Français 9115 · lot 36 · vues 701–720 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
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Numérotation des feuillets. En haut à droite, à l'encre, une série d'un nombre par feuillet, sur la face qui le porte : 345 (vue 702, recto blanc), 346 (704), 347 (706), 348 (708), 349 (710), 350 (712), 351 (714, blanc), 352 (716), 353 et 354 (718, deux feuillets sur une même feuille de montage), 355 et 356 (720, de même) ; la vue 700, hors de ce lot, porte 344. Sans lacune ; les revers écrits n'en portent pas. Elle occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque mais est tracée à la plume : aucun « f. » n'est donc porté. Les vues 702, 703, 705, 707, 711, 714, 715 et 717 sont des faces blanches, où ne se voit que l'écriture de l'autre face par transparence ; elles ne sont pas transcrites.

701

Revers écrit d'un petit feuillet monté bas sur sa feuille ; aucun nombre n'y est écrit. Le recto, vue 700, hors de ce lot, porte en haut à droite, à l'encre, 344, et semble blanc à la vignette : ce qui s'y voit en bas à gauche est l'écriture de cette page lue par transparence. Au-dessus du feuillet paraît le bas d'une autre feuille, blanche, où transparaît une écriture à l'envers. La page commence par une phrase entière et s'arrête au milieu d'une autre, au tiers inférieur du feuillet, le reste blanc.

Si par le pôle dela sphère on mène un nombre infini de méridien et qu'on fait trace en même tems un nombre infini de parallèles la surface hemisphérique sera partagée en un nombre infini dequadrilatères rectangulaires les quadrilatères compris entre deux parallèles seront tous plus grands que les quadrilatères qui en nombre égal composent la zone comprise entre l'un des mêmes parallèles et le suivant c'est ce q car et mais comme chacun de ces quadrilatères est supposé infiniment petit la difference entre ceux qui composent deux zones contiguës doit être négligeable ala […]. Si on suppose que sur l'un des côtés méridiens d'un des parallélogrammes [qui s'appuyent sur l'equateur] il existe un foyer de chaleur qui envoye une quantité \(f\) de chaleur, que \(f\ f'\ f''\ f'''\)&c soient les quantités de chaleur qui partent par les côtés méridiens des differens temperatures de differens parallelogrammes qui s'appuient sur l'equateur \(a\ a'\ a''\ a'''\)&c les temperatures des parallelogrammes qui ont s'appuient sur le premier parallèle « Si » : les premières lettres ressemblent à « ti » ; c'est la forme que prend son s initial dans « si on suppose », plus bas sur la même page, d'où la lecture. « seront » est récrit sur un autre mot, et l'ensemble se lit aussi « sauront ». Le mot barré après « qu'on » pourrait être « fait » ou « faire ». Après « négligeable », au début de la ligne suivante, « ala » puis un mot de quatre ou cinq lettres qui se lit « poté » et ne donne pas de sens ; il est laissé illisible. « qui s'appuyent sur l'equateur » est écrit au-dessus de la ligne, d'une plume plus fine, au-dessus de « il existe un foyer ». La page passe de « quadrilatères » à « parallélogrammes » pour les mêmes éléments. La phrase s'arrête sur « sur le premier parallèle », « ont » restant sans complément après la rature de « s'appuient » ; le reste du feuillet est blanc.

704

En haut à droite, à l'encre : 346. Petit feuillet monté bas sur sa feuille, écrit sur ses deux tiers inférieurs ; il commence par une phrase entière et finit par un trait, au bas du feuillet. Aucune autre numérotation.

Voici encore une autre demonstration dela propriété du nombre 2 d'être résidu ou non résidu des nombres premiers suivant leurs formes par rapport a 8. mais celle-ci ne peut servir pour distinguer les nombres \(8K+5\) des nombres dans les quels \(8K+1\) dans lesquels \(K\) est divisibles par une puissance paire de 2.

On peut aumoins demontrer que pour les nombres \(4K+3\) 2 est [non] résidu lorsque \(K\) est pair et non résidu lorsque \(K\) est impair en effet \(K\) étant \(=2K'\) \(p=4K+3=8K'+2+1\) \(-1\equiv 2(4K'+1)\) \(-1\) est non résidu ; \(4K'+1\) a un nombre pair de facteurs de laforme \(4h-1\) parconséquent, comme tous les facteurs premiers de \(4K'+1\) son dela forme \(4h+1\) sont résidus et que ceux dela forme \(4h-1\) pris avec le signe \(-\) sont egalement résidus le produit \(4K'+1\) est résidu pa d'où il résulte 2 non résidu. Au contraire lorsque \(K=2K'+1\) \(p=8K'+7=2(4K'+3)+1\), \(-1\equiv 2(4K'+3)\) \(4K'+3\) a un nombre impair de facteurs dela forme \(4h-1\) parconséquent c'est \(-(4K'+3)\) au lieu de \(4K'+3\) qui est résidu et 2 est alors résidu. car \(1\equiv -2(4K'+3)\) Le 3 de « \(4K+3\) », de « \(4K'+3\) » et de « \(2(4K'+3)\) » a la longue queue qui le fait lire 9 ; « \(p=4K+3=8K'+2+1\) » et l'argument établissent 3. Dans « \(8K'+2+1\) », le 8 est récrit sur un autre chiffre, sans doute un 4. Le « non » ajouté au-dessus de « résidu », à la première ligne de l'alinéa, remplace le « non » biffé de la ligne suivante. Pour la forme des facteurs, la lettre est une petite h (« \(4h-1\) », « \(4h+1\) ») là où les nombres étudiés ont une capitale \(K\) ; au début de la ligne « \(4h-1\) parconséquent » et dans « \(4h+1\) sont résidus » la lettre est récrite sur une autre, peut-être \(K'\). Le signe de congruence à trois traits est le sien.

On peut encore démontrer que 2 est résidu pour les nombres \(4n+1\) dans lesquels \(n\) est divisible par une puissance impaire de 2

En effet soit \(N\) pairement pair et \(2n=N\) \(4n+1=2N+1=p\), \(-1\) est résidu (mod. \(p\)) aussi bien que tous les facteurs premiers de \(N\) et parconséquent leur produit et \(N\) lui même puis qu'il est supposé ne contenir qu'une puissance paire de 2 donc a cause de \(-1\equiv 2N\) 2 est aussi résidu. mais on voit que cette methode n'apprend rien pour le cas \(p=2^{2m}n+1\) — « tous les facteurs premiers de \(N\) » : ses facteurs premiers impairs, puisque \(N\) est pairement pair ; la page ne le précise pas. « qu'une » est écrit serré, comme « q'uune ». Dans « \(p=2^{2m}n+1\) », « \(2m\) » est écrit au-dessus du 2. La page finit sur un trait horizontal.

706

En haut à droite, à l'encre : 347. En haut à gauche, un « 1 » suivi d'un trait oblique, de la même encre que le texte : peut-être un numéro de feuillet de sa main, dans la manière de la première rédaction des v. 210–216 (le chiffre suivi d'un trait oblique) ; rien sur la page ne dit à quoi il se rapporte. Le titre est suivi d'un trait horizontal. Le feuillet, monté sur sa feuille, est écrit jusqu'au bord inférieur, et la dernière ligne s'y arrête ; son revers, vue 707, est blanc.

Observations sur les nombres premiers de la forme \(4n+1\) considérés comme résidus d'autres nombres premiers demême forme

Si on a un nombre premier \(P=4N+1\) tel que \(P\) soit résidu de \(p=4n+1\) \(-P\) sera egalement résidu (mod \(p\)) ; on aura donc \(X^2\equiv -P\) (mod \(p\)) ou \(X^2+P=Mp\).

