Français 9115 · lot 28 · vues 541–560 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
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Numérotation des feuillets. Sa pagination, entre parenthèses en tête et au milieu : (131) vue 541, (132) vue 542, (132) de nouveau vue 543, (133) vue 544, (13?) vue 545, le dernier chiffre récrit, sans doute 4 sur 2, (135) vue 546, (136) vue 547, (137) vue 548, (138) vue 557, barré d'un trait, (139) vue 560. En haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, la série qui court dans tout le volume : 266 (vue 541), 267 (543), 268 (545), 269 (547), 270 (549), 271 (551, feuillet blanc), 273 et 272 (les deux petits feuillets de la vue 553, de haut en bas), 274 (555), 275 (557, repris à la vue 559). Cette série numérote des feuillets, petits feuillets et feuillet blanc compris ; elle occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au crayon, et aucun « f. » n'est donc porté. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Ne sont pas transcrites : la vue 550, dos blanc de la feuille de la vue 549 ; les vues 551 et 552, feuillet 271 blanc des deux côtés ; les vues 554, 556 et 558, dos blancs des feuilles de montage, où le petit feuillet 273 se lit par transparence ; la vue 559, seconde prise de vue de la page de la vue 557.

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En laissant toujours un premier côté chargé de cire j'en ai ajouté une egale quantité, savoir 1 gros 2 grains, que j'ai collée dans toute l'étendue d'un second côté contigu au premier.

En tirant toujours le son de l'angle libre, il s'est trouvé entre re et re\(^{\sharp}\) 1. Après le nom de la note, un trait vertical appuyé, lu « 1 », comme dans « entre mi et fa 1 » à la page précédente (vue 540, hors de ce lot) ; c'est, semble-t-il, le numéro de l'octave, compté à partir de celle du la du diapason, comme elle le définit à la vue 539. Le dièse est écrit « \(\sharp\) » au-dessus de la ligne.

La ligne nodale parallelle au second côté chargé, s'est rapprochée de ce côté, de manière que l'intersection des deux lignes nodales s'est faite à environ 45 millimetres de l'un et l'autre côté chargés.

En laissant encore le premier côté chargé comme je l'ai expliqué plus haut, aulieu d'appliquer la seconde dose de cire à un des côtés contigus à ce [premier] côté, je j'ai fait la même application au côté opposé à ce même premier côté.

Le son étoit alors un plus grave que dans le cas précédant, car il étoit juste [exactement] re 1. « un plus grave » : ainsi sur le feuillet, sans mot entre « un » et « plus ».

La figure nodale est restée absolument la même que sur la plaque non chargée; seulement les lignes nodales occupoient plus d'espace parceque le son étoit plus foible qu'avant l'addition de la cire.

Une précaution indispensableLe pluriel « indispensables » est annulé par un petit « x » sur la dernière lettre ; on donne le singulier. dans les experiences de rigueur est de laver souvent la plaque avec une liqueur

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spiritueuse, parceque à cause dela foiblesse des sons, la moindre trace de cire sur colleroit la poussière et empêcheroit les figures de se former Un long trait continu barre « sur colleroit la poussière et » ; « sur » est en outre repassé d'un trait plus lourd.

explication

Pour se rendre compte des six résultats des experiences précédentes, il faut remarquer que le poids dela plaque non chargée étant 1 once 18 grains, 1 gros 2 grains que pesent chaque portion de cire ajoutée, est aussi exactement qu'il convient à l'experience, la huitième partie de ce poids, desorte qu'en serappellant que la longueur du côté dela même plaque est 106 millimetres, on trouvera que chaque portion de cire ajoutée doit équivaloir à \(\frac{106}{8}\) millimetres \(=\) environ 13 millim. de prolongement du côté auquel l'application a été faite. Une tache d'encre couvre le milieu du mot lu « environ ».

Cela posé, il est aisé de voir cequi doit arriver dans chacun des cas que j'ai soumis à l'experience. D'abord en fesant une seule addition, la plaque qui étoit de 106 millimetres quarrés, est fictivement transformée en une plaque rectangulaire dont les côtés sont entre eux \(:: 106 : 119\) à très peu près \(:: 8 : 9\). Le son doit donc être proportionnel au nombre \(\frac{9^2+8^2}{64} = \frac{145}{64}\) tandis que dans la plaque

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non chargée le son qui accompagne la même figure est proportionnel au nombre 2. et la difference devra [Le rapport de ces deux sons] être [sera exprimé par] \(\frac{145}{128}\) qui ne diffère pas [à peine] d'une quantité appréciable de rapport \(\frac{144}{128} = \frac{9}{8}\), c'est-àdire d'un ton majeur. « Le rapport de ces deux sons » est écrit au-dessus de « et la difference devra », barré ; « sera exprimé par » au-dessus de « être », barré ; « à peine » au-dessus de « pas », barré avec la fin de la ligne.

Et En effet, tandis que le son dela plaque non chargée est un peu plus bas que sol 1, celui de la plaque dont un des côtés est chargé, est entre mi 1 et fa 1. Après « sol », une tache d'encre couvre un trait vertical, où l'on attend le même « 1 » qu'après « mi » et « fa ».

