701Vue 7011 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Si [?] par le pôle dela sphère on mène un nombre infini de méridien et qu'on {{Rature|1=fait [?]}} trace en même tems un nombre infini de parallèles la surface hemisphérique sera partagée en un nombre infini dequadrilatères rectangulaires les quadrilatères compris entre deux parallèles seront [?] tous plus grands que les quadrilatères qui en nombre égal composent la zone comprise entre l'un des mêmes parallèles et le suivant {{Rature|1=c'est ce q}} car {{Rature|1=et}} mais comme chacun de ces quadrilatères est supposé infiniment petit la difference entre ceux qui composent deux zones contiguës doit être négligeable ala {{Illisible}}. Si on suppose que sur l'un des côtés méridiens d'un des parallélogrammes [qui s'appuyent sur l'equateur] il existe un foyer {{Rature|1=de chaleur}} qui envoye une quantité <math>f</math> de chaleur, que <math>f\ f'\ f''\ f'''</math>&c soient les {{Rature|1=quantités de chaleur qui partent par les côtés méridiens des differens}} temperatures de differens parallelogrammes qui s'appuient sur l'equateur <math>a\ a'\ a''\ a'''</math>&c les temperatures des parallelogrammes qui ont {{Rature|1=s'appuient}} sur le premier parallèle <ref>« Si » : les premières lettres ressemblent à « ti » ; c'est la forme que prend son ''s'' initial dans « si on suppose », plus bas sur la même page, d'où la lecture. « seront » est récrit sur un autre mot, et l'ensemble se lit aussi « sauront ». Le mot barré après « qu'on » pourrait être « fait » ou « faire ». Après « négligeable », au début de la ligne suivante, « ala » puis un mot de quatre ou cinq lettres qui se lit « poté » et ne donne pas de sens ; il est laissé illisible. « qui s'appuyent sur l'equateur » est écrit au-dessus de la ligne, d'une plume plus fine, au-dessus de « il existe un foyer ». La page passe de « quadrilatères » à « parallélogrammes » pour les mêmes éléments. La phrase s'arrête sur « sur le premier parallèle », « ont » restant sans complément après la rature de « s'appuient » ; le reste du feuillet est blanc.</ref>

704Vue 7042 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Voici encore une autre demonstration dela propriété du nombre 2 d'être résidu ou non résidu des nombres premiers suivant leurs formes par rapport a 8. mais celle-ci ne peut servir pour distinguer les nombres <math>8K+5</math> des nombres {{Rature|1=dans les quels}} <math>8K+1</math> dans lesquels <math>K</math> est divisibles par une puissance paire de 2.

On peut aumoins demontrer que pour les nombres <math>4K+3</math> 2 est [non] résidu lorsque <math>K</math> est pair et {{Rature|1=non}} résidu lorsque <math>K</math> est impair en effet <math>K</math> étant <math>=2K'</math> <math>p=4K+3=8K'+2+1</math> <math>-1\equiv 2(4K'+1)</math> <math>-1</math> est non résidu ; <math>4K'+1</math> a un nombre pair de facteurs de laforme <math>4h-1</math> parconséquent, comme tous les facteurs premiers de <math>4K'+1</math> {{Rature|1=son}} dela forme <math>4h+1</math> sont résidus et que ceux dela forme <math>4h-1</math> pris avec le signe <math>-</math> sont egalement résidus le produit <math>4K'+1</math> est résidu {{Rature|1=pa}} d'où il résulte 2 non résidu. Au contraire lorsque <math>K=2K'+1</math> <math>p=8K'+7=2(4K'+3)+1</math>, <math>-1\equiv 2(4K'+3)</math> <math>4K'+3</math> a un nombre impair de facteurs dela forme <math>4h-1</math> parconséquent c'est <math>-(4K'+3)</math> au lieu de <math>4K'+3</math> qui est résidu et 2 est alors résidu. car <math>1\equiv -2(4K'+3)</math> <ref>Le 3 de « <math>4K+3</math> », de « <math>4K'+3</math> » et de « <math>2(4K'+3)</math> » a la longue queue qui le fait lire 9 ; « <math>p=4K+3=8K'+2+1</math> » et l'argument établissent 3. Dans « <math>8K'+2+1</math> », le 8 est récrit sur un autre chiffre, sans doute un 4. Le « non » ajouté au-dessus de « résidu », à la première ligne de l'alinéa, remplace le « non » biffé de la ligne suivante. Pour la forme des facteurs, la lettre est une petite ''h'' (« <math>4h-1</math> », « <math>4h+1</math> ») là où les nombres étudiés ont une capitale <math>K</math> ; au début de la ligne « <math>4h-1</math> parconséquent » et dans « <math>4h+1</math> sont résidus » la lettre est récrite sur une autre, peut-être <math>K'</math>. Le signe de congruence à trois traits est le sien.</ref>

On peut encore démontrer que 2 est résidu pour les nombres <math>4n+1</math> dans lesquels <math>n</math> est divisible par une puissance impaire de 2

En effet soit <math>N</math> pairement pair et <math>2n=N</math> <math>4n+1=2N+1=p</math>, <math>-1</math> est résidu (mod. <math>p</math>) aussi bien que tous les facteurs premiers de <math>N</math> et parconséquent leur produit et <math>N</math> lui même puis qu'il est supposé ne contenir qu'une puissance paire de 2 donc a cause de <math>-1\equiv 2N</math> 2 est aussi résidu. mais on voit que cette methode n'apprend rien pour le cas <math>p=2^{2m}n+1</math> — <ref>« tous les facteurs premiers de <math>N</math> » : ses facteurs premiers impairs, puisque <math>N</math> est pairement pair ; la page ne le précise pas. « qu'une » est écrit serré, comme « q'uune ». Dans « <math>p=2^{2m}n+1</math> », « <math>2m</math> » est écrit au-dessus du 2. La page finit sur un trait horizontal.</ref>

706Vue 7062 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Observations sur les nombres premiers de la forme <math>4n+1</math> considérés comme résidus d'autres nombres premiers demême forme

Si on a un nombre premier <math>P=4N+1</math> tel que <math>P</math> soit résidu de <math>p=4n+1</math> <math>-P</math> sera egalement résidu (mod <math>p</math>) ; on aura donc <math>X^2\equiv -P</math> (mod <math>p</math>) ou <math>X^2+P=Mp</math>.

