643Vue 6438 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

<math display="block">\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{d\theta}.\frac{d\theta}{dx} + \frac{dv}{d\varphi}.\frac{d\varphi}{dx}</math>

<math display="block">= \frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{cos}^{2}(A-\theta)}{r\,\text{cos}A}.\frac{dv}{d\theta}\ \text{[illisible]}\ \frac{\text{sin.}\,\varphi}{r\,\text{cos.}A\,\text{tang}(A-\theta)}\,\frac{dv}{d\varphi}</math>
<ref>Le signe entre les deux termes est couvert d'une tache d'encre.</ref>

<math display="block">\frac{dv}{dy} = \frac{dv}{d\theta}.\frac{d\theta}{dy} + \frac{dy}{d\varphi}.\frac{d\varphi}{dy}</math>

<math display="block">= \frac{\text{sin}\,\varphi.\text{cos}^{2}(A-\theta)}{r\,\text{cos.}A}\,\frac{dv}{d\theta} + \frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{cos}A\,\text{tang}(A-\theta)}\,\frac{dv}{d\varphi}</math>
<ref>« <math>\frac{dy}{d\varphi}</math> » est écrit ainsi, là où l'on attend <math>\frac{dv}{d\varphi}</math>. Le <math>\theta</math> de « tang<math>(A-\theta)</math> » est récrit et empâté.</ref>

<math display="block">dz = \text{sin.}A\,dr \qquad x = r\,\text{sin}A\,\frac{\text{cos}\,\theta}{\text{sin}\,\theta}\,\text{cos}\,\varphi \qquad y = r\,\text{sin.}A\,\frac{\text{cos.}\theta}{\text{sin}\,\theta}\,\text{sin.}\,\varphi</math>
<ref>« <math>dz = \text{sin.}A\,dr</math> » est écrit dans la marge de gauche, en face des expressions de <math>x</math> et de <math>y</math>.</ref>
<math display="block">dx = \text{sin.}A\,\frac{\text{cos}\,\theta}{\text{sin}\,\theta}\,\text{cos}\,\varphi\,dr + r\,\text{sin}A\,\frac{\text{cos}\,\theta}{\text{sin}\,\theta}\,\text{sin.}\,\varphi\,d\varphi - r\,\text{sin}A\,\text{cos}\,\varphi\,\frac{d\theta}{\text{sin}^{2}\theta}</math>

<math display="block">dy = \text{sin.}A\,\frac{\text{cos}\,\theta}{\text{sin}\,\theta}\,\text{sin.}\,\varphi\,dr - r\,\text{sin.}A\,\frac{\text{cos}\,\theta}{\text{sin.}\theta}\,\text{cos}\,\varphi\,d\varphi - r\,\text{sin.}A\,\text{sin.}\varphi\,\frac{d\theta}{\text{sin}^{2}\theta}</math>
<ref>Le signe <math>+</math> devant le deuxième terme de <math>dx</math> est lu tel qu'il est écrit ; celui de <math>dy</math> est <math>-</math>.</ref>

<math display="block">dx\,\text{cos.}\varphi + dy\,\text{sin}\,\varphi - dz\,\frac{\text{cos}\,\theta}{\text{sin.}\theta} = -r\,\text{sin}A\,\frac{d\theta}{\text{sin}^{2}\theta}</math>

<math display="block">dx\,\text{sin.}\varphi - dy\,\text{cos.}\varphi = r\,\text{sin.}A\,\frac{\text{cos}\,\theta}{\text{sin}\,\theta}\,d\varphi</math>
<ref>Le numérateur « cos<math>\,\theta</math> » du terme en <math>dz</math> est récrit sur un premier mot.</ref>

<math display="block">\frac{dr}{dz} = \frac{1}{\text{sin.}A} \qquad \frac{d\theta}{dx} = -\frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}^{2}\theta}{r\,\text{sin.}A} \qquad \frac{d\varphi}{dx} = \frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{sin}\,\theta}{r\,\text{sin}A\,\text{cos}\,\theta}</math>

<math display="block">\frac{dr}{dx} = 0 \qquad \frac{d\theta}{dy} = -\frac{\text{sin.}\varphi\,\text{sin}^{2}\theta}{r\,\text{sin.}A} \qquad \frac{d\varphi}{dy} = -\frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}\,\theta}{r\,\text{sin}A\,\text{cos}\,\theta}</math>

<math display="block">\frac{dr}{dy} = 0 \qquad \frac{d\theta}{dz} = \frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta}{r\,\text{sin.}A}</math>
<ref>Le « <math>r</math> » des numérateurs <math>\frac{dr}{dx}</math>, <math>\frac{dr}{dy}</math> est récrit sur une autre lettre ; le « cos » de <math>\frac{d\theta}{dx}</math> est repassé.</ref>

<math display="block">\frac{dv}{dx} = \frac{\text{sin}\,\varphi.\text{sin}\,\theta}{r\,\text{sin}A\,\text{cos}\,\theta}\,\frac{dv}{d\varphi} - \frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}^{2}\theta}{r\,\text{sin.}A}\,\frac{dv}{d\theta}</math>

<math display="block">\frac{dv}{dy} = -\frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}\,\theta}{r\,\text{sin.}A\,\text{cos.}\theta}\,\frac{dv}{d\varphi} - \frac{\text{sin.}\varphi\,\text{sin}^{2}\theta}{r\,\text{sin.}A}\,\frac{dv}{d\theta}</math>

<math display="block">\frac{dv}{dz} = \frac{1}{\text{sin}A}.\frac{dv}{dr} + \frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta}{r\,\text{sin}A}.\frac{dv}{d\theta}</math>
<ref>Le <math>v</math> de <math>\frac{dv}{dr}</math> est récrit sur une autre lettre.</ref>

<math display="block">\frac{d^{2}v}{dx^{2}} = \frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\text{cos}\,\varphi.\text{sin}^{2}\theta\,\text{sin.}\varphi}{r^{2}\,\text{sin.}^{2}A\,\text{cos.}^{3\,\text{[?]}}\theta} - \frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}\,\varphi\,\text{sin}^{2}\theta}{r^{2}\,\text{sin}^{2}A\,\text{cos}^{2}\theta}\right)</math>

