Français 9115 · lot 30 · vues 581–600 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
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Numérotation des feuillets. En haut à droite, à l'encre, une série d'un nombre par feuillet : 286 (vue 581), 287 (583), 288 (585), 289 (587), 290 (589), 291 (591), 292 (593 et sa reprise 594), 293 (596), 294 (598), 295 (600), sans lacune ; les revers écrits n'en portent pas. Elle occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque mais est tracée à la plume : aucun « f. » n'est donc porté. En tête, au milieu, la pagination de l'auteur, entre parenthèses : (154) à (165) aux vues 581–592, les pages des rectos, (154), (156) … (164), barrées ; (2) à la vue 595 ; (23) et (24) aux vues 596–597 ; (61), barré, à la vue 600. La vue 594 reprend la vue 593 et la vue 599 est le revers blanc du feuillet de la vue 598 : elles ne sont pas transcrites.

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En tête, au milieu, entre parenthèses et barré : (154). En haut à droite, à l'encre : 286.

droite, et lorsqu'elle la courbure est uniforme, comme dans la bande ployé à la forme d'anneau circulaire. Mais l'élasticité, quoique constante dans tous les points de l'anneau, doit être diminuée par l'effet de la courbure. Ainsi l'anneau doit se partag partager en un certain nombre de parties égals entre elles ; mais les sons correspondans doivent être plus graves que ceux dela bande ramené à la forme rectiligne. La différence des sons donnés par l'anneau et par la bande droite, doit être proportionnelle à l'amplitude de l'arc séparé [terminé] par deux points de repos consécutifs, parceque la courbure est d'autant moindre qu'il s'agit d'un arc plus petit.

Rien n'est encore plus conforme aux phénomènes rapportés N.o 89 du traité d'acoustique ; car M.r Chladni a observé que les longueurs des parties vibrantes sont égales entre elles ; et les nombres auxquels il a trouvé que les sons doivent être proportionnels sont à ceux indiqués par la théorie d'Euler \(::2\beta-1:2\beta\). On voit donc que la différence, savoir \(\frac{(2\beta)^2}{(2\beta-1)^2}\), finit par être insensible, lorsque \(\beta\) est très grand. « ramené » : le mot se lit « ramimé » ; lecture par le sens. « entre elles » est écrit d'un trait, le r et le e liés. « d'Euler » : le nom est écrit de son E en forme de L, comme ailleurs dans le volume. La fraction est écrite comme ci-dessus ; c'est un rapport qu'elle nomme « la différence ».

N.o 25. Quelque satisfesante que me paroisse la manière dont j'ai crû pouvoir concilier la théorie d'Euler et le résultat des expériences de M.r Chladni ; l'importance d'une question dans laquelle il ne s'agit de rien moins que de décider si la courbure du corps sonore permet encore de lui appliquer [encore] l'analyse qui Le Q de « Quelque » est écrit par-dessus une autre majuscule.

582

En tête, au milieu, entre parenthèses : (155), le dernier chiffre repassé ; ce nombre n'est pas barré. Aucun nombre en haut à droite : c'est le verso écrit du feuillet 286.

convient au cas où le même corps est supposé rectiligne, m'a engagé à consulter moi même l'expérience, mais en écartant la cause que je supposois avoir influé sur les faits observés par M.r Chladni.

Avant d'entrer en matière, il faut observer que, si les effets de la courbure sont nuls, le cas de la courbe rentrante ne peut différer de ceux dans lesquels la lame affecte toute autre forme, qu'en ceque les deux extrémités réunies alors dans un seul et même point, sont nécessairement dans un état semblable.

On pourra donc regarder le point d'application des doigts sur la lame élastique circulaire, tantot comme un point fixé où seront réunies les deux extrémités égalment fixés, tantot comme un point d'appui où seront réunies les deux extrémités appuyés. Rien n'empêchera même, en cessant de prendre l'origine au point d'application, de considerer ce point comme un simple point de repos appartenant au cas des deux extrémités libres, extrémités qui pourront être censés réunis dans un des points mobiles de l'anneau. « pourra » : les deux dernières lettres sont écrites par-dessus d'autres, et « doigts » a son s final repassé. « réunies » (troisième ligne de l'alinéa) a ses dernières lettres repassées.

Je ne puis dissimuler pourtant qu'Euler paroît être à l'égard des effets de la courbure considérés dans l'anneau, d'une opinion toute contraire à celle que je viens d'exposer ; car ce grand géomètre, en

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En tête, au milieu, entre parenthèses et barré : (156). En haut à droite, à l'encre : 287. Le feuillet est monté plus bas sur sa feuille que le précédent.

prenant successivement \(s=a\), \(s=2a\) ; \(s=3a\) &c, arrive à conclure \(\alpha=0\), \(\beta=0\) et \(\delta=0\), c'est à dire qu'il exclut tout autre cas que celui des extrémités appuyés (V. N.o 54 de son M. sur la lame) La première lettre de « \(\alpha=0\) » a la forme d'un « u », comme l'\(\alpha\) de la copie latine d'Euler. « M. » : abrégé, sans doute pour « mémoire ». Le 4 de « 54 » a la forme d'un « b ».

Malgré le respect dû à l'autorité de si illustre auteur d'un auteur aussi [de] cet illustre auteur [ce savant auteur], je ne puis m'empêcher d'observer que les suppositions \(s=a\), \(s=2a\) &c. doivent être regardées comme purement mathématiques ; qu'excepté la première, elles n'ont aucune existence réelle et physique, et qu'elles sont parconséquent étrangères à la question. Trois leçons se superposent au-dessus de « l'autorité » : sur la ligne, « de si illustre auteur », barré ; au-dessus, « d'un auteur aussi », barré ; plus haut, « de cet illustre auteur », dont « cet illustre auteur » est barré ; enfin, tout en haut, « ce savant auteur », non barré. « réelle » et « physique » portent chacun une petite croix sur la lettre finale : le pluriel annulé, qu'on donne ici au singulier.

