Numérotation des feuillets. Les pages du mémoire portent en tête,
au milieu, entre parenthèses, leur pagination : (140) à la vue 565, puis
(141) à (149) aux vues 566 à 574, et (150) à (153) aux vues 577 à 580,
sans lacune ; les pages paires (142) à (152) sont barrées, (140) ne
l'est pas. Le côté de chaque feuillet qui porte une page paire porte
aussi, en haut à droite,
à l'encre, d'une écriture plus ronde, un nombre de la série qui court
dans tout le volume : 276 (vue 561), 277 (563), 278 (565), 279 (567),
280 (569), 281 (571), 282 (573), 283 (575), 284 (577), 285 (579) ; les
petits feuillets des vues 561, 563 et 575, sans pagination, en ont un
aussi. Cette série occupe la place de la foliotation de la
Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au crayon, et aucun
« f. » n'est donc porté. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun
n'est déduit. Les vues 562 et 576 sont les dos blancs des feuillets des
vues 561 et 575 et ne sont pas transcrites.
On a
\frac{1}{r}\frac{dz}{dr} + \frac{d^2z}{dr^2} = \frac{u^2}{e^2}z
-\frac{1}{r^2}\frac{dz}{dr} + \frac{1}{r}\frac{d^2z}{dr^2} + \frac{d^3z}{dr^3} = \frac{u^2}{e^2}\frac{dz}{dr}
\frac{2}{r^3}.\frac{dz}{dr} - \frac{2\,d^2z}{r^2dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d^3z}{dr^3} + \frac{d^4z}{dr^4} = \frac{u^2}{e^2}\frac{d^2z}{dr^2}
\frac{2}{r^3}.\frac{dz}{dr} - \frac{2\,d^2z}{r^2dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d^3z}{dr^3} + \frac{d^4z}{dr^4} + \frac{1}{r^3}\frac{dz}{dr} + \frac{1}{r^2}\frac{d^2z}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d^3z}{dr^3} = \frac{u^2}{e^2}\left(\frac{1}{r}\frac{dz}{dr} + \frac{d^2z}{dr^2}\right)
En reduisant on trouve
\frac{1}{r^3}\frac{dz}{dr} - \frac{d^2z}{r^2dr^2} + \frac{2\,d^3z}{r\,dr^3} + \frac{d^4z}{dr^4} = \frac{u^4}{e^4}z
qui est en effet l'équation dela surface
comprise dans celle qui a été donnée 139 et
qui appartient au cas ou l'ordonnée z n'est
pas fonction dela quantité angulaire \theta.
\frac{1}{r}\left(\frac{dz}{dr}\right) + \frac{ddz}{dr^2} = \varphi
-\frac{1}{r^2}.\frac{dz}{dr} + \frac{1}{r}\frac{d^2z}{dr^2} + \frac{d^3z}{dr^3} = \frac{d\varphi}{dr}
+\frac{2}{r^3}\frac{dz}{dr} - \frac{1}{r^2}\frac{d^2z}{dr^2} - \frac{1}{r^2}\frac{d^2z}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d^3z}{dr^3} + \frac{d^4z}{dr^4} = \frac{d^2\varphi}{dr^2}
Petit feuillet de calculs, monté sur un grand feuillet blanc ; en
haut à droite, à l'encre, « 276 ». Aucune pagination de sa main. Dans
la première équation, le dénominateur de \frac{u^2}{e^2} est empâté
d'une tache ; l'exposant du second membre de l'équation réduite
(u^4/e^4) l'est aussi. Au quatrième membre de la
quatrième équation, qui ajoute à la troisième la deuxième divisée par
r, le feuillet porte « +\frac{1}{r^3}\frac{dz}{dr} » où le calcul
demande -\frac{1}{r^3}\frac{dz}{dr} ; la réduction qui suit,
\frac{1}{r^3}\frac{dz}{dr}, est faite avec le signe moins ; on laisse
le signe du feuillet. Dans le dernier terme de la même ligne, le
dénominateur « r » est suivi d'une tache. « 139 » renvoie
vraisemblablement à la page (139) de sa pagination (vue 560, hors de
ce lot), où l'équation (B) est donnée : c'est l'inférence du
transcripteur. La lettre angulaire finale est une
boucle proche d'un « 8 », lue \theta. Sous un trait, un second
calcul : dans la dernière ligne, le premier signe moins est un trait
épais et empâté, et les exposants de d^3z et de d^4z sont récrits
sur d'autres chiffres. Le bas du feuillet est blanc ; le dos (vue 562)
ne montre que l'écriture du recto par transparence.
addition a la p. 140
Si on prend \theta = 0 on aura les cas devibrations
ou les lignes nodales sont toutes annulaires.
Les conditions des extremités sont alors
\left(\frac{1}{r}\left(\frac{dz}{dr}\right) + \frac{ddz}{dr^2}\right)\delta\frac{dz}{dr}\,\text{cos}.\varphi + \left(\frac{1}{r^2}\frac{dz}{dr} - \frac{1}{r}\frac{ddz}{dr^2} - \frac{d^3z}{dr^3}\right)\delta z\,\text{cos}.\varphi = 0
et
\left(\frac{1}{r}\left(\frac{dz}{dr}\right) + \frac{ddz}{dr^2}\right)\delta\frac{dz}{dr}\,\text{sin}.\varphi + \left(\frac{1}{r^2}\frac{dz}{dr} - \frac{1}{r}\frac{ddz}{dr^2} - \frac{d^3z}{dr^3}\right)\delta z\,\text{sin}.\varphi = 0
A cause de
\frac{1}{r}\left(\frac{dz}{dr}\right) + \frac{ddz}{dr^2} = \frac{e^2}{a^2}z
-\frac{1}{r^2}\left(\frac{dz}{dr}\right) + \frac{1}{r}\frac{d^2z}{dr^2} + \frac{d^3z}{dr^3} = \frac{e^2}{a^2}\frac{dz}{dr}
on peut y satisfaire par l'une ou l'autre des suppositions
z = 0 \qquad \frac{dz}{dr} = 0.
