741Vue 7414 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

On ne sauroit douter non plus qu'après avoir imprimé a la corde une telle figure discontinue ou irréductible a aucune équation analytique, la corde étant subitement relachée, soit qu'on lui imprime encore quelque mouvement ou non, n'en recoive un certain mouvement de vibration.

Mais si la théorie nous conduit à une solution si générale, qu'elle s'etend aussi bien à toutes les figures discontinues que continues il faudra avouer, que cette recherche ouvre une nouvelle carrière dans l'analyse. En effet j'ai remarqué a cette occasion, que la partie de l'analyse des infinis, a laquelle cette question appartient, renferme essentiellement ce caractère, qu'elle recoit dele [?] fonctions absolument arbitraires, pendant que de telles fonctions sont entièrement bannies de l'analyse ordinaire qu'on a cultivée jusqu'ici, qui roule principalement sur des fonctions d'une seule variable. Mais l'analyse dont nous avons besoin ici, s'occupe des fonctions de deux ou plusieurs variables: ou cela arrive de bien remarquable, que chaque intégration introduit dans le calcul une fonction absolument arbitraire. <ref>« qu'elle recoit dele [?] fonctions » : le mot, en un seul trait, se lit « dele » ; on attendrait « des ». Après « cultivée », un petit signe en forme de croix, peut-être un renvoi sans note correspondante sur la page. « ou cela arrive » : ainsi, sans accent.</ref>

[c'est cequ montre l'équation <math>y = \Gamma{:}(x+ct) + \Delta{:}(x-ct)</math> ou <math>\Gamma{:}(x+ct)</math> marque une fonction quelconque de la quantité <math>x+ct</math>, <math>\Delta{:}(x-ct)</math> une fontion aussi quelconque de <math>(x-ct)</math>, qui l'intégrale de <math>cc\left(\frac{ddy}{dx^{2}}\right) = \left(\frac{ddy}{dt^{2}}\right)</math> equation aux cordes vibrates] <ref>Les crochets sont sur la feuille : ce passage entre crochets paraît une explication ajoutée à la traduction, non le texte d'Euler ; c'est une inférence. « cequ », « fontion », « qui l'intégrale » (pour « qui est l'intégrale ») et « vibrates » : ainsi écrits. Le deux-points après <math>\Gamma</math> et <math>\Delta</math> est la notation des fonctions, conservée.</ref>

Lorsque l'on veut considerer des cordes qui ne soient pas uniformement epaisses on a aulieu de <math>cc\left(\frac{ddy}{dx^{2}}\right) = \left(\frac{ddy}{dt^{2}}\right)</math> dans laquelle <math>c</math> est une constante; <math>rr\left(\frac{ddy}{dx^{2}}\right) = \left(\frac{ddy}{dt^{2}}\right)</math> et <math>r</math> [?] represente une fontion de <math>x</math> donnée par la grosseur et la tension de la corde l'intégrale de cette équation est engénéral de la forme
<math display="block">y = P\Gamma{:}\left(\int u\,dx + t\right) + Q\Gamma'{:}\left(\int u\,dx + t\right) + R\Gamma''{:}\left(\int u\,dx + t\right) + \&c.</math>
ou <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math> &c. demême que <math>u</math> sont de certaines fonctions dela seule variable <math>x</math>. Ensuite puisque la quantité <math>t</math> se peut prendre tant aussi bien negativement que positivement, pour compléter l'intégrale on y doit ensuite ajouter encore ces termes
<math display="block">P\Delta{:}\left(\int u\,dx - t\right) + Q\Delta'{:}\left(\int u\,dx - t\right) + R\Delta''{:}\int\left(u\,dx - t\right) + \&c.</math>
qui n'exigent donc point une recherche particulière <ref>« et <math>r</math> [?] represente » : entre « et » et « represente » un <math>r</math> se lit mal, comme redoublant l'initiale du verbe. « tant aussi bien » : ainsi. Dans le dernier terme, le signe <math>\int</math> est écrit devant la parenthèse, et non dedans comme dans les deux premiers ; conservé. Les signes <math>-</math> de la seconde série sont un trait suivi d'un point, qu'on lit « <math>-</math> » par l'opposition annoncée entre <math>t</math> positif et négatif.</ref>

Dans le cas ou on a simplement
<math display="block">y = x\Gamma{:}\left(\frac{\beta}{x} - t\right) + x\Delta{:}\left(\frac{\beta}{x} + t\right) \quad \text{et ou parconséquent}</math>

<math display="block">P = x, \quad \text{et} \quad \int u\,dx = -\frac{\beta}{x}</math>
les cordes ont cela de commun avec les cordes uniformement epaisses, que de quelque manière qu'on les ébranle, elles produisent toujours des vibrations regulières. Le fondement de cette proprieté est, qu'en quelqu'état que la corde soit mise au commencement elle y doit necessairement revenir après un certain tems; or dans les autres espèces de cordes ce rétablissement dans le premier état n'arrive <ref>La phrase se poursuit à la vue 742.</ref>

742Vue 7424 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

peut-être jamais, et quand il arrive ce n'est que sous de certaines circonstances sous lequel le son ne sauroit être regulier ou formé par des {{Rature|1=vi}} vibrations ''isochrones''. <ref>« sous lequel » : ainsi, au singulier. « isochrones » est souligné. Le passage tiré d'Euler s'achève sur cette phrase ; la suite est donnée sous le nom de Lagrange.</ref>