S'il en étoit autrement, il faudroit qu'un anneau tel petit qu'on voulut le supposer, pût être équivalent à une lame droite d'une longueur infinie, c'est à dire qu'il faudroit que l'intensité du son, qui, toutes choses égales d'ailleurs, dépend du nombre des parties vibrantes à la fois, fut égal de part et d'autre. Je reviens aux expériences que j'ai tentées. Une petite croix est tracée sur l's final de « égales ».

Dans la vue d'écarter l'influence physique de la courbure, et d'obtenir une élasticité constante dans tous les points de la lame ; au lieu d'employer, comme l'a fait M.r Chladni, une bande métallique susceptible de prendre différentes formes, j'ai fait tailler dans un morceau de verre bien choisi des lames de diverses courbures.

J'ai d'abord essayé les lames composées de deux branches droites réunies par une partie circulaire, j'ai reconnu que, dans ce cas, qui est celui des fourches, les points de repos Une petite croix est tracée sous « que », à la fin de l'avant-dernière ligne ; aucune note ne lui répond sur cette page.

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En tête, au milieu, entre parenthèses : (157), non barré. Aucun nombre en haut à droite : c'est le verso écrit du feuillet 287.

étoient d'autant plus distants les uns des autres, qu'ils étoient plus voisins du milieu dela lame qui est en même tems le milieu de la partie courbe de cette lame. La mesure doit être prise sur les parties extérieures dela courbe ; car, la largeur de la lame n'influant pas sur le son, il depend uniquement de l'étendue de son contour extérieur : Cette observation s'applique à tous les cas suivans ; ainsi elle sera toujours sous entendue.

Le résultat que j'ai obtenu est, comme on voit, entièrement contraire à celui qu'ont donné les expériences de M.r Chladni. les miennes font voir que la fourche d'une élasticité constante, vibre absolument de la même manière qu'une lame droite, et que parconséquent c'est le cas des extrémités libres en vertu des conditions \(\frac{ddz}{dx^2}=0\) et \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\) qui s'y montrent le plus aisément. « donné » : la finale est repassée, peut-être un « s » effacé.

Au contraire, lorsque l'élasticité n'est pas la même dans tous les points dela lame, non seulement la distance entre les points d'appui varie en raison de ce coëfficient, mais encore, suivant l'observation de M.r Chladni, cette fourche vibre alors comme une lame dont les deux extrémités seroient appuyés, ou, cequi revient au même, comme une lame dont les extrémités seroient libres en vertu des conditions \(\frac{dz}{dx}=0\) et \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\). La première condition est écrite ici \(\frac{dz}{dx}=0\), sans exposant, là où l'alinéa précédent écrivait \(\frac{ddz}{dx^2}=0\) ; on la donne telle qu'elle est écrite. Le bas de la page est blanc.

585

En tête, au milieu, entre parenthèses et barré : (158). En haut à droite, à l'encre : 288.

Peut-être ce cas ne se montre-t-il sur la fourche qu'à cause du soumise à l'expérience par M.r Chladni, qu'à cause du grand nombre de points de limites auxquels il donne lieu, et qui, en mettant chaque partie qu'ils séparent dans la même position analytique que si elles étoient réellement isolées, permet de considérer l'élasticité comme uniforme dans chacune d'elles. « partie » : une lettre finale, sans doute un s, est barrée d'une petite croix.

A l'égard du cas de l'anneau, j'ai fait également tailler des lames de verre de forme circulaire et de grandeurs variée. La première que j'ai essayé, étoit large de 9 millimètres environ, et son diamètre étoit de 83 millimètres. J'ai aisement obtenu trois figures différentes : la première présentoit trois points de repos inégalement espacés, et aunombre desquels étoit compris le point d'application des doigts : Le son qui accompagnoit cette figure étoit si. 1.. La seconde figure étoit composée de quatre points de repos situés à égale distance, les uns des autres. le son qui l'accompagnoit étoit mi. 2. La fi la troisième figure étoit formée de 6 points de repos pareillement situés à égale distance, les uns des autres, et le son correspondant étoit \(\text{fa}^{\sharp}\) 3. Les sons sont notés par le nom de la note suivi d'un chiffre, qui paraît désigner l'octave ; le dièse est écrit au-dessus de « fa ». Le dernier chiffre a la forme d'un 9 à queue courte ; la suite 1, 2 fait offrir 3, avec doute. En fin de ligne, après « mi. 2. », deux mots commencés, lus « La fi », non barrés, que la ligne suivante reprend par « la troisième figure ».

Il est aisé de voir que les deux dernières figures appartiennent au cas des extrémités appuyés ; car on les explique en fesant

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En tête, au milieu, entre parenthèses : (159), non barré. Aucun nombre en haut à droite : c'est le verso écrit du feuillet 288.

pour l'une \(n=4\) pour l'autre \(n=6\) ; et les sons qui doivent être alors entr'eux \(::16:36\) donnent effectivement \(\frac{9}{4}\), c'est adire, 1 octave et 1 ton pour leur intervalle, précisément comme l'indique l'expérience. « donnent » : la finale est écrite par-dessus une autre.

