Propositio XXIIII

Si ab angulo trianguli ex arcubus circulorum majorum in superficie sphæræ constituti descendat ad basim arcus circuli majoris angulum ipsum per æqualia dividens, tunc sinus arcuum angulum ipsum continentes erunt sinibus factarum basis portionum proportionales.

Sit in superficie sphæræ triangulum abc ex arcubus circulorum majorum. A cuius angulo quolibet puta b descendat ad oppositum arcum circuli majoris arcus bd secans per æqualia angulum abc. Dico tunc quod, sicut est sinus arcus ab ad sinum arcus bc, sic erit sinus arcus ad ad sinum arcus dc. Nam cum triangulorum sphæralium bad bcd anguli abd dbc sint per hypothesim æquales Et anguli adb bdc conjuncti perficiant duos rectos. Iam per 22. huius erit sinus arcus ab ad sinum arcus bc sicut sinus arcus ad ad sinum arcus dc. Quod est propositum. figures dans la marge : un triangle abc coupé par l'arc bd, d sur ac ; plus bas, une figure lettrée a, b, c, d, e, f, qui se rapporte à la proposition suivante.

Propositio XXV

page de droite de la vue 41. En haut à droite, à l'encre, le nombre « 40 ». Quod si sinus arcuum dictum angulum continentium proportionales fuerint sinibus factarum basis portionum tunc arcus descendens angulum ipsum per æqualia secare probabitur.

Hoc est in eadem descriptione ponatur arcus ab ad sinum bc sicut sinus arcus ad ad sinum arcus dc.sic : « ponatur arcus ab ad sinum bc », sans « sinus » devant « arcus ». Dico tunc quod arcus bd per æqualia secat angulum abc. Nam si anguli ad d sint recti, constat propositum per 8. præmissi libelli, Secus autem erit angulorum ad d obtusus alter, et alter acutus, Acutus esto bdc. Producatque arcu bd, et ad eum perpendiculari arcu circuli majoris ae fiat ef arcus æqualis ipsi de. Et ducatur arcus circuli magni af. Eritque per 28. 2. Sphæricorum Elementorum arcus af æqualis arcui ad. Et per 8. præced. angulus f æqualis angulo ade: eiusque contraposito bdc. Et quoniam supponitur sinus arcus ab ad sinum arcus bc sicut sinus arcus ad ad sinum arcus dc. Ideo erit et sinus arcus ab ad ad sinum arcus bc sicut sinus arcus af ad sinum arcus dc. Suntque anguli f, bdc æquales acuti. Igitur per 23 præcedentem. anguli oppositi arcubus af cd hoc est anguli abd dbc aut æquales erunt aut simul juncti duobus rectis æquales. Sed duobus rectis æquales esse non possunt, quandoquidem angulum faciunt ab bc arcus. æquales ergo erunt sicut proponitur demonstrandum. Hoc idem ab impossibili per præcedentem demonstrari potest.

Propositio XXVI.

Si bina triangula fuerint in superficie sphæræ ex arcubus circulorum majorum, quorum unius duo anguli fuerint duobus alterius angulis singuli singulis æquales, et ab angulis reliquis perpendiculares arcus circulorum majorum ad bases ducantur, Tunc sinus factarum basis portionum in uno triangulo proportionales erunt sinibus factarum basis portionum in reliquo triangulo.

Sint in superficie sphæræ duo triangula abc def ex arcubus circulorum majorum. Quorum anguli a d sint æquales. Itemque anguli c f æquales. Arcus autem bg eh circulorum majorum perpendiculares ad bases ac df. Demonstrandum est quod sinus arcus ag ad sinum arcus gc est sicut sinus arcus dh ad sinum arcus hf hoc modo. Per 13. præcedentis libelli, ratio sinus arcus ag ad sinum arcus gc componitur ex rationibus sinus arcus ab ad sinum arcus bc. Et sinus anguli abg ad sinum anguli gbc. Et per eandem 13. ratio sinus arcus dh ad sinum arcus hf componitur ex rationibus dans la marge droite, deux figures : un triangle abc avec l'arc bg, g sur ac ; un triangle def avec l'arc eh, h sur df. Le texte de la page s'arrête ici au bas du feuillet ; il reprend en tête de la vue 42.

double page ; page de gauche. Le texte continue sans interruption la fin de la vue 41. sinus arcus de ad sinum arcus ef. Et sinus anguli deh ad sinum anguli hef. Sed per 16 præmissi quoniam anguli a d æquales Et anguli c f æquales sinus arcus ab ad sinum arcus bc sicut sinus arcus de ad sinum arcus ef. Et per 22. eiusdem, propter dictorum angulorum æqualitatem sinus anguli abg ad sinum anguli gbc, sicut sinus anguli deh ad sinum anguli hef. Igitur ex æqua proportione sinus arcus ag ad sinum arcus gc erit sicut sinus arcus dh ad sinum arcus hf. quod proponitur demonstrandum. le chiffre lu « 16 » a la forme du 6 en « b » de cette main.

Propositio XXVII.

In triangulo rectangulo ex arcubus circulorum majorum in superficie sphæræ, sinus unius acutorum angulorum ad sinum totum est sicut sinus secundus reliqui acuti ad sinum secundum lateris eum subtendentis.

Repetita descriptione 10 huius Demonstrandum est quod sinus anguli abc ad sinum totum est sicut sinus arcus fe ad sinum arcus fb. hoc modo per 6. præcedentis libri, et conversam proportionem, sinus anguli abc ad sinum totum, est sicut sinus arcus ac ad sinum arcus ab. Et per 7 eiusdem, et conversam proportionem sinus arcus ac ad sinum arcus ab sicut sinus arcus cf ad sinum arcus fb. Quare per 11. 5. Euclidis sinus arcus cf ad sinum arcus fb sic sinus anguli abc, ad sinum totum quod erat demonstrandum. « fe » à la troisième ligne et « cf » plus bas : la main forme c et e presque de même ; les lettres sont données telles qu'elles se lisent, sans les accorder. Le second « ac » est empâté d'encre. figures dans la marge : un triangle lettré a, b, c, d, e, f (les arcs fbc et abe se coupant en b) ; au-dessous une petite figure lettrée l, a, b, e, et à côté deux lettres encadrées, « g » et « h ».

