Français 9115 · lot 25 · vues 481–500 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
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Numérotation des feuillets. Chaque page de ce brouillon porte en tête, au milieu, sa pagination : (73) et (74) aux vues 481 et 482, (75) à (79) aux vues 485 à 489, 80 à la vue 490, (81) à (85) aux vues 491 à 495, 86 à la vue 496, (87) à (90) aux vues 497 à 500, sans lacune ; 80 et 86 sont écrits sans parenthèses ; (73), (75) et (77) sont barrés d'un trait. Les feuillets sont écrits des deux côtés, et seul le côté de pagination impaire porte en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, un nombre de la série qui court dans tout le volume : 236 (vue 481), 238 (485), 239 (487), 240 (489), 241 (491), 242 (493), 243 (495), 244 (497), 245 (499) ; le petit feuillet de calculs de la vue 483 porte 237. Cette série numérote des feuillets et non des pages, et elle compte le petit feuillet ; elle occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au crayon, et aucun « f. » n'est donc porté. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. La vue 484 est le dos blanc de la feuille qui porte le feuillet de la vue 483 ; elle n'est pas transcrite.

481

On voit donc que la théorie est parfaitement d'accord avec l'experi- ence sur la disposition des lignes nodales qui composent la fig 70.

Les tons [qui accompagnent] des fig. 69 et 70 doivent être proportionnels au nombre \(-m^{2}(\Pi''\,\ill{}\,2) = 10\). [+ dorenavant je changerai le signe des \(\Pi\).]

Pour la fig. 87 b \(m = 2\) \(b = -B\). Conformement à l'experience, il doit y avoir outre les quatre lignes nodales dépendantes du facteur periodique lesquelles forment entre elles quatre intersections qui sont comme on sait autant de points d'origine; et parceque les quatre intersections formés par ces lignes, sont, comme on sait, autant de points d'origine; le facteur \(\text{cos}^{2}\frac{(\pi.2x)}{A} - \text{cos}^{2}\frac{(\pi.2y)}{A}\) doit donner, comme il donne en effet, deux lignes nodales diagonales passant par chacun de ces points. Parmi les lignes nodales diagonales, il y en a deux qui passent chacune par deux des points d'origines; de sorte que leur nombre se réduit a six; les quatre autres forment un quarré parfait comme le montre la figure donnée par M^r Chladni

Pour les fig. 87 a et 88 a \(m = 2\). mais la relation entre \(b\) et \(B\) donne lieu, comme je l'ai expliqué à l'occasion de la fig 70, la relation entre \(b\) et \(B\) donne lieu à la formation de lignes sinueuses. Ces fig. renferment deux périodes complettes dans le sens des deux axes: ainsi il doit y avoir, comme il y a en effet, quatre lignes sinueuses; et chacune de ces lignes devant passer par quatre points invariables de repos, elle doit montrer eprouver, comme l'experience l'a montré, deux flexions complettes. c'est aussi ceque l'experience adonné comme le montrent les fig dont il s'agit. En tête, au milieu, « (73) » barré d'un trait ; en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, « 236 ». La lettre à hautes jambes suivie de deux traits, dans « \(-m^{2}(\Pi''\,\ill{}\,2)\) », est la même qu'aux vues 485 et suivantes (« \(\Pi'' = 1 - 25\) au lieu de \(\Pi'' = 1 - 9\) ») ; on la note \(\Pi''\) comme les lots précédents, pour la distinguer du \(\pi\) des cosinus. Le signe entre \(\Pi''\) et le 2 est noyé sous une tache d'encre ; le moins qui précède \(m^{2}\) est lié au mot « nombre » par un trait de plume, comme à la vue 485 ; le signe d'égalité qui suit est repassé en un trait épais. La remarque « + dorenavant je changerai le signe des \(\Pi\). », à la suite de « 10. » sur la même ligne, est d'une plume plus fine ; la croix qui l'ouvre est la sienne ; après « des » vient un signe à deux jambages, semblable à son \(\Pi\) mais qu'on pourrait lire « 17 », suivi d'un tiret. Les deux passages donnés pour barrés (« outre les », « lesquelles forment … d'origine ») sont traversés par des traits qui coupent les mots à mi-hauteur, distincts des traits de liaison de sa main ; le second est repris aussitôt, presque mot pour mot, par « et parceque les quatre intersections … ». Dans les deux cosinus, le 2 devant \(x\) est écrit sur un autre chiffre ; le \(\pi\) est son \(\pi\) à hautes jambes. Le bas de la page est blanc.

482

Pour la fig. 88 b. \(m = 2\). La relation entre \(b\) et \(B\) permet de remplir les deux conditions \(\text{cos}^{2}\frac{(\pi.2x)}{A} = \frac{b+B}{4b}\) et \(\text{cos}^{2}\frac{(\pi.2y)}{A} = \frac{b+B}{4B}\). ainsi il doit y avoir, comme il y a en effet, 4 lignes nodales dependantes du fa. autour de chaque point d'origine 4 lignes nodales dependantes du facteur \(\text{cos}^{2}\frac{(\pi.2x)}{A} - \text{cos}^{2}\frac{(\pi.2y)}{A} = 0\); et parceque cette fig. renferme comme les précédentes 2 periodes complettes prise dans le sens des deux axes, ce qui fait en tout 4 periodes puisque chacune est prise deux fois, il doit y avoir 16 lignes dues à ce facteur. Il est clair que quatre d'entre elles doivent former une courbe rentrante autour du centre dela figure, et que deux seulement doivent finir dans les periodes complettes dans le sens d'un des axes et moitié de periodes dans l'autre sens parties delafigure qui sont a 2 limites et ne sont composées parconséquent que d'une demie periode dans le sens d'un axe, quoiqu'elles renferment une periode complette dans le sens de l'autre axe.

Tout ceque je viens de dire, est indépendant des valeurs particul[ières] de \(b\) et \(B\), et se trouve parfaitement d'acord avec l'experience dans le cas de la fig 88 b. je serois même tenté de croire que cette fig est due à la relation \(b = B\): car alors \(\text{cos}\frac{(\pi.2x)}{A}\) et \(\text{cos}\frac{(\pi.2y)}{A}\) seroient egaux entre eux, et à \(\sqrt{\tfrac{1}{2}}\): cequi donneroit des lignes nodales semblement [semblablement] situées par rapport à l'un et l'autre des axes, d'une courbure uniforme dans leur deux moitiés, et dont l'origine seroit à lamoitié En tête, au milieu, « (74) », non barré, le 4 repassé ; aucun nombre en haut à droite. Au-dessous de « effet, » un petit signe, peut-être un renvoi, sans note qui lui réponde. Le « 4 » qui ouvre la cinquième ligne est tracé d'un seul trait qui le traverse, comme son 4 ailleurs. Dans « delafigure », une petite croix sur la finale annule un pluriel ; dans « a 2 limites », le 2 est suivi d'une boucle qui peut être un s. Le mot « particul[ières] » est coupé au bord du feuillet, la fin passant sous le montage. « semblement » est barré et « semblablement » écrit au-dessus. La phrase s'arrête au bas de la page sur « à lamoitié » ; elle reprend à la vue 485, page (75), après le feuillet de calculs de la vue 483 et la vue 484.

