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Datation du catalogue : 1801-1900
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Résumé

Ce que le volume contient

1–103Cent trois vues, dont les quatre premières et les trois dernières sont la reliure et les gardes.¹ Entre les deux, quatre-vingt-treize feuillets numérotés au crayon par la Bibliothèque, qui se rangent en six espèces.

• Les lettres reçues, qui font la moitié du volume : deux de Cauchy (1821, 1826), deux de Delambre (1816, 1821), sept de Fourier (une officielle de 1823, une de 1824, une de 1826, et quatre autographes non datées), huit de Legendre (de 1811 à 1819, plus celle de 1821), une de Navier (1821), une de Poisson (1816), trois de Gauss (1805, 1805, 1808), une du général Pernety avec la lettre d'un officier qu'il avait envoyé chez Gauss (1806), trois de d'Ansse de Villoison (1802), un billet d'un libraire nommé Bernard, et une invitation à dîner non signée. Presque toutes ont conservé leur feuillet d'adresse, plié et cacheté, et ces adresses sont ici le seul registre de ses domiciles successifs.
• Deux notes mathématiques de Legendre sans en-tête ni date, sur un problème d'Euler (ff. 42r–43r et ff. 58–59, vues 47 à 48 et 63 à 64) ; et une note signée G. Libri, datée 1824 (f. 60, vue 65).
• Trois brouillons de sa main : une lettre « ce 18 juillet » à un correspondant que le feuillet ne nomme pas (ff. 1r–2r, vues 5 et 6), et deux lettres à Gauss signées « Le Blanc » (ff. 38r–41v, vues 43 à 47).
• Une copie, d'une main qui n'est pas la sienne, de la « Note communiquée aux commissaires pour le prix de la surface élastique (décembre 1811) », avec la mention « cette note est de Mr la grange » (f. 34r, vue 39).
• Un cours, « Réponse aux questions de Mlle … », d'une troisième main : le levier, l'infini, l'hyperbole, \(0/0\), et deux indications de librairie (ff. 35r–36v, vues 40 à 42).
• Des pièces imprimées et administratives : une plaquette de huit pages, les vers latins de Villoison pour l'anniversaire de Lalande, où une note en bas de page la nomme (ff. 74–78, vues 81 à 85) ; et trois récépissés de l'Institut, datés du 21 septembre 1811, du 21 septembre 1813 et du 8 novembre 1821 (ff. 78, 80, 82, vues 85 à 89).
• Des feuillets détachés de sa main, à la fin : deux rédactions d'un problème de centre de gravité, trois notes de lecture d'arithmétique, trois feuillets de physique d'une écriture plus ronde, et un feuillet contre Euler sur les lignes nodales (ff. 84–93, vues 91 à 99).

Le classement n'est pas chronologique et n'est pas thématique : les lettres de Legendre de 1811, 1813 et 1819 se suivent, mais celle de 1821 est vingt vues plus loin ; les feuillets d'arithmétique et ceux de physique alternent sans raison lisible. Ce qui suit est rangé par matière, non par vues.

Les surfaces élastiques : ce qu'elle cherchait, dans ses termes

5–6Le brouillon « ce 18 juillet » est la seule page du volume où elle explique son propre projet. Elle vient d'imprimer un « petit écrit » — ses « nouvelles remarques » — sur le conseil du correspondant, et lui en signale trois points.²

Le premier est la délimitation de la question. Elle tient à dire que les expériences de Savart sont « étrangères à cette question » et ne pourroient s'expliquer que par une théorie plus étendue : ce qu'elle traite est un cas particulier du mouvement des solides élastiques, non la totalité du phénomène. C'est, en langage d'aujourd'hui, la déclaration d'un domaine de validité — la théorie linéaire des petits déplacements d'une plaque mince — et l'aveu que ce qui sort de ce domaine sort de sa théorie.

Le deuxième est l'épaisseur. « Si dans les expériences dont je parle on parvenoit à séparer les différentes couches dont on peut concevoir que l'épaisseur soit composée, chacune d'elles présenteroit des figures particulières. » C'est la question de la variation des grandeurs à travers l'épaisseur, à laquelle elle consacrera un mémoire entier, le Mémoire sur l'emploi de l'épaisseur dans la théorie des surfaces élastiques lu le 9 mars 1824.³ La cinématique moderne des plaques minces — les fibres normales restent droites et normales — est précisément une hypothèse sur ces couches ; elle est due à Kirchhoff (1850) et à Love, et l'anachronisme doit être marqué : le feuillet ne l'a pas.

Le troisième est la courbure moyenne, et c'est le seul des trois qui soit une idée mathématique. Elle écrit que « l'état réel des points dont la position est également éloignée de ceux auxquels appartiennent les manières d'être extrêmes donne l'état moyen du système », et prend son exemple dans un anneau chauffé : la température des points également éloignés du maximum et du minimum est la température moyenne de la pièce. De même, dit-elle, il faut des forces égales pour changer une courbure moyenne donnée, « ensorte que la courbure de la sphère est toujours comparable à celle d'une surface de figure quelconque » — et cette remarque « m'a servi à donner une forme assez simple à l'équation générale des surfaces ».

En termes actuels : la quantité \(1/r + 1/r'\), somme des deux courbures principales, est deux fois la courbure moyenne \(H\), c'est-à-dire la trace de l'opérateur de forme. C'est bien une moyenne, au sens exact : la courbure normale, prise dans une direction faisant l'angle \(\theta\) avec la première direction principale, vaut \(k_1\cos^2\theta + k_2\sin^2\theta\), dont la moyenne sur toutes les directions est \((k_1+k_2)/2 = H\). C'est aussi une grandeur intrinsèquement associée au point, indépendante du repère choisi, et la sphère est la surface où elle est constante. Et pour un graphe \(z(x,y)\) presque plan, \[ \frac{1}{r} + \frac{1}{r'} \;=\; \Delta z + O\!\left(|\nabla z|^2\right), \qquad \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}, \] de sorte que sa mesure de la courbure est, au premier ordre, le laplacien — l'opérateur même qui gouverne la propagation de la chaleur dans l'anneau qu'elle prend pour terme de comparaison.⁴

L'équation de la plaque : la note de Lagrange et la lettre de Legendre du 4 décembre 1811

39–54C'est le nœud du volume, et il s'y trouve deux fois : dans la copie de la note de Lagrange (f. 34r, vue 39) et dans la lettre où Legendre la lui rapporte (ff. 48r–49r, vues 53 et 54). Les deux textes donnent la même équation.

Ce que Lagrange écrit

La note commence par un refus : « L'équation fondamentale pour le mouvement de la surface vibrante ne me paraît pas exacte, et la manière dont on cherche à la déduire de celle d'une lame élastique en passant d'une ligne à une surface ne paraît peu juste. » Elle donne ensuite ce à quoi se réduit, pour \(z\) très petit, l'équation du mémoire : \[ \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} + C\left(\frac{\partial^6 z}{\partial x^4\,\partial y^2} + \frac{\partial^6 z}{\partial y^4\,\partial x^2}\right), \] puis, en adoptant \(1/r + 1/r'\) comme mesure de la courbure à laquelle l'élasticité est supposée proportionnelle, celle qu'il trouve lui-même : \[ \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} + k^2\left(\frac{\partial^4 z}{\partial x^4} + 2\,\frac{\partial^4 z}{\partial x^2\,\partial y^2} + \frac{\partial^4 z}{\partial y^4}\right) = 0, \] « qui est bien différente de la précédente ».⁵

La seconde équation est, en écriture d'aujourd'hui, \[ \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} + k^2\,\Delta^2 z = 0, \] où \(\Delta^2 = \partial^4/\partial x^4 + 2\,\partial^4/\partial x^2\partial y^2 + \partial^4/\partial y^4\) est l'opérateur biharmonique.⁶ La forme développée n'est pas seulement plus courte : elle rend visible que l'opérateur est le carré du laplacien, donc invariant par rotation du plan — ce que la somme de deux dérivées sixièmes croisées n'est pas.