On voit parla que toutes les lignes de repos satisfont
aux conditions des extremités sans être pourtant des
lignes d'appuis dans le sens analytique attribué a ce
mot par Euler: on voit encore que toutes les fois
que la tangente est parallele auplan dela surface
en repos on a une ligne circulaire qui satisfait
aussi aux conditions des extremités. Ces deux remarques
établissent entre le cas que nous examinons et
ceux qui appartiennent aux intégrales angulaires
et exponentielles, c'est adire tous ceux qui ont été
examinés jusqu'ici, une difference remarquable.
Les extremités réelles et physiques sont assujetties a
la condition \frac{dz}{dr} = 0 ainsi elle a lieu lorsque
le rayon \rho a obtenu savaleur complette R.
Petit feuillet monté sur un grand feuillet blanc, écrit sur le
seul quart supérieur de la vue ; en haut à droite, à l'encre, « 277 ».
Aucune pagination de sa main : la ligne de tête, « addition a la
p. 140 », dit que la feuille est un ajout à la page (140) de sa
pagination, qui est la vue 565. Le « 4 » est tracé comme un « b », à
la manière qu'on lui connaît, et pourrait passer pour un 6 ; la page
(140) de la vue 565, qui reprend le calcul là où la page (139) de la
vue 560 l'a laissé, décide. La lettre angulaire de la
première ligne est la même boucle qu'à la vue 561, lue \theta ; la
parenthèse qui ferme le premier facteur des deux équations des
extrémités est tracée comme une accolade. Dans la seconde équation
« à cause de », l'exposant de a est mal formé. Le mot lu
analytique s'écrit sur la vue « ahotytique » ou
approchant : la seconde lettre est une haste bouclée, suivie d'un
« o » ; le sens appelle « analytique », qu'on n'impose pas. « Euler »
est écrit avec l'E en forme de L. Le rayon est d'abord r dans les
équations, puis \rho dans la dernière ligne ; on garde les deux. Un
timbre rond de la Bibliothèque (« Bibliothèque impériale MSS. ») est
imprimé à droite des équations ; deux gouttes d'encre sont tombées
sur la ligne « dans le sens … ». Le dos (vue 564) porte des calculs.
En mettant g alaplace de \frac{u^2}{e^2} cette condition donne l'équation
A'\left\{\frac{gR}{2} + \frac{g^2R^3}{2.2.4} + \frac{g^3R^5}{2.4.2.4.6} + \frac{g^4R^7}{2.4.6.2.4.6.8} + \&c\right\}
-A\left\{\frac{gR}{2} - \frac{g^2R^3}{2.2.4} + \frac{g^3R^5}{2.4.2.4.6} - \frac{g^4R^7}{2.4.6.2.4.6.8} + \&c\right\} = 0
R est une quantité constante parconséquent on satisfera
a cette equation en prenant
A = 1 + \frac{gR^2}{2.4} + \frac{g^2R^4}{4.2.4.6} + \frac{g^3R^6}{4.6.2.4.6.8} + \&c.
A' = 1 - \frac{gR^2}{2.4} + \frac{g^2R^4}{4.2.4.6} - \frac{g^3R^6}{4.6.2.4.6.8} + \&c.
En général il y aura autant deligne nodales annulaires
sur la plaque ronde qu'il y a de valeur de r < R
qui pour une valeur donnée de g satisferont a la condition
\left(1 + \frac{gR^2}{2.4} + \frac{g^2R^4}{4.2.4.6} + \frac{g^3R^6}{4.6.2.4.6.8} + \&c.\right)
\left\{1 - \frac{g\uncertain{r}^2}{(2)^2} + \frac{g^2\uncertain{r}^4}{(2.4)^2} - \frac{g^3r^6}{(2.4.6)^2} + \&c\right)
+\left(1 - \frac{gR^2}{2.4} + \frac{g^2R^4}{4.2.4.6} - \frac{g^3R^6}{4.6.2.4.6.8} + \&c\right)
\left\{1 + \frac{gr^2}{(2)^2} + \frac{g^2r^4}{(2.4)^2} + \frac{g^3r^6}{(2.4.6)^2} + \&c\right) = 0
En effaçant cequi se détruit cette equation peut devient
1 + \frac{g^2R^4}{4.2.4.6} + \frac{g^4R^8}{4.6.8.2.4.6.8.10} + \&c.
-\frac{gR^2}{2.4}.\frac{gr^2}{(2)^2} - \frac{g^3R^6}{4.6.2.4.6.8}.\frac{gr^2}{(2)^2} - \&c.
+\frac{g^2r^4}{(2.4)^2} + \frac{g^2R^4}{4.2.4.6}.\frac{g^2r^4}{(2.4)^2} + \frac{g^4R^8}{4.6.8.2.4.6.8.10}\frac{g^2r^4}{(2.4)^2} + \&c.\Big) =
-\frac{g^{\ill{}}R^{\ill{}}}{\uncertain{4.6.2.4.6.8}}.\frac{g^3r^6}{(2.4.6)^2} - \frac{g^3R^6}{4.6.2.4.6.8}\frac{g^3r^6}{(2.4.6)^2} - \&c
+ \&c
Dos du feuillet de la vue 563 (l'écriture de l'un se voit à
l'envers par transparence sur l'autre) ; pas de nombre en haut à
droite. Les accolades et parenthèses sont les siennes, et elle ouvre
souvent par « \{ » ce qu'elle ferme par « ) ». Dans le premier facteur
de la seconde ligne de la condition, les deux premiers r sont
couverts d'une tache et lus par la suite du calcul ; le signe entre
les deux derniers termes du facteur suivant est un trait épais. Une
grande parenthèse, en marge droite, embrasse les trois lignes qui
suivent « devient », et un signe « = » est écrit tout au bord du
feuillet après elle ; rien ne suit sur la vue. Dans la dernière ligne,
le premier terme est surchargé : les exposants du numérateur sont
empâtés (la lettre lue R), le dénominateur a le premier chiffre et
« 6.8 » barrés ou récrits ; au facteur suivant, la lettre du
numérateur est tracée comme un « p », pour r. Le « + » devant le dernier « &c. » de l'avant-dernière ligne
est traversé d'un trait.