A l'égard dela première figure, puisqu'elle présente un nombre impair de points de repos, et que ces points sont inégalement distans les uns des autres, elle ne peut appartenir au cas des extrémités appuyés. Le son qui l'accompagne annonce qu'elle doit être rapportée au cas des extrémités fixés. En effet, d'après la théorie d'Euler, le nombre auquel le son doit être proportionnel lorsqu'il y a deux points de repos dans la lame droite dont les deux extrémités sont appuyés [fixés], est \(\frac{49}{4}:\frac{64}{49}\) doit donc exprimer l'intervalle entre les sons qui conviennent à ce cas et à celui de 3 points de repos dans la lame droite dont les extrémités sont appuyés ou de 4 points de repos dans l'anneau élastique ; or \(\frac{64}{49}\) diffère à peine de \(\frac{4}{3}\), c'est adire de 2 tons et \(\frac{1}{2}\) ton qui est en effet l'intervalle que donne l'expérience puisqu'un de ces sons étant si 1, l'autre est trouvé est mi. 2. « est » est écrit « ett », comme ailleurs sur ces feuillets. Entre \(\frac{49}{4}\) et \(\frac{64}{49}\) le signe est un deux-points traversé d'un petit trait, suivi d'un point-virgule ; on le donne par un deux-points. Une petite croix suit \(\frac{64}{49}\) ; aucune note ne lui répond sur la page. La phrase semble avoir perdu un mot entre « \(\frac{49}{4}\) » et « \(\frac{64}{49}\) doit donc » ; elle est donnée telle qu'elle est écrite.

Le petit nombre d'expériences que je viens de rapporter suffit pour prouver que, conformément à la doctrine

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En tête, au milieu, entre parenthèses et barré : (160). En haut à droite, à l'encre : 289. Le feuillet est monté bas sur sa feuille ; le haut de la vue est la feuille de montage, blanche.

d'Euler, la courbure n'influe pas sur les manières de vibrer dont une lame élastique est susceptible et que ce n'est qu'à la circonstance étrangère dela variation de l'élasticité, qu'il faut attribuer les différences que M.r Chladni a remarquées entre ses expériences et la théorie de cet illustre géomètre.

Les mêmes expériences montrent aussi qu'Euler n'auroit pas dû déroger à son assertion générale sur la non influence de la courbure, et que c'est à tort qu'il a exclu le cas des extrémités appuyés fixés, de ceux qui peuvent appartenir à l'anneau.

Je n'ai pas vû de manière de vibrer que je puisse rapporter dans l'anneau au cas des extrémités libres, mais ce n'est pas là une raison suffisante de le rejetter ; car même en supposant qu'il refuse toujours de se montrer, il suffiroit pour l'exclure que les figures appartenant à d'autres cas, se formassent plus facilement, sans que pourtant le cas dont il s'agit, fut analytiquement impossible.

Lorsque l'on néglige n'a pas égard à la variation du (V. N.os 22 et 23) rayon la plaque (V. N.os 22 et 23), la plaque circulaire peut être considérée comme un simple anneau dont la largeur est mesurée par le rayon de la même plaque et Le renvoi « (V. N.os 22 et 23) » est d'abord écrit au-dessus de « variation du », puis barré et récrit sur la ligne après « rayon ». « n'a » suit « néglige » barré sur la ligne. Le bas du feuillet est blanc sous la dernière ligne.

588

En tête, au milieu, entre parenthèses : (161), non barré. Aucun nombre en haut à droite : c'est le verso écrit du feuillet 289. Le feuillet est monté bas sur sa feuille.

parceque les sons que peuvent rendre les l'anneaux sont indépendans de leur la largeurNote. \(\times\) bien entendu qu'il ne s'agit ici que des cas où l'anneau vibre comme une simple lame, car il est susceptible de mouvemens différens dans lesquels la largeur ne peut être négligée, la plaque doit vibrer alors de la même manière que si elle étoit véritablement réduite aux proportions d'un simple anneau. La note marginale est écrite dans la marge de gauche, en face des lignes 2 à 8, d'une plume plus fine ; elle est appelée par une croix placée au-dessus de « largeur » et répétée en tête de la note. L'x final de « anneaux » est barré. Le premier mot, « les », est repassé.

Pour vérifier cette théorie, j'ai fait tailler plusieurs lames circulaires dont le diamètre étoit toujours \(=83\) millimetres, mais dont la largeur étoit, pour les unes, 20 millimetres, et pour les autres 35 millimetres. J'ai aussi fait tailler des plaques de circulaires du même diamètre que les anneaux, voici ceque j'ai observé : « 35 » : le second chiffre est écrit par-dessus un autre et reste douteux ; le 8 de « 83 » a la forme d'un « & ». « étoit » (troisième ligne) a sa finale repassée.

Les lames larges de 20 millimetres ne m'ont pas donné le cas que j'avois obtenu avec les lames plus étroites et qui appartient aux extrémités fixés. Mais au reste elles ont donné aisément les deux cas [figures] qui sur les lames étroites se rapportent au cas des extrémités appuyés. L'une d'entre elles a même donné le cas de deux nœuds, qui répond, comme on sait, à celui d'un seul nœud sur la lame droite. Cette Ce dernier cas n'a pas été observé par M.r Chladni sur l'anneau métallique, et je ne l'ai moi même obtenu que d'une seule des lames de ve circulaires, de verre. « nœuds », « nœud » : l'œ est ouvert et se lit « naud » (voir hand.md). « donné » (« elles ont donné ») porte une lettre finale barrée.

589

En tête, au milieu, entre parenthèses et barré : (162). En haut à droite, à l'encre : 290.

Le son qui accompagnoit la formation des deux nœuds étoit près du sol plus bas de 2 octaves que l'octave 1. le son de la figure qui, sur la même lame, étoit [se] composoit de deux nœuds, étoit \(\text{sol}^{\sharp}\) 1 enfin le son qui répondoit à la figure formée de six nœuds étoit si 3. Un petit signe, comme un 3 ou un z, est écrit au-dessus de la fin de « étoit », à la première ligne ; il n'est appelé nulle part. « composoit » : la finale est écrite par-dessus une autre. Le dièse de « sol » est écrit en exposant. Le 3 de « si 3 » est de la même forme que celui qu'on a lu, avec doute, dans « \(\text{fa}^{\sharp}\) 3 » à la vue 585.

