Eisdem suppositis arcus ipsi reliqui conjuncti quadrantem conficient.

figure dans la marge de droite : deux arcs lettrés f, e, b, a, c, d. In eadem descriptione sit ut prius sinus arcus fb medius proportionalis inter sinum totum sinumque arcus fe. Aio quod arcus ba ac conjuncti conflabunt quadrantem. Nam per præcedentem arcus ab æqualis erit arcuj cd Sed cd cum acla seconde lettre de « ac » est surchargée d'une tache quadrantem perficit. Igitur et ab arcus cum arcu ac quadrantem perficiet. Quod est propositum.

Eisdem suppositis si alterna quadrantum portiones sint æquales, vel si arcus ipsius trianguli prædicti conjuncti quadrantem conficiant, tum sinus secundus arcus reliqui erit medius proportionalis inter sinum totum sinumque secundum anguli oppositi : Et etiam æqualis sinuj reliqui anguli acuti.

figure dans la marge de droite : deux arcs lettrés f, e, b, a, c, d. In eadem descriptione ponatur arcus ab æqualis arcuj cd, et ideo arcus ac æqualis arcui be. Vel quod idem est ponatur congeries arcuum ba ac quadrans. Aio tunc quod sinus arcus fb erit medius proportionalis inter sinum totum sinumque arcus fe. Et etiam æqualis sinui abc anguli. Nam cum æquales ponantur coalterni arcus Erit sinus arcus ba ad sinum arcus ac sic sinus arcus cd ad sinum arcus be. Per 6. autem huius sicut sinus arcus cd ad sinum arcus be sic sinus totus ad sinum arcus fb. Et per 7. sicut sinus arcus ba ad sinum arcus ac sic sinus arcus bf ad sinum arcus fe. Igitur sicut sinus totus ad sinum arcus fb sic sinus arcus bf ad sinum arcus fe. Itaque medius p̄portionalis est sinus arcus bf Iterainsi, pour « inter », sans signe d'abréviation lisible sinum totum sinumq; arcus fe. Quare per 25. huius idem sinus arcus bf æqualis erit sinuj anguli abc. Quod quidem demonstrandum proponebatur.

Eisdem suppositis si sinus secundus arcus angulo acuto oppositi ponatur æqualis sinuj reliqui acuti, tunc idem sinus erit medius p̄portionalis inter sinum totum sinumque secundum anguli ipsi arcuj oppositi et reliqui arcus æquales singuli coalternis quadrantum complementis.

Eisdem suppositis si sinus secundus arcus acuto oppositi, sit medius proportionalis inter sinum totum sinumque secundum eiusdem acuti tunc arcuum comprehendentium ipsum acutum differentia erit maxima differentiarum quibus differunt quilibet duo arcus eundem angulum complectentes ab angulo ad quemlibet alium quadrantem recepti.

In eadem descriptione ponatur sinus arcus fb medius proportionalis inter sinum totum sinumque arcus fe. Aio quod qe arcus ab ac maxime differunt quam differre possint quilibet alij duo bini ut. inde fnm fqp secantes quidem quadrantem ac in punctis mglq incidentes vero quadranti ad in punctis nhkp. Demonstr. est quod driaabréviation de « differentia », écrite « dria » avec un trait ; de même « driam », « driæ » plus loin. arcuum ab ac major est quam differentia arcuum ag ah Et maior quam dria arcuū al ak Itemque dria arcuum ag ah maior quam differentia am an, Et dria arcuum al ak maior quam differentia arcuum aq ap. Hoc modo. Ducantur circulorum magnorum arcus gs lr perpendiculares ad arcum fe Item arcus mt qy perpendiculares ad arcum fh fk. Eritque major sinus arcus cf ad sinum arcus fb quam sinus arcus hf ad sinum arcus fg. Sed per hypothesim sicut sinus cf sinus scilicet totus ad sinum arcus fb sic sinus arcus fb ad sinum arcus fe. Igitur major sinus arcus bf ad sinum arcus fe quam sinus arcus hf ad sinum arcus fg

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 21 ». Per 7 autem huius sicut sinus arcus bf ad sinum arcus fe sic sinus arcus bg ad sinum arcus gs. Et per 6. sicut sinus arcus hf ad sinum arcus fg sic sinus arcus hc ad sinum arcus gs : Ergo et major sinus arcus bg ad sinum arcus gs quam sinus arcus hc ad sinum arcus gs. Quare major erit sinus arcus bg sinu arcus hc. Et p̄inde arcus bg major major arcu hc Igitur et major dria arcuum ab ac quam differentia arcuum ag ah. Quod est primum. Rursum maior erit sinus arcus kf ad sinum arcus fl quam sinus arcus cf ad sinum arcus fb, Et ideo quam sinus arcus bf ad sinum arcus fe. Sed per 6 huius sicut sinus arcus kf ad sinum arcus fl sic sinus arcus ck ad sinum arcus lr Et per 7. sicut sinus« sinus » ajouté dans l'interligne, avec un signe d'insertion arcus bf ad sinum arcus fe sicut sinus arcus bl ad sinum arcus lr Igitur major erit sinus arcus ck ad« ad » ajouté dans l'interligne sinum arcus lr quam sinus arcus bl ad sinum arcus lr. Igitur major erit sinus arcus ck sinu arcus bl. Et ideo arcus ck major arcu bl. Quo fit ut maior sit differentia arcuum ba ac quam arcuum al ak. Quod est secundum. Adhuc major erit sinus arcus gf ad sinum arcus fe quam sinus arcus ck ad sinum arcus bl : Et ideo arcus ck major arcu bl. Quo fit ut differentia arcuum ba ac maior sit quam differentia arcuum al ak. Quod est secundum.de « Adhuc major erit » à « Quod est secundum », le copiste répète, en le brouillant, le passage qui précède : la phrase commencée (« sinus arcus gf ad sinum arcus fe ») est reprise aussitôt après. Adhuc major erit sinus arcus gf ad sinum arcus fe quam sinus arcus bf ad sinum arcus fe : Et ideo quam sinus arcus cf ad sinum arcus fb Et a fortiori quam sinus arcus nf ad sinum arcus fm. Sed per 7. huius sicut sinus arcus gf ad sinum arcus fe sic sinus arcus gm ad sinum arcus mt per 6 autem sicut sinus arcus nf ad sinum arcus fm sic sinus arcus nh ad sinum arcus mt. Igitur major sinus arcus gm ad sinum arcus mt quam sinus arcus nh ad sinum arcus mt. Et ob id maior erit sinus arcus gm sinu arcus nh : Et propterea maior arcus gm arcu nh. Fit ergo ut maior sit differentia arcuum ag ah quam differentia arcuum am an quod erat tertium. Demum major erit sinus arcus pf ad sinum arcus fq quam sinus arcus cf ad sinum arcus fb. Et ideo quam sinus arcus bf ad sinum arcus fe. Et a fortiori quam sinus arcus kp ad sinum arcus qy. Igitur major sinus arcus kp lf ad sinum arcus fe. Sed per 6 huius sicut sinus arcus pf ad sinum arcus fq sic sinus arcus kp ad sinum arcus qy. Et per 7. sicut sinus arcus lf ad sinum arcus fe sic sinus arcus lq ad sinum figure dans la marge de droite : arcs issus de f, lettrés f, e, r, y, l, q, g, s, m, t, a, n, h, c, k, p, d.

figure dans la marge de gauche : arcs lettrés f, e, b, g, d, a, h, c. Eisdem suppositis si arcuum acutum angulum complectentium differentia sit maxima earum quibus differunt arcus eundem angulum continentes ab ipso angulo ad quoslibet quadrantes conterminos recepti, tum secundus sinus arcus eidem acuto oppositi erit medius proportionalis inter sinum totum sinumque ipsius acuti, Et arcus maxime differentes quadrantem conflabunt

In eadem descriptione ponatur arcuum ab ac differentia ut dictum est Aio quod sinus arcus fb medius erit proportionalis inter sinum totum sinumque arcus fe. Quodque ipsorum ab ac congeries est circuli quadrans. Nam si sinus arcus bf non sit mediusla fin du mot est surchargée proportionalis inter tales sinus scilicet sinum totum sinumque arcus fe. Sit si possibile au-dessus du mot biffé, dans l'interligne, un mot court, peut-être « arcus », barré lui aussi sinus arcus fg. Eritque per præcedte major differentia arcuum ag ah quam dria arcuum ab ac quod est contra hypothesim. Supponitur enim differentia arcuum ab ac maxima. Non erit igitur inter sinum totum sinumque arcus fe medius proportionalis sinus alius quam sinus arcus bf. Et ideo per 26 huius arcus ab ac conjuncti quadrantem conflabunt. Quemadmodum proponitur demonstrandum.

Eisdem suppositis si arcuum acutum angulum continentium congeries sit quadrans, iidem arcus maxime differrent

figure dans la marge de gauche : arcs lettrés f, e, b, a, c, d. In eadem descriptione ponatur arcuum ab ac aggregatum circuli quadrans, Aio quod arcuum ab ac dria maxima prædicto modo erit. Cum enim quadrantem conficiat arcus ab ac Nam per 27 huius sinus arcus fb erit medius proportionalis inter sinum totum sinumque arcus fe. Quare

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 22 ». per 29 præmissam arcuum ab ac differentia erit maxima Quod erat demonstrandum.

