Numérotation des feuillets. En haut à droite des feuillets, à
l'encre, d'une écriture plus ronde, un nombre de la série qui court dans
tout le volume : 335 (vue 682), 336 (684), 337 (686), 338 (688), 339
(690), 340 (692), 341 (694), 342 (696), 343 (698), 344 (700). Cette série
occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est
tracée à la plume et non au crayon, et aucun « f. » n'est donc porté.
Près de ce nombre, sa propre pagination, petite, le plus souvent barrée
(voir les notes de chaque vue). Tous ces nombres ont été lus sur la vue ;
aucun n'est déduit. Les vues 681, 683, 685, 687, 689, 697 et 699 sont
des dos blancs où l'écriture du recto se voit à l'envers ; la vue 700 est
le côté blanc du feuillet 344, dont le texte est au dos (vue 701, hors
de ce lot). Elles ne sont pas transcrites.
\underline{r} a la valeur totale R; on en conclura l'équation
déterminée:
b\left(1 - \frac{gR^2}{2(n+1)} + \frac{g^2R^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \frac{g^3R^6}{2.4.6(n+1)(n+3)(n+5)} + \&c\right)
= \frac{2gR}{2(n+1)} - \frac{4g^2R^3}{2.4(n+1)(n+3)} + \frac{6g^3R^6}{2.4.6(n+1)(n+3)(n+5)} - \&c
g, g', g^2 \ldots g^\beta. étant cequi devient laquantité g lorsque
que le coëfficient de \varphi est 0, 1, 2 \ldots \beta. on prouvera,
en se conformant a cequi est demontré N.o 306 et suivans T. 2
que quelque soit le nombre \underline{n} cette equation en
g, g', g^2 \ldots g^\beta, dans laquelle \underline{b} et R sont des quantités
déterminées a une infinité de racines réelles.
Il suit delà qu'on peut donner a la variable \underline{v} une infinité
de valeurs des formes. e^{-gkt}s, e^{-g'kt}(A'\,\text{sin}\,\varphi + B'\,\text{cos}\,\varphi)\,r\,s,
e^{-g^2kt}(A^2\,\text{sin}.2\varphi + B^2\,\text{cos}\,2\varphi)\,r^2s \ldots\ldots e^{-g^\beta kt}(A^\beta\,\text{sin}\,\beta\varphi + B^\beta\,\text{cos}\,\beta\varphi)\,r^\beta s.
qui differeront seulement par les exposans g, g', g^2 \ldots g^\beta.
On pourra donc composer une valeur plus générale en ajoutant
toutes ces valeurs multipliées particulières multipliées par des coëfficiens
arbitraires.
L'intégrale qui servira a résoudre dans toute son étendue
la question proposée est donnée par l'équation:
v = B^{\uncertain{0}}\left(a_1e^{-g_1kt}s_1 + a_2e^{-g_2kt}s_2 + a_3e^{-g_3kt}s_3 + \&c\right)
+ (A'\,\text{sin}\,\varphi + B'\,\text{cos}\,\varphi)\left\{a'_1e^{-g'_1kt}s'_1 + a'_2e^{-g'_2kt}s'_2 + a'_3e^{-g'_3kt}s'_3 + \&c\right\}
+ (A^2\,\text{sin}\,2\varphi + B^2\,\text{cos}\,2\varphi)\left\{a^2_1e^{-g^2_1kt}s^2_1 + a^2_2e^{-g^2_2kt}s^2_2 + a^2_3e^{-g^2_3kt}s^2_3 + \&c\right\}
&c.
+ (A^\beta\,\text{sin}\,\beta\varphi + B^\beta\,\text{cos}\,\beta\varphi)\left\{a^\beta_1e^{-g^\beta_1kt}s^\beta_1 + a^\beta_2e^{-g^\beta_2kt}s^\beta_2 + a^\beta_3e^{-g^\beta_3kt}s^\beta_3 + \&c\right\}
En haut à droite, à l'encre, « 335 », le 5 à longue queue ; au-dessus,
un « 6 » barré d'un trait oblique, de sa main : sa pagination du morceau
(voir l'en-tête). Au début de la première ligne, « a » est repassé
d'une encre plus lourde sur une lettre qu'il couvre, peut-être une
majuscule. Le troisième terme du second membre porte « R^6 » sur la
feuille, là où le calcul demande R^5 ; on garde la feuille. Dans les
exposants et les indices, la lettre bouclée à hampe est lue \beta, comme
dans les pages précédentes du volume ; les exposants ', 2, \beta
de g, A, B, a, s sont des indices d'ordre, non des puissances.
