Numérotation des feuillets. En haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, la série qui court dans tout le volume : 305 (vue 622), 306 (624), 307 (626), 308 (628, feuillet blanc), 309 (630), 310 (632), 311 (634, face blanche du feuillet dont l'autre face est la vue 635), 312 (636), 313 (638, face blanche du feuillet dont l'autre face est la vue 639), 314 (640). Sur la vue 639, un « 312 » barré d'un trait horizontal, sur la face écrite du feuillet numéroté 313 sur l'autre face. Cette série numérote des feuillets, feuillet blanc compris ; elle occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au crayon, et aucun « f. » n'est donc porté. Sa pagination, en tête : 2 (vue 622), 3 (624), 4 (626), puis 7 (632), 8 (635), 7 (636), 6 (639). Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Ne sont pas transcrites : les vues 621, 623, 625, 627, 631 et 633, dos blancs des feuillets qui les précèdent, où l'écriture se lit à l'envers par transparence ; les vues 628 et 629, feuillet 308 blanc des deux côtés ; les vues 634 et 638, faces des feuillets 311 et 313 qui ne portent que ce numéro.
je donnerai ensuite les J'exposerai ensuite celles de mes experiences
dont j'ai tenu note en fin je monte comparerai le petit
nombre defaits qui s'y prêtent aux resultats du calcul
dans le cas le plus simple qui puisse se présenter
En haut à droite, à l'encre, « 305 », le dernier chiffre à queue descendante (lu 5 parce que le feuillet précédent, vue 620, hors de ce lot, porte 304) ; à côté, souligné et barré d'un trait oblique, « 2 », sa pagination. La phrase continue la page 1 (vue 620), qui s'arrête sur « rendre compte. de ces des singularités qu'ils présente ». « le petit nombre » : le « t » final de « petit » porte le paraphe qu'elle met à la fin des mots, lu sans « s ».
N.o Dans la vue de rendre, autant que possible les faits
entre les experiences que j'allois entreprendre et celles qui
experiences sur les surfaces cylindriques comparables a celles
au cas le plus simple que presente la vibration des plaques surfaces planes
qui ont été faits sur les plaques quarrées
ont été faits sur les surfac., je me suis procuré
des portions cylindriques dont la hauteur avoit pour mesure
l'étendue de l'arc A et dont les quatre côtés étoient
deux a deux exactement parallels.
Le « N.o » est en tête du paragraphe, sans chiffre. Les deux interlignes sont écrits au-dessus des lignes 2 et 3 et au-dessous de la ligne 3 ; on les donne à la place où l'œil les prend. La phrase, dans l'état où la laissent les corrections, n'est pas achevée : « Dans la vue de rendre les experiences sur les surfaces cylindriques comparables au cas le plus simple [que] la vibration des surfaces planes ». À partir de « je me suis procuré » jusqu'à « parallels. », le passage est annulé par de grands traits obliques croisés, et non par des traits horizontaux.
En tirant la pla surface appliquant les doigts au centre
de figure de la surface et tirant le son d'un des angles
on obtient que g toujours, quelque soit le nombre de
degrés compris dans l'arc A, une figure nodale composée
Ce paragraphe entier est annulé par quatre grands traits obliques qui le traversent de haut en bas ; la phrase s'arrête sur « composée » en fin de ligne, sans suite.
J'ai fait taillé un certain nombre de plaques quarrées
qui ont été ensuite ployés suivant les differentes courbures
dont je voulois et connoître l'influence.
« ployés » : la fin du mot est récrite et peut se lire « ployées ». « taillé » : ainsi, avec l'accent.
Avant de faire cambrer les plaques dont il s'agit
j'avois essayé tous les tons correspondans aux diff deux
figures les plus simples qui se forment dans le
nodales qui peuvent s'y former j'esperois obtenir par là
une première indication de l'effet dela courbure
« cambrer » : le mot commence par une lettre récrite ; on lit « camber » ou « cambrer ».
j'ai vu avec étonnement que la première figure nodale de
Mr Chladni c'est-adire celle qui est formée composée de
deux ligne droites qui se croisent au centre de
la plaque figure qui se forme a de la même
manière sur les surface cylindrique, que sur les surf
plaque étoit sauf de très petites accompagnée du
« ligne », « surface », « plaque » : sans « s » sur le feuillet. Le premier mot barré de la dernière ligne a le s long ; « de très » est écrit en un mot. La page s'arrête sur « accompagnée du » ; la suite est à la vue 624.
même ton. après et avant la courbure, sur une quarantaine
de surfaces qui ont été ainsi essayées il s'est trouvé
sept ou huit fois une difference d'un demi ton, le
son de la surface courbée étoit alors le plus élevé
Je suis porté a croire que le contraire devoit arriver
je pense que la haute temperature alaquelle on est
forcé d'elever le verre pour le rendre flexible complique
l'effet que je voulois obtenir en changeant l'élasticité
naturelle des pièces. Le peu d'activité des ateliers
a l'époque ou je me suis occupé de ce genre
d'expe d'essais m'a empêché de les varier sous les differentes
conditions que j'avois imaginées pour en écarter toute
cause d'erreurs.
