De constitutione Æquationum Quadraticarum.

Prælibatis generalibus, quæ ad æquatiōes, et earū radices spectant, sequitur ut de unaquaq; æquatiōis constitutiōe sigillatim inquiramus, ac 1o ordiemur à quadraticâ, omniū enim est minimè composita, nec sub se habet aliam magis simplicem exceptâ laterali, de quâ cū nulla occurrat difficultas nihil etiam dicemus.

Æquatio quadrata est cū potestas quadratū est, quod quidem quadratū vel ex duob9 lateribus componitur, vel ex se subsistit, ac proinde et hæc æquatio de duob9 lateribus erit explicabilis.

Hæc autem duo latera vel erunt ambo suprà, vel ambo infrà, vel unū suprà, alterū vero infrà. Et hæc inductio est legitima cū numerus variorū est finitus, & latius in geometricas usitatos solita. Et secundū hos varios casus tot erunt capita in quibus etiam tot propositiones, quot erunt differentes laterū, quæ diversis signis notabuntur, magnitudines.

Caput primum

Quando ambo latera sunt suprà. Propositio unica. \begin{array}{l} \text{Sit } B - A \parallel 0 \\ \text{Et } C - A \text{ cuiuscumq; valoris} \\ \text{vel.} \\ C - A \parallel 0 \\ \text{\& } B - A \text{ cuiuscumq; valoris} \\ \text{productū erit} \\ BC - CA - BA + A^{2} \parallel 0 \end{array}

Caput secundum

Quando ambo latera sunt infrà. Propositio unica. \begin{array}{l} \text{Sit } B + A \parallel 0 \\ \text{Et } C + A \text{ cuiuscumq; valoris} \\ \text{vel.} \\ C + A \\ \text{\& } B + A \text{ cuiuscumq; valoris} \\ \text{productū erit} \\ BC + BA + CA + A^{2} \parallel 0 \end{array} Les deux capita sont écrits côte à côte, en deux colonnes séparées par un trait vertical. Dans les deux produits, les deux termes du milieu sont réunis par une accolade devant le signe qui les précède : « BC - \{CA,\ BA\} + A^2 », « BC + \{BA,\ CA\} + A^2 » ; ils sont ici développés.

Caput tertium

Quando unū latus est suprà et alterū infrà.

Ad constitutiōem æquationū huius capitis. Notandū est ob laterū varietates diversas etiam evenire signorū + et - notationes, quoniam enim signa sequuntur naturam maioris terminj, si terminus seu species cui præficitur signū + sit maior, sive si latus suprà sit maius latere infrà, quando interpretabitur hæc æquatio, ut jam videbimus, differentia laterum notanda erit cum signo lateris maioris. Sit Igitur.

Double page ; la page de gauche est paginée « 4 », celle de droite « 5 ». Dans la marge extérieure de la page de gauche, les chiffres « 7 » et « 8 » de la série courante, et les formes canoniques de l'équation traitée, recopiées en regard du texte.

Propositio prima

Cum latus suprà maius est latere infrà. \begin{array}{l} \text{Sit } B - A \parallel 0 \\ \text{Et } C + A \parallel \text{ cuiuscumq; valoris} \\ \text{vel.} \\ C + A \parallel 0 \\ \text{\& } B - A \text{ cuiuscumq; valoris} \\ \text{productum erit} \\ BC + BA - CA - A^{2} \parallel 0 \end{array}

Propositio secunda

Cum latus suprà æquale est lateri infrà. \begin{array}{l} \text{Sit } B - A \parallel 0 \\ \text{Et } C + A \text{ cuiuscumq; valoris et cæt. ut supra} \\ \text{productum erit} \\ BC - A^{2} \parallel 0 \end{array}

Propositio Tertia

Cum latus infrà maius est latere suprà. Erit idem productum scilicet BC + BA - CA - A^{2} \parallel 0 Dans les deux produits, « BC » est suivi d'une accolade réunissant BA et CA, le + et le - étant écrits l'un au-dessus de l'autre devant l'accolade ; ils sont ici développés.

Caput Quartum. De Æquatione quadraticâ quæ per se subsistit

Æquatio dicitur per se subsistere, vel a se esse, quæ à qualibet aliâ per quamcumq; ductiōem produci non potest, quoniam vero inter quadraticas unica est eiusmodj ideo huius capitis erit

Propositio unica

z\,\mathrm{pl.} + A^{2} \parallel 0 z\,\mathrm{pl.} + A^{2} \parallel 0 In quâ æquatiōe evidens est unicū esse latus positivū infrà potentia æquale z\,\mathrm{pl.} nam per antithesim erit z\,\mathrm{pl.} \parallel -A^{2}.

Ad Caput primum Et secundum

Fusius in hac parte de æquationib9 quadraticis disserimus de iis quæ ad generatim tum æquationū constitutiōem tum interpretatiōem, ne quid supersit quod in sequentib9 pariat difficultatem, cū et ea quæ hic dicuntur iis etiam inserviant.

Constituta igitur æquatiōe ut evidenter fieret ipsius origo, ac proinde radices innotescerent, sic eam Interpretamur In primo capite ut scilicet BC sit z\,\mathrm{pl.}^{um}, Et C + B sit X seu summa laterum, Cum Igitur similis occurret æquatio. z\,\mathrm{pl.} - xA + A^{2} Z\,\mathrm{pl.} - xA + A^{2} \parallel 0 erunt duo latera supra quorū summa est x, rectangulū sub ipsis est z\,\mathrm{pl.} et A fit, alterutrū ex lateribus.

Et quæcumq; varietates inciderint eodem semper modo, hæc æquatio poterit explicari sit enim v.g. \frac{F^{\mathrm{sd}}}{G} - \frac{KNA}{M} + \frac{HLA}{G} + A^{2} \parallel 0 -\dfrac{KNA}{M} + \dfrac{HLA}{G} Intelligitur tanquam una linea, quæ vocatur x et eodem redit et æquatio cum superiore similiter æquatiōe secundj capis sic Interpretabimur z\,\mathrm{pl.} + xA + A^{2} Z\,\mathrm{pl.} + xA + A^{2} \parallel 0 Et erunt ut patet ex ipsius origine, duo latera infra quorū summa est x rectangulū sub ipsis z\,\mathrm{pl.}, et A, fit quodlibet ex lateribus.

Æquationibus sic Interpretatis videndū est an determinationj sint obnoxiæ, æquatio vero dicitur determinationj obnoxia, cū de duobus vel pluribus lateribus æqualibus

Page de droite, paginée « 5 ». Le tiers inférieur est resté blanc. Les formes canoniques sont répétées dans la marge extérieure.

est explicabilis, quæ quidem determinatio in universū duplex est maior scilicet et minor, maior cū ōia latera de quibus potest explicari æquatio, sunt æqualia minor verò cū non ōia latera sunt æqualia, sed quædam duntaxat, In quâ autem æquatiōe detegenda est illa constitutio quæ determinationj sive maiorj sive minorj est obnoxia, in prædictis duab9 formulis, quarū prima præcipua est inter quadraticas, determinatio est, cū x, bifariam secatur et utraq; medietas sit A, propter quem statum determinatiōis duplex est latus, ideoq; duplex solutio.

Præter eam autem determinatiōem in eo casu laterū æqualiū, est et alia determinatio quæ statim patet ex analysi quæ inducit aliquam limitatiōem, et extra quam si æquatio propositæ nō satisfaciat latera erunt fictitia, ac proinde quæstio impossibilis, quemadmodū in his duab9 æquationib9 quadraticis z\,\mathrm{pl.} nō debet esse maius quadrante quadrati x, cū enim x, sit summa laterū, rectangulū maius eo non potest quam si utraq; latera sint æqualia inter se, quod quidem rectangulū eo casu æquale erit quartæ partj x quadratj seu dimidio rectæ x, secus verò cū x est differentia ut in sequentibus huius partis æquationibus.

Ad Caput Tertium

In 1a propositiōe cū latus suprà sit maius lateri infrà hæc constitutio sic Interpretabitur. z\,\mathrm{pl.} + xA - A^{2} z\,\mathrm{pl.} + xA - A^{2} \parallel 0 Et erunt duo latera, alterū idemq; maius suprà, alterū verò Idemq; minus infra, quorū differentia est x, rectangulū sub ipsis z\,\mathrm{pl.} et A fit quodlibet ex ipsis.

In 2a verò propositiōe, cū duo latera sint Inter se æqualia evanescet affectio sub latere et huiusmodj æquatiōis hæc erit formula. z\,\mathrm{pl.} - A^{2} \parallel 0 z.\,\mathrm{pl.} - A^{2} \parallel 0 Et erunt duo latera inter se æqualia alterū supra, alterū verò infrà, rectangulū sub ipsis z\,\mathrm{pl.}, et fit A, alterutrum.

In 3a denique propositiōe cū latus infra sit maius lateri suprà, ideò hæc æquatio hanc Interpretatiōem accipiet. z\,\mathrm{pl.} - xA - A^{2} z\,\mathrm{pl.} - xA - A^{2} \parallel 0 Et sunt duo latera alterū Idemq; maius infrà, alterū Idemq; minus suprà, quorū differentia est x, rectangulū sub ipsis est z\,\mathrm{pl.} et fit A alterutrum.

Double page ; page de gauche paginée « 6 », page de droite « 7 ».

De Constitutione Æquationum Cubicarum

Æquatio Cubica est cū potestas est cubus, ac proinde de tribus lateribus est explicabilis quæ quidem tria latera vel erunt suprà, vel duo suprà et unū Infrà, vel duo Infrà et unū suprà, vel denique tria Infrà, quæ divisio totidem scilicet quatuor dabit capita. Cum verò hæc æquatio cubica possit etiam à quadraticâ et laterali procreari, vel ex se subsistere erunt rursus et alia duo capita.

Caput primū In quo tria latera sunt suprà

Propositio unica. \begin{array}{lll} \text{Sit } B - A \parallel 0 & \text{vel} & \text{vel} \\ C - A & C - A \parallel 0 & D - A \\ D - A \text{ cuiuscumq; valoris} & D - A & B - A \\ & B - A \text{ cuiuscumq; valoris} & C - A \text{ cuiuscumq; valoris} \end{array} productum quod Inde oritur scilicet. BCD - CDA + DA^{2} - BDA + CA^{2} - BCA + BA^{2} - a^{3} \parallel 0 Les trois lignes du produit sont écrites l'une sous l'autre, BCD en tête et -a^3 à la fin de la troisième ; elles sont ici mises bout à bout.

Æquale nihilo, et manifestū est ex iis quæ dicta sunt tria latera esse positiva suprà, hæc â æquatio hanc accipiet Interpretatiōem. T\,\mathrm{sd.} - z\,\mathrm{pl.}\,A + xA^{2} - a^{3} \parallel 0 T\,\mathrm{Sol.} - z\,\mathrm{pl.}\,A + xA - a^{3} \parallel 0 Le terme en x est écrit « +\,\dot{x}A », sans le 2 de l'exposant, que porte la forme recopiée dans la marge ; laissé tel quel.

Erunt Igitur tria latera suprà, quorū summa est x, et summa rectangulorū sub ipsis binis et binis sumptis est z\,\mathrm{pl.} et solidū sub his rectangulis T\,\mathrm{Sol.}, et A, fit quodlibet ex lateribus.

Caput secundū In quo duo latera sunt suprà et 3ium Infrà

\begin{array}{lll} \text{Sit } B - A \parallel 0 & \text{vel} & \text{vel.} \\ C - A & C - A \parallel 0 & D + A \parallel 0. \\ D + A & B - A & B - A \\ & D + A & C - A \end{array} productum erit BCD - BDA + DA^{2} - CDA - BA^{2} + BCA - CA^{2} + A^{3} \parallel 0

Quæ quidem constitutio, ob variam signorū + et - notatiōem, quæ præficiuntur lateribus diversæ nãtūræ scilicet iis quæ sunt suprà et alterj quod est infrà, diversam quoq; Interpretatiōem accipiet, secundū horū laterū magnitudines, siquidem vel latus infrà maius est summa laterū supra, vel ipsi æquale vel ipsi minus, et rursus ex eo varia orietur constitutio, quod tametsi latus positivū Infrà sit minus summâ laterū positivorū suprà, poterit nihilominus fieri ut rectangulum sub summa laterū suprà in latus infrà sit vel æquale, vel etiam minus rectangulo quod continetur sub lateribus suprà, et inde tot orientur propositiones.

Propositio 1a

T\,\mathrm{sd.} - z\,\mathrm{pl.}\,A + xA^{2} + A^{3} Cum latus Infrà est maius summâ laterum suprà.

Manifestū autem est ex hac hypothesi ambo rectangula BD + CD esse maiora rectangulo

Page de droite, paginée « 7 ». Les formes canoniques sont recopiées dans la marge extérieure en regard de chaque proposition.

