Numérotation des feuillets. Chaque page de cette mise au net porte
en tête, au milieu, entre parenthèses, sa pagination : (91) à la vue 501,
puis (92) à (110) aux vues 502 à 520, une par vue, sans lacune et sans
rature. Les feuillets sont écrits des deux côtés, et seul le côté de
pagination impaire porte en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus
ronde, un nombre de la série qui court dans tout le volume : 246 (vue
501), 247 (503), 248 (505), 249 (507), 250 (509), 251 (511), 252 (513),
253 (515), 254 (517), 255 (519). Cette série numérote des feuillets et non
des pages ; elle occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque,
mais elle est tracée à la plume et non au crayon, et aucun « f. » n'est
donc porté. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit.
Chaque feuillet est monté sur une feuille de garde, dont le haut ou le bas,
blanc, paraît sur beaucoup de vues. Aucune vue de ce lot n'est blanche ni
répétée.
et dans celui des y, les sons on prend pour terme de comparaison
les sons qui accompagnent les figures qui appartiennent a
l'intégrale (C) et , comme je l'ai dit, qui tant d'après
l'opinion de Mr Chladni que d'après la théorie que j'ai
cherché a établir, doivent être les mêmes que les sons
donnés par la simple lame dont les extremités sont
libres en vertu des conditions \frac{ddz}{dx^2}=0 et \frac{d^3z}{dx^3}=0,
on trouve que le son de toutes les figures périodiques
qui renferment des périodes complettes, est trop plus grave
d'environ 1 ton que la théorie ne l'indique.
C'est ainsi, par exemple, que le son de 0|4 fig. 72–73
est sol^{\sharp}3 et celui de 4|3 fig. 80 est fa^{\sharp}5, tandis qu'il
ne devroit y avoir que deux octaves entre ces deux sons,
puisque, d'après la théorie d'Euler, le premier
est proportionel au nombre \frac{25}{4}, et que d'après la
théorie des surfaces périodiques, le second est proportionel
au nombre 25.
Mais non seulement le son des figures qui contiennent ou
sont censées contenir une ou plusieurs periodes complettes,
ne sont pas seulement plus graves d'un ton environ que ne semble l'exiger
la comparaison aux sons donnés par la simple lame;
mais cette difference doit encore être considérée comme un minimum
du quel dont se rapprochent d'autant plus les sons produits par les vibrations
En tête, au milieu, « (91) », entre parenthèses, non barré ; en haut
à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, « 246 ». La première
ligne continue une phrase commencée à la vue 500, hors de ce lot. Après
« (C) et », un groupe surchargé et noirci, surmonté d'un point, ne se lit
pas. Dans « le son de toutes », « le » est écrit sur « la ». Les
notations « 0|4 » et « 4|3 » sont celles des figures de Chladni ; le
dernier chiffre de « 4|3 » est tracé comme celui de « 73 ». Les
additions « pas seulement », « encore » et « d'autant plus » sont
écrites au-dessus de la ligne, la première appelée par deux petits
signes en forme de 7. Le « s » et le « t » initiaux se ressemblent dans
cette main ; « son » est lu partout où le sens est celui d'un son
particulier, « ton » là où il s'agit de l'intervalle (« 1 ton », « un ton
environ »). La phrase se poursuit à la vue 502.
tournantes se rapprochent d'autant plus qu'elles ou les figures qui leur appartiennent contiennent
un plus grand nombre de lignes nodales. C'est ainsi que d'une part
les sons qui accompagnent les fig 63 et 68, bien qu'ils ne devroient
différer que de 2 octaves different puisqu'ils sont entr'eux
d'après la théorie ::2:8, et qu'ils different pourtant de 2 octaves
1 ton et \frac{1}{2} ton; desorte que le son dela fig. 63 est
plus grave de 2 tons et \frac{1}{2} ton que ne le veut la
comparaison aux sons delasimple lame, et que les sons
qui accompagnent les fig. 66a et 69, présentent les mêmes
differences, et tandis que d'autre part le son de la fig. 74 et ceux est
moins eloigné du rapport donné par la théorie, et qu'enfin
les sons des fig. 79b et 86 se rapprochent encore plus des
nombres que j'ai cru pouvoir leur assigner en leur appliquant
l'intégrale (I), d même que car le son de la fig 86
qui est ut.6 comparé à celui dela fig 75 qui est ut 5
(V table P. 152) est exactement cequ'il doit être pour la comparaison
au cas des périodes complettes, puisque le nombre que
j'ai assigné au premier est 36, et que la théorie donne
18 pour le second.
Des differences du même genre se font remarquer dans la
comparaison des sons des figures qui se forment sur les plaques
rectangulaires differentes du quarré desorte que les figures
qui sur ces diverses plaques presentent une ou plusieurs
périodes complettes donnent toujours, aumoins en prenant au
En tête, au milieu, « (92) », non barré ; aucun nombre en haut à
droite : c'est le dos du feuillet de la vue 501. La première ligne
achève la phrase de la vue 501 (« les sons produits par les vibrations /
tournantes ») ; « se rapprochent d'autant plus qu'elles » y est barré et
remplacé, au-dessus de la ligne, par « ou les figures qui leur
appartiennent ». Le « ne » barré devant « devroient » est surchargé ;
« bien qu'ils » est écrit au-dessus. « ::2:8 » : le signe entre 2 et
8 a une barre verticale collée aux deux points. « le son de la fig. 74 »
est corrigé de « les sons », l'article surchargé et le « s » final
barré d'une petite croix ; de même « du rapport » corrigé de « des » ;
la fin de « accompagnent » et de « rapprochent » est aussi surchargée.
Le groupe barré après « (I), » commence par « d » et se termine par
« même que » ; le milieu est noirci. « ut.6 » et « ut 5 » : le 5 a la
forme de celui de « fa^{\sharp}5 » à la vue 501. La phrase se poursuit
à la vue 503.
resultat moyen, des sons un peu plus graves qu'il ne le faudroit
pour établir l'accord ent dela théorie et de l'experience
Dans la comparaison au son des figures qui se rapportent aux
mouvemens de la simple lame, et que les figures qui sur les
mêmes plaques ne contiennent point de périodes complettes,
donnent des sons qui dans la même comparaison se trouvent
de beaucoup trop graves.