L'exposant de B dans la première ligne de l'intégrale est un pâté ;
« 0 » est offert d'après la vue 684, qui écrit A^0, B^0. Les
deux premiers s de cette ligne sont chargés d'encre. Le « que » en tête de la ligne qui suit « lorsque » paraît
biffé d'un trait bouclé. Après « suivans », un petit groupe
souligné dont la fin est chargée d'encre, lu avec doute « T. 2 ». Le bas du feuillet est blanc.
g_1, g_2, g_3\,\&c.\ g'_1, g'_2, g'_3\,\&c.\ g^2_1, g^2_2, g^2_3\,\&c. \ldots\ g^\beta_1, g^\beta_2, g^\beta_3\,\&c.
qui désignent toutes les valeurs de g, g', g^2 \ldots g^\beta, qui satisfont
aux équations déterminées correspondantes aux valeurs 1, 3, 5 \ldots 2\beta+1
du nombre n; u_1, u_2, u_3\,\&c.\ u'_1, u'_2, u'_3\,\&c.\ u^2_1, u^2_2, u^2_3\,\&c. \ldots
u^\beta_1, u^\beta_2, u^\beta_3\,\&c. désignent les valeurs de \underline{u} qui correspondent à ces
differentes racines; B^{\uncertain{0}}; A', B'; A^2, B^2; \ldots A^\beta, B^\beta; et a_1, a_2, a_3\,\&c.
a'_1, a'_2, a'_3\,\&c.\ a^2_1, a^2_2, a^2_3\,\&c. \ldots\ a^\beta_1, a^\beta_2, a^\beta_3\,\&c. sont des
coëfficiens arbitraires.
N.o 5 si on remarque remplace \frac{gR^2}{2^2}, \frac{g'R^2}{2.3}, \frac{g''R^2}{2.5} &c.
\frac{g^\beta R^2}{2(n+1)} par \theta on aura
\uncertain{f}\theta = y = 1 - \frac{(n+1)\theta}{n+1} + \frac{(n+1)^2\theta^2}{1.2(n+1)(n+3)} - \frac{(n+1)^3\theta^3}{1.2.3(n+1)(n+3)(n+5)}
+ \frac{(n+1)^4\theta^4}{1.2.3.4(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)} - \&c.
\frac{dy}{d\theta} = -1 + \frac{(n+1)^2\theta}{(n+1)(n+3)} - \frac{(n+1)^3\theta^2}{1.2(n+1)(n+3)(n+5)} + \frac{(n+1)^4\theta^3}{1.2.3(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)} - \&c.
\frac{2\theta}{n+1}.\frac{d^2y}{d\theta^2} = \frac{(n+1)^{\uncertain{3}}.2\theta}{(n+1)(n+3)} - \frac{4(n+1)^2\theta^2}{1.2(n+1)(n+3)(n+5)} + \frac{6.(n+1)^3\theta^3}{1.2.3(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)} - \&c.
et parconséquent
y + \frac{dy}{d\theta} + \frac{2\theta}{n+1}.\frac{d^2y}{d\theta^2} = 0
\frac{dy}{d\theta} + \frac{n+3}{n+1}.\frac{d^2y}{d\theta^2} + \frac{2\theta}{n+1}.\frac{d^3y}{d\theta^3} = 0
\frac{d^2y}{d\theta^2} + \frac{n+5}{n+1}.\frac{d^3y}{d\theta^3} + \frac{2\theta}{n+1}.\frac{d^4y}{d\theta^4} = 0
&c.
\frac{d^iy}{d\theta^i} + \frac{n+2i+1}{n+1}.\frac{d^{i+1}y}{d\theta^{i+1}} + \frac{2\theta}{n+1}\frac{d^{i+2}y}{d\theta^{i+2}} = 0
En appliquant ici les remarques qui font l'objet de l'art
308. on verra qu'en donnant a \theta une valeur positive
En haut à droite, à l'encre, « 336 » ; au-dessus, un « 7 » barré
d'un trait oblique, sa pagination. Le premier « qui » est biffé, ce qui
fait de la liste de la première ligne le sujet de « désignent ». Ces lignes répètent, sans rature, celles qui sont barrées au dos de la
vue 678 (vue 679, lot 34), avec A', B' … et B^0. Le
premier des coëfficiens B porte de nouveau un exposant noyé dans un
pâté, comme à la vue 682 ; « 0 » reste une lecture offerte. « N.o 5 »
est écrit en tête de l'alinéa : c'est son numéro d'article, auquel
renvoie « (art 5) » à la vue 686, comme « art 4 » (vue 688) renvoie à
l'intégrale de la vue 682. Les dénominateurs « 2^2 »,
« 2.3 », « 2.5 » sont lus tels qu'écrits, là où la règle qu'elle
énonce ensuite, 2(n+1) pour n = 1, 3, 5, donnerait 2.2, 2.4, 2.6 ;
on garde la feuille. Dans la marge de gauche, devant « y = », une
lettre à longue hampe suivie de \theta et d'un signe égal, lue avec
doute f\theta ; le y est récrit sur un premier tracé. Dans la
troisième équation, l'exposant « 3 » de (n+1) est très pâle, comme
effacé ; le calcul demande (n+1) sans exposant. Son 4 est écrit comme
un « b » (« 1.2.3.4 », « 4(n+1)^2\theta^2 »). « l'art 308. » : le
mot « art » est lu d'après le tracé, chargé d'encre. La phrase se
poursuit à la vue 686 ; le bas du feuillet est blanc.
qui rende nulle la fluxion \frac{d^{i+1}y}{d\theta^{i+1}} une valeur positive qui
les deux autres termes de cette équation recevront des valeurs
opposées et on en conclura que les differentes valeurs de
g, g', g^2 \ldots g^\beta sont toutes réelles.