A l'égard dela figure, qui repose la ligne nodale parallelle au côté chargé, doit être à \(\frac{119}{2}\) [\(=59+\frac{1}{2}\)] millimetres du côté opposé, et à \(59+\frac{1}{2}-13 = 46+\frac{1}{2}\) millimetres du côté chargé. L'experience ne donne, àla vérité, que 58 millimetres pour une de ces distances et 45 pour l'autre, mais il faut observer qu'il ya environ 3 millimetres d'occupés tant par la ligne nodale que par l'application dela cire.

En fesant une seconde addition au côté contigu au premier, la plaque, que [qui] non chargée étoit de 106 millimetres quarrés, est fictivement transformée en une plaque de 119 millimetres quarrés; le rapport des sons de ces deux plaques est donc exprimé par \(\frac{9^2}{8^2} =\) 2 tons majeurs. en effet j'ai trouvé un

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de ces sons plus bas que sol 1 et l'autre entre re 1 et re\(^{\sharp}\) 1.

Par la même raison que dans le cas precedent, chacune des lignes nodales doit être à \(59+\frac{1}{2}\) millimetres du côté chargé; et l'experience y est conforme en ayant toujours égard à l'espace occupé par ces lignes et par l'application dela cire.

Enfin lorsque l'on fait l'addition à deux côté des côtés opposés,« à » paraît corrigé sur « au » : un accent grave ajouté, la fin du mot barrée. la plaque est fictivement augmentée de 13 millimetres à chacune de ces extremités; desorte qu'elle est transformée en une plaque rectangulaire dont les côtés sont entre eux à fort peu près \(:: 10 : 8\).

Ainsi le son doit être proportionnel au nombre \(\frac{10^2+8^2}{8^2} = \frac{41}{16}\), et pour la rapport difference de ce son à celui de la plaque non chargée, est exprimée par \(\frac{41}{32}\), c'est-àdire qu'elle est un peu \(>\) que 2 tons majeurs. L'experience donne en effet de re 1 à sol 1 – aigu plus de deux tons majeurs.

Dans cette experience [le cas présent] l'addition se fesant de part et d'autre dela ligne nodale, celle-ci ne doit pas se déplacer; et c'est aussi ceque montre l'experience

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Une chose fort remarquable dans le phénomène dont je viens de rendre compte, est qu'au moyen d'un poids ajouté, on puisse obtenir d'une partie très petite comprise entre le côté chargé et la ligne nodale parallelle la plus voisine de ce côté, le même son que rend en même tems une partie [beaucoup plus grande] prise sur la même plaque et comprise entre deux lignes egalement parallelles au côté chargé. « beaucoup » est écrit en bout de ligne, « plus grande » dans l'interligne au-dessous, d'une plume plus fine. Sur cette page, « parallelle » et « nodale » (deux fois) et « transversale » portent sous la dernière lettre la petite croix qui annule un pluriel ; on donne le singulier.

Ainsi, par exemple, j'ai pris une lame de verre longue de 20 centimetres et large de 23 millimetres. cette lame pesoit 4 gros 12 grains. La figure form composée d'une seule ligne nodale suivant la longueur, et de 2 suivant la largeur, s'[y] est formée très régulièrement, sur cette lame c'est-àdire que l'espace entre les deux lignes transversales, étoit exactement double de celui entre l'une de ces lignes et l'extremité la plus voisine. Le chiffre lu « 2 » a une longue hampe descendante, et pourrait passer pour un 5 ; « les deux lignes transversales », deux lignes plus bas, appuie 2.

Après avoir ajouté 1 gros 3 grains à une des lignes d'extremités dela même lame, la ligne nodale la plus voisine parallelle au côté chargé s'est formée à 12 millimetres de ce côté, et la seconde ligne parallelle à 121 millimetres dela premiere. Il restoit 61 millimetres environ entre cette seconde ligne transversale et l'extremité opposée au côté chargé, desorte que 6 millimetres apeuprès 6 millimetres étoient occupés par la cire, la premiere ligne transversale et

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et par la seconde des mêmes lignes bien plus large que la premiere à cause de l'accumulation dela poussiere autour du point d'application des doigts.

Je ne m'arrêterai pas à l'explication de cette experience. je veux seulement faire remarquer que, dans le cas présent, une portion 12 millimetres pris entre le côté chargé et la ligne parallelle la plus voisine, donnent le même son que les 121 millimetres compris entre les deux lignes transversales, et que pourtant une de ces portions est dix fois plus p étendue que l'autre. Sur « son », la petite croix qui annule un pluriel ; de même plus bas sur « être » et « soumis ».

J'ai reconnu qu'en général, on peut toujours en employant un côté d'une plaque élastiq l'addition d'une matière pesante et non élastique; tirer d'une portion comprise entre la ligne d'application et la ligne nodale parallelle la plus voisine aussi petite que l'on voudra [d'une plaque élastique,] le même son que d'une autre portion de longueur donnée prise sur la même plaque « un côté d'une plaque élastiq », barré, est écrit dans l'interligne au-dessus de la fin de la première ligne ; « d'une plaque élastique, » dans l'interligne au-dessus de « le même son ». Un trait court sous « en employant », au niveau de la ligne, a été pris pour un trait de liaison et non pour une rature : sans ces mots la phrase n'aurait pas de verbe.