On pourroit à la rigueur regarder les différences dont
il s'agit ici comme peu importantes, puisqu'il est rare qu'elles
excèdent une tierce, distance qui n'a pas empêché
Mr Chladni de regarder considérer comme équivalentes les fig 64 et
65 que la théorie montre aussi devoir appartenir à une
même valeur de l'angle \underline{\omega}. Cependant la constance
du phénomène le rend remarquable, et ne permet guères
de le regarder comme produit par les causes physiques
qui influent sur les expériences les mieux faites; car
s'il en étoit ainsi, les differences devroient en quelquesorte
se balancer tandis qu'au contraire elles sont toutes, ou
presque toutes dans le même sens.
Puisqu'il me paroit semble inévitable de conclure de cequi précède l'existence d'une
cause tendante à rendre les sons qui accompagnent les
figures périodiques, plus graves que la comparaison avec
les sons qui accompagnent les figures non périodiques qui peuvent se
former sur les mêmes surfaces, ne semble l'exiger,
En tête, au milieu, « (93) » ; en haut à droite, à l'encre, d'une
écriture plus ronde, « 247 ». La première ligne continue la phrase de la
vue 502 (« aumoins en prenant un / resultat moyen »). Le mot barré après
« l'accord » est court et commence par « en » ; « Dans », à la ligne
suivante, a une majuscule bien que la phrase continue. Après
« comparaison », « au » est écrit sur un autre mot, peut-être « du ».
« de cequi précède » est écrit au-dessus de la ligne et appelé par un
petit signe sous « conclure ». « tendante » porte à la fin une petite
croix, qui annule semble-t-il un « s » ; « les » devant « figures non
périodiques » est écrit sur « des ». La phrase se poursuit à la vue 504.
il
On se rappelle que les differences qu'il s'agit d'expliquer
sont à leur maximum lorsque la surface périodique
ne presente que des demies periodes tant dans le sens
des \underline{x} que dans celui des \underline{y}, c'est ceque j'ai déja
nommé quart de période pour distinguer l'espace qu'il
en reservant la denomination q de demie période
pour les figure parties composées d'une periode dans le sens d'un
des axes et d'une demie periode seulement dans le
sens de l'autre axe. Cela posé, on se souvient encore
que les differences, en prenant toujours un resultat moyen
entre plusieurs faits, sont d'autant moindres que la
surface périodique qui ne comprend pas de periode
complettes est composée d'un plus grand nombre
de demies periodes, et qu'enfin lorsqu'outre les quarts
de périodes et les demies périodes qui se trouvent
dans toutes les figures périodiques dont les extremités
sont libres, la figure renferme des periodes complettes
les mêmes differences diminuent encore desorte,
si on observe que si il s'agissoit de surfaces appuyées de
tout côté les mêmes équations, seroient applicables
En réfléchissant sur la gradation du phénomène, il paroîtra
peut-être vraisemblable qu'il ait pour cause l'existence de ces
quarts de periode et demi periodes dans les figures qui
se forment sur les plaques dont tous les côtés sont libres.
En effet on voit que si les quarts de periode sont seuls
leur influence doit être a leur maximum qu'elle doit diminuer
par l'addition de demie periodes qui comprennent des periodes
entières dans le sens d'un des axes, et qu'enfin elle doit
se trouver en partie contrebalancée et parconséquent réduite
a son minimum lorsque la figure contient des périodes
complettes; desorte que la théorie ne pourroit s'accorder dans cette
hypothèse on ne devroit obtenir un accord parfait entre les sons
indiqués par la théorie et les sons donnés par l'experience
que dans le seul cas des surfaces appuyés detout côté.
Malheureusement Mr Chladni ne s'est pas occupé de ce
genre de surfaces qui presentent ne peuvent être soumises à l'experience qu'avec beaucoup de difficultés
a obtenir, et je ne puis appuyer . Le cas analogue
des lames libres à leurs extrémités en vertu des conditions
\frac{ddz}{dx^2}=0 et \frac{d^3z}{dx^3}=0, si s'il avoit été essayé avec succès
m'avoit fourni un fait analogue à celui des surfaces periodiques
libres; et si il eut donné un son plus grave que
le cas correspondant dans la lame dont les extrémités sont
appuyés, j'aurois été autorisé a regarder l'effet des demies
En tête, au milieu, « (95) » ; en haut à droite, à l'encre, d'une
écriture plus ronde, « 248 ». Le feuillet est monté plus bas que les
précédents sur sa feuille de garde, dont le haut, blanc, occupe le
premier quart de la vue. Les deux premières lignes sont barrées d'un
trait continu ; la page commence au paragraphe « En réfléchissant ».
Dans « gradation » et « paroîtra » une lettre est surchargée d'une
tache ; « periode » porte deux fois la petite croix qui annule le « s »
du pluriel, et le singulier est donné. « elle » dans « qu'elle doit
diminuer » est repassé. Le mot barré après « qui », « presentent », est
remplacé par l'ajout au-dessus de la ligne. La fin de la ligne barrée
suivante, après « appuyer », ne se lit pas (deux mots courts, le second
terminé en « -dit »). Dans \frac{ddz}{dx^2}, le premier d et
l'exposant sont noircis d'une tache. Le premier mot de « m'avoit
fourni » peut se lire « n'avoit » ; le sens demande « m'avoit » ou
« m'auroit ». La phrase se poursuit à la vue 506.
periodes comme constaté. Mais l'experience n'ayant rien décidé à
cet egard, je suis réduit à présenter l'explication que je viens
de donner comme une simple conjecture.
En effet quoique les cas dela corde tendue et de la flute
ouverte aux deux bouts semblent présenter deux faits
comparables et susceptibles, parconséquent, de fournir aumoins
des inductions, dans sur l'objet présent, ils ne peuvent
pourtant être d'aucun secours, parceque car la détermination
du son dans les instrumens à vent ne peut encore être
regardée comme parfaitement rigoureuse.
