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Datation du catalogue : 1801-1900
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« Réponse aux questions de Mlle », suite : l'infini et l'hyperbole

41f. 35v de \(S \times CB\). ainsi à une distance 100 fois plus grande il suffira d'une force cent fois moindre que \(P\) pour conserver l'equilibre. et à une distance infiniment grande une force infiniment petite ou nulle suffira, car le † […]

† reciproque de l'infini est 0

suite du texte de la vue 40 (lot 2), même main ; « ou nulle » est ajouté dans l'interligne ; le mot biffé après « car le » n'a pu être lu, et le signe † au-dessus de lui renvoie à la note marginale. Plus haut dans la marge gauche, au crayon et presque effacé, une formule dont on ne lit que « \(S \times CB\) » au dénominateur, et un mot (« hic » ?) devant une accolade

ainsi si nous supposons une ligne inflexible et infiniment etendue de \(B\) en \(A\), appuyée par son extremité \(B\) ou retenue par une puissance quelconque \(R\). une puissance \(S\) venant la choquer de \(S\) en \(C\), ne sçauroit la faire changer de place, et meme le paradoxe s'evanouira en quelque sorte si l'on fait attention que pour que la ligne infinie \(BA\), prît quelque mouvement, il faudroit que le point \(A\), parcou parcourut dans un temps fini un chemin infiniment grand; ce qui est absurde. mais on tombe dans ces paradoxes toutes les fois qu'on se transporte dans la region de l'infini; parcequ'il est absurde qu'on puisse jamais y parvenir. c'est une maniere de parler. dans le langage rigoureux de la geometrie, l'infini n'est qu'une grandeur plus grande que toute grandeur donnée.

« inflexible et » est ajouté dans l'interligne au-dessus de « ligne » ; « \(R\) » est écrit au-dessus d'une lettre soulignée deux fois (un \(S\) ?) ; « dans un temps fini » est ajouté dans l'interligne ; « rigoureux » de même

La Geometrie pure presente dans l'hyperbole un paradoxe semblable. car soit l'hyperbole entre ses Asymptotes \(AC\), \(BE\) &c. dont la nature est telle

f. 36r que \(Cb\), \(Cd\), \(Ce\) &c. etant les abscisses et \(Bb\), \(Dd\), \(Ee\) &c. les ordonnées, on a toujours le rectangle \(CD\) = au quarré \(CB\), \(CE\) le rectangle \(CE\) = au meme quarré \(CB\) &c. ainsi à une distance infinie l'ordonnée \(Ee\) sera infiniment petite ou zero. on aura donc le rectangle d'une ligne infiniment petite ou zero par une ligne infinie egale à un rectangle donné.

en tête de la page, un croquis : deux asymptotes, l'une verticale portant \(A\) et \(C\), l'autre horizontale portant \(C\), \(b\), \(d\), \(e\) ; une hyperbole passant par \(B\), \(D\), \(E\) avec les ordonnées \(Bb\), \(Dd\), \(Ee\) tracées ; une seconde hyperbole plus éloignée marquée \(f\), \(g\), \(h\), coupée en \(i\) par l'horizontale menée de \(A\), avec une verticale pointillée abaissée de \(i\)

il y a plus. en supposant qu'on fut parvenu à l'infini on auroit \(0 \times \infty\) egal non seulement au quarré \(CB\), mais à toute autre grandeur finie. car on peut concevoir une autre hyperbole entre les memes asymptotes, et au point (infiniment distant) ou elle touche la ligne \(Cde\) &c. on aura encore un rectangle infini en longueur, et infiniment petit ou nul en hauteur qui sera egal a un quarré \(Ci\). mais on le repete, ces paradoxes n'ont lieu que parceque c'est un paradoxe lui meme que de supposer qu'on puisse atteindre l'infini.

« touche » est ajouté dans l'interligne au-dessus de « la ligne » biffé

42f. 36v La proposition paradoxale que \(\frac{0}{0}\) est egal a tout ce qu'on veut suit en quelque sorte de la precedente. car \(\frac{1}{0}\) est \(= \infty\) ou a l'infini. or \(0 \times \infty\) peut representer toute grandeur finie, donc a la place de \(\infty\) substituant sa valeur \(\frac{1}{0}\) on aura \(0 \times \frac{1}{0}\) ou \(\frac{0}{0}\) egal a toute grandeur finie quelconque mais le premier paradoxe n'ayant lieu qu'a cause d'une supposition impossible celui ci est dans le meme cas.

un \(\infty\) tracé seul dans la marge gauche, en regard de la quatrième ligne ; un trait horizontal sépare ce paragraphe des deux suivants

La Dynamique de M. d'Alembert a été jadis imprimée chez Briasson; on indiquera probablement où elle se trouve aujourd'hui, […] chez firmin didot, rue jadis Dauphine. ce libraire se chargera meme probablement de la procurer.

