Français 9115 · lot 33 · vues 641–660 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
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Numérotation des feuillets. En haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, la série qui court dans tout le volume : 315 (vue 642, porté sur le côté blanc du petit feuillet dont la vue 643 montre l'autre côté), 316 (vue 644), 317 (vue 646), 318 (vue 648, feuillet blanc), 319 (vue 650), 320 (vue 652), 321 (vue 654), 322 (vue 656), 323 (vue 658, feuillet blanc), 324 (vue 660) ; jamais au dos. Cette série numérote des feuillets, feuillets blancs compris ; elle occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au crayon, et aucun « f. » n'est donc porté. Au-dessus du nombre, d'une plume plus épaisse : « 1 » suivi d'une petite croix (vue 652) et un chiffre barré, lu 2 avec doute (vue 654) ; « Note » en tête de la vue 656. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Ne sont pas transcrites : la vue 641, dos blanc du feuillet 314 ; la vue 642, côté blanc du petit feuillet 315 ; les vues 647, 649, 651, 653, 655 et 657, dos blancs ; les vues 648 et 659, feuillet 318 et dos du feuillet 323, blancs ; la vue 658, feuillet 323, blanc.

643

Petit feuillet monté sur une feuille de garde, écrit de ce côté seulement ; le nombre « 315 », à l'encre, est porté sur l'autre côté, blanc (vue 642), où ce calcul se lit à l'envers par transparence. En haut de la vue, au-dessus du feuillet, le dos de la feuille 314 (vue 640) laisse voir son texte à l'envers. Le bord droit du feuillet passe sous la garde suivante et cache la fin de la dernière ligne. Calcul sans texte suivi.

\[\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{d\theta}.\frac{d\theta}{dx} + \frac{dv}{d\varphi}.\frac{d\varphi}{dx}\] \[= \frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{cos}^{2}(A-\theta)}{r\,\text{cos}A}.\frac{dv}{d\theta}\ \ill{}\ \frac{\text{sin.}\,\varphi}{r\,\text{cos.}A\,\text{tang}(A-\theta)}\,\frac{dv}{d\varphi}\] Le signe entre les deux termes est couvert d'une tache d'encre.

\[\frac{dv}{dy} = \frac{dv}{d\theta}.\frac{d\theta}{dy} + \frac{dy}{d\varphi}.\frac{d\varphi}{dy}\] \[= \frac{\text{sin}\,\varphi.\text{cos}^{2}(A-\theta)}{r\,\text{cos.}A}\,\frac{dv}{d\theta} + \frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{cos}A\,\text{tang}(A-\theta)}\,\frac{dv}{d\varphi}\] « \(\frac{dy}{d\varphi}\) » est écrit ainsi, là où l'on attend \(\frac{dv}{d\varphi}\). Le \(\theta\) de « tang\((A-\theta)\) » est récrit et empâté.

\[dz = \text{sin.}A\,dr \qquad x = r\,\text{sin}A\,\frac{\text{cos}\,\theta}{\text{sin}\,\theta}\,\text{cos}\,\varphi \qquad y = r\,\text{sin.}A\,\frac{\text{cos.}\theta}{\text{sin}\,\theta}\,\text{sin.}\,\varphi\] « \(dz = \text{sin.}A\,dr\) » est écrit dans la marge de gauche, en face des expressions de \(x\) et de \(y\). \[dx = \text{sin.}A\,\frac{\text{cos}\,\theta}{\text{sin}\,\theta}\,\text{cos}\,\varphi\,dr + r\,\text{sin}A\,\frac{\text{cos}\,\theta}{\text{sin}\,\theta}\,\text{sin.}\,\varphi\,d\varphi - r\,\text{sin}A\,\text{cos}\,\varphi\,\frac{d\theta}{\text{sin}^{2}\theta}\] \[dy = \text{sin.}A\,\frac{\text{cos}\,\theta}{\text{sin}\,\theta}\,\text{sin.}\,\varphi\,dr - r\,\text{sin.}A\,\frac{\text{cos}\,\theta}{\text{sin.}\theta}\,\text{cos}\,\varphi\,d\varphi - r\,\text{sin.}A\,\text{sin.}\varphi\,\frac{d\theta}{\text{sin}^{2}\theta}\] Le signe \(+\) devant le deuxième terme de \(dx\) est lu tel qu'il est écrit ; celui de \(dy\) est \(-\).

\[dx\,\text{cos.}\varphi + dy\,\text{sin}\,\varphi - dz\,\frac{\text{cos}\,\theta}{\text{sin.}\theta} = -r\,\text{sin}A\,\frac{d\theta}{\text{sin}^{2}\theta}\] \[dx\,\text{sin.}\varphi - dy\,\text{cos.}\varphi = r\,\text{sin.}A\,\frac{\text{cos}\,\theta}{\text{sin}\,\theta}\,d\varphi\] Le numérateur « cos\(\,\theta\) » du terme en \(dz\) est récrit sur un premier mot.

\[\frac{dr}{dz} = \frac{1}{\text{sin.}A} \qquad \frac{d\theta}{dx} = -\frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}^{2}\theta}{r\,\text{sin.}A} \qquad \frac{d\varphi}{dx} = \frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{sin}\,\theta}{r\,\text{sin}A\,\text{cos}\,\theta}\] \[\frac{dr}{dx} = 0 \qquad \frac{d\theta}{dy} = -\frac{\text{sin.}\varphi\,\text{sin}^{2}\theta}{r\,\text{sin.}A} \qquad \frac{d\varphi}{dy} = -\frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}\,\theta}{r\,\text{sin}A\,\text{cos}\,\theta}\] \[\frac{dr}{dy} = 0 \qquad \frac{d\theta}{dz} = \frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta}{r\,\text{sin.}A}\] Le « \(r\) » des numérateurs \(\frac{dr}{dx}\), \(\frac{dr}{dy}\) est récrit sur une autre lettre ; le « cos » de \(\frac{d\theta}{dx}\) est repassé.

\[\frac{dv}{dx} = \frac{\text{sin}\,\varphi.\text{sin}\,\theta}{r\,\text{sin}A\,\text{cos}\,\theta}\,\frac{dv}{d\varphi} - \frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}^{2}\theta}{r\,\text{sin.}A}\,\frac{dv}{d\theta}\] \[\frac{dv}{dy} = -\frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}\,\theta}{r\,\text{sin.}A\,\text{cos.}\theta}\,\frac{dv}{d\varphi} - \frac{\text{sin.}\varphi\,\text{sin}^{2}\theta}{r\,\text{sin.}A}\,\frac{dv}{d\theta}\] \[\frac{dv}{dz} = \frac{1}{\text{sin}A}.\frac{dv}{dr} + \frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta}{r\,\text{sin}A}.\frac{dv}{d\theta}\] Le \(v\) de \(\frac{dv}{dr}\) est récrit sur une autre lettre.