N.o 6 Examinons à présent la forme du facteur
A^\beta\,\text{sin}.\beta\varphi + B^\beta\,\text{cos}.\beta\varphi qui est dû a la difference de temperature
entre les divers points d'une même couche: ce facteur
contient les deux quantités angulaires \text{sin}.\beta\varphi et \text{cos}.\beta\varphi et
parconséquent, soit qu'on suppose \beta infini, ou nul, il
doit se réduire a un seul terme. La première supposition
indiqueroit que sur la circonférence d'es différentes couches de chacune des couches
il y auroit existeroit un nombre infini de points qui auroient
une seule et la même temperature, La secon elle donneroit lieu
a la condition \text{cos}\,\beta\varphi = 0. La seconde exprime qu'a raison de l'uniformité
dela chaleur dans les chacune tous les points. qui sont également distants a une distance égale de l'axe du cylindre des couches, la v n'est
pas fonction delaquantité angulaire \varphi; elle donne on en conclut
l'équation \text{sin}\,\beta\varphi = 0.
Les deux suppositions dont on vient de parler ne sont
donc que deux manières differentes de présenter un seul
et le même état dela distribution dela chaleur.
Il resulte delà que plus le nombre \beta est grand
plus aussi les differentes valeurs de g^\beta doivent être grandes,
car s'il en étoit autrement la supposition de \beta infini
réduiroit la valeur de s, (art 5) a l'unité, et on seroit mené
à conclure que la supposition de l'uniformité dela
chaleur entre les differens points d'une même couche
En haut à droite, à l'encre, « 337 » ; à sa gauche, un « 8 » barré
d'un trait oblique, sa pagination. La première ligne continue la phrase
de la vue 684 (« en donnant a \theta une valeur positive | qui rende
nulle la fluxion… ») ; les mots « une valeur positive qui », après la
fraction, sont barrés d'un trait qui les coupe à mi-hauteur. « indiqueroit »
est écrit « indequeroit », l'i sans point et formé comme un e. Dans
« d'es différentes couches », l'« es » et « différentes » sont barrés ;
« de chacune des couches » est écrit au-dessus, plus fin ; « couches »,
sur la ligne, n'est pas barré. « existeroit » est écrit au-dessus
d'« auroit » barré, « la » au-dessus de « seule et » barré. « a la
condition » et « l'équation » sont écrits dans la marge de gauche, plus
petit, devant les deux égalités qu'ils introduisent. L'addition
au-dessus de « les chacune des couches » se lit « tous les points. qui
sont également distants de l'axe du cylindre », « également distants »
barré et « a une distance égale » écrit plus haut encore, au-dessus ;
aucun signe n'en marque la place, et « des couches » n'est pas barré sur
la ligne. Avant v, un petit mot barré, lu avec doute « la ». « on en
conclut » est écrit en fin de ligne, dans l'interligne, au-dessus de
« elle donne » barré. « (art 5) » est écrit au-dessus de « s, ». La
phrase se poursuit à la vue 688 ; le bas du feuillet est blanc.
entraine nécessairement la même uniformité entre tous les
points du cylindre.
En admettant donc si on admet qu'en suivant l'ordre des indices
1, 2 \ldots \beta les valeurs des quantités g\ g' \ldots g^\beta sont soient
toutes plus grandes que celles qui appartiennent a l'ordre
précédent et qu'en même tems, elles soient plus petites que
les valeurs qui conviennent a l'ordre suivant.
On verra donc que plus le tems écoulé augmente et plus les
termes qui composent la valeur de \underline{v} dans l'équation
trouvée art 4 deviennent petits par rapport à ceux
qui les précèdent.
Il y a donc une certaine valeur de \underline{t} pour laquelle
le mouvement dela chaleur commence a être sensiblement
représenté par l'équation
v = B\left\{a_1e^{-g_1kt}s + a_2e^{-g_2kt}s + \&c\right\}
+ (A'\,\text{sin}.\varphi + B'\,\text{cos}\,\varphi)\left\{a'_1e^{-g'_1kt}s + a'_2e^{-g'_2kt}s + \&c\right\}
Si dans cet état on choisit deux points appartenans
a une même couche et situés aux extrémités d'un même
diamètre; en représentant par \varphi_1 et \varphi_2 leurs distances
respectives à l'origine, par v_1 v_2, leurs temperatures
correspondantes au tems \underline{t}, on aura verra observera que la difference
entre la valeur de v_1 et celle de v_2 depend uniquement
de la difference celle qui existe entre celle les facteurs (A'\,\text{sin}\,\varphi_1 + B'\,\text{cos}\,\varphi_1)
et (A'\,\text{sin}.\varphi_2 + B'\,\text{cos}.\varphi_2) et qu'a cause de \varphi_2 = \pi + \varphi_1
la somme de ces deux facteurs est nulle.