BC. erit Igitur T\,\mathrm{Sd.} - z\,\mathrm{pl.}\,A + xA^{2} + A^{3} \parallel 0 Et sunt tria latera duo suprà, alterum idemq; maius duobus reliquis simul sumptis infrà, x est differentia horū laterum z\,\mathrm{pl.} differentia rectangulorū et T\,\mathrm{Sol.} quod fit sub ipsis, A vero fit quodlibet ex lateribus.

Propos. 2a

T\,\mathrm{Sol.} - z\,\mathrm{pl.}\,A + A^{3} Cum latus infra æquatur aggo laterū supra. Patet itiam In hac propositiōe rectangula BD + CD esse maiora rectangulo BC erit Igitur T\,\mathrm{Sol.} - z\,\mathrm{pl.}\,A + A^{3} \parallel 0 et cæt. ut supra præter quam hic nulla est affectio sub quadrato cū nulla sit differentia lateris Infrà, et summæ eorū quæ sunt supra.

Propos. 3a

T\,\mathrm{Sol.} - z\,\mathrm{pl.}\,A - xA^{2} + A^{3} Cum latus infrà minus est summâ laterū suprà, et rectangulū sub summâ laterū suprà in latus infrà, maius est rectangulo sub lateribus suprà. Et hæc constitutio hanc Interpretatiōem accipiet. T\,\mathrm{Sol.} - z\,\mathrm{pl.}\,A - xA^{2} + A^{3} \parallel 0 Et sunt tria latera duo suprà simul maiora reliquo Infrà, x fit excessus horū duorū laterū, z\,\mathrm{pl.} excessus rectangulorū BD + CD in rectangulū BC, Et T\,\mathrm{Sd.} est solidū quod continetur sub his lateribus et A, fit quodlibet ex ipsis.

Propos. 4a

T\,\mathrm{Sol.} - xA^{2} + A^{3} Cum idem latus Infrà minus est et cæt. sed rectangula BD + CD simul æqualia rectangulo BC quæ constitutio sic Interpretabitur. T\,\mathrm{Sol.} - xA^{2} + A^{3} \parallel 0 Et affectio sub latere evanescit, quia nulla est differentia rectangulorum.

Propos. 5a

T\,\mathrm{Sol.} + z\,\mathrm{pl.}\,A - xA^{2} + A^{3} Cum Idem latus Infra minus est et cæt., et rectangula BD + CD simul minora sunt rectangulo BC. Secundum quam hypothesim sequitur hoc latus Infrà minus esse quovis eorū quæ sunt suprà, ut videbimus Inferius, hæc autem constitutio sic Interpretabitur. T\,\mathrm{Sol.} + z\,\mathrm{pl.}\,A - xA^{2} + A^{3} \parallel 0 Et sunt ut supra.

Caput Tertium

In quo sunt duo latera Infrà et alterum suprà. \begin{array}{lll} \text{Sit } D + A \parallel 0 & \text{vel} & \text{vel} \\ \text{\& } C + A & C + A & B - A \\ B - A \text{ cuiuscumq; valoris} & B - A & C + A \\ & D + A \text{ et cæt.} & D + A \text{ Et Cætera.} \end{array} Productum quod Inde oritur est BDC + BCA + BA^{2} + BDA - CA^{2} - CDA - DA^{2} - A^{3} \parallel 0 Le produit est écrit en trois lignes accolées après « BDC » ; elles sont ici mises bout à bout.

Double page ; page de gauche paginée « 8 », page de droite « 9 ».

Inde autem oriuntur quinque propositiones ut In præcedentj cape quæ ōes Et singulæ inversæ sunt, sic et totū caput totius inversū, quæ enim latera illj erant suprà, hic sunt infrà, et quod illic erat infrà, hic est suprà.

Propos. 1a

T\,\mathrm{Sol.} + z\,\mathrm{pl.}\,A + xA^{2} - A^{3} Cum latus suprà maius est summâ laterū Infra quæ constitutio sic Interpretatur T\,\mathrm{Sol.} + z\,\mathrm{pl.}\,A + xA^{2} - A^{3} \parallel 0

Propos. 2a

T\,\mathrm{Sol.} + z\,\mathrm{pl.}\,A - A^{3} Cum latus suprà æquabitur aggo laterū Infrà. hæc erit Interpretatio T\,\mathrm{Sol.} + Z\,\mathrm{pl.}\,A - A^{3} \parallel 0

Propos. 3a

T\,\mathrm{Sol.} + z\,\mathrm{pl.}\,A - xA^{2} - A^{3} Cum latus suprà minus est summâ laterū Infrà et rectangulū sub summâ laterū Infra in latus suprà maius est rectangulo sub lateribus Infrà. Adhibita Interpretatiōe erit. T\,\mathrm{Sol.} + z\,\mathrm{pl.}\,A - xA^{2} - A^{3} \parallel 0

Propos. 4a

T\,\mathrm{Sol.} - xA^{2} - A^{3} Cum Idem latus suprà minus est eâdem summâ et rectangula BC + BD, simul sunt æqualia rectanglo CD. erit T\,\mathrm{Sol.} - xA^{2} - A^{3} \parallel 0

Propos. 5a

T\,\mathrm{Sol.} - z\,\mathrm{pl.}\,A - xA^{2} - A^{3} Cum Idem latus suprà, minus est eâdem summâ et rectangula BC + BD simul minora sunt rectangulo CD. Cuius constitutiōis hæc erit formula. T\,\mathrm{Sol.} - Z\,\mathrm{pl.}\,A - xA^{2} - A^{3} \parallel 0

Caput 4um

In quo ōia latera sunt Infra.

Hoc caput inversū est primj, et ōes affectiones notantur signo + quod nunquam directe et per se, evenit. huiusmodj autem constitutiōis hæc est formula. T\,\mathrm{Sol.} + z\,\mathrm{pl.}\,A + xA^{2} + A^{3} T\,\mathrm{Sol.} + z\,\mathrm{pl.}\,A + xA^{2} + A^{3} \parallel 0 Quæ quidem formula eodem modo enuntiabitur quo In cape 1o. modo ea dicantur hic de lateribus infrà, quæ ibj dicta sunt de lateribus suprà.

Caput 5um. De constitutiōe Æquationū Cubicarū quæ oriuntur Ex duabus Æquationibus alterâ planâ, alterâ lateralj

Æquatiōes quæ oriuntur ex æquatiōe quadraticâ, de duobus lateribus explicabilj, recidunt In præcedentes constitutiones cubicas, cū enim æquatio quadratica ex hypothesj duas habeat radices, Intelligantur esse B et C, deinde verò ad efformandam cubicam, de qua in hoc Capite, assumatur lateralis, cuius radix sit D, igitur quæ inde oritur æquatio erit explicabilis de tribus lateribus, ac proinde eius constitutio reperietur Inter eas de quib9 egimus superioribus Capitib9 huius partis.

Quia verò unica est tantū æquatio quadratica de unico tantū latere explicabilis scilicet B\,\mathrm{pl.} + A^{2} \parallel 0, in quâ æquatiōe latus est positivū Infrà, si ad

Page de droite, paginée « 9 ». Un chiffre « 9 » de la série courante dans la marge de gauche, qui est ici la marge intérieure.

efformandam cubicam assumatur lateralis, hæc tantū duplex esse potest vel C - A \parallel 0, quo casu nempe latus est positivū supra vel C + A \parallel 0 ubj latus est Infrà, unde et duæ tantū huius capitis propositiones.

Prop. 1a

T\,\mathrm{Sol.} - Z\,\mathrm{pl.}\,A + xA^{2} - A^{3} Cum æquatio quadratica B\,\mathrm{pl.} + A^{2} \parallel 0 ducitur In lateralem, cuius latus est positivū suprà. \begin{array}{ll} \text{Sit } B\,\mathrm{pl.} + A^{2} \parallel 0 & \text{vel. Sit } C - A \parallel 0 \\ \text{\& } C - A \text{ cuiuscumq; valoris} & \text{Et } B\,\mathrm{pl.} + A^{2} \text{ cuiuscumq; valoris} \end{array} productū quod Inde oritur erit. B\,\mathrm{pl.}\,C - B\,\mathrm{pl.}\,A + CA^{2} - A^{3} \parallel 0 Quæ quidem constitutio, adhibitâ scilicet convenientiore in superioribus Interpretatiōe sic erit. T\,\mathrm{Sol.} - Z\,\mathrm{pl.}\,A + xA^{2} - A^{3} \parallel 0 Cuius constitutiōis formula, quamvis ōo similis sit formulæ quæ in 1o capite huius partis, non tamen similiter enuntiabitur, x, enim ut videre est ex eius origine non est summa laterū, nec z\,\mathrm{pl.} aggregatū rectangulorū et cæt., ac proinde hæc constitutio est exceptio regulæ generalis ex quâ certū est in ōibus æquationibus alternatim affirmatis et negatis à principio usq; ad finem, coefficientē altioris gradus sub potestate fieri summam laterū, coefficientē verò gradus Immediate subsequentis summam rectangulorū vel planorū sub iisdem lateribus quæcumq; vera ea latera ducta fuerint, similiter coefficientē gradus proximè Inferioris fieri summam omniū solidorū sub iisdem lateribus, et sic in Infinitum.

Sunt Igitur in hac formula duo latera alterū suprà æquale x, alterū infrà potentiâ æquale z\,\mathrm{pl.} et T\,\mathrm{Sol.} fit ex quadrato eius quod est infrà in altitudinem illius quod est suprà, et A est quodlibet ex lateribus.

Propos. 2a

T\,\mathrm{Sol.} + z\,\mathrm{pl.}\,A + xA^{2} + A^{3} In qua sunt duo latera ambo Infrà. \begin{array}{ll} \text{Sit } B\,\mathrm{pl.} + A^{2} \parallel 0 & \text{vel } C + A \parallel 0 \\ \text{\& } C + A \text{ cuiuscumq; valoris} & B\,\mathrm{pl.} + A^{2} \text{ cuiuscumq; valoris} \end{array} productū erit B\,\mathrm{pl.}\,C + B\,\mathrm{pl.}\,A + CA^{2} + A^{3} \parallel 0 Cuius constitutiōis hæc esto Interpretatio. T\,\mathrm{Sol.} + z\,\mathrm{pl.}\,A + xA^{2} + A^{3} \parallel 0 Quæ etiam formula ōo similis est quoad signa formulæ quartj capitis huius partis, sed maximè Inter se differunt, ut patet ex diversâ earū origine, igitur huius enunciatio eadem erit quæ in præcedentj nisi quod hic ambo latera sunt Infra.

Double page ; page de gauche paginée « 10 », page de droite « 11 ».

Caput 6.um De Æquationibus Cubicis quæ per se subsistunt

Cum In præcedentibus capitibus mixta sint omnimodè tria latera, deinde etiam omnimode planū et latus ad constituendas æquationes cubicas, si præter hanc lateralem veriam vel mixtiōem vel Combinatiōem et æquationes quæ inde ortæ sunt quædam efficiantur, manifestū est illas nec ex tribus nec ex duabus æquationibus constare, atq; ità neque de tribus, neq; de duobus lateribus explicabiles, esse.

Reperiuntur eiusmodj æquatiōes omnino sex unde totidem propositiones constituentur.

T\,\mathrm{Sol.} + xA^{2} + A^{3}

Prop. 1a} T\,\mathrm{Sol.} + xA^{2} + A^{3} \parallel 0 T\,\mathrm{Sol.} + z\,\mathrm{pl.}\,A + A^{3}

Prop. 2a} T\,\mathrm{Sol.} + z\,\mathrm{pl.}\,A + A^{3} \parallel 0 T\,\mathrm{Sol.} + A^{3}

\subsection*{Prop. 3a} T\,\mathrm{Sol.} + a^{3} \parallel 0 In his tribus propositionibus est unicū latus Infrà.

T\,\mathrm{Sol.} - z\,\mathrm{pl.}\,A - A^{3}

Prop. 4a} T\,\mathrm{Sol.} - z\,\mathrm{pl.}\,A - A^{3} \parallel 0 T\,\mathrm{Sol.} - xA^{2} - A^{3}

\subsection*{Prop. 5a} T\,\mathrm{Sol.} - xA^{2} - A^{3} \parallel 0

\subsection*{Prop. 6a} T\,\mathrm{Sol.} - A^{3} \parallel 0 In his tribus ultimis propositionibus est unicum latus suprà.

De Determinationibus Æquationum Cubicarum

Præmissis constitutionibus æquationū cubicarū reliquū est ut de earum determinationib9 agamus. Cū dictæ determinatio duplex sit ut notavimus, maior scilicet et minor, & maior sit cū omnia latera sunt æqualia, minor verò cum quædam tantū, manifestū erit ex harū æquationū constitutionib9 maiorj determinationj solummodo esse obnoxias formulas primj et quartj capitis, quæ etiam erunt obnoxiæ et minorj, cū fierj possit ut in his æquationibus non omnia latera sint æqualia sed quædam duntaxat.