\[\frac{d^{2}v}{dx^{2}} = \frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\text{cos}\,\varphi.\text{sin}^{2}\theta\,\text{sin.}\varphi}{r^{2}\,\text{sin.}^{2}A\,\text{cos.}^{\uncertain{3}}\theta} - \frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}\,\varphi\,\text{sin}^{2}\theta}{r^{2}\,\text{sin}^{2}A\,\text{cos}^{2}\theta}\right)\] \[- \frac{dv}{d\theta}\left\{\frac{\text{sin}^{2}\varphi\,\text{sin}^{3}\theta}{r^{2}\,\text{sin}^{2}A\,\text{cos.}\theta} - \frac{2\,\text{cos}^{2}\varphi\,\text{sin}^{3}\theta\,\text{cos.}\theta}{r^{2}\,\text{sin}^{2}A}\right\}\] \[+ \frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\,\frac{\text{sin}^{2}\varphi\,\text{sin}^{4}\theta}{r^{2}\,\text{sin}^{2}A\,\text{cos}^{2}\theta} - \frac{d^{2}v}{d\varphi\,d\theta}.\frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}^{3}\theta}{r^{2}\,\text{sin}^{2}A\,\text{cos.}\theta}\] \[- \frac{d^{2}v}{d\varphi\,d\theta}.\frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos.}\varphi\,\text{sin}^{3}\theta}{r^{2}\,\text{sin}^{2}A\,\text{cos.}\theta} + \frac{d^{2}v}{d\theta^{2}}\,\frac{\text{cos}^{2}\varphi\,\text{sin}\ldots}{r^{2}\,\text{sin}^{2}A}\] L'accolade ouverte après \(\frac{dv}{d\varphi}\) se ferme par une parenthèse. L'exposant de « cos.\(\theta\) » au premier dénominateur est lu 3 avec doute (2 est possible). Le « 3 » de \(\text{sin}^{3}\theta\) dans le premier terme de la ligne suivante est récrit. La ligne se perd sous la garde : « cos\(^{2}\varphi\) sin » puis l'exposant et la suite sont cachés ; les points sont de l'éditeur. Le bas du feuillet est blanc.

644

En haut à droite, à l'encre, « 316 ». Feuille de calcul, sans texte suivi ; le dos (vue 645) porte en tête un court texte sur le cylindre. Le changement de variable de la vue 643 est poursuivi ici avec un angle \(\theta'\) et un rayon \(r'\) ; les accents sont portés comme on les lit, et l'on ne peut pas toujours dire s'il en manque un.

\[\frac{d^{2}v}{dr\,d\theta} = \frac{d^{2}v}{dr'd\theta}.\frac{\text{sin.}A}{\text{sin.}\theta} + \frac{d^{2}v}{d\theta^{2}}.\frac{\text{sin.}A}{r'\,\text{cos.}\theta}\] \[- \frac{dv}{dr'}\,\frac{\text{sin}A\,\text{cos}\,\theta}{\text{sin}^{2}\theta} + \frac{dv}{d\theta}.\frac{\text{sin.}A\,\text{cos}\,\theta}{r'\,\text{sin.}^{2}\theta}\] Le premier membre \(\frac{d^{2}v}{dr\,d\theta}\) est d'une encre plus pâle que le reste. Le signe devant \(\frac{dv}{dr'}\) est une tache, avec un « \(-\) » écrit au-dessous.

\[\text{sin}\,\theta' = \text{cos}\,\theta \qquad d\theta'\,\text{cos}\,\theta' = -\text{sin}\,\theta\,d\theta\] Ces deux égalités sont écrites à droite, en face des lignes qui suivent.

\[\frac{d^{2}v}{dr\,d\theta} = \frac{d^{2}v}{dr'd\theta'}.\frac{d\theta'}{d\theta}\,\frac{\text{sin}A}{\text{sin}\,\theta'} + \frac{d^{2}v}{d\theta'^{2}}.\frac{d\theta'}{d\theta}.\frac{\text{sin}A}{r'\,\text{cos}\,\theta'} \qquad -\frac{d\theta'}{d\theta} = \frac{\text{sin}\,\theta}{\text{cos.}\theta'}\] \[- \frac{dv}{dr'}.\frac{\text{sin}A\,\text{cos}\,\theta'}{\text{sin}^{2}\theta'}\,\frac{d\theta'}{d\theta} + \frac{dv}{d\theta'}\,\frac{\text{sin}A\,\text{cos}\,\theta'}{r'\,\text{sin}^{2}\theta'}\,\frac{d\theta'}{d\theta}\] Le signe \(-\) du début de la dernière ligne est écrit sur une tache.

\[\frac{1}{\text{sin}^{2}A}\,\frac{d^{2}v}{dr^{2}} + \frac{2\,\text{sin.}\theta\,\text{cos.}\theta}{r\,\text{sin}^{2}A}.\frac{d^{2}v}{dr\,d\theta} + \left\{\frac{\text{sin.}\theta\,\text{cos}\ill{}\theta}{r^{2}\,\text{sin}^{2}A} - \frac{\text{sin}\,\theta}{r\,\text{sin}^{2}A\,\text{cos.}\theta}\right\}\frac{dv}{d\theta}\] L'exposant de « cos » au premier terme de l'accolade est couvert d'une tache. Un petit « \(-\) » isolé est écrit sous cette ligne, sous le premier dénominateur de l'accolade.

\[= \frac{1}{\text{sin}^{2}A}\left\{\frac{\text{sin}^{2}A}{\text{sin}^{2}\theta}\,\frac{d^{2}v}{dr'^{2}} + \frac{\text{sin}^{2}A}{r'\,\text{sin.}\theta\,\text{cos}\,\theta}\,2.\frac{d^{2}v}{dr'd\theta} + \frac{\text{sin}^{2}A}{r'^{2}\,\text{cos}^{2}\theta}\,\frac{d^{2}v}{d\theta^{2}} - \frac{\text{sin}^{2}A}{r'\,\text{sin}^{2}\theta}.\frac{dv}{dr'}\right.\] \[\left. - \left(\frac{\text{sin}^{2}A}{r'\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\theta} - \frac{\text{sin}^{2}A}{r'^{2}\,\text{cos}^{3}\theta}\right)\frac{dv}{d\theta}\right\}\] Le dénominateur de \(\frac{d^{2}v}{dr'^{2}}\) finit sur une tache ; celui de \(\frac{d^{2}v}{d\theta^{2}}\) est récrit ; l'accent de \(dv/dr'\) est surchargé. La parenthèse du dernier terme est écrite sur deux lignes, le second terme au-dessous du premier.