En haut à droite, à l'encre, « 338 » ; à sa gauche, un « 9 » barré
d'un trait oblique, sa pagination. La première ligne achève la phrase de
la vue 686. « si on admet » est écrit au-dessus de « En admettant donc »
barré ; « soient » après « sont » est barré, puis récrit sur la ligne
suivante, chargé d'encre. « donc » est écrit au-dessus de « verra » ;
au-dessus de « les », en fin de ligne, un petit mot ajouté, au bord du
feuillet, qui n'a pas pu être lu. « sensiblement » est offert pour un
mot rapide dont le tracé se lit à peu près « stablement ». Dans la
formule, B n'a pas d'exposant et les s n'ont pas d'indice. « la
valeur » : l'article est repassé. Au-dessus de « la difference » barré,
« celle qui existe » ; au-dessus de « les », un « celle » écrit puis
barré. « observera » est écrit au-dessus d'« aura » et de « verra »,
barrés l'un et l'autre. Le bas du feuillet est blanc ; la vue 689 en est
le dos, blanc.
parconséquent la somme des seconds termes des valeurs de
v_1 et v_2 est également nulle et on a
\frac{v_1+v_2}{2} = B\left(a_1e^{-g_1kt}s + a_2e^{-g_2kt}s + \&c\right)
Ainsi la demi-somme des temperature des points opposés est égale
a la temperature moyenne dela couche a laquelle ils appartiennent,
si on veut que v_1 et v_2 représentent le maximum et le minimum
des temperatures existantes dans la même couche on aura
\frac{dv_1}{d\varphi} = 0 \frac{dv_2}{d\varphi} = 0 et parconséquent A'\,\text{cos}\,\varphi_1 - B'\,\text{sin}\,\varphi_1 = 0, \frac{A'}{B'} = \text{tang}.\varphi_1,
v'_1 et v'_2 étant les temperatures de deux autres points placés a la
distance \frac{\pi}{2} des premiers, les facteurs angulaires qui multiplient
les seconds termes des valeurs de v'_1 et v'_2 seront
B'(\text{tang}.\varphi_1\,\text{cos}\,\varphi_1 - \text{sin}\,\varphi_1 = 0 \quad\text{et}\quad - B'(\text{tang}\,\varphi_1\,\text{cos}\,\varphi_1 - \text{sin}\,\varphi_1) = 0
Les valeurs de v'_1 et v'_2 se réduiront donc au seul terme qui
exprime la temperature moyenne dela couche.
Ainsi lorsqu'il n'y a aucun mouvement de la chaleur
dans le sens de l'axe du cylindre, quelque soit d'ailleurs
la manière dont ce solide ait été échauffé il doit arriver
lorsque le tems \underline{t} aura acquis une certaine valeur,
que le refroidissement s'opere, dans les points situés
sur le rayon qui partage en deux parties égales l'arc
compris entre les points qui ont la plus grande et la
moindre chaleur; absolument dela même manière que si
ce rayon appartenoit au cylindre dont tous les point
egalement eloignés del'axe ont auroient reçus une temperature
uniforme.
Il existe la plus grande analogie entre cequi arrive ici et ce
qui a lieu dans l'armille; aussi pourroit-on appliquer au
cas présent tout cequ'on lit art 245 p 277 dela Théorie dela chaleur
On sentira la raison de cette identité des lois dela chaleur
En haut à droite, à l'encre, « 339 » ; au-dessus, « 10 » barré d'un
trait oblique, sa pagination. Le premier mot continue la vue 688.
Dans la première des deux égalités du bas, la parenthèse ouverte n'est
pas fermée ; on garde la feuille. « donc » est écrit au-dessus de
« réduiront », « auroient » au-dessus d'« ont » barré. « 245 » : le 4
en forme de « b », comme ailleurs dans sa main ; « p 277 » lu tel
qu'écrit. « Théorie dela chaleur » n'est pas souligné. La phrase se
poursuit au dos du feuillet, vue 691, dont l'écriture se voit ici à
l'envers à travers le papier ; en haut à gauche, deux petits traits
obliques pâles, qui ne sont pas un nombre.
si on remarque que chacune des tranches parallèles a la base
circulaire du cylindre doit se comporter comme une plaque
ronde qui seroit soustraite au refroidissement dû a l'action
del'air et que le cas del'armille est correspond
a celui ou on feroit le rayon constant.
Dos du feuillet de la vue 690, écrit sur ses cinq premières lignes
seulement ; le reste est blanc. Ni pagination ni nombre à l'encre : ce
qu'on voit pâle en haut à gauche est le « 10 » et le « 339 » du recto
vus à travers le papier. « est correspond » : ainsi sur la feuille, sans
biffure visible. La phrase achève celle de la vue 690 (« On sentira la
raison de cette identité des lois dela chaleur | si on remarque… ») ; le
feuillet suivant (vue 692) ouvre un nouveau titre.
Equation du mouvement varié dela chaleur dans un cylindre
solide
1. Supposons que toutes les tranches parallèles à la base d'un
cylindre solide d'une longueur infinie et dont le côté est
perpendiculaire à la base circulaire, ayant été échauffé d'une
manière entièrement arbitraire, mais semblable pour chacune
d'elles; le cylindre soit exposé ensuite à un courant d'air
plus froid.