Voila, ce me semble, ici la difficulté; L'ingénieuse hypothèse
que Mr De la Place a imaginé et que Mr Poisson
a ensuite introduite dans le calcul, suffit à la verité
pour expliquer comment la vitesse réelle du son surpasse
celle que l'analyse indique, parceque cette vitesse qui n'a
guere été mesurée que sur des sons graves, est regardée
p tacitement par les physiciens comme independante de
la place qu'occupe que le son transmis occupe dans
l'échelle diatonique; desorte qu'en considérant d'une part
cette tons vitesse comme uniforme et de l'autre l'influence
du dégagement de la chaleur comme egalement uniforme
on peut satisfaire aux conditions dela question.
Mais s'il s'agissoit de décider dans la correction à
appliquer aux sons d'une flûte, l'effet la quantité
En tête, au milieu, « (96) », non barré ; aucun nombre en haut à
droite : c'est le dos du feuillet de la vue 505. La première ligne
achève la phrase de la vue 505 (« l'effet des demies / periodes comme
constaté »). Un petit trait oblique, au-dessus de « à présenter », est
peut-être un signe d'insertion sans ajout. « dans », devant « sur l'objet
présent », est chargé de traits plus épais et paraît annulé. Dans « du
son dans les instrumens », l'« s » final porte la petite croix qui
annule un pluriel. Devant « tacitement », un « p » isolé est barré.
« cette » est corrigé de « ces » par une tache, et « tons » qui suivait
est barré, « vitesse » écrit au-dessus. La phrase se poursuit à la vue
507.
l'influence du coëfficient de proportionnel a la chaleur degagée, et celle de l'existence
des demies périodes, on seroit d'autant plus embarassé que
l'on ne pourroit regarder peut affirmer la constance d'un
coëfficient qui est fondé sur un fait variable dans son
amplitude et dans sa frequence, dont mesuré pendant un
tems donné desorte que l'on auroit et que parconséquent
deux effets dont on n'auroit pas de mesure exacte, se
trouveroient confondus.
Quoiqu'il en soit du degré de confiance que merite
l'explication que je viens de soumettre au jugement dela
classe, je n'ai pas cru devoir dissimuler la difficulté
qui est en est l'objet. Mais il me sera permis d'observer
qu'avant l'explication proposée par Mr De la Place,
la théorie des instrumens àvent et celle de la transmission
du son, qui présentoient donnoient des resultats fort
éloignés de ceux de l'experience, n'en étoient pas moins
admis regardées par les géomètres et les physiciens comme entièrement
satisfesantes, et que d'ailleurs la difference que j'ai essayé d'expliquer
est bien peu considérable puisqu'elle dans son maximum excède fort à peine
peu celles que dont Mr Chladni n'a pas tenu compte dans
la formation de sa table p. 152, et qu'elle n'est vraiment
remarquable que par sa constance.
Je vais m'occuper àprésent des plaques rectangulaires differentes du
quarré.
En tête, au milieu, « (97) » ; en haut à droite, à l'encre, d'une
écriture plus ronde, « 249 ». La première ligne achève la phrase de la
vue 506 (« dans la correction à appliquer aux sons d'une flûte, /
l'influence du coëfficient… »). « proportionnel a » est écrit au-dessus
de « dela », dont le « de » est barré. « fondé » et « variable » portent
à la fin la petite croix qui annule une lettre (« fondée »,
« variables ») ; la forme corrigée est donnée. Le début d'« amplitude »
est surchargé. Dans « la difference », l'article est repassé sous
« d'ailleurs », écrit au-dessus. Après « excède », un mot court surchargé
puis « fort » sont barrés ; un accent seul, au-dessus, donne « à » ;
« dans son maximum » est écrit au-dessus de la ligne, « maximum »
souligné. « celles » s'accorde avec un pluriel qui n'est pas écrit. Le
texte s'arrête au tiers inférieur de la page sur « du quarré. » ; le
reste du feuillet est blanc.
§.5 Comparaison dela théorie à l'experience dans le cas des plaques
rectangulaires differentes du quarré
N.o 17. L'intégrale (C) N.o 3, dont j'ai longuement developpé l'application
aux plaques quarrées, (V. N.os 10 11 et 12 §.4) peut aussi servir à rendre
compte d'une partie des figures qui se mon montrent sur les plaques
vibrantes differentes du quarre rectangulaires differentes du quarré, aussi
bien que et en même tems aussi des sons qui accompagnent chacune des mêmes figures.
Cependant, en fesant attention à la nature de la formule (C) question,
on verra aisément qu'elle exige que la valeur de l'angle \underline{\omega}
soit lamême pour chacune des fonctions de \underline{x} et \underline{y} qui la
composent entrent dans la formule (C). Ainsi, si dans la plus-part des cas, on aura necessairement
B=0 ou \mathcal{A}=0, c'est adire qu'il ne pourra se former que des lignes
alors sur les plaques rectangulaires dont les mouvemens sont
compris dans l'intégrale (C), que de simples lignes droites
nodales parallelles entr'elles; et On ne pourra obtenir trouvera
des va figures susceptibles de distorsions que pour les
valeurs de l'angle \underline{\omega} qui s'accorderont auront entr'elles le rapport
necessaire pour compenser la difference entre la grandeur
des côtés des plaques d que l'on considère.
Je vais éclaircir ceci par des exemples. Si on a une plaque
dont les côtés soient entr'eux ::5:7. on verra aisément
que le nombre qui convient au cas de 3 lignes parallelles
étant 25 auquel le son doit être proportionnés dans le cas
de 3 lignes droites parallelles, etant \frac{25}{4}, et celui auquel
le nombre auquel le pr son doit être proportionnel.
En tête, au milieu, « (98) », non barré ; aucun nombre en haut à
droite : c'est le dos du feuillet de la vue 507. Le titre est souligné
et précédé de « §.5 » ; le signe § est tracé comme un S suivi d'un
point. Dans « (V. N.os 10 11 et 12 §.4) », le « 12 »
est à demi effacé. « rapport » et « necessaire » portent à la fin la
petite croix qui annule le « s » du pluriel ; le singulier est donné.