Le traité d'algebre de M. Bossut, est ce que toute reflexion faite, on croit pouvoir indiquer de mieux pour s'instruire de l'analyse.

une tache couvre le mot avant « été » ; « firmin didot » et « jadis Dauphine » sont soulignés dans l'original ; un mot biffé avant « chez » n'a pu être lu. La page en regard (f. 37r) est blanche ; la pièce s'achève ici

Brouillon d'une lettre de Germain à Gauss, signée « Le Blanc »

43f. 38r Vos disquisitiones arithmeticæ font depuis long tems l'objet de mon admiration et de mes études | le dernier chapitre de ce livre renferme entre autres choses remarquables le beau théorème contenu dans l'équation \(4\frac{(x^n - 1)}{x - 1} = y^2 \pm n z^2\), je crois qu'il peut être généralisé ainsi \(4\frac{(x^{n^s} - 1)}{x - 1} = y^2 \pm n z^2\) \(n\) étant toujours un nombre premier et \(s\) un nombre quelconque. Je joins a ma lettre deux demonstrations de cette généralisation. Après avoir trouvé la premiere j'ai cherché comment la methode que vous avez emploiée Art. 357 pouvoit etre appliquée au cas que j'avois a considerer; j'ai fait ce travail avec d'autant plus de plaisir qu'il m'a fourni l'occasion de me familiariser avec cette methode, qui je n'en doute pas sera encore dans vos mains l'instrument de nouvelles decouvertes

main de Germain ; la page en regard (f. 37v) est blanche. « disquisitiones » est souligné ; un trait vertical après « études » marque sans doute un alinéa. Aucune date sur le feuillet : ce brouillon paroît être celui de la première lettre à Gauss, à laquelle répond la lettre de Gauss du 16 juin 1805 (vue 32) — inférence de la présente lecture. L'article 357 est celui des Disquisitiones arithmeticae où l'équation \(4\frac{x^p - 1}{x - 1} = Y^2 \mp pZ^2\) est établie

44f. 38v Je me suis beaucoup occupé de la celebre équation de fermat […] \(x^n + y^n = z^n\) dont l'impossibilité en nombres entiers n'a encore été demontrée que pour \(n = 3\) et \(n = 4\) je crois etre parvenu a prouver cette impossibilité pour \(n = p - 1\) \(p\) etant un nombre premier de la forme \(8k + 7\).

ce paragraphe est barré d'un seul trait oblique ; avant \(x^n + y^n = z^n\) un premier essai de l'équation est biffé

J'ai ajouté a cet Art. quelques autres considerations. la derniere est relative a la celebre equation de Fermat \(x^n + y^n = z^n\) dont l'impossibilité en nombres entiers n'a encore été demontrée que pour \(n = 3\) et \(n = 4\) je crois etre parvenu a prouver cette impossibilité pour \(n = p - 1\) \(p\) etant un nombre premier de la forme \(8k + 7\).

Je prens la liberté de soumettre […] ces essais a votre jugement persuadé que vous ne dedaignerez pas d'éclairer de vos avis un amateur enthousiaste de la science que vous cultivez avec de si brillans succès.

« ces essais » est écrit dans l'interligne au-dessus de deux ou trois mots biffés (« mon … travail » ?)

Rien n'egale l'impatience avec laquelle j'attens la suite du livre que j'ai entre les mains, je me suis fait informer, que vous y travailliez en ce moment; […] je ne negligerai rien pour me la procurer aussitôt qu'elle paroîtra:

un mot biffé après le point-virgule ; « aussitôt » est écrit par-dessus un premier « plutôt »

Malheureusement l'étendue de mes forces l'etendue de mon esprit ne repond guere pas a la vivacité de mes goûts et je sens qu'il y a une sorte de thé témérité a […] importuner un homme de genie lorsqu'on n'a d'autre titre a son attention qu'une admiration necessairement partagée par tous ses lecteurs.

« pas » est écrit au-dessus de « guere » biffé ; le mot biffé avant « importuner » n'a pu être lu

f. 39r En relisant le memoire de M. de la Grange (Berlin 1775) j'ai vu avec étonnement qu'il n'a pas su réduire la quantité \[ s^{10} - 11\left(s^8 - 4 s^6 r^2 + 7 s^4 r^4 - 5 s^2 r^6 + r^8\right) r^2 \quad (\text{p. } 352) \] a la forme \(t^2 - 11 u^2\); car \[ s^{10} - 11\left(s^8 - 4 s^6 r^2 + 7 s^4 - 5 s^2 r^6 + r^8\right) r^2 \] \[ = r^{10} - 2 \cdot 11\, s^6 r^4 + (5 + 6)\, r^8 s^2 - 11\left(s^8 - 6 s^6 r^2 + 9 r^4 s^4 - 2 r^4 s^4\right. \]

le calcul s'interrompt sur la parenthèse ouverte, un petit trait au-dessous ; « \(7 s^4\) » sans \(r^4\) dans la seconde copie, comme écrit ; la lecture des exposants de la dernière ligne, et celle du premier terme « \(r^{10}\) » (ou \(s^{10}\)), est douteuse. Le mémoire cité est celui de Lagrange dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour 1775, la page 352 étant celle du feuillet