Eisdem suppositis si arcus acutum angulum continentes maxime differant sinus secundus reliquj arcus æqualis erit sinuj reliqui acuti anguli.

figure dans la marge de droite : arcs lettrés f, e, b, a, c, d. In eadem descriptione ponantur ab ac arcus maxime ut dictum est differentes. Aio quod sinus arcus fb æqualis erit sinuj anguli abc. Nam cum arcus ab ac maxime differunt Iam per 30. præmissam sinus arcus fb erit medius proportionalis inter sinum totum sinumq; arcus fe. Quare per 25 huius sinus arcus fb erit medius proportionalis inter sinum totum sinumque arcus fe. & æqualis erit sinui anguli abc. Quod proponitur demonstrandum.

Si duo circulj majores in superficie Sphæræ angulum acutum contineant Et in uno eorum signentur duo puncta a quibus arcus circulorum majorum perpendiculares ad reliquum ducantur : Ratio sinus arcus inter casus perpendicularium ad sinum arcus inter puncta signata cadentis componetur ex duabus, quarum una est ratio sinus totius ad sinum secundum unius arcuum perpendicularium : altera est ratio sinus secundi acuto angulo prædicto debiti ad sinum secundum reliqui arcus perpendicularis.

figure dans la marge de droite : arcs lettrés f, e, b, g, s, a, d, h, c. In superficie Sphæræ duo circuli majores ab ac angulum bac acutum contineant, positisque quadrantibus acd abe. Ductisque sicut in 17 huius circulorum majorum quadrantibus def cbf hgf per puncta signata bg Erunt iam bc gh arcus perpendiculares ad circulum ad Casus autem perpendicularium puncta ch. Sinus arcuum fb fg sinus secundi arcuum perpendicularium bc gh. Sinus arcus fe. sinus secundus arcus de hoc est anguli acuti

Eisdem suppositis sinus arcus inter casus perpendicularium ad sinum arcus inter puncta signata cadentis erit sicut quod ex sinu toto sinuque secundo anguli acuti prædicti rectangulum ad id quod ex sinibus secundis arcuum perpendicularium producitur rectangulum.

figure dans la marge de gauche : arcs lettrés f, e, b, g, d, a, h, c. In eadem descriptione. Demonstrandum est quod sinus arcus hc ad sinum arcus bg est sicut quadrangulum quod sub sinu arcus fhla seconde lettre est surchargée sinuque arcus fe comprehenditur ad quadrangulum quod sub sinibus arcuum fg fb continetur. Nam per præcedentem ratio sinus arcus hc ad sinum arcus bg componitur ex ratione sinus hf totius ad sinum arcus fg. Et ex ratione sinus arcus fe ad sinum arcus fb. Per 24 autem 6. Element. ratio quadranguli quod sub sinu arcus hf sinuque arcus fe ad quadrangulum quod sub sinibus arcuum fg fb componitur ex rationibus laterum hoc est ratione sinus arcus hf sinus scilicet totius ad sinum arcus fg, et ex ratione sinus arcus fe ad sinum arcus fb. Igitur ex æquali erit sicut quadrangulum ex sinus arcus hf sinuque arcus fe ad quadrangulum ex sinibus arcuum fg fb sic iam sinus arcus hc ad sinum arcus bg. quod est propositum.

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 23 ».

Eisdem suppositis si sinus totus ad sinum secundum alterius perpendicularium arcuum fuerit sicut sinus secundus reliqui perpendicularis ad sinum secundum anguli acuti prædicti : tunc arcus inter casus perpendicularium æqualis erit arcui inter puncta designata cadenti, reliqua autem coalterna quadrantum portiones æquales erunt : Et angulorum a perpendicularibus arcubus apud signata puncta factorum sinus erunt æquales, alter alterius perpendicularis sinuj secundo.

deux figures dans la marge de droite : arcs lettrés f, e, b, g, d, c, a, h ; et un demi-cercle avec les cordes kl, nm, lettré n, l, k, m. In eadem descriptione. Ponatur sicut sinus totus ad sinus arcus fg sic iam sinus arcus fb ad sinum arcus fe. Aio quod tunc arcus ch æqualis erit arcui bg. Nam propter proportionem sinuum per 15. 6. Euclidis quadrangulum ex sinu toto sinuque arcus fgainsi, où la proportion posée demande fe æquale erit quadrangulo ex sinibus arcuum fg fb. Sed per præcedentem sicut illud quadrangulum ad hoc quadrangulum, sic sinus arcus hc ad sinum arcus bg. Igitur sinus ille huic æqualis erit. Quare arcus ipsi ch bg æquales erunt. Quod est propositum. Item aio quod arcus ag arcuj cd æqualis erit Et arcus ah æqualis arcui be. Nam per 7. huius sinus arcus ga ad sinum arcus ah est sicut sinus arcus gf ad sinum arcus fe. Et per 6. sinus arcus cd ad sinum arcus be sicut sinus arcus cf, hoc est sinus totus ad sinum arcus fb. Sed per hypothesim sinus totus ad sinum arcus fb sicut sinus arcus gf ad sinum arcus fe. Igitur sinus arcus ga ad sinum arcus ah sicut sinus arcus gf ad sinum arcus be.ainsi ; la suite (« chorda dupli arcus cd ») demande « cd » où la main écrit « gf ». Et ideo chorda dupli arcus ga ad chordam dupli arcus ah sicut chorda dupli arcus cd ad chordam dupli arcus be. Et quoniam æquales fuerunt arcus ch bg. Ideo aggregatum ex arcubus ag be æquale erit aggregato arcuum ah cd. Quare aggregatum ex duplis illorum æquale

Eisdem suppositis si arcus inter casum perpendicularium æqualis fuerit arcui inter puncta signata cadenti cætera omnia sequentur.

figure dans la marge de droite : arcs lettrés f, e, b, g, d, a, c, h. In eadem descriptione. Ponatur arcus ch æqualis arcui bg. Aio quod erit sicut sinus totus ad sinum arcus fg sic sinus arcus fb ad sinum arcus fe. Nam cum per 34. huius sinus arcus ch ad sinum arcus gb sit sicut rectangulum ex sinu toto sinuque arcus fe ad quadrangulum quod ex sinibus arcuum gf fb. Et æqualis sit per hypothesim sinus arcus ch sinui arcus bg. Æqualia erunt et dicta quadrangula. Quare per 15. sex. Eucl. erit sinus totus ad sinum arcus fg sic sinus arcus fb ad sinum arcus fe. Igitur per præcedentem et arcus ag cd coalterni æquales erunt Et reliquus arcus ah be æquales. Item sinus anguli abc æqualis sinui arcus fg. Et vicissim sinus anguli agh æqualis sinui arcus fb. Quod est propositum.

Eisdem suppositis si duo coalterni arcus æquales ponantur adhuc cætera omnia sequentur.

figure dans la marge de droite : arcs lettrés f, e, b, l, k, d, g, c, a, b, m. In eadem descriptione. Ponatur bgainsi arcus æqualis arcui cd. Aio quod erit sicut sinus totus ad sinum arcus fg sic sinus arcus fb ad sinum arcus fe. Et cætera ut prius sequentur. Sit enim si possibile est sinus totus ad alium quam fg arcus sinum utpote arcus fk. sicut sinus arcus fb ad sinum arcus fe. Et super f polo ducatur peripheria circuli circulo ad paralleli quæ sit kl. coincidens arcui ae apud l.

Eisdem suppositis si sinus anguli ab uno perpendicularium arcuum apud signatum punctum facti ponatur æqualis sinuj secundo alterius perpendicularis Similiter cætera omnia sequentur.

figure dans la marge de gauche : arcs lettrés f, e, b, d, a, g, h, c. In eadem descriptione ponatur angulus abc sinus æqualis sinui arcus fg. Aio quod sinus totus ad sinum arcus fg erit sicut sinus arcus fb ad sinum arcus fe Et cætera prædicta sequentur. Nam cum æqualis sit sinus anguli abc sinuj arcus fg. Erit sicut sinus totus ad sinum arcus fg sic sinus totus ad sinum anguli abc. Sed per 6 huius sicut sinus totus ad sinum anguli abc sic sinus arcus bf ad sinum arcus fe. Igitur sinus arcus bf ad sinum arcus fe sicut sinus totus ad sinum arcus fg. Quare per 35. huius arcus ch æqualis erit arcui bg Et arcus ag æqualis arcui cd. Et arcus ah æqualis arcui be Et sinus anguli agh

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 25 ». æqualis sinuj arcus fb sicut ponitur. Non aliter si ponatur angulus agh æqualis arcuj fb hoc est sinus sinuj. Simili processu demonstrationis servato cætera omnia sequentur

Quod si in eodem lineamento, sinus totus ad sinum secundum alterius perpendicularium arcuum major sit quam sinus secundus alterius perpendicularis ad sinum secundum anguli acuti perpendicularibus oppositi, tunc arcus inter casus perpendicularium major erit arcu inter signata puncta cadente, Et arcus ad angulum majores erunt singuli singulis coalternis : Et angulorum a perpendicularibus ad puncta signata factorum majores sinus erunt alter alterius perpendicularis sinu secundo.

figure dans la marge de droite : arcs lettrés f, e, b, d, k, c, g, m, l, h, a. In eadem descriptione ponatur ratio sinus totius ad sinum fk major quam ratio sinus bf ad sinum fe. Aio tunc quod producto quadrante circuli majoris fkl arcus cl major erit arcu bk. Item arcus ak maior arcu cd, Et arcus al maior arcu be. Atque sinus anguli akl major sinu arcus fb, Et sinus anguli abc maior sinu arcus fk quod sic patet. Quoniam major est sinus totus ad sinum arcus fk quam sinus arcus bf ad sinum arcus fe. Ponatur iam sicut sinus arcus bf ad sinum arcus fe sic sinus totus ad sinum arcus fm. Sic major erit arcus fm arcu fk. Describatur super f polo parallelus ipsi ad circulus mg incidens circulo ae apud g punctum. Eritque per deff. poli æqualis fg arcus ipsi fm arcui. Quare producto fgh quadrante, Erit sicut sinus totus ad sinum arcus fg sic sinus arcus bf ad sinum arcus fe. Et ideo per 15 sexti Eucl. quadrangulum ex sinu sinuque arcus fe æquale erit quadrangulo quod ex sinibus arcuum fg fb. Igitur quadrangulum quod ex sinu toto sinuque arcus fe