L'explication physique de ce phénomène me paroît facile; en effet on conçoit qu'en fesant abstraction de lagene, qui tend à affoiblir le son nuit à l'intensité du son, les differens points dela plaque vibrante doivent être absolument soumis aux mêmes conditions, soit que le prolongement de cette plaque soit effectif La fin de « paroît » est couverte d'une tache. « lagene » : sans doute « la gêne », écrit d'un seul mot, sans accent visible.

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soit que l'addition d'une matière pesante et capable de faire equilibre àla portion dont la plaque devroit être prolongée, tienne lieu dela cette portion prolongation. Si ces deux cas peuvent [doivent] être considérés comme entierement équivalans, on peut concevoir la substitution dela matière et non élastique àla portion de surface élastique qu'elle remplace, com comme effectuée à une distance quelconque dela ligne nodale; desorte que, comme je l'ai dit plus haut, une partie aussi petite que l'on voudra soit equivalante à une autre partie prise sur la même pl surface et d'une étendue donnée. Une tache d'encre couvre le milieu du mot lu « equivalante ». Le trait qui passe sur « portion », devant « prolongation », est léger ; on le tient pour une rature, les deux mots ne pouvant rester ensemble.

Il est également facile de concevoir

L'analyse montre également que l'addition dela cire peut être faite à une distance quelconque de l'origine. En effet, si on se rappelle que les termes qui doivent être nuls sont nulls aux limites dela surface, sont tous [les deux] multipliés par un facteur dependant de la rigidité naturelle dela matière supposée elastique, on concevra que tout point dans le quel ce facteur est [sera] nul, satisfera aux conditions des extremités, independamment des valeurs des coordonnées de la surface, c'est-àdire [c'est-àdire] et parconséquent desorte que cette surface pourra alors se terminer partout où on voudra « satisfera » : la fin du mot est récrite à l'encre plus lourde, apparemment sur « satisfait » ; la lecture est offerte d'après « sera » ajouté au-dessus de « est ». « les deux » est écrit au-dessus de « tous ».

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Tout ce qui Les applications que j'ai faites jusqu'ici, ne regardent [généralement] qu que les plaques rectangulaires, ou, lors [si] elles comprennent aussi d'autres figures, ce n'est qu'en considerant qu'en considerant tant que ces dernieres peuvent être considerées comme parties integrantes d'une plaque rectangulaire en quelque sorte qu'accidentellement et sous certaines conditions particulières, dépendantes del'état des extremités.

Il faudroit encore beaucoup de tems et de recherches [travail] pour déterminer egalement les figures et les sons [manières de vibrer] dont sont susceptibles des plaques de formes plus compliquées. cependant avant de terminer ce me je ne prétends pas épuiser une matière si abondante; cependant, avant de terminer ce memoire, je vais encore présenter quelques recherches relatives au cas des plaques circulaires, qui « matière » et « memoire » portent sur la dernière lettre la petite croix qui annule un pluriel.

§ 7. Recherche d'une intégrale particulière immédiatement applicable au cas d'une plaque elastique circulaire Le titre est souligné. Le signe lu « § » a la forme d'un D pointé ; « d'une » est récrit sur un premier « D ».

N.o 21. Il faut commencer par transformer l'équation différentielle des surfaces élastiques vibrantes. En prenant donc le plan des \(\underline{x}\) et \(\underline{y}\) parallelle au plan de la plaque en repos, designant par \(\underline{r}\) le rayon du cercle et par \(\underline{\varphi}\) l'angle qu'un rayon passant par le point auquel appartiennent les coordonnées \(\underline{x}\) et \(\underline{y}\) [fait avec un des axes,] on pourra toujours faire Le numéro lu « 21 » : le premier chiffre a la boucle basse de ses 2 ; on ne peut exclure 31.

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Un autre papier que la mise au net qui précède : une feuille de brouillon, écrite d'une main rapide, très raturée, en deux encres. La première ligne et les quatre suivantes sont d'une encre pâle ; le reste d'une encre noire. Dans la marge de gauche, le cachet de la Bibliothèque (« Bibliothèque impériale, MSS »), non transcrit. En haut à droite, à l'encre, le nombre 270.

\(z = \dots \{ e^{\frac{\omega x}{a}} - e^{\frac{(a-\omega)}{a}x} + (1\) Ligne isolée en tête de la feuille, d'une encre pâle, interrompue après « (1 ». Elle n'a pas de rapport visible avec ce qui suit.

\(D\) Si après avoir effacé cequi se détruit on divise par [\(+\frac{dv}{dr}\)] la même équation se reduira à

\(\frac{dv}{dr} + \frac{h}{k}\,v = 0 \dots (D)\) La capitale lue D, dans la marge devant « Si » et dans le renvoi « (D) », a la forme d'un dôme posé sur un trait ; on pourrait y voir un \(\Omega\). La lecture D s'accorde avec « \(\frac{K}{CD}\) » plus bas, où la même lettre revient. L'addition au-dessus de « par la » est traversée d'un trait qui peut être une rature.