483

\[ \frac{\struck{1+d.}}{\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{R'}\right)}^{2} = -\frac{h}{k^{3}} \] […]

[…] \[ = \frac{-\left(1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}\right)\frac{ddz}{dx^{2}} + 2.\frac{dz}{dx}.\frac{dz}{dy}.\frac{ddz}{dxdy} - \left(1+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right)\frac{ddz}{dy^{2}}}{\sqrt{(1+p^{2}+q^{2})^{3}}} \] \[ \frac{ds}{\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{R'}\right)^{2}} = -\frac{\left\{\left(1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}\right)\frac{ddz}{dx^{2}} - 2.\frac{dz}{dx}.\frac{dz}{dy}.\frac{ddz}{dxdy} + \left(1+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right)\frac{ddz}{dy^{2}}\right\}^{2}dxdy}{1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}} \] \[ \iint\delta.\frac{ds}{\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{R'}\right)^{2}} = 2\frac{\left\{\left(1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}\right)\frac{ddz}{dx^{2}} - 2.\frac{dz}{dx}.\frac{dz}{dy}.\frac{ddz}{dxdy} + \left(1+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right)\frac{ddz}{dy^{2}}\right\}}{1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}} \] \[ \frac{\begin{array}{l} \ill{}\left(1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right)\left\{2.\frac{dz}{dy}.\frac{\delta dz}{dy}.\frac{ddz}{dx^{2}} - 2\frac{dz}{dx}.\frac{\delta.dz}{dy}.\frac{ddz}{dxdy}\right. \\ \quad \left. + 2.\frac{dz}{dx}.\frac{\delta.dz}{dx}.\frac{ddz}{dy^{2}} - 2.\frac{dz}{dy}.\frac{\delta.dz}{dx}.\frac{ddz}{dxdy}\right\} \\ \quad \left(1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}\right)\frac{dd\delta z}{dx^{2}} - 2.\frac{dz}{dx}.\frac{dz}{dy}.\frac{\delta ddz}{dxdy} \ill{} \left(1+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right)\frac{\delta.ddz}{dy^{2}} \end{array}}{\left\{1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right\}^{2}} \] \[ -\frac{\left\{\left(1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}\right)\frac{ddz}{dx^{2}} - 2.\frac{dz}{dx}.\frac{dz}{dy}.\frac{ddz}{dxdy} + \left(1+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right)\frac{ddz}{dy^{2}}\right\}\left\{2.\frac{dz}{dy}.\frac{\delta dz}{dy} + 2.\frac{dz}{dx}.\frac{\delta dz}{dx}\right\}}{\left\{1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right\}^{2}} \] \[ N = 0 \qquad P = 2\frac{\left\{\left(1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}\right)\frac{ddz}{dx^{2}} - 2.\frac{dz}{dx}.\frac{dz}{dy}.\frac{ddz}{dxdy} + \left(1+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right)\frac{ddz}{dy^{2}}\right\}}{\left\{1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right\}^{3}} \] \[ \begin{array}{l} \underline{\left\{1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right\}}\left\{\underline{2\frac{dz}{dx}.\frac{ddz}{dy^{2}}} - 2\frac{dz}{dy}.\frac{ddz}{dxdy}\right\} - \underline{\left(1+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right).2.\frac{dz}{dx}.\frac{ddz}{dy^{2}}} \\ - 2\left(\frac{dz}{dx}\right)\left(1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}\right).\frac{ddz}{dx^{2}} + 4.\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}.\frac{dz}{dy}.\frac{ddz}{dxdy} \end{array} \] \[ = \dots 2\left\{\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}.\frac{dz}{dx}.\frac{ddz}{dy^{2}} - \left(1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}\right)\left(\frac{dz}{dx}\right)\frac{ddz}{dx^{2}} - \left(1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}-\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right)\frac{ddz}{dxdy}\right\} \] \[ P' = \dots 2\left\{\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}.\frac{dz}{dy}.\frac{ddz}{dx^{2}} - \left(1+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right).\left(\frac{dz}{dy}\right).\frac{ddz}{dy^{2}} - \left(1+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}-\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}\right)\frac{ddz}{dxdy}\right\} \] \[ Q = \dots \left(1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}\right)\frac{ddz}{dx^{2}}.\left(1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right) \] \[ Q' = \dots -2.\frac{dz}{dx}.\frac{dz}{dy}.\frac{ddz}{dxdy}\left(1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right) \] \[ Q'' = \dots \left(1+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right)\left(1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right)\frac{ddz}{dy^{2}} \] Feuillet de calculs sans un mot, plus petit que les pages du mémoire, monté sur une feuille ; en haut à droite, à l'encre, « 237 » ; aucune pagination. Les calculs portent sur la variation d'une intégrale double de \(ds\) divisé par le carré de la somme des courbures \(\frac{1}{R}+\frac{1}{R'}\). À la première ligne, « 1+d. » est écrit et barré au-dessus du trait qui couvre \(\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{R'}\right)\), et l'exposant 2 est placé au-dessus de la parenthèse ; aux lignes suivantes, \(ds\) est écrit de même au-dessus d'un trait : on le donne comme une fraction, sans décider si le trait est une barre de fraction ou un trait de réunion. Les deux lignes qui suivent la première (« \(= -\) … \(+ q^{2}\) … », « \(=\) … \(+\) … ») sont biffées lourdement et illisibles. Dans la grande fraction, le premier signe est une tache d'encre, et le signe entre \(\frac{\delta ddz}{dxdy}\) et \(\left(1+\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right)\) est une autre tache ; dans \(\frac{dd\delta z}{dx^{2}}\) le \(\delta\) est écrit sur une autre lettre, entre les deux \(d\). Les soulignements de la ligne qui suit \(P\) sont les siens. Dans « \(+ 4.\) », le 4 est écrit sur un autre chiffre. Les points de suspension après « \(=\) », « \(P' =\) », « \(Q =\) », « \(Q' =\) », « \(Q'' =\) » sont les siens et tiennent la place d'un facteur omis. Dans la marge de gauche, des essais de plume : deux « 8 », un « m », une petite branche feuillue dessinée, et au bas une rangée de petits « o ». Le bas du feuillet est blanc.

485

dela distance entre le point d'origine du côté compris entre la ligne nodale due au facteur periodique et l'extremités àlaquelle elle est parallele; circonstances qui paroissent d'accord avec la figure trouvée observée par M^r Chladni

Les sons qui accompagnent les figures 87 b, 87 a, 88 a et 88 b, doivent être proportionnels au nombre \(-m^{2}(\Pi''-2) = 40\).