<math display="block">- \frac{dv}{d\theta}\left\{\frac{\text{sin}^{2}\varphi\,\text{sin}^{3}\theta}{r^{2}\,\text{sin}^{2}A\,\text{cos.}\theta} - \frac{2\,\text{cos}^{2}\varphi\,\text{sin}^{3}\theta\,\text{cos.}\theta}{r^{2}\,\text{sin}^{2}A}\right\}</math>

<math display="block">+ \frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\,\frac{\text{sin}^{2}\varphi\,\text{sin}^{4}\theta}{r^{2}\,\text{sin}^{2}A\,\text{cos}^{2}\theta} - \frac{d^{2}v}{d\varphi\,d\theta}.\frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}^{3}\theta}{r^{2}\,\text{sin}^{2}A\,\text{cos.}\theta}</math>

<math display="block">- \frac{d^{2}v}{d\varphi\,d\theta}.\frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos.}\varphi\,\text{sin}^{3}\theta}{r^{2}\,\text{sin}^{2}A\,\text{cos.}\theta} + \frac{d^{2}v}{d\theta^{2}}\,\frac{\text{cos}^{2}\varphi\,\text{sin}\ldots}{r^{2}\,\text{sin}^{2}A}</math>
<ref>L'accolade ouverte après <math>\frac{dv}{d\varphi}</math> se ferme par une parenthèse. L'exposant de « cos.<math>\theta</math> » au premier dénominateur est lu 3 avec doute (2 est possible). Le « 3 » de <math>\text{sin}^{3}\theta</math> dans le premier terme de la ligne suivante est récrit. La ligne se perd sous la garde : « cos<math>^{2}\varphi</math> sin » puis l'exposant et la suite sont cachés ; les points sont de l'éditeur. Le bas du feuillet est blanc.</ref>

644Vue 64410 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

<math display="block">\frac{d^{2}v}{dr\,d\theta} = \frac{d^{2}v}{dr'd\theta}.\frac{\text{sin.}A}{\text{sin.}\theta} + \frac{d^{2}v}{d\theta^{2}}.\frac{\text{sin.}A}{r'\,\text{cos.}\theta}</math>

<math display="block">- \frac{dv}{dr'}\,\frac{\text{sin}A\,\text{cos}\,\theta}{\text{sin}^{2}\theta} + \frac{dv}{d\theta}.\frac{\text{sin.}A\,\text{cos}\,\theta}{r'\,\text{sin.}^{2}\theta}</math>
<ref>Le premier membre <math>\frac{d^{2}v}{dr\,d\theta}</math> est d'une encre plus pâle que le reste. Le signe devant <math>\frac{dv}{dr'}</math> est une tache, avec un « <math>-</math> » écrit au-dessous.</ref>

<math display="block">\text{sin}\,\theta' = \text{cos}\,\theta \qquad d\theta'\,\text{cos}\,\theta' = -\text{sin}\,\theta\,d\theta</math>
<ref>Ces deux égalités sont écrites à droite, en face des lignes qui suivent.</ref>

<math display="block">\frac{d^{2}v}{dr\,d\theta} = \frac{d^{2}v}{dr'd\theta'}.\frac{d\theta'}{d\theta}\,\frac{\text{sin}A}{\text{sin}\,\theta'} + \frac{d^{2}v}{d\theta'^{2}}.\frac{d\theta'}{d\theta}.\frac{\text{sin}A}{r'\,\text{cos}\,\theta'} \qquad -\frac{d\theta'}{d\theta} = \frac{\text{sin}\,\theta}{\text{cos.}\theta'}</math>

<math display="block">- \frac{dv}{dr'}.\frac{\text{sin}A\,\text{cos}\,\theta'}{\text{sin}^{2}\theta'}\,\frac{d\theta'}{d\theta} + \frac{dv}{d\theta'}\,\frac{\text{sin}A\,\text{cos}\,\theta'}{r'\,\text{sin}^{2}\theta'}\,\frac{d\theta'}{d\theta}</math>
<ref>Le signe <math>-</math> du début de la dernière ligne est écrit sur une tache.</ref>

<math display="block">\frac{1}{\text{sin}^{2}A}\,\frac{d^{2}v}{dr^{2}} + \frac{2\,\text{sin.}\theta\,\text{cos.}\theta}{r\,\text{sin}^{2}A}.\frac{d^{2}v}{dr\,d\theta} + \left\{\frac{\text{sin.}\theta\,\text{cos}\text{[illisible]}\theta}{r^{2}\,\text{sin}^{2}A} - \frac{\text{sin}\,\theta}{r\,\text{sin}^{2}A\,\text{cos.}\theta}\right\}\frac{dv}{d\theta}</math>
<ref>L'exposant de « cos » au premier terme de l'accolade est couvert d'une tache. Un petit « <math>-</math> » isolé est écrit sous cette ligne, sous le premier dénominateur de l'accolade.</ref>

<math display="block">= \frac{1}{\text{sin}^{2}A}\left\{\frac{\text{sin}^{2}A}{\text{sin}^{2}\theta}\,\frac{d^{2}v}{dr'^{2}} + \frac{\text{sin}^{2}A}{r'\,\text{sin.}\theta\,\text{cos}\,\theta}\,2.\frac{d^{2}v}{dr'd\theta} + \frac{\text{sin}^{2}A}{r'^{2}\,\text{cos}^{2}\theta}\,\frac{d^{2}v}{d\theta^{2}} - \frac{\text{sin}^{2}A}{r'\,\text{sin}^{2}\theta}.\frac{dv}{dr'}\right.</math>

<math display="block">\left. - \left(\frac{\text{sin}^{2}A}{r'\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\theta} - \frac{\text{sin}^{2}A}{r'^{2}\,\text{cos}^{3}\theta}\right)\frac{dv}{d\theta}\right\}</math>
<ref>Le dénominateur de <math>\frac{d^{2}v}{dr'^{2}}</math> finit sur une tache ; celui de <math>\frac{d^{2}v}{d\theta^{2}}</math> est récrit ; l'accent de <math>dv/dr'</math> est surchargé. La parenthèse du dernier terme est écrite sur deux lignes, le second terme au-dessous du premier.</ref>

<math display="block">- \frac{2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta}{r'\,\text{sin}A\,\text{sin}\,\theta}\left\{\frac{\text{sin.}A}{\text{sin.}\theta'}.\frac{d^{2}v}{dr'd\theta'} + \frac{\text{sin.}A}{r'\,\text{cos.}\theta'}.\frac{d^{2}v}{d\theta'^{2}}\right\}</math>

