Français 9115 · vues 1–750 · Lecture modernisée · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques — lecture modernisée du volume entier
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
Lecture automatique — interprétation non vérifiée

Résumé

Ce que le volume contient

1–750Sept cent cinquante vues : la reliure (vue 1) ; un feuillet de garde qui porte, d'une autre main, plus grande, « Manuscrits de mémoires imprimés » (vue 2)¹ ; puis des feuillets de toutes tailles, montés, souvent sur onglets, pièce après pièce, sans ordre de sujet ni de date. Le volume n'est pas trié, et cette lecture ne prétend pas y trouver un fil.

Le catalogue de la Bibliothèque compte 372 feuillets. Une série de nombres tracés à l'encre en haut à droite, un par feuillet, va de 1 (vue 2) à 372 (vue 748), et un « 373 » barré est porté sur le feuillet blanc de la vue 750. Elle compte les petits feuillets volants et la plupart des feuillets blancs ; elle porte un « 55 bis » (vue 113) et laisse sans numéro le feuillet blanc des vues 732–733. Si l'un et l'autre sont des feuillets, le volume en a 374 : la lecture le constate, et ne le concilie pas avec le chiffre du catalogue. Cette série est tracée à la plume, et les transcriptions ne la donnent pas pour une foliotation ; aussi la lecture cite-t-elle des vues, et non des folios, avec une seule exception : aux vues 708 à 710, les nombres 348 et 349 de la série répondent exactement aux ff. 348r–349r où Laubenbacher et Pengelley situent le « manuscrit C ».

Les pièces, dans l'ordre de la reliure :

• « Exposition des principes qui servent de base à la théorie des surfaces élastiques » (vues 3 à 41), mise au net continue, qui s'ouvre sur son histoire du prix.
• « Mémoire sur la courbure des surfaces » (vues 43 à 89), paginé 1 à 44, avec une planche ; puis un feuillet de titre, « Moyennes courbures », et les brouillons d'une introduction (vues 91 à 114).
• Un mémoire imprimé de Legendre sur l'équation \(4(x^n-1)=(x-1)(Y^2\pm nZ^2)\), lu à l'Académie le 11 octobre 1830, collé page à page sur des feuillets de montage (vues 115 à 134).
• « Idées à vérifier », sur la surface pesante et la chaînette (vues 136 à 140), et une page qui rend en français l'ouverture d'un texte de Gauss sur la courbure (vue 142).
• La copie latine du mémoire d'Euler « Investigatio motuum quibus laminæ et virgæ elasticæ contremiscunt » (Acta de Pétersbourg pour 1779), pages (103) à (161) de l'imprimé (vues 144 à 206).
• La critique du § 47 de ce mémoire, en trois états : un premier brouillon (vues 210 à 216), un second brouillon paginé 1 à 45 (vues 218 à 316), une mise au net paginée (1) à (35) et inachevée (vues 320 à 389), sous deux feuillets de titre (vues 208 et 318) ; puis deux feuillets de figures et deux petits calculs (vues 391 à 396).
• Le long mémoire sur les surfaces élastiques, « sur la question proposée par la première classe de l'Institut », paginé (1) à (165), mise au net corrigée (vues 398 à 592). Sont reliés parmi ses pages sans en faire partie : un feuillet de calculs (vues 410–411) ; le petit feuillet de la vue 416, qui corrige le calcul de la cire du § 6 du même mémoire ; deux petits feuillets de calcul (vues 428 et 483) ; un fragment sur la mesure de la courbure (vue 465) ; un brouillon sur la chaleur (vue 549) ; des petits feuillets sur la plaque circulaire (vues 553 à 564) ; et une note plus tardive sur Fourier, Poisson et Navier (vue 575).
• Les autres états du long mémoire (vues 593 à 626) : une seconde mise au net de son ouverture et de ses pages (23)–(24) (vues 593 à 597) ; un troisième état de l'ouverture (vue 598), que la vue 614 continue mot pour mot, de sorte que les vues 598 et 614 à 618 forment un seul état, selon toute apparence le plus ancien, et non l'ouverture d'un autre mémoire ; reliée entre les deux, une seconde rédaction de la comparaison des sons, pages (61) à (72) (vues 600 à 613) ; enfin quatre pages sur des surfaces cylindriques, qui renvoient au « N.o 11 de mon memoire pour 1813 » (vues 620 à 626).
• La chaleur (vues 630 à 701 et 712 à 716, avec la vue 549) : des calculs sur le cône, la sphère et le cylindre ; « Équation du mouvement varié de la chaleur dans une sphère solide échauffée d'une manière entièrement arbitraire » (vues 652 à 670) ; la même pour le cylindre, en brouillon et en copie incomplète (vues 672 à 695) ; un dernier état pour la sphère, le cône et le cylindre (vues 696 à 701). Au milieu, une feuille sur la somme des courbures de la sphère (vue 650), qui n'est pas de la chaleur.
• L'arithmétique (vues 704 à 730) : des notes sur les résidus quadratiques, et, aux vues 708 à 710, le manuscrit C. Les feuillets de la chaleur des vues 712 à 716 sont reliés parmi elles.
• Des extraits des Mémoires de Turin : Lagrange, Euler, Condorcet (vues 734 à 749). La vue 750 est un feuillet blanc.

La lecture reprend ces pièces dans cet ordre, à trois exceptions près : elle lit ensemble les feuillets d'un même sujet que la reliure a dispersés (les feuillets épars sur la courbure, les pièces sur la chaleur) ; elle place les autres états de l'ouverture du long mémoire entre les deux parties de celui-ci ; et elle lit l'imprimé de Legendre avec l'arithmétique, après le manuscrit C.

Ce qui est relié hors d'ordre, et ce qui est photographié deux fois. Dans la copie d'Euler, la page (128) est reliée entre la page (125) et la page (126) (vue 167), ce que la copie signale elle-même. Dans le long mémoire, ses pages (9) à (12) sont écrites deux fois (vues 406 à 409 et 412–413), et deux pages portent le numéro (132) (vues 542 et 543). Les calculs sur la chaleur se lisent dans l'ordre 639, 636, 637 ; la « Note » de la vue 656 et un feuillet blanc sont reliés entre la deuxième et la troisième page de la pièce sur la sphère ; la copie de la pièce sur le cylindre n'a pas ses pages 3 à 6. Plusieurs billets montés à deux par feuille sont numérotés de bas en haut (vues 553, 726 et 728). Sont des secondes prises de vue d'une même page : 53 (de 51), 122 (de 121), 191 (de 190), 196–197 (de 194–195), 204 (de 203), 281 (de 280, béquet relevé), 302 (de 301), 359 (de 358), 431 (de 429), 559 (de 557), 594 (de 593), 611–612 (de 609–610).

Les mains. La plupart des pièces sont de sa main, en deux écritures : une mise au net régulière (l'Exposition, le mémoire sur la courbure, le long mémoire) et une écriture rapide de travail (les brouillons, les calculs, les notes d'arithmétique). La copie d'Euler et la mise au net de la critique sont d'une main droite et régulière, que les transcriptions attribuent diversement ; cette lecture ne tranche pas. La seconde mise au net des vues 593 à 597 est d'une écriture plus grande et très régulière ; le manuscrit C, d'une main posée ; les extraits de Turin, d'une main penchée que les feuillets ne désignent pas, et dont les remarques entre crochets sont dites ici « du copiste ». Les transcriptions ne se prononcent pas sur la main des « Idées à vérifier », écrites à la première personne.

Ce que les feuillets datent. Aucune pièce n'est datée de sa main. Les feuillets citent : le mémoire d'Euler de 1779, et sa Methodus « imprimée en 1744 » ; les Leçons sur le calcul des fonctions de Lagrange, « an 1806 », et la nouvelle édition de sa Mécanique ; « mon memoire pour 1813 » (vue 626) ; les concours de janvier 1814 et de janvier 1816 (vues 3 à 9, 31) ; « le mémoire couronné qui fut présenté en 1815 » et « mes recherches … publiées en 1821 » (vue 103) ; « cette hypothese que j'ai donné en 1811 » et un « N.o d'aout » d'un périodique (vue 575) ; la théorie de la chaleur de Fourier, par articles et par pages ; l'imprimé de Legendre porte « Lu à l'Académie, le 11 octobre 1830 ». Toute date qu'une pièce ne porte pas est, dans ce qui suit, une inférence dite comme telle. Le 1801–1900 de l'en-tête est la datation du catalogue.

Ce qui n'est pas dans le volume. Le théorème de Sophie Germain sur les nombres premiers auxiliaires, et son grand plan sur le théorème de Fermat ; le mémoire pour 1816, dont l'Exposition cite le N^o 15 ; les planches d'Euler (Tab. II et III) ; la planche de Chladni « jointe à ce mémoire » et la « fig. A » du long mémoire (vue 464) ; les pages 3 à 6 de la copie sur le cylindre ; la suite des pages (72) de la seconde rédaction et (35) de la mise au net de la critique.

« Exposition des principes qui servent de base à la théorie des surfaces élastiques »

3–41Le volume s'ouvre sur une pièce entière et continue : une mise au net, d'une seule main régulière, de trente-neuf pages sans lacune, qui compare deux manières de fonder la théorie des plaques et des surfaces élastiques — la sienne, qui fait dépendre les forces d'élasticité de la somme des courbures principales, et celle d'un rival qu'elle ne nomme jamais autrement que « un membre de la classe » ou « le savant auteur du mémoire sur les surfaces élastiques ».² Le nom de ce rival n'est pas sur ces feuillets, et la lecture ne l'y met pas.³ Tout au long, les dérivées partielles sont écrites avec un \(d\) droit.⁴

Les notations de la lecture sont celles de tout ce groupe : \(\kappa_1 = 1/\rho\), \(\kappa_2 = 1/\rho'\) les courbures principales de la figure forcée, \(1/R\), \(1/R'\) celles de la figure naturelle, \(H = \frac12(\kappa_1+\kappa_2)\) la courbure moyenne, \(K = \kappa_1\kappa_2\) la courbure de Gauss. Sa « somme des raisons inverses des deux rayons de courbures principales » est donc \(2H\).

L'Avertissement : l'histoire de la question, racontée par elle

3–9Elle dit d'emblée ce qu'elle cherche : deux hypothèses « essentiellement différentes » sont proposées, l'une « a pour appui un nom justement célèbre », ce qui est « une forte raison de se défier de celle qui m'appartient » ; elle expose ses raisons pour que « le public éclairé les pèse », et sollicite l'examen critique de la sienne.⁵

Puis l'histoire, dans ses mots. Les premières expériences de Chladni lui firent croire que l'analyse pouvait en trouver les lois ; « un grand géomètre dont les premiers travaux avoient été consacrés à la théorie du son » lui apprit que la question contenait des difficultés insoupçonnées, et elle cessa d'y penser.⁶ Le séjour de Chladni à Paris la ramena au sujet ; elle étudia le mémoire d'Euler sur le cas linéaire, « non pas certainement dans l'intention de concourir au prix extraordinaire » que proposa l'Institut.⁷ Dans le cas linéaire les forces d'élasticité sont supposées proportionnelles à la courbure ; l'hypothèse qui met à sa place la somme des deux courbures principales d'une surface « me frappa par son analogie et par sa simplicité ».

Au concours de janvier 1814 elle présenta un mémoire contenant l'hypothèse, l'équation de la plaque vibrante et, par quelques intégrales particulières, la comparaison avec l'expérience ; l'Institut jugea la comparaison satisfaisante, mais elle reconnaît qu'une « ignorance la moins excusable » l'avait empêchée de déduire régulièrement l'équation de l'hypothèse, faute qui ne permettait pas à la classe une approbation entière.⁸ En août 1814, « un membre de la classe » lut un mémoire sur les surfaces élastiques, fondé sur une hypothèse nouvelle, borné aux surfaces naturellement planes, et parvenant à la même équation ; il paraissait reconnaître qu'on y arrivait aussi par la somme des inverses des rayons principaux. Pour le concours de janvier 1816 elle tenta de justifier son hypothèse a priori et de l'étendre à une surface de figure quelconque ; l'Académie couronna ce mémoire, mais « a pourtant mis une certaine restriction à son approbation », restriction dont elle dit n'avoir jamais bien compris le sens. Le mémoire de son rival fut publié ensuite sans mention de son dernier travail ; elle en conclut qu'il n'adoptait pas son sentiment, et dit avoir « longtems attendu » la suite promise de ses recherches.

Elle annonce enfin la division de la pièce (examen a priori ; conclusions analytiques pour les plaques ; comparaison avec l'expérience) et une correction : le signe du terme qui représente la courbure naturelle est contraire à celui qu'elle avait adopté, « en suivant l'indication d'Euler (de sono campanorum) », dans le mémoire pour 1816, de sorte que les différences de son observées sur des plaques avant et après leur courbure, qu'elle avait dites contraires à sa théorie au N^o 15 de ce mémoire, « y sont entièrement conformes ».⁹

Deux genres d'hypothèses

9–11Les unes ne sont que l'énoncé de la question et transmettent leur évidence à toutes leurs conséquences ; les autres sont un choix de point de vue fait pour rendre l'analyse applicable, et leurs conséquences demandent une confirmation venue d'ailleurs.¹⁰ Les mathématiques pures n'admettent que les premières ; les mathématiques mixtes doivent souvent employer les secondes, et les géomètres s'efforcent de s'en affranchir — ainsi Biot a montré que la théorie des surfaces tendues ne dépend pas de la supposition à l'aide de laquelle Euler l'avait d'abord établie. Elle place sa thèse ici : son hypothèse serait du premier genre, « la définition complette de l'état de la question », et celle de son rival ne s'appliquerait que là où elle équivaut à la sienne. La suite de la lecture montre que ni l'une ni l'autre n'est la loi que la théorie actuelle retient (voir plus bas).

Les deux hypothèses examinées a priori (N^os 1 à 6)

12–24Les deux termes. Elle prend la définition de l'élasticité de d'Alembert (« propriété … au moyen de laquelle [les corps] se rétablissent dans la figure et l'étendue que quelque cause extérieure leur avoit fait perdre ») et en tire que les forces ont pour mesure la différence \(E - N\) entre la figure forcée et la figure naturelle ; leur terme dans l'équation des vitesses virtuelles est \(-(E-N)\,\delta(E-N)\).¹¹ Pour l'hypothèse de son rival, une surface d'épaisseur égale dont les points se repoussent dans une sphère d'activité de rayon insensible, l'action se réduit à détruire « l'irrégularité » \(I\) de la surface, d'où un terme \(-I\,\delta I\).¹²

La courbure d'une surface (N^o 3). Elle part du passage d'Euler (Recherches sur la courbure des surfaces, Mémoires de Berlin pour 1760, p. 119) où la question de la courbure d'une surface est dite « fort équivoque », puisqu'il y a en chaque point une infinité de courbures, et se propose de sommer les courbures de toutes les sections planes par le point. Elle écarte d'abord les sections obliques par l'argument que deux sections inclinées de \(\theta\) et de \(\pi - \theta\) sur la même tangente auraient des courbures \(\cos\theta/\rho_p\) et \(\cos(\pi-\theta)/\rho_p\), de somme nulle. Cet argument ne tient pas : par le théorème de Meusnier, la section oblique dont le plan fait l'angle \(\theta\) avec la normale a pour rayon \(\rho_p\cos\theta\), et donc pour courbure \(1/(\rho_p\cos\theta)\), la même pour \(\theta\) et pour \(\pi-\theta\) ; rien ne se compense.¹³ Ce qui est vrai, et qui justifie la conclusion qu'elle en tire, c'est que la courbure d'une section oblique est déterminée par celle de la section normale de même tangente : seules les sections normales portent de l'information.

Pour celles-ci elle écrit la formule d'Euler : si \(\varphi\) est l'angle d'une section normale avec la direction principale de courbure \(\kappa_1\), \[ \kappa(\varphi) = \kappa_1\cos^2\varphi + \kappa_2\sin^2\varphi , \qquad \kappa(\varphi) + \kappa\!\left(\varphi + \tfrac{\pi}{2}\right) = \kappa_1 + \kappa_2 = 2H , \] la somme des courbures de deux sections normales perpendiculaires ne dépendant pas de leur position.¹⁴ Elle conclut que la somme sur toutes les sections est « la somme des raisons inverses des deux rayons de principales courbures prise une infinité de fois », l'infini n'étant qu'une répétition de la même mesure. Une somme infinie de cette sorte n'a pas de sens ; son énoncé correct est une moyenne : la valeur moyenne de \(\kappa(\varphi)\) sur toutes les directions est \(H\). C'est exactement ce que le mémoire sur la courbure établira plus loin par ses « surfaces des distances ». Pour la figure naturelle et la figure forcée, elle pose \(N = \frac1R + \frac1{R'}\) et \(E = \frac1\rho + \frac1{\rho'}\), d'où son terme \[ -\bigl(E - N\bigr)\,\delta\bigl(E - N\bigr), \qquad E - N = \Bigl(\frac1\rho + \frac1{\rho'}\Bigr) - \Bigl(\frac1R + \frac1{R'}\Bigr). \]

L'irrégularité (N^o 4). Elle mesure l'irrégularité d'une surface par l'écart de courbure entre sections normales perpendiculaires. En coordonnées où les dérivées premières sont nulles au point, elle écrit \[ \frac{1}{\rho_p} - \frac{1}{\rho'_p} = (r-t)\cos 2A + 2s\sin 2A , \] et pour le couple complémentaire (angle \(\frac\pi2 - A\)) \(-(r-t)\cos 2A + 2s\sin 2A\) ; la somme des deux écarts vaut \(4s\sin 2A\) et s'annule quand les axes sont les directions principales (\(s = 0\)).¹⁵ Elle en conclut que la seule différence qui ne disparaît pas est celle des courbures principales, et prend pour terme de son rival \(-(\frac1\rho - \frac1{\rho'})\,\delta(\frac1\rho - \frac1{\rho'})\). Le raisonnement par couples est une heuristique ; ce qui est vrai et le remplace est la décomposition \[ \kappa(\varphi) = H + \frac{\kappa_1 - \kappa_2}{2}\cos 2\varphi , \qquad \Bigl(\frac{\kappa_1-\kappa_2}{2}\Bigr)^2 = H^2 - K , \] qui sépare en chaque point une partie isotrope, \(H\), et une partie anisotrope, d'amplitude \(\frac12|\kappa_1-\kappa_2|\), nulle aux seuls points ombilics. Prendre \(\kappa_1 - \kappa_2\) pour mesure de l'« irrégularité » est donc légitime.

En note, elle tire de la section à \(45^\circ\) un théorème qu'elle juge remarquable parce qu'il contredit la lettre d'Euler : la courbure d'une surface « aura pour mesure la courbure de la sphère dont le rayon est égal au rayon de la courbe formée par la section normale qui fait un angle de \(45^\circ\) avec les plans de plus grande et de moindre courbures ». C'est exact : \(\kappa(\pi/4) = H\), et la sphère en question, de rayon \(1/H\), a la même somme de courbures \(2H\) que la surface.¹⁶

Le texte du rival (N^o 5) et la comparaison (N^o 6). Elle identifie l'hypothèse de ses N^os 2 et 4 à celle du « savant auteur du mémoire sur les surfaces élastiques », dont elle cite le passage sur une force répulsive sensible seulement à des distances imperceptibles, proportionnelle au produit des épaisseurs, et bornée aux surfaces également épaisses.¹⁷ Puis elle compare. Son terme vaut pour toute figure naturelle ; celui du rival ne s'épuise que quand \(\kappa_1 = \kappa_2\) : si la figure naturelle n'est pas ombilicale, ses forces répulsives agiraient encore quand la surface a repris sa figure naturelle, et l'hypothèse ne s'applique qu'aux surfaces dont les rayons naturels sont « égaux et dirigés du même côté ».¹⁸ Pour la lame droite le choix est indifférent, les deux différences valant \(1/\rho\) ; pour la plaque plane, les points intérieurs reçoivent de leurs voisins une action « sphérique » équivalente à des forces propres, et le choix redevient indifférent pour eux, mais non pour les points du bord, dont la sphère d'activité est incomplète.

En termes actuels, les deux densités d'énergie de flexion sont, à un facteur de rigidité près, \[ W_{\mathrm{G}} = \bigl(\kappa_1 + \kappa_2 - N\bigr)^2 , \qquad W_{\mathrm{r}} = \bigl(\kappa_1 - \kappa_2\bigr)^2 . \] Son objection est juste pour ces deux densités : \(W_{\mathrm{r}}\) n'est nulle que sur une surface ombilicale, et une coque naturellement courbe mais non sphérique ne serait pas en équilibre dans sa figure naturelle. Pour une plaque naturellement plane (\(N = 0\)), \[ W_{\mathrm{G}} - W_{\mathrm{r}} = (\kappa_1+\kappa_2)^2 - (\kappa_1-\kappa_2)^2 = 4\kappa_1\kappa_2 = 4K , \] et tout se joue sur la courbure de Gauss (paragraphe suivant). La théorie actuelle des plaques minces (Kirchhoff, 1850) donne pour densité \((\kappa_1+\kappa_2)^2 - 2(1-\nu)\kappa_1\kappa_2\), où \(\nu\) est le coefficient de Poisson du matériau.¹⁹ Son hypothèse est le cas \(\nu = 1\), celle de son rival le cas \(\nu = -1\). Ce sont les deux bornes de l'intervalle \(-1 < \nu < 1\) où cette densité est définie positive, et chacune est dégénérée : \(W_{\mathrm{G}}\) s'annule pour une torsion pure \(\kappa_1 = -\kappa_2\) (la plaque \(z = xy\) se tordrait sans effort), et \(W_{\mathrm{r}}\) pour une flexion sphérique \(\kappa_1 = \kappa_2\). Les matériaux usuels ont \(\nu\) voisin de \(0{,}3\) : ni l'une ni l'autre hypothèse n'est la loi retenue aujourd'hui, et la vraie est entre les deux.

Ce qui les sépare : une variation exacte (N^os 7 et 8)

21–28Elle reprend une remarque de son rival : pour les termes qui restent sous le double signe après les intégrations par parties, on a identiquement \[ \delta\iint \frac{k\,dx\,dy}{\rho\rho'} = \iint \delta\Bigl(\frac{k}{\rho\rho'} \Bigr)\,dx\,dy = 0 , \] et puisque les deux hypothèses diffèrent par \(\iint \delta(4k/\rho\rho')\,dx\,dy\), elles donnent la même équation pour les points intérieurs ; elles diffèrent pour les points du bord.²⁰ C'est exact, et c'est le point central de la comparaison. En langage actuel, pour une surface graphe \(z(x,y)\), la courbure de Gauss linéarisée est \(rt - s^2\), et l'intégrale \(\iint (rt - s^2)\,dx\,dy\) est un lagrangien nul : son équation d'Euler–Lagrange est identiquement nulle, et sa variation se réduit à des termes de bord. La propriété tient même sans linéariser : \((rt - s^2)\,f(p,q)\) est un lagrangien nul pour toute fonction \(f\) (c'est le jacobien de l'application \((x,y) \mapsto (p,q)\) multiplié par une fonction de \((p,q)\)), ce qui couvre \(K\,dA\), où \(f = (1+p^2+q^2)^{-3/2}\), aussi bien que \(K\,dx\,dy\), où \(f = (1+p^2+q^2)^{-2}\).²¹ Le pendant global est le théorème de Gauss–Bonnet : l'intégrale de \(K\,dA\) sur une portion de surface ne dépend que de son bord.²² Donc, pour une plaque naturellement plane, les deux hypothèses donnent la même équation intérieure ; si les bords sont encastrés (\(\delta z = 0\) et \(\delta\,\partial_n z = 0\)), les termes de bord de la différence s'annulent aussi et les deux problèmes coïncident entièrement ; aux bords libres ils diffèrent. Pour une surface naturellement courbe, au contraire, \(W_{\mathrm{G}} - W_{\mathrm{r}} = 4K - 2N(\kappa_1+\kappa_2) + N^2\) n'est plus un lagrangien nul, et les deux hypothèses donnent des équations intérieures différentes.

Elle cite ensuite son rival lui-même sur les points du contour : « détermination très délicate, sur laquelle je me propose de revenir par la suite mais dont il ne sera pas question dans ce mémoire ».²³ Réduite à ses « seules lumières », elle croit que l'hypothèse des forces répulsives conduit à regarder la plaque comme une portion de sphère de rayon infini, donc comme infinie, et elle avance l'idée qu'elle juge fondamentale : les variations de courbure ne sont que le résultat des déplacements des points matériels, qui tendent chacun à reprendre leur position naturelle ; « je supplie les géomètres de lui accorder quelqu'attention ».²⁴

Au N^o 8, elle rapporte encore, d'après son rival, que la plaque en équilibre rend stationnaire, parmi les surfaces de même étendue, \(\iint(\frac1\rho + \frac1{\rho'})^2\,k\,dx\,dy\), et étend l'énoncé à une surface de figure quelconque avec \(\iint (E-N)^2\,k\,dx\,dy\).²⁵ Qu'un partisan de \((\kappa_1-\kappa_2)^2\) puisse énoncer ce principe avec \((\kappa_1+\kappa_2)^2\) n'a rien de contradictoire : les deux intégrales diffèrent de \(4\iint K\), qui ne change pas l'équation intérieure. Pour une surface naturellement courbe, en revanche, l'extension proposée ne décrit pas la flexion des coques telle qu'on la comprend aujourd'hui : l'énergie y dépend de la variation de toute la seconde forme fondamentale, et non de la seule variation de sa trace. Une densité en \((E-N)^2\) ne coûterait rien, par exemple, pour changer un cylindre de rayon \(a\) en un cylindre de même rayon dont l'axe a tourné d'un angle droit au point considéré (\(E = N = 1/a\)), ce qui est une flexion véritable.

L'équation de la plaque vibrante (N^os 9 à 11)

29–31Pour une plaque naturellement plane (\(\frac1R + \frac1{R'} = 0\)), son terme se réduit, aux quantités du second ordre près, à \(-\Delta z\,\delta(\Delta z)\) avec \(\Delta z = r + t\).²⁶ Deux intégrations par parties donnent \[\begin{align*} \iint \Delta z\,\delta\Delta z\,dx\,dy &= \int\Bigl(\Delta z\,\delta\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial \Delta z}{\partial x}\,\delta z\Bigr)dy + \int\Bigl(\Delta z\,\delta\frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial \Delta z}{\partial y}\,\delta z\Bigr)dx \\ &\quad + \iint \Delta^2 z\,\delta z\,dx\,dy , \end{align*}\] où \(\Delta^2 z = \frac{\partial^4 z}{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4 z}{\partial x^2\partial y^2} + \frac{\partial^4 z}{\partial y^4}\) est le bilaplacien. Pour son rival, le terme linéarisé est \(-\frac12\,\delta\bigl[(r+t)^2 - 4(rt-s^2)\bigr]\), soit \[ -(r+t)\,\delta(r+t) + 2\bigl(r\,\delta t + t\,\delta r - 2s\,\delta s\bigr) ; \] le feuillet porte \(-2\) devant l'accolade, là où la différentiation donne \(+2\).²⁷ Les termes sous le double signe sont les mêmes pour les deux hypothèses, comme le paragraphe précédent l'établit ; multipliés par une constante \(n^2\) et joints au terme d'inertie, ils donnent \[ \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} + n^2\,\Delta^2 z = 0 , \] l'équation de la plaque vibrante, « calculée d'après mon hypothèse » et qui « se trouve dans la pièce que j'ai envoyée pour le concours de janvier 1814 ».²⁸ C'est bien l'équation actuelle de la plaque mince en flexion. Le feuillet dit \(n^2\) « proportionnel à l'épaisseur et à l'élasticité naturelle » ; la théorie actuelle le donne proportionnel au carré de l'épaisseur, comme la constante \(b\tau^2\) du long mémoire, dont le § 1 (vues 399 à 404) donne le coefficient de Kirchhoff.²⁹

Pour les termes de bord, elle note qu'ils disparaîtraient pour une plaque infinie ; dans tout autre cas « il me reste a examiner commens la différence entre les mêmes termes s'accomode avec l'experience ».³⁰

Le bord, les lignes nodales, la plaque chargée (N^os 12 à 15)

31–41Elle part de l'approbation de l'Institut « comme d'un point convenu » et ne retient que les phénomènes qui touchent au choix de l'hypothèse.³¹ Sur un bord droit \(x = \mathrm{const}\), son hypothèse demande \[ \Delta z\,\delta\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial\Delta z}{\partial x}\,\delta z = 0 , \] qu'on satisfait soit par \(\Delta z = 0\) et \(\delta z = 0\), soit par \(\partial_x \Delta z = 0\) et \(\delta\,\partial_x z = 0\).³² Avec l'intégrale \(z = \sin\frac{m\pi y}{A}\sin\frac{n\pi x}{A}\) de son mémoire de 1814, les droites \(x = 0\), \(x = A\) vérifient \(z = 0\) et \(\Delta z = 0\) : ce sont les lignes nodales ; la droite \(x = A/2\) vérifie \(\partial_x z = 0\) et \(\partial_x\Delta z = 0\), pourvu que \(n\) soit impair, et se meut parallèlement à elle-même : elle l'appelle « libre », par analogie avec les extrémités libres d'Euler.³³

Elle ajoute que si la plaque est coupée suivant ces lignes, chaque partie rend le même son et porte la partie correspondante de la figure nodale. C'est vrai à condition que les bords coupés soient maintenus dans les conditions que la ligne satisfaisait : appuyés sur les lignes nodales (\(z = 0\), \(\Delta z = 0\) : appui simple sur un bord droit), guidés sur les lignes « libres ». Laissé réellement libre, un bord coupé obéit à d'autres conditions, et le mode \(\sin\cdot\sin\) ne les satisfait pas : sur \(x = 0\) il donne \(\partial_x\Delta z \neq 0\).

L'hypothèse du rival au bord (second N^o 13). Pour l'autre hypothèse elle trouve sur le même bord un terme de plus, \(4\int \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\,\delta\frac{\partial z}{\partial y}\,dy\) ; sur la ligne nodale, les conditions \(\delta z = 0\) et \(\Delta z = 0\) entraînent \(\partial_x^2 z - \partial_y^2 z = 0\), « mais elles ne feront pas disparoître le terme » ; sur la ligne « libre », elles entraînent \(\partial_x(\partial_x^2 z + 3\partial_y^2 z) = 0\) et \(\partial_x\partial_y z = 0\), et les deux hypothèses sont satisfaites par les mêmes conditions.³⁴ Ses conditions sont exactement celles de Kirchhoff pour \(\nu = -1\) : moment \(\partial_x^2 z + \nu\,\partial_y^2 z = \partial_x^2 z - \partial_y^2 z\), effort tranchant réduit \(\partial_x^3 z + (2-\nu)\,\partial_x\partial_y^2 z = \partial_x(\partial_x^2 z + 3\partial_y^2 z)\), et le terme de torsion \(2(1-\nu)\int \partial_x\partial_y z\;\delta\, \partial_y z\,dy\) de coefficient \(4\). Le terme supplémentaire qu'elle isole est donc le terme de torsion des conditions de Kirchhoff.³⁵

Mais sa conclusion sur la ligne nodale est inexacte. Sur un bord \(x = \mathrm{const}\) où \(\delta z = 0\) pour tout \(y\), la dérivée tangentielle \(\delta\,\partial_y z = \partial_y(\delta z)\) est nulle aussi, et le terme de torsion disparaît. Pour l'intégrale \(\sin\cdot\sin\), les deux hypothèses donnent donc les mêmes conditions sur les deux sortes de lignes, et ce mode n'est pas un phénomène capable de les départager. Elles ne diffèrent qu'aux bords réellement libres, où la valeur de \(\nu\) entre dans les conditions.

L'intégrale « linéaire » (N^o 14). Elle rappelle l'intégrale \[ z = \mathcal{A}\,f(x) + B\,f(y), \qquad f(u) = a\,e^{\omega u/A} + b\,e^{-\omega u/A} + c\sin\frac{\omega u}{A} + d\cos\frac{\omega u}{A}, \] formée des fonctions d'Euler pour la lame, qui lui a servi à expliquer comment, le son restant le même, des figures nodales « les plus bizares » remplacent les simples droites.³⁶ Cette intégrale vérifie bien \(\Delta^2 z = (\omega/A)^4 z\), donc l'équation de la plaque avec un facteur périodique en temps, puisque le terme croisé \(\partial_x^2\partial_y^2\) s'annule sur une somme de fonctions d'une seule variable. Les points où \(f(x) = 0\) et \(f(y) = 0\) à la fois sont nodaux pour tous les rapports \(\mathcal{A}/B\) : ses « points invariables » sont réels dans cette famille. Mais la famille ne satisfait pas les conditions du bord libre de la plaque : ni les siennes, puisque \(\Delta z = B f''(y)\) subsiste sur \(x = \mathrm{const}\), ni celles de Kirchhoff pour une matière réelle, où le moment de flexion vaut \(\nu B f''(y)\) ; seul le cas limite \(\nu = 0\) fait exception (voir le § 4 du long mémoire, vues 439 à 468). L'accord avec les figures de Chladni ne peut être que qualitatif.³⁷ Elle demande enfin comment des forces répulsives, qui agissent sur tous les points de leur sphère d'activité, deviendraient « linéaires » au point de n'agir que selon les fils croisés qu'Euler imaginait pour les surfaces tendues : c'est une objection de sa part, que la lecture rapporte.

La plaque chargée (N^o 15). Un corps mou appliqué également le long d'un bord donne, dit-elle, la même figure et le même son que si la plaque était réellement prolongée d'une quantité de même poids ; plus le poids augmente, plus la ligne nodale voisine se rapproche du bord chargé ; elle a obtenu un son juste d'une plaque chargée au point que l'intervalle entre deux lignes nodales intérieures fût dix fois la bande comprise entre le bord chargé et la ligne voisine, et elle a observé le même fait sur des surfaces courbes.³⁸ Elle l'explique par des forces propres à chaque point : la matière inerte remplace des points élastiques sans changer la tendance des autres ; des forces répulsives ne permettraient pas de le comprendre.

L'équivalence est juste au premier ordre et fausse au-delà : la « substitution » d'une masse à une longueur n'est exacte que pour de petites charges, et, pour une charge forte, le bord chargé se comporte de plus en plus comme un appui, la ligne nodale voisine s'en approchant, ce qu'elle observe. La raison, et un calcul sur la lame, sont donnés une fois, avec l'expérience chiffrée du long mémoire, à la sous-section « § 6. L'effet d'un corps mou : la cire » (vues 538 à 547).

La pièce se termine sur le poids des noms : « Un pareil prestige n'est pas de mon côté, et loin delà, il est contre moi », et sur le souhait que les géomètres ne se détournent pas « d'une théorie, si simple, si générale, si naturelle, … et à laquelle il n'auroit manqué, pour paroître susceptible des plus belles applications, que d'être tombée en des mains plus habiles ».³⁹

« Mémoire sur la courbure des surfaces »

43–89Le mémoire qui suit est une seconde mise au net, de la même main, paginée par elle de 1 à 44, suivie d'une planche de quatre figures ; son objet n'est plus l'élasticité mais la géométrie qui la sous-tend : une quantité qu'elle dit n'avoir pas été remarquée, la courbure moyenne d'une surface en un point, et la loi selon laquelle la courbure se répartit autour de ce point.⁴⁰ Le mémoire ne contient aucune dérivée partielle ; ses outils sont la formule d'Euler et une construction.

Observations préliminaires : une quantité qu'on n'a pas remarquée

43–47C'est ici qu'elle dit le plus nettement ce qu'elle veut faire. Elle craint moins la sécheresse du sujet que « la trop grande nouveauté de l'aspect » : elle se propose « de signaler et de définir un genre de quantités dont l'existence ne paroît pas avoir été soupçonné ».⁴¹ Tant qu'on regarde une surface pour elle-même, figure et courbure sont synonymes ; mais quand la courbure entre en comparaison avec des quantités dynamiques, résistance ou force, rien n'empêche que la force née de la courbure dépende non de sa répartition autour du point mais de sa valeur moyenne, de sorte que deux surfaces d'aspect entièrement différent posséderaient « des quantités égales de courbures ». Elle annonce que la loi de répartition est « calquée » sur la loi de la chaleur dans l'anneau de Fourier, et que l'analogie n'est pas fortuite : de part et d'autre, une quantité moyenne est unie à un espace circulaire. Elle annonce aussi la construction : la courbure de la sphère est proportionnelle à la surface convexe d'un petit cylindre compris entre le plan tangent et un plan parallèle ; celle d'une surface dont les rayons principaux sont de même sens, à la surface convexe d'un segment cylindrique appuyé sur le plan tangent et terminé par une courbe gauche à quatre parties symétriques ; les deux surfaces convexes sont égales quand la sphère est la « sphère de courbure moyenne ».⁴²

L'ambiguïté de la courbure, et sa loi de distribution comparée à l'anneau de Fourier (N^os 1 à 3)

48–63Elle repart du mémoire d'Euler de 1760, qui « contient tout ce que l'on sait d'important » : la courbure d'une surface est « fort équivoque », mais on peut se borner aux sections normales, dont « l'assemblage de tous ces rayons … nous donnera la juste mesure de la courbure ».⁴³ Puis son histoire : quand elle proposa de représenter la courbure par la somme des inverses des rayons principaux, l'objection d'Euler lui fut opposée, comme si le choix des courbures principales était arbitraire ; dans le mémoire pour le concours de 1816, elle prit la somme sur toutes les sections et la réduisit à la somme principale « répétée un nombre infini de fois » ; cette démonstration « fut formellement désapprouvée », et la légitimité de l'hypothèse resta contestée.⁴⁴ Ce jugement, la lecture le partage pour la forme de l'argument (voir la section précédente, N^o 3) ; le mémoire le remplace par un énoncé correct.

La formule (N^o 2). Avec \(f\) et \(g\) le plus grand et le moindre rayon principal, elle écrit \[ r = \frac{2fg}{f + g - (f-g)\cos 2\varphi}, \qquad \frac1r = \frac{f\sin^2\varphi + g\cos^2\varphi}{fg}, \qquad \frac1{r'} = \frac{f\cos^2\varphi + g\sin^2\varphi}{fg}, \] pour deux sections normales perpendiculaires.⁴⁵ C'est la formule d'Euler, \(\kappa(\varphi) = \kappa_1\cos^2\varphi + \kappa_2\sin^2\varphi\) avec \(\kappa_1 = 1/f\). Elle se fait à elle-même une objection : il s'agit de la courbure des surfaces, et les formules employées sont celles de la courbure linéaire ; elle y répondra au N^o 7.

La loi de répartition (N^o 3). Elle l'énonce en trois propositions, chacune suivie de la proposition « correspondante » de Fourier sur l'anneau.⁴⁶ Réunies en une formule : \[ \kappa(\varphi) = H + \frac{\kappa_1-\kappa_2}{2}\cos 2\varphi . \]

1. Deux plans normaux perpendiculaires portent une somme de courbures constante, égale à \(\kappa_1 + \kappa_2\). Pour l'anneau : dans l'état qui s'établit au bout d'un certain temps, la demi-somme des températures de deux points diamétralement opposés est la même pour tout diamètre.⁴⁷
2. La section à \(45^\circ\) des plans principaux porte la courbure moyenne \(\frac12(\frac1f + \frac1g)\), ainsi que sa perpendiculaire ; ces deux plans partagent le contour du point en quatre régions « dont l'état est pareil mais alternativement de signe opposé », l'excès sur la moyenne dans l'une égalant le défaut dans la voisine. Pour l'anneau : les deux points à mi-chemin des températures extrêmes ont la température moyenne, et partagent l'anneau en deux moitiés de signe opposé.⁴⁸
3. Il y a en général quatre directions autour du point où les courbes normales sont semblables, deux seulement pour les courbures principales : \(\kappa(\varphi) = \kappa(-\varphi) = \kappa(\pi \pm \varphi)\). Avec \(\varphi = \frac\pi4 + \varphi'\) et \(\varphi = \frac{3\pi}{4} - \varphi'\), elle trouve \[ \frac1r = \frac{f + g + (f-g)\sin 2\varphi'}{2fg}, \] et les deux plans équivalents font entre eux l'angle \(\frac\pi2 - 2\varphi'\). Pour l'anneau, deux points de même température sont séparés par \(\pi - 2\varphi'\).⁴⁹

Où l'analogie tient et où elle n'est qu'analogie. Les deux lois sont de la même forme : une valeur moyenne plus un seul harmonique du cercle. La répartition de la courbure est exactement \(H + \frac12(\kappa_1-\kappa_2)\cos 2\varphi\), harmonique d'ordre \(2\), d'où le quart de circonférence entre les extrêmes. La température de l'anneau est, dans l'état final, la moyenne plus l'harmonique d'ordre \(1\), \(\bar v + a\,e^{-\lambda t}\cos(x - x_0)\), d'où la demi-circonférence ; mais cet état n'est atteint qu'asymptotiquement, les harmoniques supérieurs s'éteignant plus vite. La première proposition est exacte à tout instant pour la courbure ; pour l'anneau, la demi-somme de deux températures diamétralement opposées ne vaut la moyenne que si les harmoniques pairs sont absents, ce qui n'est vrai qu'à la limite. Et les deux lois n'ont pas la même origine : l'une vient d'une forme quadratique (la seconde forme fondamentale), l'autre d'une équation d'évolution. L'analogie est donc une analogie de forme, qu'elle explique elle-même par « l'emploi des quantités moyennes … uni à la considération d'un espace circulaire », et qui est juste en ce sens-là.

Une conséquence : la sphère de rayon \(1/H\) tangente au point, centrée sur la normale, a ses quatre quadrants alternativement au dedans et au dehors de la surface ; les sphères de rayons compris entre les deux rayons principaux coupent la surface, et celles qui ont un rayon principal ne la coupent pas.⁵⁰ Elle ferme ce numéro par une réflexion sur l'ordre nécessaire des choses : l'existence des quantités moyennes « forme le lien entre l'uniformité et la variété », et un phénomène qui se développe autour d'un centre donne, « par la substitution de l'espace au tems, une construction de la périodicité ».⁵¹

Ligne de distance, surface des distances, surface des distances moyennes (N^os 4 à 8)

64–84La ligne de distance (N^o 4). On juge qu'un arc est plus courbe quand son extrémité s'écarte davantage de la tangente menée à l'autre extrémité ; elle nomme ligne de distance la perpendiculaire abaissée sur la tangente, égale au sinus verse. Pour un arc de longueur \(s\) sur un cercle de rayon \(\rho\), \[ d = \rho\Bigl(1 - \cos\frac{s}{\rho}\Bigr) = \frac{s^2}{2\rho} + O(s^4), \] de sorte que, à longueur d'arc égale et infiniment petite, la ligne de distance est proportionnelle à la courbure.⁵² Cette manière de parler serait « bizarre et surabondante » pour une courbe, dit-elle ; elle sert pour les surfaces.

Les deux surfaces (N^os 5 et 6). Autour du point, on prend sur chaque section normale un arc de même longueur \(s\) ; la courbe qui joint leurs extrémités est la directrice ; la ligne de distance, qui change de grandeur en la parcourant, engendre la surface des distances, segment cylindrique qui a pour base, dans le plan tangent, une petite courbe fermée.⁵³ Pour la sphère de courbure moyenne, la ligne de distance est constante et engendre la surface des distances moyennes, cylindre droit sur un cercle. Elle affirme que les deux ont la même étendue, et que la courbure de la surface est proportionnelle à cette étendue. C'est exact. La ligne de distance dans la direction \(\varphi\) est \(\frac12\kappa(\varphi)s^2\), la base est un cercle de rayon \(s\) à l'ordre considéré, et \[ \int_0^{2\pi} \tfrac12\kappa(\varphi)\,s^2\cdot s\,d\varphi = \tfrac12 s^3\cdot 2\pi H = 2\pi s\cdot\tfrac12 H s^2 , \] ce qui est l'aire du cylindre de hauteur \(\frac12 H s^2\). L'égalité des deux étendues est donc l'énoncé que la moyenne de la courbure normale sur toutes les directions est \(H\). C'est l'une des définitions actuelles de la courbure moyenne : le nom moderne s'applique ici exactement.

Elle le montre de deux façons. D'abord parce que les lignes de distance ont entre elles les mêmes relations que les courbures (somme constante sur deux directions perpendiculaires, moyenne à \(45^\circ\)).⁵⁴ Ensuite par le développement des deux surfaces sur un plan : le cylindre moyen devient le parallélogramme \(ABDC\), la surface des distances une figure bornée par une ligne brisée \(Bqhq'h'D\) en dents, et l'égalité d'aire se ramène à celle des triangles \(Bqn\), \(nhn'\), … que chaque dent retranche ou ajoute.⁵⁵ Le vrai développement de la directrice n'est pas une ligne brisée mais une sinusoïde, \(\frac12 s^2\bigl(H + \frac12(\kappa_1-\kappa_2)\cos 2\varphi\bigr)\) ; son argument vaut pourtant pour elle, parce que l'écart à la moyenne est antisymétrique autour de chaque direction de courbure moyenne, \(\kappa(\frac\pi4 + u) + \kappa(\frac\pi4 - u) = 2H\) : l'excès d'un quart de tour compense exactement le défaut du quart voisin.

Les propositions redémontrées (N^o 7). Elle reprend les trois propositions du N^o 3 sur le développement, dans l'ordre 2, 3, 1 : \(mn\) moyenne entre \(gh\) et \(pq\) (\(pq = mn - sn\), \(gh = mn + sn\)), quatre lignes de distance égales en général, deux pour les lignes principales, et somme constante de deux lignes séparées d'un quart de \(AC\).⁵⁶ Elle répond alors à l'objection du N^o 2 : dire qu'une surface a une courbure proportionnelle à sa surface des distances, c'est la comparer à son plan tangent comme on compare une courbe à sa tangente. Et elle en tire la distinction qui porte tout le mémoire : la ligne de distance fixe à la fois la quantité de courbure et la figure d'une courbe, tandis que l'étendue de la surface des distances peut rester la même quand sa forme change.

Une famille de figures. Avec \(pq = mn - x\) et \(gh = mn + x\), \(x\) croissant de \(0\) à \(mn\), soit en termes actuels \[ \kappa_1 = H + x', \qquad \kappa_2 = H - x', \qquad 0 \le x' \le H , \] on passe de la sphère (\(x' = 0\)) à la surface dont une courbure principale est nulle (\(x' = H\), le cylindre), par une infinité de figures qui ont toutes la même courbure moyenne. « Si la figure de la surface donnée dépend de la différence entre les courbures principales, la courbure moyenne ne dépend, au contraire, que de la somme ».⁵⁷

Les rayons de sens contraires (N^o 8). La sphère d'une part, la surface dont les rayons principaux sont égaux et de signes contraires de l'autre, « comprennent entr'elles toutes les figures possibles de la surface courbe ». C'est exact : à similitude et au choix de la normale près, la figure locale est fixée par le rapport \(\kappa_2/\kappa_1 \in [-1, 1]\) (en prenant \(|\kappa_1| \ge |\kappa_2|\)), qui vaut \(1\) pour la sphère, \(0\) pour le cylindre et \(-1\) pour \(\kappa_2 = -\kappa_1\) (hors le plan). Pour cette seconde moitié, elle garde fixe la somme des lignes principales « abstraction faite du signe », c'est-à-dire l'amplitude \(\frac12(\kappa_1 - \kappa_2)\), et fait varier \(H\) de \(\frac12|\kappa_1|\) à \(0\) ; la directrice garde alors sa forme, une partie passe de l'autre côté du plan tangent, et la surface des distances moyennes diminue jusqu'à s'anéantir quand les lignes de distance des deux côtés sont égales.⁵⁸ Tout cela est juste : l'aire signée de la surface des distances est toujours \(\pi H s^3\), et elle est nulle quand \(H = 0\). Elle conclut que la sphère de courbure moyenne est alors de rayon infini et se confond avec le plan tangent. Un point où \(\kappa_1 = -\kappa_2\) est un point de courbure moyenne nulle ; une surface qui l'est en tout point est une surface minimale, au sens de Lagrange et de Meusnier.⁵⁹ La loi de répartition, montre-t-elle encore, subsiste entière dans ce cas.