Comme il est demontré d'ailleurs que tout nombre premier de la forme \(4n+1\) est la somme de deux quarrés, on a sans aucune nouvelles suppositions, et en observant que quelque soit \(M\) il peut toujours etre considéré comme la somme de quatre quarrés. et mettant \(A^2+B^2\) au lieu de \(P\), \(a^2+b^2\) au lieu de \(p\) et \(p^2+q^2+r^2+s^2\) au lieu de \(M\) ; \(X^2+A^2+B^2=(a^2+b^2)(p^2+q^2+r^2+s^2)\) \[=(ap\pm bq)^2+(pb\mp qa)^2+(ar\pm bs)^2+(as\mp br)^2\] On peut supposer \(ap=bq\), \(pb+qa=A\) \(ar\pm bs=B\) \(as\mp br=X\) Des deux premières équations il résulte ; d'abord dela première, a cause de \(a\) et \(b\) premiers entr'eux, \(p=bm\), \(q=am\), et dela seconde \(A=m(b^2+a^2)\) On auroit encore pû supposer \(A=ap+bq\), \(pb=qa\) d'où il résulteroit \(p=am'\) \(q=bm'\) \(A=m'(b^2+a^2)\), c'est adire que \(A\) se réduiroit toujours au produit du nombre premier \(p\) par un nombre quelconque. Comme il est indifferent de prendre \(r\) et \(s\) au lieu de \(p\) et \(q\) puisque les quantités que ces lettres representent ne sont assujetties a aucune condition particulière, on voit que les suppositions que l'on vient d'examiner sont les seules par lesquelles on puisse égaler terme a terme les deux membres de l'équation que l'on considère ; car, si on fesoit \(A=pb\pm qa\) et \(B=ap\mp qb\), il en résulteroit \(A^2+B^2=(a^2+b^2)(p^2+q^2)\), c'est adire, que, \(A^2+B^2\) ne pourroit être un nombre premier La lettre \(p\) sert à la fois pour le nombre premier \(4n+1\) et pour l'un des quatre carrés de \(M\) ; la page ne les distingue pas, et on les laisse tels. Les capitales \(P\) et \(X\) ont un tracé propre, distinct de \(p\) et de \(x\). « nouvelles suppositions » : le s final des deux mots est barré d'une petite croix, ce qui ramène au singulier (voir hand.md, v. 314). Dans « \(A^2+B^2\) ne pourroit », les exposants sont écrits au-dessus des lettres, un peu décalés.

c'est adire par ces manieres que en produisent aucune N.ota Je ne vois pas d'ailleurs que l'on puisse affirmer que le produit de deux nombres qui ne seroient, l'un et l'autre décomposables en 4 quarrés que d'une seule façon, ne le soit que de \(\underline{2}\) « N.ota » : un N suivi de « ota » en exposant, souligné. La note marginale est écrite en quatre lignes serrées dans la marge de gauche, en face des deux dernières lignes, la dernière sur le bord même du feuillet ; un petit signe en forme de point d'exclamation, entre la note et « décomposables », semble la rattacher à cette ligne. Sa dernière ligne se lit « en produi… aucune », la fin du verbe prise dans une surcharge. La page s'arrête sur le « 2 » souligné, au bord inférieur du feuillet ; le revers est blanc et la suite n'est pas sur la vue suivante écrite (v. 708), qui commence un autre texte.

708

En haut à droite, à l'encre : 348. Aucune autre numérotation ; pas de numéro de page de sa main. Le feuillet, monté bas sur sa feuille, est écrit d'une main posée et régulière, presque sans rature ; le texte se poursuit au revers, vue 709. Au-dessus du titre transparaît, à l'envers, l'écriture du revers.

Théorème

\(\underline{n}\) étant un nombre impair plus grand que l'unité, il est impossible de satisfaire en nombres entiers a l'équation \(2z^{2n}=y^{2n}+z^{2n}\). Ainsi sur la page : la dernière lettre de l'équation a la forme du \(z\) qui la commence, non celle du \(x\) de la ligne « z, y et x premiers entr'eux » ; la même équation, quatre lignes plus bas, s'écrit \(2z^{2n}=y^{2n}+x^{2n}\). On garde la lettre écrite. « Théorème » et « Démonstration » sont soulignés, et le \(n\) initial l'est aussi.

Démonstration

Nous supposerons comme a l'ordinaire, \(z\), \(y\) et \(x\) premiers entr'eux et nous observerons que tout diviseur de \(z^{2n}\) est nécessairement la somme de deux quarrés.

Cela posé, soit, s'il se peut, \(2z^{2n}=y^{2n}+x^{2n}\) et parconséquent \(z^n=P^2+Q^2\), \(x^n=P^2-Q^2-2PQ\), \(y^n=P^2-Q^2+2PQ\). En prenant \(z=z'z''\), \(x^{n-1}-x^{n-2}y+\&c=H\), \(x^{n-1}+x^{n-2}y+\&c=F\) \(z''^n=x^{2n-2}-x^{2n-4}y^2+\&c\) et \(2z'^{2n}=x^2+y^2\) on aura : \(z'^n=p^2+q^2\), \(x=p^2-q^2-2pq\), \(y=p^2-q^2+2pq\) d'où on tire \[\left.\begin{array}{r} P^2+Q^2=z''^n(p^2+q^2)\\ P^2-Q^2=H(p^2-q^2)\\ 2PQ=2Fpq \end{array}\right\}\ \ldots\ (1)\]

Il faut encore faire \(z''^n=U^2+V^2\) ; la première des équations (1) donne alors \(P^2+Q^2=(Uq\pm Vp)^2+(Up\mp Vq)^2\), \(P=Uq\pm Vp\) et \(Q=Up\mp Vq\). En substituant ces valeurs de \(P\) et de \(Q\) dans les deux dernières des équations (1) elles deviennent \[\left.\begin{array}{r} \{U(p+q)\pm V(p-q)\}\{U(q-p)\pm V(p+q)\}=H(p^2-q^2)\\ 2\{(U^2-V^2)pq\pm(p^2-q^2)UV\}=2Fpq \end{array}\right\}\ \ldots\ (2)\]

On voit par la première que \(VU\) doit être divisible par \(p^2-q^2\) ; la seconde montre que le même produit \(VU\) doit aussi être divisible par \(pq\).

Soit \(z''^{n-1}=V'^2+U'^2\), \(z''=v^2+u^2\) et parconséquent \[z''^n=U^2+V^2=(U'u\pm V'v)^2+(U'v\mp V'u)^2,\ U=U'u\pm V'v,\ V=U'v\mp V'u,\] \[VU=(U'^2-V'^2)vu\pm(v^2-u^2)V'U'.\]

Les valeurs de \(VU\) données par l'un et l'autre signes devront également satisfaire ; ainsi, leur somme \(2(U'^2-V'^2)vu\), et leur différence, \(2(v^2-u^2)U'V'\), seront l'une et l'autre divisibles par \(pq(p^2-q^2)\).

En supposant, comme on le doit \(V'\) et \(U'\) premiers entr'eux, \(U'^2-V'^2\) et \(V'U'\) seront également premiers entr'eux, parconséquent \(V'U'\) ne peut avoir d'autre diviseur commun avec \(2(U'^2-V'^2)vu\) que le produit \(\underline{vu}\).

Par la même raison \(U'^2-V'^2\) ne peut avoir d'autre diviseur commun Les capitales \(U\), \(V\) et les minuscules \(u\), \(v\) sont nettement distinctes sur la page : \(U\) bouclé en tête comme un \(\upsilon\), \(V\) tracé à gros traits, \(u\) et \(v\) petits. Les accolades des systèmes (1) et (2) sont les siennes, avec les points de suspension devant le numéro. Dans (2), le signe \(=\) de la seconde équation est pris dans un pâté. La page s'arrête au bas du feuillet sur « diviseur commun » ; la phrase continue au revers, vue 709.