Cette remarque est une nouvelle preuve de l'avantage de votre methode, qui s'appliquant a toutes les cas valeurs de \(n\) donne pour chaque cas des valeurs de \(Y\) et \(Z\) independantes de tatonnement

si connoissant les valeurs de \(Y\) et \(Z\) dans l'équation \(4\frac{(x^n - 1)}{x - 1} = Y^2 \pm n Z^2\) on vouloit avoir celles de \(Y'\) et \(Z'\) dans l'équation \(4\frac{(x^n + 1)}{x + 1} = Y'^2 \pm n Z'^2\), il est clair qu'il suffiroit de changer les signes de tous les termes de \(Y\) et \(Z\) qui contiennent des puissances de \(x\) dont l'exposant est impair.

Je n'ai pas voulu fatiguer votre attention en multipliant les remarques dont votre livre a été pour moi l'occasion; si je puis esperer que vous accueilliez favorablement celles que j'ai l'honneur de

45f. 39v vous communiquer et que vous ne dedaigniez les trouverez pas entierement indignes de reponse Veuillez l'adresser A Monsieur Silvestre de Sacy membre de l'institut national. Rue haute feuille A Paris.

Croyez […] au prix que j'attacherois a un mot d'avis de votre part et agréez l'assurance du profond respect de

Votre très humble serviteur et très assidu lecteur

Le Blanc

« ne » est ajouté dans l'interligne et « dedaigniez » biffé ; après « Croyez » un blanc de trois ou quatre mots a été laissé, non rempli ; le feuillet est plus court que les autres. L'adresse est celle que porte la lettre de Gauss du 16 juin 1805 (vue 35)

Second brouillon de Germain à Gauss

f. 40r Je dois vous paroître bien coupable, d'avoir tardé si longtems a vous remercier de la lettre dont vous m'avez honoré et de l'envoi du memoire que vous avez bien voulu y joindre cependant il n'y a pas de ma faute le paquet ne m'a été remis qu'il y a quatre huit jours. Mr de Sacy étoit en voyage depuis plus de deux mois et on avoit négligé chez lui de me faire tenir. il est vrai que n'esperant pas de vous une reponse si prompte je n'avois mis aucun soin a m'informer des lettres qui m'etoient adressées.

« huit » est écrit au-dessus de « quatre » biffé. Le mémoire reçu seroit celui de 1799 que Gauss annonce dans sa lettre du 20 août 1805 (vue 35) — inférence de la présente lecture, le brouillon n'étant pas daté

Votre mémoire m'a fait d'autant plus de plaisir que je le connoissois déjà par une lecture rapide que m'avoit procurée l'un des savans auxquels vous l'avez envoié il y a déjà longtems et qu'ayant toujours eu le desir de l'étudier comme on doit le faire de tous les ouvrages qui sortent de votre plume je l'avois inutilement fait demander a Leipsik d'ou j'avois reçu pour reponse que l'édition étoit epuisée. Ainsi je vous ai la plus grande obligation et je […] tout le prix Aussi desesperois je de pouvoir jamais le retrouver et vous ai je la plus grande obligation de me l'avoir ainsi donné c'est pourquoi je n'avois pas osé vous en parler

trois essais de phrase biffés l'un après l'autre ; dans le premier, un ou deux mots après « et je » n'ont pu être lus

L'indulgence que vous continuez de me témoigner m'encourage a vous communiquer encore quelques unes de mes nouvelles recherches, sur l'arithmetique.

Après avoir reduit suivant que vous l'indiquez, les formes ternaires dont la déterminante est zéro aux formes binaires j'ai

46f. 40v cherché si cette propriété ne s'étendoit pas aux formes quaternaires c'est a dire si ces formes n'etoient pas susceptibles de se réduire aux formes ternaires lorsque leur déterminante est zéro pour cela j'ai cherché qu'elle etoit l'expression générale de la déterminante quaternaire, je me suis aidé pour cela de l'analogie ce soupçon s'etant verifié j'ai au moyen des calculs et j'ai examiné aussi ensuite quelques autres proprietés de ces formes et de leurs adjointes.

la lecture du passage biffé est douteuse ; « ensuite » est écrit au-dessus de « aussi » biffé