La courbure comme quantité dynamique ; voûtes et dômes (N^o 9)

84–89Voici l'usage qu'elle attendait de la courbure moyenne. Si des forces proportionnelles à la courbure agissent sur un point de la surface, elles sont réparties sur tout le contour, en nombre infini, chacune infiniment petite et proportionnelle à la ligne de distance dans son plan ; leur action est donc indépendante de leur répartition et égale à celle d'une répartition uniforme, c'est-à-dire à ce qu'elle serait sur la sphère de courbure moyenne. Et comme toute force se décompose selon deux plans perpendiculaires de position arbitraire, les résultantes dans ces deux plans sont proportionnelles aux lignes de distance qu'ils contiennent, dont la somme ne dépend pas du choix des plans.⁶⁰

Pour une membrane soumise à une tension \(T\) égale dans toutes les directions, c'est exact, et c'est la loi de Laplace : la résultante normale par unité d'aire est \(T(\kappa_1 + \kappa_2) = 2TH\). On le voit exactement comme elle le voit : la composante normale de la tension sur le bord d'un petit disque de rayon \(\varepsilon\) vaut \(T\int_0^{2\pi}\kappa(\varphi)\,\varepsilon^2\,d\varphi = 2\pi\varepsilon^2\,TH\).⁶¹ Il n'en va pas de même pour une plaque élastique : la force de rappel n'y est pas proportionnelle à la courbure moyenne, mais à son laplacien (\(n^2\Delta^2 z = n^2\Delta(\Delta z)\) en théorie linéaire), et l'énergie dépend aussi de la courbure de Gauss dès que \(\nu \neq 1\). Aussi, quand elle dit que, « pour justifier l'hypothèse qui a servi à trouver, la première fois, l'équation de ces surfaces, il suffiroit de répéter les diverses propositions qui ont été démontrées », la lecture doit dire que ce n'est pas une justification : le mémoire établit la loi de répartition de la courbure et le rôle de \(H\) pour une force isotrope, non que l'élasticité d'une plaque ne dépende que de \(H\).⁶²

Pour les voûtes, la simplicité et le petit nombre des figures employées ont masqué aux géomètres la nécessité d'exprimer en général les résistances nées de la courbure ; comparer les voûtes en dômes aux voûtes en berceaux demanderait de comparer les deux genres de courbure. Elle termine par un exemple : le cylindre circonscrit à une sphère de rayon \(a\) et le quart de la sphère de rayon \(2a\) ont même étendue et même courbure moyenne en tout point. C'est exact : les deux aires valent \(4\pi a^2\), et les deux courbures moyennes \(\frac1{2a}\) ; la sphère de courbure moyenne du cylindre de rayon \(a\) a bien le rayon \(2a\).⁶³

« Moyennes courbures » : les brouillons de l'introduction

91–114Après la mise au net vient un feuillet de titre, « Moyennes courbures », puis des brouillons d'une écriture rapide et très corrigée, un côté écrit par feuillet, qui travaillent l'introduction d'un exposé où la courbure moyenne sert à la théorie des surfaces élastiques.⁶⁴ Leur ordre n'est pas établi par les feuillets ; on les lit ici dans l'ordre des vues.

Le solide élastique réduit à sa surface

93–112Les dômes. Dans une voûte en dôme engendrée par la révolution d'une demi-courbe, chaque zone comprise entre deux plans parallèles a une courbure partout semblable ; elle lui associe une portion de surface conique ou cylindrique de même courbure moyenne, et, en portant zone après zone ces rayons comme ordonnées, une surface cylindrique dont les éléments ont la même courbure moyenne que ceux du dôme.⁶⁵ Ce qui est exact : un cylindre de rayon \(\frac12\varrho_m\) a pour rayon de courbure moyenne \(\varrho_m\) ; pour un cône de révolution, il faut entendre par « rayon » le segment de normale compris entre le point et l'axe, dont la moitié de la longueur est de même l'inverse de la courbure moyenne.

Du solide à sa surface. Les feuillets suivants cherchent à dire ce que désigne le mot « surface » dans la question des plaques. Le solide élastique est « un système de points matériels mobiles » ; le déplacement d'un point comprend le changement de ses distances aux voisins et le mouvement commun qu'il partage avec eux, et elle écrit que les forces de rappel sont proportionnelles au « déplacement absolu », mesuré à partir de points fixes.⁶⁶ Pris à la lettre, c'est inexact : dans la théorie actuelle de l'élasticité, un déplacement d'ensemble (translation ou rotation) ne produit aucune force ; les forces dépendent des déplacements relatifs, c'est-à-dire de la déformation. Elle en arrive d'ailleurs, sur les feuillets suivants, à ne mesurer que la position relative des points voisins par rapport au plan tangent.

Au feuillet marqué « B », elle refait l'histoire à la première personne : les expériences de Chladni ne portaient que sur des plaques ; les programmes de l'Académie employaient le mot « surface » sans le définir ; « le mémoire publié en 1814 par un des membres de l'accademie » ne traite que des surfaces planes ; « le mémoire couronné qui fut présenté en 1815 » contient les premiers essais sur les surfaces courbes, par le cylindre ; « mes recherches sur la théorie des surfaces publiées en 1821 » reprennent cet exemple et généralisent l'hypothèse des surfaces planes ; elle reconnaît enfin « avec une véritable satisfaction » ce que les expériences de Savart l'ont aidée à développer.⁶⁷ Puis elle définit : le mot « surface » désigne un solide formé de couches infiniment minces ; tous les points d'une même perpendiculaire au plan tangent parcourent des espaces égaux, sans changer de distance entre eux ; la figure est donc la même pour toutes les couches et indépendante de l'épaisseur, ce qu'atteste l'identité des figures nodales sur les deux faces.⁶⁸ Cette condition — le déplacement transversal ne dépend pas de la position dans l'épaisseur, et il se fait selon la normale — est l'une des hypothèses cinématiques sur lesquelles Kirchhoff fondera la théorie des plaques minces.⁶⁹

Au feuillet « D », elle en tire l'argument qui lui importe : son hypothèse ne portait que sur la courbure d'un élément de surface plane, et pourtant une simple opération de calcul en a tiré une équation « dont personne ne conteste l'exactitude » ; si le solide n'était pas formé de couches qui suivent la couche superficielle, comment l'équation de la surface deviendrait-elle celle du solide par la seule multiplication par un coefficient dépendant de l'épaisseur ?⁷⁰ Le raisonnement est juste dans sa forme : en théorie des plaques, l'épaisseur n'entre que par le coefficient (qui en contient le carré ; voir l'Exposition, N^os 9 à 11, et le § 1 du long mémoire). Les vues 109 et 112 réservent expressément la direction du mouvement (perpendiculaire aux plans tangents), renvoient l'épaisseur variable à plus tard, et ramènent les espaces parcourus au changement des distances des points voisins au plan tangent, où « la considération de la courbure moyenne … est ici de grand secours ».⁷¹ La vue 112 dit enfin que « le cas dont je me suis spécialement occupée » est celui des surfaces élastiques vibrantes, et que l'identité des figures nodales sur les faces opposées, confirmée par « les ingénieuses expériences de Mr Savart », est « le signe distinctif de ce genre de vibrations ».⁷²

Trois sections normales voisines

114–114D'une plume plus fine, un calcul sur trois sections normales faisant les angles \(A - a\), \(A\), \(A + a\) avec la section de plus grande courbure. En termes actuels, avec \(\kappa(\theta) = \kappa_1\cos^2\theta + \kappa_2\sin^2\theta\), \[\begin{align*} \kappa(A) - \kappa(A+a) &= (\kappa_1-\kappa_2)\sin a\,\sin(2A+a), \\ \kappa(A-a) - \kappa(A) &= (\kappa_1-\kappa_2)\sin a\,\sin(2A-a), \\ \kappa(A-a) + \kappa(A+a) - 2\kappa(A) &= -2(\kappa_1-\kappa_2)\sin^2 a\,\cos 2A . \end{align*}\] Ce sont ses équations (1), (2) et (3), aux lettres et aux signes près.⁷³ Le second membre de (3) s'annule, dit-elle, pour la sphère, pour \(a = 0\) ou \(180^\circ\), et pour \(A = 45^\circ\) : c'est exact. Elle en conclut que « la somme des rayon de courbure des deux sections est égale à la somme des rayons de courbure principale » ; ce qui est vrai porte sur les courbures, non sur les rayons : \(\kappa(45^\circ - a) + \kappa(45^\circ + a) = \kappa_1 + \kappa_2\) pour tout \(a\).

Sur la vitesse de variation, le feuillet dit deux choses opposées. La comparaison de (1) et (2) — la diminution entre \(A - a\) et \(A\) est plus petite qu'entre \(A\) et \(A + a\) — est juste, et sa dernière phrase aussi : la courbure varie d'autant plus vite, pour un même angle, qu'on approche de la section de courbure moyenne ; en effet \(\kappa'(\theta) = -(\kappa_1-\kappa_2)\sin 2\theta\) est maximal en valeur absolue à \(45^\circ\) et nul sur les directions principales. Mais la phrase intermédiaire, selon laquelle, en partant de \(45^\circ\), l'augmentation serait d'autant plus rapide que les deux plans font un angle plus petit avec celui de plus grande courbure, dit le contraire, et elle est fausse.⁷⁴ Enfin la courbe \(\kappa(\theta) - H\) a un point d'inflexion à \(45^\circ\) et y est symétrique par rapport à ce point ; c'est ce qu'elle décrit en disant ses deux parties « symétriques autour de l'ordonnée de moyenne courbure », l'une convexe, l'autre concave vers le diamètre qui tient lieu du plan tangent.

Feuillets épars sur la courbure

136–650Cinq morceaux, reliés à des endroits divers du volume, touchent au même sujet que les pièces qui précèdent sans appartenir à aucune.⁷⁵

« Idées à vérifier » : la chaînette et la surface pesante

136–140La question posée : dans une surface pesante d'épaisseur égale, chaque section normale est-elle une chaînette ?⁷⁶ Elle écrit l'équilibre de la surface \(ge + T\cdot\frac2R = 0\), où \(R\) est le rayon de la sphère de courbure moyenne (\(\frac2R = \kappa_1+\kappa_2\)) : c'est l'équation d'une membrane pesante soumise à une tension isotrope \(T\), la loi de Laplace du N^o 9 du mémoire sur la courbure (vues 84 à 89), avec la pesanteur pour pression. Puis elle demande si la section à \(45^\circ\), isolée du reste, garderait sa forme : il faudrait pour cela, dit-elle, que le retranchement diminue la tension dans le rapport de un à deux. C'est l'inverse : la section à \(45^\circ\) a la courbure \(\frac1R = H\), la moitié de \(\kappa_1+\kappa_2\) ; isolée avec la même charge, elle ne resterait en équilibre dans sa forme que si sa tension était doublée — ou, ce qui revient au même, si elle ne portait que la moitié de la charge, l'autre moitié étant portée dans la direction perpendiculaire. Elle-même trouve insatisfaisant son premier argument, par les appuis \(B'\), \(B''\), \(B'''\) d'une figure, et écrit : « je n'ai pas trouvé la manière de détruire cette objection ».⁷⁷

Au verso, une seconde voie : sur un châssis circulaire, la tension se partage également entre deux plans normaux, et, en posant \(T = 2T'\) et un poids \(4g''\) pour la surface, \(2g''\) pour une courbe, elle arrive à \(g''e + T'\frac1R = 0\) pour chaque section normale, et conclut qu'elle est une chaînette. La conclusion n'est pas établie. L'équation de la surface ne contraint que la somme \(\kappa_1+\kappa_2\) ; en écrivant pour chaque section la même courbure \(\frac1R\), elle prête à toute section normale la courbure moyenne, ce qui n'est vrai que des deux sections à \(45^\circ\) (et de toutes au seul cas ombilical). Pour une surface peu inclinée, tout se réduit à \(T\,\Delta z = w\) (charge \(w\) par unité d'aire) ; sur un châssis circulaire, la solution est un paraboloïde de révolution, dont les sections normales au centre sont des paraboles, forme qu'a toute chaînette peu tendue à cet ordre : à cet ordre la question ne peut donc pas être tranchée par ce calcul.⁷⁸

Le feuillet suivant (vue 138) dit pourquoi : « dans la vue d'étendre les conséquences qu'on peut tirer de l'existence de la sphère de moyenne courbure », elle a cherché de tout côté ce qui concerne la chaînette, « à cause de son rapport avec la voûte qui se soutient d'elle même », et ne l'a trouvé que dans l'histoire des mathématiques, l'Encyclopédie et « le mémoire de M poisson sur la surface élastique ». De l'article de d'Alembert elle retient qu'une courbe pressée en chaque point par une force normale est en équilibre si la force est en raison inverse du rayon de courbure — vrai pour un fil sous tension constante, \(p = T\kappa\) — et elle l'étend à la surface : « il faut que la moitié de cette puissance soit en raison inverse du rayon de sa sphère de moyenne courbure ». C'est exactement \(p = T(\kappa_1+\kappa_2) = 2TH\), la loi de Laplace pour une tension isotrope.⁷⁹

Celui de la vue 140, « Voila ce qui doit être examiné », rapproche l'élément \(dx\,dy\,W\) de sa projection \(dx\,dy\), puis prend la variation de \(W\) et l'intègre par parties : « et en intégrant par partie \(\frac2R\,\delta z\) ». C'est exact : la variation de l'aire est \[ \delta\iint W\,dx\,dy = -\iint \frac{\mathcal{N}}{W^3}\,\delta z\,dx\,dy + \text{termes de bord}, \] et \(\mathcal{N}/W^3 = \kappa_1+\kappa_2 = \frac2R\) au signe près.⁸⁰ Réunis, les trois feuillets contiennent la chose même : l'équilibre d'une membrane pesante sous tension isotrope est le point stationnaire de \(T\cdot\text{aire} + \text{énergie potentielle}\), et son équation est la loi de Laplace ; les surfaces où \(H = 0\) en sont le cas sans charge (surfaces minimales). Le feuillet s'arrête avant de l'écrire.

Une page de Gauss

142–142Un petit feuillet intitulé « Gauss courbure des surfaces » rend en français, entre guillemets, deux articles d'un texte : la situation d'un point est donnée par ses distances à trois plans fixes perpendiculaires ; on décrit autour d'un centre arbitraire une sphère de rayon 1, et la direction d'une droite est représentée par le point de la sphère où aboutit le rayon qui lui est parallèle ; les trois axes, par trois points séparés par des quarts de cercle ; la situation d'un plan, par le grand cercle que découpe le plan parallèle mené par le centre.⁸¹ C'est, par inférence de cette lecture, l'ouverture des Disquisitiones generales circa superficies curvas de Gauss (1827), où la représentation sphérique des directions prépare l'application qu'on appelle aujourd'hui application de Gauss et la mesure de la courbure par l'aire de l'image sphérique.⁸² La note ne dit rien de ce qu'elle en pensait.

Deux théorèmes proposés aux géomètres

465–465Un fragment déchiré, relié au milieu du long mémoire sur les plaques sans en faire partie, porte : « je proposerai d'abord a l'examen des g… les deux théorèmes suivants. La courbure d'une surface a pour mesure la somme des raisons inverses des deux principaux rayons de courbure. L'irrégularité dela courbure d'une surface a pour mesure la difference des raisons inverses de ses deux rayons principaux de courbure ».⁸³ Ce sont les deux mesures des N^os 3 et 4 de l'Exposition : \(2H\), et \(\kappa_1 - \kappa_2\), dont le carré vaut \(4(H^2-K)\). Comme définitions, les deux sont légitimes, et la décomposition \(\kappa(\varphi) = H + \frac12(\kappa_1-\kappa_2)\cos 2\varphi\) montre qu'à elles deux elles déterminent la courbure normale dans toutes les directions. Comme « mesures » des forces élastiques, elles sont les deux hypothèses dont la théorie actuelle retient une combinaison (section de l'Exposition).

Un calcul de variation

483–483Un feuillet de calcul sans un mot, relié lui aussi dans le long mémoire, calcule la variation d'une intégrale double dont le premier membre se lit \(\frac{ds}{(1/R + 1/R')^2}\).⁸⁴ Elle écrit d'abord la somme des courbures, \(\frac1R + \frac1{R'} = -\mathcal{N}/W^3\), qui est juste. Mais la quantité dont elle prend ensuite la variation, à en juger par sa structure, est \[ \iint \Bigl(\frac{\mathcal{N}}{W^2}\Bigr)^2 dx\,dy , \qquad \delta\Bigl(\frac{\mathcal{N}}{W^2}\Bigr)^2 = 2\,\frac{\mathcal{N}}{W^2}\cdot \frac{W^2\,\delta\mathcal{N} - \mathcal{N}\,\delta(W^2)}{W^4}, \] et elle en range les coefficients selon \(\delta z\), \(\delta p\), \(\delta q\), \(\delta r\), \(\delta s\), \(\delta t\) sous les lettres \(N = 0\) (la quantité ne dépend pas de \(z\)), \(P\), \(P'\), \(Q\), \(Q'\), \(Q''\).⁸⁵ Cette intégrande n'est ni \(ds/(\kappa_1+\kappa_2)^2 = W^7\,dx\,dy /\mathcal{N}^2\), ni \((\kappa_1+\kappa_2)^2\,ds = \mathcal{N}^2\,dx\,dy/W^5\) ; aux petites pentes, toutes se réduisent à \((\Delta z)^2\,dx\,dy\), l'énergie de son hypothèse pour la plaque. Si le calcul visait \(\iint(\kappa_1+\kappa_2)^2\,ds\), forme exacte de son énergie pour une surface naturellement plane, c'est l'intégrale qu'on nomme aujourd'hui énergie de Willmore (\(4\iint H^2\,dA\)).⁸⁶ Le feuillet ne dit pas à quelle pièce il servait, et la lecture ne l'attache à aucune.

La somme des courbures sur la sphère

650–650Parmi les calculs sur la chaleur, un feuillet intitulé « Somme des raisons inverses des deux rayons de principale courbure » écrit juste la formule \[ \frac1R + \frac1{R'} = \frac{(1+q^2)\,r - 2pq\,s + (1+p^2)\,t}{(1+p^2+q^2)^{3/2}}, \] puis pose \(x = r\sin\theta\cos\varphi\), \(y = r\sin\theta\sin\varphi\) avec \(r\) constant, « pour avoir seulement le cas relatif à la surface de la sphère », et calcule \(\partial_x z\), \(\partial_y z\), le facteur \(K^3 = (1+p^2+q^2)^{3/2}\) et \(\partial_x\partial_y z\) en \(\theta\) et \(\varphi\).⁸⁷ Ses dérivées premières sont \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\cos\theta\cos\varphi}{r}\,\frac{\partial z}{\partial\theta} - \frac{\sin\varphi}{r\sin\theta}\,\frac{\partial z}{\partial\varphi} \] et sa symétrique ; le coefficient \(\cos\theta\cos\varphi/r\) est celui du changement de variables à trois dimensions, où \(r\) varie aussi. Si \(r\) est tenu constant et que \((\theta,\varphi)\) servent seuls de coordonnées dans le plan des \(xy\), la règle de dérivation donne \(\partial\theta/\partial x = \cos\varphi/(r\cos\theta)\), et le calcul, tel qu'il est écrit, ne donne pas la somme des courbures d'une surface décrite au-dessus de ce plan.⁸⁸ Le feuillet, relié parmi les calculs de la chaleur en coordonnées sphériques, emprunte sans doute leurs formules ; il ne va pas au-delà de \(\partial_x\partial_y z\).

Le mémoire d'Euler sur les vibrations des lames et des verges élastiques (copie latine)

144–206De la vue 144 à la vue 206, le volume contient une copie latine complète d'un mémoire d'Euler, dont le premier feuillet donne lui-même la source : « Acta academiæ scientiarum imperialis Petropolitanæ pro anno 1779 Pars prior », « Investigatio motuum quibus laminæ et virgæ elasticæ contremiscunt auctore L. Eulero ».⁸⁹ Euler y reprend, dit-il, un sujet déjà traité par Daniel Bernoulli et par lui-même, parce que les principes de ces mouvements et « la partie de l'analyse qui concerne les fonctions de deux variables » sont désormais mieux établis ; il se propose de déduire toute la question des premiers principes et d'exposer tous les genres de mouvement qui peuvent se produire.⁹⁰

L'équation du mouvement de la verge élastique

144–152Deux lemmes posent le cadre.⁹¹ Le premier donne l'équilibre d'une verge élastique sous des forces quelconques : le moment d'élasticité vaut \(V/r\), \(r\) étant le rayon de courbure et \(V\) l'« élasticité absolue », et l'équilibre s'écrit \[ \int dy\int P\,ds-\int dx\int Q\,ds=V\,\frac{dy\,d^2x-dx\,d^2y}{ds^3}, \] où \(P\,ds\) et \(Q\,ds\) sont les composantes de la force appliquée à l'élément ; si la verge est naturellement courbe, de rayon de courbure naturel \(\varsigma\), on retranche \(V/\varsigma\) au second membre, puisque l'élasticité n'agit qu'autant que la courbure naturelle est augmentée ou diminuée (§ 2). Le second lemme passe au mouvement en remplaçant \(P\) et \(Q\) par \(P-\frac{S}{2g}\,\partial_t^2x\) et \(Q-\frac{S}{2g}\,\partial_t^2y\), \(S\) étant la masse par unité de longueur : c'est, en substance, le principe de d'Alembert, que le feuillet ne nomme pas.

Le problème 1 (§ 4) applique ces formules à une verge droite, d'épaisseur et d'élasticité uniformes, de longueur \(a\) et de section \(c^2\), dans l'hypothèse des vibrations très petites.⁹² En dérivant deux fois l'équation du mouvement, il obtient \[ E\,\partial_s^2 y+\frac{c^2}{2g}\,\partial_t^2 y=-\,bc^4\,\partial_s^4 y, \] où \(E\) est la force longitudinale appliquée au bout, comptée positivement quand elle comprime. C'est l'équation de la poutre d'Euler–Bernoulli avec effort axial,⁹³ \[ \rho A\,\partial_t^2 y+B\,\partial_s^4 y-T\,\partial_s^2 y=0, \] avec le dictionnaire \(\rho A=c^2/2g\) (masse par unité de longueur, les poids étant comptés en volumes), \(B=bc^4\) (rigidité de flexion, le produit du module d'Young par le moment d'inertie de la section) et \(T=-E\) (tension). Le § 5 note que, sans force extérieure, tout se réduit à \[ \partial_t^2 y=-\,2g\,bc^2\,\partial_s^4 y, \] et Euler avoue que l'intégrale générale de cette équation du quatrième ordre « n'a encore pu être trouvée d'aucune manière » : il cherchera des solutions particulières.⁹⁴ Le § 6 traite de la force qui comprime (la question des colonnes, qu'Euler dit avoir résolue autrefois) ; le § 7, d'une tension \(c^2h\) donnée par un poids passé sur une poulie : l'équation devient \(\frac{1}{2g}\,\partial_t^2 y=h\,\partial_s^2 y-bc^2\,\partial_s^4 y\), qui redonne la corde vibrante pour \(b=0\) et la verge élastique pour \(h=0\), le son étant « mixte » entre les deux.

Le scholie du § 8 écarte les forces longitudinales et garde, à côté de l'équation finale, les deux intégrales dont elle provient :⁹⁵ \[ \text{I.}\quad -Fx+\frac{c^2}{2g}\int dx\int \partial_t^2 y\,ds=-\,bc^4\,y'',\qquad \text{II.}\quad -F+\frac{c^2}{2g}\int \partial_t^2 y\,dx=-\,bc^4\,y''', \] car une force normale \(F\) y entre « quand la verge n'est pas entièrement libre, mais fixée en un ou plusieurs points comme au moyen d'un stylet, autour duquel elle reste pourtant mobile ».⁹⁶ En termes actuels, II est le bilan de l'effort tranchant : là où un stylet appuie, \(y'''\) saute d'une quantité proportionnelle à la force qu'il exerce. Ce point commande toute la discussion qui suit, et Euler l'a posé lui-même dès le § 8.

Les vibrations régulières et les six cas

153–192Le § 9 cherche les vibrations « régulières », c'est-à-dire isochrones à un pendule simple de longueur \(k\) : ce sont, en termes actuels, les modes propres, obtenus par séparation des variables.⁹⁷ En posant \(f^4=bc^2k\), \(\omega=a/f\) et \(u=s/a\), on a \[ y=C\sin\bigl(\zeta+t\sqrt{2g/k}\bigr)\,Y(u),\qquad Y=\alpha e^{\omega u}+\beta e^{-\omega u}+\gamma\sin\omega u+\delta\cos\omega u, \] et le nombre de vibrations par seconde, qu'Euler prend pour mesure du son, vaut \(\omega^2c\sqrt{2gb}/\pi a^2\). Une « vibration » est ici une oscillation simple, une demi-période : le nombre d'Euler est le double de la fréquence actuelle \(\frac{\omega^2}{2\pi a^2}\sqrt{B/\rho A}\), ce qui ne change aucun rapport. Les sons d'une même verge sont donc entre eux comme les carrés \(\omega^2\) des racines d'une équation que fixent les extrémités ; les §§ 10 à 12 donnent les séries, les dérivées et la vitesse.

Le scholie I (§ 13) distingue trois états d'une extrémité, chacun donnant deux conditions tirées des équations I et II du § 8 :⁹⁸ libre (\(y''=0\), \(y'''=0\)) ; « simpliciter fixus », appuyée ou articulée (\(y=0\), \(y''=0\), la force du stylet valant \(F=bc^4y'''\), « qu'il nous importe peu de connaître, puisqu'elle n'influe pas sur le mouvement de vibration ») ; « infixus », encastrée, comme murée (\(y=0\), \(y'=0\)).⁹⁹ Ce sont les conditions actuelles. Le scholie 2 (§ 14) en tire six cas, que l'on garde sous les chiffres romains d'Euler. Leurs équations aux fréquences, vérifiées sur la copie, et leurs deux premières racines, calculées, sont :¹⁰⁰ \[ \begin{array}{llll} \text{I} & \text{libre, libre} & \cos\omega\cosh\omega=1 & 4{,}7300 ;\ 7{,}8532\\ \text{II} & \text{libre, appuyée} & \tan\omega=\tanh\omega & 3{,}9266 ;\ 7{,}0686\\ \text{III} & \text{libre, encastrée} & \cos\omega\cosh\omega=-1 & 1{,}8751 ;\ 4{,}6941\\ \text{IV} & \text{appuyée, appuyée} & \sin\omega=0 & \pi ;\ 2\pi\\ \text{V} & \text{appuyée, encastrée} & \tan\omega=\tanh\omega & 3{,}9266 ;\ 7{,}0686\\ \text{VI} & \text{encastrée, encastrée} & \cos\omega\cosh\omega=1 & 4{,}7300 ;\ 7{,}8532 \end{array} \] Euler donne ces équations sous les formes \(\cos\omega=2/(e^\omega+e^{-\omega})\), \(\tan\omega=(e^\omega-e^{-\omega})/(e^\omega+e^{-\omega})\) et \(\cos\omega=-2/(e^\omega+e^{-\omega})\) : ce sont les mêmes.

Cas I, les deux bouts libres (§§ 15 à 22). L'élimination des quatre coefficients mène à \(\cos\omega\cosh\omega=1\).¹⁰¹ Aucune racine non nulle dans le premier quadrant (§ 16) — la série tronquée \(\cos\omega\,(e^\omega+e^{-\omega})=2(1-\omega^4/6)\) n'en est pas une preuve, mais la conclusion est vraie : \(\cos\omega\cosh\omega<1\) sur \(]0\,;\,4{,}73[\). La première racine est \(3\pi/2+\varphi\) avec \(\varphi\approx 2/e^{3\pi/2}\approx 1/56\), « à peine un degré » (§ 17) : la racine exacte est \(3\pi/2+1^\circ 01'\). La suivante est « un peu moins que \(5\pi/2\) », de quelques minutes (§ 18) : il s'en faut de \(2{,}7'\). Les sons sont donc sensiblement comme \(9,25,49,81\dots\) (§ 19) ; le rapport exact des deux premiers est \(2{,}757\) au lieu de \(25/9=2{,}778\). Euler nomme l'intervalle « une octave avec un triton » : \(25/9\) vaut une octave et \(25/18\), quarte augmentée de l'intonation juste (\(569\) cents).¹⁰² Le mouvement général est une somme de tels modes (§ 20). Le son fondamental a au moins deux nœuds (§ 21) : sans nœud, le centre de gravité ne pourrait rester immobile ; avec un seul, la verge tournerait sans fin autour de lui. L'argument est juste : en termes actuels, un mode de la verge libre est orthogonal aux deux mouvements rigides, \(\int y\,ds=0\) et \(\int s\,y\,ds=0\), ce qui exige au moins deux changements de signe ; les nœuds sont en \(u=0{,}2242\) et \(u=0{,}7758\). Le § 22 calcule les ordonnées aux bouts, égales, et au milieu, \(2e^{\omega/2}-\sqrt2\,e^\omega<0\) ; la pente au milieu, trouvée \(-\sqrt2\), « serait nulle si le calcul était plus exact » — elle l'est, le mode étant symétrique.¹⁰³

Cas II, un bout libre, l'autre appuyé (§§ 23 à 29). L'équation est \(\tan\omega=\tanh\omega\).¹⁰⁴ La première racine est \(\pi+\pi/4-\varphi\) avec \(\tan\varphi=e^{-2\omega}\approx 1/2576\), soit « à peine une minute » (§ 24) : il s'en faut exactement de \(1{,}34'\), et \(\omega=3{,}9266\). Les suivantes sont voisines de \(9\pi/4\), \(13\pi/4\), …, d'où des sons comme \(25,81,169,289\) (§§ 25–26).¹⁰⁵ Le rapport \(81/25=3{,}24\) (exact : \(3{,}2406\)) vaut une octave et une quinte augmentée \(25/16\), plus un reste de \(1{,}0368\), soit \(63\) cents : Euler dit « un comma », mot large pour trois commas syntoniques. Le fondamental du cas II est à celui du cas I comme \(25:36\) (exact : \(0{,}689\) contre \(0{,}694\)), une « fausse quinte » (§ 27). La figure du fondamental (§ 29), calculée pour \(\omega=5\pi/4\), n'a qu'un nœud intérieur, entre \(u=\frac15\) et \(u=\frac25\) : il est en \(u=0{,}264\).¹⁰⁶

Cas III, un bout libre, l'autre encastré (§§ 30 à 34). L'équation est \(\cos\omega\cosh\omega=-1\), et la racine cherchée est dans le deuxième quadrant, \(\omega=\pi/2+\varphi\) avec \(\sin\varphi=2/(e^{\pi/2+\varphi}+e^{-\pi/2-\varphi})\).¹⁰⁷ Euler trouve d'abord \(\varphi=23^\circ 29'\) par la série au premier ordre, puis \(16^\circ 58'\) en gardant \(\varphi^2\) ; il essaie ensuite \(\varphi=12^\circ\) et \(\varphi=15^\circ\) par les logarithmes, qui sont justes (\(9{,}31788\) contre \(9{,}51572\), puis \(9{,}41300\) contre \(9{,}49590\)), et conclut, par une moyenne entre les deux sinus, à \(\varphi=16^\circ 33'\), qu'il porte à \(16^\circ 45'\), d'où « \(\omega=106^\circ 45'\) » (§ 32). La racine est en réalité \(\varphi=17^\circ 26'\), \(\omega=107^\circ 26'=1{,}8751\) : son interpolation reste en deçà de la racine.¹⁰⁸ Il en déduit que ce fondamental est au fondamental du cas I comme \(4:25\), soit \(1:6\frac14\) (exact : \(1:6{,}363\)), un peu plus de deux octaves ; les racines suivantes, \(3\pi/2-\varphi\) avec \(\varphi\) d'environ un degré (exact : \(1^\circ 03'\)), puis \(5\pi/2\), \(7\pi/2\), …, donnent les mêmes sons que le cas I (§ 33).

Cas IV, les deux bouts appuyés (§§ 35 à 38). Ici \(\alpha=\beta=\delta=0\) et \(\sin\omega=0\) : \(\omega=\pi,2\pi,3\pi,\dots\) exactement, les modes sont \(\sin(n\pi u)\), la figure d'une corde, et les sons croissent comme \(1,4,9,16,\dots\)¹⁰⁹ C'est, remarque Euler, le seul cas où toutes les racines sont exactes, les exponentielles disparaissant du calcul (§ 38) ; il en conclut qu'une telle verge rendrait des sons plus purs qu'une corde, n'ajoutant guère au fondamental que la double octave. Le § 37 compare les quatre fondamentaux, notés gis, d, C, fis, comme \(\frac94\), \(\frac{25}{16}\), \(\frac{9}{25}\), \(1\) ; les valeurs exactes sont \(2{,}267\), \(1{,}562\), \(0{,}356\) et \(1\).

Cas V et VI (§§ 39 à 44). Le cas V (appuyé, encastré) a l'équation du cas II, le cas VI (deux bouts encastrés) celle du cas I : mêmes sons, figures différentes. Euler calcule la figure du fondamental du cas V, \(y=e^{u\omega}-e^{-u\omega}+\Omega\sin u\omega\) avec \(\Omega=\sqrt{2(e^{2\omega}+e^{-2\omega})}\approx72\), et celle du cas VI aux tiers de la longueur.¹¹⁰ Pour ce dernier, il trouve \(138\) et \(140\) et note qu'un calcul plus exact les donnerait égales : c'est vrai, le fondamental du cas VI étant symétrique.

Verges semblables et sections quelconques (§§ 45 et 46). Sous des circonstances semblables, les sons sont comme \(c/a^2\), directement comme l'épaisseur et inversement comme le carré de la longueur : c'est la loi actuelle, la fréquence étant proportionnelle au rayon de giration de la section divisé par le carré de la longueur. Pour une section rectangulaire \(ABCD\), \(c\) est le côté situé dans le plan de flexion et l'autre côté n'entre pas dans le calcul : exact aussi, la largeur multipliant à la fois la rigidité et la masse. Pour une section circulaire de diamètre \(AB\), la copie donne « \(c=\frac34AB\) ». L'équivalence juste s'obtient en égalant les rayons de giration, \(c/\sqrt{12}\) pour le rectangle et \(AB/4\) pour le cercle : \(c=\frac{\sqrt3}{2}AB\approx0{,}866\,AB\), c'est-à-dire \(c^2=\frac34AB^2\).¹¹¹

La verge appuyée en un point intermédiaire (§ 47 à 51)

192–202Euler ajoute un cas « pour faire comprendre la méthode » : la verge appuyée à ses deux bouts \(E\) et \(F\) l'est encore en un point \(L\), avec \(EL=\lambda a\), \(0<\lambda<1\).¹¹² Si la verge était encastrée en \(L\), dit-il, les deux portions seraient sans communication ; appuyée sur un stylet autour duquel elle peut tourner, elle transmet le mouvement d'une portion à l'autre, mais la continuité de la courbe est interrompue et chaque portion a sa propre expression, \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) pour \(EL\) et \(\alpha',\beta',\gamma',\delta'\) pour \(LF\), avec le même facteur du temps. En \(L\) il impose \(y=0\) des deux côtés, et l'égalité des pentes et des rayons osculateurs, \(y'\) et \(y''\) continus ; aux bouts, deux conditions chacun. Huit équations homogènes pour huit coefficients : la condition de compatibilité est l'équation finale \[ 0=2-2e^{2\omega}-\bigl(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega}\bigr)\bigl(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}\bigr)\frac{\sin\omega}{\sin\lambda\omega\,\sin(1-\lambda)\omega}. \] Le décompte d'Euler est exact : \(y'''\) n'est pas supposé continu en \(L\), et son saut est la force du stylet, l'effort \(F\) de l'équation II du § 8. Avec \(\mu=1-\lambda\), l'équation finale s'écrit \[ \coth\lambda\omega+\coth\mu\omega=\cot\lambda\omega+\cot\mu\omega, \qquad\text{ou}\qquad \sinh\omega\,\sin\lambda\omega\,\sin\mu\omega=\sin\omega\,\sinh\lambda\omega\,\sinh\mu\omega, \] car le second membre d'Euler vaut exactement \[ -\,\frac{4e^\omega\bigl(\sinh\omega\,\sin\lambda\omega\,\sin\mu\omega-\sin\omega\,\sinh\lambda\omega\,\sinh\mu\omega\bigr)}{\sin\lambda\omega\,\sin\mu\omega} ; \] c'est l'équation aux fréquences qu'on écrit aujourd'hui pour la poutre continue sur trois appuis.¹¹³ Euler déclare ne pas oser en chercher les racines, « à cause de la complication des formules ».¹¹⁴

Il remarque ensuite que \(\lambda=0\) ou \(\lambda=1\) ramène l'équation à \(0=2(1-e^{2\omega})\), donc à \(\omega=0\) et au repos. La conclusion vient de ce qu'il fait \(\lambda=0\) dans une expression où \(\sin\lambda\omega\) est au dénominateur ; la limite de l'équation quand \(\lambda\to0\) est \(\coth\omega=\cot\omega\), c'est-à-dire \(\tan\omega=\tanh\omega\), le cas V : un appui collé contre un bout appuyé encastre ce bout, ce qu'Euler dit lui-même pour \(\lambda=1\), « tum enim terminus \(F\) erit quasi muro infixus ».¹¹⁵

Pour \(\lambda=\frac12\) (§ 48), l'équation se ramène à \[ \sin\tfrac12\omega\,\Bigl[(1+e^\omega)\sin\tfrac12\omega-(e^\omega-1)\cos\tfrac12\omega\Bigr]=0, \] d'où deux familles.¹¹⁶ La première, \(\sin\frac12\omega=0\), soit \(\omega=2i\pi\) (§ 49), fait vibrer chaque moitié comme une verge appuyée à ses deux bouts, avec des sons \(4,16,36,64,\dots\), deux octaves au-dessus du cas IV. Au § 50, Euler en calcule les coefficients et trouve que tous s'annulent sauf \(\gamma\) et \(\gamma'\), avec \(\gamma'=-\gamma\). Le signe est faux : pour \(\omega=2i\pi\), l'égalité des pentes en \(L\) exige \(\gamma'=\gamma\), et le mode est le seul sinus \(y=\sin\omega u\) tout le long de la verge ; avec \(\gamma'=-\gamma\), les deux portions feraient en \(L\) un angle. Le \(-1\) vient de ce que ces coefficients sont des formes \(0/0\) en \(\sin\frac12\omega=0\), auxquelles Euler donne une valeur en multipliant tout par \(\sin\frac12\omega\).¹¹⁷

La seconde famille (§ 51), \(\tan\frac12\omega=\tanh\frac12\omega\), est l'équation du cas V pour la demi-longueur : chaque moitié vibre « comme si elle était simplement appuyée en \(E\) et en \(F\), et entièrement encastrée en \(L\) », avec \(\omega\approx\frac{5\pi}{2},\frac{9\pi}{2},\dots\) (exactement \(7{,}8532\), puis \(14{,}1372\)) et des sons deux octaves au-dessus du cas V. Euler conclut qu'il est « tout à fait digne de remarque » que les deux moitiés puissent vibrer de deux manières, l'une qui relève du cas IV et l'autre du cas V.¹¹⁸ Les deux familles sont de vrais modes de la verge sur trois appuis : la première est formée des modes antisymétriques par rapport au milieu, la seconde des modes symétriques, dont la pente est nulle en \(L\) par symétrie et qui font travailler le stylet. La seconde solution d'Euler est juste ; c'est elle que les « Remarques » vont contester.

La verge courbe et l'anneau (§ 52 à 55)

202–206Le § 52 étend tout ce qui précède à une verge naturellement courbe, en prenant pour axe la courbe naturelle elle-même et pour \(y\) le déplacement normal : même équation, mêmes six cas, mêmes sons.¹¹⁹ Ce n'est vrai qu'à la limite d'une courbure faible devant celle des ondulations : dans une verge courbe, déplacement normal et déplacement tangentiel sont liés, et l'équation d'une verge droite ne vaut plus.

Les §§ 53 à 55 traitent de la verge fermée sur elle-même, « de sonis annulorum elasticorum ».¹²⁰ Euler pose \(y=0\) au point \(A\) pris pour origine et demande qu'elle s'annule encore en \(s=a,2a,3a,\dots\), \(a\) étant le périmètre : les termes exponentiels disparaissent, \(\delta=0\), et \(\sin i\omega=0\) pour tout \(i\), d'où \(\omega=i\pi\) et des sons comme \(1,4,9,16,\dots\) Il en conclut que de tels anneaux, comme les disques et les « bassins en forme de cloche », rendent des sons plus purs que les cordes, et que leurs sons sont en raison inverse du carré du périmètre. Dans son propre modèle, la condition d'un anneau n'est pas que \(y\) s'annule en \(A\) à chaque tour, mais que \(y\) et ses dérivées reprennent leurs valeurs : \(\sin(i\pi s/a)\) change de signe après un tour quand \(i\) est impair, ce qui ferait un angle en \(A\). Seuls \(\omega=2j\pi\) conviennent, et les sons du modèle sont alors comme \(4,16,36,\dots\), c'est-à-dire comme \(1,4,9,\dots\) entre eux. La loi actuelle de l'anneau mince est autre, et ce n'est pas une loi de carrés ; elle est énoncée une fois, avec l'anneau de Sophie Germain et les observations de Chladni, à la sous-section « L'anneau et la lame courbe, contre Euler et avec Chladni » du long mémoire (vues 574 à 592).

« Remarques sur le mémoire d'Euler » : la seconde solution contestée

208–334Après la copie viennent, de sa main pour les brouillons, plusieurs états d'une critique du § 47 d'Euler.¹²¹ On lit ici la mise au net comme texte principal jusqu'à son § 7, et les brouillons en notes ; la suite, à partir de son § 8, est la section suivante.

Deux titres, deux brouillons, une mise au net

208–220Un feuillet de titre, « Remarques sur la lame elastique », ouvre l'ensemble.¹²² Suivent deux rédactions. La première, « Remarque sur le mémoire d'Euler : Investigatio motuum … in act. Acad. pétrop ann. 1779 P.I p. 103 et seq. », tient quatre feuillets (vues 210 à 216) : elle résume le § 47 à la troisième personne, conteste la seconde solution et commence la transformation de l'équation finale.¹²³ La seconde, « Remarques sur le memoire d'Euler … », repart du titre avec sa propre pagination, 1 à 42 (vues 218 à 308) : une ouverture historique, une traduction française des §§ 47 à 51, puis des remarques numérotées, qui se poursuivent jusqu'au problème de la lame libre et aux plaques carrées. Enfin un feuillet de titre, « Memoire presenté et examiné / sur la lame » (vue 318), précède une mise au net paginée (1) à (35) (vues 320 à 389), qui reprend l'argument dans le même ordre, en plus bref.¹²⁴

L'ouverture de la seconde rédaction situe la question : Euler avait déjà traité ces matières dans la Methodus inveniendi curvas maximi minimive proprietate gaudentes, « imprimée en 1744 » ; le mémoire de 1779 les met dans un ordre plus méthodique, sans « aucun changement essentiel dans sa méthode », et « l'addition la plus importante » est l'examen d'un point d'appui placé ailleurs qu'aux extrémités. Elle annonce qu'elle rapportera cette partie du mémoire « en y joignant les problèmes relatifs aux cas qu'il a négligé de traiter » et, ajoute la marge, « les reflexions que l'examen plus aprofondi de cette matière m'a fait naitre ».¹²⁵

Le § 47 d'Euler, en français

218–228La seconde rédaction traduit alors les §§ 47 à 51, chaque ligne ouverte d'un guillemet, au plus près du latin de la copie : l'énoncé, les huit équations, l'équation finale, le cas \(\lambda=\frac12\) et ses deux facteurs, les coefficients du § 50 avec \(\gamma=-\gamma'\), et la seconde solution du § 51.¹²⁶ La mise au net remplace cette traduction par un résumé à la troisième personne (vue 320), et la première rédaction faisait de même (vues 210 et 212) : l'auteur, après les six cas, suppose la lame appuyée en outre en un point intermédiaire « de façon que la communication entre ces différentes parties ne soit pas interrompue », choisit le cas le plus simple, obtient l'équation finale, renonce à la résoudre, examine \(\lambda=\frac12\), et termine sur les deux manières de vibrer.

L'objection : la condition \(\sin\omega = 0\) (§ 1)

320–322Sa « première réflexion » est que la seconde solution « sort de l'état de la question ».¹²⁷ Les mouvements de la lame soumise au stylet¹²⁸ en \(L\), dit-elle, doivent être au nombre de tous les mouvements réguliers dont la même lame est capable quand ses extrémités sont appuyées — Euler n'a-t-il pas employé pour les trouver quatre équations tirées de l'état des extrémités ? Or ces mouvements exigent \(\sin\omega=0\) (cas IV, § 35). La première solution s'y accorde, \(\sin\frac12\omega=0\) entraînant \(\sin\omega=0\) ; la seconde non, car \(\tan\frac12\omega=\tanh\frac12\omega\) donne \(\sin\omega=\tanh\omega\), qui ne s'annule que pour \(\omega=0\).¹²⁹ Le respect que l'on doit aux opinions d'Euler la décide pourtant à examiner le cas général.

Le calcul est juste ; la prémisse ne l'est pas. Elle suppose que le stylet ne fait que choisir parmi les mouvements déjà possibles de la lame sans stylet. La première rédaction le dit en toutes lettres : l'effet des points d'appui « est considéré comme purement exclutif », il ne peut « faire naître des mouvemens inconciliables avec l'état des extrèmités » et « se borne a déterminer quelques uns des mouvemens possibles déja connus en rendant les autres impossibles ».¹³⁰ C'est supposer que le stylet n'exerce aucune force. Or il en exerce une en général : c'est l'effort \(F\) qu'Euler fait entrer dans les équations I et II de son § 8 précisément pour une verge « fixée comme au moyen d'un stylet ». Un mode de la lame avec stylet n'est un mode de la lame sans stylet que si cette force est nulle, c'est-à-dire si \(y'''\) est continu en \(L\) ; pour les autres modes, rien n'oblige \(\sin\omega=0\). Pour \(\lambda=\frac12\), la première famille ne charge pas le stylet, la seconde le charge : c'est exactement la différence qu'elle a vue, mais elle en tire la conclusion inverse de la vraie.