\[- \frac{2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta}{r'\,\text{sin}A\,\text{sin}\,\theta}\left\{\frac{\text{sin.}A}{\text{sin.}\theta'}.\frac{d^{2}v}{dr'd\theta'} + \frac{\text{sin.}A}{r'\,\text{cos.}\theta'}.\frac{d^{2}v}{d\theta'^{2}}\right\}\] \[\left(\frac{1}{\text{cos}^{2}\theta}\ \text{\uncertain{hypothese}}\right) \qquad \left(\text{acause de}\ \frac{d\theta'}{d\theta} = -1\right)\] Au dénominateur, après « sin\(A\) », un mot récrit, lu « sin\(\,\theta\) » sur un premier « cos ». Le « \(+\) » entre les deux termes est écrit sur une tache. Les deux parenthèses sont écrites l'une au-dessus de l'autre à droite de l'accolade ; le mot de la première, d'une écriture rapide, est lu avec doute d'après le « hypothese » bien formé, et entouré, de la ligne plus bas ; « acause » en un mot.

\[= \frac{1}{\text{sin}^{2}\theta}.\frac{d^{2}v}{dr^{2}} + \frac{1}{r'^{2}\,\text{cos}^{2}\theta}.\frac{d^{2}v}{d\theta^{2}} + \frac{1}{r'\,\text{sin}^{2}\theta}.\frac{dv}{dr'} + \left(\frac{1}{r'^{2}\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\theta} - \frac{\text{sin.}\theta}{r'^{2}\,\text{cos}^{3}\theta}\right)\frac{dv}{d\theta}\] À droite de cette ligne, un mot très petit, sans doute « hypothese » encore. Des traits courbes relient les termes de cette ligne au calcul de la moitié inférieure droite.

\[\left[\ill{}\left\{\frac{\text{cos}^{2}\theta - \text{sin}^{2}\theta}{r'^{2}\,\text{cos}^{3}\theta\,\text{sin}\,\theta}\right\}\frac{dv}{d\theta}\,\text{cos}^{2}\theta\,\text{sin}^{2}\theta\right]\] \[\frac{dv}{d\theta}\left(\frac{1}{\text{cos}^{2}\theta}\ \text{hypothese}\right).\frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta}{r'^{2}}\] \[= \frac{dv}{d\theta}.\frac{\text{sin}^{2}\theta\,\text{cos}^{2}\theta}{r'^{2}\,\text{cos}^{3}\theta\,\text{sin.}\theta}.\frac{1}{\text{cos}^{2}\theta}\] \[= \frac{1}{r'^{2}\,\text{cos}^{\ill{}}\theta\,\text{sin}\,\theta}\,\frac{dv}{d\theta}\] Ces quatre lignes, à gauche, sont enfermées dans une grande accolade tracée à la main. Le signe du début est une tache. « \(\frac{1}{\text{cos}^{2}\theta}\) hypothese » est entouré d'un trait. L'exposant de « cos » à la dernière ligne est écrit sur une tache.

\[\ill{}\left\{\frac{\text{cos}\,\theta\,\text{sin}^{2}\theta}{r'^{2}\,\text{sin}^{2}\theta} - \frac{\text{cos}\,\theta}{r'\,\text{sin}^{3}\theta}\right\}\frac{dv}{d\theta}.\frac{\text{sin}^{2}\theta}{\text{cos}^{2}\theta}\] \[= \frac{dv}{d\theta}\left\{\frac{\struck{\ill{}}\ \text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,(\text{sin}^{2}\theta + \text{cos}^{2}\theta)}{r'^{2}\,\text{cos}^{4}\theta}\ \struck{\ill{}}\right)\] \[- \frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{cos}^{2}\theta}{r'^{2}\,\text{cos}^{4}\theta}\] \[+ \frac{\text{cos}^{2}\theta}{r'^{2}\,\text{sin}^{3}\theta}.\frac{\text{sin}^{2}\theta}{\text{cos}^{2}\theta}\] À droite, la même réduction sur l'autre terme. Le signe du début est une tache. « sin\(\,\theta\) cos\(\,\theta\) » est écrit au-dessus d'un premier facteur noirci ; à droite de la deuxième ligne, un groupe entièrement noirci, où se devinent « sin », « cos », puis une parenthèse. Entre les deux colonnes, écrit de bas en haut, un mot lu Somme, et au-dessous un petit signe.

Il faut encore ajouter a \(\frac{\text{sin}^{2}\theta\ \struck{\text{cos}}}{r'^{2}\,\text{cos}^{2}\theta\,\text{sin}^{2}\theta}\,\frac{d^{2}v}{d\theta^{2}}\) \[\ill{}\ \frac{d^{2}v}{d\theta^{2}} = \frac{dv}{d\theta}\left\{\frac{\text{sin}^{2}\theta}{\text{cos}\ \struck{\ill{}}} - \frac{\text{cos}\,\theta}{r'^{2}\,\text{sin}\,\theta} + \frac{\text{sin}\,\theta}{r'^{2}\,\text{cos}^{3}\theta}\right.\] \[= \frac{dv}{d\theta}\left(\right.\] Sous « a », au-dessous de la fraction, « cos\(^{2}\theta\) » souligné, d'un trait séparé. La ligne suivante commence, à gauche, par une fraction noircie ; son premier terme entre accolades est raturé de boucles serrées ; un long trait courbe barre toute la ligne, et « \(= \frac{dv}{d\theta}(\) » au-dessous, laissé sans suite. Plus bas, un essai de plume (« emme ») et un grand chiffre isolé, lu 4 ; le bas de la feuille est blanc, avec le texte de l'autre côté visible à l'envers.