En tête, au milieu, « 3 » souligné, sa pagination ; en haut à droite, à l'encre, « 306 ». Le cachet de la Bibliothèque impériale est frappé au milieu du feuillet. La première ligne continue la page 2 (vue 622), qui s'arrête sur « accompagnée du » : « accompagnée du même ton ».
N.o En essayant de suite aumoins quarante plaques
quarrées j'ai eu occasion de m'assurer qu'un des
intervalle le plus constant est celui des sons qui
accompagnent sur ce genre desurface les figures
nodales composées d'une ligne tracé de deux
lignes droites perpendiculaires l'une a l'autre
et de deux trois lignes egalement droites dont
l'une est perpendiculaire aux deux autres
je n'ai remarqué que deux fois une difference
qui n'étoit pas même d'un demi ton. *
Lorsqu'il s'agit des surfaces cylindriques l'intervalle des sons qui accompagne les figures analogues a celles dont je viens de parler est touj varie en raison du plus ou moins de courbure.
La note marginale est écrite dans la marge de gauche, en face des lignes « nodales composées » à « qui n'étoit pas même d'un demi ton » ; aucun signe ne l'appelle dans la marge, mais l'astérisque qui suit « demi ton. » paraît la désigner. « N.o » sans chiffre, comme à la page précédente. « un des intervalle le plus constant » : ainsi, au singulier.
On sait que Sur les plaques quarrées le un
même donné nombre de lignes nodales est toujours
accompagné toujours du même ton, il se
fait même ce principe est si constant
« ce » est récrit sur un autre mot, sans doute « le ». La page s'arrête sur « si constant », au tiers inférieur du feuillet, le reste blanc.
qu'il a guidé Mr Chladni dans la classification
ingénieuse qu'il a faite des distorsions des figures
nodales et la Th théorie a pleinement confirmé, comme
je l'ai dit ailleurs, les vues ingénieuses de ce
physicien.
En tête, au milieu, « 4 » souligné et barré d'un trait oblique ; en haut à droite, à l'encre, « 307 ». La première ligne continue la page 3 (vue 624), qui s'arrête sur « ce principe est si constant ».
Le contraire arrive dans les surfaces cylindriques
le même on verra par le détail des résultats faits que
dont je donnerai plus bas la note j'exposerai plus bas
l'exposition des fa On verra toute a l'heure que
les lignes paralleles au côté courbe dela surface
ne sont pas équi que des figures nodales composées
du même nombre de lignes paralleles les unes aux côtés courbes au côté
les autres aux côtés droit dela même surface de la surface et sont accompagnées de
sons differens.
Les deux interlignes « les unes aux côtés courbes » et « les autres aux côtés droit dela même surface » sont écrits au-dessus des deux dernières lignes du paragraphe ; « de la surface » reste sur la ligne, non barré.
En fin la figure nodale com composée de deux lignes diagonales
qui se montre très très facilement sur les plaques quarrées
ne peut se former sur les surface cylindriques
il suffit d'une courbure a peine sensible pour
que cette figure ne paroisse plus. Selon suivant
l'indication de Mr Chladni et la théorie que dont il s'agit
j'ai developpée N.o 11 de mon memoire pour 1813, cette
la figure dont il s'agit est equivallante a celle qui seroit composée
de deux lignes droits paralleles aux des côtés dela
plaque. Mr Chladni a remarqué que jamais
cette dernière figure qui ne se forme sur les plaques
quarrées mais qu'elle est toujours remplacée par
les distorsions dont j'ai expliqué ailleurs la nature
a été expliquée ailleurs
Les trois lignes « ne peut se former … ne paroisse plus. » sont barrées mot à mot de croix obliques, non d'un trait horizontal. « très » est barré sur la ligne et récrit au-dessus. Le premier « dont il s'agit », au-dessus de « 1813, cette » à droite, est barré ; il est récrit au-dessus de « figure est ». « la », qui remplace « cette » barré, est écrit dans la marge de gauche, devant « figure ». Le « mémoire pour 1813 » et son N.o 11 sont nommés ainsi sur le feuillet ; on n'identifie pas ici ce mémoire. « deux lignes droits » et « aux des côtés » : ainsi. La page s'arrête sur « a été expliquée ailleurs », au bas du feuillet.
cône
on prendra, comme lorsqu'il s'est agi dela sphère, ou cequi est la même
chose dela surfa du cone pris dans la sphère et terminé non pas
par une base plane mais la calotte sphérique qui a sa base commune
avec celle du cône.
En haut à droite, à l'encre, « 309 » ; aucune pagination de sa main. Le titre « cône » est souligné, en tête et au milieu. Le mot lu « est » après « cequi » est empâté. La phrase n'a pas de complément à « on prendra » : ainsi sur le feuillet. Le feuillet ne continue pas la page 4 (vue 626) : c'est un autre papier, sans numéro de page, et un autre sujet.
x = r\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi, \qquad y = r\,\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi, \qquad z = \text{cos}\,\theta.
dx = dr\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi + r\,\text{cos}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,d\theta - r\,\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,d\varphi.
dy = dr\,\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi + r\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,d\theta + r\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,d\varphi
dz = dr\,\text{cos}\,\theta - r\,\text{sin}\,\theta\,d\theta.