Le chemin qui y mène est celui que l'hypothèse de Germain impose, et il tient en quelques lignes de calcul des variations. Si l'élasticité est proportionnelle à \(1/r+1/r'\), l'énergie de flexion est, à petit déplacement, \[ E[z] = \frac{1}{2}\iint \left(\Delta z\right)^2 dx\,dy, \] dont la variation première est \(\iint (\Delta^2 z)\,\delta z\,dx\,dy\) plus des termes de bord ; le principe de d'Alembert donne alors \(\partial_t^2 z = -k^2\Delta^2 z\).⁷ L'équation moderne de la plaque mince, \(\rho h\,\partial_t^2 w + D\,\Delta^2 w = 0\), est la même à la constante près.

La vérification par la lame

Legendre, qui rapporte la conclusion sans l'avoir vérifiée, donne aussitôt la raison qui l'en persuade : « en supposant la surface vibrante réduite à une lame d'une largeur constante, ce qui peut s'exprimer en faisant \(dz/dy = 0\), on retombe sur l'équation \(\partial^2 z/\partial t^2 + k^2\,\partial^4 z/\partial x^4 = 0\) », celle d'Euler pour les lames élastiques vibrantes ; « Votre équation ne donneroit pas ce résultat. »

Il a raison, et l'argument est le bon : c'est un test de cohérence par passage à la limite d'une dimension. Si \(z\) ne dépend pas de \(y\), alors \(\Delta^2 z = \partial^4 z/\partial x^4\) et l'équation de la plaque devient celle de la poutre d'Euler-Bernoulli ; tandis que la première équation, où chaque terme porte au moins une dérivée en \(y\), se réduit à \(\partial_t^2 z = 0\), c'est-à-dire à rien.⁸

Où l'analyse a manqué : les intégrales doubles et les « quatre points »

55–56La lettre du 4 décembre 1813 est la plus dure du volume, et la plus précise. Legendre y dit trois choses.

D'abord que Lagrange a eu raison de considérer, dans la courbe élastique, deux éléments consécutifs et de mesurer l'élasticité par l'angle qu'ils comprennent. C'est exact : pour une courbe plane, l'angle entre deux éléments consécutifs divisé par la longueur d'arc est la courbure, et l'énergie \(\int \kappa^2\,ds\) est celle de l'élastique.

Ensuite qu'« on n'a pas d'Elemens analogues dans les surfaces ». Il précise : un élément de surface a pour projection \(dx\,dy\), le suivant \((dx+ddx)(dy+ddy)\), « ces projections sont deux carrés séparés » ; et « l'idée des plans ne s'accommode pas avec ces projections, parcequ'un plan ne passe pas par quatre points ». En termes d'aujourd'hui : la courbure d'une surface en un point n'est pas un nombre mais une forme quadratique — la seconde forme fondamentale — et il n'existe pas d'« angle entre deux éléments consécutifs » qui la représente, parce qu'un quadrilatère infinitésimal tracé sur une surface n'est en général pas plan. Le défaut de planéité est précisément d'ordre deux, c'est-à-dire du même ordre que ce qu'on veut mesurer ; passer de la ligne à la surface par transport de l'angle ne peut donc pas marcher. La bonne quantité scalaire est la trace de cette forme, c'est-à-dire \(1/r+1/r'\) — ce que son hypothèse disait déjà — et il faut la faire entrer dans une intégrale double avant de varier, non varier la ligne puis intégrer.

Enfin que c'est « dans les doubles intégrales » qu'elle s'est égarée, et que la méthode à suivre était celle de Lagrange, première édition, page 148.⁹ Il ajoute, et c'est la concession qui compte : « Au reste ces choses sont sujettes à des difficultés particulieres qui n'ont pas encore été bien éclaircies, et il y auroit des objections à faire contre l'analyse de l'article même que je cite. »

Le partage entre l'hypothèse et le calcul, que la présente lecture a tiré de la note de Lagrange, est dit textuellement par Poisson dans sa lettre du 15 janvier 1816 (ff. 67–68, vues 72 à 74) : « Le reproche que la Commission lui a fait porte moins sur l'hypothèse dont vous êtes partie que sur la manière dont vous avez appliqué le calcul à cette hypothèse. » Il ajoute que son propre résultat et le sien ne s'accordent que « dans le seul cas où la surface s'écarte infiniment peu d'un plan ».¹⁰ C'est exactement la situation moderne : les deux voies, la sienne par la courbure et celle de Poisson par les forces moléculaires, donnent la même équation linéaire de la plaque et diffèrent hors du régime linéaire, où l'équation n'est plus \(\partial_t^2 z + k^2\Delta^2 z = 0\).

Deux lettres plus tard, le désaccord a changé d'objet. Fourier, dans le billet autographe « vendredi matin » (ff. 24r–25r, vues 28 et 29), écrit : « il m'a paru que vous mettez dans tout son jour l'insuffisance de l'hypothèse théorique dont on a voulu déduire l'équation du 4^e ordre que vous avez trouvée ». L'équation du quatrième ordre lui est ici attribuée ; ce qui est en cause n'est plus elle, mais l'hypothèse dont on prétend la déduire.¹¹

Euler et la lame vibrante : trois notes de Legendre

57–64Trois pièces de Legendre, dont aucune ne porte de date lisible et sûre, discutent le même texte d'Euler sur les vibrations d'une lame élastique, cité par pages (152 à 157) et par paragraphes (§ 45, § 47).¹² Elles ne s'accordent pas entre elles, et l'ordre dans lequel il faut les lire n'est pas établi — voir la dernière section.

La racine parasite \(\sin\frac{1}{2}\omega = 0\)

La note intitulée « Pag. 155 » (ff. 58–59, vues 63 et 64) part de l'équation générale d'Euler, que Legendre récrit¹³ \[ 0 = 2 - 2e^{2\omega} - \left(e^{\lambda\omega} - e^{(2-\lambda)\omega}\right) \left(e^{\lambda\omega} - e^{-\lambda\omega}\right) \left(\cot \lambda\omega + \cot (1-\lambda)\omega\right). \] Sa remarque est que \(\sin\frac{1}{2}\omega = 0\) n'en est pas une racine : « elle vient d'un facteur qui a été introduit par la Multiplication et qui est étranger à la solution du problème ». Il a raison, et cela se voit directement. Pour \(\lambda = \frac12\), le troisième facteur est \(2\cot\frac{\omega}{2}\), qui devient infini quand \(\sin\frac{\omega}{2}\) s'annule, tandis que les deux autres restent finis et non nuls ; le produit diverge et l'égalité ne peut avoir lieu. Legendre ajoute la seule exception : elle « le seroit seulement par la supposition \(\frac12\omega = 0\), ou \(\frac12\omega =\) à un infiniment petit » — et en effet, quand \(\omega\to 0\), \(e^{\omega/2}-e^{-\omega/2}\sim\omega\) compense le \(\cot\frac\omega2\sim 2/\omega\) et tout tend vers \(0\), mais ce cas est celui du repos.