Si en conservant les suppositions précèdantes, on mets fait pourtant \(\Pi'' = 1 - 25\) aulieu de \(\Pi'' = 1 - 9\), l'intégrale (G) deviendra \[ z = \dots \text{sin}\frac{(\pi x m)}{A}\text{sin}\frac{(\pi y m)}{A}\left\{b\left\{\text{cos}^{2}\frac{(\pi.mx)}{A} - \frac{16}{3.4}\text{cos}^{4}\frac{(\pi.mx)}{A}\right\}\right. \] \[ + B\left\{\text{cos}^{2}\frac{(\pi m y)}{A} - \frac{16}{3.4}\text{cos}^{4}\frac{(\pi m y)}{A}\right\} \] \[ \left. - \frac{b+B}{12}\right\} \] desorte qu'en prenant \(m = 1\) \(b = -B\), on auroit \[ z = \dots \text{sin}\frac{(\pi x m)}{A}\text{sin}\frac{(\pi y m)}{A}\left\{\left(\text{cos}^{2}\frac{(\pi x m)}{A} - \text{cos}^{2}\frac{(\pi y m)}{A}\right)\right. \] \[ \left.\left(1 - \frac{4}{3}\left(\text{cos}^{2}\frac{(\pi x m)}{A} + \text{cos}^{2}\frac{(\pi y m)}{A}\right)\right)\right\} \] Il est visible que le facteur \(\text{cos}^{2}\frac{(\pi x m)}{A} - \text{cos}^{2}\frac{(\pi y m)}{A}\) doit comme pour le donner, comme je l'ai dit plus haut, deux lignes nodales diagonales; et l'on voit également que le facteur \(1 - \frac{4}{3}\left(\text{cos}^{2}\frac{(\pi x m)}{A} + \text{cos}^{2}\frac{(\pi y m)}{A}\right)\) devra donner quatre lignes courbes nodales courbes terminées à chaque limite dans les points pour lesquels \(\text{cos}\frac{(\pi x m)}{A}\) et \(\text{cos}\frac{(\pi y m)}{A}\) seront \(= \pm\sqrt{3}.\frac{1}{2}\).

La fig. 79 a. paroit appartenir à ce cas. Le son qui l'accompagne, doit donc être proportionnel au nombre \(-m^{2}(\Pi''-2) = 26\). En tête, au milieu, « (75) » barré d'un trait ; en haut à droite, à l'encre, « 238 ». Le feuillet est collé plus bas que les précédents sur sa feuille de montage, dont le haut est blanc. La première ligne achève la phrase de la vue 482 (« et dont l'origine seroit à lamoitié / du côté compris entre … ») ; ce qui est barré en tête de ligne en était une première suite. « àlaquelle » : l'accent est écrit au-dessus de la ligne. Dans « 40 », le 4 est repassé sur un autre chiffre. La lettre de « (G) deviendra » est une capitale à boucle qui peut se lire G ou 6 ; les intégrales désignées par des lettres, (C) à (I), sont celles des pages du mémoire antérieures à ce lot. Dans la seconde valeur de \(z\), \(\text{sin}\) est écrit avec son s long ; dans « \(\text{cos}\frac{(\pi x m)}{A}\) » de l'avant-dernier alinéa, le \(x\) est écrit sur une autre lettre. Les trois nombres \(-m^{2}(\Pi''-2) = 10\) (vue 481), 40 et 26 s'accordent avec \(\Pi'' = 1 - 9\), \(m = 1\) puis \(m = 2\), et \(\Pi'' = 1 - 25\), \(m = 1\) : c'est une remarque du transcripteur, non de la page.

486

Je ne m'arrêterai pas plus longtems àla recherche des cas renfermés dans l'intégrale (G). Mais je ne puis me dispenser defaire remarquer encore avec quelle étonnante sagacité que M^r Chladni semble avoir […] [deviné] dans des figures composées de lignes dues à un facteur periodique et de lignes provenants d'un facteur different, quelles devoient être celles qu'il étoit parmi les [ces dernieres devoient être] regardées comme equivalantes à des lignes paralleles et susceptibles de plusieurs formes differentes. Cet apperçu est d'autant plus digne d'éloge que ce n'est qu'après des experiences mille fois répétées, avec que cet habile physicien a pû apprendre à demêler, parmi les distortions des figures, celles qui doivent être raportées à quelqu'inégalité physique souvent inappréciable, de celles que la théorie doit expliquer. En effet j'ai vu bien des fois les lignes dues aux facteurs periodiques, se séparer et se courber: mais M^r Chladni s'est bien gardé de […] tenir compte de cet accident; que et malgré l'ignorance où il étoit dela théorie, il a [deviné parmi les distortions qui sembloient être de même nature, qu'elles étoient celles que l'on ne devoit attribuer qu'à quelque inégalité imperfection] senti ne devoit pas être considerée comme une veritable distortion dela figure qui la presentoit mais seulement comme une inégalité tenant a l'imperfection dela plaque vibrante. dela plaque vibrante En tête, au milieu, « (76) », non barré ; aucun nombre en haut à droite. C'est le dos du feuillet de la vue 485 (« (75) », « 238 ») ; le feuillet, collé bas sur sa feuille de montage, est photographié de l'autre côté. Devant « intégrale » une lettre est surchargée. Le mot barré sous « deviné » (deuxième phrase) n'est pas lisible ; de même le groupe barré après « s'est bien gardé de ». Le bas de la page est une réécriture en interligne : les lignes d'origine (« il a senti ne devoit pas être considerée comme / une veritable distortion dela figure qui la presentoit / mais seulement comme une inégalité tenant a l'imperfection / dela plaque vibrante ») sont barrées une à une, et le texte gardé est écrit entre elles ; on donne le texte gardé d'abord, puis les lignes barrées. « dela plaque vibrante » est écrit deux fois, la seconde barrée. Au-dessus de « dela figure » barré, une seconde fois « dela figure », barrée aussi. Le bas du feuillet est blanc.

487

A l'égard de l'intégrale (H), il est aisé de voir que quoique les figures qui pourroient y être rapportées, doivent présenter des lignes droites nodales dans le sens des deux axes, les sons qui accompagneroient ces figures, devroient être proportionels [a des nombres qui suivent entr'eux la même loi que ceux] aux nombres qui conviennent aux differens cas du mouvement dela simple lame dont les extrémités sont appuyées ou de celles dont les extremités seroient libres en vertu des conditions \(\frac{dz}{dx} = 0\) et \(\frac{d^{3}z}{dx^{3}} = 0\).

Il est clair que les séries qui entrent dans l'intégrale (H), ne peuvent jamais se terminer; ainsi il faudroit elle ne peut être d'une application facile: c'est pourquoi que je ne m'y arrêterai pas.

L'intégrale (I) qui appartient aux surfaces qui ne sont périodiques que dans un le sens des \(y\), présente la même singularité que l'intégrale (H), c'est adire que les figur sons qui accompagnent les figures qui s'y rapportent, sont également proportionels aux nombres qui conviennent aux mouvement dela simple lame appuyée à ses deux extrémités.

La série qui entre dans cette intégrale, ne peut non plus jamais se terminer; et il est parconséquent impossible de déterminer les figures qu'elle peut En tête, au milieu, « (77) » barré d'un trait ; en haut à droite, à l'encre, « 239 ». La page commence un nouvel alinéa ; elle ne continue pas une phrase de la vue 486. La lettre des intégrales (H) et (I) est une capitale à deux jambages, qu'on lit H entre le (G) de la vue 485 et le (I) de cette page. L'addition « a des nombres … que ceux » est écrite dans l'interligne au-dessus de « aux nombres », qui est barré. Le \(y\) de « le sens des \(y\) » est souligné. La phrase se poursuit au-delà de cette page, à la vue 488. Le bas du feuillet est blanc.

488

expliquer sans avoir recours au calcul.