Quoniam verò præter has determinatiōes aliam notavim9 quæ limitatiōem inducit, et extra quæstio proposita resolvj nō poterit, lateraq; erunt merè fictitia, ideò In constitutionibus duorū dictorū capitū in quibus x est summa laterum eo casu quæstio erit possibilis si Z\,\mathrm{pl.} non sit maius tertia parte x quadratj, et similiter T\,\mathrm{pl.} non sit maius tertiâ parte cubj eiusdem x, si enim linea in tres partes dividatur maius solidū sub his tribus portionibus contentum, erit cū dictæ

Page de droite, paginée « 11 ».

tres partes erunt Inter se æquales, Similiter eâdem lineâ adhuc trifariam sectâ maior summa rectangulorū seu planorū, iis binis et binis sumptis erit cū eâdem eiusdem lineæ partes erunt inter se æquales, quod ita evidens est, ut maiorj demonstratiōe non egeat.

Maior itaq; determinatio primj et quartj capitis erit cū x Inter partes æquales dividetur.

Si verò In his capitibus sicut et in sequentib9, tria latera non sint inter se æqualia, sed duo tantum, hæc duo latera sic investigabuntur.

Sint enim In constitutiōe primj capitis B et C, hæc duo latera æqualia patet productū huius constitutiōis ad hoc reducj. B^{2}D - 2BDA + 2BA^{2} - B^{2}A + DA^{2} - A^{3} \parallel 0 Le produit est écrit en deux lignes ; elles sont ici mises bout à bout.

Et similj adhibitâ interpretatiōe T\,\mathrm{Sol.} fierj B^{2}D, et tria plana 2BD et B^{2} similiter fierj Z\,\mathrm{pl.} et x esse summam triū laterū 2B + D, quorū duo erunt ex hypothesi Inter se æqualia, quæ ut dignoscantur. alterū eorū sit A, igitur 2A erunt duo latera æqualia B et C, & x - 2A erit alterū latus prioribus inæquale, ut autem sub speciebus eorumdem laterū æqualiū habeatur Z\,\mathrm{pl.} quoniam innotescit ex iam proposita constitutiōe idem Z\,\mathrm{pl.} æquari bis rectangulo sub latere æqualj in illud quod est inæquale + quadrato eius quod est æquale, si igitur x - 2A ducatur in 2A et producto adiiciatur A^{2} erit 2xA - 3A^{2} \parallel Z\,\mathrm{pl.} Quorū omniū si sumatur tertia pars erit \tfrac{2}{3}xA - A^{2} \parallel \tfrac{1}{3}Z\,\mathrm{pl.} \quad \text{atq; ideo} \tfrac{1}{3}Z\,\mathrm{pl.} - \tfrac{2}{3}xA + A^{2} \parallel 0 Et sic cū sese offerat æquatio cognita de duob9 lateribus explicabilis, de qua in recognitiōe quadraticarū factū est satis propositæ disquisitionj, cui A enuntiatur de alterutro latere, & inductio legitima ut notavimus cū numerus partiū est finitus, et si T\,\mathrm{Sol.} esset ignotū nihil amplius agendū superesset, hoc et A, habeatur unicū T\,\mathrm{Sol.} ad hoc ut proprietas laterū quæ investigantur reducatur, quod quidem T\,\mathrm{Sol.} cū ex constitutiōe proposita æquetur quadrato lateris æqualis in latus inæquale, erit x\,A^{2} - 2A^{3} \parallel T\,\mathrm{Sol.} \quad \text{et sumptis dimidiis} \tfrac{1}{2}xA^{2} - A^{3} \parallel \tfrac{1}{2}T\,\mathrm{Sol.} \quad \text{et per Antithesim} \tfrac{1}{2}T\,\mathrm{Sol} - \tfrac{1}{2}xA^{2} + A^{3} \parallel 0 Quæ æquatio cū æquetur nihilo, sicut et ea quam habuimus de Z\,\mathrm{pl.} et A sit Idem in utrâq;, Igitur ambæ hæ duæ æquatiōes poterunt Inter se conferrj ut habeatur ipsū A, ac proinde ut sint homogeneæ. \tfrac{1}{3}z\,\mathrm{pl.}\,A - \tfrac{2}{3}xA^{2} + A^{3} \parallel \tfrac{1}{2}T\,\mathrm{Sol.} - \tfrac{1}{2}xA^{2} + A^{3} et ablato utrimq; A^{3} erit \tfrac{1}{3}z\,\mathrm{pl.}\,A - \tfrac{2}{3}xA^{2} \parallel \tfrac{1}{2}T\,\mathrm{Sol} - \tfrac{1}{2}xA^{2} \quad \text{et per Antithesim} \tfrac{1}{2}T\,\mathrm{Sol.} - \tfrac{1}{3}z\,\mathrm{pl.}\,A + \tfrac{1}{6}xA^{2} \parallel 0 quorum omnium si sumatur sexta pars et productū applicetur ad x erit \frac{3\,T\,\mathrm{Sol}}{x} - \frac{2\,z\,\mathrm{pl.}\,A}{x} + A^{2} \parallel 0

Double page ; page de gauche paginée « 12 », page de droite « 13 ». Un chiffre « 10. » de la série courante dans la marge extérieure de la page de gauche.

Cuius æquatiōis rursus alia Instituenda est comparatio cū dictâ 1a quadratica de z\,\mathrm{pl.} ut tandem habeatur A, unicū, ambæ enim sicut et supra æquantur nihilo, habebimus Igitur. \frac{3\,T\,\mathrm{Sol}}{x} - \frac{2\,Z\,\mathrm{pl.}\,A}{x} + A^{2} \parallel \tfrac{1}{3}z\,\mathrm{pl.} - \tfrac{2}{3}x\,A + A^{2} utrimque auferatur A^{2}. tum erit \frac{3\,T\,\mathrm{Sol}}{x} - \frac{2\,Z\,\mathrm{pl.}\,A}{x} \parallel \tfrac{1}{3}Z\,\mathrm{pl.} - \tfrac{2}{3}xA \quad \text{Et per Antithesim.} \frac{3\,T\,\mathrm{Sol}}{x} - \tfrac{1}{3}Z\,\mathrm{pl.} \parallel \frac{2\,Z\,\mathrm{pl.}\,A}{x} - \tfrac{2}{3}xA \quad \text{Ac proinde} \frac{\dfrac{3\,T\,\mathrm{Sol}}{x} - \tfrac{1}{3}Z\,\mathrm{pl.}}{\dfrac{2\,Z\,\mathrm{pl.}}{x} - \tfrac{2}{3}x} \parallel A

Oportet Igitur in casu determinatiōis ut alterū ex duobus lateribus æqualib9 oriatur ex hac applicatiōe, et sic in ōib9 constitutionib9 sive cubicis sive quadratoquadratis, sive altioris gris, eodem plane artificio latus æquale detegetur, nec maior erit dificultas, nisi quod in iis constitutionib9 ubj potestas fuerit in altiori gradu plures instituenda erunt æquationes, ut tandem ad ultimam deveniatur in quâ ut in proposito exemplo habeatur A, unicū.

His ita notatis quæ spectant in universū ad determinationes non solū harū æquationū cubicarū sed etiam aliarū sive quadratoquadraticarū sive etiam gradus altioris, sigillatim videndū est de determinationibus, in casu laterū æqualiū quæ ad unamquamq; propositiōem ōniū capitū huius partis pertinent, et etiam de iis determinationibus, quæ limitatiōem inducunt.

Et in 1o quidem dictū est de iis ōib9 quæ spectant tū ad Caput 1um tū ad caput quartū. Consequens est ut agamus de determinationib9 unicuiq; propositiōj capitis secundj inservientib9. Et statim patet has propositiones sicut et reliquas capitis tertij, quintj et sextj maiorj quam diximus determinationj nō esse obnoxias, in iis enim constitutionib9 vel unū latus maius est duob9 reliquis simul, vel minus, vel ipsis simul sumptis æquale, vel etiam duo tantū sunt latera, vel certè unicū ut In constitutionib9 capitis ultimj. Videndū est Igitur de determinatiōe minorj, et de ea quæ limitatiōem aliquam inducit.

Propis 1a. Capitis 2.i determinatio quæ limitatiōem inducat nulla est, patet enim ex analysj et ex applicatiōis planj per excessū, quæ quidem applicatio semper est possibilis, determinatio vero in casu duorū laterū æqualiū orietur ex hac applicatiōe \frac{\dfrac{3\,T\,\mathrm{Sol}}{x} + \tfrac{1}{3}Z\,\mathrm{pl.}}{\dfrac{2\,Z\,\mathrm{pl.}}{x} + \tfrac{2}{3}x} Et A, alterutrū ex duobus lateribus suprà æquabitur longitudinj quæ Inde proveniet.

Propis 2a Capis 2.i determinatio sic elicietur. Quoniam enim In hac constitutiōe duo latera suprà simul sumpta sunt æqualia lateri infra, ideoq; affectio sub

Page de droite, paginée « 13 » à l'encre en haut à l'angle extérieur. Les chiffres « 11 », « 12 » et « 13 » de la série courante sont dans la marge de gauche, qui est ici la marge intérieure ; le dernier porte une note en français, seule note non latine de ces vingt vues.

quadrato evanescit, si statuamus hoc latus infra scilicet D, æquari 2A, Igitur B, erit A, et C similiter erit A, ac proinde z\,\mathrm{pl.} quod diximus esse differentiam planorū BD + CD, et BC, sive excessū quo planū sub B + C in 2D, maius est plano BC, erit æquale 3A^{2}. et ideo A^{2} \parallel \tfrac{1}{3}\,z\,\mathrm{pl.} secundū quam Interpretatiōem z\,\mathrm{pl.} fit summa triū planorū proportionaliū; scilicet B^{2} + BC et C^{2} quorū ōiū idem latus scilicet A.

vel etiam Idem z\,\mathrm{pl.}, hanc Interpretatiōem accipiet ut sit differentia quadrati lateris Infrà et rectanguli lateriū suprà.

Similiter et T\,\mathrm{Sol.} tribus etiam variis modis poterit enuntiari. hoc præmisso Lemmate.

Lemma

Si sint duo latera B et C à quibus fiant tria plana proportionalia, B^{2}, BC et C^{2}, tria solida quæ ab his planis efficientur, erunt æqualia, primū quod à plano Intermedio et summā lateriū extremorū, secundū quod à duobus primis in altitudinem lateris eius quod est extremū, tertiū denique quod à duobus extremis in altitudinem lateris primi.

Cū enim hæc tria plana sint proportionalia erit ut B^{2} ad BC sic B ad C et componendo ut B^{2} + BC ad BC. sic B + C ad C., igitur constat ꝓportū ut solidum cuius basis B^{2} + BC et altitudo C, æquale solido cuius basis BC altitudo vero B + C, eademq; ratiōe huic erit æquale solidū cuius basis C^{2} + BC in altitudinem B, ac proinde tria hæc solida Inter se æqualia, et T\,\mathrm{Sol.} erit quodlibet ex ipsis, fit enim in casu propositæ determinatiōis ex B et C Inter se æqualibus, et D, quod etiam ambobus simul sumptis est æquale. Vérification numérique du lemme, écrite dans la marge de gauche d'une plume plus fine, sur b = 4 et c = 10 ; la lettre c y est tracée comme un r ouvert, et un nombre raturé reste illisible sous la biffure, au-dessous du premier « 560 ». Elle est transcrite ci-après. \begin{array}{lll} b & & c \\ 4 & & 10 \\ \hline b^{2} & bc & c^{2} \\ 16. & 40 & 100 \\ \hline b^{2}\ \ bc & \parallel & b\,.\,c \\ 16\ \ 40 & & 4\,.\,10 \\ \hline b^{2}+bc\ \ bc & \parallel & b+c \quad c \\ 56 \qquad 40 & & 14 \qquad 10 \end{array} \begin{array}{r} 56 \\ 10 \\ \hline 560 \end{array}\ \begin{array}{l} b^{2}+bc \\ c \end{array} \qquad \begin{array}{r} 14 \\ 40 \\ \hline 560 \end{array}\ \begin{array}{l} b+c \\ bc \end{array} \qquad \begin{array}{r} 140 \\ 4 \\ \hline 560. \end{array}\ \begin{array}{l} c^{2}+BC \\ B \end{array}