Il s'agit de trouver les équations qui doivent représenter le
mouvement dela chaleur dans un tel solide.
On voit d'abord que l'équation générale
\frac{d\uncertain{v}}{dt} = \frac{K}{C.D}\left(\frac{d^2v}{dx^2} + \frac{d^2v}{dy^2} + \frac{d^2v}{dz^2}\right)
qui sert à déterminer le mouvement dela chaleur
dans l'intérieur des corps solides se réduit ici à
\frac{dv}{dt} = \frac{K}{C.D}\left(\frac{d^2v}{dx^2} + \frac{d^2v}{dy^2}\right) \ldots\ldots (A)
car, suivant l'hypothèse, les tranches du cylindre étant
échauffés d'une manière semblable, tous les points qui
sont situés sur des lignes parallèles a son axe, qui est
en même tems celui des z, ont la même temperature,
parconséquent le mouvement dela chaleur est nulle dans
cette direction et on a \frac{d^2v}{dz^2} = 0.
Par la même raison l'équation générale relative a la surface
se réduit à
m\frac{dv}{dx} + n\frac{dv}{dy} + \frac{h}{K}vq = 0 \ldots\ldots (B)
2. Le centre d'une des tranches parallèles à la base du cylindre
étant pris pour origine; soit \underline{r} le rayon du cercle qui mesure
une des couches de cette tranche et \varphi l'arc compris
Le titre et les articles 1 et 2 du morceau qui commence à la vue
672 (lot 34), écrits une seconde fois presque mot pour mot, d'une main
posée, en tête d'un feuillet sans pagination de sa main ; en haut à droite, à l'encre, « 340 ». Sous le
titre, un court trait. Les numéros d'article « 1. » et « 2. » sont dans
la marge. Au numérateur du premier membre de la première équation, la
lettre après d est chargée d'encre et peut se lire x ; v est offert
d'après l'équation (A). L'accord de « échauffé » et d'« échauffés » est
celui de la feuille. La phrase se poursuit au dos, vue 693 ; à travers
le papier se voit à l'envers l'écriture de ce dos.
entre un des points de la circonference et celui auquel appartient
l'ordonnée y = 0, on aura quelque soit \varphi. x = r\,\text{cos}\,\varphi, y = r\,\text{sin}.\varphi;
d'ou on tire: dx = dr\,\text{cos}\,\varphi - r\,d\varphi\,\text{sin}\,\varphi, dy = dr\,\text{sin}.\varphi + r\,d\varphi\,\text{cos}.\varphi,
dr = dx\,\text{cos}.\varphi + dy\,\text{sin}.\varphi, \qquad d\varphi = \frac{dy\,\text{cos}\,\varphi - dx\,\text{sin}.\varphi}{r}
\frac{dr}{dx} = \text{cos}.\varphi, \quad \frac{dr}{dy} = \text{sin}\,\varphi; \quad \frac{d\varphi}{dx} = -\frac{\text{sin}\,\varphi}{r}, \quad \frac{d\varphi}{dy} = \frac{\text{cos}\,\varphi}{r}
ces valeurs de \frac{dr}{dx}, \frac{dr}{dy}, \frac{d\varphi}{dx}, et \frac{d\varphi}{dy} étant mises dans celles de
\frac{dv}{dx}, \frac{dv}{dy}, \frac{d^2v}{dx^2} et \frac{d^2v}{dy^2} on trouve:
\frac{dv}{dx} = \text{cos}.\varphi\,\frac{dv}{dr} - \frac{\text{sin}.\varphi}{r}\,\frac{dv}{d\varphi}
\frac{dv}{dy} = \text{sin}.\varphi\,\frac{dv}{dr} + \frac{\text{cos}.\varphi}{r}\,\frac{dv}{d\varphi}
\frac{d^2v}{dx^2} = \frac{\text{sin}^2\varphi}{r}\,\frac{dv}{dr} + \frac{2\,\text{sin}.\varphi\,\text{cos}.\varphi}{r^2}.\frac{dv}{d\varphi} + \text{cos}^2\varphi.\frac{d^2v}{dr^2} - \frac{2\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r}.\frac{d^2v}{dr\,d\varphi} + \frac{\text{sin}^2\varphi}{r^2}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}
\frac{d^2v}{dy^2} = \frac{\text{cos}^2\varphi}{r}.\frac{dv}{dr} - \frac{2\,\text{sin}.\varphi\,\text{cos}.\varphi}{r^2}.\frac{dv}{d\varphi} + \text{sin}^2\varphi\,\frac{d^2v}{dr^2} + \frac{2\,\text{sin}.\varphi\,\text{cos}.\varphi}{r}\,\frac{d^2v}{dr\,d\varphi} + \frac{\text{cos}^2\varphi}{r^2}\,\frac{d^2v}{d\varphi^2}
\frac{d^2v}{dx^2} + \frac{d^2v}{dy^2} = \frac{1}{r}\,\frac{dv}{dr} + \frac{d^2v}{dr^2} + \frac{1}{r^2}\,\frac{d^2v}{d\varphi^2}
et l'équation (A) devient
\frac{dv}{dt} = \frac{K}{C.D}\left\{\frac{1}{r}\,\frac{dv}{dr} + \frac{d^2v}{dr^2} + \frac{1}{r^2}\,\frac{d^2v}{d\varphi^2}\right\} \ldots\ldots (C)
A l'egard de l'équation relative a la surface, il faut remarquer
que la condition m\,dx + n\,dy = 0, qui donne les valeurs de \underline{m} et de \underline{n},
et parconséquent aussi celle de \underline{q} étant, ici, x\,dx + y\,dy = 0; on