On voit que, si les sons ne sont pas rigoureusement conformes à la théorie ; ils [ne] s'en éloignent pourtant pas d'une quantité supérieure plus grande que celle qui peut être attribuée aux causes physiques inappréciables, et qu'il est permis de regarder, parconséquent de regarder les mouvemens de la lame circulaire large de 20 millimetres comme parfaitement semblables à ceux d'une lame circulaire de même plus étroite.

Par un hazard heureux, j'ai obtenu absolument les mêmes sons [et les mêmes figures] d'une plaque circulaire et d'un anneau du même diamètre que la plaque qui ne différoit d'elle, que par un espace circulaire vide de 11 […] millimetres de diamètrex. L'une des figures l'une étoit composée de quatre nœuds ou lignes diamétrales l'autre montroit six semblables nœuds ou lignes le son étoit \(\text{ut}^{\sharp}\) 2 dans le premier cas ; dans le second, le son étoit mi. 3 Après « 11 », un signe barré d'un trait horizontal, peut-être un chiffre (un 7 ?) ; il n'est pas lu. L'x final de « diamètrex » est barré. Le bas du feuillet est blanc.

590

En tête, au milieu, entre parenthèses : (163), non barré. Aucun nombre en haut à droite : c'est le verso écrit du feuillet 290.

Les sons présentent, comme on voit, un intervalle trop plus grand d'un demi ton que ne l'indique la théorie ; mais dans d'autres expériences l'intervalle s'est trouvé juste exacte [juste], et quelquefois aussi trop grand d'un ton ainsi il doit être considéré ici comme suffisamment exact. et il est « grand » : le g est écrit par-dessus une autre lettre. Au début de la quatrième ligne, « juste » est barré sur la ligne ; au-dessus, « exacte » est barré à son tour et suivi de « juste », non barré.

On ne peut donc douter que l'équation \(z=\ldots A\,\text{sin}(\beta\varphi+B)\) qui est celle de l'anneau ne convienne qui équivaut à une lame dont les extrémités sont appuyés, ne conviennent également et sous les mêmes conditions à la plaque circulaire. « \(z=\ldots\) » : un facteur laissé en blanc, comme ailleurs dans le volume. « équivaut » : le mot se lit « equivalt », suivi de quelques lettres barrées. « conviennent » est au pluriel sur la page.

Il ya plus, et comme rien n'empêche d'employer les arcs de grand cercle qui mesurent les deux courbures d'une cloche hémisphérique à la place des coordonnés \(x\), et, \(y\) et que par une transformation semblable à celle qui a été pratiquée pour le cas dela plaque circulaire, on auroit deux facteurs dans la valeur de z, l'un qui contiendroit l'arc qui remplaceroit le rayon, l'autre qui conduiroit ne contiendroit que \(\text{sin}(\varphi\beta+B)\) seroit autre chose que \(\text{sin}(\varphi\beta+B)\), il sera permis, de négliger aussi « z » est souligné sur la page. Le produit s'écrit ici \(\varphi\beta\), là où l'équation de l'anneau, plus haut, porte \(\beta\varphi\) ; on garde les deux ordres tels qu'ils sont écrits. Le bas du feuillet est blanc sous la dernière ligne.

591

En tête, au milieu, entre parenthèses et barré : (164). En haut à droite, à l'encre : 291. Le feuillet est monté bas sur sa feuille ; le haut de la vue est la feuille de montage, blanche.

la variabilité du premier facteur et d'appliquer parconséquent l'équation \(z=\ldots A\,\text{sin}(\beta\varphi+B)\) à ce corps sonore.

Cette ve équation \(z=\ldots A\,\text{sin}(\beta\varphi+B)\) qui n'est autre chose que celle de la corde tendue peut donc appartenir, dans certains cas, à la lame droite, à l'anneau, à [au tambour circulaire,] à la plaque circulaire et enfin à la cloche hémisphérique. « au tambour circulaire, » est écrit au-dessous de la ligne, sous « à l'anneau », d'une plume plus fine ; le mot barré en fin de ligne est court, peut-être « à ».

Il s'en suit que Dans ceux de ces corps qui sont élastiques, les sons doivent [donc] être proportionnels à \(\beta^2\), c'est-à-dire à la suite des [aux] quarrés des nombres dela suite naturelle.

M.r Chladni trouve en effet que (V. table p 185) que, dans le cas où il n'y a sur les plaques circulaires que des lignes diamétrales, les sons répondent aux quarrés des nombres 2, 3, 4, 5, 6, &c. Il trouve aussi que la cloche d'harmonicax donne, dans les cas analogues, des sons également proportionnels à la suite des mêmes nombres (V. table p. 236) « 185 » : le dernier chiffre, à queue descendante, peut se lire 5 ou 9. Les deux renvois visent des tables, sans doute celles du traité d'acoustique de Chladni cité plus haut ; c'est une inférence. L'x final de « harmonicax » est barré. Le bas du feuillet est blanc.

592

En tête, au milieu, entre parenthèses : (165), le 6 repassé ; non barré. Aucun nombre en haut à droite : c'est le verso écrit du feuillet 291. Le feuillet est monté bas sur sa feuille. Cette page est la dernière du mémoire : le texte s'arrête au premier tiers du feuillet, et le reste n'est que l'écriture de la vue 591 vue par transparence.