Il est évident que l'on doit parvenir obtenir, deux deux On parviendroit également aux les equations (B) et (D) en traitant la question d'une manière spéciale

Pour y parvenir il faut remarquer que dans l'hypothèse présente le mouvement dela chaleur a lieu àla fois dans deux directions differentes. suivant la premiere elle penetre dans une portion infiniment peu épaisse du cylindre, la seconde car elle penetre dans une la tranche infiniment petite d'une [qui appartient à un disque d'une épaisseur infiniment petite aussi] couche [parallele] de ce cylindre, infiniment petite elle même [[…]] de la […] dela chaleur Passage très surchargé. « qui appartient à un disque d'une épaisseur infi- » est écrit dans l'interligne au-dessus de « infiniment petite elle même », barré ; la fin du mot descend en ondulant le long du bord droit, et « aussi » est écrit au-dessus. Un petit mot abrégé, illisible, au-dessus de « même ».

En appliquant ici l'analyse employée N.o 19 l'accroissement que dela chaleur qui reçoit pendant l'instant \(dt\) résultant [est dû] du [au] mouvement qui s'exécute dans la couche comprise entre la surface dont le rayon est \(r\) et en appliquant ici l'analyse employée dans cette […] N.o […] celle dont le rayon est \(r+dr\), fournit dans l'équation [(C)] les deux termes \(\frac{K}{CD}\left(\frac{d^{2}v}{dr^{2}} + \frac{1}{r}\,\frac{dv}{dr}\right)\). « En appliquant ici l'analyse employée N.o 19 » est écrit dans l'interligne, au-dessus de « l'accroissement ». Devant « les deux termes », dans la marge, un mot barré suivi de « (C) », et au-dessus « […] (C) » où le premier groupe est barré.

[l'analyse employée N.o 14 peut servir à prouver que] On voit également, le troisième terme \(\frac{K}{CDrr}\,\frac{dv}{d\varphi}\) du second membre dela même équation (C) est dû au mouvement qui dela chaleur qui pendant l'instant \(dt\) s'exécute dans la tranche infiniment petite comprise entre une section placée àla distance \(r\varphi\) et une autre section placée àla distance \(r\varphi + r\,d\varphi\)

l'analyse employée N.o 14 Au-dessus de la fin de la ligne du troisième terme, un « 2 » isolé semble l'exposant oublié de \(\frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\) ; la fraction est donnée telle qu'elle est écrite. Dans la marge de gauche, en colonne, des essais de plume : un mot répété plusieurs fois, lu « tranche » par endroits, puis « on voit » barré et « que ». La page s'arrête sur la ligne barrée, un trait court au-dessous.

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Deux petits feuillets de calculs collés sur une même feuille de montage, l'un en haut, l'autre en bas, chacun avec son nombre à l'encre en haut à droite : 273 sur celui du haut, 272 sur celui du bas. On les donne dans l'ordre où la vue les présente, de haut en bas.

\[\frac{dz}{dx} = \text{cos}\,\varphi\,\text{cos}\,\delta\,\frac{dz}{dr} - \frac{\text{sin.}\,\varphi\,\text{cos}\,\delta}{r}\,\frac{dz}{d\varphi} - \frac{\text{sin.}\,\delta\,\text{cos}\,\varphi}{r}\,\frac{dz}{d\delta}\] \[\frac{dz}{dy} = \text{sin}\,\varphi\,\text{sin.}\,\delta\,\frac{dz}{dr} + \frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{cos.}\,\delta}{r}\,\frac{dz}{d\varphi} - \text{sin}\,\delta\,\text{sin.}\,\varphi\,\frac{dz}{dr}\] \[\frac{d^{2}z}{dx^{2}} = \frac{\text{sin}^{2}\varphi}{r^{\ill{}}}\,\text{cos.}\,\delta\,\frac{dz}{dr}\] Feuillet du haut (273), écrit sur son tiers supérieur seulement. Au dernier terme de la deuxième ligne le feuillet porte \(\frac{dz}{dr}\) où la première ligne a \(\frac{dz}{d\delta}\) ; donné tel quel. L'exposant de \(r\) à la troisième ligne est couvert d'une tache.

En prenant le rayon constant \(r = a\) \[\frac{dz}{dx} = -\,\frac{\text{sin}\,\varphi}{a}\,\frac{dz}{d\varphi}\] \[\frac{d\left(\frac{ddz}{dx^{2}} + \frac{ddz}{dy^{2}}\right)}{dx} = -\,\frac{\text{sin}\,\varphi}{a^{3}}\,\frac{d^{2}z}{d\varphi}\] l'equation des extrêmités \[\left(\frac{d^{2}z}{dx^{2}} + \frac{d^{2}z}{dy^{2}}\right)\delta\frac{dz}{dx} - \frac{d\left(\frac{ddz}{dx^{2}} + \frac{ddz}{dy^{2}}\right)}{dx}\,\delta z = 0\] sera satisfaite par la condition \(\text{sin}\,\varphi = 0\) qui donne en même tems \(dx = a\,\text{sin}\,\varphi\,d\varphi = 0\) cecas est celui dans lequel on ne considere que la circonference dela plaque ronde. Feuillet du bas (272). Au dénominateur de la deuxième équation, un « \(d\varphi\) » là où l'on attendrait \(d\varphi^{2}\) ; à la première, « \(dx\) » est écrit sur un premier « \(da\) ». Donné tel qu'écrit.