<math display="block">\left(\frac{1}{\text{cos}^{2}\theta}\ \text{hypothese\,\text{[?]}}\right) \qquad \left(\text{acause de}\ \frac{d\theta'}{d\theta} = -1\right)</math>
<ref>Au dénominateur, après « sin<math>A</math> », un mot récrit, lu « sin<math>\,\theta</math> » sur un premier « cos ». Le « <math>+</math> » entre les deux termes est écrit sur une tache. Les deux parenthèses sont écrites l'une au-dessus de l'autre à droite de l'accolade ; le mot de la première, d'une écriture rapide, est lu avec doute d'après le « hypothese » bien formé, et entouré, de la ligne plus bas ; « acause » en un mot.</ref>

<math display="block">= \frac{1}{\text{sin}^{2}\theta}.\frac{d^{2}v}{dr^{2}} + \frac{1}{r'^{2}\,\text{cos}^{2}\theta}.\frac{d^{2}v}{d\theta^{2}} + \frac{1}{r'\,\text{sin}^{2}\theta}.\frac{dv}{dr'} + \left(\frac{1}{r'^{2}\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\theta} - \frac{\text{sin.}\theta}{r'^{2}\,\text{cos}^{3}\theta}\right)\frac{dv}{d\theta}</math>
<ref>À droite de cette ligne, un mot très petit, sans doute « hypothese » encore. Des traits courbes relient les termes de cette ligne au calcul de la moitié inférieure droite.</ref>

<math display="block">\left[\text{[illisible]}\left\{\frac{\text{cos}^{2}\theta - \text{sin}^{2}\theta}{r'^{2}\,\text{cos}^{3}\theta\,\text{sin}\,\theta}\right\}\frac{dv}{d\theta}\,\text{cos}^{2}\theta\,\text{sin}^{2}\theta\right]</math>

<math display="block">\frac{dv}{d\theta}\left(\frac{1}{\text{cos}^{2}\theta}\ \text{hypothese}\right).\frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta}{r'^{2}}</math>

<math display="block">= \frac{dv}{d\theta}.\frac{\text{sin}^{2}\theta\,\text{cos}^{2}\theta}{r'^{2}\,\text{cos}^{3}\theta\,\text{sin.}\theta}.\frac{1}{\text{cos}^{2}\theta}</math>

<math display="block">= \frac{1}{r'^{2}\,\text{cos}^{\text{[illisible]}}\theta\,\text{sin}\,\theta}\,\frac{dv}{d\theta}</math>
<ref>Ces quatre lignes, à gauche, sont enfermées dans une grande accolade tracée à la main. Le signe du début est une tache. « <math>\frac{1}{\text{cos}^{2}\theta}</math> hypothese » est entouré d'un trait. L'exposant de « cos » à la dernière ligne est écrit sur une tache.</ref>

<math display="block">\text{[illisible]}\left\{\frac{\text{cos}\,\theta\,\text{sin}^{2}\theta}{r'^{2}\,\text{sin}^{2}\theta} - \frac{\text{cos}\,\theta}{r'\,\text{sin}^{3}\theta}\right\}\frac{dv}{d\theta}.\frac{\text{sin}^{2}\theta}{\text{cos}^{2}\theta}</math>

<math display="block">= \frac{dv}{d\theta}\left\{\frac{\cancel{\text{[illisible]}}\ \text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,(\text{sin}^{2}\theta + \text{cos}^{2}\theta)}{r'^{2}\,\text{cos}^{4}\theta}\ \cancel{\text{[illisible]}}\right)</math>

<math display="block">- \frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{cos}^{2}\theta}{r'^{2}\,\text{cos}^{4}\theta}</math>

<math display="block">+ \frac{\text{cos}^{2}\theta}{r'^{2}\,\text{sin}^{3}\theta}.\frac{\text{sin}^{2}\theta}{\text{cos}^{2}\theta}</math>
<ref>À droite, la même réduction sur l'autre terme. Le signe du début est une tache. « sin<math>\,\theta</math> cos<math>\,\theta</math> » est écrit au-dessus d'un premier facteur noirci ; à droite de la deuxième ligne, un groupe entièrement noirci, où se devinent « sin », « cos », puis une parenthèse. Entre les deux colonnes, écrit de bas en haut, un mot lu Somme [?], et au-dessous un petit signe.</ref>

Il faut encore ajouter a <math>\frac{\text{sin}^{2}\theta\ \cancel{\text{cos}}}{r'^{2}\,\text{cos}^{2}\theta\,\text{sin}^{2}\theta}\,\frac{d^{2}v}{d\theta^{2}}</math>
<math display="block">\text{[illisible]}\ \frac{d^{2}v}{d\theta^{2}} = \frac{dv}{d\theta}\left\{\frac{\text{sin}^{2}\theta}{\text{cos}\ \cancel{\text{[illisible]}}} - \frac{\text{cos}\,\theta}{r'^{2}\,\text{sin}\,\theta} + \frac{\text{sin}\,\theta}{r'^{2}\,\text{cos}^{3}\theta}\right.</math>

<math display="block">= \frac{dv}{d\theta}\left(\right.</math>
<ref>Sous « a », au-dessous de la fraction, « cos<math>^{2}\theta</math> » souligné, d'un trait séparé. La ligne suivante commence, à gauche, par une fraction noircie ; son premier terme entre accolades est raturé de boucles serrées ; un long trait courbe barre toute la ligne, et « <math>= \frac{dv}{d\theta}(</math> » au-dessous, laissé sans suite. Plus bas, un essai de plume (« emme ») et un grand chiffre isolé, lu 4 ; le bas de la feuille est blanc, avec le texte de l'autre côté visible à l'envers.</ref>

645Vue 6452 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

''cylindre''

Si on veut que le cylindre ait été échauffé arbitrairement on ne pourra plus supposer <math>\frac{d^{2}v}{dz^{2}} = 0</math> l'équation transformée contiendra ce terme sans aucune altération ensorte qu'elle deviendra p. 3 <ref>« entierement » est écrit au-dessus de « arbitrairement », qui n'est pas barré. « p. 3 » et, plus bas, « p. 4 » renvoient à des pages qui ne sont pas identifiées dans ce lot.</ref>
<math display="block">\frac{m}{k}u + \frac{d^{2}u}{dr^{2}} + \frac{1}{r}.\frac{du}{dr} + \frac{1}{r^{2}}.\frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}} + \frac{d^{2}u}{dz^{2}} = 0</math>
si aulieu deprendre la valeur de ''u'' p. 4 on fait <math>u = \text{sin}\,\delta\varphi\,r^{\beta}s\,\text{sin.}\frac{\nu z}{\rho}</math> et qu'on prenne <math>\beta = \sqrt{\left(\delta^{2} + \frac{\nu^{2}}{\rho^{2}}\right)}</math> on satisfera a l'équation <ref>La lettre lue <math>\nu</math> est une lettre bouclée comme un « v » ; celle lue <math>\rho</math>, au dénominateur, est suivie d'une tache, et l'exposant de <math>\nu</math> sous le radical est récrit sur une tache. Le « <math>u</math> » de « la valeur de <math>u</math> » est souligné. La phrase s'arrête là ; le reste de la page est blanc.</ref>