Propositio XXVIII.

Item sinus secundus unius acutorum angulorum, ad sinum totum est sicut quod sub sinu secundo arcus acutum subtendentis, et sub sinu reliqui anguli continetur, rectangulum ad quod ex sinu toto quadratum.

In descriptione præmissa, dico quod sinus secundus anguli bac hoc est sinus arcus fe ad sinum totum est sicut rectangulum quod ex sinibus anguli abc et arcus fb. qui est sinus secundus arcus bc ad quadratum sinus totius. Erit enim sinus anguli abc ad sinum totum per præcedentem sicut sinus arcus ef ad sinum arcus fb, per 15. 6 Igitur rectangulum quod ex sinibus anguli abc et arcus fb æquale est rectangulo quod ex sinu toto sinuque arcus ef. Sed per primum 6. sicut sinus arcus fe, ad sinum totum, sic quadrangulum ex sinu toto sinuque arcus fe ad quadratum sinus totius. Igitur erit sinus arcus fe ad sinum totum sic quadrangulum quod dans la marge, un cercle lettré a, b, k, o, d, p, c, l, h, g, m, e, n, f, avec la légende « Refertur ad propositionẽ Sequentem ».

page de droite de la vue 42, numérotée à l'encre « 41 » en haut à droite. Elle ne continue pas la page de gauche : celle-ci s'arrête sur « quadrangulum quod », au milieu de la démonstration de la proposition XXVIII, et celle-ci s'ouvre au milieu d'une application à l'astronomie. Les numéros à l'encre, 40 puis 41, se suivent pourtant. Le texte des pages numérotées 41 à 43 (vue 42, droite, à vue 45, gauche) se lit à la suite de la vue 47, gauche (« Si autem sumatur arcus fbc pro horizonte recto » / « erit arcus ac ascensio recta »), et la vue 47, droite, en reprend la fin (voir les notes des vues 45 et 47) : c'est une reconstitution de cette transcription, qui garde l'ordre des feuillets. erit arcus ac ascensio recta, respondens arcui Zodiaci ab. Atque quoniam per 17 præcedentis libri sinus secundus arcus bc ad sinum secundum arcus ab est sicut sinus totus ad sinum arcus ac. Hoc est sinus arcus fb ad sinum arcus be, sicut sinus totus ad sinum arcus cd, atque ex his tria nota sint, scilicet sinus arcus fb, sinus arcus be sinusque totus, Iam et reliquum scilicet sinus arcus cd noscetur. Unde et arcus cd dabitur. qui ablatus a quadrante relinquit arcum ac ascensionem scilicet rectam cognitam. Similiter et cæteræ quæstiones absolventur, quæ faciles erunt horum libellorum Theoremata intelligentibus. Lubet tamen hic demonstrare praxim qua Iohannes Regiomontanus utitur in calculanda declinatione et ascensione rectâ, per tabulas generales, nec non in habenda differentia ascensionali. Non enim apertum est omnibus ingeniis unde pendeant illius calculi regulæ. Atque pro tabula declinationum sit Zodiacus ab Æquator ac, Locus longitudinis astri in Zodiaco punctum b. latitudo astri bg. Ita ut punctum g sit verus astri locus. Declinatio arcus gh. Producatur arcus gb usque ad æquatorem ad punctum c. Iam intranti in tabulam declinationum generalem, cum longitudine astri occurrit primum arcus bc. qui arcus est circuli latitudinis astri inter Zodiacum et æquatorem comprehensus. Ex quo quidem arcu et latitudine astri bg. sive adgregando sive subtrahendo, notus veniet arcus gc arcus circuli latitudinis inter centrum astri et æquatoremun mot surchargé et empâté après « arcus » ; on distingue « vi » au début, peut-être une abréviation, non résolue. Deinde occurrit in tabula numerus multiplicandus qui numerus est sinus rectus anguli gch posito sinu toto partium 100.000. Unde primum apud punctum tropicum quoniam talis angulus rectus est, ponitur numerus ipse sinus totius, quandoquidem anguli recti sinus est sinus totus, Per 6 autem præcedentis libri, sinus totus ad sinum anguli gch est sicut sinus arcus cg ad sinum arcus gh. Quorum cum tria nota sint, scilicet sinus totus 100.000, sinus anguli gch qui est numerus multiplicandus tabulæ, ac sinus arcus cg Iam per regulam quatuor magnitudinum noscetur et reliquum scilicet sinus arcus gh. Recte igitur præcipit Iohannes in problemate dum iubet multiplicari sinum arcus gc, in numerum multiplicandum in tabula repertum hoc est multiplicari secundum in tertium et productum dividi per primum, hoc est per sinum totum 100.000. Talis enim divisio fit, dum in numero ex multiplicatione producto abiiciuntur quinque figuræ ad dextram, quot sunt cyphræ in divisore, hoc est in sinu toto: quæ operatio notissima est Arithmeticis, Additur autem reliquarum figurarum numero unitas si dans la marge droite, un triangle lettré g, b, a, h, c, avec un second « h » sous la base.

double page ; page de gauche. Elle continue la phrase de la fin de la vue 42 (« unitas si »). figuræ abiectæ denotant plus quam 50000. Quoniam fractio quæ ultra integras partes ex divisione exit minor est dimidio. cum abiectæ figuræ minus quam 50000. hoc est minus quam dimidium divisoris denotant, et tunc negligitur. Maior autem est dimidio cum relictæ figuræ plus dimidio dicto denotant, Et tunc negligitur pro fractione integra unitas adducitur hoc est integra pars. Talis ergo numerus ex divisione sic facta progrediens, erit quartum quod quærebatur, hoc est sinus ipsius arcus gh hoc est declinationis quæsitæ. Unde ex tabula sinus recti declinatio ipsa cognita venit. Nec interest utrum sinus arcuum cg gh capiantur alterius sinus totius quam sinus anguli gch qui capitur respectu sinus totius partium 100.000 quandoquidem in quatuor magnitudinibus proportionalibus, non necesse est omnes quatuor esse eiusdem colligantiæ, sed primam cum secundâ et tertiam cum quartâ.