\frac{d^4u}{dr^4} = \beta(\beta-1)(\beta-2)(\beta-3)\,r^{\beta-4}s + 4\beta(\beta-1)(\beta-2)\,r^{\beta-3}.\frac{ds}{dr} + 6\beta(\beta-1)\,r^{\beta-2}.\frac{dds}{dr^2} + 4\beta\,r^{\beta-1}.\frac{d^3s}{dr^3}
+ \frac{d^4s}{dr^4}.
et apres avoir substitué ces differentes valeurs dans l'équation
(B'), et avoir avoir pratiqué les reductions convenables on trouvera
aura enfin l'équation et divisé par r^\beta on aura enfin
l'équation
\frac{u^4}{e^4}s = \frac{d^4s}{dr^4} + (1+2\beta)\left\{\frac{2}{r}.\frac{d^3s}{dr^3} + (2\beta-1)\left\{\frac{1}{r^2}.\frac{dds}{dr^2} - \frac{1}{r^3}.\frac{ds}{dr}\right\}\right\} \ldots (B'')
La valeur la plus générale que l'on puisse attribuer à s est
s = A + Br + Cr^2 + Dr^3 + \&c.; car si on vouloit prenoit
s = \text{sin}.\frac{u}{e}r\left\{a + br + cr^2 + dr^3 + er^4 + \&c\right\} + \text{cos}.\frac{u}{e}r\left\{A + Br + Cr^2 + Dr^3 + Er^4 + \&c\right\}
Le developpement des valeurs de \text{sin}.\frac{u}{e}r et \text{cos}.\frac{u}{e}r en serie
rameneroit à la première valeur forme attribuée à pour \underline{s}.
Pour déterminer les coëfficiens des differentes puissances de \underline{r}
dans le developpement dela valeur de \underline{s}, il faudra,
ego après avoir substitué dans l'équation (B'') aux différentielles
de d \underline{s} leurs valeurs en \underline{r}, égaler à zéro la somme
de chacun des coëfficiens de chacune des différentes puissances de
\underline{r} dans l'équation (B'') ainsi transformée en suivant et
on trouvera
et la valeur de \underline{z} sera donnée par l'équation donc
z = \ldots\,\text{sin}(\beta\varphi + B)r^\beta\left\{\begin{array}{l} A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}.r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \frac{\frac{u^6}{e^6}.r^6}{2.4.6(n+1)(n+3)(n+5)} + \&c\right\} \\ + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \frac{\frac{u^6}{e^6}.r^6}{2.4.6(n+1)(n+3)(n+5)} + \&c\right\} \end{array}\right.
et on trouvera aura, après les réductions convenables,
\frac{ddz}{dx^2} + \frac{ddz}{dy^2} = \frac{u^2}{e^2}r^\beta\,\text{sin}.(\beta\varphi + B)\left\{\begin{array}{l} A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4.(n+1)(n+3)} + \&c\right\} \\ - A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4.(n+1)(n+3)} - \&c\right\} \end{array}\right.
En général Si on représente par z' et z'' les valeurs de \underline{z}
qui satisfont au respectivement aux deux équations du
second degré trouvées N.o 2, il est que ces valeurs seront
ici
z' = r^\beta A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}
z'' = r^\beta A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}
et les quatre couples d'équations donnés N.o 9 comme devant
appartenir aux points du contour savoir:
z'-z''=0 \text{ et } z+z''=0\,; \quad z-z''=0 \text{ et } \frac{dz'}{d\varphi} - \frac{dz''}{d\varphi} = 0\,;
z'+z''=0 \text{ et } \frac{dz'}{d\varphi} + \frac{dz''}{d\varphi} = 0\,; \quad \frac{dz'}{d\varphi} - \frac{dz''}{d\varphi} = 0 \text{ et } \frac{dz'}{d\varphi} + \frac{dz''}{d\varphi} = 0.
Deviendront après avoir été divisées par r^\beta,
qui ne peut jamais être nul.
En tête, au milieu, « (141) », le chiffre du milieu
empâté comme à la page précédente. Pas de nombre en haut à droite :
c'est le dos du feuillet de la vue 565. Les accolades qui embrassent
les deux lignes des deux grandes formules sont les siennes, sans
accolade fermante. Le signe devant le second A de la deuxième
formule est une tache, lue « - » d'après les signes de la série
qu'il multiplie. Dans le premier des quatre couples, le deuxième z
n'a pas son accent en haut, et le troisième z non plus ; une petite
virgule est sous chacun d'eux : on les laisse sans accent, comme sur
la vue. « divisées » : la finale « ées » est écrite au-dessus d'une
autre, empâtée. La phrase « Deviendront … » n'a pas de suite sur la
page : le bas du feuillet est blanc. Le \underline{z} souligné est
souligné sur la page.
\begin{array}{l} \left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. - A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\}\text{sin}(\beta\varphi + B) = 0 \end{array}
\begin{array}{l} \text{et }\left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\}\text{sin}(\beta\varphi + B) = 0; \end{array}
\begin{array}{l} \left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. - A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\}\text{sin}(\beta\varphi + B) = 0 \end{array}
\begin{array}{l} \text{et }\left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. - A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\}\text{cos}(\beta\varphi + B) = 0; \end{array}
\begin{array}{l} \left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\}\text{sin}(\beta\varphi + B) = 0 \end{array}
\begin{array}{l} \text{et }\left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\}\text{cos}(\beta\varphi + B) = 0 \end{array}
\begin{array}{l} \left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. - A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\}\text{cos}(\beta\varphi + B) = 0 \end{array}
\begin{array}{l} \text{et }\left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\}\text{cos}(\beta\varphi + B) = 0; \end{array}
Le premier couple appartient aux points d'extremités appuyés.
