\frac{npx}{A}\right)\text{sin}\left(\pi.\frac{mpy}{A}\right)\) ou cequi revient au même \(z = \ldots\ldots\,\text{cos}.\left(\pi.\frac{npx}{A}\right)\text{cos}\left(\pi.\frac{mpy}{A}\right)\).

A l'égard de l'intégrale (E), on trouvera également en prenant \(\Pi=1-p^2\), \(\Pi'=1-q^2\), et fesant àlafois \(b'=0\) et \(B'=0\), ou \(a'=0\) et \(A'=0\), qu'elle se réduit à l'une ou l'autre des formes équivalentes. \(z = \ldots\,\text{sin}\left(\pi.\frac{mpx}{A}\right)\text{sin}\left(\pi.\frac{mqy}{A}\right)\) ou \(z = \ldots\,\text{cos}\left(\pi.\frac{mpx}{A}\right)\text{cos}.\left(\pi.\frac{mqy}{A}\right)\). En tête, au milieu, « (69) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 234 », le 4 empâté. La page ouvre un alinéa nouveau, à la suite de la vue 476. Après « on », un mot est surchargé ; la lecture « fait » est offerte avec doute. « prenne » est barré et « fasse » écrit à la suite. « suivant que \(p\) est pair ou impair » est écrit au-dessus de « \(A'=0\), nonseulement ». « dans » est barré et « lorsqu'il s'agit de » écrit au-dessus ; l'étiquette de l'intégrale est la capitale empâtée des vues 472–476, lue « D ». « identiques » est écrit une première fois et barré, puis « équivalentes » est barré et « identiques » récrit à la suite. La lettre des coefficients est le même grand \(\Pi\) qu'à la vue 476 ; celle des sinus et cosinus, le \(\pi\) des vues 469–472. Le « 4 » de « \(4-p^2\) » est tracé comme un « h » ; le premier chiffre du second facteur, « \(16-p^2\) », se lit aussi 9 (« 96 ») et n'est pas sûr. « si dans » est écrit au-dessus de « En effet ». « on » est surchargé par « l'on ». « vice versa », « \(\frac{1}{2}A-x\) » (deux fois) et « \(x\) » sont soulignés ; « des leçons sur le calcul des fonctions in.8 an 1806 » est souligné, et « des leçons » à la ligne « donnée P. 143 ». Au-dessus de « in.8 », deux lettres suivies d'un point sont lues avec doute « éd. ». Le « P » de « P. 143 » est empâté la première fois, et tracé comme un 8 la seconde. « facteur, » et un mot court lu avec doute « soit » sont barrés avant « même facteur ». Dans « cos.(…)cos », à la ligne « au même », le premier « cos » est écrit sur un « sin ». Dans la dernière formule, le second « cos » est écrit sur un autre mot, et « équivalentes » a sa fin surchargée. Les points de suspension des formules sont les siens. Le dernier alinéa porte « l'intégrale (E) », nettement ; les deux constantes \(\Pi\), \(\Pi'\) et le nombre \(m^2(\Pi+\Pi'-2)\) de la vue 476 sont ceux de l'intégrale (F) : le texte est gardé tel qu'il est écrit. Le texte s'arrête ici, aux deux tiers de la vue, sur un point.

478

Pour tout autre supposition que celles qui ramenent à l'intégrale (D), les séries contenus dans les intégrales (E) et (F) ne se terminent pas; et il faudroit [donc] calculer àpart chaque cas, pour déterminer la figure qui lui convient. Mais Cependant les valeurs de \(\Pi\) et \(\Pi'\) feront connoître tout de suite le nombre des lignes nodales qui devront composer ces figures, Mais je ne m'arreterai pas à ces considérations. et je me bornerai, après avoir présenté quelques unes des conséquences générales dela forme des intégrales (E) et (F) Il me suffira d'avoir présenté quelques unes des conséquences générales dela forme des intégrales (E) et (F), et je passerai à l'examen de l'intégrale (G) qui présente est susceptible , dans certains cas, d'une application indépendante de tout calcul.