Pro tabula autem ascensionum rectarum, repeto descriptionem ultimæ propositionis huius libri, In qua quidem æquator sit acd Circulus latitudinis astri abe. Circulus declinationis eiusdem fbc, Circulus autem fed incedens per polos ipsorum abe acd determinet ad ae quadrantes. Punctum b centrum astri, Arcus bc declinatio astri, Arcus ac differentia transitus astri per coeli medium. Itaque intranti tabulam ascensionum generalem cum longitudine astri, occurrit primum arcus qui inscribitur radix ascensionum. qui est quidem arcus æquatoris ab initio arietis secundum ordinem signorum, usque ad circulum latitudinis astri abe computatus. Deinde occurrit numerus multiplicandus qui nihil aliud est quam umbra versa arcus fe multiplicata in senarium posito gnomone partium 100.000, Et quidem per 31. huius præcedentem, sinus totus ad sinum arcus ac est sicut quadratum gnomonis ad quadrangulum quod fit ex umbris versis arcuum fe bc. Iam si dictum quadrangulum, ducatur in sinum totum et productum dividatur in quadratum gnomonis, exibit ex divisione sinus arcus ac. Sed cum sinus totus hic supponatur partium 60000 et numerus multiplicandus in tabula inventus sit umbra versa arcus fe ducta in 6, Atque quadratum gnomonis sit 10000000.000 in idem redit operatio, si ducatur numerus multiplicandus in umbram versam arcus bc declinationis, et a producto abiiciantur sex figuræ quanquam canon iubet abiici quinque figuras ob id videlicet quod numero multiplicando ablata sit una figura ad alleviandum laborem. Et si abiectæ denotent plusquam est 50000 adiicienda relicto numero unitas, ob causam sæpius memoratam. Hoc pacto relictus est numerus is qui ex divisione proditurus erat, hoc est sinus arcus ac. Unde et ipse arcus ac notus fiet. Cumque radix ascensionum per tabulam cognita sit arcus æquatoris a puncto æquinoctiali verno usque ad punctum le nombre du carré du gnomon est écrit en chiffres serrés ; on y compte un 1 suivi de sept zéros, d'un point et de trois zéros, soit dix zéros, ce que demande le carré de 100.000 ; le compte des zéros reste douteux. « sæpius » est surchargé. Dans la marge gauche, en regard de « Pro tabula autem », un grand signe en croissant, « ( », qui n'est pas un mot. figures dans la marge : en haut, un triangle lettré f, b, e, c, a ; plus bas, la même figure lettrée f, e, b, d, a, c.

page de droite de la vue 43, numérotée à l'encre « 42 » en haut à droite ; elle continue la page de gauche (« usque ad punctum » / « a computatus »). a computatus: Iam addito vel ablato arcu ac nunc noto, cognitus veniet arcus æquatoris ab eodem æquinoctii puncto usque ad punctum c computatus: hoc est ascensio astri recta quæsita quæ a circulo declinationis fbc determinatur, Verum ipse arcus ac driaabréviation de « differentia », écrite « dria » avec un trait. scilicet transitus astri per medium coeli potest absque auxilio numeri multiplicandi, et absque umbrarum tabula habenécrit « haben » ; le sens attend « haberi ». sic. In descriptione præmissa per tabulam declinationum notus erat arcus cg latitudinis astri inter æquatorem ac et centrum astri g comprehensus. Notus item fuit arcus gh declinatio scilicet astri. Atque ideo sinus secundi horum arcuum cogniti fient. Verum per 17. præmissi libri sinus secundus arcus gh ad sinum secundum arcus gc est sicut sinus totus ad sinum secundum arcus ch quandoquidem rectus est angulus ghc. Igitur cum ex his tria nota sint, noscetur et reliquum scilicet sinus secundus arcus ch. Et proinde ipse arcus ch qui quærebatur notus erit, differentia scilicet transitus astri per coeli medium, Unde ut prius per radicem adscensionum, data fiet ascensio recta quæsita. Unde pro ascensione recta satis erat radix ascensionum sola absque numero multiplicando, et absque usu tabulæ foecundæ, quæ tabula est umbrarum. Iohannes autem vir perspicacissimus ideo adiecit numerum multiplicandum usumque tabulæ foecundæ, quæ tabula est umbrarum. Ut caveret divisionem quæ necessaria est ei, qui per solam radicem ascensionum operatur, quæ divisio cum scilicet divisor numerus diversas habet figuras fastidiosior est numeranti, sic invenit modum, qui sola multiplicatione perficeret, qui calculatoribus notior esse consuevit.