Comme il est demontré d'ailleurs que tout nombre premier de la forme <math>4n+1</math> est la somme de deux quarrés, on a sans aucune nouvelle{{Rature|1=s}} supposition{{Rature|1=s}}, et en observant que quelque soit <math>M</math> il peut toujours etre considéré comme la somme de quatre quarrés. et mettant <math>A^2+B^2</math> au lieu de <math>P</math>, <math>a^2+b^2</math> au lieu de <math>p</math> et <math>p^2+q^2+r^2+s^2</math> au lieu de <math>M</math> ; <math>X^2+A^2+B^2=(a^2+b^2)(p^2+q^2+r^2+s^2)</math>
<math display="block">=(ap\pm bq)^2+(pb\mp qa)^2+(ar\pm bs)^2+(as\mp br)^2</math>
On peut supposer <math>ap=bq</math>, <math>pb+qa=A</math> <math>ar\pm bs=B</math> <math>as\mp br=X</math> Des deux premières équations il résulte ; d'abord dela première, a cause de <math>a</math> et <math>b</math> premiers entr'eux, <math>p=bm</math>, <math>q=am</math>, et dela seconde <math>A=m(b^2+a^2)</math> On auroit encore pû supposer <math>A=ap+bq</math>, <math>pb=qa</math> d'où il résulteroit <math>p=am'</math> <math>q=bm'</math> <math>A=m'(b^2+a^2)</math>, c'est adire que <math>A</math> se réduiroit toujours au produit du nombre premier <math>p</math> par un nombre quelconque. Comme il est indifferent de prendre <math>r</math> et <math>s</math> au lieu de <math>p</math> et <math>q</math> puisque les quantités que ces lettres representent ne sont assujetties a aucune condition particulière, on voit que les suppositions que l'on vient d'examiner sont les seules par lesquelles on puisse égaler terme a terme les deux membres de l'équation que l'on considère ; car, si on fesoit <math>A=pb\pm qa</math> et <math>B=ap\mp qb</math>, il en résulteroit <math>A^2+B^2=(a^2+b^2)(p^2+q^2)</math>, c'est adire, que, <math>A^2+B^2</math> ne pourroit être un nombre premier <ref>La lettre <math>p</math> sert à la fois pour le nombre premier <math>4n+1</math> et pour l'un des quatre carrés de <math>M</math> ; la page ne les distingue pas, et on les laisse tels. Les capitales <math>P</math> et <math>X</math> ont un tracé propre, distinct de <math>p</math> et de <math>x</math>. « nouvelles suppositions » : le ''s'' final des deux mots est barré d'une petite croix, ce qui ramène au singulier (voir hand.md, v. 314). Dans « <math>A^2+B^2</math> ne pourroit », les exposants sont écrits au-dessus des lettres, un peu décalés.</ref>

[''en marge :'' c'est adire par ces manieres que en produisent [?] aucune] N.ota Je ne vois pas d'ailleurs que l'on puisse affirmer que le produit de deux nombres qui ne seroient, l'un et l'autre décomposables en 4 quarrés que d'une seule façon, ne le soit que de <math>\underline{2}</math> <ref>« N.ota » : un N suivi de « ota » en exposant, souligné. La note marginale est écrite en quatre lignes serrées dans la marge de gauche, en face des deux dernières lignes, la dernière sur le bord même du feuillet ; un petit signe en forme de point d'exclamation, entre la note et « décomposables », semble la rattacher à cette ligne. Sa dernière ligne se lit « en produi… aucune », la fin du verbe prise dans une surcharge. La page s'arrête sur le « 2 » souligné, au bord inférieur du feuillet ; le revers est blanc et la suite n'est pas sur la vue suivante écrite (v. 708), qui commence un autre texte.</ref>

708Vue 7082 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

''Théorème''

<math>\underline{n}</math> étant un nombre impair plus grand que l'unité, il est impossible de satisfaire en nombres entiers a l'équation <math>2z^{2n}=y^{2n}+z^{2n}</math>. <ref>Ainsi sur la page : la dernière lettre de l'équation a la forme du <math>z</math> qui la commence, non celle du <math>x</math> de la ligne « z, y et x premiers entr'eux » ; la même équation, quatre lignes plus bas, s'écrit <math>2z^{2n}=y^{2n}+x^{2n}</math>. On garde la lettre écrite. « Théorème » et « Démonstration » sont soulignés, et le <math>n</math> initial l'est aussi.</ref>

''Démonstration''

Nous supposerons comme a l'ordinaire, <math>z</math>, <math>y</math> et <math>x</math> premiers entr'eux et nous observerons que tout diviseur de <math>z^{2n}</math> est nécessairement la somme de deux quarrés.

Cela posé, soit, s'il se peut, <math>2z^{2n}=y^{2n}+x^{2n}</math> et parconséquent <math>z^n=P^2+Q^2</math>, <math>x^n=P^2-Q^2-2PQ</math>, <math>y^n=P^2-Q^2+2PQ</math>. En prenant <math>z=z'z''</math>, <math>x^{n-1}-x^{n-2}y+\&c=H</math>, <math>x^{n-1}+x^{n-2}y+\&c=F</math> <math>z''^n=x^{2n-2}-x^{2n-4}y^2+\&c</math> et <math>2z'^{2n}=x^2+y^2</math> on aura : <math>z'^n=p^2+q^2</math>, <math>x=p^2-q^2-2pq</math>, <math>y=p^2-q^2+2pq</math> d'où on tire
<math display="block">\left.\begin{array}{r} P^2+Q^2=z''^n(p^2+q^2)\\ P^2-Q^2=H(p^2-q^2)\\ 2PQ=2Fpq \end{array}\right\}\ \ldots\ (1)</math>

Il faut encore faire <math>z''^n=U^2+V^2</math> ; la première des équations (1) donne alors <math>P^2+Q^2=(Uq\pm Vp)^2+(Up\mp Vq)^2</math>, <math>P=Uq\pm Vp</math> et <math>Q=Up\mp Vq</math>. En substituant ces valeurs de <math>P</math> et de <math>Q</math> dans les deux dernières des équations (1) elles deviennent
<math display="block">\left.\begin{array}{r} \{U(p+q)\pm V(p-q)\}\{U(q-p)\pm V(p+q)\}=H(p^2-q^2)\\ 2\{(U^2-V^2)pq\pm(p^2-q^2)UV\}=2Fpq \end{array}\right\}\ \ldots\ (2)</math>

On voit par la première que <math>VU</math> doit être divisible par <math>p^2-q^2</math> ; la seconde montre que le même produit <math>VU</math> doit aussi être divisible par <math>pq</math>.

Soit <math>z''^{n-1}=V'^2+U'^2</math>, <math>z''=v^2+u^2</math> et parconséquent
<math display="block">z''^n=U^2+V^2=(U'u\pm V'v)^2+(U'v\mp V'u)^2,\ U=U'u\pm V'v,\ V=U'v\mp V'u,</math>

<math display="block">VU=(U'^2-V'^2)vu\pm(v^2-u^2)V'U'.</math>

Les valeurs de <math>VU</math> données par l'un et l'autre signes devront également satisfaire ; ainsi, leur somme <math>2(U'^2-V'^2)vu</math>, et leur différence, <math>2(v^2-u^2)U'V'</math>, seront l'une et l'autre divisibles par <math>pq(p^2-q^2)</math>.

En supposant, comme on le doit <math>V'</math> et <math>U'</math> premiers entr'eux, <math>U'^2-V'^2</math> et <math>V'U'</math> seront également premiers entr'eux, parconséquent <math>V'U'</math> ne peut avoir d'autre diviseur commun avec <math>2(U'^2-V'^2)vu</math> que le produit <math>\underline{vu}</math>.

Par la même raison <math>U'^2-V'^2</math> ne peut avoir d'autre diviseur commun <ref>Les capitales <math>U</math>, <math>V</math> et les minuscules <math>u</math>, <math>v</math> sont nettement distinctes sur la page : <math>U</math> bouclé en tête comme un <math>\upsilon</math>, <math>V</math> tracé à gros traits, <math>u</math> et <math>v</math> petits. Les accolades des systèmes (1) et (2) sont les siennes, avec les points de suspension devant le numéro. Dans (2), le signe <math>=</math> de la seconde équation est pris dans un pâté. La page s'arrête au bas du feuillet sur « diviseur commun » ; la phrase continue au revers, vue 709.</ref>

709Vue 7091 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

avec <math>2(v^2-u^2)U'V'</math> que le nombre <math>v^2-u^2</math> ; il faut donc que <math>2(v^2-u^2)vu</math> soit divisible par <math>(p^2-q^2)pq</math>.

