Latin 11195 · vues 1–38 · Lecture modernisée · Mélanges de physique et de mathématiques, comprenant des opuscules et des lettres de P. de Roberval, Huggens, Torricelli, Firmat et Fr. Herman Flayder. Latin 11195 — lecture modernisée du volume entier
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Résumé

Ce que ce volume contient

2–38Trente-huit vues, chacune montrant le volume ouvert, que les deux transcriptions ont coupées au pli et lues comme deux pages. Neuf vues sont entièrement blanches et ne sont pas transcrites — la vue 1, les vues 24 et 25, 30, 31 et 38, ainsi que les pages de droite des vues 14 et 15 ; le trou dans la numérotation est le témoignage. Tout le reste se partage en deux dossiers sans rapport l'un avec l'autre.

• Vues 2 R à 23 R — un traité d'algèbre en latin, anonyme, sans titre d'auteur, intitulé sur son feuillet de titre « De Recognitione Æquationum », d'une seule cursive régulière que les transcriptions décrivent comme une écriture du XVII^e siècle. Il est complet de son début et s'arrête de lui-même au milieu de la vue 23 R.¹
• Vues 26 R à 37 R — un dossier sur l'art de voler, en cinq pièces et quatre écritures au moins : un feuillet de titre portant les deux mots « Ars Volandi » (26 R) ; la page de titre d'un livre imprimé, celui de Flayder, recopiée à la main et centrée sur le feuillet (27 R) ; des notes et extraits latins sur le vol, sans titre, d'une cursive fine et très rapide, qui s'interrompent au milieu de la vue 29 R ; la légende française des lettres d'une figure (32 L) ; et un traité entier en italien, « Il volare non è impossibile come fin hora vniuersalmente è stato creduto » (33 R à 37 L). Deux dessins à la plume de la même machine occupent les vues 32 R et 37 R.

Les deux dossiers ne se touchent nulle part. Aucune main n'est commune, aucune phrase de l'un ne renvoie à l'autre, et les sujets n'ont rien à voir. Le second dossier est du reste séparé du premier par la lacune que signale un feuillet moderne posé sur la vue 25 : « folios blancs 38 à 49 ». Cette lecture donne donc à chaque dossier sa propre suite de sections et ne cherche pas de fil entre eux.²

Pourquoi les feuillets ne sont cités ici que par les vues de Gallica. Deux séries de chiffres courent sur ces pages, toutes deux à l'encre. La première est la pagination du traité, de 1 (vue 3 R) à 37 (vue 23 R), un chiffre par page, au coin extérieur supérieur, de l'encre du texte. La seconde ne numérote que les pages de droite, un chiffre par feuillet, en chiffres plus grands et plus ornés : 38 à la vue 24, puis 50 à 62 sur les vues 26 à 38, sans lacune. Les deux séries se rejoignent à 37 et 38 sans rupture dans le compte, ce qu'aucune des deux transcriptions n'a su expliquer ; et ni l'une ni l'autre n'est le crayon pâle d'une foliotation de bibliothèque. Aucune n'a donc écrit de foliotation, et cette lecture n'en écrit pas : elle ne cite que des vues.³

Une seconde plume, plus fine et plus pâle, a travaillé dans les marges du traité : elle y a recopié la forme canonique de chaque constitution en regard de celle-ci, numéroté ses propres remarques de 1 à 29, posé la vérification chiffrée d'un lemme à la vue 9 R, et proposé une correction à la vue 11 R. Ses interventions sont signalées ici chaque fois qu'elles portent sur la substance ; l'une d'elles est fausse et on le dira.

Le traité « De Recognitione Æquationum » : ce qu'il se propose

2–3Le titre est trois mots au milieu du tiers supérieur d'un feuillet, et le traité commence à la vue suivante en disant exactement ce qu'il fait :

« Ideo is tractatus dicitur de æquationum recognitione quia in ipso investigantur modi quibus æquationum variæ constitutiones dignoscantur, seu per quos explicentur. »⁴

La raison pour laquelle il faut un tel art est donnée aussitôt : les opérations de l'analyse — multiplications, divisions — cachent les équations « sous des formules diverses, en sorte que leurs racines, ou côtés, enveloppées dans ces détours, se livrent difficilement ». Reconnaître une équation, c'est donc défaire ce qu'une multiplication a fait. Et le principe qui rend l'entreprise possible est énoncé dans la phrase suivante, qui est la thèse de tout l'ouvrage :

« Æquatio enim in se habet eas omnes radices ex quibus fuit composita, ac proinde de iisdem omnibus est explicabilis. »⁵

De là le traité tire un corollaire dont il fait son plan : plus le degré est élevé, plus une équation est « impliquée », et de plus de côtés elle est explicable, parce qu'elle peut naître de plus de façons. Une quadratique ne peut venir que du produit de deux latérales ou subsister par elle-même ; une cubique peut venir de trois latérales, ou d'une quadratique et d'une latérale, ou subsister par elle-même ; et ainsi de suite. Le traité ajoute une phrase sur ses prédécesseurs qu'il faut citer parce qu'elle dit ce qu'il croit apporter : « les anciens analystes, enveloppés d'épaisses ténèbres, étaient là-dessus tout à fait aveugles, car ils pouvaient à peine exhiber un seul côté ». L'élégance de la méthode, dit-il, tient à ceci qu'elle exhibe tous les côtés dont une équation quelconque a été composée.⁶

Le plan est donc un inventaire. On prend un degré, on énumère les manières d'assembler une équation de ce degré, on écrit le produit, on nomme ses coefficients, et l'on obtient une forme canonique. Chaque façon d'assembler est un caput, chaque configuration de grandeurs à l'intérieur d'un caput est une propositio. L'ouvrage compte ainsi, sur les vingt-deux feuillets écrits, quatre chapitres et cinq propositions pour les quadratiques, six chapitres et vingt propositions pour les cubiques, dix chapitres et une soixantaine de propositions pour les quarto-quadratiques, plus une partie entière sur les « déterminations » des cubiques. Deux traités compagnons sont cités et ne sont pas dans le volume : un « tractatus de locis » où les changements de signes seront mieux expliqués, et un « tractatus peculiaris de generibus » auquel le dernier chapitre renvoie les déterminations des quarto-quadratiques, ce qui est la raison pour laquelle le traité s'arrête.⁷

La notation du feuillet, et sa traduction

3–5Rien dans ce traité ne peut être lu sans traduire d'abord trois choses : le signe d'égalité, la loi d'homogénéité qui gouverne les noms des constantes, et le vocabulaire des racines. Ce sont les trois traductions dont dépend tout le reste de cette lecture.

Le signe d'égalité

Le feuillet n'écrit jamais « \(=\) ». Il écrit deux barres verticales parallèles, « \(\parallel\) », et cette double barre est son signe d'égalité. Toutes les équations de cette lecture sont écrites avec « \(=\) » ; c'est la première et la plus fréquente des traductions faites ici.⁸

Une convention d'écriture va avec : le traité met toujours tous les termes du même côté et égale le tout à zéro. Il le dit et il dit pourquoi : ainsi « les affirmés seront égaux aux niés », c'est-à-dire que la somme des termes précédés de \(+\) égale celle des termes précédés de \(-\), et l'on a de quoi vérifier une racine par un simple calcul de deux colonnes. C'est une commodité de calcul, et le traité s'en sert effectivement à la dernière page.⁹

L'homogénéité, et pourquoi les constantes portent un nom de dimension

Les constantes du traité ne s'appellent pas \(a\), \(b\), \(c\). Elles s'appellent « \(z\,\mathrm{pl.}\) », « \(T\,\mathrm{Sol.}\) », « \(S\,\mathrm{pl.pl.}\) », « \(P\,\mathrm{Sol.} \)», « \(R\,\mathrm{sol.}\) », « \(G\,\mathrm{pl.}\) ». Le mot qui suit la lettre n'abrège pas la lettre : il donne sa dimension. « \(z\,\mathrm{pl.}\) » est \(z\) planum, un plan ; « \(T\,\mathrm{Sol.}\) » est \(T\) solidum, un solide ; « \(S\,\mathrm{pl.pl.}\) » est \(S\) planoplanum, un plano-plan, c'est-à-dire un produit de quatre longueurs.

La raison en est la loi d'homogénéité de l'école de Viète : on ne peut ajouter ni égaler que des grandeurs de même dimension. Une longueur est une longueur, le produit de deux longueurs est un plan, celui de trois un solide, celui de quatre un plano-plan ; et une somme dont les termes ne sont pas tous de même espèce n'est pas fausse, elle n'a pas de sens. Il s'ensuit que dans une équation dont la plus haute puissance est \(A^2\), tout terme doit être un plan : le terme constant n'est donc pas un nombre mais un plan, et il faut l'appeler \(z\,\mathrm{pl.}\) ; le coefficient de \(A\), lui, doit être une longueur, et on l'appelle \(x\), sans mot de dimension, parce qu'une longueur n'en demande pas. Dans une cubique, tout terme doit être un solide : d'où \(T\,\mathrm{Sol.}\) seul, \(z\,\mathrm{pl.}\,A\) (plan fois longueur), \(xA^2\) (longueur fois plan), \(A^3\). Dans une quarto-quadratique, tout terme est un plano-plan : d'où \(S\,\mathrm{pl.pl.}\), \(T\,\mathrm{Sol.}\,A\), \(z\,\mathrm{pl.}\,A^2\), \(xA^3\), \(A^4\). La règle tient en une ligne : la dimension du coefficient et le degré de la puissance qu'il affecte s'ajoutent toujours pour faire le degré de l'équation. C'est cela, et rien d'autre, que disent les mots « pl. », « Sol. » et « pl.pl. ».

L'algèbre moderne a abandonné cette exigence : nous traitons les coefficients comme des nombres purs, et nous écrivons la quarto-quadratique du premier chapitre \[ A^4 - x A^3 + z A^2 - T A + S = 0. \] C'est ainsi que cette lecture écrira désormais toutes les équations du traité, les mots de dimension une fois expliqués étant laissés de côté. Le prix de ce gain est réel et il faut le nommer : chez Viète, chaque équation est un énoncé sur des figures, et la loi d'homogénéité est la garantie qu'elle en est un. En la quittant, on perd la raison d'être des noms, et l'on perd du même coup le contrôle dimensionnel qui, sur ces feuillets, sert plus d'une fois de garde-fou — c'est lui qui permet de voir tout de suite qu'une phrase comme « un solide dont la base est \(\tfrac23 z\,\mathrm{pl.}\) et la hauteur le tiers du même plan » est elliptique, une hauteur ne pouvant pas être le tiers d'un plan.¹⁰

Le reste des lettres suit l'usage de l'école : \(A\) est l'inconnue, \(B\), \(C\), \(D\), \(F\) les côtés donnés, \(x\) le coefficient du terme immédiatement inférieur à la plus haute puissance. Le traité ne se sert de la notation cossique des degrés qu'une seule fois, à la dernière page, quand il passe aux nombres : \(a\) pour le côté, \(q\) pour le carré, \(c\) pour le cube, \(qq\) pour le quarré-quarré.¹¹

Les côtés : au-dessus, au-dessous, feints

« Latus », un côté, est ce que nous appelons une racine — le mot est géométrique, le côté d'un carré ou d'un cube étant ce dont on part pour faire la puissance. Le traité en distingue trois espèces, et c'est ici que se joue toute la portée de l'ouvrage.