Si vero sinus totus ad sinum secundum alterius arcus perpendicularis minor fuerit quam sinus secundus reliqui perpendicularis ad sinum secundum anguli acuti p̄pendicularibus oppositi : tunc arcus inter casus perpendicularium minor erit arcu inter

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 26 ». signata puncta cadente. Et arcus ad angulum majoresainsi ; la démonstration qui suit conclut « arcus ak minor arcu cd » erunt singuli singulis coalternis Et angulorum a perpendicularibus ad puncta signata factorum sinus minores erunt alter alterius perpendicularis sinu secundo.

figure dans la marge de droite : arcs lettrés f, e, k, d, g, m, c, l, a, h. In eadem descriptione ponatur ratio sinus totius ad sinum arcus fk minor quam ratio sinus arcus bf ad sinum arcus fe. Aio tunc quod arcus cl minor erit arcu bk. Item arcus ak minor arcu cd, Et arcus al minor arcu be necnon sinus anguli akl minor sinu arcus fb. Et sinus anguli abc minor sinu arcus fk. Ponatur enim sicut sinus arcus bf ad sinum arcus fe, sic sinus totus ad sinum arcus fm. Sic enim minor erit arcus fm arcu fk describatur ut prius ipsi ad circulo parallelus mg incidens ipsi ae in g : Et producatur quadrans fgh. Eritque fg arcus æqualis arcui fm. Quare erit sicut sinus totus ad sinum arcus fg sic sinus arcus bf ad sinum arcus fe. Et ideo per 16. 6. Eucl. quadrangulum quod ex sinu toto sinuque arcus fe erit æquale quadrangulo quod ex sinibus arcuum fk fb. Igitur quod ex sinu toto sinuque arcus fe minus erit quadrangulo quod ex sinibus arcuum fg fb. Igitur quod ex sinu toto sinu arcus fe minus erit quadrangulo quod ex sinibus arcuum fg fb. Igitur quod ex sinu toto sinuque arcus fe minus erit quadrangulo quod ex sinibus arcuum fk, fb ; quandoquidem maior arcus fk arcu fg,la phrase « Igitur quod ex sinu toto… » est écrite trois fois de suite, avec « fg fb » les deux premières fois et « fk, fb » la troisième. Verum per 34 huius sicut quadrangulum quod ex sinu toto sinuque arcus fe ad quadrangulum quod ex sinibus arcuum fk fb sic est iam sinus arcus cl ad sinum arcus bk. Ergo minor sinus arcus cl sinu arcus bk Et proinde minor arcus cl arcu bk. Et quoniam per 35. huius arcus ag æqualis est arcui cd

Item si arcus inter casus perpendicularium ponatur major arcu inter puncta signata cadente, tunc major erit sinus totus ad sinum secundum unius arcuum perpendicularium quam sinus secundus alterius perpendicularis ad sinum secundum anguli perpendicularibus oppositi Et cætera sequentur quæ in 39. præcedenti.

figure dans la marge de gauche : arcs lettrés f, e, b, d, k, c, a, h. In eadem descriptione ponatur arcus cl major arcu bk. Aio quod maior erit sinus totus ad sinum fk quam sinus arcus fb ad sinum arcus fe. Nam si minor tunc per præcedentem minor erit arcus cl arcu arcu bk. Quod est« est » ajouté dans l'interligne au-dessus du mot biffé contra hypothesim, Si æquales sint rationes tunc per 35 huius arcus cl æqualis erit arcui bk. Quod rursum est contra hypothesim. Superest ergo ut omnino major sit sinus totus ad sinum arcus fk quam sinus arcus fb ad sinum arcus fe. Quare per 39. huius arcus ak major arcu cd, Et arcus al major arcu be Et sinus

page de droite, sans figure ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 27 ». anguli akl major sinu arcus fb, Et sinus anguli abc major sinu fk. Et hæc sequi propositum dixerat propositio.

Item si duorum coalternorum arcuum qui ad angulum ponatur major Et cætera quæ dicta sunt sequentur.

In eadem descriptione si arcus ak ponatur major arcu cd, vel si arcus al ponatur maior arcu be. Aio tunc quod maior erit sinus totus ad sinum arcus fk quam sinus arcus fb ad sinum arcus fe. Nam si minor tunc per 40 arcus ak minor arcu cd quod est contra propositum. Si æqualis tunc per 30 huius arcus ak æqualis arcui cd. Quod rursum est contra hypothesim. superest ergo ut maior sit sinus totus ad sinum arcus fk quam sinus arcus fb ad sinum arcus fe. Quare per 39 huius arcus cl major erit arcu bk. Et sinus anguli akl major sinu arcus fb. Necnon sinus anguli abc major sinus arcus fk. Quæ secutura suppositum dixerat propositum.

Item si sinus unius angulorum a perpendicularibus apud signata puncta factorum ponatur major sinu secundo reliqui perpendicularis, Et eadem reliqua sequentur.

In eadem descriptione si sinus anguli akl ponatur major sinu arcus fb vel si sinus anguli abc ponatur major sinu arcus fk. Aio tunc quod major erit sinus totus ad sinum arcus fk, quam sinus arcus fb, ad sinum arcus fe. Nam si minor tunc per 40 sinus anguli akl minor erit sinu arcus fb. Quod est contra hypothesim si æquales vero tunc per 35. sinus ipsi æquales. Quod rursum est contra hypothesim. Superest ergo ut major sit sinus totus ad sinum arcus fk quam sinus arcus fb ad sinum arcus fe. Quare per 39. huius arcus cl major erit arcu bk. Et arcus ak major arcu cd. Et arcus al major arcu be. Et reliqua quæ suppositum secutura diximus.

Si vero arcus inter casus perpendicularium ponatur minor arcu inter puncta signata cadente, sequentur cætera deinceps, quæ in quadragesima.

Ponatur nunc arcus cl minor arcu bk. Aio tunc quod sinus totus ad sinum arcus fk minor erit quam sinus arcus fb ad sinum arcus fe. Nam si major tunc per 39 huius arcus cl major erit bk Q̄ est hypothesim.« Q̄ » : un Q barré dans la hampe, abréviation de « quod » ; « contra » manque Si æqualis ratio vero, tunc per 35 arcus cl erit æqualis arcui bk quod rursum est contra hypothesim. Superest ergo ut sinus totus minor sit ad sinum arcus fk quam sinus arcus fb ad sinum arcus fe. Quare per 40 huius arcus ak minor erit arcu cd : Et arcus al minor arcu be. Et sinus anguli akl minor sinu arcus fb. Necnon sinus anguli abc. minor sinu arcus fk Quæ suppositum secutura in propositione dictum est.

Item si duorum coalternorum arcuum qui ad angulum ponatur minor, et cætera similiter sequentur.

figure dans la marge de gauche : arcs lettrés f, e, b, k, d, a, c, l. In eadem descriptione Ponatur arcus ak minor arcu cd. vel arcus al minor arcu be. Aio quod sinus totus ad sinum arcus fk minor erit quam arcus fb ad sinum arcus fe. Nam si maior, tunc per 39 huius arcus ak major erit arcu cd. Quod rursum est contra hypothesim Superest ergo ut sinus totus minor« minor » ajouté dans l'interligne, avec un signe d'insertion sit ad sinum arcus fk quam sinus arcus fb ad sinum arcus fe. Quare per 40 huius arcus cl minor erit arcu bk. Et angulus akl sinus minor sinu arcus fb. Et anguli abc sinus minor sinu arcus fk. Et cætera. quæ suppositum secutura prædictum est.

Item si anguli ab uno perpendicularium arcuum apud signatum punctum facti sinus ponatur minor sinu secundo reliqui perpendicularis : non aliter quam prius cætera sequentur.

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 28 ». In eadem descriptione ponatur sinus anguli akl minor sinu fb. Sive sinus anguli abc minor sinu arcus fk Aio tunc quod sinus totus ad sinum arcus fk minor erit quam sinus arcus fb ad sinum arcus fe. Nam si major tunc per 39. huius sinus anguli akl major erit sinu arcus fb. Quod est contra hypothesim. Si æqualis vero tunc per 35. sinus anguli akl æqualis erit sinui arcus fb. Quod rursum adversatur proposito. Superest ergo ut sinus totus minor sit ad sinum arcus fk quam sinus arcus bf ad sinum arcus fe. Quare per 40 huius arcus cl minor erit arcu bk, Et arcus ak minor arcu cd, Et arcus al minor arcu be Et cæter. quæ suppositum secutura necessario prædiximus.