On ne peut satisfaire a cette condition qu'a l'aide de l'une ou l'autre des suppositions : <math>2(v^2-u^2)vu>pq(p^2-q^2)</math>, <math>2(v^2-u^2)vu=0</math>.

Examinons d'abord la première.

En mettant pour <math>p</math> et <math>q</math> leurs valeurs, <math>2(v^2-u^2)uv>pq(p^2-q^2)</math> donne <math>32(v^2-u^2)vu>2(y^2-x^2)</math>. A cause de <math>2(y-x)=8pq</math> et <math>y+x=2(p^2-q^2)</math>, <math>2(y^2-x^2)</math> est <math>>(x+y)^2</math>. La même supposition donne donc aussi <math>32(v^2-u^2)vu>(x+y)^2</math>.

Il résulte de l'équation <math>2z^{2n}=x^{2n}+y^{2n}</math> que <math>z^{2n}=z'^{2n}(v^2+u^2)^{2n}</math> est plus petit qu'<math>y^{2n}</math>. <math>z'^2(v^2+u^2)^2<y^2</math> et a plus forte raison <math>2z'^2(v^2+u^2)vu<y^2</math>. Il faut encore observer que <math>z'</math> étant impair et la somme de deux quarrés on a <math>z'>4</math> ; parconséquent <math>32(v^2+u^2)vu<2z'^2(v^2+u^2)vu</math> et <math>32(v^2+u^2)vu<y^2</math>. On ne peut donc supposer dans aucun cas <math>32(v^2-u^2)vu>(y+x)^2</math>. <ref>« <math>2(y-x)=8pq</math> et <math>y+x=2(p^2-q^2)</math> » : le mot entre les deux égalités est un signe bref, comme un ''d'' barré, qu'on rend « et ». Les deux inégalités qui précèdent « On ne peut donc » portent <math>(v^2+u^2)</math>, avec le signe <math>+</math>, là où la supposition examinée porte <math>(v^2-u^2)</math> ; la page est donnée telle quelle. « qu'<math>y^{2n}</math> » : l'apostrophe et le <math>y</math> sont liés.</ref>

Voyons a présent quels sont ceux dans lesquels on peut satisfaire a l'équation <math>2(v^2-u^2)vu=0</math>.

Si on prend <math>v^2-u^2=0</math>, les nombres <math>x</math> et <math>y</math> ne pourront être premiers entr'eux ; c'est cequ'il est aisé de voir a l'aide des équations (2) car les quantités <math>F</math> et <math>H</math> ayant alors un commun diviseur, il faudra que <math>\underline{x}</math> et <math>\underline{y}</math> ayent pareillement aussi un diviseur commun.

Si on veut que l'un des facteurs <math>\underline{v}</math> ou <math>\underline{u}</math>, <math>\underline{v}</math>, par exemple, soit nul, on verra de même que <math>\underline{x}</math> et <math>\underline{y}</math> ne pourront être premiers entr'eux que dans le seul cas ou l'on auroit en même tems <math>u=1</math>. Soit donc <math>u=1</math>, <math>v=0</math>, on trouvera <math>U=1</math>, <math>V=0</math>, <math>P=p</math>, <math>Q=q</math>, <math>x^n=x</math>, <math>y^n=y</math> et enfin <math>n=1</math>. Ce cas est donc le seul dans lequel il soit possible de satisfaire a l'équation <math>2z^{2n}=y^{2n}+x^{2n}</math>.

710Vue 7103 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

La même démonstration s'appliqueroit également a l'impossibilité de l'équation <math>2z^{2n}=y^{2(n-2d)}+x^{2(n-2d)}</math> ; il faudroit seulement mettre <math>n-2d</math> au lieu de <math>\underline{n}</math> dans les valeurs de <math>F</math> <math>H</math> et <math>z''^{2n}</math> cequi ne changeroit rien a la forme des équations (1) et (2).

On seroit mené, comme dans le cas du théorème précédent, a l'une ou l'autre des suppositions <math>2(v^2-u^2)vu>pq(p^2-q^2)</math> ou <math>2(v^2-u^2)vu=0</math>. L'impossibilité dela première résulteroit, à plus forte raison dela condition <math>z'^{2n}(v^2+u^2)^{8n\,\text{[?]}}<y^{2n-4d}</math>. La seconde donneroit toujours <math>u=1</math>, <math>v=0</math>, <math>V=0</math>, <math>U=1</math>, <math>P=p</math>, <math>Q=q</math> et parconséquent <math>x^{n-2d}=x</math>, <math>y^{n-2d}=y</math> <math>n-2d=1</math>. <ref>L'exposant de <math>(v^2+u^2)</math> est écrit petit et serré : il se lit « 8n », peut-être « 3n » ; le raisonnement parallèle de la vue 709 porte <math>(v^2+u^2)^{2n}</math>, et l'on attendrait ici <math>2n</math>. On donne ce que montre la page, sous réserve. Dans « <math>x^{n-2d}</math> », le <math>n</math> est repassé d'un trait plus gras.</ref>

En mettant <math>\underline{n}</math> au lieu de <math>n-2d</math> et réciproquement <math>n+2d</math> au lieu de <math>\underline{n}</math> on pourra donc établir le théorème suivant :

Si <math>\underline{n}</math> est un nombre impair plus grand que l'unité, quelque soit d'ailleurs le nombre <math>\underline{d}</math>, il est impossible de satisfaire en nombres entiers a l'équation <math>2z^{2(n+2\,\text{[?]}d)}=x^{2n}+y^{2n}</math> <ref>Le chiffre devant <math>d</math>, dans l'exposant, est tracé d'un trait lourd, comme récrit sur un autre ; la forme est celle d'un 2, et la phrase précédente (« <math>n+2d</math> au lieu de <math>n</math> ») appuie la lecture. Un petit trait horizontal, sous l'équation, sépare cet alinéa du théorème qui suit.</ref>

''Théorème''

Pour toute valeur de <math>\underline{n}</math> plus grande que l'unité il est impossible de satisfaire en nombres entiers a l'équation <math>Z^{2n}=X^{2n}+Y^{2n}</math>.

''Démonstration''

Si l'équation <math>Z^{2n}=X^{2n}+Y^{2n}</math> étoit possible l'un des nombres <math>X</math> et <math>Y</math> seroit pair on auroit donc en prenant <math>X=2xx'</math>
<math display="block">\begin{array}{rl} x&=\ldots\,(x)\\ &=\ldots\,(x)'\\ &=\ldots\,(x)'' \end{array}</math>