Je crois qu'en general \(D\) etant la déterminante d'une forme composée d'un nombre \(n\) de variables \(D^{n-1}\) sera est la déterminante de l'adjointe de cette forme. c'est ainsi que vous avez trouvé \(D^2\) pour la déterminante de l'adjointe ternaire et vous verrez que d'après mes calculs, \(D^3\) est la déterminante de l'adjointe quaternaire. Mais cette analogie n'est sans doute pas suffisante pour etablir la generalité de la proposition. On voit au moins que la déterminante de la forme étant composée de produits de l'ordre \(n\) et les coëfficiens de son adjointe l'étant de produits de l'ordre \(n - 1\), \(D^{n-1}\) est du même ordre que la déterminante de l'adjointe c'est a dire de l'ordre \(n(n - 1)\)

« est » est écrit au-dessus de « sera » biffé ; « et que » au-dessus de « vous verrez » biffé ; « etablir la generalité de la proposition » et « de la forme » sont écrits dans la marge gauche, en regard des lignes où ils s'insèrent

f. 41r pour les formes binaires, la déterminante de l'adjointe seroit d'après cette proposition la même chose que celle de la forme. c'est ainsi, que les formes binaires binaires n'auroient ces deux propositions savoir que l'adjointe la déterminante est de l'ordre pour adjointe \(n\) et les coëfficiens de l'adjointe de l'ordre \(0\) — m'ont paru resulter de la nature generale des formes et de leurs adjointes.

passage très remanié, dont la lecture est incertaine : « ces deux propositions savoir que … est de l'ordre », « m'ont paru resulter de la nature generale des formes et » et « de leurs adjointes » sont écrits dans les interlignes ; « déterminante » est écrit au-dessus du second « l'adjointe » de la ligne, et l'on ne sait lequel des deux il remplace ; le chiffre après « de l'ordre » pourroit aussi se lire « \(n - 1\) » ; la première ligne est surmontée d'un trait courbe qui la biffe peut-être. Le sens visé paroît être que, pour les formes binaires, la déterminante de l'adjointe est celle de la forme même

Je regarde comme une faveur la permission que vous voulez bien m'accorder de vous communiquer mes foibles essais persuadé que vous aurez assez de bonté pour m'avertir des erreurs qui pourroient m'échapper dans un genre de recherches dont ou vous etes le seul juge éclairé que l'on puisse consulter.

Les nouveaux renseignemens que j'ai pris au sujet du libraire Duprat ne sont rien moins que satisfesans, c'est pour cela que j'ai negligé d'en faire le sujet exprès d'une lettre. Son successeur a dit avoir depuis longtems terminé ses payemens dont le produit a été aussi tôt dissipé de sorte que votre debiteur doit être sera regardé considere comme entierement insolvable.

J'aurois desiré pouvoir Il est retiré dans une petite ville ou il vit du produit revenu d'un mediocre emploi

« ou » est écrit au-dessus de « dont » biffé ; « revenu » au-dessus de « produit » biffé ; « J'aurois desiré » n'est pas biffé mais la phrase est abandonnée. Duprat est le libraire dont Gauss se plaint dans sa lettre du 16 juin 1805 (vue 34)

47f. 41v Je vous prie, Monsieur, de vouloir bien agréer tous mes remercimens me continuer l'indulgence, que vous avez bien voulu me

Il faut bien compter sur votre indulgence pour oser vous adresser un si volumineux paquet, je sens cependant que votre tems est

ces deux débuts sont annulés d'un même trait vertical ondulé ; dans le premier, « tous » est ajouté au-dessus de « mes », et « bienveillance » au-dessus de « l'indulgence »

[…] l'avis général de toutes les personnes que j'ai consultées est été qu'il est a peu près impossible de tirer de l'argent de lui.

les deux premiers mots de la ligne (« J'a… ») n'ont pu être lus ; « été » est écrit au-dessus de « est » biffé

Je n'avois pas jugé necessaire de vous communiquer ces resultats parceque je ne vois pas que l'on puisse en tirer bon parti et que j'attendois, pour vous écrire de nouveau que vous m'en eussiez donné la permission, et le retard qu'a occasionné le voyage la remise de votre lettre m'a privé de vous faire plutôt mes tous mes remercimens et les protestations de mon profond respect.

Note de Legendre sur le problème § 47 d'Euler

f. 42r Euler n'a traité qu'en passant et par forme d'exemple son problème § 47, il peut s'y être mépris tant en fait de calcul qu'en fait de raisonnement. Il s'est mépris certainement dans le calcul lorsqu'il a trouvé \(\gamma' = -\gamma\), puisqu'on doit avoir \(\gamma' = \gamma\). Il se peut faire aussi que la seconde solution soit purement analytique et ne satisfasse pas aux circonstances physiques du problème. C'est ce que je ne deciderai pas, n'ayant pas assez réfléchi sur ces sortes de questions et n'ayant pas le loisir ni le goût de me livrer à un examen plus approfondi. J'aime donc mieux donner cause gagnée à Mlle Sophie que de lutter avec elle sur un sujet qu'elle a beaucoup médité. Voici seulement ce qui me paroit le plus probable.

main de Legendre, sans en-tête ni date ; la lettre lue \(\gamma\) est celle de la lettre du 19 janvier (f. 52v), où elle est nettement un gamma. Le « problème § 47 » est celui du traité d'Euler sur les courbes élastiques dont la lettre du 19 janvier cite les pages 152 à 157 — identification de la présente lecture

Avant toute discussion il faudroit avoir bien fixé le sens des mots Simpliciter fixus qu'emploie Euler. Comme dans ce point \(y\) est toujours zéro, il faut, ce me semble, regarder le stilet comme une aiguille fixe qui traverse la verge au milieu de sa largeur, et autour duquel elle peut tourner dans tous les sens — Je ne vois pas quel mot d'Euler puisse avoir une autre signification.