• Positiva supra : les côtés « qui expriment quelque chose outre ou au-dessus de rien ». Ce sont nos racines positives. « Si \(+A\) est positif au-dessus et que sa valeur soit 4, on entendra que la valeur de \(A\) est quatre outre ou au-dessus de rien. »
• Positiva infra : les côtés « conçus comme moindres que rien ». Ce sont nos racines négatives. Le traité sait que la notion est heurtante et la défend : « bien qu'on les conçoive comme moindres que rien, et que cette conception paraisse tout à fait feinte — car la nature ne produit rien au-dessous de rien —, ils ne sont pourtant pas feints au plus haut point, puisque les signes changés ils deviennent positifs au-dessus ». Et il donne la raison de calcul pour laquelle on en a besoin : quand on compare la ligne inconnue à une ligne connue, il arrive qu'on n'en prenne qu'une partie, et que cette partie soit à retrancher ; on parvient tout de même à la connaissance de la ligne, et l'on restitue à la fin ce qu'on avait ôté.¹²
• Fictitia : les côtés qui « ne contiennent rien de vrai en eux ». Ce sont nos racines complexes, et le traité dit d'eux la chose juste : « si ces feints servent seuls à l'explication d'une équation, ils dénoteront l'impossibilité de la question proposée ».¹³

Le point décisif est que le traité n'écrit jamais une racine négative comme un nombre négatif. Il écrit le facteur \(B + A = 0\), et il dit que l'unique côté de cette latérale est « \(+A\) au-dessous », lequel « par équivalence est le même que \(-A\) au-dessus ». Traduit, cela veut dire \(A = -B\), et le facteur est \(A + B\). Ainsi, dans tout ce qui suit :

• un facteur écrit \(B - A = 0\) apporte une racine positive \(A = B\), et contribue au produit le facteur \((A - B)\) ;
• un facteur écrit \(B + A = 0\) apporte une racine négative \(A = -B\), et contribue le facteur \((A + B)\).

Les signes de la forme canonique se déduisent alors immédiatement : le signe du terme de plus haut degré est \((-1)^k\), où \(k\) est le nombre de côtés « au-dessus », parce que chaque facteur \(B - A\) apporte un \(-A\) et chaque facteur \(B + A\) un \(+A\). C'est ce qui explique pourquoi les chapitres à nombre pair de racines positives ont un \(+A^4\) et les autres un \(-A^4\).

Deux règles de signes sont énoncées, et il faut dire qu'elles ne s'accordent pas tout à fait. La première : un côté au-dessous fait que « tout ce qui est affecté sous lui » est aussi au-dessous. La seconde : lorsqu'on multiplie deux côtés de nature différente, le produit est noté du signe \(-\) et devient au-dessous, mais « par équivalence » il doit être pris comme s'il était au-dessus. La première règle, appliquée à la lettre, donne au carré d'un côté au-dessous le caractère « au-dessous », ce que la seconde interdit ; et c'est de cette tension que naît la difficulté du chapitre sur la quadratique qui subsiste par elle-même.¹⁴

Ce que le traité énonce : les coefficients et les fonctions symétriques

3–9Au milieu du chapitre cinquième des cubiques, à la vue 9 L, le traité s'arrête sur une remarque incidente et énonce, pour tous les degrés, la règle qui est l'objet de tout son travail :

« in omnibus æquationibus alternatim affirmatis et negatis à principio usque ad finem, coefficientem altioris gradus sub potestate fieri summam laterum, coefficientem verò gradus immediate subsequentis summam rectangulorum vel planorum sub iisdem lateribus […] similiter coefficientem gradus proximè inferioris fieri summam omnium solidorum sub iisdem lateribus, et sic in infinitum. »¹⁵

C'est, dans le langage des figures, ce que nous écrivons aujourd'hui ainsi. Si \(B_1, \dots, B_n\) sont les racines et \[ P(A) = (A - B_1)(A - B_2)\cdots(A - B_n), \] alors \[ P(A) = A^n - e_1 A^{n-1} + e_2 A^{n-2} - \cdots + (-1)^n e_n, \] où \(e_k\) est la somme de tous les produits de \(k\) racines distinctes : \(e_1\) la somme des racines, \(e_2\) la somme de leurs produits deux à deux, \(e_3\) la somme de leurs produits trois à trois. Les \(e_k\) s'appellent les fonctions symétriques élémentaires des racines, et la suite d'égalités s'appelle les relations entre les coefficients et les racines.¹⁶

Le traité a donc l'énoncé. Ce qu'il n'a pas, c'est le droit de s'en servir sans exception, et il le sait. À la même page, il vient de construire une cubique en multipliant la quadratique \(G + A^2 = 0\) — celle qui « subsiste par elle-même », et dont on verra plus bas qu'elle n'a pas de racine réelle — par la latérale \(C - A = 0\). Le produit est \[ GC - GA + CA^2 - A^3 = 0, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad A^3 - CA^2 + GA - GC = 0, \] et il se range, par ses signes, dans la forme \(T\,\mathrm{Sol.} - z\,\mathrm{pl.}\,A + xA^2 - A^3 = 0\) qui est exactement celle du premier chapitre, où les trois côtés sont au-dessus. Le traité voit aussitôt que la forme est la même et l'interprétation différente, et il écrit la phrase qui limite sa propre règle :

« \(x\) enim ut videre est ex eius origine non est summa laterum, nec \(z\,\mathrm{pl.}\) aggregatum rectangulorum et cætera, ac proinde hæc constitutio est exceptio regulæ generalis. »¹⁷

L'observation est exacte à l'intérieur de la doctrine : il n'y a ici qu'un seul côté vrai, \(C\), et \(x\) vaut \(C\) ; il n'y a aucun rectangle sous des côtés vrais, et \(z\) vaut \(G\). Mais l'exception n'existe pas. Les trois racines de \(A^3 - CA^2 + GA - GC = 0\) sont \(C\), \(i\sqrt{G}\) et \(-i\sqrt{G}\), et l'on vérifie sur-le-champ : \[ e_1 = C + i\sqrt{G} - i\sqrt{G} = C = x, \] \[ e_2 = C\,i\sqrt{G} - C\,i\sqrt{G} + \bigl(i\sqrt{G}\bigr)\bigl(-i\sqrt{G}\bigr) = G = z, \] \[ e_3 = C \cdot i\sqrt{G} \cdot \bigl(-i\sqrt{G}\bigr) = CG = T. \] La règle générale vaut donc sans exception, et l'exception que le feuillet croit trouver est le prix de son refus de compter les côtés fictifs comme des racines.¹⁸

Ce n'est pas une petite affaire, parce que toute la méthode repose sur la possibilité de reconnaître une équation à ses signes. Or deux équations de formes canoniques identiques peuvent avoir des interprétations tout à fait différentes, et le traité le répète chapitre après chapitre — « quamvis omnino similis sit formulæ quæ in primo capite, non tamen similiter enuntiabitur », « maximè tamen inter se differunt, ut patet ex earum diversa origine ». Il n'a, pour les distinguer, aucun critère tiré de l'équation elle-même : il faut connaître l'origine. La question est posée en trois lignes, sur un béquet épinglé à un feuillet blanc, et l'on y reviendra : c'est la seule chose que la doctrine ne sait pas faire, et la réponse moderne est le discriminant.

Les équations quadratiques

4–5Le traité commence par le degré deux, « parce que de toutes c'est la moins composée », la latérale ne présentant aucune difficulté. Deux racines, donc trois cas : toutes deux au-dessus, toutes deux au-dessous, ou l'une au-dessus et l'autre au-dessous ; plus un quatrième chapitre pour la quadratique qui ne vient d'aucun produit. Le traité remarque, en passant, que cette énumération est légitime « puisque le nombre des cas est fini », ce qui est la justification correcte d'une preuve par disjonction exhaustive.

Les produits sont écrits, et les formes canoniques qui en sortent sont, en écriture moderne et monique :

• Caput 1, deux racines positives \(B\) et \(C\) : \((A-B)(A-C) = A^2 - xA + z = 0\) avec \(x = B + C\) et \(z = BC\).
• Caput 2, deux racines négatives : \(A^2 + xA + z = 0\), mêmes \(x\) et \(z\).
• Caput 3, une racine positive \(B\) et une négative \(-C\) : \((A-B)(A+C) = A^2 + (C - B)A - BC = 0\). Le traité en fait trois propositions selon que \(B > C\), \(B = C\) ou \(B < C\), parce que dans son écriture le coefficient du terme en \(A\) est la différence des côtés, affectée du signe du plus grand ; le cas \(B = C\) donne \(A^2 - BC = 0\), où « l'affection sous le côté s'évanouit ».
• Caput 4, la quadratique qui subsiste par elle-même : \(A^2 + z = 0\).

Le traité note en outre, et c'est juste, que la forme canonique ne dépend pas de la complication apparente des coefficients : dans \[ A^2 - \frac{KN}{M}A + \frac{HL}{G}A + \frac{F^{\mathrm{sol}}}{G} = 0, \] les deux termes en \(A\) « s'entendent comme une seule ligne, qu'on appelle \(x\) », et l'on est ramené au premier chapitre. C'est la remarque qu'une forme canonique est une forme, non une apparence.

La condition du discriminant

Vient alors la doctrine des « déterminations », qui est la meilleure partie du traité. Deux choses distinctes y sont appelées du même nom et il faut les séparer, car le traité les sépare.

La première est le cas des racines égales. « Une équation est dite sujette à détermination lorsqu'elle est explicable de deux ou plusieurs côtés égaux » ; la détermination est majeure si tous les côtés sont égaux, mineure si quelques-uns seulement le sont. Pour la quadratique du premier chapitre, cela arrive « lorsque \(x\) est coupé en deux parties égales et que chaque moitié est \(A\) » : les deux racines valent \(x/2\), « à raison de quoi le côté est double et la solution double aussi ». En termes modernes, la racine double est \(A = x/2\), valeur en laquelle \(P\) et \(P'\) s'annulent ensemble.

La seconde est la limitation, et c'est la découverte : il y a une inégalité en dehors de laquelle « les côtés seront feints, et par conséquent la question impossible ». Le traité l'énonce et la démontre :

« \(z\,\mathrm{pl.}\) non debet esse maius quadrante quadrati \(x\), cum enim \(x\) sit summa laterum, rectangulum maius eo non potest quam si utraque latera sint æqualia inter se. »¹⁹

C'est-à-dire : \(z \le x^2/4\), ou encore \[ x^2 - 4z \ge 0. \] La quantité \(x^2 - 4z\) est ce que nous appelons le discriminant de \(A^2 - xA + z\), et sa positivité est exactement la condition pour que les deux racines soient réelles.²⁰

Le traité ajoute, et c'est exact, que rien de tel n'est à craindre au troisième chapitre, « lorsque \(x\) est la différence » : une somme et une différence étant données, le cas est toujours possible. En effet \(A^2 + (C-B)A - BC\) a pour discriminant \((C-B)^2 + 4BC = (B+C)^2 \ge 0\), toujours positif.