Je termine enfin ce long mémoire dans lequel je n'ai pourtant encore qu'autant que commencé examiné [qu'une partie] des différens cas que l'expériencex présente et des cas plus nombreux encore que la théorie montre possibles. Je m'estimerai heureux si guidé par l'excellent travail de M.r Chladni et éclairé par la manière dont Euler a traité un des cas des corps sonores élastiques, la classe juge que je ne me suis pas tout à fait égaré mépris sur la route qu'il falloit tenir dans la carrière ouverte par cet illustre auteur géomètre. je suis parvenu à remplir au gré de mes juges les conditions du programme proposé par la classe. Au début de la deuxième ligne, trois leçons barrées se superposent : « encore » et « qu'autant » sur la ligne, « que commencé » au-dessus ; « qu'une partie » est ajouté au-dessus de « examiné », dont l'initiale est repassée. Les trois lignes et demie qui suivent « élastiques, » sont barrées d'un trait continu ; seul « dans » semble épargné par le trait, et la phrase ne le reprend pas. Au-dessus de « illustre », « auteur » est barré et « géomètre » écrit après lui, barré avec le reste. « heureux » est au masculin sur la page.

593

Un nouveau morceau commence ici : une mise au net de la première page du mémoire sur les surfaces élastiques dont le brouillon s'ouvre à la vue 398. Aucun numéro de page en tête. En haut à droite, à l'encre : 292. L'écriture est plus régulière et plus grande que dans les pages précédentes, le titre d'une main calligraphiée. La vue 594 photographie une seconde fois ce même feuillet (même texte, mêmes hachures, même nombre 292 ; seul le cadrage diffère) ; elle n'est pas transcrite.

Mémoire sur la question proposée par la première classe de l'institut

« Donner la théorie mathématique des vibrations des surfaces « élastiques et la comparer à l'expérience.

Sed longe maximum progressibus Scientiarum, et novis pensis ac provinciis in iisdem suscipiendis, obstaculum deprehenditur in desperatione hominum et suppositione impossibilis. Baco Novum organum, lib. 1, n. XCII. tom. 1 p. 298, edit. in f.o London 1740.

La référence est soulignée ; elle est rendue en italique. Sous l'épigraphe, un trait horizontal au milieu de la page.

Si on vouloit examiner d'abord la question dans toute sa généralité, on tomberoit dans des calculs extrêmement compliqués ; mais en se bornant à considérer le mouvement des surfaces planes dans le cas où il est régulier et comparable à celui d'un pendule simple, on parvient aisément à une équation différentielle dont les intégrales particulières sont facilement applicables. J'ose espérer que, malgré les simplifications que, d'après cette remarque, j'ai crû pouvoir introduire dans mes formules la classe trouvera la théorie que je soumets à son jugement, aussi générale que le demande l'état de la question, car, d'une part, les expériences de M.r Chladni sont toutes comprises dans le cas des mouvemens réguliers, les seuls en effet qui appartiennent à l'acoustique, puisqu'eux seuls présentent des lois déterminables ; & de l'autre les simplifications auxquelles la supposition de z très petit donne lieu, peuvent aisément se transporter au petit nombre de mouvemens que cet habile physicien a observé dans les surfaces courbes ; car, comme je le dirai dans la suite,

cet habile physicien n'a fait qu'un petit nombre d'essais sur le son des surfaces courbes ; et d'ailleurs les géomètres sentiront aisément que les simplifications auxquelles donne lieu la supposition z très petit Les trois dernières lignes du texte gardé, depuis « les simplifications auxquelles », sont écrites en alternance avec trois lignes plus anciennes, hachurées de petites croix lettre par lettre : on les donne ici à la suite, en un seul passage barré. Ces lignes hachurées reproduisent la leçon que le brouillon de la vue 398 barrait déjà (« de l'autre, cet habile physicien n'a fait qu'un petit nombre d'essais sur le son des surfaces courbes ; et d'ailleurs les géomètres sentiront aisément que ») ; « nombre » et « d'essais » ne se lisent ici que sous les hachures, d'où le doute. La lettre \(z\) est soulignée, deux fois. La phrase s'arrête sur « dans la suite, » au bas du feuillet ; la suite est au revers du feuillet, vue 595.

595

Revers écrit du feuillet 292 (vues 593–594) : en tête, au milieu, entre parenthèses : (2), non barré ; aucun nombre en haut à droite. Le texte continue la phrase de la vue 593. Le haut de la page alterne, comme le bas de la vue 593, lignes anciennes barrées et lignes nouvelles écrites entre elles.

pourroient se transporter aux surfaces d'une courbure quelconque en ces mouvemens se trouvent compris dans une équation fort simple qui convient substituant aux différentielles des deux ordonnées rectangulaires x et y à plusieurs genres de corps sonores, et dans laquelle z exprime, les différentielles des deux courbes qui mesurent les courbures principales de ces surfaces ; desorte que les valeurs de z exprimeroient encore, comme dans le cas du plan, la quantité dont chaque point des mêmes surfaces s'éleveroit pendant leur mouvement au dessus de leur situation naturelle. Les lignes barrées d'un trait sont les anciennes, les autres ont été écrites dans l'interligne ; on les donne dans l'ordre de la page. Ces lignes barrées continuent les lignes hachurées du bas de la vue 593. Le mot barré après « au dessus de » est « leur », avec des lettres récrites par-dessus, peut-être « sa » ; aucun autre possessif n'est écrit, et on ne le supplée pas.

§. Recherche de l'équation différentielle dela surface élastique vibrante Le titre est souligné sur toute sa longueur ; il est rendu en italique. Le signe qui le précède a la forme d'un 8 suivi d'un point ; on le rend par §, comme le brouillon (vue 399) porte « § 1 ». Aucun chiffre ne le suit ici.