« Simpliciter fixus » est souligné dans l'original

48f. 42v Cela posé si l'on a bien déterminé dans le probl. IV tous les mouvemens que peut prendre une verge élastique dont les extrémités sont Simplement fixes; parmi tous les mouvemens réguliers possibles il y en aura un certain nombre dans lesquels le point milieu de la verge demeurera en repos: ces derniers mouvemens satisferont au probl. du § 47, il ne s'agira donc que de retrancher de la solution generale du probl. IV, toutes les solutions qui ne satisfont pas à cette condition.

Pareil raisonnement s'applique à tous les autres cas généraux depuis le problème I jusqu'au probl. VI, et il s'applique encore au cas où le stilet seroit appliqué à un autre point que le milieu, ou même aux cas où plusieurs stilets seroient appliqués en différents points de la verge, au moins suivant des distances qui seroient dans un rapport rationnel avec la longueur entiere de la verge.

Cette explication peut faire disparoître beaucoup de difficultés, mais je ne me dissimule pas qu'elle est sujette à une objection.

Quand on considère dans les problèmes successifs I, II .. VI, les differens mouvemens de la verge on suppose qu'elle est entierement libre dans les points intermédiaires, et qu'ils n'éprouvent dans leurs mouvemens aucune résistance. Le cas n'est plus […] le même lorsqu'on conçoit un ou

« Simplement fixes » est souligné ; « le même » est écrit au-dessus d'un mot biffé

f. 43r plusieurs stilets appliqués en différens points. Si ces stilets ne supportent aucune pression dans aucun sens, la solution telle que nous venons de la concevoir pourra etre appliquée, mais s'ils en supportent une il faudra y avoir égard, les solutions des problèmes I, II .. VI. ne sont plus applicables et tout notre édifice croule.

Permettez, mademoiselle, que je vous laisse vous dégager comme vous pourrez de ces ruines, moi je me sauve en vous faisant une très humble révérence

L. G.

49f. 43v A Mademoiselle

Mademoiselle Sophie Germain,

Maison de M. Degligny

Rue Ste Croix de la bretonnerie

Paris

adresse au verso du second feuillet de la note ; timbre de la poste « Janvier … 1811 », le quantième illisible, et une marque « G 5 » ; l'adresse est écrite en travers

Lettre de Legendre, Paris, 10 novembre 1811

f. 44r Mademoiselle, Votre mémoire est en circulation, M. Lacroix l'avoit entre les mains lundi dernier; je m'informerai demain à qui il l'a remis, et j'y ferai joindre le Supplément, les commissaires jugeront ensuite s'ils doivent tenir compte ou non de ce supplément. Je ferai ensorte d'ailleurs que M. de la Grange ne tarde pas à lire le tout.

Il n'y a pas de difficulté, ce me semble, dans le cas particulier où le pendule a la vitesse nécessaire pour remonter jusqu'à l'extrémité supérieure du diametre vertical. Le calcul prouve qu'il faut un tems infini pour que le pendule arrive à ce point, et alors son mouvement sera anéanti;

Agréez, Mademoiselle, l'hommage de mes sentimens les plus distingués

Le Gendre

Paris ce 10 novembre 1811.

la signature est écrite en deux mots et soulignée, ici et dans les lettres suivantes

51f. 45v A Mademoiselle

Mademoiselle Sophie Germain

Maison de M. Degligny

Rue Ste Croix de la bretonnerie

Paris

adresse de la lettre du 10 novembre 1811, au verso de son second feuillet ; timbre de la poste « 10 … 1811 » et marque « G 5 »

Lettre de Legendre, Paris, 22 octobre 1811

f. 46r Mademoiselle

Votre mémoire n'est pas perdu: il est le seul qu'on ait reçu sur la question des vibrations des surfaces. on a nommé hier cinq commissaires pour l'examiner, j'ai l'honneur d'en être un, Mrs Laplace, Lagrange, Lacroix et Malus sont les quatre autres. Je n'ai rien dit, je vous conseille également de garder le silence jusqu'au jugement définitif

Je suis avec tous les sentimens que vous me connoissez

Votre dévoué serviteur

Le Gendre

Paris ce 22 8bre 1811

« 8bre » abrège octobre, « bre » en exposant ; un « 7 » au crayon dans le coin supérieur, à côté du folio