In hac Igitur constitutiōe ea est determinatio ut latus T\,\mathrm{Sol.} æquetur potentia \tfrac{1}{3}\,z\,\mathrm{pl.} et hæc est limitatio ꝑ T\,\mathrm{Sol.} non fit maius solido cuius basis \tfrac{2}{3}\,z\,\mathrm{pl.} altitudo vero est \tfrac{1}{3} eiusdem planj quæ quidem determinatio patet ex analysi. eximemus ex hac hypothesi T\,\mathrm{Sol.} \parallel 2A^{3}. quod quidem solidū æquatur z\,\mathrm{pl.}\,A - A^{3}, Igitur facta antithesi 3A^{3} \parallel z\,\mathrm{pl.}\,A. et ōibus aplicatis ad A, 3A^{2} \parallel z\,\mathrm{pl.} et ex consequenti A^{2} potentia scilicet lateris T\,\mathrm{Sol.} æquabitur \tfrac{1}{3}\,z\,\mathrm{pl.}. Si deinde prioris æquationis in qua T\,\mathrm{Sol.} \parallel 2A^{3}. dimidium ex utraq; parte sumatur erit « potentia » est ajouté au-dessus de la ligne, appelé par un caret. \text{erit } \tfrac{1}{2}T\,\mathrm{Sol.} \parallel A^{3} \quad \text{et ōibus aplicatis ad } A \text{erit } \frac{\tfrac{1}{2}T\,\mathrm{Sol.}}{A} \parallel A^{2} \quad \text{atq; ideo} \frac{T\,\mathrm{Sol.}}{A} \parallel 2A^{2} \quad \text{et ex consequenti} \frac{T\,\mathrm{Sol.}}{A} \parallel \tfrac{2}{3}\,z\,\mathrm{pl.} \quad \text{ōibus ductis In } A. \text{erit } T\,\mathrm{Sol.} \parallel \tfrac{2}{3}\,z\,\mathrm{pl.}\,A \quad \text{et manifestū est } A \text{ fieri } \sqrt{\tfrac{1}{3}\,z\,\mathrm{pl.}}

Sed eadem determinatio aliter sic demonstrabitur præmisso Lemmate quod a D. Rob. demonstratū est., Et hoc Lemma videbitur pagina sequentj. 13 en son traité de mechanique des plans inclinez La note marginale est en français ; elle renvoie, comme « D. Rob. » de la ligne qu'elle accompagne, à Roberval et à son traité de mécanique des plans inclinés. Le bas de la page est resté blanc.

Double page ; page de gauche paginée « 14 », page de droite « 15 ». Les chiffres « 14 », « 15 », « 16 » et « 17 » de la série courante sont dans la marge de gauche.

Lemma

Omniū parallelepipedorū secundū æqualia plana, vel Idem planū parallelogrammū aplicatorū deficientiumq; figuris parallelepipedis similibus Inter se et similiter positis, maximū est quod ad duas tertias aplicatur duplex existens defectus.

Ex quo Lemmate hoc deducitur quasi corollariū.

Omne planū duabus rectis lineis inæqualibus continetur, quarū minor potens est tertiæ partis eiusdem planj, maior vero sit tripla minoris.

Quod quidem verū est In qualibet aliā ꝑte, seu ut facilius explicetur in qualibet aliā fractiōe numericà, si referatur ad denominatorem ita ut maior linea sit æquemultiplex minoris, ac ipsa minor potest potens est partis eius planj cuius ipsamet est minus latus, si enim v.g. minor possit quartam cuiusdam planj, maior erit quadrupla ipsius minoris.

His ut demonstratis ōe planū atq; ideo z\,\mathrm{pl.}, sub duabus rectis continetur quarū minor est potentiâ æqualis tertiæ ptj eiusdem planj, maior vero est tripla minoris, rectangulū igitur sub eâdem minore, et duplo ipsius æquabitur duabus tertiis z\,\mathrm{pl.} sumptaq; cōi altitudine eâdem minori, solidū cuius basis \tfrac{2}{3}\,z\,\mathrm{pl.} altitudo vero est \tfrac{1}{3} eiusdem z\,\mathrm{pl.}, æquabitur duabus tertiis solidj cuius basis idem z\,\mathrm{pl.}, altitudo vero est \tfrac{1}{3} eiusdem, ac proinde si huiusmodj solidū aplicetur ad duas tertias dicti z\,\mathrm{pl.}, nec excedet nec deficiet, sed si ad idem z\,\mathrm{pl.} aplicetur deficiet figurâ cubicâ cuius basis \tfrac{1}{3}\,z\,\mathrm{pl.}, altitudo vero est \tfrac{1}{3}\,z\,\mathrm{pl.}, duplex existens defectus, sed omniū parallelepipedorum, secundū æqualia plana et cæt. maximū est quod ad duas tertias ipsius aplicatur duplum existens defectus, Igitur solidū cuius basis \tfrac{2}{3}\,z\,\mathrm{pl.} altitudo vero est \tfrac{1}{3} eiusdem planj, maximū est ōiū solidorū secundū z\,\mathrm{pl.} aplicatorū, deficientiumq; figurâ cubicâ, sed z\,\mathrm{pl.}\,A - A^{3}, est solidū aplicatū secundū z\,\mathrm{pl.}, et deficit figurâ cubicâ; Igitur vel z\,\mathrm{pl.}\,A - A^{3}, minus est solido cuius basis \tfrac{2}{3}\,z\,\mathrm{pl.} altitudo vero est \tfrac{1}{3} eiusdem planj, vel si ipsi æquale maximū est ōiū secundū z\,\mathrm{pl.} aplicatorū, deficientiumq; figurâ cubicâ, sed T\,\mathrm{Sol.} facta antithesi æquatur z\,\mathrm{pl.}\,A - A^{3}. Igitur vel T\,\mathrm{Sol.} est æquale solido cuius basis \tfrac{2}{3}\,z\,\mathrm{pl.} altitudo vero est \tfrac{1}{3} eiusdem planj, vel certè ipso minus quod est propositū.

Propositionis 3æ Cap. 2.i determinatio potest esse multiplex, cū enim In hac constitutiōe sint tria latera duo suprà, alterū infrà, idemq; minus duobus suprà simul sumptis, vel illud latus infrà erit æquale unicuiq; eorū quæ sunt suprà, vel alterutrj tantū, vel etiam neutrj sed hæc duo latera suprà erunt Inter se æqualia.

Primo casu erit locus determinationj maiorj et T\,\mathrm{Sol.} æquabitur x^{3} sicut et z\,\mathrm{pl.} quadrato ipsius x.

Secundo casu cū hoc latus infrà, scilicet D, sit æquale vel B, vel C, si statuamus v.g. B, esse A, erit etiam D ipsi A, quia vero latera suprà, in hac constitutione, simul sumpta sunt maiora eo latere infrà, quorū differentia est x, consequens est ut C, alterū latus suprà æquetur x, et z\,\mathrm{pl.} similiter æquetur quadrato ex A, cū rectangulū BD sit differentia rectangulorū BD + CD, et BC, Ideoq; et T\,\mathrm{Sol.} T\,\mathrm{Sol.} \parallel A^{2}x \quad \text{quo aplicato ad } x\text{, erit} \quad \frac{T\,\mathrm{Sol.}}{x} \parallel A^{2} \ \text{sive } z\,\mathrm{pl.} hinc Igitur in dicto hoc secundo casu determinatio ut ex aplicatiōe T\,\mathrm{Sol.} ad x, oriatur z\,\mathrm{pl.}

Tertio denique casu cū latera suprà erunt Inter se æqualia, eâdem utemur methodo, quâ in superioribus, et tandem post aliquot æquationes alteram ex

Page de droite, paginée « 15 ». Le chiffre « 18 » de la série courante dans la marge de gauche.

Lateribus æqualibus orietur ex hac aplicatiōe \frac{\dfrac{3\,T\,\mathrm{Sol.}}{x} - \tfrac{1}{3}\,z\,\mathrm{pl.}}{\dfrac{2\,z\,\mathrm{pl.}}{x} + \tfrac{2}{3}x}

Propositionis 4æ Cap. 2.i determinatio est ut latus infrà, minus summâ lateriū suprà, non sit maius quartâ pte eiusdem summæ, cū enim In hac constitutiōe rectangulū sub summâ laterū suprà in latus infrà debeat æquari rectangulo sub dictis duobus lateribus suprà, manifestū est rectangulū BC, seu rectangulū sub lateribus suprà, eo casu esse maximū quo B et C erunt inter se æqualia, quo casu rectangulū BC, æquabitur quartæ partj quadratj rectæ ipsius B + C, sed quarta pars quadratj rectæ B + C, æquatur rectangulo sub totâ B + C, et quartâ pte eiusdem, Igitur rectangulū BC, eo casu erit maximū, quo recta B + C ducitur in quartam ipsius ptem, Igitur D, per quod hæc linea B + C ducitur, et ex quâ multiplicatiōe oritur rectangulū æquale rectangulo BC, nō debet esse maius quartâ pte eiusdem rectæ B + C, hoc est quartâ pte eiusdem summæ.

Si igitur in hac constitutiōe latera suprà sint inter se æqualia A, unum ex his duobus Lateribus æquabitur \tfrac{2}{3}x, cū enim hæc duo latera suprà sint inter se æqualia, et utrumq; sit A, et D non possit esse maius quartâ pte summæ duorū horū laterū scilicet 2A, erit D, æquale \tfrac{1}{2}A, cum autem x, sit differentia inter 2A et \tfrac{1}{2}A, sequitur ipsum x, æquari \tfrac{3}{2}A, ac proinde \tfrac{2}{3}x \parallel A.

vel certè x itâ dividatur in duas ptes inæquales ut una pars sit dupla alterius, quo casu solidū quod fit ex quadrato maioris in minorem non erit minus T\,\mathrm{Sol.} in casu scilicet huius constitutionis, quod demonstrabitur præmissis duobus Lemmatibus etiam à D. Rob. demonstratis.

Lemma primum

Si recta linea in duas partes inæquales dividatur, maius solidum quod fieri potest ex quadrato unius In altitudinem alterius, est cū portio eius, cuius quadratū est basis dicti solidj, dupla efficitur alterius portionis.

Lemma secundum

Omnium parallelepipedorū secundū æquales rectas eandem lineam rectam, vel secundū æquales rectas aplicatorum, deficientiumq; figuris parallelepipedis similibus Inter se et similiter positis, maximū est quod ad tertiam partem aplicatur dimidium existens defectus.

His positis demonstramus T\,\mathrm{Sol.} in hac constitutione nō esse maius solido, quod fit, x, In duas ptes inæquales diviso, quarū altera, alterius sit dupla, ex quadrato maioris dictarū ptiū in altitudinem minoris.

Quoniam Quoniam enim solidū de quo quæritur, sive solidū CAD fit ex maiori portione bis sumptâ in minorem semel, in eo lateribus eius solidj scilicet AD, sit maior portio, scilicet duæ tertiæ partes lineæ AB; vel x, et minor portio sit æqualis DB, seu tertiæ parti x, si eiusmodj solidū aplicetur ad AC sane nec excedet, nec deficiet, recta enim AC, est unum ex lateribus suæ basis, sed si aplicetur ipsi AB, vel x, deficiet solido cuius quodlibet latus baseos, et altitudo erunt recta AD, seu CB, sive etiam duæ tertiæ ptes ipsius x, deficiet Igitur figurâ cubicâ, sed idem Na. quod linea DB debet esse æqualis CD. sed defectu cartæ non potuit ulterius produci La figure occupe l'angle extérieur inférieur : un parallélépipède tracé en perspective, dont la base repose sur une droite lettrée, de gauche à droite, A, C, D, B ; les sommets visibles portent D (deux fois, en haut et à mi-hauteur, du côté gauche), A et C. La note marginale ci-dessus, écrite au pli, prévient que la figure n'a pu être poussée plus loin faute de papier.

Double page ; page de gauche paginée « 16 », page de droite « 17 ». Le chiffre « 19. » de la série courante dans la marge de gauche.

solidū est dimidiū defectus, quia ex tribus lineis sub quibus hoc solidū deficiens continetur, unū ex lateribus baseos et altitudo sunt eadem linea ac defectus, tertia verò sub quâ idem solidū deficiens etiam continetur est duplū eius sub quâ hoc solidū continetur, Igitur ex lemmate 2o, hoc solidū est ōiū maximū secundū rectam AB, seu x aplicatorum, deficientiumq; figurâ cubicâ; sed ex lemmate 1o est etiam maximū solidū omnium quæ, (x In duas ptes inæquales diviso) continentur sub quadrato maioris ptis in altitudinem alterius, Igitur quodcumq; solidū ad x aplicetur, deficiens figurâ cubicâ, vel æquabitur eo quod fit ex quadrato maioris ptis ipsius x, in minorem, cū scilicet maior pars est dupla minoris, vel certè est minus: sed xA^{2} - A^{3}, est solidū quod aplicatur ad x, deficiensq; figurâ cubicâ, ipsi A^{3}, æquali. Igitur ex consequenti vel solidum xA^{2} - A^{3} est æquale solido cuius basis duæ tertiæ ipsius x, altitudo vero tertia pars eiusdem, vel ipso minus sed xA^{2} - A^{3}, æquatur T\,\mathrm{Sol.}, Igitur T\,\mathrm{Sol.} vel est æquale eidem solido, scilicet \tfrac{4}{27}x^{3}. vel ipso minus, quod erat propositū.