La Grange ''Pag. 259'' du même volume

On pourroit douter s'il ne faut pas que la courbe initiale de la corde soit comprise aussi dans l'équation <math>y = \alpha\,\text{sin.}\,\pi x + \beta\,\text{sin.}\,2\pi x + \&c.</math> Il est certain que si on veut que la courbe génératrice soit la même ''géométriquement'' que la courbe initiale, il faut que celle-ci soit renfermé dans l'équation <math>y = \alpha\,\text{sin}\,\pi x + \&c.</math> Je dis la même ''géométriquement'' car il suffit que la difference de ces deux courbes soit moindre qu'aucune grandeur donné pour qu'elles puissent être prises pour les mêmes. Or il est clair que, quelque soit la courbe initiale on peut toujours faire passer, par une infinité de points infiniment proches de cette courbe, une autre courbe de la forme <math>y = \alpha\,\text{sin}\,\pi x + \&c.</math> de manière que la difference entre ces deux courbes soit aussi petite que l'on voudra, quoique cette difference ne puisse devenir absolument nulle que dans le cas ou la courbe initiale sera aussi dela même forme; dans tous les autres cas cette courbe initiale ne sera qu'une espèce d'assymptôte dont la courbe génératrice pourra s'approcher a l'infini, sans qu'elle puisse jamais coincider entièrement. <ref>« Pag. 259 » est souligné ; « du même volume » renvoie, semble-t-il, au volume des Mémoires de Turin nommé en tête de la vue 740. Le <math>\pi</math> est écrit comme deux jambages, « <math>11</math> » ; le premier coefficient comme un « a » ou « u », le second comme un <math>\beta</math> fermé. « donné », « renfermé » : ainsi, sans accord. Une tache d'encre sur « nulle ».</ref>

On demontre dans le même memoire que l'équation dela figure initiale de la corde lorsqu'elle en a une, ne peut être que de la forme
<math display="block">y = \alpha\,\text{sin.}\,\frac{\pi x}{a} + \beta\,\text{sin.}\,\frac{2\pi x}{b} + \gamma\,\text{sin.}\,\frac{3\pi x}{c} + \&c.</math>
<ref>Les dénominateurs se lisent <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, et non trois fois la même longueur ; transcrits tels. Le troisième coefficient est tracé comme un « <math>\vartheta</math> », qui est son <math>\gamma</math> ailleurs dans le volume.</ref>

A la ''Pag. 275'' du même mémoire on y trouve l'équation <math>r = a + iy</math> <math>i</math> étant un coëfficient très petit et <math>y</math> une nouvelle variable et par conséquent
<math display="block">\Delta r = \Delta(a + iy) = \left(\text{en supposant } \frac{d.\Delta r}{dr} = \Delta' r,\ \frac{d.\Delta' r}{dr} = \Delta'' r\ \&c.\right)</math>

<math display="block">= \Delta a + i\Delta' a\,y + i^{2}\frac{\Delta'' a}{2}\,y^{2} + i^{3}\frac{\Delta''' a}{2.3}\,y^{3} + \&c.</math>

[cequi est bien près de la théorie des fonctions.] <ref>« Pag. 275 » : le mot est souligné. Le crochet final est sur la feuille, comme à la vue 741 : remarque du copiste sur la page de Lagrange, rapprochée de la théorie des fonctions analytiques ; l'attribution est une inférence. Le bas de la page est blanc.</ref>

743Vue 7433 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Mémoire de La Grange sur l'intégration de quelques équations differentielles dont les indéterminées sont séparées, mais dont chaque membre en particulier n'est point intégrable

T. 4 <ref>« T. 4 », sous le titre, au-dessus d'un trait : sans doute le tome du recueil où se trouve le mémoire ; c'est une inférence.</ref>

La séparation des indéterminées est regardée avec raison comme un des meilleurs moyen que les géometres ayent imaginés pour intégrer les équations differentielles du premier ordre. En effet il est clair que quand on a séparé les indéterminées dans une équation, on peut alors regarder chacun des membres comme une differentielle particulière qui ne contient qu'une variable; de sorte qu'il n'y a plus qu'a prendre séparement l'intégrale de l'un et de l'autre membre, en y ajoutant une constante arbitraire. Delà il semble qu'on pourroit conclure que lorsque les deux membres de l'équation {{Rature|1={{Illisible}}}} ainsi separée ne sont point integrables l'équation elle-même ne doit pas l'etre non plus; c'est ce qui est vrai en effet dans la plus part des équations differentielles; mais il se trouve néanmoins des cas, ou cette conclusion seroit fausse, et qui vont faire le sujet de ce ''mémoire''. <ref>« un des meilleurs moyen » : ainsi, au singulier. Devant « ainsi », un mot bref barré d'un trait, qu'on ne lit pas (quelque chose comme « iute »). « mémoire », à la fin de l'alinéa, est souligné.</ref>

Pour commencer par les cas les plus simples nous prendrons l'équation <math>\frac{dx}{\sqrt{(1-x^{2})}} = \frac{dy}{\sqrt{(1-y^{2})}} \ldots\ldots (\text{A})</math> dans laquelle tout est separé comme l'on voit. Il est d'abord evident que les deux membres de cette équation ne sont point intégrables au moins algébriquement; cependant on sait que l'équation en elle-même admet une intégrale algébrique. En effet <math>\frac{dx}{\sqrt{(1-x^{2})}}</math> est la differentielle de l'arc dont le le sinus est <math>x</math>, demême que <math>\frac{dy}{\sqrt{(1-y^{2})}}</math> est la differentielle de l'arc dont le sinus est <math>y</math> on aura en prenant les arcs aulieu de leurs differentielles et ajoutant une constante quelconque <math>C</math> et supposant <math>C = \text{arc. dont le sinus est } a</math>
<math display="block">\text{arc sin.}\,x = \text{arc sin.}\,y + \text{arc sin.}\,a</math>
c'est-adire que l'arc qui repond au sinus <math>x</math> doit être égal à la somme des arcs qui repondent aux sinus <math>y</math> et <math>a</math>. de sorte que l'on aura par les théorèmes connus
<math display="block">x = y\sqrt{(1-a^{2})} + a\sqrt{(1-y^{2})} \ldots\ldots (\text{B})</math>
[en effet on a engénéral <math>\text{sin.}(m+n) = \text{sin.}\,n\,\text{cos.}\,m + \text{sin.}\,m\,\text{cos.}\,n</math> et il est visible que <math>\sqrt{(1-a^{2})}</math> et <math>\sqrt{(1-y^{2})}</math> representent les cosinus des arcs dont les sinus sont <math>a</math> et <math>y</math>] C'est l'intégrale de la proposée, dans laquelle <math>a</math> est la constante arbitraire. <ref>« dont le le sinus » : le « le » est écrit deux fois, sans rature. Dans (B), le premier <math>a</math> est écrit comme un <math>\alpha</math>. Le crochet est sur la feuille, comme aux vues 741 et 742. Le texte s'arrête au bas du feuillet et reprend à la vue 744.</ref>