Le cas général : points de repos « sympathiques » et parties aliquotes (§ 2 à 5)

322–330Elle reprend l'équation du § 47 sous la forme \[ 0=2(1-e^{2\omega})\sin\lambda\omega\,\sin\mu\omega-\bigl(1-e^{2\mu\omega}\bigr)\bigl(e^{2\lambda\omega}-1\bigr)\sin\omega,\qquad \mu=1-\lambda, \] et, pour \(\lambda=1/n\), la divise par \(e^{2\lambda\omega}-1\) :¹³¹ \[ 2\bigl(1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+\dots+e^{2\mu\omega}\bigr)\sin\lambda\omega\,\sin\mu\omega+\bigl(1-e^{2\mu\omega}\bigr)\sin\omega=0 . \] Elle observe que « par la nature de la question » \(\lambda\) est toujours une fraction et que, les deux extrémités étant appuyées, cette fraction est « partie aliquote de l'unité, ou multiple d'une telle partie ».¹³² Par les développements classiques de \(\sin n\theta\) en puissances de \(\sin\theta\) — \(\sin\omega=\frac1\lambda\sin\lambda\omega-\frac{1-\lambda^2}{6\lambda^3}\sin^3\lambda\omega+\dots\) pour \(n\) impair, le même précédé de \(\cos\lambda\omega\) et avec \(1-4\lambda^2\), \(1-16\lambda^2\) pour \(n\) pair, développements qui sont justes —, \(\sin\lambda\omega\) est facteur de l'équation. D'où la solution \(\omega=i\pi/\lambda\) : la lame se partage en \(1/\lambda\) parties égales qui vibrent comme autant de lames appuyées à leurs deux bouts, « tant dans le point où est placé le stilet, que dans les autres points de repos que l'on pourroit nommer sympatiques », et rendent des sons proportionnels à \(1,4,9,16,\dots\) divisés par \(\lambda^2\).¹³³ Tout cela est vrai, et c'est la bonne notion : ce sont les modes \(\sin(i\pi u/\lambda)\) de la lame sans stylet dont un nœud tombe sur le stylet, et pour eux le stylet n'exerce aucune force.

Au § 3, elle généralise les coefficients d'Euler et trouve, comme lui, \(\gamma=-\gamma'\) ; elle décrit alors les parties successives \(EL\), \(LL'\), \(L'L''\), … par \(y=\pm C\sin(\dots)\sin(\dots)\), le signe \(+\) pour les arcs au-dessus de l'axe, le signe \(-\) pour ceux qui sont au-dessous.¹³⁴ Le signe d'Euler est faux, on l'a vu (§ 50) ; sa description reste juste si l'abscisse de chaque partie est comptée depuis son propre bout gauche : le mode est un seul sinus, dont les arches alternent.

Au § 4, elle montre que le second facteur de l'équation ne peut s'annuler, si l'on impose \(\sin\omega=0\), que pour \(\omega=0\) : c'est exact, et c'est dire seulement que la seconde solution n'est pas un mode de la lame sans stylet. Elle annonce alors davantage : que, même sans cette condition, « il se trouve plusieurs valeurs » de \(\lambda\) pour lesquelles l'équation n'a aucune solution du type du cas V, où chaque portion serait « fixée » au stylet et appuyée à son autre bout.¹³⁵ Au § 5, elle récrit l'équation finale \[ \sin\lambda\omega\,\bigl(\coth\mu\omega\,\sin\mu\omega-\cos\mu\omega\bigr)+\sin\mu\omega\,\bigl(\coth\lambda\omega\,\sin\lambda\omega-\cos\lambda\omega\bigr)=0, \] forme juste et symétrique en \(\lambda\) et \(\mu\) ;¹³⁶ pour que le stylet pût être tenu pour fixe, il faudrait que les deux parenthèses s'annulent ensemble, \(\tan\lambda\omega=\tanh\lambda\omega\) et \(\tan\mu\omega=\tanh\mu\omega\) : les deux portions vibreraient alors comme deux lames du cas V de même son. La caractérisation est exacte : ce sont les modes dont la pente est nulle au stylet. Avec les valeurs approchées d'Euler, \(\omega\approx(4k+1)\pi/4\), les deux suites de sons, proportionnelles à \((4k+1)^2/\lambda^2\) et \((4j+1)^2/\mu^2\), n'ont aucun terme commun quand, \(\lambda=1/\lambda'\), le nombre \(\lambda'-1\) est pair ou de la forme \(4n+3\) : l'arithmétique est juste, puisque l'égalité demande \((4k+1)(\lambda'-1)=4j+1\).¹³⁷ Mais aucun de ces faits ne touche l'existence des autres modes. Pour tout \(\lambda\), l'équation a une infinité de racines : pour \(\lambda=0{,}3\), \(\omega=5{,}132\), \(9{,}277\), \(11{,}780\), … ; pour \(\lambda=\frac13\), \(\omega=5{,}335\), \(3\pi\), \(11{,}144\), …, où seul \(3\pi\) est un mode « sympathique ».

La conclusion contre Euler, et Euler contre lui-même (§ 6 et 7)

332–334Elle conclut :

J'ai voulu entrer dans tous ces détails, àfin d'être autorisée a conclure qu'Euler a été induit en erreur, lorsqu'il a cru pouvoir admettre sa seconde solution…

et elle ajoute que, sans sortir de ce sujet, Euler a lui-même « varié de sentiment » : dans la Methodus, il aurait rejeté toutes les solutions de la lame libre qui donnent un nombre impair de nœuds, à cause du « mouvement giratoire » autour du nœud du milieu, et, dans le mémoire de 1779, il les admet et n'emploie la considération de ce mouvement qu'à prouver que le fondamental de la lame libre coupe l'axe en deux points (§ 21).¹³⁸ La conclusion ne suit pas : les détails qu'elle a réunis sont justes, mais ils portent sur les modes sans force au stylet, et la seconde solution d'Euler est un mode avec force. Sur le second point, le mémoire de 1779 a raison contre la Methodus telle qu'elle la rapporte : les modes de la lame libre sont alternativement symétriques et antisymétriques, ces derniers ont un nombre impair de nœuds, et aucun ne comporte de rotation d'ensemble, leur quantité de mouvement et leur moment cinétique étant nuls.

Au § 7, elle revient à la première solution : elle est générale, elle montre comment les nœuds se placent selon \(\lambda\), puisque \(y=0\) encore aux points où \(\sin2\lambda\omega\), \(\sin3\lambda\omega\), … s'annulent, et le mouvement est le même quel que soit celui de ces points où l'on pose le stylet.¹³⁹ Elle en tire que « tout mouvement régulier, et par conséquent tout son mesurable, est impossible à obtenir de la lame dont les deux extrémités sont appuyées, lorsque le stilet est placé à tout autre point qu'à une division aliquote ». C'est faux : pour toute position du stylet, la lame a une suite infinie de mouvements réguliers ; ce qui est vrai, c'est que hors des positions rationnelles aucun d'eux n'est un mode de la lame sans stylet, tous faisant travailler le stylet. Elle note l'analogie avec la corde vibrante et regrette que ce cas des extrémités appuyées soit « le seul où de semblables analogies se fassent remarquer » ; puis elle annonce le problème qu'elle juge important : appliquer la méthode d'Euler à la lame libre à ses deux bouts, touchée par un stylet en un point quelconque.¹⁴⁰ Ce problème, son § 8, ouvre la section suivante.

Ce que dit la théorie actuelle de la poutre sur appui intermédiaire

320–334On énonce ici une fois, pour cette section et pour la suivante, ce que l'on sait aujourd'hui de la lame touchée par un stylet, dans le modèle même d'Euler (équation du § 4 sans effort axial).¹⁴¹

1. Conditions au stylet. En \(L\) (\(u=\lambda\)) : \(y=0\) ; \(y\), \(y'\), \(y''\) continus ; \(y'''\) saute d'une quantité proportionnelle à la force \(R\) que le stylet exerce, \(bc^4\,[y''']_L=-R\) à la convention de signe près. Ce sont les quatre conditions d'Euler au § 47, la force étant l'inconnue que son § 8 introduit.
2. Existence. Pour toute position \(0<\lambda<1\), la lame appuyée à ses bouts et touchée par le stylet a une suite infinie de modes, racines de \(\coth\lambda\omega+\coth\mu\omega=\cot\lambda\omega+\cot\mu\omega\), \(\mu=1-\lambda\) ; ajouter l'appui relève chaque fréquence sans dépasser la suivante de la lame sans stylet, dont les racines sont \(\pi,2\pi,3\pi,\dots\)¹⁴²
3. Modes sans force au stylet. Un mode de la lame avec stylet n'exerce aucune force sur lui si et seulement si c'est un mode de la lame sans stylet dont un nœud tombe en \(L\) : si \(R=0\), \(y'''\) est continu et \(y\) vérifie l'équation d'un bout à l'autre ; réciproquement un tel mode satisfait toutes les conditions avec \(R=0\). Les bouts étant appuyés, cela demande \(\sin k\pi\lambda=0\) : \(\lambda=p/q\) rationnel, \(k\) multiple de \(q\). Ce sont ses « points sympathiques ». Pour \(\lambda\) irrationnel, il n'y en a aucun, et tous les modes chargent le stylet.
4. Le stylet au milieu. Pour \(\lambda=\frac12\) et des bouts de même nature, les modes se séparent en antisymétriques et symétriques par rapport au milieu. Un mode antisymétrique a \(y=0\) et \(y''=0\) au milieu, et \(y'''\) y est continu : il ne charge pas le stylet, et chaque moitié vibre comme une lame de longueur \(\frac12a\) gardant sa condition extérieure et appuyée au milieu. Un mode symétrique a \(y'=0\) au milieu, et \(y'''\) y saute : il charge le stylet, et chaque moitié vibre comme une lame gardant sa condition extérieure et encastrée au milieu. Bouts appuyés : moitiés appuyée–appuyée (cas IV, \(\omega=2\pi,4\pi,\dots\)) et appuyée–encastrée (cas V, \(\omega=7{,}8532,\dots\)) ; le fondamental est antisymétrique, et le premier mode symétrique est au-dessus dans le rapport \(1{,}562\), très près de \(25/16\). Bouts libres : moitiés libre–appuyée (cas II) et libre–encastrée (cas III). Bouts encastrés : moitiés encastrée–appuyée (cas V) et encastrée–encastrée (cas VI).
5. Limite. Quand \(\lambda\to0\), l'équation tend vers celle du cas V : un appui collé contre un bout appuyé l'encastre.

Le verdict sur les « Remarques » se lit dans ces énoncés. Les deux solutions qu'Euler donne pour \(\lambda=\frac12\) sont justes, et la seconde en particulier est la famille des modes symétriques, qui font travailler le stylet. L'objection repose sur une hypothèse que les feuillets ne disent qu'une fois, dans la première rédaction : que l'effet du stylet est « purement exclutif », c'est-à-dire qu'il n'exerce aucune force ; le § 8 d'Euler l'exclut. Ce qu'elle établit de juste en chemin — les points sympathiques aux positions rationnelles, les développements de \(\sin n\theta\), la forme symétrique de l'équation, la rareté des modes à pente nulle au stylet — reste juste ; ce qu'elle en conclut — qu'aucun son mesurable n'existe hors des divisions aliquotes, et que la seconde solution d'Euler est à rejeter — est faux.

La lame touchée par un stylet : extrémités libres, extrémités fixées

246–396Après la seconde solution contestée, la critique du § 47 d'Euler passe à un problème qu'Euler n'a pas traité et qu'elle juge plus important : la lame libre, ou encastrée, à ses deux bouts, touchée par un stylet en un point quelconque de sa longueur. Le volume en garde deux états qui suivent le même ordre, paragraphe par paragraphe : un brouillon très repris et une mise au net. On suit ici la mise au net ; le brouillon est cité en note, rapproché par le contenu et non par les numéros.¹⁴³

On garde les notations de la section précédente. L'ordonnée de la lame est \(y=Y(u)\,\sin\bigl(\zeta+t\,\omega^2c\sqrt{2gb}/a^2\bigr)\), avec \(u=s/a\), et \[ Y(u)=\alpha e^{\omega u}+\beta e^{-\omega u}+\gamma\sin\omega u+\delta\cos\omega u \] sur la portion \(EL\), \(0\le u\le\lambda\), les coefficients accentués \(\alpha',\beta',\gamma',\delta'\) sur la portion \(LF\) ; les sons sont comme \(\omega^2\). On pose \(\mu=1-\lambda\) et, pour abréger, \[ P(t)=\cosh t\,\sin t-\sinh t\,\cos t,\qquad C_{+}(t)=1+\cosh t\,\cos t,\qquad C_{-}(t)=1-\cosh t\,\cos t . \] L'équation \(P(t)=0\), c'est-à-dire \(\tan t=\tanh t\), est celle d'une lame de longueur réduite \(t\) libre à un bout et appuyée à l'autre (cas II d'Euler), ou appuyée et encastrée (cas V) ; \(C_{+}(t)=0\) celle d'une lame libre et encastrée (cas III) ; \(C_{-}(t)=0\) celle d'une lame libre aux deux bouts (cas I) ou encastrée aux deux bouts (cas VI).¹⁴⁴

Tout ce qui suit se juge sur les énoncés donnés à la fin de la section précédente (« Ce que dit la théorie actuelle de la poutre sur appui intermédiaire », vues 320 à 334) : au stylet, \(y=0\), et \(y\), \(y'\), \(y''\) sont continus tandis que \(y'''\) saute de la force que le stylet exerce ; pour toute position du stylet la lame a une suite infinie de modes ; un mode n'exerce aucune force sur le stylet si et seulement si c'est un mode de la lame sans stylet dont un nœud tombe au stylet. Ses raisonnements, dans ces pages, reposent sur une hypothèse qu'elle énonce au § 20 : le mouvement de la lame touchée par le stylet doit être l'un des mouvements réguliers de la lame sans stylet. Ce qu'elle prouve sous cette hypothèse est vrai des modes sans force ; ce qu'elle en conclut pour tous les modes ne l'est pas.

Le problème de la lame libre aux deux bouts (§ 8 à 11)

334–348Elle pose le problème :

Si une lame élastique, libre à l'une et à l'autre de ses extrémités, est soumise à l'action d'un stylet dans un point quelconque de sa longueur : trouver tous les mouvemens de vibration dont elle est susceptible ?

Elle reprend les quatre équations I à IV qu'Euler écrit au stylet dans son § 47, avec raison « puisqu'elles sont indépendantes de l'état des extrémités » : \(Y(\lambda)=0\) des deux côtés, pente et courbure continues.¹⁴⁵ Les bouts libres donnent \(Y''=Y'''=0\) en \(u=0\) et en \(u=1\) : \[ \alpha-\beta=\gamma,\qquad \alpha+\beta=\delta, \] \[ \alpha'e^{\omega}+\beta'e^{-\omega}-\gamma'\sin\omega-\delta'\cos\omega=0,\qquad \alpha'e^{\omega}-\beta'e^{-\omega}-\gamma'\cos\omega+\delta'\sin\omega=0 , \] ses équations V à VIII ; elles sont exactes. L'élimination est conduite pas à pas : \(\gamma'\) et \(\delta'\) par VII et VIII, \(\beta'\) par II, puis \(\beta,\gamma,\delta\) par V, VI et I ; l'équation III donne une première valeur de \(\alpha/\alpha'\), et l'équation IV, ajoutée à I et II et divisée par 2, soit \(\alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}=\alpha'e^{\lambda\omega}+\beta'e^{-\lambda\omega}\), une seconde. En les égalant, elle obtient l'équation finale, qui s'écrit \[ C_{+}(\mu\omega)\,P(\lambda\omega)+C_{+}(\lambda\omega)\,P(\mu\omega)=0 . \] Elle est juste : c'est l'équation aux fréquences de la lame libre sur un appui intermédiaire.¹⁴⁶ Divisée par \(C_{+}(\lambda\omega)\,C_{+}(\mu\omega)\), elle devient \[ \frac{P(\lambda\omega)}{C_{+}(\lambda\omega)}+\frac{P(\mu\omega)}{C_{+}(\mu\omega)}=0 : \] chaque terme est, au même facteur près, le couple qu'il faut appliquer en \(L\) à l'une des portions, prise seule et libre à son autre bout, pour lui imposer une rotation donnée à la fréquence considérée ; l'équation dit que les deux couples se compensent, le stylet n'en transmettant aucun.¹⁴⁷

Pour \(\lambda=\frac12\) (son § 9), l'équation se réduit à \(2\,C_{+}(\tfrac12\omega)\,P(\tfrac12\omega)=0\) et a deux familles de solutions. La première, \(\tan\frac12\omega=\tanh\frac12\omega\), fait vibrer chaque moitié « comme deux lames séparées de longueur \(\frac12a\) » libres à un bout et appuyées à l'autre, et elle vérifie qu'elle s'accorde avec l'équation de la lame libre sans stylet : de \(\cos\omega\cosh\omega=1\) avec \(\sin\omega>0\), soit \(\sin\omega=\tanh\omega\), on tire bien \(\tan\frac12\omega=\sin\omega/(1+\cos\omega)=\tanh\frac12\omega\). Ce sont les modes antisymétriques de la lame libre, \(\omega=7{,}8532\), \(14{,}1372\), … , doubles des racines \(3{,}9266\), \(7{,}0686\), … du cas II ; ils ont un nombre impair de nœuds, celui du milieu sous le stylet, qui n'y travaille pas. La seconde famille, \(C_{+}(\frac12\omega)=0\), soit \(\cos\frac12\omega=-1/\cosh\frac12\omega\), ferait de chaque moitié une lame encastrée au stylet et libre à l'autre bout ; elle la rejette parce que cette condition ne peut s'accorder avec \(\cos\omega\cosh\omega=1\) « que dans la seule supposition \(\omega=0\) ».¹⁴⁸ L'incompatibilité est vraie, la conclusion non : ce sont les modes symétriques de la lame tenue en son milieu, \(\omega=3{,}7502\), \(9{,}3882\), \(15{,}7095\), … , doubles des racines \(1{,}8751\), \(4{,}6941\), \(7{,}8548\) du cas III, où la pente est nulle au milieu par symétrie et où le stylet exerce une force ; ils ne sont pas des modes de la lame libre, et c'est tout ce que dit l'incompatibilité. Le premier d'entre eux est même le son le plus grave de la lame ainsi tenue : \(\omega^2\approx14{,}06\), contre \(22{,}37\) pour le premier son de la lame libre.

Au § 10, elle note que l'analogie avec les bouts appuyés s'arrête là : pour eux, \(\lambda=\frac12\) n'est qu'un cas particulier de la solution générale où \(\lambda\) est une partie aliquote de l'unité, et « ces valeurs sont les seules pour lesquelles le mouvement de la lame soit possible ». Cette dernière clause est fausse, pour la raison donnée à la section précédente : pour toute position du stylet, la lame appuyée à ses bouts a une suite infinie de modes.¹⁴⁹

Au § 11, elle démontre que, les bouts étant libres, les deux conditions \(P(\lambda\omega)=0\) et \(P(\mu\omega)=0\), qui feraient des deux portions deux lames séparées, libres au bout et appuyées au stylet, ne peuvent avoir lieu ensemble « lorsqu'on a égard à la condition qui résulte de l'état des extrémités de la lame primitive, que dans le seul cas où \(\lambda=\frac12\) ». Sa transformation est exacte : en portant la première condition dans la seconde, on obtient \[ \sin\lambda\omega\,\bigl[\cosh\bigl((1-2\lambda)\omega\bigr)\sin\omega-\sinh\omega\,\cos\omega\bigr]=0 . \] Le sinus ne peut s'annuler, puisque \(P(t)=\mp\sinh t\neq0\) quand \(\sin t=0\) et \(t\neq0\) ; il reste \(\tan\omega=\sinh\omega/\cosh\bigl((1-2\lambda)\omega\bigr)\). Avec l'équation de la lame libre, \(\cos\omega=1/\cosh\omega\) et \(\sin\omega=\pm\tanh\omega\), donc \(\tan\omega=\pm\sinh\omega\), il faut \(\cosh\bigl((1-2\lambda)\omega\bigr)=\pm1\) : le signe inférieur est impossible, le supérieur exige \(\lambda=\frac12\).¹⁵⁰ L'énoncé est donc juste tel qu'elle l'a écrit, avec sa restriction ; mais la restriction est l'hypothèse de la lame sans stylet. Sans elle, les deux portions vibrent comme deux lames libres et appuyées au stylet chaque fois que \(\lambda\omega\) et \(\mu\omega\) sont toutes deux racines de \(\tan t=\tanh t\), soit pour \(\lambda=r_i/(r_i+r_j)\) : avec \(r_1=3{,}9266\) et \(r_2=7{,}0686\), le stylet en \(\lambda=0{,}35712\) et \(\omega=10{,}99519\) donnent un vrai mode de la lame touchée, le couple au stylet nul et une petite force.¹⁵¹ La phrase qui clôt son paragraphe, « on est forcé de conclure que le cas où le stilet est appuyé au milieu … est le seul où cette lame puisse être considérée comme séparée en deux autres lames », perd la restriction et n'est vraie que des modes sans force.

Les extrémités fixées (§ 12)

348–350Pour les bouts encastrés, elle donne l'équation finale « au moyen de calculs que je supprime ici, à cause de leur parfaite analogie avec les précédens » ; elle l'écrit \[ \Bigl(\frac{1}{\cosh\lambda\omega}-\cos\lambda\omega\Bigr)\bigl(\coth\mu\omega\,\sin\mu\omega-\cos\mu\omega\bigr) +\Bigl(\frac{1}{\cosh\mu\omega}-\cos\mu\omega\Bigr)\bigl(\coth\lambda\omega\,\sin\lambda\omega-\cos\lambda\omega\bigr)=0 . \] L'équation juste est \[ C_{-}(\mu\omega)\,P(\lambda\omega)+C_{-}(\lambda\omega)\,P(\mu\omega)=0, \] qui s'écrit dans sa forme en remplaçant chaque facteur \(\coth t\,\sin t-\cos t\) par \(\sin t-\tanh t\,\cos t\). La sienne revient à diviser les deux termes par des facteurs différents, \(\cosh\lambda\omega\,\sinh\mu\omega\) et \(\cosh\mu\omega\,\sinh\lambda\omega\) ; elle n'est donc pas équivalente, sauf pour \(\lambda=\frac12\), et l'erreur est petite dès que \(\tanh\) est voisin de 1.¹⁵² Pour \(\lambda=\frac12\), sa conclusion est juste : la première famille fait de chaque moitié une lame appuyée au stylet et encastrée à l'autre bout, \(\omega=7{,}8532\), \(14{,}1372\), … , qui sont les modes antisymétriques de la lame encastrée sans stylet. Elle passe l'autre famille sous silence : \(C_{-}(\frac12\omega)=0\), les moitiés encastrées aux deux bouts, \(\omega=9{,}4601\), … , qui sont les modes symétriques et chargent le stylet. Enfin elle affirme, comme au § 11, que les deux moitiés ne peuvent être des lames séparées appuyées au stylet pour aucune autre valeur de \(\lambda\) ; même restriction, même verdict.

Pourquoi le milieu seul partage la lame (§ 13 et 14)

350–354Elle cherche alors à « se rendre compte de cette singularité ». Son explication part d'une prémisse : si plusieurs lames de longueurs différentes, libres ou encastrées, rendent le même son, la partie comprise entre un bout et le nœud le plus voisin est la même pour toutes ; et de même, pour des lames appuyées à un bout, la partie comprise entre le bout appuyé et le nœud le plus voisin. Si la lame touchée se partageait en deux lames appuyées au stylet et rendant le même son, les parties comprises entre le stylet et les nœuds voisins, de part et d'autre, seraient donc égales ; « il ne reste plus » qu'à prouver qu'excepté le cas d'un nœud au milieu, aucun point de repos n'a ses ordonnées égales à distances égales de part et d'autre.¹⁵³

La prémisse n'est qu'approchée. Pour des lames libres à un bout et appuyées à l'autre qui rendent le même son, de longueurs \(3{,}9266/k\), \(7{,}0686/k\), \(10{,}2102/k\), \(13{,}3518/k\), la distance du bout appuyé au nœud le plus voisin vaut \(2{,}889/k\), \(3{,}156/k\), \(3{,}141/k\), \(3{,}1416/k\) : elle tend vers \(\pi/k\), mais varie de près d'un dixième entre les deux premières lames.¹⁵⁴ Le terme hyperbolique, qui décroît loin des bouts, en est la cause.

La démonstration du § 14, elle, est juste. Elle part de l'ordonnée de la lame libre qu'elle tire d'Euler, \[ y(u)=e^{\omega u}\pm e^{\omega(1-u)}+(1\mp e^{\omega})\sin\omega u+(1\pm e^{\omega})\cos\omega u , \] et forme la somme des ordonnées à la distance \(\lambda'\) de part et d'autre du point \(\lambda\). On vérifie l'identité \[ y(\lambda-\lambda')+y(\lambda+\lambda')=2\bigl(e^{\lambda\omega}\pm e^{\mu\omega}\bigr)\bigl(\cosh\lambda'\omega-\cos\lambda'\omega\bigr)+2\cos\lambda'\omega\;y(\lambda), \] le double signe étant celui de \(y\). En un nœud, \(y(\lambda)=0\) ; le second facteur est positif pour \(\lambda'\neq0\) ; le premier ne s'annule qu'avec le signe moins et pour \(\lambda=\frac12\). Ainsi, dans un mode de la lame libre, ou encastrée, où les coefficients \(\gamma\) et \(\delta\) changent seulement de signe, aucun nœud n'a ses ordonnées opposées à distances égales, sinon le nœud du milieu des modes à nombre impair de nœuds ; a fortiori, aucun nœud autre que celui-là n'est à égale distance de ses deux voisins. C'est vrai, et elle le démontre.¹⁵⁵ Ce qu'elle prouve porte sur les modes de la lame sans stylet ; joint à la prémisse, cela redonne la conclusion du § 11 pour les modes sans force, et rien pour les autres.

L'inégalité des intervalles entre les nœuds : Chladni et Riccati

354–356Elle en tire une remarque sur la lame libre : « Je ne crois pas que l'on ait encore fait cette remarque de l'inégalité des parties comprises entre deux nœuds de vibrations ». Chladni se contente de dire qu'une partie située à un bout est à peu près moitié d'une partie comprise entre deux nœuds, ce qui semble supposer ces dernières égales entre elles. Giordano Riccati, dans son mémoire sur les vibrations des cylindres, donne pour la lame libre des valeurs de l'angle d'où elle tire, lui ne l'ayant pas fait, que la partie située au bout est moins que la moitié de la suivante, que les parties croissent du bout vers le milieu, et que les différences sont beaucoup plus grandes près des bouts.¹⁵⁶ Le calcul actuel des nœuds de la lame libre donne, en fractions de la longueur :

• premier son, \(\omega=4{,}7300\) : bout \(0{,}2242\), milieu \(0{,}5517\) ;
• deuxième son, \(\omega=7{,}8532\) : \(0{,}1321\), puis \(0{,}3679\) ;
• cinquième son, \(\omega=17{,}2788\) : \(0{,}0601\) ; \(0{,}1664\) ; \(0{,}1827\) ; \(0{,}1818\) au milieu ;
• huitième son, \(\omega=26{,}7035\) : \(0{,}0389\) ; \(0{,}1076\) ; \(0{,}1182\) ; \(0{,}1176\) ; \(0{,}1177\), pour \(\pi/\omega=0{,}11765\).

En unités de \(1/\omega\), dès le troisième son, la partie du bout vaut \(1{,}038\), la suivante \(2{,}874\), la troisième \(3{,}156\), la quatrième \(3{,}141\), les autres \(\pi\) à moins d'un millième près. La partie du bout est donc environ \(0{,}36\) de la suivante (\(0{,}41\) au premier son) et le tiers d'une partie intérieure : moins que la moitié, comme elle le dit, et le « à peu près moitié » de Chladni est grossier. Les parties croissent du bout vers le milieu sur les trois premières, et les différences sont bien concentrées près des bouts ; mais la troisième partie dépasse \(\pi/\omega\) d'un demi-centième et les suivantes oscillent autour de \(\pi/\omega\) : « d'autant plus étendue qu'elle est plus voisine du milieu » n'est exact que pour les trois premières parties.¹⁵⁷

L'analogie des équations finales (§ 15 à 18)

356–363Au § 15, elle oppose les bouts appuyés : dans les modes \(\sin\lambda\omega=0\), les nœuds à \(\lambda\pm\lambda'\) vérifient \(\sin(\lambda-\lambda')\omega+\sin(\lambda+\lambda')\omega=2\sin\lambda\omega\cos\lambda'\omega=0\), les parties entre nœuds sont égales, et c'est pourquoi ce cas seul admet une « solution générale » de l'équation finale.¹⁵⁸ L'identité est exacte, et dans ces modes \(y\) est proportionnel à \(\sin\omega u\) ; mais ces modes ne sont pas les seuls de la lame appuyée touchée par le stylet.

Au § 16, elle range les équations finales des quatre cas où le stylet touche la lame, « afin que l'on puisse saisir plus facilement ces rapports ». Dans les notations de cette section :¹⁵⁹

• bouts appuyés : \(\sin\lambda\omega\,\dfrac{P(\mu\omega)}{\sinh\mu\omega}+\sin\mu\omega\,\dfrac{P(\lambda\omega)}{\sinh\lambda\omega}=0\), ce qui est sa forme ; elle est exacte ;
• bouts libres : sa forme, \(\bigl(\frac{1}{\cosh\lambda\omega}+\cos\lambda\omega\bigr)\bigl(\coth\mu\omega\,\sin\mu\omega-\cos\mu\omega\bigr)+(\lambda\leftrightarrow\mu)=0\), n'est pas équivalente à l'équation juste \(C_{+}(\mu\omega)P(\lambda\omega)+C_{+}(\lambda\omega)P(\mu\omega)=0\), qu'elle avait pourtant établie au § 8 ; même défaut qu'au § 12 ;
• bouts encastrés : la forme du § 12, même verdict ;
• un bout encastré, l'autre appuyé : \((\tan\lambda\omega-\tanh\lambda\omega)(\tan\mu\omega-\tanh\mu\omega)=2\tan\lambda\omega\,\tanh\lambda\omega\,\Bigl(1-\dfrac{1}{\cosh\mu\omega\,\cos\mu\omega}\Bigr)\), la portion \(\lambda a\) étant du côté du bout appuyé ; elle est exacte.

Elle y joint les équations des six cas d'Euler sans stylet : \[ \text{I : }\cos\omega\cosh\omega=1,\quad \text{II : }\tan\omega=\tanh\omega,\quad \text{III : }\cos\omega\cosh\omega=-1, \] \[ \text{IV : }\sin\omega=0,\quad \text{V : }\tan\omega=\tanh\omega,\quad \text{VI : }\cos\omega\cosh\omega=1, \] toutes exactes, et remarque au brouillon qu'on peut « changer » l'encastrement et la liberté d'un bout l'un en l'autre « sans que l'équation qui détermine la valeur de l'angle \(\omega\) change de forme » : c'est vrai des équations aux fréquences (I et VI, II et V ; III est inchangé), non des formes des modes.¹⁶⁰

Au § 17, elle observe que, pour des bouts semblables, chaque équation finale est une somme de deux termes, dont chacun est le produit de la quantité qui s'annulerait si la portion \(\lambda a\) vibrait seule, appuyée au stylet, par celle qui s'annulerait si la portion \(\mu a\) vibrait seule, encastrée au stylet ; le second terme échange les deux portions. C'est exact des équations justes : \(P(\lambda\omega)\) est la condition de la portion \(\lambda a\) appuyée au stylet, \(C_{\pm}(\mu\omega)\) celle de la portion \(\mu a\) encastrée au stylet, et c'est la structure \(P/C+P/C=0\) relevée au § 8. Pour des bouts dissemblables, un bout encastré et l'autre appuyé, elle lit de même, le stylet regardé comme appuyé, les conditions \(\sin\lambda\omega=0\) et \(\tan\mu\omega=\tanh\mu\omega\), et, le stylet regardé comme encastré, \(\tan\lambda\omega=\tanh\lambda\omega\) et \(\cos\mu\omega\cosh\mu\omega=1\) : c'est juste.¹⁶¹

Au § 18, elle constate que ces analogies donnent peu. Pour les bouts appuyés, l'équation finale montre que, si le stylet est en \(\lambda a\), on a \(\sin\lambda\omega=0\) et des points de repos en \(2\lambda a\), \(3\lambda a\), … : ce n'est vrai que de la famille aliquote. Pour les bouts libres ou encastrés, le seul résultat général serait que, s'il y a un nœud à la distance \(\lambda a\) d'un bout, il y en a un autre à la même distance de l'autre bout, « parce que ces équations sont fonctions homogènes » de \(\lambda\) et \(1-\lambda\). La symétrie de l'équation en \(\lambda\) et \(\mu\) ne prouve que ceci : le stylet en \(\lambda\) et le stylet en \(1-\lambda\) donnent les mêmes sons, par une figure renversée. Elle ne place pas de nœud en \(1-\lambda\) : pour \(\lambda=0{,}3\) et les bouts libres, les trois premiers modes ont en \(0{,}7\) une ordonnée égale à \(-0{,}075\), \(-0{,}628\) et \(+0{,}460\) fois leur plus grande ordonnée. L'énoncé est vrai des modes sans force, qui sont ceux de la lame libre, symétriques ou antisymétriques ; il ne l'est pas des autres.¹⁶²

Tout, sans les équations finales (§ 19)

365–367« Il me semble que l'on peut parvenir à tous ces résultats, sans avoir recours aux équations finales », par les seules conditions des bouts et la supposition \(y=0\) aux nœuds. Pour les bouts appuyés, \(y\) est proportionnel à \(\sin\lambda\omega\) (§ 35 d'Euler), et \(\sin\lambda\omega=0\) entraîne \(\sin2\lambda\omega=0\), … , et, avec \(\sin\omega=0\), \(\sin\mu\omega=0\). Pour les bouts libres et un nombre impair de nœuds (\(\sin\omega>0\), signes inférieurs), \(y(\frac12)=0\) s'écrit \((1+e^{\omega})\sin\frac12\omega+(1-e^{\omega})\cos\frac12\omega=0\), c'est-à-dire \(\tan\frac12\omega=\tanh\frac12\omega\), la condition d'une lame de longueur \(\frac12a\) libre et appuyée. Puis, en multipliant cette relation par \(2\cos\frac12(1-2\lambda)\omega\) et en la retranchant de \(y(\lambda)=0\), elle obtient \(y(1-\lambda)=0\) ; pour un nombre pair de nœuds, elle fait de même avec \((1+e^{\omega})\sin\frac12\omega-(1-e^{\omega})\cos\frac12\omega=0\), tirée de \(\sin\omega=-\tanh\omega\), et le multiplicateur \(2\sin\frac12(1-2\lambda)\omega\) ; les bouts encastrés se traitent de même. Tout est exact : c'est, calculé terme à terme, le fait que les modes d'une lame à bouts semblables sont symétriques ou antisymétriques par rapport au milieu, et que leurs nœuds sont donc placés symétriquement.¹⁶³ Ce qu'elle obtient ainsi, ce sont précisément les résultats vrais des § 11 à 18, et eux seuls : ceux qui concernent les modes sans force.

Le reproche : la continuité de la courbe et les huit coefficients (§ 20 à 23)

369–379Vient le reproche. Au § 47, Euler admet que le stylet laisse le mouvement se communiquer d'une portion à l'autre, mais « suppose cependant que l'action de ce stilet interromp la continuité de la courbe », les deux portions étant exprimées par des équations qui diffèrent par leurs coefficients. Or, dit-elle, le seul effet du stylet est de déterminer la formation de nœuds, et donc de donner lieu à des mouvements réguliers « compris au nombre de ceux qui ont été traités dans l'examen des six cas », qui s'exécutent suivant une courbe continue ; les coefficients \(\alpha',\beta',\gamma',\delta'\) doivent être égaux chacun à son correspondant. « Cependant je n'ose admettre une opinion si contraire à celle d'Euler, sans la soumettre à un examen plus approfondi. »¹⁶⁴ Le reproche décrit mal Euler. Ses équations I à IV rendent la courbe continue en \(L\), avec sa pente et sa courbure ; seule la dérivée troisième y change, et c'est l'effet de la force que le stylet exerce. Que l'expression analytique change en \(L\) n'est pas une rupture de la courbe. Quant à la prémisse, que le mouvement est l'un de ceux des six cas, c'est l'hypothèse de la force nulle.

Au § 21, elle énonce la proposition : toutes les fois que le stylet laisse subsister une hypothèse déterminée et semblable sur l'état des deux bouts, les coefficients des deux portions sont égaux chacun à son correspondant.¹⁶⁵ Elle prouve d'abord qu'une seule égalité entraîne les autres : si \(\alpha=\alpha'\), l'équation \(\alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}=\alpha'e^{\lambda\omega}+\beta'e^{-\lambda\omega}\) donne \(\beta=\beta'\), puis III et IV donnent \(\gamma=\gamma'\) et \(\delta=\delta'\). C'est exact, et cela revient à dire que \(y'''\) est continu, c'est-à-dire que le stylet n'exerce aucune force. Elle veut ensuite prouver que \(\alpha=\alpha'\) est nécessaire. Pour les bouts libres, la valeur de \(\alpha/\alpha'\) tirée de I, II et IV est \[ \frac{\alpha}{\alpha'}=\frac{P(\mu\omega)}{P(\lambda\omega)}\cdot\frac{\sin\lambda\omega-\cos\lambda\omega-e^{-\lambda\omega}}{e^{-\omega}(\sin\mu\omega+\cos\mu\omega)+e^{-\lambda\omega}}, \] et il suffit, dit-elle, de montrer que l'égalité des deux membres à 1 « a lieu d'elle-même sous les conditions indiquées ». Elle la développe et la réduit, pour \(\sin\omega\) positif puis négatif, et montre que ce qui reste est la somme des deux expressions \(y(\lambda)\) et \(y(1-\lambda)\) de l'ordonnée de la lame libre, multipliées par des exponentielles : quantité nulle, dit-elle, puisque \(y=0\) en ces points.¹⁶⁶ Le calcul est juste, et il prouve exactement ceci : si le stylet est en un point où l'ordonnée de la lame libre s'annule, ainsi qu'au point symétrique, alors \(\alpha=\alpha'\). Les « conditions indiquées » sont celles du § 19, \(y=0\) aux nœuds de la lame libre : l'hypothèse est dans la prémisse. C'est la moitié facile de l'énoncé rappelé en tête de cette section, un mode de la lame libre avec un nœud au stylet est un mode sans force ; il ne prouve pas que toute solution des huit équations ait \(\alpha=\alpha'\). Pour le premier mode symétrique de la lame tenue au milieu, \(\omega=3{,}7502\), on trouve \(\alpha/\alpha'=6{,}52\) ; pour \(\lambda=0{,}3\), les valeurs ci-dessus.

Le § 22 traite de même les bouts encastrés : les deux expressions de \(\alpha/\alpha'\) ne diffèrent que par le signe de \(e^{-\lambda\omega}\), compensé par les changements de signe des équations des nœuds, et elle conclut encore \(\alpha=\alpha'\). L'expression est exacte, et le verdict est le même.¹⁶⁷

Au § 23, les bouts appuyés : la relation d'Euler \(\alpha/\alpha'=\bigl(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega}\bigr)/\bigl(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}\bigr)\) ne mène pas à \(\alpha=\alpha'\), mais, fait-elle observer, tous les coefficients sauf un sont nuls en vertu de l'état des bouts, de sorte que \(\alpha/\alpha'\) est « essentiellement une quantité indéterminée » — ce qui, ajoute-t-elle, a sans doute empêché Euler d'apercevoir l'identité des deux séries. C'est juste pour les modes \(\sin\lambda\omega=0\), où \(y\) est proportionnel à \(\sin\omega u\) d'un bout à l'autre. Elle cite ensuite les valeurs d'Euler pour \(\lambda=\frac12\) et leur réduction, \(\alpha=\alpha'=\beta=\beta'=\delta=\delta'=0\) et \(\gamma=-\gamma'\), et dit le changement de signe « attribué au coefficient \(\gamma'\), au lieu d'être considéré comme appartenant à l'ordonnée » prise de l'autre côté de l'axe.¹⁶⁸ Dans les équations I à IV, les deux portions sont rapportées à la même origine \(E\) et à la même variable \(u\) : la continuité de la pente exige \(\gamma'=\gamma\), et l'alternance des signes d'un côté à l'autre du stylet est déjà portée par \(\sin\omega u\). Le signe d'Euler ne vient pas d'une convention sur l'ordonnée ; il vient de ce que ses coefficients sont des formes \(0/0\) en \(\sin\frac12\omega=0\), dont les deux dénominateurs, \(\sin\frac12\omega\) et \(\sin\frac12\omega-\cos\frac12\omega\tan\omega\), s'annulent avec des signes opposés.¹⁶⁹ Elle conclut que l'examen du stylet ne donne rien de plus que \(y=0\) en son point, joint aux conditions des bouts, que les deux premières des équations I à IV se réduisent à \(y=0\) et les deux dernières à des identités dès qu'on admet \(\alpha=\alpha'\), \(\beta=\beta'\), … ; le brouillon ajoutait que « l'appareille des quatre équations trouvées par Euler est au moins inutile ». Ce n'est vrai que des modes sans force. Pour les autres, les équations III et IV sont précisément ce qui fixe les sons, et la seconde solution d'Euler en est un exemple.

Six cas réduits à quatre (§ 24)

379–385Au § 24, elle tire des moitiés de lame une réduction des six cas. La lame libre à ses deux bouts, avec un nombre impair de nœuds, se partage en deux lames libres et appuyées ; la lame encastrée, dans le même cas, en deux lames encastrées et appuyées. On peut donc conclure le cas II du cas I et le cas V du cas VI, et les six cas se réduisent à quatre « réellement indépendans les uns des autres », I, III, IV et VI.¹⁷⁰ Elle vérifie les coefficients. Au cas I, pour \(\sin\omega>0\), \(\alpha=1\), \(\beta=-e^{\omega}\), \(\gamma=1+e^{\omega}\), \(\delta=1-e^{\omega}\), avec \(\tan\frac12\omega=\tanh\frac12\omega\) ; au cas II, \(\alpha=1\), \(\beta=-e^{2\omega}\), \(\gamma=1+e^{2\omega}\), \(\delta=1-e^{2\omega}\), avec \(\tan\omega=\tanh\omega\) : on passe de l'un à l'autre en changeant \(\frac12\omega\) en \(\omega\), la moitié de la lame libre devenant une lame entière. C'est exact.¹⁷¹

Entre le cas V et le cas VI, le même rapport semble manquer : au cas VI, \(\alpha=1\), \(\beta=-e^{\omega}\), \(\gamma=-(1+e^{\omega})\), \(\delta=-(1-e^{\omega})\), alors qu'au cas V Euler donne \[ y\propto e^{\omega u}-e^{-\omega u}\mp\sqrt{2\bigl(e^{2\omega}+e^{-2\omega}\bigr)}\,\sin\omega u , \] sans rapport apparent. Elle lève le paradoxe : Euler met l'origine au bout appuyé, alors que la demi-lame du cas VI doit l'avoir au bout encastré. En changeant \(u\) en \(1-u\) et en portant \(\sin\omega=\pm(e^{\omega}-e^{-\omega})/\sqrt{2(e^{2\omega}+e^{-2\omega})}\) et \(\cos\omega=\pm(e^{\omega}+e^{-\omega})/\sqrt{2(e^{2\omega}+e^{-2\omega})}\), elle obtient \(y\propto e^{\omega u}-e^{(2-u)\omega}-(1+e^{2\omega})\sin\omega u-(1-e^{2\omega})\cos\omega u\), c'est-à-dire les coefficients du cas VI où \(\omega\) tient la place de \(\frac12\omega\). Le calcul est juste.¹⁷² Elle confirme par les conditions d'Euler pour un bout appuyé (§ 13), \(y=0\) et \(y''=0\) : au milieu de la lame libre, pour un nombre impair de nœuds, \(y''(\frac12)=-\bigl[(1+e^{\omega})\sin\frac12\omega+(1-e^{\omega})\cos\frac12\omega\bigr]=0\) en même temps que \(y(\frac12)=0\). C'est exact.

L'énoncé actuel est celui-ci. Tout mode d'une lame libre et appuyée de longueur \(\ell\) est la moitié d'un mode antisymétrique d'une lame libre de longueur \(2\ell\), et réciproquement : le prolongement impair par-delà le bout appuyé garde \(y=y''=0\) au raccord et rend \(y'\) et \(y'''\) continus. De même, la lame encastrée et appuyée est la moitié d'un mode antisymétrique de la lame encastrée. Les cas II et V sont donc contenus dans les cas I et VI. Le cas III ne l'est pas : le prolongement pair d'un mode, qui donne les modes symétriques, a au raccord \(y'=0\) et \(y'''=0\), non \(y=y'=0\). C'est le bout que le long mémoire appelle « libre au sens nouveau » ; voir son § 3 (vues 414 à 432). La réduction de six à quatre est juste.

Elle ajoute pourquoi, sans nœud au milieu, les deux moitiés d'une lame libre ne peuvent être des lames entières soumises aux mêmes conditions : la moitié de la partie centrale ne peut égaler la partie du bout, par l'inégalité du § 14. C'est vrai, et la raison actuelle est plus simple : dans un mode symétrique, chaque moitié a au milieu \(y'=0\) et \(y'''=0\), et c'est une lame libre à un bout et « libre au sens nouveau » à l'autre, non une lame libre aux deux bouts.¹⁷³

Vers la plaque carrée (§ 25)

385–389Le dernier paragraphe passe aux plaques, dont la théorie « semble devoir être beaucoup plus compliquée ». Il relève une singularité : alors que la lame libre ne peut être formée de deux demi-lames libres, plusieurs figures de plaques carrées libres de tous côtés peuvent être regardées comme composées de quatre plaques soumises aux mêmes conditions (Chladni, Traité d'acoustique, § 110). Les figures composées sont celles qu'aucune ligne nodale ne coupe diamétralement en deux parties égales, parce qu'une partie contiguë ne peut tenir lieu d'un bord libre que si elle est elle-même libre, et donc en mouvement. La figure 63 de Chladni, la plus simple de celles qui ont des lignes nodales en différents sens, deux lignes qui se croisent au centre d'après son dessin de la vue 391, répétée quatre fois, donne la figure 68 a, comme l'auteur le remarque ; répétée neuf fois, la figure 75 ; seize fois, la figure 82. Elle l'a vérifié en y traçant des lignes ponctuées.¹⁷⁴ Elle en tire un énoncé général : si une plaque carrée de côté \(am\) est divisée en \(m^2\) carrés de côté \(a\) et qu'un stylet fait naître dans un carré d'angle une figure nodale, cette figure se répète dans les \(m^2-1\) autres ; les sections de la surface par des plans perpendiculaires aux côtés coupent le plan de repos aux points \(\alpha\), \(\alpha+a\), \(\alpha+2a\), … et \(\alpha'\), \(\alpha'+a\), … , et sont symétriques autour de ces points. Pour les membranes tendues, par le § 24 du mémoire de Biot au tome 4 des Mémoires de l'Institut, \(\alpha=\alpha'=0\) ; pour les composées de la figure 63, \(\alpha=\alpha'=\frac12a\).¹⁷⁵

Ce que dit la théorie actuelle. Pour la membrane fixée à son bord, comme pour la plaque simplement appuyée sur ses quatre côtés, les modes \(\sin\frac{p\pi x}{L}\sin\frac{q\pi y}{L}\) se répètent exactement dans \(m^2\) carrés, dont les côtés sont des lignes nodales. C'est ce que dit \(\alpha=\alpha'=0\).¹⁷⁶ Pour la plaque libre, la répétition n'est pas exacte. Une ligne intérieure de part et d'autre de laquelle un mode se prolonge par réflexion est soit une ligne où \(z\) et sa dérivée seconde normale s'annulent (réflexion impaire : une ligne d'appui, nodale), soit une ligne où les dérivées première et troisième normales s'annulent (réflexion paire : un axe de symétrie). Un bord libre n'est ni l'un ni l'autre. Dans les composées de la figure 63, où \(\alpha=\frac12a\), les côtés des petits carrés sont des axes de symétrie : chaque petit carré d'angle y vibre comme une plaque dont deux côtés sont libres et deux sont des axes de symétrie, où la pente et la dérivée troisième normales s'annulent, non comme une plaque libre. L'accord des figures de Chladni avec cette composition est donc approché, ce que les dessins ne peuvent trancher ; les conditions de bord de la plaque libre sont énoncées dans la section du long mémoire (N^o 9, vues 433 à 438).¹⁷⁷

La théorie complète de la plaque carrée comprendrait, dit-elle, « quinze » cas selon que les côtés sont appuyés, libres ou fixés. Quinze est le nombre de façons de choisir combien de côtés sont dans chaque état. Si l'on distingue deux côtés de même état adjacents ou opposés, et qu'on identifie les dispositions échangées par une symétrie du carré, il y en a vingt et un.¹⁷⁸ Ces cas, ajoute-t-elle, auraient entre eux des relations qui permettraient de n'en calculer que quelques-uns. Ainsi une figure de la plaque libre à deux lignes diamétrales se coupant au centre pourrait peut-être se ramener à quatre plaques carrées ayant chacune deux côtés libres et deux appuyés. C'est exact pour les modes impairs par rapport aux deux médianes : une fonction impaire en \(x\) a \(z=0\) et \(\partial^2z/\partial x^2=0\) sur la médiane, qui est ainsi une ligne d'appui.