peut mettre aulieu de \underline{m}, \underline{n} et q; x, y et \sqrt{x^2+y^2}, ou plutôt leurs valeurs
r\,\text{cos}\,\varphi, r\,\text{sin}.\varphi et r. Si on met aussi a la place de \frac{dv}{dx} et \frac{dv}{dy}
les valeurs trouvées plus haut l'équation (B) deviendra:
r\,\text{cos}.\varphi\left(\text{cos}\,\varphi\,\frac{dv}{dr} - \frac{\text{sin}.\varphi}{r}\,\frac{dv}{d\varphi}\right) + r\,\text{sin}.\varphi\left(\text{sin}.\varphi\,\frac{dv}{dr} + \frac{\text{cos}.\varphi}{r}.\frac{dv}{d\varphi}\right) + r\frac{h}{K}v = 0
elle se réduira donc à
\frac{dv}{dr} + \frac{h}{K}v = 0 \ldots\ldots (D)
3. En traitant la question d'une manière spéciale on obtiendroit
egalement les deux équations (C) et (D). Pour y parvenir il
Dos du feuillet de la vue 692, sans nombre à l'encre ; en haut à
droite, « 2 » souligné, sa pagination de ce morceau (la page qui le
précède, vue 692, n'en porte pas). La première ligne continue la
phrase de la vue 692. Dans la liste « \frac{d^2v}{dy^2} » de la
cinquième ligne, la lettre du numérateur est récrite et se lit aussi
x. Dans « les valeurs trouvées plus haut », l'article est récrit sur
un premier mot. Le numéro d'article « 3. » est dans la marge. Le texte est celui des
vues 674 et 676 (lot 34), sans la ligne barrée ni les ratures. La page
s'arrête sur « Pour y parvenir il » ; la vue 694 ne la continue pas
(voir sa note).
manières differentes de présenter le même état dela distribution dela
chaleur. Il résulte delà que plus le nombre \beta est grand plus aussi
les differentes valeurs de g^\beta doivent être grandes, car, s'il en
étoit autrement la supposition de \beta infini réduiroit la valeur
de s (art 5) a l'unité, et on seroit forcé de conclure que la
supposition de l'uniformité dela chaleur entre les differens points
d'une même couche, entraîne nécessairement la même uniformité
entre tous les points du cylindre.
Si on admet qu'en suivant l'ordre des indices 1, 2, \ldots \beta les valeurs
des quantités g, g', g^2 \ldots g^\beta, soient toutes plus grandes que celles
qui appartiennent a l'ordre précédent et qu'en mêmetems, elles
soient plus petites que les valeurs qui conviennent a l'ordre
suivant, on verra donc que plus le tems écoulé augmente
et plus aussi les termes qui composent la valeur de \underline{v} dans
l'équation trouvée art 4 deviennent petits par rapport a ceux
qui les précèdent. Ainsi il y a une certaine valeur de \underline{t}
pour laquelle le mouvement dela chaleur commence à être
sensiblement représenté par l'équation:
v = B\left\{a_1e^{-g_1kt}s_1 + a_2e^{-g_2kt}s_2 + \&c\right\}
+ (A'\,\text{sin}.\varphi + B'\,\text{cos}.\varphi)\left\{a'_1e^{-g'_1kt}s'_1 + a'_2e^{-g'_2kt}s'_2 + \&c\right\}.
Dans cet état, si on choisit deux points appartenant à une
même couche et situés aux extrémités d'un même diamètre,
en représentant par \varphi_1 et \varphi_2 leurs distances respectives à l'origine,
par v_1 v_2 leurs temperature correspondantes au tems \underline{t}; on
observera que la difference entre la valeur de v_1 et celle de v_2
depend uniquement de celle qui existe entre les facteurs
A'\,\text{sin}\,\varphi_1 + B'\,\text{cos}\,\varphi_1 et A'\,\text{sin}\,\varphi_2 + B'\,\text{cos}.\varphi_2. A cause de \varphi_2 = \pi + \varphi_1
la somme de ces deux facteurs est nulle; la somme des
En haut à droite, à l'encre, « 341 » ; à sa droite, un « 7 » barré
d'un trait oblique, sa pagination. Ce feuillet ne suit pas la vue 693,
qui s'arrête sur « Pour y parvenir il » : il reprend, mis au net en
une écriture plus régulière et presque sans rature, le texte des vues
686 et 688 (« manières differentes de présenter le même état… » jusqu'à
« la somme de ces deux facteurs est nulle »), avec des variantes de
détail (« forcé » pour « mené », « Ainsi il y a » pour « Il y a donc »,
les indices des s écrits). Les pages 3 à 6 de cette mise au net ne
sont pas dans ce lot. Dans « au tems », « au » est traversé d'un trait
qui peut être son trait de liaison. L'exposant du second A de la
dernière formule est plus haut que l'accent du premier, et lu A'.