709

Revers écrit du feuillet 348 (vue 708), sans numéro ; il continue la phrase de la vue précédente (« Par la même raison \(U'^2-V'^2\) ne peut avoir d'autre diviseur commun »). Même main régulière, sans rature. La page s'arrête aux trois quarts du feuillet sur l'équation finale, suivie d'un petit trait horizontal : la démonstration est complète.

avec \(2(v^2-u^2)U'V'\) que le nombre \(v^2-u^2\) ; il faut donc que \(2(v^2-u^2)vu\) soit divisible par \((p^2-q^2)pq\).

On ne peut satisfaire a cette condition qu'a l'aide de l'une ou l'autre des suppositions : \(2(v^2-u^2)vu>pq(p^2-q^2)\), \(2(v^2-u^2)vu=0\).

Examinons d'abord la première.

En mettant pour \(p\) et \(q\) leurs valeurs, \(2(v^2-u^2)uv>pq(p^2-q^2)\) donne \(32(v^2-u^2)vu>2(y^2-x^2)\). A cause de \(2(y-x)=8pq\) et \(y+x=2(p^2-q^2)\), \(2(y^2-x^2)\) est \(>(x+y)^2\). La même supposition donne donc aussi \(32(v^2-u^2)vu>(x+y)^2\).

Il résulte de l'équation \(2z^{2n}=x^{2n}+y^{2n}\) que \(z^{2n}=z'^{2n}(v^2+u^2)^{2n}\) est plus petit qu'\(y^{2n}\). \(z'^2(v^2+u^2)^2<y^2\) et a plus forte raison \(2z'^2(v^2+u^2)vu<y^2\). Il faut encore observer que \(z'\) étant impair et la somme de deux quarrés on a \(z'>4\) ; parconséquent \(32(v^2+u^2)vu<2z'^2(v^2+u^2)vu\) et \(32(v^2+u^2)vu<y^2\). On ne peut donc supposer dans aucun cas \(32(v^2-u^2)vu>(y+x)^2\). « \(2(y-x)=8pq\) et \(y+x=2(p^2-q^2)\) » : le mot entre les deux égalités est un signe bref, comme un d barré, qu'on rend « et ». Les deux inégalités qui précèdent « On ne peut donc » portent \((v^2+u^2)\), avec le signe \(+\), là où la supposition examinée porte \((v^2-u^2)\) ; la page est donnée telle quelle. « qu'\(y^{2n}\) » : l'apostrophe et le \(y\) sont liés.

Voyons a présent quels sont ceux dans lesquels on peut satisfaire a l'équation \(2(v^2-u^2)vu=0\).

Si on prend \(v^2-u^2=0\), les nombres \(x\) et \(y\) ne pourront être premiers entr'eux ; c'est cequ'il est aisé de voir a l'aide des équations (2) car les quantités \(F\) et \(H\) ayant alors un commun diviseur, il faudra que \(\underline{x}\) et \(\underline{y}\) ayent pareillement aussi un diviseur commun.

Si on veut que l'un des facteurs \(\underline{v}\) ou \(\underline{u}\), \(\underline{v}\), par exemple, soit nul, on verra de même que \(\underline{x}\) et \(\underline{y}\) ne pourront être premiers entr'eux que dans le seul cas ou l'on auroit en même tems \(u=1\). Soit donc \(u=1\), \(v=0\), on trouvera \(U=1\), \(V=0\), \(P=p\), \(Q=q\), \(x^n=x\), \(y^n=y\) et enfin \(n=1\). Ce cas est donc le seul dans lequel il soit possible de satisfaire a l'équation \(2z^{2n}=y^{2n}+x^{2n}\).

710

En haut à droite, à l'encre : 349. Même main régulière que les vues 708–709, dont ce feuillet est la suite : il revient sur « le théorème précédent » et en étend la démonstration. Aucune autre numérotation. Le feuillet est écrit sur ses trois quarts supérieurs ; le bas est blanc, et son revers, vue 711, l'est aussi.

La même démonstration s'appliqueroit également a l'impossibilité de l'équation \(2z^{2n}=y^{2(n-2d)}+x^{2(n-2d)}\) ; il faudroit seulement mettre \(n-2d\) au lieu de \(\underline{n}\) dans les valeurs de \(F\) \(H\) et \(z''^{2n}\) cequi ne changeroit rien a la forme des équations (1) et (2).

On seroit mené, comme dans le cas du théorème précédent, a l'une ou l'autre des suppositions \(2(v^2-u^2)vu>pq(p^2-q^2)\) ou \(2(v^2-u^2)vu=0\). L'impossibilité dela première résulteroit, à plus forte raison dela condition \(z'^{2n}(v^2+u^2)^{\uncertain{8n}}<y^{2n-4d}\). La seconde donneroit toujours \(u=1\), \(v=0\), \(V=0\), \(U=1\), \(P=p\), \(Q=q\) et parconséquent \(x^{n-2d}=x\), \(y^{n-2d}=y\) \(n-2d=1\). L'exposant de \((v^2+u^2)\) est écrit petit et serré : il se lit « 8n », peut-être « 3n » ; le raisonnement parallèle de la vue 709 porte \((v^2+u^2)^{2n}\), et l'on attendrait ici \(2n\). On donne ce que montre la page, sous réserve. Dans « \(x^{n-2d}\) », le \(n\) est repassé d'un trait plus gras.

En mettant \(\underline{n}\) au lieu de \(n-2d\) et réciproquement \(n+2d\) au lieu de \(\underline{n}\) on pourra donc établir le théorème suivant :

Si \(\underline{n}\) est un nombre impair plus grand que l'unité, quelque soit d'ailleurs le nombre \(\underline{d}\), il est impossible de satisfaire en nombres entiers a l'équation \(2z^{2(n+\uncertain{2}d)}=x^{2n}+y^{2n}\) Le chiffre devant \(d\), dans l'exposant, est tracé d'un trait lourd, comme récrit sur un autre ; la forme est celle d'un 2, et la phrase précédente (« \(n+2d\) au lieu de \(n\) ») appuie la lecture. Un petit trait horizontal, sous l'équation, sépare cet alinéa du théorème qui suit.

Théorème

Pour toute valeur de \(\underline{n}\) plus grande que l'unité il est impossible de satisfaire en nombres entiers a l'équation \(Z^{2n}=X^{2n}+Y^{2n}\).

Démonstration

Si l'équation \(Z^{2n}=X^{2n}+Y^{2n}\) étoit possible l'un des nombres \(X\) et \(Y\) seroit pair on auroit donc en prenant \(X=2xx'\) \[\begin{array}{rl} x&=\ldots\,(x)\\ &=\ldots\,(x)'\\ &=\ldots\,(x)'' \end{array}\] \[\begin{array}{ll} Z^n\pm Y^n=2x'^{2n} & \\ Z^n\mp Y^n=2^{2n-1}x^{2n} & Z\mp Y=2^{2n-1}(x)^{2n}\\ Z^n=x'^{2n}+2^{2n-2}x^{2n} & Z-x'^2=2^{2n-2}(x)'^{2n}\\ \pm Y^n=x'^{2n}-2^{2n-2}x^{2n} & x'^2\mp Y=2^{2n-2}(x)''^{2n} \end{array}\] et parconséquent \(2^{n-1}(x)^{2n}=2^{2n-2}\{(x)'^{2n}+(x)''^{2n}\}\), \(2(x)^{2n}=(x)'^{2n}+(x)''^{2n}\) équation dont l'impossibilité vient d'être demontrée pour toute valeur de \(\underline{n}\) plus grande que l'unité. Dans le théorème et sa démonstration, \(Z\), \(X\) et \(Y\) sont des capitales droites, distinctes des minuscules \(x\), \(x'\) ; on garde la distinction. Les trois lignes « \(x=\ldots(x)\) » sont écrites à droite de « en prenant \(X=2xx'\) », les points de suspension étant les siens ; au-dessus des accents de \((x)'\) et de \((x)''\), une petite tache pâle. Les équations sont disposées sur deux colonnes, la colonne de droite commençant à la deuxième ligne de celle de gauche ; on garde cette disposition. Dans « \(Z-x'^2=2^{2n-2}(x)'^{2n}\) », le 2 initial est pris dans un pâté. « \(2^{n-1}\) » : l'exposant se lit \(n-1\), là où la colonne de droite porte \(2^{2n-1}\) ; on le laisse tel. La démonstration s'arrête sur « plus grande que l'unité. », aux trois quarts du feuillet.