La quadratique qui subsiste par elle-même, et le nombre de ses racines

Le quatrième chapitre est le point faible de tout l'ouvrage et il vaut la peine de dire exactement pourquoi. Le traité écrit \(z\,\mathrm{pl.} + A^2 = 0\) et conclut :

« In quâ æquatione evidens est unicum esse latus positivum infrà potentia æquale \(z\,\mathrm{pl.}\), nam per antithesim erit \(z\,\mathrm{pl.} = -A^2\). »²¹

Ce qui est vrai est ceci. L'équation \(A^2 + z = 0\), avec \(z\) positif, n'a aucune racine réelle : son discriminant vaut \(-4z < 0\). Ses deux racines sont \(+i\sqrt{z}\) et \(-i\sqrt{z}\), deux complexes conjuguées, dont le module commun est \(\sqrt{z}\). Le « côté unique au-dessous, égal en puissance à \(z\,\mathrm{pl.}\) », c'est-à-dire \(\sqrt{z}\) affecté du caractère « au-dessous », n'est pas une racine de l'équation : c'est le module de ses deux racines. Le traité tient donc, sous le nom d'un côté, la seule quantité réelle que la paire conjuguée fournisse, et il la fait fonctionner correctement partout où il s'en sert — dans les chapitres 6, 7, 8 et 9 des quarto-quadratiques, où le facteur \(A^2 + G\) est toujours désigné par « le côté égal en puissance à \(G\,\mathrm{pl.}\) ». Cette lecture propose donc de traduire uniformément cette expression par : le facteur quadratique \(A^2 + G\), dont les deux racines sont \(\pm i\sqrt{G}\).²²

Une conséquence générale mérite d'être tirée, parce qu'elle empêche de prêter au traité plus qu'il ne donne. Le traité ne dit pas, et ne pouvait pas dire, qu'une équation de degré \(n\) a \(n\) racines. Sa classification laisse au contraire, à chaque degré, une classe résiduelle — les équations « qui subsistent par elles-mêmes » — qui est précisément celle des équations ayant moins de racines réelles que leur degré, et pour lesquelles il n'exhibe rien. Une cubique à une seule racine réelle ne peut, dans son système, ni venir de trois latérales, ni d'une quadratique à deux racines et d'une latérale : elle subsiste par elle-même, et le chapitre 6 des cubiques n'en donne que les six formes, sans racines. Le théorème selon lequel tout polynôme de degré \(n\) à coefficients complexes a exactement \(n\) racines comptées avec leur multiplicité — ce que nous appelons le théorème fondamental de l'algèbre — ne se trouve donc pas sur ces feuillets, et cette lecture ne le leur attribue pas.²³

Les équations cubiques : les six chapitres

6–8Une cubique est explicable de trois côtés, d'où quatre chapitres selon les signes ; et comme elle peut aussi naître d'une quadratique et d'une latérale, ou subsister par elle-même, il y a deux chapitres de plus. Six en tout. Voici, en écriture moderne monique, le catalogue entier, avec \(x\), \(z\), \(T\) pour les trois fonctions symétriques des côtés vrais quand elles ont ce sens.

• Caput 1, trois racines positives : \(A^3 - xA^2 + zA - T = 0\), avec \(x = B+C+D\), \(z = BC+BD+CD\), \(T = BCD\).
• Caput 2, deux positives \(B\), \(C\) et une négative \(-D\) : \((A-B)(A-C)(A+D) = 0\). Cinq propositions, selon la comparaison de \(D\) à \(B+C\) puis celle de \((B+C)D\) à \(BC\) ; les formes sont \(A^3 \pm xA^2 \pm zA - T = 0\) dans toutes les combinaisons de signes que ces comparaisons autorisent, le coefficient de \(A^2\) étant \(D - (B+C)\) et celui de \(A\) étant \(BC - (B+C)D\).
• Caput 3, deux négatives et une positive : le chapitre est l'inverse du précédent, et le traité le dit en une phrase — « toutes et chacune sont inverses, et le chapitre entier est l'inverse du chapitre entier ; les côtés qui là étaient au-dessus sont ici au-dessous ». C'est le changement de variable \(A \mapsto -A\), correctement identifié et correctement exploité pour n'avoir rien à redémontrer.
• Caput 4, trois négatives : \(A^3 + xA^2 + zA + T = 0\). Le traité remarque que toutes les affections y portent le signe \(+\), « ce qui n'arrive jamais directement et par soi » — c'est-à-dire qu'une équation à tous ses coefficients positifs n'a aucune racine positive, ce qui est vrai et immédiat.
• Caput 5, née d'une quadratique et d'une latérale. Le traité écarte d'abord le cas où la quadratique a deux racines, qui retombe dans les chapitres précédents, et ne garde que la quadratique sans racine réelle : \((A^2+G)(A \mp C) = 0\), deux propositions.
• Caput 6, les cubiques qui subsistent par elles-mêmes : six formes, sans racines exhibées, \[ A^3 + xA^2 + T = 0, \quad A^3 + zA + T = 0, \quad A^3 + T = 0, \] \[ A^3 + zA - T = 0, \quad A^3 + xA^2 - T = 0, \quad A^3 - T = 0, \] les trois premières ayant « un unique côté au-dessous », les trois dernières « un unique côté au-dessus ».²⁴

Lu ainsi, le classement du traité est une classification complète des cubiques réeles moniques par le nombre et le signe de leurs racines réelles, jointe à la lecture de chaque coefficient comme fonction symétrique de ces racines lorsque toutes sont réelles. C'est, à un vocabulaire près, ce qu'un cours moderne fait encore en préalable à l'étude du discriminant.

Trois petites choses sont à relever dans l'exécution, parce qu'elles sont dans le feuillet et qu'un lecteur les rencontrera. À la vue 6 R, la forme canonique du premier chapitre est écrite « \(+\dot{x}A\) » sans l'exposant 2, que porte la copie faite en marge par la seconde plume ; le terme est \(xA^2\).²⁵ Dans plusieurs produits, les termes de même degré sont réunis par une accolade au lieu d'être écrits à la file, ce qui est une commodité d'écriture et non une notation. Et le traité écrit une fois le côté \(a\) en minuscule là où il écrit \(A\) partout ailleurs, sans conséquence.

Les déterminations des cubiques, et les limites du possible

8–11Cette partie est la plus originale du traité. Elle répond à deux questions distinctes : comment trouver les racines quand deux d'entre elles sont égales, et à quelle condition sur les coefficients les racines sont réelles.

La racine double, obtenue par éliminations successives

Le traité prend la cubique du premier chapitre, \(A^3 - xA^2 + zA - T = 0\), à trois racines positives, et suppose que deux d'entre elles, \(B\) et \(C\), sont égales. Il pose \(B = C = A\), d'où le troisième côté \(D = x - 2A\), et il traduit les deux autres fonctions symétriques : \[ z = A^2 + 2A(x - 2A) = 2xA - 3A^2, \qquad T = A^2(x - 2A) = xA^2 - 2A^3. \] Ces deux égalités sont sur le feuillet et elles sont justes. Il en tire deux équations en \(A\) toutes deux nulles, \[ \tfrac13 z - \tfrac23 xA + A^2 = 0, \qquad \tfrac12 T - \tfrac12 xA^2 + A^3 = 0, \] multiplie la première par \(A\) pour les rendre « homogènes », les compare, retranche \(A^3\) des deux membres, et obtient \[ \tfrac12 T - \tfrac13 zA + \tfrac16 xA^2 = 0, \qquad \text{puis} \qquad \frac{3T}{x} - \frac{2zA}{x} + A^2 = 0 \] en multipliant par \(6\) et en divisant par \(x\).²⁶ Une seconde comparaison, avec la première équation, fait disparaître \(A^2\) et donne enfin \[ \frac{\dfrac{3T}{x} - \dfrac{z}{3}}{\dfrac{2z}{x} - \dfrac{2x}{3}} = A. \]

C'est la formule du feuillet, telle qu'il l'écrit. Mise sur dénominateur commun, elle devient \[ A = \frac{xz - 9T}{2\,(x^2 - 3z)}, \] et cette expression est exacte : la racine double d'une cubique monique \(A^3 - xA^2 + zA - T\) qui en possède une est bien donnée par cette fraction rationnelle des coefficients.²⁷

Ce que le traité a fait là porte aujourd'hui un nom. Ses « comparaisons successives » d'équations toutes égales à zéro, où l'on retranche à chaque pas la plus haute puissance commune, sont exactement l'algorithme d'Euclide appliqué au polynôme \(P\) et à sa dérivée \(P'\) ; et la fraction obtenue est la racine du reste linéaire de cet algorithme. On peut le vérifier en deux lignes : avec \(P = A^3 - xA^2 + zA - T\) et \(P' = 3A^2 - 2xA + z\), la division de \(P\) par \(P'\) laisse le reste \(-\tfrac13 xA^2 + \tfrac23 zA - T\), et la combinaison suivante laisse \(2(x^2-3z)A - (xz - 9T)\), qui s'annule pour la valeur ci-dessus. Une racine double de \(P\) étant une racine commune à \(P\) et \(P'\), elle est racine de leur plus grand commun diviseur, et c'est celui-ci que l'algorithme calcule.²⁸

Les limitations : ce que le traité établit, et ce qu'il croit établir

Pour les deux chapitres où \(x\) est la somme des trois côtés — le premier et le quatrième —, le traité donne deux bornes et une raison :

« eo casu quæstio erit possibilis si \(Z\,\mathrm{pl.}\) non sit maius tertia parte \(x\) quadrati, et similiter \(T\,\mathrm{pl.}\) non sit maius tertiâ parte cubi eiusdem \(x\), si enim linea in tres partes dividatur maius solidum sub his tribus portionibus contentum, erit cum dictæ tres partes erunt inter se æquales. »²⁹

La première borne est juste. Si \(B + C + D = x\) avec \(B\), \(C\), \(D\) positifs, alors \(z = BC + BD + CD\) est maximal quand les trois sont égaux à \(x/3\), et vaut alors \(3(x/3)^2\) : \[ z \le \frac{x^2}{3}. \]

La seconde, telle qu'elle est écrite, est fausse. Le raisonnement que le feuillet donne — le solide sous trois parties d'une ligne est maximal quand les parties sont égales — est correct, et il conduit non pas au tiers du cube mais au cube du tiers : \[ T \le \left(\frac{x}{3}\right)^3 = \frac{x^3}{27}. \] La borne vraie est donc vingt-sept fois plus petite que celle que le feuillet énonce. Il est probable que « la troisième partie du cube » soit une ellipse pour « le cube de la troisième partie », d'autant que la phrase parallèle sur \(z\) — « la troisième partie du carré » — est, elle, littéralement juste ; mais telle qu'elle est écrite la borne ne l'est pas, et cette lecture écrit \(x^3/27\).³⁰

Reste le plus important, que le feuillet n'a pas vu. Ces deux inégalités sont nécessaires pour que les trois racines soient réelles et positives ; elles ne sont pas suffisantes, et le feuillet les prend pour telles en écrivant « eo casu quæstio erit possibilis si… ». Un contre-exemple entier suffit à le montrer : \[ A^3 - 6A^2 + 10A - 8 = 0, \] c'est-à-dire \(x = 6\), \(z = 10\), \(T = 8\). Les deux limitations sont satisfaites, \(10 \le 36/3 = 12\) et \(8 \le 216/27 = 8\) — et a fortiori la borne trop large du feuillet, \(8 \le 72\). Pourtant cette équation se factorise en \[ (A - 4)\,(A^2 - 2A + 2) = 0 \] et n'a qu'une seule racine réelle, \(4\), les deux autres étant \(1 + i\) et \(1 - i\). La question est donc « impossible » au sens du traité alors que ses deux conditions sont remplies.³¹

Les déterminations chapitre par chapitre

Le traité passe ensuite en revue les cinq propositions du second chapitre, et son travail est propre. On ne relèvera ici que ce qui a une portée.

Pour la deuxième proposition, où le côté au-dessous égale la somme des deux côtés au-dessus, la détermination se calcule ainsi : si \(D = 2A\) et \(B = C = A\), alors \(z = 3A^2\), donc \(A = \sqrt{z/3}\), et \(T = 2A^3\). Le traité le vérifie de deux manières, par l'analyse directe puis au moyen d'un lemme emprunté, et les deux donnent \(A^2 = z/3\). Le calcul est juste : de \(T = 2A^3\) et \(T = zA - A^3\) suit \(3A^3 = zA\), donc \(3A^2 = z\).