Le B de « B=0 » est écrit sur une autre lettre, noircie, et le signe
= est repassé ; l'ajout « ou \mathcal{A}=0 » est au-dessus de la
ligne, la lettre étant la capitale bouclée que le lot 22 a rendue par
\mathcal{A}. Le dénominateur de \frac{25}{4} est surchargé et
peut se lire 8. « proportionnés » est gardé tel qu'il est écrit. Le
texte s'arrête à mi-page sur « doit être proportionnel. », phrase
inachevée ; le bas du feuillet est blanc. La suite, si elle existe, est
à la vue 509.
dans le cas de quatre lignes nodales parallelles, étant \frac{49}{4},
3 lignes nodales parallelles entr'elles et transversales au côté qui est
comme 7, doit donner le même son que 4 lignes nodales parallelles
entr'elles et transversales au côté qui est comme 5. Il suit dela
que la valeur de l'angle \underline{\omega} est lamême pour l'un et
l'autre de ces cas, et qu'il peut exister alors differentes
figures sur qui seront toutes accompagnées du même son équivalentes
puisque la supposition B=0 cesse d'être necessaire.
Independamment de la considération de l'intégrale (C), Mr
Chladni paroît avoir senti que ce ne pouvoit être que dans
le cas dela compensation dont j'ai parlé plus haut, qu'il
pouvoit exister sur les plaques rectangulaires differentes du
quarré, des figures nodales differentes diverses entr'elles, mais toutes
equivalentes à un certain nombre de points de repos dans
la simple lame dont les extremités sont libres. (V. T. d'acoustique
N.o 136). et On peut voir N.o 136 du traité d'acoustique, que
dans le cas que j'ai pris pour exemple, parcequ'il repond
a la première des figures observées sur les plaques rectangulaires
l'auteur regarde en effet les figures qui a qui se sont montrées,
comme intermédiaires entre les deux especes de vibrations, qu'il atribue
à la plaque partagée par quatre lignes nodales parallelles suivant une
de ses dimensions, et par 3 pareilles lignes suivant l'autre
de ses dimensions. N.o 121 du même traité, on peut encore voir que
la plaque dont les côtés sont entr'eux ::3:5, présente aussi
des figures intermediaires aux deux manières de vibrer qui repondent
aux suppositions successives \mathcal{A}=0 et B=0, dans l'intégrale
(C). car alors, suivant la remarque de l'auteur,
En tête, au milieu, « (99) » ; en haut à droite, à l'encre, d'une
écriture plus ronde, « 250 ». Comme à la vue 505, le feuillet est monté
bas sur sa feuille de garde, dont le haut blanc occupe le premier quart
de la vue. La première ligne continue la phrase laissée en suspens au
bas de la vue 508 (« le nombre auquel le son doit être proportionnel /
dans le cas de quatre lignes nodales parallelles ») : le point qui la
fermait là n'arrêtait donc pas la phrase. Le dénominateur de
\frac{49}{4} est surchargé. « équivalentes » est écrit au-dessus de
« sur », en tête de la ligne barrée ; « puisque » est écrit sur un
premier « puis ». « paroît » et « pouvoit » (« ce ne pouvoit être »)
sont surchargés. Le renvoi barré au « T. d'acoustique » et le renvoi
gardé portent le même numéro, dont le chiffre du milieu est le 3 à tête
plate de cette main. Dans « les figures », l'« s » de l'article et
celui du nom sont surchargés ; « qui » et « a » qui suivent sont barrés.
« N.o 121 » est repassé. Dans « ::3:5 », le
second chiffre a la forme du 5 de la vue 501. \mathcal{A} est la
capitale bouclée de la vue 508. « atribue » est son orthographe. La
phrase se poursuit à la vue 510.
2 lignes nodales parallelles dans un des sens doit donner le même
son que 4 pareilles lignes dans l'autre sens.
Demême encore pour sur la plaque dont les côtés sont entr'eux
::3:1. Les suppositions successives \mathcal{A}=0 et B=0 qui repondent
et, en suivant la notation de Mr Chladni, aux cas 5|0 et 0|2
donnent les deux mêmes figures auxquelles les fig. 77 sont
equivalentes (V. T. d'acoustique N 122).
Parmi les fig. pl. 6 du traité d'acoustique, celles qui repondent
aux trois cas dont j'ai parlé, et les differentes
fig. 170 sont les seules
qui presentent plusieurs
formes dependantes
de toutes
de l'intégrale (C).
Parmi les figures qui ont été pl. 6 du traité d'acoustique observées sur les plaques rectangulaires
celles qui appartiennent aux trois cas dont je viens de parler
et les fig 170 sont les seules qui puissent être expliquées a l'aide de
l'intégrale (C) et Rien ne seroit plus aisé que de
suivre de point en point, pour chacune d'elles la
formation des differentes lignes nodales qui les composent.
mais j'aurois à répéter des détails fastidieux qui peut être
ont déja été que trop rebattus dans la description des
figures que lamême intégrale (C) donne sur la plaque
quarrée. ainsi je me contenterai de presenter a cet
Cependant, afin de montrer comment la supposition \mathcal{A}=B,
appliquée aux plaques rectangulaires dont les côtés sont
inégaux entr'eux peut donner lieu a des figures
dependantes du rapport entre les mêmes côtés, figures très et très
differentes parconséquent de celles qui ont été expliquées
pour la plaque quarrée; je crois devoir entrer dans
le détail de la formation dela fig. 163b
En tête, au milieu, « (100) », non barré ; aucun nombre en haut à
droite : c'est le dos du feuillet de la vue 509. Le feuillet est monté
bas sur sa feuille de garde. La première ligne achève la phrase de la
vue 509 (« suivant la remarque de l'auteur, / 2 lignes nodales… ») ; le
premier chiffre peut se lire 3, le second, surchargé, est lu 4 ; la fin
de « parallelles » et de « doit » est surchargée. Dans « 5|0 », le 5 a
la forme de celui de la vue 501. La note de la marge de gauche, d'une
plume plus fine, remplace le passage barré qui lui fait face (« Parmi
les figures… (C) et ») ; « d'acoustique » y est écrit au-dessus de
« traité », dont l'« s » final est barré d'une petite croix, et le
groupe barré avant « toutes » commence par « de » et ne se lit pas
au-delà. Dans le passage barré, « pl. 6 du traité d'acoustique » est
écrit au-dessus de « ont été ». « ainsi je me contenterai de presenter a
cet » reste inachevé au bout de la ligne ; un petit signe en forme de
virgule est sous « quarrée ». « ont » (« qui peut être ont déja été »)
est écrit sur un autre mot. Tout le dernier paragraphe, de
« Cependant » à « fig. 163b », est barré ligne par ligne ; « figures
très » est écrit au-dessus de « et très », lui-même barré. Le bas du
feuillet est blanc.
egard quelques reflexions générales et de les appliquer,
par forme d'exemple, à la figure 163b que je supposerai
tracée.