712

En haut à droite, à l'encre : 350. Aucune autre numérotation. Feuillet monté bas sur sa feuille, écrit jusqu'au bord inférieur, d'une main rapide ; le texte continue au revers, vue 713. Il commence par une équation, sans titre ni phrase d'introduction : le début du calcul n'est pas sur ce feuillet, et rien n'indique qu'il se trouve aux vues précédentes.

\[\frac{d^2v}{dy^2}=\sin^2\theta\sin^2\varphi.\frac{d^2v}{dr^2}+2\frac{\cos^2\theta\sin.\theta\sin^2\varphi}{r}.\frac{d^2v}{dr.d.\sin\theta}+2\frac{\sin.\varphi\cos.\varphi}{r}.\frac{d^2v}{dr\,d\varphi}\] \[+\frac{\cos^4\theta\sin^2\varphi}{r^2}.\frac{d^2v}{(d.\sin.\theta)^2}+2\frac{\cos^2\theta\cos.\varphi\sin.\varphi}{r^2\sin.\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi\,d.\sin\theta}+\frac{\cos^2\varphi}{r^2\sin^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}\] \[+\frac{dv}{dr}\left\{\frac{\cos^2\theta\sin^2\varphi}{r}+\frac{\cos^2\varphi}{r}\right\}\] \[+\frac{dv}{d.\sin.\theta}\left\{\frac{\cos^2\varphi\cos^2\theta}{r^2\sin.\theta}-\frac{\sin.\theta\cos^2\theta\sin^2\varphi}{r^2}-\frac{2\sin.\theta\cos^2\theta\cos^2\uncertain{\varphi}}{r^2}\right\}\] \[\uncertain{-}\ \frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\cos.\varphi\sin.\varphi}{r^2\sin^2\theta}+\frac{\cos^2\theta\sin.\varphi\cos.\varphi}{r^2\sin^2\theta}+\frac{\sin.\varphi\cos.\varphi}{r^2}\right\}\] Les « \(\sin^2\varphi\) » des deux premières lignes ont le mot « sin » récrit à l'encre épaisse sur un autre, peut-être « cos ». À la troisième ligne, le dernier terme touche le bord droit du feuillet : après « cos » on voit l'exposant 2 et le début d'une lettre, qu'on offre comme \(\varphi\) ; l'accolade fermante est sur le bord. Le signe qui ouvre la quatrième ligne est un gros pâté allongé, là où l'on attend un signe ; on l'offre comme \(-\), sous réserve (voir hand.md, v. 238).

\[\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{d^2v}{dy^2}=\sin^2\theta.\frac{d^2v}{dr^2}+2\frac{\cos^2\theta\sin.\theta}{r}.\frac{d^2v}{dr.d.\sin\theta}+\frac{\cos^4\theta}{r^2}.\frac{d^2v}{(d\sin\theta)^2}\] \[+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}\] \[+\frac{dv}{dr}\left\{\frac{\cos^2\theta}{r}+\frac{1}{r}\right\}+\frac{dv}{d.\sin.\theta}\left\{\frac{\cos^2\theta}{r^2\sin.\theta}-\frac{\sin.\theta\cos^2\theta}{r^2}-2\frac{\sin\theta\cos^2\theta}{r^2}\right\}\]

\[\frac{d^2v}{dz^2}=\cos^2\theta.\frac{d^2v}{dr^2}-2\frac{\cos^2\theta\sin.\theta}{r}.\frac{d^2v}{dr.d.\sin\theta}+\frac{\sin^2\theta\cos^2\theta}{r^2}.\frac{d^2u}{(d\sin.\theta)^2}\] \[\frac{\sin^2\theta}{r}.\frac{dv}{dr}+\frac{dv}{d.\sin\theta}.\left\{\frac{\sin\theta\cos^2\theta}{r^2}+\frac{\sin\theta\cos^2\theta}{r^2}\ \uncertain{-}\ \frac{\sin^3\theta}{r^2}\right\}\] « \(d^2u\) » : ainsi sur la page, là où partout ailleurs la fonction est \(v\). La seconde ligne de \(\frac{d^2v}{dz^2}\) commence sans signe. Entre ses deux derniers termes, un pâté semblable au précédent tient la place du signe ; on l'offre comme \(-\).

N.ota pour l'intelligence de cette équation il faut observer que la valeur de la differentielle de \(\cos\theta\) prise par rapport a \(\sin\theta\) est \(\frac{-\sin\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}}\) et que cette valeur doit être multipliée par \(\frac{d.\sin.\theta}{dz}\) cequi donne \(\frac{\sin^2\theta}{r}\). On trouve en effaçant cequi se détruit \[\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{d^2v}{dy^2}+\frac{d^2v}{dz^2}=\frac{d^2v}{dr^2}+\frac{2}{r}.\frac{dv}{dr}+\frac{\cos^2\theta}{r^2}.\frac{d^2v}{(d\sin.\theta)^2}+\left\{\frac{\cos^2\theta}{r^2\sin\theta}-\frac{\sin\theta}{r^2}\right\}\frac{dv}{d.\sin.\theta}\] \[+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}.\] « N.ota » : un N suivi de « ota » en exposant, souligné. Dans \(\sqrt{1-\sin^2\theta}\), le « sin » est récrit à l'encre épaisse.

Si on fait \(r\) infini l'équation appartient au cylindre on a alors \(\theta=0\) parconséquent \(\sin\theta=0\) \(\cos\theta=1\) parconséquent elle se réduit à \[\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{d^2v}{dy^2}+\frac{d^2v}{dz^2}=\frac{d^2v}{dr^2}+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}+\frac{d^2v}{d(r\sin\theta)^2}+\frac{1}{r\sin\theta}.\frac{dv}{d(r\sin\theta)}\] cette équation est en effet celle que M.r Poisson a donné en considérant le cas général c'est-a-dire celui ou le cylindre est échauffé d'une manière arbitraire. Si on suppose qu'il n'y ait aucun mouvement dela chaleur dans le sens de l'axe cequi revient à prendre \(\underline{r}\) constant et parconséquent \(\frac{d^2v}{dr^2}=0\) l'équation est celle que j'avois trouvé j'avois remarqué, dès lors, que dans cette supposition l'équation du cylindre se réduit à n'être que celle dela plaque circulaire abstraction faite de la déperdition de chaleur due dans la plaque isolée au contact de l'air. Si au lieu de prendre \(\theta=0\) on prend au contraire \(\theta=90\), le rayon l'axe du cylindre deviendra le rayon dela plaque le second membre de l'équation se réduira a \(\frac{d^2v}{dr^2}+\frac{2}{r}\frac{dv}{dr}+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}-\frac{\sin\theta}{r^2}\frac{dv}{d\sin\theta}\) « M.r Poisson » : M suivi d'un petit r surélevé ; le nom est écrit vite mais se lit. « celle que j'avois trouvé », en fin de ligne, puis « j'avois remarqué » au début de la suivante : la phrase se répète ainsi sur la page. « au lieu » est repassé à l'encre épaisse. Le dernier terme, \(\frac{\sin\theta}{r^2}\frac{dv}{d\sin\theta}\), est écrit en deux étages au bord inférieur droit du feuillet, le second facteur sous le premier. Le texte continue au revers, vue 713.