646Vue 6465 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

On parviendra a la même équation en considerant le mouvement dela chaleur dans une molécule dela sphère cette molécule sera comprise entre les deux surfaces coniques dont les côtés font avec l'axe des <math>z</math> qui est en même tems celui des [?] {{Rature|1=deux}} solides coniques. les angles <math>\theta</math> et <math>\theta + d\theta</math> entre les deux plans qui font avec celui de <math>x</math> et <math>z</math> les angles <math>\varphi</math> et <math>\varphi + d\varphi</math> et enfin entre les deux calottes sphériques qui appartiennent aux sphères dont les rayons sont <math>r</math> et <math>r + dr</math> <ref>« molécule », dans la deuxième ligne, est récrit sur un premier mot noirci dont on voit un « p » ou un « s » initial ; « une » est répété dans l'interligne, au-dessous. À la fin de la quatrième ligne, « des » suivi d'un trait, la lecture du dernier signe incertaine. Au-dessus de « les angles <math>\theta</math> et <math>\theta + d\theta</math> », dans l'interligne, sans signe d'insertion : « auxquels ces surfaces appartiennent ».</ref>

parconséquent {{Rature|1=<math>r\,d\theta</math>, <math>r</math>}} <math>r\,d\theta</math>, <math>r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi</math> {{Illisible}} <math>dr</math> {{Rature|1=seront}} représenteront trois des côtés, <math>r^{2}\,\text{sin}\,\theta\,d\theta\,d\varphi</math>, {{Rature|1=<math>r\,\text{sin}\,\varphi</math>}} <math>r\,d\theta\,dr</math>, {{Rature|1={{Illisible}}}} <math>r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr</math>, trois des faces et <math>r^{2}\,\text{sin}\,\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr</math> le volume dela même molécule. <ref>« représenteront » est écrit au-dessus de « seront », barré. Entre <math>d\varphi</math> et <math>dr</math> de la première ligne, une tache couvre un signe (une virgule ou « et ») ; devant <math>r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr</math>, un petit mot noirci.</ref>

En retranchant les quantités de chaleurs qui entrent dans la molécule, par chacune de ses trois premières faces, de celle qui s'échappe par les trois ''dernieres'' faces respectivement opposées {{Rature|1=aux premieres}}, on voit qu'il s'accumule durant l'instant <math>dt</math> dans l'intérieur de cette molécule une quantité de chaleur égale a la quantité
<math display="block">\frac{K}{r^{2}}.\left(\frac{d\left(r^{2}.\frac{dv}{dr}\right)}{dr} + \frac{d\left(\text{sin}\,\theta.\frac{dv}{d\theta}\right)}{\text{sin}\,\theta\,d\theta} + \frac{1}{\text{sin}^{2}\theta}.\frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\right)r^{2}\,\text{sin}\,\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr</math>
<ref>« premières » est écrit au-dessus de « trois faces ». « dernieres », souligné, est écrit en tête de ligne, devant « faces », au bord gauche ; « aux premieres » est barré en fin de proposition. « chaleurs » : ainsi, au pluriel.</ref>

le produit <math>c.D.r^{2}\,\text{sin}\,\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr</math> exprime combien il faut de chaleur pour élever de 0 a 1 la molécule dont le volume est <math>r^{2}\,\text{sin}\,\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr</math>. En divisant donc par ce produit la nouvelle quantité de chaleur que la molécule vient d'obtenir on aura son accroissement de temperature On obtiendra ainsi l'équation <ref>Le <math>D</math> du produit <math>c.D</math> est une capitale en forme de dôme sur une barre, comme celle que le lot 28 lit D dans le brouillon sur la chaleur de la vue 549 ; ce pourrait être un <math>\Omega</math>.</ref>

<math>\frac{dv}{dt} =</math> on voit qu'il suffit {{Rature|1=si effectuer les op}} d'effectuer les differentiations indiquées pour que cette équation sera identiquement la même que celle qui {{Rature|1=celle qui a été}} déd a été déduite de l'équation générale <ref>Après <math>\frac{dv}{dt}</math>, un tiret et un blanc : le second membre de l'équation n'est pas écrit. « que » est écrit au-dessus de « cette » ; « la même que celle qui » au-dessus de « celle qui a été », barré ; « déd » qui suit n'est pas barré, et la ligne suivante reprend « a été déduite ». « sera » n'est pas corrigé en « soit ». Dans la marge de gauche, écrits de bas en haut à hauteur de ces lignes, des essais de plume : « S », « Sphere » et un mot {{Illisible}}.</ref>

650Vue 6505 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Somme des raisons inverses des deux rayons de principale courbure <ref>« principale » : sans marque visible de pluriel ; « courbure » finit sur un trait qui peut être un « s ». Un trait est tiré sous le titre, à gauche.</ref>

<math display="block">\frac{1}{R} + \frac{1}{R'} = \frac{1 + \left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}}{\left\{1 + \left(\frac{dz}{dy}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}.\frac{d^{2}z}{dx^{2}} - \frac{2.\frac{dz}{dy}.\frac{dz}{dx}}{\left\{1 + \left(\frac{dz}{dy}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}\,\frac{d^{2}z}{dx\,dy}</math>

<math display="block">+ \frac{1 + \left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}}{\left\{1 + \left(\frac{dz}{dy}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}\,\frac{d^{2}z}{dy^{2}}</math>

Si on fait <math>x = r\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos.}\varphi \qquad y = r\,\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi</math> et qu'on {{Rature|1=fasse}} prenne <math>r</math> constant pour avoir seulement le cas relatif a la surface dela sphère on aura
<math display="block">\frac{dz}{dx} = \frac{\text{cos.}\theta\,\text{cos.}\varphi}{r}\,\frac{dz}{d\theta} - \frac{\text{sin}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}.\frac{dz}{d\varphi}</math>