On peut y satisfaire de plusieurs manières: et, d'abord, en
fesant \text{sin}(\beta\varphi + B) = 0; cette condition montre que lorsque B = 0,
c'est-adire lorsque le plan des x et y se confond avec
celui dela plaque en repos, il y a 2\beta points de repos à la
circonference. Il est clair que la condition dont il s'agit
est entièrement indépendante de la valeur de \underline{r}, et que, parconséquent,
les 2\beta points de repos de la circonference ne sont autre chose
que les extremités de \beta lignes nodales d'appui diametrales; ces lignes
ces lignes satisferont donc dans toute leur etendue aux conditions
des limites, et elles pourroient également exister sur les surfaces tendues.
En tête, au milieu, « (142) », barré d'un trait horizontal ; en
haut à droite, à l'encre, « 279 ». Le texte est écrit sur la partie
basse d'une feuille plus grande, montée sur un onglet ; le haut de la
vue est blanc. La page commence par les huit équations annoncées au
bas de la page (141) (« Deviendront … ») : la phrase court de la vue
566 à celle-ci. Chaque équation ouvre par une accolade et ferme ses
séries par des accolades doubles ou simples, tracées tantôt « \{ »,
tantôt « ) » ; elles sont régularisées ici. Le signe entre les deux
séries de la septième équation est empâté, lu « - » par le couple
auquel elle appartient. Les exposants des numérateurs
\frac{u^2}{e^2}, \frac{u^4}{e^4} sont écrits au-dessus du u et
repris au dénominateur. « d'appui » est écrit au-dessus de « nodales »,
barré. « appuyés » : la finale est surchargée. Le \underline{r} est
souligné sur la page.
Les surfaces circulaires qui sont comprises dans la présente intégrale
jouissent, comme on voit, d'une sorte de périodicité relative
aux valeurs de l'angle \varphi; et en effet Car la valeur de \underline{z}
donne alors, entre t et \varphi, l'équation \frac{ddz}{dt^2} = \frac{ddz}{d\varphi^2}.\frac{\uncertain{uu}}{\beta\beta}
dela forme de celle aux cordes vibrantes, et en effet les
differens secteurs formés par les lignes nodales diamétrales
peuvent être superposés, puisqu'ils sont parfaitement égaux
entr'eux.
Lorsque \beta = 0, c'est-a-dire lorsqu'il n'y a pas de lignes
nodales diamétrales, on ne peut faire B = 0; par car il
resulteroit de cette supposition que laplaque ne pourroit
se mouvoir. Le plan des \underline{x} et \underline{y}, ne peut donc se confondre
alors avec celui dela plaque en repos.
On peut encore satisfaire au premier couple d'équations
par la double supposition
\begin{array}{l} A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\} \\ \qquad - A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\} = 0 \end{array}
\begin{array}{l} A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\} \\ \qquad + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}.r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\} = 0 \end{array}
qui se reduit à
A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}.r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4.(n+1)(n+3)} - \&c\right\} = 0
A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}.r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\} = 0
Si on fait A' = 0 et 1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}.r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4.(n+1)(n+3)} - \&c = 0
on aura le cas où la surface seroit appuyée
En tête, au milieu, « (143) », le 4 tracé comme un « b » ; pas
de nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 567.
« Car » est écrit au-dessus de « et en effet », barré. La lettre lue
t dans « entre t et \varphi » et dans dt^2 est une petite croix
qui peut passer pour un « + ». Le numérateur du dernier facteur, lu
uu, est deux petites lettres jumelles au-dessus de
\beta\beta. Le mot lu aux devant « cordes » porte une
croix sur sa fin. Dans « on ne peut faire B = 0 », la capitale est
empâtée ; c'est la constante B de \text{sin}(\beta\varphi + B), non
\beta. « pourroit » : une lettre est récrite au milieu du mot. La
phrase « on aura le cas où la surface seroit appuyée » continue à la
page suivante. Les lettres soulignées le sont sur la page.
dans tous les points de son contour; son équation seroit
alors la mem conviendroit également alors àla surface
tendue demême forme, et elle seroit en effet la même
que Euler adonnée dans le tome X de pétersbourg. (V. N.o 13
du m. De motu vibratorio tympanorum). Les figures
nodales seroient parconséquent semblables, sur les deux
genres de surfaces; et, conformement àl'ordre des
equations differentielles qui leur appartiennent reciproquement respectivement,
les sons, qui pour l'une d'elles, seroient proportionels aux
valeurs de \underline{u}, seroient par rapport a l'autre suivroient
pour l'autre la proportion des quarrés des mêmes
valeurs.
N.o 22 Le second couple d'équations convient dans le cas où les points de
contour sont libres en vertu des conditions \frac{ddz}{dx^2} + \frac{ddz}{dy^2} = 0
et \frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2} + \frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dx} = 0; ou, cequi est ici lamême chose, \frac{ddz}{dx^2} + \frac{ddz}{dy^2} = 0
et \frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2} + \frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dy} = 0, on peut y satisfaire par la supposition
\begin{array}{l} A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\} \\ \qquad - A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+\uncertain{4})} + \&c\right\} = 0 \end{array}
Lorsque les valeurs de A et A' seront données, en
mettant fesant dans cette équation r = a, c'est àdire
r égal au rayon du cercle dont la circonférence est
à la limite de la surface, elle pourra servir à
déterminer les differentes valeurs de \underline{u} qui correspondront
aux mouvements dont la plaque est sera susceptible.
En tête, au milieu, « (144) », barré obliquement ; en haut à
droite, à l'encre, « 280 ». La première ligne achève la phrase de la
vue 568 (« on aura le cas où la surface seroit appuyée / dans tous les
points de son contour »). « Euler » est écrit avec l'E en forme de L
et une fin très cursive (« Lobr »), comme aux vues 419–420 ; « tome
X » : le chiffre romain est une croix. « du m. » abrège sans doute
« du mémoire ». Le titre latin est souligné sur la page, en trois
traits. Dans « respectivement », écrit au-dessus de
« reciproquement » barré, la virgule qui suit est la sienne. Au
second couple, le « dx^2 » du premier terme de « ou, cequi est ici
lamême chose » est écrit au-dessus d'un autre dénominateur barré. Au
dernier dénominateur de l'équation, le feuillet porte un chiffre lu
4 là où les autres dénominateurs ont (n+3). Dans
« correspondront » la fin est récrite sur une autre ; dans
« mouvements » le « t » est ajouté. Le bas du feuillet est blanc.