Il donne ensuite la raison qui rend cette racine inadmissible même comme solution formelle : elle « donne des valeurs infinies pour les coefficiens \(\gamma\) et \(\gamma'\), \(\delta'\) ». Et il reproche à Euler d'avoir écrit « Multiplicemus omnes Coefficientes par \(\sin\frac12\omega\) » : « on peut bien multiplier l'ordonnée d'une Courbe par une Constante … mais on ne peut pas multiplier par zéro ». C'est exact, et c'est le diagnostic moderne d'une racine parasite : une équation obtenue en multipliant par une quantité qui peut s'annuler acquiert les zéros de cette quantité, qui ne sont pas des solutions du problème.

Il porte le même reproche à Germain : « Lorsque Mlle Sophie a voulu considérer le cas général, elle est ce me semble tombée dans la même erreur qu'Euler, en faisant \(\sin\lambda\omega = 0\). »

La résolution générale, et le cas \(\lambda = 1/3\)

La même note donne alors une méthode pour résoudre l'équation d'Euler sans tâtonnement, et c'est la plus jolie page de mathématiques du volume. Passé la première racine, dit Legendre, \(e^{\omega}\) est si grand qu'on peut négliger \(e^{-\omega}\) devant \(e^{\omega}\) et \(e^{-\lambda\omega}\) devant \(e^{\lambda\omega}\) ; l'équation se réduit à \[ 0 = -2e^{2\omega} + e^{2\omega}\left(\cot\lambda\omega + \cot(1-\lambda)\omega\right), \qquad\text{soit}\qquad \cot\lambda\omega + \cot(1-\lambda)\omega = 2 . \] C'est un développement asymptotique, mené comme on le mènerait aujourd'hui : \(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega} \sim -e^{(2-\lambda)\omega}\) et \(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega} \sim e^{\lambda\omega}\), dont le produit est \(\sim -e^{2\omega}\), et \(2-2e^{2\omega}\sim -2e^{2\omega}\).

Posant \(x = \cot\lambda\omega\) et \(y = \cot(1-\lambda)\omega\), il observe que pour chaque valeur rationnelle de \(\lambda\) une relation algébrique lie \(x\) et \(y\), laquelle, jointe à \(x+y=2\), donne un nombre fini de racines \(\lambda\omega = \alpha, \beta, \ldots\), d'où les suites \(\lambda\omega = \alpha + k\pi\), \(\lambda\omega = \beta + k\pi\), … Il traite \(\lambda = \frac13\) : avec \(x = \cot\frac{\omega}{3}\), la formule de duplication donne \(\cot\frac{2\omega}{3} = (x^2-1)/2x\), d'où \[ x + \frac{x^2-1}{2x} = 2, \qquad 3x^2 - 4x - 1 = 0, \qquad x = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}, \] et \(\omega\) décrit les deux suites \(3\alpha + 3k\pi\) et \(3\beta + 3k\pi\), où \(\cot\alpha = (2+\sqrt7)/3\) et \(\cot\beta = (2-\sqrt7)/3\). Le calcul est juste d'un bout à l'autre.¹⁴ Legendre ferme d'ailleurs lui-même la seule faiblesse de la méthode : « Dans l'application il faudroit rechercher plus exactement les deux premiers termes \(3\alpha\), \(3\beta\), mais les autres seront toujours suffisamment approchés » — c'est-à-dire que l'approximation, qui suppose \(e^{\omega}\) grand, est médiocre pour les premières racines et s'améliore avec \(k\). C'est exactement ce qu'on dirait aujourd'hui d'un développement pour les grands modes.

\(\gamma = \gamma'\) : les deux portions ne font qu'une courbe

La lettre du 19 janvier (ff. 52r–53r, vues 57 et 58) revient sur une erreur de signe d'Euler. Euler trouve \(\gamma' = -\gamma\) ; Legendre soutient que les équations III et IV de la page 152 donnent \(\gamma = \gamma'\), et en tire la conséquence : l'équation de la portion de courbe \(LF\) n'est pas \(y = -C\sin(\zeta + \cdots)\) mais \[ y = C \sin\!\left(\zeta + t\,\frac{\omega c \sqrt{2gb}}{a^2}\right)\sin u\omega, \] « absolument comme celle de la portion \(EL\), c'est-à-dire que ces deux portions ne font qu'une seule et même courbe désignée par la même équation ».¹⁵

L'objection qu'on pourrait faire — que l'équation d'Euler, avec son signe moins, indique bien les ordonnées négatives au-delà du nœud — il la lève lui-même : « puisque \(\sin u\omega\) est zéro lorsqu'on fait \(u = \frac12\), les deux suppositions \(u > \frac12\), \(u < \frac12\) donneront deux résultats de signes contraires pour \(\sin u\omega\), desorte qu'avant et après le point \(L\), les ordonnées seront de signes différens ».

C'est le raisonnement juste, et c'est celui qu'on ferait aujourd'hui : un mode propre est une fonction, analytique sur toute la longueur ; un nœud est un zéro de cette fonction, et le changement de signe des ordonnées de part et d'autre est celui du facteur qui s'annule, non un changement de la loi. Écrire deux équations pour les deux arcs, avec des constantes de signes opposés, c'est compter deux fois le même changement de signe.

Sa propre objection à Euler sur les lignes nodales

99–99Un feuillet détaché de sa main (f. 93, vue 99) attaque le même auteur sur le même point, et par l'autre bout. Euler établit, dit-elle, que les angles que les deux portions font avec l'axe au nœud \(L\) doivent être égaux, et que les rayons osculateurs y sont les mêmes ; elle objecte que pour des extrémités libres ou fixes cela n'est pas valable dès que le paramètre diffère de \(\frac12\), « puisque j'ai trouvé qu'alors les courbures prises à droite et à gauche du point \(L\) étoient différentes entr'elles, ce qui résulte de ce qu'aucune ligne nodale située ailleurs qu'au milieu de la lame n'est à distances égales des deux plus voisines ». Elle ajoute qu'il lui semble que \(dy/ds\) et \(d^2y/ds^2\) — « les tangentes et les rayons osculateurs » — « doivent être de signes différens pour les deux portions ».¹⁶

Il faut séparer deux affirmations.

La première — que les nœuds ne sont pas également espacés — est vraie, et c'est le fait qui distingue la poutre de la corde. Les modes d'une corde sont des sinus, dont les zéros sont en progression arithmétique ; ceux d'une poutre sont des combinaisons de \(\sin\), \(\cos\), \(\sinh\) et \(\cosh\), dont les zéros ne le sont pas — ils sont seulement disposés symétriquement de part et d'autre du milieu, lorsque les conditions aux deux bouts sont les mêmes. Il en résulte, comme elle le dit, que les deux arcs qu'un nœud sépare n'ont pas la même longueur et ne sont donc pas superposables : la figure d'Euler, où les deux portions sont image l'une de l'autre, ne convient qu'au cas symétrique.