N.o 1 Pour trouver cette équation, il faut d'abord déterminer quelle doit être la somme des momens des forces d'élasticité qui agissent dans toute l'étendue dela surface. Pour cela, je prens quatre points sur cette surface ; j'imagine deux plans, l'un passant par le premier, le second et le quatrième de ces points, l'autre passant par le premier, le troisième et le quatrième des mêmes points ; je nomme \(\underline{e}\) l'angle extérieur formé par un de ces plans et le prolongement de l'autre ; je repre- sente par \(\underline{\beta}\) la petite ligne d'intersection des deux plans et par \(E\) la force qui agit suivant \(\underline{\beta}\) en s'opposant à l'inflexion de la surface et en tendant parconséquent à diminuer l'angle \(\underline{e}\).

Ainsi je trouve que la somme des momens est exprimée par \(SSE\beta de\) ; et il ne s'agit plus, pour avoir sa valeur, que de connoître celles de \(de\), \(\underline{\beta}\), et \(E\). « \(SSE\beta de\) » : le double signe d'intégration est écrit comme deux S, gardés tels quels (voir hand.md). Un petit trait sépare \(E\) de \(\beta\) ; on ne le rend pas.

Je commence par la recherche de la valeur de \(\underline{e}\).

On sait qu'en représentant par \(\underline{C}\) l'ordonnée verticale d'un plan à son origine, par \(A\) et \(B\) les tangentes des angles que les traces du plan dont il s'agit font avec l'horizon, et par \(C'\), \(A'\) et \(B'\) les quantités analogues relatives à un second plan, le cosinus de l'angle « traces du plan » : le brouillon (vue 399) ajoutait « sur les plans coordonnés verticaux » ; la mise au net ne l'écrit pas. La page s'arrête sur « de l'angle », au milieu de la phrase ; le bas du feuillet est blanc. La suite n'est pas dans ce lot : la vue 596 porte une page numérotée (23), de la même main.

596

En tête, au milieu, entre parenthèses : (23), non barré. En haut à droite, à l'encre : 293. Même main régulière qu'aux vues 593 et 595. Le feuillet est monté bas sur sa feuille ; le haut de la vue est la feuille de montage. La page commence au milieu d'une phrase, dont le début n'est pas dans ce lot : la page précédente de cette série, (2), s'arrête à la vue 595 sur « de l'angle ».

équations, j'examinerai les conséquences que l'on peut en tirer dans les hypothèses les plus simples. Je supposerai donc d'abord que la surface vibrante soit rectangulaire, que le plan de cette surface en repos soit pris pour celui des \(\underline{x}\) et \(y\) afin que l'origine soit à un des points de repos de la même surface, enfin que chacun des côtés soit parallèle à un des axes des \(\underline{x}\) et \(\underline{y}\). Cela posé, la suite des points qui servent de limites aux valeurs de \(\underline{x}\), c'est-à-dire ceux qui appartiennent aux côtés parallèles à l'axe des \(y\) devront satisfaire aux conditions \[ S\frac{1}{dy}\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}\delta\!\left(\frac{dz}{dx}\right)=0, \quad S\frac{1}{dy}\,\frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dx}\,.\,\delta x=0, \] en vertu de l'un ou l'autre des quatre couples d'équations : \[ z=0 \text{ et } \frac{dz}{dx}=0\,; \quad z=0 \text{ et } \frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}=0\,; \] \[ \frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dx}=0 \text{ et } \frac{dz}{dx}=0\,; \quad \frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dx}=0 \text{ et } \frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}=0. \] « en repos » est écrit d'une encre plus lourde, par-dessus d'autres lettres, et « soit » est traversé d'un trait qui peut être un trait de liaison ; on ne le donne pas comme biffé, la phrase en ayant besoin. Les signes \(S\) sont gardés tels qu'ils sont écrits, et le facteur est bien \(\frac{1}{dy}\) sur la page ; le \(\delta\) est la lettre bouclée de la variation. La fin de la première condition porte « \(.\,\delta x\) » ; la lettre après \(\delta\) est lue \(x\).

L'analogie est frappante entre ce que l'on trouve ici et cequi a lieu pour les extrémités dela simple lame. On voit en effet que les deux derniers couples ne peuvent appartenir qu'aux points libres du contour, tandis que les deux premiers conviennent aux points de repos du même contour. Cependant on ne peut plus regarder le point auquel appartiendroient les conditions \(z=0\) et \(\frac{dz}{dx}=0\) comme fixé parcequ'elles ne suffisent pas pour que le plan tangent tombe dans le plan de \(\underline{x}\) et \(y\) et qu'il faudroit pour cela que l'on eut encore \(\frac{dz}{dy}=0\).

On voit de même que la suite des points qui servent de limites aux valeurs de \(y\), c'est-à-dire ceux qui appartiennent aux côtés parallèles à l'axe des \(\underline{x}\) doivent satisfaire aux conditions, \[ S\frac{1}{dx}\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}\delta\!\left(\frac{dz}{dy}\right)=0, \quad S\frac{1}{dx}\,\frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dy}\,\delta z, \] en vertu de l'un ou La seconde condition s'arrête sur « \(\delta z\), » sans « \(=0\) » ; elle est donnée telle qu'elle est écrite. Là où la première série portait \(\delta x\), celle-ci porte \(\delta z\). La page s'arrête sur « en vertu de l'un ou » ; la suite est au revers, vue 597.