713

Revers écrit du feuillet 350 (vue 712), sans numéro ; il continue le raisonnement du recto, qui s'arrêtait sur l'équation de la plaque circulaire. Même main rapide. La page s'arrête aux trois quarts du feuillet, sur la troisième des quantités de chaleur ; ce qui paraît au-dessous est l'écriture du recto lue par transparence. La suite n'est pas au feuillet suivant, 351 (vue 714), qui est blanc.

Pour que cette équation soit identique à celle dela plaque il faut observer que dans le coefficient \(\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\) de \(\frac{d^2v}{d\varphi^2}\) \(\sin\theta\) doit être pris \(=1\) puis que \(r\sin.\theta\) est alors le rayon entier et que \(r\) multiplie en effet l'expression sin. mais que dans le terme \(\frac{\sin\theta}{r^2}.\frac{dv}{d.\sin\theta}\) \(r\) ne multiplie plus \(\sin\theta\) ensorte que cette expression peut être censée n'avoir pas de valeur fixe quoique l'usage l'attribue toujours au cercle dont le rayon est l'unité.

Si dans ce terme \(\frac{\sin.\theta}{r^2}.\frac{dv}{d.\sin\theta}\) on admet que \(\sin\theta\) devienne égal au rayon du cercle dont le rayon est \(r\) on aura \(\frac{\sin\theta}{r^2}\frac{dv}{d\sin.\theta}=\frac{1}{r}.\frac{dv}{dr}\). et parconséquent l'équation devient \[\frac{d^2v}{dx}+\frac{d^2v}{dy^2}+\frac{d^2v}{dz^2}=\frac{d^2v}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{dv}{dr}+\frac{1}{r^2}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}\] qui est en effet celle dela plaque. Dans « \(r\sin.\theta\) est alors le rayon entier », le \(r\) est repassé et pris dans un pâté. Après « l'expression », en fin de ligne, un pâté ; la ligne suivante commence par « sin. », que le sens rattache à « l'expression ». « \(\frac{d^2v}{dx}\) » : l'exposant du dénominateur manque sur la page.

On peut arriver a l'équation du cône en considérant la quantité de chaleur qui pendant l'instant \(\underline{dt}\) entre par les trois faces qui appartiennent a l'élément de ce solide l'une de ces quantités sera \(Kr^2\sin\theta\cos\theta\,d\theta\,d\varphi.\frac{dv}{dr}\) l'autre seroit \(Kr\sin\theta\,d\varphi\,dr.\frac{dv}{r\,d\theta}\) si la direction \(\frac{dv}{r\,d\theta}\) étoit perpendiculaire a la face \(r\sin\theta\,d\varphi\,dr\) mais comme elle est oblique et que l'inclinaison dont il s'agit est mesurée par l'angle \(\theta\) cette quantité doit être multipliée par \(\cos.\theta\) et elle devient \(Kr\sin.\theta\cos\theta\,d\varphi\,dr.\frac{dv}{r\sin\theta}\) enfin la troisième seroit \(Kr\cos\theta\,d\theta\,dr.\frac{dv}{r\sin.\theta\,d\varphi}\). Le \(K\) est une capitale à boucle, proche d'un k. Dans « \(\frac{dv}{r\sin\theta}\) », à la fin de l'avant-dernière ligne, le dénominateur ne porte pas de différentielle ; ainsi sur la page. La page s'arrête sur ce terme ; la suite n'est pas dans ce lot.

716

En haut à droite, à l'encre : 352. Aucune autre numérotation. En tête, au milieu, souligné, le mot « Cone ». Feuillet monté sur sa feuille, couvert de calculs d'une main rapide jusqu'au bord inférieur ; son revers, vue 717, porte d'autres calculs. Le sujet est celui des vues 712–713 (feuillet 350) : le changement de variables des coordonnées \(x\), \(y\), \(z\) aux coordonnées \(r\), \(\theta\), \(\varphi\) dans \(\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{d^2v}{dy^2}+\frac{d^2v}{dz^2}\), pour le cône ; ce feuillet en donne le détail, que le feuillet 350 reprenait au net. Rien ne dit lequel fut écrit d'abord.

Cone

\[\frac{dr}{dx}=\sin\theta\cos.\varphi\qquad \frac{d.\sin\theta}{dx}=\frac{\cos^2\theta\cos\varphi}{r}\qquad \frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\sin\varphi}{r\sin\theta}\] \[\frac{dr}{dy}=\sin.\theta\sin.\varphi\qquad \frac{d.\sin.\theta}{dy}=\frac{\cos^2\theta\sin\varphi}{r}\qquad \frac{d\varphi}{dy}=\frac{\cos\varphi}{r\sin\theta}\] \[\frac{dr}{dz}=\cos.\theta\qquad \frac{d.\sin.\theta}{dz}=-\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}\] Le signe \(=\) de la première ligne est tracé à trois traits ; les autres à deux. Dans « \(\frac{\cos^2\theta\cos\varphi}{r}\) », le « cos » de \(\varphi\) est récrit à l'encre épaisse.

\[\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dr}\sin.\theta\cos.\varphi+\frac{dv}{d.\sin\theta}.\frac{\cos^2\theta\cos\varphi}{r}-\frac{dv}{d\varphi}.\frac{\sin\varphi}{r\sin\theta}\] \[\frac{dv}{dy}=\frac{dv}{dr}\sin.\theta\sin.\varphi+\frac{dv}{d.\sin.\theta}\frac{\cos^2\theta\sin.\varphi}{r}+\frac{dv}{d\varphi}.\frac{\cos.\varphi}{r\sin.\theta}\] \[\frac{dv}{dz}=\frac{dv}{dr}\cos\theta-\frac{dv}{d.\sin\theta}.\frac{\cos\theta\sin\theta}{r}\]