Si sinus secundi arcuum perpendicularium proportionem servantes in 35. prædictum fuerint proportionales permutato ordine sinibus secundis aliorum duorum arcuum, perpendicularium, arcus coalterni inter perpendiculares æquales erunt.

figure dans la marge de droite : arcs issus de f, lettrés f, e, l, q, g, m, a, d, h, c, k, p. In prædicto lineamento ducantur circulorum quadrantes fgh flk. Ita ut sinus totus ad sinum fg sit sicut sinus arcus fl ad sinum arcus fe. Itemque duo alii quadrantes fmn fqp. Ita ut sinus arcus fm ad sinum arcus fg sit sicut sinus totus arcus fl ad sinum arcus fq. Aio iam quod his suppositis arcus mg kp coalterni æquales erunt : Itemque arcus nh lq coalterni æquales. Nam cum sinus totus ad sinum arcus fg sit sicut sinus arcus fl ad sinum arcus fe. Atque conversim sinus arcus fq ad sinum arcus fm sicut sinus arcus fg ad sinum arcus fl. Nam per 23. 5. rationibus perturbatim collocatis ex æquo sinus totus ad sinum arcus fm sicut sinus arcus fq ad sinum arcus fe Ex qua proportione

Quod si sinibus secundis arcuum perpendicularium proportionem in 35 prædictam servantibus intersit medius proportionalis sinus secundus arcus medij proportionalis, Et coalterni arcus item perpendiculari medio ad collaterales hinc inde recepti æquales erunt.

figure dans la marge de gauche : arcs lettrés f, e, a, g, b, l, d, h, c, k. Sit ut in præcedenti sicut sinus totus ad sinum arcus fg sic sinus arcus fl ad sinum arcus fe, Et ducatur fbc quadrans medius Ita ut sinus arcus fg ad sinum arcus fb sit sicut sinus arcus fb ad sinum arcus fl. Hoc est ut sinus arcus fb sit medius proportionalis inter sinus arcuum fg fl. Aio tunc quod arcus bg æqualis erit arcui ck necnon arcus hc æqualis erit arcui bl. Nam cum sinus totus ad sinum fg sit sicut sinus arcus fl ad sinum arcus fe. Atque cum sit sinus arcus fg ad sinum arcus fb sicut sinus arcus fb ad sinum arcus fl. Nam per 23. 5. rationibus perturbatim collocatis erit ex æquo sinus totus ad sinum arcus fb sicut sinus arcus fb ad ad sinum arcus fe. hoc est medius proportionalis erit sinus arcus fb inter sinus arcuum fg fe. Quare per 25 huius arcus ab æqualis erit arcui cd. Sed per 35. arcus ag æqualis arcui kd. Igitur et arcus bg relictus arcui ck relicto æqualis. Item per 25. arcus ac æqualis arcui be. Et per 35. arcus ah æqualis arcui le. Ergo et arcus hc reliquus arcui reliquo bl æqualis sicut propositum fuit.

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 29 ». Quod 29.a huius proposuit aliter ostendere.

figure dans la marge de droite : arcs issus de f, lettrés f, e, q, l, g, b, m, a, d, n, h, c, k, p. In ipsa 29.a descriptione Sit ut ibi supponitur sinus arcus fb medius proportionalis inter sinum totum sinumque arcus fe. Demonstrandum est rursus quod arcuum ab ac differentia maxima est differentiarum quibus differunt arcus a angulum continentes ab ipso angulo ad perpendiculares arcus terminati. Nam cum sinus arcus fb sit medius proportionalis inter sinum totum sinumque arcus fe. Erit per 16. 6. Eucl. quadratum quod ex sinu arcus fb æquale quadrangulo quod ex sinu toto sinuque arcus fe. Minus autem autem quadratum sinus arcus fb quadrangulo ex sinibus arcuum fb bg producto. Igitur Et quadrangulum quod ex sinu toto sinuque arcus fe minus erit quadrangulo ex sinibus arcuum fb fg producto. Verum per 34 huius sicut quadrangulum quod ex sinu toto sinuque arcus fe ad quadrangulum ad quadrangulum ex sinibus arcuum fb fg sic sinus arcus hc ad sinum arcus bg. Ergo sinus arcus hc minor erit sinu arcus bg. Quare et arcus hc minor arcu bg. Et idcirco major erit differentia arcuum ab ac quam differentia arcuum ag ah. Similiter omnino ostendetur quod arcus nh minor erit arcu gm, Et proinde differentia arcuum ag ah maior quam dria arcuum qu am an. Rursum quoniam quadrangulum ex sinibus arcuum fb fl factum minus est quadrato quod ex sinu arcus fb. Et ideo quadrangulo quod ex sinu toto sinuq; arcus fe Sed per 34. huius sicut quadrangulum quod ex sinu toto sinuque arcus fe ad quadrangulum quod ex sinibus arcuum fb fl sic sinus arcus ck ad sinum arcus bl. Quo fit ut major sit differentia arcuum ab ac quam dria arcuum al ak. Et per eandem ostendemus quod arcus kp major est arcu lq. Et proinde dria arcuum al ak major quam differentia arcuum aq ap. Unde sequitur ut inter differentias arcuum ab angulo a ad perpendiculares receptorum ipsa arcuum ab ac differentia sit maxima. Quod propon:

De proportione quam servat sinus aggregati ex arcubus acutum angulum comprehendentibus in rectangulo trigono Sphærali ad sinum differentiæ eorumdem arcuum servato acuto deinceps nobis disserendum est. Qui locus quamvis a Menelao minime sit prætermissus, Nos tamen Theorema illud nobilissimum quod ipsi quintum est in ordine propositionum tertij libelli, aliter atque aliter demonstrantes multis rem speculationibus Et quasi corollarijs illustravimus, Non enim parsimus opportunis præambulis ad demonstratõem spectantibus, quo distinctis commodius propositionibus omnia fiant apertiora scituque iucundiora.

Cum fuerint in superficie Sphæræ quatuor arcus circulorum magnorum semicirculis minores, duo quidem ab angulo uno descendentes, duoque a descendentium terminis se vicissim secantes, Et alternatim ad descendentes reflexi : tunc ratio sinus unius descendentium ad sinum partis ejus superioris componetur ex duabus, quarum una est ratio sinus arcus reflexi a termino dicti descendentis ad sinum partis superioris eiusdem reflexi : altera est ratio sinus partis inferioris alterius reflexi ad sinum totius eiusdem reflexi.

figure dans la marge de gauche : arcs lettrés b, h, d, e, g, f, a, k, c. Sint in superficie Sphæræ quatuor arcus circulorum majorum semicirculis minores : quorum duo ab bc ab angulo b descendant, Duo vero cd ae se invicem apud f secantes ipsis ab be apud de puncta coincidant. Aio igitur

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 30 ». quod ratio sinus arcus ab ad sinum arcus bd componitur ex duabus scilicet ex ratione sinus arcus ae ad sinum arcus ef Et ex ratione sinus arcus fe ad sinum arcus dcainsi, « fe », où la fin de la démonstration a « fc » ; la lettre qui précède « dc » est surchargée d'une tache Quod sic demonstratur. Ducantur a punctis d f arcus circulorum majorum fg dh ak perpendiculares ad arcum bc Eritque per 7 præcedentis libri sicut sinus arcus ab ad sinum arcus bd sic iam sinus arcus ak ad sinum arcus dh. Item sicut sinus arcus ae ad sinum arcus ef sic sinus arcus ak ad sinum arcus gf, necnon sicut sinus arcus fc ad sinum arcus cd sic sinus arcus fg ad sinum arcus dh. Verum posito medio sinu arcus fg ratio sinus arcus ak ad sinum arcus dh componetur ex ratione sinus arcus ak ad sinum arcus fg, Et ex ratione sinus arcus fg ad sinum arcus dh. Igitur et ratio sinus arcus ab ad sinum arcus bd componetur ex ratione sinus arcus ae ad sinum arcus ef, Et ex ratione sinus arcus fc ad sinum arcus cd, quod erat demonstrandum. figure dans la marge de droite : arcs lettrés d, b, h, e, f, g, a, k, c.

Item ratio sinus unius arcus ex reflexis ad sinum partis ipsius inferioris componetur ex duabus, quarum una est ratio partis superioris arcus contermini descendentis ad sinum ipsius descendentis totius altera est ratio sinus alterius totius reflexi ad sinum partis eius superioris.

figure dans la marge de droite : arcs lettrés b, d, e, f, a, c, et un petit segment de droite, sans lettre lisible, qui paraît figurer la ligne l. Hoc est in eadem descriptione. Aio quod ratio sinus arcus dc ad sinum arcus cf componetur ex duabus, Quarum una est ratio sinus arcus db ad sinum arcus ba altera est ratio sinus arcus ae ad sinum arcus ef. quod sic demonstratur. Per præcedentem quidem ratio sinus arcus ab ad sinum arcus bd componitur ex ratione sinus ae ad sinum arcus ef, Et ex ratione sinus arcus fc ad sinum arcus cd. Itaque sicut est sinus arcus ae ad sinum arcus ef sic sit sinus cd ad lineam l. Eritque ex æquali sicut sinus arcus arcus ab ad sinum arcus bd sic sinus arcus fc ad sinum arcus cd lineam l. Et conversim erit

Aliter idipsum demonstrare.

Ductis quidem arcubus perpendicularibus sicut in prima. Erit per 7 præcedentis libri sicut sinus arcus dc ad sinum arcus cf sic iam sinus arcus dh ad sinum arcus fg. Item sicut sinus arcus db ad sinum arcus ba sic sinus arcus dh ad sinum arcus ak. Necnon sicut sinus arcus ae ad sinum arcus ef sic sinus arcus ak ad sinum arcus fg. Verum posito medio sinu arcus ak ratio sinus arcus dh ad sinum arcus fg componetur ex ratione sinus arcus dh ad sinum arcus ak : Et ex ratione sinus arcus ak ad sinum arcus fg Igitur Et ratio sinus arcus dc ad sinum arcus cf componetur ex ratione sinus arcus db ad sinum arcus ba, Et ex ratione sinus arcus ae ad sinum arcus ef. Quod fuerat in præcedenti demonstrandum.

Suppositis iisdem ratio sinus unius arcuum descendentium ad sinum partis eius inferioris componetur ex duabus : quarum una est ratio sinus partis superioris alterius descendentis ad sinum partis eiusdem inferioris, altera est ratio sinus partis inferæ arcus reflexi a termino huius descendentis ad sinum partis supernæ eiusdem reflexi.