Pour la troisième proposition, trois cas selon que le côté au-dessous égale chacun des deux autres, un seul, ou aucun. Dans le premier, la détermination est majeure et \(T = x^3\), \(z = x^2\) ; dans le second, \(z = T/x\) ; dans le troisième, on revient à l'élimination générale.³²

Pour la cinquième proposition, le traité démontre un lemme utile : si les deux côtés au-dessus \(B\), \(C\) ont un rectangle \(BC\) plus grand que \((B+C)D\), alors chacun d'eux est plus grand que \(D\). La démonstration est correcte — \((B+C)C > BC > (B+C)D\) donne \(C > D\), et de même pour \(B\). La seconde plume a écrit en marge, en regard du mot « maiorem » qu'elle a souligné dans le texte, le mot « minorem » : c'est une correction, et elle est fausse. La démonstration demande bien « plus grand », la ligne du feuillet est juste, et l'annotateur a tort.³³

Les trois lemmes de maximum, et ce que « D. Rob. » veut dire

9–11Deux fois, pour établir ses limitations, le traité s'appuie sur des lemmes qu'il ne démontre pas et dont il dit d'où ils viennent : « præmisso Lemmate quod a D. Rob. demonstratum est » (vue 9 R), puis « quod demonstrabitur præmissis duobus Lemmatibus etiam à D. Rob. demonstratis » (vue 10 R). En marge de la première mention, une note en français, la seule note non latine de tout le traité, renvoie le lecteur à la source : « 13 en son traité de mechanique des plans inclinez ».

Il faut dire exactement ce que cela établit. Cela établit que le traité cite Roberval, comme l'auteur de trois lemmes qu'il emprunte et qu'il signale comme empruntés, et qu'un lecteur — peut-être l'auteur lui-même — a noté en marge où les trouver. Cela n'établit pas que le traité soit de Roberval : c'est même le contraire qu'une telle mention indique, un auteur n'ayant pas coutume de renvoyer à lui-même comme à un tiers nommé par l'initiale de sa qualité. Cette lecture n'attribue donc le traité à personne — ni à Roberval, ni à Viète, ni à un autre — et note seulement que son auteur avait lu Roberval sur les plans inclinés.³⁴

Voici les trois lemmes, traduits, et ce qu'ils valent.

Premier lemme (vue 10 L) : le plus grand solide appliqué à un plan

« De tous les parallélépipèdes appliqués selon des plans égaux, ou selon le même plan parallélogramme, et déficients de figures parallélépipédiques semblables entre elles et semblablement posées, le plus grand est celui qui est appliqué aux deux tiers, étant double du défaut. »

En termes modernes, il s'agit de maximiser \[ f(A) = zA - A^3 \] — un solide « appliqué au plan \(z\) » et « déficient d'une figure cubique ». Le maximum est atteint pour \(f'(A) = z - 3A^2 = 0\), soit \[ A = \sqrt{\frac{z}{3}}, \qquad f(A) = \frac{2z}{3}\sqrt{\frac{z}{3}}. \] Tout ce que dit le lemme s'y retrouve exactement. Posons \(\ell = \sqrt{z/3}\), de sorte que \(z = 3\ell^2\) : le maximum vaut \(2\ell^3\), la figure déficiente vaut \(\ell^3\), et le solide est donc bien « double du défaut » ; et comme \(2\ell^3 = \tfrac23 z \cdot \ell\), il est « appliqué aux deux tiers » du plan. Le corollaire que le traité en tire dit la même chose autrement, et dissipe l'ellipse relevée plus haut : « tout plan est contenu sous deux droites inégales, dont la moindre peut la troisième partie du même plan, et la plus grande est triple de la moindre » — c'est-à-dire \(z = \ell \cdot 3\ell\) avec \(\ell^2 = z/3\). La « hauteur égale au tiers du plan » des pages précédentes est donc, sans ambiguïté, la droite dont le carré est le tiers du plan, soit \(\sqrt{z/3}\) ; et le traité l'écrit lui-même en clair une page plus loin : « manifestum est \(A\) fieri \(\sqrt{\tfrac13 z\,\mathrm{pl.}}\) ».³⁵

L'usage de ce lemme est la limitation de la deuxième proposition du deuxième chapitre : \(T\) ne doit pas être plus grand que le maximum, soit \[ T \le \frac{2z}{3}\sqrt{\frac{z}{3}}, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad 27\,T^2 \le 4\,z^3. \] Cette dernière inégalité est exactement la condition pour que la cubique réduite \(A^3 - zA + T = 0\) ait ses trois racines réelles : c'est la positivité de son discriminant, \(\Delta = 4z^3 - 27T^2\). Le traité l'atteint, et l'atteint juste, par un problème de maximum au lieu d'un invariant algébrique.³⁶

Deuxième et troisième lemmes (vue 10 R) : la ligne divisée, et le solide appliqué à une ligne

« Si une ligne droite est divisée en deux parties inégales, le plus grand solide qui puisse être fait du carré de l'une par la hauteur de l'autre est lorsque la portion dont le carré est la base dudit solide est double de l'autre portion. » « De tous les parallélépipèdes appliqués selon la même ligne droite, ou selon des droites égales, et déficients de figures parallélépipédiques semblables entre elles et semblablement posées, le plus grand est celui qui est appliqué à la troisième partie, étant la moitié du défaut. »

Ces deux lemmes sont le même énoncé sous deux habits, et il vaut de le dire, puisque le traité s'en sert comme de deux et remarque ensuite que le second n'est pas nécessaire. Maximiser \(u^2 v\) sous la contrainte \(u + v = x\), c'est maximiser \(xu^2 - u^3\) ; le maximum est en \(u = \tfrac23 x\), \(v = \tfrac13 x\), et vaut \[ \frac49 x^2 \cdot \frac{x}{3} = \frac{4}{27}\,x^3. \] Le premier lemme est l'énoncé sous la forme « \(u\) double de \(v\) » ; le second sous la forme « appliqué à la troisième partie », la hauteur du solide maximal étant \(x/3\), et « moitié du défaut », le défaut valant \(u^3 = \tfrac{8}{27}x^3\), exactement le double. Les deux énoncés sont justes et équivalents.

L'usage est la limitation de la quatrième proposition du deuxième chapitre : on y a \((B+C)D = BC\), et le traité démontre que \[ T \le \frac{4}{27}\,x^3, \] ce qu'il écrit en clair, « scilicet \(\tfrac{4}{27}x^3\) ». Là encore, l'inégalité est exactement la condition de réalité des racines de \(A^3 - xA^2 + T = 0\), dont le discriminant vaut \(4x^3T - 27T^2 = T(4x^3 - 27T)\), positif précisément pour \(0 \le T \le \tfrac{4}{27}x^3\). Deuxième coïncidence exacte, par la même voie.

Le traité donne en outre une seconde démonstration de cette même limitation, purement géométrique, qui n'a besoin que du premier lemme, et il la conduit en deux cas sur la figure d'un segment \(AC\) partagé en \(AB\) et \(BC\) avec un segment \(CD\) dans le prolongement. Cette lecture l'a refaite et elle est juste dans les deux cas. Le premier cas, où \(CD\) vaut le quart de \(AC\) et où \(B\) est le milieu, donne l'égalité : \(T = \tfrac14 AC^2 \cdot \tfrac14 AC = \tfrac1{16}AC^3\), tandis que \(x = \tfrac34 AC\) et \(\tfrac4{27}x^3 = \tfrac4{27}\cdot\tfrac{27}{64}AC^3 = \tfrac1{16}AC^3\) : les deux quantités sont bien égales. Le second cas, où \(CD\) est moindre que le quart, donne l'inégalité stricte par comparaison de deux solides dont la base et la hauteur sont l'une et l'autre plus grandes.³⁷

Un mot enfin sur la figure de la vue 10 L, parce que la note marginale qui l'accompagne est le seul endroit où le copiste parle en son nom : « N^a. quod linea \(DB\) debet esse æqualis \(CD\). sed defectu cartæ non potuit ulterius produci » — « noter que la ligne \(DB\) doit être égale à \(CD\), mais faute de papier elle n'a pu être poussée plus loin ». Le dessin est donc faux, et sciemment ; la condition manquante est rétablie par la note.

Les équations quarto-quadratiques : dix chapitres

12–22Le degré quatre occupe plus de la moitié du traité, et il est construit sur le même plan, avec dix chapitres annoncés d'avance selon la manière dont l'équation naît :

• de quatre latérales — cinq chapitres, selon le nombre de côtés au-dessus (quatre, trois, deux, un, aucun) ;
• d'une quadratique et de deux latérales ;
• de deux quadratiques ;
• d'une cubique à deux côtés et d'une latérale ;
• d'une cubique subsistant par elle-même et d'une latérale ;
• ou bien elle subsiste par elle-même, ou bien des côtés feints entrent dans sa composition.

Le premier chapitre donne la forme de référence. Quatre racines positives, \((A-B)(A-C)(A-D)(A-F) = 0\), soit \[ A^4 - xA^3 + zA^2 - TA + S = 0 \] avec, et le traité l'énonce terme à terme, \(x\) la somme des quatre côtés, \(z\) l'agrégat des six rectangles deux à deux, \(T\) la somme des quatre solides trois à trois, \(S\) le plano-plan sous les quatre. Ce sont \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\), \(e_4\), et le compte des termes — quatre, six, quatre, un — est juste.

Les chapitres 2 à 5 suivent, par changement de signes et par la remarque, faite et refaite, qu'un chapitre est l'inverse d'un autre : le cinquième est l'inverse du premier, le quatrième du deuxième. Dans chaque chapitre, les propositions sont les configurations de signes que les comparaisons de grandeurs autorisent, et le traité les obtient par un travail d'inégalités qui est le vrai contenu de la partie. Pour n'en donner qu'un exemple entièrement vérifié : au deuxième chapitre, trois côtés au-dessus \(B\), \(C\), \(D\) et un au-dessous \(-F\), si \(F\) est plus grand que \(B + C + D\), alors le coefficient de \(A^2\) est positif, parce que \[ F(B+C+D) > (B+C+D)^2 > BC + BD + CD, \] et le coefficient de \(A\) est négatif, parce que \(BCD\) est plus petit que chacun de \(BCF\), \(BDF\), \(CDF\). Les deux raisonnements sont sur le feuillet et ils sont corrects.³⁸

Le troisième chapitre — deux côtés au-dessus, deux au-dessous — porte le seul raisonnement long et difficile de cette partie, sur les vues 13 et 16, et cette lecture l'a refait en entier. Il s'agit de montrer que si la somme des côtés au-dessous surpasse celle des côtés au-dessus et si les rectangles affirmés égalent les niés, alors les solides niés surpassent les affirmés. Notons \(s\) la somme des côtés au-dessus, \(t\) celle des côtés au-dessous, \(p\) le rectangle sous les premiers, \(q\) celui sous les seconds ; l'hypothèse est \(p + q = st\) avec \(t > s\), et il faut montrer \(qs > pt\). Le traité y parvient ainsi, et chaque pas tient : de \(p \le s^2/4\) et \(p + q = st > s^2\) suit \(q > \tfrac14 s^2 \ge p\), donc \(2q > p + q = st\), donc \(4q > st\) ; d'où \(s/t = s^2/st > s^2/4q \ge p/q\), et enfin \(qs > pt\). C'est une belle démonstration, correcte, conduite entièrement en proportions.