597

Revers écrit du feuillet 293 (vue 596) : en tête, au milieu, entre parenthèses : (24), non barré ; aucun nombre en haut à droite. Le feuillet est monté bas sur sa feuille. Le texte continue la vue 596.

l'autre des quatre couples d'équations : \(z=0\) et \(\frac{dz}{dy}=0\) ; \(z=0\) et \(\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}=0\) ; \[ \frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dy}=0 \text{ et } \frac{dz}{dy}=0\,; \quad \frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dy}=0 \text{ et } \frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}=0. \]

Puisqu'il s'agit ici des surfaces rectangulaires, on voit que les points situés aux quatre angles sont assujettis à quatre conditions : car ils appartiennent également aux côtés parallèles à l'axe des \(\underline{x}\) et aux côtés parallèles à l'axe des \(y\). Je nommerai points de double limite tout point qui remplira à la fois les conditions des limites des valeurs de \(\underline{x}\) et celles des valeurs de \(y\). Ainsi les équations \(z=0\) et \(\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}=0\) qui forment le caractère analogue à celui qu'Euler attribue aux points d'appui, ne pourront appartenir qu'aux points de doubles limites. On aura encore un point de double limite, si on peut satisfaire à la fois aux deux couples d'équations \(z=0\) et \(\frac{dz}{dx}=0\) ; \(z=0\) et \(\frac{dz}{dy}=0\), et le plan tangent à ce point tombera dans le plan des \(\underline{x}\) et \(y\). Au contraire le plan tangent sera seulement parallèle au plan des \(\underline{x}\) et \(y\) lorsque les conditions du point de double limite seront les deux couples d'équations \(\frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dy}=0\) et \(\frac{dz}{dy}\) ; \[ \frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dx}=0 \text{ et } \frac{dz}{dx}=0. \] « double limite » est souligné chaque fois ; il est rendu en italique. « sont assujettis » : « sont » est écrit par-dessus un autre mot. « Euler » est écrit de son E en forme de L. Dans le premier couple de la dernière formule, « \(\frac{dz}{dy}\) » est écrit sans « \(=0\) » ; on le donne tel quel.

Il est clair que tout point qui satisfera aux conditions des limites appartiendra à une ligne de limite analytique : mais de plus on peut observer que si une pareille ligne de limite satisfait, par exemple, aux conditions \(S\frac{1}{dy}\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}\delta\!\left(\frac{dz}{dx}\right)=0\), \(S\frac{1}{dy}\,\frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2}+\frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dx}\,.\,\delta z=0\). et que pour un ou plusieurs de ses points on ait \(dy=0\), La seconde condition porte ici \(\delta z\), là où la même condition, à la vue 596, porte \(\delta x\) ; chacune est donnée telle qu'elle est écrite. Le « 0 » de « \(dy=0\) » est un peu fermé et pourrait être lu « a » ; le sens donne 0. La page s'arrête sur cette virgule, au bas du feuillet ; la suite n'est pas dans ce lot.

598

Un autre état du même début : un brouillon de la première page du mémoire sur les surfaces élastiques, sans numéro de page en tête, très corrigé. En haut à droite, à l'encre : 294. Le texte s'arrête aux deux tiers du feuillet ; le bas est blanc.

Mémoire sur cette question proposée par la première classe de l'institut.

« Donner la théorie mathématique des vibrations des surfaces élastiques « et la comparer à l'expérience ?.

Si on vouloit embrasser d'abord cette question dans toute sa généralité on tomberoit dans des calculs extrêmement compliqués, mais en se bornant d'abord aux cas des surfaces planes, et en ne s'occupant que de ceux des mouvemens de semblables surfaces qui peuvent être comparés à celui d'un pendule simple à considérer le mouvement des seules surfaces planes dans le cas où il est régulier et comparable à celui d'un pendule simple on parvient aisément, comme je vais le démontrer, à une équation [différentielle] du quatrième degré fort simple. à la vérité cette équation n'est pas intégrable en J'ose espérer que la classe jugera [trouvera] la théorie que j'ai l'honneur de soumettre à son jugement aussi générale que le veut [demande] l'état dela question car d'une part « seules » est écrit une première fois au-dessus de « aux cas des », dans la partie barrée, et une seconde fois en fin de ligne après « le mouvement des », où il est barré. « fort » est taché d'un pâté et peut être biffé. La ligne « J'ose espérer … à son jugement » est serrée dans l'interligne, au-dessus de la ligne barrée « à la vérité … intégrable en » ; « trouvera » est écrit au-dessus de « jugera », barré. La suite de la phrase est dans la marge de gauche, en quatre lignes, sans signe de renvoi ; « demande » est écrit au-dessus de « veut ».

Et On Au reste [sait que] les expériences de M.r Chladni, sont [, comme on sait] toutes ou presque toutes comprises dans le cas puisqu'il ne s'occupe jamais que des mouvemens des mouvemens réguliers [les seuls en effet qui appartiennent à l'acoustique c'est à dire d'un celui où des] puisqu'il ne s'occupe que de ceux qui donnent lieu à des sons perceptibles et à des [accompagnent des] figures régulières constantes. « Et On » : les deux mots sont écrits d'une encre plus lourde en tête de ligne, « On » repassé ; « sait que » est au-dessus de « Au reste », barré. Les deux additions interlinéaires « les seuls en effet qui appartiennent à l'acoustique » et « c'est à dire d'un celui où des » sont écrites l'une au-dessus de l'autre, au-dessus de « réguliers puisqu'il » ; « accompagnent » est au-dessus de « et à des », barré, en fin de ligne ; on les place là où la phrase les demande. Le « des » qui précède « figures » est lu dans « et à des », qui n'est barré que sur ses deux premiers mots : c'est une lecture.

[et de l'autre habile] d'ailleurs cet physicien n'a fait qu'un petit nombre d'essais sur le son des surfaces courbes ainsi desorte que le cas auquel s'applique la théorie que j'ai l'honneur de soumettre au jugement de la classe a je crois toute la généralité convenable à l'état de la question. Au-dessus de « d'ailleurs cet », une addition : « et de l'autre », « et » barré, suivi d'un mot qui se lit « habile » et chevauche « l'autre ». « ainsi », barré, est au-dessus de « desorte », barré. Les deux lignes suivantes, « la théorie … question. », sont hachurées de petites croix lettre par lettre ; « je crois » y est lu sous les hachures.