« z = \text{cos}\,\theta » : sans le facteur r, que la différentielle dz de la ligne suivante suppose ; ainsi sur le feuillet.
avant de procéder aux transformations qui doivent donner les valeurs de \frac{d^2v}{dx^2} + \frac{d^2v}{dy^2}
+ \frac{d^2v}{dz^2} relatives au cône il faut observer que les differentielles ne doivent pas
être prise ici par rapport a l'arc \theta, mais par rapport au sinus
de cet angle; la raison de ce changement est que l'arc \theta
qui mesure la calotte sphérique est remplacée ici par \text{sin}\,\theta qui mesure
la base du cône qui considéré dans la sphère s'appuyoit sur
la calotte sphérique.
« les » est récrit sur un autre mot. Le dernier dénominateur, au début de la deuxième ligne, est tracé presque comme « dx^2 » ; on le lit dz^2.
cela posé on aura
\frac{dr}{dx} = \text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi, \quad \frac{d.\text{sin}\,\theta}{dx} = \frac{\text{cos}^2\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r}, \quad \frac{d\varphi}{dx} = -\frac{\text{sin}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}
\frac{dr}{dy} = \text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi, \quad \frac{d.\text{sin}\,\theta}{dy} = \frac{\text{cos}^2\theta\,\text{sin}\,\varphi}{r}, \quad \frac{d\varphi}{dy} = \frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}
\frac{dr}{dz} = \text{cos}\,\theta, \quad \frac{d.\text{sin}\,\theta}{dz} = -\frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta}{r},
\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dr}.\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi + \frac{dv}{d.\text{sin}\,\theta}.\frac{\text{cos}^2\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r} - \frac{dv}{d\varphi}.\frac{\text{sin}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}
\frac{dv}{dy} = \frac{dv}{dr}.\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi + \frac{dv}{d.\text{sin}\,\theta}.\frac{\text{cos}^2\theta\,\text{sin}\,\varphi}{r} + \frac{dv}{d\varphi}.\frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}
\frac{dv}{dz} = \frac{dv}{dr}.\text{cos}\,\theta - \frac{dv}{d.\text{sin}\,\theta}.\frac{\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\theta}{r}
Dans \frac{dv}{dy}, le « cos » du dernier numérateur est repassé et empâté. Le cachet de la Bibliothèque impériale (« MSS. ») est frappé à droite de ces trois lignes.
et en mettant \sqrt{1-\text{sin}^2\theta} a la place de \text{cos}\,\theta 1-\text{sin}^2\theta a la place de \text{cos}^2\theta.
\begin{align*}
\frac{d^2v}{dx^2} = {} & \text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\left\{\frac{d^2v}{dr^2}.\frac{dr}{dx} + \frac{d^2v}{dr\,d.\text{sin}\,\theta}.\frac{d.\text{sin}\,\theta}{dx} + \frac{d^2v}{dr\,d\varphi}.\frac{d\varphi}{dx}\right\} \\
& + \frac{\text{cos}^2\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r}\left\{\frac{d^2v}{d.\text{sin}\,\theta.dr}\frac{dr}{dx} + \frac{d^2v}{d.\text{sin}\,\theta.d\varphi}.\frac{d\varphi}{dx} + \frac{d^2v}{(d.\text{sin}\,\theta)^2}.\frac{d.\text{sin}\,\theta}{dx}\right\} \\
& - \frac{\text{sin}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}\left\{\frac{d^2v}{d\varphi.dr}.\frac{dr}{dx} + \frac{d^2v}{d\varphi.d.\text{sin}\,\theta}.\frac{d.\text{sin}\,\theta}{dx} + \frac{d^2v}{d\varphi^2}.\frac{d\varphi}{dx}\right\} \\
& + \frac{dv}{dr}\left\{\frac{d.\text{sin}\,\theta}{dx}.\text{cos}\,\varphi - \frac{d\varphi}{dx}.\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\right\} \\
& - \frac{dv}{d.\text{sin}\,\theta}\left\{\frac{d\varphi}{dx}.\frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}^2\theta}{r} + \frac{dr}{dx}\,\frac{\text{cos}^2\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r^2}\ \struck{\ill{}}\ \add{-\frac{d.\text{sin}\,\theta}{dx}\,\frac{\uncertain{2}\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r}}\right\} \\
& - \frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{d\varphi}{dx}.\frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta} - \frac{d.\text{sin}\,\theta}{dx}.\frac{\text{sin}\,\varphi}{r\,\text{sin}^2\theta} - \frac{dr}{dx}.\frac{\text{sin}\,\varphi}{r^2\,\text{sin}\,\theta}\right\}
\end{align*}
Première ligne : le \varphi du dernier \frac{d\varphi}{dx} est écrit sur un autre signe et empâté. Deuxième ligne : « \frac{dr}{dx} » est serré après le premier dénominateur et le « + » qui suit est empâté. Troisième ligne : le r du premier \frac{dr}{dx} est empâté. Quatrième ligne : entre « \text{sin}\,\theta » et « \varphi » un « sin » récrit. Cinquième ligne : à la fin, un groupe écrit puis noirci de boucles, illisible, au-dessous d'un ajout écrit au-dessus de la ligne jusqu'au bord droit et fermé d'un trait vertical, « -\frac{d.\text{sin}\,\theta}{dx} » suivi d'une fraction dont le numérateur, lu « 2\,\text{sin}\,\theta », a été récrit (un « cos » barré à la fin) et dont la seconde ligne porte « \text{cos}\,\varphi » ; le chiffre lu 2 peut être un 3.