Elle finit par une réflexion sur le mot « appuyé ». Pour la lame, il désignerait un état fixe, « entièrement équivalent aux nœuds de vibrations », puisque le mouvement doit se transmettre à travers le point d'appui et qu'on fait abstraction de la largeur. Pour la plaque, le mouvement pourrait passer par les points voisins, et l'irrégularité de certaines figures de Chladni lui fait croire que le mouvement est parfois plus gêné dans une moitié de la plaque que dans l'autre. La page s'arrête sur « dans la ».¹⁷⁹ Pour la lame, l'équivalence du stylet et d'un nœud est encore l'hypothèse de la force nulle : elle vaut pour les modes sans force et non pour les autres. Pour la plaque, un stylet impose \(z=0\) en un point, qui n'est pas une ligne. Les modes de la plaque ainsi retenue ne sont en général pas ceux de la plaque libre, et ceux qui n'exercent aucune force sur le stylet sont ceux de la plaque libre dont une ligne nodale passe par ce point. Ses « degrés de pression » répondent aujourd'hui à un appui élastique, dont la raideur va de zéro, le bord libre, à l'infini, l'appui ; l'encastrement demande en plus qu'on empêche la rotation.

Deux feuillets de figures, deux calculs

391–396Entre la fin de cette mise au net et le long mémoire, quatre feuillets sans texte suivi.¹⁸⁰ La vue 391 porte six figures. En haut, une lame \(EF\) et sa courbe de vibration, qui coupe l'axe en \(L\) (« fig 1 ») ; puis la même lame avec une courbe à sept arcs et six nœuds \(L\), \(L'\), … , \(L^{\text{VI}}\) (« fig. 1\('\) »). Le chiffre de ces légendes se lit 1 ou 7, et la mise au net cite en marge une « fig. 7 » dont les parties sont \(EL\), \(LL'\), … , \(L^{\text{vi}}E'\) (vues 322 et 326) : c'est probablement elle.¹⁸¹ Suivent les figures 63, 68 a, 75 et 82 de Chladni, redessinées avec les lignes ponctuées que le § 25 annonce, la figure 63 répétée quatre, neuf et seize fois.

Les vues 392 et 394 sont deux petits feuillets de calcul, sans titre, dans les notations de la lame libre. Le premier cherche si l'ordonnée peut s'annuler à la fois en \(\lambda\) et en \(\frac12\lambda\). De \(y(\frac12\lambda)=0\) multipliée par \(2\cos\frac12\lambda\omega\) et retranchée de \(y(\lambda)=0\), il tire \(2\cos\frac12\lambda\omega=e^{\frac12\lambda\omega}+e^{-\frac12\lambda\omega}\), « resultat absurde » pour \(\lambda\omega\neq0\) puisque \(\cos t<\cosh t\), et conclut que la seconde équation est inadmissible. Pour l'ordonnée qu'il écrit, celle de la lame libre, une étape est fausse. Le membre de droite doit être \(e^{\lambda\omega}\pm e^{\omega-\lambda\omega}-1\mp e^{\omega}\), et non \(e^{\lambda\omega}\pm e^{\omega-\lambda\omega}+1\pm e^{\omega}\) ; avec le bon signe, on n'aboutit pas à une absurdité. Le calcul du feuillet est juste en revanche pour l'ordonnée de la lame encastrée, où les termes trigonométriques changent de signe ; pour elle, la conclusion est démontrée.¹⁸² Le second feuillet suppose l'ordonnée la plus grande en \(\frac12\lambda\), soit \(dy/du=0\), et, avec \(y(\lambda)=0\), obtient \[ \bigl(1+e^{\lambda\omega}\bigr)\bigl(1\pm e^{(1-\lambda)\omega}\bigr)=2\bigl(e^{\frac12\lambda\omega}\mp e^{(1-\frac12\lambda)\omega}\bigr)\sin\tfrac12\lambda\omega ; \] les étapes sont justes, et le feuillet s'arrête là, sans conclure.¹⁸³ Rien sur ces deux feuillets ne les rattache à un paragraphe de la critique.

La vue 396 porte six plaques carrées tracées sur un quadrillage pointillé : les figures 67 c, 72 a, 78 et 85 de Chladni, avec des lettres aux sommets et aux milieux des côtés, et deux figures sans numéro. Aucun texte de ces pages ne les cite.

Le mémoire sur la question proposée par la première classe de l'Institut

398–490Des vues 398 à 592 court un seul long mémoire sur les surfaces élastiques, paginé par elle de (1) à (165), écrit au recto et au verso de feuillets qui sont ensuite montés sur onglets ; c'est une mise au net corrigée, dont les brouillons de l'ouverture sont ailleurs dans le volume (vues 593 à 626, section suivante). Cette section en lit les pages (1) à (80) : l'équation du mouvement, ses intégrales particulières, les conditions aux limites de la lame puis de la plaque, et l'explication des figures de Chladni sur la plaque carrée. La comparaison des sons, qui commence à la page (81) avec le N^o 16, est lue plus bas, dans la section « Le mémoire sur la question de la première classe (suite) : la théorie devant l'expérience » (vues 491 à 592), après les autres états de l'ouverture.^{184 185}

Le titre, la question, l'épigraphe

398–398Le titre donne la question telle que l'Institut l'avait posée : « Donner la théorie mathématique des vibrations des surfaces élastiques et la comparer à l'expérience ». Il est suivi d'une épigraphe tirée du Novum Organum de Bacon (livre I, aphorisme XCII) : « Sed longe maximum progressibus scientiarum […] obstaculum deprehenditur in desperatione hominum et suppositione impossibilis ».^{186 187}

Le préambule annonce la méthode. Traiter la question dans toute sa généralité mènerait à des calculs très compliqués ; mais si l'on se borne aux surfaces planes, et à leur mouvement « régulier et comparable à celui d'un pendule simple », on parvient aisément à une équation dont les intégrales particulières s'appliquent sans peine. Elle défend ce choix de deux manières : les expériences de Chladni ne portent que sur ces mouvements réguliers, « les seuls en effet qui appartiennent à l'acoustique, puisqu'eux seuls présentent des lois déterminables » ; et la supposition d'un déplacement \(z\) très petit se transporte au petit nombre de mouvements que Chladni a observés sur des surfaces courbes, qu'une même équation « fort simple » réunit à plusieurs autres corps sonores.¹⁸⁸

En termes actuels, le « mouvement régulier » est un mode propre : une solution de la forme \(z = Z(x,y)\sin(\Omega t + \zeta)\), où toute la surface oscille à une même fréquence. Se borner aux modes est légitime pour l'acoustique, puisque l'équation est linéaire et que tout mouvement est une superposition de modes ; elle le dit elle-même plus loin, en écartant « la coexistence des sons » comme une question qui n'ajoute pas de difficulté (vue 406).

§ 1. L'équation de la surface élastique vibrante (N^os 1 et 2)

399–404Le N^o 1 cherche la somme des moments des forces d'élasticité sur toute la surface.¹⁸⁹ Elle prend quatre points voisins de la surface, \((x,y,z)\), \((x, y+dy, z+dz)\), \((x+dx, y, z+dz)\) et \((x+dx, y+dy, z+2dz+d^2z)\), fait passer un plan par le premier, le deuxième et le quatrième, un autre par le premier, le troisième et le quatrième, appelle \(e\) l'angle extérieur de ces deux plans, \(\beta\) leur petite ligne d'intersection et \(E\) la force qui, agissant le long de \(\beta\), s'oppose à l'inflexion ; la somme des moments est \(\iint E\beta\,de\). Le calcul de \(e\) par les coefficients \(A, B, C\) et \(A', B', C'\) des deux plans est juste : le numérateur de \(\sin^2 e\) vaut exactement \[ dx^2dy^2\,(d^2z)^2\left[(2\,dz + d^2z)^2 + dx^2 + dy^2\right], \] ce qu'elle écrit, et, en négligeant \(dz\) devant \(dx\) et \(dy\) pour une surface voisine de son plan, \[ \sin^2 e = \frac{(dx^2+dy^2)\,(d^2z)^2}{dx^2\,dy^2}, \qquad \beta^2 = dx^2 + dy^2 . \] Elle prend ensuite la force proportionnelle à la somme des courbures principales et à un facteur de matière et d'épaisseur, « hypothèse que je crois être la plus convenable » : \[ E = b\,\tau^3\left(\frac{1}{r} + \frac{1}{r'}\right), \qquad \frac{1}{r} + \frac{1}{r'} = -\,\Delta z , \] \(b\) dépendant de la rigidité naturelle, \(\tau\) étant l'épaisseur, la seconde égalité valant au premier ordre quand \(\partial z/\partial x\) et \(\partial z/\partial y\) sont petits.¹⁹⁰ Une intégration par parties, dont elle laisse de côté les termes aux limites, donne alors pour la somme des moments \(-\iint b\tau^3\,\Delta^2 z\,\delta z\,dx\,dy\) ; en l'égalant à \(\iint \partial_t^2 z\,\tau\,dx\,dy\,\delta z\) (la masse de l'élément étant prise proportionnelle à son épaisseur, la gravité pour unité), elle obtient \[ \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} + b\,\tau^2\,\Delta^2 z = 0 \qquad \text{(A)}. \] ¹⁹¹

C'est l'équation des plaques minces vibrantes, celle qu'on appelle aujourd'hui équation de Germain–Lagrange : le bilaplacien de la flèche équilibre l'accélération.¹⁹² La dépendance en épaisseur est celle de la théorie actuelle : une rigidité en \(\tau^3\) divisée par une masse en \(\tau\) donne des fréquences proportionnelles à \(\tau\), comme le coefficient \(D/(\rho h) = Eh^2/12\rho(1-\nu^2)\) de Kirchhoff.¹⁹³ Mais la dérivation n'est pas une démonstration. L'angle \(e\) qu'elle calcule est le pli des deux plans le long de la diagonale de l'élément : sa différence \(d^2z\), prise avec le même \(dz\) sur les deux côtés, est la différence seconde mixte \(z(x+dx,y+dy) - z(x+dx,y) - z(x,y+dy) + z(x,y) \approx z_{xy}\,dx\,dy\), si bien que \(e\) mesure la torsion de l'élément et non sa courbure moyenne, alors que la force \(E\) est supposée proportionnelle à \(\Delta z\) ; le passage de \(\iint E\beta^2\,\delta(d^2z/ds)\) à \(\iint dd.(E\beta^2)/ds\;\delta z\), avec \(ds = dx\,dy\) et « \(dd.\) » lu comme un laplacien, est formel ; et la valeur de \(E\) est une hypothèse. Ce qui en ferait une démonstration est connu : se donner une énergie de flexion par unité d'aire, quadratique dans les courbures — celle que ses propres conditions aux limites supposent (N^o 9 plus bas) est \(\frac12 b\tau^3\iint(\Delta z)^2\,dx\,dy\) — et appliquer le principe de Hamilton, qui donne à la fois (A) et les conditions naturelles au bord ; l'énergie elle-même se justifie ensuite à partir de l'élasticité à trois dimensions sous les hypothèses de Kirchhoff. L'énergie de Kirchhoff diffère de la sienne par un multiple de \(\iint(z_{xx}z_{yy} - z_{xy}^2)\), qui ne change pas l'équation intérieure et ne change que les conditions au bord libre ; c'est le lagrangien nul que la lecture de l'Exposition des principes met en lumière.

Le N^o 2 passe au mouvement régulier. Si la surface oscille comme un pendule simple de longueur \(K\), la gravité et la seconde prises pour unités, on a \(\partial_t^2 z = -z/K\) et (A) devient \[ K b\tau^2\,\Delta^2 z = z \qquad \text{(B)}. \] En posant \(K b\tau^2 = h^4\), elle observe que (B) « peut s'abaisser au second degré » : \[ h^4\Delta^2 - 1 = (h^2\Delta - 1)(h^2\Delta + 1), \] de sorte que toute solution de \(h^2\Delta z = z\) ou de \(h^2\Delta z = -z\) est solution de (B), la seconde étant l'équation des mouvements réguliers des surfaces tendues — l'équation qu'on appelle aujourd'hui de Helmholtz.¹⁹⁴ La réciproque, qu'elle n'énonce pas ici mais qu'elle emploie à la vue 436, est vraie aussi : toute solution de (B) s'écrit \(z = z' + z''\) avec \(z' = \frac12(z + h^2\Delta z)\) solution de la première et \(z'' = \frac12(z - h^2\Delta z)\) solution de la seconde.

Elle en conclut que « quelle que soit la figure que puisse prendre une surface tendue renfermée dans des limites données, la même figure peut appartenir également à une surface élastique renfermée dans les mêmes limites ».¹⁹⁵ Pour l'équation intérieure, c'est exact. Pour un corps donné, avec son bord, ce ne l'est que si le mode de la membrane satisfait aussi les conditions de la plaque : c'est le cas d'un polygone à côtés droits appuyés, où \(z = 0\) sur un côté entraîne \(\Delta z = -z/h^2 = 0\), et d'un bord à pente normale nulle, où \(\partial_n z = 0\) entraîne \(\partial_n\Delta z = 0\) ; ce n'est pas le cas d'un bord encastré ou libre, ni d'un bord appuyé courbe (sur un cercle, le moment de flexion fait intervenir \(\nu\,\partial_r z/r\)). Même quand la figure est commune, le son ne l'est pas : la membrane a des fréquences proportionnelles au nombre d'onde \(k\), la plaque à \(k^2\).

§ 2. L'intégration : les intégrales (C) à (I) (N^os 3 à 6)

405–415Le N^o 3 sous-entend désormais le facteur du temps \(\sin(t\sqrt{1/K} + \zeta)\) et laisse de côté la superposition des modes, ce qui est permis puisque l'équation est linéaire.¹⁹⁶ Elle cherche alors des intégrales particulières de (B) sous diverses conditions entre \(x\), \(y\) et \(z\).

L'intégrale (C). Sous la condition \(\partial^2 z/\partial x\,\partial y = 0\), \(z\) est la somme d'une fonction de \(x\) et d'une fonction de \(y\) : \[ z = \mathcal{A}\,f(x) + B\,f(y), \qquad f(s) = a\,e^{\omega s/A} + b\,e^{-\omega s/A} + c\sin\frac{\omega s}{A} + d\cos\frac{\omega s}{A}, \] où \(A\) est le côté de la plaque ; comme \(f'''' = (\omega/A)^4 f\), (B) est satisfaite si \(Kb\tau^2(\omega/A)^4 = 1\), et le son, qu'elle mesure par \(\sqrt{1/K}/\pi\), vaut \(\omega^2\tau\sqrt b/(\pi A^2)\) : c'est ce qu'elle écrit.¹⁹⁷ La fonction \(f\) est celle de la lame d'Euler, et c'est à cette intégrale, munie des coefficients d'Euler pour les bouts libres, que servira tout le § 4. Elle est la seule des intégrales du § 2 qui ne satisfasse pas l'équation des surfaces tendues.

L'intégrale (D). Sous la condition \(\partial^2 z/\partial x^2 = (n^2/m^2)\,\partial^2 z/\partial y^2\), qu'elle présente comme l'expression d'une périodicité, elle prend \[ z = \mathcal{A}\sin\frac{\pi n x}{A}\,\sin\frac{\pi m y}{A}, \qquad \frac{\sqrt{1/K}}{\pi} = \frac{\pi(m^2+n^2)\,\tau\sqrt b}{A^2}, \] ce qui est juste : \(\Delta z = -\pi^2(m^2+n^2)z/A^2\), et (B) donne ce son.¹⁹⁸ C'est un mode de membrane, et c'est exactement un mode de la plaque carrée de côté \(A\) appuyée sur son contour, quelle que soit la matière : sur un côté droit où \(z = 0\), la condition d'appui de Kirchhoff (moment nul) se réduit à \(\Delta z = 0\), que ce produit satisfait.

Les intégrales (E) et (F). Elle écrit ensuite des séries en puissances de \(\cos u\), \(u = \pi n x/A\), dont les coefficients dépendent d'un paramètre \(\Pi\) : \[ S_1 = \cos u + \frac{\Pi+3}{2\cdot 3}\cos^3 u + \frac{(\Pi+3)(\Pi+15)}{2\cdot3\cdot4\cdot5}\cos^5 u + \cdots, \] \[ S_2 = \frac{2}{\Pi} + \cos^2 u + \frac{\Pi+8}{3\cdot 4}\cos^4 u + \frac{(\Pi+8)(\Pi+24)}{3\cdot4\cdot5\cdot6}\cos^6 u + \cdots, \] et pose, pour (E), \(z = \sin u\,\sin v\,(a'S_1 + b'S_2)_u\,(A'S_1 + B'S_2)_v\) avec \(v = \pi m y/A\) et le même \(\Pi\) dans les deux facteurs, pour (F) la même forme avec \(u = \pi m x/A\) et \(\Pi\) en \(x\), \(\Pi'\) en \(y\).¹⁹⁹ Ce que sont ces séries se voit en posant \(\Pi = 1 - p^2\) : ce sont des développements de sinus et de cosinus d'arcs multiples, \[ \sin u\;S_1(\cos u) = \frac{1}{p}\,\sin p\!\left(\frac{\pi}{2} - u\right), \qquad \sin u\;S_2(\cos u) = \frac{2}{\Pi}\,\cos p\!\left(\frac{\pi}{2} - u\right) \qquad (0 < u < \pi), \] identités qu'elle retrouvera elle-même, pour \(p\) entier, dans les Leçons sur le calcul des fonctions de Lagrange (vue 477), et qui valent pour tout \(p\).²⁰⁰ Le facteur en \(x\) de (E) est donc la solution générale de \(f'' = -p^2(\pi n/A)^2 f\), celui en \(y\) de \(g'' = -p^2(\pi m/A)^2 g\), et (E) est un produit de deux fonctions trigonométriques : un mode de membrane, de son proportionnel à \(p^2(m^2+n^2) = (1-\Pi)(m^2+n^2)\). Elle écrit \((\Pi - 1)(m^2+n^2)\) ; elle corrige le signe à la vue 476. De même (F) a les nombres d'onde \(p\pi m/A\) et \(q\pi m/A\) (\(\Pi' = 1 - q^2\)), le son \(m^2(p^2+q^2)\), qu'elle écrit \(m^2(\Pi+\Pi'-2)\), et la condition \(\partial_x^2 z/\partial_y^2 z = (\Pi-1)/(\Pi'-1) = p^2/q^2\) qu'elle donne à la vue 408.²⁰¹ Une conséquence qu'elle ne tire pas, et qui corrige ce qu'elle en dira aux vues 475 et 478 : les lignes nodales de (E) et de (F) sont toujours des droites parallèles aux côtés, là où s'annule l'un des deux facteurs, également espacées ; le « facteur périodique » \(\sin u\) n'en donne pas d'autres, car la série qu'il multiplie devient infinie quand \(\cos^2 u = 1\) et le produit y reste fini et non nul.

L'intégrale (G) (N^o 5). En prenant \(z = z'z''\) avec \(z' = \sin u\sin v\), \(u = \pi m x/A\), \(v = \pi m y/A\), elle forme \[ z = \sin u\,\sin v\,\Big[(a'S_1 + b'S_2)_{u,\Pi}\,(A'S_1 + B'S_2)_{v,\Pi'} + (a''S_1 + b''S_2)_{u,\Pi''} + (A''S_1 + B''S_2)_{v,\Pi''}\Big], \] \[ \Pi + \Pi' = \Pi'', \] avec le son de (F). D'après ce qui précède, c'est une somme de trois produits de fonctions trigonométriques, \(f(x)g(y) + h(x)\sin v + \sin u\,k(y)\), dont les nombres d'onde carrés valent \((p^2+q^2)\), \((r^2+1)\) et \((1+r^2)\) en unités \((\pi m/A)^2\), avec \(r^2 = 1 - \Pi''\) : sa condition \(\Pi + \Pi' = \Pi''\) est exactement l'égalité de ces trois valeurs propres, et (G) est bien une solution de (B). C'est, avec (C), la seule famille du § 2 qui superpose des modes différents de même son, et qui donne par là des lignes nodales courbes ; le N^o 15 s'en servira.²⁰²

Les intégrales (H) et (I). (H) multiplie le facteur \(\sin(\pi n x/A)\sin(\pi m y/A)\) par la somme d'une série en \(x\) de paramètre \(2 - m^2\) et d'une série en \(y\) de paramètre \(2 - n^2\), avec le son \(m^2n^2\). Elle ne satisfait pas (B) en général : le premier terme a pour valeur propre \((\pi/A)^2\,[n^2(1-\Pi) + m^2]\), le second \((\pi/A)^2\,[n^2 + m^2(1-\Pi')]\), et leur égalité demande \(n^2\Pi = m^2\Pi'\), ce que ses valeurs \(\Pi = 2-m^2\), \(\Pi' = 2-n^2\) ne satisfont que pour \(m = n\) ; le son serait alors \(m^2n^2 + m^2 - n^2\), non \(m^2n^2\).²⁰³ Pour (I), le N^o 6 part d'une « équation aux cordes vibrantes » \(\partial_t^2 z' = (K/n^2)\,\partial_x^2 z'\) pour \(z' = \sin(t\sqrt{1/K}+\zeta)\sin(\pi n x/A)\), relation que cette forme de \(z'\) ne donne pas (le calcul donne le coefficient \(A^2/\pi^2 n^2 K\)), et forme \(z = \sin(\pi n x/A)\{a'S_1 + b'S_2 + \mathfrak A\sin(\cdots y/A)\}\) avec le paramètre \(2 - m^2\) ; la surface n'est périodique que dans un sens.²⁰⁴ Avec la lecture « \(mn\) », le terme en \(\mathfrak A\) a le son \(n^2(m^2+1)\) de la correction de la vue 409, mais la série a le son \(n^2(m^2-1)\) : les deux termes ne vibrent pas ensemble, et (I) telle qu'elle est écrite n'est pas une solution ; elle le serait avec le paramètre \(-m^2\) au lieu de \(2 - m^2\). Elle n'emploiera (H) que pour la nommer et (I) que pour une explication qu'elle dira « conjecturale » (vues 487 à 490).

Elle termine le § 2 par une remarque juste : toutes ces intégrales, sauf (C), conviennent aussi aux surfaces tendues, et c'est ce qui les rend simples ; les solutions propres à la surface élastique contiendraient aussi les exponentielles \(e^{\pm\omega}\), et l'angle \(\omega\) ne s'obtiendrait plus que par approximation.

§ 3. Les limites analytiques de la lame (N^os 7 et 8)

414–432Le § 3, « Observations sur les propriétés analytiques des différens points des corps sonores », pose un principe.²⁰⁵ Les points du contour d'un corps sonore satisfont, outre l'équation du mouvement, des conditions propres aux limites ; aucun point, aucune ligne ne peut être pris pour la limite d'une partie vibrante s'il ne satisfait ces conditions, et il suffit qu'il les satisfasse pour qu'on puisse le considérer comme une « limite analytique » des parties qu'il sépare. En termes actuels : ce sont les conditions naturelles du problème variationnel, et la restriction d'un mode à une sous-région bordée de lignes où ces conditions sont remplies est un mode de cette sous-région pour les bords correspondants. Le principe est exact, et c'est l'idée qui porte tout le reste du mémoire.

Pour la corde, la condition au bout se réduit à \(R\,\partial_x z\,\delta z = 0\) (« formule P 332 de la 1^re édition de la Méc. Analy. ») : elle est remplie par \(z = 0\), aux nœuds, mais aussi par \(\partial_x z = 0\), au milieu des ventres. Ces derniers points sont des bouts libres au sens d'une corde dont l'extrémité glisserait sans frottement ; elle note qu'on ne peut les réaliser sur la corde, mais que Lagrange, dans le second volume des Mémoires de Turin, a tiré \(\partial_x z = 0\) de l'égalité de l'élasticité de l'air au bout ouvert d'un tuyau et à l'extérieur. Tout cela est exact : le bout ouvert d'une flûte est un ventre de déplacement, et la flûte ouverte aux deux bouts est, pour son premier mode, le « renversement » de la corde — deux limites \(\partial_x z = 0\) aux bouts et un nœud au milieu, au lieu de deux nœuds aux bouts et d'une limite \(\partial_x z = 0\) au milieu. Pour les membranes, les conditions tirées du mémoire de Biot (« P. 87 de son mémoire t. 4 de l'institut ») se réduisent de même à \(z = 0\) ou à une dérivée normale nulle ; toute ligne de repos y est donc une vraie limite, et c'est pourquoi l'analogie, que suggère « le programme publié par la classe », entre les nappes vibrantes et les ondes des cordes de Sauveur, et entre les courbes de repos et les nœuds, vaut pour les surfaces tendues. Elle ne vaut plus pour les lames et les surfaces élastiques, où il y a deux genres de lignes de repos : celles qui satisfont les conditions des limites, et celles qui séparent des parties qui, isolées, ne pourraient pas prendre les courbures qu'elles prennent dans le corps entier. C'est juste : une ligne nodale d'une plaque porte en général un moment de flexion non nul, et la partie qu'elle borde ne vibre alors ni comme une plaque appuyée ni comme une plaque libre sur ce bord. Elle dit la remarque nouvelle, et la tire de la théorie d'Euler (Acta de Pétersbourg pour 1779).²⁰⁶

Le N^o 8 prend les conditions aux bouts d'une lame données par Lagrange dans la nouvelle édition de sa Mécanique, \(K\,z'''\,\delta z = 0\) et \(K\,z''\,\delta z' = 0\) (les primes désignent les dérivées selon la longueur), et en tire quatre couples possibles : \((z = 0,\ z' = 0)\), \((z = 0,\ z'' = 0)\), \((z' = 0,\ z''' = 0)\), \((z'' = 0,\ z''' = 0)\).²⁰⁷ Euler n'en a examiné que trois (« P. 116 du mémoire cité ») : le bout fixe (encastré), le bout appuyé (articulé) et le bout libre \((z'', z''')\). Elle soutient que le quatrième couple donne lui aussi des bouts libres. Il faut le dire autrement : un bout où \(z' = 0\) et \(z''' = 0\) est un bout guidé (encastrement glissant) ; l'effort tranchant y est nul, mais un couple est nécessaire pour y maintenir la pente nulle, puisque le moment \(z''\) n'y est pas nul, et le seul bout physiquement libre est celui où \(z'' = z''' = 0\). Il n'en reste pas moins une limite analytique, et c'est ce qui compte pour elle : au milieu d'un mode symétrique, \(z' = 0\) et \(z''' = 0\) ont lieu d'eux-mêmes, et la ligne de symétrie est exactement un bout guidé de chaque demi-lame. Elle écrit avoir obtenu ces sons sur une lame que le jeu d'appuis rendait propre à cette manière de vibrer, mais « la lame […] s'est brisée trop tôt pour que je pusse constater et mesurer ce résultat ».²⁰⁸

Elle invoque à l'appui les fourches métalliques, que Chladni dit suivre la loi de la lame appuyée à ses deux bouts bien que leurs bouts soient physiquement libres (« V. traité de Chladni N.o 88 P. 115 ») : leurs bouts satisferaient donc au couple \((z', z''')\).²⁰⁹ L'inférence est cohérente : une lame guidée aux deux bouts a les modes \(\cos(k\pi u)\) et les sons en \(k^2\), exactement ceux de la lame appuyée aux deux bouts. Ce n'est pas l'explication qu'on donne aujourd'hui du diapason, dont on traite chaque branche comme une lame encastrée à la base et libre au bout. Les quatre cas nouveaux qu'elle renonce à calculer (vue 422) se calculent en effet « presque sans calcul » : guidée et guidée, \(\cos k\pi u\) ; guidée et appuyée, \(\cos(k+\frac12)\pi u\) ; guidée et libre, ou guidée et encastrée, \(\tan\omega + \tanh\omega = 0\), soit \(\omega = 2{,}365\), \(5{,}498\), \(8{,}639\), moitiés des racines des modes symétriques de la lame libre (\(4{,}730\), \(10{,}996\), \(17{,}279\)).

Elle reprend alors la lame libre d'Euler (« l'équation P. 120 »), dans la variable \(u = s/a\) : \[ z = e^{u\omega} \mp e^{(1-u)\omega} + (1 \pm e^{\omega})\sin u\omega + (1 \mp e^{\omega})\cos u\omega , \] les signes inférieurs pour un nombre pair de points de repos, les supérieurs pour un nombre impair.²¹⁰ Ces fonctions vérifient bien \(z'' = z''' = 0\) en \(u = 0\) (vérifié pour cette lecture), et les deux bouts sont libres quand \(\cos\omega\cosh\omega = 1\), dont les racines sont \(\omega = 4{,}7300\), \(7{,}8532\), \(10{,}9956\), \(14{,}1372\), \(17{,}2788\) ; la première famille est symétrique par rapport au milieu, la seconde antisymétrique. Ses démonstrations sont exactes. Dans un mode symétrique, aucun point ne satisfait \(z = z'' = 0\), car la somme des deux équations donnerait \(e^{u\omega} + e^{(1-u)\omega} = 0\) ; le milieu satisfait \(z' = z''' = 0\), et la lame « vibre comme deux lames séparées de moitié moins longues », libres à un bout et guidées au milieu. Dans un mode antisymétrique, \(z = z'' = 0\) exige \(e^{u\omega} = e^{(1-u)\omega}\), donc \(u = \frac12\) : le milieu est un appui au sens d'Euler et chaque moitié est une lame libre à un bout, appuyée à l'autre, dont la condition \(\tanh\frac{\omega}{2} = \tan\frac{\omega}{2}\) est celle du second cas d'Euler pour une longueur moitié. Le second cas est donc contenu dans le premier.²¹¹

Pour le troisième cas (encastré et libre), elle affirme qu'aucun point intérieur ne satisfait l'un des quatre couples ; c'est exact pour les cinq premiers modes, vérifiés pour cette lecture, bien que loin de l'encastrement, pour les modes élevés, les termes hyperboliques deviennent si petits que certains points en approchent. Pour le quatrième (deux bouts appuyés), où la lame se ploie comme la corde, tout nœud satisfait \((z, z'')\) et tout milieu de ventre \((z', z''')\) : avec \(n-1\) nœuds, cela fait \(n+1\) points d'appui, bouts compris, et \(n\) limites guidées, en tout \(2n+1\) limites, comme elle le dit. Le cinquième est contenu dans le sixième comme le second dans le premier ; et dans le sixième la seule limite intérieure est le milieu, appuyé pour un nombre impair de nœuds, guidé pour un nombre pair. Tout cela est juste ; la lecture du reproche fait à Euler l'énonce aussi, sous le nom de six cas réduits à quatre.²¹²

Elle en conclut que les points de repos des lames ne doivent pas être assimilés aux nœuds des cordes, et que ni Giordano Riccati, qui a calculé les angles de la lame libre (« Delle vibrazioni de cilindri », Mémoires de la Société italienne, t. 1), ni Chladni n'ont vu que les intervalles entre les nœuds sont inégaux. La partie comprise entre le bout et le premier nœud est moindre que la moitié de l'intervalle suivant, et les intervalles croissent vers le milieu, les différences étant bien plus grandes près des bouts. Le calcul, fait une fois pour les premiers modes de la lame libre dans la lecture de la critique d'Euler (« L'inégalité des intervalles entre les nœuds : Chladni et Riccati », vues 354 à 356), le confirme pour le segment de bout, qui vaut environ \(0{,}36\) de l'intervalle suivant (\(0{,}41\) au premier son), et pour les premiers intervalles ; au-delà du troisième, les intervalles oscillent autour de \(\pi/\omega\) au lieu de croître jusqu'au milieu.²¹³ Elle dit s'être assurée que l'expérience le confirme ; la comparaison des valeurs de Riccati et des observations de Chladni est faite à la même sous-section.

Les vues 429 à 432 reviennent sur l'exemple du § 47 d'Euler, la lame appuyée en un point intermédiaire. Elle écrit que l'égalité qu'Euler établit entre les valeurs de \(z'\) sur les deux branches ne vaut que pour des bouts appuyés et ne peut subsister quand les branches ont des courbures différentes. C'est inexact : en un appui intermédiaire, la lame reste continue, et \(z\), \(z'\) et \(z''\) sont continus quelles que soient les conditions aux bouts ; seul \(z'''\) saute, du montant de la réaction de l'appui (voir « Ce que dit la théorie actuelle de la poutre sur appui intermédiaire », vues 320 à 334). Le reste de la remarque est juste : un obstacle placé en un point de repos, qui laisse passer le mouvement, ne fait que choisir un mode parmi ceux que la lame possède, puisqu'en un nœud il n'exerce aucune force ; et pour des bouts libres ou fixés, le point où Chladni tient la lame n'est pas un appui au sens d'Euler (\(z = z'' = 0\)), mais un simple nœud. Le mot « libre » et le mot « appuyé » sont donc, dit-elle, bien vagues quand on les applique aux points de la lame ; la théorie de l'appui intermédiaire est lue avec le mémoire d'Euler et le reproche qu'elle lui fait.²¹⁴

Les limites de la plaque : côtés, coins, plaque ronde (N^o 9)

433–438Le N^o 9 prend, dans la formule du N^o 1, les termes qui ne sont affectés que d'un seul signe d'intégration.²¹⁵ Sur un côté parallèle à l'axe des \(y\), les conditions aux limites sont \[ \oint \Delta z\;\delta\!\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) dy = 0, \qquad \oint \frac{\partial \Delta z}{\partial x}\;\delta z\; dy = 0, \] ce sont exactement les conditions naturelles de l'énergie \(\frac12 b\tau^3\iint(\Delta z)^2\), dont la variation par parties est calculée sur le petit feuillet de la vue 428. Elle en tire quatre couples pour un tel côté : \[ (z = 0,\ z_x = 0), \quad (z = 0,\ \Delta z = 0), \quad (z_x = 0,\ \partial_x\Delta z = 0), \quad (\Delta z = 0,\ \partial_x\Delta z = 0), \] et les quatre analogues en \(y\), « l'analogie est frappante » avec la lame : les deux premiers conviennent aux points de repos du contour, les deux derniers aux points libres.

Voici, pour tout le volume, ce qu'en dit la théorie actuelle. Dans la théorie des plaques de Kirchhoff, l'énergie de flexion est \[ U = \frac{D}{2}\iint\Big[(\Delta z)^2 - 2(1-\nu)\big(z_{xx}z_{yy} - z_{xy}^2\big)\Big]\,dx\,dy, \qquad D = \frac{E h^3}{12(1-\nu^2)}, \] où \(\nu\) est le coefficient de Poisson ; l'équation intérieure est la même que la sienne. Sur un côté droit \(x = \text{const}\), les conditions sont : pour un bord encastré, \(z = 0\) et \(z_x = 0\) ; pour un bord appuyé, \(z = 0\) et le moment nul, \(z_{xx} + \nu z_{yy} = 0\), qui se réduit à \(z_{xx} = 0\), c'est-à-dire à \(\Delta z = 0\), puisque \(z_{yy} = 0\) le long du côté ; pour un bord guidé, \(z_x = 0\) et l'effort tranchant nul, \(z_{xxx} + (2-\nu)z_{xyy} = 0\), qui se réduit à \(z_{xxx} = 0\), c'est-à-dire à \(\partial_x\Delta z = 0\), puisque \(z_{xyy} = 0\) le long du côté ; pour un bord libre enfin, \[ z_{xx} + \nu\,z_{yy} = 0, \qquad z_{xxx} + (2-\nu)\,z_{xyy} = 0, \] et, en un coin où se rencontrent deux bords libres, la condition supplémentaire \(z_{xy} = 0\) (la force concentrée au coin vaut \(2D(1-\nu)z_{xy}\)).²¹⁶ Ses trois premiers couples coïncident donc avec ceux de Kirchhoff quel que soit \(\nu\) ; le quatrième, son bord libre \((\Delta z = 0,\ \partial_x\Delta z = 0)\), n'est celui de Kirchhoff que pour \(\nu = 1\), valeur qu'aucune matière n'atteint (verre et laiton ont \(\nu\) entre \(0{,}2\) et \(0{,}35\) environ). La différence des deux énergies est le terme en \(z_{xx}z_{yy} - z_{xy}^2\), un lagrangien nul qui ne touche que le bord libre ; la lecture de l'Exposition des principes en donne le sens géométrique (la courbure de Gauss).

Deux de ses remarques sur ces couples demandent une correction. Elle dit que \(z = 0\) et \(z_x = 0\) ne font plus un point fixe, parce qu'il faudrait encore \(z_y = 0\) pour que le plan tangent tombe dans le plan des \(x\) et \(y\) : c'est vrai d'un point isolé, mais le long d'un côté entier \(z = 0\) entraîne \(z_y = 0\), et le couple est bien l'encastrement.²¹⁷ Aux angles, qu'elle appelle points de double limite, elle compte quatre conditions, celles des deux côtés qui s'y rencontrent. Ce ne sont pas des conditions nouvelles : pour une solution régulière jusqu'au coin, elles découlent de celles des deux côtés. La condition propre au coin, dans la théorie de Kirchhoff, est \(z_{xy} = 0\) en un coin libre, et elle manque dans la sienne parce qu'elle y est multipliée par \(1 - \nu = 0\). Sa phrase selon laquelle le couple \((z = 0,\ \Delta z = 0)\) ne peut appartenir qu'aux points de double limite dit seulement que ce couple figure dans les deux listes. Les « points d'origine » (vue 436), où \(z\), \(z_x\), \(\Delta z\) et \(\partial_x\Delta z\) s'annulent ensemble, sont les points qu'on peut prendre pour origine par symétrie : par exemple les croisements des lignes nodales de (D), comme elle le fera à la vue 472.²¹⁸

Pour la plaque ronde, elle pose \(x = r\cos\varphi\), \(y = r\sin\varphi\), écrit \(z = z' + z''\) avec \(z'\) et \(z''\) solutions des deux équations du second ordre, de sorte que \(\Delta z\) est proportionnel à \(z' - z''\) — ce qui est juste —, puis transporte au bord \(r = a\) les conditions écrites pour des côtés \(x = \text{const}\) et \(y = \text{const}\). Dans ce transport, elle ne garde de \(\partial_x\) que sa partie angulaire, \(-(\sin\varphi/a)\,\partial_\varphi\), et laisse tomber \(\cos\varphi\,\partial_r\) ; ses conclusions — des conditions remplies par \(\tan\varphi = 0\) ou \(\cot\varphi = 0\), c'est-à-dire aux bouts des axes, et quatre couples en \(z' \pm z''\) et en leurs dérivées angulaires — en sont des artefacts. Sur le cercle, les conditions naturelles de son énergie s'écrivent en chaque point de la même façon, avec la dérivée normale : \((z,\ \partial_r z)\), \((z,\ \Delta z)\), \((\partial_r z,\ \partial_r\Delta z)\), \((\Delta z,\ \partial_r\Delta z)\) ; aucun point du bord n'y est privilégié, ce que la symétrie de la figure imposait. Chez Kirchhoff, le moment radial au bord est \(z_{rr} + \nu\,(z_r/r + z_{\varphi\varphi}/r^2)\), qui ne se réduit pas à \(\Delta z\) ; ce qui en résulte pour le cercle appuyé est dit avec la plaque circulaire du § 7 (vues 548 à 574).²¹⁹

Elle clôt ce paragraphe sur ce qui en fait l'usage : les lignes où ces conditions sont remplies découpent la surface en surfaces partielles, dont les bords peuvent être « dans un état différent de ceux de la plaque entière », sans que l'équation de la plaque cesse de s'appliquer à chacune. C'est exact, et c'est ce que le § 4 va exploiter.

§ 4. La plaque carrée libre et l'intégrale (C) (N^os 10 à 12)

439–468Le § 4, « Comparaison de la théorie à l'expérience, dans le cas des plaques quarrées », part de l'intégrale (C) munie des coefficients qu'Euler a déterminés pour la lame libre (« P. 118 et suiv. de son m. »).²²⁰ Pour la plaque de côté \(A\), l'origine en un coin, \[ z = \mathcal{A}\,f(x) + B\,f(y), \qquad f(s) = e^{\omega s/A} \pm e^{(A-s)\omega/A} + (1 \mp e^{\omega})\sin\frac{\omega s}{A} + (1 \pm e^{\omega})\cos\frac{\omega s}{A}, \] les signes supérieurs pour un nombre pair de nœuds de la lame (fonction symétrique), les inférieurs pour un nombre impair (antisymétrique). Si \(\mathcal{A}\) ou \(B\) est nul, la plaque montre autant de lignes nodales droites que la lame a de nœuds. Si \(\mathcal{A} = -B\), \(z\) s'annule sur la diagonale \(x = y\) ; pour \(f\) symétrique, aussi sur la seconde diagonale \(y = A - x\). Sa vérification est juste : \[ f(x) - f(A-x) = 2\sin\frac{(A-2x)\omega}{2A}\left[(1+e^{\omega})\sin\frac{\omega}{2} - (1-e^{\omega})\cos\frac{\omega}{2}\right], \] nul en vertu de \(\tan\frac{\omega}{2} = (1-e^{\omega})/(1+e^{\omega})\), qui est la condition des modes symétriques. Pour \(f\) antisymétrique, il n'y a que la diagonale \(x = y\).²²¹ Quels que soient \(\mathcal{A}\) et \(B\), la figure passe par les points où \(f(x) = 0\) et \(f(y) = 0\) à la fois : \(n^2\) « points de repos invariables » quand la lame a \(n\) nœuds, communs à toutes les figures de même \(\omega\). C'est immédiat, et exact dans (C).

Ce que (C) est pour la plaque réelle. (C) satisfait l'équation intérieure. Sur un côté \(x = 0\), l'effort tranchant de Kirchhoff, \(z_{xxx} + (2-\nu)z_{xyy}\), vaut \(\mathcal{A}f'''(0) = 0\), et la condition de coin \(z_{xy} = 0\) est remplie partout ; mais le moment vaut \(z_{xx} + \nu z_{yy} = \nu B f''(y)\), qui n'est pas nul. (C) est donc un mode exact de la plaque carrée libre pour \(\nu = 0\), et pour \(\nu = 0\) seulement.²²² Avec ses propres conditions, qui sont celles de \(\nu = 1\), la condition \(\Delta z = 0\) au bord n'est pas remplie non plus, puisque \(\Delta z = B f''(y)\) sur ce côté. Pour une matière réelle, les deux fonctions \(f(x)\) et \(f(y)\), de même son dans (C), sont couplées par le terme en \(\nu\) : le son double se sépare en deux, la figure des deux diagonales (\(\mathcal{A} = -B\)) et la figure à courbe fermée (\(\mathcal{A} = B\)) n'ont plus le même son. Le même calcul de Ritz donne entre elles un rapport de fréquences de \(1{,}19\) pour \(\nu = 0{,}25\) et de \(1{,}27\) pour \(\nu = 0{,}33\), soit une tierce mineure à une tierce majeure. Ce que (C) donne des figures est donc qualitativement juste ; ce qu'elle en tire sur l'égalité des sons ne l'est que pour \(\nu = 0\). Les combinaisons de fonctions de la lame qu'elle forme ici sont celles dont partira Ritz pour sa théorie de la plaque carrée libre.²²³

Avant de passer aux cas, elle fait une remarque juste (vues 441 à 443). Si les parties de la lame entre deux nœuds étaient égales et symétriques — l'hypothèse « dont on n'avoit pas encore remarqué l'inexactitude » —, \(f\) serait un cosinus et \(f(x) = f(y)\) donnerait des droites parallèles et perpendiculaires aux diagonales. Avec la vraie fonction d'Euler, \(|f|\) est plus grand aux bouts de la lame qu'en aucun autre point (le rapport du bout au plus grand maximum intérieur vaut \(1{,}02\) à \(1{,}11\) pour les six premiers modes), et les droites sont remplacées par des courbes qui se détachent du bord.²²⁴

Le N^o 11 décrit, valeur de \(\omega\) par valeur de \(\omega\), la figure \(\mathcal{A} = -B\). Pour la première valeur (deux nœuds), \(f\) est monotone sur chaque moitié, \(f(x) = f(y)\) équivaut à \(y = x\) ou \(y = A - x\), et la figure se réduit aux deux diagonales, qui passent par les \(4\) points invariables. Pour les valeurs suivantes, elle trace les lignes « fictives » des suppositions \(\mathcal{A} = 0\) et \(B = 0\) en pointillé, marque leurs croisements \(i\), et suit la courbe nodale d'intervalle en intervalle en comparant les plus grandes valeurs de \(f(x)\) et de \(f(y)\) dans chacun : une diagonale et une courbe fermée pour la deuxième valeur (trois nœuds, \(9\) points), les deux diagonales et une courbe fermée pour la troisième (\(16\) points), une diagonale et deux courbes fermées dans chaque moitié pour la quatrième (\(25\) points), les deux diagonales et quatre courbes fermées pour la cinquième (\(36\) points).²²⁵ Que la figure passe par les \(n^2\) points invariables, qu'elle présente chaque fois comme une confirmation (« comme le veut la théorie »), est automatique : ces points sont sur \(f(x) = f(y)\) par construction. Sa règle pour le tracé — la courbe tourne sa concavité vers les lignes fictives parallèles à l'axe des \(y\) quand, dans l'intervalle, le maximum de \(f(y)\) est moindre que celui de \(f(x)\), vers les autres dans le cas contraire, et coupe l'intervalle en quatre branches en cas d'égalité — est une bonne description qualitative des courbes de niveau \(f(x) = f(y)\) ; la lecture ne l'a pas vérifiée figure par figure.²²⁶

Le N^o 12 ajoute que, pour une même \(\omega\), tout autre rapport de \(\mathcal{A}\) à \(B\) donne une autre figure, faite de lignes sinueuses autour des lignes fictives et passant par les mêmes points invariables — c'est exact dans (C), et c'est avec la réserve de \(\nu\) qu'il faut le lire. Elle reprend la flexion de Chladni (« V. N.o 109 de son traité d'acoustique »), en lui reprochant de faire passer l'axe d'une ligne sinueuse par ses points les plus hauts ou les plus bas au lieu de ses points moyens, compte une flexion pour la première valeur, une et demie pour la deuxième, deux, deux et demie et trois pour les suivantes, et rapporte à ses valeurs de \(\omega\) les figures 64, 65, 67, 67 b, 67 c, 72 a, 72 b, 73 a, 73 b, 78 et 85 de Chladni : la figure 64 est celle des deux diagonales, la figure 65 celle où les lignes infléchies « se rejoignent très près du bord de la plaque pour former une courbe rentrante », la figure 67 c celle qu'elle a décrite pour la deuxième valeur, 72 a pour la troisième.²²⁷ Elle note enfin que la figure « primitive » (\(B = 0\)) ne se réalise que pour la deuxième valeur (figure 67), et que les figures 78 et 85 ne s'accordent qu'au premier coup d'œil ; elle les concilie par les limites analytiques : les parties qu'une telle ligne sépare peuvent vibrer comme si elles étaient isolées, pourvu qu'elles rendent le même son, et Chladni, qui touche plusieurs points à la fois, force chaque quart de la plaque à l'une ou l'autre des figures possibles (vues 460 à 463).²²⁸ Ce dernier point demande une précision. Pour \(f\) symétrique (nombre pair de nœuds), les médianes \(x = A/2\) et \(y = A/2\) satisfont exactement \(z_x = 0\) et \(\partial_x\Delta z = 0\) : ce sont des bords guidés, et la plaque se partage en quatre carrés égaux. Pour \(f\) antisymétrique, \(z = B f(y)\) sur la médiane, qui n'est une limite que pour la partie \(\mathcal{A}f(x)\) ; c'est ce que concède sa restriction « en n'ayant égard qu'à une seule des variables ». La phrase de la vue 461 donne cette propriété « dans le cas d'un nombre impair » ; pour la plaque, elle n'est exacte que lorsque \(f\) est symétrique, c'est-à-dire, dans la convention de ses vues 422 et 439, pour un nombre pair de nœuds de la lame. La valeur de \(\omega\) de son expérience, qui suit, est de ce cas.