<math display="block">\frac{dz}{dy} = \frac{\text{cos}\,\theta\,\text{sin.}\varphi}{r}.\frac{dz}{d\theta} + \frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}.\frac{dz}{d\varphi}</math>

<math display="block">K^{3} = \left\{1 + \left(\frac{dz}{dx}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}} = \left(1 + 2\,\text{[?]}\,\frac{\text{cos}^{2}\theta}{r^{2}}\left(\frac{dz}{d\theta}\right)^{2} + \frac{1}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta}.\left(\frac{dz}{d\varphi}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}</math>
<ref>La capitale lue <math>K</math> est repassée. Devant « cos<math>^{2}\theta</math> », un signe en forme de « b », lu 2 avec doute ; le calcul demande 1, et rien n'indique qu'il soit barré.</ref>

<math display="block">\cancel{\frac{d^{2}z}{dx\,dy} = (\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi + \text{sin}\,\varphi}</math>
<ref>Un premier départ, barré d'un trait, le premier membre biffé d'un gros trait oblique.</ref>

<math display="block">\frac{d^{2}z}{dx\,dy} = \left\{\frac{\text{sin.}\theta\,\text{cos.}\varphi}{r}\,\frac{d\theta}{dy} + \frac{\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi}{r}.\frac{d\varphi}{dy}\right\}\frac{dz}{d\theta} + \frac{\text{cos}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r}\left\{\frac{d^{2}z}{d\theta^{2}}\,\frac{d\theta}{dy} + \frac{d^{2}z}{d\theta\,d\varphi}\,\frac{d\varphi}{dy}\right.</math>

<math display="block">+ \left\{\frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}\,\frac{d\varphi}{dy} - \frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\theta}{r\,\text{sin}^{2}\theta}.\frac{d\theta}{dy}\right\}\frac{dz}{d\varphi} - \frac{\text{sin}\,\varphi}{r\,\text{sin.}\theta}\left\{\frac{d^{2}z}{d\varphi\,d\theta}\,\frac{d\theta}{dy} + \frac{d^{2}z}{d\varphi^{2}}\,\frac{d\varphi}{dy}\right.</math>
<ref>Aucun signe n'est écrit devant le premier terme de la première accolade. Les accolades de droite ne se ferment pas : le dernier facteur touche le bord du feuillet. Le <math>\varphi</math> de « cos<math>\,\varphi</math> », dans la première accolade, est récrit.</ref>

<math display="block">= \left\{\frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}} + \frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin}^{2}\theta}\right\}\frac{dz}{d\theta} + \frac{\text{cos}^{2}\theta\,\text{cos}^{2}\varphi}{r^{2}}\,\frac{d^{2}z}{d\theta^{2}}</math>

<math display="block">+ \left\{\frac{\text{cos}^{2}\varphi}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta} - \frac{\text{cos}^{2}\theta\,\text{sin}^{2}\varphi}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta}\right\}\frac{dz}{d\varphi} + \frac{\text{cos}\,\theta\,(\text{cos}^{2}\varphi - \text{sin}^{2}\varphi)}{r^{2}\,\text{sin}\,\theta}.\frac{d^{2}z}{d\varphi\,d\theta} - \frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}\,\varphi}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta}\,\frac{d^{2}z}{d\varphi^{2}}</math>
<ref>Le dénominateur du deuxième terme de la première accolade est lu « <math>r\,\text{sin}^{2}\theta</math> », sans exposant à <math>r</math>. L'exposant de « cos<math>^{2}\theta</math> » au dernier terme de la première ligne et celui de « sin<math>^{2}\varphi</math> » dans la seconde sont récrits.</ref>

652Vue 6524 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Équation du mouvement varié dela chaleur dans une sphère solide échauffée d'une maniere entièrement arbitraire <ref>Titre, suivi d'un court trait centré.</ref>

Pour appliquer l'équation générale <math>\frac{dv}{dt} = \frac{K}{c.D}\left(\frac{d^{2}v}{dx^{2}} + \frac{d^{2}v}{dy^{2}} + \frac{d^{2}v}{dz^{2}}\right)</math> au cas d'une figure sphérique il faut exprimer les coordonnées en fonction du rayon et des {{Rature|1=angles qu'une position donnée de cette ligne fait}} quantités angulaires <ref>Le <math>D</math> de « <math>c.D</math> » est la même capitale en dôme qu'à la vue 646.</ref>

Prenons {{Rature|1=l'origine au}} centre de la sphère {{Rature|1=pour}} origine en adoptant les dénominations qui appartiennent a la théorie dela terre nous prendrons le plan de l'équateur pour celui des <math>x</math> et <math>y</math> parconséquent la valeur complette de <math>z</math> sera égal au rayon dela sphère et elle appartiendra au pôle de ce solide. <ref>La correction de la première ligne est laissée incomplète : barrés « l'origine au » et « pour », elle se lit « Prenons centre de la sphère origine ». « égal » : sans accord.</ref>

Soit <math>\theta</math> l'arc compris entre le pôle et un point quelconque dela sphère on aura pour ce point <math>z = r\,\text{cos}\,\theta \qquad r\,\text{sin}\,\theta</math> sera le rayon du cercle formé par l'intersection du plan mené par le même point parallelement au plan de l'équateur. si <math>\varphi</math> est l'arc compris entre le point dont il s'agit et celui auquel appartient la plus grande valeur de l'ordonnée <math>x</math> dans le parallele auquel le point appartient on aura
<math display="block">x = r\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi \qquad y = r\,\text{sin}\,\theta\,\text{sin.}\,\varphi.</math>

<math display="block">dx = dr\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi + r\,\text{cos}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,d\theta - r\,\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,d\varphi</math>

<math display="block">dy = dr\,\text{sin.}\theta\,\text{sin.}\varphi + r\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,d\theta + r\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,d\varphi</math>

<math display="block">dz = dr\,\text{cos}\,\theta - r\,\text{sin}\,\theta\,d\theta</math>
de ces valeurs de <math>dx</math> <math>dy</math> et <math>dz</math> on tire <ref>« parallelement » finit serré contre le bord droit. Dans <math>y</math>, « sin.<math>\,\varphi</math> » est écrit sur un premier mot noirci. Les deux signes <math>-</math> de <math>dx</math> et de <math>dz</math> sont des traits empâtés en forme de tache. La page s'arrête sur « on tire » ; la suite n'est pas au dos (vue 653, blanc) : elle peut être le calcul du feuillet 321 (vue 654), qui commence par les mêmes combinaisons de <math>dx</math>, <math>dy</math>, <math>dz</math>.</ref>