Quæ quidem determinatio potest et aliter demonstrari, nec opus erit 2o præmissorū lemmatū.

Sint enim tria latera B, C, D, secundū hypothesim huius constitutionis, et excessus B + C, in D sit x, et rectangulū quod continetur sub summâ duorū priorum laterū in tertiū, æquetur rectangulo quod fit ex duobus primis. Dico solidū quod fit ex his tribus lateribus, scilicet T\,\mathrm{Sol.} non esse maius solido cuius basis quadratum duarum tertiarū ipsius x, altitudo verò tertia pars eiusdem.

Nam latus B, æquetur rectæ AB, et latus C, rectæ BC, ita ut tota AC, sit B + C, latus verò D, sit recta CD, et rectangulū ACD, æquetur rectangulo ABC, vel AF, Igitur vel recta CD æqualis erit quartæ partj rectæ AC, vel ipsâ minor, maior enim esse non potest ex demonstratis. Deux figures occupent la moitié extérieure de la page, côte à côte : deux rectangles dressés, le premier titré « 1us casus », le second « 2us casus ». Le sommet porte A ; sur le côté gauche F, sur le côté droit B, puis E ; la seconde figure porte en outre G entre B et E. La base est lettrée C et D.

Sit primo recta CD, æqualis quartæ partj rectæ AE, igitur et AF, est quarta pars quadratj rectæ AC, cū autem unaquaq; rectarū AB, BC, quæ Inter se sunt æquales sit dupla rectæ CD, abscindatur à rectâ AC, linea æqualis rectæ CD, et sit CE. Igitur recta AE, æquabitur x, et præterea tribus quartis rectæ AC, Igitur et AB, duabus tertiis ipsius x, et BE erit tertia pars eiusdem, Igitur solidū cuius AB, quadratū seu AF, quadratū in altitudinem BE, erit maximum omniū quod fieri posset ex lineâ AC, in duas ptes divisâ, sed eiusmodi est æquale eo quod fit sub AB, BC et CD, vel B, C, D, hoc est T\,\mathrm{Sol.} Igitur in 1o hoc casu, T\,\mathrm{Sol.} æquatur solido cuius basis quadratū duarū tertiarū ipsius x, altitudo verò tertia pars eiusdem x.

Sit In 2o casu recta CD, minor quartâ pte rectæ B + C, Igitur AE, vel x differentia rectarū AC et CD, erit maior tribus quartis ipsius AC, si Igitur AE Ita dividatur In G, ut AG, sit dupla ipsius GE, recta AG maior erit dimidiâ AC, et quadratū AG, maius rectangulo AF, Igitur et GE, etiam maior quarta pte ipsius AC, ac ex consequenti maior rectâ CD, solidū Igitur cuius basis AG quadratū, altitudo vero GE, maius erit solido cuius basis AF, quadratū altitudo vero CD, hoc est T\,\mathrm{Sol.} cū basis sit maior basi, altitudo verò altitudine. Igitur T\,\mathrm{Sol.} vel est æquale solido quod fit ex duabus tertiis x, in tertiam partem eiusdem, vel ipso minus.

Page de droite, paginée « 17 ». Le chiffre « 20 » de la série courante dans la marge de gauche. La moitié inférieure de la page est restée blanche.

Propositionis 5æ Capis 2.i determinatio eadem ferè quæ In superioribus In casu duorū laterū æqualiū. Cum enim In hac constitutiōe ambo latera suprà simul sumpta sint maiora reliquo quod est Infrà, et rectangulū sub summa dictorū lateriū suprà in latus infrà sit minus rectangulo sub duobus suprà, sequitur unumquodq; lateriū suprà maius esse dicto latere Infra.

Sit enim recta AC, summa lateriū suprà, et AB sit latus B, et BC, latus C, recta verò D, sit latus infrà, rectangulū enim AB in BC cum sit maius ex hypothesi, rectangulo AC, in D, erit à fortiori, rectangulū AC in BC, multo maius dicto rectangulo AC in D demptâ autem utrimq; AC, Igitur BC, maior erit rectâ D, similiq; ratiōe demonstrabitur etiam rectam AB, maiorem esse ipsâ D. minorem La figure qui accompagne ce passage est une droite lettrée A, B, C, avec au-dessous un segment plus court marqué D. Le mot « maiorem » est souligné dans le texte, et la marge de gauche porte, en regard et à côté du chiffre « 20 », le mot « minorem » : correction proposée par l'annotateur, que la démonstration de la ligne ne demande pas.

Indè Igitur patet In hac constitutiōe unico tantū casu esse determinatiōem In quo scilicet duo latera suprà erunt Inter se æqualia, quæ quidem latera eâdem quâ in superioribus usi sumus methodo facilè elicientur.

Propositionū verò 3æ et 4æ Capitis determinationes eadem erunt cū superioribus, cū utraq; capita ut dictū est sint inversa superiorū, quartū scilicet primj et tertiū secundj, et in his duobus posterioribus ea dicantur de lateribus infrà, quæ in prioribus dicta sunt de lateribus suprà, si igitur laterum sic Inversorū habeatur ratio, et etiam quoad determinationes eadem dicantur de lateribus infrà, in his duobus posterioribus quæ in superioribus de lateribus Infrà, et vice versâ hic eadem de lateribus suprà quæ ibj de lateribus infrà, eadem omnino sunt determinationes.

In Capitibus autem 5o et 6o patet ex diversis quæ ibj sunt constitutionibus, nullas omnino esse determinationes. Une lettre « D » isolée est tracée seule sous ce dernier alinéa, au milieu de la page ; elle ressemble aux lettres de séquence qui ouvrent les parties et n'appartient pas à la phrase.

Double page ; page de gauche paginée « 18 », page de droite « 19 ». Le chiffre « 21. » de la série courante dans la marge de gauche.

De constitutione Æquationum Quadratoquadraticarum

Æquatio quad. quad.a est cuius potestas est quadratoquadratū, quæ quidem æquatio cū vel a quatuor lateralibus procreetur, et hinc quinque capita, vel a quadraticâ et duabus lateralibus, vel a duabus quadraticis, vel a cubicâ (earum scilicet quæ de duobus tantū lateribus sunt explicabiles) et Laterali, vel etiam ab aliâ cubicâ, quæ per se subsistit et Laterali, vel denique hæc æquatio qq.tica ex se subsistat, nec aliunde habeat originem, vel certè oriatur ex quibusdam lateribus, quæ veram habent significatiōem, quibusdam verò aliis fictitiis simul mixtis, ideò totidem scilicet decem erunt capita, in quibus tot etiam propositiones quot varia lateriū, seu natura seu magnitudo, Inducent constitutiones.

Caput 1ū

In quo quatuor latera sunt positiva suprà. S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} + A^{4}

Propositio unica. \begin{array}{llll} \text{Sit } B - A \parallel 0 & \text{vel } C - A \parallel 0 & \text{vel } D - A \parallel 0 & \text{vel } F - A \parallel 0 \\ C - A & D - A & F - A & B - A \\ D - A & F - A & B - A & C - A \\ F - A. & B - A & C - A & D - A \end{array} productū erit \begin{array}{llll} BCDF & - BCDA & + DFA^{2} & - DA^{3} \\ & - BCFA & + BFA^{2} & - BA^{3} \\ & - BDFA & + CFA^{2} & - CA^{3} \\ & - CDFA & + BCA^{2} & - FA^{3} \quad + A^{4} \quad \parallel 0 \\ & & + BDA^{2} & \\ & & + CDA^{2} & \end{array} Et adhibita convenienti Interpretatione erit. S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} + A^{4} \parallel 0 In quâ formula sunt quatuor latera suprà sitq; S\,\mathrm{pl.pl.} planoplanū sub illis; T\,\mathrm{Sol.} summa triū solidorū sub iis quatuor lateribus, tribus et tribus utcumq; sumptis contentorū. z\,\mathrm{pl.} aggregatū sex rectangulorū ex iisdem binis et binis, et x, summa eorundem laterum.

Caput 2.um

In quo sunt tria latera suprà, Alterū verò Infrà \begin{array}{llll} \text{Sit } F + A \parallel 0 & \text{vel } B - A \parallel 0 & \text{vel } C - A \parallel 0 & \text{vel } D - A \parallel 0 \\ B - A & C - A & D - A & F + A \\ C - A & D - A & F + A & B - A \\ D - A & F + A & B - A & C - A \end{array} productum erit \begin{array}{llll} BCDF & + BCDA & + BFA^{2} & + DA^{3}. \\ & - BCFA & + CFA^{2} & + CA^{3} \\ & - BDFA & + DFA^{2} & + BA^{3} \\ & - CDFA & - BCA^{2} & - FA^{3} \quad - A^{4} \quad \parallel 0 \\ & & - BDA^{2} & \\ & & - CDA^{2} & \end{array} Ut autem eiusmodj constitutio explicetur, cū ob diversas tum signorū + et - notationes, tum etiam planorū et solidorū magnitudines inæquales, varia possint oriri formulæ, videndū est primo an latus Infrà, quod hic est F, sit maius tribus reliquis, quæ sunt supra simul

Page de droite, paginée « 19 ». Le tiers inférieur est resté blanc.

sumptis scilicet B, C, et D, si enim dictū F, maius est his tribus, manifestum est tria rectangula quorū unū latus est Idem F, scilicet tria quibus præficitur signū affirmationis maiora esse tribus reliquis, quæ vocabuntur negata, cum notentur signo negatiōis; nam quia ex hypothesi, F, maius est B + C + D, rectangulū sub F, et summâ dictorū triū lateriū maius erit quadrato eorundem, quod quidem quadratū patet esse maius tribus rectangulis negatis, igitur et affirmata erunt iis maiora, ac proinde In hypothesi quod F, sit maius tribus reliquis Lateribus z\,\mathrm{pl.} erit cū signo +, secundū quam etiam hypothesim, solidū affirmatū, erit minus tribus negatis, cū et unico eorū sit minus. Hinc Igitur

Proposit. 1a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4} Cum latus Infrà maius est tribus quæ sunt suprà simul sumptis.

Cuius quidem hypothesis hæc erit formula. S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4} \parallel 0 Et sunt tria latera suprà, et alterū infrà, idemq; maius tribus reliquis simul sumptis, sitq; S\,\mathrm{pl.pl.} planoplanū sub dictis quatuor lateribus. T\,\mathrm{Sol.} differentia solidorū sub tribus lateribus suprà In latus Infrà contentorū, et eius quod fit ex dictis tribus lateribus quæ sunt suprà, z\,\mathrm{pl.} differentia rectangulorum affirmatorū et negatorū, et x differentia eorumdem lateriū, et A fit quodlibet ex ipsis.

Proposit. 2a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - A^{4} Cum latus Infrà æquale est summæ lateriū suprà

In qua hypothesi evanescit affectio sub cubo, et eadem rectangula afirmata maiora esse negatis eâdem viâ quâ in præcedentj propositione demonstrabitur erit Igitur S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + A^{4} \parallel 0 Le dernier terme est bien écrit « +A^{4} » dans la ligne, « -A^{4} » dans la forme recopiée en marge ; c'est la marge qui s'accorde avec la constitution. Laissé tel quel de part et d'autre. Et sunt quatuor latera, tria suprà, alterū, Idemq; æquale tribus reliquis simul sumptis infrà et cæt.

Si verò latus Infrà sit minus tribus reliquis suprà simul sumptis, vel rectangula afirmata maiora, vel æqualia, vel minora erunt tribus negatis, si maiora vel æqualia, manifestū est solida sub signo negationis maiora esse eo, quod sub signo affirmationis, si verò minora, poterit etiam fieri pro ratione magnitudinis ipsius lateris, ut solida sub signo negationis vel sint maiora, vel æqualia, vel minora eo cui præficitur signū affirmatiōis, ita enim illud latus infrà poterit minui, ut sit minus quovis lateriū suprà, secundū quos varios casus, tot etiam erunt propositiones. Sit Igitur.

Propos. 3a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4} Cum latus Infrà minus est summa lateriū suprà, sed rectangula affirmata maiora negatis.

Patet ex his, quæ diximus, tria solida, quæ sunt sub signo negatiōis etiam In hac constitutiōe maiora esse eo quod sub signo affirmatiōis. Erit Igitur hæc Interpretatio S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4} \parallel 0 Sunt tria latera suprà, alterū Infrà idemq; minus, his quæ sunt suprà simul sumptis Et cæt.