\begin{align*}
= {} & \text{sin}^2\theta\,\text{cos}^2\varphi.\frac{d^2v}{dr^2} + \frac{2\,\text{cos}^2\theta\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}^2\varphi}{r}.\frac{d^2v}{dr\,d.\text{sin}\,\theta} - \frac{2\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r}\,\frac{d^2v}{dr\,d\varphi} \\
& + \frac{\text{cos}^{\uncertain{4}}\theta\,\text{cos}^2\varphi}{r^2}.\frac{d^2v}{(d.\text{sin}\,\theta)^2} - \frac{2\,\text{cos}^2\theta\,\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}\,\varphi}{r^2\,\text{sin}\,\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi\,d.\text{sin}\,\theta} + \frac{\text{sin}^2\varphi}{r^2\,\text{sin}^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2} \\
& + \frac{dv}{dr}\left\{\frac{\text{cos}^2\theta\,\text{cos}^2\varphi}{r} + \frac{\text{sin}^2\varphi}{r}\right\} \\
& + \frac{dv}{d.\text{sin}\,\theta}\left\{\frac{\text{sin}^2\varphi\,\text{cos}^2\theta}{r^2\,\text{sin}\,\theta} - \frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}^2\theta\,\text{cos}^2\varphi}{r^2} - \frac{2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}^{\uncertain{2}}\theta\,\text{cos}^2\varphi}{r^2}\right\} \\
& + \frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}\,\varphi}{r^2\,\text{sin}^2\theta} + \frac{\text{cos}^2\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^2\,\text{sin}^2\theta} + \frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^2}\right\}
\end{align*}
Le « sin » qui ouvre la ligne est récrit. Ses exposants 2 et 4 ont presque la même forme (le 4 tracé comme un « b ») : l'exposant de \text{cos}\,\theta dans le quatrième terme est lu 4, celui du dernier terme de l'accolade de \frac{dv}{d.\text{sin}\,\theta} est récrit et reste douteux. La page s'arrête sur l'accolade de \frac{dv}{d\varphi}, au bas du feuillet ; le calcul de \frac{d^2v}{dy^2} n'est pas sur cette page.
Si on mène par le autre sommet du cône opposé un plan
perpendiculaire a une position donné du rayon r qui est
le côté de ce cone, lorsqu'il s'agit de r = z ce plan est
celui des x, y s'il s'agit ce plan
En haut à droite, à l'encre, « 310 » ; à sa gauche, « 7 » traversé d'un trait oblique, sans doute sa pagination barrée, comme le « 2 » de la vue 622. La phrase s'arrête sur « s'il s'agit ce plan », sans suite ; un trait horizontal court la sépare de ce qui suit. Dans la marge de gauche, sur toute la hauteur du texte, de petits dessins à la plume : des fleurs, une feuille, un rameau feuillu ; on les signale sans les décrire un à un.
Soit A comme jusqu'àprésent l'angle que le côté du
cône donné fait avec l'axe et A' l'angle que le côté
du cône opposé fait avec lemême axe. le plan perpendiculaire
a une position donnée du côté r = z du cône donné
coupera le plan des zx et celui des xy. et l'angle que
l'intersection avec le plan des zx fait avec l'axe des x est
\frac{A\,v}{\frac{\pi}{2}}. et celui que l'intersection du même plan perpendiculaire
au rayon r avec l'axe le plan de \uncertain{y}x fait avec l'axe
des x est \struck{\frac{A\,v}{\frac{\pi}{2}}}. \frac{\pi}{2} - \frac{A\,v}{\frac{\pi}{2}}
N.ota on a A + A' = \frac{\pi}{2}
La note marginale est écrite à gauche, en face des lignes « du cône opposé … coupera le plan », après une grosse tache d'encre cernée d'un trait. Son \pi est tracé comme un grand \Pi aux jambages inégaux, qui se lit presque « 17 » ; on le rend partout par \pi. Le numérateur lu « A\,v » : un A suivi d'une lettre bouclée surmontée d'un petit trait, lue v ; ce que désigne v n'est pas dit sur la page. « r = z » est écrit au-dessous de « du côté ». « avec » après « rayon r » est repassé ; le y de « le plan de yx » est empâté, et le long trait oblique qui en part descend barrer la première fraction de la ligne suivante.
l'angle que l'intersection du plan perpendiculaire
a une position donné de r = \uncertain{z} du qui est le côté
du cone opposé fait sur le pl sur le plan de yx
zx fait avec l'angle des l'axe des x est \frac{\pi}{2} - \frac{A\,v}{\frac{\pi}{2}}
et l'angle que l'intersection du même plan fera
celui de xy fait avec l'axe de x est \frac{A\,v}{\frac{\pi}{2}}.
« r = z » : la lettre après le signe est récrite et paraît barrée ; « cone » est suivi d'une syllabe qu'on ne sépare pas du mot (« conedu ») ; le mot lu « fera » (« feue ») est à la place où l'on attendrait « avec » ; le x de « xy » est récrit sur une autre lettre. Le feuillet s'arrête là, aux deux tiers de la hauteur ; le reste est blanc.