<math display="block">\begin{array}{ll} Z^n\pm Y^n=2x'^{2n} & \\ Z^n\mp Y^n=2^{2n-1}x^{2n} & Z\mp Y=2^{2n-1}(x)^{2n}\\ Z^n=x'^{2n}+2^{2n-2}x^{2n} & Z-x'^2=2^{2n-2}(x)'^{2n}\\ \pm Y^n=x'^{2n}-2^{2n-2}x^{2n} & x'^2\mp Y=2^{2n-2}(x)''^{2n} \end{array}</math>
et parconséquent <math>2^{n-1}(x)^{2n}=2^{2n-2}\{(x)'^{2n}+(x)''^{2n}\}</math>, <math>2(x)^{2n}=(x)'^{2n}+(x)''^{2n}</math> équation dont l'impossibilité vient d'être demontrée pour toute valeur de <math>\underline{n}</math> plus grande que l'unité. <ref>Dans le théorème et sa démonstration, <math>Z</math>, <math>X</math> et <math>Y</math> sont des capitales droites, distinctes des minuscules <math>x</math>, <math>x'</math> ; on garde la distinction. Les trois lignes « <math>x=\ldots(x)</math> » sont écrites à droite de « en prenant <math>X=2xx'</math> », les points de suspension étant les siens ; au-dessus des accents de <math>(x)'</math> et de <math>(x)''</math>, une petite tache pâle. Les équations sont disposées sur deux colonnes, la colonne de droite commençant à la deuxième ligne de celle de gauche ; on garde cette disposition. Dans « <math>Z-x'^2=2^{2n-2}(x)'^{2n}</math> », le 2 initial est pris dans un pâté. « <math>2^{n-1}</math> » : l'exposant se lit <math>n-1</math>, là où la colonne de droite porte <math>2^{2n-1}</math> ; on le laisse tel. La démonstration s'arrête sur « plus grande que l'unité. », aux trois quarts du feuillet.</ref>

712Vue 7124 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

<math display="block">\frac{d^2v}{dy^2}=\sin^2\theta\sin^2\varphi.\frac{d^2v}{dr^2}+2\frac{\cos^2\theta\sin.\theta\sin^2\varphi}{r}.\frac{d^2v}{dr.d.\sin\theta}+2\frac{\sin.\varphi\cos.\varphi}{r}.\frac{d^2v}{dr\,d\varphi}</math>

<math display="block">+\frac{\cos^4\theta\sin^2\varphi}{r^2}.\frac{d^2v}{(d.\sin.\theta)^2}+2\frac{\cos^2\theta\cos.\varphi\sin.\varphi}{r^2\sin.\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi\,d.\sin\theta}+\frac{\cos^2\varphi}{r^2\sin^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}</math>

<math display="block">+\frac{dv}{dr}\left\{\frac{\cos^2\theta\sin^2\varphi}{r}+\frac{\cos^2\varphi}{r}\right\}</math>

<math display="block">+\frac{dv}{d.\sin.\theta}\left\{\frac{\cos^2\varphi\cos^2\theta}{r^2\sin.\theta}-\frac{\sin.\theta\cos^2\theta\sin^2\varphi}{r^2}-\frac{2\sin.\theta\cos^2\theta\cos^2\varphi\,\text{[?]}}{r^2}\right\}</math>

<math display="block">-\,\text{[?]}\ \frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\cos.\varphi\sin.\varphi}{r^2\sin^2\theta}+\frac{\cos^2\theta\sin.\varphi\cos.\varphi}{r^2\sin^2\theta}+\frac{\sin.\varphi\cos.\varphi}{r^2}\right\}</math>
<ref>Les « <math>\sin^2\varphi</math> » des deux premières lignes ont le mot « sin » récrit à l'encre épaisse sur un autre, peut-être « cos ». À la troisième ligne, le dernier terme touche le bord droit du feuillet : après « cos » on voit l'exposant 2 et le début d'une lettre, qu'on offre comme <math>\varphi</math> ; l'accolade fermante est sur le bord. Le signe qui ouvre la quatrième ligne est un gros pâté allongé, là où l'on attend un signe ; on l'offre comme <math>-</math>, sous réserve (voir hand.md, v. 238).</ref>

<math display="block">\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{d^2v}{dy^2}=\sin^2\theta.\frac{d^2v}{dr^2}+2\frac{\cos^2\theta\sin.\theta}{r}.\frac{d^2v}{dr.d.\sin\theta}+\frac{\cos^4\theta}{r^2}.\frac{d^2v}{(d\sin\theta)^2}</math>

<math display="block">+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}</math>

<math display="block">+\frac{dv}{dr}\left\{\frac{\cos^2\theta}{r}+\frac{1}{r}\right\}+\frac{dv}{d.\sin.\theta}\left\{\frac{\cos^2\theta}{r^2\sin.\theta}-\frac{\sin.\theta\cos^2\theta}{r^2}-2\frac{\sin\theta\cos^2\theta}{r^2}\right\}</math>

<math display="block">\frac{d^2v}{dz^2}=\cos^2\theta.\frac{d^2v}{dr^2}-2\frac{\cos^2\theta\sin.\theta}{r}.\frac{d^2v}{dr.d.\sin\theta}+\frac{\sin^2\theta\cos^2\theta}{r^2}.\frac{d^2u}{(d\sin.\theta)^2}</math>

<math display="block">\frac{\sin^2\theta}{r}.\frac{dv}{dr}+\frac{dv}{d.\sin\theta}.\left\{\frac{\sin\theta\cos^2\theta}{r^2}+\frac{\sin\theta\cos^2\theta}{r^2}\ -\,\text{[?]}\ \frac{\sin^3\theta}{r^2}\right\}</math>
<ref>« <math>d^2u</math> » : ainsi sur la page, là où partout ailleurs la fonction est <math>v</math>. La seconde ligne de <math>\frac{d^2v}{dz^2}</math> commence sans signe. Entre ses deux derniers termes, un pâté semblable au précédent tient la place du signe ; on l'offre comme <math>-</math>.</ref>

N.ota pour l'intelligence de cette équation il faut observer que la valeur de la differentielle de <math>\cos\theta</math> prise par rapport a <math>\sin\theta</math> est <math>\frac{-\sin\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}}</math> et que cette valeur doit être multipliée par <math>\frac{d.\sin.\theta}{dz}</math> cequi donne <math>\frac{\sin^2\theta}{r}</math>. On trouve en effaçant cequi se détruit
<math display="block">\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{d^2v}{dy^2}+\frac{d^2v}{dz^2}=\frac{d^2v}{dr^2}+\frac{2}{r}.\frac{dv}{dr}+\frac{\cos^2\theta}{r^2}.\frac{d^2v}{(d\sin.\theta)^2}+\left\{\frac{\cos^2\theta}{r^2\sin\theta}-\frac{\sin\theta}{r^2}\right\}\frac{dv}{d.\sin.\theta}</math>

<math display="block">+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}.</math>
<ref>« N.ota » : un N suivi de « ota » en exposant, souligné. Dans <math>\sqrt{1-\sin^2\theta}</math>, le « sin » est récrit à l'encre épaisse.</ref>

Si on fait <math>r</math> infini l'équation appartient au cylindre on a alors <math>\theta=0</math> parconséquent <math>\sin\theta=0</math> <math>\cos\theta=1</math> parconséquent elle se réduit à
<math display="block">\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{d^2v}{dy^2}+\frac{d^2v}{dz^2}=\frac{d^2v}{dr^2}+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}+\frac{d^2v}{d(r\sin\theta)^2}+\frac{1}{r\sin\theta}.\frac{dv}{d(r\sin\theta)}</math>
cette équation est en effet celle que M.r Poisson a donné en considérant le cas général c'est-a-dire celui ou le cylindre est échauffé d'une manière arbitraire. Si on suppose qu'il n'y ait aucun mouvement dela chaleur dans le sens de l'axe cequi revient à prendre <math>\underline{r}</math> constant et parconséquent <math>\frac{d^2v}{dr^2}=0</math> l'équation est celle que j'avois trouvé j'avois remarqué, dès lors, que dans cette supposition l'équation du cylindre se réduit à n'être que celle dela plaque circulaire abstraction faite de la déperdition de chaleur due dans la plaque isolée au contact de l'air. Si au lieu de prendre <math>\theta=0</math> on prend au contraire <math>\theta=90</math>, {{Rature|1=le rayon}} l'axe du cylindre deviendra le rayon dela plaque le second membre de l'équation se réduira a <math>\frac{d^2v}{dr^2}+\frac{2}{r}\frac{dv}{dr}+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}-\frac{\sin\theta}{r^2}\frac{dv}{d\sin\theta}</math> <ref>« M.r Poisson » : M suivi d'un petit r surélevé ; le nom est écrit vite mais se lit. « celle que j'avois trouvé », en fin de ligne, puis « j'avois remarqué » au début de la suivante : la phrase se répète ainsi sur la page. « au lieu » est repassé à l'encre épaisse. Le dernier terme, <math>\frac{\sin\theta}{r^2}\frac{dv}{d\sin\theta}</math>, est écrit en deux étages au bord inférieur droit du feuillet, le second facteur sous le premier. Le texte continue au revers, vue 713.</ref>