Cependant je crois pouvoir assurer que les fig. 79 b et 86 de M^r Chladni doivent être rapportées à cette intégrale dans les suppositions successives. \(m = 5\), \(m = 6\),

En effet, si on fait \(b' = 0\) [\(n = 4\)] et \(m = 5\), l'intégrale (I) donnera deviendra \[ z = \dots \text{sin}\frac{(\pi x)}{A}\left\{a'\text{cos}\frac{(\pi x)}{A}\left\{1 - \frac{10}{3}\text{cos}^{2}\frac{(\pi x)}{A} + \frac{4}{3}\text{cos}^{4}\frac{(\pi x)}{A} + \&c.\right\} + \mathcal{A}\text{sin}\frac{(\pi 5.y)}{A}\right\}; \] le facteur \(\text{sin}\frac{(\pi x)}{A}\) donnera dabord une ligne nodale parallelle à l'axe des \(y\); et cette ligne passera par le milieu dela plaque dont les extrémités sont libres, à ses deux limites parallelles, [a la ligne nodale] on aura \(\text{cos}\frac{(\pi x)}{A} = 0\), desorte que ce facteur fournira à lui seul deux points de repos; lorsque \(\text{sin}\frac{(\pi 5 y)}{A}\) sera \(= 0\), et il est a lorsque l'on trouvera [Donnés par l'intersection] des deux figures nodales dues aux suppositions successives que j'ai déja nommé points de repos invariables, [\(a' = 0\) et \(\mathcal{A} = 0\).] le facteur \(1 + \frac{4}{3}\text{cos}^{4}\frac{(\pi x)}{A} + \&c \ill{} \frac{10}{3}\text{cos}^{2}\frac{(\pi x)}{A}\) donnera aussi 2 points de repos invariables, puisqu'il y a deux valeurs de \(\text{cos}\frac{(\pi x)}{A}\) qui peuvent le rendre nul.

Cela posé, il devra y avoir deux flexions complettes sur les lignes sinueuses qui composeront la figures. La fig 79 b est en effet conforme à ces conditions: mais tandis qu'elle devroit montrer 5 lignes sinueuses, parall si la relation entre \(b'\) et \(\mathcal{A}\) étoit lamême pour les deux moitiés dela plaque, il se trouve que les trois lignes inferieures sont remplacées par une autre figure nodales que je crois equivalantes. Avant je ne presente cette explication En tête, au milieu, « (78) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 487 (« (77) », « 239 »). La première ligne achève la phrase de la vue 487 (« les figures qu'elle peut / expliquer … »). « \(n = 4\) » est écrit au-dessus de la ligne, entre « \(b' = 0\) » et « et ». Le coefficient \(\mathcal{A}\) est la capitale bouclée que le lot 22 a notée ainsi ; \(a'\) porte son accent. Dans « libres, à ses deux limites », le « à » est une capitale repassée sur une autre lettre, et « libres » est repassé. L'addition « a la ligne nodale » est serrée en bout de ligne, au bord du feuillet. Le mot qui ouvre l'interligne « … par l'intersection » est surchargé et paraît barré. Dans le second facteur, le signe entre « &c » et \(\frac{10}{3}\) est noyé sous une tache ; « deux » dans « à lui seul deux points » porte au-dessus un petit astérisque sans renvoi. « entre \(b'\) et \(\mathcal{A}\) » : la lettre porte un accent et ressemble au \(b\) de la ligne « \(b' = 0\) » ; le sens voudrait peut-être \(a'\), que la page ne donne pas. « la figures », « une autre figure nodales … equivalantes » sont écrits ainsi. La dernière ligne est barrée. Le bas du feuillet est blanc.

489

Si on fait ensuite [continuant de] \(b' = 0\), \(n' = \uncertain{1}\) on et [prend] \(m = 6\), l'équation (I) deviendra \[ \struck{z = \dots \text{sin}\frac{(\pi x)}{A}\left\{b'\left\{\text{cos}^{2}\frac{(\pi x)}{A} + \frac{\ill{}}{3.4.5.6}\text{cos}^{4}\frac{(\pi x)}{A} - \frac{2}{34}\right.\right.} \] \[ z = \dots\dots \text{sin}\frac{(\pi x)}{A}\left\{a'\text{cos}\frac{(\pi x)}{A}\left\{1 - \frac{31}{2.3}\text{cos}^{2}\frac{(\pi x)}{A} + \frac{31.19}{2.3.4.5}\text{cos}^{4}\frac{(\pi x)}{A} + \frac{31.19.}{2.3.4.5.6.7}\text{cos}^{6}\frac{(\pi x)}{A}\right.\right. \] \[ \left.\left. + \&c\right\} + \mathcal{A}\text{sin}\frac{(\pi.6y)}{A}\right\} \] on trouvera, comme dans le cas [precedent], qu'il doit y avoir une ligne nodale qu due au facteur \(\text{sin}\frac{(\pi x)}{A}\), et que la fonction de \(x\) que ce facteur multiplie, doit donner quatre points de repos invariables, desorte que les 6 lignes sinueuses dont la figure pourra être composée, devront également présenter 2 flexions complettes. Mais le terme \(\text{sin}\frac{(\pi 6 y)}{A}\) indique qu'il doit y avoir 6 semblables lignes aulieu de 5 que l'on a trouvées dans le premier cas

La fig. 86 seroit entièrement conforme à ce résultat si les deux courbes rentrantes qui, dans la partie superieure de cette figure, remplacent deux des lignes sinueuses, pouvoient être considerées comme un effet accidentel de quelqu'inégalité delaplaque. Je serois tenté d'adopter cette opinion, parceque, par des raisons qu'il seroit trop long de déduire, l'existence d'une ligne sinueuse dans la partie de la plaque qui présente les deux courbes rentrantes, ne permet pas [guère] de supposer qu'il y ait pour cette moitié une relation nouvelle entre \(a'\) et \(\mathcal{A}\).

Au reste l'application que j'ai crû pouvoir faire de l'intégrale (I) aux deux figures 79 b et 86 n'est En tête, au milieu, « (79) », non barré ; en haut à droite, à l'encre, « 240 ». Le feuillet est collé bas sur sa feuille de montage, dont le haut est blanc. La page ouvre un nouvel alinéa. Première ligne : « on fait ensuite » est barré, « continuant de » écrit au-dessus ; après « \(n' =\) » un chiffre qu'on lit 1 et qui pourrait être son 4 ; « on et » est surchargé, et « prend » écrit au-dessus. La lettre de « l'équation (I) » est la même capitale qu'à la vue 487. La première valeur de \(z\) est barrée d'un trait et reste inachevée ; le numérateur de sa seconde fraction est surchargé. Dans la seconde, le dernier numérateur « 31.19. » s'arrête sur un point. « indique » : la fin du mot est surchargée. Le « ce » devant « résultat » est barré ; « pas » est barré et « guère » écrit au-dessus. La phrase se poursuit au-delà de cette page, à la vue 490 ; le bas du feuillet est blanc.

490

que conjecturale; et il faudroit avoir recours au calcul pour s'assurer qu'elle satisfait [en effet] à la description exacte de ces figures.

En adoptant l'explication que je viens de donner, on trouvera que le son qui accompagne la fig. 79 b, devra être proportionnel au nombre \(m^{2} = 25\); et que et celui qui accompagnera la fig. 86, devra être proportionel au nombre \(m^{2} = 36\).