Dans le cylindre le plan du cercle qui sert debase est celui
des zy. parconséquent l'arc l'élément ds de l'arc est l'élément
du même cercle. Pour avoir le cas de l'anneau il suffit donc
de faire x constant dans l'équation du cylindre puisque cette
condition ne peut apartenir qu'aux seuls points dela circonférence
du cercle dont le plan est perpendiculaire a l'axe des x.
Lorsqu'il s'agit d'un cône le plan des yz n'est plus lemême
que leplan du cercle qui lui sert de base. l'élément ds del'arc
qui continue a être situé dans le plan de yz ne se confond plus
avec l'élément dela base du cône il lui est au contraire
plus ou moins incliné jusqu'a ceque dans la plaque en même tems
que son rayon de courbure augmente en sorte que dans la plaque
circulaire, qui est la limite du cône l'élément ds devient l'élément
de l'ordonnée dy en même tems qu'il est perpendiculaire a l'élément
du cercle extérieur dela plaque, cercle qui est la base de ce cône
infiniment surbaissé.
En haut à droite « 8 », sans soulignement, de sa main semble-t-il : sa pagination. Aucun numéro de la série à l'encre sur cette page : elle est le dos du feuillet qui porte « 311 » sur l'autre face, restée blanche (vue 634). Le haut de la vue montre, au-dessus de ce feuillet, le dos du feuillet de la vue 632, où son texte se lit à l'envers par transparence. Le « ne » de « ne peut » est repassé. La première lettre de « extérieur » est récrite.
En prenant pour rayon la distance del'origine a un point
donné dela circonférence du cercle qui mesure la base du solide
dont on considère la surface et nommant ce rayon r
on trouvera que si le rayon z\,\text{cos}\,A A étant l'an
Après « ce rayon », une ou deux petites lettres soulignées, lues avec doute r. La page s'arrête au milieu de la hauteur, sur « l'an », coupé en fin de ligne ; la suite n'est pas sur cette page.
dont les rayons sont r et r + dr elle est comprise entre
les deux plans qui coupent les sphères dont les rayons sont
r + dr suivant les cercles qui servent debases aux mêmes
calottes sphériques.
En haut à droite, à l'encre, « 312 » ; à sa droite, un « 7 » traversé d'un trait oblique, le même signe qu'à la vue 632. La page commence au milieu d'une phrase (« dont les rayons sont ») : elle continue le bas de la vue 639, paginée 6, qui s'arrête sur « au lieu d'être comprise entre les deux calotte sphériques ». Elle ne suit pas la vue 635, qui s'arrête sur « l'an ».
Les trois côtés de cette molécule sont dr, r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi, r\,\text{cos}\,\theta\,d\theta
les trois faces sont r^2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,d\varphi\,d\theta, r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr, et r\,\text{cos}\,\theta\,d\theta\,dr.
Pendant l'instant dt la molécule reçoit par ces trois faces des quantités
de chaleur qui sont exprimées par les formules suivantes:
-K\,r^2\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,d\theta\,\text{cos}\,\theta.\frac{dv}{dr}.dt
-K\,r\,\text{sin}\,\theta.d\varphi\,dr.\frac{dv}{d.r\,\text{sin}\,\theta}.\text{cos}\,\theta.dt
-K\,r\,\text{cos}\,\theta\,d\theta\,dr.\frac{dv}{r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi}\,dt
les quantités de chaleur qui passent par les faces opposées sont
\left\{-K\,r^2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,d\varphi\,d\theta\,\frac{dv}{dr} - K\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,d\varphi\,d\theta\,d\Big(r^2\frac{dv}{dr}\Big)\right\}
\left\{-K\,r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr\,\frac{dv}{dr\,\text{sin}\,\theta}\Big)\,\struck{\text{cos}\,\theta} - K\,r\,d\varphi\,d\theta.d.\Big(\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\frac{dv}{d(r\,\text{sin}\,\theta)}\Big)\right\}
\left\{-K\,r\,\text{cos}\,\theta\,d\theta\,dr\,\frac{dv}{r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi} - K\,r\,d\theta\,dr\,\add{\text{cos}\,\theta}\,d.\Big(\frac{dv}{r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi}\Big)\right\}
Les trois formules de gauche et les trois accolades de droite sont écrites côte à côte ; les mots « les quantités de chaleur qui passent par les faces opposées sont » sont disposés en colonne devant les accolades. Au bout de la première accolade, contre le bord du feuillet, une lettre coupée (« d… »). Dans la deuxième, une parenthèse fermante sans ouvrante après le premier dénominateur, et le « \text{cos}\,\theta » qui suit est barré ; le d\theta de « d\varphi\,d\theta » est empâté. Le « \text{cos}\,\theta » de la troisième est écrit au-dessus de la ligne.
La première differentielle étant prise par rapport a r seulement la
seconde demême par rapport a et la troisième par rapport à \varphi.