645

Le dos de la feuille 316 (vue 644), sans numéro : un court texte en haut de la page ; le reste est blanc, le calcul de l'autre côté se lisant à l'envers par transparence. Le mot « cylindre » est en titre, souligné.

cylindre

Si on veut que le cylindre ait été échauffé arbitrairement on ne pourra plus supposer \(\frac{d^{2}v}{dz^{2}} = 0\) l'équation transformée contiendra ce terme sans aucune altération ensorte qu'elle deviendra p. 3 « entierement » est écrit au-dessus de « arbitrairement », qui n'est pas barré. « p. 3 » et, plus bas, « p. 4 » renvoient à des pages qui ne sont pas identifiées dans ce lot. \[\frac{m}{k}u + \frac{d^{2}u}{dr^{2}} + \frac{1}{r}.\frac{du}{dr} + \frac{1}{r^{2}}.\frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}} + \frac{d^{2}u}{dz^{2}} = 0\] si aulieu deprendre la valeur de u p. 4 on fait \(u = \text{sin}\,\delta\varphi\,r^{\beta}s\,\text{sin.}\frac{\nu z}{\rho}\) et qu'on prenne \(\beta = \sqrt{\left(\delta^{2} + \frac{\nu^{2}}{\rho^{2}}\right)}\) on satisfera a l'équation La lettre lue \(\nu\) est une lettre bouclée comme un « v » ; celle lue \(\rho\), au dénominateur, est suivie d'une tache, et l'exposant de \(\nu\) sous le radical est récrit sur une tache. Le « \(u\) » de « la valeur de \(u\) » est souligné. La phrase s'arrête là ; le reste de la page est blanc.

646

En haut à droite, à l'encre, « 317 ». Feuillet monté sur une feuille de garde, écrit d'un seul côté, d'une écriture régulière mais corrigée entre les lignes ; le dos (vue 647) est blanc. Pas de titre ni de numéro de page.

On parviendra a la même équation en considerant le mouvement dela chaleur dans une molécule dela sphère cette molécule sera comprise entre les deux surfaces coniques dont les côtés font avec l'axe des \(z\) qui est en même tems celui des deux solides coniques. les angles \(\theta\) et \(\theta + d\theta\) entre les deux plans qui font avec celui de \(x\) et \(z\) les angles \(\varphi\) et \(\varphi + d\varphi\) et enfin entre les deux calottes sphériques qui appartiennent aux sphères dont les rayons sont \(r\) et \(r + dr\) « molécule », dans la deuxième ligne, est récrit sur un premier mot noirci dont on voit un « p » ou un « s » initial ; « une » est répété dans l'interligne, au-dessous. À la fin de la quatrième ligne, « des » suivi d'un trait, la lecture du dernier signe incertaine. Au-dessus de « les angles \(\theta\) et \(\theta + d\theta\) », dans l'interligne, sans signe d'insertion : « auxquels ces surfaces appartiennent ».

parconséquent \(r\,d\theta\), \(r\) \(r\,d\theta\), \(r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\) […] \(dr\) seront représenteront trois des côtés, \(r^{2}\,\text{sin}\,\theta\,d\theta\,d\varphi\), \(r\,\text{sin}\,\varphi\) \(r\,d\theta\,dr\), […] \(r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr\), trois des faces et \(r^{2}\,\text{sin}\,\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr\) le volume dela même molécule. « représenteront » est écrit au-dessus de « seront », barré. Entre \(d\varphi\) et \(dr\) de la première ligne, une tache couvre un signe (une virgule ou « et ») ; devant \(r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr\), un petit mot noirci.

En retranchant les quantités de chaleurs qui entrent dans la molécule, par chacune de ses trois premières faces, de celle qui s'échappe par les trois dernieres faces respectivement opposées aux premieres, on voit qu'il s'accumule durant l'instant \(dt\) dans l'intérieur de cette molécule une quantité de chaleur égale a la quantité \[\frac{K}{r^{2}}.\left(\frac{d\left(r^{2}.\frac{dv}{dr}\right)}{dr} + \frac{d\left(\text{sin}\,\theta.\frac{dv}{d\theta}\right)}{\text{sin}\,\theta\,d\theta} + \frac{1}{\text{sin}^{2}\theta}.\frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\right)r^{2}\,\text{sin}\,\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr\] « premières » est écrit au-dessus de « trois faces ». « dernieres », souligné, est écrit en tête de ligne, devant « faces », au bord gauche ; « aux premieres » est barré en fin de proposition. « chaleurs » : ainsi, au pluriel.

le produit \(c.D.r^{2}\,\text{sin}\,\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr\) exprime combien il faut de chaleur pour élever de 0 a 1 la molécule dont le volume est \(r^{2}\,\text{sin}\,\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr\). En divisant donc par ce produit la nouvelle quantité de chaleur que la molécule vient d'obtenir on aura son accroissement de temperature On obtiendra ainsi l'équation Le \(D\) du produit \(c.D\) est une capitale en forme de dôme sur une barre, comme celle que le lot 28 lit D dans le brouillon sur la chaleur de la vue 549 ; ce pourrait être un \(\Omega\).

\(\frac{dv}{dt} =\) on voit qu'il suffit si effectuer les op d'effectuer les differentiations indiquées pour que cette équation sera identiquement la même que celle qui celle qui a été déd a été déduite de l'équation générale Après \(\frac{dv}{dt}\), un tiret et un blanc : le second membre de l'équation n'est pas écrit. « que » est écrit au-dessus de « cette » ; « la même que celle qui » au-dessus de « celle qui a été », barré ; « déd » qui suit n'est pas barré, et la ligne suivante reprend « a été déduite ». « sera » n'est pas corrigé en « soit ». Dans la marge de gauche, écrits de bas en haut à hauteur de ces lignes, des essais de plume : « S », « Sphere » et un mot […].

650

En haut à droite, à l'encre, « 319 ». Feuillet monté sur une feuille de garde, écrit d'un seul côté ; le dos (vue 651) est blanc. Un titre en tête, puis le calcul ; au milieu de la page, le cachet de la Bibliothèque impériale. Le bas du feuillet est blanc.