On voit que j'ai donné [rendu] la description plus ou moins detaillée [compte] de plus dela moitié des figures observées par M^r Chladni [dans les mouvemens des plaques quarrées.] Celles que je n'ai pas expliquées, se trouveroient [pourroient être] je crois, très aisément aussi, soit en mettant de nouvelles valeurs dans les intégrales que j'ai données, + soit en employant a la fois ces diverses intégrales comme je le dirai en parlant des plaques rectangulaires differentes du quarré, soit [enfin] à l'aide de quelqu'autre intégrale qui ne s'est pas encore présentée, car les figures ne sont ni plus bizares ni plus compliquées que celles qui ont été expliquées.

Pour complettér la comparaison entre la théorie et l'experience, je vais m'occuper de la com[parai]son des sons, qu et quoique je n'aie encore expliqué qu'une partie des figures, et que ce ne soit parconséquent que pour celleslà seulement que je puisse affirmer l'équivalence entre les lignes nodales de figures variées et les lignes nodales parallelles à un des axes; je suivrai à cet égard l'indication de M^r Chladni, de sorte que, lorsqu'une figure n'aura pas été expliquée, je lui appliquerai le son regarderai le son qu'elle En tête, au milieu, « 80 », sans parenthèses ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 489 (« (79) », « 240 »). La première ligne achève la phrase de la vue 489 (« n'est / que conjecturale »). « en effet » est écrit au-dessus de « à ». Dans « proportionnel au nombre \(m^{2} = 25\) », l'exposant est écrit au-dessus du \(m\), mal séparé du mot « nombre ». « rendu » est écrit au-dessus de « donné », « compte » au-dessus de « detaillée » ; « dans les mouvemens des plaques quarrées » dans l'interligne au-dessus de « M^r Chladni, Celles » ; la capitale de « Celles » est repassée. « pourroient être » est écrit au-dessus de « se trouveroient », barré, avec deux ou trois lettres surchargées entre les deux mots. La note de la marge gauche est appelée par une croix après « données, » ; son premier mot, « soit », paraît barré. Dans « la com[parai]son des sons », « parai » est écrit au-dessus de lettres barrées. La phrase se poursuit à la vue 491.

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produit comme devant être proportionnel au un certain nombre que la théorie donneroit, s'il s'agissoit dela figure qui composée de simples lignes droites àlaquelle ce savant physicien regarde la croit equivalante.

N.^o 16 comparaison des sons. si on réfléchit à l'influence que peut avoir la moindre inégalité d'épaisseur sur les intervalles des sons qui correspondent aux differentes figures que peuvent présenter les plaques élastiques vibrantes, on ne pourra exiger [un accord rigoureux] entre les sons indiqués par la théorie et les sons donnés par l'experience un accord rigoureux. Pour fixer la limite des differences entre les résultats de la théorie et ceux de l'experience[,] [qui devront être négligés,] qui devront être negligés j'observerai que M^r Chladni a déterminé lui [même] la quantité de l'erreur possible dans les experiences les mieux faites: car il dit [p 154 de son livre] « les differences que l'on pourra trouver dans « des experiences bien faites, n'excederont jamais un demi-ton tout au plus (V § 54.) » Ainsi lorsqu'il s'agira de comparer entr'eux deux sons donnés par l'experience, le rapport ne pourra jamais differer du rapport entre les nombres auxquels la théorie veut que ces sons soit proportionels, de plus d'un ton. encore cette difference […] pour n'être pas hors des limites dela probabilité, doit-elle être rare, puisqu'elle suppose que chacune des experiences comparées, est affectée dela plus grande erreur possible, et que cette erreur agit [influe] pour chacune d'elles dans des sens opposés. En tête, au milieu, « (81) », non barré ; en haut à droite, à l'encre, « 241 ». La première ligne achève la phrase de la vue 490 (« je regarderai le son qu'elle / produit … »). « au un certain nombre » : « un certain » est barré, et « au » peut être un « a » corrigé. Le titre « comparaison des sons » est souligné. « un accord rigoureux », barré sur la ligne, est récrit au-dessus de « exiger entre les » ; de même « qui devront être négligés », barré au début d'une ligne, est récrit au-dessus de la ligne précédente ; la virgule après « l'experience » est ajoutée à l'endroit où la ligne est corrigée. « il dit » : le mot qui suit « il » est surchargé, et « dit » est repassé ; au-dessus, d'une plume fine, « p 154 de son livre », où le premier signe peut être un p ou un §. Les guillemets sont les siens, doublés en tête de la seconde ligne de la citation ; le renvoi « (V § 54.) » qui la terminait est barré. Le signe barré devant « pour n'être pas » est une petite capitale surchargée. « agit » est barré, « influe » écrit au-dessus. Le bas du feuillet est blanc.

492

Cela posé, je vais commencer par comparer entr'eux les sons donnés par les vibrations tournantes, c'est adire par celles qui ne contiennent pas une periode complette, pa mais seulement deux demies periodes dans le sens d'un des axes.

D'après la table donnée p. 152 du traité d'acoustique les fig. qui, [parmi celles que j'ai expliquées,] appartiennent à ce cas, sont les suivantes: fig. 63, 66 a, 69–70, 74 a, 79 a–79 b. 86.

J'ai trouvé. N.^o 13 que le son de la fig. 63 doit être proportionel au nombre 2 \[ \begin{array}{llcr} & 66^{a} & \dots\dots\dots & 5 \\ \text{N.}^{o}\,15 \dots & 69-70 & \dots\dots\dots & 10 \\ \text{N.}^{o}\,13 \dots & 74 & \dots\dots\dots & 17 \\ \text{N.}^{o}\,15 \dots & 79^{a} & \dots\dots\dots & 26 \\ & 79^{b} & \dots\dots\dots & 25 \\ & 86 & \dots\dots\dots & 36 \end{array} \] la difference entre les sons des fig. 63 et \(66^{a}\) doit donc être \(\frac{5}{2}\) \[ \begin{array}{lcr} 63 \text{ et } 69-70 & \dots\dots & 5 \\ 63 \text{ et } 74 & \dots\dots & \frac{17}{2} \\ 63 \text{ et } 79a & \dots\dots & 13 \\ 63 \text{ et } 79b & \dots\dots & \frac{25}{2}. \\ 63 \text{ et } 86 & \dots\dots & 18 \end{array} \] La table P. 152 du traité d'acoustique donne \[ \begin{array}{llcl} \text{son de la fig.} & 63 & \dots\dots & \text{sol}.1 \\ & 66^{a} & \dots\dots & \text{si}.2 \\ & 69 & \dots\dots & \text{si}.3. \\ & 70 & \dots\dots & \text{ut}^{\sharp}\,4 \\ & 74a & \dots\dots & \text{si}^{\flat}\,4 + \text{grave} \\ & 79a-79b & \dots\dots & \text{fa}^{\sharp}\,5 + \text{grave} \\ & 86 & \dots\dots & \text{ut}.6. \end{array} \] La difference des sons qui accompagnent les fig. 63 et \(66^{a}\), est donc une octave \(+\) 1 ton majeur \(+\) 1 ton mineur. Cet intervalle est exprimé, comme on sait, par \(\frac{5}{2}\) c'est adire qu'il est entièrement En tête, au milieu, « (82) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 491 (« (81) », « 241 »). La page commence une phrase nouvelle. Le mot barré devant « demies » est surchargé ; on y lit « deux » avec doute. Les renvois « N.^o 13 » et « N.^o 15 » sont à des paragraphes du mémoire antérieurs à ce lot. Les tirets et les points qui mènent aux nombres sont les siens, ici rendus par des points. Dans le second tableau, les nombres de droite sont les rapports des nombres du premier au nombre 2 de la fig. 63. Dans le troisième, le chiffre qui suit la note est celui de l'octave ; le 69 est repassé ; un petit « 6 » pâle, dans la marge devant « \(66^{a}\) », ne semble pas appartenir au tableau. La phrase se poursuit à la vue 493 ; le bas du feuillet est blanc.