La condition qui vient du terme \(\int\!\int\) est \(\frac{d^{2}z}{dx\,dy}\,\delta z = 0\) ainsi lorsque \(\delta z\) n'est pas nul il faut qu'aux extremités \(\frac{d^{2}z}{dx\,dy} = 0\) ; \(\int \frac{d^{2}z}{dx\,dy}\,dx\) \(= \frac{dz}{dy} = A\)

\(\int \frac{dz}{dy}\,dy = z = Ay + B\) ; \(\frac{dz}{dy}\,dy = A\,dy\) Les deux dernières lignes du feuillet, de calcul, sont barrées ; la seconde est serrée au bas du papier.

\(\frac{d^{2}z}{dx\,dy} = 0\) donne \(z = F(x) + f(y)\) c'est àdire que si les points de limites satisfont aux [conditions des] extrêmités sans que \(\delta z = 0\) \(z\) sera une [la somme de deux] fonctions séparées de \(x\) et \(y\) sauf les cas particuliers qui pourraient rendre \(\frac{d^{2}z}{dx\,dy}\) nul.

\(\int \frac{d^{2}z}{dx\,dy}\,dy = \int A\,dy\) ; \(z =\)

\(\frac{dz}{dx} = Ay\)

\(\int \frac{dz}{dx}\,dx = \int Ay\,dx + B\)

\(z = Ayx + B\) Cette colonne occupe la moitié droite du feuillet du bas, à la hauteur de la fin de la colonne de gauche. « la somme de deux » est écrit au-dessus de « une », barré.

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Un petit feuillet de calculs, sans phrase, collé au bas d'une feuille de montage ; en haut à droite, à l'encre, 274 ; le cachet de la Bibliothèque à droite du calcul. La lettre lue \(\pi\) dans les arguments est un petit « n » surmonté d'un trait, suivi d'un point : « \(\pi.nx\) ». Trois signes, dans l'avant-dernière ligne, sont couverts de taches ; ils sont marqués […].

cas particuliers de l'intégrale (E) ; \(n = -1\) ; \(b = B = 0\) Après « \(-1\) », un trait descendant bouclé, qui peut être une virgule, un point-virgule ou un chiffre ; la barre sur le second B peut être un accent.

\[z = \dots\ \text{sin.}\frac{\pi nx}{A}\,\text{sin.}\frac{\pi my}{A}\left\{a'\left(\text{cos}\frac{\pi nx}{A} - 2\,\text{cos.}^{3}\frac{\pi nx}{A}\right)\ill{}\,A'\left(\text{cos}\frac{\pi my}{A} - 2\,\text{cos.}^{3}\frac{\pi my}{A}\right)\right\}\]

\[\frac{dz}{dx} = \dots\ \frac{\pi.n}{A}.\,\text{cos}\frac{\pi.nx}{A}\,\text{sin}\frac{\pi.my}{A}\left\{a'\left(\text{cos.}\frac{\pi.nx}{A} - 2\,\text{cos.}^{3}\frac{\pi.nx}{A}\right)A'\left(\text{cos}\frac{\pi.my}{A} - 2\,\text{cos.}^{3}\frac{\pi my}{A}\right)\right\}\] \[\dots -\frac{\pi n}{A}\,\text{sin}\frac{\pi.nx}{A}\,\text{sin}.\pi.my\left\{\left(\text{sin}\frac{\pi.nx}{A} - 6\,\text{cos}^{2}\frac{\pi.nx}{A}\right)A'\left(\text{cos.}\frac{\pi.my}{A} - 2\,\text{cos.}^{3}\frac{\pi my}{A}\right)\right\}\] Dans la première ligne de \(\frac{dz}{dx}\), « \(\text{cos}\frac{\pi.nx}{A}\) » est récrit sur un autre mot. Dans la seconde, « \(\text{sin}\,\pi.nx\) » est écrit au-dessus de « \(6\,\text{cos}^{2}\) » ; « \(\text{sin}.\pi.my\) » est sans dénominateur. Les deux lignes sont données telles qu'elles sont écrites, sans les rapprocher du calcul de la dérivée.

\[\frac{ddz}{dx^{2}} = \dots -\frac{\pi^{2}n^{2}}{A^{2}}\,\text{sin}\frac{\pi.nx}{A}\,\text{sin}\frac{\pi.my}{A}\left\{a'\left(\text{cos}\frac{\pi.nx}{A} - 2\,\text{cos}^{3}\frac{\pi.nx}{A}\right)A'\left(\text{cos.}\frac{\pi.my}{A} - 2\,\text{cos.}^{3}\frac{\pi.my}{A}\right)\right.\] \[-\,2\,\frac{\pi^{2}n^{2}}{A^{2}}\,\text{sin}\frac{\pi.nx}{A}\,\text{sin}\frac{\pi.my}{A}\left\{\text{cos}\frac{\pi.nx}{A} - 6\,\text{cos.}^{3}\frac{\pi.nx}{A}\right\}\] \[\ill{}\ \frac{\pi n^{2}}{A}\,\text{sin}\frac{\pi.nx}{A}.\,\text{sin}\frac{\pi.my}{A}\left\{\text{cos.}\frac{\pi.nx}{A}\ \ill{}\ 12\,\struck{\text{sin}}^{2}\frac{\pi.nx}{A}\,\text{cos.}\frac{\pi.nx}{A}\ \ill{}\ 6\,\text{cos}^{3}\frac{\pi x n}{A}\right\}\] \[= \dots -\frac{\pi^{2}n^{2}}{A^{2}}.\,\text{sin}\frac{\pi.nx}{A}\,\text{sin}\frac{\pi.my}{A}\left\{16.\,a'\left(\text{cos.}\frac{\pi.nx}{A} - 2\,\text{cos.}^{3}\frac{\pi.nx}{A}\right)A'\left(\text{cos.}\frac{\pi.my}{A} - 2\,\text{cos.}^{3}\frac{\pi.my}{A}\right)\right\}\] La première ligne de \(\frac{ddz}{dx^{2}}\) n'a pas d'accolade fermante sur le feuillet. Dans l'avant-dernière, les trois signes couverts de taches séparent les termes ; au second, un mot barré devant l'exposant 2, et « cos. » repassé à l'encre lourde ; le dernier argument est écrit « \(\pi x n\) ». Le feuillet s'arrête après la ligne en « 16. ».