Lorsque les suppositions successives \mathcal{A}=0 et B=0 donnent
lieu, l'une et l'autre, à des la formation de nombres pairs de lignes
nodales droites parallelles entr'elles, les valeurs de f(x) et de
f(y) considérées prises à l'origine a sont peuvent être egales entr'elles
parceque toutes deux sont dela forme 2(1+e^{\omega}); ces deux
valeurs sont peuvent encore être egales entr'elles lorsque les suppositions
\mathcal{A}=0 et B=0 donnent lieu l'une et l'autre àlaformation
de ligne nombres impairs delignes nodales droites; car alors
ces deux fonctions sont dela forme 2(1-e^{\omega}); Mais si les
mêmes suppositions, savoir \mathcal{A}=0 et B=0, donnent lieu, l'une
à la formation d'un nombre impair de lignes nodales
parallelles entr'elles, et que l'autre entraîne laformation
d'un nombre pair de pareilles lignes, on ne pourra
plus regarder f(x) et f(y) comme égales entr'elles à
l'origine, car quoique la valeur de \underline{\omega} soit egale
de part et d'autre.
Il résulte de ceque je viens de dire, que la supposition
\mathcal{A}=-B qui dans aucun cas, excepté celui du quarré, ne peut donner lieu
àla formation delignes nodales parallelles et diagonales
ne peut même ne peut même donner lieu a la formation
En tête, au milieu, « (101) » ; en haut à droite, à l'encre, d'une
écriture plus ronde, « 251 ». La première ligne achève la phrase
inachevée de la vue 510 (« de presenter a cet / egard »). Le numéro de
la figure est « 163 » suivi d'un signe souligné qui peut se lire « b »
ou « 6 » ; c'est la figure dont la vue 510 annonçait, dans le passage
barré, « le détail de la formation ». « la formation de » est écrit
au-dessus de « des », lui-même surchargé d'une petite croix. Le mot entre
« parallelles » et « diagonales » est surchargé et peut-être barré. Le
bas de la page porte une ligne entièrement barrée, et la phrase reste
en suspens ; elle se poursuit à la vue 512.
sur les plaques rectangulaires, ne peut même expliquer laformation
d'une ligne nodale ayant son origine au point \underline{a} que
dans le seul cas où les suppositions \mathcal{A}=0 et B=0 entraînent
l'une et l'ont l'autre la formation de nombres pairs
ou celle de nombres impaires de lignes nodales droites.
La fig. 175b de Mr Chladni présente un exemple
de ce cas; par et les suppositions \mathcal{A}=0 et B=0
donnent en effet 2|0 et 0|4.
Si dans le cas où les suppositions successives
\mathcal{A}=0 et B=0 donnent lieu, l'une à un
nombre pair, l'autre à un nombre impair
de lignes nodales droites, on vouloit avoir
une figure dont une des lignes nodales commençat
au point \underline{a} d'origine, aulieu de la supposition
\mathcal{A}=-B, il faudroit faire celle-ci
\mathcal{A}(1-e^{\omega}) = -(1+e^{\omega})B. La fig. 163b (V. la table)
paroît appartenir à cette supposition hypothèse; et en la supposant
tracée, on voit qu'elle satisfait à toutes les conditions
que la théorie exige. En effet à partir du point
\underline{a} la ligne nodale s'avance diagonalement vers le point
i qui lui est opposé parceque f(x) et f(y) qui
etoient les quantités (1-e^{\omega})f(x) et (1+e^{\omega})f(y) qui étoient egales au
point \underline{a}, diminuent en même tems jusqu'à ceque elles de
En tête, au milieu, « (102) », non barré ; aucun nombre en haut à
droite : c'est le dos du feuillet de la vue 511. La première ligne
continue la phrase de la vue 511 (« qui dans aucun cas […] ne peut
donner lieu àla formation delignes nodales parallelles et diagonales /
sur les plaques rectangulaires, ne peut même expliquer… »). Une petite
croix au-dessus de « ou », en tête de la ligne « ou celle de nombres
impaires », semble signaler un ajout ; elle n'appelle aucune note.
« fig. 175b » et « fig. 163b » : le dernier
signe, souligné (rendu en
deviennent nulles en même tems àlafois au point i. À partir de ce point
la ligne entre dans un intervalle où les plus grandes valeurs des mêmes quantités
(1-e^{\omega})f(x) et (1+e^{\omega})f(y) sont égales entr'elles, ou cequi revient aumême
quant a l'effet physique, presqu'égales entr'elles. et c'est pourcela
que, suivant ceque j'ai expliqué N.o 11, àl'occasion
dela quatrième valeur del'angle \underline{\omega}, la figure nodale
montre quatre branches autour d'un point \underline{m} de cet
intervalle. Il en est demême pour les autres intervalles
où se trouvent de semblables points \underline{m}; et quant au
changement de direction dela courbe, j'ai eu
occasion tant de fois d'en expliquer la cause que
je me contenterai de renvoyer au même N.o 11
dans lequel au passage du N.o 11 que j'ai cité plus
haut. et Il me suffira donc de remarquer que conformément
à la théorie, la presente figure nodale passe par
les 12 points de repos invariables.