La seconde — que la courbure prise à droite et à gauche de \(L\) diffère — ne tient pas telle qu'elle est écrite. Un mode est une seule fonction, de classe \(C^{\infty}\) ; en un nœud intérieur, la tangente et le rayon osculateur ont une valeur et une seule.¹⁷ Ce qui est vrai, et qui est sans doute ce qu'elle vise, c'est que les deux arcs sont de courbures opposées : \(y\) change de signe en \(L\), donc \(d^2y/ds^2\) aussi de part et d'autre, et la concavité est tournée dans un sens sur un arc et dans l'autre sur le suivant. Sa seconde phrase est donc juste comme énoncé sur les deux portions, et fausse comme énoncé au point \(L\) lui-même. On notera que \(dy/ds\), lui, ne change pas de signe au nœud : c'est la pente, qui y est commune aux deux arcs.

L'arithmétique : les deux brouillons à Gauss

43–47Deux brouillons de sa main, sans date, signés « Le Blanc » pour le premier (ff. 38r–41v, vues 43 à 47). Ils sont fortement corrigés, avec des débuts de phrase annulés et des additions interlinéaires, et la transcription en signale plusieurs passages incertains ; ce sont des brouillons, non des lettres.¹⁸

Le théorème de l'article 357 et la généralisation qu'elle propose

Elle part du « beau théorème contenu dans l'équation \(4\frac{(x^n-1)}{x-1} = y^2 \pm n z^2\) » et propose de le généraliser ainsi : \[ 4\,\frac{x^{n^s}-1}{x-1} = y^2 \pm n z^2, \] « \(n\) étant toujours un nombre premier et \(s\) un nombre quelconque ». Elle ajoute qu'elle joint à sa lettre « deux demonstrations de cette généralisation », dont la seconde refait le chemin de l'article 357.

En termes actuels, le théorème de Gauss est le suivant. Pour \(p\) premier impair, soit \(\Phi_p(x) = (x^p-1)/(x-1)\) le \(p\)-ième polynôme cyclotomique et \(p^{*} = (-1)^{(p-1)/2}p\). Alors il existe \(Y, Z \in \mathbf{Z}[x]\) avec \[ 4\,\Phi_p(x) = Y(x)^2 - p^{*}Z(x)^2 , \] c'est-à-dire \(Y^2 - pZ^2\) si \(p \equiv 1 \pmod 4\) et \(Y^2 + pZ^2\) si \(p \equiv 3 \pmod 4\).¹⁹ Pour \(p = 3\) on a \(4\Phi_3 = (2x+1)^2 + 3\) ; pour \(p = 5\), \(4\Phi_5 = (2x^2+x+2)^2 - 5x^2\).

Sa généralisation est vraie, et elle se démontre en une ligne à partir du théorème lui-même. Puisque \(x^{n^s} - 1 = \prod_{j=0}^{s}\Phi_{n^j}(x)\) avec \(\Phi_1(x) = x-1\), on a \[ \frac{x^{n^s}-1}{x-1} \;=\; \prod_{j=1}^{s}\Phi_{n^j}(x), \qquad \Phi_{n^j}(x) = \Phi_n\!\left(x^{n^{j-1}}\right), \] de sorte que chaque facteur, multiplié par 4, est déjà de la forme voulue : \(4\Phi_{n^j}(x) = Y\!\left(x^{n^{j-1}}\right)^2 - n^{*}Z\!\left(x^{n^{j-1}}\right)^2\). Reste à multiplier ces \(s\) formes entre elles, ce que fait l'identité de composition \[ (Y^2 - n^{*}Z^2)(Y'^2 - n^{*}Z'^2) = (YY' + n^{*}ZZ')^2 - n^{*}(YZ' + ZY')^2 , \] et à diviser par \(4^{s-1}\). La division est licite : si \(4\) divise \(Y^2 - n^{*}Z^2\) alors \(Y \equiv Z \pmod 2\), et les deux composantes \(YY'+n^{*}ZZ'\) et \(YZ'+ZY'\) sont alors paires, ce qui permet de sortir un facteur 4 à chaque composition — il y en a \(s-1\).²⁰ On notera que le signe est le même pour toutes les valeurs de \(s\), puisque c'est toujours le même \(n^{*}\).

Le passage de \(Y, Z\) à \(Y', Z'\)

Elle remarque ensuite que si l'on connaît \(Y\) et \(Z\) dans \(4(x^n-1)/(x-1) = Y^2 \pm nZ^2\) et qu'on veut \(Y'\) et \(Z'\) dans \(4(x^n+1)/(x+1) = Y'^2 \pm nZ'^2\), « il est clair qu'il suffiroit de changer les signes de tous les termes de \(Y\) et \(Z\) qui contiennent des puissances dont l'exposant est impair ».

C'est juste, et c'est la substitution \(x \mapsto -x\). Pour \(n\) impair, \[ \frac{x^n+1}{x+1} = \frac{(-x)^n - 1}{(-x) - 1}, \] donc \(\Phi_n(-x)\), et il suffit de poser \(Y'(x) = Y(-x)\), \(Z'(x) = Z(-x)\) — ce qui est exactement changer le signe des termes de degré impair.²¹

Fermat, pour l'exposant \(n = p - 1\)

Le brouillon contient, une fois biffée d'un trait oblique et une fois récrite presque mot pour mot quelques lignes plus bas, cette annonce : l'impossibilité de \(x^n + y^n = z^n\) en nombres entiers « n'a encore été demontrée que pour \(n = 3\) et \(n = 4\) ; je crois etre parvenu a prouver cette impossibilité pour \(n = p-1\), \(p\) etant un nombre premier de la forme \(8k+7\) ».²²

Le premier membre de la phrase est exact pour l'époque : au début du siècle, seuls les exposants 3 et 4 étaient acquis.

Le second demande à être précisé, car ce que la condition impose n'est pas évident. Si \(p \equiv 7 \pmod 8\), alors \(n = p-1 \equiv 6 \pmod 8\) : \(n\) est pair, mais \(4 \nmid n\), de sorte que le cas \(n=4\) ne donne rien. Écrivons \(n = 2m\) avec \(m = (p-1)/2\), qui est impair et \(\equiv 3 \pmod 4\). L'équation devient \[ (x^2)^m + (y^2)^m = (z^2)^m , \] c'est-à-dire l'exposant impair \(m\), restreint aux carrés. Et \(p = 2m+1\) : le nombre premier qu'elle choisit est précisément un nombre premier auxiliaire pour l'exposant \(m\), au sens de l'énoncé qu'on appelle aujourd'hui son théorème.²³

Dans cette situation, ce qu'on appelle le premier cas — \(p \nmid xyz\) — est immédiat et ne demande pas la condition \(8k+7\) : si \(p\) ne divise pas \(x\), alors \(x^n = x^{p-1} \equiv 1 \pmod p\) par le petit théorème de Fermat, de sorte que les trois termes valent \(0\) ou \(1\) modulo \(p\), et que \(1 + 1 \equiv 1 \pmod p\) est impossible. Tout le contenu de son annonce est donc dans le second cas, celui où \(p\) divise l'un des trois nombres, et c'est là que la condition sur \(8k+7\) — laquelle équivaut à dire que 2 est résidu quadratique et \(-1\) non-résidu modulo \(p\) — devait servir.²⁴

La démonstration n'est pas dans le volume — elle était jointe à la lettre — et rien ici ne permet de dire si elle valait. Deux remarques seulement, qui tiennent au seul énoncé. Il est vide pour le plus petit \(p\) de la forme voulue : \(p = 7\) donne \(n = 6\), dont l'impossibilité suit du cas \(n = 3\) qu'elle vient de nommer ; et il en va de même chaque fois que \(3\) divise \(p-1\). Il n'a de contenu qu'à partir de \(p = 23\), soit \(n = 22\), puis \(p = 47\), soit \(n = 46\). Et l'impossibilité pour tous ces exposants est aujourd'hui acquise, comme conséquence du théorème démontré par Wiles en 1995 — deux siècles après le feuillet, et par des moyens qui n'ont aucun rapport avec les siens.