\[\frac{d^2v}{dx^2}=\sin\theta\cos.\varphi\left\{\frac{d^2v}{dr^2}.\frac{dr}{dx}+.\frac{d^2v}{dr\,d.\sin\theta}.\frac{d\sin\theta}{dx}+\frac{d^2v}{dr\,d\varphi}.\frac{d\varphi}{dx}\right\}\] \[+\frac{dv}{dr}\left\{\cos\varphi\frac{d.\sin\theta}{dx}-\sin\theta.\sin\varphi\frac{d\varphi}{dx}\right\}\] \[+\frac{\cos^2\theta\cos.\varphi}{r}\left\{\frac{d^2v}{d\sin\theta.dr}.\frac{dr}{dx}+\frac{d^2v}{d.\sin\theta.d\varphi}.\frac{d\varphi}{dx}+\frac{d^2v}{(d.\sin\theta)^2}.\frac{d.\sin\theta}{dx}\right\}\] \[-\frac{dv}{d.\sin\theta}\left\{\frac{\sin\varphi\cos^2\theta}{r}\frac{d\varphi}{dx}+\frac{\cos^2\theta\,\struck{\sin\theta}}{r^2}\frac{dr}{dx}\right\}\] \[-\frac{\sin\varphi}{r\sin\theta}\left\{\frac{d^2v}{d\varphi\,dr}.\frac{dr}{dx}+\frac{d^2v}{d\varphi\,d.\sin\theta}.\frac{d.\sin\theta}{dx}+\frac{d^2v}{d\varphi^2}.\frac{d\varphi}{dx}\right\}\] \[-\frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\cos\varphi}{r\sin\theta}\frac{d\varphi}{dx}-\frac{\sin\varphi}{r\sin^2\theta}.\frac{d\sin.\theta}{dx}-\frac{\sin\varphi}{r^2\sin\theta}\frac{dr}{dx}\right\}\] \[=\frac{d^2v}{dr^2}.\sin^2\theta\cos^2\varphi+\frac{d^2v}{d.\sin\theta\,dr}.2\frac{\sin\theta\cos^2\theta\cos^2\varphi}{r}\ \uncertain{-}\ \frac{d^2v}{dr\,d\varphi}.\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r}\] \[+\frac{d^2v}{(d\sin\theta)^2}\frac{\cos^4\theta\cos^2\varphi}{r^2}-\frac{d^2v}{d.\sin\theta\,d\varphi}.\frac{2\cos^2\theta\cos\varphi\sin\varphi}{r^2\sin\theta}+\frac{d^2v}{d\varphi^2}\frac{\sin^2\varphi}{r^2\sin^2\theta}\] \[+\frac{dv}{dr}\left\{\frac{\cos^2\theta\cos^2\varphi}{r}+\frac{\sin^2\varphi}{r}\right\}\] \[-\frac{dv}{d.\sin\theta}\left\{\struck{\frac{\cos^2\theta\,\ill{}}{r^2}}\ \frac{\cos^2\theta\sin\theta\cos^2\varphi}{r^2}-\frac{\sin^2\varphi\cos^2\theta}{r^2\sin\theta}\right\}\] \[+\frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\cos\varphi\sin\varphi}{r^2\sin^2\theta}+\frac{\cos^2\theta\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin^2\theta}\ \uncertain{+}\ \frac{\sin\varphi\cos\varphi}{r^2}\right\}\] Le « sin » barré dans le terme en \(\frac{dv}{d.\sin\theta}\), au numérateur de \(\frac{\cos^2\theta\sin\theta}{r^2}\), est pris dans une surcharge. Au début de l'accolade de la ligne « \(+\frac{dv}{dr}\{\ldots\}-\frac{dv}{d.\sin\theta}\{\ldots\}\) », un premier numérateur est barré et noyé dans un gros pâté ; on y lit « cos\(^2\theta\) » et rien d'autre ; au-dessus, « sin\(^2\varphi\) » barré. Le numérateur gardé, « cos\(^2\theta\) sin \(\theta\) cos\(^2\varphi\) », est écrit sous la ligne, sur le dénominateur \(r^2\). Deux pâtés tiennent la place d'un signe : devant \(\frac{d^2v}{dr\,d\varphi}\) et devant le dernier terme de la dernière accolade ; on les offre comme \(-\) et \(+\) d'après les lignes voisines, sous réserve.

\[\frac{d^2v}{dy^2}=\frac{d^2v}{dr^2}\sin^2\theta\sin^2\varphi+\frac{d^2v}{d\sin\theta.dr}.\frac{2\sin\theta\cos^2\theta\sin^2\varphi}{r}+\frac{d^2v}{dr\,d\varphi}.\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r}\] \[+\frac{d^2v}{(d.\sin\theta)^2}\frac{\cos^4\theta\sin^2\varphi}{r^2}+\frac{d^2v}{d.\sin\theta\,dr}2\cos^2\theta\cos\varphi\sin.\varphi+\frac{d^2v}{d\varphi^2}.\frac{\cos^2\varphi}{r^2\sin^2\theta}\] \[+\frac{dv}{dr}\left\{\frac{\cos^2\theta\sin^2\varphi}{r}+\frac{\cos^2\varphi}{r}\right\}\] \[+\frac{dv}{d.\sin\theta}\left\{\frac{\cos^2\theta\cos^2\varphi}{r^2\sin\theta}-\frac{\cos^2\theta\sin\theta\sin^2\varphi}{r^2}\right\}\] \[\uncertain{-}\ \frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\cos\varphi\sin.\varphi}{r^2\sin^2\theta}+\frac{\cos^2\theta\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin^2\theta}\ \uncertain{+}\ \frac{\sin\varphi\cos\varphi}{r^2}\right\}\] « \(\frac{d^2v}{dy}\) » au premier membre, sans l'exposant du dénominateur. À la deuxième ligne, le terme en \(2\cos^2\theta\cos\varphi\sin.\varphi\) n'a pas de dénominateur, et sa différentielle est écrite « \(d.\sin\theta\,dr\) » là où la ligne correspondante de \(\frac{d^2v}{dx^2}\) porte \(d.\sin\theta\,d\varphi\) ; on garde la page. Deux pâtés encore tiennent la place de signes, devant \(\frac{dv}{d\varphi}\) et devant le dernier terme ; même réserve.

\[\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{d^2v}{dy^2}=\sin^2\theta.\frac{d^2v}{dr^2}+2\frac{\sin\theta\cos^2\theta}{r}.\frac{d^2v}{d.\sin\theta\,dr}+\frac{\cos^4\theta}{r^2}.\frac{d^2v}{(d.\sin\theta)^2}+\frac{d^2v}{d\varphi^2}.\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\] \[+\left(\frac{\cos^2\theta}{r}+1\right)\frac{dv}{dr}+\left\{\frac{\cos^2\theta}{r^2\sin\theta}-\frac{\cos^2\theta\sin\theta}{r^2}\right\}\frac{dv}{d\sin\theta}+\struck{\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin^2\theta}.\frac{dv}{d\varphi}}\] Le dernier terme est barré de trois traits obliques. « \(\left(\frac{\cos^2\theta}{r}+1\right)\) » : le \(1\) est écrit à la hauteur de la barre de fraction, hors du numérateur, et sans \(r\) ; on le garde tel.

\[\frac{d^2v}{dz^2}=\cos^2\theta\frac{d^2v}{dr^2}-2\frac{\sin\theta\cos^2\theta}{r}.\frac{d^2v}{d.\sin\theta\,dr}+\frac{\sin^2\theta\cos^2\theta}{r^2}\frac{d^2v}{(d\sin\theta)^2}+(\struck{\ill{}}\,\frac{\sin\theta\cos^2\theta}{r^2}\frac{dv}{d.\sin\theta}\] \[\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{d^2v}{dy^2}+\frac{d^2v}{dz^2}=\frac{d^2v}{dr^2}+\left(\frac{\cos^2\theta+1}{r}\right)\frac{dv}{dr}+\frac{\cos^2\theta}{r^2}.\frac{d^2v}{(d\sin\theta)^2}\] \[+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}+\left\{\frac{\cos^2\theta}{r^2\sin\theta}+\frac{\sin\theta\cos^2\theta}{r^2}\right\}\frac{dv}{d.\sin\theta}\] Dans la ligne de \(\frac{d^2v}{dz^2}\), la parenthèse ouvrante du dernier terme est suivie d'un signe ou d'une lettre récrits à l'encre épaisse, qui ne se lisent pas. Au dernier terme de la somme, le facteur \(\frac{dv}{d.\sin\theta}\) est écrit sous l'accolade, au bord droit.

en fesant varier par rapport a \(d\) \(\sin\theta\). \(\cos\theta\) et \(\cos^2\theta\) Dans \(\frac{dv}{dz}\), \(\frac{dv}{dx}\), et \(\frac{dv}{dy}\) cette équation devient \[\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{d^2v}{dy^2}+\frac{d^2v}{dz^2}=\frac{d^2v}{dr^2}+\frac{2}{r}\frac{dv}{dr}+\frac{\cos^2\theta}{r^2}.\frac{d^2v}{(d.\sin\theta)^2}+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}+\left\{\frac{\cos^2\theta}{r^2\sin\theta}-\frac{\sin\theta}{r^2}\right\}.\frac{dv}{d.\sin\theta}\] Si on prend \(r\) infini cequi est le cas du cylindre on a en même tems \(\sin=0\) \(\cos=1\) le second membre devient \(\frac{d^2v}{dr^2}+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}+\frac{d^2v}{d(r\sin\theta)^2}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{dv}{d(r\sin\theta)}\) Les deux lignes de prose sont écrites vite, entre les calculs. La première, « en fesant varier par rapport a \(\sin\theta\). \(\cos\theta\) et \(\cos^2\theta\) », semble expliquer le passage de la somme précédente à la suivante ; le « d » devant \(\sin\theta\) est barré. « Dans \(\frac{dv}{dz}\) » : le numérateur est récrit sur une autre lettre. La page s'arrête au bord inférieur du feuillet, sur la même conclusion qu'à la vue 712 : l'équation du cylindre.