Somme des raisons inverses des deux rayons de principale courbure « principale » : sans marque visible de pluriel ; « courbure » finit sur un trait qui peut être un « s ». Un trait est tiré sous le titre, à gauche.

\[\frac{1}{R} + \frac{1}{R'} = \frac{1 + \left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}}{\left\{1 + \left(\frac{dz}{dy}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}.\frac{d^{2}z}{dx^{2}} - \frac{2.\frac{dz}{dy}.\frac{dz}{dx}}{\left\{1 + \left(\frac{dz}{dy}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}\,\frac{d^{2}z}{dx\,dy}\] \[+ \frac{1 + \left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}}{\left\{1 + \left(\frac{dz}{dy}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}\,\frac{d^{2}z}{dy^{2}}\]

Si on fait \(x = r\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos.}\varphi \qquad y = r\,\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\) et qu'on fasse prenne \(r\) constant pour avoir seulement le cas relatif a la surface dela sphère on aura \[\frac{dz}{dx} = \frac{\text{cos.}\theta\,\text{cos.}\varphi}{r}\,\frac{dz}{d\theta} - \frac{\text{sin}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}.\frac{dz}{d\varphi}\] \[\frac{dz}{dy} = \frac{\text{cos}\,\theta\,\text{sin.}\varphi}{r}.\frac{dz}{d\theta} + \frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}.\frac{dz}{d\varphi}\] \[K^{3} = \left\{1 + \left(\frac{dz}{dx}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}} = \left(1 + \uncertain{2}\,\frac{\text{cos}^{2}\theta}{r^{2}}\left(\frac{dz}{d\theta}\right)^{2} + \frac{1}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta}.\left(\frac{dz}{d\varphi}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\] La capitale lue \(K\) est repassée. Devant « cos\(^{2}\theta\) », un signe en forme de « b », lu 2 avec doute ; le calcul demande 1, et rien n'indique qu'il soit barré.

\[\struck{\frac{d^{2}z}{dx\,dy} = (\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi + \text{sin}\,\varphi}\] Un premier départ, barré d'un trait, le premier membre biffé d'un gros trait oblique.

\[\frac{d^{2}z}{dx\,dy} = \left\{\frac{\text{sin.}\theta\,\text{cos.}\varphi}{r}\,\frac{d\theta}{dy} + \frac{\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi}{r}.\frac{d\varphi}{dy}\right\}\frac{dz}{d\theta} + \frac{\text{cos}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r}\left\{\frac{d^{2}z}{d\theta^{2}}\,\frac{d\theta}{dy} + \frac{d^{2}z}{d\theta\,d\varphi}\,\frac{d\varphi}{dy}\right.\] \[+ \left\{\frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}\,\frac{d\varphi}{dy} - \frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\theta}{r\,\text{sin}^{2}\theta}.\frac{d\theta}{dy}\right\}\frac{dz}{d\varphi} - \frac{\text{sin}\,\varphi}{r\,\text{sin.}\theta}\left\{\frac{d^{2}z}{d\varphi\,d\theta}\,\frac{d\theta}{dy} + \frac{d^{2}z}{d\varphi^{2}}\,\frac{d\varphi}{dy}\right.\] Aucun signe n'est écrit devant le premier terme de la première accolade. Les accolades de droite ne se ferment pas : le dernier facteur touche le bord du feuillet. Le \(\varphi\) de « cos\(\,\varphi\) », dans la première accolade, est récrit.

\[= \left\{\frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}} + \frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin}^{2}\theta}\right\}\frac{dz}{d\theta} + \frac{\text{cos}^{2}\theta\,\text{cos}^{2}\varphi}{r^{2}}\,\frac{d^{2}z}{d\theta^{2}}\] \[+ \left\{\frac{\text{cos}^{2}\varphi}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta} - \frac{\text{cos}^{2}\theta\,\text{sin}^{2}\varphi}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta}\right\}\frac{dz}{d\varphi} + \frac{\text{cos}\,\theta\,(\text{cos}^{2}\varphi - \text{sin}^{2}\varphi)}{r^{2}\,\text{sin}\,\theta}.\frac{d^{2}z}{d\varphi\,d\theta} - \frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}\,\varphi}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta}\,\frac{d^{2}z}{d\varphi^{2}}\] Le dénominateur du deuxième terme de la première accolade est lu « \(r\,\text{sin}^{2}\theta\) », sans exposant à \(r\). L'exposant de « cos\(^{2}\theta\) » au dernier terme de la première ligne et celui de « sin\(^{2}\varphi\) » dans la seconde sont récrits.

652

En haut à droite, à l'encre, « 320 » ; au-dessus, d'un trait plus épais et plus haut, un « 1 » suivi d'une petite croix, dont le sens n'est pas établi (une première page ? un renvoi ?). Feuillet monté sur une feuille de garde, écrit d'un seul côté, d'une écriture régulière ; le dos (vue 653) est blanc. Cachet de la Bibliothèque impériale en marge droite. Le bas du feuillet est blanc, avec des taches au bord inférieur.

Équation du mouvement varié dela chaleur dans une sphère solide échauffée d'une maniere entièrement arbitraire Titre, suivi d'un court trait centré.

Pour appliquer l'équation générale \(\frac{dv}{dt} = \frac{K}{c.D}\left(\frac{d^{2}v}{dx^{2}} + \frac{d^{2}v}{dy^{2}} + \frac{d^{2}v}{dz^{2}}\right)\) au cas d'une figure sphérique il faut exprimer les coordonnées en fonction du rayon et des angles qu'une position donnée de cette ligne fait quantités angulaires Le \(D\) de « \(c.D\) » est la même capitale en dôme qu'à la vue 646.

Prenons l'origine au centre de la sphère pour origine en adoptant les dénominations qui appartiennent a la théorie dela terre nous prendrons le plan de l'équateur pour celui des \(x\) et \(y\) parconséquent la valeur complette de \(z\) sera égal au rayon dela sphère et elle appartiendra au pôle de ce solide. La correction de la première ligne est laissée incomplète : barrés « l'origine au » et « pour », elle se lit « Prenons centre de la sphère origine ». « égal » : sans accord.

Soit \(\theta\) l'arc compris entre le pôle et un point quelconque dela sphère on aura pour ce point \(z = r\,\text{cos}\,\theta \qquad r\,\text{sin}\,\theta\) sera le rayon du cercle formé par l'intersection du plan mené par le même point parallelement au plan de l'équateur. si \(\varphi\) est l'arc compris entre le point dont il s'agit et celui auquel appartient la plus grande valeur de l'ordonnée \(x\) dans le parallele auquel le point appartient on aura \[x = r\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi \qquad y = r\,\text{sin}\,\theta\,\text{sin.}\,\varphi.\] \[dx = dr\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi + r\,\text{cos}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,d\theta - r\,\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,d\varphi\] \[dy = dr\,\text{sin.}\theta\,\text{sin.}\varphi + r\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,d\theta + r\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,d\varphi\] \[dz = dr\,\text{cos}\,\theta - r\,\text{sin}\,\theta\,d\theta\] de ces valeurs de \(dx\) \(dy\) et \(dz\) on tire « parallelement » finit serré contre le bord droit. Dans \(y\), « sin.\(\,\varphi\) » est écrit sur un premier mot noirci. Les deux signes \(-\) de \(dx\) et de \(dz\) sont des traits empâtés en forme de tache. La page s'arrête sur « on tire » ; la suite n'est pas au dos (vue 653, blanc) : elle peut être le calcul du feuillet 321 (vue 654), qui commence par les mêmes combinaisons de \(dx\), \(dy\), \(dz\).