Le bas du feuillet est blanc ; la phrase se poursuit au dos, vue 695.
seconds termes des valeurs de v_1 et v_2 est donc également nulle et on a:
\frac{v_1+v_2}{2} = B\left(a_1e^{-g_1kt}s_1 + a_2e^{-g_2kt}s_2 + \&c\right)
Ainsi la demi somme des temperatures des points opposés est
égale a la temperature moyenne dela couche a laquelle ils
appartiennent.
Si on veut que v_1 et v_2 représentent le maximum et le minimum
existantes dans la même couche on aura \frac{dv_1}{d\varphi} = 0, \frac{dv_2}{d\varphi} = 0 ou, cequi
est la même chose, A'\,\text{cos}\,\varphi - A'\,\text{sin}\,\varphi = 0, \frac{A'}{B'} = \text{tang}.\varphi. v'_1 et v'_2
étant les temperatures de deux autres points placés a la distance
\frac{\pi}{2} des premiers, les facteurs angulaires qui multiplient les seconds
termes des valeurs de v'_1 et v'_2 se réduiront à B'(\text{tang}.\varphi_1\,\text{cos}\,\varphi_1 - \text{sin}.\varphi_1)
et -B'(\text{tang}.\varphi_1\,\text{cos}\,\varphi_1 - \text{sin}.\varphi_1). Les valeurs de v'_1 et v'_2 seront
donc alors composées du seul terme qui exprime la temperature
moyenne dela couche.
Ainsi lorsqu'il n'y a aucun mouvement dela chaleur dans le sens
de l'axe du cylindre, quelque soit d'ailleurs la manière dont ce
solide ait été échauffé, il doit arriver, lorsque le tems \underline{t}
aura acquis une certaine valeur, que le refroidissement s'opère,
dans les points situés sur le rayon qui partage en deux parties
égales l'arc compris entre les points qui ont la plus grande
et la moindre chaleur, absolument de la même manière
que si ce rayon appartenoit au cylindre dont tous les points également
éloignés de l'axe auroient reçus une temperature uniforme.
Il existe la plus grande analogie entre cequi arrive ici et cequi a lieu
dans l'armille; aussi pourroit-on appliquer au cas présent tout
cequ'on lit art 245. On sentira la raison de cette identité des
lois de la chaleur si on remarque que chacune des tranches parallèles à
la base circulaire du cylindre doit se comporter comme une plaque
ronde qui seroit soustraite au refroidissement dû a l'action de l'air, et que
le cas de l'armille correspond à celui ou on feroit le rayon constant.
Dos du feuillet de la vue 694, sans nombre à l'encre ; en haut à
droite, « 8 », non barré, sa pagination. C'est la mise au net des vues
690 et 691, qu'elle suit presque mot pour mot jusqu'à la même dernière
phrase ; le renvoi « art 245 » y est donné sans la page ni le titre de
l'ouvrage, et « est correspond » y devient « correspond ». « A'\,\text{cos}\,\varphi
- A'\,\text{sin}\,\varphi = 0 » : la seconde lettre est écrite A' sur la
feuille, où le brouillon (vue 690) porte B' ; on garde la feuille. Sous
« à celui », un gros trait d'encre horizontal, sans rapport apparent avec
le texte. Le texte s'arrête sur « constant. » ; le bas du feuillet est
blanc.
Equations du mouvement dela chaleur dans la sphère, solide le cône
et le cylindres solides échauffés d'une manière entièrement
arbitraires
Lorsqu'on veut avoir l'équation relative du mouvement dela chaleur dans a la
une sphère arbitraire échauffée d'une manière, on peut se contenter comme l'ont fait
Mrs dela Place et Poisson, de transformer substituer dans transformer l'équation du mouvement
générale du mouvement dela chaleur dans un corps solide, en y
substituant substituant mettant a la place dans cette équation des valeurs des coordonnées
propres a la figure des coordonnées rectangulaires d'autres coordonnées
appropriées a la figure du corps que l'on considère.
Des transformations du même analogues donnent également les
équations du mouvement dela chaleur dans le cône et dans le cylindre.
mais il sera difficile, en suivant ce procédé, il seroit d'appercevoir
la liaison qui existe entre les trois équations.