Il est évident que les autres figures 163 données par
Mr Chladni, remplissent également cette condition;
car l'une d'elles montre quatre lignes nodales sinueuses
ayant chacune une flexion et \frac{1}{2}, et l'autre
presente 3 lignes nodales sinueuses ayant chacune
2 flexions complettes; et on se rappelle qu'une flexion
1 \frac{1}{2} passe par trois points de repos invariables,
tandis que deux flexions complettes passent par
En tête, au milieu, « (103) » ; en haut à droite, à l'encre, d'une
écriture plus ronde, « 252 ». Le feuillet est monté bas sur sa feuille
de garde. La première ligne achève la phrase de la vue 512 (« jusqu'à
ceque elles / deviennent nulles »). La fin de « deviennent » est
surchargée. « intervalle » et « physique » portent sur l'« s » final la
petite croix qui annule un pluriel ; le singulier est donné. « les plus
grandes valeurs » est écrit au-dessus de la ligne, et « des » est écrit
sur « les » ; « entr'elles », ajouté au-dessus de « égales », est barré.
La fin d'« autour » est noircie. « Il », après « haut. », est écrit sur
un « et » barré. Dans « une flexion \frac{1}{2} », le signe barré avant
la fraction paraît être un 1. « repos invariables » est souligné, comme
« flexion » et « flexions ». La phrase se poursuit à la vue 514.
quatre pareils points de repos invariables.
On peut établir comme une regle générale pour juger
aquelle valeur de l'angle \underline{\omega} se rapporte une figure
nodale composée de lignes sinueuses, que si
\underline{m} est le nombre des lignes droites nodales auxquelles
la supposition \mathcal{A}=0 donne lieu, et que \underline{n}
soit le nombre des lignes droites nodales qu'entraîne
la supposition B=0, la figure sera
necessairement composée de \underline{m} lignes sinueuses
ayant chacune \frac{n}{2} flexions, ou de \underline{n} lignes
également sinueuses dirigées dans le sens opposé
aux premiers, et presentant chacune \frac{m}{2} flexions.
On voit donc que la considération des points de
repos invariables àlaquelle j'ai déja eu recours plusieurs
fois, est du plus grand secours pour l'explication
des figures qui sont assujetties à passer par
chacun d'eux; mais je me dispenserai defaire
de nouvelles applications de la regle précédente, et
je passerai toutdesuite àla considération des intégrales
periodiques.
N.o 18 surfaces periodiques. Pour appliquer les intégrales
données N.os 4 et 5 au cas des surfaces rectangulaires
differentes du quarré, il faut multiplier
En tête, au milieu, « (104) », non barré ; aucun nombre en haut à
droite : c'est le dos du feuillet de la vue 513. Le feuillet est monté
bas sur sa feuille de garde. La première ligne achève la phrase de la
vue 513 (« deux flexions complettes passent par / quatre pareils
points »). Le B de la seconde supposition est écrit sur une autre
lettre, peut-être la capitale bouclée \mathcal{A}. « flexions » est
souligné la première fois, non la seconde ; « surfaces periodiques »,
titre du N.o 18, est souligné. « aux premiers » est
écrit ainsi pour « aux premières ». La fin de « toutdesuite » est
surchargée. La phrase se poursuit à la vue 515.
les ordonnées parallelles au plus petit côté par la fraction renversée
qui exprime le rapport entre la longueur des deux côtés dela
plaque rectangulaire, desorte que si, par exemple, les longueurs
des deux côtés sont entr'elles ::s:t t etant < que s, la forme
generale de ces equations sera
z = \ldots\ldots\,\text{sin}.\Big(\frac{\pi.tmx}{tA}\Big)\,\text{sin}\Big(\frac{\pi.sny}{tA}\Big).
Cette formule montre qu'il y aura \underline{m} lignes nodales parallelles
à l'axe des \underline{y} et \underline{n} lignes nodales parallelles à l'axe des
\underline{x}, et que, si on changeoit m en n, la figure seroit
alors fort differente dela premiere.
Elle montre aussi que le son doit en général être
proportionnel au nombre \frac{t^2m^2+s^2n^2}{t^2}.
Mr Chladni n'a pas jugé necessaire defaire connoître
la p la totalité des figures qu'il a observées sur les plaques
rectangulaires differentes du quarré; mais celles qu'il a
données presentent un caractere important pour essayer
vérifier la théorie, et je regrette de n'avoir pas assez
de tems pour entrer dans le détail de leur description
individuelle. Cependant, en me bornant même à des
généralités, j'espère pouvoir rendre un compte suffisant
des singularités que presentent les divers groupes
d'équations que Mr Chladni regarde comme
équivalents.
En tête, au milieu, « (105) » ; en haut à droite, à l'encre, d'une
écriture plus ronde, « 253 ». Le feuillet est monté sur sa feuille de
garde, dont une bande blanche occupe le haut de la vue. La première
ligne achève la phrase de la vue 514 (« il faut multiplier / les
ordonnées… »). « deux » est écrit au-dessus de « des », dont la fin est
surchargée. Dans la formule, la lettre qui précède ny au second
numérateur est écrite sur une autre et se lit s ; les deux
dénominateurs sont tA, et les points de suspension sont les siens,
comme au lot 22 (« = … », facteur laissé en blanc). La formule est
gardée telle qu'elle est écrite. Dans \frac{t^2m^2+s^2n^2}{t^2}, les
exposants sont écrits au-dessus des lettres, d'une plume plus fine.
Devant « totalité », « la » est surchargé et un « p » est barré.
« équivalents » est écrit sur « équivalentes ». Le bas du feuillet est
blanc.
Jusqu'ici je n'ai employé, pour rendre compte expliquer des distorsions
des figures nodales que la considération d'une seule forme
d'intégrale, desorte que ç'a toujours été par des changemens
exécutés effectués dans une seule et même équation, que
j'ai crû pouvoir expliquer le changement des lignes nodales
lorsque le son restoit le même.