713Vue 7132 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Pour que cette équation soit identique à celle dela plaque il faut observer que dans le coefficient <math>\frac{1}{r^2\sin^2\theta}</math> de <math>\frac{d^2v}{d\varphi^2}</math> <math>\sin\theta</math> doit être pris <math>=1</math> puis que <math>r\sin.\theta</math> est alors le rayon entier et que <math>r</math> multiplie en effet l'expression sin. mais que dans le terme <math>\frac{\sin\theta}{r^2}.\frac{dv}{d.\sin\theta}</math> <math>r</math> ne multiplie plus <math>\sin\theta</math> ensorte que cette expression peut être censée n'avoir pas de valeur fixe quoique l'usage l'attribue toujours au cercle dont le rayon est l'unité.

Si dans ce terme <math>\frac{\sin.\theta}{r^2}.\frac{dv}{d.\sin\theta}</math> on admet que <math>\sin\theta</math> devienne égal au rayon du cercle dont le rayon est <math>r</math> on aura <math>\frac{\sin\theta}{r^2}\frac{dv}{d\sin.\theta}=\frac{1}{r}.\frac{dv}{dr}</math>. et parconséquent l'équation devient
<math display="block">\frac{d^2v}{dx}+\frac{d^2v}{dy^2}+\frac{d^2v}{dz^2}=\frac{d^2v}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{dv}{dr}+\frac{1}{r^2}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}</math>
qui est en effet celle dela plaque. <ref>Dans « <math>r\sin.\theta</math> est alors le rayon entier », le <math>r</math> est repassé et pris dans un pâté. Après « l'expression », en fin de ligne, un pâté ; la ligne suivante commence par « sin. », que le sens rattache à « l'expression ». « <math>\frac{d^2v}{dx}</math> » : l'exposant du dénominateur manque sur la page.</ref>

On peut arriver a l'équation du cône en considérant la quantité de chaleur qui pendant l'instant <math>\underline{dt}</math> entre par les trois faces qui appartiennent a l'élément de ce solide l'une de ces quantités sera <math>Kr^2\sin\theta\cos\theta\,d\theta\,d\varphi.\frac{dv}{dr}</math> l'autre seroit <math>Kr\sin\theta\,d\varphi\,dr.\frac{dv}{r\,d\theta}</math> si la direction <math>\frac{dv}{r\,d\theta}</math> étoit perpendiculaire a la face <math>r\sin\theta\,d\varphi\,dr</math> mais comme elle est oblique et que l'inclinaison dont il s'agit est mesurée par l'angle <math>\theta</math> cette quantité doit être multipliée par <math>\cos.\theta</math> et elle devient <math>Kr\sin.\theta\cos\theta\,d\varphi\,dr.\frac{dv}{r\sin\theta}</math> enfin la troisième seroit <math>Kr\cos\theta\,d\theta\,dr.\frac{dv}{r\sin.\theta\,d\varphi}</math>. <ref>Le <math>K</math> est une capitale à boucle, proche d'un ''k''. Dans « <math>\frac{dv}{r\sin\theta}</math> », à la fin de l'avant-dernière ligne, le dénominateur ne porte pas de différentielle ; ainsi sur la page. La page s'arrête sur ce terme ; la suite n'est pas dans ce lot.</ref>

716Vue 7166 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Cone

<math display="block">\frac{dr}{dx}=\sin\theta\cos.\varphi\qquad \frac{d.\sin\theta}{dx}=\frac{\cos^2\theta\cos\varphi}{r}\qquad \frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\sin\varphi}{r\sin\theta}</math>

<math display="block">\frac{dr}{dy}=\sin.\theta\sin.\varphi\qquad \frac{d.\sin.\theta}{dy}=\frac{\cos^2\theta\sin\varphi}{r}\qquad \frac{d\varphi}{dy}=\frac{\cos\varphi}{r\sin\theta}</math>

<math display="block">\frac{dr}{dz}=\cos.\theta\qquad \frac{d.\sin.\theta}{dz}=-\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}</math>
<ref>Le signe <math>=</math> de la première ligne est tracé à trois traits ; les autres à deux. Dans « <math>\frac{\cos^2\theta\cos\varphi}{r}</math> », le « cos » de <math>\varphi</math> est récrit à l'encre épaisse.</ref>

<math display="block">\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dr}\sin.\theta\cos.\varphi+\frac{dv}{d.\sin\theta}.\frac{\cos^2\theta\cos\varphi}{r}-\frac{dv}{d\varphi}.\frac{\sin\varphi}{r\sin\theta}</math>

<math display="block">\frac{dv}{dy}=\frac{dv}{dr}\sin.\theta\sin.\varphi+\frac{dv}{d.\sin.\theta}\frac{\cos^2\theta\sin.\varphi}{r}+\frac{dv}{d\varphi}.\frac{\cos.\varphi}{r\sin.\theta}</math>

<math display="block">\frac{dv}{dz}=\frac{dv}{dr}\cos\theta-\frac{dv}{d.\sin\theta}.\frac{\cos\theta\sin\theta}{r}</math>

<math display="block">\frac{d^2v}{dx^2}=\sin\theta\cos.\varphi\left\{\frac{d^2v}{dr^2}.\frac{dr}{dx}+.\frac{d^2v}{dr\,d.\sin\theta}.\frac{d\sin\theta}{dx}+\frac{d^2v}{dr\,d\varphi}.\frac{d\varphi}{dx}\right\}</math>

<math display="block">+\frac{dv}{dr}\left\{\cos\varphi\frac{d.\sin\theta}{dx}-\sin\theta.\sin\varphi\frac{d\varphi}{dx}\right\}</math>

<math display="block">+\frac{\cos^2\theta\cos.\varphi}{r}\left\{\frac{d^2v}{d\sin\theta.dr}.\frac{dr}{dx}+\frac{d^2v}{d.\sin\theta.d\varphi}.\frac{d\varphi}{dx}+\frac{d^2v}{(d.\sin\theta)^2}.\frac{d.\sin\theta}{dx}\right\}</math>

<math display="block">-\frac{dv}{d.\sin\theta}\left\{\frac{\sin\varphi\cos^2\theta}{r}\frac{d\varphi}{dx}+\frac{\cos^2\theta\,\cancel{\sin\theta}}{r^2}\frac{dr}{dx}\right\}</math>

<math display="block">-\frac{\sin\varphi}{r\sin\theta}\left\{\frac{d^2v}{d\varphi\,dr}.\frac{dr}{dx}+\frac{d^2v}{d\varphi\,d.\sin\theta}.\frac{d.\sin\theta}{dx}+\frac{d^2v}{d\varphi^2}.\frac{d\varphi}{dx}\right\}</math>