Elle se termine pourtant sur une phrase qu'il faut redresser. Le traité ajoute : « sed et facile demonstrabitur prius illud solidum maius esse septuplo posterioris » — « mais on démontrera aussi facilement que ce premier solide est plus grand que le septuple du second ». Ce n'est pas vrai, et ne peut pas l'être. Sous les hypothèses posées, le rapport \(qs/pt\) des deux solides est toujours inférieur à 4, et il est toujours supérieur à \(2+\sqrt3 \approx 3{,}73\) ; il ne peut donc jamais atteindre 7. Un exemple entier le montre : les deux côtés au-dessus étant \(\tfrac12\) et \(\tfrac12\), les deux au-dessous \(\tfrac32\) et \(\tfrac52\), on a \(s = 1\), \(t = 4\), \(p = \tfrac14\), \(q = \tfrac{15}4\), les rectangles affirmés \(p + q = 4\) égalent les niés \(st = 4\) comme il est supposé, et le rapport des solides vaut \(qs/pt = \tfrac{15}{4}\), soit \(3{,}75\).³⁹

Deux béquets épinglés à l'angle d'un feuillet blanc, et photographiés l'un après l'autre aux vues 14 et 15 tandis qu'on les soulevait, portent les deux seules additions au texte. Le premier, intitulé « p. 21. », fournit une phrase qui manquait, sur l'origine des deux rectangles affirmés du troisième chapitre : l'un vient du produit des côtés au-dessus, l'autre du produit des côtés au-dessous. Le second, intitulé « 19^a », est une question :

« quomodo cognoscetur utrum hæc æquatio \(T\,\mathrm{Sol.} - z\,\mathrm{pl.}\,A + xA^2 - A^3 = 0\) sit capitis quinti vel tertii. »⁴⁰

C'est la question juste, et c'est celle à laquelle la doctrine ne peut pas répondre : les deux constitutions ont les mêmes signes, et le traité n'a aucun moyen de les distinguer sans connaître l'origine. La réponse moderne est le signe du discriminant donné plus haut : positif, trois racines réelles, donc trois côtés vrais ; négatif, une seule racine réelle et une paire complexe, donc le cinquième chapitre. L'exemple \(A^3 - 6A^2 + 10A - 8 = 0\) construit plus haut est justement du cinquième chapitre — il est \((A^2 - 2A + 2)(A - 4)\) — et son discriminant vaut \(-400\).

Les chapitres 6 à 9 : les facteurs quadratiques sans racine réelle

Les quatre derniers chapitres constructifs font entrer le facteur \(A^2 + G\) dont il a été question. Ils sont l'endroit où la doctrine travaille le mieux et où elle est le plus près de basculer.

• Caput 6, deux quadratiques sans racine réelle : \((A^2+G)(A^2+H) = A^4 + (G+H)A^2 + GH = 0\). Le traité écrit que \(z\) est la somme des deux « carrés » et \(S\) le plan sous eux, ce qui est juste, et que l'équation est explicable de deux côtés au-dessous, ce qui ne l'est pas : elle n'a aucune racine réelle, ses quatre racines étant \(\pm i\sqrt{G}\) et \(\pm i\sqrt{H}\).⁴¹
• Caput 7, une quadratique sans racine réelle et deux latérales : \((A^2+G)(A \mp B)(A \mp C) = 0\), onze propositions. Le traité énonce les coefficients avec exactitude : \(x\) la somme (ou la différence) des deux côtés vrais, \(z\) la somme du rectangle sous eux et du « carré » \(G\), \(T\) le produit de \(G\) par la somme des deux côtés, \(S\) le produit de \(G\) par leur rectangle. Ces quatre égalités sont justes — et elles sont, exactement, les fonctions symétriques élémentaires des quatre racines \(B\), \(C\), \(\pm i\sqrt G\), la paire conjuguée contribuant \(0\) à \(e_1\) et \(G\) à \(e_2\).⁴²
• Caput 8, une cubique à deux côtés et une latérale : vingt propositions, tirées des deux formes de cubique possibles, \((A^2+G)(A \mp F)\), multipliées chacune par une latérale de chaque signe.
• Caput 9, une cubique subsistant par elle-même et une latérale : vingt propositions, tirées des six formes du sixième chapitre des cubiques multipliées chacune par \(A - B\) et par \(A + C\).

Les douze produits du chapitre 9 ont été refaits un à un dans cette lecture, et onze sont exacts. Le seul qui ne le soit pas est celui de \(A^3 - R\) par \(A - B\) : le feuillet écrit \(RB + RA - BA^3 + A^4 = 0\) là où le produit donne \[ (R - A^3)(B - A) = RB - RA - BA^3 + A^4, \] avec un signe \(-\) devant \(RA\). Le second cas, \((R - A^3)(C + A) = RC + RA - CA^3 - A^4\), est écrit juste avec un \(+\).⁴³

Le chapitre 9 laisse aussi un trou. Sa septième proposition est énoncée — « cum latus supra minus est latere infra » — et aucune formule n'est écrite au-dessous, alors que la phrase suivante parle « de ces trois formules ». La formule manquante se déduit du feuillet lui-même, sans rien emprunter : les propositions 5, 6 et 7 sortent du même produit et ne diffèrent que par la comparaison des deux côtés, laquelle gouverne le coefficient \(x\), leur différence ; la proposition 5 a \(+xA^3\), la proposition 6, où les côtés sont égaux, n'a plus de terme en \(A^3\), et la proposition 7 doit donc avoir \[ S - TA + zA^2 - xA^3 - A^4 = 0. \] C'est l'inférence de cette lecture, et elle ne repose que sur la structure des deux propositions voisines.⁴⁴

Deux remarques du chapitre 9 méritent d'être relevées parce qu'elles sont justes et fines. Le traité observe que dans ces formules \(x\) n'est plus la somme de plusieurs côtés mais un seul côté, celui de la latérale, et qu'en conséquence il ne s'évanouit pas même quand les deux côtés sont égaux :

« Ideo autem in hac formula etiam si latera sint æqualia, et \(x\) non sit eorum summa, non tamen idem \(x\) evanescit, quia ut patet ex origine istius est æquale lateri infra æquationis lateralis. »⁴⁵

L'observation est exacte, et la raison moderne en est transparente : les trois racines de la cubique \(A^3 + GA \pm R = 0\), qui n'a pas de terme en \(A^2\), ont une somme nulle ; la somme des quatre racines du produit est donc celle de la seule racine de la latérale. Le feuillet voit l'effet et en donne la bonne raison — « son origine » — sans avoir la phrase sur la somme nulle des trois racines, qui demanderait de compter les fictives.

Un dernier point de tenue, qui vaut d'être dit pour qu'un lecteur ne s'y égare pas. Cette lecture a vérifié tous les produits, c'est-à-dire toutes les multiplications que le traité effectue. Elle n'a pas revérifié un à un les quatre-vingt-sept motifs de signes des formules interprétées, et il faut dire que tous ne suivent pas de leur produit tels qu'ils sont écrits : au huitième chapitre, les propositions 2 à 10 portent un \(+A^4\) alors que le produit d'où elles sortent se termine par \(-A^4\). En écrivant les équations moniques, comme le fait cette lecture, la question disparaît, le signe du terme dominant n'étant plus qu'une convention d'écriture.⁴⁶

Le dernier chapitre : les côtés feints, et l'exemple chiffré

23–23Le dixième chapitre, « et dernier », traite des quarto-quadratiques qui subsistent par elles-mêmes « ou dans la composition desquelles des côtés feints se mêlent ». C'est le meilleur chapitre du traité, et il porte sa propre réfutation.

Le traité y pose d'abord le critère, et le pose juste. Soit \(A^2 - CA + B = 0\) : elle est explicable de deux côtés au-dessus, dont la somme est \(C\), « et elle est possible dans le cas où \(B\) ne sera pas plus grand que la quatrième partie de \(C^2\) ». Si, sous la même forme, on construit une équation où \(B\) est plus grand que ce quart, « il est certain que les deux côtés dont cette dernière équation naît sont feints ». C'est-à-dire : les racines de \(A^2 - CA + B\) sont réelles si et seulement si \(C^2 - 4B \ge 0\). Le traité tient donc parfaitement le discriminant de la quadratique et sait s'en servir pour reconnaître une paire complexe.

Il construit alors, exprès, le produit d'une quadratique à racines réelles par une quadratique à racines feintes, et il le fait en nombres. Ses deux quadratiques sont \[ A^2 - 6A + 5 = 0 \qquad \text{et} \qquad A^2 + 3A + 20 = 0, \] la première de racines \(1\) et \(5\), la seconde sans racine réelle puisque \(20 > 9/4\), ce que le traité relève : « patet in ultima æquatione latera esse ficta, ideoque eam impossibilem ». Le produit, qu'il écrit dans la notation cossique, est \[ A^4 - 3A^3 + 7A^2 - 105A + 100 = 0, \] et cette lecture l'a vérifié : le développement est exact, terme à terme. Le traité vérifie ensuite que \(5\) est bien racine, en égalant les affirmés aux niés : \(100 + 7\cdot 25 + 625 = 900\) d'un côté, \(105 \cdot 5 + 3 \cdot 125 = 900\) de l'autre. Les deux colonnes du feuillet donnent \(900\) et \(900\), et le calcul est juste. Il ajoute, sans le refaire, que l'égalité vaut de même pour \(1\) ; elle vaut en effet.

Mais le traité conclut, une page plus haut, que dans une telle formule « \(x\) est la somme des deux côtés dont l'équation est explicable ». Sur son propre exemple, cela est faux, et de façon vérifiable en une ligne. Les deux côtés vrais sont \(1\) et \(5\) ; leur somme est \(6\). Le coefficient du terme en \(A^3\) est \(3\), non \(6\). Ce qui vaut \(3\), c'est la somme des quatre racines : \(1\), \(5\), et les deux racines de \(A^2 + 3A + 20\), qui sont \[ \frac{-3 + i\sqrt{71}}{2} \qquad \text{et} \qquad \frac{-3 - i\sqrt{71}}{2}, \] dont la somme est \(-3\). Et \(1 + 5 - 3 = 3\). De même le terme constant, \(100\), est bien le produit des quatre racines, \(5 \times 20\). La règle générale du traité tient donc, exactement, sur l'exemple que le traité a construit pour montrer qu'elle ne tient pas — à la seule condition de compter les côtés feints comme des racines.⁴⁷

Le chapitre se clôt sur trois remarques justes, qu'il faut rapporter parce qu'elles montrent que la doctrine est cohérente dans ses limites. D'abord : lorsque la question proposée ne peut se résoudre par les formules précédentes, ou n'y tombe pas, « il deviendra manifeste que quelque côté feint a été assumé dans sa composition, et ce côté sera enfin découvert ». C'est une méthode de découverte par l'échec, et elle est correcte : c'est bien ainsi, faute de critère direct, que la doctrine détecte les racines complexes. Ensuite : dans les constitutions où \(x\) est la différence des côtés, aucune équation anormale ne peut naître, « car la somme et la différence étant données, le cas de la question est toujours possible ». C'est l'observation, déjà faite au degré deux, que le discriminant \((B+C)^2\) est toujours positif. Enfin : ce qui a été dit des côtés feints pour le degré quatre vaut de même pour le degré trois.

La dernière phrase du traité renvoie les déterminations des quarto-quadratiques à un traité compagnon qui n'est pas dans le volume, et s'arrête : « de iis plura non dicemus ». Le reste de la page est blanc.

Le dossier de l'art de voler : ce qui est relié là

26–38Après une lacune de feuillets blancs, un tout autre dossier commence, sans transition, sans titre général et sans rapport d'aucune sorte avec ce qui précède. Il compte cinq pièces écrites et deux dessins.