654

En haut à droite, à l'encre, « 321 » ; au-dessus, d'un trait plus épais, un chiffre barré d'un trait oblique, lu 2 avec doute (ce pourrait être un 8), qui fait suite au « 1 » marqué au-dessus de « 320 » à la vue 652. Feuillet monté sur une feuille de garde, écrit d'un seul côté, d'une écriture régulière ; le dos (vue 655) est blanc. Calcul sans texte : il fait suite à « de ces valeurs de \(dx\) \(dy\) et \(dz\) on tire » de la vue 652.

\[dx.\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi + dy\,\text{sin.}\theta\,\text{sin.}\varphi + dz\,\text{cos.}\theta\] \[= dr\,(\text{sin}^{2}\theta\,\text{cos}^{2}\varphi + \text{sin}^{2}\theta\,\text{sin}^{2}\varphi + \text{cos}^{2}\theta) + r\,d\theta\,(\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\theta\,(\text{cos}^{2}\varphi + \text{sin}^{2}\varphi) - 1)\] \[+ r\,d\varphi\,(\text{sin}^{2}\theta\,(\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi - \text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi))\] \[= dr\] Dans le coefficient de \(r\,d\theta\), « \(-1\) » est écrit tel quel, là où l'on attend \(-\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\theta\) ; la parenthèse avant « \(-1\) » est repassée.

\[dx.\,\text{cos.}\theta\,\text{cos.}\varphi + dy\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi - dz.\,\text{sin}\,\theta\] \[= dr\,(\text{cos.}\theta\,\text{sin}\,\theta\,(\text{cos}^{2}\varphi + \text{sin}^{2}\varphi - 1)) + r\,d\theta\,(\text{cos}^{2}\theta\,\text{cos}^{2}\varphi + \text{cos}^{2}\theta\,\text{sin}^{2}\varphi + \text{sin}^{2}\theta)\] \[+ r\,d\varphi\,(\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,(\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi - \text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi))\] \[= r\,d\theta\]

\[\struck{dx\,\text{cos}\ \ill{}}\ dy\,\text{cos}\,\varphi - dx\,\text{sin.}\varphi\] \[= dr\,\text{sin}\,\theta\,(\text{sin.}\varphi\,\text{cos}\,\varphi - \text{sin.}\varphi\,\text{cos}\,\varphi) + r\,\text{cos}\,\theta\,d\theta\,(\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi - \text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi)\] \[+ r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,(\text{cos}^{2}\varphi + \text{sin}^{2}\varphi)\] \[= r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\] La ligne commence par un premier essai biffé de hachures serrées, où se lisent « \(dx\) cos » ; les « cos » et « sin » qui suivent \(dy\) et \(dx\) sont récrits sur des mots noircis.

\[\frac{dr}{dx} = \text{sin.}\theta\,\text{cos.}\varphi \qquad \frac{d\theta}{dx} = \frac{\text{cos.}\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r}, \qquad \frac{d\varphi}{dx} = -\frac{\text{sin}\,\varphi}{r\,\text{sin.}\theta}\] \[\frac{dr}{dy} = \text{sin.}\theta\,\text{sin.}\varphi \qquad \frac{d\theta}{dy} = \frac{\text{cos.}\theta\,\text{sin.}\varphi}{r}, \qquad \frac{d\varphi}{dy} = \frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin.}\theta}\] \[\frac{dr}{dz} = \text{cos}\,\theta \qquad \frac{d\theta}{dz} = -\frac{\text{sin.}\theta}{r},\] Le « sin » de \(\frac{dr}{dy}\) est récrit sur un autre mot.

\[\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dr}.\frac{dr}{dx} + \frac{dv}{d\theta}.\frac{d\theta}{dx} + \frac{dv}{d\varphi}.\frac{d\varphi}{dx}\] \[= \frac{dv}{dr}.\,\text{sin.}\theta\,\text{cos.}\varphi + \frac{dv}{d\theta}.\frac{\text{cos.}\theta\,\text{cos.}\varphi}{r} - \frac{dv}{d\varphi}\,\frac{\text{sin.}\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}\] \[\frac{dv}{dy} = \frac{dv}{dr}.\frac{dr}{dy} + \frac{dv}{d\theta}.\frac{d\theta}{dy} + \frac{dv}{d\varphi}.\frac{d\varphi}{dy}\] \[= \frac{dv}{dr}.\,\text{sin.}\theta\,\text{sin}\,\varphi + \frac{dv}{d\theta}.\frac{\text{cos.}\theta\,\text{sin.}\varphi}{r} + \frac{dv}{d\varphi}\,\frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin.}\theta}\] \[\frac{dv}{dz} = \frac{dv}{dr}.\frac{dr}{dz} + \frac{dv}{d\theta}\,\frac{d\theta}{dz}\] \[= \frac{dv}{dr}\,\text{cos}\,\theta - \frac{dv}{d\theta}\,\frac{\text{sin}\,\theta}{r}\] Le \(v\) du numérateur \(\frac{dv}{d\varphi}\), dans l'expression développée de \(\frac{dv}{dx}\), est récrit sur une tache. Dans les lignes développées, le \(v\) de \(\frac{dv}{d\theta}\) porte une queue descendante qui le fait ressembler à un « y » (de même à la vue 643) ; il est lu \(v\) d'après les lignes générales. La page s'arrête là ; le bas du feuillet est blanc.

656

En haut à droite, à l'encre, « 322 », souligné d'un trait ; à gauche du nombre, un peu plus haut, le mot « Note », d'une plume fine : la page se donne comme une note. Feuillet monté sur une feuille de garde, écrit d'un seul côté, d'une écriture régulière corrigée entre les lignes ; le dos (vue 657) est blanc. Le bas du feuillet est blanc.