<math display="block">-\frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\cos\varphi}{r\sin\theta}\frac{d\varphi}{dx}-\frac{\sin\varphi}{r\sin^2\theta}.\frac{d\sin.\theta}{dx}-\frac{\sin\varphi}{r^2\sin\theta}\frac{dr}{dx}\right\}</math>

<math display="block">=\frac{d^2v}{dr^2}.\sin^2\theta\cos^2\varphi+\frac{d^2v}{d.\sin\theta\,dr}.2\frac{\sin\theta\cos^2\theta\cos^2\varphi}{r}\ -\,\text{[?]}\ \frac{d^2v}{dr\,d\varphi}.\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r}</math>

<math display="block">+\frac{d^2v}{(d\sin\theta)^2}\frac{\cos^4\theta\cos^2\varphi}{r^2}-\frac{d^2v}{d.\sin\theta\,d\varphi}.\frac{2\cos^2\theta\cos\varphi\sin\varphi}{r^2\sin\theta}+\frac{d^2v}{d\varphi^2}\frac{\sin^2\varphi}{r^2\sin^2\theta}</math>

<math display="block">+\frac{dv}{dr}\left\{\frac{\cos^2\theta\cos^2\varphi}{r}+\frac{\sin^2\varphi}{r}\right\}</math>

<math display="block">-\frac{dv}{d.\sin\theta}\left\{\cancel{\frac{\cos^2\theta\,\text{[illisible]}}{r^2}}\ \frac{\cos^2\theta\sin\theta\cos^2\varphi}{r^2}-\frac{\sin^2\varphi\cos^2\theta}{r^2\sin\theta}\right\}</math>

<math display="block">+\frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\cos\varphi\sin\varphi}{r^2\sin^2\theta}+\frac{\cos^2\theta\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin^2\theta}\ +\,\text{[?]}\ \frac{\sin\varphi\cos\varphi}{r^2}\right\}</math>
<ref>Le « sin » barré dans le terme en <math>\frac{dv}{d.\sin\theta}</math>, au numérateur de <math>\frac{\cos^2\theta\sin\theta}{r^2}</math>, est pris dans une surcharge. Au début de l'accolade de la ligne « <math>+\frac{dv}{dr}\{\ldots\}-\frac{dv}{d.\sin\theta}\{\ldots\}</math> », un premier numérateur est barré et noyé dans un gros pâté ; on y lit « cos<math>^2\theta</math> » et rien d'autre ; au-dessus, « sin<math>^2\varphi</math> » barré. Le numérateur gardé, « cos<math>^2\theta</math> sin <math>\theta</math> cos<math>^2\varphi</math> », est écrit sous la ligne, sur le dénominateur <math>r^2</math>. Deux pâtés tiennent la place d'un signe : devant <math>\frac{d^2v}{dr\,d\varphi}</math> et devant le dernier terme de la dernière accolade ; on les offre comme <math>-</math> et <math>+</math> d'après les lignes voisines, sous réserve.</ref>

<math display="block">\frac{d^2v}{dy^2}=\frac{d^2v}{dr^2}\sin^2\theta\sin^2\varphi+\frac{d^2v}{d\sin\theta.dr}.\frac{2\sin\theta\cos^2\theta\sin^2\varphi}{r}+\frac{d^2v}{dr\,d\varphi}.\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r}</math>

<math display="block">+\frac{d^2v}{(d.\sin\theta)^2}\frac{\cos^4\theta\sin^2\varphi}{r^2}+\frac{d^2v}{d.\sin\theta\,dr}2\cos^2\theta\cos\varphi\sin.\varphi+\frac{d^2v}{d\varphi^2}.\frac{\cos^2\varphi}{r^2\sin^2\theta}</math>

<math display="block">+\frac{dv}{dr}\left\{\frac{\cos^2\theta\sin^2\varphi}{r}+\frac{\cos^2\varphi}{r}\right\}</math>

<math display="block">+\frac{dv}{d.\sin\theta}\left\{\frac{\cos^2\theta\cos^2\varphi}{r^2\sin\theta}-\frac{\cos^2\theta\sin\theta\sin^2\varphi}{r^2}\right\}</math>

<math display="block">-\,\text{[?]}\ \frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\cos\varphi\sin.\varphi}{r^2\sin^2\theta}+\frac{\cos^2\theta\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin^2\theta}\ +\,\text{[?]}\ \frac{\sin\varphi\cos\varphi}{r^2}\right\}</math>
<ref>« <math>\frac{d^2v}{dy}</math> » au premier membre, sans l'exposant du dénominateur. À la deuxième ligne, le terme en <math>2\cos^2\theta\cos\varphi\sin.\varphi</math> n'a pas de dénominateur, et sa différentielle est écrite « <math>d.\sin\theta\,dr</math> » là où la ligne correspondante de <math>\frac{d^2v}{dx^2}</math> porte <math>d.\sin\theta\,d\varphi</math> ; on garde la page. Deux pâtés encore tiennent la place de signes, devant <math>\frac{dv}{d\varphi}</math> et devant le dernier terme ; même réserve.</ref>

<math display="block">\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{d^2v}{dy^2}=\sin^2\theta.\frac{d^2v}{dr^2}+2\frac{\sin\theta\cos^2\theta}{r}.\frac{d^2v}{d.\sin\theta\,dr}+\frac{\cos^4\theta}{r^2}.\frac{d^2v}{(d.\sin\theta)^2}+\frac{d^2v}{d\varphi^2}.\frac{1}{r^2\sin^2\theta}</math>

<math display="block">+\left(\frac{\cos^2\theta}{r}+1\right)\frac{dv}{dr}+\left\{\frac{\cos^2\theta}{r^2\sin\theta}-\frac{\cos^2\theta\sin\theta}{r^2}\right\}\frac{dv}{d\sin\theta}+\cancel{\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin^2\theta}.\frac{dv}{d\varphi}}</math>
<ref>Le dernier terme est barré de trois traits obliques. « <math>\left(\frac{\cos^2\theta}{r}+1\right)</math> » : le <math>1</math> est écrit à la hauteur de la barre de fraction, hors du numérateur, et sans <math>r</math> ; on le garde tel.</ref>

<math display="block">\frac{d^2v}{dz^2}=\cos^2\theta\frac{d^2v}{dr^2}-2\frac{\sin\theta\cos^2\theta}{r}.\frac{d^2v}{d.\sin\theta\,dr}+\frac{\sin^2\theta\cos^2\theta}{r^2}\frac{d^2v}{(d\sin\theta)^2}+(\cancel{\text{[illisible]}}\,\frac{\sin\theta\cos^2\theta}{r^2}\frac{dv}{d.\sin\theta}</math>

<math display="block">\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{d^2v}{dy^2}+\frac{d^2v}{dz^2}=\frac{d^2v}{dr^2}+\left(\frac{\cos^2\theta+1}{r}\right)\frac{dv}{dr}+\frac{\cos^2\theta}{r^2}.\frac{d^2v}{(d\sin\theta)^2}</math>