744Vue 7443 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

J'avoue qu'on peut trouver cette intégrale sans le secours des théorèmes sur les sinus, en intégrant chaque membre de l'équation (A) par les logarithmes imaginaires, et passant ensuite des logarithmes aux nombres de cette manière on aura [en mettant <math>\frac{dx}{\sqrt{(1-x^{2})}} = \frac{dy}{\sqrt{(1-y^{2})}}</math> sous la forme
<math display="block">\frac{dx\left[\sqrt{(1-x^{2})} + x\sqrt{-1}\right]}{\sqrt{(1-x^{2})}\left[\sqrt{(1-x^{2})} + x\sqrt{-1}\right]} = \frac{dy\left[\sqrt{(1-y^{2})} + y\sqrt{-1}\right]}{\sqrt{(1-y^{2})}\left[\sqrt{(1-y^{2})} + y\sqrt{-1}\right]}</math>
[''en marge :'' multipliant les deux membres par <math>\sqrt{-1}</math>]
<math display="block">\frac{dx\sqrt{-1}}{\sqrt{(1-x^{2})} + x\sqrt{-1}} - \frac{x\,dx}{\sqrt{(1-x^{2})}\left[\sqrt{(1-x^{2})} + x\sqrt{-1}\right]}</math>

<math display="block">= \frac{dy\sqrt{-1}}{\sqrt{(1-y^{2})} + y\sqrt{-1}} - \frac{y\,dy}{\sqrt{(1-y^{2})}\left[\sqrt{(1-y^{2})} + y\sqrt{-1}\right]}</math>
ou <math>\left[dx\sqrt{-1} - \frac{x\,dx}{\sqrt{(1-x^{2})}}\right] : \sqrt{(1-x^{2})} + x\sqrt{-1} = \left[dy\sqrt{-1} - \frac{y\,dy}{\sqrt{(1-y^{2})}}\right] : \sqrt{(1-y^{2})} + y\sqrt{-1}</math>
<math display="block">d.L\left[x\sqrt{-1} + \sqrt{(1-x^{2})}\right] = d.L\left[y\sqrt{-1} + \sqrt{(1-y^{2})}\right]</math>
puis intégrant en observant que la constante doit être telle que le premier membre de l'équation lui devienne egal lorsque <math>y = 0</math>] <ref>« multipliant les deux membres par <math>\sqrt{-1}</math> » est écrit dans la marge de gauche, en face de la deuxième équation. Le deux-points de la troisième ligne marque la division. Le premier crochet de <math>d.L[\ldots</math> se ferme sur la feuille par une parenthèse.</ref>

<math display="block">l\left[x\sqrt{-1} + \sqrt{(1-x^{2})}\right] = l\left[y\sqrt{-1} + \sqrt{(1-y^{2})}\right] + l\left[a\sqrt{-1} + \sqrt{(1-a^{2})}\right]</math>
d'ou l'on tire
<math display="block">x\sqrt{-1} + \sqrt{(1-x^{2})} = \left[y\sqrt{-1} + \sqrt{(1-y^{2})}\right]\left[a\sqrt{-1} + \sqrt{(1-a^{2})}\right]</math>

<math display="block">= \left[y\sqrt{(1-a^{2})} + a\sqrt{(1-y^{2})}\right]\sqrt{-1} + \sqrt{(1-y^{2})}\sqrt{(1-a^{2})} - ay</math>
et comparant la partie imaginaire du premier membre à la partie imaginaire du second, et la partie réelle avec la partie réelle; on aura comme cidessus
<math display="block">x = y\sqrt{(1-a^{2})} + a\sqrt{(1-y^{2})}</math>
ou bien encore ce qui revient au même dans le fond.
<math display="block">\sqrt{(1-x^{2})} = \sqrt{(1-a^{2})}\sqrt{(1-y^{2})} - ay</math>
[cette dernière équation resulte de la comparaison des parties réelles [mais on] peut la tirer [aussi] dela première; en effet si on la quarre que l'on ajoute [ensuite] l'unité a chacun de ses membres [pris avec un signe contraire] et que l'on prenne {{Rature|1=ensuite}} la racine quarrée on aura <math>\sqrt{(1-x^{2})} = \sqrt{\left(1 - y^{2}(1-a^{2}) - 2ya\sqrt{(1-y^{2})}\sqrt{(1-a^{2})} - a^{2}(1-y^{2})\right)}</math>
<math display="block">= \sqrt{\left((1-a^{2})(1-y^{2}) - 2ya\sqrt{(1-y^{2})}\sqrt{(1-a^{2})} + a^{2}y^{2}\right)}</math>

<math display="block">= \sqrt{(1-a^{2})}\sqrt{(1-y^{2})} - ay\ ]</math>
<ref>« mais on », d'une encre plus appuyée, est écrit en bout de ligne après « réelles », peut-être sur un mot effacé ; « aussi », « ensuite » (le premier) et « pris avec un signe contraire » sont écrits au-dessus de la ligne, en plus petit ; le second « ensuite », dans la ligne, est barré. Le crochet ouvert devant « cette dernière » se ferme après la dernière égalité.</ref>

Mais si d'un côté cette méthode est un peu plus directe que la précédente, de l'autre elle a aussi l'inconvenient de dependre des quantités transcendantes; en effet puisque l'intégrale de l'équation est purement algébrique n'est-il pas naturel depenser qu'il y ait une voie [aussi] purement algébrique pour y parvenir? Qu'on multiplie les deux membres de l'équation (A) en croix, on aura
<math display="block">dx\sqrt{(1-y^{2})} = dy\sqrt{(1-x^{2})} \quad \text{et intégrant par parties}</math>

<math display="block">x\sqrt{(1-y^{2})} + \int\frac{xy\,dy}{\sqrt{(1-y^{2})}} = y\sqrt{(1-x^{2})} + \int\frac{yx\,dx}{\sqrt{(1-x^{2})}} + C</math>
or l'équation (A) étant multipliée par <math>yx</math> et ensuite integrée donne <math>\int\frac{xy\,dy}{\sqrt{(1-y^{2})}} = \int\frac{xy\,dx}{\sqrt{(1-x^{2})}}</math> donc l'équation précédente deviendra <math>x\sqrt{(1-y^{2})} = y\sqrt{(1-x^{2})} + C</math> équation algébrique qui en déterminant convenablement la constante revient au même que celle trouvée plus haut. <ref>« aussi », au-dessus de « purement », est ajouté entre les lignes. Dans le second membre de la deuxième équation, un premier <math>y</math> est écrit et chargé, puis repris : on lit <math>yx\,dx</math>. « multipliée » : le « m » est récrit sur un autre trait. La page s'arrête au bas du feuillet sur « plus haut. » et la vue 745 continue.</ref>