Au contraire si lorsque on en suivant conformement a la méthode employée
Dans la tous le par Mr fourier; on considère envisage examine chacun des de
cas ces questions d'une manière spéciale et qu'on détermine
verra que la molécule dela sphère dont on a dont, pour trouver
l'équation relative a ce solide il faut connoître
et par l'examen et on qu'on cherche la qu'elle et détermine durant perd dans l'élément du un tems donné tems, par une des
molécules qui appartiennent a chacun de ces solides du solide on s'apperçoit
aisément que la molécule de la sphère appartient en
même tems a un solide conique qui a auroit son sommet
au centre dela sphère et qui seroit est terminé par une
calotte sphérique. L'élément de ce La molécule dont il
s'agit sera est comprise d'une part entre deux couches concentriques
qui calottes concentriques elle l'est est terminée d'ailleurs ses autres faces sont
terminées par des plans lorsqu'on veut avoir l'élément
La seule difference qui puisse exister entre la molécule dont
il s'agit ici et celle qui appartiendroit au cône solide
qui ayant le même centre et le même axe et le même coté
Feuillet de brouillon, très raturé ; en haut à droite, à l'encre,
« 342 », et au-dessus un « 1 » barré d'un trait oblique, sa pagination
d'un nouveau morceau. Le titre est suivi d'un court trait. L's final de
« cylindres » et d'« arbitraires » est annulé d'une petite croix : on
donne le singulier. Dans les lignes 4 à 10, les additions sont écrites
dans l'interligne au-dessus des mots barrés ; « transformer » est
récrit sous la ligne et relié à sa place par un trait courbe ; « a la
place » est écrit à côté de « mettant », au-dessus de « substituant »
barré. Un long trait de liaison court sous « Lorsqu'on veut avoir
l'équation » et sous « en y » sans être une biffure : ces mots sont
gardés. « donnent » : la fin du mot est récrite en surcharge
sur une première terminaison (« donneroient » ?), noyée d'encre.
« il seroit » est écrit au-dessus de « procédé, d'appercevoir » ;
« difficile », barré avec « il sera », n'est pas rétabli. En fin de la
ligne « les trois équations. », un mot commencé, non lu. « Au
contraire » est dans la marge de gauche, devant « si » ; « lorsque »
au-dessus d'« on en suivant » barré. Au-dessus de « considère » barré,
« envisage » barré, et au-dessous « examine ». Le passage de « verra
que la molécule… » à « par l'examen » est barré ligne à ligne ; les
mots écrits dans l'interligne au-dessus de « détermine », d'une plume
fine et serrée, ne sont lus qu'en partie, et un mot barré sous une tache
d'encre suit « détermin- ». Du passage « L'élément de ce… » à « avoir
l'élément », il n'est pas sûr, pour quelques mots (« entre deux »,
« calottes concentriques »), si le trait qui les traverse est une
biffure ou son trait de liaison ; on donne ce que la main semble garder.
Le bas du feuillet est blanc sous « coté » ; le dos (vue 697) est blanc.
Lorsque la sphère est échauffée uniformement du centre a la
circonference les deux termes \frac{d^2v}{d\theta^2}.\frac{1}{r^2}; \frac{d^2v}{d\varphi^2}\frac{1}{r^2\,\text{sin}^2\theta}
sont l'un et l'autre nuls. Il est évident qu'il n'existe
alors aucun mouvement dela chaleur dans une invelappe
sphérique correspondante a une des valeur du rayon \underline{r} comprise
entre zéro et la valeur entière du rayon dela sphère
car alors tous les differens quadrilatères que l'on peut former
sur la surface sphérique en menant du pôle les differens
méridiens qui coupent alafois l'équateur et tous les parallèles
ont tous lamême temperature ainsi il ne passe aucune
quantité de chaleur par les côtés qui forment chacun
de ces quadrilatères.
L'équation \frac{d^2v}{d\theta^2}.\frac{1}{r^2} + \frac{d^2v}{d\varphi^2}.\frac{1}{r^2\,\text{sin}^2\theta} = 0 exprime la condition
dela constance des temperatures des differens quadrilatères
qui appartiennent aux la surface sphérique correspondante
a la valeur \underline{r} du rayon. Elle a lieu lorsqu'en prenant
le la parallèle dont le rayon est r\,\text{sin}\,\theta, \theta étant l'arc du
meridien compris entre le pôle et ce parallèle la quantité
de chaleur qui passe par l'arc d\theta du meridien r\,\text{sin}\,\theta\,d\theta
du paral méridien, arc qui forme un de côté du quadrilatère,
est précisement egale a la quantité de chaleur qui pendant
le même tems \frac{d\uncertain{v}}{dt}, passe par l'arc r\,d\varphi du paralelle,
arc qui forme le coté contigu du premier dans le quadrilatère
et qui appartient au parallèle dont la distance au pôle
est mesurée par l'arc \theta - d\theta.
En haut à droite, à l'encre, « 343 » ; pas de pagination de sa
main. « invelappe » : ainsi. Dans « lamême », un pâté sur la fin du
mot. « aux » est barré d'un trait appuyé ; « la surface » suit
sans correction. Après « l'arc », « d\theta du meridien » est barré et
remplacé à la suite, sur la ligne, par « r\,\text{sin}\,\theta\,d\theta » ;
le calcul attendrait r\,d\theta pour l'arc du méridien et
r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi pour celui du parallèle : on garde la
feuille. Au-dessus de « méridien », « paral » est écrit puis barré.
Dans « le même tems », la fraction qui suit a au numérateur, après d,
une petite lettre bouclée lue avec doute v (elle peut être \theta). « paralelle »
et « parallèle » alternent sur la feuille. Le texte s'arrête sur
« \theta - d\theta: » ; le bas du feuillet est blanc, le dos (vue 699)
aussi.