avant « Pro regula », dans la ligne, le même signe en croissant qu'à la page de gauche. Pro regula tandem inveniendi ascensionalem differentiam, Sit rursum in descriptione 31. præcedentis, æquator acd. Horizon rectus fbc, obliquus abe, Meridianus fed. Eritque latitudo regionis arcus fe. Centrum astri punctum b. Declinatio astri arcus bc. Differentia ascensionalis eius arcus ca. Et quoniam per 31. præced. quadratum gnomonis ad quadrangulum factum ex umbris versis arcuum fe bc: hoc est latitudinis loci, et declinationis astri, Est sicut sinus totus ad sinum arcus ac. Atque ex his quatuor tria nota sint scilicet quadratum gnomonis, quadrangulum ex umbris factum, et sinus totus. Ideo reliquum scilicet sinus arcus ac notus veniet. Rectè Igitur præcipit Iohannes, multiplicari umbras versas latitudinis loci, ac declinationis astri alteram in alteram, ideoque quadrangulum produci prædictum. Tale enim quadrangulum in sinum totum quem ipse supponit partium 60000 multiplicatum ac in quadratum gnomonis. 10000.000.000 divisum exhibet sinum arcus ac. Id autem fit dum prædictum quadrangulum in le nombre du carré du gnomon est écrit en groupes séparés par des points ; « 10000.000.000 », dix zéros ; le deuxième chiffre a la forme d'un « a », qui est le zéro de cette main (même forme dans « 100000 » à la vue 44). « quadratum » est surchargé. dans la marge droite, deux figures : un triangle lettré g, b, c, a, h ; plus bas, une figure lettrée f, e, b, d, a, c.

double page ; page de gauche. Elle continue la page de droite de la vue 43 (« quadrangulum in » / « senarium ducitur »). senarium ducitur: Et a producto 6 ad dextram figuræ abiiciantur, reliquæ unitate adiectâ si abiectæ plusquam 50000 denotaverint. Nam talis relictus numerus erit sinus arcus ac. Quare notescet arcus ac, quæ differentia ascensionum quæsita est, Sic iam demonstrata est praxis dictarum tabularum. ac simul declaratum est qua ratione constructæ sint.

Demonstratio tabulæ beneficæ.

Ad imitationem tabulæ foecundæ Iohannis de Monteregio fecimus aliam tabulam quam beneficam appellavimus, quia eius beneficio calculis quibusdam facilitas procuretur. Ut autem utriusque tabulæ subiectum et speculatio patefiat. Esto triangulum rectilineum abc cuius angulus abc rectus recta autem bd perpendicularis ad basim ac. Ponaturque linea ab sinus totus et gnomo proiiciens umbram bc qui sinus et gnomon supponitur partium 100.000. Eritque angulus a cum quo intramus tam in tabulam foecundam quam in tabulam beneficam, et etiam in tabulam sinus recti, Per quem ingressum ex tabula foecunda habetur linea bc quæ est umbra versa ex tabula benefica habetur linea ca radius scilicet contingens apicem gnomonis scilicet punctum a cum c puncto extremo umbræ, ex tabula sinus habetur linea bd sinus scilicet anguli a cuius sinus secundus est linea da sinus scilicet anguli abd quod est complementum anguli a quandoquidem conjuncti faciunt angulum rectum. Quoniam igitur triangula abd bcd partialia sunt per 8. 6 Eucl. similia inter se et totali triangulo acb propterea erunt lineæ da ab ca continue proportionales. Quare si quadratum ipsius ab dividatur per lineam ad numerus quotiens erit linea ca. Item erit sicut ab linea ad ipsam bd sic ac ad ipsam cb. Quare si ducatur ac in bd et productum secetur in ab, quod fiet abiectis de producto quinque ad dextram figuris quot scilicet sunt zyphræ in numero 100000 numerus quotiens erit bc umbra versa. Contra erit sicut bd ad ipsam ab, sic et bc ad ipsam ca. Quare si ducatur ab in bc quod fiet applicando ad dextram numeri bc quinque zyphras. Et productum secetur in bd, numerus quotiens erit linea ca. Item si ponatur angulus a graduum 30 tunc bd sinus erit dimidium ipsius ab sinus totius. Sed sicut ab ad ipsam bd sic ac ad ipsam cb. Ergo tunc bc umbra erit dimidia numeri ca tabulæ beneficæ: Et quadratum ipsius ac quadruplum ad quadratum ipsius bc, Et ideo quadratum ipsius ac sesquitertium ad quadratum ipsius ab. Unde tunc si ponatur ab semidiameter sphæræ, lineam iam ac erit latus cubi circumscripti dans la marge, un triangle rectangle lettré a, b, c, avec la perpendiculaire bd sur ac. Plusieurs mots de la page sont soulignés (« similia », « angulus », « tunc », « erit », « ab ») sans raison apparente ; le soulignement n'est pas reproduit.

page de droite de la vue 44, numérotée à l'encre « 43 » en haut à droite ; elle continue la page de gauche (« cubi circumscripti » / « a sphæra »). a sphæra: sed hoc nihil ad rem. Adhuc si ponatur angulus a graduum 45. hoc est dimidium recti ad db dc erunt inter se æquales. Unde bc umbra erit æqualis gnomoni suo ab et ac numerus tabulæ beneficus duplus ipsius ad sive db qui sunt sinus primus et secundus anguli a. Et tunc si ponatur ab semidiameter circuli erit ac latus quadrati in circulo descripti sed nihil ad rem. Demum si ponatur angulus a graduum 60 tunc angulus c fiet graduum 30, et tantundem angulus abd. Quare ad erit dimidium ipsius ab. sed sicut ba ad ipsum ad sic est ca ad ipsum ab. Ergo ab tunc dimidium ipsius ac. Unde cum ab ponatur partium 100000 erit eo casu ac numerus tabulæ beneficæ partium 200.000 Postremo si ponatur angulus a graduum 90 hoc est rectus, tunc in tabula sinuum ipse sinus bd est iam ipse sinus totus ab. Nam in eo casu linea bd coünitur ipsi ab. Tunc vero tam in tabula Foecunda quam in tabula benefica ibi umbra versa et hic radius in infinitum abeunt, quoniam scilicet bc umbra et ac radius sunt æquidistantes, et necubi quamvis in infinitum producti concurrunt. Ex quibus satis constat deffinitio et fabrica ipsarum tabularum Foecundæ et Beneficæ. Nam ex tabula sinuum per regulas proprias compositæ eliciuntur ambæ.