745Vue 7453 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

On pourroit aussi appliquer la même méthode a l'intégration de l'équation générale <math>\frac{dx}{\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})}} = \frac{dy}{\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})}} \ldots\ldots \text{C}</math> car multipliant d'abord en croix, et prenant ensuite l'intégrale de chaque membre par parties on a
<math display="block">x\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})} - \int\frac{(\beta + 2\gamma y)\,x\,dy}{2\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})}}</math>

<math display="block">= y\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})} - \int\frac{(\beta + 2\gamma x)\,y\,dx}{2\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})}} + C \ldots\ldots \text{D}</math>
Or l'équation C étant multipliée par <math>xy</math> et ensuite intégrée donne
<math display="block">\int\frac{xy\,dx}{\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})}} = \int\frac{xy\,dy}{\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})}}</math>
deplus on a par la même équation
<math display="block">\int\frac{y\,dx}{\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})}} = \int\frac{y\,dy}{\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})}}</math>

<math display="block">= \frac{1}{\gamma}\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})} - \frac{\beta}{2\gamma}\int\frac{dy}{\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})}}</math>
et demême
<math display="block">\int\frac{x\,dy}{\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})}} = \int\frac{x\,dx}{\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})}}</math>

<math display="block">= \frac{1}{\gamma}\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})} - \frac{\beta}{2\gamma}\int\frac{dx}{\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})}}</math>

<math display="block">= \frac{1}{\gamma}\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})} - \frac{\beta}{2\gamma}\int\frac{dy}{\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})}}</math>
<ref>Le signe « D » de la première équation est écrit en bout de ligne, sous le « <math>+ C</math> ». Dans la troisième équation, le <math>y</math> du second numérateur est récrit sur une autre lettre, sans doute un <math>x</math>.</ref>

donc fesant ces substitutions dans l'équation (D) et effaçant cequi se détruit on aura cette équation algébrique
<math display="block">x\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})} - \frac{\beta}{2\gamma}\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})} = y\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})} - \frac{\beta}{2\gamma}\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})} + C</math>
ou bien
<math display="block">\left(x + \frac{\beta}{2\gamma}\right)\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})} = \left(y + \frac{\beta}{2\gamma}\right)\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})} + C</math>
qui est l'intégrale de l'équation proposée <ref>« détruit » : le « t » est récrit au-dessus de la ligne.</ref>

Voila donc comme on voit une methode bien simple pour intégrer ces sortes d'équations, dont chaque membre en particulier depend de la quadrature du cercle ou de l'hyperbole; mais il y a encore d'autres equations plus générales que les précédentes qui admettent aussi des intégrales algébriques, quoique chacun de leurs membres ne soient en aucune façon intégrable. Ces équations sont comprises dans la formule suivante
<math display="block">\frac{dx}{\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2} + \delta x^{3} + \varepsilon x^{4})}} = \frac{dy}{\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2} + \delta y^{3} + \varepsilon y^{4})}}</math>
[le reste du memoire qui contient environ 20 pages est copié presqu'en entier depuis la page 77 jusqu'a la p. 91 du 2<sup>me</sup> V. du [?] C. I. de Cousin [?]] <ref>Le crochet final est sur la feuille : c'est une remarque de celui qui copie, qui renvoie pour la suite du mémoire à un autre ouvrage, dont le titre est abrégé « C. I. » (peut-être « Calcul intégral » ; c'est une inférence) ; le nom de l'auteur se lit mal. Le bas de la page est blanc ; le mémoire de Lagrange s'arrête ici.</ref>

746Vue 7466 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Condorcet ''Pag. 4 [?] du 4 [?]<sup>me</sup> V. de Turin'' <ref>Les deux chiffres ont la même forme bouclée, proche d'un « A », qui est le 4 du « T. 4 » de la vue 743 ; lecture donnée avec doute. La seconde moitié du titre est soulignée.</ref>

Soit <math>Z</math> une fonction de <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> &c. <math>dx</math>, <math>dy</math>, <math>dz</math> &c. <math>ddx</math>, <math>ddy</math>, <math>ddz</math>, &c. &c. qu'elle soit une differentielle exacte d'une fonction d'un ordre moins élevé, d'une unité, et que <math>B</math> soit cette intégrale inconnue, il est clair que differentiant d'une manière independante des differences qui se trouvent dans <math>Z</math> et dans <math>B</math>, j'ai <math>\delta dB = \delta Z</math>, <math>\int\delta Z = \delta B</math>. le signe d'intégration <math>\int</math> se rapportant a la caractéristique <math>d</math>. Il suit dela 1.<sup>o</sup>, que cherchant a intégrer <math>\delta Z</math> par partie en regardant les <math>\delta x</math>, <math>\delta y</math>, <math>\delta z</math> &c. comme des variables ordinaires, on aura necessairement égale a zéro l'expression qui reste sous le signe <math>\int</math> sans pouvoir être reduite. [en effet on a lors <math>dZ</math> a intégrer aulieu de <math>\delta Z</math> et parconséquent l'intégrale par le signe <math>\int</math> n'est autre chose que <math>Z</math>, mais <math>Z</math> a été supposée être une differentielle exacte et une differentielle exacte ne doit contenir aucune quantité sous le signe; donc la partie {{Rature|1=affect}} affectée de ce signe <math>\int</math> doit être nulle] 2.<sup>o</sup> que l'expression qui sera hors du signe sera identiquement la même que <math>\delta B</math> …… &c. <ref>Le « &c. » final de la première ligne est écrit sur un autre « &c. » empâté. La caractéristique <math>\delta</math> est un « d » à boucle, distinct du <math>d</math> droit. « on a lors » : ainsi, pour « alors ». Le crochet est sur la feuille, comme aux vues précédentes.</ref>