Double page ; page de droite paginée « 21 ». La pagination de la page de gauche est cachée par un béquet épinglé sur son angle extérieur supérieur ; le béquet relevé, elle se lit « 20 » aux vues 14 et 15. Aucun chiffre de la série courante sur l'une ni l'autre page.

Si verò In eadē constitutiōe in quâ latus Infrà, est minus reliquis tribus quæ sunt suprà simul sumptis, rectangula verò affirmata æquentur negatis, adhuc tria solida quibus præficitur signū negatiōis erunt maiora eo quod est sub signo affirmatiōis, cū enim rectangula affirmata æquentur negatis, consequens est ut F, latus Infrà sit maius aliquo lateriū suprà, nam si esset minus hæc rectangula nō essent Inter se æqualia, nam BC, maius erit BF, et sic de cæteris, ponatur igitur hoc latus F, maius latere B, v.g. vel alio quovis dictorū lateriū suprà, et solido cui præficitur signū affirmatiōis statuatur basis rectangulū CD, altitudo verò B, quod ex hypothesi ipso F, est minus, evidens est hoc solidū, multò minus esse reliquis quæ sub signo negatiōis, et similiter procedet argumentū de quovis alio latere suprà. Sit Igitur.

Propos. 4a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + xA^{3} - A^{4}. Cum latus Infrà minus est summâ lateriū suprà, et rectangula affirmata æquantur negatis

Et ob hanc æqualitatem rectangulorū patet evanescere affectiōem sub quadrato, Cuius constitutionis hæc erit formula. S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + xA^{3} - A^{4} \parallel 0. Entre « rectangulorū » et « patet », un mot est écrit au-dessus de la ligne et repassé ; il reste illisible. Quæ quidem formula explicabitur ut In præcedentibus.

Propos. 5a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4} Cum Idem latus Infrà minus est eadem summâ, et rectangula affirmata minora sunt negatis, sed solidū afirmatū adhuc minus negatis

Quod quidem fieri posse demonstravimus, hæc Igitur constitutio hanc Interpretatiōem accipiet S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4} \parallel 0

Propos. 6a

S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4}. Iisdem positis, sed solidis negatis et affirmato Æqualibus.

Igitur in hac æquatiōe evanescit affectio sub latere et erit. S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4} \parallel 0

Propos. 7a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4} Iisdem positis adhuc ut supra sed solido affirmato maiore negatis

Erit Igitur In hac constitutiōe hæc Interpretatio. S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4} \parallel 0.

Caput 3um

In quo duo latera suprà, duo verò Infra. \begin{array}{ll} \text{Sit } B - A \parallel 0 & \text{vel. } D + A \parallel 0 \\ C - A & F + A. \\ D + A & B - A \\ F + A. & C - A. \end{array} Productū quod inde ortus est. \begin{array}{llll} BCDF & + BCDA & + BCA^{2} & + DA^{3} \\ & + BCFA & + DFA^{2} & + FA^{3} \\ & - BDFA & - BFA^{2} & - BA^{3} \\ & - CDFA. & - CFA^{2} & - CA^{3} \quad + A^{4} \quad \parallel 0 \\ & & - CDA^{2} & \\ & & - BDA^{2} & \end{array}

Page de droite, paginée « 21 ». Le tiers inférieur est resté blanc.

Ut autem huiusmodj constitutio explicetur diversa est inquirenda lateriū magnitudo, prout enim vel maiora vel minora erunt, rectangula augentur, vel minuuntur, sicut etiam et solida secundū diversam rectangulorū magnitudinem, ac proinde ex variis seu lateriū, seu rectangulorū, seu etiam solidorū habitudinibus, diversæ orientur signorū notationes in formulis sub quibus variæ æquationum constitutiones concipientur.

Igitur ut horū rectangulorū diversæ magnitudines facilius dignoscantur, notandū est quatuor rectangula quibus præficitur signū negatiōis oriri ex ductu summæ lateriū quæ sunt Infrà, In summam eorū quæ sunt suprà si enim D + F summa lateriū Infrà ducatur in B + C summa Lateriū suprà productū erit BD. BF. CD. CF. \begin{array}{l} B + C \\ D + F \\ \hline -BD\ -BF \\ -CD\ -CF \end{array} Cette multiplication est posée dans la marge de gauche, en regard de la phrase.

similiter et duo solida quæ sunt sub signo affirmatiōis oriuntur ex rectangulo quod fit à lateribus suprà, in altitudinem summæ eorū quæ sunt Infrà, sicut et duo solida quæ sunt sub signo negatiōis oriuntur ex rectangulo quod continetur sub lateribus infrà, in altitudinem summæ eorū quæ sunt suprà.

His prænotatis vel summa lateriū Infrà est maior summâ lateriū suprà, vel ipsi æqualis, vel ipsâ minor, (facilè autem iis ōibus casibus dignoscetur quo signo x, sit notandū ut supervacaneū sit admonere.

Et primo sit ea summa lateriū infrà maior summâ lateriū suprà, sitq; linea AC ea summa lateriū infrà, et recta DF, summa lateriū suprà, et quidem In 1o hoc casu quo summa lateriū infra maior est summâ lateriū suprà vel rectangula affirmata sunt maiora negatis, vel ipsis æqualia, vel minora, sed prius tanquam æqualia à nobis considerentur, ex hac enim hypothesi reliquorū casuū facilior erit determinatio. Deux droites lettrées sont tracées entre ces alinéas : la première, plus longue, porte A, B, C ; la seconde, au-dessous et plus courte, D, E, F.

Sunt Igitur rectangula ABC et DEF æqualia rectangulo AC in DF hoc est duo affirmata æqualia quatuor negatis, et positâ rectâ AC, maiore rectâ DF, Inde etiam sequetur ex superiori hypothesi rectangulū ABC, maius esse quarta pte quadratj DF, scilicet maiore rectangulo quod fieri potest sub rectâ DF, utcumq; divisâ, si enim rectangulū ABC, non sit maius quartâ pte quadratj DF, vel ipsi erit æquale, vel ipso minus, si æquale, duo simul scilicet rectangulū ABC, et quarta pars quadratj DF, non erunt maiora dimidio eiusdem quadratj DF, vel duplo quadratj DE, hoc est rectangulo DF in DE, sed rectangulū ABC, unâ cū rectangulo DEF vel quadrato DE, positū est æquale rectangulo sub AC in DF, Igitur ABC rectangulū In hac hypothesi maius est 4a pte quadratj DF. et ex consequenti idem rectangulū ABC, bis maius erit duobus rectangulis simul sumptis ABC et DEF. sed et ex hypothesi ut Jam diximus, duo simul rectangula ABC et DEF, æquantur rectangulo AC in DF, Igitur rectangulū ABC, bis maius erit rectangulo AC in DF, ergo multo magis idem rectangulū ABC, quater maius erit rectangulo AC in DF.

Double page. La page de gauche est blanche : c'est le verso du feuillet paginé « 21 ». Y est fixé, par une épingle qui traverse le papier, un petit béquet portant cinq lignes ; il est ici transcrit. Le béquet est rabattu sur l'angle supérieur de la page paginée « 20 » (vue 13, page de gauche), dont il masque le chiffre : celui-ci, « 20 », se lit sur le bord saillant du feuillet à cette vue et à la suivante. La page de droite est entièrement blanche et n'est pas transcrite.

p. 21. Duo verò rectangula quibus præficitur signū affirmationis nempe BC et DF unū fit ex ductu lateriū quæ sunt suprà nempe B et C et alterū ex ductu lateriū quæ sunt Infrà nempe D et F Le béquet porte un caret sous la mention « p. 21. » : l'addition est appelée dans le texte de la page 21, après la multiplication de B+C par D+F.

Double page. La page de gauche est la même page blanche qu'à la vue précédente, le premier béquet relevé : apparaît alors, sous lui et tenu par la même épingle, un second béquet de trois lignes, ici transcrit. Le chiffre « 20 » du feuillet précédent se lit toujours sur le bord saillant, à gauche. La page de droite est entièrement blanche et n'est pas transcrite.

19a quomodō cognoscetur utrū hæc æquatio T\,\mathrm{Sol.} - z\,\mathrm{pl.}\,A + xA^{2} - A^{3} \parallel 0 sit capitis quintj vel tertij.

Double page ; page de gauche paginée « 22 », page de droite « 23 ». Les chiffres « 22 », « 23 », « 24 » de la série courante dans la marge de gauche de la page de gauche.

erit Igitur maior ratio quadratj DF ad rectangulū AC in DF, quam eiusdem quadratj ad rectangulū ABC quater sumptū. Sed ut quadratū DF ad rectangulū AC in DF, sic recta DF, ad rectam AC, sunt enim sub eâdem altitudine scilicet DF, Igitur maior erit ratio rectæ DF, ad rectam AC, quam quadratj DF, ad rectangulū ABC, quater sumptū, et ex consequenti eiusdem rectæ DF, ad eandem rectam AC, maior ratio, quam quater ptis dictj quadratj DF, ad rectangulū ABC, simul sumptū. Sed rectangulū DEF, nō est maius quartâ pte dictj quadratj DF, Igitur maior est ratio rectæ DF, ad rectam AC, quam rectangulj DEF, ad rectangulū ABC ac ex consequenti solidū cuius basis idem rectangulū ABC, altitudo verò DF, maius erit solido cuius basis rectangulū DEF, altitudo verò AC, sed et facile demonstrabitur prius illud solidū maius esse septuplo posterioris.

His Ita demonstratis constituendæ sunt ōes huius Capitis æquationū formulæ, ac 1o. si summa lateriū Infrà, sit maior summâ lateriū suprà et rectangula afirmata sint etiam maiora negatis, Cum demonstratū sit iis existentibus Inter se æqualibus solida negata maiora esse affirmatis, igitur et multo maiora erunt. et hinc fit

Propositio prima

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4}. Cum summa lateriū Infrà sit maior summâ lateriū suprà, et rectangula affirmata maiora negatis.

Cuius constitutionis hæc erit formula S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4} \parallel 0 Et sunt quatuor latera duo suprà et duo infrà, eorumdemq; summa maior summâ horū quæ sunt suprà, S\,\mathrm{pl.pl.} quod continetur sub his quatuor lateribus, T\,\mathrm{Sol.} excessus quo duo solida quæ fiunt sub rectangulo lateriū Infrà in altitudinem summæ eorū quæ sunt suprà, superant duo solida quæ fiunt sub rectangulo lateriū suprà, in altitudinem summæ eorū quæ sunt Infrà, z\,\mathrm{pl.} differentia rectangulorū affirmatorū et negatorū, x verò differentia dictarū summarū, Et A, fit quodlibet ex quatuor lateribus.

Propos. 2a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + xA^{3} + A^{4}. Cum eadem summa maior, et rectangula afirmata sunt æqualia negatis.

Quo quidem casu evanescet affectio sub quadrato. Et hæc erit formula S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + xA^{3} + A^{4} \parallel 0. Quæ formula explicabitur ut superior et cæt. Si verò rectangula afirmata sint minora negatis, tunc vel solida negata erunt adhuc maiora affirmatis, vel ipsis æqualia, vel minora, cū enim demonstratū sit superius, quo casu hæc rectangula inter se sunt æqualia, tunc ea solida negata maiora esse affirmatis, evidens est sic ea rectangula negata posse minui, vel ut vel dicta solida negata sint adhuc maiora afirmatis, vel iis æqualia, vel denique minora, hinc tres propositiones.

Propos. 3a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4}. Cū eadem summa maior, rectangula verò affirmata minora negatis, solida tamen negata maiora affirmatis

Cuius constitutionis hæc erit formula S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4} \parallel 0

Page de droite, paginée « 23 ». Le chiffre « 25 » de la série courante dans la marge de gauche. Le tiers inférieur est resté blanc.

Propos. 4a

S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4} Iisdem positis ut in superiore sed solidis Æqualibus.

Et hoc casu evanescit affectio sub latere. S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4} \parallel 0

Propos. 5a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4}. Iisdem positis, sed solida affirmata maiora negatis.

Tunc huius constitutionis hæc erit formula S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4} \parallel 0

Si verò eadem summa lateriū Infrà sit æqualis summæ lateriū suprà manifestū est eo etiam casu rectangula quæ sunt sub signo negatiōis maiora esse iis quæ sub signo affirmatiōis, nam ea quæ sub signo negatiōis, oriuntur ex ductu summæ dictorū lateriū Infrà in summā lateriū suprà, ea verò quæ sub signo affirmatiōis producuntur ex solo ductu lateriū Inter se. Quod verò spectat ad solida, patet In hac hypothesi eam Inter se habere ratiōem quæ rectangulū ex dictis lateribus Infrà, ad rectangulū ex lateribus suprà, atq; ideò si rectangulū sub lateribus infrà maius sit rectangulo sub lateribus suprà solida negata maiora erunt affirmatis, sicut et vice versâ si rectangulū sub lateribus suprà sit maius eo sub lateribus infrà, solida affirmata erunt etiam maiora negatis, si denique dicta rectangula fiant Inter se æqualia quod aliter fieri nō potest, nisi unumquodq; lateriū Infrà sit æquale unicuiq; lateriū suprà, tunc et solida erunt etiam Inter se æqualia Sit Igitur

Propos. 6a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + A^{4}. Cum summæ lateriū sunt Inter se æquales sed rectangulū sub lateribus Infrà maius rectangulo sub lateribus suprà

Et hoc Casu evanescit affectio sub cubo. S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + A^{4} \parallel 0.