Mais Quelque quelles que soient les valeurs de \underline{u}, il est visible que
1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}.a^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.a^4}{2.4.(n+1)(n+3)} - \&c \;\uncertain{\neq}\; \uncertain{\alpha} \quad \text{et}
1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}.a^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.a^4}{2.4.(n+1)(n+3)} + \&c \;\uncertain{\neq}\; \uncertain{\alpha}
seront des quantités constantes; ainsi donc on pourra toujours
prendre,
A = 1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}.a^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.a^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c
A' = 1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}.a^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.a^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c.
Mais dans cette supposition Et alors les conditions des extremités auront lieu d'elles
mêmes, et ne pourront plus servir, parconséquent à connoître
les valeurs de \underline{u} puisque qui devront être donnés d'ailleurs.
Le cas dont je viens de parler, sera celui où dans
la plaque circulaire, on n'auroit pas égard àla
variabilité du rayon; ce cas est absolument analogue
à celui où, dans les plaques rectangulaires, on
ne regarde qu'une des deux coordonnés \underline{x} et \underline{y} comme
variable.
En général, si pour une valeur quelconque de \underline{u},
on peut satisfaire à l'équation
\begin{array}{l} A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}.r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\} \\ \qquad + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}.r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\} = 0 \end{array}
il y aura autant de lignes nodales circulaires
qu'il se trouvera de valeurs de \underline{r} convenables
à cette equation. Les lignes nodales circulaires
En tête, au milieu, « (145) » ; pas de nombre en haut à droite :
c'est le dos du feuillet de la vue 569. En tête de la première ligne,
« Mais » est barré et « Quelque » barré d'une croix, « quelles que »
écrit au-dessus ; « soient » est récrit sur « soit » ; une petite
lettre précède « Mais » dans la marge. À la fin des deux premières
séries, un signe d'égalité traversé d'un trait vertical (lu
\neq) est suivi d'une lettre empâtée qui ressemble à un
\alpha ouvert, peut-être un zéro surchargé : ni l'un ni l'autre
n'est sûr, et la phrase qui suit (« seront des quantités constantes »)
ne tranche pas. « donc » est écrit au-dessus de « ainsi », barré.
« Mais dans cette supposition » est écrit dans la marge et
l'interligne au-dessus de « Et alors », barré. Le pluriel
d'« equations » est annulé par une petite croix sur l's final : on
donne le singulier. La phrase se poursuit à la page suivante.
seront de simples lignes de repos; car la supposition
d'une ligne d circulaire d'appui entraine la condition
A' = 0 qui ne peut convenir qu'au seul cas où les points
du contour sont eux mêmes appuyés.
Dans le cas present des points de contour libres, il
peut donc y avoir sur la plaque circulaire deux genres
de lignes nodales, savoir des lignes d'appui qui seront
les lignes nodales diamétrales+ qui seront des lignes d'appui, et des simples lignes nodales circulaires qui seront de simples lignes de repos
qui ne satisferont pas aux conditions des extremités qui
seront les lignes nodales circulaires.
Ces deux genres de lignes nodales peuvent exister en-
semble ou séparement sur la plaque dont le contour
est libre; ainsi les suppositions A = 1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c
et A' = 1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c appartiennent
au cas où il n'y a pas de lignes nodales circulaires;
et la supposition \beta = 0 à celui où il n'y a pas
delignes nodales diametrales, et dans toute autre hypothese
il y aura àlafois sur la plaque circulaire
vibrante, des lignes nodales diametrales et des
lignes nodales circulaires.
En tête, au milieu, « (146) », barré ; en haut à droite, à
l'encre, « 281 ». La première ligne achève la phrase de la vue 570
(« Les lignes nodales circulaires / seront de simples lignes de
repos »). La note de la marge gauche, « + qui seront des lignes
d'appui, », est appelée par la croix écrite après « diamétrales ».
L'ajout de l'interligne, « lignes nodales circulaires qui seront de
simples », finit dans la marge droite (« simples »). Dans la ligne
« qui ne satisferont pas … », le premier « qui » est traversé d'un
trait qui peut être une rature ou le trait de liaison ; on le garde, la
phrase le demande ; le « qui » final et la ligne suivante sont barrés.
« ainsi les » est récrit sur « Ainsi Les ». Le signe devant le dernier
« &c » de A' est une tache, lue « - » par la série. Dans ces deux
valeurs de A et A' la variable est r sur la page, là où la vue 570
écrivait a ; et la série aux signes alternés est ici celle de A', celle de la vue 570 étant celle de A : on laisse le feuillet. Le bas du feuillet est blanc.
Le troisième couple d'équations conviendroit au cas où les points
du contour seroient fixés, et on pourroit y satisfaire par la
condition
\begin{array}{l} A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\} \\ \qquad + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\} = 0 \end{array}
Enfin le quatrième couple donne les deux conditions
\begin{array}{l} A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\} \\ \qquad - A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\} = 0 \end{array}
\begin{array}{l} A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\} \\ \qquad + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\} = 0 \end{array}
ou celle-ci \text{cos}(\beta\varphi + B) = 0. Les premières ont déjà
été examinées à l'occasion du premier couple d'équations.
Quant àla seconde qui est entièrement indépendante
des valeurs de \underline{r}, elle montre que lorsque la surface
est périodique par rapport aux valeurs de l'angle
\varphi, chaque secteur formé par deux lignes d'appui
consécutives, est partagé endeux autres secteurs égaux
entr'eux par une ligne de limite analytique;
desorte que l'on peut concevoir ces secteurs
comme réellement séparés et en deux autres
pareilles figu surfaces de pareille figure
qui auroient chacune un de leur coté appuyé,
l'autre libre en vertu des conditions \frac{dz}{d\varphi} = 0 et
\frac{d^3z}{d\varphi^3} = 0 et les points de l'axe dont les sons seroient
les mêmes que ceux dela plaque entière.