Pag 168 et suivantes Memoire de La Grange sur la methode des ''variations''. <ref>« variations » est souligné. Un trait horizontal sépare ce titre de ce qui précède.</ref>

On suppose <math>\psi</math> [?] <math>= P\delta\varphi + Q\delta x + R\delta y + S\delta z + \&c.</math>
<math display="block">\Pi = P'\delta\varphi + P''d\delta\varphi + P'''d^{2}\delta\varphi + \&c.</math>

<math display="block">+ Q'\delta x + Q''d\delta x + Q'''d^{2}\delta x + \&c.</math>

<math display="block">+ R'\delta y + R''d\delta y + R'''d^{2}\delta y + \&c.</math>

<math display="block">+ \&c.</math>

<math display="block">\int\psi + \Pi = a \text{ une constante}</math>
<ref>La lettre que l'on donne pour <math>\psi</math> est un « v » barré, marqué d'un point dans les deux lignes suivantes. <math>\Pi</math> est tracé comme deux jambages sous une barre. Au-dessus du « O » de « On », une petite marque d'encre en forme de « E », hors du texte.</ref>

On prouve par le calcul que si on change <math>\delta</math> en <math>d</math> dans l'expression de <math>\Pi</math> on aura toujours <math>\Pi = 0</math> et par conséquent <math>\int\psi = \text{constante}</math>
<math display="block">\psi = 0</math>
<ref>« l'expression » est récrit sur un premier mot, peut-être « la ». <math>\psi = 0</math> est écrit sous « <math>\int\psi =</math> constante ».</ref>

[ainsi dans Condorcet ce sont les quantités sous le signe qui deviennent nulle tandis que le le même changement de <math>\delta</math> en <math>d</math> rend nulle les quantités hors le signe dans le present mémoire; sans doute cette difference vient de changement dans les hypotheses mais pour en bien juger il faudroit avoir un mémoire précédent sous les yeux] <ref>Ce paragraphe entre crochets est d'une écriture plus petite. « le le » à la coupure de ligne, « nulle » au singulier : ainsi sur la feuille. Le bas de la page est blanc.</ref>

747Vue 7475 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

[On trouve Pag. 188 jusqu'a 243 [?] deux memoires de la Grange qu'il a analysés en y fesant quelque transformation et addition dans la section de la mechanique ou il traite Du mouvement d'un corps attiré vers un ou plusieurs centres] <ref>« la Grange » : le « n » est ajouté au-dessus de la ligne. Le deuxième chiffre de « 243 » a la forme bouclée du 4 de la vue 746. « la mechanique » renvoie, semble-t-il, à la Mécanique analytique de Lagrange, citée plus bas par sa page ; c'est une inférence.</ref>

[Dans le cas ou le corps est attiré par deux centres fixes] [''en marge :'' Pag. 210.] Si l'un des centres des forces s'eloignoit a l'infini, alors la force tendente a ce centre infiniment distant deviendroit uniforme, et agiroit suivant des lignes parallèles; ainsi on auroit le cas d'un corps attiré vers un centre fixe par une force reciproquement proportionnelle aux quarrés des distances, et poussé en même tems par une force devaleur et de direction constante. <ref>« Pag. 210. » est écrit dans la marge de gauche, en face de « Si l'un des centres ». Un crochet ouvrant, isolé, se voit aussi dans la marge en face de « proportionnelle ».</ref>

[Pour appliquer les formules de la méchanique (''Pag. 271'') au cas present il est visible que l'on doit faire <math>b = \infty</math> et <math>r</math> ou <math>q</math> egalement <math>\infty</math>]

2<sup>ème</sup> Memoire ''Pag. 218'' <ref>Ce titre est souligné d'un long trait.</ref>

Proposons nous les équations <math>\frac{d^{2}x}{2dt^{2}} + M = 0</math>, <math>\frac{d^{2}y}{2dt^{2}} + N = 0</math>, <math>M</math> et <math>N</math> étants des fonctions de <math>x</math>, <math>y</math>; et voyons quelles sont les conditions de l'intégrabilité de ces équations. Nous supposerons que ces deux équations étants multipliées l'une et l'autre par des quantités convenables, et ensuite ajoutées ensemble forment une équation intégrable. Cette supposition est peut-être la seule qui convienne a la nature des équations proposées, et elle est d'ailleurs la plus naturelle, et en même tems la plus générale qu'on puisse faire. Or comme les deux membres <math>M</math> et <math>N</math> sont des quantités finies, il est visible que les multiplicateurs ne sauroient être que des quantités differentielles du premier ordre. Prenons donc <math>m\,dx + n\,dy</math>, et <math>\mu\,dx + \nu\,dy</math> pour les multipicateurs dont il s'agit, <math>m</math>, <math>n</math>, <math>\mu</math> et <math>\nu</math> étant des fonctions de <math>x</math> et <math>y</math> et nous aurons l'équation
<math display="block">\frac{m\,dx\,d^{2}x + n\,dy\,d^{2}x + \mu\,dx\,d^{2}y + \nu\,dy\,d^{2}y}{2dt^{2}} \pm (mM + \mu N)\,dx + (nM + \nu N)\,dy = 0</math>
laquelles ne sauroit être intégrable amoins que les deux parties (savoir celle qui contient les differences secondes, et celle qui ne contient que les differences premières) ne soient intégrable chacune en particulier. <ref>Devant « Nous supposerons », une grande croix d'encre à boucle, en marge ; peut-être une majuscule manquée et reprise. « étants », « multipicateurs », « laquelles », « intégrable » : ainsi. Les deux derniers multiplicateurs sont tracés comme « u » (ou « c ») et « v » ; on les donne <math>\mu</math> et <math>\nu</math>, choix du transcripteur. Le signe devant <math>(mM + \mu N)</math> est un <math>+</math> posé sur un trait, lu <math>\pm</math>.</ref>

Or il n'est pas difficile de voir que l'intégrale de la première ne peut être que de cette forme <math>\frac{A\,dx^{2} + B\,dx\,dy + C\,dy^{2}}{2dt^{2}}</math>, <math>A</math>, <math>B</math> <math>C</math>, étant des fonctions de <math>x</math> et <math>y</math>; donc comparant la differentielle de la quantité <math>A\,dx^{2} + B\,dx\,dy + C\,dy^{2}</math> qui est
<math display="block">2A\,dx\,d^{2}x + B(dx\,d^{2}y + dy\,d^{2}x) + 2C\,dy\,d^{2}y + \left(\frac{dA}{dy} + \frac{dB}{dx}\right)dx\,dy</math>