654Vue 6544 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

<math display="block">dx.\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi + dy\,\text{sin.}\theta\,\text{sin.}\varphi + dz\,\text{cos.}\theta</math>

<math display="block">= dr\,(\text{sin}^{2}\theta\,\text{cos}^{2}\varphi + \text{sin}^{2}\theta\,\text{sin}^{2}\varphi + \text{cos}^{2}\theta) + r\,d\theta\,(\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\theta\,(\text{cos}^{2}\varphi + \text{sin}^{2}\varphi) - 1)</math>

<math display="block">+ r\,d\varphi\,(\text{sin}^{2}\theta\,(\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi - \text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi))</math>

<math display="block">= dr</math>
<ref>Dans le coefficient de <math>r\,d\theta</math>, « <math>-1</math> » est écrit tel quel, là où l'on attend <math>-\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\theta</math> ; la parenthèse avant « <math>-1</math> » est repassée.</ref>

<math display="block">dx.\,\text{cos.}\theta\,\text{cos.}\varphi + dy\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi - dz.\,\text{sin}\,\theta</math>

<math display="block">= dr\,(\text{cos.}\theta\,\text{sin}\,\theta\,(\text{cos}^{2}\varphi + \text{sin}^{2}\varphi - 1)) + r\,d\theta\,(\text{cos}^{2}\theta\,\text{cos}^{2}\varphi + \text{cos}^{2}\theta\,\text{sin}^{2}\varphi + \text{sin}^{2}\theta)</math>

<math display="block">+ r\,d\varphi\,(\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,(\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi - \text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi))</math>

<math display="block">= r\,d\theta</math>

<math display="block">\cancel{dx\,\text{cos}\ \text{[illisible]}}\ dy\,\text{cos}\,\varphi - dx\,\text{sin.}\varphi</math>

<math display="block">= dr\,\text{sin}\,\theta\,(\text{sin.}\varphi\,\text{cos}\,\varphi - \text{sin.}\varphi\,\text{cos}\,\varphi) + r\,\text{cos}\,\theta\,d\theta\,(\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi - \text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi)</math>

<math display="block">+ r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,(\text{cos}^{2}\varphi + \text{sin}^{2}\varphi)</math>

<math display="block">= r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi</math>
<ref>La ligne commence par un premier essai biffé de hachures serrées, où se lisent « <math>dx</math> cos » ; les « cos » et « sin » qui suivent <math>dy</math> et <math>dx</math> sont récrits sur des mots noircis.</ref>

<math display="block">\frac{dr}{dx} = \text{sin.}\theta\,\text{cos.}\varphi \qquad \frac{d\theta}{dx} = \frac{\text{cos.}\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r}, \qquad \frac{d\varphi}{dx} = -\frac{\text{sin}\,\varphi}{r\,\text{sin.}\theta}</math>

<math display="block">\frac{dr}{dy} = \text{sin.}\theta\,\text{sin.}\varphi \qquad \frac{d\theta}{dy} = \frac{\text{cos.}\theta\,\text{sin.}\varphi}{r}, \qquad \frac{d\varphi}{dy} = \frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin.}\theta}</math>

<math display="block">\frac{dr}{dz} = \text{cos}\,\theta \qquad \frac{d\theta}{dz} = -\frac{\text{sin.}\theta}{r},</math>
<ref>Le « sin » de <math>\frac{dr}{dy}</math> est récrit sur un autre mot.</ref>

<math display="block">\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dr}.\frac{dr}{dx} + \frac{dv}{d\theta}.\frac{d\theta}{dx} + \frac{dv}{d\varphi}.\frac{d\varphi}{dx}</math>

<math display="block">= \frac{dv}{dr}.\,\text{sin.}\theta\,\text{cos.}\varphi + \frac{dv}{d\theta}.\frac{\text{cos.}\theta\,\text{cos.}\varphi}{r} - \frac{dv}{d\varphi}\,\frac{\text{sin.}\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}</math>

<math display="block">\frac{dv}{dy} = \frac{dv}{dr}.\frac{dr}{dy} + \frac{dv}{d\theta}.\frac{d\theta}{dy} + \frac{dv}{d\varphi}.\frac{d\varphi}{dy}</math>

<math display="block">= \frac{dv}{dr}.\,\text{sin.}\theta\,\text{sin}\,\varphi + \frac{dv}{d\theta}.\frac{\text{cos.}\theta\,\text{sin.}\varphi}{r} + \frac{dv}{d\varphi}\,\frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin.}\theta}</math>

<math display="block">\frac{dv}{dz} = \frac{dv}{dr}.\frac{dr}{dz} + \frac{dv}{d\theta}\,\frac{d\theta}{dz}</math>

<math display="block">= \frac{dv}{dr}\,\text{cos}\,\theta - \frac{dv}{d\theta}\,\frac{\text{sin}\,\theta}{r}</math>
<ref>Le <math>v</math> du numérateur <math>\frac{dv}{d\varphi}</math>, dans l'expression développée de <math>\frac{dv}{dx}</math>, est récrit sur une tache. Dans les lignes développées, le <math>v</math> de <math>\frac{dv}{d\theta}</math> porte une queue descendante qui le fait ressembler à un « y » (de même à la vue 643) ; il est lu <math>v</math> d'après les lignes générales. La page s'arrête là ; le bas du feuillet est blanc.</ref>

656Vue 6564 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Si dans l'équation (A) p. 3 dela sphère échauffée d'une maniere arbitraire on fait <math>r = \infty \quad \text{cos}\,\theta = \text{[illisible]} \quad \text{sin}\,\theta = \theta \quad r\,\text{sin}\,\theta</math> sera une quantité finie qu'on peut représenter par ''s''. <ref>Au-dessus de « <math>r\,\text{sin}\,\theta</math> sera », dans l'interligne, en deux lignes serrées : « <math>\theta</math> étant infiniment petit ». La valeur de <math>\text{cos}\,\theta</math> est couverte d'une tache. Le « s » de « par s » est souligné. L'équation marquée (A) est celle qui clôt le feuillet 324 (vue 660), relié après cette note ; « p. 3 » ne répond à aucun chiffre lu sur ces feuillets (« 1 » au-dessus de 320, un « 2 » douteux au-dessus de 321).</ref>