ici, dans la ligne, le signe en croissant déjà vu aux vues 43 ; « quoad » est écrit « qual » corrigé par « oa » en interligne. Porro quoad usum tabulæ beneficæ, nam foecundæ calculus fuit dudum demonstratus: hoc accipe. Sint in superficie sphæræ duo quadrantes circulorum, majorum abe acd inter se inclinatorum, Et a puncto f polo scilicet ipsius ae descendant duo quadrantes fed, fbc Eruntque anguli apud c d e puncta recti, Sintque ex triangulo sphærali abc cogniti arcus ab bc, quæro ex his arcum ac. Sic cum arcu bc intro in tabulam Beneficam, Et excipio numerum multiplicandum qui sit g. Et quoniam sinus secundus arcus bc est ipse sinus arcus fb Erunt iam sicut dudum ostensum est sinus fb arcus sinus totus, atque g continue proportionales, Sed per demonstrata Menelai sicut sinus ipsius fb ad sinum totum arcus fc sic sinus ipsius be ad sinum ipsius cd. Igitur sicut sinus ipsius be ad sinum ipsius cd, sic erit sinus totus ad ipsum g. Quamobrem multiplico ipsum g in sinum ipsius be Et productum divido in sinum totum quod fit abiiciendo quinque zyphras figuras« figuras » est écrit au-dessus de « zyphras » biffé. de producto ad dextram quot sunt zyphræ in sinu toto. Et habebo in quotiente sinum arcus cd, quo ablato a quadrante superest mihi arcus ac quæsitus. Atque hoc quidem pacto ex ab arcu Eclipticæ a sectione æquinoctii incepto Et ex bc declinatione cognoscam ac rectam ascensionem

même signe en croissant avant « Item ». Item mutatis terminis ex ab arcu circuli latitudinis inter stellam b et æquatorem acd clauso Et ex bc declinatione stellæ datis: discam arcum ac æquatoris qui dicitur « apud c d e puncta » : écrit « apud cde puncta ». Dans la marge droite, deux triangles rectangles lettrés a, b, c, d (la perpendiculaire bd) ; plus bas, un gros point et un rectangle portant a en haut et b en bas.

double page ; page de gauche. Elle continue la page de droite de la vue 44 (« qui dicitur » / « differentia »). differentia stellæ transitus per coeli medium, et qui ad sciendam eius ascensionem rectam usu venit

signe en croissant avant « Adhuc », et de même avant « Si autem », « Quod si » et « Denique » plus bas. Adhuc variando iuxta necessitatem propositi terminos ex latitudine ortus ab et ex declinatione bc stellæ propositæ in puncto b positæ datis eliciam arcum ac diffia ascensionalis eiusdem stellæ, Et sic deinceps in cæteris quæstionib9 quæ ad hanc arcuum descriptionem redigi possunt.

Si autem in eodem triangulo sphærali abc datus sit angulus a hoc est arcus de et arcus bc. tunc ex his scitur arcus ab sic. Cum arcu fe intro tabulam beneficam, et numerus multiplicandus ibi inventus sit g. Et quoniam sinus secundus arcus fe est sinus arcus ed, Erunt sicut prius sinus ed arcus, sinus totus et g continuæ proportionales. Sed sicut ostendit idem Menelaus sicut est sinus ipsius ed ad sinum totum sic iam sinus ipsius bc ad sinum ipsius ab. Ergo et sicut sinus ipsius bc ad sinum ab, sic sinus totus ad ipsum g. Quamobrem multiplico g in sinum ipsius bc et productum partior in sinum totum, quod fit abiectis quinque dexterioribus figuris et exibit ex divisione sinus ipsius ab arcus quæsiti. Tali calculo ex arcu bc declinationis et ex maxima declinatione ed datis comperitur arcus ab Eclipticæ, qui arcui ascensionis ac respondet. Et similiter faciam in aliqua simili quæstione ut si ex angulo a complemento latitudinis regionis et ex arcu bc declinationis stellæ, Si ex angulo a complemento latitudinis regionis et ex arcu bc declinationis stellæ, in puncto b positæ velim noscere arcum ab horizontis inter æquatorem et stellam exorientem qui latitudo ortus vocatur. Sicut dictum est.la même proposition, « si ex angulo a complemento latitudinis regionis et ex arcu bc declinationis stellæ », est écrite deux fois de suite, sans biffure.

Quod si dati sint duo arcus ac cb tunc per eos inveniam arcum ab. Dabuntur enim arcus cd fb quæ sunt datorum complementa Et tunc per eos inveniam arcum ab. Et ex his per regulam declinationis dabitur arcus be, Et eius complementum ab quæsitum.

Denique si ex arcubus ab bc datis quæratur arcus cd. Tunc intrabis tabulam beneficam cum arcu be, et numerus inventus sit g. Et quia sinus secundus ipsius be est sinus ipsius ab. Idcirco erunt ut prius, sinus ipsius ab, sinus totus, et ipsum g continuæ proportionales. Verum ut ostendit Menelaus sicut sinus ipsius ab ad sinum totum, sic iam sinus ipsius bc ad sinum ipsius cd. Igitur erit sicut sinus ipsius bc ad sinum ipsius cd. sic sinus totus ad ipsum g. Quare multiplico g in sinum ipsius bc et productum partior in sinum totum, quod fit abiectis quinque figuris, vel quot zyphræ sunt in numero la page s'arrête sur « in numero » ; la suite ne se lit pas à la vue 45, droite, mais en tête de la vue 47, droite (« sinus totius, Et habeo in quotiente sinum arcus cd quæsiti »). « prius » : les lettres du milieu sont surchargées, peut-être sur « primus ». Dans la marge, deux fois la même figure : un triangle lettré f, e, b, a, c, d, et au-dessous un trait horizontal marqué g.

page de droite de la vue 45, numérotée à l'encre « 44 » en haut à droite. Elle ne continue pas la page de gauche : elle reprend, en les répétant, les deux dernières lignes de la page de gauche de la vue 42 (« toto sinuque arcus fe ad quadratum sinus totius. Igitur erit sinus arcus fe ad sinum totum sic quadrangulum quod ») et achève la proposition XXVIII. Les pages numérotées 41 à 43 (vues 42, droite, à 45, gauche) forment un texte suivi sur les tables de Regiomontanus et la « tabula benefica », placé au milieu de la proposition XXVIII. ex sinu toto sinuque arcus fe ad quadratum sinus totius. Igitur erit sinus arcus fe ad sinum totum sic quadrangulum quod ex sinibus anguli abc et arcus fb ad quadratum sinus totius. Quod est propositum.