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 31 ». In eadem descriptione. Aio quod ratio sinus arcus ba ad sinum arcus ad componitur ex duabus : scilicet ex ratione sinus arcus be ad sinum arcus ec. Et ex ratione sinus arcus cf ad sinum arcus fd Quod sic demonstratur. Producantur arcus bc cd donec concurrant apud m punctum Eruntque per 15. primi Sphæricorum Theodosij arcus mbc cdm semicirculi, Et ideo sinus arcus me erit et sinus arcus ec. Itemque sinus arcus mf erit et sinus arcus fc. Intelligo igitur duos arcus circulorum majorum ab bm descendentes ab angulo b. Duosque ab eorum terminis ad eosdem reflexos mf abainsi ; les arcs réfléchis de la figure sont ae et md se invicem apud d secantes. Eritque per præcedentem ratio sinus arcus ba ad sinum arcus ad composita ex ratione sinus arcus be ad sinum arcus em, Et ex ratione sinus arcus mf ad sinum arcus fd. Substituo ergo sinibus arcuum em mf sinus arcuum ec cf quandoquidem utrorumque iidem sunt sinus. Eritque ratio sinus arcus ba ad sinum ad sinum arcus ad composita ex ratione sinus arcus be ad sinum arcus ec : Et ex ratione sinus arcus cf ad sinum arcus fd : Quod quidem erat demonstrandum. figure dans la marge de droite : arcs lettrés m, b, d, f, e, a, c.

Idem et aliter demonstrare.

figure dans la marge de droite : arcs lettrés b, d, e, h, f, g, k, a, c. Ducatur a punctis b c d in ipsa descriptione circulorum majorum arcus bcainsi ; la suite a « bg » ck dh perpendiculares ad arcum ae Quo facto iam per 7 præcedentis libri Erit sicut sinus arcus ba ad sinum arcus ad sic sinus arcus bg ad sinum arcus dh. Item sicut sinus arcus be ad sinum arcus ec sic sinus arcus bg ad sinum arcus ck. Necnon sicut arcus cf ad sinum arcus fd sic sinus arcus ck ad sinum arcus dh. Verum posito medio sinu arcus ck ratio sinus arcus bg ad sinum arcus dh componetur ex ratione sinus arcus bg ad sinum arcus ck, Et ex ratione sinus arcus ck ad sinum arcus dh. Igitur Et ratio sinus arcus ba ad sinum arcus da componetur ex ratione sinus arcus be ad sinum arcus ec, Et ex ratione sinus arcus cf ad sinum arcus fd, quod proponebatur hic et in præcedenti ostendendum.

Si quadrilaterum rectilineum circulo inscriptum fuerit : quod sub duabus eius diametris continetur rectangulum æquale est duobus iis quæ sub oppositis lateribus comprehenduntur coniunctim sumptis rectangulis.

figure dans la marge de gauche : cercle et quadrilatère inscrit lettrés a, b, c, d, avec les diagonales et le point e ; un trait pointillé part de a. Esto ipsi abc circulo inscriptum rectilineum quadrilaterum abcd. cuius diametri ac bd. Aio quod rectangulum quod ex ac bd æquale est duobus rectangulis, quorum unum sub ab cd, alterum sub ad bc comprehenditur. Ponatur enim ipsi bac angulo æqualis angulus dae Eruntque anguli bae cad æquales quum super eundem arcum incumbant. Igitur et tertius angulus aeb tertio adc æqualis. Quare æquiangula erunt triangula abe acd. Itaque per 4. 6. Eucl. sicut linea ab ad lineam be sic linea ac ad lineam cd. Itemque triangula ade acb æquiangula erunt. Unde per 4. prædictam erit sicut ad ad de lineam, sic ac ad cb lineam. Quam ob rem per 15. 6. Euclidis quadrangulum quod ex ab cd æquale erit quadrangulo quod ex be ac. Atque per eandem quadrangulum quod ex ad cb æquale quadrangulo quod ex de ac verum per primam. 6. prædicti quadrangulum be ac unacum quadrangulo de ac æquale est quadrangulo quod ex ac bd. Ergo et quadrangulum quod ex ac bd æquale erit quadrangulo ab cd una cum quadrangulo ad bc. quod fuit demonstrandum.

Aggregatum eorum quæ fiunt ex utraque chordarum duorum arcuum inæqualium in chordam residuj de semicirculo alterius rectangulorum ad differentiam eorumdem est sicut chorda aggregati ex iisdem arcubus ad chordam arcus differentiæ eorumdem.

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 32 ». figures dans la marge de droite : un cercle lettré b, c, e, a, d, avec les cordes ; puis trois rectangles, le premier marqué f, le deuxième g, le troisième divisé en deux et lettré h, m, k, l, n. In circulo abc sunt duæ chordæ ab bc quarum major ab. Et posita ipsi bc æquali be ducatur chorda ea. Ductaque diametro circuli bd ducantur chordæ ad dc ca. Erit ac chorda aggregati ex arcubus ab bc atque ae chorda differentiæ eorumdem. Itaque ex ab in cd vel ed fiat quadrangulum f. Et ex bc sive be in ipsam ad fiat quadrangulum g. Iam demonstrandum est quod aggregatum ex quadrangulis f g habet ad eorumdem differentiam talem rationem qualem habet chorda ac ad chordam ae. Exponatur enim ipsi bd æqualis linea hk. super quam constituatur rectangulis f g æquale quadrangulum hklm Et ipsi lm applicetur quadrangulum mn æquale differentiæ ipsorum quadrangulorum f g cum autem per præcedentem totum quadrangulum f g sit æquale quadrangulo quod ex bd in ac Erit etiam quadrangulum km æquale quadrangulo quod ex bd ac. Sed hk æqualis ipsi bd. Ergo kl æqualis ipsi ac. Item cum ex præcedenti quadrangulum f quod etiam fit ex ab ed sit æquale quadrangulo g quod etiam fit ex be ad una cum quadrangulo quod ex ae bd. Atque ob id quadrangulum ae bd sit ipsorum quadrangulorum f g differentia. Ideo ipsum quadrangulum mn æquum ipsi differentiæ, æquale erit quadrangulo ae bd Sed lm æqualis ipsi bd. Ergo similiter et ln æqualis ipsi ae per. per primam autem 6. Euclidis quadrangulum km ad quadrangulum mn sicut kl ad ln. Igitur et aggregatum quadrangulorum f g ad differentiam eorum sicut kl ad ln. hoc est sicut chorda ac ad chordam ae. Quod erat demonstrandum.

Aggregatum eorum quæ fiunt ex utroque sinu duorum arcuum inæqualium in sinum secundum alterius rectangulorum ad differentiam eorumdem est sicut sinus aggregati ex eisdem arcubus ad sinum arcus differentiæ eorumdem.

figure dans la marge de gauche : grand cercle lettré b, p, t, r, q, s, c, avec le diamètre bc et le centre d ; petit cercle intérieur sur le diamètre bd, lettré e, a, e ; cordes et droites entre ces points. In circulo rbs cuius diameter bc centrum d. Sint duo arcus inæquales pb bq. Quorum major pb. Ductisque semidiametris dp dq. Ducantur ad ipsas dp, dq lineæ perpendiculares ba bcainsi ; la figure porte e au pied de la seconde perpendiculaire, et la suite dit « linea bc vel linea be » Quæ productæ occurrant peripheriæ apud r s Eruntque dupli arcus bpr bqs ipsorum arcuum bp bq. Ponatur item arcus bt æqualis arcui bs Et ducatur chorda bt. Ad quam perpendicularis sit de Et coniungantur lineæ ac rs. ae rt. quibus peractis constabit ex definitionibus et ex prima præcedentis libri quod sinus arcus bp est linea ba sinus arcus bq est linea bc vel linea be quandoquidem earum dupla tb bs sunt æquales. Item quoniam arcus arcus rbs duplus est arcus pbq. Et ipsius rbs arcus chorda est rs. Ipsius autem rs dimidium est ipsa ac Etiam ideo per diffinitionem sinus ipsius arcus pbq est linea ac. Demum quoniam arcuum pb bq dupli sunt arcus rb bt Et ipsorum arcuum rb bt differentia est tr. Iam ipse arcus tr duplus erit differentiæ arcuum pb bq. Sed ae linea dimidium est chordæ tr Igitur per diffinitionem linea aela seconde lettre ressemble à un « c » sinus erit arcus qui differentia est arcuum pb bq. Rursum ex prima præcedentis libri erit sinus secundus arcus pb erit linea da. sinus autem secundus arcus bq erit linea cd vel linea de quæquidem æquales sunt. Itaque demonstrandum est quod aggregatum ex duobus quadrangulis quorum alterum fit ex ab cd alterum vero ex bc da ad driam eorumdem est sicut linea ac ad lineam ae. Describatur super diametrum bd circulus quij iam

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 33 ». ibit per ipsa puncta aec quandoquidem recti sunt anguli bad bed bcd. Sic enim rectæ ab bc erunt chordæ arcuum inæqualium in tali circulo Atque rectæ be bc chordæ æquales arcuum æqualium. Recta ac chorda totius arcus abc aggregatum scilicet ex arcubus ab bc. Recta ae differentiæ eorundem chorda. Rectæ ad dc chordæ residuorum de semicirculo eorumdem arcuum. Quamobrem per præcedentem aggregatum quadrangulorum ab cd Et quadrangulorum bc da, ad driam eorumdem est sicut chorda ac ad chordam ae. Quod erat demonstrandum.