[et d'ailleurs] ma Au reste les géomètres sentiront aisément que la simplification à la- quelle donne lieu la supposition de \(\underline{z}\) très petit pourroit se transporter aux surfaces d'une courbure quelconque en substituant aux. Le premier mot barré de la ligne est court, peut-être « ma » ; « Au reste » le suit, barré aussi ; « et d'ailleurs » est écrit au-dessus. La page s'arrête sur « aux. », le point écrit ; la phrase n'est pas achevée.

600

En tête, au milieu, entre parenthèses et barré : un nombre commençant par 6, lu (61) ; le second chiffre est pris dans un pâté, mais la vue suivante, hors de ce lot, porte (62) en tête, ce qui appuie la lecture. En haut à droite, à l'encre : 295. D'une autre suite que les vues 593–598 : la page commence au milieu d'un raisonnement sur les intégrales de la plaque et sur les figures de M.r Chladni, et son début n'est pas dans ce lot. Le feuillet est monté bas sur sa feuille.

En effet j'ai vu bien des fois les lignes dues aux facteurs périodique, se séparer et se courber : mais M.r Chladni s'est bien gardé de tenir compte de cet accident ; et malgré l'ignorance où il étoit de la théorie, il a deviné parmi les distorsions qui sembloient être de même nature qu'elles étoient celles que l'on ne devoit attribuer qu'à quelqu'imperfection de la plaque vibrante.

A l'égard de l'intégrale (++), il est aisé de voir que, quoique les figures qui pourroient y être rapportées, doivent présenter des lignes droites nodales dans le sens des deux axes, les sons qui accompagneroient ces fig., devront être proportionnels à des nombres qui suivent entr'eux la même loi que ceux qui conviennent aux différens cas du mouvement de la simple lame dont les extrémités sont appuyés ou de celle dont les extrémités seroient libres en vertu des conditions \(\frac{dz}{dx}=0\) et \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\).

Il est clair que les séries qui entrent dans l'intégrale (++), ne peuvent jamais se terminer ; ainsi elle ne peut être d'une application facile : c'est pourquoi je ne m'y arreterai pas. L'étiquette de l'intégrale est faite de deux petites croix entre parenthèses ; on la rend (++). Un long trait oblique, d'une plume fine, descend de la ligne « A l'égard de l'intégrale (++) » jusqu'au-dessous de « je ne m'y arreterai pas » et traverse ces deux alinéas : il semble les annuler, et on le dit ici plutôt que de les donner comme barrés. « être d'une application » est barré sans que rien le remplace. « accompagneroient » a sa finale barrée d'un trait.

L'intégrale (++) qui appartient aux surfaces qui ne sont périodiques que dans le sens des \(y\), [renferme une série qui ne peut jamais se terminer] présente la même singularité que l'intégrale (++), c'est-à-dire que les sons qui accompagnent les figures qui s'y rapportent, sont également proportionnels aux nombres qui conviennent aux mouvemens de la simple lame appuyée à ses deux extrémités. La série qui entre dans cette intégrale, ne peut non plus jamais se terminer ; et il est parconséquent impossible de déterminer les figures qu'elle peut expliquer, sans avoir recours au calcul. et je ne m'y arreterai pas L'étiquette de cette intégrale a ses deux croix réunies par un second trait, comme une petite grille ; on ne sait si c'est la même que la précédente. « renferme une série qui ne peut jamais se terminer » est écrit au-dessus de « présente la même singularité », d'une plume plus fine. Le trait qui barre les lignes suivantes s'interrompt sur « ne peut non plus jamais se » ; on donne la page telle qu'elle se voit, bien que la phrase gardée n'appelle pas ces mots.

Cependant je crois pouvoir assurer que les fig. 796 et 86 de M.r Chladni doivent être rapportées à cette intégrale, dans les suppositions successives, \(m=5\), \(m=6\). [A] l'égard des sons qui accompagneroient ces figures [on] voit qu'ils peuvent être [les] mêmes que ceux qui [sont] donnés par les intégrales périodiques dans le sens des \(\underline{x}\) et dans celui des \(y\) car les nombres \((m^2+n^2)\), \((m^2+n^2)(\Pi-1)(\Pi+\Pi'-2)\) […] se réduisent à la […], être deux même (en prenant pour \(\Pi\) et \(\Pi'\) des valeurs convenables) et de la forme « 796 » : le dernier chiffre a exactement la forme du 6 de « 86 » qui suit ; un numéro de figure aussi élevé surprend, et ce peut être un 79 suivi d'une lettre ; d'où le doute. La vue 601, hors de ce lot, écrit le même numéro de la même façon. La note est écrite dans la marge de gauche, au bas du feuillet, en six lignes, puis continue sous la dernière ligne du texte, en travers de la page, jusqu'au bord ; plusieurs mots en sont perdus dans la reliure, les mots donnés comme additions sont suppléés par le sens. « successives ; \(m=5\), \(m=6\). » est écrit sur la même ligne que la fin de la note, dont il est séparé par « se réduisent à la » ; on le rattache au texte par le sens. Les lettres \(\Pi\), \(\Pi'\) sont le grand \(\pi\) à jambes hautes que les lots précédents rendent ainsi (voir hand.md) ; ici la lettre ressemble à « rr », et on l'offre sous réserve. Au-dessous, barrés, un mot court puis « pendant », et « être deux même » ; le mot barré avant « se réduisent » ne se lit pas. L'ordre des derniers mots de la note (« se réduisent à la », la parenthèse, « forme ») est celui que la page suggère, non un ordre assuré. La page s'arrête sur « forme », en bas du feuillet ; la suite n'est pas dans ce lot.