Son expérience (vues 463 et 464). Sur une plaque carrée qui donnait la figure 64 de Chladni, elle fait couper le quart \(BCDE\) en réservant l'endroit \(c\) où s'appliquaient les doigts, replace les doigts en \(c\), tire le son de l'archet en \(F\) : « Le son est resté le même que sur la plaque complette, et la figure est demeurée aussi nette ». Elle y voit la confirmation, qu'elle n'avait pu obtenir sur la lame, des bouts libres par \(z' = 0\) et \(z''' = 0\).²²⁹ Le raisonnement ne tient pas tel quel : couper la plaque le long des médianes fait de ces lignes des bords libres, où moment et effort tranchant sont nuls, alors que sur la plaque entière la médiane est une ligne guidée qui porte un moment de flexion — dans sa théorie comme dans celle de Kirchhoff, puisque \(\Delta z\) et \(z_{xx} + \nu z_{yy}\) n'y sont pas nuls. La plaque amputée n'a donc pas exactement le mode de la plaque entière. Un calcul de Ritz fait pour cette lecture, dans la théorie de Kirchhoff, pour \(\nu = 0{,}25\) et \(0{,}33\), donne pour la plaque en équerre qui reste un mode très voisin de celui des deux diagonales — la diagonale qui traverse le quart enlevé reste nodale par symétrie, l'autre ne l'est plus qu'à peu près —, mais un son plus grave d'un peu plus d'un ton majeur : rapport des fréquences \(0{,}884\) au plus (\(213\) cents), valeur qui ne peut que baisser si l'on raffine le calcul. Si la comparaison qu'elle rapporte est exacte, l'accord qu'elle a entendu n'est pas celui que prédit la théorie actuelle ; ni la figure « ci-jointe » ni une mesure du son ne sont sur les feuillets pour en juger.

Elle ajoute (vues 464 à 468) que (C) ne s'applique dans toute sa généralité qu'aux rectangles, les seules surfaces où une variable reste constante le long de chaque côté — c'est juste —, et que les diagonales nodales sont aussi des limites analytiques, puisqu'elles satisfont \(z = 0\) et \(\Delta z = 0\). C'est exact dans (C), et c'est même la condition d'appui de Kirchhoff pour tout \(\nu\), puisque sur une droite où \(z = 0\) la dérivée seconde le long de la droite est nulle et que le moment se réduit alors à \(\Delta z\). Elle en tire des triangles rectangles isocèles dont les mouvements sont contenus dans ceux de la plaque carrée, en changeant \(\omega\) en \(\frac12\omega\) selon le rapport des côtés. Le premier — les côtés de l'angle droit appuyés, l'hypoténuse libre au sens d'Euler, pour un nombre pair de nœuds — est l'un des quatre triangles que découpent les deux diagonales, l'hypoténuse étant un côté de la plaque ; le deuxième — l'hypoténuse appuyée, un côté guidé, l'autre libre au sens d'Euler — est bordé par une diagonale, une médiane et un demi-côté ; la lecture ne retrouve pas le troisième parmi les triangles que découpent diagonales et médianes. Ces triangles héritent de (C) l'approximation de ses côtés libres : les bords appuyés et guidés sont exacts, les bords libres ne le sont pas.²³⁰

Surfaces périodiques et intégrales en série (N^os 13 à 15)

469–490Elle salue d'abord « l'étonnante sagacité de M^r Chladni » qui, sans connaître la théorie, avait jugé équivalentes à de simples droites parallèles des figures en apparence si bizarres ; elle-même n'y avait vu d'abord qu'une classification, et c'est la constance de \(\omega\), sous un rapport variable de \(\mathcal{A}\) à \(B\), qui explique pour elle l'uniformité des sons.²³¹ L'explication est juste dans (C), avec la réserve déjà faite : pour une plaque réelle, les figures d'une même \(\omega\) ne rendent pas exactement le même son.

Le N^o 13, « Surfaces périodiques ». L'intégrale (D), \(z = \sin(\pi n x/A)\sin(\pi m y/A)\), l'origine en un coin, rend la plaque appuyée sur tout son contour : aux quatre côtés, \(z = 0\) et \(\Delta z = 0\). Elle nomme ligne d'appui toute ligne où ces deux conditions ont lieu, rappelle que le mot « appuyé » n'a pour elle qu'un sens analytique, et observe qu'une période complète est bordée par quatre lignes d'appui et partagée en quarts par deux lignes où \(z_x = 0\), \(\partial_x\Delta z = 0\) (ou les analogues en \(y\)). Tout cela est exact. Elle en conclut que l'équation de la plaque carrée appuyée sur ses quatre côtés « appartiendroit également, et sous les mêmes conditions, à une surface quarrée dont les quatre côtés seroient libres », les quarts de période étant assemblés dans un cas par leurs côtés libres, dans l'autre par leurs côtés appuyés, comme la corde et la flûte ouverte (vues 470 et 471). C'est vrai si « libre » s'entend au sens nouveau qu'elle a introduit : la plaque carrée à bords guidés (\(z_n = 0\), \(\partial_n\Delta z = 0\)) a exactement pour modes les produits de cosinus, quelle que soit la matière. C'est faux pour une plaque physiquement libre : sur un côté guidé, \(\Delta z = -k^2 z\) et \(z_{xx} + \nu z_{yy}\) ne sont pas nuls, et ni sa condition de bord libre ni celle de Kirchhoff n'est remplie.²³² Il en va de même de ce qu'elle déduit de (D) pour les lignes nodales (vue 471) : qu'elles sont également espacées, que la distance de la dernière au côté « libre » est la moitié de leur intervalle, que chaque intervalle est partagé par une limite guidée — tout cela est exact pour la plaque guidée, et seulement approché pour une plaque libre, où, comme sur la lame libre qu'elle a elle-même analysée, le segment de bord vaut à peu près \(0{,}36\) de l'intervalle suivant et non \(0{,}5\).²³³ Les croisements des lignes qui terminent les périodes sont des points d'origine (vue 472) : en un tel point, \(z\), \(z_x\), \(\Delta z\) et \(\partial_x\Delta z\) s'annulent, ce qu'on vérifie sur le produit de sinus. Et (D) n'admet pas d'autre ligne nodale que ces droites, puisqu'un produit ne s'annule que si l'un de ses facteurs s'annule.

Elle rapporte à (D) les figures 63, 66 a, 68 a, 71 a, 74 a, 75 a, 80 a, 81 a et 82 de Chladni, \(m\) et \(n\) comptant les lignes nodales parallèles à chacun des axes, avec des sons proportionnels à \(m^2 + n^2\) : \[ \begin{array}{lccccccccc} \text{figure} & 63 & 66\,a & 74\,a & 68\,a & 71\,a & 75\,a & 80\,a & 81\,a & 82\\ (m,n) & (1,1) & (2,1) & (4,1) & (2,2) & (2,3) & (3,3) & (3,4) & (2,5) & (4,4)\\ m^2+n^2 & 2 & 5 & 17 & 8 & 13 & 18 & 25 & 29 & 32 \end{array} \] Les sommes sont justes ; les figures où \(n = 1\) sont les « vibrations tournantes » de Chladni (« V. T. d'acoustique N.o 84 … 87 et N.o 98 »), qui ne diffèrent des autres, dit-elle, que par une seule période dans un sens, « composée de deux demies périodes réunies dans la ligne de repos ».²³⁴ Pour la plaque libre de Kirchhoff, ces figures existent à peu près, mais les sons ne suivent pas exactement la loi \(m^2 + n^2\) : par exemple le rapport des figures 63 et 66 a, que (D) fait égal à \(5/2\), vaut \(2{,}56\) pour \(\nu = 0{,}25\) et \(2{,}60\) pour \(\nu = 0{,}33\) (calcul de Ritz fait pour cette lecture). La confrontation avec les sons de Chladni commence au N^o 16.

Le N^o 14 : (E) et (F). Les constantes \(a'\), \(b'\), \(A'\), \(B'\) étant libres, elle y voit plusieurs figures pour un même son, et des sons de même forme que ceux de (D) : \(p^2(m^2+n^2)\) pour (E), \(m^2(p^2+q^2)\) pour (F), en posant \(\Pi = 1 - p^2\), \(\Pi' = 1 - q^2\) et en changeant le signe de \(\Pi - 1\) « qui vient de \(\sqrt{(\Pi-1)^2}\) ». C'est juste, et c'est la correction du signe relevé au § 2. Elle montre ensuite (vue 477) qu'avec \(b' = B' = 0\) ou \(a' = A' = 0\), « suivant que \(p\) est pair ou impair », le facteur en série, après le changement de \(x\) en \(\frac12 A - x\) et une multiplication par \(p\) (ou par \((1-p^2)/2\)), n'est autre que l'expression de \(\sin(\pi n p x/A)\) (ou de \(\cos\)) donnée « P. 143 des leçons sur le calcul des fonctions in.8 an 1806 », de sorte que (E) se réduit à (D). C'est exact : la série de \(a'\) se termine quand \(p\) est pair, celle de \(b'\) quand \(p\) est impair, et ce sont les développements de \(\sin p\theta\) et de \(\cos p\theta\) en puissances de \(\sin\theta\) rappelés plus haut.²³⁵ Mais sa conclusion (vue 478), que dans tout autre cas les séries ne se terminent pas et qu'« il faudroit donc calculer à part chaque cas pour déterminer la figure qui lui convient », est à corriger : terminées ou non, ces séries sont des sinus et des cosinus, et les figures de (E) et de (F) sont toujours des réseaux de droites parallèles aux côtés.

Le N^o 15 : (G). Avec \(a' = b' = A' = B' = 0\), \(z''\) est la somme de deux fonctions séparées de \(x\) et de \(y\) ; pour des côtés libres au sens nouveau il faut encore \(a'' = A'' = 0\), « car sans cette condition, elle ne conviendroit qu'aux plaques dont les côtés seroient appuyés ». Avec \(\Pi'' = 1 - 9\) elle obtient, pour \(u = \pi m x/A\) et \(v = \pi m y/A\), \[ z = \sin u\,\sin v\left\{b\cos^2 u + B\cos^2 v - \frac{b+B}{4}\right\} = \frac{b}{4}\,\sin 3u\,\sin v + \frac{B}{4}\,\sin u\,\sin 3v , \] la seconde forme, qu'elle n'écrit pas, se vérifiant par \(\sin 3u = \sin u\,(4\cos^2 u - 1)\). C'est la superposition des deux modes de même son \((3,1)\) et \((1,3)\), celle qui donne les figures courbes les plus connues des membranes et des plaques appuyées, et son son, \(-m^2(\Pi''-2) = 10\,m^2\), vaut \(10\) pour \(m = 1\) et \(40\) pour \(m = 2\), comme elle l'écrit.²³⁶ Elle y rapporte les figures 69, 70, 87 a, 87 b, 88 a et 88 b de Chladni : 69 pour \(m = 1\), \(b = -B\), où le facteur \(\cos^2 u - \cos^2 v\) donne les deux diagonales ; 70 pour une autre relation entre \(b\) et \(B\), qu'elle n'a pu mesurer. Sa discussion de la vue 480 est exacte : une ligne nodale aboutit au côté où \(\cos v = 0\) quand \(\cos^2 u = (b+B)/4b\), et au côté où \(\cos u = 0\) quand \(\cos^2 v = (b+B)/4B\) ; en posant \(r = B/b\), ces deux conditions sont possibles ensemble si et seulement si \(\frac13 \le r \le 3\) ou \(r = -1\) ; l'une d'elles est impossible, et il n'y a que deux lignes sinueuses, quand \(b\) et \(B\) sont de signes différents sans que leur somme soit nulle, ou quand l'un des coefficients est moindre que le tiers de l'autre, ce qu'elle dit exactement ; si \(b\) ou \(B\) est nul, les lignes sont droites, sur \(\cos(\pi x/A) = \frac12\), au tiers de l'intervalle, puisque \(\sin 3u = 0\).²³⁷

Pour la figure 87 b (\(m = 2\), \(b = -B\)), les quatre lignes du facteur périodique et les lignes diagonales, dont deux passent chacune par deux points d'origine, font six diagonales, dont quatre forment un carré ; pour 87 a et 88 a, quatre lignes sinueuses à deux flexions complètes ; pour 88 b, elle incline à la relation \(b = B\), qui donne \(\cos(2\pi x/A) = \cos(2\pi y/A) = \sqrt{1/2}\) aux bouts des lignes, et le son \(40\) (vues 481 à 485). Avec \(\Pi'' = 1 - 25\), (G) devient \[ z = \sin u\,\sin v\left\{b\Big(\cos^2 u - \frac{4}{3}\cos^4 u\Big) + B\Big(\cos^2 v - \frac43\cos^4 v\Big) - \frac{b+B}{12}\right\} \] \[ = -\frac{b}{12}\,\sin 5u\,\sin v - \frac{B}{12}\,\sin u\,\sin 5v , \] les modes \((5,1)\) et \((1,5)\), de son \(26\) ; pour \(m = 1\) et \(b = -B\), le facteur \((\cos^2 u - \cos^2 v)\big(1 - \frac43(\cos^2 u + \cos^2 v)\big)\) donne les deux diagonales et quatre lignes courbes qui aboutissent au bord là où \(\cos = \pm\sqrt3/2\) ; elle y rapporte la figure 79 a. Les deux identités ont été vérifiées pour cette lecture ; ce sont, pour la plaque appuyée ou guidée, des figures exactes, et pour la plaque libre des figures approchées.²³⁸ Elle renonce à poursuivre (G) et loue encore Chladni d'avoir deviné, parmi les distorsions des figures, celles qui tiennent aux imperfections de la plaque (vue 486).²³⁹

(H) et (I), et les figures 79 b et 86. Pour (H), elle note que les figures auraient des lignes droites et des sons suivant la loi de la lame appuyée (ou guidée), et que ses séries ne se terminent jamais ; elle la laisse. (I) n'est périodique que dans un sens, ses séries ne se terminent pas non plus ; elle croit pourtant pouvoir y rapporter les figures 79 b et 86, avec \(b' = 0\) et \(m = 5\), puis \(m = 6\) : \[ z = \sin\frac{\pi x}{A}\left\{a'\cos\frac{\pi x}{A}\Big(1 - \frac{10}{3}\cos^2\frac{\pi x}{A} + \frac43\cos^4\frac{\pi x}{A} + \cdots\Big) + \mathcal{A}\sin\frac{5\pi y}{A}\right\}. \] Les coefficients sont bien ceux de \(S_1\) avec \(\Pi = 2 - 25 = -23\) (et, pour \(m = 6\), \(-31/(2\cdot3)\), \(31\cdot19/(2\cdot3\cdot4\cdot5)\) avec \(\Pi = -34\)) ; mais le premier terme a alors pour carré du nombre d'onde \(24\,(\pi/A)^2\), et le terme en \(\mathcal{A}\) en a \(25\,(\pi/A)^2\) ou \(26\,(\pi/A)^2\) selon qu'on le lit hors de l'accolade ou dedans : les deux termes ne rendent pas le même son, et cette expression n'est pas une solution de (B). Elle-même tient cette application pour « conjecturale », « et il faudroit avoir recours au calcul pour s'assurer qu'elle satisfait en effet à la description exacte de ces figures » ; les sons \(25\) et \(36\) qu'elle assigne sont ceux du seul terme en \(\mathcal{A}\).²⁴⁰

Elle conclut la description des figures en observant qu'elle a rendu compte de plus de la moitié de celles que Chladni a observées sur les plaques carrées, que les autres ne sont « ni plus bizares ni plus compliquées », et qu'elle suivra pour leurs sons les équivalences de Chladni lui-même ; la comparaison des sons, qui suit, est lue plus bas, dans la section « Le mémoire sur la question de la première classe (suite) : la théorie devant l'expérience » (vues 491 à 592).²⁴¹

Les autres états de l'ouverture

593–626L'ouverture du mémoire existe dans le volume en trois états, auxquels s'ajoute la suite du troisième, et un brouillon plus tardif sur les surfaces cylindriques. Comparés ligne à ligne, les trois états se rangent : le troisième, dont la suite est aux vues 614 à 618, porte en clair le texte que les deux autres portent barré ; le brouillon des vues 398 et 399 et la mise au net des vues 593 à 595 en donnent la rédaction corrigée. Cet ordre est une inférence de cette lecture, tirée des seuls textes.²⁴²

Une seconde mise au net : pages (1) et (2), (23) et (24)

593–597Une écriture plus grande et très régulière copie le titre, la question, l'épigraphe et le début du mémoire.²⁴³ Le texte gardé est celui du brouillon de la vue 398 une fois corrigé, presque mot pour mot : « examiner », « une équation différentielle dont les intégrales particulières sont facilement applicables », « d'après cette remarque », « la théorie que je soumets », « puisqu'eux seuls présentent des lois déterminables », « le petit nombre de mouvemens que cet habile physicien a observé dans les surfaces courbes ; car, comme je le dirai dans la suite, ces mouvemens se trouvent compris dans une équation fort simple qui convient à plusieurs genres de corps sonores ». L'épigraphe y est corrigée (« iisdem », « impossibilis ») et la référence complétée (« edit. in f.o London 1740 »). Mais cette mise au net a d'abord été écrite sur l'ancien texte : entre ses lignes gardées courent des lignes plus anciennes, hachurées de petites croix, qui disent que Chladni « n'a fait qu'un petit nombre d'essais sur le son des surfaces courbes ; et d'ailleurs les géomètres sentiront aisément que les simplifications auxquelles donne lieu la supposition \(z\) très petit pourroient se transporter aux surfaces d'une courbure quelconque en substituant aux différentielles des deux ordonnées rectangulaires \(x\) et \(y\) les différentielles des deux courbes qui mesurent les courbures principales de ces surfaces ; desorte que les valeurs de \(z\) exprimeroient encore, comme dans le cas du plan, la quantité dont chaque point des mêmes surfaces s'éleveroit pendant leur mouvement au dessus de leur situation naturelle ».²⁴⁴ Ce que la mise au net abandonne, c'est donc un programme : étendre la théorie aux surfaces courbes en prenant pour coordonnées les lignes de courbure. Elle le remplace par une affirmation plus modeste, que les mouvements observés sur des surfaces courbes relèvent d'une équation simple commune à plusieurs corps sonores. Le programme abandonné n'aurait pas suffi : dans la théorie actuelle des coques, la courbure ne change pas seulement les coordonnées, elle couple la flexion à l'extension de la surface moyenne, et c'est ce couplage qui domine le son des surfaces courbes (voir plus bas, les surfaces cylindriques).

Le paragraphe premier suit, sans numéro (« §. Recherche de l'équation différentielle de la surface élastique vibrante »), et son N^o 1 redit celui de la vue 399, avec la correction « Ainsi je trouve » déjà faite et le double signe d'intégration écrit \(SS\) ; il omet, dans la définition des coefficients d'un plan, « sur les plans coordonnés verticaux », et s'arrête sur « le cosinus de l'angle ».

Les pages (23) et (24) (vues 596 et 597) redisent les pages (28) et (29) du mémoire (vues 433 à 435) : la plaque rectangulaire aux côtés parallèles aux axes, les quatre couples d'équations de chaque côté, les points de double limite. Le texte est le même, à trois écarts près : la mise au net écrit \(\delta x\) au lieu de \(\delta z\) dans la seconde condition des côtés parallèles à l'axe des \(y\), ce qui est un lapsus (la même condition porte \(\delta z\) à la vue 597) ; elle écrit « comme fixé » pour « comme fixe » ; et elle laisse sans « \(= 0\) » deux conditions que la vue 434 complète en partie. Qu'elle arrive à la page (23) là où le mémoire en est à la page (28), dans une écriture plus grande, montre qu'elle a laissé de côté une partie de ce qui précède ; les feuillets ne disent pas laquelle.²⁴⁵

Un troisième état

598–598Un brouillon sans pagination, très corrigé, reprend l'ouverture sous le titre « Mémoire sur cette question proposée par la première classe de l'institut », sans épigraphe.²⁴⁶ Il écrit « embrasser d'abord cette question dans toute sa généralité », annonce « une équation différentielle fort simple », après avoir barré « du quatrième degré » et une phrase commencée, « à la vérité cette équation n'est pas intégrable en » ; il espère que la classe trouvera « la théorie que j'ai l'honneur de soumettre à son jugement » aussi générale que le demande l'état de la question ; il définit les mouvements réguliers comme ceux où « des sons perceptibles accompagnent des figures constantes » ; et il s'arrête, aux deux tiers du feuillet, sur « les géomètres sentiront aisément que la simplification à laquelle donne lieu la supposition de \(z\) très petit pourroit se transporter aux surfaces d'une courbure quelconque en substituant aux. » Ce sont, mot pour mot, les leçons que le brouillon de la vue 398 porte barrées sous ses corrections (« embrasser », « cette », « fort simple », « j'ai l'honneur de », « surfaces d'une courbure quelconque en substituant ») et que la mise au net des vues 593 à 595 porte hachurées. Ce troisième état est donc, selon toute apparence, le plus ancien des trois : c'est l'inférence de cette lecture, que la reliure, qui le place après la mise au net, ne contredit ni ne confirme.

Un brouillon adressé à « la classe »

614–618Trois feuillets d'un autre papier, d'une main rapide et corrigée, sans pagination, s'adressent à « la classe ».²⁴⁷ Le premier commence au milieu d'une phrase : « […] differentielles des deux ordonnées rectangulaires \(x\) et \(y\) les differentielles des deux courbures qui mesurent les courbures principales de la surface desorte que les valeurs de \(z\) [exprime]roient, comme dans le cas du plan, la quantité dont chaque point de cette surface s'éleveroit pendant le mouvement, audessus de la situation naturelle ». C'est exactement la fin de la phrase que la vue 598 laisse sur « en substituant aux. », et que la mise au net des vues 593 et 595 porte hachurée dans une rédaction presque identique : la vue 614 continue la vue 598. La transcription ne fait pas ce rapprochement ; il est de cette lecture, et il repose sur le texte seul.²⁴⁸

La suite est un résumé anticipé du mémoire. L'équation des surfaces élastiques est du quatrième degré, n'a pas d'intégrale générale en termes finis, mais s'abaisse au second degré, et l'une des deux équations est celle des surfaces tendues : toute figure d'une surface tendue renfermée dans des limites données peut appartenir à une surface élastique renfermée dans les mêmes limites — c'est, presque dans les mêmes mots, le N^o 2 du mémoire (vue 404), dont la lecture a dit plus haut dans quelle mesure il est exact. Les géomètres, poursuit la vue 616, se sont peu occupés de ces intégrales, et Biot est le seul, croit-elle, à avoir démontré l'existence des lignes nodales parallèles aux côtés des membranes rectangulaires ; elle montrera que c'est une suite de la périodicité, et comparera ses intégrales à l'expérience. Puis vient la « singularité remarquable » : les cas où les surfaces élastiques prennent des figures qui pourraient appartenir à des surfaces tendues sont les seuls où les nappes vibrantes répondent aux ondes des cordes de Sauveur, et les courbes de repos à leurs nœuds, analogie « indiquée par les termes mêmes du programme publié par la classe » — c'est la remarque du N^o 7 du mémoire (vues 418 et 419). La vue 618 annonce le plan (l'équation, puis des intégrales particulières comparées à l'expérience) et s'arrête : « je m'estimerai heureux si la classe juge que j'ai reussi a ebaucher une théorie que des ».²⁴⁹ Dans cet état, l'ouverture annonçait donc les résultats du § 1 et du § 3 ; dans la rédaction des vues 398 et 593, ils ont pris place dans le corps du mémoire, et le programme des surfaces courbes a disparu.

Les participes de l'auteur y sont au masculin, « parvenu » et « heureux » (vue 618), comme « heureux » dans la phrase finale du mémoire (vue 592) ; le mémoire lui-même dit « je crois être parvenue » (vue 420), et le brouillon suivant « privée » et « résolue » (vue 620). Les feuillets le montrent ; ils ne disent pas pourquoi.

Les surfaces cylindriques, et « mon mémoire pour 1813 »

620–626Quatre pages paginées par elle, 1 (annulé) à 4, d'une main rapide et très corrigée, reprennent le sujet pour des surfaces cylindriques.²⁵⁰ Le plus simple des cas « après ceux dont je viens de parler » est la surface cylindrique à base circulaire de rayon \(R\), pour laquelle son équation (e) devient \[ \kappa b^{2}\left\{\Delta^2 z'' \pm \frac{1}{R^2}\,\Delta z''\right\} = z'' , \] et, pour une portion d'arc \(A\) qui répond à l'arc \(a\) du cercle de rayon \(1\), \(R = A/a\) et \(1/R^2 = a^2/A^2\), ce qui est juste. L'équation (e) n'est pas dans le volume : le long mémoire désigne ses équations par des majuscules, de (A) à (I). « Le genre de surface auquel appartiendroit » cette équation « n'a encore, je crois, été l'objet d'aucune expérience ».²⁵¹ Suit une confession : « Je me suis résolue beaucoup trop tard à reprendre le sujet qui fait l'objet du présent mémoire », le temps lui manquant à la fois pour faire exécuter toutes les expériences et pour chercher les intégrales qui en rendraient raison ; « je me trouvé privée ici de tout secours étranger ».²⁵²

Les expériences (vues 622 à 626) portent sur des plaques de verre carrées, taillées puis cambrées selon diverses courbures, essayées avant et après. Elle voit « avec étonnement » que la première figure de Chladni, deux droites qui se croisent au centre, se forme de la même manière sur la surface cylindrique et y rend le même ton ; sur une quarantaine de surfaces, sept ou huit fois un demi-ton d'écart, la surface courbée plus aiguë, qu'elle attribue à la haute température nécessaire pour ployer le verre, « le peu d'activité des ateliers » l'ayant empêchée de varier les essais. Sur une quarantaine de plaques carrées planes, l'intervalle entre les tons des figures de deux droites perpendiculaires et de trois droites dont l'une est perpendiculaire aux deux autres est le plus constant ; sur les surfaces cylindriques il varie avec la courbure. Sur les plaques carrées, un nombre donné de lignes nodales est toujours accompagné du même ton, principe qui a guidé la classification de Chladni « et la théorie a pleinement confirmé, comme je l'ai dit ailleurs » ; sur les surfaces cylindriques, des figures d'un même nombre de lignes, parallèles les unes aux côtés courbes, les autres aux côtés droits, rendent des sons différents. Enfin, la figure des deux diagonales, si facile sur les plaques carrées, « suivant la théorie que j'ai developpée N.o 11 de mon memoire pour 1813 », est équivalente à celle de deux droites parallèles aux côtés, que Chladni n'a jamais vue se former sur les plaques carrées.²⁵³

Ces observations sont celles que prévoit la théorie actuelle des coques minces, et l'équation (e) n'en contient pas la cause. Sur une surface cylindrique peu profonde, de génératrices parallèles à \(x\), une flexion qui ne courbe pas les génératrices (\(z_{xx} = 0\)) ne change pas la courbure de Gauss au premier ordre et se fait sans étendre la surface moyenne ; une flexion qui les courbe l'étend, et la rigidité d'extension, bien plus grande que celle de flexion, en élève fortement le son. La torsion \(z \approx xy\) de la première figure est du premier genre : son ton ne dépend presque pas de la courbure, comme elle l'a vu. Les figures de lignes parallèles aux côtés droits (flexion \(z = g(y)\), du premier genre) et aux côtés courbes (flexion \(z = f(x)\), du second) rendent des sons différents, comme elle l'a vu. Et la figure des diagonales, qui demande que \(f(x)\) et \(f(y)\) vibrent ensemble au même son, disparaît dès que la courbure les sépare — ce que disaient ses lignes barrées de la vue 626. La variation d'extension que l'équation (e) ignore est ce qu'on appelle aujourd'hui la distinction entre flexion inextensionnelle et flexion avec extension.²⁵⁴ Quant à la remarque de Chladni, qu'on ne voit jamais deux droites parallèles aux côtés sur une plaque carrée, la théorie actuelle l'explique par le même couplage en \(\nu\) qui sépare, sur la plaque plane, les figures \(\mathcal{A} = -B\) et \(\mathcal{A} = B\) : le mode pur \(f(x)\) n'existe que pour \(\nu = 0\).

Le « N.o 11 de mon memoire pour 1813 » est, dans le long mémoire des vues 398 à 592, exactement la première valeur de \(\omega\) du N^o 11 (vues 443 et 444), où la supposition \(\mathcal{A} = -B\) donne les deux diagonales, de même son que la figure \(B = 0\) de deux droites parallèles à un côté. Cette coïncidence fait de ce long mémoire, selon toute apparence, celui qu'elle appelle son mémoire pour 1813, et de ces quatre pages une reprise postérieure du sujet. Un brouillon d'introduction du volume dit d'ailleurs que c'est « dans le mémoire couronné qui fut présenté en 1815 qu'on trouve les premiers essais sur la théorie des surfaces courbes », et qu'« à raison de sa plus grande simplicité » on y avait traité « le cas des surfaces cylindriques » (vue 103) : ces quatre pages en seraient un brouillon. Ce sont deux inférences de cette lecture ; aucun feuillet ne date le long mémoire, et ces pages ne se nomment pas.²⁵⁵

Le mémoire sur la question de la première classe (suite) : la théorie devant l'expérience

491–592Cette section reprend le long mémoire sur les surfaces élastiques là où la précédente l'a laissé, à la fin de son N^o 15 : les figures nodales de la plaque carrée sont expliquées par les intégrales (C) à (I), et il reste à comparer les sons.²⁵⁶ Elle a trois parties : la plaque carrée (N^o 16), les plaques rectangulaires (§ 5), l'effet d'une charge de cire (§ 6) ; puis la plaque circulaire (§ 7), qui la mène à l'anneau et à ses propres expériences sur des lames de verre courbes.

Deux conventions servent partout. Le « nombre auquel le son est proportionnel » est, à un facteur près, la fréquence : pour une surface \(z = \sin(m\pi x/a)\,\sin(n\pi y/b)\), l'équation \(\partial_t^2 z + b\tau^2\,\Delta^2 z = 0\) donne la pulsation \[ \omega_{mn} = \pi^2\tau\sqrt{b}\,\Bigl(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}\Bigr), \] et sur le carré de côté \(A\) ses nombres sont \(m^2+n^2\).²⁵⁷ Les intervalles sont des rapports de fréquences ; on les mesure aussi en cents (l'octave vaut 1200 cents, le demi-ton tempéré 100).²⁵⁸ Les notes de Chladni sont nommées comme sur le feuillet, le chiffre donnant l'octave (sol 1, si\(^{\flat}\)3) ; pour les confronter à ses rapports, on les compte en demi-tons tempérés, ce qui néglige les qualificatifs « + aigu », « \(-\) grave » de la table de Chladni. La notation \(m|n\) de Chladni désigne une figure de \(m\) lignes nodales droites parallèles à un côté et de \(n\) parallèles à l'autre.²⁵⁹

N^o 16. La comparaison des sons de la plaque carrée

491–507Elle commence par fixer la tolérance. Chladni dit lui-même que dans des expériences bien faites l'erreur n'excède jamais un demi-ton ; deux sons mesurés peuvent donc s'écarter d'un ton au plus du rapport théorique, et cet écart suppose que les deux erreurs soient maximales et de sens contraires.²⁶⁰ Le raisonnement est juste : si chaque son est connu à un demi-ton près, leur rapport l'est à un ton près.

Les vibrations « tournantes ». Ce sont les figures qui ne contiennent, dans le sens d'un des axes, que deux demi-périodes : une seule ligne nodale de ce côté, soit les figures \(1|n\).²⁶¹ Ses nombres sont \(2, 5, 10, 17, 26\) pour les figures 63, 66 a, 69–70, 74 et 79 a de Chladni, c'est-à-dire \(1+n^2\) pour \(n = 1, \dots, 5\) ; et \(25\), \(36\) pour 79 b et 86, qu'elle rapporte, par conjecture, à l'intégrale (I). Rapportés à la figure 63 et comparés aux notes de la table de Chladni (p. 152), ils donnent : \[ \begin{array}{lcccl} \text{fig.} & \text{nombre} & \text{rapport à 63} & \text{cents} & \text{Chladni (écart)}\\ 63 & 2 & 1 & 0 & \text{sol 1}\\ 66\,a & 5 & 5/2 & 1586 & \text{si 2}\ (+14)\\ 69 & 10 & 5 & 2786 & \text{si 3}\ (+14)\\ 70 & 10 & 5 & 2786 & \text{ut}^{\sharp}4\ (+214)\\ 74 & 17 & 17/2 & 3705 & \text{si}^{\flat}4\ (+195)\\ 79\,a & 26 & 13 & 4441 & \text{fa}^{\sharp}5\ (+259)\\ 79\,b & 25 & 25/2 & 4373 & \text{fa}^{\sharp}5\ (+327)\\ 86 & 36 & 18 & 5004 & \text{ut}\,6\ (+296) \end{array} \] (l'écart, en cents, est celui de la note de Chladni au rapport théorique ; positif, le son observé est plus aigu). Ses conclusions sont exactes. De 63 à 66 a, une octave, un ton majeur et un ton mineur font \(2\cdot\frac98\cdot\frac{10}{9} = \frac52\) : l'accord est parfait, comme de 63 à 69 (\(5\)). La figure 70, que la théorie met à l'unisson de 69, en diffère d'un ton, ce qu'elle déclare ne pas comprendre, en relevant que Chladni les tient pourtant pour équivalentes.²⁶² De 63 à 74, l'écart (\(75/68\) entre ses bornes, 170 cents) est entre le demi-ton et le ton, dans la tolérance ; de 63 à 79 a il est d'environ un ton et quart (\(15/13\), 248 cents) : le son observé est « trop aigu d'environ 1 ton », hors de la tolérance ; 79 b et 86 s'en éloignent davantage.²⁶³ Elle rappelle que ses explications de 79 b et 86 ne sont qu'« hypothetique[s] ».

Les figures à périodes complètes. Rapportées à la figure 68 a (\(2|2\), nombre \(8\)), les figures 71, 75, 80 a, 81 a, 82, 87–88 et 79 ont les nombres \(13, 18, 25, 29, 32, 40, 26\).²⁶⁴ Par rapport à la note de 68 (si\(^{\flat}\)3), les écarts à la table de Chladni sont faibles : \[ \begin{array}{lccccc} \text{fig.} & 71 & 75 & 80 & 81 & 82\\ \text{rapport} & 13/8 & 9/4 & 25/8 & 29/8 & 4\\ \text{Chladni} & \text{fa}^{\sharp}4 & \text{ut}\,5 & \text{fa}^{\sharp}5 & \text{sol}^{\sharp}5 & \text{si}^{\flat}5\\ \text{écart} & -41 & -4 & +27 & -30 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{lcc} \text{fig.} & 87\text{--}88 & 79\\ \text{rapport} & 5 & 13/4\\ \text{Chladni} & \text{ré}\,6 & \text{fa}^{\sharp}5\\ \text{écart} & +14 & -41 \end{array} \] Elle vérifie chaque cas par un rapport juste, et ses vérifications tiennent : \(16/5\) contre \(25/8\) pour 80, écart \(128/125\), son « comma » ; \(16/5\) contre \(13/4\) pour 79, écart \(65/64\), moindre que ce comma ; pour 87–88, deux octaves et une tierce majeure donnent \(5\).²⁶⁵

Les cas sans figure. Pour les cas dont Chladni n'a pas donné de figure, dans sa notation \(m|n\), les nombres sont \(m^2+n^2\) : \(4|2\), \(5|3\), \(6|3\), \(5|4\), \(6|4\), \(5|5\), \(6|5\) donnent \(20, 34, 45, 41, 52, 50, 61\), et, rapportés à \(2|2\) (8), des écarts à la table de \(+14\), \(-5\), \(+10\), \(+71\), \(+59\), \(+27\) et \(+83\) cents. Elle choisit, quand Chladni donne deux notes, la plus favorable, et le dit. Ses vérifications sont justes : pour \(6|3\), \(\frac{45}{8}\) contre \(\frac{50}{9}\) diffèrent d'un comma syntonique exactement ; pour \(5|5\), \(\frac{25}{4}\) contre \(\frac{32}{5}\), de \(128/125\) ; pour \(6|5\), \(\frac{61}{8}\) contre \(8\), de \(64/61\) (83 cents), moins qu'un demi-ton majeur ; pour \(5|4\), après correction, \(\frac{41}{8}\) est au-dessous de \(\frac{16}{3}\) de \(128/123\) (69 cents), à peine moins qu'un demi-ton mineur, comme elle l'écrit.²⁶⁶

Sa conclusion, qu'on ne pouvait « espérer plus d'accord entre la théorie et l'experience », est vraie de ces comparaisons : entre figures à périodes complètes, aucun écart ne dépasse 41 cents, et, pour les cas sans figure pris au plus favorable, 83 cents ; Chladni lui-même tenait pour équivalentes des figures dont les sons diffèrent d'un demi-ton, d'un ton ou d'une tierce.²⁶⁷

La difficulté. Mais les deux familles ne s'accordent pas entre elles. Rapportées aux figures de l'intégrale (C), dont les sons sont ceux de la lame libre d'Euler, toutes les figures à périodes complètes sonnent environ un ton trop grave ; et les vibrations tournantes, rapportées à ces mêmes sons, sont plus graves encore, de un à deux tons et demi, d'autant moins qu'elles ont plus de lignes nodales ; les plaques rectangulaires montrent le même écart.²⁶⁸ Elle juge cet écart trop constant pour être accidentel.

Elle en propose une cause, en la donnant pour « une simple conjecture » : les quarts de période (parties où la surface n'a qu'une demi-période dans chaque sens) et les demi-périodes des surfaces libres. Leur influence serait maximale quand il n'y a que des quarts de période, moindre quand s'y ajoutent des demi-périodes, minimale avec des périodes complètes ; de sorte que l'accord ne serait parfait que pour une plaque appuyée de tous côtés, que Chladni n'a pas essayée.²⁶⁹ Elle écarte l'analogie de la corde et de la flûte, la théorie des instruments à vent n'étant pas rigoureuse, et compare sa difficulté à celle de la vitesse du son, que « l'ingénieuse hypothèse » de Laplace, introduite dans le calcul par Poisson, a résolue ; elle ajoute que dans le cas d'une flûte on ne saurait séparer l'effet de la chaleur dégagée de celui des demi-périodes.²⁷⁰

Ce que dit la théorie actuelle. Ses nombres \(m^2+n^2\) sont exactement ceux de la plaque rectangulaire simplement appuyée, dont les modes sont \(\sin(m\pi x/a)\sin(n\pi y/b)\) : pour une telle plaque, sa conclusion conjecturale — l'accord parfait avec les surfaces périodiques — est vraie.²⁷¹ Sur une plaque libre, ni les surfaces périodiques ni l'intégrale (C) ne satisfont les conditions du bord libre, hors, pour (C), le cas limite \(\nu = 0\) (voir, dans la première partie du mémoire, les conditions de Kirchhoff au N^o 9, vues 433 à 438, et ce qu'elles donnent pour (C) au § 4) ; les fréquences exactes ne sont données par aucune des deux familles, et les figures ne leur ressemblent qu'approximativement. L'écart qu'elle observe est de cet ordre : pour la lame libre, le nombre exact de \(k\) nœuds est voisin de \((k-\frac12)^2\) et non de \(k^2\), et le bord libre abaisse de même les sons des figures de la plaque par rapport à ceux de la plaque appuyée. Son explication par les quarts de période est la sienne ; ce n'est pas la cause qu'on donne aujourd'hui.

§ 5. Les plaques rectangulaires (N^os 17 à 19)

508–537L'intégrale (C) sur le rectangle. L'intégrale (C) veut la même valeur de \(\omega\) dans ses deux fonctions, de \(x\) et de \(y\). Sur un rectangle, cela n'est possible en général qu'avec \(B = 0\) ou \(\mathcal{A} = 0\) : des lignes nodales droites et parallèles ; les figures « à distorsions » n'apparaissent que si deux valeurs de \(\omega\) compensent l'inégalité des côtés.²⁷² Son exemple est juste : sur la plaque dont les côtés sont comme \(5:7\), trois lignes de la lame libre (\(\frac{25}{4}\)) sur le côté 5 et quatre (\(\frac{49}{4}\)) sur le côté 7 donnent le même son, à la précision des nombres d'Euler, puisque \(\frac{25/4}{5^2} = \frac{49/4}{7^2} = \frac14\) ; Chladni y voit, en effet, des figures « intermédiaires » (Traité d'acoustique, § 136).²⁷³ Sur la plaque \(3:1\), les cas \(5|0\) et \(0|2\) (fig. 77, § 122) sont de même à l'unisson, à très peu près : \(\frac{9}{2}\cdot\frac13 = \frac32\cdot 1\) (calcul de cette lecture ; les racines d'Euler donnent \(1{,}506\) au lieu de \(\frac32\) pour deux nœuds, soit 6 cents d'écart).²⁷⁴ Elle suit ensuite, sans la décrire en entier, la fig. 163 b : la règle des valeurs de \(f(x)\) et \(f(y)\) à l'origine, de la forme \(2(1+e^{\omega})\) ou \(2(1-e^{\omega})\) selon la parité des nombres de lignes, la supposition \(\mathcal{A}(1-e^{\omega}) = -(1+e^{\omega})B\) au lieu de \(\mathcal{A} = -B\), et le passage de la courbe par les douze points de repos invariables ; elle en tire la règle générale : si \(\mathcal{A} = 0\) donne \(m\) lignes droites et \(B = 0\) en donne \(n\), la figure est faite de \(m\) lignes sinueuses à \(n/2\) flexions ou de \(n\) lignes à \(m/2\) flexions.²⁷⁵

Les surfaces périodiques ; la formule du son. Pour un rectangle de côtés \(s:t\) (\(s>t\)), elle multiplie les ordonnées parallèles au petit côté par \(s/t\) : \[ z = \dots\,\sin\frac{\pi t m x}{tA}\,\sin\frac{\pi s n y}{tA}, \qquad \text{son} \propto \frac{t^2m^2+s^2n^2}{t^2}, \] avec \(m\) lignes parallèles à l'axe des \(y\) et \(n\) à l'axe des \(x\).²⁷⁶ La plaque va donc de \(0\) à \(A\) en \(x\) (le grand côté) et de \(0\) à \(tA/s\) en \(y\) ; la formule est celle de Navier, \(A^2\bigl((m/a)^2+(n/b)^2\bigr)\) avec \(a = A\), \(b = tA/s\). Dans ses propres termes : \[ \text{son} \propto \frac{t^2\,T^2 + s^2\,L^2}{t^2}, \] où \(T\) est le nombre des lignes transversales (parallèles au petit côté, qui partagent le grand) et \(L\) celui des lignes longitudinales ; c'est exact pour la plaque appuyée, approché pour la plaque libre (voir la difficulté du N^o 16).²⁷⁷ Les sommes de solutions particulières sont admissibles, dit-elle, quand leurs termes ont le même son : c'est exact, une figure stationnaire composée demande des modes de même fréquence ; une ligne nodale commune à deux termes est alors une « véritable ligne invariable de repos », et le mot « libre » n'a plus aucun de ses deux sens.²⁷⁸

Ses exemples. Sur la plaque \(6:5\), \(4|1\) et \(2|3\) ont les nombres \(\frac{16\cdot25+36}{25} = \frac{4\cdot109}{25}\) et \(\frac{4\cdot25+9\cdot36}{25} = \frac{4\cdot106}{25}\) ; leur intervalle \(109/106\) (48 cents) dépasse à peine son comma : les deux cas peuvent se mêler, et la ligne longitudinale médiane, commune aux deux (\(n = 1\) et \(n = 3\) sont impairs), est la ligne invariable de la fig. 157.²⁷⁹ Sur la plaque \(5:4\), Chladni donne le même son à \(5|0\) et \(1|4\) (§ 115, fig. 158). Le feuillet décrit \(5|0\) comme cinq lignes parallèles au grand côté, et le terme périodique de \(1|4\) comme quatre lignes parallèles au petit côté et une dans l'autre sens, la médiane, commune aux deux termes et donc invariable ; il calcule \(5|0\) par le nombre d'Euler \(\frac{81}{4}\cdot\frac{25}{16} = \frac{2025}{64}\), conforme à cette description, et \(1|4\) par \(\frac{16+25\cdot16}{16} = 26\), d'où le rapport \(2025:1664\), environ une tierce (340 cents). Mais \(26\) est le nombre d'une ligne transversale et de quatre longitudinales ; quatre transversales et une longitudinale, la figure que le feuillet décrit, donnent \(\frac{16\cdot16+25}{16} = \frac{281}{16}\), et un rapport d'environ \(1{,}80\) (1019 cents).²⁸⁰ Avec 26, elle trouve un écart de deux tons environ, qu'elle rapproche de la gravité connue des vibrations tournantes pour expliquer que les deux termes se combinent en figures « compliquées par leur influence simultanée » ; avec \(\frac{281}{16}\), l'écart est d'environ une septième (1019 cents), et l'explication ne suffit plus.