Si duæ magnitudines duabus magnitudinibus sint proportionales erunt et earum aggregata differentiis proportionalia. Contra si aggregata fuerint differentiis proportionalia ; et duæ magnitudines duabus magnitudinibus proportionales erunt.

figure dans la marge de droite : deux segments de droite, le premier lettré a, g, b, c, le second d, h, e, f. Sit magnitudo ab ad magnitudinem bc sicut magnitudo de ad magnitudinem ef. quarum majores ab de. Positisque bg ipsi bc atque eh ipsi ef æqualibus. Aio quod ca ad ag erit sicut fd ad dh. Nam coniunctim erit ac ad cb sicut df ad fe. Et conversim ac ad ab sicut fd ad de Et rursum conversim erit ba ad ag sicut ed ad dh. Quare ex æquali proportione erit ca ad ag sicut fd ad dh. Quod est primum ex propositis. Rursum esto ca ad ag sicut fd ad dh. Aio quod erit ab adau début de la ligne, le mot est écrit comme « ab » bc sicut de ad ef. Nam tunc disiunctim Et conversim erit ag ad gc sicut dh ad hf. scilicet cg ad gb sicut fh ad he. Igitur ex æquali ag ad gb sicut dh ad he. Quare coniunctim ab ad bg sicut de ad eh. hoc est ab ad bc. Quod fuit reliquum ex propositis.

In triangulo rectangulo ex arcubus circulorum majorum in superficie Sphæræ sinus aggregati duorum arcuum angulum acutum comprehendentium ad sinum differentiæ eorumdem est sicut aggregatum ex sinu toto sinuq; secundo dicti anguli acuti ad differentiam eorundem sinuum.

figure dans la marge de gauche : arcs lettrés f, e, a, b, c, d. Sit in superficie Sphæræ triangulum abc ex arcubus circulorum majorum rectum habens eum qui ad c angulum, acutos reliquos. Productisque arcubus ba ac positisque ad ae quadrantibus. Ducatur arcus circuli majoris de. Qui productus coincidat ipsi cb producto apud f. Eruntque per 3. præmissi arcus df fc quadrantes. Atque sinus arcus de erit sinus anguli acuti a. Sinus autem fe erit sinus eiusdem anguli secundus. Itaque demonstrandum est quod sinus arcus aggregati ex arcubus ba ac ad sinum arcus differentiæ eorumdem est sicut aggregatum ex sinu df sinuque fe. ad differentiam eorumdem. Hoc pacto. Ex sinu arcus ab in sinum arcus cd hoc est in sinum secundum arcus ac fiat quadrangulum g. Ex sinu autem arcus ac in sinum secundum ipsius ab. hoc est sinum arcus be fiat quadrangulum h eritque per 24. 6. Eucl. ratio quadranguli g ad quadrangulum h composita ex rationibus laterum. hoc est ratione sinus arcus dc ad sinum arcus ca. Et ex ratione sinus arcus ab ad sinum arcus be. Verum per 4 vel 5. huius ratio sinus df ad sinum arcus fe componitur ex ratione sinus arcus dc ad sinum arcus ca, Et ex ratione sinus arcus ab ad sinum arcus be Igitur sicut sinus arcus df ad sinum arcus fe sic quadrangulum g ad quadrangulum h. Quare per præcedentem aggregatum ex sinu arcus df sinuque arcus fe ad driam eorumdem sinuum sicut aggregatum ex quadrangulis g h ad differentiam eorumdem. Sed per 8 huius sicut aggregatum ex quadrangulis g h ad plus bas dans la marge de gauche : deux rectangles marqués g et h, et une seconde figure d'arcs lettrés l, a, b, e, d.

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 34 », dont le 4 est tracé en boucle descendante. driam eorumdem sic etiam sinus arcus aggregati ex arcubus ba ac ad sinum arcus differentiæ eorumdem. Ergo erit sicut sinus arcus aggregati ex arcubus ba ac ad sinum arcus driæ eorundem sic etiam aggregatum ex sinu arcus df sinuque arcus fe ad driam eorumdem sinuum. Quod fuit demonstrandum.

Si fuerit triangulum rectangulum circulorum majorum in superficie sphæræ, atque anguli ad centrum sphæræ constituti quos subtendunt duo arcus trianguli acutum angulum continentes fuerint æquales angulis quos continent latera duo trianguli rectilinej cum perpendiculari ad tertium latus singuli singulis, Tunc sinus totus ad sinum anguli acuti prædicti erit sicut portio major tertij lateris trianguli rectilinej ad minorem.

deux figures dans la marge de droite : un triangle rectiligne lettré h, l, g, k, la perpendiculaire tombant de h en g sur lk ; des arcs lettrés f, e, b, d, a, c. Sit in superficie sphæræ ex circulis majoribus triangulum rectangulum abc et cæt. quæ in præcedenti. Item angulus rectilineus ghk ponatur æqualis angulo quem subtendit arcus ab ad centrum sphæræ constituto, Atque angulus rectilineus ghl æqualis angulo quem subtendit arcus ac ad idem centrum posito. Ipsa autem gh rectos angulos faciat cum lk. Quibus suppositis demonstrandum est quod sinus arcus df hoc est sinus totus ad sinum arcus fe sinum scilicet anguli bac est sicut linea kg ad lineam gl. Hoc modo per. 4 vel 5 huius Ratio sinus arcus df ad sinum arcus fe componitur ex rationibus sinus arcus dc ad sinum arcus ca, Et sinus arcus ab ad sinum arcus be. Positaque media linea gh ratio lineæ kg ad lineam gl componitur ex rationibus lineæ kg ad lineam gh, Et lineæ gh ad lineam gl. Verum cum per hypothesim anguli ghl et l sint æquales angulis, ad centrum sphæræ positis, arcusque ac, cd assumentibus, iam propter similitudinem triangulorum, Erit sicut sinus arcus dc ad sinum arcus ca sic linea gh ad lineam gl. Et similiter

Quod decima huius proposuit aliter demonstrare.

figures dans la marge de gauche : arcs lettrés f, e, b, a, d, c ; puis trois figures rectilignes, la première lettrée l, n, g, h, m, o, k, les deux autres h, g, n, m, k, o et l, h, g, k, o. Sit in superficie sphæræ triangulum rectangulum abc ex arcubus circulorum Et cæte. quæ in præmissa et antepræmissa. Iam rursus et aliter quod in 10 huius demonstrandum est, quod sinus aggregati ex arcubus ba ac ad ad sinum differentiæ eorumdem arcuum est sicut sinus aggregati ex sinu df sinuque arcus fe ad differentiam eorumdem. Ponatur sicut in præmissa rectilineus angulus ghk æqualis ej qui ad centrum sphæræ, super arcum ab consistit, Atque angulus ghl æqualis ej qui ad idem centrum super arcum ac locatur. Item ponatur linea hk æqualis semidiametro sphæræ, hoc est sinui toti, Et linea kgl ad rectos ipsi hg. Et quoniam arcus ab major arcu ac per 28. 2. sphæric. elementorum. Atque ideo angulus ghk major angulo ghl, Idcirco et linea kg major erit quam linea gl. Itaque ponatur ipsi gl æqualis linea gm, Et coniungatur hm Et producatur. Item lineæ perpendiculares ad ipsam hl ipsa kn. Ad ipsam vero hm productam ipsa ko linea. Et quoniam per hypothesim angulus lhk est ille qui super arcum aggregatum ex arcubus ba ac consistit ad centrum : Et angulus kho ipsorum quidem ghk ghl angulorum differentia Et perinde angulus ille qui super arcum qui differentia est arcuum ba ac ad centrum locatur existit : Et linea hk sphæræ semidiameter hoc est circuli majoris semidiameter sive sinus totus ponitur. Propterea circulus iam super centrum h ad spatium hk descriptus erit æqualis cuivis circulo majori sphæræ, in cuius superficie describitur triangulum, abc cum cæteris peripheriis, atque per primam

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 35 », dont le 5 descend en longue queue. præmissi libelli linea kn erit sinus anguli lhk hoc est sinus arcus aggregati ex arcubus ba ac Itemque linea ko erit sinus anguli kho hoc est. sinus arcus differentiæ arcuum dictorum ba ac. Itaque demonstrandum est quod linea kn ad lineam ko est sicut aggregatum ex sinu df sinuque fe ad differentiam eorumdem sinuum. Hoc pacto angulus kmo æqualis est angulo gmh contraposito. angulus autem gmh æqualis angulo glh per 4. 1. Eucl. Igitur angulus glh hoc est kln æqualis erit angulo kmo. Sed anguli lnk mok recti. Ergo et reliquus angulus nkl reliquo okm æqualis. Igitur rectilinea triangula kln kmo sunt ad invicem æquiangula, Et ideo per 4. 6. Euclidis sunt proportionalium laterum. quare erit per linea kn ad ko lineam sicut linea lk ad lineam km. Sed per præcedentem linea kg ad lineam gl sicut sinus arcus df ad sinum arcus fe. Et ideo per 9. huius linea lk ad lineam km aggregatum scilicet ex kg gl, ad km differentiam earundem, sicut aggregatum ex sinu arcus df sinuque arcus fe ad differentiam eorumdem. Igitur erit sicut aggregatum ex sinu arcus df sinuque arcus fe ad differentiam eorumdem sinuum sic linea kn ad lineam ko hoc est sinus aggregati ex arcubus ba ac ad sinum differentiæ eorumdem arcuum. quod fuit demonstrandum.