Si dans l'équation (A) p. 3 dela sphère échauffée d'une maniere arbitraire on fait \(r = \infty \quad \text{cos}\,\theta = \ill{} \quad \text{sin}\,\theta = \theta \quad r\,\text{sin}\,\theta\) sera une quantité finie qu'on peut représenter par s. Au-dessus de « \(r\,\text{sin}\,\theta\) sera », dans l'interligne, en deux lignes serrées : « \(\theta\) étant infiniment petit ». La valeur de \(\text{cos}\,\theta\) est couverte d'une tache. Le « s » de « par s » est souligné. L'équation marquée (A) est celle qui clôt le feuillet 324 (vue 660), relié après cette note ; « p. 3 » ne répond à aucun chiffre lu sur ces feuillets (« 1 » au-dessus de 320, un « 2 » douteux au-dessus de 321).

Cela posé on aura \(\frac{dv}{dt} = \frac{K}{c.D}\left\{\frac{d^{2}v}{dr^{2}} + \frac{d^{2}v}{ds^{2}} + \frac{1}{s}.\frac{dv}{ds} + \frac{d^{2}v}{s^{2}d\varphi^{2}}\right\}\)

Car le terme \(\frac{2}{r}\,\frac{dv}{dr}\) devient nul puis qu'il a \(\frac{2}{\infty}\) pour facteur cette équation est celle du cylindre car \(\frac{d^{2}v}{dr^{2}}\) est la même chose que \(x\). cette maniere dela déduire est plus simple que celle imployée par M^r Poisson car je ne vois pas la necessité de mettre \(r - a\) a la place de \(r\). si ce n'est peut-être pour mieux faire sentir que les ordonnées sont le point où \(x = 0\) pour origine mais cette substitution peut avoir lieu après coup elle expliquera que la variation de \(r\) supposé infini ne peut s'appliquer qu'a la ba quantité finie \(x\) qui lui est ajoute ajouté lorsqu'on fait \(\uncertain{c} = r + x\) « que \(x\) » : une seule lettre, lue \(x\) avec doute, suivie d'un point. « imployée » : ainsi. « ont » est récrit sur une première lettre noircie. « substitution » est récrit sur un premier mot ; « le point » est écrit en un mot. En fin de ligne, après « qu'a la », deux lettres, lues « ba », sans suite : un mot commencé et laissé ; la ligne suivante reprend « quantité finie \(x\) ». La lettre lue \(c\) dans « \(c = r + x\) » est nette mais surprend ; ce pourrait être un \(r\) mal formé.

Si dans la même équation (A) on suppose qu' substitue a \(\frac{dv}{d\theta} \quad \frac{dv}{d(\text{sin}\,\theta)}\) elle deviendra \[\frac{dv}{dt} = \frac{K}{C.D}\left\{\frac{2}{r}\,\frac{dv}{dr} + \frac{d^{2}v}{dr^{2}} + \frac{d^{2}v}{r^{2}\,\text{cos}^{2}\theta\,d\theta^{2}} + \frac{\text{cos}\,\theta}{r\,\text{sin}\,\theta}.\frac{dv}{r\,\text{cos}\,\theta\,d\theta} + \frac{1}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta}.\frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\right\}\] Tout ce paragraphe et son équation sont annulés par deux longs traits croisés en X, qui vont de « Si dans la même » à la fin de l'équation. Le mot « même » porte un petit trait au-dessus. Le \(r\) du dénominateur de \(\frac{dv}{dr}\) est récrit ; dans le dernier terme, le dénominateur « \(r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta\) » est récrit sur une tache.

On s'étonneroit sans doute de voir l'équation du cylindre comprise dans celle dela sphère si on ne voyoit qu'en cherchant cette derniere d'une maniere spéciale on est conduit a considérer le solide conique qui s'appuie sur la calotte spérique dont la base seroit en même tems celle du cône. On concoit que lorsque le rayon est infini la calotte spérique se confond avec sa base et que parconséquent le solide conique qui a fourni l'équation de la sphère devient un cylindre. « spérique » : ainsi, deux fois, sans h. « concoit » sans cédille. Le texte s'arrête là, au milieu du feuillet.

660

En haut à droite, à l'encre, « 324 », un trait oblique tiré sous le nombre ; aucune autre marque en tête. Feuillet monté sur une feuille de garde, écrit d'un seul côté, d'une écriture régulière ; le dos (vue 661, hors de ce lot) est blanc au vu de la vignette. Cachet de la Bibliothèque impériale dans la marge droite. Le calcul continue celui du feuillet 321 (vue 654), qui s'arrêtait sur \(\frac{dv}{dx}\), \(\frac{dv}{dy}\), \(\frac{dv}{dz}\), et finit sur l'équation marquée (A).

\[\frac{d^{2}v}{dx^{2}} = \text{sin.}\theta\,\text{cos.}\varphi\left\{\frac{d^{2}v}{dr^{2}}.\frac{dr}{dx} + \frac{d^{2}v}{dr\,d\theta}.\frac{d\theta}{dx} + \frac{d^{2}v}{dr\,d\varphi}.\frac{d\varphi}{dx}\right\}\] \[+ \frac{dv}{dr}\left\{\text{cos}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,\frac{d\theta}{dx} - \text{sin}\,\theta\,\text{sin.}\varphi\,\frac{d\varphi}{dx}\right\}\] \[+ \frac{\text{cos.}\theta\,\text{cos.}\varphi}{r}\left\{\frac{d^{2}v}{d\theta\,dr}.\frac{dr}{dx} + \frac{d^{2}v}{d\theta\,d\varphi}.\frac{d\varphi}{dx} + \frac{d^{2}v}{d\theta^{2}}.\frac{d\theta}{dx}\right\}\] \[- \frac{dv}{d\theta}\left\{\frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r}\,\frac{d\theta}{dx} + \frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\theta}{r}\,\frac{d\varphi}{dx} - \frac{\text{cos}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}}\,\frac{dr}{dx}\right\}\] \[- \frac{\text{sin.}\varphi}{r\,\text{sin.}\theta}\left\{\frac{d^{2}v}{d\varphi\,dr}.\frac{dr}{dx} + \frac{d^{2}v}{d\varphi\,d\theta}\,\frac{d\theta}{dx} + \frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\,\frac{d\varphi}{dx}\right\}\] \[- \frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}\,\frac{d\varphi}{dx} - \frac{\text{sin.}\varphi\,\text{cos}\,\theta}{r\,\text{sin}^{2}\theta}\,\frac{d\theta}{dx} - \frac{\text{sin.}\varphi}{r^{2}\,\text{sin.}\theta}\,\frac{dr}{dx}\right\}\] Dans l'accolade de \(\frac{dv}{d\theta}\), le \(\varphi\) de « cos\(\,\varphi\) » est récrit sur une autre lettre.