Propos. 7a

S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + A^{4} Cum eadem summæ æquales et rectangulū sub lateribus Infrà æquale rectangulo sub lateribus suprà.

hoc casu evanescit non solū affectio sub cubo, sed et sub latere. S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + A^{4} \parallel 0.

Propos. 8a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + A^{4} Cum eadem summæ lateriū sunt æquales sed rectangulū sub lateribus Infrà est minus rectangulo sub lateribus suprà. S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + A^{4} \parallel 0

Si denique summa lateriū Infrà sit minor summâ lateriū suprà, eadem dicenda erunt de lateribus suprà, quæ In præcedentibus diximus de lateribus Infrà, et similiter rectangula negata vel erant maiora, vel æqualia, vel minora afirmatis, eodemq; ratiocinio solidū cuius basis rectangulū sub lateribus suprà, altitudo verò summa lateriū infrà, maius erit solido cuius basis rectangulū sub lateribus infrà, altitudo verò, summa lateriū suprà.

Double page ; page de gauche paginée « 24 », page de droite « 25 ».

Et 1o. si rectangula negata sint minora affirmatis fit.

Propositio 9a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} + A^{4}. Cum summa lateriū suprà maior summâ lateriū Infrà, et rectangula negata minora affirmatis.

Et tunc erit hæc formula S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} + A^{4} \parallel 0. Et sunt quatuor latera duo suprà et duo infrà, summa eorū quæ sunt suprà maior summâ eorū quæ sunt infrà Et cæt. ut suprà.

Propositio 10a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - xA^{3} + A^{4} Iisdem positis, sed rectangulis Inter se æqualibus S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - xA^{3} + A^{4} \parallel 0 Et hoc casu evanescit affectio sub quadrato.

Propositio 11a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} + A^{4} Cum eadem summa maior, sed rectangula affirmata minora sunt negatis, sed solida affirmata adhuc maiora. S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} + A^{4} \parallel 0

Propositio 12a

S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} + A^{4}. Iisdem positis sed solidis Æqualibus S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} + A^{4} \parallel 0 Et hoc casu evanescit affectio sub latere.

Propositio 13a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} + A^{4} Iisdem positis sed solidis affirmatis minoribus negatis S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} + A^{4} \parallel 0

Caput Quartum

In quo tria latera Infrà et alterum suprà \begin{array}{llll} \text{Sit } C + A \parallel 0 & \text{vel } D + A \parallel 0 & \text{vel } F + A \parallel 0 & \text{vel } B - A \\ D + A & F + A & B - A & C + A \\ F + A & B - A & C + A & D + A \\ B - A & C + A & D + A & F + A \end{array} Productum autem erit \begin{array}{llll} BCDF & + BDFA & + BCA^{2} & + BA^{3} \\ & + BCFA & + BDA^{2} & - CA^{3} \\ & + BCDA & + BFA^{2} & - DA^{3} \\ & - DCFA & - CDA^{2} & - FA^{3} \quad - A^{4} \quad \parallel 0 \\ & & - CFA^{2}. & \\ & & - DFA^{2} & \end{array} Quæ constitutio ut explicetur notanda et observanda sunt ea quæ in 2o huius ptis capite adnotata sunt, modo hic Intelligantur de lateribus infrà, quæ ibj dicta sunt de lateribus suprà, similiter hic de lateribus suprà quæ illic de lateribus Infrà, unde et totidem erunt huius Capitis propositiones.

Page de droite, paginée « 25 ». La moitié inférieure est restée blanche.

Propositio 1a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4} Cum latus supra maius est tribus reliquis simul sumptis S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4} \parallel 0 Et sunt quatuor latera tria infrà, et alterū Idemq; maius reliquis simul sumptis suprà, S\,\mathrm{pl.pl.} quod fit sub his lateribus, T\,\mathrm{Sol.} differentia solidorū et cæt. ut In dicto 2o cap.

Propositio 2a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - A^{4}. Cum Idem latus suprà æquale est iis quæ sunt supra. S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - A^{4} \parallel 0 Et evanescit In hoc casu affectio sub latere. « quæ sunt supra » est bien ce qui est écrit ; le chapitre pose trois côtés infra et un seul supra, et c'est « infra » que la proposition demande. Laissé tel quel.

Propositio 3a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4} Cum Idem latus supra minus est tribus iis, quæ sunt Infrà simul sumptis, sed rectangula affirmata maiora negatis S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4} \parallel 0

Propositio 4a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - xA^{3} - A^{4} Iisdem positis sed rectangulis æqualibus S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - xA^{3} - A^{4} \parallel 0 Et hoc casu evanescit affectio sub quadrato.

Propositio 5a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4} Cum Idem latus Infrà minus est, rectangula negata etiam minora afirmatis, sed solida affirmata adhuc maiora negato. S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4} \parallel 0

Propositio 6a

S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4}. Iisdem positis sed solidis æqualibus S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4} \parallel 0 Et hoc casu evanescit affectio sub latere.

Propositio 7a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4}. Cum Idem latus est minus rectangula affirmata minora negatis, et solida etiam affirmata minora negatis S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4} \parallel 0

Caput Quintum

In quo omnia latera sunt Infrà. \begin{array}{llll} \text{Sit } B + A \parallel 0 & \text{vel } C + A \parallel 0 & \text{vel } D + A \parallel 0 & \text{vel } F + A \parallel 0 \\ C + A & D + A & F + A & B + A \\ D + A & F + A & B + A & C + A \\ F + A & B + A. & C + A & D + A \end{array} S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4}. Et adhibita convenienti Interpretatione erit S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4} \parallel 0 Et cū hoc caput sit primj Inversum, sic et formula erit omnino inversa, et ut explicetur hic dicendū est de lateribus infrà quæ ibj dicta sunt de iis quæ sunt supra.

Double page ; page de gauche paginée « 26 », page de droite « 27 ». Le chiffre « 26 » de la série courante dans la marge de gauche de la page de gauche.

Caput 6um. De Constitutione Æquationū quadratoquadraticarum quæ oriuntur ex duabus planis

Cum In eâ parte, in quâ superius egimus de æquationibus quadratis dictū sit eas esse tantummodo duplicis generis, vel quæ ex duobus lateribus, vel quæ ex unico tantū explicantur, hic nō est quæstio de æquationibus qqtis quæ originem ex duabus quadratis, quarū unaquæq; duas radices, eo enim casu productū quod inde procreatur sub aliquâ ex superioribus huius partis formulis, quæ ex quatuor lateribus explicantur, interpretandū esset, hic Igitur agitur de iis quadratis quarū unicū est latus, cū verò ex cognitiōe ipsarū manifestū sit, esse tantū unicam huiusmodi æquationū, Igitur huius capitis erit

Propositio unica

In qua duo latera ambo Infra. \begin{array}{l} \text{Sit enim } G\,\mathrm{pl.} + A^{2} \parallel 0. \\ \text{et } H\,\mathrm{pl.} + A^{2} \parallel 0 \end{array} productū quod Inde oritur erit. G\,\mathrm{pl.}\,H\,\mathrm{pl.} + G\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + H\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + A^{4} \parallel 0 Les deux termes en A^{2} sont écrits l'un au-dessus de l'autre après « G\,\mathrm{pl.}\,H\,\mathrm{pl.} » ; ils sont ici mis bout à bout. Quæ constitutio hanc accipit Interpretationem. S\,\mathrm{pl.pl.} + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + A^{4}. S\,\mathrm{pl.pl.} + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + A^{4} \parallel 0 Et sunt duo latera Infrà quorū quadrata simul sumpta exhibent z\,\mathrm{pl.} et S\,\mathrm{pl.pl.} quod sub his quadratis continetur. A, verò fit utrumlibet ex his duobus lateribus.

Caput 7um. De constitutione æquationū quadratoquadraticarū quæ oriuntur ex æquatione planâ et duabus lateralibus

Ex superiori capite patet de quâ æquatiōe quadratâ hic agatur, duæ verò laterales vel enunciabuntur de duobus lateribus suprà, vel de uno latere suprà, altero Infrà, vel de duobus Infrà. \text{Sint } 1^{\mathrm{o}} \text{ duo latera suprà} \quad \begin{array}{l} B - A \parallel 0. \\ C - A \parallel 0. \end{array} productū quod Inde oritur, si ducatur in dictam æquatiōem quadratam erit \begin{array}{llll} BCG\,\mathrm{pl.} & - BG\,\mathrm{pl.}\,A & + G\,\mathrm{pl.}\,A^{2} & - BA^{3} \\ & - CG\,\mathrm{pl.}\,A & + BCA^{2} & - CA^{3} \quad + A^{4} \quad \parallel 0 \end{array} Hinc Igitur

Propositio 1a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} + A^{4}. Cum ex planâ et duabus lateralibus quarū lateraliū radices sunt suprà

Cui constitutionj hæc erit Interpretatio. S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} + A^{4} \parallel 0 Quæ formula etiam si similis sit ej quæ habetur in Capite 1o huius ptis, maximè tamen Inter se differunt, ut videre est ex earū diversâ originè nam hic sunt tantum tria latera, duo suprà, alterū verò Infra

Page de droite, paginée « 27 ». Le tiers inférieur est resté blanc.

x est summa eorū quæ sunt suprà, summa rectangulj quod sub iisdem continetur et quadratj eius quod est Infrà est z\,\mathrm{pl.}, et T\,\mathrm{Sol.} fit ex dicto quadrato in altitudinem summæ dictorū lateriū quæ sunt suprà, Et S\,\mathrm{pl.pl.} quod sub eodem quadrato et dicto rectangulo continetur, A verò fit utrumlibet dictorū lateriū

Propositio 2a

Cum iisdem positis, una ex radicibus lateraliū est suprà, altera verò infrà, et ea quæ est suprà maior est eâ quæ est Infrà, et rectangulū sub dictis radicibus maius plano æquationis quadratæ.

Huiusmodj constitutio inde oritur. \begin{array}{ll} \text{Sit } B - A \parallel 0 & \text{productū erit} \\ \text{et } C + A \parallel 0 & BC + BA - CA - A^{2} \parallel 0 \end{array} Quod productū si ducatur in G^{2} + A^{2} \parallel 0 erit \begin{array}{llll} BCG\,\mathrm{pl.} & + BG\,\mathrm{pl.}\,A & - G\,\mathrm{pl.}\,A^{2} & + BA^{3} \\ & - CG\,\mathrm{pl.}\,A & + BCA^{2} & - CA^{3} \quad - A^{4} \quad \parallel 0 \end{array} Le plan de l'équation quadratique, écrit « G\,\mathrm{pl.} » partout ailleurs, est ici noté « G^{2} » ; conservé tel quel.

Quoniam verò fieri potest ut latus suprà sit vel maius, vel minus latere infrà, vel ipsi æquale, et similiter rectangulū BC, vel maius, vel æquale, vel minus G\,\mathrm{pl.}, quod et Idem etiam potest accidere circa solida, Ideo in casu huiusce 1æ propositionis hæc sit formula S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4}. S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4} \parallel 0 Nec dissimilis est Istius formulæ explicatio à, præcedentj, nisi quod et quæ in superiorj erant summæ hic sunt differentiæ.

Propositio 3.a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + xA^{3} - A^{4} Cum Idem latus suprà est maius, sed rectangulū sub lateribus æquale G\,\mathrm{pl.} S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + xA^{3} - A^{4} \parallel 0 Et hoc casu evanescit affectio sub quadrato.

Propositio 4a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4} Cum latus supra est maius et rectangulū sub lateribus est minus G\,\mathrm{pl.} S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4} \parallel 0 « minus » est ajouté au-dessus de la ligne, appelé par un caret.

Propositio 5a

S\,\mathrm{pl.pl.} + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - A^{4} Cum latera sunt æqualia, sed rectangulū sub iis lateribus est maius G\,\mathrm{pl.} S\,\mathrm{pl.pl.} + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - A^{4} \parallel 0 Et hoc casu evanescit affectio sub latere et sub cubo, utriusq; enim solidj eadem est basis.