53f. 47v Mademoiselle Sophie Germain,

Maison de M. Degligny

Rue St Croix de la bretonnerie

Paris

adresse de la lettre du 22 octobre 1811, au verso de son second feuillet ; timbre de la poste « Octobre 22 1811 » et marque « G 5 »

Lettre de Legendre, 4 décembre 1811

f. 48r Mademoiselle

Je n'ai pas de bonnes nouvelles à vous donner de l'examen du Mémoire. On trouve que votre équation principale n'est pas exacte, même en admettant l'hypothèse que l'élasticité en chaque point peut être représentée par \(\frac{1}{r} + \frac{1}{r'}\). M. de la Grange a trouvé que dans cette hypothèse la vraie équation devroit être de la forme \[ \frac{d^2 z}{dt^2} + k^2\left(\frac{d^4 z}{dx^4} + 2\frac{d^4 z}{dx^2 dy^2} + \frac{d^4 z}{dy^4}\right) = 0, \] en supposant d'ailleurs \(z\) très petit. Je n'ai point vérifié ce calcul; on peut s'en rapporter à son auteur; mais ce qui du premier coup d'œil confirme son exactitude, c'est qu'en supposant la surface vibrante réduite à une lame d'une largeur constante, ce qui peut s'exprimer en faisant \(\frac{dz}{dy} = 0\), on retombe sur l'équation \(\frac{d^2 z}{dt^2} + k^2 \frac{d^4 z}{dx^4} = 0\) qui est, autant qu'il m'en souvient (car je n'ai pas le volume sous la main) l'équation donnée par Euler pour les lames elastiques vibrantes. Votre équation ne donneroit pas ce résultat. La source de votre erreur […] paroit être dans la maniere dont vous avez

Legendre écrit le \(d\) droit ; c'est l'équation de la note de Lagrange copiée sur la vue 39 (lot 2) ; un mot biffé après « erreur »

54f. 48v cru pouvoir déduire l'équation de la surface vibrante de l'équation d'une simple lame; c'est dans les doubles intégrales que vous vous êtes égarée; Elles ne se prêtent nullement aux substitutions que vous avez employées. Il falloit pour l'équation de la surface suivre la Méthode indiquée par Lagrange dans sa 1re édition pag. 148, en ajoutant le terme convenable pour représenter la force due à l'élasticité. Au reste ces choses sont sujettes à des difficultés particulieres qui n'ont pas encore été bien éclaircies et il y auroit même des objections à faire contre l'analyse de l'article même que je cite.

M. Biot qui a eu communication de votre Mémoire prétend avoir trouvé la vraie équation de la surface Elast. vibr., il m'en a communiqué une, qu'il dit avoir montrée il y a longtems à M. de la Place et qui n'est pas la même que celle qu'a trouvée M. de la Grange d'après votre hypothèse.

Je n'en rends pas moins justice à des efforts qui sont louables en eux-mêmes, quoiqu'ils n'ayent pas l'issue que j'aurois desirée, mais c'est une raison de plus de garder l'incognito

« 1re » avec « re » en exposant : la première édition de la Mécanique analytique, identification de la présente lecture

f. 49r et je vous promets de mon côté de garder le plus profond silence.

J'imagine que la même question sera proposée avec un nouveau délai, ainsi Miséricorde n'est pas perdue: au contraire il faut plus que jamais songer à emporter la palme.

Agréez, Mademoiselle, les sentimens affectueux de votre dévoué serviteur

Le Gendre

ce 4 décembre 1811.

55f. 49v a Mademoiselle

Mademoiselle Sophie Germain,

Maison de M. Degligny,

rue Ste Croix de la bretonnerie

Paris

adresse de la lettre du 4 décembre 1811, au verso de son second feuillet ; timbre de la poste illisible ; marque « G 5 »

Lettre de Legendre, 4 décembre 1813

f. 50r Mademoiselle

Je ne comprends pas du tout l'analyse que vous m'envoyez, il y a certainement erreur ou dans l'écriture ou dans le raisonnement, et je suis porté à croire que vous n'avez pas une idée bien nette des opérations qu'on fait sur les intégrales doubles dans le calcul des Variations. Votre explication des quatre points ne me satisfait pas davantage. La Grange a eu raison de considérer deux Elemens consécutifs dans la courbe élastique, et de mesurer l'élasticité par l'angle compris entre les deux Elemens. On n'a pas d'Elemens analogues dans les surfaces, ou du moins ceux que vous avez considérés ne sont pas dans la ligne de l'analogie. Un élément de la surface a pour projection \(dx\,dy\); l'Element suivant a pour projection \((dx + ddx)(dy + ddy)\); ces projections sont deux carrés séparés; ensuite l'idée des plans ne s'accommode pas avec ces projections, parcequ'un plan ne passe pas par quatre points. Il y a donc dans tout cela beaucoup d'obscurité

56f. 50v Je ne me charge pas de vous lever toutes les difficultés dans une matiere que je n'ai pas cultivée spécialement et qui n'a pas d'attrait pour moi; ainsi il est inutile que je vous donne un rendez vous pour en causer. D'ailleurs le sort en est jetté, il n'y a plus rien à changer au Mémoire, et avec toute ma bonne volonté je n'y pourrois rien faire.