Propositio XXVIIII.

In omni triangulo ex arcubus circulorum majorum in superficie sphæræ constituto, sinus versus anguli cuiuslibet ad differentiam duorum sinuum versorum quorum unus est lateris eum angulum subtendentis, alter vero differentiæ duorum arcuum ipsum angulum continentium, Est sicut quadratum sinus totius ad id quod sub sinibus arcuum eorundem continetur rectangulum.

Sit in superficie sphæræ ex arcubus circulorum majorum constructum utcunque triangulum abc. Completoque circulo adb sub polis ab circuli describantur, majores quidem 2 def geh, minores vero kcn, ocp, Item quadrantes circulorum majorum a polis ad circulos majores acl, bcm. Rursus in alia descriptione (confusionis tollendæ gratia) describantur horum circulorum diametri axes, sinusque. Ac primum descripto utcunque circulo abd describantur aliorum diametri, quæ sunt communes eorum cum abd circuli plano sectiones hoc pacto. Punctum x. Sit centrum sphæræ et circulorum majorum, Recta dxf diameter circuli def, Recta gxh diameter circuli geh. Recta kyn diameter circuli kcn Recta orp diameter circuli ocp sese invicem secantes in puncto r. Item rectæ xb xa axes ipsorum geh def circulorum sive semidiametri circulorum bcm acl, Adhuc lineæ au kq perpendiculares ad xb, Linea kt perpendicularis ad os. Quibus peractis patet quod linea au est sinus rectus arcus ab. Linea ky est sinus rectus arcus ak. et etiam arcus ac. quandoquidem æquales quoniam a polo ad periphæriam circuli ocp. Linea kq sinus arcus bk qui est differentia arcuum ak ab. Unde et linea br erit sinus versus arcus bo sive bc. linea bq sinus versus arcus bk differentiæ prædictæ. Linea qr differentia talium sinuum versorum. linea ks sinus versus arcus kc. Quæ omnia patent per primam præcedentis libelli, Ponatur itaque recta dz sinus versus arcus db. sive anguli bac. Constabitque demonstrandum esse quod dz sinus versus anguli bac ad ry driamabréviation de « differentiam », écrite « driam » avec un trait. sinuum versorum, arcubus bc bk debitorum est sicut quadratum sinus totius. quod fit ex dx in xa, ad rectangulum quod fit au ky. qui « majores quidem 2 » : un signe en forme de 2 après « quidem ». Dans la marge droite, quatre figures : deux sphères traversées d'arcs, sans lettres ; une troisième lettrée a, b, k, o, d, g, l, m, e, c, f, n, h, p ; une quatrième, en coupe, lettrée a, b, u, k, o, d, q, r, s, t, p, y, z, h, x, g, n, f. Le texte s'arrête sur « qui » au bas de la page.

double page ; page de gauche. Elle continue la page de droite de la vue 45 (« au ky. qui » / « scilicet sunt »). scilicet sunt sinus arcuum, ab ac recti. hoc modo. Quoniam per 14. secundi sphæricorum elementorum arcus dl ks sunt similes, Et in similibus arcubus sinus sunt semidiametris proportionales, Et ideo sicut linea dz ad lineam ks sic linea dx ad lineam ky. Item quoniam æquiangulum est triangulum kts. triangulo \supset rs. Et triangulum \supset ts, triangulo \supset yx. Et triangulum \supset yx triangulo aux ideo triangula kts, aux æquiangula sunt. Quare per 4. 6. Euclidis, linea xa ad lineam au sicut linea sk ad kt. Verum proposita linea ks media ratio dz ad kt vel qz componitur ex rationibus dz ad ks et ks ad kt Et ideo ex rationibus dx ad ky. Et xa ad au quæ sunt illis eædem, Et per 24. 6. Elem. Euclidis ratio quadrati sinus totius quod fit ex dx xa ad quadrangulum quod fit ex au ky componitur ex rationibus dx ad ky, et xa ad au iisdem, Igitur ex æqua proportione Erit linea dz ad aqz sicut quadratum sinus totius ad rectangulum au ky. quod quidem proponebatur demonstrandum. « \supset » : une lettre de figure en forme de c retourné, notée ici par le signe le plus proche, distincte de c et de z ; elle figure aussi, près de r, sur la figure de la vue 45. Le premier « \supset rs » est surchargé. Les lettres « aqz » sont repassées à l'encre et ne nomment aucune ligne de la figure ; l'énoncé de la vue 45 demande ici ry. « qz » (après « vel ») est lu tel quel. dans la marge, trois figures qui reprennent celles de la vue 45 : une sphère traversée d'arcs, sans lettres ; une sphère lettrée b, a, k, p, o, d, c, h, g, n, e, m, f ; une coupe lettrée a, b, u, k, o, d, p, q, s, t, y, \supset, h, x, g, n, f.

Propositio XXX.

Sinus arcus alicuius ad sinum eius secundum est sicut gnomo ad umbram rectam eiusdem arcus, sicut autem secundus ad sinum dicti arcus, sic est gnomo ad umbram versam eiusdem arcus.