<math display="block">+ \left(\frac{dB}{dy} + \frac{dC}{dx}\right)dy^{2}\,dx + \frac{d.C}{dy}\,dy^{3}, \quad \text{avec la quantité}</math>

<math display="block">m\,dx\,d^{2}x + \mu\,dx\,d^{2}y + n\,dy\,d^{2}x + \nu\,dy\,d^{2}y, \quad \text{on aura}</math>
<ref>La différentielle recopiée est incomplète : il y manque les termes <math>\frac{dA}{dx}dx^{3}</math> et, au lieu de <math>\left(\frac{dA}{dy} + \frac{dB}{dx}\right)dx\,dy</math>, on attendrait <math>dx^{2}\,dy</math> ; transcrite telle quelle. La phrase s'arrête sur « on aura » au bas du feuillet, et la suite est à la vue 748.</ref>

748Vue 7485 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

<math display="block">2A = m,\ B = n = \mu,\ 2C = \nu,\ \frac{dA}{dx} = 0,\ \frac{dC}{dy} = 0,\ \frac{dA}{dy} + \frac{dB}{dx} = 0,\ \frac{dB}{dy} + \frac{dC}{dx} = 0.</math>
Les équations <math>\frac{dA}{dx} = 0</math> et <math>\frac{dC}{dy} = 0</math> donnent d'abord <math>A = \text{fonc.}\,y</math>, <math>C = \text{fonc.}\,x</math>. [en effet <math>\frac{dA}{dx}</math> étant le coëfficient [de dans [?]] de la differentielle de <math>A</math> prise par rapport a <math>x</math>, il en resulte evidemment que <math>A</math> [ne] contient [pas] <math>x</math>, {{Rature|1=puisque sans cette condition}} {{Rature|1=<math>A</math> ne pourroit être differentiée par rapport a cette variable}} [car si <math>A</math> etoit fonction de <math>x</math> la differentielle partielle prise parrapport a <math>x</math> ne seroit pas nulle. Mais <math>A</math> {{Rature|1=ab}} a été d'abord supposée fonction de <math>y</math> et <math>x</math> donc puis qu'elle ne contient pas <math>x</math> elle est simplement fonction de <math>y</math>. le même raisonnement p. <math>C</math>.] Dans le calcul des fonctions on auroit eu <math>A' = 0</math> et la manière deplacer l'accent auroit indiqué par rapport a quelle variable la fonction prime auroit été prise, cequi revient absolument au même] <ref>Dans la première ligne, « <math>n =</math> » est récrit sur un autre signe. Les lettres <math>y</math> et <math>x</math> de « fonc. <math>y</math> », « fonc. <math>x</math> » sont chacune récrites sur l'autre. Au-dessus de « de la differentielle », en plus petit, « de dans » (ou « dedans »), sans marque d'insertion. Le passage de « car si A etoit » à « p. C. » est écrit en très petit au-dessus et au-dessous des lignes barrées, qu'il remplace ; « p. C. » vaut sans doute « pour C ». Deux petits traits dans la marge de gauche, en face de « en effet ».</ref>

Ensuite les équations <math>\frac{dA}{dy} + \frac{dB}{dx} = 0</math>, et <math>\frac{dB}{dy} + \frac{dC}{dx} = 0</math> donnent <math>\frac{d^{2}A}{dy^{2}} = \frac{d^{2}C}{dx^{2}}</math> d'ou il aisé de conclure que les quantités <math>A</math> et <math>C</math> ne peuvent que dela forme suivante <math>A = a + by + cy^{2}</math>, <math>C = g + hx + cx^{2}</math>, <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>g</math>, <math>h</math> étant des constantes. [on voit effectivement que les valeurs de <math>A</math> et <math>C</math> ne peuvent pas contenir des puissances des variables, dont elles sont respectivement fonction, plus elevées que le second degré il est de plus visible que cette puissance seconde {{Rature|1=de}} ne peut être multipliée que par la même constante dans l'une et l'autre fontion, car cette dernière condition est également necessaire pour que l'équation <math>\frac{d^{2}A}{dy^{2}} = \frac{d^{2}C}{dx^{2}}</math> ait lieu. Soit donc <math>\frac{d^{2}A}{dy^{2}} = 2c</math> ou <math>\frac{d^{2}A}{dy} = 2c\,dy</math> on a en intégrant <math>\frac{dA}{dy} = 2cy + b</math>, <math>dA = 2cy\,dy + b\,dy</math> <math>A = cy^{2} + by + a</math> en fesant la même opération pour <math>C</math> on trouve la valeur indiquée {{Rature|1={{Illisible}}}}. on voit que les constantes <math>b</math>, <math>a</math>, peuvent être differentes de <math>g</math> et <math>h</math> parceque ces lettres disparoissent {{Rature|1={{Illisible}}}} en differentiant deux fois] <ref>« d'ou il aisé » : ainsi, sans « est » ; « ne peuvent que dela forme » : ainsi, sans « être ». Les trois lignes du calcul de <math>A</math> sont écrites à droite de la page, en face de « en fesant … on voit que ». Après « indiquée », un mot court noyé sous une tache ; après « disparoissent », un mot de deux lettres barré.</ref>

Maintenant l'équation <math>\frac{dA}{dy} + \frac{dB}{dx} = 0</math>, <math>\frac{dB}{dx} = -b - 2cy</math> d'ou en intégrant <math>B = -(b + 2cy)x + \text{fonc.}\,y</math> [on ajoute fonc. <math>y</math> parceque <math>B</math> ayant été supposée fonction de <math>x</math> et <math>y</math> on doit ajouter une fonc. de <math>y</math> a l'intégrale de la differentielle prise pour <math>x</math>] mais l'autre équation <math>\frac{dB}{dy} + \frac{dC}{dx} = 0</math> donnera demême <math>B = -(h + 2cx)y + \text{fonc.}\,x</math> ensorte qu'on aura <math>B = k - bx - hy - 2cxy</math>, <math>k</math> étant une constante] <ref>Le <math>y</math> de « fonc. <math>y</math> », en fin de première ligne, est empâté. Le crochet fermant de la dernière ligne n'a pas de crochet ouvrant correspondant après le premier, déjà fermé.</ref>