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conforme au résultat dela théorie.

La différence des sons qui accompagnent les fig 63 et 69, est de deux octaves \(+\) 1 ton majeur \(+\) 1 ton mineur. Elle est donc exprimée, comme le veut la théorie, par le nombre 5.

Le son qui accompagne la fig 70, devroit, d'après la théorie, (V. N.^o 15), être le même que celui qui appartient à la fig. 69. Cependant il differe ces sons different entr'eux [de l'intervalle] d'un ton. J'ignore la cause de cette difference, et je ne puis m'empêcher de remarquer combien il est singulier que M^r Chladni ait pû se décider à regarder ces deux fig. comme equivalantes, deux figures dont il sembleroit que la théorie seule peut indiquer le rapport, puisque, par une circonstance sans doute accidentelle, l'expérience donne, pour chacune d'elles, des sons notablement differens.

La différence entre les sons qui accompagnent les fig. 63 et 74, est de 3 octaves et un peu moins d'un ton et demi, c'est àdire qu'elle est \(< \frac{75}{8}\). et En effet \(\frac{75}{8}\) est \(>\) que \(\frac{17}{2}\) donné par la th théorie. et la Ces deux rapports different entr'eux de moins d'un ton et de plus d'un demi ton. Ainsi, [le son de la fig. 74 semble trop aigu mais] ce cas est renfermé [pourtant] dans la limite de l'erreur attribuable [que l'on peut attribuer] aux experiences. mais c'est

La difference entre les sons qui accompagnent les figures 63 et 79 a, est de 3 octaves et un peu moins de 5 tons et \(\frac{1}{2}\) ton, c'est adire \(<\) que 15; le nombre donné par la théorie est 13 qui est beaucoup trop petit: car la difference entre les deux rapports est de plus d'un ton entre 1 ton et 1 ton et demi, tandis qu'il devroit être de moins d'un demi ton. Ainsi le son En tête, au milieu, « (83) », non barré ; en haut à droite, à l'encre, « 242 ». La première ligne achève la phrase de la vue 492 (« qu'il est entièrement / conforme … »). Dans « (V. N.^o 15) », le 1 n'est qu'un point ou un trait très court devant le 5 ; le tableau de la vue 492 renvoie les fig. 69–70 au N.^o 15. La capitale de « Cependant » est reprise d'un grand C en bout de ligne. « de l'intervalle » est écrit au-dessus de « d'un ton ». Dans « \(\frac{75}{8}\) », le 5 a sa queue descendante. L'addition « le son de la fig. 74 semble trop aigu mais » est écrite très fin, sur deux étages, au-dessus de « Ainsi, ce cas est » ; le mot « pourtant » est écrit sous la ligne et entouré d'un trait, sans signe d'insertion. « est » est barré devant « renfermé ». « que l'on peut attribuer » est écrit au-dessus d'« attribuable », barré. « mais c'est », au début de la ligne suivante, est barré. La phrase se poursuit à la vue 494.

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qui accompagne la fig 79 a, semble être trop aigu d'environ 1 ton. La différence est encore plus grande lorsqu'il s'agit dela fig. 79 b: car la théorie veut que le son qui accompagne cette fig, soit un peu plus grave que le précédent. A la verité la difference entre les nombres qui appartiennent a ces deux fig. savoir \(\frac{26}{25}\) est beaucoup moindre qu'un demi ton; et considerée en ellemême elle pourroit être negligée; mais elle contribue encore à eloigner la théorie de l'experience, lorsque l'on prend le son de la fig. 63 pour terme de comparaison.

La difference entre les sons qui accompagnent les figures 63 et 86, est de 4 octaves, et d'un ton majeur, d'un ton mineur et d'un demi ton […] majeur. Ainsi elle est exprimée par \(\frac{64}{3}\). La théorie donne 18. ainsi le son est plus de la fig 86 comparé a celui de la fig. 63. est [donc] plus aigu d'un ton mineur, et \(\frac{1}{2}\) demi ton majeur que ne le veut la théorie.

Au reste on se souvient que l'explication que j'ai crû pouvoir donner des fig. 79 b et 86, n'est qu'hypothe- tique, desorte que les nombres qui y correspondent, ne sont aussi que probables.

Je vais m'occuper à présent m'occuper de comparer les sons qui appartiennent aux cas où il les figures sont composées d'une ou de plusieurs périodes complettes dans le sens de chacun des deux axes. Je commencerai par celles [de ces fig.] dont j'ai rendu compte En tête, au milieu, « (84) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 493 (« (83) », « 242 »). La première ligne achève la phrase de la vue 493 (« Ainsi le son / qui accompagne … »). La capitale de « A la verité » est écrite sur une autre lettre. La note de la marge gauche, appelée par un deux-points devant \(\frac{26}{25}\), se lit à la suite de « la difference ». Devant « majeur », deux petits signes serrés sont barrés ; on y chercherait un dièse ou deux f sans pouvoir le dire. « ainsi » et « est plus » sont barrés sur la même ligne ; « donc » est écrit au-dessus de « est plus » de la ligne suivante. Le 63 de « la fig. 63. » est repassé sur d'autres chiffres. « m'occuper » est écrit deux fois, la première n'étant pas barrée. La phrase se poursuit à la vue 495 ; le bas du feuillet est blanc.

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dans les N.^os precedens, et je prendrai pour terme de comparaison la fig. 68 a qui est la plus simple de cette classe.