En retranchant les quantités de chaleur qui entrent par chacune
des faces dela de celles qui s'écoulent par les faces respectivement
opposées ontrouve l'équation
Après « par rapport a », un signe court repassé à l'encre, que le sens voudrait être \text{sin}\,\theta ; on ne le lit pas.
\begin{align*}
r^2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr\,\frac{dv}{dt}\,dt = \frac{K}{C.D} & \Big\{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta.d\varphi\,d\theta\,d\Big(r^2\frac{dv}{dr}\Big) + r\,d\varphi\,d\theta.d\Big(\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta.\frac{dv}{d(r\,\text{sin}\,\theta)}\Big) \\
& + r\,\text{cos}\,\theta\,d\theta\,dr\,d\Big(\frac{dv}{r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi}\Big)\Big\}
\end{align*}
\frac{dv}{dt} = \frac{K}{C.D}.\left\{\frac{1}{r^2}\,\frac{d\big(r^2.\frac{dv}{dr}\big)}{dr} + \frac{d\big(\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\frac{dv}{dr\,\text{sin}\,\theta}\big)}{r\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,d\theta} + \frac{1}{r^2\,\text{sin}^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}\right\}
= \frac{K}{C.D}\left\{\frac{d^2v}{dr^2} + \frac{2}{r}\,\frac{dv}{dr} + \frac{\text{cos}^2\theta}{r^2}.\frac{d^2v}{(d.\text{sin}\,\theta)^2} + \Big(\frac{\text{cos}\,\theta}{r^2\,\text{sin}\,\theta} - \frac{\text{sin}\,\theta}{r^2\,\text{cos}\,\theta}\Big)\frac{dv}{d\,\text{sin}\,\theta} + \frac{1}{r^2\,\text{sin}^2\theta}\,\frac{d^2v}{d\varphi^2}\right\}
Première équation : le premier « \text{sin}\,\theta » de l'accolade est précédé d'un trait noirci, et le groupe « d(r^2 » est couvert d'une tache d'encre ; le dt qui suit \frac{dv}{dt} est empâté. La lettre lue D dans « C.D » est un dôme sur une barre, comme celle que le lot 28 a relevée dans le brouillon sur la chaleur (vue 549) et qui pourrait être un \Omega. Les trois lignes s'étendent jusqu'au bord droit du feuillet.
cette équation comparée a celle que j'ai trouvé d'une
autre manière présente cette difference que les termes
qui contiennent \frac{d^2v}{(d\,\text{sin}\,\theta)^2} et \frac{dv}{d\,\text{sin}\,\theta} sont multipliés doivent que dans cette dernière
par \text{cos}\,\theta pour en trouver la raison il faut observer que l'on a multiplié
le terme K\,r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr\,\frac{dv}{d(r\,\text{sin}\,\theta)} qui exprime la quantité de chaleur
qui traverse la face r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr par \text{cos}\,\theta parceque la direction \frac{dv}{d\,\text{sin}\,\theta}
fait l'angle \theta avec la perpendiculaire au plan de cette face.
cela posé la chaleur qui traverse la molécule pour s'écouler \times
\times par la face opposée la traverse dans une direction oblique ainsi la difference d\big(\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\frac{dv}{d\,\text{sin}\,\theta}\big) K\,r\,d\varphi\,dr dela quantité de chaleur qui entre obliquement et sort par la face opposée ne mesure
Retournez
La note marginale, écrite dans la marge de gauche en face des trois dernières lignes de l'équation et de tout ce paragraphe, continue la phrase du texte : le « \times » qui clôt « pour s'écouler » l'appelle, et elle commence par le même signe. Sa formule est soulignée ; « par \text{cos}\,\theta », au-dessus d'elle, appartient à la ligne du texte (« sont multipliés … par \text{cos}\,\theta »). « obliquement » est écrit en abrégé et récrit ; « et sort » est repassé. Au pied de la marge, souligné, « Retournez » : la suite est au dos du feuillet (vue 637).
plus la quantité de chaleur accumulée dans la molécule
mais celle qui seroit accumulée dans une autre molecule
que la chaleur traverseroit dans une direction perpendiculaire
au plan des deux faces opposées. Il est clair que
solidité dela première molecule est a la solidité
de la seconde ::\ \text{cos}\,\theta : 1 parconséquent il
faut multiplier l'expression dela quantité de
chaleur qui seroit accumulée dans la molecule
traversée dans la direction perpendiculaire
quantité qui seroit d\big(\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\frac{dv}{d(r\,\text{sin}\,\theta)}\big) par
\text{cos}\,\theta et on aura ainsi l'expression dela
quantité dechaleur qui est accumulée dans
la molecule qui est traversée obliquement
par le flux de chaleur. alors les équations
seront identiques.
Dos du feuillet de la vue 636, qui porte au pied de sa marge « Retournez » : la première ligne continue la note marginale de ce recto (« ne mesure plus la quantité de chaleur accumulée dans la molécule »). Aucun numéro de la série à l'encre sur cette face. Le « 8 » qui paraît en haut à droite de la vue est sur une étroite bande de papier visible au-dessus de ce feuillet, qui semble être le haut de la page de la vue 635 ; il n'appartient pas à cette page. « qui est traversée » : « est » est récrit. Le texte s'arrête au milieu du feuillet sur « seront identiques. », suivi d'une tache ; le reste est blanc, et le recto s'y lit par transparence.
Les trois côtés de cet élément sont dr, r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi et r\,d\theta
les trois faces sont r^2\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,d\theta, r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr et r\,d\theta\,dr,
Pendant l'instant dt la molécule reçoit par ces trois
faces des quantités de chaleur qui seront représentent exprimées
par les formules.