Mais par la nature du genre de calcul qui convient
àlaquestion que je traite, non seulement les differentes
valeurs de \underline{z} qui résultent des diverses intégrales
particulieres, satisfont à l'équation differentielle, mais
la somme de plusieurs de ces valeurs y satisfait
également; et rien n'empêche de supposer en effet
que \underline{z} soit ainsi composé. Cependant, comme il faut
ne s'agit que des mouvemens qui doivent produire
un son mesurable, les valeurs de \underline{z} composées comme
je viens de le dire, ne peuvent être employées
que dans les cas où le son des differens termes
produits par l'addition des diverses valeurs de
\underline{z} qui viennent des intégrales particulieres
composantes, est le même pour chacune d'elles.
Pour effectuer l'application des formules composées
d'après le principe que je viens d'établir
En tête, au milieu, « (106) », suivi d'un point, non barré ; aucun
nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 515. Le
feuillet est monté sur sa feuille de garde, dont le haut et le bas
paraissent. La page commence un paragraphe nouveau. Après « employé »,
une virgule ou un « s » final. « des » (« des distorsions ») est écrit
sur « les ». « le son » est corrigé de « les sons » : l'« s » de
l'article et celui du nom portent la petite croix qui annule le
pluriel. « composé » (« que z soit ainsi composé ») : le « z » est
surchargé. La phrase reste en suspens au bas du texte, qui s'arrête aux
deux tiers de la page ; elle se poursuit à la vue 517.
il suffira de multiplier chacun des termes par une une constante
arbitraire, et de tracer les figures qui conviendront à la supposition
de toutes ces constantes nulles, excepté une supposée nulle. La rencontre
des differentes figures produites par les suppositions
successives des divers coëfficiens nuls, donnera un certain
nombre de points de invariables de repos, qui,
comme je l'ai dit ailleurs, devront appartenir
à toutes les figures renfermées dans la valeur composée
de \underline{z}. mais et Non seulement il peut existera
\times comme dans les cas qui ont été expliqués jusqu'ici, des points invariables
de repos, \times mais on pourra trouver aussi alors de veritables lignes de repos invariables.
par exemple et si pour plus de simplicité
Si on se borne au cas où la valeur de \underline{z} ne seroit
si pour plus de simplicité,
formée que dela somme de deux valeurs termes données
par deux intégrales particulieres differentes, on sentira
aisément qu'il pourra arriver en effet que les deux figures
appartenantes à chacune de ces deux valeurs ayent
une ligne nodale commune, et qu'alors la cette
ligne sera une veritable ligne invariable de
repos, desorte qu'elle sera commune àtoutes
les distorsions des figures appartenantes à
la valeur de \underline{z} ainsi composée.
A l'egard des conditions des limites, on voit ici
une nouvelle preuve de la necessité de distinguer
l'état analytique des extrémités physiquement
En tête, au milieu, « (107) », suivi d'un point ; en haut à
droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, « 254 ». Le feuillet est
monté bas sur sa feuille de garde, dont le haut blanc occupe le premier
quart de la vue. La première ligne achève la phrase de la vue 516
(« d'après le principe que je viens d'établir / il suffira… »). Le
premier « une » devant « constante » est noirci. « nulles » est écrit
au-dessus de « excepté une », et « supposée nulle » qui suivait est
barré. Les deux croix sont les siennes : celle qui est écrite
au-dessus de la ligne, devant « comme dans les cas qui ont été expliqués
jusqu'ici », appelle cet ajout, écrit d'une plume plus fine ; celle qui
suit « de repos, » en marque la place. Le verbe devant « trouver » est
surchargé et lu avec doute ; « alors » est écrit au-dessus de « aussi »,
barré. La note de la marge de gauche, « par exemple si pour plus de
simplicité », remplace le « Si » barré en tête de la ligne et le « si
pour plus de simplicité, » barré sous la ligne ; un mot court y est
barré après « exemple », peut-être « et ». Dans « on se borne »,
l'« s » final de « bornes » porte la petite croix qui l'annule. Le
texte s'arrête au bas de la page au milieu d'une phrase ; elle se
poursuit à la vue 518.
libres; car rien n'empêche de composer la valeur de \underline{z}
de termes qui satisferont aux aux conditions des extrémités
en vertu de differens couples d'équations, desorte
que le mot libre n'aura a proprement parler
ni l'une ni l'autre des significations que je lui
ai reconnues jusqu'ici, mais que sa valeur sera
composée des deux premieres
Pour appliquer la théorie que je viens d'établir aux
cas observés par Mr Chladni, je reprendrai la
formule \frac{t^2m^2+s^2n^2}{t^2} àlaquelle j'ai trouvé que le
son qui accompagnent accompagne les figures qui se forment
nodaldes plaques rectangulaires, devoit être proportionnel
en fesant s=6 t=5, m=4 et n=1 cette formule
devient \frac{16.25+96}{25} = \frac{4(109)}{25}.
en fesant toujours s=6 et t=5, mais prenant m=2, n=3,
on a par la même formule \frac{4.25+9.36}{25} = \frac{4(106)}{25}.
L'intervalle entre les sons qui appartiennent à ces deux
cas, est donc \frac{109}{106} c'est àdire beaucoup moindre qu'un
demi ton mineur et guere plus grand qu'un comma.
La limite des erreurs possibles dans les experiences les
mieux faites, et parconséquent aussi l'influence des
causes physiques inappréciables, est donc plus
grande que la distance entre les sons des
En tête, au milieu, « (108) », non barré ; aucun nombre en haut à
droite : c'est le dos du feuillet de la vue 517. Le feuillet est monté
bas sur sa feuille de garde, dont le haut blanc occupe le premier
quart de la vue. La première ligne achève la phrase de la vue 517
(« des extrémités physiquement / libres »). Le premier « aux » est
écrit sur un autre mot et répété. « premieres » n'a pas de point. Dans
« accompagnent », la finale « -ent » est barrée ; un trait vertical
sépare « les » de « figures ». En tête de la ligne suivante, « des » est
écrit sur un mot commencé, qui paraît être « nodal- » : la lecture en
est incertaine. Le terme « 96 » du premier numérateur : le premier
chiffre a la boucle fermée d'un 9 ; le calcul (s^2n^2 = 36, et
16\cdot25+36 = 436 = 4\cdot109) demande 36, le 3 de cette main ayant
une queue qui le fait prendre pour un 9 ; la page est gardée telle
qu'elle se lit. Le second calcul, 4\cdot25+9\cdot36 = 424 = 4\cdot106,
est juste. Le « 1 » de « 109 » au membre de droite est surchargé.