J'ai trouvé N.^o 13 que le son dela fig. \(68^{a}\) doit être proportionel au nombre 8 \[ \begin{array}{llcr} & 71 & \dots\dots\dots & 13 \\ & 75 & \dots\dots\dots & 18 \\ & 80a & \dots\dots\dots & 25 \\ & 81a & \dots\dots\dots & 29 \\ & 82 & \dots\dots\dots & 32 \\ \text{N.}^{o}\,15 \dots & 87a,\ 87^{b}\ 88a \text{ et } 88b & \dots\dots\dots & 40 \\ \dots & 79^{a} & \dots\dots\dots & 26 \end{array} \] la difference entre les sons des figures 68 et 71 doit donc être \(\frac{13}{8}\) \[ \begin{array}{lcr} 68 \text{ et } 75 & \dots\dots & \frac{9}{4} \\ 68 \text{ et } 80^{a} & \dots\dots & \frac{25}{8} \\ 68 \text{ et } 81^{a} & \dots\dots & \frac{29}{8} \\ 68 \text{ et } 82 & \dots\dots & 4 \\ 68 \text{ et } 87-88 & \dots\dots & 5 \\ 68 \text{ et } 79^{a} & \dots\dots & \frac{13}{4} \end{array} \] La table P. 152 du traité d'acoustique donne: \[ \begin{array}{llcl} \text{son de la fig} & 68 & \dots\dots & \text{si}^{\flat}\,3 - \text{aigu} \\ & 71 & \dots\dots & \text{fa}^{\sharp}\,4 \\ & 75 & \dots\dots & \text{ut}.5 \\ & 80 & \dots\dots & \text{fa}^{\sharp}\,5 \\ & 81 & \dots\dots & \text{sol}^{\sharp}.5 + \text{aigu} \\ & 82 & \dots\dots & \text{si}^{\flat}\,5 \\ & 87-88 & \dots\dots & \text{ut}^{\sharp}\,6 + \text{aigu} - \text{ré}\,6 - \text{aigu} \\ & 79 & \dots\dots & \text{fa}^{\sharp}\,5 - \text{aigu} \end{array} \] En tête, au milieu, « (85) », non barré ; en haut à droite, à l'encre, « 243 ». La première ligne achève la phrase de la vue 494 (« dont j'ai rendu compte / dans les N.^os precedens »). Les tirets et les points menant aux nombres sont les siens. Dans « \(\frac{25}{8}\) », le 5 est surchargé d'un autre chiffre qui le fait lire 6 ; la fraction \(\frac{29}{8}\) de la ligne « 68 et \(81^{a}\) » est écrite à droite de la colonne, faute de place. Dans « 81 » du dernier tableau, le 1 est repassé. Le bas de la page est blanc, sous le tableau ; le raisonnement qui le suit n'est pas sur ce côté du feuillet.

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La différence entre les sons qui accompagnent les figures 68 et 71, est donc d'un peu plus de 4 tons, c'est adire \(>\) que \(\frac{8}{5}\) la théorie donne \(\frac{13}{8}\) qui est en effet un peu \(> \frac{8}{5}\).

La différence entre les sons qui accompagnent les fig. 68 et 75, est une octave, et un peu plus d'un ton c'est \(> \frac{9}{4}\) qui est précisément le nombre donné par la théorie

La différence entre les sons qui accompagnent les fig. 68 et 80, est d'une octave et un peu plus de 4 tons, c'est à dire \(>\) que \(\frac{16}{5}\). la théorie donne \(\frac{25}{8}\) qui est aucontraire \(<\) que \(\frac{16}{5}\): mais ladifference entre les deux rapports, est bien audessous dela limite des erreurs, puisqu'elle est juste un comma.

la difference entre les sons qui accompagnent les fig. 68 et 81, est d'une octave, et beaucoup notablement plus de 5 tons c'est adire \(>\) que \(\frac{32}{9}\); et en effet le rapport donné par la théorie savoir \(\frac{29}{8}\) surpasse \(\frac{32}{9}\) de plus d'un comma.

la différence entre les sons qui accompagnent les fig. 68 et 82, est d'un peu plus de 2 octaves, c'est-a-dire \(>\) que 4 qui est le nombre donné par la théorie

la difference entre les sons qui accompagnent les fig 68 et 87–88., lesquels different entr'eux de moins d'un demiton, est en adoptant le plus favorable àla théorie, d'une octave et de deux tons: elle est donc exprimée par le nombre 5. donné en effet par la théorie. En tête, au milieu, « 86 », sans parenthèses ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 495 (« (85) », « 243 »). La page ouvre un alinéa nouveau ; elle ne continue pas de phrase de la vue 495. Dans les deux « 4 tons » (deuxième et neuvième lignes), le 4 est écrit sur un autre chiffre. Les deux « comma » sont soulignés. Le « 68 » des deux derniers alinéas est repassé. Un trait vertical de crayon, dans la marge gauche, descend le long du feuillet et au-delà, sur la feuille de montage : il n'appartient pas au texte. Le bas du feuillet est blanc.

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La difference entre les sons qui accompagnent les fig. 68 et 79, est une octave 3 tons majeurs et 1 ton mineur: elle est donc exprimée par \(\frac{16}{5}\), la théorie donne \(\frac{13}{4}\) qui ne differe pas sensiblement de premier [ce rapport], puisque \(\frac{65}{64}\) est \(<\) que le comma \(\frac{128}{125}\).

Les cas suivans sont ceux pour lesquels M^r Chladni n'a pas donné de fig., et aussi ceux dont les fig n'ont pas été expliquées dans les N.^os précédans. Pour les désigner, j'emploirai la notation donné par imaginée par cet auteur, qui suivant laquelle \(m/n\) signifie que, dans le cas auquel on appliquera cette [l']expression qu'il [devra avoir] y aura \(\underline{m}\) lignes droites nodales parallelles à un des axes et \(n\) de pareilles lignes parallelles à l'autre axe.

Je continuerai de comparer les sons des autres cas à celui qui accompagne la fig \(68^{a}\) – 2/2. Cela posé, pour la th théorie montre que pour .. 2/2 le son doit être proportionel a 8. \[ \begin{array}{lcr} 4/2 & \dots\dots\dots & 20 \\ 5/3 & \dots\dots\dots & 34 \\ 6/3 & \dots\dots\dots & 45 \\ 5/4 & \dots\dots\dots & 41 \\ 6/4 & \dots\dots\dots & 52 \\ 5/5 & \dots\dots\dots & 50 \\ 6/5 & \dots\dots\dots & 61. \end{array} \] En tête, au milieu, « (87) », non barré ; en haut à droite, à l'encre, « 244 ». La page ouvre un alinéa nouveau. « premier » est barré et « ce rapport » écrit au-dessus, avec deux ou trois lettres surchargées devant. La notation de Chladni est écrite « m/n », les deux lettres séparées par un trait oblique, comme « 2/2 », « 4/2 » dans le tableau. La fin de la phrase est corrigée sur la ligne même : « dans le cas auquel on appliquera cette » est barré d'un trait continu ; « expression » reste, le début du mot surchargé, peut-être en « l'expression » ; « qu'il » est suivi de « y », puis d'un mot barré (« aura » ?) ; « devra avoir » est écrit au-dessus. On donne la lecture la plus probable sans en garantir l'ordre. Le \(m\) de « \(\underline{m}\) lignes » est souligné. Les chiffres des nombres du tableau (20, 34, 45, 41, 52, 50, 61) valent \(m^{2} + n^{2}\) pour chaque couple, ce qu'on donne comme vérification du transcripteur, non comme lecture. Le bas du feuillet est blanc.