Cela posé on aura <math>\frac{dv}{dt} = \frac{K}{c.D}\left\{\frac{d^{2}v}{dr^{2}} + \frac{d^{2}v}{ds^{2}} + \frac{1}{s}.\frac{dv}{ds} + \frac{d^{2}v}{s^{2}d\varphi^{2}}\right\}</math>

Car le terme <math>\frac{2}{r}\,\frac{dv}{dr}</math> devient nul puis qu'il a <math>\frac{2}{\infty}</math> pour facteur cette équation est celle du cylindre car <math>\frac{d^{2}v}{dr^{2}}</math> est la même chose que <math>x</math> [?]. cette maniere dela déduire est plus simple que celle imployée par M<sup>r</sup> Poisson car je ne vois pas la necessité de mettre <math>r - a</math> a la place de <math>r</math>. si ce n'est peut-être pour mieux faire sentir que les ordonnées {{Rature|1=s}}ont le point où <math>x = 0</math> pour origine mais cette substitution peut avoir lieu après coup elle expliquera que la variation de <math>r</math> supposé infini ne peut s'appliquer qu'a la ba [?] quantité finie <math>x</math> qui lui est {{Rature|1=ajoute}} ajouté lorsqu'on fait <math>c\,\text{[?]} = r + x</math> <ref>« que <math>x</math> » : une seule lettre, lue <math>x</math> avec doute, suivie d'un point. « imployée » : ainsi. « ont » est récrit sur une première lettre noircie. « substitution » est récrit sur un premier mot ; « le point » est écrit en un mot. En fin de ligne, après « qu'a la », deux lettres, lues « ba », sans suite : un mot commencé et laissé ; la ligne suivante reprend « quantité finie <math>x</math> ». La lettre lue <math>c</math> dans « <math>c = r + x</math> » est nette mais surprend ; ce pourrait être un <math>r</math> mal formé.</ref>

Si dans la même équation (A) on {{Rature|1=suppose qu'}} substitue a <math>\frac{dv}{d\theta} \quad \frac{dv}{d(\text{sin}\,\theta)}</math> elle deviendra
<math display="block">\frac{dv}{dt} = \frac{K}{C.D}\left\{\frac{2}{r}\,\frac{dv}{dr} + \frac{d^{2}v}{dr^{2}} + \frac{d^{2}v}{r^{2}\,\text{cos}^{2}\theta\,d\theta^{2}} + \frac{\text{cos}\,\theta}{r\,\text{sin}\,\theta}.\frac{dv}{r\,\text{cos}\,\theta\,d\theta} + \frac{1}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta}.\frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\right\}</math>
<ref>Tout ce paragraphe et son équation sont annulés par deux longs traits croisés en X, qui vont de « Si dans la même » à la fin de l'équation. Le mot « même » porte un petit trait au-dessus. Le <math>r</math> du dénominateur de <math>\frac{dv}{dr}</math> est récrit ; dans le dernier terme, le dénominateur « <math>r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta</math> » est récrit sur une tache.</ref>

On s'étonneroit sans doute de voir l'équation du cylindre comprise dans celle dela sphère si on ne voyoit qu'en cherchant cette derniere d'une maniere spéciale on est conduit a considérer le solide conique qui s'appuie sur la calotte spérique dont la base seroit en même tems celle du cône. On concoit que lorsque le rayon est infini la calotte spérique se confond avec sa base et que parconséquent le solide conique qui a fourni l'équation de la sphère devient un cylindre. <ref>« spérique » : ainsi, deux fois, sans h. « concoit » sans cédille. Le texte s'arrête là, au milieu du feuillet.</ref>

660Vue 6606 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

<math display="block">\frac{d^{2}v}{dx^{2}} = \text{sin.}\theta\,\text{cos.}\varphi\left\{\frac{d^{2}v}{dr^{2}}.\frac{dr}{dx} + \frac{d^{2}v}{dr\,d\theta}.\frac{d\theta}{dx} + \frac{d^{2}v}{dr\,d\varphi}.\frac{d\varphi}{dx}\right\}</math>

<math display="block">+ \frac{dv}{dr}\left\{\text{cos}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,\frac{d\theta}{dx} - \text{sin}\,\theta\,\text{sin.}\varphi\,\frac{d\varphi}{dx}\right\}</math>

<math display="block">+ \frac{\text{cos.}\theta\,\text{cos.}\varphi}{r}\left\{\frac{d^{2}v}{d\theta\,dr}.\frac{dr}{dx} + \frac{d^{2}v}{d\theta\,d\varphi}.\frac{d\varphi}{dx} + \frac{d^{2}v}{d\theta^{2}}.\frac{d\theta}{dx}\right\}</math>

<math display="block">- \frac{dv}{d\theta}\left\{\frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r}\,\frac{d\theta}{dx} + \frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\theta}{r}\,\frac{d\varphi}{dx} - \frac{\text{cos}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}}\,\frac{dr}{dx}\right\}</math>

<math display="block">- \frac{\text{sin.}\varphi}{r\,\text{sin.}\theta}\left\{\frac{d^{2}v}{d\varphi\,dr}.\frac{dr}{dx} + \frac{d^{2}v}{d\varphi\,d\theta}\,\frac{d\theta}{dx} + \frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\,\frac{d\varphi}{dx}\right\}</math>

<math display="block">- \frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}\,\frac{d\varphi}{dx} - \frac{\text{sin.}\varphi\,\text{cos}\,\theta}{r\,\text{sin}^{2}\theta}\,\frac{d\theta}{dx} - \frac{\text{sin.}\varphi}{r^{2}\,\text{sin.}\theta}\,\frac{dr}{dx}\right\}</math>
<ref>Dans l'accolade de <math>\frac{dv}{d\theta}</math>, le <math>\varphi</math> de « cos<math>\,\varphi</math> » est récrit sur une autre lettre.</ref>

<math display="block">= \frac{d^{2}v}{dr^{2}}.\,\text{sin}^{2}\theta\,\text{cos}^{2}\varphi + \frac{d^{2}v}{dr\,d\theta}.\frac{2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{cos}^{2}\varphi}{r} - \frac{d^{2}v}{dr\,d\varphi}.\frac{2\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r}</math>