Il ouvre sur un feuillet qui ne porte que deux mots au milieu de la page, en capitales et minuscules droites : « Ars Volandi ». La page suivante est la page de titre d'un livre imprimé, recopiée à la main, centrée, et dont voici le texte :

« De Arte volandi. Cuius ope, quivis homo, sine periculo, facilius, quam ullum volucrem, quocumque lubet, brevissimo tempore ferri potest. Authore Friderico Hermanno Flaydero, Poëtâ, professore et Bibliothecario Tubingæ. Cum eiusdem operum affectorum et maximam partem perfectorum Indice. Typis Theodorici Werlini, anno 1627. in 12^o. »⁴⁸

Suivent, au dos de ce feuillet et sur le suivant, des notes et extraits latins sur le vol, sans titre, d'une cursive fine et très rapide, qui s'interrompent au milieu d'une page. Puis, après deux vues blanches, la légende française des lettres d'une figure, la figure elle-même — la machine dessinée en forme de dragon —, le traité italien, et une seconde figure de la même machine vue de face. Aucune des cinq pièces ne porte de date, aucune n'est signée.

Les notes latines : un dossier de témoignages

28–29Ces deux pages ne contiennent aucune mathématique et aucune expérience : ce sont les notes de lecture d'un érudit qui rassemble, pour un livre à faire, tout ce qu'il a trouvé sur des hommes qui se sont élevés en l'air. Elles valent d'être inventoriées, parce que l'inventaire dit la nature de la pièce.

• Les anciens ont appris à naviguer des oiseaux aquatiques et surtout du cygne, « dont le cou représente la proue, le ventre la carène, la queue la poupe, les ailes les voiles, les pattes les rames ». C'est un argument d'analogie et il ouvre le dossier : l'art imite l'animal.
• Le char à voiles du prince Maurice, attribué à « Stephinus », qui, sans le secours d'aucun cheval, « par la seule force des vents, voiles déployées, est emporté sur un rivage égal avec une telle rapidité qu'il laisse loin derrière lui les navires mêmes courant en pleine mer par le vent le plus favorable, et parcourt en l'espace de peu d'heures vingt ou trente milles d'Allemagne ». Et la remarque qui est le vrai argument de toute la page : « si ce char n'était pas encore inventé, qui croirait celui qui le raconterait ? »⁴⁹
• Hadingus, roi des Danois, assiégeant Handuanus dans la ville de Duna, fit prendre des oiseaux du lieu et attacher à leurs plumes des amorces enflammées ; regagnant leurs nids, ils incendièrent la ville. « Saxo » et « Crantzius » sont donnés comme sources.
• Les pigeons du siège de Leyde, par lesquels la ville fut délivrée, et dont on rafraîchit encore la mémoire dans la ville même.
• Scaliger sur la colombe d'Archytas, avec le détail mécanique : la matière tirée de la moelle de jonc, revêtue des vessies ou pellicules dont se servent les batteurs d'or, enveloppée de nerfs, « où un demi-cercle, ayant poussé une roue, communiquera le mouvement aux autres, par lesquelles les ailes seront agitées ». C'est la seule description de mécanisme des deux pages, et elle est cohérente : un ressort de rappel entraînant un train de roues qui bat les ailes.⁵⁰
• Le « Compendium miraculorum » d'Alvaro Gutiérrez de Torres, de Tolède, dédié à don Alonso de Fonseca, et le moine volant qu'il rapporte : « Elnero ex malmabiriâ », qui fut le plus docte de tous et prédit une comète bien avant son lever, et qui, dans sa jeunesse, s'attacha des plumes aux mains, croyant avoir trouvé l'art de voler « à l'instar de Dédale, dont il tenait la fable pour vraie » ; il s'élança d'une tour, parcourut plus d'un stade en volant, « c'est-à-dire plus de cent vingt-cinq pas », et fut jeté à terre, les jambes brisées, menant depuis une vie misérable ; il disait que l'unique cause de sa chute avait été d'avoir oublié une queue à la partie postérieure du corps.⁵¹
• Ernst Burggrav, « médecin de ce siècle tout à fait admirable », et, dans son Planosphærium, un chantre de Nuremberg « qui, élevé dans l'air par la rame de deux ailes, s'envolait et redescendait à l'instar d'un oiseau », mais qui, par une imprudence — des roulettes fixées aux ailes s'embarrassaient ou ne s'appliquaient pas comme il fallait —, tomba et se brisa bras et jambes. Un cas semblable est rapporté de Paris, « de la mémoire de nos parents ».
• Johann Sturm, sur un homme qui se laissa descendre, ailé, de la tour Saint-Marc à Venise.
• Une liste des sens par lesquels les bêtes surpassent l'homme : « le vautour par l'odorat, le renard par l'ouïe, les chiens par l'un et l'autre, la poule par le goût, l'aigle par la vue, les limaces et les huîtres par le toucher, le lièvre à la course, le poisson à la nage, l'oiseau au vol ».
• Une note sur Flayder, et deux projets de livre de l'auteur des notes lui-même : un ouvrage sur les Bacchanales et leurs calamités, et un « Tractatus de villis Romanorum » où tout ce qui concerne les villas romaines serait recensé d'après les auteurs anciens, « mais aussi leurs ruines et leurs monuments subsistant encore aujourd'hui en Italie, décrits d'après de nouveaux itinéraires ».

Ces deux derniers points établissent la nature de la pièce mieux que tout le reste : celui qui écrit ces notes tient un carnet de travail, il y mêle ses lectures sur le vol et ses propres projets d'édition, et le dossier sur le vol n'est qu'un de ses chantiers.⁵²

La machine, et la légende de ses lettres

32–37Deux dessins à la plume, au trait, sans lavis, montrent la même machine. Le premier, de profil, est lettré ; le second, vu de face et de plus près, ne l'est pas. Les figures ne sont pas reproduites ici, et les transcriptions les décrivent. La machine a la forme d'un dragon : tête cornue, gueule ouverte, corps écaillé en forme de tambour cerclé de bandes cousues, deux pattes griffues, une queue s'achevant en large éventail palmé ; sur le dos, une calotte bombée et quatre longues ailes étroites dressées deux par deux, entre lesquelles deux cylindres annelés comme des vis ou des ressorts ; sous le corps, une grande aile ; près de la tête, deux petites ailes palmées.

La page qui fait face au premier dessin en donne la légende, en français, d'une autre main. Elle est brève et elle est la seule description du fonctionnement que le volume contienne :

• A — « aisle maistresse à laquelle de l'autre costé du dragon une autre est opposée, elles seruent toutes deux pour le pousser en auant et aussy pour le soustenir ». Deux grandes ailes, donc, chargées à la fois de la propulsion et de la portance.
• B, B, B, B — « quatre aisles qui se meuuent du haut en bas, et ne font autre chose que soustenir ». Quatre ailes portantes seulement.
• C, C — « deux petites aisles qui ne font que pousser en auant auec les deux maistresses ». Deux ailes propulsives seulement.
• D — « la queue laquelle fait tourner la machine du costé qu'on veut en haut et bas ». Une surface de gouverne, agissant en tangage et en lacet.
• E — « Couuerture mobile laquelle quand on veut s'eslargit circulairement sur la machine et la soustient assez pour l'empescher de precipiter ». Une voilure déployable au-dessus de l'appareil, destinée à freiner la chute.

Puis deux phrases sur la commande : « Un seul mouuement regle toutes les choses encores qu'elles se meuuent en diuers temps », et « Toutes les aisles en se leuant se ployent en elles mesmes et quand elles s'abbaissent elles s'eslargissent, et le tout comme Je viens de dire est reglé par un seul mouuement ».

Trois choses sont à dire sur cette légende, et la première est qu'elle contient l'idée la plus juste de tout le dossier. Les ailes se replient à la montée et s'élargissent à la descente : c'est exactement le principe du vol battu. Une aile qui se referme en remontant présente moins de surface et engendre donc moins de force vers le bas, tandis qu'ouverte en descendant elle engendre la force maximale vers le haut ; le bilan sur un cycle est une force nette ascendante, alors qu'une surface rigide battant symétriquement ne donnerait rien. C'est ce que font les oiseaux, et la légende le décrit en une phrase.

La deuxième est que la pièce E est, en effet, un parachute, et que le principe en est bon : une voilure déployée au-dessus d'une masse qui tombe augmente la surface offerte au fluide et diminue d'autant la vitesse de chute, laquelle varie comme l'inverse de la racine carrée de la surface. C'est la seule pièce de la machine dont la fonction annoncée soit atteinte par le moyen indiqué, à ceci près que la légende ne dit rien de la dimension nécessaire, qui est grande.⁵³

La troisième est que « un seul mouvement règle toutes les choses » décrit une liaison à un seul degré de liberté, un train unique commandant les six ailes, la queue et la couverture avec des phases différentes. C'est mécaniquement concevable, et c'est peut-être la fonction des deux cylindres annelés que le dessin place entre les ailes. Ni la légende ni le traité italien ne décrivent ce mécanisme, et l'auteur du traité dit expressément qu'il ne le montrera pas.⁵⁴

Le traité italien : le poids de l'air, et la flottaison

33–34Le traité italien commence par nommer son adversaire, qui est une opinion : voler passe pour impossible au point que « le vulgaire, quand il veut affirmer qu'une chose ne peut se faire, dit : il est aussi impossible de faire cela qu'il est impossible de voler ». Puis l'auteur dit ce qu'il a fait, et c'est le seul endroit du volume où quelqu'un parle de lui-même :

« Io però sino dallj miej primj annj applicaj l'animo a questa inuentione parendomj strano che l'ingegno humano non fusse habile col suo sapere d'arriuare a quelle cose che naturalj sono state concesse ad altrj animalj a noj jnferiorj […] sono gia decorsj x annj che da principij assaj communj mediante pero l'aiuto diuino, ho ritrouato quello che qui sotto dimostrerò. »⁵⁵

Il raconte ensuite ce qu'il tient d'un tiers sur l'essai de Sagredo, et c'est un récit précieux parce qu'il est quantitatif : Sagredo aurait pris un faucon, l'aurait plumé, puis « observé diligemment la proportion que celles-ci — les plumes — tenaient au corps, tant en poids qu'en mesure », et d'après cette proportion se serait fait des ailes qu'il attachait à ses bras, « avec tant d'artifice qu'en se jetant de quelque hauteur il arrivait à terre sans se faire aucun mal, et s'écartait même de plusieurs brasses du pied de la hauteur ». Le narrateur ajoute qu'il a lui-même fait beaucoup de tentatives et que « toute la peine fut prise en vain ».⁵⁶

Le raisonnement quantitatif de mise en train de la flottaison occupe ensuite trois pages, et il se suit pas à pas.