En haut à droite, à l'encre, « 312 » barré d'un trait horizontal et, à sa droite, « 6 » barré d'un trait oblique. L'autre face de ce feuillet (vue 638) est blanche et porte « 313 » : le feuillet a d'abord été numéroté 312 sur cette face, puis 313 sur l'autre ; c'est la vue 636 qui porte 312. Au-dessus de ce feuillet, sur une étroite bande de papier, le même « 8 » qu'à la vue 637. « cet » est récrit sur « cette ».
-K\,r^2\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,d\theta.\frac{dv}{dr}.dt
-K\,r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr.\frac{dv}{r\,d\theta}\,dt
-K\,r\,d\theta\,dr\,\frac{dv}{r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi}.dt
les quantités de chaleurs qui passent par les faces opposées sont
\left\{-K\,r^2\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,d\theta\,\frac{dv}{dr} - K\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,d\theta\,d\Big(r^2\frac{dv}{dr}\Big)\right\}dt
\left\{-K\,r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr\,\frac{dv}{r\,d\theta} - K\,r\,d\varphi\,dr.d\Big(\text{sin}\,\theta\,\frac{dv}{r\,d\theta}\Big)\right\}dt
\left\{-K\,r\,d\theta\,dr\,\frac{dv}{r\,\text{sin}\,\theta} - K\,r\,d\theta\,dr\,d.\frac{dv}{r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi}\right\}
Même disposition qu'à la vue 636 : trois formules à gauche, trois accolades à droite, les mots « les quantités de chaleurs qui passent par les faces opposées sont » en colonne entre les deux. Dans la première formule de gauche, le d du numérateur est empâté ; les \theta des dénominateurs de la deuxième et de la troisième sont repassés. Le premier dénominateur de la troisième accolade s'arrête sur « r\,\text{sin}\,\theta », sans d\varphi : ainsi sur le feuillet.
la première differentielle étant prise par rapport a r
seulement la seconde differe demême par rapport a \theta et et la troisième
par rapport a \varphi.
« seulement » est écrit dans la marge de gauche, surmonté d'un mot court (« demême » ?) ; « demême » est écrit au-dessus de « differe » barré.
En retranchant les quantités de chaleur qui entrent par
chacune des faces de l'élément la molécule sphériques dela sphère de
celles qui s'écoulent par les faces respectivement opposées
on trouve l'équation
r^2\,\text{sin}\,\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr\,\frac{dv}{dt}\,dt = \frac{K}{C.D}.\left\{\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,d\theta\,d\Big(r^2\frac{dv}{dr}\Big) + r\,d\varphi\,dr\,d\Big(\text{sin}\,\theta\,\frac{dv}{r\,d\theta}\Big) + \frac{r\,d\theta\,dr}{r\,\text{sin}\,\theta}\,d.\frac{dv}{d\varphi}\right\}dt
\frac{dv}{dr} = \frac{K}{C\,D}.\left\{\frac{\ill{}}{r^2}\,\frac{d.\big(r^2\frac{dv}{dr}\big)}{dr} + \frac{d\big(\text{sin}\,\theta\,\frac{dv}{d\theta}\big)}{r^2\,\text{sin}\,\theta\,d\theta} + \frac{1}{r^2\,\text{sin}^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi}\right\}
= \frac{K}{C.D}\left\{\frac{d^2v}{dr^2} + \frac{2}{r}\,\frac{dv}{dr} + \frac{d^2v}{r^2\,d\theta^2} + \frac{\text{cos}\,\theta}{r\,\text{sin}\,\theta}.\frac{dv}{r\,d\theta} + \frac{1}{r^2\,\text{sin}^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}\right\}
Le « dt » qui ferme l'accolade de la première équation est écrit sous la ligne, au bord droit. « \frac{dv}{dr} » en tête de la deuxième ligne : ainsi sur le feuillet, où le calcul attend \frac{dv}{dt}. Le numérateur de la première fraction de l'accolade est noirci d'une tache ; le sens attend 1. Le dernier terme de cette ligne porte un petit 2 au-dessus du d du numérateur et aucun exposant au dénominateur. Le d\theta^2 de la troisième ligne est repassé. Pour « C.D », voir la note de la vue 636.
Si au lieu de considérer le solide conique qui s'appuie sur
la calotte sphérique on veut s'occuper du simple cône dont la base
est la la plaque circulaire est l'intersection dela sphère et
du plan qui passe par le parallèle donné on aura a
examiner au lieu de la molecule sphérique à la sphère la molecule conique
qui du cône et celle-ci diffère en dela première en ce
point qu'au lieu d'être comprise entre les deux calotte sphériques
La page s'arrête au bas du feuillet sur « calotte sphériques ». La phrase continue en tête de la vue 636 (« dont les rayons sont r et r + dr elle est comprise entre les deux plans … »), qui porte la pagination 7 quand celle-ci porte 6 : les deux feuillets sont reliés dans l'ordre inverse de sa pagination. Cette page traite la molécule de la sphère (côtés dr, r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi, r\,d\theta) ; la vue 636 reprend le même calcul pour la molécule du cône, où le côté est r\,\text{cos}\,\theta\,d\theta et la variable \text{sin}\,\theta.