« comma » est souligné. Une petite croix à l'encre pâle, sous
« appartiennent », n'appelle rien. La phrase se poursuit à la vue 519.
deux cas dont j'ai parlé, et ces cas peuvent parconséquent
produire des figures comp résultantes de la
somme des termes qui composent les valeurs de
\underline{z}, convenables a chacun d'eux.
D'ailleurs Au reste le son de 4|1
qui appartient au cas des
vibrations tournantes, peut, comme
on sait, être plus grave que ne
l'indique le er
C'est ceque Mr Chladni a observé (V. N.o 114 fig. 157)
et parceque l'une et l'autre valeur de \underline{n} donne
une ligne droite nodale parallelle au plus grand
côté dela plaque et passant par le centre de
la figure, cette ligne sera une veritable ligne
invariable de repos et devra se trouver, comme
elle se trouve en effet dans toutes les figures
qui appartiennent à la même forme de l'angle \underline{\omega}.
Dans le cas précédent les deux termes de
\underline{z} étoient donnés par une même equation
périodique mais ils peuvent être produits également
, comme je l'ai déjà dit, par des intégrales
entièrement differentes entr'elles
C'est ainsi par exemple que suivant la remarque de
Mr Chladni (V. N.o 115) lorsque les côtés dela plaque
sont entr'eux ::5:4 les sons qui accompagnent des figures 5|0 et
1|4 sont les mêmes et que ces fig. presentent montrent des differences variations qu cit l'auteur
En tête, au milieu, « (109) » ; en haut à droite, à l'encre, d'une
écriture plus ronde, « 255 ». La première ligne achève la phrase de la
vue 518 (« la distance entre les sons des / deux cas dont j'ai
parlé »). « cas », en tête, est surchargé et semble barré. La note de
la marge de droite, d'une plume plus fine, est placée en face de « C'est
ceque Mr Chladni a observé » et des lignes qui
suivent ; aucun signe ne l'appelle dans le texte. Son premier mot,
barré, est lu avec doute « Au reste » ; « D'ailleurs » est écrit
au-dessus. La figure de Chladni qu'elle nomme a pour second chiffre un
trait vertical qui peut être un 1 ou un 3 mal formé ; la vue 501 citait
« 4|3 fig. 80 ». Le mot après « comme on » est surchargé. Le mot
barré devant « nombre » est court et ne se lit pas. À la ligne de
« valeur de \underline{n} », une grosse tache d'encre précède « de ».
« l'angle » est écrit au-dessus de \underline{\omega}, lui-même écrit
sur une autre lettre. La virgule qui ouvre la ligne « , comme je l'ai
déjà dit » est bien en tête de ligne. À la dernière ligne, « qui
accompagnent » est écrit au-dessus de « des », barré ; « que ces fig. »
au-dessus de « montrent », lui-même écrit au-dessus de « presentent »,
barré ; « variations » au-dessus de « differences », barré. La fin de la
ligne est surchargée : après « qu », une lettre ou un accent illisible,
puis un groupe barré qui paraît être « cit », puis « l'auteur ». La
phrase se poursuit à la vue 520.
qu'il a représentées par les figures 158. On voit en
effet en repassant mettant s=5 t=4, m=1 et n=4 dans
la formule \frac{t^2m^2+s^2n^2}{t^2}, elle donne \frac{\ill{}.16+25.16}{16} = \struck{\frac{\ill{}}{16}} = 26
pour le nombre auquel le son de 1|4 doit être proportionnel
et que la théorie d'Euler fo d'après la théorie d'Euler,
le nombre auquel 5|0 est proportionnel étoit
\frac{81}{4}.\frac{25}{16}; d'où il suit et parconséquent que les sons doivent égaux
qui appartiennent à l'un et l'autre cas, doivent être
égaux entr'eux, car leur rapport est exprimé par
la fraction 1125 entr'eux ::2025:1664. c'est-àdire
à peu près ::5:4. q Le rapport précédent indique une
différence de 2 tons environ entre les sons que l'on
compare; et en se rappellant que les vibrations
tournantes presentent sont toutes plus graves de
d'un intervalle qui a pour limite d'une part 1 ton
et de l'autre 2 tons et \frac{1}{2} ton, que ne semble
l'exiger leur comparaison avec les sons dela simple lame
on sentira que la réunion des termes qui conviennent
a 5|0 et a 1|4 doit donner lieu à des figures
compliquées par leur influence simultanée
Si le terme dû à 5|0 donnoit, s s'il étoit seul,
5 lignes nodales droites et parallelles entr'elles et
En tête, au milieu, « (110) », non barré ; aucun nombre en haut à
droite : c'est le dos du feuillet de la vue 519. Le feuillet est monté
sur sa feuille de garde, dont le bas blanc occupe le dernier tiers de
la vue. La première ligne achève la phrase de la vue 519 (« des
variations qu… l'auteur / qu'il a représentées par les figures 158 ») ;
« qu'il » y est repassé. Dans « m=1 » et « n=4 », les chiffres sont
écrits sur d'autres, noircis. Le premier facteur du numérateur, devant
« .16 », est surchargé et ne se lit pas (le calcul, t^2m^2 = 16,
demande 1) ; la fraction intermédiaire, barrée, a un numérateur de trois
chiffres surchargés (on lit « 281 », là où 16+400 = 416). Le « 81 »
de \frac{81}{4} est repassé. Le mot barré devant « doivent égaux » est
court et ne se lit pas ; le groupe barré après « plus graves »
commence par « de ». « 2025 : 1664 » est juste
(\frac{81}{4}\cdot\frac{25}{16} = \frac{2025}{64} et 26 =
\frac{1664}{64}) ; la fraction barrée « 1125 » n'a pas de dénominateur.
« compliquées » est écrit sur « compliqués », « simultanée » sur une
autre fin de mot. La page s'arrête sur « entr'elles », suivi d'un « et »
barré ; la phrase se poursuit au-delà de ce lot, à la vue 521.