La quantité de Lagrange (1775) : un calcul qui s'interrompt

Le brouillon reproche ensuite à Lagrange, dans le mémoire de l'Académie de Berlin pour 1775, de n'avoir pas su réduire la quantité de la page 352 \[ s^{10} - 11\left(s^8 - 4s^6r^2 + 7s^4r^4 - 5s^2r^6 + r^8\right)r^2 \] à la forme \(t^2 - 11u^2\), et commence la réduction. Le calcul s'arrête sur une parenthèse ouverte, au bout de trois lignes.

La présente lecture ne l'achève pas, et il faut dire pourquoi. La transcription porte deux copies de la même quantité à deux lignes de distance, et elles diffèrent : la seconde écrit \(7s^4\) là où la première écrit \(7s^4r^4\). L'homogénéité tranche — la première lecture rend l'expression homogène de degré 10, la seconde ne l'est pas —, mais elle ne dit pas laquelle des deux copies est celle du feuillet et laquelle est une faute de lecture. La transcription signale en outre que les exposants de la dernière ligne, et le premier terme lu « \(r^{10}\) », sont d'une lecture douteuse. Deux copies qui divergent, une seule ligne de développement, et ses exposants incertains : il n'y a pas là de calcul à vérifier.

Ce qu'on peut dire sans le feuillet : ramener une quantité à la forme \(t^2 - 11u^2\), c'est la représenter par la forme principale de discriminant 44, autrement dit l'écrire comme une norme de \(\mathbf{Z}[\sqrt{11}]\). Et la raison qu'elle donne de sa remarque est la bonne : « Cette remarque est une nouvelle preuve de l'avantage de votre methode, qui, s'appliquant a toutes les valeurs de \(n\), donne pour chaque cas des valeurs de \(Y\) et \(Z\) independantes de tatonnement. » Une méthode qui construit la représentation vaut mieux qu'une méthode qui la cherche : c'est ce que la démonstration par composition donnée plus haut fait aussi.

Formes ternaires, quaternaires, et le déterminant de l'adjointe

Le second brouillon porte la plus nette de ses mathématiques. Elle rappelle avoir réduit, suivant l'indication de Gauss, les formes ternaires de déterminant nul aux formes binaires, et avoir cherché si la même chose vaut pour les quaternaires ; puis elle énonce :

Je crois qu'en general \(D\) etant la déterminante d'une forme composée d'un nombre \(n\) de variables, \(D^{n-1}\) est la déterminante de l'adjointe de cette forme.

Elle observe que Gauss a trouvé \(D^2\) pour l'adjointe ternaire, que son propre calcul donne \(D^3\) pour la quaternaire, et — c'est la phrase qui compte — que « cette analogie n'est sans doute pas suffisante pour etablir la generalité de la proposition ».

Les deux énoncés sont vrais, et tous deux sont aujourd'hui élémentaires.

Le premier : une forme quadratique dont la matrice de Gram est singulière possède un radical non nul, et le quotient par ce radical est une forme non dégénérée en un nombre strictement plus petit de variables. Une forme quaternaire de déterminant nul se ramène donc à une forme en trois variables au plus, comme elle le suppose — sur les rationnels sans réserve ; sur les entiers, il faut de plus que le radical soit un facteur direct primitif.²⁵

Le second est l'identité \[ \det\left(\operatorname{adj} A\right) = \left(\det A\right)^{n-1} \] pour une matrice \(n \times n\), qui se déduit immédiatement de \(A \cdot \operatorname{adj} A = (\det A)\,I\) en prenant les déterminants, puis en traitant à part le cas \(\det A = 0\) par continuité ou par densité des matrices inversibles.²⁶ Elle vérifie \(n = 3\) et \(n = 4\) et refuse d'en conclure — ce qui est la bonne attitude, puisque deux cas ne font pas une démonstration.

Elle donne pourtant un argument, et il faut voir exactement ce qu'il vaut : le déterminant d'une forme à \(n\) variables est un polynôme de degré \(n\) en les coefficients, ceux de l'adjointe sont de degré \(n-1\), donc le déterminant de l'adjointe est de degré \(n(n-1)\) — « c'est a dire de l'ordre \(n(n-1)\) » — et \(D^{n-1}\) l'est aussi. C'est un contrôle de degrés, c'est-à-dire une condition nécessaire, exactement comme une vérification d'homogénéité : cela ne démontre pas l'identité, mais cela l'aurait réfutée si les degrés avaient différé. Elle ne prétend pas autre chose.

Le paragraphe suivant descend au cas binaire, et c'est là que le feuillet résiste. La proposition donnerait, pour \(n = 2\), que la déterminante de l'adjointe est celle de la forme même — ce qui est correct, \(D^{n-1} = D\) — et que les coefficients de l'adjointe sont « de l'ordre \(0\) ». Le sens demande \(n - 1 = 1\), non 0 ; et la transcription, qui donne le chiffre pour une lecture douteuse, propose elle-même « \(n-1\) » comme autre lecture possible. La présente lecture retient ce que les mathématiques exigent sans effacer le doute.²⁷

Trois notes de lecture d'arithmétique

91–93Trois petits feuillets détachés, chacun en tête duquel elle écrit le numéro de la page d'un livre qu'elle ne nomme pas.²⁸

\(p^4 + 4\)

« Aucun nombre de la forme \(p^4+4\) excepté 5 n'est un nombre premier, car \(p^4+4 = (p^2-2)^2 + 4p^2\) et par conséquent ces nombres sont, de plusieurs manières, la somme de deux quarrés. » Elle ajoute que pour \(p = 1\), \((p^2-2)^2 = 1\) et « les deux membres sont identiques ».