\Big(\frac{dz}{dx}\Big)^2 = \frac{\text{cos}^2\theta\,\text{cos}^2\varphi}{r^2}\,\Big(\frac{dz}{d\theta}\Big)^2 - \frac{2\,\text{cos}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}\,\varphi}{r^2\,\text{sin}\,\theta}.\frac{dz}{d\theta}.\frac{dz}{d\varphi} + \frac{\text{sin}^2\varphi}{r^2\,\text{sin}^2\theta}.\Big(\frac{dz}{d\varphi}\Big)^2
\begin{align*}
\frac{d^2z}{dy^2} = {} & \frac{d^2z}{d\theta^2}\,\frac{\text{cos}^2\theta\,\text{sin}^2\varphi}{r^2} + \frac{d^2v}{d\theta\,d\varphi}.\frac{2\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^2\,\text{sin}\,\theta} + \frac{d^2v}{d\varphi^2}\,\frac{\text{cos}^2\varphi}{r^2\,\text{sin}^2\theta} \\
& - \frac{dz}{d\theta}\left\{\frac{2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}^2\varphi}{r^2} - \frac{\text{cos}^2\varphi\,\text{cos}\,\theta}{r^2\,\text{sin}^2\theta}\right\}. \\
& - \frac{dz}{d\varphi}\left\{\frac{\ill{}\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^2\,\text{sin}^2\theta} + \frac{\text{cos}^2\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^2\,\text{sin}^2\theta} + \frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^2}\right\}
\end{align*}
En haut à droite, à l'encre, « 314 » ; aucune pagination de sa main. La page commence sans phrase d'introduction, sur le carré de \frac{dz}{dx} ; le dernier facteur de la première ligne touche le bord droit du feuillet. Elle écrit v dans deux numérateurs de \frac{d^2z}{dy^2} où les autres portent z : ainsi sur le feuillet. Le premier facteur du premier numérateur de la dernière accolade est couvert d'une tache.
Recherches sur les surfa cones
S'il s'agit d'un cône l'élément de la surface parallèle a la base
est une portion de secteurs comprise entre deux cercles concentriques.
les rayons de ces cercles sont r\,\text{sin}\,\theta et r\,\text{cos}.d\theta\,\text{sin}(\theta - d\theta) r'\,\text{sin}(\theta - d\theta)
r est le rayon côté du cône qui a pour base le cercle
extérieur \theta est l'angle que ce côté fait avec l'axe
du cône parconséquent on a l'axe
z = r\,\text{cos}\,\theta = r'\,\text{cos}(\theta - d\theta) \qquad r' = \frac{r\,\text{cos}\,\theta}{\text{cos}(\theta - d\theta)}
r'\,\text{sin}(\theta - d\theta) = r\,\text{cos}\,\theta\,\frac{(\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,d\theta - \text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,d\theta)}{\text{cos}\,\theta\,\struck{\text{cos}\,d}\theta + \text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,d\theta}
en négligeant les termes du second ordre = \frac{r\,\text{cos}\,\theta\,(\text{sin}\,\theta - \text{cos}\,\theta\,d\theta}{\text{cos}\,\theta + \text{sin}\,\theta\,d\theta}
Le titre, en tête de la seconde partie de la page, est souligné d'un long trait. Devant « r' = », une tache d'encre. Au-dessus du r de « r\,\text{cos}\,\theta », après le premier signe = de la deuxième formule, un petit signe récrit ; on lit r. Au dénominateur, le « cos d » est noirci ; la parenthèse ouverte après \text{cos}\,\theta dans la dernière fraction n'est pas fermée.
r\,\text{sin}\,\theta - \frac{r\,\text{cos}\,\theta\,(\text{sin}\,\theta - \text{cos}\,\theta.d\theta)}{\text{cos}\,\theta + \text{sin}\,\theta\,d\theta} = \frac{r\,\text{sin}\,\theta\,(\text{cos}\,\theta + \text{sin}\,\theta\,d\theta) - r\,\text{cos}\,\theta\,(\text{sin}\,\theta - \text{cos}\,\theta\,d\theta)}{\text{cos}\,\theta + \text{sin}\,\theta\,d\theta}
en effaçant cequi se détruit
et négligeant d\theta\,\text{sin}\,\theta vis avis de \text{cos}\,\theta on a
\frac{r^2}{2}\,\frac{d\varphi\,d\theta\,\text{sin}\,\theta}{\text{cos}\,\theta} pour la surface cherchée que traverse la chaleur
dans la direction \frac{dv}{dr}. par l'élément compris entre \frac{r\,d\theta}{\text{cos}\,\theta} et dr
dans la direction \frac{dv}{d\varphi}. dr\,\frac{r\,d\theta}{\text{cos}\,\theta} \frac{d\uncertain{v}}{d\theta}\,r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr
Dans « \frac{r^2}{2}\,\frac{d\varphi\,d\theta\,\text{sin}\,\theta}{\text{cos}\,\theta} », le « \text{sin}\,\theta » est écrit en petit au-dessus de la ligne, après d\theta. À la dernière ligne, le numérateur lu dv est empâté et le \theta de « \text{sin}\,\theta » récrit. La page s'arrête là, aux trois quarts du feuillet ; le reste est blanc.