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Un feuillet de calculs mis au net, d'une écriture régulière, presque sans rature. En tête, au milieu, entre parenthèses, « (138) » barré d'un trait horizontal ; en haut à droite, à l'encre, 275. Les parenthèses qui entourent les coefficients différentiels sont les siennes.

\(x = r\,\text{cos}\,\varphi\), \(y = r\,\text{sin.}\,\varphi\) et a cause de \(\frac{d\varphi}{dx} = -\,\frac{\text{sin}\,\varphi}{r}\), \(\frac{d\varphi}{dy} = \frac{\text{cos}\,\varphi}{r}\)

\(\frac{dr}{dx} = \text{cos}\,\varphi\), ; \(\frac{dr}{dy} = \text{sin}\,\varphi\)

on trouvera: \[\frac{dz}{dx} = \text{cos.}\,\varphi.\left(\frac{dz}{dr}\right) - \frac{\text{sin.}\,\varphi}{r}\left(\frac{dz}{d\varphi}\right)\] \[\frac{dz}{dy} = \text{sin.}\,\varphi\left(\frac{dz}{dr}\right) + \frac{\text{cos}\,\varphi}{r}\left(\frac{dz}{d\varphi}\right)\] \[\frac{ddz}{dx^{2}} = \frac{\text{sin}^{2}\varphi}{r}\left(\frac{dz}{dr}\right) + \frac{2\,\text{sin.}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{rr}\left(\frac{dz}{d\varphi}\right) + \text{cos}^{2}\varphi\left(\frac{ddz}{dr^{2}}\right) - \frac{2\,\text{sin.}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r}\left(\frac{ddz}{dr\,d\varphi}\right)\] \[+ \frac{\text{sin}^{2}\varphi}{r^{2}}\left(\frac{ddz}{d\varphi^{2}}\right)\] \[\frac{ddz}{dy^{2}} = \frac{\text{cos}^{2}\varphi}{r}\left(\frac{dz}{dr}\right) - \frac{2\,\text{sin.}\,\varphi\,\text{cos.}\,\varphi}{rr}\left(\frac{dz}{d\varphi}\right) + \text{sin.}^{2}\varphi\left(\frac{ddz}{dr^{2}}\right) + \frac{2\,\text{sin.}\,\varphi\,\text{cos.}\,\varphi}{r}\,\frac{ddz}{dr\,d\varphi} + \frac{\text{cos}^{2}\varphi}{r^{2}}\left(\frac{ddz}{d\varphi^{2}}\right)\] Dans \(\frac{ddz}{dy^{2}}\), le facteur \(\frac{ddz}{dr\,d\varphi}\) du quatrième terme est écrit au-dessus de la ligne, entre la fraction et le signe qui suit. \[\frac{ddz}{dx^{2}} + \frac{ddz}{dy^{2}} = \frac{1}{r}\left(\frac{dz}{dr}\right) + \left(\frac{ddz}{dr^{2}}\right) + \frac{1}{rr}\left(\frac{ddz}{d\varphi^{2}}\right)\] \[\frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^{2}} + \frac{ddz}{dy^{2}}\right\}}{dx} = -\,\frac{\text{cos.}\,\varphi}{r^{2}}.\frac{dz}{dr} + \frac{\text{cos.}\,\varphi}{r}.\frac{ddz}{dr^{2}} - \frac{\text{sin.}\,\varphi}{r^{2}}.\frac{ddz}{dr\,d\varphi} + \text{cos.}\,\varphi.\frac{d^{3}z}{dr^{3}}\] \[- \frac{\text{sin.}\,\varphi}{r}\,\frac{d^{3}z}{dr^{2}d\varphi} + \frac{\text{cos.}\,\varphi}{r^{2}}.\frac{d^{3}z}{dr\,d\varphi^{2}} - \frac{\text{sin.}\,\varphi}{r^{3}}.\frac{d^{3}z}{d\varphi^{3}} - \frac{2\,\text{cos.}\,\varphi}{r^{3}}.\frac{ddz}{d\varphi^{2}}\] Au dernier terme de la première ligne, l'exposant du dénominateur, \(dr^{3}\), est récrit et taché. \[\frac{dd\left\{\frac{ddz}{dx^{2}} + \frac{ddz}{dy^{2}}\right\}}{dx^{2}} = -\left\{\frac{\text{sin}^{2}\varphi}{r^{3}} - \frac{2\,\text{cos}^{2}\varphi}{r^{3}}\right\}.\frac{dz}{dr} + \left\{\frac{\text{sin}^{2}\varphi}{r^{2}} - \frac{2\,\text{cos}^{2}\varphi}{r^{2}}\right\}\frac{ddz}{dr^{2}} + \frac{4\,\text{sin.}\,\varphi\,\text{cos.}\,\varphi}{r^{3}}.\frac{ddz}{dr\,d\varphi}\] \[+ \left\{\frac{\text{sin}^{2}\varphi}{r} + \frac{\text{cos}^{2}\varphi}{r}\right\}\frac{d^{3}z}{dr^{3}} - \left\{\frac{2\,\text{sin}^{2}\varphi}{r^{4}} - \frac{6\,\text{cos}^{2}\varphi}{r^{4}}\right\}\frac{ddz}{d\varphi^{2}} + \frac{6\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos.}\,\varphi}{r^{4}}.\frac{d^{3}z}{d\varphi^{3}}\] \[+ \left\{\frac{2\,\text{sin}^{2}\varphi}{r^{3}} - \frac{4\,\text{cos}^{2}\varphi}{r^{3}}\right\}.\frac{d^{3}z}{d\varphi^{2}dr} + \text{cos}^{2}\varphi.\frac{d^{4}z}{dr^{4}} - 2\,\frac{\text{sin.}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r}.\frac{d^{4}z}{dr^{3}d\varphi}\] \[+ \left\{\frac{\text{sin}^{2}\varphi}{r^{2}} + \frac{\text{cos}^{2}\varphi}{r^{2}}\right\}.\frac{d^{4}z}{d\varphi^{2}dr^{2}} - 2\,\frac{\text{sin.}\,\varphi\,\text{cos.}\,\varphi}{r^{3}}.\frac{d^{4}z}{d\varphi^{3}dr} + \frac{\text{sin.}^{2}\varphi}{r^{4}}.\frac{d^{4}z}{\uncertain{d\varphi^{4}}}\] Le « 4 » du coefficient \(\frac{4\,\text{sin.}\,\varphi\,\text{cos.}\,\varphi}{r^{3}}\) et celui de \(r^{4}\) ont la forme de « b » que prend son 4. Le dernier dénominateur touche le bord du feuillet. \[\frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^{2}} + \frac{ddz}{dy^{2}}\right\}}{dy} = -\,\frac{\text{sin.}\,\varphi}{r^{2}}.\frac{dz}{dr} + \frac{\text{sin.}\,\varphi}{r}.\frac{ddz}{dr^{2}} + \frac{\text{cos.}\,\varphi}{r^{2}}.\frac{ddz}{dr.d\varphi} + \text{sin}\,\varphi.\frac{d^{3}z}{dr^{3}}\] \[+ \frac{\text{cos.}\,\varphi}{r}.\frac{d^{3}z}{dr^{2}d\varphi} + \frac{\text{sin.}\,\varphi}{r^{2}}.\frac{d^{3}z}{dr\,d\varphi^{2}} + \frac{\text{cos.}\,\varphi}{r^{3}}.\frac{d^{3}z}{d\varphi^{3}} - 2\,\frac{\text{sin.}\,\varphi}{r^{3}}.\frac{ddz}{d\varphi^{2}}\] Le bas du feuillet est blanc. Sur toute la page, les dérivées sont données avec les signes et les coefficients du feuillet, sans vérification.