L'énoncé est vrai. Son argument repose sur deux représentations du même nombre, \[ p^4 + 4 = (p^2)^2 + 2^2 = (p^2-2)^2 + (2p)^2 , \] et sur le théorème d'Euler suivant lequel un entier admettant deux représentations essentiellement différentes comme somme de deux carrés est composé. Il faut, pour l'appliquer, que les deux paires soient distinctes, et elles ne le sont pas toujours : elles coïncident pour \(p = 1\), où l'on trouve \(5 = 1 + 4\) — c'est l'exception qu'elle relève elle-même — mais aussi pour \(p = 2\), où les deux paires sont \(\{4,2\}\) et \(\{2,4\}\). Ce second cas ne menace pas la conclusion, puisque \(p^4+4\) est alors pair, mais la restriction manque au feuillet.²⁹

La factorisation explicite que son argument n'exhibe pas est celle qu'on appelle aujourd'hui l'identité de Sophie Germain : \[ a^4 + 4b^4 = \left(a^2 + 2b^2 - 2ab\right)\left(a^2 + 2b^2 + 2ab\right), \] soit, pour \(b = 1\), \(p^4 + 4 = (p^2-2p+2)(p^2+2p+2)\). Elle règle les deux cas d'un coup : le nombre n'est premier que si le premier facteur vaut 1, c'est-à-dire si \(p = 1\).³⁰

\(p^4 + q^4\) et les nombres de Fermat

Elle écrit ensuite \[ p^4 + q^4 = \left(p^2 - q^2\right)^2 + 2(pq)^2 = \left(p^2 + q^2\right)^2 - 2(pq)^2 , \] deux identités exactes, et en tire que « lorsque \(p^4+q^4\) est un nombre premier on peut être assuré que ce nombre n'est que de ces seules manières la somme d'un quarré \(+\) ou \(-\) un double quarré ».

C'est encore juste, et la raison moderne en est que les anneaux \(\mathbf{Z}[\sqrt{-2}]\) et \(\mathbf{Z}[\sqrt{2}]\) sont principaux : un nombre premier y a, à unités et conjugaison près, une seule décomposition, de sorte que sa représentation par \(x^2 + 2y^2\), comme sa représentation par \(x^2 - 2y^2\), est unique. Les deux représentations qu'elle écrit sont donc les représentations.

Elle finit par : « Les nombres \(2^{2^i}+1\) ne sont qu'un cas particulier de la forme \(p^4+q^4\). » C'est vrai à partir de \(i = 2\), avec \(p = 2^{2^{i-2}}\) et \(q = 1\) : ainsi \(17 = 2^4 + 1^4\), \(257 = 4^4 + 1^4\), \(65537 = 16^4 + 1^4\). Ce ne l'est pas pour \(i = 0\) et \(i = 1\), qui donnent 3 et 5.³¹ La remarque est utile : elle place les nombres de Fermat dans une famille où les deux identités ci-dessus s'appliquent, et donc où l'unicité de la représentation par \(x^2 \pm 2y^2\) fournit un test.

L'objection à Gauss sur la composition des formes binaires

Le feuillet 86 (vue 92) est le plus intéressant du lot, et le plus discutable. Il tient en quatre phrases :

Gauss pag. 272 dit que le produit des deux formes \((16, 3, 19)\), \((8, 1, 37)\) est \((8, -1, 37)\). Ce produit est aussi \((13, -2, 23)\), on peut s'en assurer. En général il y a toujours deux formes qui résultent du produit de deux formes données, mais dans les cas particuliers les deux formes se réduisent quelquefois à une. Il semble que l'auteur n'a pas fait cette remarque, et alors il y auroit plusieurs choses à rectifier dans la théorie qu'il donne du produit de plusieurs formes quadratiques binaires.

Prenons les quatre formes au sérieux.³² Les quatre ont le même déterminant : \(3^2 - 16\cdot 19 = 1 - 8\cdot 37 = (-1)^2 - 8\cdot 37 = (-2)^2 - 13\cdot 23 = -295\). Elles appartiennent donc bien au même ordre, où la composition a un sens. Les formes réduites de ce déterminant dans l'ordre où Gauss compose sont au nombre de huit : \[ (1,0,295),\quad (5,0,59),\quad (8,\pm 1,37),\quad (13,\pm 2,23),\quad (16,\pm 3,19), \] et les deux formes qu'elle nomme, \((8,-1,37)\) et \((13,-2,23)\), sont deux d'entre elles — deux formes réduites distinctes, donc deux classes distinctes, car deux formes réduites différentes ne sont jamais proprement équivalentes.³³

Le calcul donne raison à Gauss. La composée de \((16,3,19)\) et de \((8,1,37)\) est bien \((8,-1,37)\). Et la seconde forme qu'elle propose n'est pas une seconde valeur du même produit : c'est la composée de \((16,-3,19)\) — la forme opposée de la première — avec \((8,1,37)\) : \[ (16,3,19) \circ (8,1,37) = (8,-1,37), \qquad (16,-3,19) \circ (8,1,37) = (13,-2,23). \] Autrement dit, les deux formes qu'elle obtient diffèrent exactement du changement de signe du coefficient médian de l'un des deux facteurs, c'est-à-dire du passage d'une forme à son opposée ; et les deux résultats diffèrent alors de la classe ambiguë \((5,0,59)\), qui est d'ordre 2 dans le groupe des classes.³⁴

Ce qui reste de son objection est donc ceci, et c'est réel : si l'on compose sans avoir fixé l'orientation des deux formes de départ — si l'on ne distingue pas \((a,b,c)\) de \((a,-b,c)\), qui représentent les mêmes nombres et sont équivalentes par une substitution de déterminant \(-1\) —, alors le produit n'est pas déterminé, et l'on obtient deux formes. Ce qui ne reste pas, c'est la conclusion : Gauss a fait la remarque, et c'est précisément pour cela qu'il impose à sa transformation les conditions de signe de l'article 235. Ce sont elles qui font que la composition passe au quotient et définit une opération sur les classes pour l'équivalence propre — le groupe des classes, qui compte ici huit éléments. Rien n'est donc à rectifier dans sa théorie ; ce qui manque au feuillet, c'est la distinction entre équivalence propre et impropre, qui est le pivot de la construction.

Il faut ajouter la réserve d'usage : les douze nombres du feuillet n'ont pas été vérifiés sur l'image, et la démonstration ci-dessus est suspendue à leur exactitude. Que les quatre formes aient toutes le même déterminant, ce qui n'était nullement garanti d'avance, est un indice sérieux qu'elles sont bien lues.

La note de Libri

65–65Un feuillet d'une autre main, signé « G. Libri » et daté 1824 (f. 60), porte trois congruences sur la décomposition d'un nombre premier \(p = 4k+1\) en \(a^2+b^2\), \(a\) impair et \(b\) pair. La dernière, qui est celle qui porte la conclusion, est un théorème classique : \[ \frac{2}{1}\cdot\frac{6}{2}\cdot\frac{10}{3}\cdots\frac{4k-2}{k} \;\equiv\; \pm\,2a \pmod{p}, \] avec le signe \(+\) si \(a \equiv 1 \pmod 4\) et \(-\) si \(a \equiv -1 \pmod 4\). Le produit de gauche est le coefficient binomial central : en effet \(\prod_{j=1}^{k}(4j-2)/j = 2^k(2k-1)!!/k! = \binom{2k}{k}\), de sorte que l'énoncé est \[ \binom{2k}{k} \equiv 2a \pmod p, \qquad a \equiv 1 \pmod 4 , \] qui est le résultat de Gauss sur le coefficient binomial central. On le vérifie sur les premiers cas : \(p=13\), \(k=3\), \(\binom63 = 20 \equiv 7\) et \(a = -3\), \(2a = -6 \equiv 7\) ; \(p=17\), \(\binom84 = 70 \equiv 2 = 2a\) avec \(a = 1\) ; \(p=29\), \(\binom{14}{7} = 3432 \equiv 10 = 2a\) avec \(a=5\).