<math display="block">+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}+\left\{\frac{\cos^2\theta}{r^2\sin\theta}+\frac{\sin\theta\cos^2\theta}{r^2}\right\}\frac{dv}{d.\sin\theta}</math>
<ref>Dans la ligne de <math>\frac{d^2v}{dz^2}</math>, la parenthèse ouvrante du dernier terme est suivie d'un signe ou d'une lettre récrits à l'encre épaisse, qui ne se lisent pas. Au dernier terme de la somme, le facteur <math>\frac{dv}{d.\sin\theta}</math> est écrit sous l'accolade, au bord droit.</ref>

en fesant varier par rapport a {{Rature|1=<math>d</math>}} <math>\sin\theta</math>. <math>\cos\theta</math> et <math>\cos^2\theta</math> Dans <math>\frac{dv}{dz}</math>, <math>\frac{dv}{dx}</math>, et <math>\frac{dv}{dy}</math> cette équation devient
<math display="block">\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{d^2v}{dy^2}+\frac{d^2v}{dz^2}=\frac{d^2v}{dr^2}+\frac{2}{r}\frac{dv}{dr}+\frac{\cos^2\theta}{r^2}.\frac{d^2v}{(d.\sin\theta)^2}+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}+\left\{\frac{\cos^2\theta}{r^2\sin\theta}-\frac{\sin\theta}{r^2}\right\}.\frac{dv}{d.\sin\theta}</math>
Si on prend <math>r</math> infini cequi est le cas du cylindre on a en même tems <math>\sin=0</math> <math>\cos=1</math> le second membre devient <math>\frac{d^2v}{dr^2}+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}+\frac{d^2v}{d(r\sin\theta)^2}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{dv}{d(r\sin\theta)}</math> <ref>Les deux lignes de prose sont écrites vite, entre les calculs. La première, « en fesant varier par rapport a <math>\sin\theta</math>. <math>\cos\theta</math> et <math>\cos^2\theta</math> », semble expliquer le passage de la somme précédente à la suivante ; le « d » devant <math>\sin\theta</math> est barré. « Dans <math>\frac{dv}{dz}</math> » : le numérateur est récrit sur une autre lettre. La page s'arrête au bord inférieur du feuillet, sur la même conclusion qu'à la vue 712 : l'équation du cylindre.</ref>

718Vue 7182 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

est non résidu d'un nombre premier de la même forme <math>4k+3</math> <ref>« <math>4k+3</math> » : le 4 a la forme d'un L, comme au petit feuillet ci-dessous (« <math>4k+3</math> », « <math>4K+3</math> ») ; le trait oblique qui touche le 3 est celui de la croix du revers, vu par transparence.</ref>

Ici, l'auteur ne dit rien des nombres de la forme <math>4k+3</math>.

J'observe que l'on peut démontrer que les nombres <math>12n+7</math> (lesquels font partie de ceux <math>4K+3</math>) sont non résidus pour quelques nombres premiers moindres que les nombres dont il s'agit.

En effet si on prend pour <math>a</math> le nombre pair immédiatement plus grand que <math>\sqrt{\frac{p}{3}}</math>, en fesant <math>p=12n+7</math> <math>3aa-p</math> sera <math><</math> que <math>p</math> et de la forme <math>12K+5</math>. or en examinant tous les produits des nombres non divisibles par 12 on voit qu'un nombre <math>12K+5</math> a pour facteur un nombre de la forme <math>12K+1</math> et un de celle <math>12K+5</math>. ou est le produit de <math>12K+11</math> par <math>12K+7</math> dans le premier cas soit <math>12K+5=q</math> on aura <math>3aa\equiv p</math> (mod. <math>q</math>) mais pour les nombres <math>12K+5</math> <math>+3</math> et <math>-3</math> sont non résidus et parconséquent <math>p</math> est non résidu (mod <math>q</math>) Dans le second soit <math>q=12K+7</math> on a a cause de <math>-3</math> résidu, mais <math>+3</math> non résidu (mod. <math>q</math>) <math>p</math> non résidu même modul. On peut démontrer la même chose pour les nombres <math>12K+5</math>. <ref>« Ici » : le I est une grande boucle, lu d'après le sens. « ne dit » est écrit « nedit ». « quelques nombres » est écrit « quelquesnombres ». « <math><</math> que » : le signe est un petit Z couché, comme son signe « plus petit que » ; la phrase le dit en toutes lettres au revers (« sera plus petit que <math>p</math> »). « <math>3aa-p</math> » est ainsi écrit ; le revers, pour <math>p=12n+5</math>, écrit <math>p-3aa</math>. « ou est le produit » : l'alternative est entre deux décompositions de <math>12K+5</math> ; on garde « ou » tel qu'il est écrit. « modul. » est abrégé ainsi. Le signe de congruence est le sien, à trois traits.</ref>

719Vue 7192 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

en effet soit <math>a</math> le nombre pair immédiatement plus petit que <math>\sqrt{\frac{p}{3}}</math> dans lequel <math>p=12n+5</math> <math>p-3aa</math> sera plus petit que <math>p</math> ce nombre sera de la forme <math>12K+5</math> et on conclura comme cidessus qu'il doit être le produit de <math>12K+5</math> par <math>12K+1</math>. ou celui de <math>12K+11</math> par <math>12K+7</math>. d'où il résulte que dans le premier cas <math>p</math> est non résidu (mod <math>12K+5</math>) et dans le second non résidu (mod <math>12K+7</math>) <ref>« immédiatement » est écrit jusqu'au bord du feuillet, la fin serrée. La phrase finit sans point, et un trait horizontal la sépare du bas du feuillet.</ref>

A l'égard des nombres <math>120k+1</math> il n'y a qu'a prendre un nombre <math>10n+2>\sqrt{\frac{5}{2}.120k+1}</math> <math>2(10n+2)^2-5(120k+1)</math> sera un nombre dela forme <math>40k+11</math> mais pour les nombres <math>8u+3</math> (ou 11 [?]) 2 est non résidu et pour les nombres <math>20k+11</math> 5 est résidu (ou 19 [?]) donc si <math>40k+11</math> est le produit des deux facteurs <math>40k+1</math>, <math>40k+11</math> et que l'on fasse <math>4k+11=q</math> <math>2(10n+2)^2\equiv 5(120k+1)</math> (mod <math>q</math>) a cause de 2 non résidu le premier membre est non résidu et parconséquent a cause de 5 résidu <math>120k+1</math> non résidu (mod. <math>q</math>)

1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39
<math display="block">\begin{array}{lll} 29.39\equiv 11 & q=40k+29 & \text{2 non résidu 5 résidu}\\ 9.19\equiv 11 & q=40k+19 & \text{2 non résidu 5 résidu}\\ 21.31\equiv 11 & q\equiv 40k+21 & \text{2 non résidu 5 résidu}\\ 33.27\equiv 11 & q\equiv 40k+27 & \text{2 non résidu 5 résidu}\\ 7.13\equiv 11 & q\equiv 40k+13 & \text{2 non résidu 5 résidu}\\ 37.23\equiv 11 & q\equiv 40k+37 & \\ 3.17\equiv 11 & & \end{array}</math>
<ref>Les deux parenthèses de la troisième et de la quatrième ligne se lisent « (lu 11) » et « (lu 19) » : on les offre comme « ou 11 », « ou 19 », d'après le sens, sous réserve ; ce pourraient être des renvois. « <math>4k+11=q</math> » : ainsi sur la page, sans le 0 que portent les « <math>40k+11</math> » qui précèdent. Dans le tableau, le premier facteur de « <math>7.13</math> » est un 7 pris dans un pâté, qui se lit aussi « 07 » ; <math>7\cdot 13=91\equiv 11</math> (mod 40), comme les autres produits de la colonne, appuie 7. La deuxième colonne passe du signe <math>=</math> au signe <math>\equiv</math> à la troisième ligne ; on garde les signes de la page. La ligne « <math>37.23\equiv 11</math> » s'arrête sur <math>q\equiv 40k+37</math>, suivie d'un trait, et « <math>3.17\equiv 11</math> » n'a pas de seconde colonne. Au-dessous, à l'envers de cette lecture, les deux lignes du recto, « est non résidu d'un nombre premier de la même forme », se lisent par transparence.</ref>