Sur la plaque \(2:1\), \(2|1\) et \(3|0\) (fig. 173) n'ont pas de ligne invariable commune, et n'en montrent pas ; \(5|1\) et \(1|3\) (fig. 174) ont chacun deux lignes médianes, qui se retrouvent, droites, dans les figures ; elle écarte les figures de plaques dont Chladni a « un peu alteré » les proportions.²⁸¹

N^o 19. Les sons de la plaque \(9:8\). Elle laisse de côté les vibrations tournantes et calcule les dix-huit cas \(2|2\) à \(6|3\) par \(\frac{64T^2+81L^2}{64}\) : \(\frac{145}{16}\), \(\frac{985}{64}\), \(\frac{97}{4}\), \(\frac{2281}{64}\), \(\frac{225}{16}\), \(\frac{1305}{64}\), \(\frac{117}{4}\), \(\frac{2601}{64}\), \(\frac{337}{16}\), \(\frac{1753}{64}\), \(\frac{145}{4}\), \(\frac{3049}{64}\), \(\frac{481}{16}\), \(\frac{2329}{64}\), \(\frac{181}{4}\), \(\frac{3625}{64}\), \(\frac{657}{16}\), \(\frac{3033}{64}\) — tous justes — puis leurs rapports au nombre \(8\) de la figure 68 de la plaque carrée.²⁸² Chladni remarquant (p. 161) que toutes ses plaques rectangulaires sonnent environ un demi-ton plus haut que la plaque carrée, elle suppose que le verre de la plaque carrée différait, et prend pour 68 « si\(^{\flat}\)3 + aigu » au lieu de « si\(^{\flat}\)3 aigu ».²⁸³ Elle compare alors, cas par cas, le rapport théorique à l'intervalle entendu, écrit comme un rapport juste, et conclut : « parmi les 18 comparaisons […] il ne se trouve qu'un seul cas » (\(5|5\)) où l'écart excède un demi-ton.²⁸⁴

Ce jugement est à reprendre. Comptées en demi-tons tempérés depuis si\(^{\flat}\)3, les notes de Chladni sont au-dessus des rapports théoriques dans presque tous les cas, de 13 à 211 cents ; la correction « + aigu », que le feuillet ne chiffre pas, réduit d'autant les écarts positifs. Ses propres rapports donnent plus d'un cas hors du demi-ton : \(5|5\) (212 cents, plus qu'un ton majeur), \(4|5\) (125), \(6|2\) (137) et \(6|3\) (134), bien que pour les trois derniers l'intervalle entendu ne soit qu'une borne (« un peu moindre que »). Trois de ses phrases sont inexactes : pour \(3|3\) l'écart \(4096/3915\) (78 cents) n'est pas « bien moindre qu'un demi-ton mineur » (71 cents) ; pour \(4|3\), \(16384/15777\) (65 cents) est moins, et non « un peu plus », qu'un demi-ton ; pour \(5|5\), \(4096/3625\) passe le ton majeur.²⁸⁵ Comptés en demi-tons tempérés, avec la note la plus favorable quand Chladni en donne deux, quinze cas sur dix-huit restent à moins d'un demi-ton majeur de la note avant même sa correction, dans la tolérance qu'elle s'est donnée ; \(5|5\), \(6|2\) et \(6|3\) n'y sont pas.

La plaque \(2:1\). Par \(T^2+4L^2\) elle trouve pour \(2|2\), \(2|3\), \(3|2\), \(3|3\), \(4|2\), \(4|3\), \(5|2\), \(5|3\) les nombres \(20, 40, 25, 45, 32, 52, 41, 61\), justes, et les compare à la table de Chladni (p. 168). Six cas sont à moins d'un demi-ton ; \(2|2\) et \(2|3\), dont l'intervalle mutuel est exactement l'octave des deux côtés, sont trop hauts dans la théorie d'un peu plus d'un ton.²⁸⁶

Elle note enfin que les figures des équations périodiques se formeraient aussi sur une membrane tendue — renversées en partie si les côtés sont libres, identiques si la plaque est appuyée — avec des sons proportionnels aux « simples nombres » là où la plaque a leurs carrés, comme Euler l'a remarqué de la lame appuyée et de la corde : c'est exact, la membrane ayant \(\omega \propto k\) et la plaque \(\omega \propto k^2\) pour le même nombre d'onde \(k\).²⁸⁷

§ 6. L'effet d'un corps mou : la cire (N^o 20)

538–547Voulant réaliser un appui en serrant un bord d'une plaque carrée dans une rainure de bois, elle attendait un son plus aigu et l'obtint plus grave : le poids du bois l'emportait. Elle charge alors un ou plusieurs côtés de plaques de verre de cire collante, uniformément répartie, et trouve l'effet équivalent à un prolongement fictif de la plaque, d'une étendue égale en poids à la cire : même son, lignes nodales déplacées en conséquence.²⁸⁸

Les expériences. Plaque carrée de 106 mm de côté, pesant 1 once 18 grains ; le son de la figure à deux lignes nodales croisées (\(1|1\)), un peu plus bas que sol 1 (l'octave 1 étant celle du la du diapason). Chaque dose de cire, 1 gros 2 grains, est le huitième de ce poids ; elle vaut donc \(106/8 \approx 13\) mm de plaque.²⁸⁹ Une dose sur un côté : le son tombe entre mi 1 et fa 1, plus d'un ton plus bas ; la ligne nodale parallèle au côté chargé est à 45 mm de lui et à 58 mm du côté opposé, contre \(46\frac12\) et \(59\frac12\) calculés — l'écart est la largeur de la ligne et de la cire, environ 3 mm. Deux doses sur deux côtés contigus : environ deux tons majeurs. Deux doses sur deux côtés opposés : ré 1 exactement, et la figure ne bouge pas, la charge étant symétrique.²⁹⁰

Le calcul, et sa correction. Elle traite la plaque chargée comme un rectangle \(119:106 \approx 9:8\) et écrit son nombre \(\frac{9^2+8^2}{64} = \frac{145}{64}\) contre \(2\) pour la plaque carrée, d'où un rapport \(\frac{145}{128}\), voisin du ton majeur. Ce calcul mêle deux unités : \(\frac{145}{64}\) est rapporté au grand côté du rectangle (119 mm), \(2\) au côté du carré (106 mm) ; tel quel, il ferait la plaque agrandie plus aiguë. Le rapport juste est \[ \frac{2/8^2}{1/9^2+1/8^2} = \frac{2\cdot 9^2}{9^2+8^2} = \frac{162}{145} \quad (192 \text{ cents}), \] un ton mineur à peu près, la plaque chargée étant la plus grave. Le feuillet de la vue 416 donne exactement cette correction.²⁹¹ Pour une dose, la correction ne change presque rien (216 contre 192 cents). Pour deux côtés contigus, le rapport \(81/64\) (deux tons majeurs) est juste, la plaque restant carrée. Pour deux côtés opposés, en revanche, la même erreur donne \(\frac{10^2+8^2}{8^2} = \frac{41}{16}\) et un intervalle \(\frac{41}{32}\) (429 cents), « un peu plus que deux tons majeurs », comme l'expérience ; corrigé, il devient \(\frac{50}{41}\) (344 cents), moins d'une tierce majeure, alors que de ré 1 à sol 1 elle entend près d'une quarte. Le feuillet de la vue 416 ne relève pas ce cas, où la correction n'est pas négligeable.²⁹²

La lame chargée. Une lame de verre de 20 cm sur 23 mm, pesant 4 gros 12 grains, montre une ligne nodale longitudinale et deux transversales, l'espace entre celles-ci double de celui qui les sépare des bouts. Chargée à un bout de 1 gros 3 grains, elle montre les deux lignes transversales à 12 mm du bout chargé et 121 mm l'une de l'autre, 61 mm restant jusqu'à l'autre bout : une portion dix fois moindre que l'autre rend le même son.²⁹³ Elle ne l'explique pas sur la page ; sa règle le fait : la cire pèse 75 grains, le quart des 300 de la lame, et vaut 50 mm ; sur une lame fictive de 250 mm partagée en \(\frac14\), \(\frac12\), \(\frac14\), les segments seraient \(12{,}5\), \(125\) et \(62{,}5\) mm, contre 12, 121 et 61 observés (6 mm étant pris par la cire et les lignes). Elle conclut qu'on peut, par une matière pesante et non élastique, faire rendre à une portion aussi petite qu'on veut le son d'une portion donnée, et que l'analyse permet la substitution à toute distance de l'origine, les termes qui doivent s'annuler aux limites étant multipliés par un facteur de rigidité.²⁹⁴

Ce que dit la théorie actuelle. L'équivalence « égale en poids » est exacte au premier ordre : à un bord libre, le moment de flexion est nul, si bien qu'une bande ajoutée de largeur \(\delta\) apporte l'énergie cinétique de sa masse et une énergie de flexion d'ordre supérieur en \(\delta\) ; au premier ordre, prolonger et charger d'un poids égal abaissent la fréquence de la même quantité (quotient de Rayleigh).²⁹⁵ Pour des charges fortes, la masse ajoutée n'équivaut plus à une longueur : elle ajoute de l'inertie sans raideur, et l'équivalence n'est qu'approchée ; la limite d'une charge infinie est un bord immobile, où la ligne nodale voisine vient se confondre avec le bord, ce qui justifie qualitativement sa « portion aussi petite qu'on voudra ».²⁹⁶

§ 7. La plaque circulaire (N^os 21 à 23)

548–574Les applications faites jusque-là ne regardent que les plaques rectangulaires ; avant de terminer, elle cherche une intégrale particulière « immédiatement applicable » à la plaque circulaire.²⁹⁷

L'équation en coordonnées polaires. Avec \(x = r\cos\varphi\), \(y = r\sin\varphi\), elle calcule toutes les dérivées jusqu'au quatrième ordre et trouve \[ \Delta^2 z = \partial_r^4 z + \frac{2}{r}\partial_r^3 z - \frac{1}{r^2}\partial_r^2 z + \frac{1}{r^3}\partial_r z + \frac{2}{r^2}\partial_r^2\partial_\varphi^2 z - \frac{2}{r^3}\partial_r\partial_\varphi^2 z + \frac{4}{r^4}\partial_\varphi^2 z + \frac{1}{r^4}\partial_\varphi^4 z, \] ce qui est juste.²⁹⁸ Posant \(b\tau^2 = e^4/a^4\), l'équation (B) du mouvement régulier devient \(\frac{a^4}{e^4}z = \Delta^2 z\) ; comme seules des dérivées paires en \(\varphi\) y figurent, elle pose \(z = u(r)\sin(\beta\varphi + B)\), où \(\beta\) sera le nombre des diamètres nodaux, et obtient \[ \frac{a^4}{e^4}\,u = u'''' + \frac{2}{r}u''' - \frac{1+2\beta^2}{r^2}u'' + \frac{1+2\beta^2}{r^3}u' + \frac{\beta^4-4\beta^2}{r^4}u \qquad (\text{B}') \] puis, avec \(u = r^\beta s\) et \(n = 1+2\beta\) (le \(n\) de ces pages, sans rapport avec celui des plaques rectangulaires), \[ \frac{u^4}{e^4}\,s = s'''' + n\Bigl\{\frac{2}{r}s''' + (2\beta-1)\Bigl(\frac{s''}{r^2} - \frac{s'}{r^3}\Bigr)\Bigr\} \qquad (\text{B}''), \] toutes deux justes.²⁹⁹

La solution : les fonctions de Bessel. En cherchant \(s\) en série de puissances croissantes de \(r\), elle trouve, avec \(g = u^2/e^2\), \[ s = A\Bigl\{1 - \frac{g r^2}{2(n+1)} + \frac{g^2 r^4}{2\cdot4\,(n+1)(n+3)} - \dots\Bigr\} + A'\Bigl\{1 + \frac{g r^2}{2(n+1)} + \frac{g^2 r^4}{2\cdot4\,(n+1)(n+3)} + \dots\Bigr\}. \] Comme \((n+1)(n+3)\cdots(n+2j-1) = 2^j(\beta+1)\cdots(\beta+j)\), les deux séries multipliées par \(r^\beta\) sont, à un facteur près, \(J_\beta(kr)\) et \(I_\beta(kr)\), \(k = u/e\) : la fonction de Bessel de première espèce et la fonction de Bessel modifiée. La solution est donc \(z = \bigl(A\,J_\beta(kr) + A'\,I_\beta(kr)\bigr) \sin(\beta\varphi + B)\) à des constantes près, et \(\Delta z = k^2\bigl(-A\,J_\beta + A'\,I_\beta\bigr)\sin(\beta\varphi+B)\), comme elle l'écrit.³⁰⁰ Elle ne garde que deux constantes : c'est juste pour une plaque pleine, les deux autres solutions (\(Y_\beta\), \(K_\beta\)) étant infinies au centre ; pour un anneau ou une plaque percée, comme celle de la vue 589, il les faudrait.

Les couples de conditions au contour. Elle reprend les quatre couples de conditions de son N^o 9 et les écrit en \(z'\) et \(z''\), les deux parties de la solution qui répondent aux deux facteurs de l'équation (N^o 2).³⁰¹

— Le premier couple (points appuyés) est satisfait par \(\sin(\beta\varphi+B) = 0\) : \(2\beta\) points du contour, extrémités de \(\beta\) diamètres qui sont des lignes d'appui ; les secteurs égaux se superposent, et la dépendance en \(\varphi\) a la forme de l'équation des cordes. Pour \(\beta = 0\), on ne peut prendre \(B = 0\), sans quoi la plaque ne bougerait pas. Ou bien par \(A' = 0\) et \(J_\beta(ka) = 0\) : la plaque appuyée sur tout son contour, dont l'équation est celle du tambour d'Euler, les figures celles du tambour et les sons les carrés des siens.³⁰² Dans sa théorie, c'est exact : si \(z = 0\) sur le cercle et \(\Delta z = 0\), le mode est celui de la membrane, et pour un même nombre d'onde \(k\) la plaque a \(\omega\propto k^2\) là où la membrane a \(\omega\propto k\). Dans la théorie de Kirchhoff, c'est faux pour un matériau réel : sur le cercle \(z = 0\), le moment radial vaut \(-D\bigl(\partial_r^2 z + \nu\,\partial_r z/a\bigr) = D(1-\nu)\,\partial_r z/a\) pour un mode de membrane, et ne s'annule que si \(\nu = 1\) ; l'artifice de Navier ne vaut que pour les bords droits.³⁰³

— Le second couple (contour libre) : elle l'écrit \(\Delta z = 0\) et \(\partial_x \Delta z = 0\), « ou, cequi est ici lamême chose » \(\partial_y\Delta z = 0\), et le satisfait par la seule équation \(A\,J_\beta(ka) - A'\,I_\beta(ka) = 0\) (à des constantes près) ; comme on peut toujours choisir \(A\) et \(A'\) pour qu'elle ait lieu, elle conclut que les conditions du contour « auront lieu d'elles-mêmes » et ne peuvent servir à trouver \(u\), qui « devr[a] être donné d'ailleurs ».³⁰⁴ Ceci est faux. Au contour, la dérivée à prendre est la dérivée normale \(\partial_r\), et les conditions du bord libre de sa théorie sont \(\Delta z = 0\) et \(\partial_r\Delta z = 0\) : deux équations en \(A\), \(A'\), \[ -A\,J_\beta(ka) + A'\,I_\beta(ka) = 0, \qquad -A\,J'_\beta(ka) + A'\,I'_\beta(ka) = 0, \] dont le déterminant \(J_\beta(ka)I'_\beta(ka) - I_\beta(ka)J'_\beta(ka) = 0\) fixe les valeurs de \(u\). C'est l'équation même de la plaque encastrée (\(z = \partial_r z = 0\)) : \(ka = 3{,}196\) ; \(4{,}611\) ; \(5{,}906\) ; \(7{,}144\) pour \(\beta = 0, 1, 2, 3\). Dans sa théorie, la plaque circulaire libre a donc les sons de la plaque encastrée ; et toute déformation harmonique (\(\Delta z = 0\), par exemple \(r^\beta\sin\beta\varphi\)) n'y coûte aucune énergie.³⁰⁵ La plaque libre de Kirchhoff (\(\nu\approx0{,}3\)) a une autre équation ; ses modes à diamètres seuls ont des fréquences dans les rapports \(1 : 2{,}32 : 4{,}08 : 6{,}25\) pour \(\beta = 2\) à \(5\), voisins des carrés \(1 : 2{,}25 : 4 : 6{,}25\) que Chladni observe.³⁰⁶

L'ajout sur les lignes annulaires. Un petit feuillet relié avant la page (140), « addition a la p. 140 », traite le cas sans diamètres, où toutes les lignes nodales sont annulaires. Elle y écrit les conditions du contour avec la dérivée radiale, \(\Delta z\,\delta(\partial_r z) - \partial_r(\Delta z)\,\delta z = 0\) (multipliées par \(\cos\varphi\) et par \(\sin\varphi\)), ce qui est juste ; puis, « à cause de » \(\Delta z = \frac{e^2}{a^2}z\) et de sa dérivée, elle les dit satisfaites par \(z = 0\) ou par \(\partial_r z = 0\) : toutes les lignes de repos satisferaient aux conditions des extrémités sans être des lignes d'appui « dans le sens analytique attribué a ce mot par Euler », de même toute ligne circulaire où la tangente est parallèle au plan de la plaque ; et « les extremités réelles et physiques sont assujetties a la condition \(\frac{dz}{dr} = 0\) ». Au verso, avec \(g = u^2/e^2\), elle choisit \(A\) et \(A'\) proportionnels à \(I_0'(R)\) et à \(-J_0'(R)\), pour que \(\partial_r z\) s'annule au bord quel que soit \(g\), et donne pour lignes annulaires les racines \(r<R\) de \(A\,J_0(r)+A'\,I_0(r) = 0\) (à des facteurs près) ; ces séries sont justes.³⁰⁷ L'argument est faux : \(\Delta z = \frac{e^2}{a^2}z\) n'est vrai que de l'une des deux parties de la solution, non de \(z = A\,J_0 + A'\,I_0\) ; et \(\partial_r z = 0\) n'est pas une condition du bord libre, c'est la moitié de l'encastrement. Les conditions de sa théorie restent \(\Delta z = \partial_r\Delta z = 0\), qui déterminent \(u\).

Les lignes nodales circulaires sont de simples lignes de repos, non des lignes d'appui : une ligne d'appui circulaire exigerait \(A' = 0\), ce qui ne convient qu'au contour appuyé — ce qui est exact dans sa théorie. Diamètres et cercles peuvent exister ensemble ou séparément.³⁰⁸ Le troisième couple (contour fixé) donne \(A\,J_\beta + A'\,I_\beta = 0\), qui est la moitié des conditions de l'encastrement ; le quatrième donne aussi \(\cos(\beta\varphi+B) = 0\) : des droites qui partagent chaque secteur en deux secteurs égaux, chacun appuyé d'un côté et « libre » de l'autre au sens de \(\partial_\varphi z = 0\), \(\partial_\varphi^3 z = 0\) — c'est exact, ce sont les axes de symétrie du mode.³⁰⁹

N^o 23. Les figures de Chladni, et l'anneau. La difficulté de trouver \(u\) l'empêche de comparer les sons ; elle range les figures de Chladni par nombre de diamètres : 104 et 109 pour \(\beta = 0\) ; 105, 110 a, 116 a pour \(\beta = 1\) ; 99, 106, 111 pour \(\beta = 2\) ; 100, 107 pour \(\beta = 3\) ; 101 a, 108 pour \(\beta = 4\) ; 102 a pour \(\beta = 5\).³¹⁰ Faisant ensuite \(r = a\) dans l'équation et effaçant les dérivées en \(r\), elle obtient \(\frac{u^4}{e^4}z = \frac{1}{a^4}\partial_\varphi^4 z\), qu'elle donne pour l'équation de l'anneau élastique, cas particulier de celle de la plaque, et qui ne diffère, dit-elle, de celle d'Euler, à la fin de son mémoire sur la lame, qu'en ce que les arcs y remplacent les ordonnées. Ce n'est pas une dérivation : poser \(r = a\) dans l'équation de la plaque ne donne pas celle d'un anneau, qui est une poutre courbe avec ses propres équations ; l'équation obtenue est celle d'une lame droite appuyée refermée sur elle-même, qui est l'hypothèse d'Euler (§ 53 à 55 ; voir la section sur la copie d'Euler). Il s'ensuit, sur la page, que les sons sont comme les carrés de \(2, 4, 6, \dots\) (le nombre des nœuds), et qu'Euler, qui donne la suite \(4, 9, 16, 25, \dots\), n'a pas vu que l'anneau ne peut avoir qu'un nombre pair de nœuds. Ce dernier point est exact : un mode de flexion de l'anneau en \(\cos\beta\varphi\) a \(2\beta\) nœuds.³¹¹

L'anneau et la lame courbe, contre Euler et avec Chladni (N^os 24 et 25)

574–592L'objection de Chladni. Chladni observe (Traité d'acoustique, p. 118) que la théorie de l'anneau d'Euler n'est pas confirmée : les sons de l'anneau partagé en 4, 6, 8 parties sont comme les carrés de 3, 5, 7, et non de 4, 6, 8. Elle ne doute pas que le cas observé soit celui des extrémités appuyées, les parties étant égales (§ 89 du Traité) ; elle attribue l'écart à une circonstance hors du calcul. Chladni ayant vu, sur une bande de fer ployée (Traité, section VI, p. 113, fig. 37 à 42 ; la fourche), les sons baisser et les nœuds se rapprocher dans les parties courbes, elle soutient que la courbure prise analytiquement ne change rien aux formules — les instruments à vent en témoignent — mais que la bande pliée a perdu de son élasticité : dans l'anneau, uniformément ; de là des sons plus graves, d'autant moins que l'arc entre deux nœuds est petit, et un rapport \((2\beta-1)^2 : (2\beta)^2\) avec la théorie d'Euler, qui tend vers 1 quand \(\beta\) croît.³¹²

Ce que dit la théorie actuelle. Chladni a raison, et la loi carrée — celle d'Euler comme la sienne — est fausse pour l'anneau. Les modes de flexion d'un anneau mince dans son plan, à \(2n\) nœuds, ont des fréquences proportionnelles à \[ \frac{n(n^2-1)}{\sqrt{n^2+1}}, \qquad n = 2, 3, 4, \dots, \] soit \(1 : 2{,}83 : 5{,}42 : 8{,}77\) pour 4, 6, 8, 10 nœuds ; les carrés de Chladni donnent \(1 : 2{,}78 : 5{,}44 : 9\), les siens \(1 : 2{,}25 : 4 : 6{,}25\).³¹³ La cause n'est pas une élasticité diminuée : la courbure lie le déplacement radial au déplacement tangentiel (l'anneau fléchit sans s'allonger), et elle entre dans les équations, contrairement à ce que le feuillet affirme. Deux de ses remarques coïncident pourtant avec la loi actuelle : la courbure abaisse les sons, et d'autant moins que l'arc entre deux nœuds est court — le rapport de la loi de l'anneau à celle de la lame droite, \(\frac{n^2-1}{n\sqrt{n^2+1}}\), vaut \(0{,}67\) ; \(0{,}84\) ; \(0{,}91\) pour \(n = 2, 3, 4\) et tend vers 1 ; et l'anneau n'a qu'un nombre pair de nœuds.

Ses expériences sur le verre (N^o 25). Pour écarter l'élasticité variable du métal plié, elle fait tailler dans le verre des lames courbes. Des fourches (deux branches droites réunies par un arc) vibrent comme la lame droite libre, les nœuds étant plus espacés vers le milieu : le contraire de la fourche de fer de Chladni, qu'elle explique par l'élasticité variable.³¹⁴ Un anneau de verre de 83 mm de diamètre et 9 mm de large donne trois figures : trois nœuds inégaux, si 1 ; quatre nœuds égaux, mi 2 ; six nœuds égaux, fa\(^{\sharp}\)3. Elle rapporte les deux dernières aux extrémités appuyées, de sons \(16 : 36\), soit \(\frac94\), une octave et un ton, « précisément comme l'indique l'expérience » ; la première aux extrémités fixées, deux nœuds intérieurs de la lame encastrée ayant le nombre \(\frac{49}{4}\), et \(16 : \frac{49}{4} = \frac{64}{49}\) (462 cents) étant voisin de la quarte (498 cents) de si 1 à mi 2.³¹⁵ L'arithmétique est juste ; mais la loi actuelle de l'anneau met entre quatre et six nœuds un rapport voisin de \(2{,}8\) (1800 cents), non \(\frac94\) (1404 cents). Tel que la transcription le lit, son anneau de 9 mm contredirait cette loi d'une tierce majeure environ ; la lecture ne tranche pas entre une note mal lue et un autre mode de vibration. Elle conclut, « conformément à la doctrine d'Euler », que la courbure n'influe pas sur les manières de vibrer, que les écarts de Chladni viennent de la variation de l'élasticité, et qu'Euler a eu tort d'exclure pour l'anneau les extrémités fixées ; elle n'a pas vu de mode qu'elle puisse rapporter aux extrémités libres, sans l'exclure pour autant.³¹⁶ La première conclusion est fausse, pour la raison dite plus haut.

Les anneaux de 20 mm de large ne donnent pas le cas des extrémités fixées, mais bien les deux figures des extrémités appuyées, et l'un d'eux une figure à deux nœuds, que Chladni n'a pas observée sur l'anneau métallique.³¹⁷ Dans la théorie de l'anneau mince, deux nœuds (\(n = 1\)) sont un mouvement rigide ; une figure à deux nœuds sur un anneau aussi large relève de la plaque annulaire. Enfin une plaque circulaire et un anneau de même diamètre, percé d'un trou de 11 mm, donnent les mêmes figures et les mêmes sons : quatre diamètres, ut\(^{\sharp}\)2 ; six, mi 3 — une octave et une tierce mineure (1500 cents), un demi-ton de plus que \(\frac94\), écart qu'elle juge suffisamment petit, d'autres essais ayant donné l'intervalle juste ou trop grand d'un ton. Ici la plaque de Kirchhoff donne 1458 cents entre deux et trois diamètres : l'observation est juste, et plus près de la théorie actuelle que de la sienne.³¹⁸

La conclusion du mémoire. De ce que l'équation de l'anneau \(z = \dots\,\mathcal{A}\sin(\beta\varphi+B)\), qui est celle de la corde, convient aussi à la plaque circulaire, elle étend la même forme, en négligeant la variation du facteur radial, à la lame droite, au tambour circulaire et à la cloche hémisphérique, et en conclut que dans ceux de ces corps qui sont élastiques les sons sont comme \(\beta^2\) ; Chladni trouve en effet, pour les plaques circulaires à diamètres seuls, les carrés de 2, 3, 4, 5, 6 (table p. 185) et, pour la cloche d'harmonica, des sons comme les carrés de la même suite.³¹⁹ Pour la plaque, la loi observée est approximativement celle de la théorie actuelle, on l'a vu, mais elle ne découle pas de son équation, où le facteur radial ne peut être négligé ; pour l'anneau, elle est fausse ; pour la cloche, le feuillet ne la démontre pas.

Le mémoire finit sur ces mots : « Je termine enfin ce long mémoire dans lequel je n'ai pourtant examiné qu'une partie des différens cas que l'expérience présente et des cas plus nombreux encore que la théorie montre possibles », et le vœu d'avoir rempli « au gré de mes juges les conditions du programme proposé par la classe ».³²⁰

Une note sur Fourier, Poisson et Navier

575–575Reliée entre les pages (149) et (150), sans interrompre la phrase, une note d'un autre papier, à la première personne, sans doute plus tardive que le mémoire : sa santé l'a empêchée d'étudier « le mémoire que Monsieur fourier a eu la complaisance de me prêter » ; elle veut pourtant lui communiquer une observation. Dans le « N.o d'aout, le dernier qui ait paru », Poisson répond à Navier que « l'hypothese n'est point admissible » ; il semble ne connaître « cette hypothese que j'ai donné en 1811 » que par la citation de Navier. Or Poisson tient l'hypothèse pour inapplicable à la plaque circulaire dont le contour est soumis à des forces normales ; elle a donc cherché, au § VIII de son mémoire, p. 189, où il traite de la plaque circulaire, une équation qu'on ne pourrait déduire de l'hypothèse, et trouve p. 190 \(\Delta z = \varphi\) et p. 191 \(\Delta\varphi = \varphi_{rr} + \frac1r\varphi_r\) : ces deux équations composent l'opérateur \(\Delta\Delta\), celui même de l'équation que son hypothèse donne.³²¹ La note s'arrête sur ces deux équations, sans en tirer la conclusion par écrit.

Une seconde rédaction de la comparaison avec Chladni

600–613Les pages (61) à (72), de sa main régulière de mise au net, reprennent presque mot pour mot les pages (76) à (93) du long mémoire (vues 486 à 503) : la fin de l'intégrale (G), les intégrales (H) et (I), les figures 79 b et 86, le N^o 16 et sa difficulté.³²² Ce n'est pas une simple copie : ces pages portent des retraits et des corrections qui leur sont propres.

— Les intégrales (H) et (I) sont désignées par deux petites croix, « (++) » ; deux alinéas sur (H) sont traversés d'un long trait oblique, et l'alinéa sur (I) est récrit (« renferme une série qui ne peut jamais se terminer ») ; une note marginale ajoute que les nombres \((m^2+n^2)(\Pi-1)(\Pi+\Pi'-2)\) se réduisent, pour des valeurs convenables de \(\Pi\), \(\Pi'\), à la forme de ceux des intégrales périodiques.³²³

— Les passages sur les figures 79 b et 86 (vues 601, 602, 605, 606), et sur 79 dans la comparaison à 68 (vue 607), sont traversés de longs traits obliques, et les lignes correspondantes des tableaux sont barrées (vues 604, 606) : ici elle retire ces figures, que la première rédaction garde.³²⁴

— Vue 607 : « de deux octaves et de deux tons » pour 87–88, où la vue 496 dit « d'une octave » ; seul « deux octaves » est juste. Les qualificatifs des notes de Chladni diffèrent : « + grave » ici (vues 606, 608) là où la première rédaction écrit « \(-\) aigu » (vues 495, 498).

— Vue 609, pour \(5|4\) : « \(>\) que \(\frac{128}{25}\) ; et en effet […] \(\frac{41}{8}\) est \(>\) que \(\frac{128}{25}\) ; mais d'une quantité absolument inappréciable a l'oreille » — exact (\(1025/1024\), 2 cents), et c'est mot pour mot le premier état, barré, de la vue 499. Vue 613, au contraire, la figure 79 « se rapproche […] d'avantage du rapport donné par [la] théorie puisqu'il n'en differe plus que de l'intervalle d'un ton et \(\frac12\) ton », correction écrite sur un texte barré qui est celui de la vue 502 (79 b et 86, ut 6 contre ut 5, 36 contre 18).

Chaque rédaction porte ainsi une correction dont le premier état est dans l'autre. Ces feuillets ne disent pas laquelle des deux est la première, et cette lecture ne le décide pas.³²⁵

Le mouvement de la chaleur dans la sphère, le cône et le cylindre

549–716Une quarantaine de pages du volume ne parlent ni d'élasticité ni de nombres, mais de la propagation de la chaleur dans les solides. Elles sont reliées en trois endroits : une feuille isolée au milieu du long mémoire sur les surfaces élastiques (vue 549), une suite continue de feuillets de calcul et de rédaction (vues 630 à 701), et deux feuillets pris entre les notes d'arithmétique, juste après le manuscrit C (vues 712 à 716).³²⁶ Le problème est celui que Fourier avait résolu pour la sphère dont chaque couche concentrique est également échauffée, et pour le cylindre dont chaque couche cylindrique l'est aussi : elle le reprend lorsque le solide a été « échauffé d'une manière entièrement arbitraire », c'est-à-dire lorsque la température dépend aussi des angles. Elle cite Fourier par pages (110, 141, 277, 348) et par articles (104, 111, 119, 120, 245, 306 à 308), nomme Laplace et Poisson, et compare sa manière à celle de Poisson.

Les notations sont celles de la théorie qu'elle cite, et les siennes : \(v\) la température (comptée à partir de celle de l'air), \(t\) le temps, \(K\) la conductibilité intérieure, \(CD\) le produit de la capacité de chaleur et de la densité — elle dit elle-même que \(CD\,r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr\) « exprime combien il faut de chaleur pour élever de 0 à 1 la molécule » —, \(h\) la conductibilité extérieure, \(k = K/CD\).³²⁷ Dans tout solide homogène, l'équation du mouvement varié de la chaleur est \[ \frac{\partial v}{\partial t} = k\,\Delta v, \qquad \Delta v = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}, \] et à la surface, où la chaleur passe dans l'air, la condition est \[ \frac{\partial v}{\partial n} + \frac{h}{K}\,v = 0 , \] \(n\) étant la normale extérieure.³²⁸ Tout le travail de ces feuillets consiste à écrire \(\Delta\) dans des coordonnées adaptées à la figure — sphériques \(r, \theta, \varphi\) pour la sphère et le cône, polaires \(r, \varphi\) pour le cylindre —, à retrouver la même équation par le bilan de chaleur d'une molécule (« en traitant la question d'une manière spéciale », comme Fourier), puis à intégrer. L'angle \(\theta\) est compté depuis le pôle (elle le dit « l'arc compris entre le pôle et un point quelconque de la sphère », vue 652), \(\varphi\) est la longitude ; on note \[ \Delta_S v = \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\Big(\sin\theta\, \frac{\partial v}{\partial\theta}\Big) + \frac{1}{\sin^2\theta}\, \frac{\partial^2 v}{\partial\varphi^2} \] la partie angulaire du laplacien.³²⁹

Un brouillon sur le cylindre, égaré dans le mémoire sur les plaques

549–549La feuille de la vue 549, reliée entre deux pages du long mémoire sur les surfaces élastiques, est un brouillon de l'article 3 de la pièce sur le cylindre (vues 676 à 678) : mêmes phrases, dans le même ordre, avec plus de ratures.³³⁰ Après avoir « effacé ce qui se détruit », la condition de surface se réduit à \[ \frac{\partial v}{\partial r} + \frac{h}{K}\,v = 0 \qquad \text{(D)} ; \] on doit parvenir aux équations (B) et (D) « en traitant la question d'une manière spéciale » ; le mouvement de la chaleur a lieu à la fois dans deux directions ; le flux entre les couches de rayons \(r\) et \(r + dr\) fournit dans l'équation (C) les deux termes \(\frac{K}{CD}\big(\frac{\partial^2 v}{\partial r^2} + \frac1r \frac{\partial v}{\partial r}\big)\), et le flux entre les sections placées aux distances \(r\varphi\) et \(r\varphi + r\,d\varphi\) fournit le troisième, \(\frac{K}{CD\,r^2}\frac{\partial^2 v}{\partial\varphi^2}\).³³¹ Ces termes sont exacts. Elle renvoie pour les deux flux à « l'analyse employée N^o 19 » et « N^o 14 » ; la rédaction des vues 676 à 678 dit « N^o 119 (T. de la chaleur) » et « N^o 104 ».³³²

Calculs : le cône, la sphère, le cylindre, l'anneau

630–646Ces feuillets de calcul ne sont pas reliés dans l'ordre de sa pagination, et la lecture ne le rétablit que là où une phrase passe d'une page à l'autre.³³³

Le cône en variable \(\sin\theta\) (vue 630). Sous le titre « cône », elle pose \(x = r\sin\theta\cos\varphi\), \(y = r\sin\theta\sin\varphi\), \(z = r\cos\theta\), et annonce qu'il faut différentier « non par rapport à l'arc \(\theta\), mais par rapport au sinus de cet angle », parce que l'arc \(\theta\) « qui mesure la calotte sphérique est remplacé ici par \(\sin\theta\) qui mesure la base du cône ».³³⁴ Avec \(\sigma = \sin\theta\), ses dérivées \(\frac{\partial\sigma}{\partial x} = \frac{\cos^2\theta\cos\varphi}{r}\), \(\frac{\partial\sigma}{\partial y} = \frac{\cos^2\theta\sin\varphi}{r}\), \(\frac{\partial\sigma}{\partial z} = -\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}\) sont exactes, et le développement de \(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\) l'est aussi, terme à terme.³³⁵ Le calcul complet, repris au net aux vues 712 et 716, aboutit à \[ \Delta v = \frac{\partial^2 v}{\partial r^2} + \frac2r\frac{\partial v}{\partial r} + \frac{\cos^2\theta}{r^2}\frac{\partial^2 v}{\partial\sigma^2} + \frac{1}{r^2}\Big(\frac{\cos^2\theta}{\sin\theta} - \sin\theta\Big) \frac{\partial v}{\partial\sigma} + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 v}{\partial\varphi^2}, \] qui est exact. Ce n'est pas une autre équation que celle de la sphère : c'est le même laplacien, où l'on a pris \(\sigma = \sin\theta\) pour variable au lieu de \(\theta\) (avec \(\partial_\theta = \cos\theta\,\partial_\sigma\)). L'équation intérieure de la chaleur est la même dans tout solide ; ce qui distingue la sphère, le cône terminé par une calotte et le cône terminé par une base plane, ce sont la surface et la condition qu'on y écrit, non l'équation.

Le cône opposé (vue 632). Les plans menés par le sommet perpendiculairement aux côtés du cône enveloppent un second cône, « opposé » ; si \(A\) est l'angle du côté avec l'axe et \(A'\) celui du côté du cône opposé, elle note en marge « \(A + A' = \frac\pi2\) », ce qui est exact : le cône polaire d'un cône de révolution de demi-angle \(A\) a pour demi-angle \(\frac\pi2 - A\).³³⁶

Le cylindre, l'anneau, la plaque (vue 635). Dans le cylindre dont la base est dans le plan des \(yz\), l'élément d'arc est celui du cercle de base ; « pour avoir le cas de l'anneau il suffit donc de faire \(x\) constant dans l'équation du cylindre ». Dans le cône, l'élément d'arc du plan des \(yz\) est incliné sur la base ; à la limite du cône « infiniment surbaissé », qui est la plaque circulaire, il devient l'élément du rayon.³³⁷ Supprimer la variation le long de l'axe donne l'équation de la plaque ; l'anneau mince de Fourier (l'« armille ») demande en outre qu'on supprime la variation le long du rayon, ce qu'elle dit à la vue 691 (« le cas de l'armille correspond à celui où on ferait le rayon constant »). Faire \(x\) constant seul ne suffit pas.

La molécule de la sphère et celle du cône (vues 639, 636, 637). La molécule de la sphère a pour côtés \(dr\), \(r\sin\theta\,d\varphi\), \(r\,d\theta\), pour faces \(r^2\sin\theta\,d\varphi\,d\theta\), \(r\sin\theta\,d\varphi\,dr\), \(r\,d\theta\,dr\) ; en retranchant la chaleur qui entre par trois faces de celle qui sort par les faces opposées, elle obtient \[ \frac{\partial v}{\partial t} = k\Big(\frac{\partial^2 v}{\partial r^2} + \frac2r\frac{\partial v}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 v}{\partial\theta^2} + \frac{\cos\theta}{r^2\sin\theta}\frac{\partial v}{\partial\theta} + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 v}{\partial\varphi^2}\Big), \] qui est l'équation exacte.³³⁸ Puis, « au lieu de considérer le solide conique qui s'appuie sur la calotte sphérique », elle veut « s'occuper du simple cône » dont la base est plane : sa molécule est comprise entre deux plans et non entre deux calottes, et elle lui donne pour côtés \(dr\), \(r\sin\theta\,d\varphi\), \(r\cos\theta\,d\theta\), le flux à travers la face \(r\sin\theta\,d\varphi\,dr\) étant multiplié par \(\cos\theta\) « parce que la direction » du flux « fait l'angle \(\theta\) avec la perpendiculaire au plan de cette face ». Le bilan donne \[ \frac{\partial v}{\partial t} = k\Big(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\Big(r^2\frac{\partial v}{\partial r}\Big) + \frac{1}{r^2\sin\theta\cos\theta} \frac{\partial}{\partial\theta}\Big(\sin\theta\cos\theta\,\frac{\partial v}{\partial\sigma}\Big) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 v}{\partial\varphi^2}\Big), \] dont le terme du milieu vaut \(\frac{\cos\theta}{r^2}\frac{\partial^2 v}{\partial\sigma^2} + \frac{1}{r^2}\big(\frac{\cos\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\big)\frac{\partial v}{\partial\sigma}\).³³⁹ Elle constate que cette équation diffère de celle qu'elle a « trouvée d'une autre manière » (le changement de variable de la vue 630) par un facteur \(\cos\theta\) sur les deux termes en \(\sigma\), et elle l'explique : la molécule traversée obliquement n'a pas la « solidité » de la molécule traversée perpendiculairement, les deux sont « \(::\cos\theta : 1\) », et en corrigeant de ce rapport « les équations seront identiques ». La conclusion est juste, et la raison peut se dire plus simplement : le côté de la molécule le long du méridien est \(r\,d\theta = r\,d\sigma/\cos\theta\), non \(r\cos\theta\,d\theta\), et son volume est \(r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi\) ; avec ce volume, le bilan redonne exactement l'équation de la vue 630. Sa correction d'« obliquité » rétablit ce volume ; il n'y a pas, pour le cône, d'équation intérieure différente de celle de la sphère.³⁴⁰

« Recherches sur les cones » (vue 640). La page s'ouvre sur \(\big(\frac{\partial z}{\partial x}\big)^2\) et \(\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\) en \(\theta, \varphi\), le calcul même de la feuille sur la courbure de la sphère reliée plus loin (vue 650).³⁴¹ Sous le titre souligné, elle cherche la face de l'élément du cône parallèle à la base : une portion de secteur entre deux cercles concentriques de rayons \(r\sin\theta\) et \(r'\sin(\theta - d\theta)\), avec \(r' = r\cos\theta/\cos(\theta - d\theta)\) pour rester dans le même plan. La largeur est \(r\,d\theta/\cos\theta\), exacte au premier ordre ; l'aire est donc \(r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi/\cos\theta\).³⁴² La page s'arrête sur l'énumération des autres faces, avant toute équation.

Un axe incliné (vues 643, 644). Le petit feuillet 315 change de variables dans \(v\) avec \(x = r\sin A\cot\theta\cos\varphi\), \(y = r\sin A\cot\theta\sin\varphi\), \(dz = \sin A\,dr\) : \(z\) est proportionnel à \(r\), et \(\cot\theta\) est le rapport de la distance à l'axe à la hauteur \(z\) ; ce sont des coordonnées adaptées à des sections planes parallèles à la base. Ses dérivées \(\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{1}{\sin A}\), \(\frac{\partial\theta}{\partial x} = -\frac{\cos\varphi\sin^2\theta}{r\sin A}\), \(\frac{\partial\theta}{\partial z} = \frac{\sin\theta\cos\theta}{r\sin A}\) sont exactes ; celles de \(\varphi\) ont le signe opposé à celui que donnent les formules de \(x\) et \(y\), parce que son \(dx\) porte \(+r\sin A\cot\theta\sin\varphi \,d\varphi\) là où il faut \(-\) (et inversement pour \(dy\)).³⁴³ Le feuillet 316 (vue 644) poursuit avec un angle \(\theta'\) tel que \(\sin\theta' = \cos\theta\) et un rayon \(r'\), une « hypothèse » \(\frac{1}{\cos^2\theta}\) entourée d'un trait, des réductions partielles, et s'arrête sur « Il faut encore ajouter à … » et une ligne barrée : aucune équation n'est menée à son terme.³⁴⁴

Le cylindre échauffé arbitrairement, avec son axe (vue 645). Au dos du feuillet 316, sous le titre « cylindre » : si le cylindre a été « échauffé arbitrairement », on ne peut plus supposer \(\frac{\partial^2 v}{\partial z^2} = 0\), et l'équation pour \(u\) (avec \(v = e^{-mt}u\)) devient \[ \frac{m}{k}\,u + \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac1r\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\varphi^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0, \] ce qui est exact. Elle propose la solution particulière \(u = \sin\delta\varphi \;r^\beta s\,\sin\frac{\nu z}{\rho}\) avec \(\beta = \sqrt{\delta^2 + \nu^2/\rho^2}\). Ce choix ne convient pas : en substituant, le facteur \(\sin \frac{\nu z}{\rho}\) ne modifie pas l'ordre de la fonction du rayon mais la constante, et l'on a \[ u = \sin\delta\varphi\;\sin\frac{\nu z}{\rho}\;r^{\delta}\,s(r), \] où \(s\) est la série de la pièce sur le cylindre (voir plus bas) d'indice \(n = 2\delta + 1\), avec \(g = \frac{m}{k} - \frac{\nu^2}{\rho^2}\) au lieu de \(g = \frac mk\).³⁴⁵

La molécule de la sphère, au net (vue 646). « On parviendra à la même équation » par la molécule comprise entre deux cônes de sommet au centre, deux plans méridiens et deux calottes : côtés \(r\,d\theta\), \(r\sin\theta\,d\varphi\), \(dr\), faces \(r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\), \(r\,d\theta\,dr\), \(r\sin\theta\,d\varphi\,dr\), volume \(r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr\) ; la chaleur accumulée pendant \(dt\) est \(\frac{K}{r^2}\big(\partial_r(r^2\partial_r v) + \frac{1}{\sin\theta} \partial_\theta(\sin\theta\,\partial_\theta v) + \frac{1}{\sin^2\theta} \partial_\varphi^2 v\big)\,r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr\,dt\), et en divisant par \(CD\) fois le volume on a l'accroissement de température. Tout est exact ; le second membre de « \(\frac{dv}{dt} =\) » est laissé en blanc.³⁴⁶

« … dans une sphère solide échauffée d'une manière entièrement arbitraire »

652–670La pièce qui porte ce titre se lit dans l'ordre des vues 652, 654, 660, puis 662 à 670 ; une « Note » (vue 656) et un feuillet blanc (vue 658) sont reliés entre ses deuxième et troisième pages.³⁴⁷

L'équation (A) (vues 652, 654, 660). Pour appliquer l'équation générale « au cas d'une figure sphérique », elle prend le centre pour origine et, « en adoptant les dénominations qui appartiennent à la théorie de la terre », l'équateur pour plan des \(xy\), \(\theta\) l'arc du pôle au point, \(\varphi\) la longitude comptée depuis le point du parallèle où \(x\) est maximal.³⁴⁸ Elle tire de \(dx, dy, dz\) les combinaisons \(dr\), \(r\,d\theta\), \(r\sin\theta\,d\varphi\), puis les neuf dérivées de \(r, \theta, \varphi\) par rapport à \(x, y, z\), puis \(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\), \(\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\), \(\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\) et leur somme ; tout est exact, et l'équation générale devient \[ \frac{\partial v}{\partial t} = k\Big(\frac{\partial^2 v}{\partial r^2} + \frac2r\frac{\partial v}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 v}{\partial\theta^2} + \frac{\cos\theta}{r^2\sin\theta}\frac{\partial v}{\partial\theta} + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 v}{\partial\varphi^2}\Big) \qquad \text{(A)}, \] c'est-à-dire \(\partial_t v = k\big(\partial_r^2 v + \frac2r\partial_r v + \frac{1}{r^2}\Delta_S v\big)\), la forme actuelle du laplacien en coordonnées sphériques.³⁴⁹

La condition de surface (vues 662, 663). Dans l'équation (B) de la surface, la sphère donne \(m = x\), \(n = y\), \(p = z\), \(q = r\), et, avec les valeurs de \(\frac{\partial v}{\partial x}\), \(\frac{\partial v}{\partial y}\), \(\frac{\partial v}{\partial z}\) « trouvées page 2 », tout se réduit à \(\frac{\partial v}{\partial r} + \frac hK v = 0\) : la même forme que dans le cas d'une chaleur uniformément répandue dans chaque couche, à cette différence près que \(v\) varie d'un point à l'autre de la surface. Elle en donne la raison : à la surface, « le mouvement ne peut s'exécuter que dans une seule direction », que l'intérieur soit traité à une, deux ou trois dimensions. C'est exact : la condition de Newton ne fait intervenir que la dérivée normale.³⁵⁰

La même équation, « d'une manière spéciale » (vues 663, 664). Comme Fourier à l'article 111 pour la sphère échauffée par couches, elle considère l'élément compris entre deux cônes de sommet au centre (colatitudes \(\theta\) et \(\theta + d\theta\)), deux plans méridiens (\(\varphi\) et \(\varphi + d\varphi\)) et deux sphères (\(r\) et \(r + dr\)), calcule les trois flux et leurs différences, et retrouve une équation « identiquement la même » que (A) : \[ \frac{\partial v}{\partial t} = \frac{K}{r^2 CD}\Big(\frac{\partial}{\partial r}\Big(r^2\frac{\partial v}{\partial r}\Big) + \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta}\Big(\sin\theta\,\frac{\partial v}{\partial\theta}\Big) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 v}{\partial\varphi^2}\Big). \] L'équation est exacte ; l'élément de surface qu'elle écrit en chemin ne l'est pas. Elle donne à l'élément de la sphère perpendiculaire à \(r\) l'aire \(r^2\sin^2\theta\,d\theta\,d\varphi\), et le justifie dans une note : la partie du demi-fuseau comprise entre l'équateur et le parallèle de \(45^\circ\) serait à la surface entière « \(::\frac12 r^2 : r^2\) ». L'élément est \(r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\) ; la zone comprise entre l'équateur et le parallèle de latitude \(45^\circ\) est à l'hémisphère dans le rapport \(\sin 45^\circ \approx 0{,}707\), non \(\frac12\). Le rapport \(\frac12\) est celui des projections de ces surfaces sur le plan de l'équateur : c'est la projection, non la zone, qui suit \(\sin^2\).³⁵¹ L'erreur ne passe pas dans l'équation finale, écrite avec \(\sin\theta\).