[car engénéral <math>\frac{dB}{dx}dx + \frac{dB}{dy}dy = dB</math> mais ici on a <math>\frac{dB}{dx}dx + \frac{dB}{dy}dy = -(b + 2cy)\,dx - (h + 2cx)\,dy</math> et l'on tire de la première valeur de <math>B</math>, <math>dB = -(b + 2cy)\,dx - 2cx\,dy + \text{fonc}\,y'\,dy</math> puis de la seconde …… <math>dB = -(h + 2cx)\,dy - 2cy\,dx + \text{fonc.}\,x'\,dx</math> et comparant ces valeurs de <math>dB</math> avec celle de la differentielle partielle on a <math>-h\,dy = \text{fonc}\,y'\,dy</math>, <math>-b\,dx = \text{fonc.}\,x'\,dx</math> <math>-hy = \text{fonc.}\,y + \text{constante}</math>, <math>-bx = \text{fonc.}\,x + \text{constante}</math> {{Rature|1=si on}} si donc on met pour fonc. <math>x</math> et fonc. <math>y</math> leurs valeurs dans celle <math>B</math> on aura l'équation indiqué] <ref>Dans « <math>-h\,dy = \text{fonc}\,y'\,dy</math> », le <math>y</math> et le <math>dy</math> sont récrits ; dans « <math>-bx</math> », le <math>x</math> est récrit sur un autre signe. « si on », en bout de ligne, est barré et repris à la ligne suivante.</ref>

Ayant déterminé ainsi les quantités <math>A</math>, <math>B</math>, {{Rature|1=et}} <math>C</math>, on aura pour les multiplicateurs des équations proposées, les deux quantités <math>2A\,dx + B\,dy</math>, et <math>B\,dx + 2C\,dy</math>; et il ne restera plus qu'a rendre intégrables la formule <math>(2AM + BN)\,dx + (BM + 2CN)\,dy</math>, car alors, en nommant <math>Z</math> l'intégrale de cette formule, on aura l'équation dupremier ordre. <math>\frac{A\,dx^{2} + B\,dx\,dy + C\,dy^{2}}{2dt^{2}} + Z = \text{une constante}</math> {{Rature|1=<math>= a</math>}} Or pour qu'une quantité telle que <math>(2AM + BN)\,dx + (BM + 2CN)\,dy</math> soit une differentielle exacte il faut que l'on ait <math>\frac{d.(2AM + BN)}{dy} = \frac{d.(BM + 2CN)}{dx}</math>, c'est l'équation de condition qui doit avoir lieu pour que les équations proposées admettent une intégrale du premier ordre. <ref>« une constante » : « une » est écrit au-dessus de « constante », qui remplace un « <math>= a</math> » barré après <math>Z</math>, et un second « <math>= a</math> » barré en bout de ligne ; les deux ratures sont réunies ici. La dernière ligne, serrée, finit au bord droit du feuillet (« ordre » est écrit au-dessus de la fin de la ligne). Le texte s'arrête au bas de la page et reprend en tête de la vue 749.</ref>

749Vue 7494 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Puisque <math>(2AM + BN)\,dx + (BM + 2CN)\,dy = dZ</math>, on aura <math>2AM + BN = \frac{dZ}{dx}</math>, et <math>BM + 2CN = \frac{dZ}{dy}</math> et parconséquent <math>M = \frac{2C\frac{dZ}{dx} - B\frac{dZ}{dy}}{4AC - B^{2}}</math>, <math>N = \frac{2A\frac{dZ}{dy} - B\frac{dZ}{dx}}{4AC - B^{2}}</math>. où l'on pourra prendre pour <math>Z</math> une fonction quelconque de <math>x</math>, et <math>y</math>. Si on fait encore <math>4AC - B^{2} = D</math>, et <math>Z = D^{2}V</math>, (<math>V</math> etant une fonction quelconque de <math>x</math> et <math>y</math>) on aura <math>M = 2V\left(2C\frac{dD}{dx} - B\frac{dD}{dy}\right) + D\left(2C\frac{dV}{dx} - B\frac{dV}{dy}\right)</math>
<math display="block">N = 2V\left(2A\frac{dD}{dy} - B\frac{dD}{dx}\right) + D\left(2A\frac{dV}{dy} - B\frac{dV}{dx}\right)</math>
or a cause de <math>\frac{dA}{dx} = 0</math>, <math>\frac{dC}{dy} = 0</math>, <math>\frac{dB}{dx} = -\frac{dA}{dy}</math> et <math>\frac{dB}{dy} = -\frac{dC}{dx}</math>, on trouvera
<math display="block">\frac{dD}{dx} = 2\left(2A\frac{dC}{dx} + B\frac{dA}{dy}\right)\ \frac{dD}{dy} = 2\left(2C\frac{dA}{dy} + B\frac{dC}{dx}\right);\ \text{donc on aura}</math>

<math display="block">M = D\left(4V\frac{dC}{dx} + 2C\frac{dV}{dx} - B\frac{dV}{dy}\right),</math>

<math display="block">N = D\left(4V\frac{dA}{dy} + 2A\frac{dV}{dy} - B\frac{dV}{dx}\right),</math>
Ainsi toutes les fois que les quantités <math>M</math> et <math>N</math> pourront se ramener a cette forme les équations <math>\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + M = 0</math>, et <math>\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + N = 0</math> auront pour intégrale <math>\frac{A\,dx^{2} + B\,dx\,dy + C\,dy^{2}}{2dt^{2}} + D^{2}V = a</math> une constante <ref>« <math>\frac{dC}{dy} = 0</math> » et le début de « <math>\frac{dB}{dx}</math> » sont sous le cachet et se lisent à travers. Dans la seconde expression de <math>\frac{dD}{dy}</math>, le « 2 » est récrit sur un autre chiffre. Ici les équations sont écrites sans le « 2 » au dénominateur (<math>\frac{d^{2}x}{dt^{2}}</math>), à la différence de la vue 747. Dans la dernière formule, le <math>dy</math> de <math>C\,dy^{2}</math> est récrit.</ref>