498

La difference entre 2/2 et 4/2 doit donc être \(\frac{5}{2}\) \[ \begin{array}{lcr} 2/2 \text{ et } 5/3 & \dots\dots & \frac{17}{4} \\ 2/2 \text{ et } 6/3 & \dots\dots & \frac{45}{8} \\ 2/2 \text{ et } 5/4 & \dots\dots & \frac{41}{8} \\ 2/2 \text{ et } 6/4 & \dots\dots & \frac{13}{2} \\ 2/2 \text{ et } 5/5 & \dots\dots & \frac{25}{4} \\ 2/2 \text{ et } 6/5 & \dots\dots & \frac{61}{8}. \end{array} \] la table p 152 donne .. son de \[ \begin{array}{lcl} 2/2 & \dots\dots & \text{si}^{\flat}\,3 - \text{aigu}. \\ 4/2 & \dots\dots & \text{ut}^{\sharp}.5 \text{ et ré}\,5 \\ 5/3 & \dots\dots & \text{si}\,5 - \text{aigu et ut}\,6 - \text{aigu} \\ 6/3 & \dots\dots & \text{mi}.6 \\ 5/4 & \dots\dots & \text{ré}^{\sharp}.6 \\ 6/4 & \dots\dots & \text{sol}.6 + \text{aigu} \\ 5/5 & \dots\dots & \text{fa}^{\sharp}\,6 + \text{aigu} \\ 6/5 & \dots\dots & \text{si}^{\flat} - \text{aigu} \end{array} \] On voit que, les deux cas qui appartiennent à 4/2 different entr'eux d'un demiton. si on prend ré 5 – aigu, cequi rapproche d'ut\(^{\sharp}\) 5, on trouvera que la difference entre les sons de 2/2 et de 4/2, est sera d'une octave et 2 tons, c'est adire qu'elle sera exprimée comme le veut la théorie par \(\frac{5}{2}\).

Pour 5/3, les deux cas different entr'eux d'un ton environ. Le plus favorable àla théorie, savoir si 5 – aigu, donne une diff dans la comparaison a 2/2, une différence de 2 octaves et 1 demi ton, Elle est donc exprimée par \(\frac{25}{6}\) ou par \(\frac{64}{15}\); et \(\frac{17}{4}\) qui est le rapport indiqué par la théorie, est en effet \(\frac{17}{4}\) est \(> \frac{25}{6}\) et \(< \frac{64}{15}\) En tête, au milieu, « (88) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 497 (« (87) », « 244 »). La page commence par un tableau qui fait suite à celui de la vue 497. La ligne « 2/2 … si\(^{\flat}\) 3 – aigu » est écrite plus petit, au-dessus de la ligne « 4/2 », en ajout ; on la place en tête du tableau. Dans « la table p 152 donne .. son de », la ligne entière est à gauche du tableau. La dernière ligne de 6/5 ne donne pas le chiffre de l'octave après « si\(^{\flat}\) ». La phrase de la dernière ligne répète « \(\frac{17}{4}\) », le second barré avec « est ». Le bas du feuillet est blanc.

499

La difference entre les sons qui appartiennent à 2/2 et a 6/3 est d'un peu plus de deux octaves et 3 tons, c'est adire \(>\) que \(\frac{50}{9}\); et en effet le rapport donné par la théorie savoir \(\frac{45}{8}\) est de fort peu \(> \frac{50}{9}\).

La difference [entre] les sons qui appartiennent à 2/2 et a 5/4, est d'un peu plus de 2 octaves 2 tons et \(\frac{1}{2}\) demi ton, c'est adire \(> \uncertain{\frac{128}{25}}\); Au contraire le rapport donné par la théorie, savoir \(\frac{41}{8}\) est \(<\) \(\frac{128}{25}\) [\(\frac{16}{3}\)], mais d'une quantité absolument inappréciable a l'oreille. [la] la distance entre ces deux rapports est audessous d'un demi ton mineur

La différence entre les sons qui appartiennent a 2/2 et 6/4, est plus de 2 octaves 4 tons et \(\frac{1}{2}\) ton, c'est adire \(>\) que \(\frac{20}{3}\). Aucontraire, le rapport donné par la théorie savoir \(\frac{13}{2}\) est \(<\) que \(\frac{20}{3}\): mais la différence entre ces deux rapports, est fort petite, puisqu'elle surpasse le comma d'une quantité inappréciable àl'oreille.

La différence entre les sons qui appartiennent à 2/2 et a 5/5, est un peuplus grande que 2 octaves et 4 tons, c'est adire \(>\) que \(\frac{32}{5}\). Au contraire le rapport donné par la théorie, savoir \(\frac{25}{4}\), est \(<\) que \(\frac{32}{5}\): mais la difference entre ces deux nombres est bien petite, puisqu'elle se trouve juste d'un comma

La difference entre les sons qui appartiennent à 2/2 et à 6/5, est de 3 octaves; elle est donc exprimée par le nombre 8 qui differe de moins d'un demi ton [majeur] du nombre \(\frac{61}{8}\) donné par la théorie. En tête, au milieu, « (89) », le 8 repassé ; en haut à droite, à l'encre, « 245 ». La page ouvre un alinéa nouveau ; elle ne continue pas la phrase de la vue 498. « entre » est écrit au-dessus de « les », barré ou repassé, au deuxième alinéa. Dans « \(> \uncertain{\frac{128}{25}}\) », le numérateur est écrit sur un autre nombre (on lit 126 ou 128), et le dénominateur 25 sur un autre ; « Au contraire » est barré, écrit lui-même sur un autre mot. À la ligne suivante, le signe \(<\) est repassé sur un autre signe, et le même nombre « \(\frac{128}{25}\) », surchargé, est remplacé par « \(\frac{16}{3}\) » écrit au-dessus. « d'une quantité absolument inappréciable a l'oreille » est barré sur deux lignes ; « la la distance … audessous » est écrit à droite de « a l'oreille » barré, et « d'un demi ton mineur » dessous, en plus petit. Le « 5/5 » qui ouvre le quatrième alinéa est tracé comme deux 5 serrés, l'oblique peu visible. « comma » est souligné deux fois. « majeur » est écrit très fin au-dessus de la fin de « ton », à la dernière ligne. Le bas du feuillet est blanc.

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Il étoit impossible d'espérer plus d'accord entre la théorie et l'experience que n'en présente la comparaison des sons qui accompagnent les figures celles des figures que j'ai expliquées, dans lesquelles il y a une ou plusieurs périodes complettes, tant dans le sens des \(\underline{x}\) que dans celui des \(\underline{y}\). Le même accord se trouve aussi dans la comparaison des sons que, d'après l'autorité de M^r Chladni, j'ai attribués aux cas des periodes complettes. En effet, en c'est en prenant a la verité dans cette dernière classe, qui présente d'assez grandes differences de sons rapportés aux mêmes cas, ceux de ces cas qui s'accordent le mieux avec la théorie, j'ai trouvé quelles les rapports indiqués par la théorie, differoient toujours de moins d'un demiton de ceux donnés par l'experience. On voit que cette difference est bien audessous de celles dont les erreurs possibles pourroient rendre compte; et que M^r Chladni a plusieurs fois regardé comme equivalantes, des figures qui donnoient des sons differens entr'eux d'un demi ton, d'un ton, ou même d'une tierce (V. latable p. 152).

Cependant il se présente ici une difficulté: Lorsqu'aulie[u] de comparer entr'eux les sons donnés par les figures qui renferment des periodes complettes dans le sens des \(x\) En tête, au milieu, « (90) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 499 (« (89) », « 245 »). La page ouvre un alinéa nouveau. Le \(x\) et le \(y\) de « tant dans le sens des \(\underline{x}\) que dans celui des \(\underline{y}\) » sont soulignés. Les deux groupes barrés, « en c'est » en fin de ligne et « a la verité », ne se lisent qu'à demi. Après « j'ai trouvé que », deux lettres barrées. La dernière ligne s'arrête au bord du feuillet sur « des \(x\) » ; « Lorsqu'aulie[u] » est coupé par le bord droit. La phrase se poursuit au-delà de ce lot, à la vue 501. Le bas du feuillet est blanc.