718

Deux pièces sur la même feuille de montage. En haut, un feuillet numéroté en haut à droite, à l'encre, 353 ; en bas à droite, un petit feuillet numéroté 354. Le bord supérieur du feuillet 353 dépasse à la vue 714, où son nombre se lit en partie au-dessus du feuillet 351. Aucune autre numérotation.

Feuillet 353. De ce côté, deux lignes seulement, à l'endroit, en tête ; tout le reste de ce qui se voit sur la page (un tableau et un raisonnement barrés d'une grande croix) est l'écriture du revers, vue 719, lue par transparence, et n'est pas repris ici. Les deux lignes finissent une phrase dont le début n'est ni sur ce feuillet ni à la vue précédente écrite.

est non résidu d'un nombre premier de la même forme \(4k+3\) « \(4k+3\) » : le 4 a la forme d'un L, comme au petit feuillet ci-dessous (« \(4k+3\) », « \(4K+3\) ») ; le trait oblique qui touche le 3 est celui de la croix du revers, vu par transparence.

Petit feuillet 354, écrit sur toute sa hauteur d'une main régulière ; la suite est au revers, vue 719, en bas. Le texte s'ouvre sur « Ici, l'auteur », dans la manière des remarques qu'elle écrit en marge d'une lecture : l'auteur n'est pas nommé.

Ici, l'auteur ne dit rien des nombres de la forme \(4k+3\).

J'observe que l'on peut démontrer que les nombres \(12n+7\) (lesquels font partie de ceux \(4K+3\)) sont non résidus pour quelques nombres premiers moindres que les nombres dont il s'agit.

En effet si on prend pour \(a\) le nombre pair immédiatement plus grand que \(\sqrt{\frac{p}{3}}\), en fesant \(p=12n+7\) \(3aa-p\) sera \(<\) que \(p\) et de la forme \(12K+5\). or en examinant tous les produits des nombres non divisibles par 12 on voit qu'un nombre \(12K+5\) a pour facteur un nombre de la forme \(12K+1\) et un de celle \(12K+5\). ou est le produit de \(12K+11\) par \(12K+7\) dans le premier cas soit \(12K+5=q\) on aura \(3aa\equiv p\) (mod. \(q\)) mais pour les nombres \(12K+5\) \(+3\) et \(-3\) sont non résidus et parconséquent \(p\) est non résidu (mod \(q\)) Dans le second soit \(q=12K+7\) on a a cause de \(-3\) résidu, mais \(+3\) non résidu (mod. \(q\)) \(p\) non résidu même modul. On peut démontrer la même chose pour les nombres \(12K+5\). « Ici » : le I est une grande boucle, lu d'après le sens. « ne dit » est écrit « nedit ». « quelques nombres » est écrit « quelquesnombres ». « \(<\) que » : le signe est un petit Z couché, comme son signe « plus petit que » ; la phrase le dit en toutes lettres au revers (« sera plus petit que \(p\) »). « \(3aa-p\) » est ainsi écrit ; le revers, pour \(p=12n+5\), écrit \(p-3aa\). « ou est le produit » : l'alternative est entre deux décompositions de \(12K+5\) ; on garde « ou » tel qu'il est écrit. « modul. » est abrégé ainsi. Le signe de congruence est le sien, à trois traits.

719

Revers des deux feuillets de la vue 718, sur la même feuille de montage. Le revers du feuillet 353, en haut, est écrit tête-bêche par rapport à la vue : il se lit en retournant l'image de 180°, et il est barré d'une grande croix à la plume. Le revers du petit feuillet 354, en bas, se lit à l'endroit ; le « 354 » qu'on voit à l'envers en tête est celui du recto, lu par transparence. Aucun nombre n'est écrit de ce côté. On donne d'abord le revers du feuillet 354, qui continue la vue 718, puis celui du feuillet 353.

Revers du petit feuillet 354. Il écrit pour \(p=12n+5\) ce que le recto annonçait (« On peut démontrer la même chose pour les nombres \(12K+5\) »). Le bas du feuillet est blanc, à l'écriture du recto près, lue par transparence.

en effet soit \(a\) le nombre pair immédiatement plus petit que \(\sqrt{\frac{p}{3}}\) dans lequel \(p=12n+5\) \(p-3aa\) sera plus petit que \(p\) ce nombre sera de la forme \(12K+5\) et on conclura comme cidessus qu'il doit être le produit de \(12K+5\) par \(12K+1\). ou celui de \(12K+11\) par \(12K+7\). d'où il résulte que dans le premier cas \(p\) est non résidu (mod \(12K+5\)) et dans le second non résidu (mod \(12K+7\)) « immédiatement » est écrit jusqu'au bord du feuillet, la fin serrée. La phrase finit sans point, et un trait horizontal la sépare du bas du feuillet.

Revers du feuillet 353, lu la vue retournée. Toute la page est barrée d'une grande croix, deux longs traits qui se coupent vers le milieu ; le texte reste lisible dessous et on le donne en entier, sans le marquer comme biffé.

A l'égard des nombres \(120k+1\) il n'y a qu'a prendre un nombre \(10n+2>\sqrt{\frac{5}{2}.120k+1}\) \(2(10n+2)^2-5(120k+1)\) sera un nombre dela forme \(40k+11\) mais pour les nombres \(8u+3\) (ou 11) 2 est non résidu et pour les nombres \(20k+11\) 5 est résidu (ou 19) donc si \(40k+11\) est le produit des deux facteurs \(40k+1\), \(40k+11\) et que l'on fasse \(4k+11=q\) \(2(10n+2)^2\equiv 5(120k+1)\) (mod \(q\)) a cause de 2 non résidu le premier membre est non résidu et parconséquent a cause de 5 résidu \(120k+1\) non résidu (mod. \(q\))

1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39 \[\begin{array}{lll} 29.39\equiv 11 & q=40k+29 & \text{2 non résidu 5 résidu}\\ 9.19\equiv 11 & q=40k+19 & \text{2 non résidu 5 résidu}\\ 21.31\equiv 11 & q\equiv 40k+21 & \text{2 non résidu 5 résidu}\\ 33.27\equiv 11 & q\equiv 40k+27 & \text{2 non résidu 5 résidu}\\ 7.13\equiv 11 & q\equiv 40k+13 & \text{2 non résidu 5 résidu}\\ 37.23\equiv 11 & q\equiv 40k+37 & \\ 3.17\equiv 11 & & \end{array}\] Les deux parenthèses de la troisième et de la quatrième ligne se lisent « (lu 11) » et « (lu 19) » : on les offre comme « ou 11 », « ou 19 », d'après le sens, sous réserve ; ce pourraient être des renvois. « \(4k+11=q\) » : ainsi sur la page, sans le 0 que portent les « \(40k+11\) » qui précèdent. Dans le tableau, le premier facteur de « \(7.13\) » est un 7 pris dans un pâté, qui se lit aussi « 07 » ; \(7\cdot 13=91\equiv 11\) (mod 40), comme les autres produits de la colonne, appuie 7. La deuxième colonne passe du signe \(=\) au signe \(\equiv\) à la troisième ligne ; on garde les signes de la page. La ligne « \(37.23\equiv 11\) » s'arrête sur \(q\equiv 40k+37\), suivie d'un trait, et « \(3.17\equiv 11\) » n'a pas de seconde colonne. Au-dessous, à l'envers de cette lecture, les deux lignes du recto, « est non résidu d'un nombre premier de la même forme », se lisent par transparence.