Propositio 6a

S\,\mathrm{pl.pl.} - A^{4} Iisdem positis, et rectangulo æqualj G\,\mathrm{pl.} S\,\mathrm{pl.pl.} - A^{4} \parallel 0 Et omnes affectiones sub gradibus evanescunt.

Double page ; page de gauche paginée « 28. », page de droite « 29. ». Le chiffre « 27. » de la série courante dans la marge de gauche de la page de gauche, « 29 » dans celle de la page de droite. Au-dessus de l'angle extérieur supérieur de la page de droite dépasse le bord d'un feuillet postérieur, qui porte en gros chiffres « 33 » ; c'est sa pagination, et non un chiffre de celui-ci.

Propositio 7a

S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - A^{4}. Cum eadem latera æqualia, sed rectangulo sub iis minore G\,\mathrm{pl.} S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - A^{4} \parallel 0

Propositio 8a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4}. Cum latus Infrà est maius latere suprà et Rectangulo sub lateribus maiori G\,\mathrm{pl.} S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4} \parallel 0

Propositio 9a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - xA^{3} - A^{4}. Iisdem positis et rectangulo æqualj G\,\mathrm{pl.} S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - xA^{3} - A^{4} \parallel 0 Et evanescit affectio sub quadrato.

Propositio 10a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4} Cum Idem latus Infra est maius et rectangulō sub lateribus minore G\,\mathrm{pl.} S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4} \parallel 0

Si denique hæc duo latera sint ambo Infra \begin{array}{ll} \text{Sit } B + A \parallel 0 & \text{productū erit} \\ \text{et } C + A \parallel 0. & BC + BA + CA + A^{2} \parallel 0 \end{array} Quod productū si ducatur ut suprà in G\,\mathrm{pl.} + A^{2} \parallel 0 Erit et Istud \begin{array}{llll} BCG\,\mathrm{pl.} & + BG\,\mathrm{pl.}\,A & + G\,\mathrm{pl.}\,A^{2} & + BA^{3} \\ & + CG\,\mathrm{pl.}\,A & + BCA^{2} & + CA^{3} \quad + A^{4} \quad \parallel 0 \end{array} Ex quo

Propositio 11a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4} Cum ambo latera sunt Infra. S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4} \parallel 0 Et sunt tria latera Infrà et cæt. ut In 1a huius Capitis modo diversorū lateriū habeatur ratio.

Caput 8.um De constitutione Æquationū quad. quad.arū quæ oriuntur ex Æquatione cubica et lateralj

Eadem In hoc capite et In sequentj erunt adnotanda quæ superius In capite sexto huius ptis, scilicet hic nō agi de iis æquationibus cubicis quæ de tribus lateribus explicantur, sed tantū de iis quæ vel ex duobus, vel etiam de iis quæ per se subsistunt, quod in Capte præfato, si enim illæ æquationes cubicæ quarū duæ sunt radices ducantur in lateralem oriuntur quad. quadrata de tribus lateribus tantummodo explicabiles.

Harū verò æquationū Cubicarū cū sint tantū duæ formulæ, ut patet ex recognitiōe ipsarū, una In quâ alterū ex lateribus est suprà alterū verò infrà, alia verò in quâ ambo latera sunt infrà, quarū utraq; potest ducj, vel in latus suprà, vel in latus Infrà. Si Igitur prima formula quam sic Interpretatj sumus.

Page de droite, paginée « 29. ». Le chiffre « 29 » de la série courante dans la marge de gauche. La moitié inférieure est restée blanche.

P\,\mathrm{Sol.} - G\,\mathrm{pl.}\,A + FA^{2} - A^{3} \parallel 0 ducatur primo in lateralem Cuius latus suprà scilicet B - A \parallel 0 productum erit \begin{array}{llll} BP\,\mathrm{Sol.} & - BG\,\mathrm{pl.}\,A & + G\,\mathrm{pl.}\,A^{2} & - BA^{3} \\ & - P\,\mathrm{Sol.}\,A & + BFA^{2} & - FA^{3} \quad - A^{4} \quad \parallel 0 \end{array} Et adhibita convenienti Interpretatiōe, erit

Propositio 1a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4} Cum duo latera sunt suprà, alterū Infra. S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4} \parallel 0 Sunt Igitur tria latera duo suprà, alterū Infrà, x, est summa eorū quæ sunt suprà, z\,\mathrm{pl.} aggregatū rectangulj quod continetur sub illis, et quadratj eius quod est infrà, T\,\mathrm{Sol.}, solidū quod fit ex quadrato dictj lateris infra in altitudinem summæ eorū quæ sunt suprà. Et S\,\mathrm{pl.pl.} quod sub dictis quadrato et rectangulo.

Si verò eadem formula ducatur in lateralem C + A \parallel Cuius latus Infra productū erit \begin{array}{llll} P\,\mathrm{Sol.}\,C & + P\,\mathrm{Sol.}\,A & + CFA^{2} & + FA^{3} \\ & - CG\,\mathrm{pl.}\,A & - G\,\mathrm{pl.}\,A^{2} & - CA^{3} \quad - A^{4} \quad \parallel 0 \end{array} Ex quo patet ob varias lateriū magnitudines, et signorū diversas notationes varias etiam oriri formulas, vel enim latus infra C, maius est latere suprà F, vel ipsi æquale, vel ipso minus, sic etiam eodem vel maiore vel æquali, vel minore dicto latere suprà fieri potest ut circa rectangula eadem accidant, quod enim spectat ad solida sequuntur variam horū lateriū naturam et magnitudinem. Hinc Igitur

Propositio 2a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} + A^{4} Cum latus Infrà maius est eo quod est suprà, sed rectangulo sub his lateribus maiore quadrato eius quod est potentiâ æquale G\,\mathrm{Pl.} S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} + A^{4} \parallel 0 Suntq; tria latera duo infrà (quorū unū æquatur potentiâ G\,\mathrm{pl.} alterū verò est C) et aliud supra quod est F, latus scilicet æquationis cubicæ, idemq; minus dicto latere C, quod est Infrà, x, est differentia dictorū lateriū C et F. Et z\,\mathrm{pl.} differentia rectangulj sub iisdem, et quadratj alterius æquationis cubicæ quod est Infrà, T\,\mathrm{Sol.} differentia solidorū quorū basis Idem quadratū, altitudo verò, unius scilicet C, alterius verò F, et S\,\mathrm{pl.pl.} quod continetur sub his rectangulo et quadrato.

Propositio 3a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - xA^{3} + A^{4} Cum Idem latus Infrà est maius, sed rectangulū sub dictis lateribus æquale quadrato alterius. S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - xA^{3} + A^{4} \parallel 0 Cuius formulæ et sicut et sequentiū facilis est explicatio ex superiorj.

Double page ; page de gauche paginée « 30 », page de droite « 31. ». Le bord du feuillet postérieur paginé « 33 » dépasse encore au-dessus de l'angle extérieur de la page de droite. Aucun chiffre de la série courante.

Propositio 4a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} + A^{4} Cum Idem latus est maius, sed dictū rectangulū minus eodem quadto. S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} + A^{4} \parallel 0

Propositio 5a

S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + A^{4}. Cum eadem latera Inter se æqualia, sed rectangulū sub iis maius dicto quadrato. S\,\mathrm{pl.pl.} + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + A^{4} \parallel 0 La ligne porte « +\,z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} », la forme recopiée en marge « -\,z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} » ; les deux sont donnés tels quels.

Propositio 6a

S\,\mathrm{pl.pl.} + A^{4}. Iisdem positis, et rectangulo æqualj quadrato. S\,\mathrm{pl.pl.} + A^{4} \parallel 0

Propositio 7a

S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + A^{4}. Iisdem lateribus Inter se Æqualibus, sed Idem rectangulum minus dicto quadrato. S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + A^{4} \parallel 0

Propositio 8a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4} Cum Idem latus Infrà minus est dicto latere suprà, sed dictū Rectangulū maius dicto quadrato S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4} \parallel 0

Propositio 9a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + xA^{3} + A^{4} Eodem latere minore, sed rectangulo et quadrato æqualibus S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + xA^{3} + A^{4} \parallel 0

Propositio 10a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4} Eodem latere minore et dicto rectangulo minore dicto quadrato. S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4} \parallel 0

Si deinde formula alterius æquationis Cubicæ scilicet P.\,\mathrm{Sol} + G\,\mathrm{pl.}\,A + FA^{2} + A^{3} \parallel 0 In qua sunt duo latera Infrà ducatur in lateralem, radix huius lateralis erit ut in præcedentj Constitutiōe vel suprà vel Infrà, sit 1o suprà scilicet B - A \parallel 0 productū erit huiusmodj. \begin{array}{llll} BP\,\mathrm{pl.} & + BG\,\mathrm{pl.}\,A & + BFA^{2} & + BA^{3} \\ & - P\,\mathrm{Sol.}\,A & - G\,\mathrm{pl.}\,A^{2} & - FA^{3} \quad - A^{4} \quad \parallel 0 \end{array} Le produit est précédé d'un mot biffé, illisible sous la rature, et écrit en deux lignes accolées ; elles sont ici mises bout à bout. Ex quo producto patet ut ex superiorj, varias oriri formulas, ob diversas signorū notationes, idq; pro variâ lateriū magnitudine, quæ quidem formulæ etsi similes erunt fere ōibus superioribus huius Capitis, earū diversa est explicatio, ut patet ex ipsarū origine.

Propositio 11a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4} Cū latus suprà maius est latere infrà æquationis cubicæ, et rectangulū sub his lateribus maius, quadrato alterius lateris Infrà eiusdem æquationis Cubicæ S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4} \parallel 0 Sunt tria latera, duo Infrà, quæ spectant ad æquationem cubicam, alterū quidem æquale potentiâ G\,\mathrm{pl.} reliquū verò eiusdem æquationis est F, tertiū

Page de droite, paginée « 31. ». Le tiers inférieur est resté blanc. C'est la dernière page de cette livraison ; le texte se poursuit à la vue 21.

verò latus in hac formulâ est suprà, idemq; maius dicto latere F, differentia horū lateriū est x, differentia rectangulj sub his et dictj quadratj z\,\mathrm{pl.} et cæt. ut supra

Propositio 12a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + xA^{3} - A^{4} Cum Idem latus supra est maius, sed Idem rectangulū æquale dicto quadrato. S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + xA^{3} - A^{4} \parallel 0

Propositio 13a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4} Eodem latere maiore, et dicto rectangulo minore dicto quadrato S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} - A^{4} \parallel 0

Propositio 14a

S\,\mathrm{pl.pl.} + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - A^{4} Iisdem lateribus B et F æqualibus et dicto rectangulo maiore dicto quadrato S\,\mathrm{pl.pl.} + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - A^{4} \parallel 0

Propositio 15a

S\,\mathrm{pl.pl.} - A^{4} Iisdem lateribus, et dictis rectangulo et quadrato æqualibus S\,\mathrm{pl.pl.} - A^{4} \parallel 0

Propositio 16a

S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - A^{4} Iisdem lateribus æqualibus et dicto rectangulo minore dicto quadrato. S\,\mathrm{pl.pl.} - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - A^{4} \parallel 0

Propositio 17a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4}. Cū Idem latus suprà est minus dicto latere Infrà, et dictum rectangulū maius dicto quadrato S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4} \parallel 0

Propositio 18a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - xA^{3} - A^{4} Eodem latere minore, et dictis rectangulo et quadrato æqualibus S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - xA^{3} - A^{4} \parallel 0

Propositio 19a

S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4} Eodem latere minore et dicto rectangulo etiam minore dicto quadrato S\,\mathrm{pl.pl.} - T\,\mathrm{Sol.}\,A - z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} - xA^{3} - A^{4} \parallel 0

Si denique hæc ultima formula æquationis cubicæ ducatur In lateralem, cuius latus sit positivū Infra scilicet C + A \parallel 0 productū erit \begin{array}{llll} P\,\mathrm{Sol.}\,C & + CG\,\mathrm{pl.}\,A & + CFA^{2} & + CA^{3} \\ & + P\,\mathrm{Sol.}\,A & + G\,\mathrm{pl.}\,A^{2} & + FA^{3} \quad + A^{4} \quad \parallel 0 \end{array} Et adhibitâ convenienti Interpretatiōe fiet.

Propositio 20a

S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4}. Cum tria latera sunt Infra. S\,\mathrm{pl.pl.} + T\,\mathrm{Sol.}\,A + z\,\mathrm{pl.}\,A^{2} + xA^{3} + A^{4} \parallel 0 Et sunt tria latera infrà, x est aggregatū duorū quorū unū spectat ad dictam æquationem cubicam, alterū verò ad lateralem propositam, z\,\mathrm{pl.} est summa rectangulj sub dictis lateribus, et quadratj alterius lateris, quod æquatur potentiâ G\,\mathrm{pl.} Et cæt.