[Dans le mémoire cité (''P. 37'') dela Théorie des nombres on trouve (P. 46 [?] T. 4 [?] de Turin) <ref>Le premier chiffre de « 46 » et le « 4 » de « T. 4 » ont la forme bouclée du 4 des vues 743 et 746. « la Théorie des nombres » renvoie à un ouvrage qui cite, à sa page 37, le mémoire de Lagrange du tome 4 de Turin ; le crochet ouvert n'est pas refermé sur cette ligne.</ref>

Lemme. Le produit de ces deux quantités <math>x^{2} - ay^{2}</math> et <math>x'^{2} - ay'^{2}</math> est <math>(xx' \pm ayy')^{2} - a(xy' \pm yx')^{2}</math>; car <math>(x^{2} - ay^{2})(x'^{2} - ay'^{2}) = x^{2}x'^{2} + a^{2}y^{2}y'^{2} - ay^{2}x'^{2} - ax^{2}y'^{2}</math>.
<math display="block">= x^{2}x'^{2} \pm 2axx'yy' + a^{2}y^{2}y'^{2} - ax^{2}y'^{2} \mp 2axyx'y' - ay^{2}x'^{2}</math>

<math display="block">= (xx' \pm ayy')^{2} - a(xy' \pm yx')^{2}</math>
[et P. 60 du même mémoire]

Or comme le quarré le cube {{Rature|1=&c.}} et en général toute puissance d'une quantité de cette forme <math>x^{2} - ay^{2}</math> est toujours aussi de la même forme il s'en suit qu'en élevant l'équation <math>1 = x^{2} - ay^{2}</math> à une puissance quelconque, on aura une infinité d'autres équations semblables de sorte qu'ayant trouvé par quelque méthode que ce soit, une seule solution du problème, on pourra par son moyen en trouver d'autres a l'infini. Pour renfermer toutes ces solutions dans une formule générale, supposons que <math>p</math> et <math>q</math> soient les valeurs trouvées de <math>x</math> et <math>y</math> en sorte que l'on ait <math>1 = p^{2} - aq^{2}</math>; en élevant les deux membres de cette équation a une puissance quelconque, <math>m</math>, on aura <math>1 = (p^{2} - aq^{2})^{m}</math>, équation qu'il s'agit de réduire a la forme de celle-ci <math>1 = x^{2} - ay^{2}</math>. Pour cela je remarque que <math>p^{2} - aq^{2} = (p + q\sqrt{a})(p - q\sqrt{a})</math>, de sorte que l'on aura <math>(p^{2} - aq^{2})^{m} = (p + q\sqrt{a})^{m}(p - q\sqrt{a})^{m}</math>. or, <math>(p + q\sqrt{a})^{m} = p^{m} + mp^{m-1}q\sqrt{a} + \frac{m(m-1)}{2}.p^{m-2}q^{2}a + \&c.</math> donc si on fait <math>x = p^{m} + \frac{m(m-1)}{2}p^{m-2}q^{2}a + \&c.</math> <math>y = mp^{m-1}q + \frac{m(m-1)(m-2)}{2.3}.p^{m-3}q^{3}a + \&c.</math> on aura <math>(p + q\sqrt{a})^{m} = x + y\sqrt{a}</math>; et prenant le radical <math>\sqrt{a}</math> en <math>-</math>, on aura demême <math>(p - q\sqrt{a})^{m} = x - y\sqrt{a}</math> donc <math>(p^{2} - aq^{2})^{m} = (x + y\sqrt{a})(x - y\sqrt{a}) = x^{2} - ay^{2}</math>; de sorte que l'on aura engénéral <math>x^{2} - ay^{2} = 1</math>, en prenant pour <math>m</math> un nombre entier et positif. Au reste les équations <math>(p + q\sqrt{a})^{m} = x + y\sqrt{a}</math>, et <math>(p - q\sqrt{a})^{m} = x - y\sqrt{a}</math> donneront.
<math display="block">x = \frac{(p + q\sqrt{a})^{m} + (p - q\sqrt{a})^{m}}{2}, \quad y = \frac{(p + q\sqrt{a})^{m} - (p - q\sqrt{a})^{m}}{2\sqrt{a}}</math>
expressions qui reviennent au même que les précédentes; mais qui ont l'avantage d'être sous une forme finie, ainsi prenant successivement pour <math>m</math> {{Rature|1=a tous}} les nombres {{Rature|1={{Illisible}}}} [naturels] on aura une infinité de solutions. <ref>Après « le cube », un « &c. » barré. « <math>m</math> » est écrit au-dessus de « pour », sur « a tous » barré ; « naturels », au-dessus de la ligne, remplace un mot barré qu'on ne lit pas ; « on aura » est récrit sur la rature.</ref>

[La Grange demontre ensuite ''P. 65''] que si <math>p</math> et {{Rature|1={{Illisible}}}} <math>q</math> sont les plus petites de <math>x</math> et <math>y</math> qui satisfassent a l'équation <math>x^{2} - ay^{2} = 1</math>, toutes les autres valeurs de <math>x</math> et de <math>y</math> sont necessairement renfermées dans les formules générales. Pour cela il prouve que si <math>p</math> et <math>q</math> sont les plus petites valeurs et <math>p'</math> et <math>q'</math> {{Rature|1=soient}} les plus petites après celle on aura <math>p' = \frac{(p + q\sqrt{a})^{2} + (p - q\sqrt{a})^{2}}{2}</math>, <math>q' = \frac{(p + q\sqrt{a})^{2} + (p - q\sqrt{a})^{2}}{2\sqrt{a}}</math>. [il est visible que si on fait <math>m = 1</math> les deux membres des équations deviennent identiques cequi {{Rature|1=s'accorde}} doit être en effet pour que la proposition soit vraie] <ref>Devant « <math>q</math> », un mot bref barré. Dans <math>q'</math>, le numérateur porte « <math>+</math> » entre les deux carrés, là où la formule générale de <math>y</math> donne « <math>-</math> » ; laissé tel. Ce paragraphe, entre crochets, est d'une écriture plus petite et serrée. Le bas de la page est blanc ; c'est la dernière page écrite du volume.</ref>