560

Le dos du feuillet 275 (vues 557 et 559) : en tête, au milieu, « (139) », non barré ; pas de nombre en haut à droite. La page suit directement le calcul de la page (138).

\[\frac{dd\left\{\frac{ddz}{dx^{2}} + \frac{ddz}{dy^{2}}\right\}}{dy^{2}} = -\left\{\frac{\text{cos}^{2}\varphi}{r^{3}} - \frac{2\,\text{sin.}^{2}\varphi}{r^{3}}\right\}.\frac{dz}{dr} + \left\{\frac{\text{cos}^{2}\varphi}{r^{2}} - \frac{2\,\text{sin.}^{2}\varphi}{r^{2}}\right\}.\frac{ddz}{dr^{2}} - \frac{4\,\text{cos.}\,\varphi\,\text{sin.}\,\varphi}{r^{3}}.\frac{ddz}{dr\,d\varphi}\] \[+ \left\{\frac{\text{cos}^{2}\varphi}{r} + \frac{\text{sin}^{2}\varphi}{r}\right\}\frac{d^{3}z}{dr^{3}} - \left\{\frac{2\,\text{cos}^{2}\varphi}{r^{4}} - \frac{6\,\text{sin}^{2}\varphi}{r^{4}}\right\}\frac{ddz}{d\varphi^{2}} - \frac{6\,\text{sin.}\,\varphi\,\text{cos.}\,\varphi}{r^{4}}.\frac{d^{3}z}{d\varphi^{3}}\] \[+ \left\{\frac{2\,\text{cos}^{2}\varphi}{r^{3}} - \frac{4\,\text{sin}^{2}\varphi}{r^{3}}\right\}\frac{d^{3}z}{d\varphi^{2}dr} + \text{sin}^{2}\varphi.\frac{d^{4}z}{dr^{4}} + \frac{2\,\text{sin.}\,\varphi\,\text{cos.}\,\varphi}{r}.\frac{d^{4}z}{dr^{3}d\varphi}\] \[+ \left\{\frac{\text{cos}^{2}\varphi}{r^{2}} + \frac{\text{sin}^{2}\varphi}{r^{2}}\right\}\frac{d^{4}z}{dr^{2}d\varphi^{2}} + \frac{2\,\text{sin.}\,\varphi\,\text{cos.}\,\varphi}{r^{3}}.\frac{d^{4}z}{dr\,d\varphi^{3}} + \frac{\text{cos}^{2}\varphi}{r^{4}}.\frac{d^{4}z}{d\varphi^{4}}\]