N.o 15. Si dans l'équation (G) on fait \(a''=0\), \(b''=0\), \(A''=0\) et \(B''=0\), elle se réduira à l'équation (F). Ce cas est le seul où la même équation (G) puisse devenir identique à l'intégrale (D).

Si aucontraire, dans l'intégrale (G) on fait \(a'=0\), \(b'=0\) \(A'=0\) et \(B'=0\), \(z''\) sera la somme de deux fonctions séparées des variables \(\underline{x}\) et \(\underline{y}\); desorte que [et] tandis que En tête, au milieu, « (70) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 477. La page ouvre un alinéa nouveau. L'étiquette « (D) », deux fois, est la capitale empâtée des vues 472–477. « et » est barré devant « il faudroit » ; « donc » est écrit au-dessus. « Mais » est barré en fin de ligne, puis une seconde fois après « ces figures, ». Les trois lignes « et je me bornerai … (E) et (F) » sont barrées et récrites à la suite, sous une autre tournure. « présente est » est barré devant « susceptible » ; la virgule qui suit est reportée en tête de la ligne suivante. Le paragraphe est numéroté « N.o 15 », le 5 à queue descendante ; il suit le N.o 14 de la vue 475. Les capitales \(A''\), \(B''\), \(A'\), \(B'\) ont les accents écrits au-dessus d'une capitale droite. La lettre avant « sera la somme » est un \(z\) muni de deux traits, lu \(z''\). « \(x\) » et « \(y\) » sont soulignés. « desorte que » est barré et « et » écrit au-dessus. La phrase se poursuit à la vue suivante.

479

\(z'\) satisfera a la condit. l'équation \(\frac{ddz'}{dx^2} = \frac{n^2}{m^2}.\frac{ddz'}{dy^2}\), \(z''\) remplira la condition \(\frac{ddz''}{dx\,dy}=0\).

Si on veut appliquer l'intégrale (G) ainsi réduite, au cas où les côtés dela plaque quarrée sont libres en vertu des conditions \(\frac{dz}{dx}=0\) et \(\frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dx}=0\) ou \(\frac{dz}{dy}=0\) et \(\frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dy}=0\) on trouvera qu'il faut encore faire \(a''=0\) et \(A''=0\). [car sans cette condition, elle ne conviendroit qu'aux plaques dont les côtés seroient appuyés.] Cela posé, en prenant \(\Pi''=1-9\), l'équation (G) deviendra \[ z = \ldots\,\text{sin}\left(\frac{\pi mx}{A}\right).\,\text{sin}\left(\frac{\pi my}{A}\right)\left\{b\,\text{cos}^2\left(\frac{\pi mx}{A}\right) + B\,\text{cos}^2\left(\frac{\pi my}{A}\right) - \frac{(b+B)}{4}\right\} \]

Parmi les figures observées par M^r Chladni celles qui doivent être rapportées à cette intégrale sont les fig. 69, 70, 87a, 87b, 88a et 88b.

Pour la fig. 69. \(m=1\), \(b=-B\) conformement àl'experience, il doit y avoir outre les deux lignes nodales dependantes du facteur periodique deux autres lignes nodales diagonales dépendantes du facteur \(\text{cos}^2\left(\frac{\pi x}{A}\right) - \text{cos}^2\left(\frac{\pi y}{A}\right) = 0\).

Pour la fig. 70. \(m=1\); mais il existe entre \(b\) et \(B\) une nouvelle relation que je n'aurois pû déterminer qu'en répétant l'experience et examinant avec soin la fig. la mesurant et mesurant avec exactitude la distance détermi tenant compte dela distance valeur de \(x\) et de \(y\) [pour les] aux points [de limites] auxquels comme se terminent aux par […] limites de la plaque quarrée les quatre lignes nodales qui remplacent ici les qu systême des deux diagonales nodales.