In quadrante circuli ab capiatur quantusvis arcus bc, Eiusque complementum ca. Ductisque semidiametris ad db, et ce perpendiculari ad db. Erit per primam præcedentis libri recta ca sinus rectus arcus bc. Recta vero ed sinus secundus eiusdem arcus bc coniungatur cd et producatur ad g punctum quodvis. Producatur item ad bd semidiametri. Compleaturque rectangulum dfgh. Itaque posito gnomone df umbra recta respondens arcui bc erit recta fg. Posito autem gnomone dh umbra versa eiusdem arcus erit gh. Quibus declaratis demonstrandum est quod ce ad ed est sicut df ad fg. Item quod de ad ec est sicut dh ad hg. Constat autem utrumque ex similitudine triangulorum ced dfg, ghd. et proportione laterum. figure dans la marge : un quadrant lettré a, c, b, e, d, h, f, g, avec le rectangle dfgh.

Corollaria.

Unde umbra recta cuiusvis arcus est et umbra versa complementi eiusdem arcus. Item Dimidio quadrantis debita umbra tam recta quam versa æqualis est suo gnomoni. Item gnomon semper est medius proportionalis inter umbras duorum arcuum quadrantem integrantium, seu rectas seu versas.

Propositio XXXI.

In triangulo rectangulo ex arcubus circulorum majorum in superficie sphæræ, constituto, sinus totus ad sinum arcus unum

page de droite de la vue 46, numérotée à l'encre « 45 » en haut à droite ; elle continue la page de gauche (« ad sinum arcus unum » / « ex acutis »). ex acutis subtendentis est sicut quadratum gnomonis ad rectangulum comprehensum sub umbris versis quorum una complemento reliqui acuti, altera vero eundem acutum subtendenti debetur.

Repetita descriptione 27. huius in triangulo abc demonstrandum est quod sinus totus ad sinum arcus ca subtendentis angulum acutum abc est sicut quadratum gnomonis ad rectangulum quod fit ex duabus umbris versis, quarum una debetur arcui fe quod complementum est anguli bac Altera respondet arcui bc subtendenti reliquum acutum angulum bac. Quod sic ostenditur. Per præcedentem sicut gnomo ad umbram versam arcus fe sic sinus arcus de ad sinum arcus ef. Et rursum per eandem sicut gnomo ad umbram versam arcus bc sic sinus arcus fb ad sinum arcus bc. Sed per 24. 6 Elem. Eucl. Ratio quadrati gnomonis ad quadrangulum ex umbris versis arcuum fe bc componitur ex rationibus duabus videlicet gnomonis ad umbram versam arcus fe. Et gnomonis ad umbram versam arcus bc. Quare Et eadem ratio componetur ex rationibus duabus quæ sunt prædictis æquales, scilicet sinus arcus de ad sinum arcus ef Et sinus arcus fb ad sinum arcus bc. Per 4. vel 5. huius. Ex iisdem rationibus duabus scilicet sinus arcus de ad sinum arcus ef, et sinus arcus fb ad sinum arcus bc componitur ratio sinus arcus da ad sinum arcus ac. Igitur ex æqua proportione erit sinus arcus da hoc est sinus totus ad sinum arcus ac. Igitur ex æqua proportione erit sinus arcus da ad sinum arcus ac. Iam sicut quadratum gnomonis ad rectangulum contentum sub umbris versis arcuum fe bc, et id proponebatur demonstrandum. « Altera » est suivi d'un mot abrégé, lu « rndet » avec un trait, offert comme « respondet ». La phrase « Igitur ex æqua proportione erit sinus arcus da … ad sinum arcus ac » est écrite deux fois de suite ; à la seconde, « hoc est sinus totus » est ajouté en interligne au-dessus de « da ». Dans la marge, un triangle lettré f, e, b, a, d, c.

Corollaria.

Hinc manifestum est, quod si in duobus triangulis sphæralibus orthogoniis, duo latera quæ circum rectos angulos æqualia fuerint tunc rectangula quæ ex umbris versis reliquorum laterum, quæ circum rectos in umbras versas debitas complementis subtensorum angulorum producuntur, erunt et invicem æqualia. Et contrario.

Propositio XXXII.

In triangulo rectangulo ex arcubus magnis in superficie sphæræ, constituto, sinus totus ad sinum arcus unum ex acutis angulis subtendentis est sicut umbra versa reliquo acuto angulo debita ad umbram versam lateris dictum acutum respicientis.

Hoc est in eadem descriptione quod sinus totus scilicet arcus da ad sinum arcus ac est sicut umbra versa arcus de ad umbram versam arcus bc. Sic per ultimum corollarium 30 præcedentis ex umbra versa arcus fe sui complementi producit après « descriptione », un mot abrégé d'environ cinq lettres (« ontaz » ou approchant), non lu. Dans la marge, la même figure lettrée f, e, b, a, d, c.

double page ; page de gauche. Elle continue la page de droite de la vue 46 (« sui complementi producit » / « quadratum gnomonis »). quadratum gnomonis. Sed per præcedentem quadratum gnomonis ad rectangulum umbrarum versarum arcuum fe bc fuit sicut sinus arcus da ad sinum arcus ac. Igitur et sicut quod fit ex umbra versa arcus de in umbram versam arcus fe, ad rectangulum quod fit ex umbris versis arcuum fe bc sic sinus arcus da scilicet sinus totus ad sinum arcus ac. Cumque per primam 6. Euclidis, rectangulum umbrarum versarum arcuum de fe, ad rectangulum umbrarum versarum arcuum fe bc. sit sicut umbra versa arcus de ad umbram versam arcus bc. Erit iam sicut sinus totus ad sinum arcus ac sic umbra versa arcus de ad umbram versam arcus bc. Quod fuit demonstrandum. Ex eadem omnia concludere potes de rectis umbris quæ talium arcuum complementis debentur. dans la marge, un triangle lettré f, e, b, d, c, a ; plus bas, le long de la reliure, deux « f » isolés, peut-être des lettres d'une figure prise dans le pli.