\[\frac{d^{4}z}{dx^{4}} + 2\,\frac{d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}} + \frac{d^{4}z}{dy^{4}} = \frac{1}{r^{3}}.\frac{dz}{dr} - \frac{1}{r^{2}}.\frac{ddz}{dr^{2}} + \frac{4}{r^{4}}.\frac{ddz}{d\varphi^{2}} + \frac{2}{r}.\frac{d^{3}z}{dr^{3}}\] \[- \frac{2}{r^{3}}.\frac{d^{3}z}{d\varphi^{2}dr} + \frac{d^{4}z}{dr^{4}} + \frac{2}{r^{2}}.\frac{d^{4}z}{dr^{2}d\varphi^{2}} + \frac{1}{r^{4}}.\frac{d^{4}z}{d\varphi^{4}}\] Le \(z\) du premier terme et celui de \(\frac{d^{3}z}{dr^{3}}\) sont récrits et tachés.

En fesant donc k \(b\tau^{2} = \frac{e^{4}}{a^{4}}\) l'equation différentielle (B) (V. N.o 2) sera de la forme La lettre lue \(\tau\), l'épaisseur, est le trait haut coiffé d'un crochet déjà relevé dans le mémoire sur les plaques (vues 402–413) ; ici elle ressemble à un \(r\) ou à un \(\Gamma\). La lettre lue \(e\) au numérateur pourrait être un \(c\).

\(\frac{a^{4}}{e^{4}}\ \ill{}\ \frac{1}{r^{3}}\frac{dz}{dr}\ \ill{}\ \frac{\ill{}}{r^{2}}\) \[\frac{a^{4}}{e^{4}}.z = \struck{m}\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{r^{3}}.\frac{dz}{dr} - \frac{1}{r^{2}}\,\frac{ddz}{dr^{2}} + \frac{2}{r}\,\frac{d^{3}z}{dr^{3}} + \frac{d^{4}z}{dr^{4}} \\ - \frac{2}{r^{3}}.\frac{d^{3}z}{d\varphi^{2}dr} + \frac{2}{r^{2}}.\frac{d^{4}z}{dr^{2}d\varphi^{2}} + \frac{4}{r^{4}}\,\frac{ddz}{d\varphi^{2}} + \frac{1}{r^{4}}\,\frac{d^{4}z}{d\varphi^{4}} \end{array}\right.\] Un premier essai de la même équation, en tête de la ligne, est barré et en partie noirci. Après le signe \(=\), une lettre barrée, lue « m ». L'accolade est ouverte à gauche des deux lignes et ne se ferme pas ; le signe devant \(\frac{1}{r^{2}}\) est récrit sur une tache.

cette equation ne contientt que des differentielles partielles d'un ordre pair de l'angle \(\varphi\), \(u\) étant une fonction de \(r\) seule on peut faire \(z = u\,\text{sin}(\beta\varphi + B)\), \(u\) étant une fonction de \(r\) seul.

Si, après avoir substitué cette valeur de \(\underline{z}\) dans l'équation précédente, on la divise par \(\text{sin}(\beta\varphi + B)\), elle deviendra \[\frac{a^{4}}{e^{4}}\,u = \frac{1 + 2\beta\beta}{r^{3}}.\frac{du}{dr} - \frac{1 + 2\beta\beta}{r^{2}}.\frac{ddu}{dr^{2}} + \frac{2}{r}.\frac{d^{3}u}{dr^{3}} + \frac{d^{4}u}{dr^{4}} - \frac{4\beta\beta u}{r^{4}} + \frac{\beta^{4}u}{r^{4}} \dots (\text{B}')\] Le renvoi final est coupé au bord : « (B » et un trait, lu (B\('\)). Le \(\beta\) de ces lignes est une lettre bouclée, à hampe montante.

Apresent on peut représenter par s une serie formée des puissances ascendantes de \(r\), et supposer \(u = r^{\beta}s\), et [cette supposition donnera] par conséquent « Apresent » : ainsi, en un mot. Après « par », une lettre noircie. « cette supposition donnera » est écrit au-dessus de « et par conséquent », barré. \[\frac{du}{dr} = \beta r^{\beta-1}s + r^{\beta}\,\frac{ds}{dr}\] \[\frac{ddu}{dr^{2}} = \beta(\beta-1)r^{\beta-2}s + 2\beta r^{\beta-1}.\frac{ds}{dr} + r^{\beta}\,\frac{dds}{dr^{2}}\] \[\frac{d^{3}u}{dr^{3}} = \beta(\beta-1)(\beta-2)r^{\beta-3}s + 3\beta(\beta-1)r^{\beta-2}\,\frac{ds}{dr} + 3\beta.r^{\beta-1}\,\frac{dds}{dr^{2}} + r^{\beta}\,\frac{d^{3}s}{dr^{3}}\] La page s'arrête sur cette ligne ; le bas du feuillet est blanc.