L'intégrale de Fourier, multipliée par des coefficients en \(\theta\) et \(\varphi\) (vue 666). Si \(\theta\) et \(\varphi\) sont constants, (A) se réduit à l'équation de Fourier \[ \frac{\partial v}{\partial t} = k\Big(\frac{\partial^2 v}{\partial r^2} + \frac2r\frac{\partial v}{\partial r}\Big) \qquad \text{(A)}', \] dont l'intégrale, qu'elle cite de la page 348 de la théorie de la chaleur, est \[ v = \frac1r\Big(a_1 e^{-kn_1^2 t}\sin n_1 r + a_2 e^{-kn_2^2 t}\sin n_2 r + \cdots\Big), \] les \(n_i\) étant les racines de \(nR\cos nR = \big(1 - \frac{hR}{K}\big)\sin nR\) pour une sphère de rayon \(R\).³⁵² Elle remarque que cette intégrale satisfait encore à la condition de surface si on la multiplie par des coefficients indépendants de \(r\) — c'est exact, la condition ne portant que sur \(\partial_r\) — et propose de chercher des coefficients en \(\theta\) et \(\varphi\) qui satisfassent en même temps aux deux termes angulaires de (A). Le programme ne peut aboutir que dans un cas. Si \(v = w(r,t)\,Y(\theta,\varphi)\), (A) donne \(Y\big(\partial_t w - k(\partial_r^2 w + \frac2r\partial_r w)\big) = \frac{k w}{r^2}\Delta_S Y\) : avec le \(w\) de Fourier, il faut \(\Delta_S Y = 0\). Dans le cas général, \(Y\) est une harmonique sphérique de degré \(l\), \(\Delta_S Y = -l(l+1)Y\), et la fonction du rayon change : \(\frac{\sin nr}{r}\) est remplacée par la fonction de Bessel sphérique \(j_l(nr)\), et l'équation des \(n\) par \(nR\,j_l'(nR) + \frac{hR}{K}\,j_l(nR) = 0\).³⁵³ L'intégrale de Fourier, multipliée par des coefficients angulaires, ne résout donc pas (A), sauf si ces coefficients annulent \(\Delta_S\).

« Un cas très remarquable » (vues 668, 670). C'est précisément ce cas qu'elle isole : celui où les températures d'une même couche diffèrent d'un point à l'autre, mais où chacune ne varie qu'« à raison du mouvement de la chaleur dans le sens des \(r\) ». Il faut pour cela que le coefficient de \(t\) dans l'exposant soit indépendant des coefficients en \(\theta\) et \(\varphi\), et il suffit que \[ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\Big(\sin\theta\, \frac{\partial v}{\partial\theta}\Big) + \frac{1}{\sin^2\theta}\, \frac{\partial^2 v}{\partial\varphi^2} = 0 , \] car (A) se réduit alors à (A)\('\). Son exemple est \(v = \frac1r\big(a_1 e^{-kn_1^2t}\sin n_1 r + \cdots\big)\cot\theta\sin\varphi\), et elle vérifie que \(\cot\theta\sin\varphi\) annule les deux termes angulaires ; la vérification est juste.³⁵⁴ Elle en donne le sens physique : la chaleur qu'une molécule reçoit de sa voisine sur le même parallèle est « exactement compensée par le froid » qui lui vient de sa voisine sur le même méridien. C'est bien ce que dit \(\Delta_S v = 0\), localement.

Mais la fonction \(\cot\theta\sin\varphi\) est infinie sur l'axe, en \(\theta = 0\) et \(\theta = \pi\) : en coordonnées cartésiennes, c'est \(\frac{yz}{x^2 + y^2}\). Une température d'une sphère pleine doit rester finie et régulière dans tout le solide, et la seule fonction régulière sur toute la sphère qui annule \(\Delta_S\) est la constante. Le « cas très remarquable », pour une température admissible, se réduit donc au cas de Fourier, \(v\) ne dépendant que de \(r\) ; la solution de la vue 670 est une solution de (A) hors de l'axe, non une température de la sphère entière.³⁵⁵ À la vue 698, elle écrira elle-même que l'annulation des termes angulaires exprime « la constance des températures » d'une couche, ce qui, énoncé correctement, est le fait vrai (voir la dernière sous-section). La page 670 s'arrête, sous une tache d'eau, sur la définition de trois températures \(v\), \(v'\), \(v''\) de molécules voisines.³⁵⁶

La Note : le cylindre comme limite de la sphère (vue 656). Dans (A), elle fait \(r\) infini, \(\theta\) infiniment petit, et pose \(r\sin\theta = s\), quantité finie ; le terme \(\frac2r\frac{\partial v}{\partial r}\) disparaît, et il reste \[ \frac{\partial v}{\partial t} = k\Big(\frac{\partial^2 v}{\partial r^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial s^2} + \frac1s\frac{\partial v}{\partial s} + \frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 v}{\partial\varphi^2}\Big), \] « l'équation du cylindre », \(r\) tenant lieu de la coordonnée le long de l'axe.³⁵⁷ Le passage à la limite est juste, et il peut se dire exactement : si l'on prend pour variables \(r\), \(s = r\sin\theta\) et \(\varphi\), le laplacien s'écrit, sans approximation, \[ \Delta v = \frac{\partial^2 v}{\partial r^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial s^2} + \frac1s\frac{\partial v}{\partial s} + \frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 v}{\partial\varphi^2} + \frac{2s}{r}\frac{\partial^2 v}{\partial r\,\partial s} + \frac2r\frac{\partial v}{\partial r}, \] et les deux derniers termes tendent vers zéro quand \(r\) croît à \(s\) fixé. Elle juge cette manière « plus simple que celle employée par M^r Poisson car je ne vois pas la nécessité de mettre \(r - a\) à la place de \(r\) », sinon « pour mieux faire sentir » que les ordonnées ont pour origine le point où \(x = 0\) ; cette substitution, dit-elle, « peut avoir lieu après coup ». C'est exact quant à la forme de l'équation (\(\partial_r = \partial_x\) si \(r = a + x\)) ; la substitution sert à donner un sens aux points situés à distance finie, ce qu'elle dit elle-même. Elle termine : on s'étonnerait de voir le cylindre contenu dans la sphère si l'on ne voyait que le solide conique qui s'appuie sur la calotte « devient un cylindre » quand le rayon est infini.³⁵⁸

« … dans un cylindre solide » : brouillon et copie

672–695La pièce existe en deux états : un brouillon complet de dix pages, articles 1 à 6 (vues 672 à 691), et une copie posée dont le volume ne garde que les pages 1–2 et 7–8 (vues 692 à 695) ; ses pages 3 à 6 ne sont pas dans le volume.³⁵⁹ Le problème est celui du cylindre infini « dont toutes les tranches parallèles à la base » ont été « échauffées d'une manière entièrement arbitraire, mais semblable pour chacune d'elles », puis exposé à un courant d'air plus froid.

Les équations (A) à (D) (articles 1 à 3, vues 672 à 678). Les tranches étant échauffées de même, la chaleur ne se meut pas le long de l'axe, \(\frac{\partial^2 v}{\partial z^2} = 0\), et l'équation se réduit à \(\partial_t v = k(\partial_x^2 v + \partial_y^2 v)\), (A), avec la condition de surface (B). En coordonnées polaires \(x = r\cos\varphi\), \(y = r\sin\varphi\), elle calcule les dérivées et trouve \[ \frac{\partial v}{\partial t} = k\Big(\frac{\partial^2 v}{\partial r^2} + \frac1r\frac{\partial v}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 v}{\partial\varphi^2}\Big) \quad \text{(C)}, \qquad \frac{\partial v}{\partial r} + \frac hK v = 0 \ \text{pour}\ r = R \quad \text{(D)}, \] toutes deux exactes.³⁶⁰ Elle les retrouve « d'une manière spéciale », par « l'analyse employée N^o 119 (T. de la chaleur) » pour les deux termes en \(r\) et « N^o 104 » pour le troisième, et note que (D) est « absolument la même » que celle du N^o 120 pour le cylindre uniformément échauffé, à ceci près que \(v\) varie ici d'un point à l'autre de la surface.³⁶¹

L'intégration (article 4, vues 678 à 682). Elle pose \(v = e^{-mt}u\), d'où \(\frac mk u + \partial_r^2 u + \frac1r\partial_r u + \frac{1}{r^2} \partial_\varphi^2 u = 0\), puis \(u = \sin\beta\varphi\;r^\beta s\), « \(\beta\) est un nombre entier et \(s\) une fonction de \(r\) seule », d'où, avec \(g = \frac mk\) et \(n = 2\beta + 1\), \[\begin{gather*} \frac{d^2 s}{dr^2} + \frac{n}{r}\frac{ds}{dr} + g\,s = 0, \\ s = 1 - \frac{g r^2}{2(n+1)} + \frac{g^2 r^4}{2\cdot4\,(n+1)(n+3)} - \frac{g^3 r^6}{2\cdot4\cdot6\,(n+1)(n+3)(n+5)} + \cdots \end{gather*}\] La série est exacte, et elle vérifie qu'elle satisfait à l'équation en additionnant terme à terme.³⁶² C'est, au facteur près, une fonction de Bessel : \(s = \beta!\,\big(\frac{2}{\sqrt g}\big)^{\beta} r^{-\beta} J_\beta(\sqrt g\,r)\), de sorte que \(u = \text{const}\cdot J_\beta(\sqrt g\,r)\sin\beta\varphi\) ; on peut mettre \(\cos\beta\varphi\) au lieu de \(\sin\beta\varphi\), et \(e^{-gkt}(A\sin \beta\varphi + B\cos\beta\varphi)\,r^\beta s\) est une valeur particulière de \(v\).³⁶³

La condition (D) pour \(r = R\) donne l'« équation déterminée » en \(g\). Le feuillet l'écrit \[\begin{align*} & b\Big(1 - \frac{gR^2}{2(n+1)} + \frac{g^2R^4}{2\cdot4\,(n+1)(n+3)} - \cdots\Big) \\ & \qquad = \frac{2gR}{2(n+1)} - \frac{4g^2R^3}{2\cdot4\,(n+1)(n+3)} + \frac{6g^3R^5}{2\cdot4\cdot6\,(n+1)(n+3)(n+5)} - \cdots, \end{align*}\] c'est-à-dire \(b\,s(R) + s'(R) = 0\). Pour \(v = r^\beta s\), la condition (D) s'écrit \(s'(R) + \big(\frac hK + \frac\beta R\big)s(R) = 0\) : il faut donc \(b = \frac hK + \frac\beta R\), ce que ces pages ne disent pas. En termes de fonctions de Bessel, avec \(x = \sqrt g\,R\) et \(H = \frac{hR}{K}\), l'équation est \(x J_\beta'(x) + H J_\beta(x) = 0\).³⁶⁴ Elle affirme, « en se conformant à ce qui est démontré N^o 306 et suivants », que cette équation a une infinité de racines réelles, pour chaque ordre \(\beta\) ; c'est vrai (pour \(h > 0\) les racines \(g\) sont réelles et positives).³⁶⁵

Elle compose enfin l'intégrale générale en additionnant les solutions particulières : \[ v = B^0\big(a_1e^{-g_1kt}s_1 + a_2e^{-g_2kt}s_2 + \cdots\big) + (A'\sin\varphi + B'\cos\varphi)\big(a'_1e^{-g'_1kt}s'_1 + \cdots\big) + \cdots \] jusqu'à l'ordre \(\beta\), les exposants \('\), \(2\), \(\dots\), \(\beta\) étant des indices d'ordre et non des puissances.³⁶⁶ Sous cette forme, l'intégrale n'est pas la plus générale : elle impose le même rapport \(A^\beta : B^\beta\) à toutes les racines d'un même ordre. L'intégrale générale est \[ v = \sum_{\beta \geq 0}\ \sum_{i \geq 1}\big(A_{\beta,i}\sin\beta\varphi + B_{\beta,i}\cos\beta\varphi\big)\,e^{-g_{\beta,i}kt}\,J_\beta\big(\sqrt{g_{\beta,i}}\, r\big), \] avec deux constantes indépendantes par racine, que l'état initial détermine par l'orthogonalité des fonctions propres ; ce calcul des coefficients n'est pas sur ces feuillets. Elle dit pourtant que son intégrale « servira à résoudre dans toute son étendue la question proposée » : c'est trop dire.³⁶⁷

La réalité des racines (article 5, vues 684, 686). Elle pose \(\theta = \frac{gR^2}{2(n+1)}\) (ici \(\theta\) n'est plus un angle), et la série devient \(y = 1 - \theta + \frac{(n+1)^2\theta^2}{1\cdot2\,(n+1)(n+3)} - \cdots\), qui satisfait à \[ y + \frac{dy}{d\theta} + \frac{2\theta}{n+1}\frac{d^2y}{d\theta^2} = 0, \qquad \frac{d^iy}{d\theta^i} + \frac{n+2i+1}{n+1}\frac{d^{i+1}y}{d\theta^{i+1}} + \frac{2\theta}{n+1}\frac{d^{i+2}y}{d\theta^{i+2}} = 0 ; \] ces équations sont exactes.³⁶⁸ Puis, « en appliquant ici les remarques qui font l'objet de l'art. 308 », elle conclut : là où \(y^{(i+1)}\) s'annule pour \(\theta > 0\), \(y^{(i)}\) et \(y^{(i+2)}\) ont des signes opposés, « et on en conclura que les différentes valeurs de \(g\) … sont toutes réelles ». Ce qui est écrit est vrai et c'est le pas essentiel du raisonnement qu'elle emprunte ; tel quel, il ne constitue pas une démonstration : il faudrait en tirer le compte des racines réelles de \(y\), puis de la combinaison \(b\,s + s'\), qui n'est pas \(y\).³⁶⁹

L'ordre des racines, et l'état final (article 6, vues 686 à 691). Le facteur \(A^\beta\sin\beta\varphi + B^\beta\cos\beta\varphi\) est « dû à la différence de température entre les divers points d'une même couche ». Elle envisage « \(\beta\) infini, ou nul » comme « deux manières différentes de présenter le même état » ; la lecture ne trouve pas de contenu mathématique précis à ce passage, \(\beta\) étant un entier et chaque ordre figurant dans la somme.³⁷⁰ Elle en tire que « plus le nombre \(\beta\) est grand, plus aussi les différentes valeurs de \(g^\beta\) doivent être grandes » ; la conclusion est vraie (à rang égal, les racines croissent avec l'ordre), la raison donnée — sinon \(\beta\) infini réduirait \(s\) à l'unité — n'en est pas une preuve. Pour \(H = 1\), par exemple, les premières racines \(x = \sqrt g\,R\) sont \(1{,}256\) (ordre 0), \(2{,}405\) (ordre 1), \(3{,}518\) (ordre 2), \(4{,}613\) (ordre 3).

Puis elle suppose (« si on admet ») que toutes les racines d'un ordre sont plus grandes que celles de l'ordre précédent et plus petites que celles de l'ordre suivant. Cette hypothèse est fausse : pour \(H = 1\), la deuxième racine d'ordre 0, \(4{,}080\), dépasse la première d'ordre 1 et la première d'ordre 2. Mais la conséquence qu'elle en tire n'en demande qu'une partie, qui est vraie : la plus petite racine est \(g_{0,1}\) (ordre 0), la suivante \(g_{1,1}\) (ordre 1), et toutes les autres sont plus grandes que \(g_{1,1}\).³⁷¹ Pour \(t\) assez grand, il reste donc sensiblement \[ v \approx a\,e^{-g_{0,1}kt}J_0\big(\sqrt{g_{0,1}}\,r\big) + (A'\sin\varphi + B'\cos\varphi)\,e^{-g_{1,1}kt}J_1\big(\sqrt{g_{1,1}}\,r\big), \] les termes négligés décroissant plus vite.³⁷² Ses conséquences sont exactes dans cet état : deux points d'une même couche aux extrémités d'un diamètre ont des facteurs angulaires opposés, et « la demi-somme des températures des points opposés est égale à la température moyenne de la couche » ; le maximum et le minimum sur une couche sont aux deux bouts du diamètre \(\tan\varphi_1 = A'/B'\) ; aux deux points placés à \(\frac\pi2\) de ceux-là, le facteur angulaire est nul, et « le refroidissement s'opère » sur ce rayon « absolument de la même manière que si ce rayon appartenait au cylindre » échauffé uniformément par couches.³⁷³ Elle rapproche ce résultat de l'« armille » de Fourier, « art 245 p 277 de la Théorie de la chaleur » : chaque tranche se comporte comme une plaque ronde « qui serait soustraite au refroidissement dû à l'action de l'air » — sur ses faces, la tranche ne perdant de chaleur que par son bord —, et l'armille est le cas où le rayon est constant. L'analogie est juste : dans l'anneau aussi, l'harmonique d'ordre 1 survit seule, et les points diamétralement opposés ont pour demi-somme la moyenne.³⁷⁴

La copie (vues 692 à 695). Le titre et les articles 1 à 3 sont récrits presque mot pour mot (vues 692, 693), puis les pages 7 et 8 reprennent le texte des vues 686 à 691 depuis « manières différentes de présenter » jusqu'à la fin.³⁷⁵

Sphère, cône et cylindre : le dernier état

696–716Un nouveau titre, « Équations du mouvement de la chaleur dans la sphère, le cône et le cylindre solides échauffés d'une manière entièrement arbitraire », ouvre un brouillon très raturé, paginé 1.³⁷⁶ Elle y dit ce qu'elle cherche. On peut, « comme l'ont fait M^rs de la Place et Poisson », transformer l'équation générale en y mettant « à la place des coordonnées rectangulaires d'autres coordonnées appropriées à la figure du corps » ; des transformations analogues donnent le cône et le cylindre ; mais en suivant ce procédé il serait difficile « d'apercevoir la liaison qui existe entre les trois équations ». Au contraire, en examinant chaque question « d'une manière spéciale », « conformément à la méthode employée par M^r Fourier », « on s'aperçoit aisément que la molécule de la sphère appartient en même temps à un solide conique qui a son sommet au centre de la sphère » et qui est terminé par une calotte. La page s'arrête sur la différence entre cette molécule et celle du cône de même axe.

Ce que ces pages et les précédentes établissent est juste, à condition de le dire ainsi : les trois équations sont une seule, \(\partial_t v = k\,\Delta v\), écrite en trois systèmes de coordonnées ; la sphère et le cône de sommet au centre ont la même équation intérieure et diffèrent par la surface ; le cylindre s'obtient de la sphère par le passage à la limite de la Note (vue 656 et vue 712), et la plaque du cylindre en supprimant le mouvement le long de l'axe. La « liaison » qu'elle cherche est celle des formes d'un même opérateur.

La sphère échauffée uniformément (vue 698). Lorsque chaque couche est à température uniforme, les termes angulaires sont nuls, et « il ne passe aucune quantité de chaleur » par les côtés des quadrilatères que méridiens et parallèles découpent sur une couche. Elle écrit la condition \(\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 v}{\partial\theta^2} + \frac{1}{r^2\sin^2\theta} \frac{\partial^2 v}{\partial\varphi^2} = 0\) et la dit exprimer « la constance des températures des différents quadrilatères ». Il manque le terme \(\frac{\cos\theta}{r^2\sin\theta}\frac{\partial v}{\partial\theta}\) : la condition juste est \(\Delta_S v = 0\), et, pour une température régulière sur toute la couche, elle équivaut bien à la constance de \(v\) sur la couche. C'est ce fait qui écarte l'exemple de la vue 670.³⁷⁷

L'hémisphère en quadrilatères (vue 701). Au dos d'un petit feuillet, elle partage la surface hémisphérique par une infinité de méridiens et de parallèles, note que les quadrilatères d'une zone sont plus grands que ceux de la zone suivante mais que la différence est négligeable pour des quadrilatères infiniment petits, place un foyer de chaleur \(f\) sur un côté méridien d'un des parallélogrammes qui s'appuient sur l'équateur, et nomme \(f, f', f'', \dots\) les températures de la première rangée, \(a, a', a'', \dots\) celles de la seconde. La page s'arrête là : un modèle discret du même bilan, sans équation.³⁷⁸

Le laplacien en \(r, \sin\theta, \varphi\), et ses limites (vues 712, 713, 716). Le feuillet 350, écrit d'une main rapide et relié après le manuscrit C, reprend au net le calcul du cône de la vue 630 : \(\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\), la somme \(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\), \(\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\), et le total, qui est l'expression exacte donnée plus haut. Une « N.ota » explique un pas : la dérivée de \(\cos\theta\) par rapport à \(\sin\theta\) est \(-\frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}}\), et multipliée par \(\frac{\partial\sin\theta}{\partial z} = -\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}\) elle donne \(\frac{\sin^2\theta}{r}\) ; c'est exact.³⁷⁹ Puis trois cas particuliers.

• \(r\) infini. « L'équation appartient au cylindre » : avec \(\theta = 0\), elle se réduit à \(\partial_r^2 v + \partial_s^2 v + \frac1s\partial_s v + \frac{1}{s^2}\partial_\varphi^2 v\), \(s = r\sin\theta\) ; « cette équation est en effet celle que M^r Poisson a donnée en considérant le cas général », celui du cylindre échauffé arbitrairement. Le passage est celui de la Note (vue 656), et il est juste au sens dit plus haut.
• Sans mouvement le long de l'axe. En supprimant \(\partial_r^2 v\), « l'équation est celle que j'avois trouvée » : celle du cylindre des vues 672 à 695, qui n'est autre que celle de la plaque circulaire, « abstraction faite de la déperdition de chaleur due dans la plaque isolée au contact de l'air ». C'est exact.³⁸⁰
• \(\theta = 90^\circ\). « L'axe du cylindre deviendra le rayon de la plaque » : dans le plan de l'équateur, le second membre se réduit à \(\partial_r^2 v + \frac2r\partial_r v + \frac{1}{r^2}\partial_\varphi^2 v - \frac{\sin\theta}{r^2}\frac{\partial v}{\partial\sigma}\). Au verso, pour l'identifier à la plaque, elle admet que dans le dernier terme « \(\sin\theta\) devienne égal au rayon du cercle dont le rayon est \(r\) », d'où \(\frac{\sin\theta}{r^2}\frac{\partial v}{\partial\sigma} = \frac1r \frac{\partial v}{\partial r}\), et l'équation devient \(\partial_r^2 v + \frac1r\partial_r v + \frac{1}{r^2}\partial_\varphi^2 v\), celle de la plaque. Le résultat est exact, et la justification se fait ainsi : pour une température de la plaque, \(v\) ne dépend de \(\sigma\) que par la distance à l'axe \(\rho = r\sigma\), donc \(\partial_\sigma v = r\,\partial_\rho v\), et à \(\theta = 90^\circ\), \(\frac{\sin\theta}{r^2}\partial_\sigma v = \frac1r\partial_\rho v\) ; c'est le sens exact de son « \(\sin\theta\) égal au rayon ».³⁸¹

Le verso s'achève sur la molécule du cône, par ses trois faces, le deuxième flux étant multiplié par \(\cos\theta\) « à cause de l'obliquité » : le même raisonnement qu'aux vues 636 et 637, qui s'arrête ici sur la troisième quantité de chaleur.³⁸²

Le feuillet 352, sous le titre « Cone », donne le détail du même changement de variables ; une première somme, où les dérivées de \(\cos\theta\) et de \(\cos^2\theta\) n'avaient pas été prises, y est corrigée sur la page même (« en faisant varier par rapport à \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) et \(\cos^2\theta\) »), et le total final est l'expression exacte ; le bas du feuillet redonne, pour \(r\) infini, l'équation du cylindre.³⁸³

Le manuscrit C (ff. 348r–349r, vues 708 à 710)

708–710Trois pages d'une mise au net, d'une main posée et régulière, presque sans rature, portent deux énoncés sur des équations de Fermat à exposants pairs, chacun suivi de sa « Démonstration »³⁸⁴ . Le premier porte sur \(x^{2n}+y^{2n}=2z^{2n}\) pour \(n\) impair et s'étend à \(x^{2n}+y^{2n}=2z^{2(n+2d)}\) ; le second, qui en est déduit, est le théorème de Fermat pour les exposants pairs : \(Z^{2n}=X^{2n}+Y^{2n}\) n'a pas de solution en entiers non nuls pour \(n>1\). On restitue d'abord l'argument pas à pas, en disant à chaque pas s'il tient ; la dernière sous-section fait le bilan.

Le théorème sur \(2z^{2n} = x^{2n} + y^{2n}\)

708–709L'énoncé est : « \(n\) étant un nombre impair plus grand que l'unité, il est impossible de satisfaire en nombres entiers à l'équation \(2z^{2n}=y^{2n}+x^{2n}\) »³⁸⁵ . Tel quel, il est faux : \(x=y=z=1\) satisfait l'équation pour tout \(n\). Ce qui est vrai est ceci : pour \(n\) impair \(>1\), les seules solutions en entiers premiers entre eux sont \(x^2=y^2=z^2=1\). C'est une conséquence du théorème de Darmon et Merel³⁸⁶ . Pour \(n=1\), au contraire, les solutions sont en nombre infini : \(1^2+7^2=2\cdot 5^2\), \(7^2+17^2=2\cdot 13^2\). On verra que la démonstration manque précisément le cas \(x^2=y^2=1\).

Hypothèses. La page suppose « comme à l'ordinaire » \(x\), \(y\), \(z\) premiers entre eux. Il s'ensuit, ce qu'elle ne dit pas, que \(x\), \(y\) et \(z\) sont impairs³⁸⁷ . Elle observe que tout diviseur de \(z^{2n}\) est une somme de deux carrés : c'est exact, car tout facteur premier impair de \((x^n)^2+(y^n)^2\), avec \(x\) et \(y\) premiers entre eux, est de la forme \(4k+1\), et un tel nombre est somme de deux carrés (théorème des deux carrés de Fermat et Euler).

Première paramétrisation. Puisque \((x^n)^2+(y^n)^2=2(z^n)^2\), la page pose \[ z^n=P^2+Q^2,\qquad x^n=P^2-Q^2-2PQ,\qquad y^n=P^2-Q^2+2PQ. \] C'est la paramétrisation classique des solutions primitives de \(X^2+Y^2=2Z^2\), aux signes près (le signe de \(x\) est libre, puisque seul \(x^{2n}\) intervient) ; l'identité \((P^2-Q^2-2PQ)^2+(P^2-Q^2+2PQ)^2=2(P^2+Q^2)^2\) a été vérifiée.

La factorisation. Pour \(n\) impair, \(x^{2n}+y^{2n}=(x^2+y^2)\,\Phi\) avec \[ \Phi=x^{2n-2}-x^{2n-4}y^2+x^{2n-6}y^4-\dots+y^{2n-2}. \] La page écrit \(z=z'z''\), \(x^2+y^2=2z'^{2n}\) et \(\Phi=z''^{2n}\)³⁸⁸ . Ce partage suppose \(x^2+y^2\) et \(\Phi\) premiers entre eux au facteur \(2\) près (\(\Phi\) est impair, somme de \(n\) termes impairs). Or \(\Phi\equiv n\,y^{2n-2}\pmod{x^2+y^2}\), de sorte que leur plus grand commun diviseur divise \(n\). Il vaut \(1\) lorsque aucun facteur premier de \(n\) n'est de la forme \(4k+1\), puisque les facteurs premiers impairs de \(x^2+y^2\) sont de cette forme ; il peut valoir plus sinon : pour \(n=5\), \(x=1\), \(y=3\), on a \(x^2+y^2=10\) et \(\Phi=1-9+81-729+6561=5905=5\cdot 1181\). La page ne traite pas ce cas : c'est une première lacune.

Avec \(x^n+y^n=(x+y)H\) et \(y^n-x^n=(y-x)F\)³⁸⁹ , et la seconde paramétrisation, appliquée à \(x^2+y^2=2(z'^n)^2\), \[ z'^n=p^2+q^2,\qquad x=p^2-q^2-2pq,\qquad y=p^2-q^2+2pq, \] on a \(\tfrac12(x+y)=p^2-q^2\), \(\tfrac14(y-x)=pq\), et de même \(\tfrac12(x^n+y^n)=P^2-Q^2\), \(\tfrac14(y^n-x^n)=PQ\) ; d'où le système (1) de la page : \[ P^2+Q^2=z''^n(p^2+q^2),\qquad P^2-Q^2=H(p^2-q^2),\qquad PQ=F\,pq. \] Tout est exact. On note, ce que la page ne dit pas, que \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux et de parités différentes, puisque \(x\) et \(y\) sont premiers entre eux et impairs.

Deuxième décomposition. La page pose \(z''^n=U^2+V^2\) et tire de la première équation de (1) \[ P=Uq\pm Vp,\qquad Q=Up\mp Vq. \] Cela ne découle pas de la seule égalité de deux sommes de deux carrés, un nombre en ayant en général plusieurs décompositions. On peut le justifier par les entiers de Gauss, que la page n'emploie pas³⁹⁰ : on a \((p+iq)^2=\tfrac{1-i}{2}(x+iy)\) et \((P+iQ)^2=\tfrac{1-i}{2}(x^n+iy^n)\) ; or \(x^n+iy^n\) est divisible par \(x+iy\) si \(n\equiv 1\pmod 4\) et par \(x-iy\) si \(n\equiv 3\pmod 4\). Le quotient de \(P+iQ\) par \(p+iq\) (ou par \(p-iq\)) est donc un entier de Gauss, puisque son carré en est un, et sa norme est \(z''^n\) : c'est, aux unités et à l'ordre des lettres près, le \(U+iV\) de la page. En substituant, on obtient le système (2), dont on a vérifié les deux lignes : \[ \bigl[U(p+q)\pm V(p-q)\bigr]\bigl[U(q-p)\pm V(p+q)\bigr]=H(p^2-q^2),\qquad (U^2-V^2)pq\pm(p^2-q^2)UV=F\,pq. \] La première ligne, développée, s'écrit \((p^2-q^2)(V^2-U^2)\pm 4pq\,UV=H(p^2-q^2)\) : comme \(p^2-q^2\) est premier avec \(4pq\), il divise \(UV\). La seconde montre que \(pq\) divise \((p^2-q^2)UV\), donc \(UV\). Ainsi \(pq(p^2-q^2)\) divise \(UV\), comme le dit la page.

Troisième décomposition. La page pose \(z''^{n-1}=U'^2+V'^2\), \(z''=u^2+v^2\), \(U=U'u\pm V'v\), \(V=U'v\mp V'u\) (même remarque que plus haut), d'où l'identité, exacte, \[ UV=(U'^2-V'^2)\,uv\pm(v^2-u^2)\,U'V'. \] Elle poursuit : « Les valeurs de \(VU\) données par l'un et l'autre signes devront également satisfaire » ; la somme \(2(U'^2-V'^2)uv\) et la différence \(2(v^2-u^2)U'V'\) seraient donc toutes deux divisibles par \(N=pq(p^2-q^2)\). C'est la deuxième lacune : le signe est fixé par la décomposition choisie, une seule des deux valeurs est \(UV\), et rien n'oblige l'autre à être divisible par \(N\). Si on l'accorde, la conclusion de la page, \(N\mid 2(v^2-u^2)uv\), est juste³⁹¹ : \(U'\) et \(V'\) étant premiers entre eux, \(U'^2-V'^2\) et \(U'V'\) le sont aussi, et chaque puissance d'un nombre premier qui divise exactement \(N\) divise alors \(2uv\) ou \(2(v^2-u^2)\).

L'alternative. De \(N\mid 2(v^2-u^2)uv\), la page tire : ou bien \(|2(v^2-u^2)uv|\ge N\), ou bien \(2(v^2-u^2)uv=0\)³⁹² .

Dans le premier cas, comme \(y-x=4pq\) et \(y+x=2(p^2-q^2)\), on a \(N=\tfrac18(y^2-x^2)\), d'où \(32(v^2-u^2)uv\ge 2(y^2-x^2)\) : c'est exact. La page affirme ensuite \(2(y^2-x^2)>(x+y)^2\) ; mais \[ 2(y^2-x^2)-(x+y)^2=(x+y)(y-3x), \] qui n'est positif que dans certains cas. Elle borne ensuite l'autre membre : supposant implicitement \(|y|>|x|\), elle tire de l'équation \(z<|y|\), soit \(z'^2(u^2+v^2)^2<y^2\), a fortiori \(2z'^2(u^2+v^2)uv<y^2\), puis de « \(z'\) étant impair et la somme de deux quarrés on a \(z'>4\) » l'inégalité \(32(u^2+v^2)uv<y^2\)³⁹³ . Pour contredire \(32(v^2-u^2)uv>(x+y)^2\), il faudrait \((x+y)^2\ge y^2\), c'est-à-dire \(x\) et \(y\) de même signe ; et pour \(x\), \(y\) positifs l'inégalité précédente demande \(y>3x\). La chaîne ne conclut donc que si \(x\) et \(y\) ont même signe et \(|y|>3|x|\) : c'est la troisième lacune. Avec \(p=3\), \(q=2\), la paramétrisation de la page donne \(x=-7\), \(y=17\) (\(x^2+y^2=2\cdot 13^2\)) : on a bien \(2(y^2-x^2)=480>(x+y)^2=100\), mais \((x+y)^2<y^2=289\) ; avec \(x=7\), \(y=17\), c'est la première inégalité qui tombe (\(480<576\)). De plus, « \(z'>4\) » est faux pour \(z'=1\), c'est-à-dire pour \(x^2+y^2=2\), qui est justement le cas trivial ; pour \(z'>1\), les facteurs premiers de \(z'\) sont de la forme \(4k+1\) et \(z'\ge 5\), ce qui suffit à l'inégalité.

Dans le second cas, \(v^2=u^2\) est impossible, parce que \(z''=u^2+v^2\) divise \(z\), qui est impair³⁹⁴ . Si \(v=0\) (ou \(u=0\)), \(u\) divise \(U\) et \(V\), donc \(P\) et \(Q\), donc \(u^2\) divise \(x^n\) et \(y^n\) : il faut \(u=1\). Alors \(z''=1\), \(U=1\), \(V=0\), \(P=p\), \(Q=q\) (aux signes près), et \(x^n=x\), \(y^n=y\). La page en conclut \(n=1\) : « Ce cas est donc le seul dans lequel il soit possible de satisfaire à l'équation ». Mais \(x^n=x\) et \(y^n=y\) ont lieu aussi pour \(x^2=y^2=1\), quel que soit \(n\) : c'est la solution triviale que l'énoncé oublie.

L'extension, et le théorème de Fermat pour les exposants pairs

710–710La page reprend la même démonstration pour \(2z^{2n}=y^{2m}+x^{2m}\) avec \(m=n-2d\) : il suffit, dit-elle, de mettre \(m\) au lieu de \(n\) dans \(F\), \(H\) et \(\Phi\), ce qui ne change pas la forme des systèmes (1) et (2)³⁹⁵ . Le premier cas de l'alternative tomberait « à plus forte raison » par \(z'^{2n}(v^2+u^2)^{2n}<y^{2n-4d}\), qui découle bien de \(2z^{2n}=x^{2m}+y^{2m}<2y^{2m}\)³⁹⁶ ; le second donnerait \(m=1\). En remettant \(n\) pour \(n-2d\), elle énonce : si \(n\) est impair et plus grand que l'unité, quel que soit \(d\), l'équation \(2z^{2(n+2d)}=x^{2n}+y^{2n}\) est impossible en entiers³⁹⁷ . Cet énoncé a lui aussi la solution triviale \(x=y=z=1\), et sa démonstration hérite des quatre points relevés plus haut ; cette lecture ne cherche pas à établir le statut actuel de cette équation généralisée.

Vient le second théorème : « Pour toute valeur de \(n\) plus grande que l'unité il est impossible de satisfaire en nombres entiers à l'équation \(Z^{2n}=X^{2n}+Y^{2n}\) ». La réduction est la suivante. L'un de \(X\), \(Y\) est pair³⁹⁸ ; soit \(X=2xx'\). Comme \(Z\) et \(Y\) sont impairs et premiers entre eux, \(Z^n+Y^n\) et \(Z^n-Y^n\) ont pour plus grand commun diviseur \(2\) et pour produit \(2^{2n}(xx')^{2n}\) ; la page écrit, avec un choix de signe convenable, \[ Z^n\pm Y^n=2x'^{2n},\qquad Z^n\mp Y^n=2^{2n-1}x^{2n}, \] d'où \(Z^n=x'^{2n}+2^{2n-2}x^{2n}\) et \(\pm Y^n=x'^{2n}-2^{2n-2}x^{2n}\). Elle passe de chacune de ces égalités entre puissances \(n\)-ièmes à une égalité entre les bases, en appelant \((x)\), \((x)'\), \((x)''\) des facteurs de \(x\) : \[ Z\mp Y=2^{2n-1}(x)^{2n},\qquad Z-x'^2=2^{2n-2}(x)'^{2n},\qquad x'^2\mp Y=2^{2n-2}(x)''^{2n}, \] et, en ajoutant les deux dernières, \(2(x)^{2n}=(x)'^{2n}+(x)''^{2n}\)³⁹⁹ , équation « dont l'impossibilité vient d'être démontrée ».

Ce pas est juste pour \(n\) impair, sous la même réserve que plus haut. Chacune des trois différences \(Z^n\mp Y^n\), \(Z^n-(x'^2)^n\), \((x'^2)^n\mp Y^n\) se factorise par la somme ou la différence des bases, selon le signe, le cofacteur étant une somme de \(n\) termes impairs, donc impair : toute la puissance de \(2\) va à ce premier facteur, et le reste est une puissance \(2n\)-ième dès que la base et le cofacteur sont premiers entre eux, ce qui ne peut manquer qu'en un facteur premier de \(n\). La solution obtenue n'est pas triviale : si \((x)'^2=(x)''^2=(x)^2\), on aurait \(Z\pm Y=2x'^2\) et \(Z^n\pm Y^n=2(x'^2)^n\), ce qui pour \(n>1\) force \(Z=Y\), donc \(X=0\), dans un cas, et est impossible dans l'autre. Un facteur commun à deux des trois nombres divise le troisième, par l'équation même ; après division par leur plus grand commun diviseur, on retombe ainsi sur une solution primitive non triviale de la première équation. Pour \(n\) pair, en revanche, les cofacteurs sont pairs et \(Z+Y\) ne divise plus \(Z^n+Y^n\) : la réduction de la page ne vaut pas, et d'ailleurs le premier théorème n'a été énoncé que pour \(n\) impair. Le « pour toute valeur de \(n\) » de l'énoncé n'est donc couvert, par les moyens de la page, que pour \(n\) impair.

L'énoncé lui-même est vrai pour tout \(n>1\) : si \(n\) est pair, \(4\) divise \(2n\) et l'équation contient \(X^4+Y^4=W^2\), que la descente infinie de Fermat exclut ; si \(n\) est impair et \(>1\), \(2n\) a un facteur premier impair \(\ell\), et l'équation contient le cas d'exposant \(\ell\) du théorème de Fermat, démontré par Wiles⁴⁰⁰ .

Ce que la démonstration établit

708–710Sont justes, et ont été vérifiés par le calcul de cette lecture : les deux paramétrisations, les systèmes (1) et (2), l'identité donnant \(UV\), la divisibilité de \(UV\) par \(pq(p^2-q^2)\), et la réduction du second théorème au premier pour \(n\) impair, hors le cas où un facteur premier de \(n\) s'introduit dans les plus grands communs diviseurs. Les décompositions \(P=Uq\pm Vp\) et \(U=U'u\pm V'v\) sont affirmées sans preuve, mais peuvent se justifier par les entiers de Gauss.

Ne sont pas établis, et la page ne démontre donc ni l'un ni l'autre théorème :

1. le partage \(x^2+y^2=2z'^{2n}\), \(\Phi=z''^{2n}\) lorsqu'un facteur premier de \(n\) de la forme \(4k+1\) divise \(x^2+y^2\) (exemple : \(n=5\), \(x=1\), \(y=3\)) ;
2. la divisibilité simultanée des deux valeurs de \(UV\), « l'un et l'autre signes » ;
3. l'exclusion du premier cas de l'alternative, que la chaîne d'inégalités n'obtient que pour \(x\), \(y\) de même signe et \(|y|>3|x|\) ;
4. le cas \(x^2=y^2=1\), qui satisfait l'équation pour tout \(n\) et que la conclusion « \(n=1\) » oublie.

Pour en faire une démonstration, il faudrait au moins traiter les facteurs premiers de \(n\), remplacer l'argument des deux signes par une divisibilité réellement acquise, trouver une borne valable pour tout rapport \(|y|/|x|\), et énoncer l'exception \(x^2=y^2=z^2=1\). Cette lecture ne voit pas comment combler les points 2 et 3 avec les moyens de la page. Les deux énoncés, corrigés de l'exception triviale, sont vrais ; ils ont été démontrés beaucoup plus tard, par d'autres voies (Darmon et Merel pour le premier, Wiles pour le second).

Résidus quadratiques : notes de travail

704–730Autour du manuscrit C, de petits feuillets et des billets montés sur des feuilles de garde, pour la plupart de sa main rapide de travail, portent des recherches sur les résidus quadratiques⁴⁰¹ . On note \(\left(\frac{a}{p}\right)=1\) ou \(-1\) selon que \(a\) est ou n'est pas un carré modulo le nombre premier impair \(p\) (symbole de Legendre)⁴⁰² . Presque tout tourne autour d'une question : un nombre donné est-il non-résidu d'un nombre premier plus petit que lui ? Comme le dit un billet (vue 722), c'est un lemme dont « l'auteur » a besoin pour démontrer son « théorème fondamental ».

Le nombre 2, résidu ou non-résidu, selon la forme de \(p\) modulo 8

704–704« Voici encore une autre démonstration de la propriété du nombre 2 d'être résidu ou non résidu des nombres premiers suivant leurs formes par rapport à 8 »⁴⁰³ . La propriété est le second complément de la loi de réciprocité quadratique : \(\left(\frac{2}{p}\right)=1\) si \(p\equiv\pm1\pmod 8\), \(-1\) si \(p\equiv\pm3\pmod 8\). L'argument part de l'égalité \(-1\equiv 2\cdot\frac{p-1}{2}\pmod p\) et de la connaissance de \(\left(\frac{-1}{p}\right)\) et des facteurs de \(\frac{p-1}{2}\).

Si \(p=8K'+3\), alors \(-1\equiv 2(4K'+1)\) et \(-1\) est non-résidu. Le nombre \(4K'+1\) a un nombre pair de facteurs premiers de la forme \(4h-1\) ; ceux de la forme \(4h+1\) sont résidus de \(p\), et ceux de la forme \(4h-1\) le sont pris avec le signe \(-\) ; le produit \(4K'+1\) est donc résidu, et \(2\) non-résidu. Si \(p=8K'+7\), \(-1\equiv 2(4K'+3)\), le nombre \(4K'+3\) a un nombre impair de facteurs \(4h-1\), c'est \(-(4K'+3)\) qui est résidu, et \(1\equiv -2(4K'+3)\) montre que \(2\) est résidu. Enfin, si \(p=4n+1\) où \(n\) contient une puissance impaire de \(2\), on pose \(N=2n\), qui contient une puissance paire de \(2\) : \(-1\) est résidu, les facteurs premiers impairs de \(N\) aussi, donc \(N\) l'est, et \(-1\equiv 2N\) donne \(2\) résidu.

C'est juste, avec une raison que la page ne donne pas : pour un facteur premier \(q\) de \(\frac{p-1}{2}\), on a \(p\equiv 1\pmod q\), donc \(\left(\frac{p}{q}\right)=1\), et la loi de réciprocité donne \(\left(\frac{q}{p}\right)=1\) si \(q\equiv 1\pmod 4\) et \(\left(\frac{-q}{p}\right)=1\) si \(q\equiv 3\pmod 4\). La démonstration suppose donc la réciprocité pour deux nombres premiers impairs. Elle couvre \(p\equiv 3\) et \(7\pmod 8\), et les \(p\equiv 1\pmod 8\) pour lesquels la puissance de \(2\) qui divise exactement \(p-1\) a un exposant impair ; elle ne dit rien quand cet exposant est pair, soit pour \(p\equiv 5\pmod 8\) et pour \(p=2^{2m}n+1\), \(n\) impair, \(m\ge2\). C'est ce que dit la dernière ligne : « cette méthode n'apprend rien pour le cas \(p=2^{2m}n+1\) »⁴⁰⁴ . Vérification : le second complément a été contrôlé pour tous les \(p<5000\), et la ligne de partage de la méthode aussi (non couverts en dessous de 300 : \(5, 13, 17, 29, 37, 53, 61, \dots\)).

Les nombres premiers \(4n+1\) résidus les uns des autres

706–706Sous le titre « Observations sur les nombres premiers de la forme \(4n+1\) considérés comme résidus d'autres nombres premiers de même forme », la page part de deux nombres premiers \(P=4N+1\) et \(p=4n+1\) avec \(P\) résidu de \(p\) : alors \(-P\) l'est aussi, et \(X^2+P=Mp\)⁴⁰⁵ . Elle écrit \(P=A^2+B^2\), \(p=a^2+b^2\) (tout nombre premier \(4n+1\) est somme de deux carrés) et \(M=\pi^2+\rho^2+\sigma^2+\tau^2\) (tout entier est somme de quatre carrés, théorème de Lagrange), et développe exactement \[ X^2+A^2+B^2=(a^2+b^2)(\pi^2+\rho^2+\sigma^2+\tau^2)=(a\pi\pm b\rho)^2+(b\pi\mp a\rho)^2+(a\sigma\pm b\tau)^2+(a\tau\mp b\sigma)^2. \] Elle essaie alors d'égaler les termes un à un (\(a\pi=b\rho\), \(b\pi+a\rho=A\), …), trouve que \(A\) serait multiple de \(p\), et affirme que ces suppositions « sont les seules par lesquelles on puisse égaler terme à terme les deux membres ». L'inférence n'est pas valable : une égalité de deux sommes de carrés n'entraîne aucune égalité terme à terme, les décompositions n'étant pas uniques. La note qui suit (« Je ne vois pas d'ailleurs que l'on puisse affirmer que le produit de deux nombres qui ne seroient, l'un et l'autre, décomposables en 4 quarrés que d'une seule façon, ne le soit que de 2 … ») semble toucher cette difficulté⁴⁰⁶ . Ce que la page cherche est vrai : pour deux nombres premiers \(P\) et \(p\) de la forme \(4n+1\), \(\left(\frac{P}{p}\right)=\left(\frac{p}{P}\right)\) ; c'est le cas \(p\equiv q\equiv 1\pmod 4\) de la loi de réciprocité quadratique. La page n'y parvient pas et s'interrompt.