Attendendum quod in prima descriptione angulus lhk est acutus, tunc enim arcus ba ac sunt minus quadrante. In secunda autem descriptione angulus lhk obtusus est, Tunc enim arcus ba ac conflant arcum quadrante majorem : Et perinde linea kn est sinus anguli extrinseci khn hoc sinus arcus aggregati ex arcubus be cd. In tertia vero descriptione angulus lhk rectus est Et ideo tunc arcus ba ac conficiunt quadrantem : Unde tunc ipse hk sinus totus est vice perpendicularis kn hoc est sinus talis anguli recti talisque quadrantis. Sed unicuique descriptioni una inservit demonstratio, idemque processus, Sic igitur decima huius Et hæc præsens duodecima idem per diversa demonstrant, superest nunc tertius idipsum demonstrandi modus quem a Menelao traditum existimo.

Cum circuli semidiameter secat chordam arcumq;

Quod decima quodque duodecima huius demonstrant adhuc aliter demonstrare.

figure dans la marge de gauche : arcs et droites lettrés a, b, c, d, e, f, g, h, le point h au sommet inférieur. Sit demum in superficie sphæræ triangulum abc ex circulis majoribus rectum habens angulum bca, angulum vero bac acutum, positoque polo a describatur ad spatium ab circulus bde Et arcus ac producatur utrimque donec coincidat peripheriæ, circuli descripti ad puncta de. Eritque per diffinitionem poli tam arcus ad quam arcus ae æqualis arcui ab. quare arcus cae erit aggregatum ex arcubus ba ac. arcus vero cd erit differentia eorumdem arcuum ba ac. Demonstrandum est igitur ut prius quod sinus arcus cae ad sinum arcus cd est sicut aggregatum ex sinu toto sinuque anguli bac secundo ad differentiam eorumdem sinuum 3.o modo. Sic. Sit sphæræ centrum h Item communis sectio circulorum ab ac sit recta afh. Communes autem sectiones eorumdem circulorum cum circulo bde sint rectæ bf dfe. coniungatur autem ch secans chordam de in puncto g. Coniungatur Et bg. Quæ cum sit communis sectio circulorum bc bde. stantium ad angulos rectos super circulum acd erit per 19. 11. Euclidis perpendicularis ad planum circuli acd. Et ideo perpendicularis tam ad rectam de quam ad rectam ch. Et per eadem quoniam af perpendicularis est ad circulum bde erit et perpendi-

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 36 ». cularis tam ad rectam bf quam ad rectam fd, sicut per 10. 1. Elem. Theodosij. Eritque per eandem et per corollarium primæ primi eorumdem elementorum punctum f. centrum circuli bde. Atque angulus rectilineus bfd erit angulus inclinationis circulorum ab ac. Itaque posito sinu toto bf quæ est semidiameter circuli, bde erit per primam præcedentis libri linea bg sinus anguli bfd hoc est anguli bac. Atque linea gf sinus secundus eiusdem anguli ; Quare linea eg erit aggregatum ex sinu toto scilicet ef sinuque secundo anguli bac scilicet gf. linea vero gd differentia eorumdem. Itaque demonstrandum est quod arcus cae ad sinum arcus cd est sicut linea eg ad lineam gd. Quod quidem constat per præcedentem. Quandoquidem linea hgc secundum semidiameter circuli dae secat chordam de in puncto g arcumque dae in puncto c. Et hoc ut antea testis proponitur demonstrandum. figure dans la marge de droite : arcs et droites lettrés a, b, c, d, e, f, g, et une longue droite descendant jusqu'au centre h.

In triangulo ex arcubus circulorum majorum rectangulo in superficie sphæræ aggregatum ex sinu toto sinuque secundo anguli acuti ad differentiam eorumdem est sicut quadratum quod ex sinu secundo dimidij anguli acuti ad quadratum quod ex sinu eiusdem dimidij.

deux figures dans la marge de droite : arcs lettrés f, a, b, e, c, g, d ; demi-cercle sur le diamètre hk, de centre l, lettré o, m, h, l, n, k, avec les cordes hm, mk et la perpendiculaire mn. In descriptione 10 huius arcus circuli magni ag secet per æqualia angulum bac. Demonstrandum est iam quod aggregatum ex sinu toto arcus scilicet df et sinu fe ad differentiam eorumdem est sicut quadratum sinus arcus fg ad quadratum arcus gd hoc modo Exponatur sphæræ diameter hk. Quæ per medium secta apud l super eam centroque l semicirculus describatur hmk. Ponaturque arcus km æqualis arcui de ductisque chordis hm mk atque perpendiculari mn Erit iam linea hn congeries sinuum arcus df arcusque fe, Et linea nk. differentia eorumdem sinuum. Sed per 17. 6 Euclidis linea hn ad lineam nk est iam sicut quadratum lineæ hn ad quadratum lineæ mn. Et ideo propter similitudinem triangulorum sicut quadratum lineæ hm ad quadratum lineæ mk. Sed quadratum hm ad quadratum mk sicut quadratum sinus arcus fg ad quadratum sinus arcus gd. Quandoquidem linea

Item sinus aggregati arcuum anguli comprehendentium ad sinum differentiæ eorumdem arcuum est sicut quadratum quod ex sinu secundo dimidij anguli acuti ad quadratum quod ex sinu eiusdem dimidij.

figures dans la marge de gauche : arcs lettrés f, e, b, g, a, d, c ; demi-cercle lettré o, m, h, l, n, k, avec la perpendiculaire mn. In eadem descriptione demonstrandum est quod sinus aggregati ex arcubus ba ac ad sinum differentiæ eorumdem arcuum est sicut quadratum quod ex sinu fg ad quadratum quod ex sinu arcus gd. Sic per 14. huius sinus aggregati arcuum bacainsi, la lettre du milieu surchargée ac ad sinum differentiæ eorumdem arcuum est sicut aggregatum ex sinibus arcuum df fe ad differentiam eorumdem sinuum. Per præcedentem autem sicut aggregatum tale ad driam talem sic quadratum sinus arcus fg ad quadratum sinus arcus gd. Igitur Et sicut est quadratum sinus arcus fg ad quadratum sinus arcus gd sic sinus aggregati arcuum ba ac ad driam eorumdem. Quod iam proponebatur demonstrandum.

Item sinus aggregati arcuum angulum acutum comprehendentium ad sinum differentiæ eorumdem arcuum est sicut sinus versus major anguli acuti hoc est ut sinus versus complementi ipsius anguli ad duos rectos ad sinum versum talis acuti.

Nam in descriptione antepræmissæ sinus versus complementi anguli acuti bac ad duos rectos hoc est sinus versus arcus hom Et fuit linea hn quippe quæ constat ex hl semidiametro Et ex ln sinu secundo, arcus km hoc est anguli bac, sinus autem versus anguli bac hoc est sinus versus arcus km hoc est anguli bac fuit linea nk excessus vero semidiametri lk supra hk ln sinum secundum arcus km prædictum. Proponitur ergo hic demonstrandum quod sinus aggregati arcuum ba ac ad sinum arcus differentiæ eorumdem arcuum est sicut linea nkainsi en apparence ; le « k » est repassé d'une encre plus noire, et le sens demande « hn » ad lineam nk. hoc est sicut aggregatum ex sinu toto sinuque

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 37 ». secundo anguli bac ad differentiam eorumdem sinuum, Verum id ostensum est in 10. 12. Et 14. huius Constat ergo propositum.

Si fuerint duo triangula ex arcubus circulorum majorum rectangula in superficie sphæræ, quorum unius angulus acutus æqualis alterius angulo acuto : tunc sinus aggregati arcuum acutum angulum comprehendentium in uno triangulo ad sinum arcus differentiæ eorum est, sicut sinus aggregati arcuum acutum angulum continentium in altero triangulo ad sinum arcus differentiæ eorumdem.

figures dans la marge de droite : deux triangles d'arcs lettrés b, a, c et e, d, f ; demi-cercle lettré m, h, l, n, k, avec la perpendiculaire mn. Sunto duo triangula abc def ex arcubus circulorum majorum in superficie sphæræ, quorum anguli c f recti Et anguli a d acuti Et æquales. Aio quod sinus arcus aggregati ex arcubus ed df ba ac ad sinum arcus differentiæ eorumdem, est sicut sinus arcus aggregati ex arcubus ed df ad sinum arcus driæ eorumdem. Nam cum anguli acuti a d sint æquales sinibus versis anguli erunt iam ex diffinitione sinus versus anguli a diametrum integrantes æquales sinibus versis anguli d diametrum integrantibus, major scilicet majori, minor minori, Rursum ergo supra expositam sphæræ diametrum, hk centrumque l descripto semicirculo hmk positoque arcu km circuli majoris subtendente tam angulum a quam angulum d in superficie sphæræ, ductaque perpendiculari mn Erit per primam præmissi libri linea mn sinus arcus km. Et perinde sinus tam anguli a quam anguli d. Et per diffinitionem ipsa linea hn nk erunt duo sinus versi tam anguli a quam anguli d. Itaque per præcedentem sinus aggregati arcuum ba ac ad sinum arcus differentiæ eorumdem est sicut hn ad nk Itemque sicut hn ad nk sic sinus aggregati arcuum ed df ad sinum arcus differentiæ eorumdem. Igitur sicut sinus aggregati arcuum ed df ad sinum arcus differentiæ eorumdem sic sinus aggregati arcuum ba ac ad sinum differentiæ eorumdem.