Le poids de l'air

L'auteur pose qu'Aristote a écrit que tous les éléments ont de la pesanteur, et demande dans quelle proportion l'air pèse à l'eau. « Selon Aristote ce serait comme un à dix, mais selon le calcul de M. Galilée ce serait, et il est plus vrai, comme un à quatre cents. »

Il faut dire ce qui est vrai. À la température et à la pression ordinaires, l'eau pèse environ mille kilogrammes par mètre cube et l'air environ un et deux dixièmes : le rapport est donc d'environ un à huit cents, et il varie de un à sept cent soixante-dix à zéro degré à un à huit cent trente à vingt degrés. Le chiffre d'Aristote est faux d'un facteur quatre-vingts. Le chiffre que le feuillet attribue à Galilée est faux d'un facteur deux, dans le même sens : l'air y est deux fois plus lourd qu'il n'est. Le jugement du feuillet — le second est « plus vrai » — est donc entièrement fondé, et l'écart qui reste est de ceux qu'une mesure ancienne du poids de l'air pouvait laisser.⁵⁷

Archimède, et les pesanteurs spécifiques

Le traité cite ensuite, comme « fondement de tout mon discours », une proposition d'Archimède sur les corps qui flottent :

« Le cose piu grauj poste nell'humido discendono tanto che vanno al fundo e sj fanno tanto piu leggieri nell'humido, quanto é il peso dell'humido che habbia tanta grandizza quanta é la grandezza dj dette cose. »⁵⁸

L'énoncé est exact : un corps plus dense que le fluide coule, et son poids y est diminué du poids du fluide qu'il déplace. C'est ce que nous appelons la poussée d'Archimède, et le traité la tient dans la forme juste, celle du poids du fluide de volume égal.⁵⁹

Viennent alors cinq nombres, les pesanteurs spécifiques rapportées à l'eau : « l'or tient proportion à l'eau comme 20 à l'unité, le mercure comme \(13\tfrac12\), le plomb comme 11, l'argent comme 10 et le cuivre comme 9 ». Voici ce que valent ces cinq nombres aujourd'hui, à la température ordinaire : or \(19{,}3\) ; mercure \(13{,}5\) ; plomb \(11{,}3\) ; argent \(10{,}5\) ; cuivre \(9{,}0\). L'ordre est juste, et les cinq valeurs sont exactes à cinq pour cent près, le mercure et le cuivre à moins d'un pour cent. C'est un bon tableau, et il faut le dire.⁶⁰

Sur quoi le traité tire une conséquence qui demande une correction. Il écrit que ces métaux arriveront au fond dans cet ordre, l'or le premier et le cuivre le dernier, « et cela selon leur pesanteur », et qu'ils feront de même dans l'air, mais plus vite, l'air ayant moins de pesanteur que l'eau. Ce qui est vrai est ceci : dans un fluide résistant, la vitesse limite d'un corps croît avec l'écart entre sa densité et celle du fluide, mais elle dépend aussi de sa taille et de sa forme ; l'ordre annoncé ne vaut donc que pour des corps de même grandeur et de même figure, condition que le feuillet ne pose pas. Et dans le vide, tous les corps tombent de la même manière, ce que le cadre du traité ne peut pas atteindre, puisqu'il rattache la vitesse de chute à la seule pesanteur spécifique.⁶¹

La flottaison dans l'air, et le corps plus léger que l'air

Le traité arrive alors à son argument central, et il est bien conduit. Si l'on trouvait une matière qui fût à l'eau comme 1 à 400, elle serait « en pesanteur égale à l'air, c'est-à-dire qu'elle ne monterait pas dans l'air et n'y descendrait pas non plus, à moins d'y être poussée violemment en haut ou en bas ». Et si l'on en trouvait une qui fût comme 1 à 500, « celle-là, d'elle-même et sans aucune violence, monterait dans l'air jusqu'à la sphère du feu, où elle s'arrêterait ». Alors, conclut-il, « nous pourrions très facilement former un instrument et voler avec lui comme font les oiseaux ».

Le raisonnement est juste et la conclusion est fausse, pour deux raisons distinctes qu'il faut séparer.

La première est le nombre. La flottaison neutre a lieu quand la densité moyenne du corps égale celle du fluide : cela, le traité l'a exactement. Mais la densité de l'air ne vaut pas le quatre-centième de celle de l'eau, elle vaut environ le huit-centième. Une matière au quatre-centième est donc deux fois plus lourde que l'air et tombe. C'est le chiffre emprunté qui fait tomber la conclusion, non le raisonnement : avec la bonne valeur, il faudrait une matière deux fois plus légère encore que celle que le traité réclame.⁶²

La seconde est la « sphère du feu ». Il n'y en a pas. Un corps moins dense que l'air monte, mais il ne monte pas indéfiniment ni jusqu'à une région assignée du monde : la densité de l'air décroît avec l'altitude, et le corps s'arrête là où la densité de l'air environnant est descendue jusqu'à la sienne. Il y a bien une altitude d'arrêt, ce que le traité pressent en écrivant « où elle s'arrêterait », et elle est déterminée par la décroissance de la densité, non par la limite d'un élément.⁶³

L'auteur ne s'arrête d'ailleurs pas à cette voie : il constate aussitôt qu'aucune telle matière n'est à notre portée, et que les oiseaux n'en ont pas non plus. Il observe que les plumes, « très légères » soient-elles, tombent quand on les laisse aller d'en haut, même les plus menues ; et que si l'on jetait un oiseau d'une hauteur les ailes ouvertes mais liées, il ne se maintiendrait pas en l'air et tomberait avec une percussion notable, « parce que son soutènement ne provient d'autre chose que de la percussion des ailes dans l'air ». C'est là le pivot du traité, et l'observation est juste : la portance d'une aile battante n'est pas une flottaison, c'est une force de réaction exercée par l'air.

La percussion

35–36L'auteur ouvre une digression sur la percussion, « qui est à mon avis l'une des plus grandes choses qui soient dans toute la mécanique », et il donne la raison de l'admirer :

« vediamo superare la forza dj 1000 e 2000 libre dj resistenza con vn martello che pesj solo x o xii libre. »⁶⁴

L'observation est juste et même modeste. Ce qu'un marteau transmet n'est pas son poids mais sa quantité de mouvement, et la force moyenne du choc est cette quantité divisée par la durée du contact, laquelle est très brève : c'est ce que nous appelons l'impulsion, \[ F\,\Delta t = m\,\Delta v. \] Un marteau de cinq kilogrammes arrivant à dix mètres par seconde et arrêté en un millième de seconde exerce une force moyenne de cinquante mille newtons, soit plus de cinq tonnes-force, c'est-à-dire beaucoup plus que les deux mille livres du feuillet.⁶⁵

Il divise ensuite la percussion en trois espèces, et la division est bonne :

• ferma, arrêtée : quand on frappe du marteau sur un solide immobile posé sur un plan, comme sur une enclume ou sur une pierre ;
• incontrata, rencontrée : quand on frappe sur un solide mobile qui vient à la rencontre du coup, « comme serait un marteau contre un autre, ou une épée contre une autre ; et celle-ci est la plus violente de toutes » ;
• sfuggita, fuie : quand on frappe sur un solide mobile qui fuit le coup, « et celle-ci est la plus faible de toutes ».

Et il en donne la loi, sur un exemple qui est exactement le bon :

« se il moto del vento sara eguale al moto della percossa, questa sera di niun valore e sara à guisa dj doj caualljerj che vno carichj l'altro con la lancia, che se la velocita dell'vno sara eguale a quella dell'altro, il percuttore non potra maj ferire quello il fuggitiuo benche hauesse la punta della lancia adosso il corpo dell'jnimico. »⁶⁶

C'est juste, et c'est plus juste que l'auteur ne peut le dire. L'impulsion échangée dans un choc ne dépend que de la vitesse relative des deux corps ; si cette vitesse relative est nulle, il n'y a pas de choc, quelle que soit la vitesse commune. Et la vitesse relative est la même dans tous les repères en translation uniforme, ce qui est la raison de fond pour laquelle la division en trois espèces est une division de la vitesse relative et non de trois phénomènes différents : une même percussion est ferme, rencontrée ou fuie selon ce que fait le corps frappé.⁶⁷

Suivent les percussions sur les corps rares, l'eau et l'air, avec quatre observations qu'il vaut de reprendre une à une.

• Une épée très forte frappant l'eau à plat se brise « le plus souvent en morceaux », alors qu'elle avait tenu à d'autres épreuves ; et du bois tombant de quelque hauteur se brise dans l'eau, qui aurait suffi, là où il fut rompu, à soulever un grand poids. C'est juste : l'eau, à l'échelle de temps d'un choc, ne s'écarte pas assez vite pour se dérober, et la lame doit mettre en mouvement une masse d'eau considérable en très peu de temps ; la réaction qui en résulte excède la résistance de la lame.
• Un boulet d'arquebuse tiré obliquement sur l'eau d'un large fleuve ne s'y enfonce pas mais, la frappant par incidence, « se porte à l'autre rive en sautelant, et ira parfois deux ou trois fois plus loin qu'il n'est naturel dans l'air ». Le ricochet est réel et l'explication est bonne. La comparaison est défendable si on l'entend, comme le texte y invite, d'un tir à faible élévation : sur terre le boulet s'enfonce au premier contact, sur l'eau il est renvoyé et continue. Il faut seulement ajouter que chaque rebond lui enlève de l'énergie, en sorte que la distance totale ne peut pas dépasser la portée qu'aurait, sans obstacle, la même charge.⁶⁸
• L'air. « La percussion ferme dans l'air est celle qui se fait par temps tranquille sur quelque solide violemment mû », et l'auteur rapporte avoir vu souvent une planchette ou autre chose mince, tournée avec furie dans l'air, se briser au milieu de sa course, elle qui sans cela aurait suffi à soulever un poids sept ou huit fois plus grand que le sien.
• Le roseau. Placé horizontalement dans un mur, sa cime s'incline vers le centre par sa propre pesanteur ; mais tenu à la main verticalement, pointe en haut ou en bas, et mû violemment de la droite ou de la gauche, sa cime « s'inclinera vers le commencement du mouvement, c'est-à-dire vers le point de son zénith ou de son nadir », et se brisera si le mouvement est assez violent. L'auteur conclut que « cela ne provient d'autre chose que du mouvement auquel l'air résiste », et que la percussion surpasse de beaucoup la pesanteur du roseau.

Sur ce dernier point il faut une correction, et elle porte sur la cause, non sur le fait. Le fait est exact : le roseau fléchit en arrière et peut rompre, et la charge transversale du mouvement excède largement celle de son propre poids, comme le montre la comparaison des deux situations — cette conclusion du feuillet est bonne. Mais la cause principale n'est pas la résistance de l'air : c'est l'inertie du roseau lui-même. Sa masse est répartie sur toute sa longueur, et chaque élément doit être accéléré ; la pointe, la plus éloignée de la main, demande la plus grande accélération et reste en arrière parce qu'il faut une force pour l'y porter. La résistance de l'air s'y ajoute et n'y suffit pas ; pour un mouvement rapide, l'inertie domine.⁶⁹

Le levier : on ne gagne pas ensemble la force et le temps

36–36Le traité passe alors à ce qu'il appelle « l'antipathie » du mouvement et de la force, et il la démontre sur un levier. C'est la page la plus soignée du traité, et son argument est juste.

« È impossibile come mecanicamente sj proua in vn jstesso tempo auanzar tempo e forza, perche quanta maggior forza sj acquista all'incontra altretanto tempo sj perde. »⁷⁰

La figure est un levier horizontal \(AB\) appuyé en \(C\), le point d'appui étant au quart de la longueur du côté de \(A\) ; sous \(A\) pend un petit cercle contenant le chiffre 4, sous \(B\) un cercle contenant le chiffre 1 ; une droite oblique descend de \(D\), au-dessus de \(A\), traverse le levier en \(C\) et va jusqu'à \(E\), au-dessous de \(B\) ; deux arcs pointillés joignent \(A\) à \(D\) et \(B\) à \(E\). Le raisonnement du texte est : une livre de poids ou de force placée en \(B\) soulèvera ou équilibrera quatre livres placées en \(A\), parce que la distance \(CB\) est quadruple de \(CA\) ; mais « à la force placée en \(B\) il faudra quatre fois plus de temps pour soulever le poids placé en \(A\) », puisque, pour pousser \(A\) jusqu'en \(D\), il faut que \(B\) s'abaisse jusqu'en \(E\), et que l'arc \(BE\) est quadruple de l'arc \(AD\).