Scholium.

Ex his igitur demonstrationibus absolvi possunt omnes quæstiones quæ fieri consueverunt circa sphæralia triangula quæque in astronomia pertinent ad arcus circulorum in primo coelo intellectorum, hoc in concava superficie primi mobilis descriptorum Sed nemo harum speculationum scientiam perfectam habens nesciet theoriam ad praxim atque demonstrationem ad calculum reducere. Quæ res ut magis pervia fiat lectori exempla nonnulla sunt adducenda ut circa declinationes et adscensiones.

Et primum si in descriptione præcedentis circulus acd sit æquator circulus abe sit Zodiacus. Circulus fed sit colurus incedens per utrosque eorum polos punctum a punctum æquinoctii, Arcus de maxima Zodiaci declinatio, Punctum b locus astri in Zodiaco Circulus fbc circulus declinationis, arcus bc declinatio astri, ex loco autem astri cognito et maxima declinatione datâ hoc ex arcubus ab de quæratur declinatio astri hoc est arcus bc. absolvetur quæstio sic, cum per 6. huius præmissi libri sicut est sinus totus ad sinum arcus de sic sit sinus arcus ab ad sinum arcus bc. Atque ex his quatuor tria cognita sint noscetur et reliquum per regulam quatuor magnitudinum, hoc est cum sinus totus datus sit sinusque arcus de dati datus, nec non sinus arcus arcus ab dati propter cognitum astri locum datus Iam et reliquus sinus arcus bc quæsiti dabitur, Et perinde arcus bc quæsitus dabitur. Unde si ducatur secundum in tertium et productum dividatur per primum exibit ex divisione quartum ex doctrina 14. 6. Elem. Eucl. Hoc est si ducatur sinus arcus de in sinum arcus ab et productum dividatur in sinum totum exibit in divisione sinus arcus bc Unde et arcus bc quantus notus erit.

signe en croissant avant « Si autem ». Si autem sumatur arcus fbc pro horizonte recto la page s'arrête ici, au bas du feuillet, la phrase en suspens ; elle se poursuit, selon toute apparence, en tête de la vue 42, droite (« erit arcus ac ascensio recta, respondens arcui Zodiaci ab »). Dans la marge, en face du milieu de la page, le même triangle lettré f, e, b, d, c, a.

page de droite de la vue 47, numérotée à l'encre « 46 » en haut à droite. Elle ne continue pas la page de gauche, qui s'arrête sur « Si autem sumatur arcus fbc pro horizonte recto » : celle-ci s'ouvre sur la fin d'un autre calcul (« sinus totius, Et habeo in quotiente sinum arcus cd quæsiti »), celui de la plus grande déclinaison de tirée de l'arc ab et de la déclinaison bc. sinus totius, Et habeo in quotiente sinum arcus cd quæsiti. Hoc ergo pacto ex ab arcu Eclipticæ et ex eius declinatione bc nanciscemur maximam declinationem de. Ex quibus quidem manifestum est quod omnia quæ Iohannes de Monte Regio per tabellam foecundam vitato divisionis fastidio per multiplicationem elaborabat, hic per nramabréviation de « nostram », écrite « nram » avec un trait. beneficam haud difficilius supputari possunt sed practica huiusmodi regularum exempla inferius una cum tabellis exponemus. Hæc in Arce Apollinari dum cum Iohanne Vigintimillio Hieracensium Marchione degeremus olim mense Augusto 1530 speculabamur. Nunc adnectemus his quædam veterum opuscula ad eandem sphæricam theoriam spectantia.

D. Octavio Spinulæ Quæstori ærario Siciliæ, Regioque Consiliario, Maurolycus. Salutem.

Ex quo Sphæricorum nostrorum volumen Octavi generose vir Messanæ excudi coeperat fluxit iam annus tertius Et inter varia tum impedimenta bellorumque suspiciones quæ nos turbabant, non dabatur ullus speculationibus locus quæ secessum mentis et otium imprimis requirunt: fecit amor erga me tuus, immo eximia tua in litteras affectio, ut repetito labore opus hoc egregium absolveretur Tantum igitur tibi sphæra nostra debet, ac debere se fatetur, quantum Atlas Herculi coelum humeris sustinenti debuit. Absolutis itaque Theodosij Menelai ac Maurolyci tui Sphæricis, subiungemus ea quæ ad sphæram mobilem motumque primum pertinent, quippe quæ sphæricorum demonstratis innituntur, et prima sunt disciplinæ syderalis rudimenta. Quod si te nunc Reip. cura et onus quod sustines occupatum tenet, dabitur ut spero quandoque ocium, ut artibus ingenuis intendas animum et opera nostra utaris. Vale. « omnia » est suivi d'un court mot biffé, non lu (marqué illisible). « quandoque » est écrit en abrégé (« qdoq » avec un signe final).

Ad eundem Hexastichon. Disturbata diu varijs monumenta procellis Ad metam properant, te duce nostra suam. Haud aliter quondam ne machina tanta periret, Herculis auxilio sydera fulsit Atlas. Si quidquam Octavi poterit mea pagina, laudem Delebunt meriti, tempora nulla tui.

Messanæ. Kal. Junij M.D.LVII. les vers vont à la ligne un par un, les pairs en retrait. « Disturbata » et « procellis » sont surchargés ; le « D » de la date est repassé.

double page ; page de gauche. Elle ne continue pas la page de droite de la vue 47, qui s'achève sur la date de la dédicace : un nouveau texte commence ici, en tête de page. Les numéros des propositions sont écrits dans la marge gauche, en regard de l'énoncé.