En tête, au milieu, « (147) », non barré ; pas de nombre en
haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 571. « Les
premières » est récrit sur un autre mot. Le mot barré avant « en deux
autres » est court, lu « et ». Le bas du feuillet est blanc.
N.o 23. La difficulté de déterminer les valeurs de \underline{u} m'empêche
d'entreprendre d'appliquation à l'experience de l'intégrale donnée
dans le N.o précédent à l'experience; mais sans s'occuper des sons qui accompagnent
chaque figure nodale, on peut toujours que remarquer que
les fig. 104 et 109 de Mr Chladni appartiennent au cas où \beta = 0
\begin{array}{ll}
105,\ 110^a \text{ et } 116^a \ldots\ldots & \beta = 1 \\
99,\ 106, \text{ et } 111 \ldots\ldots & \beta = 2 \\
100, \text{ et } 107 \ldots\ldots & \beta = 3 \\
101\,a \text{ et } 108 \ldots\ldots & \beta = 4 \\
\text{enfin la fig. } 102\,a \ldots\ldots & \beta = 5
\end{array}
Si dans l'équation differentielle
\frac{u^4}{e^4}z = \ldots \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{r^3}.\frac{dz}{dr} - \frac{1}{r^2}.\frac{ddz}{dr^2} + \frac{2}{r}\frac{d^3z}{dr^3} + \frac{4}{r^4}.\frac{ddz}{d\varphi^2} \\ - \frac{2}{r^3}.\frac{d^3z}{d\varphi^2dr} + \frac{2}{r^2}\frac{d^4z}{d\varphi^2dr^2} + \frac{d^4z}{dr^4} + \frac{1}{r^4}\frac{d^4z}{d\varphi^4} \end{array}\right.
on fait r = a, on devra trouver l'équation differentielle de la circonférence
dela plaque circulaire, ou, cequi est lamême chose, l'équation
differentielle de l'anneau élastique. Il est clair que la supposition
de \underline{a} constant fait fera disparoître toutes les differentielles
partielles relatives à \underline{r}, et aussi le terme \frac{4}{r^4}.\frac{ddz}{d\varphi^2} qui dans
lequel des differentielles du même genre n'ont disparues été effacées qu'à
l'aide des substitutions (V. N.o 2). ainsi l'équation de
l'anneau se reduira à \frac{u^4}{e^4}.z = \ldots \frac{1}{r^4}\frac{d^4z}{d\varphi^4}
dont l'intégrale sera z = \ldots \mathcal{A}\,\text{sin}(\beta\varphi + B). \mathcal{A} étant une
constante arbitraire qui rien n'empêche de faire prendre \mathcal{A}
\begin{array}{l} = a^\beta\left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}a^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}a^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}a^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}a^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\} \end{array}
En tête, au milieu, « (148) », barré ; en haut à droite, à
l'encre, « 282 ». « N.o 23 » ouvre la page, dans la ligne. La fin de
« d'appliquation » est barrée, et la phrase ne récrit pas la fin du
verbe ; « à l'experience », barré sur la ligne, est récrit dans
l'interligne au-dessus de « précédent ». Les numéros de figures sont
ceux du traité de Chladni ; les « a » sont écrits petits, en exposant
ou sur la ligne, comme sur la page. La table est rangée en colonnes
comme sur la page, les tirets et les points de conduite rendus par
…. « N.o 2 » : la lettre qui suit « N. » est empâtée ; le
N.o 2 est cité ainsi à la vue 566. \mathcal{A} : une capitale
cursive bouclée, distincte des A et A' de la même ligne. Dans la
dernière formule, le « 4 » du deuxième dénominateur est couvert d'une
tache. Le bas du feuillet est blanc.
et l'équation de l'anneau se présentera alors sous laforme d'un
cas particulier de l'équation dela plaque circulaire.
Il est aisé de voir que les équations données par Euler
àlafin de son mémoire sur la lame élastique ne different
de celles que je viens de trouver, qu'en ceque les arcs
remplacent dans mes formules les ordonnées auxquelles elles
sont egales et mais qu' que dans celles de cet Illustre auteur a
continué de désigner delamême manière que s'il s'agissoit
encore d'une simple lame droite.
On voit donc que soit que l'on applique immédiatement
à l'anneau l'analyse dela simple lame droite dont les deux
extrémités sont appuyés, en se contentant, comme ainsi que le fait
Euler, de considerer ces deux extrémités comme réunis en un
seul point. soit que l'on cherche la même equation
en employant les trois coordonnés qui doivent déterminer
la courbure, on est toujours conduit àla même équation.
Cette équation montre que les sons qui accompagnent
chaque figure nodale, doivent être proportionels aux
quarrés des nombres 1, 2, 3, 4 &c. 2, 4, 6 &c. Euler indique
la suite des nombres 4, 9, 16, 25 &c. mais ce grand
géomètre ne paroit pas avoir remarqué qu'il y a toujours
ne peut y avoir qu'un nombre pair de nœuds sur
l'anneau élastique vibrant à la manière d'une lame
En tête, au milieu, « (149) », non barré ; pas de nombre en
haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 573. « Euler » est
écrit avec l'E en forme de L et une fin cursive (« Lober »), trois
fois. Après « élastique » un petit signe en forme de croix annule
semble-t-il un « s » final. Dans la ligne « sont egales … », « mais »
et « que » sont écrits au-dessus de « et » et de « qu' », barrés ;
« dans celles de » est barré sur la ligne. Le mot de la fin de ligne
après « proportionels » est surchargé (« à la » repris), lu
aux ; « quarrés » est récrit sur un autre mot. « la
suite » : les deux mots sont récrits sur des capitales. « nœuds » est
écrit « nauds », l'œ ouvert, comme ailleurs dans ce volume. La phrase
se poursuit à la page suivante ; le bas du feuillet est blanc.