En lisant « l'auteur » : tout nombre non carré est non-résidu d'un nombre premier

718–728Ces billets commentent un livre qu'ils ne nomment qu'une fois : « En examinant la manière dont Gauss démontre (N^o 125) que tout nombre premier \(p=4n+1\) pris négativement est non résidu d'un nombre premier moindre que \(p\) … » (vue 720)⁴⁰⁷ . Leur méthode est toujours la même : pour montrer qu'un nombre \(p\) est non-résidu d'un nombre premier \(q<p\), on construit un nombre \(p\pm c\,a^2\) plus petit que \(p\), dont tous les facteurs premiers ne peuvent être dans les classes où \(c\) est résidu ; un facteur premier \(q\) pris dans l'autre classe donne \(p\equiv\mp c\,a^2\pmod q\), donc \(\left(\frac{p}{q}\right)=\left(\frac{\mp c}{q}\right)=-1\).

La proposition générale. « Tout nombre, excepté les quarrés positivement pris, est non résidu de quelque nombre premier » (vue 722)⁴⁰⁸ . C'est vrai : un entier qui n'est pas un carré n'est pas résidu de tous les nombres premiers qui ne le divisent pas ; on le démontre aujourd'hui à l'aide du symbole de Jacobi et du théorème chinois⁴⁰⁹ . Elle réduit la question : admettant le cas des nombres \(4n+1\), restent \(4n+2\) et \(4n+3\), les nombres \(4n\) étant non-résidus avec \(n\). Pour \(4n+2\) : \(4n+2+(2k+1)^2\) est de la forme \(4k+3\), a donc un facteur premier \(q\equiv 3\pmod 4\), et \(4n+2\equiv-(2k+1)^2\) avec \(\left(\frac{-1}{q}\right)=-1\) donne \(4n+2\) non-résidu de \(q\). C'est juste. « Je n'ai pas vu comment démontrer \(-(4n+2)\) non résidu ». Au dos (vue 723), \(\pm(4n+3)\) sont traités par \(4n+3+4k^2\) et \(4n+3-4k^2\), tous deux de la forme \(4k+3\)⁴¹⁰ : d'où la « proposition remarquable » que tout nombre \(4k+3\), pris avec le signe \(+\) ou \(-\), est non-résidu d'un nombre premier (de la forme \(4k+3\)). C'est juste.

Les nombres \(4K+3\), avec la condition « moindre ». Le feuillet 356 (vue 720) se propose de démontrer qu'un nombre quelconque \(p=4K+3\), pris avec l'un ou l'autre signe, est non-résidu de quelque nombre premier moindre que lui. Pour \(-p\) : avec \(2a<\sqrt p\), le nombre \(p-4a^2\) est positif, \(<p\), de la forme \(4K+3\), donc divisible par un premier \(q\equiv3\pmod 4\), et \(p\equiv 4a^2\) donne \(-p\) non-résidu de \(q\). Pour \(+p\) : si \(p=8n+3\), avec \(2a<\sqrt{p/2}\), \(p-8a^2\equiv 3\pmod 8\) a un facteur premier \(q\equiv 3\) ou \(5\pmod 8\), dont \(2\) est non-résidu, et \(p\equiv 2(2a)^2\) conclut⁴¹¹ ; si \(p=8K+7\), avec \(a\) impair \(<\sqrt{p/2}\), \(p-2a^2\equiv 5\pmod 8\) a de même un facteur \(q\equiv 3\) ou \(5\pmod 8\), et \(p\equiv 2a^2\) conclut. Tout est juste, à deux réserves près que la page ne fait pas : il faut \(a\ge1\), ce qui exclut \(p=3\) (aucun nombre premier plus petit ne convient) ; et, si \(p\) n'est pas premier, que \(q\) ne divise pas \(p\). La remarque finale, que la condition « immédiatement plus petit » est superflue et qu'il suffit de \(2a<\sqrt p\), \(2a<\sqrt{p/2}\), est juste. Au pied du feuillet, d'une plume plus épaisse : « Le but de l'auteur étant de passer au théorème fondamental, il s'est borné à démontrer que les nombres \(4k+3\) tant positifs que négatifs sont non résidus. Il faut examiner si on ne pourroit pas faire usage de la même pro[position] pour en … », où la ligne s'arrête⁴¹² .

Une extension fausse. Le feuillet 355 (même vue) étend l'énoncé qu'il prête à Gauss : la même démonstration vaudrait pour \(p\) non premier, « de sorte que l'on peut affirmer que tout nombre de la forme \(4n+1\) pris négativement est non résidu de quelque nombre premier moindre que lui et de la forme \(4n+3\) » ; avec le feuillet 356, « tout nombre impair \(2N+1\) pris avec le signe \(-\) est non résidu d'un nombre premier de la forme \(4K+3\) et \(<2N+1\) »⁴¹³ . C'est faux : \(-5\), \(-17\) et \(-21\) sont résidus de tous les nombres premiers de la forme \(4k+3\) plus petits qu'eux et qui ne les divisent pas (\(-17\equiv 1\pmod 3\), \(\equiv 4=2^2\pmod 7\), \(\equiv 5=4^2\pmod{11}\)) ; par le calcul de cette lecture, ce sont, avec \(3\), les seules exceptions en dessous de \(200\,000\). Ce que la page prête à Gauss, pour \(p\) premier de la forme \(4n+1\) et sans restreindre la forme de \(q\), est vrai pour \(p>5\) (vérifié jusqu'à \(5000\)) ; c'est la restriction à \(q\equiv 3\pmod 4\) qui est fausse.

Les nombres \(12n+7\) et \(12n+5\). Au billet 354 (vues 718 et 719) : « Ici, l'auteur ne dit rien des nombres de la forme \(4k+3\) »⁴¹⁴ . Pour \(p=12n+7\), avec \(a\) le nombre pair immédiatement supérieur à \(\sqrt{p/3}\), le nombre \(3a^2-p\) est de la forme \(12K+5\) ; il a un facteur premier \(q\equiv 5\) ou \(7\pmod{12}\) (les produits de nombres \(\equiv 1\) ou \(11\) restent \(\equiv1\) ou \(11\)), et pour ces \(q\) on a \(\left(\frac{3}{q}\right)=-1\), avec \(\left(\frac{-3}{q}\right)=-1\) si \(q\equiv5\) et \(+1\) si \(q\equiv7\pmod{12}\) : \(p\equiv 3a^2\) est non-résidu de \(q\). Au dos, même chose pour \(p=12n+5\) avec \(p-3a^2\), \(a\) pair immédiatement inférieur à \(\sqrt{p/3}\). Les caractères de \(3\) et \(-3\) sont justes. Mais l'affirmation « \(3aa-p\) sera \(<\) que \(p\) » est fausse pour \(p=19\) : \(a=4\) et \(3a^2-p=29\) ; c'est la seule exception par le calcul de cette lecture, et \(19\) est bien non-résidu de \(7\). Au dos, il faut \(a\ge 2\), ce qui exclut \(p=5\).

Une page barrée. Le revers du feuillet 353 (vue 719), écrit tête-bêche et barré d'une grande croix, attaque les nombres \(120k+1\) : avec \(10n+2>\sqrt{\tfrac52(120k+1)}\), le nombre \(2(10n+2)^2-5(120k+1)\) serait de la forme \(40k+11\), dont un facteur \(q\) aurait \(2\) non-résidu et \(5\) résidu, d'où \(120k+1\) non-résidu de \(q\) ; suit une table des produits de classes \(\equiv 11\pmod{40}\)⁴¹⁵ . Le calcul est faux dès le départ : \(2(10n+2)^2-5(120k+1)\equiv 3\pmod{40}\), et non \(11\) ; pour un nombre \(\equiv 3\pmod{40}\), le symbole de Jacobi \(\left(\frac{10}{\cdot}\right)\) vaut \(+1\), et rien ne garantit plus un facteur \(q\) avec \(\left(\frac{10}{q}\right)=-1\), qui est ce dont l'argument a besoin. Dans la table, deux mentions sont fausses : pour \(q\equiv 27\) et \(q\equiv 13\pmod{40}\), \(5\) est non-résidu, non résidu ; dans ces deux paires, c'est l'autre classe (\(33\), \(7\)) qui a \(\left(\frac{10}{q}\right)=-1\).

Les nombres \(3k-1\) et \(8n+1\). Le billet 357 (vue 722) montre que tout nombre \(p=3k-1\) est non-résidu d'un nombre premier par \(p+3a^2\), de la forme \(3k-1\), dont un facteur premier \(q\equiv 2\pmod 3\) a \(\left(\frac{-3}{q}\right)=-1\) : juste, avec sa précaution sur la parité de \(a\). Il ajoute qu'on doit pouvoir trouver ainsi \(q<p\), « mais je ne sais pas le démontrer ». Sous cette forme, c'est faux : pour \(p=5\), \(11\), \(14\), \(26\) et \(59\) (seules exceptions en dessous de \(5000\) par le calcul de cette lecture), aucun nombre premier impair \(q\equiv 2\pmod 3\) plus petit que \(p\) n'a \(p\) pour non-résidu. Sans restreindre la forme de \(q\), l'énoncé est immédiat : \(q=3\) convient pour tout \(p=3k-1>3\). Au dos, les nombres à la fois \(3k-1\) et \(8n+1\) sont les \(24n+17\), ce qui est juste⁴¹⁶ . Sous le titre « §126 » (vue 724), un nombre premier \(p=8n+1\) est de la forme \(24k+1\) ou \(24k+17\) ; pour \(24k+17\), qui est \(12k+5\), la page reprend l'argument de \(p-3a^2\) avec \(a\) pair \(<\sqrt{p/3}\) (renvoyant à « P. 116 » pour \(3\) non-résidu des \(12k+5\) et \(12k+7\)), et note justement que seuls les produits \(12k+1\) par \(12k+5\) et \(12k+7\) par \(12k+11\) sont de la forme \(12k+5\) : c'est juste. Pour \(24k+1\), elle part de \(p=x^2+y^2\) et observe que \(x\equiv\pm1\), \(y\equiv\pm2\pmod 5\) donnerait \(5\mid x^2+y^2\), puis s'arrête⁴¹⁷ .

Formes et induction. Le feuillet 361 (vue 726) énonce que si \(5\) est non-résidu des nombres premiers d'une forme \(F\), un produit de nombres premiers dont \(5\) est résidu ne peut être de la forme \(F\) ; de même pour \(-3\) et les formes \(3n\pm1\). C'est juste si \(F\) est une réunion de classes modulo \(5\) (les \(5n\pm2\)) : \(\left(\frac{5}{q}\right)=\left(\frac{q}{5}\right)\), et un produit de nombres \(\equiv\pm1\pmod 5\) reste \(\equiv\pm1\) ; de même \(\left(\frac{-3}{q}\right)=\left(\frac{q}{3}\right)\). Le feuillet 360 tente une induction : si tous les nombres premiers jusqu'à \(P\) dont \(a\) est résidu sont de la forme \(ma+b^2\), prendre \(e\) pair, non divisible par \(a\), avec \(e^2=a+fP\) et \(f<P\) impair ; les facteurs de \(f\) ont \(a\) pour résidu, sont plus petits que \(P\), donc de la forme \(ma+b^2\), qui est stable par produit, d'où \(P\) de même forme. L'énoncé visé est faux en général : \(3\) est résidu de \(11\) (\(5^2\equiv 3\)), et \(11\equiv 2\pmod 3\) n'est pas de la forme \(3m+b^2\) ; il est vrai si \(a\) est un nombre premier de la forme \(4k+1\), et c'est alors la loi de réciprocité. La faille de l'induction est l'existence d'un \(e\) convenable : pour \(a=3\), \(P=11\), les solutions de \(e^2\equiv 3\pmod{11}\) inférieures à \(11\) sont \(5\) et \(6\), et la seule paire, \(6\), est divisible par \(3\) : aucun \(e\) ne remplit les conditions⁴¹⁸ .

Racine primitive. Le billet 363 (vue 728), annulé de longs traits verticaux mais lisible, démontre que pour un nombre premier \(p=4k+3\), si \(n\) est non-résidu, \(-n\) est résidu : avec une racine primitive \(r\) et \(n\equiv r^{2f+1}\), \(-n\equiv r^{2g+1}\) donnerait \(r^{2(g-f)}\equiv -1\), soit \(-1\) résidu. C'est juste. « L'induction a mené l'auteur à établir pour les nombres \(12n+11\) \(3\) résidu et \(-3\) non résidu » : juste. « Je ne vois pas que l'on puisse rien conclure pour ces nombres de la formule \(\frac{4(a^3-1)}{a-1}=(2a+1)^2+3\) »⁴¹⁹ : l'identité est exacte, et de fait elle ne peut rien donner, puisqu'un nombre premier divisant \(a^2+a+1\) a \(-3\) pour résidu, ce qui n'est jamais le cas d'un \(12n+11\). Le billet 362 porte six lignes d'algèbre sur \(A=ma+b^2\), \(a=d^2-nA\), qui donnent correctement \((1+mn)A=md^2+b^2\) et \((1+mn)a=d^2-nb^2\).

Racines primitives, et les nombres premiers de Fermat

729–730« Pour tout nombre premier \(12n+5\) dans lequel \(3n+1\) est premier, \(3\) est racine primitive »⁴²⁰ . C'est vrai, et l'argument de la page l'établit : \(p-1=4(3n+1)\) ; \(3\) est non-résidu des nombres \(12n+5\), donc son ordre ne divise pas \(2(3n+1)\) ; s'il n'était pas \(p-1\), il serait \(4\), et \(3^4\equiv 1\) donnerait \(3^2\equiv-1\), soit \(p\mid 10\), impossible pour \(p>5\)⁴²¹ . Exemples de la page : \(29\) et \(53\) ; le calcul de cette lecture confirme \(3\) racine primitive pour les \(97\) nombres premiers de cette espèce inférieurs à \(20\,000\).

Sous le titre « Nombres premiers de la forme \(2^{2^i}+1\) » (vue 730)⁴²² , la page part de la réciprocité : pour \(a'>a\), \(a'\) est résidu de \(a\) si \(a'=ma+d^2\) avec \(d<a\). Elle affirme que, pour tout nombre premier \(F_k=2^{2^k}+1\), les nombres premiers de Fermat plus petits sont non-résidus, donc racines primitives, parce que \(2^{2^k}+1\) ne peut se mettre sous la forme \(mF_j+d^2\) qu'en faisant de \(2^{x}+1\) un carré, ce qui n'arrive que pour \(x=3\). Entre les lignes, d'une plume plus fine : « cela est faux parce qu'il suffit que \(2^{2^{i+\delta}-2^i m}+1\equiv x^2\) ». La correction est juste, et la conclusion est en partie fausse. Comme \(2^{2^k}\equiv 1\pmod{F_j}\) pour \(j<k\), on a \(F_k\equiv 2\pmod{F_j}\) et \(\left(\frac{F_j}{F_k}\right)=\left(\frac{2}{F_j}\right)\) : ce symbole vaut \(-1\) pour \(F_0=3\) et \(F_1=5\), mais \(+1\) pour \(F_2=17\) et au-delà (tous \(\equiv 1\pmod 8\)). Ainsi \(3\) et \(5\) sont non-résidus de tout nombre premier de Fermat plus grand, et, \(F_k-1\) étant une puissance de \(2\), tout non-résidu est racine primitive : \(3\) et \(5\) sont racines primitives de tout nombre premier de Fermat plus grand ; en revanche \(17\) est résidu de \(257\) et de \(65537\), et \(257\) de \(65537\)⁴²³ . Le second paragraphe applique le même raisonnement (exiger un carré exact) à \(a=F_i\) et \(b=2^n-1\), et conclut que \(3=2^2-1\) et \(7=2^3-1\) sont non-résidus de \(F_i\), « c'est ce que j'avois déjà trouvé d'une autre manière ». Le raisonnement a le défaut que la page vient de relever, mais la conclusion est vraie pour \(i\ge1\) : \(\left(\frac{3}{F_i}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)=-1\) et, \(F_i\equiv 3\) ou \(5\pmod 7\), \(\left(\frac{7}{F_i}\right)=-1\) ; \(7\) est donc aussi racine primitive de tout nombre premier de Fermat \(\ge5\) (vérifié pour \(5\), \(17\), \(257\), \(65537\)).

Le mémoire imprimé de Legendre sur l'équation \(4X = Y^2 \pm nZ^2\)

115–134Au milieu des brouillons sur la courbure sont collées, sur des feuillets de montage, les pages imprimées d'un mémoire de Legendre : « Mémoire sur la détermination des fonctions \(Y\) et \(Z\) qui satisfont à l'équation \(4(x^n-1)=(x-1)(Y^2\pm nZ^2)\), \(n\) étant un nombre premier \(4i\mp1\) », « Lu à l'Académie, le 11 octobre 1830 »⁴²⁴ . Pour \(n\) premier impair, \(X=\frac{x^n-1}{x-1}\) et \(m=\frac{n-1}{2}\), il s'agit de l'identité, due à Gauss⁴²⁵ , \[ 4X=Y^2-(-1)^{m}\,n\,Z^2, \] avec \(Y\) de degré \(m\) et \(Z\) de degré \(m-1\) à coefficients entiers : \(Y^2-nZ^2\) pour \(n=4i+1\), \(Y^2+nZ^2\) pour \(n=4i-1\), ce que le titre condense en « \(Y^2\pm nZ^2\), \(n=4i\mp1\) ». Le point de départ de Legendre est que ses règles de la Théorie des nombres supposaient les coefficients de \(Y\) inférieurs à \(\frac12 n\), ce qui cesse d'avoir lieu pour \(n\) grand ; il en donne ici une méthode « sûre et exacte ». Il rappelle au passage que \(Y=2x^m+x^{m-1}+\frac{3\mp n}{4}x^{m-2}+\dots\) n'a aucun coefficient nul : c'est exact, car \(Y^2\equiv 4X=4(x-1)^{n-1}\pmod n\) donne \(Y\equiv\pm2(x-1)^m\pmod n\), dont aucun coefficient n'est divisible par \(n\).

La méthode. Posons \(n^*=(-1)^m n\) et \(Y+Z\sqrt{n^*}=2x^m+A_1x^{m-1}+A_2x^{m-2}+\dots\) Avec \(r\) racine primitive \(n\)-ième de l'unité et \(\alpha\) parcourant les résidus quadratiques de \(n\), on a \(\frac12(Y+Z\sqrt{n^*})=\prod_\alpha(x-r^\alpha)\)⁴²⁶ . Les sommes de puissances \(S_k=\sum_\alpha r^{k\alpha}\) valent \(-\frac12-\frac12\sqrt{n^*}\left(\frac{k}{n}\right)\) (le signe de la racine étant fixé par \(S_1\)), et les identités de Newton \[ -k\cdot\tfrac12A_k=S_k+S_{k-1}\cdot\tfrac12A_1+\dots+S_1\cdot\tfrac12A_{k-1} \] donnent les \(A_k=a_k+b_k\sqrt{n^*}\), d'où \(Y=\sum a_kx^{m-k}\) et \(Z=\sum b_kx^{m-k}\). La méthode est juste ; pour \(n=4i-1\), il suffit, dit l'imprimé, de mettre \(-n\) à la place de \(n\) dans \(S_1\)⁴²⁷ .

Les exemples. Pour \(n=31\), de la forme \(4i-1\), les symboles \(\left(\frac{k}{31}\right)\) de l'imprimé sont exacts⁴²⁸ , et les coefficients \(A_1=1+\sqrt{-n}\), \(A_2=-7+\sqrt{-n}\), …, \(A_{15}=-2\) donnent \[ Y=2x^{15}+x^{14}-7x^{13}-11x^{12}+2x^{11}+8x^{10}-3x^9-5x^8+5x^7+3x^6-8x^5-2x^4+11x^3+7x^2-x-2, \] \[ Z=x^{14}+x^{13}-x^{12}-2x^{11}+x^9-x^8-x^7+x^6-2x^4-x^3+x^2+x, \] qui satisfont \(4X=Y^2+31Z^2\). Pour \(n=37\), l'exemple II donne \(Y\) de degré \(18\) et \(Z\) de degré \(17\) avec \(4X=Y^2-37Z^2\)⁴²⁹ . La table de la page 9 ajoute \(n=41\) et \(n=61\) (vue 124) ; pour \(41\) des coefficients dépassent \(\frac12n\), pour \(61\) plusieurs dépassent \(n\) (\(63\), \(72\), \(89\), \(95\)). Pour \(n=2521\), tous les \(\left(\frac{k}{n}\right)\), \(k\le 7\), valent \(1\) (en effet \(2521\equiv1\) modulo \(8\), \(3\), \(5\) et \(7\), et la réciprocité conclut), et \(A_7=2633212+69292\sqrt n\) (vue 125) montre la croissance rapide des coefficients. Toutes ces valeurs ont été recalculées par les identités de Newton, et l'identité \(4X=Y^2\mp nZ^2\) vérifiée pour \(n=31\), \(37\), \(41\), \(61\) : l'imprimé est exact partout.

Les signes. Les coefficients également éloignés des extrêmes sont égaux au signe près, « puisque la substitution de \(x^{-1}\) à la place de \(x\) » ne change pas l'équation. Les pages 11 à 13 décident des signes : pour \(n=4i-1\), \(Y\) est antisymétrique (\(x^mY(1/x)=-Y(x)\)) et \(Z\) symétrique, car l'autre choix donnerait \(Z(1)=0\) et \(4n=Y(1)^2\), ou \(Y(-1)=0\) et \(4=nZ(-1)^2\) ; pour \(n=4i+1\), \(Y\) et \(Z\) sont symétriques, le coefficient moyen de \(Z\) ne pouvant être nul et \(Y\) antisymétrique donnant \(Y(1)=0\) et \(4n=-nZ(1)^2\)⁴³⁰ . C'est juste ; la raison de fond, que l'imprimé ne donne pas, est que \(\alpha\mapsto-\alpha\) conserve les résidus si \(n\equiv1\pmod 4\) et les échange avec les non-résidus si \(n\equiv 3\pmod 4\). Les exemples s'y accordent.

Les formules générales. Selon \(n=24\lambda+1\), \(+5\), \(+13\), \(+17\), les caractères de \(2\) et \(3\) sont fixés, ce qui donne \(A_1\) à \(A_4\) en fonction de \(\lambda\) ; le passage aux \(n=24\lambda-1\), \(-5\), \(-13\), \(-17\) se fait en changeant \(\lambda\) en \(-\lambda\) et \(n\) en \(-n\)⁴³¹ . Toutes ces formules ont été vérifiées sur tous les nombres premiers de chaque forme jusqu'à \(24\cdot 40\). Le coefficient \(1-11\lambda+3\lambda^2\), de l'ordre de \(n^2/192\), dépasse \(n\) pour \(\lambda=13\), \(n=311\) (\(365\)) ; les seize sous-formes \(120\mu+r\) sont bien celles qu'on obtient en rejetant, dans chaque cas, la valeur de \(\lambda\) modulo \(5\) qui rend \(n\) multiple de \(5\) ; et pour \(n=120\mu+61\), les valeurs de \(A_5\), \(A_6\), puis de \(Y\) et \(Z\) jusqu'à \(x^{m-6}\) pour \(120\mu\pm61\), sont exactes⁴³² . Le seuil \(75\mu^3>n^2\) pour \(n>120^3/75=23\,040\) est une estimation, juste à l'ordre près.

Extraits des Mémoires de Turin

734–749Le volume finit sur des extraits en français, tantôt traduits, tantôt résumés, de mémoires des Mélanges de l'Académie de Turin, d'une main régulière et penchée, peu corrigée ; les transcriptions ne s'accordent pas sur cette main, et rien sur les feuillets ne la désigne. Des remarques entre crochets, à la première personne, sont du copiste, dont les feuillets ne donnent pas l'identité⁴³³ . Les dérivées partielles y sont écrites à la manière d'Euler, entre parenthèses⁴³⁴ .

Lagrange, la théorie du son, et la somme de d'Alembert

734–739Le premier extrait, « Mémoire de Turin [2^d ?] année 1761 Pag. 16 Théorie du son La Grange »⁴³⁵ , conteste que la courbe \(EKS\) de Newton (Principes, livre II, proposition 49), qui règle l'excursion de chaque particule de l'air, puisse être un cercle : les ébranlements primitifs dépendent du corps sonore, et un cercle, courbe rentrante, mettrait toutes les particules en mouvement à la fois, ce qui détruirait la propagation du son. Il va plus loin : la fonction \(\varphi\left(t-\frac{xT}{\sqrt{2hA}}\right)\) qui représente les excursions doit, à l'instant initial, s'annuler identiquement hors de la petite portion d'air ébranlée, ce qu'aucune courbe « soit géométrique soit transcendante » ne peut faire ; d'où « la nécessité … d'employer un nouveau genre de fonctions … qu'on peut très bien appeler fonctions irrégulières et discontinues ». En termes actuels, c'est juste pour les fonctions analytiques : une fonction analytique réelle nulle sur un intervalle est nulle partout ; une donnée initiale à support borné ne peut donc être analytique, et il faut admettre des fonctions seulement continues, ou moins régulières encore⁴³⁶ .

Suit le « Problème » : les mouvements d'une infinité de points mobiles, les extrémités \(x=0\) et \(x=a\) fixes, selon \(\frac{\partial^2z}{\partial t^2}=c\,\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\). On multiplie par \(M(x)\,dx\) et l'on intègre deux fois par parties : \[ \int_0^a\frac{\partial^2z}{\partial x^2}M\,dx=\left[\frac{\partial z}{\partial x}M-z\frac{dM}{dx}\right]_0^a+\int_0^a z\,\frac{d^2M}{dx^2}\,dx ; \] les termes aux bornes disparaissent si \(M(0)=M(a)=0\). Avec \(M''=KM\) et \(s(t)=\int_0^a zM\,dx\), il vient \(s''=cKs\) ; \(M\) nul aux deux bouts impose \(K<0\), \(M=A\sin\bigl(x\sqrt{-K}\bigr)\) et \(\sqrt{-K}=\nu\pi/a\), \(\nu\) entier ; alors \[ s=S\cos\bigl(t\sqrt{-cK}\bigr)+\frac{R}{\sqrt{-cK}}\sin\bigl(t\sqrt{-cK}\bigr),\qquad \frac{ds}{dt}=R\cos\bigl(t\sqrt{-cK}\bigr)-S\sqrt{-cK}\,\sin\bigl(t\sqrt{-cK}\bigr), \] \(S=\int_0^a Z\,M\,dx\) et \(R=\int_0^a V\,M\,dx\) étant formés sur le déplacement \(Z\) et la vitesse \(V\) initiaux⁴³⁷ . C'est exact : \(s\) est, à un facteur près, le coefficient de Fourier du déplacement sur le mode \(\sin(\nu\pi x/a)\), et chaque mode oscille avec la pulsation \(\nu\pi\sqrt c/a\), multiple de celle du mode fondamental. La « Remarque » dit que l'infinité de points demande une infinité de valeurs de \(K\) : ce sont les valeurs propres \(-(\nu\pi/a)^2\)⁴³⁸ .

L'extrait suivant (vues 738 et 739) porte sur la somme \(\cos x+\cos2x+\cos3x+\dots\)⁴³⁹ . Lagrange l'écrit comme demi-somme de deux progressions géométriques en \(e^{\pm kx\sqrt{-1}}\) et trouve \(-\frac12\) ; pour la somme arrêtée au terme \(\cos mx\), il trouve, exactement, \[ \sum_{k=1}^{m}\cos kx=\frac{\cos mx-\cos(m+1)x}{2(1-\cos x)}-\frac12=-\frac12+\frac{\sin\bigl((m+\frac12)x\bigr)}{2\sin\frac x2}\qquad(x\not\equiv0\pmod{2\pi}). \] D'Alembert objecte que le « dernier terme » \(e^{\infty\sqrt{-1}}\) n'est pas nul ; Lagrange répond qu'on substitue bien \(\frac{1}{1-x}\) à \(1+x+x^2+\dots\) D'Alembert prend \(x=45^\circ\) : les sommes partielles valent \(\frac{1}{\sqrt2}\), \(\frac1{\sqrt2}\), \(0\), \(-1\), \(-1-\frac1{\sqrt2}\), \(-1-\frac1{\sqrt2}\), \(-1\), \(0\), puis recommencent ; elles ne prennent donc que quatre valeurs, jamais \(-\frac12\) (exact). Lagrange oppose \(1-1+1-\dots\), qui vaudrait \(0\) ou \(1\) alors que \(\frac{1}{1+x}\) donne \(\frac12\). La remarque du copiste entre crochets note qu'il faut ajouter \(-\frac12-\frac1{\sqrt2}\), \(-\frac12\), \(+\frac12\), \(+\frac12+\frac1{\sqrt2}\) aux quatre sommes pour obtenir \(-\frac12\), et que le terme \(\frac{\cos mx-\cos(m+1)x}{2(1-\cos x)}\) « n'est susceptible que de quatre valeurs » : les deux affirmations sont exactes. Une autre remarque entre crochets propose de ne voir dans \(x^\infty\) que « la limite de \(x\), \(x^2\), \(x^3\) » : cela justifie \(\frac{1}{1-x}\) pour \(|x|<1\), mais non la somme en cosinus, où \(e^{kx\sqrt{-1}}\) n'a pas de limite.

Ce qui est vrai aujourd'hui : la série \(\sum\cos kx\) diverge pour tout \(x\), ses termes ne tendant pas vers \(0\) ; mais la moyenne de ses sommes partielles tend vers \(-\frac12\) pour \(x\not\equiv 0\) (sommation de Cesàro ; à \(x=45^\circ\), la moyenne sur une période de huit termes vaut exactement \(-\frac12\)), et \(\lim_{\rho\to1^-}\sum\rho^k\cos kx=-\frac12\) (sommation d'Abel), qui est exactement le calcul de Lagrange ; au sens des distributions, \(\sum_{k\ge1}\cos kx=-\frac12+\pi\sum_{j}\delta(x-2\pi j)\). La série de \(1-1+1-\dots\) a de même pour somme \(\frac12\) au sens d'Abel et de Cesàro⁴⁴⁰ .

Euler et Lagrange sur les cordes vibrantes

740–742« 3 V. des Mémoires de Turin — Éclaircissements sur le mouvement des cordes vibrantes, par Euler »⁴⁴¹ . La figure initiale de la corde est arbitraire, pourvu que ses ordonnées et ses pentes soient infiniment petites ; elle peut être « tirée par un mouvement libre de la main, sans qu'aucune loi de continuité y ait lieu », et la corde vibre quand même. Une remarque entre crochets donne l'intégrale \(y=\Gamma(x+ct)+\Delta(x-ct)\) de \(c^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{\partial^2y}{\partial t^2}\) : c'est la solution de d'Alembert, exacte. Pour une corde d'épaisseur variable, \(r^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{\partial^2y}{\partial t^2}\) avec \(r\) fonction de \(x\) ; dans le cas \[ y=x\,\Gamma\!\left(\frac\beta x-t\right)+x\,\Delta\!\left(\frac\beta x+t\right), \] les cordes produisent toujours des vibrations régulières. C'est exact, et le calcul de cette lecture précise le cas : cette \(y\) satisfait l'équation avec \(r=x^2/\beta\), c'est-à-dire, à tension constante, une densité proportionnelle à \(x^{-4}\) ; en posant \(\xi=\beta/x\), \(y/x\) satisfait l'équation de la corde uniforme en \(\xi\), de sorte que, les extrémités \(x_1\), \(x_2\) étant fixes, tout mouvement est périodique de période \(2|\beta/x_1-\beta/x_2|\).

Puis « La Grange Pag. 259 du même volume » : la courbe initiale n'a pas besoin d'être de la forme \(y=\alpha\sin\pi x+\beta\sin2\pi x+\dots\) ; il suffit qu'une telle courbe en approche d'aussi près qu'on voudra, la courbe initiale n'étant alors « qu'une espèce d'asymptote » de la courbe génératrice. L'énoncé est vrai en termes actuels pour une figure initiale continue et nulle aux deux extrémités : elle est limite uniforme de sommes finies de sinus (théorème d'approximation de Weierstrass sous sa forme trigonométrique)⁴⁴² . La forme que la copie donne ensuite, \(y=\alpha\sin\frac{\pi x}{a}+\beta\sin\frac{2\pi x}{b}+\gamma\sin\frac{3\pi x}{c}+\dots\), doit avoir partout le même dénominateur, la longueur \(a\) de la corde⁴⁴³ . « Pag. 275 », le développement de \(\Delta(a+iy)\) en puissances de \(i\) est celui de Taylor, avec les accents de Lagrange pour les dérivées : « [ce qui est bien près de la théorie des fonctions.] »⁴⁴⁴ .

Lagrange : équations séparées

743–745« Mémoire de La Grange sur l'intégration de quelques équations différentielles dont les indéterminées sont séparées, mais dont chaque membre en particulier n'est point intégrable — T. 4 »⁴⁴⁵ . Pour \[ \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}\qquad\text{(A)}, \] les membres ne sont pas intégrables algébriquement, mais l'équation a l'intégrale algébrique \(\arcsin x=\arcsin y+\arcsin a\), soit \[ x=y\sqrt{1-a^2}+a\sqrt{1-y^2}\qquad\text{(B)}, \] par la formule d'addition des sinus ; on la retrouve par les logarithmes imaginaires, puis par une voie purement algébrique : en multipliant en croix et en intégrant par parties, \(x\sqrt{1-y^2}=y\sqrt{1-x^2}+C\), qui revient à (B) avec \(C=a\) (si \(x=\sin u\), \(y=\sin w\), c'est \(\sin(u-w)=a\)). Tout est exact. La même méthode donne, pour \(\frac{dx}{\sqrt{\alpha+\beta x+\gamma x^2}}=\frac{dy}{\sqrt{\alpha+\beta y+\gamma y^2}}\), \[ \left(x+\frac{\beta}{2\gamma}\right)\sqrt{\alpha+\beta y+\gamma y^2}=\left(y+\frac{\beta}{2\gamma}\right)\sqrt{\alpha+\beta x+\gamma x^2}+C, \] qui est bien une intégrale (sa dérivée le long des solutions est nulle, vérification faite). L'extrait annonce enfin le cas d'un radicande du quatrième degré, qui est celui du théorème d'addition d'Euler pour les intégrales elliptiques, et s'arrête : « [le reste du mémoire … est copié presqu'en entier depuis la page 77 jusqu'à la p. 91 du 2^me V. du C. I. de Cousin] »⁴⁴⁶ .

Condorcet et Lagrange : variations ; les centres fixes

746–749« Condorcet Pag. 4 du 4^me V. de Turin »⁴⁴⁷ : si \(Z\), expression en \(x,y,z,dx,dy,\dots\), est la différentielle exacte d'une expression \(B\) d'un ordre moins élevé, alors en intégrant \(\delta Z\) par parties, la partie qui reste sous le signe \(\int\) est identiquement nulle, et la partie hors du signe est \(\delta B\). C'est, en termes actuels, la propriété que l'expression d'Euler–Lagrange d'une dérivée totale est identiquement nulle. « Pag 168 et suivantes, Mémoire de La Grange sur la méthode des variations » : \(\psi=P\delta\varphi+Q\delta x+\dots\), \(\int\psi+\Pi=\) constante, et le changement de \(\delta\) en \(d\) annule \(\Pi\) ; le copiste compare entre crochets les deux manières, et conclut qu'« il faudroit avoir un mémoire précédent sous les yeux ». On rapporte ces lignes sans les commenter davantage : l'extrait ne donne pas les hypothèses.

Au verso (vue 747), deux mémoires de Lagrange (pp. 188 à 243) sur le mouvement d'un corps attiré vers un ou plusieurs centres fixes⁴⁴⁸ : pour deux centres, si l'un s'éloigne à l'infini, on obtient un centre newtonien et une force de grandeur et de direction constantes, ce qui est exact⁴⁴⁹ . Le « 2^ème Mémoire Pag. 218 » cherche quand \(\frac{d^2x}{2dt^2}+M=0\), \(\frac{d^2y}{2dt^2}+N=0\) (\(M\), \(N\) fonctions de \(x\), \(y\)) admettent une intégrale première quadratique en les vitesses, \(\frac{A\,dx^2+B\,dx\,dy+C\,dy^2}{2dt^2}+Z=\) constante. Il faut \[ \frac{\partial A}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial C}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial A}{\partial y}+\frac{\partial B}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial x}=0, \] d'où \(A=a+by+cy^2\), \(C=g+hx+cx^2\), \(B=k-bx-hy-2cxy\), ce que le calcul de cette lecture vérifie⁴⁵⁰ , puis la condition d'exactitude \(\frac{\partial(2AM+BN)}{\partial y}=\frac{\partial(BM+2CN)}{\partial x}\) ; en posant \(D=4AC-B^2\) et \(Z=D^2V\), \(V\) arbitraire, \[ M=D\left(4V\frac{\partial C}{\partial x}+2C\frac{\partial V}{\partial x}-B\frac{\partial V}{\partial y}\right),\qquad N=D\left(4V\frac{\partial A}{\partial y}+2A\frac{\partial V}{\partial y}-B\frac{\partial V}{\partial x}\right), \] et l'intégrale \(\frac{A\,dx^2+B\,dx\,dy+C\,dy^2}{2dt^2}+D^2V=\) constante. Tout est exact, pour les équations écrites avec \(2dt^2\) comme à la vue 747⁴⁵¹ . Les conditions sur \(A\), \(B\), \(C\) sont celles qu'on appelle aujourd'hui les équations d'un tenseur de Killing du plan euclidien⁴⁵² .

Lagrange et l'équation \(x^2 - ay^2 = 1\)

749–749Sous un trait épais : « [Dans le mémoire cité (P. 37) de la Théorie des nombres on trouve (P. 46 T. 4 de Turin) »⁴⁵³ . Le lemme \((x^2-ay^2)(x'^2-ay'^2)=(xx'\pm ayy')^2-a(xy'\pm yx')^2\) est exact (identité de Brahmagupta). Il s'ensuit que toute puissance d'une solution de \(x^2-ay^2=1\) en est une : si \(p^2-aq^2=1\), alors \((p+q\sqrt a)^m=x+y\sqrt a\) donne \[ x=\frac{(p+q\sqrt a)^m+(p-q\sqrt a)^m}{2},\qquad y=\frac{(p+q\sqrt a)^m-(p-q\sqrt a)^m}{2\sqrt a}, \] une infinité de solutions. « La Grange démontre ensuite P. 65 » que si \(p\), \(q\) sont les plus petites valeurs, toutes les solutions sont de cette forme. C'est vrai, pour \(a\) entier positif non carré, hypothèse que l'extrait ne rappelle pas : les solutions en entiers positifs sont exactement les \((p+q\sqrt a)^m\), \(m\ge1\), où \(p+q\sqrt a\) est la plus petite⁴⁵⁴ .

Ce que les transcriptions laissent en suspens

1–750Ce qui suit n'est pas la liste des mots douteux, que les transcriptions portent tous, mais celle des points que les rédacteurs de cette lecture ont demandé de revoir sur les images, pour une révision humaine. Rien n'y est corrigé ici : la lecture a suivi, à chaque fois, ce que dit sa note au passage cité.

Questions d'ensemble.

• La série à l'encre (1 à 372, avec un « 55 bis » à la vue 113 et le feuillet blanc des vues 732–733 sans numéro) contre les 372 feuillets du catalogue ; et la foliotation de la Bibliothèque, que les transcriptions ne relèvent pas à côté de cette série.
• La main de la copie d'Euler et de la mise au net de la critique (vues 144 à 206 et 320 à 389), celle des extraits de Turin et de leurs remarques entre crochets (vues 734 à 749), celle des « Idées à vérifier » (vues 136 à 140).
• Lequel des deux brouillons de la critique fut écrit le premier (vues 210 à 216 et 218 à 316) ; lequel des deux états de la comparaison des sons (vues 486 à 503 et 600 à 613) ; si les vues 593 à 613 sont une seule seconde copie.
• Si les vues 620 à 626 sont un brouillon du mémoire « présenté en 1815 », et si le long mémoire est le « mémoire pour 1813 » (inférences de cette lecture).
• L'ordre des pages des calculs sur la chaleur (vues 630 à 640) et la pagination de la pièce sur la sphère (vues 652 à 670), que la lecture établit par le texte et non par une lecture des chiffres.
• « L'auteur » des notes d'arithmétique, et les renvois « N.o 125 », « P. 116 », « §126 » (vues 718 à 728) : la transcription y voit Gauss et les Disquisitiones, ce que seule la vue 720 écrit.
• Ce que sont, imprimés, l'Exposition et le mémoire sur la courbure, que le feuillet de garde range parmi les « mémoires imprimés ».

Points de lecture, par lot de transcription.

• Lot 6. Vue 114 : les équations (1) à (3), repassées et empâtées — le second dénominateur de (1), lu \(R\) seul ; le facteur de (2), lu \(\sin(2A-a)\) avec doute ; le premier membre de (2), écrit \(\frac1R-\frac1{R'}\) là où l'ordre des sections qu'elle donne demande \(\frac1{R'}-\frac1R\) (les accents sont à revoir).
• Lot 7. Vue 133 : l'imprimé porte-t-il bien \(\left(\frac6n\right)=1\) pour \(n=120\mu+61\) (le calcul donne \(-1\)) ? Vues 136 à 140 : l'en-tête du lot ne se prononce pas sur la main, la note de la vue 136 les dit « de la main de l'auteur ».
• Lot 9. Vue 163 : la note lue « b » dans « si sonus fundamentalis fuerit b, sequens futurus erit cis » ; le triton sous cis est g.
• Lot 10. Vue 182 : les barres d'octave des deux derniers noms de notes, qui en donnent une de plus que le calcul. Vue 199 : l'exposant surchargé lu « \(2\omega\) », que le calcul et les citations françaises des vues 210 et 224 donnent \(\omega\).
• Lot 11. Vues 201–202 : « quinto », là où le sens et la citation française de la vue 228 demandent le cas IV. Vue 218 : la page citée, lue « p. 151 » ou « 131 » (le § 47 commence à la page (151) de la copie).
• Lot 13. Vue 242 : « P. 898 §. 83 » et « le Scholie §. 81 », là où la mise au net (vue 332) écrit « P. 298 § 83 » et « § 21 ».
• Lot 14. Vue 272 : le renvoi à Chladni, « pag 4 §§ 71 », que la mise au net (vue 354) écrit « P. 94 § 71 ».
• Lot 16. Vues 301 et 304 : le signe des fractions données pour \(\tan\frac12\omega\) et \(\tan\omega\), contraire à celui que demandent les coefficients ; vue 304 : l'étendue du radical, rendu \(\sqrt2\,(e^{2\omega}+e^{-2\omega})\), que le calcul veut sur tout le produit.
• Lot 18. Vues 352 et 354 : le double signe du facteur \(e^{\lambda\omega}\mp e^{\mu\omega}\), et l'égalité écrite \(e^{\lambda\omega}=\pm e^{-\lambda\omega}\) là où le raisonnement attend \(e^{\mu\omega}\) ; vue 354 : le « 94 » de « P. 94 », peut-être « g4 ».
• Lot 19. Vues 379–380 : un béquet portant « (29) », vu par transparence à travers la vue 380 et non transcrit.
• Lot 20. Vue 381 : le même signe des tangentes qu'aux vues 301 et 304. Vue 383 : le radical, et les deux numérateurs lus \(e^{\omega}-e^{-\omega}\) (le brouillon, vue 306, donne \(e^{\omega}+e^{-\omega}\) pour le cosinus, ce qui est juste). Vue 389 : « quinze », qui ressemble à « quize ». Vue 391 : le chiffre des légendes « fig 1 », qui se lit 1 ou 7. Vue 392 : le signe lu « &c », et le signe de l'étape où le feuillet écrit \(+1\pm e^{\omega}\) pour \(-1\mp e^{\omega}\).
• Lot 21. Vues 409 et 413 : l'argument du dernier sinus de l'intégrale (I), lu « \(\pi\,may\) » puis « \(\pi.mn.y\) ».
• Lot 22. Vue 429 : la comparaison entre la partie comprise entre le second et le troisième nœud et la précédente, inversée par rapport au calcul et à sa propre conclusion.
• Lot 24. Vue 461 : « dans le cas d'un nombre impair », là où la plaque demande un nombre pair de nœuds de la lame.
• Lot 25. Vue 483 : les facteurs \(q\) et \(p\) qui manquent à deux coefficients de la variation. Vue 487 : l'intégrale (I) dite périodique « dans le sens des \(y\) », contre « des \(x\) » aux vues 409 et 413. Vue 488 : « \(n=4\) » au-dessus de la ligne, contre « \(n=1\) » à la vue 601.
• Lot 26. Vue 510 : « 2 lignes … 4 pareilles lignes » pour la plaque \(3:5\), où le calcul demande 2 et 3. Vue 518 : « \(16.25+96\) », où le calcul demande \(36\).
• Lot 27. Vue 540 : « 1 once 2 gros de cire », que les vues 541 et 542 contredisent (« 1 gros 2 grains »).
• Lot 28. Vue 549 : les renvois « N.o 19 » et « N.o 14 », que la rédaction des vues 676 à 678 écrit 119 et 104.
• Lot 30. Vue 585 : le chiffre d'octave de fa\(^{\sharp}\)3, qui ressemble à un 9. Vue 589 : « deux nœuds », attendu « quatre », et l'octave de « si 3 ». Vue 596 : \(\delta x\) au lieu de \(\delta z\) dans la seconde condition.
• Lot 31. Vue 601 : « \(n=1\) » (voir la vue 488).
• Lot 32. Vue 636 : \(\cos^2\theta\) devant la dérivée seconde en \(\sin\theta\), que la dérivation du premier membre donne \(\cos\theta\).
• Lot 33. Vue 650 : le coefficient lu « 2 » de \(\cos^2\theta\,(\partial_\theta z)^2\) dans le facteur \(K^3\), que le calcul donne égal à 1.
• Lot 35. Vue 684 : les dénominateurs lus « \(2^2\) », « \(2.3\) », « \(2.5\) », où la règle qu'elle énonce donne \(2\cdot2\), \(2\cdot4\), \(2\cdot6\). Vue 695 : « \(A'\cos\varphi-A'\sin\varphi=0\) », où le brouillon (vue 690) porte \(B'\).
• Lot 36. Vue 704 : « puissance paire de 2 » dans la phrase d'ouverture, que la dernière ligne et le calcul veulent « impaire ». Vue 708 : l'exposant de \(z''\), lu \(n\) là où la vue 710 et le calcul donnent \(2n\). Vue 710 : l'exposant lu « 8n » (le calcul demande \(2n\)), et \(2^{n-1}\) là où la colonne de droite porte \(2^{2n-1}\). Vue 717 : blanche selon l'en-tête du lot et sa note de numérotation, couverte d'autres calculs selon la note de la vue 716. Vue 719 : les lectures « \(10n+2\) » et « \(4k+11\) » (pour \(40k+11\)). Vue 720 : le second « \(4n+1\) » du feuillet 355.
• Lot 37. Vue 737 : « \(a\sqrt{-K}=\frac{\nu\pi}{a}\) », le dénominateur lu \(a\) avec doute (le calcul donne \(a\sqrt{-K}=\nu\pi\)).