\[= \frac{d^{2}v}{dr^{2}}.\,\text{sin}^{2}\theta\,\text{cos}^{2}\varphi + \frac{d^{2}v}{dr\,d\theta}.\frac{2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{cos}^{2}\varphi}{r} - \frac{d^{2}v}{dr\,d\varphi}.\frac{2\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r}\] \[+ \frac{d^{2}v}{d\theta^{2}}\,\frac{\text{cos}^{2}\theta\,\text{cos}^{2}\varphi}{r^{2}} - \frac{d^{2}v}{d\theta\,d\varphi}\,\frac{2\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}\,\text{sin.}\theta} + \frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\,\frac{\text{sin}^{2}\varphi}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta}\] \[+ \frac{dv}{dr}\left\{\frac{\text{cos}^{2}\theta\,\text{cos}^{2}\varphi}{r} + \frac{\text{sin}^{2}\varphi}{r}\right\} - \frac{dv}{d\theta}\left\{\frac{2\,\text{sin.}\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{cos}^{2}\varphi}{r^{2}} - \frac{\text{sin}^{2}\varphi\,\text{cos}\,\theta}{r^{2}\,\text{sin}\,\theta}\right\}\] \[+ \frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta} + \frac{\text{cos}^{2}\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta} + \frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}}\right\}\] Le \(v\) de \(\frac{d^{2}v}{dr\,d\theta}\) et celui de \(\frac{d^{2}v}{d\theta\,d\varphi}\) sont récrits sur des taches ; le signe \(-\) devant ce dernier est un trait empâté. Après l'accolade de \(\frac{dv}{dr}\), un trait vertical barré ; l'accolade de \(\frac{dv}{d\theta}\) s'ouvre sur un signe récrit. Au dernier dénominateur de cette accolade, une petite tache à la place d'un éventuel exposant de « sin\(\,\theta\) » ; lu sans exposant.

\[\frac{d^{2}v}{dy^{2}} = \frac{d^{2}v}{dr^{2}}\,\text{sin}^{2}\theta\,\text{sin}^{2}\varphi + \frac{d^{2}v}{dr\,d\theta}.\frac{2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}^{2}\varphi}{r} + \frac{d^{2}v}{dr\,d\varphi}.\frac{2\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r}\] \[+ \frac{d^{2}v}{d\theta^{2}}\,\frac{\text{cos.}^{2}\theta\,\text{sin.}^{2}\varphi}{r^{2}} + \frac{d^{2}v}{d\theta\,d\varphi}.\frac{2\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin.}\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}\,\text{sin.}\theta} + \frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\,\frac{\text{cos}^{2}\varphi}{r^{2}\,\text{sin.}^{2}\theta}\] \[+ \frac{dv}{dr}\left\{\frac{\text{cos.}^{2}\theta\,\text{sin}^{2}\varphi}{r} + \frac{\text{cos}^{2}\varphi}{r}\right\} - \frac{dv}{d\theta}\left\{\frac{2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}^{2}\varphi}{r^{2}} - \frac{\text{cos}^{2}\varphi\ \struck{\text{cos}\,\theta}}{r^{2}\,\text{sin}^{\ill{}}\theta}\right)\] \[- \frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta} + \frac{\text{cos}^{2}\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta} + \frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}}\right\}\] Le signe devant \(\frac{dv}{d\theta}\) est une tache ; lu \(-\). L'exposant de « sin\(\,\theta\) » au dernier dénominateur de cette accolade est récrit et ne se lit pas ; l'accolade se ferme par une parenthèse.

\[\frac{d^{2}v}{dx^{2}} + \frac{d^{2}v}{dy^{2}} = \text{sin}^{2}\theta.\,\frac{d^{2}v}{dr^{2}} + \frac{2\,\text{sin.}\theta\,\text{cos.}\theta}{r}\,\frac{d^{2}v}{dr\,d\theta} + \frac{\text{cos}^{2}\theta}{r^{2}}.\frac{d^{2}v}{d\theta^{2}} + \frac{1}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta}\,\frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\] \[+ \frac{dv}{dr}\left\{\frac{\text{cos}^{2}\theta}{r} + \frac{1}{r}\right\} - \frac{dv}{d\theta}\left\{\frac{2\,\text{sin.}\theta\,\text{cos.}\theta}{r^{2}} - \frac{\text{cos.}\theta}{r^{2}\,\text{sin.}\theta}\right\}\] \[\frac{d^{2}v}{dz^{2}} = \text{cos}^{2}\theta\,\frac{d^{2}v}{dr^{2}} - \frac{2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos.}\theta}{r}\,\frac{d^{2}v}{dr\,d\theta} + \frac{\text{sin}^{2}\theta}{r^{2}}\,\frac{d^{2}v}{d\theta^{2}}\] \[+ \frac{dv}{dr}.\frac{\text{sin}^{2}\theta}{r} + \frac{dv}{d\theta}\,\frac{\uncertain{2}\,\text{sin.}\theta\,\text{cos.}\theta}{r^{2}}\] Le coefficient du dernier terme est écrit sur une tache, lu 2 avec doute.

\[\frac{d^{2}v}{dx^{2}} + \frac{d^{2}v}{dy^{2}} + \frac{d^{2}v}{dz^{2}} = \frac{2}{r}.\frac{dv}{dr} + \frac{d^{2}v}{dr^{2}} + \frac{d^{2}v}{r^{2}d\theta^{2}} + \frac{\text{cos}\,\theta}{r^{2}\,\text{sin}\,\theta}.\frac{dv}{d\theta} + \frac{\uncertain{1}}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta}\,\frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\] Le numérateur du dernier terme est une tache, lue 1 avec doute d'après l'équation qui suit.

L'équation générale devient donc \[\frac{dv}{dt} = \frac{K}{c.D}\left\{\frac{2}{r}\,\frac{dv}{dr} + \frac{d^{2}v}{dr^{2}} + \frac{d^{2}v}{r^{2}d\theta^{2}} + \frac{\text{cos.}\theta}{r^{2}\,\text{sin.}\theta}.\frac{dv}{d\theta} + \frac{1}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta}\,\frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\right\}\] \[\ldots\ (\uncertain{\text{A}})\] La lettre de renvoi, entre parenthèses après quatre points, est récrite et empâtée ; la lecture (A) s'accorde avec « l'équation (A) … dela sphère échauffée d'une maniere arbitraire » de la vue 656. Le bas du feuillet est blanc.