Le mauvais état de ma santé m'a empêché d'étudier
le mémoire que Monsieur fourier a eu la complaisance
de me prêter, je veux pourtant lui communiquer une observation
qui me semble curieuse.
Dans le N.o d'aout, le dernier qui ait paru, Mr Poisson repond
a Mr Navier p 438 que l'hypothese n'est point admissible
il semble ne connoître cette hypothese que j'ai donné
en 1811 que par la citation de Mr Navier.
le plus curieux est l'objection « pour s'assurer del'inexactitude
&c. puis une equation, (que par sa forme, je crois être
applicable au point de contour mais peu importe)
il dira qu'il a entendu tel ou tel restriction
Suivant Mr Poisson l'hypothese ne seroit pas applicable
a la plaque circulaire dont les points du contour
sont assujettis a des forces normales on devoit donc
s'attendre a trouver dans son mémoire au § VIII
p. 189 ou il traite dela plaque circulaire une équation
qu'on ne pourroit déduire del'hypothese absurde
inadmissible: je savois qu'il ne traiteroit pas
d'une equation generale qui fut contraire a
la chose dont personne aumonde n'est plus convaincu
que lui mais pourtant j'ai voulu verifier.
et voici cequi je trouve.
p. 190 \frac{d^2z}{dx^2} + \frac{d^2z}{dy^2} = \varphi p. 191 \frac{d^2\varphi}{dx^2} + \frac{d\varphi}{dy^2} = \frac{d^2\varphi}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d\varphi}{dr}
Petit feuillet d'un autre papier, monté dans le bas d'une grande
feuille blanche ; en haut à droite, à l'encre, « 283 ». Aucune
pagination de sa main. L'écriture est plus rapide et plus pesante
que celle des pages paginées qui l'entourent ; la note est à la
première personne (« cette hypothese que j'ai donné en 1811 »), et
parle de Fourier à la troisième (« lui communiquer »). La page
(149) de la vue 574 s'arrête au milieu d'une phrase, dont la suite
n'est pas ici. « N.o d'aout » : le numéro d'août d'un périodique qui
n'est pas nommé. Le chiffre de page lu 438 s'écrit « b 38 »,
le premier chiffre formé comme un « b », à la manière de son 4. Un
guillemet ouvrant précède « pour s'assurer » et n'est pas fermé ; la
citation s'interrompt sur « &c. ». La ligne « il dira qu'il a entendu
tel ou tel restriction » est écrite plus petit, serrée dans
l'interligne, sous la parenthèse ; on la place où elle est. « absurde »
est barré à la fin de la ligne, et « inadmissible » suit à la ligne.
Le mot lu traiteroit commence par un trait qui peut être un
« s ». Dans la seconde équation, \frac{d\varphi}{dy^2} est écrit sans
exposant au d. La note s'arrête sur ces deux équations, au bas du
feuillet. Que le périodique soit les Annales de chimie et de
physique et la réponse de Poisson à Navier celle de leur controverse
de 1828 est une inférence du transcripteur, que rien sur le feuillet
n'établit.
droite appuyée a ses extrémités, et que chaque nombre qu'un
nombre pair de nœuds dans l'anneau équivaut à un
nombre impair de nœuds dans la lame droite.
En traitant des conditions auxquelles sont assujettis les
points de contour des plaques libres, (V. N.o 22) j'ai eu occasion
de remarquer que il dans le cas où il n'y avoit
sur ces plaques que des lignes nodales diamétrales,
il étoit permis de la valeur de \underline{u} restoit indeterminée,
rien n'empêche donc de faire \frac{u}{e} = \beta, et cette valeur convient
en conviendra en effet toutes les fois que l'on fera
abstraction dela variabilité de \underline{r}; les sons seront alors
proportionels aux quarrés des differentes valeurs de \underline{\beta}; et
\beta indiquante, comme je l'ai deja dit, le nombre des
lignes diamétrales dela plaque circulaire, et 2\beta parconséquent 2\beta exprimante
celui des nœuds de l'anneau élastique correspondant.
N.o 24. On peut voir, p. 118 du traité d'acoustique, que Mr
Chladni observe que la théorie de l'anneau donnée par
Euler n'est pas confirmée par l'experience. En effet cet
habile physicien a trouvé que les sons simples rendus
par l'anneau partagé en 4, 6, 8, &c parties vibrantes,
sont proportionels aux quarrés des nombres 3, 5, 7 &c.
tandis que la théorie veut que les mêmes sons soient
proportionnels aux quarrés des nombres 4, 6, 8 &c.
En tête, au milieu, « (150) », barré ; en haut à droite, à
l'encre, « 284 ». La première ligne achève la phrase laissée au bas
de la page (149), vue 574 (« … d'un nombre pair de nœuds sur
l'anneau élastique vibrant à la manière d'une lame / droite appuyée a
ses extrémités ») : le feuillet de la vue 575 s'intercale entre les
deux pages. « (V. N.o 22) » est écrit au-dessus de la ligne, après
« libres ». Dans « que il », le « il » est barré ; dans « il n'y
avoit », « il » est barré aussi. « indique » et « exprime » : la
finale « ant » est barrée dans les deux mots ; on donne ici le « e »
qui reste comme une addition, la lecture étant celle du sens.
« dela plaque » est écrit au-dessus de « circulaire », barré. Le
premier 2\beta de la ligne est barré. « nœuds » est écrit
« nauds ». « Chladni » s'écrit « Chladni » avec une capitale bouclée ;
« Euler », avec l'E en forme de L. Le bas du feuillet est blanc.
cependant on ne peut guere douter que le cas soumis à l'experience
ne soit veritablement celui qui repond au cas des extremités
appuyés dans la lame droite; car un caractère particulier
de cette manière de vibrer, est l'égalité parfaite des parties
séparées par des points ou lignes d'appui, et on
peut voir N.o 89 du traité d'acoustique, que l'auteur fait
une remarque expresse de cette égalité.