720

Deux feuillets sur la même feuille de montage : en haut, un feuillet numéroté en haut à droite, à l'encre, 355 ; plus bas, un feuillet plus grand numéroté 356. Sur le premier, à droite, le cachet rond de la Bibliothèque impériale. Aucune autre numérotation. Même sujet qu'aux vues 718–719 : les nombres premiers \(4k+3\), pris positivement ou négativement, non-résidus d'un nombre premier moindre ; le feuillet 355 nomme Gauss et son article 125.

Feuillet 355, écrit sur ses deux tiers ; le bas est blanc.

En examinant la manière dont Gauss démontre (N.o 125) que tout nombre premier \(p=4n+1\) pris negativement est non résidu d'un nombre premier moindre que \(p\) on voit que la même demonstration seroit applicable au cas ou \(p\) ne seroit pas premier desorte que l'on peut affirmer que tout nombre dela forme \(\uncertain{4n+1}\) pris négativement est non résidu de quelque nombre premier moindre que lui et dela forme \(4n+3\). On voit dans la feuille ci-jointe que tout nombre dela forme \(4K+3\) pris négativement est non résidu d'un nombre de la premier de la même forme et moindre que lui il résulte des ces remarque que : Tout nombre impair \(2N+1\) pris avec le signe \(-\) est non résidu d'un nombre premier dela forme \(4K+3\) et \(<\) que \(2N+1\) « Gauss » : le G est une grande boucle ouverte, le nom se lit. « (N.o 125) » : N suivi d'un petit o surélevé, puis 125. Le 4 de « \(4n+1\) », « \(4K+3\) » a la forme d'un L, comme aux vues 718–719. À la cinquième ligne, le premier chiffre de « \(4n+1\) » est récrit et le dernier est pris dans une surcharge ; le sens, qui reprend le cas de la première ligne, appuie la lecture. « \(2N+1\) » est écrit au-dessus de « impair », sans signe d'insertion ; on le place là où il est écrit. « des ces remarque » : ainsi sur la page. « \(<\) » : son signe « plus petit que », un petit Z couché.

Feuillet 356, écrit sur toute sa hauteur ; au pied, sous un trait, une remarque d'une plume plus épaisse, et deux notes dans la marge de gauche, appelées par une croix.

Je me propose de démontrer qu'un nombre quelconque de la forme \(4K+3\), pris, tant avec le signe \(+\), qu'avec le signe \(-\), est non résidu de quelque nombre premier moindre que lui.

D'abord soit \(p=4K+3\) et soit proposé de prouver que \(-p\) est non résidu d'un nombre \(<\) que lui. Prenons \(2a\) pour le nombre pair immédiatement \(<\sqrt{p}\) \(p-4aa\) sera positif et de la forme \(4K+3\) et deplus ce nombre est évidemment \(<\) que \(p\). il est clair que \(p-4aa\) est premier ou divisible par un nombre premier de la forme \(4K+3\). soit \(q\) ce nombre on aura \(p\equiv 4aa\) (mod. \(q\)) c'est adire \(p\) résidu (mod. \(q\)) et parconséquent \(-p\) non résidu.

Pour les nombres premiers \(4K+3\) positivement pris nous distinguerons deux cas premièrement si \(p\) est dela forme \(8n+3\). soit \(a\) un nombre quelconque soit \(2a\) le nombre pair immédiatement […] que \(\sqrt{\frac{p}{2}}\). \(p-8aa\) sera dela forme \(8n+3\) et moindres que \(p\). ce nombre sera ou premier ou le produit des facteurs \(8K+1\) \(8K+3\) et \(8K+7\) \(8K+5\) et a cause de 2 non résidu (mod. \(8K+3\)) et (mod. \(8K+5\)) nommons \(q\) le facteur de l'une de ces formes qui divise \(p-8aa\) on aura \(p\equiv 2(2a)^2\) (mod. \(q\)) d'où il résulte \(p\) non résidu même modul. « soit \(a\) un nombre quelconque » : la fin de la ligne est barrée d'un trait continu ; « quelconque » se devine sous le trait. Le signe entre « immédiatement » et « que \(\sqrt{\frac{p}{2}}\) » est noyé dans un pâté : on attendrait \(<\) ou \(>\), et on ne le lit pas. Les deux « et » donnés comme biffés, entre les paires de facteurs, sont couverts chacun d'une tache d'encre ; peut-être seulement surchargés. « moindres » : ainsi, au pluriel.

Secondement si \(p\) est dela forme \(8K+7\). soit \(a\) un nombre impair \(<\) que \(\sqrt{\frac{p}{2}}\) \(p-2aa\) sera dela forme \(8K+5\) or tout nombre \(8K+5\) s'il n'est premier a pour facteur \(8K+1\) et \(8K+5\), ou \(8K+7\) et \(8K+3\) nommons donc \(q\) le facteur de l'une des formes \(8K+5\) et \(8K+3\) qui divise \(p-2aa\) et nous concluerons comme ci-dessus \(p\equiv 2aa\) (mod. \(q\)) \(p\) non résidu (mod. \(q\)).

La condition que \(2a\) soit immédiatement plus petit de \(\sqrt{p}\), dans le premier cas démontré, et […] \(\sqrt{\frac{p}{2}}\) dans le second, est évidemment superflue\(^{+}\) il suffit de prendre \(2a<\) que \(\sqrt{p}\) et \(2a<\sqrt{\frac{p}{2}}\). \(+\) laquelle a l'avantage d'être plus aisée a remplir La note marginale, en quatre lignes serrées dans la marge de gauche en face du pied du feuillet, est appelée par la croix qui suit « superflue » ; « l'avantage » est écrit « l'avantage » d'un seul trait, « aisée » et « remplir » sont de lecture douteuse, le dernier mot souligné. Le mot biffé devant \(\sqrt{\frac{p}{2}}\) est repassé d'un gros trait et ne se lit pas ; peut-être un début de « effectivement ». Le \(p\) de « \(<\) que \(\sqrt{p}\) » est à demi effacé. « \(8K+7\) et \(8K+3\) » : le premier 8 ressemble à un 6.

Le but de l'auteur étant de passer au théorème fondamental, il s'est borné a demontrer que les nombres\(^{+}\) tant positifs que négatifs sont non résidus. Il faut examiner si on ne pourroit pas faire usage dela même pro. pour en \(4k+3^{+}\) Ces deux lignes, au pied du feuillet sous un trait horizontal, sont d'une plume plus épaisse et d'une écriture plus serrée. La marque qui suit « les nombres », en fin de ligne, est un signe d'appel, et la marge de gauche porte en face, sous la note précédente, « \(4k+3\) » suivi du même signe : on lit donc « les nombres \(4k+3\) tant positifs que négatifs ». « l'auteur » est Gauss, que nomme le feuillet 355, et son « théorème fondamental » ; c'est une inférence du transcripteur, la ligne ne le nomme pas. La dernière ligne s'arrête au bord inférieur du feuillet sur « pour en », après une abréviation « pro. » dont la fin se perd : la suite n'est pas sur ce feuillet.