Tout cela est exact. Écrivons-le. L'équilibre du levier donne \[ F_A \cdot CA = F_B \cdot CB, \qquad \text{d'où} \quad F_B = \tfrac14 F_A \ \text{si} \ CB = 4\,CA, \] et la rigidité du levier donne, pour les déplacements des deux extrémités, \[ \frac{\delta_A}{CA} = \frac{\delta_B}{CB}, \qquad \text{d'où} \quad \delta_B = 4\,\delta_A. \] En multipliant, \(F_B\,\delta_B = F_A\,\delta_A\) : la quantité conservée est le produit de la force par le déplacement, c'est-à-dire le travail. Ce qu'on ne peut pas gagner ensemble, c'est la force et le déplacement ; et c'est le principe que nous appelons aujourd'hui principe des travaux virtuels.⁷¹

Car il y a, dans la lettre du feuillet, une confusion qu'il faut lever : il dit « temps » là où sa figure montre des chemins. Sur un levier rigide, les deux extrémités se meuvent en même temps : ce qui est quadruple n'est pas la durée, c'est l'arc parcouru, et donc la vitesse. L'énoncé du feuillet redevient vrai dès qu'on lui fournit l'hypothèse qu'il n'écrit pas — que la main qui agit en \(B\) se meut à une vitesse donnée : alors, pour élever \(A\) d'une hauteur donnée, il faut bien quatre fois plus de temps, puisqu'il faut parcourir quatre fois plus de chemin à vitesse égale. Mais l'hypothèse n'est pas posée, et la figure ne montre qu'un rapport d'arcs.⁷²

De là le traité tire une conséquence sur Archimède, et le raisonnement est bon. Il lit dans la vie de Marcellus par Plutarque qu'Archimède faisait des machines qui, descendues des murs, saisissaient les galères romaines dans le port de Syracuse et « avec grande promptitude les élevaient en haut », puis les laissaient retomber dans l'eau pour les submerger, en sorte que les Romains l'appelaient « Briareo geometra ». « Ce qui, si c'est vrai, veut dire qu'Archimède avait trouvé le moyen de multiplier la force et le temps ensemble, chose qui non seulement ne se sait pas aujourd'hui, mais est même tenue pour impossible. » Il ajoute que l'autre épreuve rapportée du même Archimède, avoir tiré seul à terre une très grosse caraque que beaucoup d'hommes n'avaient pu remuer, ne lui paraît nullement impossible, « sachant très bien que la force peut se multiplier à l'infini ».

Les deux jugements sont justes. Aucune machine ne multiplie à la fois la force et la vitesse : si les grues d'Archimède multipliaient énormément la force, elles ne pouvaient pas soulever vite, et l'un des deux termes du récit est exagéré. Et la force, en revanche, se multiplie sans limite de principe par un rapport de bras suffisant — la limite étant pratique, la vitesse décroissant dans la même proportion, et les frottements et la résistance des pièces intervenant. Le traité a exactement ce qu'il faut pour trancher, et il tranche.⁷³

Ce que la machine pouvait faire

36–37Le traité tire de son propre principe la limite de sa machine, et il le fait honnêtement :

« l'istromento da me jnuentato (a mio parere) non sj potra far maggiore che possj portare o tenir dentro piu dj doj huominj per che non solo per mouere le alj vuole gran forza ma ancora vi vuole gran prestezza, le qualj doj cose come ho mostrato fra dj loro hanno grandissima antipatia. »⁷⁴

Il ajoute avoir « pour ainsi dire trompé la nature » en se servant d'une multiplicité de mouvements contraires l'un à l'autre, « lesquels ne sont pas de peu de secours à soulever, ce qu'ils ne feraient pas s'ils étaient simples ». Et il décrit sa machine : faite en forme de dragon, elle peut tenir jusqu'à deux hommes, dont il suffit qu'un seul travaille tandis que l'autre se repose ; elle peut cheminer de nuit avec l'aide de la boussole, portant de quoi manger et boire pour quelques jours ; et — c'est sur cette phrase que le traité s'achève — elle est faite de telle manière que si l'une des ailes venait à se rompre, elle ne pourrait pour autant précipiter, mais tomberait doucement, en sorte que ceux qui sont dedans « souffriraient très peu de lésion ».

Il faut dire ce qu'il en est, et le dire sans mépris, parce que le raisonnement qui mène là est de bonne qualité.

L'échelle : pourquoi les ailes de Sagredo ne pouvaient pas marcher

Le procédé prêté à Sagredo — mesurer sur un faucon la proportion des plumes au corps, en poids et en mesure, et se faire des ailes dans la même proportion — ne peut pas réussir, et la raison en est géométrique. Quand on agrandit un animal en gardant ses proportions, sa surface croît comme le carré de sa dimension linéaire et sa masse comme le cube : la charge par unité de surface d'aile croît donc comme la dimension. Un faucon pèse un peu plus d'un demi-kilogramme, un homme soixante-dix : le rapport des masses est de l'ordre de cent vingt, celui des dimensions de l'ordre de cinq, et la charge alaire est multipliée par cinq. Comme la vitesse nécessaire pour soutenir cette charge croît comme sa racine carrée et la puissance comme le produit du poids par cette vitesse, la puissance demandée est multipliée par plusieurs centaines, alors que la force des muscles ne croît, au mieux, que comme leur masse, c'est-à-dire par cent vingt. La proportion, qui était le principe même de la méthode, est précisément ce qui ne se conserve pas.⁷⁵

La puissance : ce que les nombres du feuillet permettent d'établir

La machine ne pouvait pas voler, et on peut le montrer avec les nombres que le feuillet lui-même fournit. Soutenir un poids en battant l'air, c'est communiquer continuellement à l'air une quantité de mouvement vers le bas ; si \(W\) est le poids, \(\rho\) la masse par unité de volume de l'air et \(S\) la surface balayée par les ailes, la vitesse qu'il faut donner à l'air est \[ v = \sqrt{\frac{W}{2\rho S}}, \] et la puissance à fournir est \(P = W v\). Pour deux hommes et leur machine, soit un poids de l'ordre de mille cinq cents newtons, et une surface balayée généreusement estimée à vingt mètres carrés, on trouve \(v \approx 5{,}6\) mètres par seconde et \(P \approx 8\,400\) watts. Un homme entraîné fournit de façon soutenue deux à trois cents watts. Le déficit est d'un facteur de l'ordre de trente.

Et le feuillet ne peut pas s'en tirer par son propre chiffre sur l'air. Avec la densité qu'il lui donne — le quatre-centième de l'eau, soit deux et demi kilogrammes par mètre cube au lieu d'un et deux dixièmes —, l'air est plus dense, donc plus facile à frapper, et la puissance requise tombe à environ six mille watts : encore vingt fois trop. Le calcul est le même quel que soit celui des deux chiffres qu'on retienne.⁷⁶

Le fait remarquable est que l'auteur avait entre les mains le principe qui condamne sa machine, et qu'il s'en est servi pour en limiter la taille sans aller jusqu'à la conclusion. Son propre théorème — on ne gagne pas ensemble la force et la vitesse — dit que le mouvement des ailes demande à la fois de la force et de la promptitude, et que ces deux exigences se combattent. Il en tire : donc pas plus de deux hommes. Ce qu'il fallait en tirer : donc pas même un. Ce qui lui manquait pour faire le pas n'était pas la mécanique, c'était la mesure du poids de l'air et l'idée de compter une puissance.

Les deux dernières promesses

Deux affirmations de la fin ne sont pas soutenues par le feuillet et il faut le dire. La première est que si une aile se rompt, la machine ne précipite pas mais descend doucement : rien dans le texte ni dans les figures ne montre comment, et une machine dissymétrique par la perte d'une aile n'a aucune raison de descendre droit. La seule pièce qui pourrait le faire est la « couuerture mobile » E de la légende française, dont la légende dit précisément qu'elle « soustient assez pour l'empescher de precipiter » ; mais la légende et le traité sont de deux mains, et ni l'un ni l'autre ne les rapproche. La seconde est que ceux qui sont dedans souffriraient très peu de lésion : c'est une promesse, non une conséquence.

Il faut être juste avec ce texte. Son auteur ne promet pas un prodige : il raisonne, il chiffre ce qu'il peut chiffrer, il emprunte le meilleur chiffre qu'il connaisse sur le poids de l'air, il cite Archimède dans la forme juste, il isole la bonne quantité dans un choc, il démontre correctement la loi du levier et il s'en sert contre lui-même pour brider son propre projet. C'est le travail d'un mécanicien, et il est faux par les endroits où, sur ce sujet, on pouvait alors se tromper : le poids de l'air, et l'absence de toute notion de puissance.

Ce que ces feuillets ne disent pas

2–38Il faut finir par les négations, parce que le titre du catalogue mène droit à quatre erreurs et qu'un lecteur qui arrive par lui doit être averti.

Il n'y a aucune lettre dans ce volume. Le titre annonce « des opuscules et des lettres de P. de Roberval, Huggens, Torricelli, Firmat et Fr. Herman Flayder » : la correspondance de Roberval, de Huygens, de Torricelli et de Fermat n'est dans aucun des deux lots, ni en original, ni en copie, ni par extrait. De Flayder, il n'y a pas d'opuscule non plus : il y a une page de titre recopiée à la main.

Le traité d'algèbre n'est attribué à personne ici. Il est anonyme sur le feuillet : ni nom d'auteur, ni souscription, ni dédicace. Roberval y paraît deux fois sous la forme « D. Rob. », aux vues 9 R et 10 R, comme l'auteur de trois lemmes que le traité déclare emprunter, avec une note marginale en français qui renvoie à « son traité de mechanique des plans inclinez ». C'est une citation. Attribuer à un auteur un texte parce qu'il y est cité serait retourner la preuve, et cette lecture ne le fait pas — pas plus qu'elle n'attribue le traité à Viète, dont il écrit la notation, ou à quiconque d'autre. Le catalogue range le volume sous le nom de Roberval ; les feuillets ne le disent pas.

Le traité italien n'est attribué à personne non plus. Son auteur nomme Sagredo et Galilée, il parle abondamment de lui-même — ses premières années, ses essais vains, les dix ans écoulés depuis sa trouvaille, sa machine — et il ne se nomme jamais. Aucun feuillet du dossier ne le nomme. Cette lecture ne le nomme pas.

Aucun feuillet ne porte de date. La seule date du volume, 1627, est à l'intérieur de la page de titre recopiée, et c'est celle du livre imprimé, non celle de la copie. Le champ de datation du catalogue est vide et cette lecture le laisse vide. Deux inférences sont possibles à partir du contenu, et elles sont signalées comme inférences là où elles sont faites : le feuillet qui copie le titre de Flayder est postérieur à 1627, et le traité italien est postérieur à l'estimation du poids de l'air qu'il cite. Rien d'autre. Le traité d'algèbre ne donne, pour tout repère, que son emprunt à Roberval et la notation de l'école de Viète, et cette lecture n'en tire aucune année.

Enfin, il n'y a pas un texte, mais deux dossiers. La tentation, devant un volume relié, est de chercher ce qui tient ses pièces ensemble : une même main, un même projet, un fil. Il n'y en a pas ici. Un traité d'algèbre sur la composition des équations et un dossier sur l'art de voler ont été cousus dans la même reliure, avec une lacune de feuillets blancs entre eux, et rien dans l'un ne fait signe vers l'autre. On peut relever, et cette lecture l'a fait, que les deux dossiers partagent une façon de raisonner — l'énumération exhaustive des cas dans le premier, la division de la percussion en trois espèces dans le second — et qu'ils citent l'un et l'autre un mathématicien contemporain pour un lemme de mécanique. C'est une ressemblance d'époque, non un lien. Prétendre autre chose serait ajouter au volume ce que le relieur seul y a mis.