Il paroit reconnu cependant que votre Equation est réellement celle de la surfa surface vibrante; en mettant l'analyse à part le reste peut etre bon, en ce qui concerne l'explication des phénomenes. Si la Commission de l'institut étoit de cet avis, vous pourriez au moins être mentionnée honorablement, mais je crains bien que l'analyse manquée ne nuise beaucoup au mémoire, malgré ce qu'il peut contenir de bon.

Dans tous les cas vous aurez la ressource de faire imprimer vos recherches en rétablissant la vraie analyse ou en la supprimant, et votre travail vous fera encore honneur. C'étoit peut etre le parti qu'il falloit prendre dans l'origine,

f. 51r mais je vous promets toujours le plus profond secret, et si vous n'avez pas commis d'ailleurs quelque indiscretion, la chose sera comme non avenue.

Agréez je vous prie, mes hommages et mon entier dévouement

Le Gendre

ce 4 déc. 1813.

57f. 51v Mademoiselle

Sophie Germain

adresse de la lettre du 4 décembre 1813, au verso de son second feuillet, réduite au nom ; ni rue ni timbre

Lettre de Legendre, Paris, 19 janvier « 1814 » (timbre de 1811)

f. 52r La Multiplication par \(\sin \frac{1}{2}\omega\), contre laquelle je m'étois élevé dans ma 1ère note, s'explique en examinant les choses de plus près, et voici comment

Avant de faire aucune supposition sur la valeur de \(\omega\), l'auteur (pag. 154) trouve le rapport \[ \frac{\alpha}{\alpha'} = \frac{e^{\lambda\omega} - e^{\omega(1 - \lambda)}} {e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}}, \] d'où il conclut \(\alpha = e^{\lambda\omega} - e^{\omega(1 - \lambda)}\), \(\alpha' = e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}\); parcequ'en effet il peut multiplier tous les coefficiens \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\), par un même nombre, puisqu'il reste encore un coefficient arbitraire \(C\) qui multiplie le tout.

Mais comme par suite de la valeur \(\sin \frac{1}{2}\omega = 0\), on trouve \(\alpha = 0\) et \(\alpha' = 0\), il s'ensuit qu'on a mal à propos multiplié tous les coefficiens \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) par une quantité infinie, puisque le coefficient \(\alpha\) qui sans cette multiplication auroit été zéro, est devenu une quantité finie. Pour rectifier cette erreur il faut donc supprimer le facteur infini, ou multiplier par \(\sin \frac{1}{2}\omega\).

Cette explication laissoit encore quelques obscurités, et il est bien plus simple de refaire le calcul des coefficiens dans la supposition de \(\sin \frac{1}{2}\omega = 0\) ou \(\frac{1}{2}\omega = k\pi\), \(\lambda\) étant \(\frac{1}{2}\).

Soit donc \(\sin \frac{1}{2}\omega = 0\), et alors en remontant tout simplement aux équations primitives de la pag. 152, on trouve […] sans aucune difficulté \(\alpha = 0\), \(\beta = 0\), \(\delta = 0\), \(\alpha' = 0\), \(\beta' = 0\), \(\delta' = 0\), Il ne reste que \(\gamma\) et \(\gamma'\) qui ne s'anéantissent pas. Mais les équations dont il s'agit n'en déterminent pas la valeur et on trouve simplement \(\gamma = \gamma'\). A cause

« ma 1ère note » : la note sur le § 47 d'Euler (f. 42–43), dont le raisonnement est repris ici ; « 1ère » avec « ère » en exposant ; « Multipli » à la fin de la seconde ligne est raturé et le mot repris ; deux ou trois symboles biffés après « on trouve » ; « \(\delta = 0\) » est écrit par-dessus une première lettre

58f. 52v du Multiplicateur Commun \(C\), on peut faire \(\gamma = 1\), et on aura \(\gamma' = 1\)

Euler dans son analyse (mal ordonnée) trouve \(\gamma' = -\gamma\); Mais c'est une erreur manifeste, et les équations III et IV de la page 152 donnent évidemment \(\gamma = \gamma'\).