La conclusion qu'il en tire — « On peut décomposer de cette manière directement le nombre \(p\) en deux carrés » — est juste, et mérite d'être dite en clair : comme \(a^2 < p\), on a \(|2a| < 2\sqrt{p}\), de sorte que le résidu de \(\binom{2k}{k}\) modulo \(p\) détermine \(a\) sans ambiguïté dès que \(4\sqrt{p} < p\), c'est-à-dire dès que \(p > 16\) ; et \(b\) s'obtient alors par \(b = \sqrt{p - a^2}\). C'est bien un algorithme de décomposition, et non une simple identité.

La deuxième congruence du feuillet, \[ \left[(k+1)(k+2)\cdots 2k\right]^2 \equiv \pm\,2b \pmod p, \] est vraie elle aussi, et se déduit de la précédente. Le produit vaut \(\left(\frac{p-1}{2}\right)!\,/\,k!\) ; comme \(\left(\frac{p-1}{2}\right)!^{\,2} \equiv -1 \pmod p\) pour \(p \equiv 1 \pmod 4\), son carré vaut \(-1/(k!)^2\), c'est-à-dire \(-2a\,/\,\left(\frac{p-1}{2}\right)!\) d'après la congruence précédente ; et comme \(\left(\frac{p-1}{2}\right)!\) et \(a/b\) sont l'une et l'autre des racines carrées de \(-1\) modulo \(p\), elles ne diffèrent que du signe, ce qui laisse \(\mp 2b\). On le vérifie : pour \(p = 5\) le carré vaut \(4 \equiv 2b\) avec \(b = 2\) ; pour \(p = 13\), \(3^2 = 9 \equiv -4\) avec \(b = 2\) ; pour \(p = 17\), \(14^2 \equiv 9 \equiv -8\) avec \(b = 4\) ; pour \(p = 29\), \(27^2 \equiv 4 = 2b\) avec \(b = 2\). La première, en revanche — la même sans le carré, avec le même second membre \(\pm 2b\) — est fausse : pour \(p = 5\) elle demanderait \(2 \equiv \pm 4\), et pour \(p = 13\), \(120 \equiv 3 \equiv \pm 4\), ce qui n'a lieu ni dans un cas ni dans l'autre.³⁵

Le levier, l'infini et l'hyperbole

40–42Trois vues portent un texte d'une main qui n'est ni la sienne ni celle d'aucun correspondant identifié, intitulé « Réponse aux questions de Mlle … » — le nom est réduit à un trait ondulé. C'est un cours, écrit pour quelqu'un qui apprend, et il vaut d'être lu comme tel : il donne la mesure de ce qu'on lui enseignait.

Le problème est celui du levier avec trois puissances \(P\), \(S\), \(R\) appliquées en trois points \(A\), \(C\), \(B\) d'une droite et en équilibre ; l'auteur établit \(S \cdot CB = P \cdot AB\) en prenant \(B\) pour point d'appui, puis fait s'éloigner \(P\) : à distance cent fois plus grande, une force cent fois moindre suffit, et « à une distance infiniment grande une force infiniment petite ou nulle suffira ». Le paradoxe apparent qui résulte, dit l'auteur, d'une proposition de Monge — qu'une droite rigide infinie, heurtée en un point, ne peut prendre de mouvement — est alors levé par un argument qui est encore le nôtre : « pour que la ligne infinie \(BA\) prît quelque mouvement, il faudroit que le point \(A\) parcourût dans un temps fini un chemin infiniment grand ; ce qui est absurde ».

Suit la définition que l'auteur donne de l'infini, et qui est la seule phrase du volume qui soit de la logique : « dans le langage rigoureux de la geometrie, l'infini n'est qu'une grandeur plus grande que toute grandeur donnée ». C'est la définition d'aujourd'hui, celle qui refuse à l'infini le statut d'objet et n'en fait qu'une manière de parler d'une famille de grandeurs. Tout le reste du morceau en découle. L'hyperbole entre ses asymptotes fournit le paradoxe géométrique correspondant : le rectangle d'ordonnée \(Ee\) et d'abscisse \(Ce\) est constant, égal au carré \(CB\), quand \(Ce \to \infty\) et \(Ee \to 0\) ; et comme on peut prendre une autre hyperbole entre les mêmes asymptotes, « \(0 \times \infty\) » vaudrait aussi bien n'importe quelle autre grandeur finie. De là, en substituant \(\infty = 1/0\), la proposition que \(0/0\) est « egal a tout ce qu'on veut ». La conclusion de l'auteur est exacte : « ces paradoxes n'ont lieu que parceque c'est un paradoxe lui meme que de supposer qu'on puisse atteindre l'infini ».

En termes actuels, ce que le morceau décrit est une forme indéterminée : la limite d'un produit \(f(x)g(x)\) où \(f \to 0\) et \(g \to \infty\) n'est pas déterminée par ces deux données seules, et l'hyperbole en donne la famille d'exemples la plus simple, chaque hyperbole \(xy = c\) réalisant une valeur \(c\).³⁶

Le centre de gravité du triangle

98–99Deux feuillets de sa main, l'un une première ébauche (f. 84), l'autre une rédaction plus complète (ff. 92r–92v), traitent le même problème sous le renvoi « fig 39 » : trouver le centre de gravité d'un triangle. La méthode est une méthode d'échelle, et elle est élégante.

Le triangle \(ABC\) est coupé par les milieux en un parallélogramme \(AFDE\) et deux triangles \(BFD\), \(CED\) semblables à \(ABC\) dans le rapport \(\frac12\). Posons \(a = \frac12 AD\), mesurons les distances à la base \(BC\) le long de la médiane \(AD\), et appelons \(2x\) la distance cherchée du centre de gravité de \(ABC\) à \(BC\). Par similitude, les centres de gravité des deux petits triangles sont à la distance \(x\) de leurs bases, donc de \(BC\) ; le centre du parallélogramme est le milieu \(C'\) de \(AD\), à la distance \(a\). Les deux parts ont même aire — le parallélogramme fait la moitié du triangle, les deux petits triangles l'autre moitié — de sorte que le centre de gravité de l'ensemble est le milieu des deux : \[ 2x = \frac{a + x}{2}, \qquad 4x = a + x, \qquad x = \frac{a}{3}, \] et le centre de gravité est à la distance \(2x = \frac{2a}{3} = \frac{AD}{3}\) de la base : il partage la médiane dans le rapport \(2 : 1\). C'est le résultat juste, et c'est celui qu'elle écrit, « c. q. f. d. », dans la marge de la vue 99.³⁷

La première ébauche (f. 84) contient une inadvertance que la transcription relève : elle écrit deux fois « \(EE'\) » là où le sens demande « \(FF'\) » pour la seconde des deux médianes.

Ce qui n'est pas des mathématiques

7–89Plus de la moitié du volume. Ces pièces ne sont pas résumées ici pour ce qu'elles disent des mathématiques — elles n'en disent rien — mais parce qu'un lecteur qui ouvre Français 9118 les rencontrera d'abord, et qu'aucune n'est un défaut de la transcription.