720Vue 7204 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

En examinant la manière dont Gauss démontre (N.o 125) que tout nombre premier <math>p=4n+1</math> pris negativement est non résidu d'un nombre premier moindre que <math>p</math> on voit que la même demonstration seroit applicable au cas ou <math>p</math> ne seroit pas premier desorte que l'on peut affirmer que tout nombre dela forme <math>4n+1\,\text{[?]}</math> pris négativement est non résidu de quelque nombre premier moindre que lui et dela forme <math>4n+3</math>. On voit dans la feuille ci-jointe que tout nombre dela forme <math>4K+3</math> pris négativement est non résidu d'un nombre {{Rature|1=de la}} premier de la même forme et moindre que lui il résulte des ces remarque que : Tout nombre impair <math>2N+1</math> pris avec le signe <math>-</math> est non résidu d'un nombre premier dela forme <math>4K+3</math> et <math><</math> que <math>2N+1</math> <ref>« Gauss » : le G est une grande boucle ouverte, le nom se lit. « (N.o 125) » : N suivi d'un petit o surélevé, puis 125. Le 4 de « <math>4n+1</math> », « <math>4K+3</math> » a la forme d'un L, comme aux vues 718–719. À la cinquième ligne, le premier chiffre de « <math>4n+1</math> » est récrit et le dernier est pris dans une surcharge ; le sens, qui reprend le cas de la première ligne, appuie la lecture. « <math>2N+1</math> » est écrit au-dessus de « impair », sans signe d'insertion ; on le place là où il est écrit. « des ces remarque » : ainsi sur la page. « <math><</math> » : son signe « plus petit que », un petit Z couché.</ref>

Je me propose de démontrer qu'un nombre quelconque de la forme <math>4K+3</math>, pris, tant avec le signe <math>+</math>, qu'avec le signe <math>-</math>, est non résidu de quelque nombre premier moindre que lui.

D'abord soit <math>p=4K+3</math> et soit proposé de prouver que <math>-p</math> est non résidu d'un nombre <math><</math> que lui. Prenons <math>2a</math> pour le nombre pair immédiatement <math><\sqrt{p}</math> <math>p-4aa</math> sera positif et de la forme <math>4K+3</math> et deplus ce nombre est évidemment <math><</math> que <math>p</math>. il est clair que <math>p-4aa</math> est premier ou divisible par un nombre premier de la forme <math>4K+3</math>. soit <math>q</math> ce nombre on aura <math>p\equiv 4aa</math> (mod. <math>q</math>) c'est adire <math>p</math> résidu (mod. <math>q</math>) et parconséquent <math>-p</math> non résidu.

Pour les nombres premiers <math>4K+3</math> positivement pris nous distinguerons deux cas premièrement si <math>p</math> est dela forme <math>8n+3</math>. {{Rature|1=soit <math>a</math> un nombre quelconque}} soit <math>2a</math> le nombre pair immédiatement {{Illisible}} que <math>\sqrt{\frac{p}{2}}</math>. <math>p-8aa</math> sera dela forme <math>8n+3</math> et moindres que <math>p</math>. ce nombre sera ou premier ou le produit des facteurs <math>8K+1</math> <math>8K+3</math> {{Rature|1=et}} <math>8K+7</math> <math>8K+5</math> {{Rature|1=et}} a cause de 2 non résidu (mod. <math>8K+3</math>) et (mod. <math>8K+5</math>) nommons <math>q</math> le facteur de l'une de ces formes qui divise <math>p-8aa</math> on aura <math>p\equiv 2(2a)^2</math> (mod. <math>q</math>) d'où il résulte <math>p</math> non résidu même modul. <ref>« {{Rature|1=soit <math>a</math> un nombre quelconque}} » : la fin de la ligne est barrée d'un trait continu ; « quelconque » se devine sous le trait. Le signe entre « immédiatement » et « que <math>\sqrt{\frac{p}{2}}</math> » est noyé dans un pâté : on attendrait <math><</math> ou <math>></math>, et on ne le lit pas. Les deux « et » donnés comme biffés, entre les paires de facteurs, sont couverts chacun d'une tache d'encre ; peut-être seulement surchargés. « moindres » : ainsi, au pluriel.</ref>

Secondement si <math>p</math> est dela forme <math>8K+7</math>. soit <math>a</math> un nombre impair <math><</math> que <math>\sqrt{\frac{p}{2}}</math> <math>p-2aa</math> sera dela forme <math>8K+5</math> or tout nombre <math>8K+5</math> s'il n'est premier a pour facteur <math>8K+1</math> et <math>8K+5</math>, ou <math>8K+7</math> et <math>8K+3</math> nommons donc <math>q</math> le facteur de l'une des formes <math>8K+5</math> et <math>8K+3</math> qui divise <math>p-2aa</math> et nous concluerons comme ci-dessus <math>p\equiv 2aa</math> (mod. <math>q</math>) <math>p</math> non résidu (mod. <math>q</math>).

La condition que <math>2a</math> soit immédiatement plus petit de <math>\sqrt{p}</math>, dans le premier cas démontré, et {{Rature|1={{Illisible}}}} <math>\sqrt{\frac{p}{2}}</math> dans le second, est évidemment superflue<math>^{+}</math> il suffit de prendre <math>2a<</math> que <math>\sqrt{p}</math> et <math>2a<\sqrt{\frac{p}{2}}</math>. [''en marge :'' <math>+</math> laquelle a l'avantage d'être plus aisée [?] a remplir [?]] <ref>La note marginale, en quatre lignes serrées dans la marge de gauche en face du pied du feuillet, est appelée par la croix qui suit « superflue » ; « l'avantage » est écrit « l'avantage » d'un seul trait, « aisée » et « remplir » sont de lecture douteuse, le dernier mot souligné. Le mot biffé devant <math>\sqrt{\frac{p}{2}}</math> est repassé d'un gros trait et ne se lit pas ; peut-être un début de « effectivement ». Le <math>p</math> de « <math><</math> que <math>\sqrt{p}</math> » est à demi effacé. « <math>8K+7</math> et <math>8K+3</math> » : le premier 8 ressemble à un 6.</ref>

Le but de l'auteur étant de passer au théorème fondamental, il s'est borné a demontrer que les nombres<math>^{+}</math> tant positifs que négatifs sont non résidus. Il faut examiner si on ne pourroit pas faire usage dela même pro. [?] pour en [''en marge :'' <math>4k+3^{+}</math>] <ref>Ces deux lignes, au pied du feuillet sous un trait horizontal, sont d'une plume plus épaisse et d'une écriture plus serrée. La marque qui suit « les nombres », en fin de ligne, est un signe d'appel, et la marge de gauche porte en face, sous la note précédente, « <math>4k+3</math> » suivi du même signe : on lit donc « les nombres <math>4k+3</math> tant positifs que négatifs ». « l'auteur » est Gauss, que nomme le feuillet 355, et son « théorème fondamental » ; c'est une inférence du transcripteur, la ligne ne le nomme pas. La dernière ligne s'arrête au bord inférieur du feuillet sur « pour en », après une abréviation « pro. » dont la fin se perd : la suite n'est pas sur ce feuillet.</ref>