Tout ce que l'on peut voir sans calcul, est que, si p lorsque l'on aura ni \(b=-B\), ni \(b=0\) ou \(B=0\), la figure nodale devra être composée de quatre lignes nodales placés à une distance En tête, au milieu, « 71 », sans parenthèses, barré d'un trait ; en haut à droite, à l'encre, « 235 ». Le feuillet est collé bas sur sa feuille de montage : le premier tiers de la vue est blanc. La première ligne achève la phrase de la vue 478 (« et tandis que / \(z'\) satisfera ») ; « a la condit. » y est barré. La ligne « car sans cette condition, elle ne conviendroit qu'aux plaques dont les côtés seroient appuyés. » est écrite en plus petit dans l'interligne, au-dessus de « Cela posé », sans signe d'appel ; son dernier mot passe au bord du feuillet et n'en montre que « app- ». « \(\Pi''=1-9\) » est écrit tel quel ; la lettre est le grand \(\Pi\) des vues 476–478. Les capitales \(A''\), \(B\) sont droites. Les points de suspension des formules sont les siens. Les numéros de figures sont ceux du traité de Chladni. Dans « du facteur » (ligne des diagonales), la fin de « du » est surchargée. À la fig. 70 : « et » est barré en fin de ligne ; « la mesurant et » et, à la ligne suivante, « mesurant avec exactitude la distance détermi » sont barrés ; « distance » est barré en tête de la ligne suivante, « et » est barré entre \(x\) et « de \(y\) » ; « aux » est barré et « pour les » écrit au-dessus, « de limites » au-dessus de « points auxquels » ; « comme » est barré devant « se terminent ». La ligne « aux par … limites de la plaque quarrée » est barrée entière ; un mot court y est surchargé et ne se lit pas. « les » est corrigé en « le », suivi d'un « qu » barré, devant « systême ». Devant « lorsque », « si » et une lettre, lue avec doute « p », sont barrés. « nodales » est barré devant « placés ». La phrase se poursuit à la vue suivante.

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de l'origine, dépendante dela relation particulière établie entre \(b\) et \(B\). En effet, si on fait, par exemple, \(\text{cos}\left(\frac{\pi y}{A}\right)=0\), une ligne nodale commencera sur le côté parallelle à l'axe des \(\underline{y}\) lorsque l'équation \(\text{cos}^2\left(\frac{\pi x}{A}\right) = \frac{b+B}{4b}\) [sera satisfaite]; et comme les deux angles qui diffèrent entr'eux de \(\pi\) dont la somme on a une même valeur de \(\underline{x}\) de part et d'autre de l'axe des \(\underline{y}\), et que les valeurs négatives de \(\underline{x}\) prises de part et sont pareillement doubles, il est clair que l'on a quatre [aura] points qui satisfont àla même condition. On verra également que la condition \(\text{cos}^2\left(\frac{\pi y}{A}\right) = \frac{b+B}{4B}\) sera [pourra être] remplie par quatre autres points pris sur le côté parallelle à l'axe des \(\underline{x}\).

Lorsque \(b=-B\), les points qui satisfont aux conditions \(\text{cos}^2\left(\frac{\pi x}{A}\right)=0\), et \(\text{cos}^2\left(\frac{\pi y}{A}\right)=0\) se confondent, et il ne doit y avoir, comme il n'y a en effet, que deux lignes nodales diagonales. [Lorsqu'une des conditions sera impossible, cequi doit arriver toutes les fois que [c'est adire lorsque] \(b\) et \(B\) seront de signes differens sans que leur somme soit nulle; et aussi lorsque [l'un des coëfficiens sera \(<\) que le tiers de l'autre] B par exemple sera \(>\) que 3b, il ne devra y avoir que deux lignes nodales sinueuses dans une direction parallelles à un des axes. Lorsque \(b=0\) ou \(B=0\) il n'existe qu'une seule condition Lorsque l'un des coëfficiens \(b\) ou \(B\) sera nulle, ces lignes seront de simples droites. elles passeront par la suite des points qui rempliront l'une des deux conditions \(\text{cos}\left(\frac{\pi.x}{A}\right)=\frac{1}{2}\), ou \(\text{cos}\left(\frac{\pi.y}{A}\right)=\frac{1}{2}\); et il ne doit y avoir que deux lignes nodales parallelles c'est adire qu'elles se trouveront distantes du côté le plus proche de la plaque auquel elles seront parallelles, d'un tiers de l'intervalle entre cette extremité et l'origine. ne […] des axes. Les lignes dont il s'agit serviront rempliront les conditions des lignes fictives que j'ai emploiées dans l'application de l'intégrale (C), car, en les supposant tracés, elles serviront d'axes aux lignes sinueuses qui passeront par leurs intersections. desorte que ces intersections seront de véritables lignes points invariables de repos.]