Les lettres d'académie

12–22Delambre, secrétaire perpétuel, lui envoie deux billets pour la séance publique du 6 janvier 1816 et souhaite qu'elle s'y rende elle-même ; il accuse réception, le 23 juillet 1821, des Recherches sur la théorie des surfaces élastiques déposées à la bibliothèque de l'Institut. Fourier lui écrit le 30 mai 1823 qu'elle sera désormais admise « dans l'une des places reservées au centre de la salle », distinction que l'Académie accorde en considération de ses travaux et du grand prix qu'elle a obtenu. Cauchy, le 24 juillet 1821, accuse réception d'un ouvrage qu'elle lui a adressé et lui envoie en retour son Analyse algébrique ; le 23 juillet 1826, d'un mémoire. Navier, le 2 août 1821, écrit la phrase du volume qu'on citera : « un écrit aussi remarquable, que bien peu d'hommes peuvent lire, et qu'une seule femme pouvait faire ». Les billets autographes de Fourier sont d'un autre ton — des places de loge aux Italiens, un rhume qu'il appelle « une courbature » par plaisanterie de géomètre, et l'élection de novembre où il compte les voix de Legendre, de Jussieu et de Montmorency.

Les récépissés de l'Institut

85–89Trois feuilles de formulaire, signées Cardot, et les seules pièces datées avec certitude de tout le dossier du concours. Le 21 septembre 1811 et le 21 septembre 1813, un mémoire est reçu pour le prix sur les vibrations des surfaces élastiques, avec une épigraphe de Newton la première fois, de Bacon la seconde ; le 8 novembre 1821, un mémoire est reçu pour le prix de mathématiques de 1822, sous une épigraphe de Gauss. Chacun des trois porte « que j'ai numéroté I » — ce qui s'accorde avec la lettre de Legendre du 22 octobre 1811 : « Votre mémoire n'est pas perdu : il est le seul qu'on ait reçu sur la question des vibrations des surfaces. »

Gauss vu de Brunswick, novembre 1806

68–71Deux lettres qui ne contiennent pas une ligne de mathématiques, et qui portent pourtant l'épisode le plus concret du volume. Elle avait chargé le général Pernety de s'informer de Gauss, l'armée française occupant Brunswick ; Pernety chargea un officier, Chantel, lequel se rendit chez Gauss, le trouva bien portant, « un peut Confus » de ne connaître ni le général ni la demoiselle, le recommanda au gouverneur de la place et l'emmena dîner. Pernety lui transmet la lettre depuis les lignes du siège de Cosel, en décembre, avec une phrase où l'on entend son métier : « faisant par Réflexion tout le mal que je peux à qui jamais ne m'en fit aucun et que je ne connois pas, mais c'est le métier ». Il appelle Gauss « cet émule d'Archimède, mieux traité que lui ».

Villoison, les vers, et la plaquette

76–85Trois lettres de d'Ansse de Villoison — des 12 et 14 juillet 1802, la troisième sans date —, et la plaquette imprimée à laquelle elles se rapportent. L'helléniste avait composé, pour l'anniversaire de Lalande, des vers latins où une note en bas de page nommait « Mademoiselle Sophie Germain » et disait qu'elle excelle dans les mathématiques ; elle exigea qu'il se rétracte. Il répond qu'il a brûlé sa pièce de vers grecs, qu'il voudrait pouvoir anéantir de même les latins, et donne « ma parole d'honneur que jamais je ne me permettrai de parler de vous … dans aucun écrit ». L'exemplaire de la plaquette conservé dans le volume porte une correction manuscrite à l'encre sur un vers de la page (7). Elle avait donc gardé, dans ses papiers, la pièce même qu'elle avait fait retirer.

Trois feuillets de physique

94–96Trois feuillets d'une écriture plus ronde et plus posée que celle de ses billets de calcul, sur des sujets de physique : un raisonnement de « Monsieur Abeille » suivant lequel le froid serait un être réel, puisque l'eau augmente de volume en gelant et que le néant ne produit aucun effet positif ; une réponse à Abeille sur le feu et la lumière, où l'auteur soutient que l'impossibilité de décomposer le feu tient à l'impossibilité de l'obtenir seul et non à la simplicité de son essence ; et des « Idées sur les Sens », qui ramènent les cinq sens au toucher, l'œil étant sensible « à l'attouchement du subtile élément de la lumière ». Ce sont des raisonnements de physique qualitative du XVIII^e siècle, sans mathématiques ; ils sont signalés ici et non modernisés, parce qu'il n'y a rien à y moderniser.³⁸

Le reste

74–75Un billet du libraire Bernard, quai des Augustins, demandant à présenter « le citoien Cousin » à sa mère (f. 3r–3v, vues 7 et 8) ; et une invitation à dîner d'un correspondant anonyme du Cloître Notre-Dame, dont la signature est un paraphe illisible, promettant du beurre frais et des betteraves et une parente « qui ne connoît de géométrie que les figures les plus naturelles ».³⁹

Ce que les transcriptions laissent en suspens

47–64Cinq questions, que la présente lecture n'a pas pu trancher et n'a pas tranchées.

• La date de la lettre de Legendre du 19 janvier (ff. 52r–53r). Le millésime se lit « 1814 », mais le feuillet d'adresse au verso porte un timbre de janvier 1811, la note à laquelle la lettre renvoie a été postée en janvier 1811, et 1811 est l'année du premier concours. La transcription donne les deux lectures et laisse la question ouverte ; elle le reste.
• Laquelle des notes de Legendre est « ma 1ère note ». La lettre du 19 janvier dit revenir sur « la Multiplication par \(\sin\frac12\omega\), contre laquelle je m'étois élevé dans ma 1ère note ». La transcription du lot 3 identifie cette première note à celle du § 47 (ff. 42r–43r) — mais cette note-là ne parle nulle part de \(\sin\frac12\omega\), tandis que la note « Pag. 155 » (ff. 58–59), transcrite dans un autre lot, ne parle que de cela. Les deux lots ont été transcrits par deux passes différentes, et aucune n'a vu le feuillet de l'autre. La question de l'ordre des trois notes reste donc entière, et avec elle celle de savoir si Legendre a d'abord objecté puis concédé, ou l'inverse.
• Une contradiction entre deux de ces notes. Sous \(\sin\frac12\omega = 0\), la note « Pag. 155 » affirme que les coefficients \(\gamma\), \(\gamma'\), \(\delta'\) deviennent infinis ; la lettre du 19 janvier affirme que \(\delta'\) est nul et que seuls \(\gamma\) et \(\gamma'\) survivent, indéterminés. Sans le texte d'Euler auquel les deux renvoient — que le volume ne contient pas — il n'y a pas moyen de dire laquelle a raison.
• Le destinataire du brouillon « ce 18 juillet », que le feuillet ne nomme pas.
• Ce qui manque. Trois pièces essentielles sont annoncées dans le volume et n'y sont pas : les deux démonstrations de la généralisation du théorème de l'article 357, les « quelques autres considerations » où figurait l'argument sur l'équation de Fermat, et le mémoire de 1811 lui-même, dont on n'a ici que le jugement. Le volume est le dossier d'un travail, non le travail.

Deux points de moindre portée, enfin, où le feuillet résiste et où la présente lecture a écrit ce que les mathématiques exigent en le disant : le coefficient de la première équation de la note de Lagrange, illisible, et le chiffre « de l'ordre 0 » du second brouillon à Gauss, qui doit se lire 1.