Quod si in duobus triangulis rectangulis ex arcubus circulorum majorum in superficie sphæræ sinus aggregati arcuum angulum acutum comprehendentium in uno triangulo ad sinum arcus differentiæ eorumdem

In triangulo ex arcubus circulorum majorum rectangulo in superficie sphæræ, arcus acutum angulum continentes dum quadrantem perficiunt maxime differunt, quam sub eodem angulo sive breviati sive producti differant, Et coniuncti quadrantem circuli conflabunt.

figure dans la marge de gauche : arcs issus de a, lettrés a, h, f, b, d, l sur l'un, k, g, c, e, m sur l'autre, avec les perpendiculaires qui les joignent ; l'initiale « k » ressemble à un « x ». Sit in superficie sphæræ triangulum abc ex arcubus circulorum maiorum rectum ad c angulum Et acutos reliquos habens. Ponaturque aggregatum arcuum ba ac quadrans. Aio quod differentia arcuum ba ac maxima est earum quibus differunt iidem arcus sive breviores facti sive producti sub eodem angulo acuto a anguloque recto c servatis. Producantur enim ab ac Et brevientur. Ponanturque circulorum majorum arcus de fg perpendiculares ag ce. Eritque per 18. huius sinus aggregati arcuum da ae

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 38 ». ad sinum arcus differentiæ eorumdem sicut sinus aggregati arcuum ba ac ad sinum arcus differentiæ eorumdem. Sed major est sinus aggregati arcuum ba ac quam sinus aggregati arcuum da ae. Quandoquidem sinus aggregati arcuum ba ac est sinus quadrantis hoc est sinus totus qui circuli semidiameter Et sinus maximus est. Igitur Et major est sinus arcus differentiæ arcuum ba ac quam sinus differentiæ arcuum da ae. Quare Et ipsa arcuum ba ac differentia major erit quam arcuum da ae differentia. Similiter Et major demonstrabitur quam arcuum fa ag differentia. Non aliter si brevientur fa ag ducto perpendiculari arcu hk ad arcum ac demonstrabitur major sinus differentiæ arcuum fa ag quam sinus differentiæ arcuum ha ak. Quandoquidem major sinus aggregati arcuum fa ag quam sinus aggregati arcuum ha ak. Quandoquidem major sinus aggregati arcuum fa Et proinde major differentia arcuum fa ag quam differentia arcuum ha ak. Non secus si producantur adhuc ad ae Et ducatur perpendicularis arcus lm. eodem argumento ostendetur major differentia arcuum da ae quam differentia arcuum la am. Quandoquidem major sinus aggregati arcuum da ae, quã sinus aggregati arcuum la am. Verum est ergo quod proponitur arcuum scilicet ba ac quadrantem perficientium maximam esse differentiam. Contra ponatur arcuum ba ac differentia maxima. Aio quod eorumdem arcuum aggregatum erit quadrans. Demonstrabimus enim per 18. prædictam, Et conversam proportionem sinum aggregati arcuum ba ac esse maximum, Et perinde sinum quadrantis Et ob id tale proportione, sinum aggregati arcuum ba ac esse maximum Et proinde sinum quadrantis. Et ob id tale arcuum aggregatum esse quadrantem.la phrase « sinum aggregati arcuum ba ac esse maximum… sinum quadrantis » est écrite deux fois de suite. Vel aliter indirecte. Nam si quadrans non sit aggregatum arcuum ba ac. Esto si possibile est quadrans aggregatum arcuum da ae Igitur ut dudum ostensum est. differentia arcuum da ae maxima erit. Et ideo major quam differentia arcuum ba ac. Quod adversatur supposito. Supponitur enim arcuum ba ac differentia maxima. Igitur nulli alii duo arcus quam ba ac quadrantem conficiunt. Et hoc supererat de propositisécrit en abrégé, « propo » suivi d'un signe final. demonstrandum.

Aliter idem demonstrare.

figures dans la marge de gauche : arcs lettrés f, e, b, d, a, c ; puis une figure lettrée l, h, g, m, o, k : un cercle passant par h, m, k, tangent en h à la droite hg, avec la droite lgmk et la droite ko. Repeto iam tertiam descriptionem rectilineam 12 huius in qua quidem angulus ghk est ille quem in centro sphæræ constitutum subtendit arcus ab autem ghl est is quem ibidem positum subtendit arcus ac minor ipso ab Unde totus angulus lhk erit is quem subtendet arcus aggregatus ex arcubus ba ac, Et quoniam tale arcuum aggregatum supponitur quadrans propterea iam angulus lhk erit rectus, angulus autem kho erit differentia angulorum ghk ghl Et perinde ipse est quem subtendet differentia arcuum ba ac. Itaque demonstrantes quod existente recto angulo lhk maximus erit angulus kho iam simul demonstratum erit quod existente aggregato arcuum ba ac quadrante maxima erit talium arcuum differentia. Demonstrabimus autem quod angulus kho maximus est dum angulus lhk rectus hoc modo. Angulus lhk per hyp. rectus est. Igitur per 8. 6. linea gh perpendicularis ipsi lk est media proportionalis inter lg gk. Et ideo quoniam lg gm sunt æquales media proportionalis inter mg gk. Quare per 15 prædicti quadrangulum quod ex mg gk æquale erit quadrato quod ex gh. Descripta ergo peripheria per puncta hmk circulari ipsa gh continget circulum apud h punctum per ultimam tertii Eucl. Itaque quocumque coincidant lineæ a punctis km excitatæ ad lineam gh alio quam in punctum h semper extra peripheriam circuli hmk coincident : Et ideo minorem angulum continebunt angulo kho per 26. 3. Et 26. 1. Eucli.les deux nombres sont tracés de même, « 26 » ; le second est lu ainsi sans certitude. Itaque angulus kho maximus erit. Similiter descripto circulo per puncta km Et puncta coincidentiarum extra punctum h secante quidem lineam gh ostenderet et cæteri anguli extra punctum h facti inter se differre. Nam angulus super arcum quempiam ad peripheriam constitutus semper major est angulo super eumdem arcum posito Et ad easdem partes peripheriam excedente. Contra posito angulo kho maximo indirecte demonstrabitur angulus lhk rectus. Non enim potest esse maximus talis angulus nisi circulus hmk contingatur a linea gh. Si autem tangens est linea gh. Tunc per penultimam tertij Euclidis quadrangulum kmg æquum erit quadrato gh Quare per 15. 6. linea gh erit media proportionalis inter ipsas kg gm hoc est inter ipsas kg gl lineas. Atque ideo per conversam 8. 6. Euclidis angulus lhk rectus erit. Quod supererat demonstrandum.

Si fuerit in superficie sphæræ duo triangula ex arcubus circulorum majorum : quorum unius angulus acutus æqualis alterius angulo acuto : Et alius unius angulus cum alio alterius angulo iunctus conficiat duos rectos, tunc sinus arcuum his angulis oppositorum erunt sinibus

page de droite ; en tête à droite, à l'encre, le nombre « 39 ». arcuum oppositorum acutis proportionales.

figures dans la marge de droite : triangle d'arcs b, a, c ; arcs lettrés e, d, f, h, g. Sint in superficie sphæræ duo triangula abc def ex arcubus circulorum majorum. In quibus anguli a d acuti sint invicem æquales. Angulus autem c cum angulo efd iunctus conficiat duos rectos. Aio quod sinus arcus ab ad sinum arcus de est sicut sinus arcus bc ad sinum arcus ef. Nam si anguli c f sint recti constat propositum per 7. præmissi libelli. secus autem talium angulorum alter erit acutus, alter erit obtusus. quandoquidem coniuncti duos rectos conficiant. Acutus esto angulus c. obtusus vero efd. Et producto arcu df ad usque g perpendiculari ad ipsum arcus circuli majoris eh ipsique fh æqualis ponatur arcus hg Et arcus circuli majoris ducatur eg. Eruntque per 28. secundi sphæricorum elem. arcus fe eg æquales, scilicet arcus eh communi triangulis feh geh rectangulis. Ergo per 8. præmissi anguli efh egh æquales. Angulus autem efh cum angulo efd conficit duos rectos. Quare dempto communi angulo efd superest angulus efh æqualis angulo c. Et ideo angulus egh æqualis angulo c. Supponuntur autem Et anguli a d æquales. Igitur per 11 præmissi sinus arcus ab ad sinum arcus de sicut sinus arcus bc ad sinum arcus eg. Æqualis autem fuit arcus eg arcui ef. Itaque Et sinus arcus ab ad sinum arcus de, sicut sinus arcus bc ad sinum arcus ef. Quod fuit demonstrandum.

Si fuerint duo triangula in superficie sphæræ ex arcubus circulorum majorum quorum unius acutus angulus æqualis alterius angulo acuto : Et sinus arcuum acutis oppositorum proportionales sinibus arcuum duos ex reliquis angulos respicientium, tunc hi anguli aut æquales erunt, aut coniuncti duos rectos conficient.

figures dans la marge de droite : triangle d'arcs lettré b, a, c, h ; arcs issus de e, lettrés e, d, f, g et une troisième lettre au pied, semblable à f. Sint in superficie sphæræ duo triangula abc def ex arcubus circulorum majorum in quibus anguli a d acuti sint invicem æquales. Et sicut est sinus arcus ab ad sinum arcus de sic sit sinus arcus bc ad sinum arcus ef. Aio quod tunc angulus c aut æqualis erit angulo efd, aut cum eo coniunctus conflabit duos rectos. Nam si rectus sit angulus c rectus erit Et angulus f. Si enim existente c angulo recto rectus non sit f. angulus : non erit arcus ef perpendicularis ad arcum df. Ducatur ergo perpendicularis arcus circuli majoris eg ad arcum df. Et tunc quoniam æquales sunt anguli a d atque recti qui ad c g anguli Iam per 7. huius præcedentis libri erit sinus arcus ab ad sinum arcus bc sicut sinus arcus de ad sinum arcus eg. Sed per hypothesim Et conversam proportionem sinus arcus ab ad sinum arcus bc sicut sinus arcus de ad sinum arcus ef. Igitur quam habent rationem sinus arcus de ad sinum arcus ef, eam habent Et ad sinum arcus eg. Æquales ergo sunt sinus arcuum fe eg. Et proinde ipsi arcus fe eg æquales erunt, quod