Dans tout autre cas+ il y aura nécessairement quatre lignes nodales de direction plus ou moins inclinés à l'un et l'autre des axes. [+ c'est adire lorsque les deux equations \(\text{cos}^2\left(\frac{\pi x}{A}\right) = \frac{b+B}{4b}\), \(\text{cos}^2\left(\frac{\pi y}{A}\right) = \frac{b+B}{4B}\) seront satisfaites.] En tête, au milieu, « (72) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 479. La première ligne achève la phrase de la vue 479 (« placés à une distance / de l'origine »). Dans la première formule, une lettre empâtée précède \(y\) au numérateur, et le dénominateur \(A\) est surchargé. « l'équation » est barré ; « sera satisfaite » est écrit au-dessus de la fraction, d'une plume qui la raye en partie. Dans « \(\text{cos}^2(\pi x/A)\) » de la même ligne, une lettre est noircie entre \(\pi\) et \(x\). La ligne « les deux angles qui diffèrent entr'eux de \(\pi\) dont la somme » est barrée entière. « de part et » est barré en fin de ligne ; « a quatre » est barré et « aura » écrit au-dessus, sans que « quatre » soit récrit. « satisfont » est écrit sur une autre fin de mot ; « sera » est barré et « pourra être » écrit au-dessus. Le long passage donné ici en addition, de « Lorsqu'une des conditions » à « invariables de repos », est écrit d'une plume plus fine et d'une écriture plus petite, d'abord dans l'interligne après « diagonales. », puis sur les lignes laissées libres au bas de la page et, pour sa fin (« qui passeront par leurs intersections. desorte que ces intersections seront de véritables points invariables de repos. »), dans la marge de gauche, face à « Dans tout autre cas » ; il est donné ici d'un seul tenant, dans l'ordre où la syntaxe le lit. « sera » est surchargé devant « impossible » ; « cequi doit arriver toutes les fois que » est barré, et « c'est adire lorsque » écrit au-dessus. Le groupe barré après « lorsque », sous « l'un des coëfficiens sera < que le tiers de l'autre », est lu avec doute ; « une » est barré devant « direction ». Dans « \(\text{cos}(\pi.x/A) = \frac{1}{2}\) ; ou \(\text{cos}(\pi.y/A) = \frac{1}{2}\) », les fractions sont petites et mal formées ; la lecture \(\frac{1}{2}\) est offerte d'après la suite (« d'un tiers de l'intervalle »), non d'après un calcul. Dans la ligne barrée après « l'origine », un mot entre « ne » et « des axes » ne se lit pas. « serviront » est barré devant « rempliront » ; « lignes » est barré devant « points ». Le grand D de « Dans tout autre cas » est écrit sur le début de « qui passeront » de l'addition. L'appel « + » après « cas » renvoie à la note « + c'est adire lorsque … seront satisfaites. », écrite en petit sous la ligne. Dans « y aura », la fin est surchargée. « des » est surchargé et barré devant « axes ». Le texte s'arrête ici, aux deux tiers du feuillet, sur un point : la fin d'un alinéa, peut-être d'une section ; la suite n'est pas dans ce lot.