<math display="block">+ \frac{d^{2}v}{d\theta^{2}}\,\frac{\text{cos}^{2}\theta\,\text{cos}^{2}\varphi}{r^{2}} - \frac{d^{2}v}{d\theta\,d\varphi}\,\frac{2\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}\,\text{sin.}\theta} + \frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\,\frac{\text{sin}^{2}\varphi}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta}</math>

<math display="block">+ \frac{dv}{dr}\left\{\frac{\text{cos}^{2}\theta\,\text{cos}^{2}\varphi}{r} + \frac{\text{sin}^{2}\varphi}{r}\right\} - \frac{dv}{d\theta}\left\{\frac{2\,\text{sin.}\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{cos}^{2}\varphi}{r^{2}} - \frac{\text{sin}^{2}\varphi\,\text{cos}\,\theta}{r^{2}\,\text{sin}\,\theta}\right\}</math>

<math display="block">+ \frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta} + \frac{\text{cos}^{2}\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta} + \frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}}\right\}</math>
<ref>Le <math>v</math> de <math>\frac{d^{2}v}{dr\,d\theta}</math> et celui de <math>\frac{d^{2}v}{d\theta\,d\varphi}</math> sont récrits sur des taches ; le signe <math>-</math> devant ce dernier est un trait empâté. Après l'accolade de <math>\frac{dv}{dr}</math>, un trait vertical barré ; l'accolade de <math>\frac{dv}{d\theta}</math> s'ouvre sur un signe récrit. Au dernier dénominateur de cette accolade, une petite tache à la place d'un éventuel exposant de « sin<math>\,\theta</math> » ; lu sans exposant.</ref>

<math display="block">\frac{d^{2}v}{dy^{2}} = \frac{d^{2}v}{dr^{2}}\,\text{sin}^{2}\theta\,\text{sin}^{2}\varphi + \frac{d^{2}v}{dr\,d\theta}.\frac{2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}^{2}\varphi}{r} + \frac{d^{2}v}{dr\,d\varphi}.\frac{2\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r}</math>

<math display="block">+ \frac{d^{2}v}{d\theta^{2}}\,\frac{\text{cos.}^{2}\theta\,\text{sin.}^{2}\varphi}{r^{2}} + \frac{d^{2}v}{d\theta\,d\varphi}.\frac{2\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin.}\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}\,\text{sin.}\theta} + \frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\,\frac{\text{cos}^{2}\varphi}{r^{2}\,\text{sin.}^{2}\theta}</math>

<math display="block">+ \frac{dv}{dr}\left\{\frac{\text{cos.}^{2}\theta\,\text{sin}^{2}\varphi}{r} + \frac{\text{cos}^{2}\varphi}{r}\right\} - \frac{dv}{d\theta}\left\{\frac{2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}^{2}\varphi}{r^{2}} - \frac{\text{cos}^{2}\varphi\ \cancel{\text{cos}\,\theta}}{r^{2}\,\text{sin}^{\text{[illisible]}}\theta}\right)</math>

<math display="block">- \frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta} + \frac{\text{cos}^{2}\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta} + \frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^{2}}\right\}</math>
<ref>Le signe devant <math>\frac{dv}{d\theta}</math> est une tache ; lu <math>-</math>. L'exposant de « sin<math>\,\theta</math> » au dernier dénominateur de cette accolade est récrit et ne se lit pas ; l'accolade se ferme par une parenthèse.</ref>

<math display="block">\frac{d^{2}v}{dx^{2}} + \frac{d^{2}v}{dy^{2}} = \text{sin}^{2}\theta.\,\frac{d^{2}v}{dr^{2}} + \frac{2\,\text{sin.}\theta\,\text{cos.}\theta}{r}\,\frac{d^{2}v}{dr\,d\theta} + \frac{\text{cos}^{2}\theta}{r^{2}}.\frac{d^{2}v}{d\theta^{2}} + \frac{1}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta}\,\frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}</math>

<math display="block">+ \frac{dv}{dr}\left\{\frac{\text{cos}^{2}\theta}{r} + \frac{1}{r}\right\} - \frac{dv}{d\theta}\left\{\frac{2\,\text{sin.}\theta\,\text{cos.}\theta}{r^{2}} - \frac{\text{cos.}\theta}{r^{2}\,\text{sin.}\theta}\right\}</math>

<math display="block">\frac{d^{2}v}{dz^{2}} = \text{cos}^{2}\theta\,\frac{d^{2}v}{dr^{2}} - \frac{2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos.}\theta}{r}\,\frac{d^{2}v}{dr\,d\theta} + \frac{\text{sin}^{2}\theta}{r^{2}}\,\frac{d^{2}v}{d\theta^{2}}</math>

<math display="block">+ \frac{dv}{dr}.\frac{\text{sin}^{2}\theta}{r} + \frac{dv}{d\theta}\,\frac{2\,\text{[?]}\,\text{sin.}\theta\,\text{cos.}\theta}{r^{2}}</math>
<ref>Le coefficient du dernier terme est écrit sur une tache, lu 2 avec doute.</ref>

<math display="block">\frac{d^{2}v}{dx^{2}} + \frac{d^{2}v}{dy^{2}} + \frac{d^{2}v}{dz^{2}} = \frac{2}{r}.\frac{dv}{dr} + \frac{d^{2}v}{dr^{2}} + \frac{d^{2}v}{r^{2}d\theta^{2}} + \frac{\text{cos}\,\theta}{r^{2}\,\text{sin}\,\theta}.\frac{dv}{d\theta} + \frac{1\,\text{[?]}}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta}\,\frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}</math>
<ref>Le numérateur du dernier terme est une tache, lue 1 avec doute d'après l'équation qui suit.</ref>

L'équation générale devient donc
<math display="block">\frac{dv}{dt} = \frac{K}{c.D}\left\{\frac{2}{r}\,\frac{dv}{dr} + \frac{d^{2}v}{dr^{2}} + \frac{d^{2}v}{r^{2}d\theta^{2}} + \frac{\text{cos.}\theta}{r^{2}\,\text{sin.}\theta}.\frac{dv}{d\theta} + \frac{1}{r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta}\,\frac{d^{2}v}{d\varphi^{2}}\right\}</math>

<math display="block">\ldots\ (\text{A}\,\text{[?]})</math>
<ref>La lettre de renvoi, entre parenthèses après quatre points, est récrite et empâtée ; la lecture (A) s'accorde avec « l'équation (A) … dela sphère échauffée d'une maniere arbitraire » de la vue 656. Le bas du feuillet est blanc.</ref>