Pour concilier des expériences sur l'exactitude desquelles
on ne peut élever aucun doute, avec une théorie donnée
par un des géometres dont l'autorité a le plus de poids,
il faut avoir recours à la considération de quelques
circonstances negl qui n'entrent pas dans le calcul.
On peut voir section VI P. 113 du traité d'acoustique,
qu'a mesure que l'auteur aug que plus la courbure
d'une bande droite de fer étoit augmentée representée
fig. 37, étoit augmentée, plus aussi les sons baissoient par compar à
cequ'ils eussent été dans lamême manière de vibrer
dela bande droite; étoient trop baissoient. et qu'en même
tems les nœuds de vibrations situés dans la partie
infléchie, se rapprochoient de plus en plus.
Dans la fig. ee qui est celle àlaquelle se rapportent
les experiences fig. 38, 39 … 42, la fourche en donnant
les mêmes sons qu'une lame droite dont les extrémités
En tête, au milieu, « (151) », non barré ; pas de nombre en haut
à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 577. Le premier mot de
la deuxième ligne, barré, est récrit et lu « ne ». Le mot barré avant
« qui n'entrent » est court, lu negl. Au-dessus de
« compar- », dont la fin est noyée dans une tache, est écrit
« baissoient par » ; le « à » qui suit reste. « nœuds » est écrit
« nauds ». Le mot lu tems, en tête de ligne, est court et
cursif. Après « la fig. », deux petites lettres rondes, lues
ee, tiennent la place d'un numéro de figure : peut-être
un blanc laissé à remplir, peut-être un chiffre mal formé ; la
référence à Chladni ne se vérifie pas sur le feuillet. Le 8 de « 38 »
est récrit. La phrase se poursuit à la page suivante ; le bas du
feuillet est blanc.
eussent été appuyés, présentoit toujours deux nœuds fort voisins
et placés dans la portion courbe dela fourche; desorte que
l'un et les autres d'autant plus rapprochés les uns des autres
qu'ils etoient dans les parties et l'intervalle entre deux nœuds
n'étoit constant que dans les parties entièrement droites des
branches de la même fourche.
Il est clair que la circonstance de la courbure considérée analytique-
ment, ne peut rendre compte des faits observés par Mr Chladni;
mais on doit remarquer que car dans son le calcul, on suppose
toujours la rigidité naturelle constante dans toutes les points
parties du corps sonore; et la courbure considerée en elle même
ne pouvant altérer ce coëfficient, les formules doivent rester les
mêmes, soit que le corps vibrant soit ait une forme rectiligne,
soit que le même corps affecte toute autre forme. Et en
effet lorsqu'il s'agit des instrumens à vent, l'experience
montre que la courbure n'influe pas sur les sons.
Il en est tout autrement dans les expériences de Mr Chladni
et on ne peut supposer qu'une bande de fer ait conservé
sa rigidité naturelle, lorsqu'elle s'est trouvée ployée aux
différentes formes que ce physicien lui a fait prendre.
Le résultat des expériences que je me propose d'expliquer,
montrent que l'effet dela torsion a été de diminuer
l'élasticité; et les deux circonstances observées, savoir l'abaissement
des sons et le rapprochement des nœuds, concourent egalement a prouver cette diminution.
En tête, au milieu, « (152) », barré ; en haut à droite, à
l'encre, « 285 ». Le feuillet est monté plus bas sur sa feuille de
support, dont le haut reste blanc. La première ligne achève la phrase
de la vue 578 (« une lame droite dont les extrémités / eussent été
appuyés »). « nœuds » est écrit « nauds ». Dans « toutes les
points », la finale « tes » est surchargée, sans que « points » soit
barré ; on garde les deux lignes telles qu'elles se lisent, « points »
en fin de ligne et « parties » en tête de la suivante. « montrent » :
la finale est barrée. « egalement » est écrit au-dessus de « a
prouver » ; « cette diminution » est serré au bord droit du feuillet.
Le texte s'arrête à la dernière ligne du feuillet, sur un point
incertain.
En effet, toutes choses égales d'ailleurs, le son est d'autant plus aigu
que l'élasticité est plus grande; ainsi lorsque tout est constant,
excepté ce coëfficient, le son ne peut baisser sans qu'il l'élasticité diminue.
Si le son reste le même, quoique l'élasticité diminue, tout
lorsque le poids et l'épaisseur seront constans, il faudra
que l'étendue dela partie vibrante soit aussi diminuée.
On peut conclure delà que si le changement d'élasticité
n'a lieu que dans quelques points d'une lame élastique, il
doit arriver àlafois deux choses, l'une que le son baisse,
l'autre que les parties vibrantes séparées par des nœuds
de vibrations, soient d'autant moins grandes que leur élasticité
est plus diminuée, c'est adire qu'elles se trouvent dans des
portions dela fourche plus fortement infléchies. et
rien n'est plus conforme en effet à On voit donc que c'est précisément là ceque Mr
Chladni a observé dans les differens cas du mouvement
des fourches.
Les mêmes principes peuvent servir à prévoir ceqi doit
arriver lorsque la torsion, aulieu de se faire dans un espace
circonscrit pris sur la bande élastique, a lieu uniformément
dans toutes les parties dela même bande. Alors, il ne peut
se manifester qu'un seul des deux effets qui se montrent
dans le cas des fourches; car l'élasticité qui est proportionnelle
àla courbure, est également constante dans l'étendue de la
bande lorsque sa courbure est nulle, comme dans la bande
En tête, au milieu, « (153) », non barré ; pas de nombre en
haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 579. « l'élasticité »
est écrit au-dessus de « qu'il », dont le « il » est barré. Le pluriel
de « fourches », dans « portions dela fourche », est annulé par une
petite croix sur l's final : on donne le singulier. La ligne « rien
n'est plus conforme en effet à » est écrite dans l'interligne, plus
petit, au-dessus de la ligne barrée qu'elle remplace. « nœuds » est
écrit « nauds ». « ceqi doit » : ainsi sur la page. La phrase se
poursuit au-delà de ce lot ; le bas du feuillet est blanc.