Voilà une difficulté très vraie et très grave, et voyez les Conséquences qui en résultent. Si on a \(\gamma = \gamma' = 1\), alors l'équation de la portion de courbe \(LF\) (pag. 157) n'est plus \(y = -C \sin(\zeta + \text{\&c})\), mais bien \(y = +C \sin(\zeta + \text{\&c})\) comme celle de la portion \(EL\). […]

deux lignes entièrement biffées, d'un trait épais, après « \(EL\) » ; on y distingue « … ces deux portions … seroient … » sans plus

Il reste donc à chercher laquelle de ces deux équations est la vraie. On pourroit croire au premier coup d'œil que c'est celle d'Euler, qui semble indiquer tout de suite des Ordonnées négatives pour la portion \(LF\). Hé bien, point du tout, Euler s'est trompé dans cette équation par suite de son erreur sur le signe de \(\gamma'\), et la vraie équation de la portion \(LF\), est \[ y = C \sin\left(\zeta + t\,\frac{\omega c \sqrt{2gb}}{aa}\right) \cdot \sin u\omega \] absolument comme celle de la portion \(EL\), c'est-à-dire que ces deux portions ne font qu'une seule et même courbe désignée par la même équation. Résultat qui se rapproche entierement de la théorie que Mlle Sophie vouloit adopter, même en dépit des équations d'Euler et

le numérateur de la fraction, lu « \(\omega c \sqrt{2gb}\) », est d'une lecture douteuse ; \(\zeta\) est un zêta en forme de 3 ; « \(LF\) » est écrit par-dessus un « \(EF\) »

f. 53r de ma note premiere.

Il suffit pour s'en convaincre de remarquer que puisque \(\sin u\omega\) est zéro lorsqu'on fait \(u = \frac{1}{2}\), les deux suppositions […] \(u > \frac{1}{2}\), \(u < \frac{1}{2}\) donneront deux résultats de signes contraires pour \(\sin u\omega\), desorte qu'avant et après le point \(L\), les ordonnées seront de signes différens.

Voilà donc la difficulté entierement résolue pour ce point, Elle venoit de l'erreur de signe qu'a faite Euler dans l'équation \(\gamma = -\gamma'\)

Je dois aussi ajouter, contre l'opinion que j'avois avancée dans ma 1ère note que le facteur \(\sin \frac{1}{2}\omega\), donne la solution admissible \(\sin \frac{1}{2}\omega = 0\), ou \(\frac{1}{2}\omega = k\pi\). Quant à l'autre solution, contre laquelle je ne vois pas d'objection, il me semble qu'on ne peut la rejetter par cette seule raison que les sons rendus par la lame, dans ses deux portions, ne s'accorderoient pas entr'eux. Les oscillations peuvent très bien avoir lieu sans être harmoniques.

J'ai cru, Mademoiselle, ne pas devoir vous faire attendre jusqu'à lundi ces explications que votre discernement appréciera à leur valeur. Je vous les envoye comme une preuve de mon zèle et de mon dévouement

L. G.

Paris ce 19 Janvier 1814.

le dernier chiffre du millésime se lit 4, mais l'adresse au verso de ce feuillet (f. 53v) porte un timbre de janvier 1811, la note à laquelle cette lettre renvoie a été postée en janvier 1811 (f. 43v), et 1811 est l'année du premier concours ; la lecture « 1811 » est donc possible et la question reste ouverte. Deux mots biffés avant « \(u > \frac{1}{2}\) »

59f. 53v A Mademoiselle

Mademoiselle Sophie Germain,

Maison de M. Degligny,

Rue Ste Croix de la bretonnerie

Paris

adresse de la lettre du 19 janvier, au verso de son second feuillet, écrite en travers ; timbres de la poste « Janv. » avec un quantième dans le cercle intérieur et « 1811 », marque « G 5 » ; le texte de la lettre transparoît

Lettre de Legendre, 31 décembre 1819

f. 54r Votre équation, Mademoiselle, est très juste; mais la conséquence que vous en tirez n'est pas admissible; car de ce que \(p^5 = A(p^2 - q)\), il ne s'ensuit pas que \(q\) est divisible par \(p^2\); on a exactement \(\frac{q}{p^2} = 1 - \frac{p^3}{A}\); mais \(\frac{p^3}{A}\) est-il un entier, parceque \(\frac{p^5}{A}\) en est un? Voilà le nœud

Je vous préviens au reste que depuis que je vous ai parlé pour la premiere fois de ce moyen de recherche, l'opinion que j'avois qu'il qu'il pouvoit réussir est maintenant bien affoiblie, […] et qu'en somme je crois qu'il sera aussi stérile que bien d'autres. C'est pourquoi vous ferez très bien de ne pas vous en occuper davantage, de peur de perdre un tems qui peut être employé beaucoup plus utilement à d'autres recherches.

Recevez, mademoiselle, mes hommages respectueux et tous les souhaits qu'une véritable affection peut inspirer

Le Gendre

31 déc. 1819.

un mot biffé en début de ligne avant « et qu'en somme » ; la page en regard (f. 53v) est l'adresse transcrite ci-dessus ; f. 54v et f. 55 sont blancs (vue 60), cette lettre n'ayant pas conservé d'adresse